Минимизация квадратичных функционалов уклонения траекторий линейных динамических систем управления тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ
Давранов, Ботир Эврисович
АВТОР
|
||||
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
Самарканд
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
1992
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I. ЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ В
КЛАССЕ РЕЛЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ
§ I. Управляемость динамической системы в классе релейных функций
§ 2. Постановка задачи
§ 3. Опора
§ 4. Необходимые условия оптимальности
§ 5. Пример.
ГЛАВА П. ОПТИМИЗАЦИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ В КЛАССЕ
МНОГОМЕРНЫХ РЕЛЕЙНЫХ УПРАВЛЕНИЙ
§ б. Оптимальное управление динамическими системами со многими входами
§ 7. Задача оптимального управления с терминальными ограничениями интервального типа
ГЛАВА Ш. ЛИНЕЙНО-КВАДРАТИЧНАЯ.ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО
УПРАВЛЕНИЯ . ИЗ
§ 8. Минимизация среднеквадратичной ошибки на траекториях линейной динамической системы управления. ИЗ
§ 9. Управляемость гамильтониана в задаче оптимизации динамической системы по квадратичному критерию качества
§ 10. Экстремальная управляемость в задаче оптимизации динамической системы по интегральному квадратичному функционалу от траектории
Теория оптимального управления возникла в середине 50-х годов в ответ на задачи, поставленные развитием новой техники. Инженеры по механике полета, по теории автоматического регулирования в 40 - 50-е годы при разработке новой техники столкнулись с задачами вариационного типа, которые не поддавались исследованию методами классического вариационного исчисления [57,69,80] .
Анализ результатов, полученных инженерами при решении частных экстремальных задач нового типа, привел группу математиков во главе с академиком Л.С.Понтрягиным к постановке нового класса задач вариационного типа, названных неклассическими задачами вариационного исчисления.
В отличие от вариационного исчисления в новых моделях выделялись две группы переменных - переменные состояния и переменные управления, из которых вторая группа была принципиально новой в вариационном исчислении и выбиралась из весьма широкого класса функций (измеримых, кусочно-непрерывных, кусочно-постоянных и т.п.), принимающих значения из произвольных, в частности, замкнутых множеств.
Основным результатом теории оптимального управления (так стала называться теория неклассических задач вариационного исчисления) признан принцип максимума Л.С.Понтрягина, с помощью которого удалось в изящной и удобной форме записать необходимые условия оптимальности для весьма широкого круга задач. При этом существенную роль сыграл выбор допустимых управлений из достаточно широкого класса функций. С сутью нового результата, с его обобщениями и приложениями можно ознакомиться по работам [1,10,26,28,40,45,58, 60,64,66,74,75,78, 84,85] .
В теории оптимального управления были предложены и другие подходы: метод динамического программирования Р.Беллмана [3,24] , метод Н.Н.Красовского [47,48] , метод А.Я.Ду-бовицкого - А.А.Милютина (32,ЗЗJ и другие [18,22,37, 46,49-52,] . На базе предложенных методов разработаны разнообразные численные алгоритмы. С состоянием этого вопроса можно ознакомиться по работам [ 2,9,11, 31,34,35,38, 41,53-55, 59,62,63,67,68, 71,72 ] .
Диссертация выполнена на Минском семинаре по конструктивной теории оптимального управления и развивает подход, предложенный в работах (4,13-17,19-21,27,29,42-44,61,73] .
Целью работы является исследование задач оптимального управления в новом классе допустимых управлений, названных для краткости, релейными.
Основной конструкцией работы служит опора, которая обобщает соответствующие понятия, введенных для более простых классов допустимых управлений.
Опора в теории оптимального управления впервые введена в ^14] для линейных задач. Она явилась обобщением опоры, предложенной ранее в [ 19-21] для решения задачи линейного программирования. Будучи тесно связанной как с фундаментальным свойством динамических систем - управляемостью, так и с сопряженной системой, опора оказалась удобным аппаратом при получении аналитических и конструктивных результатов [29, 42,43,61^ • Впоследствие опора была перенесена на различные ь типы линейных задач оптимального управления [15,44] , линейно-квадратичные задачи оптимального управления [4,16,27. 73 j , нелинейные задачи [17] , негладкие задачи [16,17].
При всех указанных обобщениях класс допустимых управлений состоял или из импульсных, или из кусочно-постоянных, или из кусочно-непрерывных управлений. Первый класс допустимых управлений ведет к дискретным системам, второй и третий классы характерны для непрерывных систем.
История развития теории оптимального управления показывает, что для многих прикладных задач оптимального управления достаточны классы кусочно-постоянных, кусочно-непрерывных управлений (т.е. в них оптимальное управление реализуется на функциях из этих классов).
В последние годы усилился интерес к задачам оптимального управления, в которых решения достигаются на функциях с учащающимися точками переключений [5,8,65,83] . Первый пример линейно-квадратичной задачи с подобным решением был построен еще в 1960 г. А.Т.Фуллером • Последние результаты в этом направлении [6,7,36,81] показывают, что режимы Фул-лера достаточно типичны в теории оптимального управления. Другой пример, уже линейной по состоянию задачи (с фазовыми ограничениями), в которой оптимальное управление реализуется в виде режима Фуллера, построен в работе Г.М.Роббинса [86 ] . А.А.Милютин подробно исследует режимы Фуллера в [30] , и показывает, что они достаточно типичны и в полностью линейных задачах.
Численное решение задач оптимального управления, в которых встречаются режимы Фуллера, сопряжено с большими трудноетями. Пока не предложены и практические способы реализации таких режимов, ибо реальные технические устройства имеют конечный предел частоты переключений. В этой ситуации естественным на нащ взгляд является другой подход исследования задач оптимального управления, в которых возможны режимы Фул-лера. А именно, следует ввести такой класс допустимых управлений, элементы которого в принципе реализуемы на технических устройствах. Другими словами, следует наложить ограничения снизу на расстояния между соседними точками переключений. Именно такой подход принят в данной работе.
Новый тип ограничений на допустимые управления, отражающий реально существующие ограничения практических управлений, ранее в теории оптимального управления не исследовался. Эти ограничения, как и ограничения, связанные с инерционностью реальных управлений, существенно усложняют задачу оптимального управления. Для исследования упомянутых ограничений в работе, как указано выше, развивается конструктивный подход, предложенный в работах [ 13-17,27]
Видимо, новые задачи можно исследовать и качественными методами [12,47,60] , но эта цель в работе не ставилась, ибо предполагалось, что полученные результаты будут впослед-ствие использованы для создания специальных численных методов в духе работ [29,42-44,61,73] .
Ситуация, аналогичная той, что исследуется в диссертации, встречалась и раньше. Известно, что существуют простые примеры, в которых оптимальное управление не реализуется даже в классе измеримых функций. Речь идет о так называемых скользящих режимах. Появление скользящих режимов в математических задачах оптимального управления можно связать с тем, что в принятой идеализации реально доступных управлений не учитывается их инерционность. Другими словами, каждое практическое управление может изменять свои значения с ограниченной скоростью. Если учесть это свойство реальных управлений и ввести в задачу оптимального управления ограничения на скорость изменения значений управления ), то в новом классе (инерционных, абсолютно-непрерывных) допустимых управлений задача оптимального управления всегда будет иметь решение. Однако переход к инерционным управлениям резко усложняет исследование задачи оптимального управления из-за появления фазовых ограничений. Примеры, приведенные в работах Г.М.Роббинса и А.А.Милютина, показывают, что изложенный подход гарантирует существование теоретического результата, но не гарантирует реализуемость результата на практике.
В диссертации в отличие от свойства инерционности используется другое характерное для реальных управлений свойство. И как показано в работе, этот подход приводит к практически реали зуемым ре зультатам.
Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитированной литературы. Она занимает объем 150 стр. машинописного текста.
1. Алексеев В.M., Тихомиров В.M., Фомин C.B. Оптимальное управление. - М.: Наука, 1979. - 429 с.
2. Атанс М., Фалб П. Оптимальное управление. М.: Машиностроение, 1968. - 764 с.
3. Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования. М.: Наука, 1965. - 458 с.
4. Биби М., Костюкова О.И. Оптимизация линейной системы управления по квадратичному терминальному критерию качества. //ДАН БССР. 1986. - Т. 30, № I. - С. 16-19.
5. Берщанский Я.М. Сопряжение особых и неособых участков оптимального управления.//Автоматика и телемеханика. -1979. № 3. - С. 5-И.
6. Борисов В.Ф. Построение оптимального синтеза при наличии четтеринг-режима.//ДАН СССР. 1988. - Т. 302, № 4.С. 785-789.
7. Борисов В.Ф., Зеликин М.И. Режими с учащающимися переключениями в задаче управления роботом.//ПММ. 1988. -Т. 52. - Вып. 6. - С. 939-946.
8. Борщевский М.З., Иослович И.В. К задаче оптимального по быстродействию торможения вращения осесимметричного твердого тела около центра масс.//ПММ. 1985. - Т. 49.-Вып. I. - С. 35-42.
9. Брайсон А., Хо Ю-ши. Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир, 1972. - 544 с.
10. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1975, - 568 с.
11. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1980. - 520 с.
12. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1971. - 508 с.
13. Габасов Р., Кириллова Ф.М, Тятюшкин А.И. Конструктивные методы оптимизации. Часть I. Линейные задачи. Минск: изд-во "Университетское", 1984. - 214 с.
14. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Конструктивные методы оптимизации. Часть 2. Задачи управления. Минск: изд-во "Университетское", 1984. - 207 с.
15. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Костюкова О.И. Конструктивные методы оптимизации. Часть 3. Сетевые задачи. -Минск: изд-во "Университетское", 1986. 224 с.
16. ГабасоЕ Р., Кириллова Ф.М., Костюкова О.И., Ракецкий В.М. Конструктивные методы оптимизации. Часть 4. Выпуклые задачи. Минск: изд-во "Университетское", 1987. - 223 с.
17. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Костюкова О.И., Покатаев А. Конструктивные методы оптимизации. Часть 5. Нелинейные задачи. Минск.* изд-во "Университетское", 1991. - с.
18. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Математическая теория оптимального управления.//Итоги науки и техники. Математический анализ. М. 1977. - Т. 16. - С. 55-97.
19. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы линейного программирования. Часть I. Общие задачи. Минск: изд-во БГУ, 1977. - 176 с.
20. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы линейного программирования. Часть 2. Транспортные задачи. Минск: изд-во БГУ, 1978. - 240 с.
21. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы линейного программирования. Часть 3. Специальные задачи. Минск: изд-во БГУ, 1980. - 368 с.
22. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы оптимального управления //Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. M. 1976. - Т. 6. - С. 131-204.
23. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Оптимизация линейных систем.- Минск: изд-во БГУ, 1973. 243 с.
24. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Основы динамического программирования. Минск: изд-во БГУ, 1975. - 264 с.
25. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления.- М.: Наука, 1973. 256 с.
26. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Принцип максимума в теории оптимального управления. Минск: Наука и техника, 1974.- 272 с.
27. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Костюкова О.И. Решение линейно-квадратичных экстремальных задач У/ДАН СССР. -1985. Т. 280, № 3. - С. 529-533.
28. Гамкрелидзе Р.В. Основы оптимального управления. Тбилиси: изд-во Тбилисского университета, 1977. - 253 с.
29. Гневко C.B. Адаптивный метод оптимизации динамической системы со многими входами //Известия АН БССР, Серияфиз.-мат. наук. 1985. - № 5. - С. 26-32.
30. Дикусар В.В., Милютин A.A. Качественные и численные методы в принципе максимума. М.: Наука, 1989. - 143 с.
31. Демьянов В.Ф., Васильев Л.В. Недифференцируемая оптимизация. М.: Наука, 1981. - 384 с.
32. Дубовицкий А.Я., Милютин A.A. Задачи на экстремум при наличии ограничений //IBM и МФ. 1965. - Т. 5, № 3.С: 395-453.
33. Дубовицкий А.Я., Милютин A.A. Необходимые условия слабого экстремума в общей задаче оптимального управления.- М.: Наука, 1971. ИЗ с.
34. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М.: Наука, 1982.- 432 с.
35. Еремин И.И., Астафьев H.H. Введение в теорию линейногои выпуклого программирования. М.: Наука, 1976. - 191с.
36. Зеликин М.И., Борисов В.Ф. Поля оптимальных траекторий, содержащие особые экстремали второго порядка и экстремали с учащающимися переключениями // ДАН СССР, -1989.- Т. 304, № 5. С. 1050-1053.
37. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. - 495 с.
38. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач.- М.: Наука, 1974. 479 с.
39. Калман P.E. Об общей теории систем управления // Тр. I конгр. ИФАК. М.,1961. - Т.2. - С. 521-547.
40. Келли Г. Необходимое условие особых экстремалей, основанное на второй вариации // Ракетная техника и космонавтика. 1964. - № 8. - С.26-29.
41. Кирин Н.Е. Вычислительные методы теории оптимального управления. Л.: изд-во Ленингр. ун-та, 1968. - 143 с.
42. Констр уктивная теория экстремальных задач // Под ред. Габасова Р., Кирилловой Ф.М. Минск: изд-воУниверситетское", 1984. 204 с.
43. Костюкова О.И., Чернушевич A.C. Алгоритмы решения простой задачи квадратичного программирования, // Известия АН БССР. Сер. физ.-мат. наук.- 1985. № 3. - C.II4-II5.
44. Костюкова О.И. Конечный алгоритм оптимизации линейных нестационарных систем управления. Минск: 1988. - 36 с. (Препринт/ Ин-т математики АН БССР: № 35 (345)).
45. Копп Р., Мойер Г. Необходимые условия оптимальности особых экстремалей.// Ракетная техника и космонавтика.- 1965. № 8. - С. 84-91.
46. Красовский H.H. Теория оптимальных управляемых систем.- В кн.: Механика в СССР за 50 лет. М.: Наука, 1968.- Т. I. С. 179-244.
47. Красовский H.H. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. - 476 с.
48. Красовский H.H. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985. - 321 с.
49. Кротов В.f., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. М.: Наука, 1973. - 448 с.
50. Куржанский A S .Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977. - 392 с.
51. Летов A.M. Динамика полета и управление. М.: Наука, 1969. - 360 с.
52. Ли Э.Б., Маркус I. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972. - 576 с.
53. Михалевич B.C., Гупал A.M., НоркинВ.А. Методы невыпуклой оптимизации. М.: Наука, 1987. - 278 с.
54. Моисеев H.H. Численные методы в теории оптимальных систем. М.: Наука, 1971. - 424 с.
55. Мордухович Б.Ш. Методы аппроксимаций в задачах оптимизации и управления. М.: Наука, 1988. - 360 с.
56. Мороз А.И. Курс теории систем. М.: Высш. шк., 1987. -304 с.
57. Охоцимский Д.Б. К теории движения ракет.// ПММ. 1946.- Т. 9. Вып. 2. - С. 251-272.
58. Плотников В.Й., Сумин В.И. Оптимизация объектов с распределенными параметрами, описываемых системами Гурса-Дарбу.// IBM и МФ. 1972. - Т.12, Ш I. - С.
59. Полак Э. Численные методы оптимизации. М.: Мир, 1974.- 376 с.
60. Понтрягин 1.С. и др. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1976. - 392 с.
61. Программное обеспечение ЭВМ./ АН БССР. Ин-т математики.- Минск, 1983. Вып. 43. Адаптивная оптимизация/ Под редакцией Габасова Р., Кирилловой Ф.М., Сенько A.A. -239 с.
62. Пшеничный Б.Н. Метод линеаризации. М.: Наука, 1983.-136 с.
63. Пшеничный Б.Н., Данршн Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. М.: Наука, 1975. - 319 с.
64. Розоноэр Л.И. Принцип I.C. Понтрягина в теории оптимальных систем, П.// Автоматика и телемеханика. 1959.- Т. 20, Ш II. С. 1320-1331.
65. ТелеснинВ.Р. Об оптимизации переходных, искажений. //ДАН СССР, 1980. - Т. 253, 15, - С. 1055-1059.
66. Троицкий В.А. О вариационных задачах оптимизации процессов управления.// ПЙМ. 1962. - Т.26.- Вып I. - С. 29-38.
67. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978. - 488 с.
68. Федоров В.В. Численные методы максимина. М.: Наука, 1979. - 280 с.
69. Фельдбаум А. А. Оптимальные процессы в системах автоматического регулирования,// Автоматика и телемеханика. 1953. Т. 14, № 5. - С. 712-728.
70. Фуллер А.Т. Оптимизация релейных систем регулирования по различным критериям качества // Тр. I конгр. ИФАК. -М., 1961. Т. 2. - С. 584 -605.
71. Черноусько Ф.Л., Колмановский В.Б. Вычислительные и приближенные методы оптимального управления // Мат. анализ. (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР). М., 1977. - Т. 14. - С. I0I-I06.
72. Черноусько Ф.Л., Колмановский В.Б. Оптимальное управление при случайных возмущениях. М.: Наука, 1978. -351 с.
73. Чернушевич А.С. Минимизация квадратичных функционалов на траекториях линейной дискретной системы. Минск, 1986. - 21 с. - (Препринт. / Ин-т математики АН БССР, № 31 (267)).
74. Antosiewicz Н.А. Linear control systems // Arch. Rational Mech. and Anal., 1963, V.12.N.4, p.313-324.
75. Bell D.J., Jacobson D.H. Singular optimal control problems.- London New York - San -Francisco: Academic Press, 1975. - 190 p.
76. Berkovitz L.D. Variational methods in problems of control and programming.//J. Math. Anal, and Appl., 1961, v.3,N.l, p. 145-169.
77. Jnevko S.V. A numerical method for solving the linear time optimal control problem // Int. J. Control,1986, v.44, N. 1, p.251-258.
78. Halkin H. A maximum principle of the Pontryagin type for systems described by nonlinear difference equations. // SIAM J. Control, 1966, v.4, p. 90-iil.
79. Hestenes M.R. Calculus of Variations and Optimal Control theory. New Yorki John Wiley, 1966.
80. Hopkin A.M. A phase plane approach to the compensationof saturating servo-mechanisms // Trans. AIEE, v.70, N.3, 1951.
81. Kupka I. Geometric theory of extremals in optimal control problems: I The fold and Maxwell case // Trans. Amer. Math. Soc., 1987, v.299, N.i, p.225-243.
82. La Salle J.P. The time optimal control problem. Contributions to the theory of nonlinear ossi1lations. Princeton Univ. Press. Princeton New Jersey, 1960.
83. Marchal C. Chattering Arcs and Chattering Controls // JOTA, 1973, v.11, p.441-467.
84. Neustadt L.W. An abstract variational theory with applications to a broad class of optimization problems I. General theory // J. SIAM Control, v.4, N.3, 1966, p.505-527.
85. Neustadt L.W. An abstract variational theory with applications to a broad class of optimization problems II. Applications // J. SIAM Control, v.5, N.l, 1967, p.90-137.
86. Robbins H. Junction Phenomena for Optimal Control with State-Variable Ineguality Constraints of Third Order // JOTA, 1980, v.31, N.l, P.85-99.
87. Давранов Б.Э. Необходимые условия оптимальности в одной линейно-квадратичной задаче оптимального управления // Тезисы докл. УН Всесоюзя. конф. "Управление в механических системах". Свердловск. - 1990. - С. 12.
88. Давранов Б.Э. Об одной проблеме, возникающей при решении задачи минимизации среднеквадратичной ошибки.В сб. "Вопросы аналитической и качественной теории дифференциальных уравнений и их приложения", Труды СамГУ. - 1991. - С. 62-70.
89. Давранов Б.Э. Одна задача оптимального управления колебательным движением // Тезисы докл. Респ. конф. молодых ученых и специалистов "Применение информатики и вычислительной техники при решении народнохозяйственных задач". Минск. - 1989. - С. 65.
90. Давранов Б.Э. Оптимизация линейных динамических систем по квадратичному критерию качества в классе релейных управлений // ДАН УзССР. 1990. - № 12. - С. 7-9.