Минимизация квадратичных функционалов уклонения траекторий линейных динамических систем управления тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Давранов, Ботир Эврисович АВТОР
кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
Самарканд МЕСТО ЗАЩИТЫ
1992 ГОД ЗАЩИТЫ
   
01.01.02 КОД ВАК РФ
Диссертация по математике на тему «Минимизация квадратичных функционалов уклонения траекторий линейных динамических систем управления»
 
 
Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Давранов, Ботир Эврисович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ В

КЛАССЕ РЕЛЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ

§ I. Управляемость динамической системы в классе релейных функций

§ 2. Постановка задачи

§ 3. Опора

§ 4. Необходимые условия оптимальности

§ 5. Пример.

ГЛАВА П. ОПТИМИЗАЦИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ В КЛАССЕ

МНОГОМЕРНЫХ РЕЛЕЙНЫХ УПРАВЛЕНИЙ

§ б. Оптимальное управление динамическими системами со многими входами

§ 7. Задача оптимального управления с терминальными ограничениями интервального типа

ГЛАВА Ш. ЛИНЕЙНО-КВАДРАТИЧНАЯ.ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО

УПРАВЛЕНИЯ . ИЗ

§ 8. Минимизация среднеквадратичной ошибки на траекториях линейной динамической системы управления. ИЗ

§ 9. Управляемость гамильтониана в задаче оптимизации динамической системы по квадратичному критерию качества

§ 10. Экстремальная управляемость в задаче оптимизации динамической системы по интегральному квадратичному функционалу от траектории

 
Введение диссертация по математике, на тему "Минимизация квадратичных функционалов уклонения траекторий линейных динамических систем управления"

Теория оптимального управления возникла в середине 50-х годов в ответ на задачи, поставленные развитием новой техники. Инженеры по механике полета, по теории автоматического регулирования в 40 - 50-е годы при разработке новой техники столкнулись с задачами вариационного типа, которые не поддавались исследованию методами классического вариационного исчисления [57,69,80] .

Анализ результатов, полученных инженерами при решении частных экстремальных задач нового типа, привел группу математиков во главе с академиком Л.С.Понтрягиным к постановке нового класса задач вариационного типа, названных неклассическими задачами вариационного исчисления.

В отличие от вариационного исчисления в новых моделях выделялись две группы переменных - переменные состояния и переменные управления, из которых вторая группа была принципиально новой в вариационном исчислении и выбиралась из весьма широкого класса функций (измеримых, кусочно-непрерывных, кусочно-постоянных и т.п.), принимающих значения из произвольных, в частности, замкнутых множеств.

Основным результатом теории оптимального управления (так стала называться теория неклассических задач вариационного исчисления) признан принцип максимума Л.С.Понтрягина, с помощью которого удалось в изящной и удобной форме записать необходимые условия оптимальности для весьма широкого круга задач. При этом существенную роль сыграл выбор допустимых управлений из достаточно широкого класса функций. С сутью нового результата, с его обобщениями и приложениями можно ознакомиться по работам [1,10,26,28,40,45,58, 60,64,66,74,75,78, 84,85] .

В теории оптимального управления были предложены и другие подходы: метод динамического программирования Р.Беллмана [3,24] , метод Н.Н.Красовского [47,48] , метод А.Я.Ду-бовицкого - А.А.Милютина (32,ЗЗJ и другие [18,22,37, 46,49-52,] . На базе предложенных методов разработаны разнообразные численные алгоритмы. С состоянием этого вопроса можно ознакомиться по работам [ 2,9,11, 31,34,35,38, 41,53-55, 59,62,63,67,68, 71,72 ] .

Диссертация выполнена на Минском семинаре по конструктивной теории оптимального управления и развивает подход, предложенный в работах (4,13-17,19-21,27,29,42-44,61,73] .

Целью работы является исследование задач оптимального управления в новом классе допустимых управлений, названных для краткости, релейными.

Основной конструкцией работы служит опора, которая обобщает соответствующие понятия, введенных для более простых классов допустимых управлений.

Опора в теории оптимального управления впервые введена в ^14] для линейных задач. Она явилась обобщением опоры, предложенной ранее в [ 19-21] для решения задачи линейного программирования. Будучи тесно связанной как с фундаментальным свойством динамических систем - управляемостью, так и с сопряженной системой, опора оказалась удобным аппаратом при получении аналитических и конструктивных результатов [29, 42,43,61^ • Впоследствие опора была перенесена на различные ь типы линейных задач оптимального управления [15,44] , линейно-квадратичные задачи оптимального управления [4,16,27. 73 j , нелинейные задачи [17] , негладкие задачи [16,17].

При всех указанных обобщениях класс допустимых управлений состоял или из импульсных, или из кусочно-постоянных, или из кусочно-непрерывных управлений. Первый класс допустимых управлений ведет к дискретным системам, второй и третий классы характерны для непрерывных систем.

История развития теории оптимального управления показывает, что для многих прикладных задач оптимального управления достаточны классы кусочно-постоянных, кусочно-непрерывных управлений (т.е. в них оптимальное управление реализуется на функциях из этих классов).

В последние годы усилился интерес к задачам оптимального управления, в которых решения достигаются на функциях с учащающимися точками переключений [5,8,65,83] . Первый пример линейно-квадратичной задачи с подобным решением был построен еще в 1960 г. А.Т.Фуллером • Последние результаты в этом направлении [6,7,36,81] показывают, что режимы Фул-лера достаточно типичны в теории оптимального управления. Другой пример, уже линейной по состоянию задачи (с фазовыми ограничениями), в которой оптимальное управление реализуется в виде режима Фуллера, построен в работе Г.М.Роббинса [86 ] . А.А.Милютин подробно исследует режимы Фуллера в [30] , и показывает, что они достаточно типичны и в полностью линейных задачах.

Численное решение задач оптимального управления, в которых встречаются режимы Фуллера, сопряжено с большими трудноетями. Пока не предложены и практические способы реализации таких режимов, ибо реальные технические устройства имеют конечный предел частоты переключений. В этой ситуации естественным на нащ взгляд является другой подход исследования задач оптимального управления, в которых возможны режимы Фул-лера. А именно, следует ввести такой класс допустимых управлений, элементы которого в принципе реализуемы на технических устройствах. Другими словами, следует наложить ограничения снизу на расстояния между соседними точками переключений. Именно такой подход принят в данной работе.

Новый тип ограничений на допустимые управления, отражающий реально существующие ограничения практических управлений, ранее в теории оптимального управления не исследовался. Эти ограничения, как и ограничения, связанные с инерционностью реальных управлений, существенно усложняют задачу оптимального управления. Для исследования упомянутых ограничений в работе, как указано выше, развивается конструктивный подход, предложенный в работах [ 13-17,27]

Видимо, новые задачи можно исследовать и качественными методами [12,47,60] , но эта цель в работе не ставилась, ибо предполагалось, что полученные результаты будут впослед-ствие использованы для создания специальных численных методов в духе работ [29,42-44,61,73] .

Ситуация, аналогичная той, что исследуется в диссертации, встречалась и раньше. Известно, что существуют простые примеры, в которых оптимальное управление не реализуется даже в классе измеримых функций. Речь идет о так называемых скользящих режимах. Появление скользящих режимов в математических задачах оптимального управления можно связать с тем, что в принятой идеализации реально доступных управлений не учитывается их инерционность. Другими словами, каждое практическое управление может изменять свои значения с ограниченной скоростью. Если учесть это свойство реальных управлений и ввести в задачу оптимального управления ограничения на скорость изменения значений управления ), то в новом классе (инерционных, абсолютно-непрерывных) допустимых управлений задача оптимального управления всегда будет иметь решение. Однако переход к инерционным управлениям резко усложняет исследование задачи оптимального управления из-за появления фазовых ограничений. Примеры, приведенные в работах Г.М.Роббинса и А.А.Милютина, показывают, что изложенный подход гарантирует существование теоретического результата, но не гарантирует реализуемость результата на практике.

В диссертации в отличие от свойства инерционности используется другое характерное для реальных управлений свойство. И как показано в работе, этот подход приводит к практически реали зуемым ре зультатам.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитированной литературы. Она занимает объем 150 стр. машинописного текста.

 
Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Давранов, Ботир Эврисович, Самарканд

1. Алексеев В.M., Тихомиров В.M., Фомин C.B. Оптимальное управление. - М.: Наука, 1979. - 429 с.

2. Атанс М., Фалб П. Оптимальное управление. М.: Машиностроение, 1968. - 764 с.

3. Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования. М.: Наука, 1965. - 458 с.

4. Биби М., Костюкова О.И. Оптимизация линейной системы управления по квадратичному терминальному критерию качества. //ДАН БССР. 1986. - Т. 30, № I. - С. 16-19.

5. Берщанский Я.М. Сопряжение особых и неособых участков оптимального управления.//Автоматика и телемеханика. -1979. № 3. - С. 5-И.

6. Борисов В.Ф. Построение оптимального синтеза при наличии четтеринг-режима.//ДАН СССР. 1988. - Т. 302, № 4.С. 785-789.

7. Борисов В.Ф., Зеликин М.И. Режими с учащающимися переключениями в задаче управления роботом.//ПММ. 1988. -Т. 52. - Вып. 6. - С. 939-946.

8. Борщевский М.З., Иослович И.В. К задаче оптимального по быстродействию торможения вращения осесимметричного твердого тела около центра масс.//ПММ. 1985. - Т. 49.-Вып. I. - С. 35-42.

9. Брайсон А., Хо Ю-ши. Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир, 1972. - 544 с.

10. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1975, - 568 с.

11. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1980. - 520 с.

12. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1971. - 508 с.

13. Габасов Р., Кириллова Ф.М, Тятюшкин А.И. Конструктивные методы оптимизации. Часть I. Линейные задачи. Минск: изд-во "Университетское", 1984. - 214 с.

14. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Конструктивные методы оптимизации. Часть 2. Задачи управления. Минск: изд-во "Университетское", 1984. - 207 с.

15. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Костюкова О.И. Конструктивные методы оптимизации. Часть 3. Сетевые задачи. -Минск: изд-во "Университетское", 1986. 224 с.

16. ГабасоЕ Р., Кириллова Ф.М., Костюкова О.И., Ракецкий В.М. Конструктивные методы оптимизации. Часть 4. Выпуклые задачи. Минск: изд-во "Университетское", 1987. - 223 с.

17. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Костюкова О.И., Покатаев А. Конструктивные методы оптимизации. Часть 5. Нелинейные задачи. Минск.* изд-во "Университетское", 1991. - с.

18. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Математическая теория оптимального управления.//Итоги науки и техники. Математический анализ. М. 1977. - Т. 16. - С. 55-97.

19. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы линейного программирования. Часть I. Общие задачи. Минск: изд-во БГУ, 1977. - 176 с.

20. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы линейного программирования. Часть 2. Транспортные задачи. Минск: изд-во БГУ, 1978. - 240 с.

21. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы линейного программирования. Часть 3. Специальные задачи. Минск: изд-во БГУ, 1980. - 368 с.

22. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы оптимального управления //Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. M. 1976. - Т. 6. - С. 131-204.

23. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Оптимизация линейных систем.- Минск: изд-во БГУ, 1973. 243 с.

24. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Основы динамического программирования. Минск: изд-во БГУ, 1975. - 264 с.

25. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления.- М.: Наука, 1973. 256 с.

26. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Принцип максимума в теории оптимального управления. Минск: Наука и техника, 1974.- 272 с.

27. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Костюкова О.И. Решение линейно-квадратичных экстремальных задач У/ДАН СССР. -1985. Т. 280, № 3. - С. 529-533.

28. Гамкрелидзе Р.В. Основы оптимального управления. Тбилиси: изд-во Тбилисского университета, 1977. - 253 с.

29. Гневко C.B. Адаптивный метод оптимизации динамической системы со многими входами //Известия АН БССР, Серияфиз.-мат. наук. 1985. - № 5. - С. 26-32.

30. Дикусар В.В., Милютин A.A. Качественные и численные методы в принципе максимума. М.: Наука, 1989. - 143 с.

31. Демьянов В.Ф., Васильев Л.В. Недифференцируемая оптимизация. М.: Наука, 1981. - 384 с.

32. Дубовицкий А.Я., Милютин A.A. Задачи на экстремум при наличии ограничений //IBM и МФ. 1965. - Т. 5, № 3.С: 395-453.

33. Дубовицкий А.Я., Милютин A.A. Необходимые условия слабого экстремума в общей задаче оптимального управления.- М.: Наука, 1971. ИЗ с.

34. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М.: Наука, 1982.- 432 с.

35. Еремин И.И., Астафьев H.H. Введение в теорию линейногои выпуклого программирования. М.: Наука, 1976. - 191с.

36. Зеликин М.И., Борисов В.Ф. Поля оптимальных траекторий, содержащие особые экстремали второго порядка и экстремали с учащающимися переключениями // ДАН СССР, -1989.- Т. 304, № 5. С. 1050-1053.

37. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. - 495 с.

38. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач.- М.: Наука, 1974. 479 с.

39. Калман P.E. Об общей теории систем управления // Тр. I конгр. ИФАК. М.,1961. - Т.2. - С. 521-547.

40. Келли Г. Необходимое условие особых экстремалей, основанное на второй вариации // Ракетная техника и космонавтика. 1964. - № 8. - С.26-29.

41. Кирин Н.Е. Вычислительные методы теории оптимального управления. Л.: изд-во Ленингр. ун-та, 1968. - 143 с.

42. Констр уктивная теория экстремальных задач // Под ред. Габасова Р., Кирилловой Ф.М. Минск: изд-воУниверситетское", 1984. 204 с.

43. Костюкова О.И., Чернушевич A.C. Алгоритмы решения простой задачи квадратичного программирования, // Известия АН БССР. Сер. физ.-мат. наук.- 1985. № 3. - C.II4-II5.

44. Костюкова О.И. Конечный алгоритм оптимизации линейных нестационарных систем управления. Минск: 1988. - 36 с. (Препринт/ Ин-т математики АН БССР: № 35 (345)).

45. Копп Р., Мойер Г. Необходимые условия оптимальности особых экстремалей.// Ракетная техника и космонавтика.- 1965. № 8. - С. 84-91.

46. Красовский H.H. Теория оптимальных управляемых систем.- В кн.: Механика в СССР за 50 лет. М.: Наука, 1968.- Т. I. С. 179-244.

47. Красовский H.H. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. - 476 с.

48. Красовский H.H. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985. - 321 с.

49. Кротов В.f., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. М.: Наука, 1973. - 448 с.

50. Куржанский A S .Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977. - 392 с.

51. Летов A.M. Динамика полета и управление. М.: Наука, 1969. - 360 с.

52. Ли Э.Б., Маркус I. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972. - 576 с.

53. Михалевич B.C., Гупал A.M., НоркинВ.А. Методы невыпуклой оптимизации. М.: Наука, 1987. - 278 с.

54. Моисеев H.H. Численные методы в теории оптимальных систем. М.: Наука, 1971. - 424 с.

55. Мордухович Б.Ш. Методы аппроксимаций в задачах оптимизации и управления. М.: Наука, 1988. - 360 с.

56. Мороз А.И. Курс теории систем. М.: Высш. шк., 1987. -304 с.

57. Охоцимский Д.Б. К теории движения ракет.// ПММ. 1946.- Т. 9. Вып. 2. - С. 251-272.

58. Плотников В.Й., Сумин В.И. Оптимизация объектов с распределенными параметрами, описываемых системами Гурса-Дарбу.// IBM и МФ. 1972. - Т.12, Ш I. - С.

59. Полак Э. Численные методы оптимизации. М.: Мир, 1974.- 376 с.

60. Понтрягин 1.С. и др. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1976. - 392 с.

61. Программное обеспечение ЭВМ./ АН БССР. Ин-т математики.- Минск, 1983. Вып. 43. Адаптивная оптимизация/ Под редакцией Габасова Р., Кирилловой Ф.М., Сенько A.A. -239 с.

62. Пшеничный Б.Н. Метод линеаризации. М.: Наука, 1983.-136 с.

63. Пшеничный Б.Н., Данршн Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. М.: Наука, 1975. - 319 с.

64. Розоноэр Л.И. Принцип I.C. Понтрягина в теории оптимальных систем, П.// Автоматика и телемеханика. 1959.- Т. 20, Ш II. С. 1320-1331.

65. ТелеснинВ.Р. Об оптимизации переходных, искажений. //ДАН СССР, 1980. - Т. 253, 15, - С. 1055-1059.

66. Троицкий В.А. О вариационных задачах оптимизации процессов управления.// ПЙМ. 1962. - Т.26.- Вып I. - С. 29-38.

67. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978. - 488 с.

68. Федоров В.В. Численные методы максимина. М.: Наука, 1979. - 280 с.

69. Фельдбаум А. А. Оптимальные процессы в системах автоматического регулирования,// Автоматика и телемеханика. 1953. Т. 14, № 5. - С. 712-728.

70. Фуллер А.Т. Оптимизация релейных систем регулирования по различным критериям качества // Тр. I конгр. ИФАК. -М., 1961. Т. 2. - С. 584 -605.

71. Черноусько Ф.Л., Колмановский В.Б. Вычислительные и приближенные методы оптимального управления // Мат. анализ. (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР). М., 1977. - Т. 14. - С. I0I-I06.

72. Черноусько Ф.Л., Колмановский В.Б. Оптимальное управление при случайных возмущениях. М.: Наука, 1978. -351 с.

73. Чернушевич А.С. Минимизация квадратичных функционалов на траекториях линейной дискретной системы. Минск, 1986. - 21 с. - (Препринт. / Ин-т математики АН БССР, № 31 (267)).

74. Antosiewicz Н.А. Linear control systems // Arch. Rational Mech. and Anal., 1963, V.12.N.4, p.313-324.

75. Bell D.J., Jacobson D.H. Singular optimal control problems.- London New York - San -Francisco: Academic Press, 1975. - 190 p.

76. Berkovitz L.D. Variational methods in problems of control and programming.//J. Math. Anal, and Appl., 1961, v.3,N.l, p. 145-169.

77. Jnevko S.V. A numerical method for solving the linear time optimal control problem // Int. J. Control,1986, v.44, N. 1, p.251-258.

78. Halkin H. A maximum principle of the Pontryagin type for systems described by nonlinear difference equations. // SIAM J. Control, 1966, v.4, p. 90-iil.

79. Hestenes M.R. Calculus of Variations and Optimal Control theory. New Yorki John Wiley, 1966.

80. Hopkin A.M. A phase plane approach to the compensationof saturating servo-mechanisms // Trans. AIEE, v.70, N.3, 1951.

81. Kupka I. Geometric theory of extremals in optimal control problems: I The fold and Maxwell case // Trans. Amer. Math. Soc., 1987, v.299, N.i, p.225-243.

82. La Salle J.P. The time optimal control problem. Contributions to the theory of nonlinear ossi1lations. Princeton Univ. Press. Princeton New Jersey, 1960.

83. Marchal C. Chattering Arcs and Chattering Controls // JOTA, 1973, v.11, p.441-467.

84. Neustadt L.W. An abstract variational theory with applications to a broad class of optimization problems I. General theory // J. SIAM Control, v.4, N.3, 1966, p.505-527.

85. Neustadt L.W. An abstract variational theory with applications to a broad class of optimization problems II. Applications // J. SIAM Control, v.5, N.l, 1967, p.90-137.

86. Robbins H. Junction Phenomena for Optimal Control with State-Variable Ineguality Constraints of Third Order // JOTA, 1980, v.31, N.l, P.85-99.

87. Давранов Б.Э. Необходимые условия оптимальности в одной линейно-квадратичной задаче оптимального управления // Тезисы докл. УН Всесоюзя. конф. "Управление в механических системах". Свердловск. - 1990. - С. 12.

88. Давранов Б.Э. Об одной проблеме, возникающей при решении задачи минимизации среднеквадратичной ошибки.В сб. "Вопросы аналитической и качественной теории дифференциальных уравнений и их приложения", Труды СамГУ. - 1991. - С. 62-70.

89. Давранов Б.Э. Одна задача оптимального управления колебательным движением // Тезисы докл. Респ. конф. молодых ученых и специалистов "Применение информатики и вычислительной техники при решении народнохозяйственных задач". Минск. - 1989. - С. 65.

90. Давранов Б.Э. Оптимизация линейных динамических систем по квадратичному критерию качества в классе релейных управлений // ДАН УзССР. 1990. - № 12. - С. 7-9.