Минимизация влияния шумов в устройствах джозефсоновской электроники тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

На правах рукописи

Панкратов Андрей Леонидович

МИНИМИЗАЦИЯ ВЛИЯНИЯ ШУМОВ В УСТРОЙСТВАХ ДЖОЗЕФСОНОВСКОЙ ЭЛЕКТРОНИКИ

Специальность 01.04.03 - радиофизика Специальность 05.27.01 - твердотельная электроника, радиоэлектронные компоненты, микро- и наноэлектроника, приборы на квантовых эффектах

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

о 9 ДПР 7009

Нижний Новгород — 2009

003466425

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте физики микроструктур РАН

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор А. И. Саичев

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор М.Ю. Куприянов НИИЯФ МГУ, Москва

Заслуженный деятель науки РФ, доктор физико-математических наук, профессор В.Н. Белых ВГАВТ, Нижний Новгород

Заслуженный деятель науки РФ, доктор физико-математических наук, профессор В.Я. Демиховский ННГУ, Нижний Новгород

Ведущая организация: Саратовский государственный

университет

Защита состоится 29 апреля 2009 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 212.166.07 в (603950, Нижний Новгород).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Нижегородского го сударственного университета, Нижний Новгород.

Автореферат диссертации разослан 20 марта 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.166.07 кандидат физико-математических наук, доцент В. В. Черепенников

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. После предсказания и экспериментального об-аружения эффекта Джозефсона, устройства на основе этого эффекта, лагодаря своим рекордным характеристикам, а также компактности и райне малому энергопотреблению, нашли широкое применение в раз-ичных областях физики и техники [1]. В настоящее время сверхнрово-ящие квантовые интерферометры (СКВИДы) [2] являются наиболее увствительными датчиками магнитного потока и используются как ля измерения биополей человека, так и для неразрушающего контроля азличиых конструкций. Устройства быстрой одноквантовой (БОК) ло-ики [3] являются основой сверхбыстродействующих цифро-аналоговых

аналого-цифровых преобразователей и цифровых СКВИДов. Также стройства БОК логики рассматриваются в качестве наиболее персиек-'ивного кандидата для создания петафлоп1 компьютера [4] благодаря ысоким рабочим частотам элементов БОК логики, близким к 1 ТГц. олее того, и СКВИДы и БОК устройства могут быть использованы I для реализации кубитов - элементов квантовых компьютеров, и для писания макроскопического квантового поведения, например при со-дании считывающей электроники для квантовых вычислений [5]. Джо-ефсоновские генераторы используются в качестве гетеродинов сверх-роводящих интегральных приемников для радиоастрономических и кологических измерений [6].

Как известно [1], из-за высокой чувствительности джозефсоновских 1ереходов к электромагнитному полю, на их свойства значительное лияние оказывают флуктуации. Из-за этого большую часть наблюдаешь явлений нельзя объяснить без учета стохастических, иногда очень •ложных процессов в переходах. Флуктуации приводят к ограничению 1увствительности СКВИДов, к сбоям в работе логических устройств и ширению спектральной линии генераторов. Поэтому разработка теоре-'ического описания, помогающего более полному пониманию природы луктуационных явлений в устройствах джозефсоновской электрони-и, и позволяющего минимизировать влияние флуктуаций, является )ажной как с фундаментальной, так и с прикладной точек зрения.

'петафлоп (рЫайор) - 1015 операций с плавающей точкой в секунду, и настоящее ¡ремя благодаря прогрессу в полупроводниковых технологиях уже создано несколько суперкомпьютеров, имеющих производительность около 1 петафлоп.

В большинстве практически интересных случаев, случайные процессы, происходящие в джозефсоиовских контактах, могут быть описаны в рамках модели марковского процесса, или же нескольких марковских процессов. При этом наибольший интерес с прикладной точки зрсни представляют контакты с большим затуханием (малой емкостью), т.к. такие устройства имеют малое время отклика. Тем не менее, даже модель одномерного марковского процесса является достаточно сложной для анализа. Непрерывный марковский процесс описывается динамическим уравнением с шумовым источником (уравнением Лапжевепа):

в,х{£) _ йЦ{х^) ЛЬ ~ кЛх + которое в своей физической интерпретации соответствует броуновскому движению в пределе большой вязкости. Случайный процесс является белым гауссовым шумом, (£(£)) = 0, + т)) = 05(т),

V = 2кТ/Н - интенсивность шума, 17(х) - потенциальный профиль, к - постоянная Больцмана, Т - температура и к - вязкость.

Плотность вероятности переходов непрерывного марковского процесса удовлетворяет уравнению в частных производных, называемому уравнением Фоккера-Планка (УФП), которое удобно представит!, в безразмерной форме:

д\¥(х,1) дв(х,Ь) _ 1 Г 8

дЬ дх В \ дх

■И:

ах

где С(х,£) - поток вероятности, В~2/Б и и{х)=2и(х)/кО=и{х)/кТ -безразмерный потенциальный профиль. Нестационарное решение УФП известно аналитически только для нескольких частных случаев потенциальных профилей. Вот почему наиболее простым и распространенным путем анализа переходных диффузионных процессов является приближенное получение временных характеристик.

Не ограничиваясь рассмотрением стохастической динамики джозефсоиовских устройств, следует отметить, что исследование временных масштабов переходных процессов в различных мультистабиль-ных системах, находящихся под действием шумов, также является крайне важной задачей в физике (например, в полупроводниковой электронике [7], [8], при исследовании поведения магнитного момента ферромагнитных частиц [9], в системах фазовой синхронизации [10],

ри описании распространения электромагнитных волн в случайно-1еоднородных средах [11]), химии и биологии.

Первой иностранной работой, посвященной проблеме нахождения ремен индуцированных шумом переходов в нелинейных системах, бы-ча работа Крамерса [12|. Крамере использовал УФП для получения фиближенных выражений времен перехода. Работа [12] стимулирова-а исследования, направленные на вычисление скоростей переходов в азличных системах, находящихся под шумовым воздействием.

Рассмотрим потенциальный профиль II(х) (Рис. 1), описывающий метастабильное состояние. В начальный момент времени броуновская частица находится в потенциальном минимуме между точками х\ и Х2- Из-за флуктуациопного воздействия, броуновская частица через некоторое время перескочит через потенциальный барьер, имеющий высоту АС/. Необходимо найти среднее время распада метастабильно-го состояния. Основной идеей метода Крамерса является предположение, что поток вероятности через потенциальный барьер мал, и, таким образом, постоянен. Это условие применимо лишь если потенциальный барьер достаточно высок но сравнению с интенсивностью шума. При этом Крамерсом было получено следующее выражение для

времени перехода через барьер: т = ., еАи/кт, где

у и \Zmin)\и \Хтах)\ Ди = и{хтах) — и(хтгП), а и" - крутизна потенциального профиля в

точке экстремума.

Для получения точных временных характеристик необходимо знать точное нестационарное решение УФП (2), что является основной трудностью исследования переходных диффузионных процессов. Отметим, что общеупотребимо несколько различных временных характеристик, определенных разным образом ([7] и [8]), например время распада ме-тастабильного состояния или время релаксации к стационарному состоянию. Часто используется метод собственных функций [8], когда требуемый временной масштаб (время релаксации) предполагается равным обратному минимальному ненулевому собственному числу. Однако, с помощью этого метода удалось найти искомые временные характеристики, справедливые при любой высоте потенциального барьера, лишь для некоторых простейших моделей потенциальных профилей [7],[8]. Для произвольных потенциальных профилей собственные функции УФП неизвестны. Но даже для тех модельных случаев нелинейных систем, где представляется возможным найти собственные функции, вычисление соответствующих собственных чисел для произвольной интенсивности шума является практически безнадежным делом: аналитически эту задачу удается решить лишь в пределе малого шума. Например, кусочно-параболический потенциальный профиль рассматривался в работах авторов Larson, Kostin и Blomberg. Однако, использованный метод разложения по собственным функциям не позволил найти решение для произвольной высоты потенциального барьера; полученные приближенные решения и поправки относятся к высоким потенциальным барьерам. Кроме того, этот метод не применим для случая больших интенсивностей шума, поскольку тогда высшие собственные числа также должны быть приняты во внимание.

Для одномерной диффузионной динамики, описываемой УФП (2), могут быть вычислены точно, т.е. для произвольной интенсивности шума, моменты времени первого достижения (ВПД) границы [13]. Но при использовании подхода ВПД, должны быть дополнительно введены поглощающие границы. Однако, большинство прикладных задач описываются гладкими потенциальными профилями и не имеют поглощающих границ, поэтому моменты ВПД могут дать неадекватные значения временных масштабов в таких случаях.

Цели работы:

разработать подходы для получения моментов времени перехода в слинейных динамических системах с шумами, описываемых одномер-ым уравнением Фоккера-Планка, а также характерных временных 1асштабов эволюции различных средних;

ировести анализ влияния тепловых флуктуации на временные и снек-ральные характеристики джозефсоновских контактов и устройств па х основе, таких, как СВЧ СКВИДы и устройства быстрой однокван-'овой логики, а также СВЧ генераторы;

- разработать асимптотические подходы, а также провести численный нализ с целью выработки рекомендаций по минимизации влияния шу-юв и флуктуаций на указанные устройства в случае, когда анализ резных устройств в рамках уравнения Фоккера-Планка не нредставля-тся возможным.

Научная новизна работы состоит в следующем:

I. Предложено определение моментов времени перехода в нелинейных динамических системах с шумами, являющееся обобщением моментов времени первого достижения на случай произвольных граничных условий. Получены квадратурные формулы для этих моментов. Получены квадратурные формулы для характерных временных масштабов эволюции различных средних (математическое ожидание, дисперсия, функция корреляции и др.).

II. Обнаружен эффект подавления шума в нелинейных системах, подверженных влиянию внешнего периодического воздействия и широкополосного шума. Показано, что если периодическое воздействие превышает статическое пороговое значение, то при оптимальном выборе параметров системы шум может быть эффективно подавлен, что проявляется как в слабой зависимости среднего времени перехода между состояниями системы от интенсивности шума и наличии минимума среднеквадратического отклонения, так и в резонансном поведении отношения сигнал/шум как функции частоты воздействующего сигнала.

III. Явление подавления шума в нелинейных системах при внешнем периодическом воздействии и широкополосном шуме, изучено для моделей точечного джозефсоновского контакта и гистерезисного

СВЧ СКВИДа. Показано, что и среднее время переключения и среднеквадратическое отклонение имеют минимумы как функции частоты сигнала. Кроме того, отношение сигнал-шум имеет максимум при определенной частоте накачки СКВИДа, рапной примерно 1 /3 характерной частоты СКВИДа.

IV. Аналитически и численно исследовано среднее время индуцированных шумом переключений длинного джозефсоновского контакта. Предложен эффективный способ оценки степени равномерности распределения тока смещения.

V. Исследованы корреляционные и спектральные характеристики черенковского генератора, основанного на когерентном излучении квантов магнитного потока в длинном джозефсоновском контакте, связанном с замедляющей волноведущей системой. Показано, что выходная мощность имеет максимум, а ширина линии имеет минимум как функции управляющего тока.

VI. Исследованы спектрально-корреляционные свойства генератора бегущих волн (ГБВ), основанного на однонаправленном движении квантов магнитного потока в длинном джозефсоновском контакте. Найдены аналитические выражения для ширины и формы спектральной линии. Сравнение с экспериментальными данными и результатами численного моделирования показывает хорошее совпадение с теоретической формулой для ширины линии ГБВ. Обнаружено, что в зависимости от длины несмещенного края ГБВ, мощность излучения может быть максимизирована, а ширина линии минимизирована в широкой области токов смещения.

Практическая значимость работы. Результаты диссертации могут быть использованы при проектировании устройств джозефсононской электроники как в научно-исследовательских учреждениях, например в ИРЭ РАН и НИИЯФ МГУ (г. Москва), так и в организациях, занимающихся разработкой и созданием джозефсоновских систем.

Положения, выносимые на защиту.

I. Метод получения точных значений моментов времени перехода и характерных временных масштабов эволюции статистических характеристик броуновской диффузии в произвольных потенциальных профилях.

II. Обнаружение эффекта подавления шума в нелинейных динамических системах, подверженных влиянию внешнего периодического воздействия и широкополосного шума и использование данного эффекта для минимизации влияния шумов в СВЧ гистерезисных СКВИДах и устройствах быстрой одноквантовой логики.

III. Предложен эффективный способ оценки степени равномерности распределения тока смещения длинных джозефсоновских контактов.

IV. Развита количественная теория оценки влияния тепловых флук-туаций на спектральные характеристики джозефсоновских генераторов бегущих волн.

Публикации и апробация результатов работы. Результаты диссер-

"ации отражены в 70 публикациях. Основные результаты диссертацион-шй работы опубликованы в 33 статьях в научных журналах, рекомен-ованных ВАК, включая обзор в журнале Advances in Chemical Physics, статьях в научно-технических сборниках, а также в 31 тезисах докла-ов конференций.

Результаты диссертационной работы докладывались: на конферен-ии "Noise in Physical Systems and 1/f Fluctuations" (Сант-Луис, США, 993), на международной школе-семинаре "Dynamic & Stochastic Wave henomena" (Нижний Новгород - Москва, Россия, 1994), на конфе-енции "Fluctuation Phenomena in Physical Systems" (Паланга, Лит-a, 1994), на конференциях по сверхпроводниковой электронике ISEC Нагойя, Япония, 1995 и Берлин, Германия, 1997), на конференциях о нелинейной динамике (ICND'96, Саратов, Россия, 1996 и ANDM'97, ан-Диего, США, 1997), на конференциях по прикладной сверхпрово-имости ASC (Palm Springs Desert, США, 1998 и Jacksonville, США, 004), на конференциях EURESCO (Маратэа, Италия, 2000 и Поммер-фельден, Германия, 2002), на международной конференции "Frontiers п Nonlinear Physics" (Нижний Новгород, Россия, 2001), на конфе-енции по прикладной сверхпроводимости EUCAS (Люнгбю, Дания, 001; Сорренто, Италия, 2003 и Брюссель, Бельгия, 2007), на кон-еренциях "Diffusion and Relaxation in Disordered Fractal Systems" (Дублин, Ирландия, 2002), SYNCHRO'02 (Саратов, Россия, 2002), 'Nanoscale Superconductivity and Magnetism 2006" (Левен, Бельгия,

2006), "Constructive role of noise in complex systems" (Дрезден, Германия, 2006), а также на семинарах Института Физики Микроструктур РАН и кафедры бионики и статистической радиофизики ННГУ.

Личный вклад соискателя. В статьях [14,19,21] соискатель выполнял теоретические исследования, в статьях [2,5,22,25,26,28,31,33] вклад соискателя эквивалентен вкладу соавторов. В остальных работах все основные результаты получены соискателем лично.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, приложения и списка цитируемой литературы. Общий объем работы - 259 страниц, включая 221 страницу основного текста, 91 рисунок и список литературы из 197 ссылок.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждается актуальность исследования флуктуацион-ных характеристик джозефсоновских систем и проблема описания эволюции различных статистических характеристик нелинейных динамических систем, в соответствии с чем определяются цели работы, дается ее общая характеристика и кратко излагается ее содержание.

В первой главе дан подробный обзор современного состояния проблемы определения временных характеристик диффузионного движения в потенциальных полях. Обсуждаются метод Крамерса, нахождение минимального ненулевого собственного числа как обратного времени релаксации, моменты времени первого достижения границы, методы, связанные с определением характерного временного масштаба как интегрального времени релаксации.

Во второй главе предложено обобщение аппарата моментов време-

ни первого достижения границы на случай произвольных граничных условий. Как упоминалось выше, ограничением подхода времен первого достижения границы [13], является необходимость введения поглощающих границ, что приводит к невозможности существования стационарных распределений в таких системах, поскольку с течением времени все частицы будут захвачены поглощающими границами. Но в большом числе реальных систем стационарные распределения существуют, и, более того, в экспериментах в основном измеряются стационарные процессы и стационарные характеристики, такие как корреляционные функции и спектры. Идея вычисления характерного временного масштаба эволюции измеряемой величины как интеграла под кривой (ко-

да за характерное время изменения процесса принимается длина пря-шугольника с равной площадью) использовалась достаточно давно [14] :;ля вычисления времени корреляции и ширины спектральной плотно-ти. Это позволило получить выражения для ширины линии различ-шх генераторов, чья динамика в общем случае не описывалась уравне-шем Фоккера-Планка. Позднее, именно такое определение временных 1асштабов различных измеряемых характеристик широко нспользова-ось в литературе, например, в работах Гаранина, Калмыкова, Титова, 1алахова, Агудова, Дубкова, Саичева, Nadler, Schulten, Jung, Risken, ¡offey. Далее будем называть любой временной масштаб, определенный юдобньш образом, как "интегральное время релаксации", но, рассмат-ивая конкретные примеры, также будем указывать на отношение к конкретным измеряемым величинам (например, среднее время перехо-а или время корреляции). Дальнейшее обобщение определения литерального времени релаксации, выполненное в диссертации, позволило олучать не только средние времена переходов, но и произвольные выс-ше моменты времени перехода, что дает полную информацию о временной эволюции измеряемой величины, и в некоторых случаях позво-яет восстановить измеряемую величину, суммируя ряд по моментам (эти результаты представлены в главах 3 и 4 диссертации). Как пример такого описания, рассмотрим эволюцию вероятности перехода.

Пусть броуновская частица находится в начальный момент времени в точке .т0. Необходимо найти вероятность Qc,d(t,xо) = Q(t,xо) перехода броуновской частицы из точки с < хо < d за границы рассматриваемого интервала (c,d) в течение времени t > 0: Q(t,xо) =

с -f оо

f W(x,t)dx+ J W{x, t)dx. Основным отличием вероятности перехо-

оо d

да от вероятности первого достижения является возможность для броуновской частицы вернуться обратно в рассматриваемый интервал (с, d) после пересечения граничных точек, т.е. при t —> оо вероятность Q(t, xq) может стремиться к константе, меньшей единицы: lim Q(t,xо) < 1, как

t—»оо

это имеет место в случае, когда существует стационарное распределение

плотности вероятности lim W(x,t) = Wst(%) Ф 0. Вероятность Q(t,xо)

t—* 00

может быть представлена в виде разложения в ряд по моментам. Таким образом, аналогично моментам времени первого достижения могут быть введены моменты времени перехода 1?п(с, xq,d), принимая во вни-

мание, что в общем случае lim Q(t, xq) < 1:

t—>00

Mc,x0,d) = (tn) = ±

Jtnmpidt °ftn^%^dt

JdQ(t,xo)dt Q(oo,x0) - Q(0,2-0)' 0 at

Если с и с! являются поглощающими границами, моменты времени перехода полностью совпадают с моментами времени первого достижения.

и(х) , Туре II

Туре!

Рис. 2. Потенциальные профили I и II типов.

Рассмотрим обобщение подхода, впервые предложенного в работе А.Н. Малахова с соискателем [А5], для получения моментов времени перехода. Будем называть и(х) потенциальным профилем I типа (Рис. 2а), если и(±оо) = +оо, т.е. в данном потенциальном профиле существует стационарное вероятностное распределение. В этом случае удобно использовать следующие граничные условия: С(±оо,<) = 0. Здесь С(х,Ь) - поток вероятности, см. УФП (2). Потенциальные профили (описывающие метастабильное или неустойчивое состояние, Рис. 2Ь), которые стремятся к плюс бесконечности при х —> — ос и к минус бесконечности при х —> +оо (или наоборот), будем называть профилями II типа. Граничные условия теперь имеют вид: С?(—оо,<) = 0и И^+оо,/.) = 0.

В качестве примера обсудим потенциальный профиль II рода. Введем лапласовские образы плотности и потока вероятности У(х, в) =

оо со

/ \¥(х,1)е~51(И, С!(х,8) = / С?(:г,£)е~5г(Й. Для нашей задачи знание о о

полного решения У (а;, я) не является необходимым, а требуется лишь

его асимптотическое поведение при 5 —» 0. По этой причине разложим У(х, з) и (7(х, й) в ряд по 5

я(х, з) = «у (х, з) = г0{х) + зг^х) + з2г2(х) +...,

Н(х, з) = з6{х, з) = Я0(х) + зЯ^х) + з2Я2(х) + .... ( ]

Как нетрудно проверить, из формулы (3) можно получить следующие выражения для моментов времени перехода:

т1(с,а;о,а!) = -(Я2(^-Я2(с)),

т2(с,х0,с1) = 2(дз(с1)-яз(с)), (г]

г3(с, 10, а) = -2 • з(я4(^) - я4(с)),... ^ г„(с, х0,с!) = (-1)"п!(Яп+1(а!) - Яп+1(с)).

Отсюда видно, что для получения соответствующего момента п-го порядка, достаточно вычислить гг + 1 членов ряда (4). Из рекуррентных соотношений (5) можно получить выражения для первого и второго моментов для случая с = —оо (с < хо < сГ):

{(1 ОО <1 X

У е~и1-х)йх У - У У е^дянЬ I , (6)

-00 хо ХО хо /

(с/ 00 V оо

В2 I е~и{х)с1х У У е"^ У е^йгйуйю- (7)

-ОО хо и у

б. X V ОО

У е-"^ У У е~и(у) У е^сЫусЫх + [п(х0, й)]2

-В'

хо хо (1 у

Если в точке х = <1 расположена поглощающая граница, а в точке х = с - отражающая, выражение (6) переходит в известное выражение для среднего времени первого достижения Т{хо,й): т\ =

d и

Я / f е~и^с1у. Для интервала [-оо, время перехода (6) прини-

хо с

Г оо <1 1

мает вид: т\ = Т(х0, (1) + В{1 ■ / /у т.е. мы получили

и -00

Т"1 > Т(хо,с1), поскольку переход броуновской частицы из рассматриваемого интервала происходит более быстро, если в точке х — Л расположена поглощающая граница.

Как отмечалось выше, среднее время первого достижения (СВПД) сильно зависит от положения поглощающей границы, и может существенно отличаться от среднего времени перехода (СВП) даже в пределе малого шума и для случая, когда граничная точка (1 расположена точно на вершине потенциального барьера. Рассмотрим зависимость СВП и СВПД (см. Рис. За) от координаты граничной точки с2 для потенциального профиля и(х) = ах2 — Ьх3, а = 2, Ь = 1, с = —3, координата вершины барьера ^ = 2а/ЗЬ = 1.25. Из графика видно, что СВП слабо зависит от координаты й, а СВПД совпадает с СВП только при больших с1, когда обратным потоком частиц можно пренебречь.

Т, т /2т 2

I 2 /

1000т

||11П|111ПМ11|М|||||11||||1111|1|111|П11|[|||||М|||

0.5 1.0 1.5 г.О 2.5 3.0

с!

Д и

Рис. 3. а. Среднее время перехода (сплошная линия) и среднее время первого достижения (пунктирная линия) в зависимости от величины координаты границы с1; Ь. Отношение моментов времени перехода г2/(2г£) как функции высоты барьера Ди. Сверху вниз: жо = 0-3, = 0, то = —0.3.

На Рис. ЗЬ приведена зависимость отношения второго момента к удвоенному квадрату первого момента Г2/(2т2) от высоты барьера Ди для потенциального профиля и(х) = ах2 — Ьх3 при а = 2, 6 = 1, с = —3, <1 = 2а/ЗЬ. Видно, что это отношение близко к единице и при малых и при больших значениях шума (наибольшее отклонение наблюдается при Дм ~ 1), а также оно слабо зависит от координаты хо, особенно в пределе малого шума.

В третьей главе проведен численный анализ временной эволюции вероятности перехода и математического ожидания марковского иро-

цесса в ряде модельных потенциальных профилей.

Известно, что когда переход броуновской частицы происходит через потенциальный барьер, достаточно высокий по сравнению с интенсивностью шума Ди = Ди/кТ 1, временная эволюция многих наблюдаемых величин (напр., вероятность перехода, или функция корреляции) может быть описана простой экспоненциальной функцией ~ ехр(—£/т) [8], где г - соответствующий временной масштаб (среднее время перехода, или время корреляции). Такое представление измеряемых величин очевидно, например, из метода разложения решения УФП по собственным функциям. В этом случае соответствующий временной масштаб дает полную информацию об эволюции вероятности. В разделе 3.1 показано, что в случае, когда происходит индуцированный шумом переход через постоянный во времени потенциальный барьер, экспоненциальное приближение применимо не только в пределе малой интенсивности шума, как было известно ранее, но и при интенсивности шума порядка или больше высоты барьера, если в качестве характерного временного масштаба выбрано соответствующее интегральное время релаксации.

В качестве одного из примеров рассмотрен потенциальный профиль II типа и(х) — ах2 — 6х3, а = 2, Ь = 1, с = —2, й = 2а/36, и Ли = 4; 1.2;0.4; 0.24. Соответствующие кривые результатов численного счета эволюции вероятности (символы) и ее экспоненциального приближения (сплошные линии) изображены на Рис. 4а. В наихудшем случае при Ли = 1.2 максимальное различие между соответствующими кривыми составляет 3.2%, при этом, вплоть до Р(Ь) — 10~5, эволюция вероятности прекрасно описывается экспоненциальным приближением даже при больших шумах.

При рассмотрении нелинейных систем па больших временах, представляет интерес уже не эволюция вероятности нахождения в исходном потенциальном минимуме, которая становится малой, а различные функции корреляции и спектры. Например, при решении задачи о спектре напряжения джозефсоновского контакта, находящегося в сверхпроводящем состоянии, что соответствует эволюции марковского процесса в потенциальном профиле и(х) = 1 — соз(:с) — ах, а < 1, представляет интерес функция корреляции Ку[т\ = + т)х(Ь)} = (зт(:г(£ + г)) зт(а:(£))}. В этом случае, временная эволюция функции корреляции Ку[т] также близка к экспоненциальной, а ее Фурье-образ

S(u>)

0.00001

0.0001

0.001

PO

0-01

0.1

0 200 400 600 800 1000 0 20 40 60 80

100 OJ

Рис. 4. a. Эволюция вероятности для потенциала и(х) = ax2-bx3. Крестиками изображена кривая Au = 0.24; b. Спектральная плотность мощности процесса dx{t)/dt в потенциальном профиле и(х) = 1 — cos(x) — ах, а — 0.5.

- спектральная плотность мощности - близок к Лоренцевой форме. Интересно отметить, что наибольшее отклонение от Лоренцевой формы наблюдается при интенсивностях шума порядка высоты потенциального барьера (см. Рис. 4Ь), хотя оно является достаточно малым.

В разделе 3.2 исследованы эволюция вероятности и спектральная плотность мощности в нелинейных динамических системах, подверженных влиянию внешнего периодического воздействия и широкополосного шума. В последние десятилетия в таких системах было обнаружено много интересных явлений: резонансная активация [15], стохастический резонанс [16],[17], "рэтчет" эффект [18] и увеличенная шумом стабильность неустойчивых систем [19]. В частности, явление резонансной активации [15] для систем с малым затуханием проявляется в уменьшении времени жизни метастабильного состояния в определенной области частот воздействующего сигнала. Для систем с большим затуханием явление резонансной активации было обнаружено для случая стохастически изменяющихся потенциальных барьеров [20], и, совсем недавно, для барьеров, которые подвержены периодическому синусоидальному воздействию [21]. Однако, в случае детерминированного воздействия исследование было ограничено областью малых амплитуд сигнала.

В данном разделе исследовано явление подавления шума внешним сигналом: показано, что если периодическое воздействие не является слабым, а превышает статическое пороговое значение, то при оптимальном выборе параметров системы шум может быть эффективно подавлен, что проявляется как в слабой зависимости среднего времени пе-

рехода между состояниями системы от интенсивности шума и наличии минимума среднеквадратического отклонения, так и в резонансном поведении отношения сигнал/шум как функции частоты сигнала.

В качестве примера снова рассмотрим систему, описываемую потенциальным профилем II типа: и(х,Ь) = —Ьх3 + ах2 + Лхсой(ш^. Пусть частица в начальный момент времени находится вблизи потенциального минимума. С течением времени потенциальный барьер движется вверх и вниз, и вероятность найти частицу в исходном потенциальном минимуме будет стремиться к нулю.

ш ш

Рис. 5. а. Среднее время перехода как функция частоты сигнала при А = 1: сплошные линии - результаты численного моделирования, пунктирные линии - адиабатическое приближение; Ь. Отношение сигнал/шум как функция частоты сигнала при А = 2. Вставка: отношение сигнал/шум как функция Ди* при ш = 1.

На Рис. 5а представлена зависимость времени жизни т(ш) как функции частоты сигнала для различных значений безразмерной высоты барьера в отсутствие сигнала ^соивЬ/кТ. Сплошными линиями представлены результаты численного моделирования. Видно, что кривые имеют минимум, при этом в области минимума в пределе малого шума (Ди*^>1) кривые практически совпадают, что говорит о малой чувствительности к шуму в данной области параметров. Для аналитического описания кривой т(и>) можно воспользоваться адиабатическим приближением. Это приближение использовалось для описания явления стохастического резонанса многими авторами [15]-[17]. Следует отметить, что часть кривой т(и>) в области частот 0 < и) < 1 может быть описана с помощью модифицированного адиабатического приближения, позво-

ляющего распространить стандартное описание в область произвольных величин амплитуд сигнала и интенсивности шума. По сравнению с обычным адиабатическим приближением, вместо приближенного времени Крамерса было подставлено СВП (6), за счет чего получено хорошее совпадение между таким приближенным описанием и результатами численного моделирования в широкой области параметров.

Рассмотрим пример с потенциальным профилем I типа, который интенсивно исследовался в литературе применительно к явлению стохастического резонанса [16],[17]: u(x,t) = 6ж4 — ах2 + x./lsm(a;£ + ф),

где ф - начальная фаза. Интересующей нас характеристикой является

ш+ДП

отношение сигнал/шум: R = s у Нтдп—о / S(Q)dQ, где S(Q) —

m ш-ДП

+ 00

J е~гПтК[Ь + г, t]dr - спектральная плотность мощности, S^(uj) - шу-

—оо

мовой пьедестал на частоте сигнала и> и K[t, -f т, t] - функция корреляции: K[t + r,t] = ({x(t + r)x(t))), где внутренние скобки обозначают усреднение по ансамблю, а внешние - усреднение по фазе ф.

На Рис. 5Ь приведено отношение сигнал/шум как функция частоты воздействующего сигнала. Эта функция имеет явно выраженный максимум. Положение максимума и = ш7пах примерно соответствует условию совпадения временных масштабов: и>тах « тт/rmjn, где rm,;n - минимальное время перехода из одного состояния в другое. Существование оптимальной частоты сигнала может быть объяснено следующим образом. Рассмотрим случай адиабатически медленного изменения высоты потенциального барьера. Если шум отсутствует, переход через барьер произойдет только после того, как пропадет соответствующий потенциальный барьер. Если в систему добавить слабый шум, то перескок через барьер произойдет раньше, чем он произошел бы в отсутствие флуктуаций, при некоторой ненулевой высоте потенциального барьера. Если увеличить частоту сигнала, высота потенциального барьера будет уменьшаться быстрее и перескок произойдет при более низком барьере, что ближе к случаю, когда шум отсутствует. В случае, когда частота сигнала выше частоты отсечки системы, uj > шс (где и)с имеет динамический смысл: для данной амплитуды сигнала отклик системы существенно уменьшается, если частота сигнала превышает некоторую величину), частица никогда не преодолеет барьер в отсутствие

шума и будет находиться в окрестности исходного потенциального минимума, поскольку у нее не будет достаточно времени для того, чтобы достичь область притяжения другого состояния. Таким образом, существует некоторая область частот, в которой перескок через барьер будет происходить при его наименьшей высоте, и именно в этой области параметров шум оказывает наименьшее влияние на систему, что приводит к максимуму отношения сигнал/шум. Когда частота сигнала выше частоты отсечки системы, ш > и>с, шум помогает частице перескочить в другой потенциальный минимум и в этом случае имеет место явление стохастического резонанса (см. вставку Рис. 5Ь для ш = 1).

В разделе 3.3 численно исследовано влияние тепловых флуктуации на процесс высокоскоростного перемагничивания однодоменной одно-осевой магнитной наночастицы (магнитного диполя). Динамика магнитного диполя описывается уравнением Ландау-Лифшица. Исследовано взаимодействие эффекта подавления шума и эффекта задержки переключения шумом. Показано, что при перемагничивании импульсом с плавными фронтами, существует оптимальная длительность импульса, при которой и среднее время перемагничивания (СВП) и среднеквадра-тическое отклонение (СО) принимают минимальные значения. Также и СВП и СО сильно зависят от угла между переключающим магнитным полем и осью анизотропии. По сравнению со случаем осевой симметрии, при оптимальном значении угла перемагничивания СВП может быть уменьшено от семи раз до двух порядков, а СО может быть уменьшено от одного до трех порядков при изменении затухания от 1 до 0.01.

В четвертой главе разработанные в предыдущих главах подходы для описания марковских случайных процессов применяются для анализа флуктуациониой динамики точечных джозефсоповских контактов и устройств на их основе.

В разделе 4.1 аналитически и численно исследованы временные характеристики точечного джозефсоновского контакта с малой емкостью, через который протекает как постоянный ток, так и сумма постоянного и переменного токов. Ранее, влияние малых флуктуаций на среднее (СВП) и среднеквадратическое отклонение (СО) времени переключения в резистивное состояние было исследовано для точечного джозефсоновского контакта с малой емкостью при мгновенном изменении внешнего сигнала [22], но, в силу использования линеаризованной мо-

дели, не было обнаружено явление задержки переключения.

т(ш)

птр-0,01

ттттт-

0.1

Рис. 6. а. СВП и СО как функции постоянного тока смещения. Сплошные линии - формулы (8) и (9), символы ♦ и • - результаты численного моделирования. Вставка: СО как функция 7 при г > 1. Сплошная и пунктирная линии - формула (9), • и ♦ - результаты моделирования для г = 1.5 и г = 1.2; Ь. СО как функция частоты сигнала (моделирование) при ¿о = 0.8; А = 0.7. Символы х - СВП, формула (9) - сплошная линия.

Для случая постоянного безразмерного тока смещения г получены точные квадратурные формулы для СВП и СО, справедливые при произвольной безразмерной интенсивности шума 7 = 1т/1С, где 1т ~ кТ - тепловой ток, 1С - критический ток контакта. Из этих формул при г > 1 и в пределе малого шума 7 -С 1 могут быть получены следующие асимптотические представления для СВП и СО (Рис. 6а):

ч>.

{/1 (<Ы ~ Л(Ы + 7 [/2(^2) + /г(уо)] +

¥>2

+7

3 соэ2 х

(г —эта;)5 (г-Бтж)4

¿х + ...

<р0

(8)

а((ро) а —л/27 [%) + /ЗЫ] + ..,

и)с

где и>с - характерная частота джозефсоновского контакта,

(9)

Л(*) =

2 /Иап(х/2) - 1 . , . . аг^ап (-; „ — ) , /2(х) =

ч/г2 —1

2(г — втж)2'

^Ы = ЬШкШ - 2/1Ы/2Ы + ЛЫЛЫ +

(г - зт((/?о)г

соэ(л;)/1(х) 3

Г

1зШ= /

J со

Ч>2 ч> о

йх.

(Бт(х) - г)3 2(зт(х) - г)3_

В формуле (8) первое слагаемое /1(^2)-/1(^0) описывает динамическое движение, в то время как второе слагаемое 7 [/2(^2) + /2(^0)] отражает эффект увеличения времени переключения контакта из-за влияния шумов. Интересно отметить, что СО (9) имеет корневую зависимость от интенсивности шума. В вставке к Рис. 6а приведен график СО ст, как функции интенсивности шума 7 при г = 1.2 и г = 1.5. Совпадение с результатами компьютерного моделирования очень хорошее вплоть до интенсивности шума 7 = 0.05. Таким образом, не только низкотемпературные [22], 7 < 0.001, но также и высокотемпературные устройства могут быть описаны простыми асимптотическими формулами (8) и (9). Для случая синусоидального воздействия г(() = го + Лзт(и;£) обнаружен эффект подавления шума, выражающийся в том, что и СВП и СО имеют минимумы как функции частоты сигнала (Рис. 6Ь). Графики среднеквадратичсского отклонения для 7 = 0.02 и ¿о = 0.8 при г = 1.5 представлены на Рис. 6Ь. Необходимо отметить, что вблизи минимума среднеквадратическое отклонение для синусоидального воздействия фактически совпадает с СО (9). Это означает, что даже в случае сигнала с плавными фронтами, предельное значение среднеквадратическо-го отклонения практически может быть достигнуто, если параметры устройства подобраны оптимальным образом.

В разделе 4.2 аналитически и численно исследованы временные и вероятностные характеристики бистабильной ячейки памяти на основе одноконтактного СКВИДа (параметрического квантрона). Показано, что с высокой степенью точности эволюция вероятности распада начального состояния описывается экспоненциальным законом, где характерное время распада найдено в виде точной квадратурной формулы, справедливой для любой интенсивности тепловых флуктуаций.

В разделе 4.3 явление подавления шума в нелинейных динамических системах, подверженных влиянию внешнего периодического воздействия и широкополосного шума, исследовано для модели гистерезис-ного СВЧ СКВИДа. Ранее, флуктуационные свойства такого СКВИДа интенсивно изучались в литературе, см. [1],[2] и работы [23],[24],[25] но

55.0--]

0.0

2.0

АО 6.0 8.0 то 12.0 14.0 0.0 10 4.0 «.О

I»»

«.О 10.0 12.0 14.0

■Л»

Рис. 7. Вольт-полевая характеристика СВЧ гистсрезиспого СКВИДа: а. и>о — 0.01, сплошная линия -7 = 0, пунктирная линия - 7 = 0.01, ♦ - 7 = 0.03; Ь. иц = 0.3, сплошная линия - 7 = 0, пунктирная линия - 7 = 0.01, ♦ - 7 = 0.03.

эти исследования относились либо к низкочастотным, либо к высокочастотным характеристикам, и хотя было понимание того, что должно существовать оптимальное значение частоты накачки СКВИДа, максимизирующее его чувствительность, это значение было неизвестно. В диссертационной работе показано, что отношение сигнал-шум имеет максимум при определенной частоте накачки СКВИДа шо, равной примерно 1/3 характерной частоты СКВИДа. Найдена область вольт-полевой характеристики Уас(<рт), слабо зависящей от интенсивности шума 7, см. Рис. 7. Видно, что при шо = 0.3 существует широкая область (рт, где кривые для различных 7 совпадают, и шум, фактически, не оказывает влияния на динамику СКВИДа в данной области параметров, что позволяет повысить чувствительность устройства.

В пятой главе исследованы флуктуационные свойства длинных джозефсоновских контактов, чья динамика в рамках резистивной модели [1] описывается уравнением синус-Гордона с шумом:

здесь индексы í и х обозначают производные по времени и координате. Пространственная координата и время обезразмерены на джозефсонов-скую длину А; и обратную плазменную частоту а - затухание, (3 - поверхностные потери, т?(х) - плотность тока смещения, нормированная на плотность критического тока Зс, и гц{х,1) - флуктуационная компонента плотности тока смещения. В случае, когда плотность кри-

Фи + афг - Фхх = Рфххь + г)(х) ~ ят(ф) + гц{х, I),

(10)

тического тока фиксирована, и флуктуации можно считать белым гауссовым шумом с нулевым средним, их функция корреляции имеет вид: (т]/(х,Ь)т]/(х',1')) — 2ау6(х - :е')<5(£ - Ь'), где 7 = /гД-ЛА,;) - безразмерная интенсивность шума, 1т ~ кТ - теплово!"! ток.

В рамках данной главы ограничимся рассмотрением контактов пла-нарной геометрии, как наиболее часто используемых в практических приложениях (см. Рис. 8а, ток смещения показан стрелками). В простейшем случае граничные условия имеют вид: ф{О, = ф(Ь,1)х ~ Г, где Г - нормированное магнитное поле, Ь - безразмерная длина джо-зефсоновского контакта, но также были рассмотрены граничные условия, моделирующие Г1С нагрузку на краях контакта.

Рис. 8. а. Структура распределенного джозефсоновского контакта плапарной геометрии; Ь. Качественная иллюстрация фазовой струны ц>(:г, () в процессе перехода через потенциальный барьер путем формирования Зтг-кинка.

В разделе 5.1 приведены результаты компьютерного моделирования флуктуационной динамики длинного джозефсоновского контакта пла-нарной геометрии в рамках модели (10). На Рис. 8Ь дана качественная иллюстрация фазовой струны <р(х, I) в процессе перехода через потенциальный барьер путем формирования 27г-кинка. На Рис. 9Ь приведены кривые среднего времени переключения (СВП) в резистивное состояние как функции длины контакта для профилей тока смещения, изображенных на Рис. 9а, значение тока ?;о = 0.7, значение интенсивности шума 7 = 0.3. Видно, что для однородного профиля тока смещения СВП сначала увеличивается с ростом длины, а потом выходит на константу. В отличие от СВП для равномерного распределения тока сме-

щения, остальные кривые Рис. 9Ь имеют явно выраженный максимум, после которого СВП спадает. Сравнивая кривые СВП в области больших длин контакта с СВП тестового контакта длиной, примерно, Ь = 5, можно ясно различить насколько распределение тока смещения близко к равномерному.

Рис. 9. а. Распределение тока смещения т){х): символы х - ??(ж) =

остальные кривые - модельный параболический профиль при различных значениях крутизны а: длшшо-пупкгиркая кривая - а = 0 (однородное распределение); коротко-пунктирная кривая - а = 0.005; пуиктирио-точечпая кривая - а = 0.05; Ь. Зависимость среднего времени переключения от длины контакта: х - распределение п(х) = —-р°L , остальные кривые - модельный

параболический профиль т](х) при различных а: длиннопунктирная кривая -а = 0; короткопунктирная кривая - а = 0.005; сплошная линия - а = 0.01; пунктирно-точечная кривая - а = 0.05.

В разделе 5.2 исследовано влияние флуктуации на эффект черепковского излучения из длинного кольцевого джозефсоновского контакта, индуктивно связанного с внешней линейной линией передачи (волноводом). Динамические свойства такой структуры были исследованы в работе Курина и Юлина [26], а исследование флуктуационных свойств ранее не проводилось. Под воздействием тока смещения и внешнего магнитного поля джозефсоновские вихри движутся вдоль контакта в виде солитонов и во многом ведут себя подобно частицам. Черепковское излучение возникает тогда, когда скорость частиц становится равной фазовой скорости волны, которую они излучают. Внешняя линия передачи является замедляющей системой, обеспечивающей наличие черепковского синхронизма. В диссертации рассмотрен простейший случай

кольцевого контакта, связанного с кольцевой микрополосковой линией. Джозефсоновский контакт описывается уравнением синус-Гордона, а микрополосковая линия - линейным волновым уравнением.

Рис. 10. Средняя амплитуда и ширина спектральной линии генерации как функции тока смещения для различных значений интенсивности шума 1гО.

На Рис. 10 изображены графики нормированных средней амплитуды (А'} и ширины спектральной линии ДГГ как функции безразмерных токов смещения ^ и Для различных значений произведения ин-

тенсивности шума И и эффективного затухания моды в замедляющей системе к. Как следует из Рис. 10, шум приводит к уменьшению мощности генератора, что вызвано рассинхронизацией движения магнитных вихрей в тормозящем поле электромагнитной волны и устойчивая генерация наблюдается при значениях тока смещения, меньших, чем оптимальное значение в отсутствие шума. Мощность генерации имеет максимум, а ширина спектральной линии - минимум как функции тока смещения при фиксированной интенсивности флуктуаций. Оценки, следующие из полученных формул, предсказывают, что такие генераторы должны иметь большую мощность и меньшую ширину линии, чем стандартные генераторы бегущих волн.

В разделе 5.3 исследованы спектральные и вольт-амперные характеристики генератора бегущих волн (ГБВ), основанного на однонаправленном движении квантов магнитного потока в длинном джозефсо-новском контакте. Ранее, ширина спектральной линии ГБВ исследовалась в работах [2 7]-[29], но аномально большое значение ширины линии, измеряемое в экспериментах, которое на порядок превышает значение, предсказываемое формулой для ширины линии точечного джо-

зефсоновского контакта [1], так и не было объяснено. В диссертационной работе, методом разложения в ряд по малому параметру, и в пределе малого шума, теоретически исследовано уравнение (10) без учета поверхностных потерь (¡3 = 0) и с граничными условиями вида <p(0,t)x=(l)(L,t)x=r. Были получены аналитические выражения для ширины и формы спектральной линии, учитывающие как флуктуации тока смещения, так и магнитного поля.

Для области параметров, характерной для реальных ГБВ, можно пренебречь вкладом пространственных гармоник, и в этом случае из более полных формул, приведенных в диссертации, можно получить простую формулу, которая дает хорошее совпадение с экспериментом:

a/ffo = I № + I<R°dL)2^( 1 + Но), (11)

где Щ учитывает параметрическое уширение спектральной линии из-за вклада второй и высших гармоник, Rа и - дифференциальные сопротивления по току смещения и току контрольной линии (создающему магнитное поле), соответственно, которые возникают из-за линеаризации по малому шуму, К - коэффициент конверсии флуктуаций тока смещения во флуктуации магнитного поля, /?дг — нормальное сопротивление контакта, Фо - квант магнитного потока, к - постоянная Больцмана, Т - температура. Следует отметить, что формула (11) является более общей, чем метод ее получения и уравнение (10), поскольку выражается через экспериментально измеримые выличины. Детальное сравнение формулы (11) с экспериментальными данными для генераторов различной конструкции было проведено в нескольких работах (напр., [А14]) и во всех случаях наблюдалось хорошее совпадение теории и эксперимента (Рис. 11а). Сравнение формулы (11) с результатами компьютерного моделирования уравнения (10) представлено на вставке Рис. lib, и видно, что совпадение также достаточно хорошее.

При моделировании обнаружено, что в зависимости от длины несмещенного края ГБВ, мощность излучения может быть максимизирована, а ширина линии может быть минимизирована в широкой области токов смещения. При правильном согласовании ГБВ ширина линии может быть уменьшена еще в 1.5 раза. Показано, что изменяя профиль тока смещения, нельзя, тем не менее, опуститься ниже некоторого минимального уровня ширины линии, который наблюдается при однород-

Рис. ll.a. Ширина спектральной линии ГБВ как функция дифференциального сопротивления: ♦ - экспериментальные результаты, сплошная линия -формула (11) для К = 1; Ь. Ширина лпшш ГБВ как функция дифференциального сопротивления для L=40 и 7=0.1. Символы Д и х - численное моделирование п теория (11) для однородного распределения тока смещения; О 11 + численное моделирование и теория (11) для неоднородного распределения тока смещения п(т) = —р]1 0 - теория из работы 1291 для однородного

тг y/x(L-x)

распределения, сплошная прямая - теория для точечного кон такта |1).

ном распределении тока смещения. Это объяснено явлением шумовой самонакачки, когда излучение, выходящее из контакта, стохастически модулирует магнитное поле на краю контакта, что в свою очередь меняет динамику излучения, приводя к дополнительному уширению спектральной линии. При этом показано, что минимально достижимая ширина линии имеет минимум как функция длины контакта, и при больших длинах ширина линии выходит на константу, а не уменьшается с увеличением длины, как это предсказывалось ранее существующими теориями. Также аналитически и численно исследована вольт-амперная характеристика (ВАХ) длинного джозефсоновского контакта для случая пространственно-неоднородного распределения тока смещения, и показано, что при задании тока в тот, или иной край контакта, СВЧ излучение может быть либо подавлено, либо усилено. При учете поверхностных потерь и хорошего согласования на излучающем краю генератора, получено хорошее качественное совпадение с экспериментальными результатами. Переход от ВАХ с крутыми и близко лежащими ступенями Фиске к плавным кривым в области ступеней течения потока может быть объяснен совместным воздействием поверхностных потерь и эффекта самонакачки. Показано, что эффект самонакачки может до

трех раз увеличивать омические потери, что приводит к дополнительному скруглению вольт-амперных характеристик. Изучены спектральные свойства ГБВ, включенного в систему фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ). Показано, что спектральная плотность плотность мощности синхронизованного ГБВ может быть достаточно хорошо описана в рамках модели ФАПЧ с пропорционально-интегрирующим фильтром. Полученные результаты позволяют предсказать спектральное качество (отношение синхронизованной мощности к полной мощности ГБВ) для данной системы ФАПЧ в зависимости от автономной ширины линии ГБВ. Как следует из проведенного анализа, для ФАПЧ с полосой управления 10 МГц автономная ширина спектральной линии не должна превышать 5-6 МГц для синхронизации 50% мощности ГБВ и 3 МГц для синхронизации 70% мощности.

В приложении доказано что известная формула для моментов вре-

мени первого достижения броуновской частицей поглощающей границы, может быть использована также для получения точных значений моментов времени перехода из неравновесного состояния нелинейной динамической системы с шумом, обладающей произвольным симметричным потенциальным профилем.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

I. Предложено определение моментов времени перехода в нелинейных динамических системах с шумами, являющееся обобщением моментов времени первого достижения на случай произвольных граничных условий и получены квадратурные формулы для этих моментов. Получены квадратурные формулы для характерных временных масштабов эволюции различных средних (математическое ожидание, дисперсия, функция корреляции и др. ).

II. Численно исследована эволюция вероятности перехода и некоторых средних марковских процессов. Показано, что в случае, когда происходит индуцированный шумом переход через потенциальный барьер, экспоненциальное приближение применимо не только в пределе малой интенсивности шума, как было известно ранее, но и при интенсивности шума порядка или больше высоты барьера, если в качестве характерного временного масштаба выбрано соответствующее интегральное время релаксации.

III. Обнаружено явление подавления шума в нелинейных динамических системах, подверженных влиянию внешнего периодического воздействия и широкополосного шума. Показано, что если периодическое воздействие превышает статическое пороговое значение, то при оптимальном выборе параметров системы шум может быть эффективно подавлен, что проявляется как в слабой зависимости времени перехода между состояниями системы от интенсивности шума и наличии минимума среднеквадратического отклонения, так и в резонансном поведении отношения сигнал/шум как функции частоты сигнала.

IV. Исследовано влияние тепловых флуктуаций на процесс высокоскоростного неремагничивания однодоменной одноосевой магнитной наночастицы. Показано, что при перемагничивании импульсом с плавными фронтами, существует оптимальная длительность импульса, при которой и среднее время неремагничивания (СВП) и средпеквадратическое отклонение (СО) принимают минимальные значения. Также и СВП и СО сильно зависят от угла между переключающим магнитным поле и осью анизотропии. По сравнению со случаем осевой симметрии, при оптимальном значении угла неремагничивания СВП может быть уменьшено от семи раз до двух порядков, а СО может быть уменьшено от одного до трех порядков при изменении затухания от 1 до 0.01.

V. Аналитически и численно исследованы среднее время переключения и среднеквадратическое отклонение джозефсоновского контакта с малой емкостью, подверженного периодическому воздействию. Для случая последовательности импульсов прямоугольной формы полученное аналитическое описание справедливо для произвольной интенсивности шума и в области частот, представляющих практический интерес. Для случая синусоидального воздействия и среднее время переключения и среднеквадратическое отклонение имеют минимумы как функции частоты сигнала. Обнаружен эффект увеличения среднего времени переключения из-за влияния шумов.

VI. Явление подавления шума в нелинейных динамических системах, подверженных влиянию внешнего периодического воздействия и

широкополосного шума, исследовано для модели гистерезисного СВЧ СКВИДа. Показано, что отношение сигнал-шум имеет максимум при определенной частоте накачки СКВИДа, равной примерно 1/3 характерной частоты СКВИДа. Найдена область вольт-полевой характеристики, слабо зависящей от интенсивности шума. Это позволяет уменьшить влияние индуцированных шумом ошибок измерения магнитного потока, и повысить чувствительность данного устройства.

VII. Проведено компьютерное моделирование флуктуационной динамики длинного джозефсоновского контакта планарной геометрии в рамках модели синус-Гордона с белошумовым источником. Показано, что для случая с постоянной плотностью критического тока среднее время переключения (СВП) в резистивное состояние увеличивается с увеличением длины контакта и для однородного распределения тока смещения СВП стремится к константе, в то время как для неоднородного распределения тока смещения СВП быстро уменьшается после достижения нескольких джозеф-соновских длин. На основании полученных результатов предложен эффективный способ оценки равномерности распределения тока смещения в длинных джозефсоновских контактах.

VIII. Исследованы корреляционные и спектральные характеристики черенковского генератора, основанного на когерентном излучении квантов магнитного потока в длинном джозефсоновском контакте, связанном с замедляющей волноведущей системой. Показано, что выходная мощность имеет максимум, а ширина спектральной линии имеет минимум как функции управляющего тока.

IX. Исследованы корреляционные и спектральные характеристики генератора бегущих волн (ГБВ), основанного на однонаправленном движении квантов магнитного потока в длинном джозефсоновском контакте. Получены аналитические выражения для ширины и формы спектральной линии, учитывающие как флуктуации тока смещения, так и магнитного потока. Сравнение с экспериментальными данными и результатами численного моделирования показывает хорошее совпадение с теоретической формулой для ширины линии ГБВ. Обнаружено, что в зависимости от длины несме-

щенного края ГБВ, мощность излучения может быть максимизирована, а ширина линии может быть минимизирована в широкой области токов смещения. Показано, что минимально достижимая ширина линии имеет минимум как функция длины контакта, и при больших длинах ширина линии выходит на константу, а не уменьшается с увеличением длины, как это предсказывалось ранее существующими теориями. Показано, что спектральная плотность мощности ГБВ, включенного в систему фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ) может быть достаточно хорошо описана в рамках модели ФАПЧ с пропорционально-интегрирующим фильтром. Полученные результаты позволяют предсказать спектральное качество для данной системы ФАПЧ в зависимости от автономной ширины линии ГБВ.

Список литературы

[1] Лихарев, К.К. Введение в динамику джозефсоновских переходов / К.К. Лихарев. - М.: Наука, 1985. - 242 с.

(2j Koelle, D. High-transition-temperature superconducting quantum interference devices / D. Koelle, R. Kleiner, F. Ludwig et al. // Rev. Mod. Phys. - 1999. - Vol. 71, №3. - P. 631-686.

[3] Likharev, K.K. RSFQ logic/memory family: a new Josephson-junction technology for sub-terahertz-clock-frequency digital systems / K.K. Likharev, V. K. Semenov. // IEEE Trans. Appl. Supercond. - 1991. - Vol. 1, №1. - P. 3-28.

[4] Dorojevets, M. FLUX chip: design of a 20-GHz 16-bit ultrapipelined RSFQ processor prototype based on 1.75-/im LTS technology / M. Dorojevets, P. Bunyk, D. Zinoviev. // IEEE Trans. Appl. Supercond. - 2001. - Vol. 11, №1.

- P. 326-332.

[5] Makhlin, Y. Quantum-state engineering with Joscphson-junction dcvices / Y. Makhlin, G. Schon, A. Shnirman. // Rev. Mod. Phys. - 2001. - Vol. 73, №4.

- P. 357-400.

[6] Koshelets V.P. Integrated superconducting receivers / V.P. Koshelets, S.V. Shitov // Supercond. Sci. Technol. - 2000. - Vol. 13, JV»5. - P. R53-69.

[7] Hanggi, P. Reaction-rate theory: fifty years after Kramers / P. Hanggi, P. Talkner, M. Dorkovec. // Rev. Mod. Phys. - 1990. - Vol. 62, №2. - P. 251-341.

[8] Risken, H. The Fokker-Planck equation / H. Risken. - 2-nd ed. - Berlin: Springer Verlag, 1989. - p. 472.

[9] Coffey, W.T. The Langevin Equation / W.T. Coffey, Yu.P. Kalmykov, J.T. Waldron. - Singapore: World Scientific, 1996. - p. 413.

10J Анищенко, B.C. Синхронизация автогенераторов и индуцированные шумом колебания / B.C. Анищенко, Т.Е. Вадивасова. // Радиотехника и электроника. - 2002. - Т. 47, JV»2. - С. 133-165.

11] Кляцкин, В.И. Распространение электромагнитных волн в случайно-неоднородной среде как задача статистической математической физики / В.И. Кляцкин. // Успехи Физических Наук. - 2004. - Т. 174, №2. - С. 177-195.

12] Kramers, Н. Brownian motion in a field of force and the diffusion model of chemical reactions / H. Kramers. // Physica. - 1940. - Vol. 7, №4. - P. 284-304.

13] Понтрягин, Л.А. О статистическом рассмотрении динамических систем / Л.А. Понтрягин, А.А. Андронов, А.А. Витт. // ЖЭТФ. - 1933. - Т. 3, №3. - С. 165-180.

14] Малахов, А.Н. Флуктуации в автоколебательных системах / А.Н. Малахов. - М.: Наука, 1968. - с. 660.

15] Jung, P. Periodically driven stochastic systems / P. Jung. // Physics Reports. - 1993. - Vol. 234, №4-5. - P. 175-295.

16] Gammaitoni, L. Stochastic resonance / L. Gammaitoni, P. Hanggi, P. Jung, F. Marchesoni. // Rev. Mod. Phys. - 1998. - Vol. 70, №1. - P. 223-287.

17] Анищенко, B.C. Стохастический резонанс как индуцированный шумом эффект увеличения степени порядка / B.C. Анищенко, А. Б. Нейман, Ф. Мосс, Л. Шиманский-Гайер. // Успехи Физических Наук. - 1999. - Т. 169, №1. - Р. 7-38.

18] Julicher, F. Modeling molecular motors / F. Julicher, A. Ajdari, J. Prost. // Rev. Mod. Phys. - 1997. - Vol. 69, №4. - P. 1269-1282.

19] Mantegna, R.N. Noise enhanced stability in an unstable system / R.N. Mantegna, B. Spagnolo. // Phys. Rev. Lett. - 1996. - Vol. 76, №4. - P. 563-566.

20] Doering, C.R. Resonant activation over a fluctuating barrier / C.R. Doering, J. Godoua. // Phys. Rev. Lett. - 1992. - Vol. 69, №16. - P. 2318-2321.

21] Boguna, M. Properties of resonant activation phenomena / M. Boguna, J. M. Porra, J. Masoliver, K. Lindenberg. // Phys. Rev. E. - 1998. - Vol. 57, №4. -P. 3990-4002.

[22] Rylyakov, A.V. Pulse jitter and timing errors in RSFQ circuits / A.V. Rylyakov, К. K. Likharev. // IEEE Trans. Appl. Supercond. - 1999. - Vol. 9, №2. - P. 3539-3544.

[23] Kurkijarvi, Л. Intrinsic fluctuations in a superconducting ring closed with a Josephson junction / J. Kurkijarvi. // Phys. Rev. В - 1972. - Vol. 6, №3. - P. 832-835.

[24] Данилов, В.В. Динамические и флуктуационные параметры радиочастотных СКВИДов / В.В. Данилов, К.К. Лихарев. // Радиотехника и Электроника. - 1980. - №8. - С. 1725-1735.

[25] Снигирев, О.В. Характеристики одноконтакгного СКВИДа в высокочастотном пределе / О.В. Снигирев. //Радиотехника и Электроника. -1981.

- №10. - С. 2178-2186.

[26] Kurin, V.V. Radiation of linear waves by solitons in a Josephson transmission line with dispersion / V.V. Kurin, A.V. Yulin. // Phys. Rev. В - 1997. - Vol. 55, №17. - P. 11659-11669.

[27] Golubov, A.A. Radiation linewidth of a long Josephson junction in the flux-flow regime / A.A. Golubov, B.A. Malomed, A. V. Ustinov. // Phys. Rev. B.

- 1996. - Vol. 54, №5. - P. 3047-3050.

]28] Betenev, A.P. Radiation spectrum of a long Josephson flux-flow oscillator / A.P. Betenev, V. V. Kurin. // Phys. Rev. B. - 1997. - Vol. 56, №13. - P. 7855-7857.

[29] Salerno, M. Spectral Linewidths of Josephson Oscillators / M. Salerno, M.R. Samuelsen, A.V. Yulin. // Phys. Rev. Lett. - 2001. - Vol. 86, №23. - P. 53975400.

Список публикаций автора по теме диссертации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

[А1] Малахов, А.Н. Времена стохастических переходов в бистабильных кусочно-параболических системах с шумом / А.Н. Малахов, A.J1. Панкратов // Известия вузов. Прикладная Нелинейная Динамика. - 1995. -Т.З, №3. - С. 70-79.

[А2] Малахов, А.Н. Точное значение времени релаксации динамической системы с шумом, описываемой произвольным симметричным потенциальным профилем / А.Н. Малахов, A.JI. Панкратов // Известия вузов. Радиофизика. - 1995. - Т.38, №3-4. - С. 256-261.

[A3] Панкратов A. JI. Влияние тепловых флуктуаций на быстродействие джо-зефсоновских цифровых устройств с малой емкостью. Параболическая аппроксимация / А.Л. Панкратов // Вестник Нижегородского госуниверситета. Серия Радиофизика. - 1995. - T.l, №1. - С. 62-65.

[А4] Malakhov, A.N. Exact solution of the Kramers' problem for piece-wise parabolic potential profiles / A.N. Malakhov, A.L. Pankratov // Physica A. - 1996. - Vol.229, №1. - P. 109-126.

[A5] Malakhov, A.N. Influence of thermal fluctuations on time characteristics of single Josephson element with high damping. Exact solution / A.N. Malakhov, A.L. Pankratov // Physica C. - 1996. - Vol.269, №1-2. - P. 46-54.

[AG] Pankratov, A.L. On certain time characteristics of dynamical systems driven by noise / A.L. Pankratov // Physics Letters A. - 1997. - Vol.234, №5. - P. 329-335.

[A7] Nikitenkova, S.P. Nondecay probability of the "correct"state of a memory cell: analytic approach versus numeric simulation / S.P. Nikitenkova, A.L. Pankratov // Physical Review E. - 1998. - Vol.58, №6. - P. 6964-6967.

[A8] Pankratov, A.L. Time evolution of averages in dynamical systems driven by noise / A.L. Pankratov // Phys. Lett. A. - 1999. - Vol.255, №1-2. - P. 17-22.

[A9] Pankratov, A.L. Adiabatic approximation and parametric stochastic resonance in a bistable system with periodically driven barrier / A.L. Pankratov, M. Salerno // Physical Review E. - 2000. - Vol.61, №2. - P. 1206-1210.

[A10] Antonov, A.A. Influence of thermal fluctuations on Chereukov radiation from fluxons in dissipative Josephson systems / A.A. Antonov, A.L. Pankratov, A.V. Yulin, J. Mygind // Physical Review B. - 2000. - Vol.61, №14. - P. 9809-9819.

[A.11J Pankratov, A.L. Resonant activation in periodically driven overdamped systems with noise / A.L. Pankratov, M. Salemo // Physics Letters A. -2000. - Vol.273, №3. - P. 162-166.

[A12] Pankratov, A.L. Suppression of noise in nonlinear systems subjected to strong periodic driving / A.L. Pankratov // Physical Review E. - 2002. - Vol.65, №2. - P. 022101-1 - 022101-3.

[A13] Pankratov, A.L. Form and width of spectral line of a Josephson Flux-Flow oscillator / A.L. Pankratov // Physical Review B. - 2002. - Vol.65, №5. - P. 054504-1 - 054504-9.

[A14] Koshelets, V.P. Linewidth of Josephson Flux Flow Oscillators / V.P. Koshelets, P.N. Dmitriev, A.S. Sobolev et al // Physica C. - 2002. - Vol.372376, №1. - P. 316-321.

[А15] Malakhov, A.N. Evolution times of probability distributions and averages -Exact solutions of the Kramers' problem / A.N. Malakhov, A.L. Pankratov // Advances in Chemical Physics. - 2002. - Vol. 121, №1. - P. 357-438.

[A16] Pankratov, A.L. Long Josephson junctions with spatially inhomogeneous driving / A.L. Pankratov // Physical Review B. - 2002. - Vol.66, №13. - P. 134526-1 - 134526-5.

[A17] Pankratov, A.L. Optimal pump frequency for ac hysteretic SQUID / A.L. Pankratov // Pliys. Rev. B. - 2003. - Vol.68, №2. - P. 024503-1-024503-5.

[A18] Pankratov, A.L. Suppression of noise in periodically driven nonlinear systems / A.L. Pankratov // Journal of Molecular Liquids. - 2004, - Vol.114, №1-3. - P. 173-177.

[A19] Koshelets, V.P. Superconducting Phase-Locked Local Oscillator for Submm Integrated Receiver / V.P. Koshelets, S.V. Shitov, L.V. Filippenko et al // Superconductor Science and Technology. - 2004. - Vol.17, №5. - P. S127-S131.

[A20] Pankratov, A.L. Suppression of Timing Errors in Short Overdamped Josephson Junctions / A.L. Pankratov, B. Spagnolo // Physical Review Letters. - 2004. - Vol.93, №17. - P. 177001-1-177001-4.

[A21| Koshelets, V.P. Optimization of the Phase-Locked Flux-Flow Oscillator for the submm Integrated Receiver / V.P. Koshelets, P.N. Dmitriev, A.S. Sobolev et al // IEEE Transactions on Applied Superconductivity, - 2005. - Vol.15, №2. - P. 964-967.

[A22] Gordeeva, A.V. Minimization of timing errors in reproduction of single flux quantum pulses / A.V. Gordeeva, A.L. Pankratov // Applied Physics Letters. - 2006. - Vol.88. - P. 022505-1-022505-3.

[A23] Sobolev, A.S. Numerical simulation of the self-pumped long Josephson junction using a modified sine-Gordon model / A.S. Sobolev, A.L. Pankratov, J. Mygind // Physica C. - 2006. - Vol.435, №1-2. - P. 112-113.

[A24| Соболев, А.С. Численное моделирование самонакаченного длинного джозефсоновского перехода с использованием модифицированной модели синус-Гордона / А.С. Соболев, A.JI. Панкратов // Нелинейный мир. - 2006. - №6. - С. 322-323.

[А25] Федоров, К.Г. Влияние флуктуаций на динамические свойства распределенных джозефсоновских переходов / К.Г. Федоров, A.JI. Панкратов // Радиотехника и электроника. - 2007. - Т.52, №1. - С. 114-118.

[A26J Spagnolo, В. Lifetime of metastable states and suppression of noise in interdisciplinary physical models / B. Spagnolo, A.A. Dubkov, A.L. Pankratov et al // Acta Physica Polonica B. - 2007. - Vol.38, №5. - P. 1925-1950.

|A27] Pankratov, A.L. Influence of surface losses and the self-pumping effect on current-voltage characteristics of a long Josephson junction / A.L. Pankratov, A.S. Sobolev, V.P. Koshelets, J. Mygind // Physical Review B. - 2007. - Vol.75, №18. - P. 184516-1-184516-5.

[A28j Fedorov, K.G. Mean time of the thermal escape in a current-biased long-overlap Josephson junction / K.G. Fedorov, A.L. Pankratov // Physical Review B. - 2007. - Vol.76, №2. - P. 024504-1-024504-5.

[A29] Pankratov, A.L. Spectral properties of phase locked Flux Flow Oscillator / A.L. Pankratov, V.L. Vaks, V.P. Koshelets // Journal of Applied Physics. -

2007. - Vol.102. - P. 063912-1-063912-6.

[A30] Pankratov, A.L. Minimizing the linewidth of the flux-flow oscillator / A.L. Pankratov // Appl. Phys. Lett. - 2008. - Vol.92. - P. 082504-1-082504-3.

[A31] Gordeeva, A.V. Minimization of thermal jitter in a balanced comparator SFQ cell / A.V. Gordeeva, A.L. Pankratov // Journal of Applied Physics. -

2008. - Vol.103. - P. 103913-1-103913-5.

[A32] Pankratov, A.L. Noise self-pumping in long Josephson junctions / A.L. Pankratov // Phys. Rev. B. - 2008. - Vol.78, №2. - P. 024515-1-024515-5.

[A33] Pankratov, A.L. Noise-induced effects in high-speed reversal of singledomain uniaxial magnetic nanoparticle / A.L. Pankratov, S.N. Vdovichev, I.M. Nefedov // Physical Review B. - 2008. - Vol.78, №5. - P. 052401-1052401-4.

ОГЛАВЛЕНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение 4

Глава 1. Описание случайных процессов и обзор литературы по методам на- 17 хождения временных характеристик случайных процессов

1.1 Описание случайных процессов в рамках уравнений Ланжевена и Фоккера- 17 Планка

1.2 Приближенные подходы для вычисления времени перехода 20

1.2.1 Подход Крамерса и температурная зависимость префактора времени Кра- 20 мерса

1.2.2 Собственные числа как скорости перехода 26

1.3 Время первого достижения границы 28

1.3.1 Вероятность достижения границы 29

1.3.2 Моменты времени первого достижения 31

1.4 Интегральное время релаксации как характерный масштаб эволюции изме- 34 ряемой величины

1.4.1 Эффективное собственное число и время корреляции 34

1.4.2 Обобщенное моментное разложение для релаксационных процессов 36

Глава 2. Обобщение аппарата времен первого достижения границы 40

2.1 Моменты времени перехода 40

2.2 Подход Малахова для получения среднего времени перехода 46

2.2.1 Постановка проблемы 46

2.2.2 Основная идея метода 50

2.2.3 Основные результаты, относящиеся к временам распада 53

2.3 Нахождение моментов времени перехода 56

2.4 Временные масштабы эволюции средних 58

2.5 Выводы ко второй главе 61 Глава 3. Временная эволюция измеряемых величии 62

3.1 Постоянные во времени потенциалы 62

3.1.1 Временная эволюция вероятности жизни метастабилыгаго состояния 63

3.1.2 Временная эволюция средних 71

3.1.3 Обсуждение применимости экспоненциального приближения 74

3.2 Изменяющиеся во времени потенциальные профили 77

3.3 Применение эффекта подавления шумов в магнитных системах 86

3.4 Выводы к третьей главе 95 Глава 4. Флуктуационные свойства точечных джозефсоновских контактов 97

4.1 Подавление ошибок переключения в логических быстрых одноквантовых 99 устройствах

4.2 Шумы в бистабильной ячейке памяти на основе параметрического квантро- 113 на

4.3 Минимизация шумов гистерезисного СВЧ СКВИДа 119

4.4 Выводы к четвертой главе 127 Глава 5. Флуктуационные свойства длинных джозефсоновских контактов 130

5.1 Индуцированные шумом переходы в длинных джозефсоновских контактах 130

5.2 Шумы черепковского генератора, основанного на когерентном излучении 140 квантов магнитного потока в длинном джозефсоновском контакте

5.3 Форма и ширина линии генератора, основанного на однонаправленном дви- 157 жении квантов магнитного потока в длинном джозефсоновском контакте

5.3.1 Постановка задачи 157

5.3.2 Вольт-амперные характеристики. Теория 160

5.3.3 Вольт-амперные характеристики. Компьютерное моделирование 168

5.3.4 Спектральные характеристики. Теория 179

5.3.5 Спектральные характеристики. Компьютерное моделирование 190

5.3.6 Спектральные характеристики генератора, включенного в систему фазо- 205 вой автоподстройки частоты

5.3.7 Выводы 215

5.4 Выводы к пятой главе 218 Заключение 220 Приложение 224 Литература 229 Список основных публикаций соискателя 250

Панкратов Андрей Леонидович

МИНИМИЗАЦИЯ ВЛИЯНИЯ ШУМОВ В УСТРОЙСТВАХ ДЖОЗЕФСОНОВСКОЙ ЭЛЕКТРОНИКИ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Подписано к печати 21 января 2009 г. Тираж 100 экз.

Отпечатано на ризографе Института физики микроструктур РАН, 603950, Нижний Новгород, ГСП-105,

Введение

1 Описание случайных процессов и обзор литературы по методам нахождения временных характеристик случайных процессов

1.1 Описание случайных процессов в рамках уравнений Ланжевена и Фоккера-П ланка.

1.2 Приближенные подходы для вычисления времени перехода

1.2.1 Подход Крамерса и температурная зависимость префак-тора времени Крамерса.

1.2.2 Собственные числа как скорости перехода.

1.3 Время первого достижения границы.

1.3.1 Вероятность достижения границы.

1.3.2 Моменты времени первого достижения

1.4 Интегральное время релаксации как характерный масштаб эволюции измеряемой величины.

1.4.1 Эффективное собственное число и время корреляции

1.4.2 Обобщенное моментное разложение для релаксационных процессов.

2 Обобщение аппарата времен первого достижения границы

2.1 Моменты времени перехода.

2.2 Подход Малахова для получения среднего времени перехода

2.2.1 Постановка проблемы.

2.2.2 Основная идея метода.

2.2.3 Основные результаты, относящиеся к временам распада.

2.3 Нахождение моментов времени перехода

2.4 Временные масштабы эволюции средних

2.5 Выводы ко второй главе.

3 Временная эволюция измеряемых величин

3.1 Постоянные во времени потенциалы.

3.1.1 Временная эволюция вероятности жизни метастабиль-ного состояния.

3.1.2 Временная эволюция средних.

3.1.3 Обсуждение применимости экспоненциального приближения

3.2 Изменяющиеся во времени потенциальные профили.

3.3 Применение эффекта подавления шумов в магнитных системах

3.4 Выводы к третьей главе.

4 Флуктуационные свойства точечных джозефсоновских контактов

4.1 Подавление ошибок переключения в логических быстрых одно-квантовых устройствах.

4.2 Шумы в бистабильной ячейке памяти на основе параметрического квантрона

4.3 Минимизация шумов гистерезисиого СВЧ СКВИДа.

4.4 Выводы к четвертой главе.

5 Флуктуационные свойства длинных джозефсоновских контактов

5.1 Индуцированные шумом переходы в длинных джозефсоновских контактах.

5.2 Шумы черенковского генератора, основанного на когерентном излучении квантов магнитного потока в длинном джозефсонов-ском контакте.

5.3 Форма и ширина линии генератора, основанного на однонаправленном движении квантов магнитного потока в длинном джозефсоновском контакте.

5.3.1 Постановка задачи.

5.3.2 Вольт-амперные характеристики. Теория.

5.3.3 Вольт-амперные характеристики. Компьютерное моделирование

5.3.4 Спектральные характеристики. Теория.

5.3.5 Спектральные характеристики. Компьютерное моделирование

5.3.6 Спектральные характеристики генератора, включенного в систему фазовой автоподстройки частоты.

5.3.7 Выводы.

5.4 Выводы к пятой главе.

После предсказания [1] и экспериментального обнаружения [2] эффекта Джо-зефсона [3],[4], устройства на основе этого эффекта, благодаря своим рекордным характеристикам, а также компактности и крайне малому энергопотреблению, нашли широкое применение в различных областях физики, биофизики и техники [5],[6]. В настоящее время сверхпроводящие квантовые интерферометры (СКВИДы) [7] являются наиболее чувствительными датчиками магнитного потока и используются как для измерения биополей человека, так и для неразрушающего контроля различных конструкций. Устройства быстрой одноквантовой (БОК) логики [8] являются основой сверхбыстродействующих цифро-аналоговых и аналого-цифровых преобразователей и цифровых СКВИДов. Также устройства БОК логики рассматриваются в качестве наиболее перспективного кандидата для создания петафлоп1 компьютера [9] благодаря высоким рабочим частотам элементов БОК логики, близким к 1 ТГц. Более того, и СКВИДы и БОК устройства могут быть использованы и для реализации кубитов - элементов квантовых компьютеров, и для описания макроскопического квантового поведения, например для создания считывающей электроники для квантовых вычислений [10]. Джозеф ооновские генераторы используются в качестве гетеродинов сверхпроводящих интегральных приемников для радиоастрономических и экологических измерений [11].

Как известно [Б], из-за высокой чувствительности джозефсоновских переходов к электромагнитному полю на их свойства большое влияние оказывают флуктуации. Из-за этого большую часть реально наблюдаемых явлений нельзя объяснить без учета стохастических, иногда очень сложных процессов в переходах. Флуктуации приводят к ограничению чувствительности сверхпроводящих квантовых интерферометров, к сбоям в работе логических

1"petaflop" (петафлоп) - миллион миллиардов операций с плавающей точкой в секунду, в настоящее время благодаря прогрессу в полупроводниковых технологиях уже создано несколько суперкомпьютеров, имеющих производительность около 1 петафлоп. устройств и уширению спектральной линии генераторов. Поэтому разработка теоретического описания, помогающего более полному пониманию природы флуктуационных явлений в устройствах джозефсоновской электроники, и позволяющего минимизировать влияние флуктуаций, является важной как с фундаментальной, так и с прикладной точек зрения.

В большинстве практически интересных случаев, случайные процессы, происходящие в джозефсоновских контактах, могут быть описаны в рамках модели марковского процесса, или же нескольких марковских процессов. При этом наибольший интерес с прикладной точки зрения представляют контакты с большим затуханием (малой емкостью), т.к. такие устройства имеют малое время отклика. Тем не менее даже модель одномерного марковского процесса является достаточно сложной для анализа. Плотность вероятности марковского процесса подчиняется уравнению Фоккера-Планка. Уравнение Фоккера-Планка - это уравнение в частных производных. Его нестационарное решение известно аналитически только для нескольких частных случаев потенциальных профилей. Если же уравнение Фоккера-Планка имеет более одной пространственной переменной, даже точные стационарные решения можно получить далеко не всегда. Вот почему наиболее простым: и распространенным путем анализа переходных диффузионных процессов является приближенное получение временных характеристик.

Не ограничиваясь рассмотрением стохастической динамики джозефсоновских устройств, следует отметить, что исследование временных масштабов переходных процессов в различных мультистабильных системах, находящихся под воздействием шумов, также является крайне важной задачей в физике (например, в полупроводниковой электронике [12], [13], при исследовании поведения магнитного момента ферромагнитных частиц [14]-[17], в системах фазовой синхронизации [18], при описании распространения электромагнитных волн в случайно-неоднородных средах [19]-[22]), химии и биологии (например, межклеточный транспорт биомолекул [23], движение атомов в протеинах [24] и случайное движение реактантов во время химических и биохимических реакций [25]-[28],[13],[14]).

Первой иностранной работой, посвященной проблеме нахождения времен индуцированных шумом переходов в нелинейных системах и представившей приближенный анализ, была работа Крамерса [25]. Крамере использовал уравнение Фоккера-Планка для плотности вероятности броуновской частицы для получения некоторых приближенных выражений для требуемых времен перехода. Основной идеей метода Крамерса является предположение, что поток вероятности через потенциальный барьер мал, и, таким образом, постоянен. Это условие применимо только если потенциальный барьер является достаточно высоким по сравнению с интенсивностью шума. Для получения точных временных характеристик и плотностей вероятностей необходимо получить точное нестационарное решение уравнения Фоккера-Планка, что является основной трудностью задачи исследования переходных диффузионных процессов.

Рассматривая одномерную броуновскую диффузию (броуновское движение в пределе большой вязкости), отметим, что общеупотребимо несколько различных временных характеристик, определенных различным образом (см. обзор [12] и книги [13],[29],[30]), например время распада метастабильного состояния или время релаксации к стационарному состоянию. Часто используется метод собственных функций [13],[29]-[32], когда требуемый временной масштаб (время релаксации) предполагается равным обратному минимальному ненулевому собственному числу. Однако, с помощью этого метода удалось получить искомые временные характеристики, справедливые для любой высоты потенциального барьера, лишь для некоторых простейших моделей потенциальных профилей (см., напр., [13] и [12]). Для произвольных потенциальных профилей собственные функции уравнения Фоккера-Планка неизвестны. Но даже для тех модельных случаев нелинейных систем, для которых представляется возможным найти собственные функции, нахождение соответствующих собственных чисел для произвольной интенсивности шума является практически безнадежным делом: аналитически эту задачу удается решить только в пределе малого, по сравнению с высотой потенциального барьера, шума. Например, кусочно-параболический потенциальный профиль рассматривался в работах [33], [34]. Однако, использованный в этих работах вышеупомянутый метод разложения по собственным функциям не позволил найти решение для произвольной высоты потенциального барьера; полученные приближенные решения и поправки относятся к высоким потенциальным барьерам. Кроме того, этот метод не применим для случая больших интен-сивиостей шума, поскольку в этом случае высшие собственные числа также должны быть приняты во внимание.

Для одномерной диффузионной динамики, описываемой уравнением Фоккера-Планка, могут быть вычислены точно, т.е. для произвольной интенсивности шума, моменты времени первого достижения (ВПД) границы [35] (надо отметить, что эта работа Понтрягина, Андронова и Витта была опубликована на семь лет раньше, чем широко цитируемая работа Крамерса [25]). Но при использовании подхода ВПД, должны быть дополнительно введены поглощающие границы. И метод собственных функций и подход ВПД были широко использованы для описания задач химической физики [33],[36]-[42].

Однако, большинство прикладных задач (см. примеры, приведенные выше) описываются гладкими потенциальными профилями и не имеют поглощающих границ, поэтому моменты ВПД могут дать неадекватные значения временных масштабов в таких случаях.

Цель данной работы, начатой под руководством заслуженного деятеля науки России, профессора А.Н. Малахова, разработать подходы для получения точных временных характеристик случайных процессов диффузионного типа (марковских процессов), которые по сути являются обобщением метода ВПД и основываются на определении характерного временного масштаба эволюции наблюдаемой величины как интегрального времени релаксации [15],[16],[43]-[54]. Разработанные подходы позволяют точно аналитически получить требуемые временные масштабы и приближенно (но достаточно точно для практических задач) описать временную эволюцию вероятности и средних случайных процессов в широкой области параметров. В случае, когда аналитический анализ реальных устройств в рамках уравнения Фоккера-Планка не представляется возможным, будут использованы асимптотические подходы, а также проведен численный анализ с целыо выработки рекомендаций по минимизации влияния шумов и флуктуаций на рассматриваемые устройства. Применение разработанных подходов позволило решить значительное число прикладных задач джозефсоновской электроники.

Цели работы:

- разработать подходы для получения моментов времени перехода в нелинейных динамических системах с шумами, описываемых одномерным уравнением Фоккера-Планка, а также характерных временных масштабов эволюции различных средних;

- провести анализ влияния тепловых флуктуаций на временные и спектральные характеристики джозефсоновских контактов и устройств на их основе, таких, как СВЧ СКВИДы и устройства быстрой одноквантовой логики, а также СВЧ генераторы;

- разработать асимптотические подходы, а также провести численный анализ с целью выработки рекомендаций по минимизации влияния шумов и флуктуаций на указанные устройства в случае, когда анализ реальных устройств в рамках уравнения Фоккера-Планка не представляется возможным.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Предложено определение моментов времени перехода в нелинейных динамических системах с шумами, являющееся обобщением моментов времени первого достижения на случай произвольных граничных условий. Получены квадратурные формулы для этих моментов. Получены квадратурные формулы для характерных временных масштабов эволюции различных средних (математическое ожидание, дисперсия, функция корреляции и др.).

2. Обнаружен эффект подавления шума в нелинейных системах, подверженных влиянию внешнего периодического воздействия и широкополосного шума. Показано, что если периодическое воздействие превышает статическое пороговое значение, то при оптимальном выборе параметров системы шум может быть эффективно подавлен, что проявляется как в слабой зависимости среднего времени перехода между состояниями системы от интенсивности шума и наличии минимума среднеквад-ратического отклонения, так и в резонансном поведении отношения сигнал/шум как функции частоты воздействующего сигнала.

3. Явление подавления шума в нелинейных системах при внешнем периодическом воздействии и широкополосном шуме, изучено для моделей точечного джозефсоновского контакта и гпстерезисного СВЧ СКВИДа.

Показано, что и среднее время переключения и средиеквадратическое отклонение имеют минимумы как функции частоты сигнала. Кроме того, отношение сигнал-шум имеет максимум при определенной частоте накачки СКВИДа, равной примерно 1/3 его характерной частоты.

4. Аналитически и численно исследовано среднее время индуцированных шумом переключений длинного джозефсоновского контакта. Предложен эффективный способ оценки степени равномерности распределения тока смещения.

5. Исследованы корреляционные и спектральные характеристики черен-ковского генератора, основанного на когерентном излучении квантов магнитного потока в длинном джозефсоновском контакте, связанном с замедляющей волноведущей системой. Показано, что выходная мощность имеет максимум, а ширина линии имеет минимум как функции управляющего тока.

6. Исследованы спектрально-корреляционные свойства генератора бегущих волн (ГБВ), основанного на однонаправленном движении квантов магнитного потока в длинном джозефсоновском контакте. Найдены аналитические выражения для ширины и формы спектральной линии. Сравнение с экспериментальными данными и результатами численного моделирования показывает хорошее совпадение с теоретической формулой для ширины линии ГБВ. Обнаружено, что в зависимости от длины несмещенного края ГБВ, мощность излучения может быть максимизирована, а ширина линии минимизирована в широкой области токов смещения.

Практическая значимость работы. Результаты диссертации могут быть использованы при проектировании устройств джозефсоновской электроники как в научно-исследовательских учреждениях, например в ИРЭ РАН и НИ-ИЯФ МГУ (г. Москва), так и в организациях, занимающихся разработкой и созданием джозефсоновских систем.

Положения, выносимые на защиту.

1. Метод получения точных значений моментов времени перехода и характерных временных масштабов эволюции статистических характеристик броуновской диффузии в произвольных потенциальных профилях.

2. Обнаружение эффекта подавления шума в нелинейных динамических системах, подверженных влиянию внешнего периодического воздействия и широкополосного шума и использование данного эффекта для минимизации влияния шумов в СВЧ гистерезисных СКВИДах и устройствах быстрой одноквантовой логики.

3. Предложен эффективный способ оценки степени равномерности распределения тока смещения длинных джозефсоновских контактов.

4. Развита количественная теория оценки влияния тепловых флуктуаций на спектральные характеристики джозефсоновских генераторов бегущих волн.

Публикации и апробация результатов работы. Результаты диссертации отражены в 70 публикациях. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 33 статьях в научных журналах, рекомендованных ВАК, включая обзор в журнале Advances in Chemical Physics, 6 статьях в научно-технических сборниках, а также в 31 тезисах докладов конференций.

Результаты диссертации докладывались: на конференции "Noise in Physical Systems and 1/f Fluctuations" (Сант-Луис, США, 1993), на международной школе-семинаре "Dynamic & Stochastic Wave Phenomena" (Нижний Новгород - Москва, Россия, 1994), на конференции "Fluctuation Phenomena in Physical Systems" (Паланга, Литва, 1994), на конференциях по сверхпроводниковой электронике ISEC (Нагойя, Япония, 1995 и Берлин, Германия, 1997), на конференциях по нелинейной динамике (ICND'96, Саратов, Россия, 1996 и ANDM, Сан-Диего, США, 1997), на конференциях по прикладной сверхпроводимости ASC (Palm Springs Desert, США, 1998 и Jacksonville, США, 2004), на конференциях EURESCO (Маратэа, Италия, 2000 и Поммерсфельден, Германия, 2002), на международной конференции "Frontiers in Nonlinear Physics" (Нижний Новгород, Россия, 2001), на конференции по прикладной сверхпроводимости EUCAS (Люнгбю, Дания, 2001; Сорренто, Италия, 2003 и Врюссель, Бельгия, 2007), на конференциях "Diffusion and Relaxation in Disordered Fractal Systems" (Дублин, Ирландия, 2002), SYNCHRO'02 (Саратов, Россия, 2002), "Nanoscale Superconductivity and Magnetism 2006" (Левен, Бельгия, 2006), "Constructive role of noise in complex systems" (Дрезден, Германия, 2006), а также на семинарах Института Физики Микроструктур РАН и кафедры бионики и статистической радиофизики ННГУ.

Личный вклад соискателя. В статьях [14,19,21] соискатель выполнял теоретические исследования, в статьях [2,5,22,25,26,28,31,33] вклад соискателя эквивалентен вкладу соавторов. В остальных работах все основные результаты получены соискателем лично.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, приложения и списка цитируемой литературы. Общий объем работы - 259 страниц, включая 221 страницу основного текста, 91 рисунок и список литературы из 197 ссылок.

5.4 Выводы к пятой главе.

В пятой главе приведены результаты компьютерного моделирования флук-туационной динамики длинного джозефсоновского контакта планарной геометрии в рамках модели синус-Гордона с белошумовым источником. Показано, что для случая с постоянной плотностью критического тока среднее время переключения (СВП) в резистивное состояние увеличивается с увеличением длины контакта и для однородного распределения тока смещения СВП стремится к константе, в то время как для неоднородного распределения тока смещения СВП быстро уменьшается после достижения нескольких джозефсоновских длин. На основании полученных результатов предложен эффективный способ оценки равномерности распределения тока смещения в длинных джозефсоновских контактах.

Исследовано влияние флуктуаций на эффект черенковского излучения из длинных кольцевых джозефсоновских контактов. Показано, что шум приводит к уменьшению мощности генератора, что вызвано рассинхронизацией движения магнитных вихрей в тормозящем поле электромагнитной волны и устойчивая генерация наблюдается при значениях тока смещения, меньших, чем оптимальное значение в отсутствие шума. Показано, что мощность генерации имеет максимум, а ширина спектральной линии - минимум как функции тока смещения при фиксированной интенсивности флуктуаций. Оценки, следующие из полученных формул, предсказывают, что такие генераторы должны иметь большую мощность и меньшую ширину линии, чем стандартные генераторы бегущих волн.

Исследованы корреляционные и спектральные характеристики генератора бегущих волн, основанного на однонаправленном движении квантов магнитного потока в длинном джозефсоновском контакте. Получены аналитические выражения для ширины и формы спектральной линии, учитывающие как флуктуации тока смещения, так и магнитного поля. Сравнение с экспериментальными данными и результатами численного моделирования показывает хорошее совпадение с теоретической формулой для ширины линии ГБВ. Обнаружено, что в зависимости от длины несмещенного края ГБВ, мощность излучения может быть максимизирована, а ширина линии может быть минимизирована в широкой области токов смещения. Показано, что минимально достижимая ширина линии имеет минимум как функция длины контакта, а при больших длинах ширина линии выходит на константу, а не уменьшается с увеличением длины, как это предсказывалось ранее существующими теориями. Изучены спектральные свойства ГБВ, включенного в систему фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ). Показано, что спектральная плотность мощности синхронизованного ГБВ может быть достаточно хорошо описана в рамках модели ФАПЧ с пропорционально-интегрирующим фильтром. Полученные результаты позволяют предсказать спектральное качество для данной системы ФАПЧ в зависимости от автономной ширины линии ГБВ. Как следует из проведенного анализа, для ФАПЧ с полосой управления 10 МГц автономная ширина спектральной линии не должна превышать 5-6 МГц для синхронизации 50% мощности ГБВ и 3 МГц для синхронизации 70% мощности.

Заключение

В заключение сформулируем основные результаты, приведенные в данной диссертационной работе:

1. Предложено определение моментов времени перехода в нелинейных динамических системах с шумами, являющееся обобщением моментов времени первого достижения на случай произвольных граничных условий и получены квадратурные формулы для этих моментов. Получены квадратурные формулы для характерных временных масштабов эволюции различных средних (математическое ожидание, дисперсия, функция корреляции и др. ).

2. Численно исследована эволюция вероятности перехода и некоторых средних марковских процессов. Показано, что в случае, когда происходит индуцированный шумом переход через потенциальный барьер, экспоненциальное приближение применимо не только в пределе малой интенсивности шума, как было известно ранее, но и при интенсивности шума порядка или больше высоты барьера, если в качестве характерного временного масштаба выбрано соответствующее интегральное время релаксации.

3. Обнаружено явление подавления шума в нелинейных динамических системах, подверженных влиянию внешнего периодического воздействия и широкополосного шума. Показано, что если периодическое воздействие превышает статическое пороговое значение, то при оптимальном выборе параметров системы шум может быть эффективно подавлен, что проявляется как в слабой зависимости времени перехода между состояниями системы от интенсивности шума и наличии минимума среднеквадратического отклонения, так и в резонансном поведении отношения сигнал/шум как функции частоты сигнала.

4. Исследовано влияние тепловых флуктуаций на процесс высокоскоростного перемагничивания однодоменной одноосевой магнитной наночасти-цы. Показано, что при перемагничивании импульсом с плавными фронтами, существует оптимальная длительность импульса, при которой и среднее время перемагничивания (СВП) и среднеквадратическое отклонение (СО) принимают минимальные значения. Также и СВП и СО сильно зависят от угла между переключающим магнитным поле и осью анизотропии. По сравнению со случаем осевой симметрии, при оптимальном значении угла перемагничивания СВП может быть уменьшено от семи раз до двух порядков, а СО может быть уменьшено от одного до трех порядков при изменении затухания от 1 до 0.01.

5. Аналитически и численно исследованы среднее время переключения и среднеквадратическое отклонение джозефсоновского контакта с малой емкостью, подверженного периодическому воздействию. Для случая последовательности импульсов прямоугольной формы полученное аналитическое описание справедливо для произвольной интенсивности шума и в области частот, представляющих практический интерес. Для случая синусоидального воздействия и среднее время переключения и среднеквадратическое отклонение имеют минимумы как функции частоты сигнала. Обнаружен эффект увеличения среднего времени переключения из-за влияния шумов.

6. Явление подавления шума в нелинейных динамических системах, подверженных влиянию внешнего периодического воздействия и широкополосного шума, исследовано для модели гистерезисного СВЧ СКВИДа. Показано, что отношение сигнал-шум имеет максимум при определенной частоте накачки СКВИДа, равной примерно 1/3 характерной частоты СКВИДа. Найдена область вольт-полевой характеристики, слабо зависящей от интенсивности шума. Это позволяет уменьшить влияние индуцированных шумом ошибок измерения магнитного потока, и повысить чувствительность данного устройства.

7. Проведено компьютерное моделирование флуктуационной динамики длинного джозефсоновского контакта планарной геометрии в рамках модели синус-Гордона с белошумовым источником. Показано, что для случая с постоянной плотностью критического тока среднее время переключения (СВП) в резистивное состояние увеличивается с увеличением длины контакта и для однородного распределения тока смещения СВП стремится к константе, в то время как для неоднородного распределения тока смещения СВП быстро уменьшается после достижения нескольких джозефсоновских длин. На основании полученных результатов предложен эффективный способ оценки равномерности распределения тока смещения в длинных джозефсоновских контактах.

8. Исследованы корреляционные и спектральные характеристики черен-ковского генератора, основанного на когерентном излучении квантов магнитного потока в длинном джозефсоповском контакте, связанном с замедляющей волноведущей системой. Показано, что выходная мощность имеет максимум, а ширина спектральной линии имеет минимум как функции управляющего тока.

9. Исследованы корреляционные и спектральные характеристики генератора бегущих волн (ГБВ), основанного на однонаправленном движении квантов магнитного потока в длинном джозефсоновском контакте. Получены аналитические выражения для ширины и формы спектральной линии, учитывающие как флуктуации тока смещения, так и магнитного потока. Сравнение с экспериментальными данными и результатами численного моделирования показывает хорошее совпадение с теоретической формулой для ширины линии ГБВ. Обнаружено, что в зависимости от длины несмещенного края ГБВ, мощность излучения может быть максимизирована, а ширина линии может быть минимизирована в широкой области токов смещения. Показано, что минимально достижимая ширина линии имеет минимум как функция длины контакта, и при больших длинах ширина линии выходит на константу, а не уменьшается с увеличением длины, как это предсказывалось ранее существующими теориями. Показано, что спектральная плотность мощности ГБВ, включенного в систему фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ) может быть достаточно хорошо описана в рамках модели ФАПЧ с пропорционально-интегрирующим фильтром. Полученные результаты позволяют предсказать спектральное качество для данной системы ФАПЧ в зависимости от автономной ширины линии ГБВ.

Соискатель выражает благодарность С.В. Гапонову, А.И. Саичеву, B.JI. Ваксу и А.А. Фраерману за поддержку при написании данной диссертации, В.В. Курину, А.А. Андронову и А.С. Мельникову за внимательное прочтение диссертационной работы и ряд ценных замечаний. Работа выполнялась в рамках российских и международных проектов: РФФИ (проекты 94-0204698. 96-02-16772. 97-02-16928, 99-02-17544, 00-02-16528, 02-02-17517, 02-0216775, 03-02-16533, 08-02-97033), ИНТАС (проекты 01-0367 и 01-0450), МНТЦ (проекты 2445 и 3174) и Российского Фонда Поддержки Науки. Основная часть результатов, представленных в диссертационной работе, удостоена Государственной премии РФ в области науки и техники для молодых ученых.

1. Josephson, B.D. Possible new effects in superconductive tunnelling / B.D. Josephson // Phys. Lett. - 1962. - Vol. 1, №2. - P. 251-253.

2. Anderson, P.W. Probable observation of the josephson superconducting tunneling effect / P.W. Anderson, J.M. Rowell // Phys. Rev. Lett. 1963. - Vol. 10, №2. - P. 230-232.

3. Likharev, K.K. Superconducting weak links / K.K. Likharev // Rev. Mod. Phys. 1979. - Vol. 51, №1. - P. 101-159.

4. Golubov, A.A. The current-phase relation in Josephson junctions / A.A. Golubov, M. Yu. Kupriyanov, E. Il'ichev // Rev. Mod. Phys. 2004. - Vol. 76, №2. - P. 411-469.

5. Лихарев, K.K. Введение в динамику джозефсоновских переходов / K.K. Лихарев. М.: Наука, 1985. - 242 с.

6. Barone, A. Physics and Applications of the Josepson Effect / A. Barone, G. Paterno. New York: Wiley, 1982. - p. 551.

7. Koelle, D. High-transition-temperature superconducting quantum interference devices / D. Koelle, R. Kleiner, F. Ludwig et al. // Rev. Mod. Phys. 1999. - Vol. 71, №3. - P. 631-686.

8. Dorojevcts, M. FLUX chip: design of a 20-GHz 16-bit ultrapipelined RSFQ processor prototype based on 1.75-цт LTS technology / M. Dorojevets, P. Bunyk, D. Zinoviev. // IEEE Trans. Appl. Supercond.- 2001. Vol. 11, №1. - P. 326-332.

9. Koshelets V.P. Integrated superconducting receivers / V.P. Koshelets, S.V. Shitov // Supercond. Sci. Technol. 2000. - Vol. 13, №5. - P. R53-69.

10. Hanggi, P. Reaction-rate theory: fifty years after Kramers / P. Hanggi, P. Talkner, M. Borkovec. // Rev. Mod. Phys. 1990. - Vol. 62, №2. - P. 251-341.

11. Risken, H. The Fokker-Planck equation / H. Risken. 2-nd ed. - Berlin: Springer Verlag, 1989. - p. 472.

12. Coffey, W.T. The Langevin Equation / W.T. Coffey, Yu.P. Kalmykov, J.T. Waldron. Singapore: World Scientific, 1996. - p. 413.

13. Гаранин, Д.А. Динамика ансамбля однодоменных магнитных частиц / Д.А. Гаранин, В.В. Ищенко, JI.B. Панина. // Теор. Мат. Физ. 1990. -Vol. 82, №2. - Р. 242-256.

14. Garanin, D.A. Integral relaxation time of single-domain ferromagnetic particles / D.A. Garanin. // Phys. Rev. E. 1996. Vol. 54, №4. - P. 32503256.

15. Coffey, W.N. Constant-magiietic-field effect in Neel relaxation of single-domain ferromagnetic particles / W.T. Coffey, D.S.F. Crothers, Yu.P. Kalmykov, J.T. Waldron. // Phys. Rev. B. 1995. - Vol. 51, №4. - P. 1594715956.

16. Анищенко, B.C. Синхронизация автогенераторов и индуцированные шумом колебания / B.C. Анищенко, Т.Е. Вадивасова. // Радиотехника и электроника. 2002. - Т. 47, №2. - С. 133-165.

17. Кляцкин, В.И. Стохастические уравнения глазами физика / В.И. Кляц-кин. М.: Физматлит, 2001. - 528 с.

18. Кляцкин, В.И. Динамика стохастических систем / В.И. Кляцкин. М.: Физматлит, 2002. - 240 с.

19. Кляцкин, В.И. Распространение электромагнитных волн в случайно-неоднородной среде как задача статистической математической физики / В.И. Кляцкин. // Успехи Физических Наук. 2004. - Т. 174, №2. - С. 177-195.

20. Рытов, С.М. Введение в статистическую радиофизику. Т. 2 / С.М. Ры-тов, Ю.А. Кравцов,.В.И. Татарский. М.: Наука, 1978. - 494 с.

21. Weigel, F.W. Diffusion and the physics of chemoreception / F.W. Weigel. // Phys. Rep. 1983. - Vol. 95, №5. - P. 283-319.

22. McCammon, J.A. Protein dynamics / J.A. McCammon. // Rep. Prog. Phys. -1984. -Vol. 47, m. P. 1-46.

23. Kramers, H. Brownian motion in a field of force and the diffusion model of chemical reactions / H. Kramers. // Physica. 1940. - Vol. 7, №4. - P. 284-304.

24. Northrup, S.H. Reactive dynamics for diffusive barrier crossing / S.H. Northrup, J. T. Hynes. // J. Chem. Phys. 1978. - Vol. 69, №12. - P. 5246-5260.

25. Man der Zwan, G. Reactive paths in the diffusion limit / G. van der Zwan, J. T. Hynes. // J. Chem. Phys. 1982. - Vol. 77, №3. - P. 1295-1301.

26. Gardiner, C.W. Handbook of Stochastic methods / C.W. Gardiner. Berlin: Springer-Verlag, 1985. - p. 526.

27. Van Kempen, N.G. Stochastic process in physics and chemistry / N.G. van Kempen. 2-nd ed. - Amsterdam: North-Holland, 1992. - p. 376.

28. Stratonovich, R.L. Topics of the Theory of Random Noise / R.L. Stratonovich. New York: Gordon and Breach, 1963. - p. 329.

29. Тихонов, В.И. Марковские процессы / В.И. Тихонов, М.А. Миронов-М.: Советское радио, 1977. 582 с.

30. Larson, R.S. Kramcrs's theory of chemical kinetics: Eigenvalue and eigenfunction analysis / R.S. Larson, M.D. Kostin. // J. Chem. Phys. -1978. Vol. 69, №11. - P. 4821-4829.

31. Blomberg, C. The Brownian motion theory of chemical transition rates / C. Blomberg. // Physica A. 1977. - Vol. 86, №1. - P. 49-66.

32. Понтрягин, JI.А. О статистическом рассмотрении динамических систем / Л.А. Понтрягин, А.А. Андронов, А.А. Витт. // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1933. - Т. 3, №3. - С. 165-180.

33. Larson, R.S. Thermally activated crossing of a sharp potential barrier / R.S. Larson. // J. Chem. Phys. 1984. - Vol. 81, №4. - P. 1731-1738.

34. Oppenheim, I. Stochastic processes in chemical physics: the master equation / I. Oppenheim, K.E. Shuler, G.H. Weiss. Cambridge: MIT, 1977. - 561p.

35. Szabo, A. First passage time approach to diffusion controlled reactions / A. Szabo, K. Schulten, Z. Schulten. // J. Chem. Phys. 1980. - Vol. 72, №8. -P. 4350-4357.

36. Schulten, K. Dynamics of reactions involving diffusive barrier crossing / K. Schulten, Z. Schulten, A. Szabo. // J. Chem. Phys. 1981. - Vol. 74, №8. -P. 4426-4432.

37. West, B.J. Analytic theory of extrema. IV. Relaxation from metastable and unstable states / B.J. West, K. Lindenberg, V. Seshadri. // J. Chem. Phys. 1980. - Vol. 72, №2. - P. 1151-1155.

38. Deutch, J. A simple method for determining the mean passage time for diffusion controlled processes / J. Deutch. // J. Chem. Phys. 1980. - Vol. 73, №9. - P. 4700-4701.

39. Carmeli, В. First passage times and the kinetics of unimolecular dissociation / B. Carmeli, A. Nitzan. // J. Chem. Phys. 1982. - Vol. 76, №11. - P. 53215333.

40. Nadler, W. Generalized moment expansion for Brownian relaxation processes / W. Nadler, K. Schulten. // J. Chem. Phys. 1985. - Vol. 82, Ш. - P. 151-160.

41. Jung, P. Correlation functions and correlation times for models with multiplicative white noise / P. Jung, H. Risken. // Z. Phys. B. 1985. -Vol. 59, m. - P. 469-481.

42. Agudov, N.V. Nonstationary diffusion through arbitrary piecewise-linear potential profile. Exact solution and time characteristics / N.V. Agudov, A.N. Malakhov. // Radiophys. Quantum Electron. 1993. - Vol. 36, №2. -P. 97-109.

43. Malakhov, A.N. Exact solution of the Kramers' problem for piece-wise parabolic potential profiles / A.N. Malakhov, A.L. Pankratov. // Physica A. 1996. - Vol. 229, №1. - P. 109-126.

44. Malakhov, A.N. Influence of thermal fluctuations on time characteristics of single Josephson element with high damping. Exact solution / A.N. Malakhov, A.L. Pankratov. // Physica C. 1996. - Vol. 269, №1-2. - P. 46-54.

45. Malakhov, A.N. Time scales of overdamped nonlinear Brownian motion in arbitrary potential profiles. / A.N. Malakhov. // Chaos. 1997. - Vol.7, №3. - P. 488-504.

46. Coffey, W.T. Comparison of methods for the calculation of the superparamagnetic relaxation time / W.T. Coffey, D.S.F. Crothers. // Phys. Rev. E. 1996. - Vol. 54, №5. - P. 4768-4774.

47. Kalmykov, Yu.P. Exact analytic solution for the correlation time of a Brownian particle in a double-well potential from the Langevin equation / Yu.P. Kalmykov, W.T. Coffey, J. T. Waldron. // J. Chem. Phys. 1996.- Vol. 105, №5. P. 2112-2118.

48. Coffey, W.T. Effect of a uniform bias force on the Brownian movement in double-well potentials. / W.T. Coffey, D.S.F. Crothers, Yu.P. Kalmykov. // Physical Review E. 1997. - Vol.55, №4. - P. 4812-4815.

49. Coffey, W.T. Mean first passage times of Brownian rotators from differential recurrence relations / W.T. Coffey. // J. Chem. Phys. 1999. - Vol.111, №18.- P. 8350-8355.

50. Kolmogorov A.N. Ueber die analytischen Mefchoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung (Об аналитических методах в теории вероятностей) / A.N. Kolmogorov. // Math. Ann. 1931. - Vol.104. - P. 415-458.

51. Melnikov, V.I. The Kramers problem: Fifty years of development / V.I. Melnikov. // Phys. Rep. 1991. - Vol. 209, №1-2. - P. 1-71.

52. Edholm, O. The accuracy of Kramers' theory of chemical kinetics / O. Edholm, O. Leimar. // Physica A. 1979. - Vol.98, №1-2. - P. 313-324.

53. Агудов, H.B. Влияние формы потенциального профиля метастабильного состояния на температурную зависимость его времени жизни / Н.В. Агудов, А.Н. Малахов. // Известия вузов. Прикладная Нелинейная Динамика. 1995. - т. 3, №3. - с. 80-90.

54. Reimann, P. Universal equivalence of mean first-passage time and Kramers rate / P. Reimann, G. J. Schmid, P. Hanggi. // Phys. Rev. E. 1999. - Vol. 60, №1. - P. R1-R4.

55. Малахов, А.Н. Флуктуации в автоколебательных системах / А.Н. Малахов. М.: Наука, 1968. - с. 660.

56. San Miguel, М. Effective eigenvalue for the intensity correlations of single-mode and two-mode lasers / M. San Miguel, L. Pesquera, M. A. Rodriguez, A. Hernandez-Machado. // Phys. Rev. A. 1987. - Vol. 35, №1. - P. 208-217.

57. Coffey, W.T. Exact analytic formula for the correlation time of a single-domain ferromagnetic particle / W.T. Coffey, D. S. F. Crothers, Yu. P. Kalmykov et al. // Phys. Rev. E. 1994. - Vol. 49, №3. - P. 1869-1882.

58. Arecci, F.T. Dynamics of the laser radiation at threshold / F.T. Arecci, M. Giglio, A. Sona. // Phys. Lett. A. 1967. - Vol. 25, №4. - P. 341-342.

59. Chopra, S. Intensity correlation function of a laser beam near threshold / S. Chopra, L. Mandel. // IEEE J. Quant. Electron. 1972. - Vol. QE-8, №3. -P. 324-327.

60. Pankratov, A.L. On certain time characteristics of dynamical systems driven by noise / A.L. Pankratov. // Phys. Lett. A. 1997. - Vol. 234, №5. - P. 329-335.

61. Малахов, А.Н. Кумулянтный анализ случайных негауссовских процессов и их преобразований. / А.Н. Малахов. М.: Советское Радио, 1978. - 376 с.

62. Luis Garsia-Palacios, J. Langevin-dynamics study of the dynamical properties of small magnetic particles / J. Luis Garsia-Palacios, Fr. J. Lazaro. // Phys. Rev. B. 1998. - Vol. 58, №2. - P. 14937-14958.

63. Colet, P. Relaxation from a marginal state in optical bistability / P. Colet, M. San Miguel, J. Casademunt, J.M. Sancho. // Phys. Rev. A. 1989. - Vol. 39, Ш. - P. 149-156.

64. Hirsch, J.E. Theory of intermittency / J.E. Hirsch, B. A. Huberman, D. V. Scalapino. // Phys. Rev. A. 1982. - Vol. 25, №1. - P. 519-532.

65. Dayan, I. Stochastic resonance in transient dynamics / I. Dayan, M. Gitterman, G. H. Weiss. // Phys. Rev. A. 1992. - Vol. 46, №2. - P. 757-761.

66. Gitterman, M. "Escape" of a periodically driven particle from a metastable state in a noisy system / M. Gitterman, G. H. Weiss. // J. Stat. Phys. -1993. Vol. 70, №1-2. - P. 107-123.

67. Casado, J.M. Distribution of escape times in a driven stochastic model / J.M. Casado, M. Morillo. // Phys. Rev. E. 1994. - Vol. 49, №2. - P. 11361139.

68. Mantegna, R.N. Noise Enhanced Stability in an Unstable System / R.N. Mantegna, B. Spagnolo. // Phys. Rev. Lett. 1996. - Vol. 76, №4. - P. 563-566.

69. Mantegna, R.N. Probability Distribution of the Residence Times in Periodically Fluctuating Metastable Systems / R.N. Mantegna, B. Spagnolo. // Int. J. Bifurcation Chaos Appl. Sci. Eng. - 1998. - Vol. 8, №4. - P. 783-790.

70. Agudov, N.V. On the effect of fluctuations on an intermittent laminar motion / N.V. Agudov, A. N. Malakhov. // Int. J. Bifurcation Chaos Appl. Sci. Eng. 1995. - Vol. 5, №2. - P. 531-536.

71. Agudov, N.V. Noise delayed decay of unstable states / N.V. Agudov. // Phys. Rev. E. 1998. - Vol. 57, №3. - P. 2618-2625.

72. Frankowicz, M. Transient evolution towards a unique stable state: Stochastic analysis of explosive behavior in a chemical system / M. Frankowicz, G. Nicolis. // J. Stat. Phys. 1983. - Vol. 33, №3. - P. 595-609.

73. Iwaniszewski, J. Transient multimodality for the decay of unstable states / J. Iwaniszewski. // Phys. Rev. A. 1992. - Vol. 45, №12. - P. 8436-8440.

74. Agudov, N.V. Decay of unstable equilibrium and nonequilibrium states with inverse probability current taken into account / N.V. Agudov, A.N. Malakhov. // Phys. Rev. E. 1999. - Vol. 60, №6. - P. 6333-6342.

75. Малахов, A.H. Точное значение времени релаксации динамической системы с шумом, описываемой произвольным симметричным потенциальным профилем / А.Н. Малахов, A.JL Панкратов. // Известия ВУЗов. Радиофизика. 1995. - Т. 38, №3-4. - С. 256-261.

76. Korn, G. Mathematical Handbook For Scientists And Engineers. / G. Korn, T.Korn. New York, Toronto, London: McGrow-Hill Book Company, 1961.- 832 p.

77. Malakhov, A.N. Evolution times of probability distributions and averages -Exact solutions of the Kramers' problem / A.N. Malakhov, A.L. Pankratov. // Adv. Chem. Phys. 2002. - Vol. 121. - P. 357-438.

78. Pankratov, A.L. Time evolution of averages in dynamical systems driven by noise / A.L. Pankratov. // Phys. Lett. A. 1999. - Vol. 255, №1-2. - P. 17-22.

79. Antonov, A.A. Influence of thermal fluctuations on Cherenkov radiation from fluxons in dissipative Josephson systems / A.A. Antonov, A.L. Pankratov, A.V. Yulin, J. Mygind. // Phys. Rev. B. 2000. - Vol. 61, №14.- P. 9809-9819.

80. Nikitenkova, S.P. Nondecay probability of the "correct" state of a memory cell: Analytic approach versus numeric simulation / S.P. Nikitenkova, A. L. Pankratov. // Phys. Rev. E. 1998. - Vol. 58, №6. - P. 6964-6967.

81. Shenoy, S.R. First-passage times and hysteresis in multivariable stochastic processes: The two-mode ring laser / S.R. Shenoy, G.S. Agarwal. // Phys. Rev. A. 1984. - Vol. 29, №3. - P. 1315-1325.

82. Roy, R. First-Passage-Time Distributions under the Influence of Quantum Fluctuations in a Laser / R. Roy, R. Short, J. Durnin, L. Mandel. // Phys. Rev. Lett. 1980. - Vol. 45, №18. - P. 1486-1490.

83. Lindenberg, K. The first, the biggest, and other such considerations / K. Lindenberg, B. West. // J. Stat. Phys. 1986. - Vol. 42, №1-2. - P. 201-243.

84. Malakhov, A.N. Diffusion through sharp potential barriers. 1. Exact solution / A.N. Malakhov. // Radiophys. Quantum Electron. 1991. - Vol. 34, №5. - R 451-460.

85. Malakhov, A.N. Diffusion through sharp potential barriers. 2. Time characteristics of diffusion / A.N. Malakhov. // Radiophys. Quantum Electron. 1991. - Vol. 34, №6. - R 571-580.

86. Jung, P. Periodically driven stochastic systems / P. Jung. // Physics Reports. 1993. - Vol. 234, №4-5. - P. 175-295.

87. Gammaitoni, L. Stochastic resonance / L. Gammaitoni, P. Hanggi, P. Jung, F. Marchesoni. // Rev. Mod. Phys. 1998. - Vol. 70, №1. - P. 223-287.

88. Анищенко, B.C. Стохастический резонанс как индуцированный шумом эффект увеличения степени порядка / B.C. Анищенко, А. Б. Нейман, Ф. Мосс, JI. Шиманский-Гайер. // Успехи Физических Наук. 1999. - Т. 169, №1. - Р. 7-38.

89. Julicher, F. Modeling molecular motors / F. Julicher, A. Ajdari, J. Prost. // Rev. Mod. Phys. 1997. - Vol. 69, №4. - P. 1269-1282.

90. Doering, C.R. Stochastic ratchets / C.R. Doering. // Physica A. 1998. -Vol. 254, №1. - P. 1-6.

91. Stocks, N.G. Field-Induced Stabilization of Activation Processes / N.G. Stocks, R. Manella. // Phys. Rev. Lett. 1998. - Vol. 80, №22. - P. 4835-4839.

92. Doering, C.R. Resonant activation over a fluctuating barrier / C.R. Doering, J. Godoua. // Phys. Rev. Lett. 1992. - Vol. 69, №16. - P. 2318-2321.

93. Bier, M. Matching a diffusive and a kinetic approach for escape over a fluctuating barrier / M. Bier, R. Dean Astumian. // Phys. Rev. Lett. -1993. Vol. 71, №10. - P. 1649-1652.

94. Pechukas, P. Rates of activated processes with fluctuating barriers / P. Pechukas, P. Hanggi. // Phys. Rev. Lett. 1994. - Vol. 73, №20. - P. 27722775.

95. Reimann, P. Lectures on Stochastic Dynamics / P. Reimann, P. Hanggi. -Springer Series LNP 484, 1997. P. 127.

96. Boguna, M. Properties of resonant activation phenomena / M. Boguna, J. M. Porra, J. Masoliver, K. Lindenberg. // Phys. Rev. E. 1998. - Vol. 57, №4. - P. 3990-4002.

97. Pankratov, A.L. Resonant activation in overdamped systems with noise subjected to strong periodic driving / A.L. Pankratov, M. Salerno. // Phys. Lett. A. 2000. - Vol. 273, №3. - P. 162-166.

98. Pankratov, A.L. Adiabatic approximation and parametric stochastic resonance in a bistable system with periodically driven barrier / A.L. Pankratov, M. Salerno. // Phys. Rev. E. 2000. - Vol. 61, №2. - P. 1206-1210.

99. Zhou, T. Escape-time distributions of a periodically modulated bistable system with noise / T. Zhou, F. Moss, P. Jung. // Phys. Rev. A. 1990. -Vol. 42, №6. - P. 3161-3169.

100. Smelyanskiy, V.N. Fluctuations, escape, and nucleation in driven systems: logarithmic susceptibility / V.N. Smelyanskiy, M.I. Dykman, H. Rabitz, B.E. Vugmeister. // Phys. Rev. Lett. 1997. - Vol. 79, №17. - P. 3113-3116.

101. Smelyanskiy, V.N. Time oscillations of escape rates in periodically driven systems / V.N. Smelyanskiy, M.I. Dykman, B. Golding. // Phys. Rev. Lett. 1999. - Vol. 82, №16. - P. 3193-3197.

102. Luchinsky, D.G. Thermally activated escape of driven systems: the activation energy / D.G. Luchinsky, R. Mannella, P.V.E. McClintock, M.I. Dykman, V. N. Smelyanskiy. // J. Phys. A: Math. Gen. 1999. - Vol. 32, №27. - P. L321-L327.

103. Lehmann, J. Surmounting Oscillating Barriers / J. Lehmann, P. Reimann, P. Hanggi. // Phys. Rev. Lett. 2000. - Vol. 84, №8. - P. 1639-1642.

104. Thirion, C. Switching of magnetization by nonlinear resonance studied in single nanoparticles / C. Thirion, W. Wernsdorfer, and D. Mailly, // Nature Mat. 2003. - Vol. 2, №8. - P. 524-527.

105. Schumacher, H.W. Ballistic bit addressing in a magnetic memory cell array / H.W. Schumacher // Appl. Phys. Lett. 2005. - Vol. 87. - P. 042504.

106. Schumacher, H.W. Ultrafast bit addressing in a magnetic memory matrix / H.W. Schumacher // Journ. Appl. Phys. 2005. - Vol. 98. - P. 033910.

107. Lyberatos, A. Micromagnetic study of subnanosecond magnetic switching in perpendicular multilayers / A. Lyberatos, G. Ju, R. J. M. van de Veerdonk, and D. Weller // Journ. Appl. Phys. 2002. - Vol. 91, №4. - P. 2236-2242.

108. Mantegna, R.N. Experimental Investigation of Resonant Activation / R.N. Mantegna, B. Spagnolo. // Phys. Rev. Lett. 2000. - Vol. 84, N14. - P. 3025-3028.

109. Aharoni, A. Introduction to the theory of ferromagnetism / A. Aharoni. -New York: Oxford University Press, 2000. p. 320.

110. He, L. High speed coherent switching below the Stoner-Wahlfarth limit / L. He, W.D. Doyle, and H. Fujiwara // IEEE Trans. Mag. 1994. - Vol. 30, №6. - P. 4086-4088.

111. Weller, D. Thermal effect limits in ultrahigh-density magnetic recording / D. Weller, and A. Moser // IEEE Trans, on Magn. 1999. - Vol. 35, №6. -P. 4423-4439.

112. Bertram, H.N. Dynamic-thermal effects in thin film media / H.N. Bertram, Wang Xiaobin, and V.L. Safonov // IEEE Trans, on Magn. 2001. - Vol. 37, №4. - P. 1521-1527.

113. Brown, G. Langevin simulation of thermally activated magnetization reversal in nanoscale pillars / G. Brown, M. A. Novotny, and P. A. Rikvold // Phys. Rev. B. 2001. - Vol. 64. - P. 134422.

114. Uesaka, Y. Switching time of single magnetic particle and maximum recording frequency of perpendicular magnetic recording / Y. Uesaka, H. Endo, Y. Nakatani, N. Hayashi, and H. Fukushima // IEEE Trans, on Magn. 2006. - Vol. 42, №7. - P. 1892-1895.

115. Gao, K.-Z. Fast switching in a single-domain particle under sub-StoneryWohlfarth switching fields / K.-Z. Gao, E.D. Boerner and H.N. Bertram // Appl. Phys. Lett. 2002. - Vol. 81, №21. - P. 4008-4010.

116. Pankratova, E.V. Resonant activation in a stochastic Hodgkin-Huxlcy model: Interplay between noise and suprathreshold driving effects / E.V.

117. Zou, Y. Y. Tilted media in a perpendicular recording system for high areal density recording / Y. Y. Zou, J. P. Wang, С. H. Нее, and Т. C. Chong // Appl. Phys. Lett. 2003. Vol. 82, №15. - P. 2473-2475.

118. Stamps, R.L. Biased switching of small magnetic particles / R.L. Stamps and B. Hillebrands // Appl. Phys. Lett. 1999. - Vol. 75, №8. - P. 1143-1145.

119. Schumacher, H.W. Ultrafast magnetization dynamics probed by anisotropic magnetoresistance / H.W. Schumacher, S. Serrano-Guisan, K. Rott and G. Reiss // Appl. Phys. Lett. 2007. - Vol. 90. - P. 042504.

120. Rylyakov, A.V. Pulse jitter and timing errors in RSFQ circuits / A.V. Rylyakov, К. K. Likharev. // IEEE Trans. Appl. Supercond. 1999. - Vol. 9, №2. - P. 3539-3544.

121. Eckern, U. Quantum dynamics of a superconducting tunnel junction / U. Eckern, G. Schon, V. Ambegaokar // Phys. Rev. B. 1984. - Vol. 30, №11.- P. 6419-6431.

122. Satchell, J. Limitations on HTS single flux quantum logic / J. Satchell. // IEEE Trans. Appl. Supercond.- 1999. Vol. 9, №2. - P. 3841-3844.

123. Herr, Q. Temperature-dependent bit-error rate of a clocked superconducting-digital circuit / Q. Herr, M. Johnson, M. Feldman. // IEEE Trans. Appl. Supercond.- 1999. Vol. 9, №2. - P. 3594-3597.

124. Kaplunenko, V. Time jitter measurement in a circular Josephson transmission line / V. Kaplunenko, V. Borzenets. // IEEE Trans. Appl. Supercond. 2001. - Vol. 11, №1. - P. 288-291.

125. Ortlepp, T. A general approach for determining the switching probability in rapid single flux quantum logic circuits / T. Ortlepp, H. Toepfer, H.

126. F. Uhlmann. // IEEE Trans. Appl. Supercond. 2001. - Vol. 11, №1. - P. 280-283.

127. Walls, T.J. Quantum Fluctuations in Josephson Junction Comparators / T.J. Walls, T.V. Filippov, K.K. Likharev. // Phys. Rev. Lett. 2002. - Vol. 89, №21. - P. 217004-217007.

128. Agudov, N.V. Noise-enhanced stability of periodically driven metastable states / N.V. Agudov, B. Spagnolo. // Phys. Rev. E. 2001. - Vol. 64, №3. - P. 035102(R)-035105(R).

129. Migny, P. Turn-on delay for Josephson logic devices with high damping / P. Migny, B.Placais. // Electron. Lett. 1982. - Vol. 18, №18. - P. 777-779.

130. Ambegaokar V. Voltage Due to Thermal Noise in the dc Josephson Effect / V. Ambegaokar, B.I.Halperin. // Phys. Rev. Lett. 1969. - Vol. 22, №25. -P. 1364-1366.

131. Данилов, В.В. Динамические и флуктуационные параметры радиочастотных СКВИДов / В.В. Данилов, К.К. Лихарев. // Радиотехника и Электроника. 1980. - №8. - С. 1725-1735.

132. Снигирев, О.В. Характеристики одноконтактного СКВИДа в высокочастотном пределе / О.В. Снигирев. // Радиотехника и Электроника. -1981. №10. - С. 2178-2186.

133. Prokopenko, G.V. Low-noise S-band DC SQUID based amplifier / G.V. Prokopenko, S.V. Shitov, D.V. Balashov, et. al. // IEEE Trans. Appl. Supercond. 2001. - Vol. 11, №1. - P. 1239-1242.

134. McLaughlin, D.W. Perturbation analysis of fluxon dynamics / D.W. McLaughlin, A.C. Scott. // Phys. Rev. A. 1978. - Vol. 18, №4. - P. 16521680.

135. Likharev, K.K. Josephson junction with lateral injection as a vortex transistor / K.K. Likharev, V.K. Semenov, O.V. Snigirev, and B.N. Todorov // IEEE Trans, on Magnetics. 1979. - Vol. 15, №1. - P. 420-423.

136. Wallraff, A. Quantum dynamics of vortices and vortex qubits. In Quantum Information Processing / A. Wallraff, A. Kemp, and A.V. Ustinov. Verlag: Wiley-VCH, 2005. - P. 163-186.

137. J0rgensen, E. Thermal Fluctuations in Resonant Motion of Fluxons on a Josephson Transmission Line: Theory and Experiment / E. J0rgensen, V.P. Koshelets, R. Monaco, et al. // Phys. Rev. Lett. 1982. - Vol. 49, №15. - P. 1093-1596.

138. Samuelsen, M.R. Influence of the bias current distribution on the static and dynamic properties of long Josephson junctions / M.R. Samuelsen and S.A. Vasenko. // J. Appl. Phys. 1985. - Vol. 57, №1. - P. 110-112.

139. Buttiker, M. Nucleation theory of overdamped soliton motion / M. Buttiker, R. Landauer. // Phys. Rev. A. 1981. - Vol. 23, №3. - P. 1397-1410.

140. Hanggi, P. Nucleation of thermal sine-Gordon solitons: effect of many-body interactions / P. Hanggi, F. Marchesoni, P. Sodano. // Phys. Rev. Lett. -1988. Vol. 60, №25. - P. 2563-2566.

141. Marchesoni, F. Elastic strings in solids: Thermal nucleation / F. Marchesoni, C. Cattuto, G. Costantini. // Phys. Rev. B. 1998. - Vol. 57, №13. - P. 79307936.

142. Castellano, M.G. Thermally activated escape from the zero-voltage state in long Josephson junctions / M.G. Castellano, G. Torrioli, C. Cosmelli, et al. // Phys. Rev. B. 1996. - Vol. 54, №21. - P. 15417-15428.

143. Simanjuntak, H.P. Nucleation of the phase of a finite Josephson junction / H.P. Simanjuntak, and L. Guntherz. // J. Phys.: Condens. Matter. 1997. - Vol. 9, №9. - P. 2075-2084.

144. Fistul, M.V. Quantum Dissociation of a Vortex-Antivortex Pair in a Long Josephson Junction / M.V. Fistul, A. Wallraff, Y. Koval, A. Lukashenko, B.A. Malomed, and A.V. Ustinov. // Phys. Rev. Lett. 2003. - Vol. 91, №25. - P.257004.

145. Gulevich, D. Switching phenomena in an annular Josephson junction / D. Gulevich and F. Kusmartsev. // Physica C. 2006. - Vol. 435, №1-2. - P. 87-91.

146. Zhang, Y. Dynamics and applications of long josephson junctions. Ph.D. thesis. / Y. Zhang. Chalmers University of Technology, Sweden. 1993. - 57 P

147. Fedorov, K.G. Mean time of the thermal escape in a current-biased long-overlap Josephson junction / K.G. Fedorov, A.L. Pankratov // Physical Review B. 2007. - Vol.76, №2. - P. 024504-1-024504-5.

148. Baryshev, A.M. Design and fabrication of Cherenkov flux-flow oscillator / A.M. Baryshev, A.V. Yulin, V.V. Kurin, et al. // IEEE Trans. Appl. Supercond. 1999. - Vol. 9, №2. - P. 3737-3740.

149. Mints, R.G. Josephson-vortex Cherenkov radiation / R.G. Mints, I.B. Snapiro. // Phys. Rev. B. 1995. - Vol. 52, №13. - P. 9691-9696.

150. Артеменко, C.H. Возбуждение плазменных колебаний при движении джозефсоновских вихрей в слоистых сверхпроводниках / С.Н. Артеменко, С.В. Ремизов // Письма в ЖЭТФ. 1997. - Т. 66, №12. - С. 811-816.

151. Kurin, V.V. Cherenkov radiation of vortices in a two-dimensional annular josephson junction / V.V. Kurin, A.V. Yulin, I.A. Shereshevsky, N.K. Vdovicheva. // Phys. Rev. Lett. 1998. - Vol. 80, №15. - P. 3372-3375.

152. Van dcr Zant, H.S.J. Kink propagation in a highly discrete system: observation of phase locking to linear waves / H.S.J, van der Zant, T.P. Orlando, S. Watanabe, S.H. Strogatz. // Phys. Rev. Lett. 1995. - Vol. 74, №15. - P. 174-177.

153. Hechtfisher, G. Non-Josephson emission from intrinsic junctions in Bi2Sr2CaCu208+y: Cherenkov radiation by Josephson vortices / G. Hechtfisher, R. Kleiner, A.V. Ustinov, P. Mueller. // Phys. Rev. Lett. -1997. Vol. 79, №7. - P. 1365-1368.

154. Goldobin, E. Cherenkov radiation in coupled long Josephson junctions / E. Goldobin, A. Wallraff, N. Thyssen, A.V. Ustinov. // Phys. Rev. B. 1998. - Vol. 57, №1. - P. 130-133.

155. Kurin, V.V. Radiation of linear waves by solitons in a Josephson transmission line with dispersion / V.V. Kurin, A.V. Yulin. // Phys. Rev. В 1997. - Vol. 55, №17. - P. 11659-11669.

156. Koshelets, V.P. Self-pumping effects and radiation linewidth of Josephson flux-flow oscillators / V.P. Koshelets, S.V. Shitov, A.V. Shchukin et al. // Phys. Rev. B. 1997. - Vol. 56, №9. - P. 5572-5577.

157. Dahm, A.J. Linewidth of the Radiation Emitted by a Josephson Junction / A.J. Dahm, A. Denestein, D. N. Langenberg, et al. // Phys. Rev. Lett. -1969. Vol. 22, №26. - P. 1416-1420.

158. Golubov, A.A. Radiation linewidth of a long Josephson junction in the flux-flow regime / A.A. Golubov, B.A. Malomed, A. V. Ustinov. // Phys. Rev. B. 1996. - Vol. 54, №5. - P. 3047-3050.

159. Betenev, A.P. Radiation spectrum of a long Josephson flux-flow oscillator / A.P. Betenev, V. V. Kurin. // Phys. Rev. B. 1997. - Vol. 56, №13. - P. 7855-7857.

160. Salerno, M. Spectral Linewidths of Josephson Oscillators / M. Salerno, M.R. Samuelsen, A.V. Yulin. // Phys. Rev. Lett. 2001. - Vol. 86, №23. - P. 53975400.

161. Koshclets, V.P. Flux flow oscillators for sub-mm wave integrated receivers / V.P. Koshelets, S.V. Shitov, A.V. Shchukin et al. // IEEE Trans, on Appl. Supercond. 1999. - Vol. 9, №2. - P. 4133-4136.

162. Koshelets, V.P. Spectral linewidth of autonomous and injection-locked flux-flow oscillators / V.P. Koshelets, A. Shchukin, I.L. Lapytskaya, J. Mygind. // Phys. Rev. B. 1995. - Vol. 51, №10. - P. 6536-6541.

163. V.P. Koshelets, J. Mygind, private communication.

164. Cirillo, M. Fiske modes and Eck steps in long Josephson junctions: Theory and experiments. / M. Cirillo, N. Gr0nbech-Jensen, M. R. Samuelsen, M. Salerno, G. Verona Rinati // Phys. Rev. B. 1998. - Vol. 58, №18. - P. 12377-12384.

165. Salerno, M. Phase locking and flux-flow resonances in Josephson oscillators driven by homogeneous microwave fields. / M. Salerno and M. R. Samuelsen // Phys. Rev. B. 1999. - Vol. 59, №22. - P. 14653-14658.

166. Pankratov, A.L. Long Josephson junctions with spatially inhomogeneous driving / A.L. Pankratov. // Phys. Rev. B. 2002. - Vol. 66, №13. - P. 134526-1-134526-5.

167. Soriano C. Coupling of Josephson flux-flow oscillators to an external RC load / C. Soriano, G. Costabile, and R.D. Parmentier // Supercond. Sci. Technol. 1996. - Vol. 9, №7. - P. 578-582.

168. Mygind, J. The submm wave josephson Flux Flow Oscillator; linewidth measurements and simple theory / J. Mygind, V.P. Koshelets, M. Samuelsen and A.S. Sobolev // IEEE Trans, on Appl. Supercond. 2005. - Vol. 15, №2. - 968-971.

169. Tucker, J.R. Quantum detection at millimeter wavelengths / J.R. Tucker and M.J. Feldman, Rev. Mod. Phys. 1985. - Vol. 57, №4. - P. 1055-1113.

170. Pankratov, A.L. Form and width of the spectral line of a Josephson flux-flow oscillator / A.L. Pankratov. // Phys. Rev. B. 2002. - Vol. 65, №5. -P. 054504-1-054504-9.

171. Koshelets, V.P. Radiation linewidth of flux-flow oscillators / V.P. Koshelets, P.N. Dmitriev, A.B. Ermakov, et. al. / Supecond. Sci. Technol. 2001. - Vol. 14, №12. - P. 1040-1043.

172. Koshelets, V.P. Linewidth of Josephson Flux Flow Oscillators / V.P. Koshelets, P.N. Dmitriev, A.S. Sobolev, A.L. Pankratov, et al. // Physica C. 2002. - Vol. 372-376, №1. - P. 316-321.

173. Koshelets, V.P. Superconducting phase-locked local oscillator for submm integrated receiver. / V.P. Koshelets, S.V. Shitov, Filippenko L.V. et al. // Supercond. Sci. Technol. 2004. - Vol. 17, №5. - P. R127-131.

174. Koshelets, V.P. Optimization of the Phase-Locked Flux-Flow Oscillator for the submm Integrated Receiver / V.P. Koshelets, P.N. Dmitriev, A.S. Sobolev, et. al. // IEEE Trans. Appl. Supercond. 2005. - Vol.15, №2. - P. 964-967.

175. Ustinov, A.V. Giant Radiation Linewidth of Multifluxon States in Long Josephson Junctions / A.V. Ustinov, H. Kohlstedt, P. Henne. // Phys. Rev. Lett. 1996. - Vol. 77, №17. - P. 3617-3620.

176. Koshelets, V.P. Towards a phase-locked superconducting integrated receiver: prospects and limitations / V.P. Koshelets, S.V. Shitov, P.N. Dmitriev, et. al. // Physica G. 2002. - Vol. 367, №1-4. - P. 249-255.

177. Shitov, S.V. An integrated receiver with phase-locked superconducting oscillator / S.V. Shitov, V.P.Koshelets, A.B.Ermakov, et. al. // IEEE Trans. Appl. Supercond. 2003. Vol. 13, №2. - P. 684-687.

178. Koshelets, V.P. Superconducting Integrated Receiver for TELIS / V.P. Koshelets, S.V. Shitov, A.B. Ermakov, et. al. // IEEE Trans. Appl. Supercond. 2005. - Vol. 15, №2. - P. 960-963.

179. Lindsey, W.C. Synchronization systems in communication and control / W.C. Lindsey. New Jersey: Prentice-Hall, 1972. - 600 p.

180. Khudchenko A.V. Cryogenic Phase Detector for Superconducting Integrated Receiver / A.V. Khudchenko, V.P. Koshelets, P.N. Dmitriev, et. al. // IEEE Trans. Appl. Supercond. 2007. - Vol. 17, №2. - P. 605-608.

181. Koshelets V.P. Superconducting Integrated Submillimeter Receiver for TELIS / V.P. Koshelets, A.B. Ermakov, L.V. Filippenko, et. al. // IEEE Trans. Appl. Supercond. 2007. - Vol. 17, №2. - P. 336-342.

182. Список основных публикаций A.JI. Панкратова

183. Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

184. Малахов, А.Н. Времена стохастических переходов в бистабильных кусочно-параболических системах с шумом / А.Н. Малахов, A.JI. Панкратов // Известия вузов. Прикладная Нелинейная Динамика. 1995. - Т.З, №3. -С. 70-79.

185. Малахов, А.Н. Точное значение времени релаксации динамической системы с шумом, описываемой произвольным симметричным потенциальным профилем / А.Н. Малахов, A.JI. Панкратов // Известия вузов. Радиофизика. 1995. - Т.38, №3-4. - С. 256-261.

186. Панкратов A.JI. Влияние тепловых флуктуаций на быстродействие джозефсоновских цифровых устройств с малой емкостью. Параболическая аппроксимация / A.JI. Панкратов // Вестник Нижегородского госуниверситета. Серия Радиофизика. 1995. - Т.1, №1. - С. 62-65.

187. Malakhov, A.N. Exact solution of the Kramers' problem for piece-wise parabolic potential profiles / A.N. Malakhov, A.L. Pankratov // Physica A. 1996. -Vol.229, №1. - P. 109-126.

188. Malakhov, A.N. Influence of thermal fluctuations on time characteristics of single Josephson element with high damping. Exact solution / A.N. Malakhov, A.L. Pankratov // Physica C. 1996. - Vol.269, №1-2. - P. 46-54.

189. Pankratov, A.L. On certain time characteristics of dynamical systems driven by noise / A.L. Pankratov // Physics Letters A. 1997. - Vol.234, №5. - P. 329-335.

190. Nikitenkova, S.P. Nondecay probability of the "correct" state of a memory cell: analytic approach versus numeric simulation / S.P. Nikitenkova, A.L. Pankratov // Physical Review E. 1998. - Vol.58, №6. - P. 6964-6967.

191. Pankratov, A.L. Time evolution of averages in dynamical systems driven by noise / A.L. Pankratov // Physics Letters A. 1999. - Vol.255, №1-2. - P. 17-22.

192. Pankratov, A.L. Adiabatic approximation and parametric stochastic resonance in a bistable system with periodically driven barrier / A.L. Pankratov, M. Salerno // Physical Review E. 2000. - Vol.61, №2. - P. 1206-1210.

193. Antonov, A.A. Influence of thermal fluctuations on Cherenkov radiation from fluxons in dissipative Josephson systems / A.A. Antonov, A.L. Pankratov, A.V. Yulin, J. Mygind // Physical Review B. 2000. - Vol.61, №14. - P. 9809-9819.

194. Pankratov, A.L. Resonant activation in periodically driven overdamped systems with noise / A.L. Pankratov, M. Salerno // Physics Letters A. 2000. -Vol.273, №3. - P. 162-166.

195. Pankratov, A.L. Suppression of noise in nonlinear systems subjected to strong periodic driving / A.L. Pankratov // Physical Review E. 2002. - Vol.65, №2. - P. 022101-1 - 022101-3.

196. Pankratov, A.L. Form and width of spectral line of a Josephson Flux-Flow oscillator / A.L. Pankratov // Physical Review B. 2002. - Vol.65, №5. - P. 054504-1 - 054504-9.

197. Koshelets, V.P. Linewidth of Josephson Flux Flow Oscillators / V.P. Koshelets, P.N. Dmitriev, A.S. Sobolev et al // Physica C. 2002. - Vol.372-376, №1. -P. 316-321.

198. Malakhov, A.N. Evolution times of probability distributions and averages -Exact solutions of the Kramers' problem / A.N. Malakhov, A.L. Pankratov // Advances in Chemical Physics. 2002. - Vol. 121, №1. - P. 357-438.

199. Pankratov, A.L. Long Josephson junctions with spatially inhomogeneous driving / A.L. Pankratov // Physical Review B. 2002. - Vol.66, №13. -P. 134526-1 - 134526-5.

200. Pankratov, A.L. Optimal pump frequency for ac hysteretic SQUID / A.L. Pankratov // Physical Review B. 2003. - Vol.68, №2. - P. 024503-1-024503-5.

201. Pankratov, A.L. Suppression of noise in periodically driven nonlinear systems / A.L. Pankratov // Journal of Molecular Liquids. 2004. - Vol.114, №1-3. -P. 173-177.

202. Koshelets, V.P. Superconducting Phase-Locked Local Oscillator for Submm Integrated Receiver / V.P. Koshelets, S.V. Shitov, L.V. Filippenko et al // Superconductor Science and Technology. 2004. - Vol.17, №5. - P. S127-S131.

203. Pankratov, A.L. Suppression of Timing Errors in Short Overdamped Josephson Junctions / A.L. Pankratov, B. Spagnolo // Physical Review Letters. 2004.- Vol.93, №17. P. 177001-1-177001-4.

204. Koshelets, V.P. Optimization of the Phase-Locked Flux-Flow Oscillator for the submm Integrated Receiver / V.P. Koshelets, P.N. Dmitriev, A.S. Sobolev et al // IEEE Transactions on Applied Superconductivity. 2005. - Vol.15, №2. - P. 964-967.

205. Gordeeva, A.V. Minimization of timing errors in reproduction of single flux quantum pulses / A.V. Gordeeva, A.L. Pankratov // Applied Physics Letters.- 2006. Vol.88. - P. 022505-1-022505-3.

206. Sobolev, A.S. Numerical simulation of the self-pumped long Josephson junction using a modified sine-Gordon model / A.S. Sobolev, A.L. Pankratov, J. Mygind // Physica C. 2006. - Vol.435, №1-2. - P. 112-113.

207. Соболев, A.C. Численное моделирование самонакаченного длинного джозефсоновского перехода с использованием модифицированной модели синус-Гордона / А.С. Соболев, A.JI. Панкратов // Нелинейный мир. -2006. №6. - С. 322-323.

208. Федоров, К.Г. Влияние флуктуаций на динамические свойства распределенных джозефсоновских переходов / К.Г. Федоров, A.JI. Панкратов // Радиотехника и электроника. 2007. - Т.52, №1. - С. 114-118.

209. Spagnolo, В. Lifetime of metastable states and suppression of noise in interdisciplinary physical models / B. Spagnolo, A.A. Dubkov, A.L. Pankratov et al // Acta Physica Polonica B. 2007. - Vol.38, №5. - P. 1925-1950.

210. Fedorov, K.G. Mean time of the thermal escape in a current-biased long-overlap Josephson junction / K.G. Fedorov, A.L. Pankratov // Physical Review B. 2007. - Vol.76, №2. - P. 024504-1-024504-5.

211. Pankratov, A.L. Spectral properties of phase locked Flux Flow Oscillator / A.L. Pankratov, V.L. Vaks, V.P. Koshelets // Journal of Applied Physics. -2007. Vol.102. - P. 063912-1-063912-6.

212. Pankratov, A.L. Minimizing the linewidth of the flux-flow oscillator / A.L. Pankratov // Applied Physics Letters. 2008. - Vol.92. - P. 082504-1-0825043.

213. Gordeeva, A.V. Minimization of thermal jitter in a balanced comparator SFQ cell / A.V. Gordeeva, A.L. Pankratov // Journal of Applied Physics. 2008. - Vol.103. - P. 103913-1-103913-5.

214. Pankratov, A.L. Noise self-pumping in long Josephson junctions / A.L. Pankratov // Physical Review B. 2008. - Vol.78, №2. - P. 024515-1-024515-5.

215. Pankratov, A.L. Noise-induced effects in high-speed reversal of single-domain uniaxial magnetic nanoparticle / A.L. Pankratov, S.N. Vdovichev, I.M. Nefedov // Physical Review B. 2008. - Vol.78, №5. - P. 052401-1-052401-4.

216. Статьи в других журналах и реферируемых изданиях

217. Малахов, А.Н. Влияние тепловых флуктуаций на задержку включения джозефсоновского элемента с малой емкостью / А.Н. Малахов, A.JI. Панкратов // Сверхпроводимость: физика, химия, техника. 1995. - Т.8, т. - С. 295-305.

218. Панкратов, A.JI. Влияние флуктуаций на устойчивость функционирования джозефсоновской бистабильной ячейки памяти / A.JI. Панкратов // Вестник ВВО АТН, Серия: Высокие технологии в радиоэлектронике. -1996. Т.1, Ж. - С. 149-153.

219. Pankratov, A.L. Linewidth of Josephson junction oscillator / A.L. Pankratov // Issue dedicated to memory of Professor A.N.Malakhov. Nizhny Novgorod: Publishing House TALAM, 2000. - P. 80-85.

220. Панкратов, A.JI. Индуцированные шумом переходы в точечном джозеф-соновском контакте / A.JI. Панкратов, М.М. Цветнова // Актуальные проблемы статистической радиофизики. 2004. - Т.З, №1. - С. 80-86.

221. Гордеева, А.В. Репродукция одноквантовых импульсов в цепочке точечных джозефсоновских контактов / A.JI. Панкратов, А.В. Гордеева // Актуальные проблемы статистической радиофизики. 2004. - Т.5, №1. -С. 76-86.

222. Pankratov, A.L. Kramers' problem: exact solution / A.L. Pankratov // Proceedings of the 9-th International Conference of Physics Students. / St.-Petersburg, Russia. August 1994. P. 188-190.

223. Malakhov, A.N. The exact life time of the metastable state in the tilted cosinusoidal potential profile / A.N. Malakhov, A.L. Pankratov // Abstracts of the International Conference of Nonlinear Dynamics. / Saratov, Russia. -July 1996. P. 119.

224. Pankratov, A.L. Noise Effects in FFO based on Cherenkov radiation / A.L. Pankratov, A.A. Antonov, A.V. Yulin // Abstracts of Applied Superconductivity Conference (ASC'98) (report N ELD-04). / USA. September 1998. P. 114.

225. Antonov, A.A. Noise Effects in FFO based on Cherenkov radiation / A.A. Antonov, J. Mygind, A.L. Pankratov, A.V. Yulin // Noise effects in Cherenkov Flux Flow Oscillator. / Maratea, Italy. July 4-6, 2000. P. 40.

226. Mygind J. Properties of oscillators based on fiuxfiow and Cherenkov effect in long Josephson junctions / J. Mygind, V.P. Koshelets, A.L. Pankratov, A.V. Yulin // Abstracts of EURESCO-2000. / Maratea, Italy. July 4-6, 2000. P. 43.

227. Pankratov, A.L. Suppression of noise by strong periodic signals in nonlinear systems / A.L. Pankratov // Proceedings of International Conference "Frontiers in Nonlinear Physics" / Nizhny Novgorod, Russia. July 2001. P. 242247.

228. Koshelets, V.P. Linewidth of Josephson Flux Flow Oscillators / V.P. Koshelets, P.N. Dmitriev, A.S. Sobolev et al // Conference Abstracts of European

229. Conference on Applied Superconductivity (EUCAS'2001) (report N Cl-02). / Denmark. August 2001. P. 102.

230. Pankratov, A.L. Spectral form and linewidth of Josephson flux flow oscillators / A.L. Pankratov // Abstracts of European Conference on Applied Superconductivity (EUCAS'2001) (report N Dl.3-12). / Denmark. August 2001. P. 119.

231. Pankratov, A.L. Flux Flow Oscillators with spatially inhomogeneous driving and possible reduction of the linewidth / A.L. Pankratov // Abstracts of EURESCO-2002. / Pominersfelden, Germany. June 29 - July 4 2002. P. 39.

232. Pankratov, A.L. Suppression of noise in periodically driven nonlinear systems / A.L. Pankratov // Diffusion and Relaxation in Disordered Fractal Systems (Приглашенный доклад). / Dublin, Ireland. September 10-12 2002 (published in Journ. Mol. Liquids).

233. Pankratov, A.L. Nonlinear systems under noise subjected to strong periodic driving: resonant activation and suppession of noise / A.L. Pankratov // Abstracts of SYNCHRO-2002. / Saratov, Russia. September 22-28 2002. P. 42.

234. Koshelets, V.P. Linewidth of Josephson Flux Flow Oscillators / V.P. Koshelets, S.V. Shitov, L.V. Filippenko et al // Abstracts of European Conference on Applied Superconductivity (EUCAS'2003) / Italy. September 2003. P. 55.

235. Kirukhova, S.L. Linewidth of short overdamped Josephson junction oscillator / S.L. Kirukhova, A.L. Pankratov // Abstracts of European Conference on Applied Superconductivity (EUCAS'2003) / Italy. September 2003. P. 59.

236. Pankratov, A.L. Resonant activation and noise enhanced stability in short overdamped Josephson junction / A.L. Pankratov, B. Spagnolo // Abstracts of European Conference on Applied Superconductivity (EUCAS'2003). / Italy. September 2003. P. 117-118.

237. Pankratov, A.L. Improvement of ac hysteretic SQUID sensitivity by optimization of parameters / A.L. Pankratov // Abstracts of European Conference on Applied Superconductivity (EUCAS'2003). / Italy. September 2003. P. 147-148.

238. Панкратов, A.JI. Минимизация ошибок переключения при репродукции одноквантовых импульсов / A.JI. Панкратов, А.В. Гордеева // Всероссийская научная школа "Нелинейные волны 2006". / Нижний Новгород, Россия. 2006. Р. 117.

239. Панкратов, A.JI. Время жизни сверхпроводящего состояния распределенного джозефсоновского контакта / A.JI. Панкратов, К.Г. Федоров // Материалы всероссийского симпозиума "Нанофизика и наноэлектрони-ка 2006". / Нижний Новгород, Россия. 2006. Р. 157-158.

240. Gordeeva, A.V. Fluctuational effects in a chain of Josephson junctions / A.V. Gordeeva, A.L. Pankratov // Тезисы докладов международной конференции "Critical phenomena and diffusion in complex systems". / Нижний Новгород, Россия. 2006. P. 24.