Модель резонансного взаимодействия радиочастотного поля с пьезоэлектрическими кристаллами при воздействии лазерного излучения тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.21 ВАК РФ
|
Мясников, Даниил Владимирович
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Фрязино
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2011
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.04.21
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
005008097
На правах рукописи УДК 53.082.73
Мясников Даниил Владимирович
Модель резонансного взаимодействия радиочастотного поля с пьезоэлектрическими кристаллами при воздействии лазерного излучения
Специальность 01.04.21 - лазерная физика
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук
Фрязино - 2011
005008097
Работа выполнена на кафедре фотоники (базовая организация ООО НТО «ИРЭ-Полюс») факультета физической и квантовой электроники Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)»
Научный руководитель:
кандидат физико-математических наук, доцент Рябушкин Олег Алексеевич
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук, профессор Карабутов Александр Алексеевич доктор физико-математических наук Астапенко Валерий Александрович
Ведущая организация:
Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»
Защита состоится 21 декабря 2011 г. в 15 на заседании диссертационного совета Д 212.156.01 при Московском физико-техническом институте по адресу: 141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., д. 9. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского физико-технического института.
№
Автореферат разослан «_» ноября 2011 г.
Учёный секретарь
Диссертационного совета Д 212.156.01 кандидат физико-математических наук
-я
Батурин А.С.
Общая характеристика работы
Актуальность темы
В течение 50 лет, прошедших с момента появления первого лазера, наблюдается устойчивый рост средних и пиковых мощностей лазерного излучения. Эта тенденция обусловливает всё возрастающее значение тепловых эффектов в лазерных средах. Высокие тепловые нагрузки в активных элементах твердотельных лазеров требуют тщательной оптимизации параметров резонатора и активного элемента и знания его реальной температуры в рабочем режиме. С другой стороны, для нелинейного преобразования частоты лазерного излучения необходимы высококачественные нелинейно-оптические кристаллы. Несмотря на то, что такие кристаллы используются в области их прозрачности, и их разогрев излучением, как правило, существенно меньше, чем для лазерных кристаллов, они также подвержены оптическому разрушению высокими пиковыми мощностями излучения (1ГВт/см2 и более). Таким образом, проблема измерения разогрева кристаллов излучением и контроля состояния кристаллов в лазерной физике приобретает всё большую актуальность.
В настоящей работе рассматривается взаимодействие лазерного излучения с пьезоэлектрическими кристаллами. Такое взаимодействие предлагается исследовать с помощью методов резонансной ультразвуковой спектроскопии, возбуждая собственные акустические колебания кристалла с помощью радиочастотного (РЧ) поля и измеряя отклик образца в зависимости от частоты возбуждающего поля и параметров излучения.
С помощью пьезоэлектрического резонанса оказывается возможным прецизионно измерять мощность излучения, поглощённого кристаллом, его внутреннюю температуру и малые коэффициенты поглощения [1-3], что открывает возможности измерения огггического поглощения кристалла и контроля его состояния в процессе взаимодействия с мощным лазерным излучением.
Цели и задачи диссертационной работы
Целью данной работы является разработка моделей, позволяющих аналитически и численно определять резонансные частоты собственных пьезоэлектрических мод колебаний кристаллов, их поведение при однородном разогреве, а также при воздействии лазерным излучением. Эти модели должны быть максимально приближены к экспериментальным условиям для сопоставления данных расчётов и экспериментов. Были поставлены следующие задачи:
1. разработать метод расчёта собственных пьезоэлектрических мод кристаллического образца (пространственных распределений компонент механического смещения, электрического потенциала и резонансных
частот) в условиях стационарного и однородного распределения температуры;
2. рассчитать спектры собственных пьезоэлектрических мод используемых в экспериментах нелинейно-оптических кристаллов (8Ю2, КОР, КТР ЬВО, ЫчГ);
3. разработать алгоритм расчёта сдвигов резонансных частот при однородном изменении температуры кристалла;
4. разработать метод идентификации рассчитанных и измеренных пьезоэлектрических резонансных спектров нелинейно-оптических кристаллов заданной формы;
5. построить стационарную и нестационарную модели разогрева нелинейно-оптического кристалла одномодовым лазерным излучением;
6. разработать алгоритм расчёта сдвигов пьезоэлектрических резонансных частот в условиях неоднородного распределения температуры не только в кристалле, но и в пространстве вблизи него;
7. разработать метод измерения коэффициентов оптического линейного и нелинейного поглощения кристаллов и коэффициента теплообмена на границе кристалл-воздух.
Научная новизна работы
1. Получена вариационная формулировка уравнений, описывающих колебательное движение образца нелинейно-оптического кристалла при различных граничных условиях с учётом пьезоэлектрической поправки.
2. Предложен новый алгоритм идентификации рассчитанных и измеренных пьезоэлектрических резонансных мод на основе анализа их температурных сдвигов. Алгоритм реализован экспериментально для кристалла кварца.
3. Разработан метод расчёта пьезоэлектрических резонансных мод для неоднородного распределения температуры внутри кристалла.
4. Теоретически обосновано введение понятия эквивалентной температуры кристалла, взаимодействующего с лазерным излучением, на основе пьезоэлектрического резонанса.
5. Предложен новый метод определения коэффициента теплообмена на границе кристалл-воздух в условиях взаимодействия с лазерным излучением, основанный на измерении зависимости частоты пьезоэлектрического резонанса от времени.
Практическая значимость работы
Практическая ценность проведённых исследований связана с задачей
прецизионного измерения оптических характеристик лазерных и нелинейно-
оптических материалов:
1. коэффициентов оптического поглощения кристаллов при нелинейном преобразовании лазерного излучения в кристалле в реальном времени.
2. коэффициентов теплообмена нелинейно-оптических кристаллов с окружающим воздухом, также в условиях нелинейного преобразования лазерного излучения.
Все аналитические и численные результаты работы подтверждены результатами экспериментов, совместно проведённых с моими коллегами.
Положения, выносимые на защиту
1. Внутренняя температура кристаллов, взаимодействующих с мощным лазерным излучением, и поглощённая мощность излучения однозначно связаны с частотой пьезоэлектрического резонанса кристалла.
2. Идентификация экспериментально измеряемых и рассчитываемых собственных пьезоэлектрических мод кристаллического образца может производиться по анализу температурных сдвигов пьезоэлектрических резонансов при однородном разогреве. Данный алгоритм идентификации имеет наибольшую достоверность для кристаллов, в которых изменения различных компонент тензора упругих констант с температурой отличаются между собой по величине и по знаку.
3. Эквивалентная температура неоднородно разогретого кристалла, определяемая по частоте пьезоэлектрического резонанса, представляет собой усреднённую термодинамическую температуру. При фиксированных условиях теплообмена кристалла эта величина однозначно связана с поглощённой кристаллом оптической мощностью.
4. Коэффициенты линейного и нелинейного оптического поглощения кристалла и коэффициент теплообмена на границе кристалла определяются по измерению временной зависимости эквивалентной температуры кристалла при его разогреве лазерным излучением.
Апробация результатов работы
По теме диссертации опубликовано 6 статей в рецензируемых отечественных и международных журналах, 8 статей в трудах международных конференций, 8 тезисов докладов на международных конференциях, 6 статей в трудах конференций МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук».
Общее количество докладов — 26. Из них 20 докладов представлено на 11 международных конференциях, 6 докладов на 4-х конференциях МФТИ. Общее количество публикаций 28. Список публикаций приведён в конце автореферата.
Личный вклад автора
Все оригинальные результаты диссертационной работы получены автором лично либо при его непосредственном участии. Автором осуществлялось построение теоретических моделей, проведение расчётов в аналитической и численной форме, написание алгоритмов и программ по автоматизации экспериментов, обсуждение, анализ и интерпретация результатов.
Структура и объём диссертации
Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. Каждая глава имеет выводы, в которых сформулированы основные результаты по данной главе. Объём диссертации составляет 126 страниц, в том числе 44 рисунка и 3 таблицы. В конце диссертации приведён библиографический список из 140 наименований.
Содержание диссертации
Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются цели и задачи, отмечается научная новизна и практическая значимость полученных в работе результатов, приводятся основные положения, выносимые на защиту.
В первой главе диссертации приведён обзор существующих экспериментальных и теоретических работ в области нелинейной оптики, измерения температуры стёкол и кристаллов при воздействии на них лазерного излучения и исследования свойств твёрдых тел методами резонансной ультразвуковой спектроскопии. Приводятся основные схемы измерений, даётся обзор теоретических моделей исследуемых явлений.
Вторая глава диссертации посвящена описанию экспериментальной установки для измерения адмитанса кристаллов и получения спектров собственных пьезоэлектрических мод (рис. 1). Исследуемый кристалл помещается в плоский конденсатор, в котором происходит возбуждение собственных мод кристалла радиочастотным полем. Гармонический сигнал с радиочастотного генератора подаётся на конденсатор с кристаллом с последовательно включённым сопротивлением. Сигнал с этого сопротивления подаётся на один из входов синхронного детектора. На второй вход подаётся опорный сигнал с генератора. Синхронный детектор производит выделение амплитуды А и фазы <р сигнала отклика на опорной частоте. Это позволяет на несколько порядков повысить чувствительность измерений. В нашей установке используется перестраиваемый генератор Stanford Research Systems DS345, синхронный детектор Stanford Research Systems SR844 и термоконтроллер Stanford Research Systems PTC10. Эти три
прибора подключаются к компьютеру по протоколу 118-232, осуществляется автоматизация эксперимента.
Необходимо закрепить кристалл таким образом, чтобы его механический контакт с креплением был минимальным для уменьшения неконтролируемых влияний окружения кристалла на частоты собственных колебании и увеличения добротности электромеханического резонатора В прецизионных экспериментах с лазерным излучением применена оригинальная конструкция конденсатора, исключающая неконтролируемый разогрев кристалла рассеянным излучением. На рис. 2 приведены спектры (модуля адмитанса и фазы), измеренные в диапазоне 0.6 - 1 8 МГц для кристалла ЬВО, размеры которого составляют 23x3x3 мм3 кристаллографические оси ориентированы по осям координат (ось с по оси г).
Третья глава посвящена выводу основных уравнений и численному Термоконтроллер
Рис. 1. Блок-схема установки по измерению импеданса (адмиттанса)
0.10
0.08
0.06
0.04
-
/ / -г
у
1
£
90
80
70
1- —^
гг- I1 п г-
■ 11
—,—
Частота, кГц
-- ---- ■ — 0ии да
Частота, кГц
Рис. 2. Измеренные резонансные спектры кристалла ЬВО. 7
расчёту собственных пьезоэлектрических мод объёмных резонаторов. Проблема расчёта собственных мод объёмных резонаторов имеет довольно давнюю историю. Ещё с 50-х годов предпринимались попытки решить задачу аналитически [4]. Однако было установлено, что в общем случае это невозможно, и необходимо разрабатывать численные методы [5]. Модели акусто-резонансной спектроскопии стали развиваться активно только с широким внедрением вычислительных средств. В данной работе за основу принят вариационный подход [6], когда все уравнения движения и граничные условия, определяющие отклик системы на внешнее воздействие, объединяются в один функционал действия, а истинное поведение системы определяется стационарной точкой этого функционала. Пусть пьезоэлектрическая среда ограничена некоторым объёмом О с границей Г. Для задачи расчёта движения среды (кристаллического образца) необходимо задать механические и электрические граничные условия. Соответственно границу области можно представить как объединение двух границ. В общем виде как механические, так и электрические граничные условия могут быть первого и второго рода. Механические граничные условия
Здесь и далее г = (х^) — радиус-вектор точки в пространстве, к, — компоненты вектора механического смещения, Ту — тензор механического напряжения, у — поверхностная сила, я, — вектор внешней нормали. Электрические граничные условия
Электрические граничные условия первого типа предполагают
задание поверхностных зарядов плотности /), второго типа — задание
потенциала на границе. Здесь и далее <р — электрический потенциал, £). —
компоненты вектора электрического смещения. Получен следующий вид функционала действия:
и,(г) = и,,геГ„
Т„(т)П]=7„геТ,, Г = Г„иГ
/
О)
-Д(г)п,=ДгбГ„, <р(г) = р,геГ„, Г =
(2)
+
/ _ _ _ _
| Ц^цс/Л-1р5<рсМ+ Ц^-иДи,-и,) £¿4-ЦЦп^р-^сНА Ж
г.
Здесь Е1--д<р1дх1 — компоненты вектора напряженности
электрического поля, с - Ч , I
' ч~2 & I — компоненты тензора
деформации, ст - компоненты тензора упругих постоянных еп — компоненты тензора пьезоэлектрических модулей, £, - компоненты теюора
5 ГТСК°И В°СПРИИМЧИВ0СТИ' ' ~ плотность образца, Л - элемент ооъема, ал —элемент поверхности (границы).
Для случая естественных граничных условий приводится вывод уравнении для собственных мод системы. Показывается, что временна^ зависимость всех неизвестных функций (механической сме^е" электрического потенциала) является гармонической и характеризуется некоторой частотой /Л являющейся собственной частотой системы Пространственное распределение функций также может быть найдено из вариационного уравнения. Следует отмстить, что данный подход является обобщением подхода, принятого в литературе, когда уравнения дал собственных мод выводятся непосредственно из вариации лафанжиана ^з учета временной зависимости. Аналитически определить формы мод не предается возможным; для их численного нахождения применяется метод Рэлея-Ритца, когда пространственное распределение моды представляется в виде линейной комбинации конечного числа Ыь базисных функции = 4
] = (4)
а вариационное уравнение сводится к нахождению стационарной точки функции от коэффициентов разложения по базисным функциям. Здесь и далее подразумевается суммирование по повторяющимся индексам т е в (4) суммирование производится по/ Показывается, что стационарная точка этой
значен™ видеаДСТаВЛЯеТ ^^ ^^ ЛШеЙН°Й *ЛГебрЫ Ш собста™е
С,=П-,ПпС/ = К = & ¡¡¡РККЖ-
(5)
Собственным значением является квадрат частоты моды, = , а собственным вектором является столбец коэффициентов разложения по базисным функциям, 5 — символ Кронекера. Для образцов в форме прямоугольных параллелепипедов базисные функции выбираются в виде
""и,
/ N [ 2 у р Г 2/
т. А,
. (?)
где Ьх, Ьу, Ьг - размеры образца, Р„(х) - полином Лежандра порядка п > 0. Такой выбор функций обусловлен тем, что в силу свойств полиномов матрица правой части системы в (5) в этом случае получается единичной.
Численный расчёт резонансных мод осуществлён с использованием пакетов БсПаЬ 5.2.2 и МаЙаЬ 6.5. Метод вычисления собственных значений и векторов матриц, реализованный в указанных пакетах, позволяет находить несколько собственных значений (не все), причём можно регулировать диапазон поиска (по возрастанию либо убыванию абсолютной величины собственных чисел). Он также позволяет решать обобщённые задачи на собственные значения, однако при этом время их счёта значительно возрастает. Поэтому выбор базисных функций в виде (7) является выигрышным.
На рис. 3 приводятся результаты расчёта низших собственных мод для кубического образца кристалла кварца с ребром 1 см, на примере которого можно проследить формы мод. Рассчитаны также формы мод всех использованных в экспериментах образцов кристаллов. Данные, представленные выше, рассчитаны для максимального порядка базисных функций N = 12. Очевидно, что по мере увеличения N точность расчёта возрастает, однако увеличивается и его время, а также необходимая машинная память. Поэтому важно оценить, сколько базисных функций необходимо взять для достижения определённой точности. Расчёты показывают, что отличие менее 0.1% для рассматриваемых мод достигается при 7/= 10. Кроме того, рассчитанные значения частот мод низших порядков в целом быстрее сходятся к их асимптотическим значениям. Это представляется естественным, поскольку моды более высоких порядков имеют больше узлов и пучностей, для моделирования которых необходимо брать базисные функции более высокого порядка. Диапазон рассчитываемых собственных частот сверху ограничивается частотами -10 МГц для образцов с линейными размерами в несколько мм, поскольку, как это подтверждено экспериментально, моды высоких порядков имеют малые добротности, а моды с частотами > 10МГц экспериментально не наблюдаются.
173.9 кГц
207.8 кГц
Рис. 3. Пространственные распределения механического смещения в низших пьезоэлектрических модах кубического кристалла кварца с ребром 1 см. Значения резонансных частот/^ подписаны сверху.
Четвёртая глава посвящена влиянию однородного разогрева на собственные пьезоэлектрические моды образцов. Вводится понятие пьезорезонансного термического коэффициента
К,
М _ 1 дар
2 л дв
(8)
характеризующего изменение частоты данного (и-го) резонанса с температурой 9 при однородном разогреве. Приведена схема экспериментальной установки для измерения Приводится также метод расчёта этих коэффициентов по теории возмущений.
Получена следующая формула для расчёта данного коэффициента:
СЛ
К
■Ш дв ох] дх,
с
к,п
4лрю\
(9)
На рис. 4 представлены измеренный и рассчитанный спектры собственных мод для кристалла кварца с размерами 3x3x30 мм3. Видно, что в
эксперименте возбуждается лишь малая часть собственных мод, и необходимо производить идентификацию экспериментально измеряемых и
рассчитываемых резонансов. Кроме того, необходимо уточнять значения упругих
констант для данного экспериментального образца.
Предлагается новый метод
идентификации резонансных мод с использованием
измеренных и рассчитанных значений пьезорезонансных термических коэффициентов. В первом приближении производные упругих констант по температуре берутся из литературы. Для каждого резонанса можно рассчитать его температурный сдвиг. Измерив спектр резонансов для нескольких значений температуры, можно определить 1&"\ а затем связать каждый экспериментальный резонанс с тем рассчитанным, который имеет наиболее близкий температурный сдвиг. Такой алгоритм представляется естественным, поскольку температурный сдвиг той или иной моды напрямую связан с её зависимостью от каждой упругой константы, а значит, и с пространственной конфигурацией смещения, т.е. со структурой моды. В качестве меры отличия расчётного и экспериментального спектров принимается величина [7]
i=1
где Ne - количество экспериментальных резонансов, f^'^ • i-я расчётная
Arfe)
частота, Jt - 1-я экспериментальная частота, W¡ - i-и весовой
коэффициент. В таблице 1 приведены результаты описанных процедур для некоторых измеренных резонансов кристалла кварца с размерами 3x3x30 мм3, т.е. привязка экспериментальных и рассчитанных резонансов. В качестве весовых коэффициентов берутся измеренные амплитуды мод.
12
Í и т i*
i п я W
t м т ■ rí
ш т tt
1 Sí ш Ш
i н т M
í н m ñ ■
i п т i
? ?? « íl
f tí i
Í п |
í u I
% tí !
$ Ш I
( Si 1
i n 1
i ñ 1
■ „.i 1
6.5
7.5
Рис. 4. Измеренный (а) и рассчитанный (Ь) спектры собственных мод для кристалла кварца.
В таблице экспериментальные амплитуды нормированы так, чтобы максимальная амплитуда равнялась 1. Как видно, в целом резонансы хорошо привязаны по сдвигам, привязка по самим величинам частот несколько хуже. Это может быть связано с несколькими причинами: с недостаточной точностью определения геометрии • и размеров образца; с недостаточной точностью определения не только тензора упругих констант, но и их температурных зависимостей, представленных в открытой литературе.
Таблица 1.
/(г/,),кГц амплитуды уК1), кГц Погрешность кГц К{Р"КТ№.
Рассчитанные Измеренные
647.8 0.4925 642.1 5.7 -32.5 -30.0
690.0 0.3758 706.8 16.8 -43.1 -43.3
914.0 1.0000 909.2 4.8 7.9 10.0
1032.2 0.4977 1047.9 15.7 -34.0 -33.3
Пятая глава посвящена исследованию взаимодействия лазерного излучения с кристаллами и их неоднородному разогреву методами резонансной ультразвуковой спектроскопии. Разрабатываются две модели неоднородного разогрева кристалла: на основе коэффициента теплообмена, в которой предполагается, что теплообмен в окружающем кристалл воздухе при разогреве кристалла излучением происходит за счёт теплопроводности, а на границе кристалл-воздух имеется скачок температуры. Вторая модель предполагается гидродинамическое рассмотрение окружающего кристалл воздуха и расчёт двумерных течений воздуха в условиях разогрева кристалла. Определяется область параметров, в которой гидродинамические эффекты, в частности, асимметрия температурного распределения по вертикали, имеют существенное значение. Показано, что в условиях проведённых экспериментов можно ограничиться первой моделью. На рис. 5 приведены результаты расчёта тепловой задачи в рамках модели коэффициента теплообмена для экспериментов с кристаллом КОР размерами 5.5x6.7x7 мм3 при воздействии на него излучения непрерывного иттербиевого одномодового волоконного лазера мощностью до 30 Вт.
Можно показать, что наибольший вклад в изменение резонансной частоты при изменении температуры (как при однородном разогреве, так и при неоднородном) вносит изменение упругих констант. Метод расчёта сдвигов резонансных частот в условиях неоднородного распределения температуры внутри кристалла дв{х,у,г) основан на представлении матрицы системы задачи на собственные значения (5) в виде
о»
Для возможности численного расчёта необходимо трёхмерное распределение температуры факторизовать в произведение одномерных, в противном случае расчёт трёхмерных интегралов в (11) будет затруднён из-за большого их количества: для приемлемой точности расчёта необходимо брать максимальный порядок базисной функции N> 16, при этом можно показать, что количество базисных функций будет 1800, и количество интегралов в (11) превысит 3 миллиона.
Поскольку резонансные частоты сдвигаются как при однородном разогреве, так и при неоднородном, можно ввести понятие эквивалентной температуры кристалла на основе пьезоэлектрического резонанса
Рис. 5. Рассчитанные
распределения температуры: вдоль оси х (вверху слева), вдоль оси у (вверху справа), двумерное (слева).
Координата, мм
0 5 10 15 20
Координата, мм
[
где К[рго)
пьезорезонансный оптический коэффициент, определяемый как
(13)
2 л дР
Р - мощность оптического излучения, падающего на кристалл.
Результаты расчётов и экспериментов показывают, что
Рис. 6. Расположение кристалла, электродов эквивалентная температура
и терморезонаторов. в условиях воздействия
лазерного излучения мало отличается от термодинамической температуры, усреднённой по объёму образца, и она напрямую поддаётся измерению методами резонансной ультразвуковой спектроскопии. Это позволяет измерять температуру кристалла бесконтактным способом в реальном времени в режиме воздействия мощного лазерного излучения. Предлагается использовать этот метод для определения коэффициентов оптического поглощения и теплообмена на границе кристалл-воздух.
Реализовано два метода: стационарный и метод кинетики разогрева. Для стационарных измерений необходимо знать не только эквивалентную температуру кристалла, но и температуру воздуха на заданном расстоянии от основного кристалла. Для этого в эксперименте использовались кристаллы кварца малого поперечного сечения (рис. 6) и измерялась их эквивалентная температура при разогреве основного кристалла лазерным излучением. Предварительно были измерены их резонансные спектры по отдельности, определены коэффициенты К^^. Термодатчик (термопара) служит для измерения внешней температуры электродов. Лазерное излучение интенсивности 1{х,у,г) распространяется по оси г. По сдвигам пьезоэлектрических резонансов измеряются эквивалентная температура основного кристалла 8вед (Р) и вспомогательных кристаллов ць я3,
Здесь решается обратная тепловая задача нахождения неизвестных коэффициента теплообмена /гг и коэффициента поглощения основного
кристалла а, а также их возможные зависимости от мощности излучения Р
Г'""" ЗШЧеНИЙ " И " Рассчиты®^ется распределение слвири Т1 ЭТОГО ВЫЧИСЛЯЮТСЯ эквивалентная температура и
сдвиги резонансов основного и вспомогательных кристаллов они сравниваются с измеренными. Измеряемые сдвиги частот корЗируются исходя из измеренного разогрева электродов, поскольку этот эфГеГне учитывается в модели. После этого выбирается следующее" гфХ^ТнГд^ А и и процедура повторяется до тех пор, пока не будет достигнута требуемая малость разницы измеренных и рассчитанных величин Д°С™ГНуТа
5 5x6 6x37,™ с кристаллом КОР. Размеры кристалла
5.5 х 6.6 х 7 мм . Вспомогательные кварцевые кристаллы имели следующие размеры: 0.5хЗх7мм3 Ы, 1x1x7мм3 Ы> 0.5хЗх7мм3 1х1х7ГГ) При комнатной температуре = 22°С без лазерного излучена значения
часто, рез0нансоВ б , = ^ = ^/ ^ —
ко9э5ффици^Г ^ термические
- -701 ц/К , = -60Гц/К, к[рп) = 75Гц/К,
= -65ГцДС, = 80Гц/К ■ Использовался непрерывный итгербиевый волоконный лазер НТО «ИРЭ-Полюс». Оптическая мощность до 70 Вт диаметр пучка излучения (уровень 1/е2) 1.5 мм. На рис. 7а представлена зависимость выходной мощности от входной, а также эта зависимость в предположении, что имеет место только френелевское отражение от граней кристалла и нет поглощения и рассеяния. Из графика видно, чГнеобходимо учитывать поглощение и рассеяние излучения. На рис. 76 представлена
^^ГТ^ ТСМПеРаТУРЫ КРИСТаЛЛа - -«одного "
Рассчитанные зависимости температуры и полученные значения коэффициентов теплообмена и поглощения представлены на рис 7 Рассчитанные значения коэффициентов: Ит = 15 Вт/(м2 К) а = 0 03 см1' Можно также определить поглощаемую мощность излучения Р часто
используемую в лазерной калориметрии. При малых а '
Ра=РаЬ. (14)
0 5 10 15 20 25 Входная мощность, Вт
Рис. 7. а) Зависимость выходной мощности от входной
-
7к = (Ки1^ Г
к 1. >кт
......1
—
Мощность излучения в кристалле, Вт
б) Эквивалентная температура КОР
Метод нестационарных измерений основывается на измерении кинетики разогрева либо охлаждения кристалла излучением. Данный метод хорошо известен [8]. Коэффициент теплообмена определяется по следующей формуле:
(14)
Ат
где т — масса образца, с,р — его удельная теплоёмкость, А — площадь поверхности, г — постоянная времени охлаждения либо нагрева. Аналитически температурная кинетика записывается в следующем виде:
6>(/) = 0(1+Д0[1-ехр(-г/г)] (15)
Коэффициент поглощения определяется по формуле
(16)
ЬР
Экспериментально зависимость температуры от времени может быть определена по зависимости частоты пьезоэлектрического резонанса от времени. Для этого необходимо измерять форму линии модуля или фазы импеданса вблизи резонанса существенно быстрее скорости изменения его резонансной частоты от времени. Нами предложен альтернативный метод, заключающийся в перестройке частоты с некоторым шагом и записи временной зависимости фазы импеданса в промежутках, когда частота постоянна.
Данный метод реализован в эксперименте. До включения излучения необходимо детально измерить частотную зависимость фазы импеданса вблизи резонанса и определить его минимальное значение фазы рт,„ и ширину на половине высоты А/о, (её значение составляет порядка нескольких десятков герц). Далее выбирается некоторый частотный шаг 8/0 такой, что 0 < |5/0| < Д/о, а знак 5/0 совпадает со знаком для выбранного резонанса. Кроме того, необходимо задаться погрешностью фазы 6р0> которая может быть связана с изменением формы либо амплитуды резонанса при нагреве, и полным временем записи кинетики Т. Перед включением лазера частота генератора устанавливается равной / 0 = /о - 5/сД- Запись кинетики температуры состоит из описанных ниже шагов. Индекс / обозначает цикл, в котором осуществляется перестройка частоты генератора, индекс у обозначает цикл, в котором частота постоянна и происходит считывание данных с детектора.
1. Включение излучения (момент времени / = 0).
2. Начало считывания данных о фазе сигнала с детектора./ = 0.
3. Считывание очередных значений времени /у и фазы <рр / =/ + 1.
4. Если минимум фазы ещё не найден — поиск минимума. Минимум должен удовлетворять условию <Р] < <ртщ + 6кроме того, необходимо <<рк,к-0..у. Если /у > Т, переход к шагу 8.
5. Если минимум уже пройден, анализ признака конца считывания ® > «
Если условие не выполняется, переход к шагу 3
6. Запись текущей частоты/,, и времени минимума фазы ги,
8 КонецТ^°ИКа ЧаСТ0ТЬГ генеРаТ0Ра: / = г + !,/,„-6/0. Переход к шагу 2.
В результате работы этого алгоритма получается набоо пап <7 / >
рисунках 8-10 представлены результаты измерений кинетики разогрева кристалла КОР излучением мощности 5 Вт. Измернное зна— постоянной времени 95 е., это соответствует Ит = 17 Вт/(м2 К) НИ£
в ю время, сек
<68 время, сек
Рис. 8. Запись формы линии фазы адмитанса при сканировании частоты со временем в отсутствии разогрева излучением, ф'аза „ сигнала, подГаемого на вход синхронного детектора в зависимости от времени (слева) и"та РЧ поля от времени при температуре кристалла К1)Р в = 298 К.
112 мом*нты переключения ЧАСТОТЫ
время, сек
100 150 время, сек
Рис 9. Запись кинетики разогрева кристалла КОР лазерным излучением Зависимость частоты РЧ поля (слева) и фазы „ (справа) от времени
1 |
\ \ I 1
»163.20 3.45 ех >(-ЦД т = 95.0
Ч
50
100 150 Время, сек
200
250
Рис. 10. К определению постоянной времени разогрева. Зависимость моментов прохождения минимумов фазы от частоты РЧ шля.
Основные результаты диссертации
1. На основе вариационного подхода разработан метод расчёта собственных пьезоэлектрических мод объёмных образцов, возбуждаемых радиочастотным полем. Произведены расчёты спектров и пространственных распределений мод для нелинейно-оптических кристаллов, использованных в экспериментах: кварц, КБР, КТР, ЬВО.
2. Предложен новый метод идентификации измеренных и рассчитанных спектров на основе анализа температурных сдвигов различных резонансных мод. Данный метод применён к кристаллу кварца, определены (уточнены) упругие константы конкретного материала образца, использованного в эксперименте.
3. Разработана модель неоднородного разогрева кристаллов лазерным излучением, а также метод расчёта сдвигов резонансных частот при неоднородном разогреве. Произведены расчёты температурных распределений и сдвигов резонансов для использованных в экспериментах кристаллов, в частности, для кристалла КОР.
4. Впервые предложен алгоритм вычисления эквивалентной температуры кристалла, взаимодействующего с лазерным излучением, на основе пьезоэлектрического резонанса и дано математическое обоснование корректности введения этого понятия в лазерную физику.
5. Предложен новый метод определения коэффициентов оптического поглощения и теплообмена на границе кристалл-воздух по измерениям кинетики разогрева либо охлаждения кристалла излучением.
Список публикаций по теме диссертации
Статьи в рецензируемых журналах.
1. Д.В. Мясников, А.В. Коняшкин, О.А. Рябушкин, «Идентификация собственных мод объёмных пьезоэлектрических резонаторов в акусторезонансной спектроскопии» // Письма в ЖТФ, том 36 вып 13 стр. 103-110(2010). '
2. D.V. Myasnikov, A.V. Doronkin, A.V. Konyashkin, О.А. Ryabushkin, «Model of resonant acoustic spectroscopy of interaction of high-power singlemode laser radiation with crystals» // 15th International conference on photoacoustic and photothermal phenomena (ICPPP15), J. Phys • Conference Series, 214, 012063(l)-(4), (2010).
3. A.V. Doronkin, A.V. Konyashkin, V.A. Tyrtyshnyy, D.V. Myasnikov, O.A. Ryabushkin, «Kinetics of the acoustic resonances in nonlinear-optical crystals during the interaction with the single-mode high-power laser radiation» // 15th Internationa] conference on photoacoustic and photothermal phenomena (ICPPP15), J. Phys.: Conference Series, 214, 012043(l)-(5), (2010).
4. A.V. Konyashkin, A.V. Doronkin, V.A. Tyrtyshnyy, D.V. Myasnikov, O.A. Ryabushkin, «Resonant acoustic spectroscopy of the interaction of the singlemode high-power laser radiation with crystals» // 15th International conference on photoacoustic and photothermal phenomena (ICPPP15) J Phys •
Conference Series, 214, 012064(l)-(4), (2010).
. О. А. Рябушкин, А. В. Коняшкин, Д. В. Мясников, А. В. Доронкин, В. А. Тыртышный, "Радиочастотная спектроскопия нелинейно-оптических кристаллов, взаимодействующих с мощным лазерным излучением" // Успехи современной радиоэлектроники (УCP), 2010, № 5, С. 54-65.
. О. A. Ryabushkin, D. V. Myasnikov, А. V. Konyashkin, V. A. Tyrtyshnyy, "Equivalent temperature of nonlinear-optical crystals interacting with laser radiation" // Journal of the European Optical Society - Rapid Publications 6 1100(2011). ' '
Статьи в сборниках трудов международных конференций.
Д. В. Мясников, А. В. Коняшкин, О. А. Рябушкин, «Модель акусторезонансной спектроскопии нелинейно-оптического взаимодействия одномодового лазерного излучения с кристаллами» // труды VII международной конференции «Лазерная физика и оптические технологии» г. Минск, том 3, 17-19 июня 2008 года, с. 233-236.
О.A. Ryabushkin, D, V. Myasnikov, A.V. Konyashkin, «А model of acoustic-resonance spectroscopy of nonlinear-optical interaction of single-mode laser
radiation with crystals» // EOS Annual Meeting 2008, Paris, France, (29th September - 2nd October), TOM 6 808.
9. O.A. Ryabushkin, A.V. Konyashkin, D.V. Myasnikov, «Radio-frequency impedance spectroscopy of the nonlinear interaction of laser radiation with nonlinear-optical crystals» // EOS Annual Meeting 2008, Paris, France, (29th September - 2nd October), TOM 6 810.
10. A.V. Konyashkin, A.V. Doronkin, V.A. Tyrtyshnyy, D.V. Myasnikov, O.A. Ryabushkin, «Resonant acoustic calorimetry of the interaction of high-power laser radiation with crystals» // Ninth International Conference on Solid State Lighting, San Diego California USA (2-6 August 2009), Proc. of SPIE, Vol. 7422, 742217-1 - 742217-11.
11. A. Konyashkin, A. Doronkin, V. Tyrtyshnyy, D. Myasnikov, O. Ryabushkin, «Resonant Acoustic Calorimetry of the Interaction of Laser Radiation with Nonlinear-Optical Crystals» // 2009 IEEE International Ultrasonic Symposium Proceedings, Rome Italy, (20 - 23 September 2009), pp. 2045 - 2048.
12. A. Doronkin, A. Konyashkin, V. Tyrtyshnyy, D. Myasnikov, O. Ryabushkin, «Kinetics of the Nonlinear-Optical Crystal Equivalent Temperature during the Interaction with Single-Mode High-Power Laser Radiation» // 2009 IEEE International Ultrasonic Symposium Proceedings, Rome Italy, (20 - 23 September 2009), pp. 2053 - 2056.
13. Konyashkin, A. V., Tyrtyshnyy, V. A., Doronkin, A. V., et al., "Resonant acoustic calorimetry of the interaction of high-power laser radiation with crystals," Proceedings of SPIE Vol. 7422, 742217 (2009).
14. Myasnikov, D. V., Konyashkin, A. V., Ryabushkin, O. A., "A model of equivalent temperature of nonlinear-optical crystal under action of high power laser radiation," Proceedings of SPIE Vol. 7994,79941R (2011).
Тезисы докладов на международных конференциях.
15. A.V. Doronkin, A.V. Konyashkin, V.A. Tyrtyshnyy, D.V. Myasnikov, O.A. Ryabushkin, «Kinetics of the acoustic resonances in nonlinear-optical crystals during the interaction with the single-mode high-power laser radiation» // 15th International conference on photoacoustic and photothermal phenomena (ICPPP15), Leuven, Belgium, (19th-23rd July 2009), Book of Abstracts, p. 90, TU-PA-2B-4.
16. A.V. Konyashkin, A.V, Doronkin, V.A. Tyrtyshnyy, D.V. Myasnikov, O.A. Ryabushkin, «Resonant acoustic spectroscopy of the interaction of the singlemode high-power laser radiation with crystals» // 15lh International conference on photoacoustic and photothermal phenomena (ICPPP15), Leuven, Belgium, (19th-23rd July 2009), Book of Abstracts, p. 332, PO-T14-13.
21
17. D.V. Myasnikov, A.V. Doronkin, A.V. Konyashkin, O.A. Ryabushkin, «Model of resonant acoustic spectroscopy of interaction of high-power singlemode laser radiation with ciystals» // 15th International conference on photoacoustic and photothermal phenomena (ICPPP15), Leuven, Belgium, (19ft-23rd July 2009), Book of Abstracts, p. 327, PO-T14-8
18. A. Konyashkin, A. Doronkin, V. Tyrtyshnyy, D. Myasnikov, O. Ryabushkin, «Resonant Acoustic Calorimetry of the Interaction of Laser Radiation with Nonlinear-Optical Crystals»// 2009 IEEE International Ultrasonic Symposium, Rome Italy, (20 - 23 Sep 2009), Abstract book, pp. 494 - 495, P2-K-04.
19. A. Doronkin, A. Konyashkin, V. Tyrtyshnyy, D. Myasnikov, O. Ryabushkin, «Kinetics of the Nonlinear-Optical Crystal Equivalent Temperature during the Interaction with Single-Mode High-Power Laser Radiation» // 2009 IEEE International Ultrasonic Symposium, Rome Italy, (20 - 23 September 2009), Abstract book, pp. 496 - 497, P2-K-06.
20. A.V. Doronkin, A.V. Konyashkin, V. A. Tyrtyshnyy, D. V. Myasnikov, O.A. Ryabushkin, «Kinetics of the nonlinear-optical crystal heating induced by high-power single-mode laser radiation» // 5rd International Symposium on High-Power Fiber Lasers and Their Applications, St. Petersburg, Russia, (28th June - 02 July 2010), TuSy-pl2.
21. A.V. Konyashkin, A.V. Doronkin, D.V. Myasnikov, V.A. Tyrtyshnyy, O.A. Ryabushkin, «Temperature determination of nonlinear-optical crystals heated by laser radiation» // International Conference on Lasers, Applications and Technologies (ICONO/LAT 2010), Kazan, (August 23-26, 2010), LThOlO.
22. D.V. Myasnikov, A.V. Konyashkin, O.A. Ryabushkin, «А model of equivalent temperature of nonlinear-optical crystal under action of high power laser radiation» // International Conference on Lasers, Applications and Technologies (ICONO/LAT 2010), Kazan, (August 23-26, 2010), LTh013.
Труды конференций МФТИ (2006-2009 гг)
23. А. В. Коняшкин, Д. В. Мясников, О. А. Рябушкин, «Электрооптическая модуляционная спектроскопия нелинейно-оптических кристаллов» // труды 49-й научной конференция МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук», с. 41-42 (Ноябрь 24-25, 2006).
24. А. В. Коняшкин, Д. В. Мясников, О. А. Рябушкин, «Радиочастотная спектроскопия нелинейно-оптических кристаллов КТР» // труды 50-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» с. 85-88 (Ноябрь 24-25,2007).
25. Д. В. Мясников, А. В. Коняшкин, А. В. Доронкин, О. А. Рябушкин, «Модель акусторезонансной спектроскопии нелинейно-оптического
22
взаимодействия лазерного излучения с кристаллами» // труды 51-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» с. 126-130 (Ноябрь 28-30,2008).
26. А. В. Коняшкин, А. В. Доронкин, В. А. Тыртышный, Д. В. Мясников, О. А. Рябушкин, «Изменение формы линии пьезоэлектрических резонансов нелиенйно-оптического кристалла КТР при воздействии лазерного излучения» // труды 52-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» с. 99-101 (27.1101.12.09).
27. А. В. Доронкин, А. В. Коняшкин, В. А. Тыртышный, Д. В. Мясников, О. А. Рябушкин, «Кинетика эквивалентной температуры кристалла KTi0P04 при взаимодействии с мощным одномодовым лазерным излучением» // труды 52-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» с. 93-95 (27.11 - 01.12.09).
28. Д. В. Мясников, А. В. Коняшкин, О. А. Рябушкин, «Идентификация собственных мод объёмных пьезоэлектрических резонаторов» // труды 52-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» с. 113-117 (27.11 - 01.12.09).
Цитированная литература
1. А.М. Miller, L.V. Soustov, "Absorption in and laser damage to KDP and DKDP crystals" // Sov. J. Quantum Electron. 19 (1), pp. 39-45 (1989).
2. C. Yu et al., "A new resonant photoacoustic technique for measuring very low optical absorption in crystals and glasses" // J. Acoust. Soc. Am., Vol. 91, No. 2, pp. 868-877 (1992).
3. F. Bczanfon et al., "Accurate determination of the weak optical absorption of piezoelectric crystals used as capacitive massive bolometers" // IEEE J. Quant. Electron., Vol. 37, No. 11, pp. 1396-1400 (2001).
4. R. Mindlin, "Simple modes of vibration of crystals" П J. Appl. Phys., Vol. 27, No. 12, pp. 1462-1466 (1956).
5. H. Demarest, "Cube-resonance method to determine the elastic constants of solids" // J. Ac. Soc. Am., Vol. 49, No. 3 (part 2), pp. 768-775 (1971).
6. H. Tiersten, "Natural boundary and initial conditions from a modification of Hamilton's principle" // J. Math. Phys., Vol. 9, No. 9, pp. 1445-1451 (1968).
7. B. Zadler, "Properties of elastic materials using contacting and non-contacting acoustic spectroscopy" // PhD thesis, Colorado School of Mines, Golden, Colorado (2004).
8. D.A. Pinnow, T.C. Rich, "Development of a calorimetric method for making precision optical absorption measurements" // Applied Optics, Vol. 12, No. 5, pp. 984-992 (1973).
Мясников Даниил Владимирович
МОДЕЛЬ РЕЗОНАНСНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ РАДИОЧАСТОТНОГО ПОЛЯ С ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИМИ КРИСТАЛЛАМИ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
Подписано в печать 18.11.2011 Формат 60 х 84 1/16. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,4. Тираж 90 экз. Заказ №44)
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)» Отдел автоматизированных издательских систем «ФИЗТЕХ-ПОЛИГРАФ» 141700, Моск. обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9
Список обозначений.
Список основных сокращений.
Введение.
Цели и задачи диссертационной работы.
Научная новизна работы.
Практическая значимость работы.
Положения, выносимые на защиту.
Апробация результатов работы.
Публикации.
Глава 1. Обзор литературы.
1.1 Нелинейная оптика.
1.1.1. Краткая история нелинейной оптики.
1.1.2. Современные проблемы нелинейной оптики.
1.2 Термометрия.
1.2.1. Законы теплообмена.
1.2.2. Модели разогрева кристаллов лазерным излучением.
1.2.3. Измерение температуры.
1.3. Резонансная ультразвуковая спектроскопия.
1.3.1. Развитие методов ультразвуковой спектроскопии.
1.3.2. Вариационная формулировка задачи.
1.3.3. Расчёт собственных пьезоэлектрических мод.
1.3.4. Схема измерений в резонансной ультразвуковой спектроскопии (RUS).
1.3.5. Идентификация собственных мод.
1.3.6. RUS для измерения параметров диссипации энергии в образцах.
1.3.7. Применение RUS в задачах неразрушающего контроля.
1.4. Пьезоэлектрики.
1.5. Импедансная спектроскопия.
1.5.1. Основы метода.
1.5.2. Эквивалентные схемы.
1.5.3. Схемы измерений.
1.6. Выводы.
Глава 2. Экспериментальная установка.
2.1. Схема измерения импеданса кристалла.
2.2. Метод синхронного детектирования.
2.3. Описание оборудования.
2.4. Запись резонансных спектров.
2.5. Температурная калибровка.
2.6. Выводы.
Глава 3. Пьезоэлектрические моды объёмных образцов.
3.1. Вывод основных уравнений.
3.2. Выбор базисных функций.
3.3. Задача на собственные значения.
3.4. Предельные случаи: стержни, пластины.
3.5. Примеры расчёта собственных пьезоэлектрических мод.
3.6. Спектры возбуждаемых собственных мод.
3.7. Выводы.
Глава 4. Калибровка резонансов при однородном разогреве.
4.1. Влияние температуры на собственные моды.
4.2. Температурные зависимости материальных констант.
4.3. Теория возмущений.
4.4. Идентификация собственных пьезоэлектрических мод.
4.4.1. Измерение температурных сдвигов частоты пьезоэлектрических резонансов кристалла кварца.
4.4.2. Метод расчёта возбуждаемых мод.
4.5. Выводы.
Глава 5. Разогрев кристаллов лазерным излучением.
5.1. Модели неоднородного разогрева.
5.1.1. Модель конвекции на основе коэффициента теплообмена.
5.1.2. Гидродинамическая модель конвекции.
5.2. Расчёт сдвигов частот при неоднородном разогреве.
5.3. Эквивалентная температура кристалла.
5.4. Определение коэффициентов поглощения и теплообмена.
5.4.1. Стационарные измерения.
5.4.2. Кинетика разогрева.
5.5. Выводы.
Основные результаты диссертации.
В течение 50 лет, прошедших с момента появления первого лазера, наблюдается устойчивый рост средних и пиковых мощностей лазерного излучения. Эта тенденция обусловливает ужесточение требований к материалам, используемым в лазерах. Высокие тепловые нагрузки в активных элементах твердотельных лазеров требуют тщательной оптимизации параметров резонатора и активного элемента и знания его реальной температуры в рабочем режиме. С другой стороны, с развитием методов нелинейной оптики, в частности, нелинейного преобразования частоты излучения, всё большее распространение получают нелинейно-оптические кристаллы. Несмотря на то, что такие кристаллы используются в области их прозрачности, и их разогрев излучением, как правило, существенно меньше, чем для лазерных кристаллов, они также подвержены
-у оптическому разрушению высокими значениями мощности излучения (ГВт/см и более). Таким образом, проблема измерения температуры и контроля состояния кристаллов в лазерной физике приобретает всё большую актуальность.
Данная диссертация посвящена разработке методов измерения температуры кристаллов и их оптических характеристик в условиях их разогрева лазерным излучением на основе акусто-резонансной спектроскопии. Идея совмещения оптических и радиочастотных измерений оказывается весьма плодотворной для целей работы и относительно несложной в экспериментальной реализации благодаря тому, что нелинейно-оптические кристаллы, как правило, являются пьезоэлектриками и допускают прямое возбуждение и детектирование акустических колебаний с помощью радиочастотного поля. Акцент в работе делается на разработку теоретических моделей рассматриваемых явлений, численные расчёты и их сопоставление с экспериментом.
Основные результаты диссертации
1. На основе вариационного подхода разработан метод расчёта собственных пьезоэлектрических мод объёмных образцов, возбуждаемых радиочастотным полем. Рассчитаны спектры и пространственные распределения мод для нелинейно-оптических кристаллов, использованных в экспериментах: кварц, КЮР, КТР, ЬВО.
2. Предложен и экспериментально реализован новый метод идентификации измеренных и рассчитанных спектров на основе анализа температурных сдвигов различных резонансных мод. Данный метод применён к кристаллу кварца, уточнены упругие константы конкретного материала образца, использованного в эксперименте.
3. Разработана модель неоднородного разогрева кристаллов лазерным излучением, а также метод расчёта сдвигов резонансных частот при неоднородном разогреве. Произведены расчёты температурных распределений и сдвигов пьезоэлектрических резонансов для использованных в экспериментах кристаллов.
4. Впервые предложен алгоритм вычисления эквивалентной температуры кристалла, взаимодействующего с лазерным излучением, на основе пьезоэлектрического резонанса и дано математическое обоснование корректности введения этого понятия в лазерную физику.
5. Предложен и экспериментально реализован новый метод определения коэффициентов оптического поглощения и теплообмена на границе кристалл-воздух по измерениям кинетики разогрева либо охлаждения кристалла излучением.
1. Дмитриев В.Г., Тарасов Л.В. Прикладная нелинейная оптика. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.
2. S.T. Yang et al., "6.5 W, 532-nm radiation by cw resonant external-cavity second-harmonic generation of an 18-W Nd:YAG laser in LiB305" // Optics Letters, Vol. 16, No. 19, pp. 1493-1495 (1991).
3. P.A. Champert et al., "Efficient second-harmonic generation at 384 nm in periodically poled lithium tantalite by use of a visible Yb-Er-seeded fiber source" // Optics Letters, Vol. 25, No. 17, pp. 1252-1254 (2000).
4. Y. Feng, S. Huang, A. Shirakawa, K. Ueda, "Multiple-colors cw visible lasers by frequency sum-mixing in a cascading Raman fiber laser" // Optics Express, Vol. 12, No. 9, pp. 18431847 (2004).
5. X. Fali et al., "Efficient generation of deep ultraviolet radiation using LiBsOs crystal" // Chinese Phys. Lett., Vol. 9, No. 5, pp. 240-242 (1992).
6. V. Yanosky et al., "Ultra-high intensity 300-TW laser at 0.1 Hz repetition rate" // Optics Express, Vol. 16, No. 3, pp. 2109-2114 (2008).
7. Хохлов P.В., "О распространении волн в нелинейных диспергирующих линях" // Радиотехника и электроника, Т. 6 № 6. с. 1116 (1961).
8. R. Terhune, P. Maker, С. Savage, "Observation of saturation effects in optical harmonic generation" // Phys. Rev. Lett., V. 2, No. 3, p. 54 (1963).
9. Ахманов С.А., "О генерировании УФ-излучения путём использования каскадного преобразования частоты" // Письма в ЖЭТФ, Т. 2, № 5, с. 223 (1965).
10. D. Kleinman, A. Ashkin, G. Boyd, "Second-harmonic generation of light by focused laser beams" // Phys. Rev., V. 145, No. 1, p. 338 (1966).
11. А.И. Ковригин, А.П. Сухоруков, H.K. Подсотская, "Исследование угловой структуры второй оптической гармоники" // Оптика и спектроскопия, Т. 22, с. 11 (1967).
12. Ю.А. Гольдин, В.Г. Дмитриев, В.К. Тарасов и др., "О наблюдении генерации суммарной частоты в электрооптических нелинейных кристаллах" // Письма в ЖЭТФ, Т. 4, № 11, с. 441 (1963).
13. С.А. Ахманов, Р.В. Хохлов, "Об одной возможности усиления световых волн" // ЖЭТФ, Т. 43, № 7, с. 351 (1962).
14. Н. Kroll, "Parametric amplification in spatially extended media and application to the design of tunable oscillators at optical frequencies" // Phys. Rev., V. 127, p. 1207 (1962).
15. J. Giordmaine, R. Miller, "Tunable coherent parametric oscillation in LiNb03 at optical frequencies" // Phys. Rev. Lett., V. 14, p. 973 (1965).
16. Н.Ф. Пилипецкий, С.А. Рустамов, "Наблюдение самофокусировки света в жидкостях" // Письма в ЖЭТФ, Т.2. с. 88 (1965).
17. В.И. Беспалов, В.И. Таланов, "О нитевидной структуре пучков света в нелинейных жидкостях" // Письма в ЖЭТФ, Т.З. с. 137 (1966).
18. К. Kato, "Second-harmonic generation to 2048A in /?-ВаВ204" // IEEE J. Quant. Electr. QE-22(7), pp. 1013-1014(1986).
19. T. Togashi, T. Kanai, T. Sekikawa, S. Watanabe, C. Chen, C. Zhang, Z. Xu, J. Wang, "Generation of vacuum-ultraviolet light by an optically contacted, prism-coupled KBe2B03F2 crystal" // Opt. Lett. 28(4), pp. 254-256 (2003).
20. J. Sakuma, K. Deki, A. Finch,Y. Ohsako, T.Yokota, "All-solid-state, high-power, deep-UV laser system based on cascaded sum-frequency mixing in CsLiB60io crystals" // Appl. Opt. 39(30), pp. 5505-5511 (2001).
21. T. Yajima, N. Takeuchi, "Spectral properties and tunability of far-infrared differencefrequency radiation produced by picosecond light pulses" // Jpn. J. Appl. Phys. 10(7), pp. 907-915 (1971).
22. J.A. Armstrong, N. Bloembergen, J. Ducuing, P.S. Pershan, "Interactions between light waves in a nonlinear dielectric" // Phys. Rev. 127(6), 1918-1939 (1962).
23. P.A. Champert, S.V. Popov, J.R. Taylor, "Power scalability to 6W of 770 nm source based on seeded fibre amplifier and PPKTP" // Electron. Lett., Vol. 37, No. 18, pp. 1127-1129 (2001).
24. G.D. Miller, R.G. Batchko, W.M. Tulloch, D.R.Weise, M.M. Fejer, R.L. Byer, "42%-efficient single-pass CW second-harmonic generation in periodically poled lithium niobate" // Opt. Lett. 22(24), 1834-1836 (1997).
25. R. Boyd. Nonlinear Optics, second edition. Elsevier Science, San Diego, USA (2003).
26. R. Wood. Laser-induced damage of optical materials. Institute of Physics Publishing, Bristol, UK (2003).
27. A. Starke, A. Bernhardt, "Laser damage threshold measurement according to ISO 11254: experimental realization at 1064 nm" // Proc. of SPIE, Vol. 2114, pp. 212-219.
28. B. Boulanger, M. Fejer, R. Blachman, P. Bordui, "Study of KTi0P04 gray-tracking at 1064, 532, and 355 nm" // Appl. Phys. Lett., Vol. 65, No. 19 (1994).
29. S. Wang, V. Pasiskevicius, F. Laurell, "Dynamics of green light-induced infrared absorption in KTi0P04 and periodically poled KTi0P04" // J. Appl. Phys., Vol. 96, No. 4, pp. 20232028 (2004).
30. H. Yoshida et al., "Investigation of bulk laser damage in KDP crystal as a function of laser irradiation direction, polarization, and wavelength" // Appl. Phys. B, Vol. 70, pp. 195-201 (2000).
31. J.-F. Bisson et al., "Laser damage threshold of ceramic YAG" // Jpn. J. Appl. Phys., Vol. 42, pp. L 1025-1027 (2003).
32. L. Gallais, J.-Y. Natoli, "Optimized metrology for laser-damage measurement: application to multiparameter study" // Applied Optics, Vol. 42, No. 6, pp. 960-971 (2003).
33. G. Duchateau, "Simple models for laser-induced damage and conditioning of potassium dihydrogen phosphate crystals by nanosecond pulses" // Optics Express, Vol. 17, No. 13, pp. 10434-10456 (2009).
34. A. Veduta, "Temperature and population distribution in a ruby laser rod during pumping" // Zhurnal Prikladnoi Spektroskopii, Vol. 9, No. 6, pp. 964-968 (1968).
35. W. Koechner, "Absorbed pump power, thermal profile and stresses in a cw pumped Nd:YAG crystal" // Applied Optics, Vol. 9, No. 6, pp. 1429-1434 (1970).
36. W. Koechner, "Transient thermal profile in optically pumped laser rods" // J. Appl. Phys., Vol. 44, No. 7, pp. 3162-3170 (1973).
37. H. Jing-ya, "Evaluation of the thermal focal length produced in a repetitively pulsed solidstate laser" // J. Appl. Phys., Vol. 54, No. 5, pp. 2214-2218 (1983).
38. W. Elenbaas, "The dissipation of heat by free convection from vertical and horizontal cylinders"//J. Appl. Phys., Vol. 19, pp. 1148-1154(1948).
39. K. Mann, H. Weber, "Surface heat transfer coefficient, heat efficiency, and temperature of pulsed solid-state lasers" //J. Appl. Phys., Vol. 64, No. 3, pp. 1015-1021 (1988).
40. M.E. Innocenzi et al., "Thermal modeling of continuous-wave end-pumped solid-state lasers"//Appl. Phys. Lett., Vol. 56, No. 19, pp. 1831-1833 (1990).
41. K. Kim et al., "Measurement of the temperature and the pumping uniformity inside a Nd:YAG rod by an interferometric method" // Appl. Phys. Lett., Vol. 58, No. 17, pp. 1810-1812(1991).
42. U. Farrukh, P. Brockman, "Temperature distribution in side- and end-pumped laser crystal rods: temporal and spatial variations" // Applied Optics, Vol. 32, No. 12, pp. 2075-2081 (1993).
43. M. Schmid, Th. Graf, H. Weber, "Analytical model of the temperature distribution and the thermally induced birefringence in laser rods with cylindrically symmetric heating" // J. Opt. Soc. Am. B, Vol. 17, No. 8, pp. 1398-1404 (2000).
44. J. Didierjean et al., "High resolution absolute temperature mapping of laser crystals in diode-end-pumped configuration" // Proceedings of SPIE, Vol. 5707, pp. 370-379 (2005).
45. S. Wang et al., "Diode end pumped Nd:YAG laser at 946 nra with high pulse energy limited by thermal lensing" // Appl. Phys. B, Vol. 95, pp. 721-730 (2009).
46. J. Mehta, W. Black, "Erros associated with interferometric measurement of convective heat transfer coefficients" // Applied Optics, Vol. 16, No. 6 (1977).
47. S. Nemoto, A. Yoshizawa, "Fiber-interferometric measurement of the heat-transfer coefficient of a plate" // Applied Optics, Vol. 31, No. 4, pp. 429-431 (1992).
48. F. Gori, M. Serrano, Y. Wang, "Natural convection along a vertical thin cylinder with uniform and constant wall heat flux" // International Journal of Thermophysics, Vol. 27, No. 5, pp. 1527-1538 (2006).
49. A.H. Магунов. Лазерная термометрия твёрдых тел. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.
50. L. Michalski, К. Eckersdorf, J. Kucharski. Temperature measurement. — NY.: John Wiley & Sons. 2001.
51. F. Bezan9on et al., "Accurate determination of the weak optical absorption of piezoelectric crystals used as capacitive massive bolometers" // IEEE J. Quant. Electron., Vol. 37, No. 11, pp. 1396-1400 (2001).
52. K. Goodson, M. Asheghi, "Near-field optical thermometry" // Nanoscale and microscale thermophysical engineering, Vol. 1, No. 3, pp. 225-235 (1997).
53. D. Hacman, W. Heitmann, "Reflectance of vacuum deposited magnesium films" // Applied Optics, V. 12, No. 4, pp. 895-895 (1973).
54. S. Tsao et al., "Theoretical study of high power laser calorimetry" // Romanian reports in physics, Vol. 60, No. 4, pp. 1071-1076 (2008).
55. D.A. Pinnow, T.C. Rich, "Development of a calorimetric method for making precision optical absorption measurements" // Applied Optics, Vol. 12, No. 5, pp. 984-992 (1973).
56. A. Migliori, J. Sarrao. Resonant ultrasound spectroscopy. — NY.: J. Wiley & Sons, 1997.
57. D. Fraser, R. LeCraw, "Novel method of measuring elastic and anelastic properties of solids"//Rev. Sci. Instrum., Vol. 35, No. 9, pp. 1113-1115 (1964).
58. H. Demarest, "Cube-resonance method to determine the elastic constants of solids" // J. Ac. Soc. Am., Vol. 49, No. 3 (part 2), pp. 768-775 (1971).
59. R. Schwarz, J. Vuorinen, "Resonant ultrasound spectroscopy: applications, current status and limitations" // Journal of Alloys and Compounds, Vol. 310, pp. 243-250 (2000).
60. Е. Треффц. Математическая теория упругости. — М.-Л.:ГТТИ, 1934.
61. B.JI. Бердичевский. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука. 1983.
62. Е. Reissner, "On a variational theorem in elasticity" // J. Math. Phys., Vol. 29, pp. 90-95 (1950).
63. H. Hu, "On some variational principles in the theory of elasticity and the theory of plasticity" // Scintia Sinica, Vol. 4, pp. 33-54 (1955).
64. K. Washizu, "On the variational principles of elasticity and plasticity" // Aeroelastic and Structural Research Lab, M.I.T., Tech. Rept. No. 25-18, Cambridge, MA (1955).
65. M. Gurtin, "Variational principles for linear elastodynamics" // Arch. Rational. Mech. Anal., Vol. 18, pp. 34-50 (1964).
66. W. Edelstein, M. Gurtin, "Uniqueness theorems in the linear dynamic theory of anisotropic viscoelastic solids" // Arch. Rational. Mech. Anal., Vol. 17, pp. 47-60 (1964).
67. I. Hlavacek, "Derivation of non-classical variational principles in the theory of elasticity" // Appl. Math., Vol. 19, No. 1, pp. 15-29 (1967).
68. I. Babich, A. Guz, "Variational principles of the Hu-Washizu type for linearized problems of incompressible bodies with highly elastic deformations" // Prikladnaya Mekhanika, Vol. 8, No. 3, pp. 113-116 (1972).
69. W. Chien, "Classification of variational principles in elasticity" // Appl. Math. Mech., Vol. 5, No. 6, pp. 1737-1743 (1984).
70. I. Fonseca, "Variational methods for elastic crystals" // Arch. Ration. Mech. Anal., Vol. 97, No. 3,pp. 189-220 (1986).
71. E. Reissner, "Some aspects of the variational principles problem in elasticity" // Сотр. Mech., Vol. l,pp. 3-9(1986).
72. J. He, "A unified generalized variational principle of elasticity" // Facta universitatis, Univ. of Nis, Vol. 2, No. 9, pp. 857-863 (1999).
73. J. He, "Further study of the equivalent theorem of Hellinger-Reissner and Hu-Washizu variational principles" // Appl. Math. Mech., Vol. 20, No. 5, pp. 545-556 (1999).
74. E. Nisse, "Variational method for electroelastic vibration analysis" // IEEE Trans. On Sonics and Ultrasonics, Vol. SU-14, No. 4, pp. 153-160 (1967).
75. I. Vekovicheva, "Variational principles in the theory of electroelasticity" // Prikladnaya Mekhanika, Vol. 7, No. 9, pp. 129-133 (1971).
76. M. Dokmeci, "Variational principles in piezoelectricity" // Lettere al Nuovo Cimento, Vol. 7, No. 11, pp. 494-454(1973).
77. H. Ymeri, "Toupin's variational principle and electric free enthalpy for dielectric bodies" // Electrical Engineering, Vol. 80, pp. 163-167 (1997).
78. J. He, "A generalized variational principle for 2-D piezoelectricity with surface electrodes" // J. Shanghai University, Vol. 4, No. 1, pp. 14-17 (2000).
79. K. Wolf, "Electromechanical energy conversion in asymmetric piezoelectric bending actuators" // Dr.-Ing. Thesis, Univ. Darmstadt, 2000.
80. R. Rodgriguez-Ramos et al., "Variational principles for nonlinear piezoelectric materials" // Arch. Appl. Mech., Vol. 74, pp. 191-200 (2004).
81. H. Tiersten, "Natural boundary and initial conditions from a modification of Hamilton's principle" // J. Math. Phys., Vol. 9, No. 9, pp. 1445-1451 (1968).
82. E. Tonti, "On the variational formulation for linear initial value problems" // Annali di Matematica pura ed applicata, Vol. XCV, pp. 331-360 (1973).
83. W. Chen, "More generalized hybrid variational principle and corresponding finite element model" // Appl. Math. Mech., Vol. 7, No. 5, pp. 481-487 (1986).
84. G. Buchanan, "A note on a variational principle for crystal physics" // Comp. Mech., Vol. 2, pp. 163-166 (1987).
85. D. Chandrasekharaiah, "A generalized linear thermoelasticity theory for piezoelectric media" // Acta Mechanica, Vol. 71, pp. 39-49 (1988).
86. D. Chandrasekharaiah, "Variational and reciprocal principles in thermoelasticity without energy dissipation" // Proc. Indian Acad. Sci., Vol. 108, No.2, pp. 209-215 (1998).
87. M. Aouadi, "Generalized theory of thermoelastic diffusion for anisotropic media" // J. Thermal Stresses, Vol. 31, pp. 270-285 (2008).
88. E. Luo, "Some basic principles for linear coupled dynamic thermopiezoelectricity" // Science in China (Series A), Vol. 42, No. 12, pp. 1292-1300 (1999).
89. A. Gornandt, U. Gabbert, "Finite element analysis of thermopiezoelectric smart structures" // Acta Mechanica, Vol. 154, pp. 129-140 (2002).
90. J. He, "Generalized variational principles for thermopiezoelectricity" // Arch. Appl. Mech., Vol. 72, pp. 248-256 (2002).
91. C. Trimarco, "A Lagrangian approach to electromagnetic bodies" // Technische Mechanik, B. 22, H. 3, ss. 175-180 (2002).
92. M. Aouadi, "Uniqueness and reciprocity theorems in the theory of generalized thermoelastic diffusion" // J. Thermal Stresses, Vol. 30, pp. 665-678 (2007).
93. A. El-Karamany, "Constitutive laws, uniqueness theorem and Hamilton's principle in linear micropolar thermopiezoelectric/piezomagnetic continuum with relaxation time" // J. Thermal Stresses, Vol. 30, pp. 59-80 (2007).
94. G. Altay, M. Dokmeci, "Variational principles for piezoelectric, thermopiezoelectric, and hygrothermopiezoelectric continua revisited" // Mechanics of Advanced Materials and Structures, Vol. 14, pp. 549-562 (2007).
95. M. Dokmeci, "Hamilton's principle and associated variational principles in polar thermopiezoelectricity" // Physics A, doi: 10.1016/j.physa.2010.01.002 (2010).
96. J. He, "Modified Lagrange multiplier method and generalized variational principle in fluid mechanics" // J. Shanghai University, Vol. 1, No. 2, pp. 117-122 (1997).
97. J. He, "Variational theory for one-dimensional longitudinal beam dynamics" // Phys. Lett. A, Vol. 352, pp. 276-277 (2006).
98. J. He, "Variational principle for two-dimensional incompressible inviscid flow" // Phys. Lett. A, Vol. 371, pp. 39-40 (2007).
99. Z. Tao, "Variational approach to the inviscid compressible fluid" // Acta Appl. Math., Vol. 100, pp. 291-294 (2008).
100. E. Mochizuki, "Application of group theory to free oscillations of an anisotropic rectangular parallelepiped" // J. Phys. Earth, Vol. 35, pp. 159-170 (1987).
101. J.K.L. MacDonald, "Successive approximations by the Rayleigh-Ritz method" // Phys. Rev., Vol. 3. pp. 830-833 (1933).
102. H. Ekstein, "Free vibrations of anisotropic bodies" // Phys. Rev., Vol. 66, Nos. 5, 6, pp. 108-118 (1944).
103. H. Ekstein, "Forced vibrations of piezoelectric crystals" // Phys. Rev., Vol. 70, Nos. 1, 2, pp. 76-84 (1946).
104. R. Mindlin, "Thickness-shear and flexural vibrations of crystal plates" // J. Appl. Phys., Vol. 22, No. 3, pp. 316-323 (1951).
105. H. Ekstein, T. Schiffman, "Free vibrations of isotropic cubes and nearly cubic parallelepipeds" // J. Appl. Phys., Vol. 27, No. 4, pp. 405-412 (1956).
106. R. Mindlin, "Simple modes of vibration of crystals" // J. Appl. Phys., Vol. 27, No. 12, pp. 1462-1466(1956).
107. R. Lerch, "Simulation of piezoelectric devices by two- and three-dimensional finite elements" // IEEE Trans. Ultrason. Ferroel., Freq. Control, Vol. 37, No. 2, pp. 233-247 (1990).
108. W. Visscher, A. Migliori, Th. Bell, R. Reinert, "On the normal modes of free vibration of inhomogeneous and anisotropic elastic objects" // J. Acoust. Soc. Am., Vol. 90, No. 4, pp. 2154-2162 (1991).
109. P. Курант, Д. Гилберт. Методы математической физики. Т. 1. — M.-JI.: ГТТИ, 1933.
110. В. Zadler, "Properties of elastic materials using contacting and non-contacting acoustic spectroscopy" // PhD thesis, Colorado School of Mines, Golden, Colorado (2004).
111. J. Maynard, "The use of piezoelectric film and ultrasound resonance to determine the complete elastic tensor in one measurement" // J. Acoust. Soc. Am., Vol. 91, No. 3, pp. 1754-1762 (1992).
112. A. Migliori et al., "Resonant ultrasound spectroscopic techniques for measurement of the elastic moduli of solids" // Physica B, Vol. 183, pp. 1-24 (1993).
113. J. Sarrao et al., "Determination of the crystallographic orientation of a single crystal using resonant ultrasound spectroscopy" // Rev. Sci. Instrum., Vol. 65, No. 6, pp. 2139-2140 (1994).
114. R. Leisure, F. Willis, "Resonant ultrasound spectroscopy: review article" // J. Phys. Cond. Mat., Vol. 9, pp. 6001-6029 (1997).
115. T. Goto, O. Anderson, "Apparatus for measuring elastic constants of single crystals by a resonance technique up to 1825K" // Rev. Sci. Instrum, Vol. 59, No. 8, p. 1405 (1988).
116. H. Ogi, "Field dependence of coupling efficiency between electromagnetic field and ultrasonic bulk waves" // J. Appl. Phys., Vol. 82, No. 8, pp. 3940-3949 (1997).
117. P. Sedlak et al., "Non-contact resonant ultrasound spectroscopy for elastic constants measurement" // 1st international symposium on laser ultrasonics, Montreal, Canada (2008).
118. H. Ogi, M. Hirao, T. Honda, "Ultrasonic attenuation and grain-size evaluation using electromagnetic acoustic resonance" // J. Acoust. Soc. Am., Vol. 98, No. 1, pp. 458-464 (1994).
119. H. Ogi, H. Ledbetter, S. Kim, M. Hirao, "Contactless mode-selective resonance ultrasound spectroscopy: electromagnetic acoustic resonance" // J. Acoust. Soc. Am., Vol. 106, No. 2, pp. 660-665 (1999).
120. D. Gainon, H. Jaffe, T. Sliker, "Optical observation of elastic resonances in NH4H2PO4" // J. Appl. Phys., Vol. 35, No. 4, pp. 1166-1168 (1964).
121. H. Ogi, К. Sato, Т. Asada, М. Hirao, "Complete mode identification for resonance ultrasound spectroscopy" // J. Acoust. Soc. Am., Vol. 112, No. 6, pp. 2553-2557 (2002).
122. H. Ogi et al., "Acoustic spectroscopy of lithium niobate: elastic and piezoelectric coefficients" // J. Appl. Phys., Vol. 92, No. 5, pp. 2451-2456 (2002).
123. H. Ogi, T. Ohmori, N. Nakamura, M. Hirao, "Elastic, anelastic, and piezoelectric coefficients of a-quartz determined by resonance ultrasound spectroscopy" // J. Appl. Phys., Vol. 100, pp. 053511-1 -053511-7 (2006).
124. T. Lee, R. Lakes, A. Lai, "Resonant ultrasound spectroscopy for measurement of mechanical damping: comparison with broadband viscoelastic spectroscopy" // Rev. Sci. Instrum., Vol. 71, No. 7, pp. 2855-2861 (2000).
125. A. Lebedev et al., "Resonant acoustic spectroscopy at low Q factors" // Acoustical Physics, Vol. 49, No. 1, pp. 81-87 (2003).
126. K.C. Александров, Б.П. Сорокин, С.И. Бурков. Эффективные пьезоэлектрические кристаллы для акустоэлектроники, пьезотехники и сенсоров. — Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2007.
127. И. Зеленка. Пьезоэлектрические резонаторы на объёмных и поверхностных акустических волнах: материалы, технология, конструкция, применение: пер. с чешек. — М.:Мир, 1990.
128. R. Toupin, "The elastic dielectric" // J. Ration. Mech. Analysis, Vol. 5, p. 849 (1956).
129. J. Macdonald, "Impedance spectroscopy" // Annals of Biomedical Engineering, Vol. 20, pp. 289-305 (1992).
130. A. Lasia, "Electrochemical impedance spectroscopy and its applications, modern aspects of electrochemistry" // Kluwer Academic/Plenum Publishers, New York, Vol. 32, pp. 143-248 (1999).
131. C. Yu, M. McKenna, J. White, J. Maynard, "A new resonant photoacoustic technique for measuring very low optical absorption in crystals and glasses" // J. Acoust. Soc. Am., Vol. 91, No. 2, pp. 868-877(1992).
132. D. Nikogosyan. Nonlinear optical crystals: a complete survey". Springer, NY, USA (2005).
133. A.H. Самарский. Введение в разностные схемы. М.:
134. Б.М. Берковский, В.К, Полевиков. Вычислительный эксперимент в конвекции. Мн. Университетское, 1988.1. Благодарности
