Теоретико-игровые модели формирования коалиционных структур тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

На правах рукописи /

4845930

Степанов Денис Сергеевич

Модели эндогенного формирования коалиционных структур

01.01.09 - дискретная математика и математическия кибернетика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 2 МАЙ 2011

Москва

-2011

4845930

Работа выполнена на кафедре исследования операций факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Васин Александр Алексеевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник ВЦ РАН Кукушкин Николай Серафимович

доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой ГУ ВШЭ Алескеров Фуад Тагиевич

Ведущая организация:

ГУ Московский физико-технический институт

Защита состоится « 27 » мая 2011 г. в II00 часов на заседании диссертационного совета Д 501.001.44 в Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова, расположенном по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, 2-й учебный корпус, факультет ВМиК, аудитория 685. Желающие присутствовать на заседании диссертационного совета должны сообщить об этом за 2 дня по тел. 939-30-10 (для оформления заявки на пропуск).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМиК МГУ. С текстом автореферата можно ознакомиться на официальном сайте факультета ВМиК МГУ http://cs.msu.su в раздело «Наука» - «Работа диссертационных советов» - «Д 501.001.44»

Автореферат разослан ъ 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

профессор

Н.П. Трифонов

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Одно из современных направлений в теории игр связано с исследованием моделей эндогенного формирования коалиций в больших неоднородных множествах игроков. В этих моделях игроки похожи в смысле вида функции выигрыша и множества стратегий, но различаются по некоторому параметру х S X (например, место жительства, идеальная точка), при этом все множество игроков А описывается распределением по указанному параметру. Стратегия игрока — выбор коалиции, то есть подмножества S С А, в рамках которого объединяются для совместных действий. Игроки однородны по функции выигрыша, которая зависит от двух параметров: возрастает по размеру коалиции и убывает по расстоянию между идеальной точкой х и политикой коалиции. Политика коалиции представляет собой точку из X и определяется по заданному правилу в зависимости от состава коалиции. Размер коалиции пропорционален доле игроков, вошедших в нее.

Различные модификации таких моделей используются в экономической географии при изучении вопросов устойчивости разбиения населения по странам (А. Alesina, Е. Spolaore), а также по юрисдикциям (муниципалитетам или регионам) внутри страны (A. Bogomolnaya, M. Le Breton, S. Weber, A. Sawateev, 0. Haimanko). Они находят также применение в политологии при анализе устойчивых разбиений избирателей по политическим партиям (A. Gomberg, F. Marhuenda, I. Ortuno-Ortin, Ю.В.Сосина). В указанных исследованиях авторы рассматривают вопросы существования и коалиционной устойчивости равновесий Нэша и изучают их свойства.

Все упомянутые теоретико-игровые модели и задачи формально отличаются друг от друга только рядом ограничений, накладываемых на игру. Анализ проводится для конкретного вида функций выигрыша — обычно предполагается линейная или квадратичная зависимость от аргументов и одномерное множество значений параметра. В настоящей работе снимается часть указанных ограничений: исследование различных концепций решения игры (равновесие Нэша, коалиционные равновесия) проводится для функций выигрыша обобщенного вида (Глава 1) и множества X произвольной конечной размерности (Глава 2). Таким образом, результаты, полученные в диссертации, могут быть применены к любой из рассматриваемых в литературе модификаций модели.

В данной области актуальной и практически неисследованной проблемой является учет в моделях неоднородности игроков не только по значению параметра, но и по характеру зависимости выигрыша от аргументов.

В реальности можно наблюдать множество примеров, подтверждающих, что предпочтения агентов с одинаковой идеальной точкой в целом могут сильно отличаться. В этом случае говорят о наличии как горизонтальной, так и вертикальной дифференциации игроков (см Огеге и др). Параметр вертикальной дифференциации характеризует относительную важность сокращения расстояния между идеальной точкой игрока и политикой коалиции по сравнению с ростом размера коалиции. Бгеге и др. рассмотрели вопросы существования С-ядра, исследуя взаимодействие игроков как кооперативную игру с побочными платежами. Однако, для различных приложений, касающихся формирования добровольных объединений индивидуумов, предположение о возможности побочных платежей и обязательности коалиционных соглашений не соответствует реальности. Поэтому в настоящей диссертации в главе 3 исследуются вопросы существования равновесий Нэша и коалиционных равновесий в игре с двумя типами игроков, различающимися параметром функции выигрыша.

Цель работы — решить вопросы существования, единственности и вычисления равновесных структур для некоторых классов теоретико-игровых моделей эндогенного формирования коалиций, выяснить свойства коалиционных структур, которые являются равновесиями Нэша и коалиционными равновесиями в указанной игре.

Методы исследования. Используются методы теории игр, математический аппарат исследования операций и теории оптимизации.

Научная новизна

Все результаты диссертации являются новыми. Научная новизна результатов состоит в следующем.

Для базовой теоретико-игровой модели с игроками, равномерно распределенными на одномерном множестве идеальных точек, для функции выигрыша обобщенного вида найдено множество регулярных равновесий Нэша. Получены необходимые и достаточные условия, обеспечивающие локальную устойчивость этих равновесий, то есть устойчивость к объединению соседних коалиций и расколу одной из существующих коалиций. Установлены также достаточные условия на параметры модели, при которых понятие локальной устойчивости эквивалентно понятию коалиционного равновесия, то есть коалиционной структуры, в которой невозможно образование новой коалиции, обеспечивающей большие выигрыши всем своим членам.

В случае, когда множество значений параметра имеет размерность п > 2, множество регулярных равновесий Нэша описано в форме системы уравнений и неравенств, позволяющей установить свойства соответствующих коалиционных структур. Найдены уравнения гиперповерхностей, разделяющих

множества идеальных точек игроков, относящихся к различным коалициям. При определенных ограничениях показано, что регулярному равновесию соответствуют структуры, задаваемые равномерной прямоугольной решеткой в множестве значений параметра. Найдены условия, гарантирующие существование равновесия, устойчивость к расколу и как необходимое, так и достаточное условия локальной устойчивости равновесий.

Описана игра с двумя типами игроков ("конформисты"и "индивидуалисты"), различающихся параметрами функции выигрыша. Для этой игры описан новый вид равновесных структур, в которых границы разбиения на коалиции не совпадают для разных типов игроков. Исследована зависимость множества равновесий от соотношения численностей двух типов игроков. Для регулярных равновесий с одинаковыми границами получены необходимые и достаточные условия, обеспечивающие локальную устойчивость, а также указаны условия на параметры модели, при которых понятие локальной устойчивости эквивалентно понятию коалиционного равновесия. Проанализировано соотношение условий равновесия для игр с одним и двумя типами игроков.

Практическая ценность

Работа имеет теоретический характер и вносит вклад в математическую теорию игр. Полученные результаты могут быть использованы при построении и анализе моделей, рассматриваемых в экономической географии и политологии для исследования устойчивости соответствующих коалиционных структур.

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 6 работах [1-7], в том числе [2, 7] - статьи в реферируемых журналах, рекомендованных ВАК РФ для публикации научных результатов кандидатских диссертаций.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на научных семинарах факультета ВМиК МГУ им. Ломоносова, на XX научной конференции РЭШ (РЭШ, Москва, 2006г.), на V Московской международной конференции по Исследованию операций (ВМиК МГУ, Москва, 2007г.), на международной научной конференции «Государственное управление в XXI веке: традиции и инновации» (ФГУ МГУ, Москва, 2007г.), на XXI научной конференции РЭШ (РЭШ, Москва, 2007г.), на IX Международной научной конференции «Модернизация экономики и глобализация» (ГУ-ВШЭ, Москва, 2008г.), на семинаре «Экспертные оценки и анализ данных» (ИПУ РАН, Москва, 2010г.).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Объем работы 151 страница.

Основные результаты работы, выносимые на защиту

Для модели формирования коалиций в множестве игроков с заданным распределением в п-мерном кубе показано, что всякому регулярному равновесию Нэша этой модели соответствует разбиение множества идеальных точек на конечное число областей, в котором каждой коалиции соответствует одна область. Для широкого класса коалиционных структур найдены как необходимые, так достаточные условия, выделяющие коалиционные равновесия.

Для модели с одномерным множеством значений характеристического параметра для функции выигрыша общего вида получен критерий устойчивости регулярного равновесия Нэша к образованию любых коалиций (коалиционная устойчивость).

Для модели с двумя типами игроков, различающимися параметром вертикальной дифференциации, описан новый вид равновесных структур, включающих совместные коалиции игроков двух типов наряду с внутренними коалициями. Получены необходимые и достаточные условия существования равновесия Нэша и коалиционного равновесия. Аналогичные условия установлены для структур, соответствующих равномерному разбиению отрезка идеальных точек на совместные коалиции.

Краткое содержание работы

Во введении содержится описание теоретико-игровой модели формирования коалиционных структур. Дан обзор литературы по теме диссертации. Обоснована актуальность темы и новизна полученных результатов.

В главе 1 дано формальное описание игры в базовом случае — случае однотипных (в смысле вида функции выигрыша) игроков и одномерного множества идеальных точек игроков (параметра, характеризующего их интересы). Множество игроков описывается распределением по идеальным точкам на множестве X = [0,1] с плотностью распределения /(•). Задан достаточно большой набор меток: «Коалиция 1», «Коалиция 2»,— Каждый из игроков выбирает метку и становится членом соответствующей коалиции, или же решает воздержаться и не вступает ни в одну из коалиций (метка «О»), Политика коалиции — точка из того же множества X, положение которой определяется по некоторому фиксированному правилу в зависимости от состава коалиции (для одномерного случая - это медиана распределения членов коалиции по идеальным точкам). Размер коалиции равен доле игроков, выбравших соответствующую метку. Таким образом, совокупность стратегий игроков определяет множество непустых коалиций I и набор функ-

ций 6((х), показывающих долю игроков с идеальной тонкой х, выбравших г е I = I и {0} : {¿¿(ж) > 0 : ]£{€/Мх) = 1 ,х е Х,г е I}. Рассматриваются совокупности, которым соответствуют интегрируемые функции ¿¡(¡г). Размер г; коалиции г Е I определяется как п = ¡Х6^х)/(х)дх, а стратегия коалиции задается условием ¡Х<р5{(х)/(х)с1х = §х>р,51(х)/(х)с1х. Выигрыш игрока с идеальной точкой х, входящего в коалицию í, зависит от двух факторов: размер коалиции и расстояние от идеальной точки игрока до стратегии коалиции и определяется как ¡7(х, 5^х)) = 11(х,п, Р;) = - £(||Р{ — ж||), где || ■ || — евклидова норма на X, а ./?(•),£(•) — положительные монотонно возрастающие функции. Выигрыш игрока в случае воздержания от вступления в коалиции 11(х,0,х) = 0. Также предполагается, что £"(•) > 0 и Я"(-) < 0 (в диссертации приводится интерпретация и обоснование данных предположений).

По определению, равновесие Нэша (РН) — такая совокупность стратегий (5{(х),г 6 Г), при которой каждый игрок выбирает коалицию, максимизирующую его выигрыш, то есть:

Ух'^Л € I: (¿¿(х) >0)=>г6 А^тэх[/(х,г,-, Р,). (1)

¿е/

Заметим, что атомарная структура (6о(х) = 1, ни один из игроков не вступил в коалицию) — всегда РН.

Раздел 2 данной главы посвящен поиску регулярных равновесий Нэша (РРН), то есть равновесий, в которых нет разных коалиций с одинаковой стратегией. Понятие РРН вводится, поскольку нерегулярные равновесия заведомо неустойчивы к объединению коалиций. Из полученных ранее Сосиной (2006, стр.13) результатов вытекает следующая теорема.

Теорема 1.1. В регулярном равновесии Нэша множество X разбивается на конечное число непересекающихся интервалов ¿¡,г е I, и множество Бо, где представляет собой множество идеальных точек игроков, выбравших коалицию г, а 5о — конечное число интервалов идеальных точек игроков, воздержавшихся от вступления в какую-либо коалицию. При этом стратегии игроков, чьи идеальные точки расположены на границе соответствующих интервалов, определяются неоднозначно.

Каждый, из интервалов г £ I, однозначным образом (с точностью до множества игроков, идеальные точки которых являются граничными точками интервалов) соответствует множеству игроков, выбирающих в равновесии данную коалицию г € /. В дальнейшем указанные интервалы также будем называть коалициями. Соседними называются коалиции с общей граничной точкой.

Основной результат этого раздела сформулирован в виде теоремы 1.2. Отметим, что если уравнение К{г) — Ь{г/2) = 0 имеет положительное решение, то оно единственно. Обозначим данное решение через г*. Если г* € (0,1), то для любого и 6 (0, тахт (Л(г) - Ь (г/2))) существуют два решения г^и), г2(и) е (0,1) уравнения и = Л(г) — Ь (г/2)

Теорема 1.2. (О РРН) а) Для всякого натурального т разбиение множества X на т коалиций одинакового размера, гт = ^ является РРН тогда и только тогда, когда ^ < г*. В частности, если г* > 1 или Я(г) > Ь{г/2) для любого г > 0, то такая структура является РРН для любого т; если 1/(0) > 2Д'(0), то единственное РРН — атомарная структура.

b) Если существет такое и е (0, тахг (Д(г) — Ь(г/2))), что решения гх(и),Г2(и) уравнения Щг) — Ь(г/2) = и принадлежат интервалу (0,1), и существуют натуральные числа т,1,т2 такие, что гтцг^и) + т2г2(и) = 1, то разбиение X на Ш1 коалиций размера г\(и) и т2 коалиций размера г2{и) является РРН (коалиции могут располагаться в любом порядке).

c) Для любого натурального т < ~ любое разбиение X на т коалиций размера г* и1 < т+1 интервалов игроков, воздержавшихся от вступления в коалиции, является РРН.

й) Не существует других РРН, кроме указанных.

Замечание 1. Типы равновесий, описанные в пунктах Ь) и с) утверждения, являются неустойчивыми (к малым изменениям функции выигрыша и к образованию новых коалиций соответственно). Поэтому в дальнейшем основное внимание уделяется равновесиям типа а).

Обозначим структуру, описанную в пункте а) утверждения, через Кт. Пусть далее гт = ^ — размер коалиции в Кт.

Раздел 3 посвящен исследованию устойчивости равновесных коалиционных структур к формированию новых коалиций. Равновесие Нэша называется устойчивым к локальному расколу, если не существует новой коалиции, являющейся собственным подмножеством некоторой коалиции в данной структуре и обеспечивающей ббльшие выигрыши всем своим членам. Равновесие Нэша называется устойчивым к локальному объединению, если не существует коалиции, являющейся объединением двух соседних коалиций и обеспечивающей ббльшие выигрыши всем своим членам. Если равновесие Нэша устойчиво одновременно к обоим указанным типам отклонений, то оно локально устойчиво (ЛУ). Наконец, совокупность стратегий называется коалиционным равновесием (КР), если не существует новой коалиции, обеспечивающей ббльшие выигрыши всем своим членам. Формально, равновесный набор стратегий (¿¡(ж), г £ Г) является КР, если не существует функции 6(х) интегрируемой на X такой, что 6(х) > 0, х € X, и ¡х5(х)йх < 1 и такой, что

справедливо 11(х, ¿(а;)) > и(х, ¿¡(ж)) для всех х 6 {х : 5(х) > 0} и некоторого 16/.

В данном разделе получены условия локальной устойчивости и КРрря структур Кт, т = 2,3,...

Теорема 1.3. Равновесная по Нэшу коалиционная структура Кт локально устойчива тогда и только тогда, когда выполнено условие И(2гт) —

Доказательство теоремы показывает, что, во-первых, любая равновесная структура Кт устойчива к локальному расколу, и, во-вгорьгх, она неустойчива к локальному объединению тогда и только тогда, когда объединение выгодно граничным агентам новой (потенциальной) коалиции. Далее доказывается, что при выполнении дополнительных ограничений равновесная коалиционная структура является КР тогда и только тогда, когда она локально устойчива.

Теорема 1.4. (О КР) Локально устойчивая структура Кт является КР тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

где Го = тах (гт,тт {гд, §гт}}, а Гд- решение уравнения В!{х) + \и(х/2 — гт/2) - \Ь'(х/2) = 0.

Данная теорема указывает условия на функцию выигрыша, при выполнении которых локальной устойчивости оказывается достаточно для КР. Ранее в работе Сосиной (2006) для линейной и квадратичной функции выигрыша было показано, что всякая локально устойчивая структура является КР, то есть два этих понятия эквивалентны. Однако, в общем случае это не так. В частности, в диссертации приведён пример структуры, являющейся локально устойчивой, но не являющейся КР (структура Кд при Я(г) = 3 г — уг2, Ь(г) — г). При доказательстве теоремы показано, что для любой локально устойчивой структуры Кт невыгодно образование любых коалиций, размер которых не принадлежит интервалу (гт, 2гт), но в общем случае может быть выгодно образование коалиции с размером из этого диапазона. Выполнение условий (2)-(3) необходимо и достаточно, чтобы коалиции из данного интервала также не могли обеспечить увеличение выигрышей всем их участникам. В главе 1 рассматривается также возможность обобщения полученных результатов для неравномерного распределения игроков по параметру а; £ [0,1]. Рассмотрим коалиционную структуру К — (а*, г*, /¿), г = 1,..., т, где щ - координаты на прямой правой границы коалиции, г* и Д — размер и стратегия коалиции.

Щгт) < Ь{гт) - Ь(гт/2).

Ь'(гт/2) > Д'(Гт) и

Д(го) - Д(гт) + Ь(г0/2 - гт/2) - Ь(г0/2) < 0,

(2) (3)

Теорема 1.5. (Об условиях безразличия граничных игроков) Структура К является регулярным равновесием Нэша тогда и только тогда, когда отклонение не выгодно граничным агентам коалиций, то есть параметры К удовлетворяют системе:

R{ri+l) ~ R(n) = L{Pi+1 - а;) - L(<h - Р{), R{u) - Ц(ц -Pi)>0,i = l,...,m-1.

Пусть плотность распределения f(x),x G X — монотонная функция, тогда равновесная структура К локально устойчива тогда и только тогда, когда локальное объединение не выгодно граничным игрокам формирующейся коалиции, то есть справедливы соотношения

Г Д(п + rm) - R(ri+1) < L(ai+2 - Pi) - L(ai+2 ~ P>+i), 1 R{n + ri+1) - R(n) < Ь(Р{ - oj) - L(Pi - а,),

где Pi = med fi(x),fi{x) = t^^/Cs)' < x < ai+2},i = 1,..., m - 2.

В главе 2 рассматривается игра формирования коалиций с множеством значений идеальных точек произвольной размерности: dimX = п > 1. В разделе 1 главы дано формальное описание игры для многомерного случая в той части, где оно отличается от одномерного случая. В следующем разделе приведено описание и свойства «правила усреднения», в соответствии с которым в многомерном случае определяется стратегия коалиции (стратегия определяется как средняя идеальная точка игроков, входящих в коалицию). Рассмотрены его отличия от одномерного аналога. В разделе 3 исследован вопрос о типах регулярных равновесий Нэша, которые возможны в многомерном случае. Число различных типов равновесий, возможных в многомерном случае, значительно больше, чем в одномерном случае, но, по аналогии с одномерным случаем, справедливо следующее утверждение.

Теорема 2.1. В регулярном равновесии Нэша множество X разбивается на конечное число непересекающихся односвязных областей Si,i £ I, и множество So, где Si представляет собой множество идеальных точек игроков, выбравших коалицию i, а Sq — множество идеальных точек воздержавшихся игроков, представляющее собой дополнение к объединению Si. При этом стратегии игроков, чьи идеальные точки расположены на границе соответствующих множеств, определяются неоднозначно.

Как и в одномерном случае, указанные области будем называть коалициями. Границей Г (г) коалиции г € I будем называть границу соответствующей области Si, а соседними — коалиции, имеющие общий участок границы.

Утверждение 2.1. В регулярном равновесии граница между соседними коалициями i и j задается уравнением

L(\\Pi - х\\) - ЩР, - *||) = Л(г4) - 6 T(i,j). (4)

Граница является частью гиперплоскости тогда и только тогда, когдаг* = rj, либо когда функция L(z) имеет вид L(z) = cz2, с > 0.

Раздел 4 посвящен описанию свойств одного достаточно общего подкласса коалиционных структур. Пусть X = [0,1]п. Рассмотрим произвольную прямоугольную сетку на X и коалиционную структуру, в которой каждая коалиция представляет собой объединение произвольного числа ячеек сетки. Такого рода коалиционные структуры будем называть прямоугольными. Коалиционные структуры, в которых коалиции представляют собой равные n-мерные прямоугольные параллелепипеды, назовем равномерными прямоугольными структурами.

Для равномерных прямоугольных структур введем следующие обозначения. Через Кть..тп будем обозначать равномерную прямоугольную структуру гДе Щ — число коалиций вдоль j-й координаты n-мерного куба X. Поскольку геометрически все коалиции представляют собой равные прямоугольные параллелепипеды, то можно ввести вектор й длин сторон: ä = (а.1,..., ап), и тогда Oj = Без ограничения общности пусть > 02 >

... > а„. Пусть V = ПГ=1а' и D — \/Ya=i — размер коалиции и длина диагонали. Также введем 7» = Ц.

Теорема 2.2. В общих предположениях относительно функции L(-) (при L(z) ф cz2) в классе прямоугольных структур равновесными могут быть только равномерные прямоугольные структуры. Такая структура является равновесной тогда и только тогда, когда R(V) — L(D/2) > 0.

Из теоремы следует одно из отличий многомерного случая от одномерного, заключающееся в том, что в одномерной игре в общих предположениях было возможно равновесие с коалициями различного размера.

В разделе 5 исследуется локальная устойчивость прямоугольных структур. Устойчивость к локальному расколу определяется полностью аналогично одномерному случаю. Определение устойчивости к локальному объединению обобщается следующим образом: равновесие Нэша устойчиво к локальному объединению, если не существует коалиции, представляющей собой n-мерный параллелепипед и являющейся объединением 2s,s = 1,...,п соседних коалиций, имеющих хотя бы одну общую точку, и обеспечивающей большие выигрыши всем своим членам.

Теорема 2.3. Равновесная по Нэшу коалиционная структура К„Н ГПп

локально устойчива тогда и только тогда, когда длят = 1,2,...,п, выполнено условие

Я (2тУ) - Д (V) < I ((1 + За2т)* Я/2) - Ь (Я/2), (5)

ат ~ 7п-т+1 + ■ • • + 7п-

Таким образом, равновесие Нэша автоматически гарантирует устойчивость к образованию любых коалиций внутри существующей, а условие (5) обеспечивает устойчивость к указанным видам объединения соседних коалиций.

Следствие 1. Пусть

Щх,У,Р) = аУ-\\Р-х\\\ (6)

где а, к > 0 — параметры. Тогда для того, чтобы равновесная прямоугольная структура была локально устойчива, необходимо и достаточно, чтобы значения параметра а находились в следующем интервале:

¥у

' . (1 + 3 *1)к/2-1

1, 1ШП Л-ш-

' т=1.....п 2т - 1

= Л(о).

Множество Л (а) допустимых значений параметра а непусто тогда и только

тогда, когда 2т < (1 + Згг^)^2 для всех т. При

этом:

a) Для к < п нетривиальных устойчивых прямоугольных коалиционных структур не существует за возможным исключнием большой коалиции.

b) Для к — п множество А (а) вырождается в точку, и нетривиальные коалиционные структуры не существуют для а ф А (а).

c) Для к > п существуют нетривиальные локально устойчивые прямоугольные структуры при а € Л (а), если данное множество не пусто, что заведомо верно для достаточно больших к.

Следствие 2. Пусть £/(х, У,Р) = У- ®{\\Р - х\\\ оц > 0, к > 0,. Тогда при к <п устойчивых коалиционных структур также не существует.

Поскольку в зависимости от значений т¡,] = 1,... ,п, для коалиционной структуры Ктг.„тп существет очень большое число вариантов образования новых коалиций, полностью обобщить результаты для устойчивости равновесий, полученные в одномерном случае, не удается. Тем не менее, в

диссертации получено достаточное условие устойчивости к объединению любого числа коалиций.

Теорема 2.4. Если выполнено ограничение

тах (Я(ОгЛ - Цр)) < Щу) - Ь(И/2) (7)

где Сп = г£/2+1)> то равновесная коалиционная структура ЛГт,...тп устойчива к объединению коалиций. Данное условие становится также и необходимым при достаточно малом Б.

Для некоторого в из указанного диапазона неравенство (7) соответствует условию, обеспечивающему устойчивость к образованию коалиции, представляющей собой п-мерный шар радиуса яИ/2. Такая коалиция имеет максимальный размер среди коалиций с заданным расстоянием от игрока, которому наименее выгодно образование коалиции, до стратегии коалиции.

Для игры с функцией выигрыша (6), исходя из достаточного условия устойчивости к объединению коалиций, можно утверждать, что при достаточно больших к и малых а существуют структуры устойчивые к объединению коалиций.

В главе 3 исследуется игра, в которой игроки различаются как по идеальным точкам, так и по функциям выигрыша. В разделе 1 приведено формальное описание игры. Предполагается, что есть два типа игроков: «старого» (или «основного») — тип Тх и «нового» — тип Т2- Доля игроков нового типа равна Л > 0. При этом рассматривается два случая:

1. Игроки обоих типов равномерно распределены по идеальным точкам на всем множестве X = [0,1]

2. Игроки типа Т2 равномерно распределены по идеальным точкам на некотором сегменте 5 С X, а игроки типа Т\ - на дополнении X \ Б. В этом случае А =

Если игрок с идеальной точкой х типа 7], I = 1,2, выбирает коалицию г размера Г; с политикой Р<, то его выигрыш равен и^х, Г{, р) = Р/(г*) — ¿¡([Р;—ж|), где Р((г), — некоторые положительные возрастающие функции, г,р 6 [0,1]. Для игрока со стратегией 0 (воздержавшийся), выигрыш равен [/¡(я, 0, ж) = Щ(0) — ¿¡(0) = 0. Относительно функций выигрыша предполагается, что игроки нового типа менее чувствительны к росту удаленности: Ь'2{р) < или более чувствительны к росту размера коалиции: Я^(г) > Е[(г) (либо и то и другое одновременно), то есть игроки нового типа являются ббльшими конформистами.

В разделе 2 изучается вопрос, как влияет на структуру РН и их устойчивость изменение доли А агентов нового типа Т2, если они равномерно распределены на всем множестве X = [0,1]. Исследование этой задачи проводится для функций выигрыша вида

Щх, г,Р) = г~а1(Р-х)\1 = 1,2, «1 > а-2, (8)

то есть для случая квадратичной зависимости выигрыша от расстояния между идеальной точкой игрока и стратегией коалиции, в которую он входит. В работе Сосиной (2006) показано, что если функция выигрыша игроков имеет вид и(х,г,Р) = г — а(Р - х)2, то для т > 2 коалиционная структура Кт является КР тогда и только тогда, когда а £ [^р, 4т]. В исследуемой модели предполагается, что а\ € [^рДтгс], то есть структура Кт является КР при А = 0. Выясняется, что произойдет с ростом доли А: нарушится ли устойчивость структуры Кт, какие иные локальные равновесия могут сформироваться в случае потери устойчивости, каких дальнейших изменений равновесной структуры можно ожидать. Ответы на эти вопросы существенно зависят от соотношения т,ах, и а2.

Утверждение 3.1. Если а2 € [тр,4т\, то есть структура Кт является КР для игроков нового типа, то Кт остается КР независимо от доли А.

Для последующего анализа введем следующие понятия. Коалиции, образованные игроками одного типа, называются внутренними, а коалиции, образованные игроками обоих типов - совместными. Среди совместных коалиций выделим однородные, в которых совпадают множества идеальных точек членов коалиции обоих типов.

Далее рассматривается случай, когда для игроков нового типа а2 < ^р (они являются большими конформистами, чем игроки основного типа). В рамках структуры Кт игроки типа Т2 склонны к образованию коалиций большего размера и к ним может примкнуть часть игроков типаТ1. Коалицию, образованную в результате объединения игроков типа Т2 из двух соседних коалиций и примкнувших к ним игроков типа Ту, чьи идеальные точки находятся вблизи стратегии новой коалиции, будем называть коалицией удвоенной длины. Пусть 5 - доля игроков типа 7х вошедших в совместные коалиции с игроками типа Т2.

Утверждение 3.2. Если а2 < ^р, то структура Кт устойчива к образованию коалиций удвоенной длины тогда и только тогда, когда доля А игроков нового типа не превосходит порогового значения Хт = 1 — . При переходе через это значение структура оказывается неустойчивой к

Игроки типа Ъ Игроки тнда Тг

» 1'т г

п> совместных коыианй

Рис. 1. Коалиционная структура К^^

образованию таких коалиций с параметром 5 Е (¿1(А), ¿2(Л)), где:

1+а^ г

¿1(А) = = I А,52(А) Т = 52{Хт) 6

(0,1),а1 = ^,а2 = ^1А = 1-Л.

Отметим, что при А < | любое рассматриваемое равновесие Нэша устойчиво к образованию коалиций удвоенной длины. Чем меньше число коалиций т, тем дольше структура Кт остается устойчивой при увеличении доли игроков типа Гг.

При увеличении А свыше порогового значения Ат структура Кт перестает быть КР. Количество коалиций ттг, в которых будут участвовать игроки типа в измененной структуре, зависит от того, как пройдет объединение соседних коалиций. Если т четно и все коалиции объединяются попарно, то т = т/2 . Возможны и другие варианты укрупнения исходных коалиций, при которых их границы сдвигаются по сравнению с исходной структурой. Для игроков старого типа одна из возможностей - примкнуть к этим коалициям, то есть образовать структуру Кщ из т совместных однородных коалиций. Другой возможный вариант нового равновесия - часть игроков старого типа входит в совместные коалиции, а прочие игроки образуют равные внутренние коалиции.

Обозначим коалиционную структуру, в которой игроки типа Тг разбиваются на т равных коалиций длины на подмножествах идеальных точек длины ^ к ним примыкают игроки типа 71, а прочие игроки типа Т\ образуют равные внутренние коалиции, причем на одну совместную коалицию приходится 2к внутренних коалиций. На рисунке (1) показано, как устроена эта коалиционная структура.

Далее рассматриваются коалиционные структуры вида Кщ и Структура называется локально устойчивой, если она является равновесием Нэша и устойчива к образованию коалиций удвоенной длины и к объединению внутренних коалиций. Согласно предположению, в исходной структуре Кт тп > ^ и ^ < т < Устойчивость новой коалиционной структуры зависит от того, в какой интервал относительно параметров ац и с*2> попадает

число т.

Утверждение 3.3. Для всякого т & т) при А е (Лт, Лл) структура К-п является локально устойчивой.

Таким образом, при переходе Л через пороговое значение Ат устойчивой оказывается любая структура Кщ с т > Если Г)2+ ф 0, то процесс

укрупнения коалиций с ростом Л может завершиться формированием структуры Кт для т из этого множества. Однако в случае 3сиг < с ростом Л возникает ситуация, когда ни одна структура К^ не является локально устойчивой. В этом случае выделим три характерных интервала: М\ = ^-р), М2 = М3 = ф.За-). Заметим, что М,иМ2иМ2= , ^ ]. На

интервале [0, равновесий Нэша вида К,-п и не существует, так как оба типа игроков склонны к расколу.

Утверждение 3.4. Равновесные по Нэшу структуры вида существуют в том и только том случае, если т £ = М\ и М2 и X

превышает пороговое значение Хт2 ш = 1--, , при этом значения

1 - д/оа/а,

к и 6 определяются из системы:

«1(2-1/*)

где

(10)

и

= - А? + ъф Ж - + Л) (11)

2к > . (12)

Ат X

г > т- (13)

Отметим, что при достаточно больших к заведомо можно подобрать 6, удовлетворяющее этим условиям. Для т £ [у, га) выполнено неравенство Хг-п < Хт> то есть при потере устойчивости структурой Кт существуют равновесные структуры с ш из этого диапазона. Более того, длят € ^р)

любая такая структура устойчива к образованию совместных коалиций удвоенной длины. Получено также необходимое и достаточное условие устойчивости к объединению внутренних коалиций:

2к > • —т— (14)

4тп А 4 7

В заключении данного раздела обсуждается, как изменяется коалиционная структура при увеличении доли А игроков нового типа. Пусть е Z+. Из Утверждения 3.3 следует, что т = ^ - число, для которого структура Кл с совместными однородными коалициями может быть локально устойчива,

- с*! + 3 а2

соответствующее ей пороговое значение А = —.-г.

3(й1 - а2)

При ^ < а2 < ах для любого целого [у, и любой доли А струк-

2й1 (1 - £а2)

тура Ктп является КР. Если же а2 < то при А > —-г— устой-

3(сц - а2)

чивыми могут быть только структуры вида ^ 1 устойчивы

только структуры с т е В случае возникновения такой структуры

распределение игроков нового типа по коалициям при дальнейшем увеличении А остается неизменным, при А —> 1 размер внутренних коалиций игроков старого типа и их выигрыш в этих коалициях стремятся к нулю.

В качестве конкретного примера рассмотрим модель с а\ = 60, а2 — 2 и с исходным количеством коалиций тп = 32. Соответствующие характерные интервалы для тМ\- |), М2 — (§, 15), М3 = (15,45).

Согласно утверждению 3.2, исходная структура Кз2 становится неустойчивой при А = А32 = 0.342672. Игрокам выгодно попарное объединение совместных коалиций и структура оказывается устойчивым РН. Она теряет устойчивость при А = А16 = 0.375, при этом структура К%к, возникающая в случае формирования коалиций удвоенной длины, является РН для 5, к: 6 > 0.643927, к > 1, однако условие устойчивости к объединению внутренних коалиций выполнено лишь для к = 1. Но при этом условие устойчивости к объединению совместных коалиций не выполняется, то есть игрокам выгодно новое попарное объединение совместных коалиций. Аналогичная ситуация возникает при т = 4. Для тп = 2 структура оказывается устойчивой при к = 5,..., 13 для соответствующих значений <5. При дальнейшем увеличении доли А необходимое условие устойчивости к объединению перестает выполняться при 1 — А — 0.286, что приводит к формированию структуры с тп = 1, устойчивой при к — 22,..., 60.

При дальнейшем приближении А к 1 некоторые РН, состоящие из одной

совместной коалиции и к внутренних, являются устойчивыми. Количество внутренних коалиций растет, их размер и выигрыш образующих их игроков типа Ту стремятся к 0.

В разделе 3 исследован вопрос существования КР в виде структуры Кт,т = 2,3,... для функций выигрыша общего вида.

Теорема 3.1. Пусть для структуры Кт и для обоих типов игроков выполнены условия локальной устойчивости. Тогда справедливы следующие утверждения, описывающие условия КР для данного случая. 1 (Необходимое и достаточное условие). Структура Кт является КР тогда и только тогда, когда для типа СП выполнены условия

Ь[ (гт/2) > Я1(г„,) и (15)

Д1«1 - А)®* + 2гт\) - Л1(ги) + 1п{х72 - гт/2) - 1г{х*/2) < 0, (16)

где х* — тах [гт, тт |гт}}, а - решение уравнения

(1 - Л + Л2гт/®)Д'1((1 - Х)х + 2гт\) + \1\{х12 - гт/2) - Щ{х/2) = 0, а для типа Тъ — неравенство

Ь'2(гт/2) > \В.'2(гт). (17)

2 (Достаточное условие 1). Структура Кт является КР, если для типа Т\ выполнено достаточное условие КР для игры с игроками одного типа: неравенства (15) и

Д!(2гт) + \Ь[ (гт/2) - \Ь[(гт) > 0, (18)

а для типа — неравенство (17).

3 (Достаточное условие 2). Если структура Кт с игроками первого типа является КР, то она остается КР и в случае с игроками двух различных типов, если для агентов типаТ2 выполнено условие (17) и неравенство

АЛ'2 (Згт/2) + \и2 (гт/4) - Щ (Згт/4) < 0. (19)

Отметим, что основное отличие достаточного условия 2 от двух других пунктов теоремы в том, что в этом варианте утверждения не требуется дополнительных ограничений на тип Т\.

Раздел 4 посвящен исследованию модели при варианте 2 распределения игроков (распределение игроков нового типа на некотором небольшом сегменте).

Утверждение 3.5. Для того, чтобы структура Кт, локально устойчивая для типа Т\ (при X = 0), оставалась локально устойчивой при внедрении игроков типа необходимо и достаточно, чтобы для игроков типа I2 выполнялось условие неотрицательности выигрыша граничного игрока в

Кт:

Щгт) - La(rm/2) > 0. (20)

Следующее утверждение характеризует коалиционные равновесия модели.

Утверждение 3.6. Структура Кт является КР тогда и только тогда, когда для типа справедливо соотношение

L'1(rm/2)>2R'1(rm), (21)

а для типа Тг — условие (20).

Таким образом, только при выполнении более сильного ограничения на выигрыш игроков типа Т\ (см. для сравнения условие (2)) структура Кт остается КР при возникновении данного типа неоднородности.

По теме диссертации опубликованы следующие работы

[1] Vasin A., Sosina Y., Stepanov D. Endogenous formation of the coalition-al structure in a heterogeneous population // NES Working Paper, NES. — 2007,-Vol. #WP2007/072.

[2] Vasin A., Stepanov D. Endogenous formation of political parties // Mathematical and Computer Modeling. — Amsterdam: Elsevier, 2008. — Vol. 48. — Pp. 1519-1526.

[3] Vasin A., Stepanov D. Endogenous Formation of Coalitional Structures in Homogeneously Distributed Population // Труды 7-й Московской международной конференции по исследованию операций (ORM2007).— М.: МАКС Пресс, 2007.- Pp. 211-213.

[4] Vasin A., Stepanov D. Endogenous Formation of Political Parties // Сборник докладов IX Международной научной конференции «Модернизация экономики и глобализация»: в 3 кн. — М.: Изд. дом ГУ ВШЭ, 2008. — Vol. 3. - Pp. 568-577.

[5] А. А. Васин, Д. С. Степанов. О формировании коалиционной структуры в неоднородной популяции // Сборник докладов международной научной конференции «Государственное управление в XXI веке: традиции и инновации», ФГУ. - 2007. - С. 240 - 245.

[6] Д. С. Степанов. Эндогенное формирование коалиционных структур в популяции агентов с различными функциями выигрыша // Математическая теория игр и ее приложения, выпуск 2. — Петрозаводск: Редакция журнала МТИиП, 2010. - С. 79 - 98.

[7] Д. С. Степанов. Модель эндогенного формирования коалиций с двумя типами игроков // Управление большими системами, выпуск 31.1. — 2010. — С. 141 - 161.

Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Напечатано с готового оригинал-макета

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N 00510 от 01.12.99 г. Подписано в печать 11.04.2011 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печл. 1,0. Тираж 70 экз. Заказ 150. Тел. 939-3890. Тел./факс 939-3891. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, 627 к.

Введение

Обзор литературы

1 Одномерное множество значений параметра

1.1 Формальная модель.

1.2 (Регулярные) равновесия Нэша.

1.3 Исследование устойчивости.

1.3.1 Локальная устойчивость.

1.3.2 Коалиционное равновесие.

1.3.3 Неравномерное распределение игроков.

2 Многомерный случай: п >

2.1 Формальная модель случая многомерного политического пространства и однородной популяции.

2.2 Политика коалиции.

2.3 Равновесия Нэша

2.3.1 Равновесные структуры с «вогнутой» границей

2.3.2 Равновесия с равными размерами коалиций.

2.4 «Прямоугольная структура».

2.5 Устойчивость.

2.5.1 Устойчивость к локальному объединению.

2.5.2 Устойчивость к локальному расколу.

2.6 Устойчивость к произвольным объединениям.

3 Неоднородная популяция агентов

3.1 Модель с вертикальной дифференциацией игроков

3.2 Равномерное распределение агентов в случае квадратичных функций выигрыша.

3.3 Равномерное распределение агентов в случае функций выигрыша общего вида.

3.4 Отрезок агентов с новой функцией выигрыша.

В настоящей работе изучается проблема формирования коалиций в большой неоднородной популяции индивидов, каждый из которых описывается своей идеальной точкой в некотором множестве. Вся популяция характеризуется распределением на множестве идеальных точек. В общем случае это множество является подмножеством тг-мерного Евклидового пространства. Каждое измерение соответствует некоторой альтернативе или положению в пространстве. Например, в применении к политической конкуренции, одно из измерений может соответствовать социальной политике, другое - международной политике, третье - вопросам защиты окружающей среды и т.д. Предполагается, что та или иная альтернатива представляет собой вещественное число (например, бюджетные расходы на те или иные направления, ставка налога, допустимый уровень загрязнения или же вероятности, с которыми агенты склоняются к одной из двух альтернатив, соответствующих концам отрезка [0,1]). Таким образом, идеальная точка агента - вектор из политик по каждому вопросу. Непрерывное распределение по идеальным точкам описывает все население.

В данной работе мы предлагаем следующую теоретико-игровую модель формирования коалиций. Игроками являются индивиды из данной популяции, характеризуемые своими идеальными точками из некоторого множества X. Есть достаточно большой набор меток: «Коалиция 1», «Коалиция 2»,., «Коалиция М» (например, в случае формирования политических партий это социалисты, демократы, либералы и т.д.). Каждый из агентов выбирает метку и становится членом соответствующей коалиции, или же решает воздержаться и не вступает ни в одну из коалиций. Политика (стратегия) коалиции - точка из того же множества, положение которой определяется по некоторому фиксированному правилу в зависимости от состава коалиции (в частности, как медианная идеальная точка агентов, входящих в коалицию). Размер коалиции равен доле агентов, выбравших соответствующую метку. Таким образом, профиль стратегий агентов определяет множество непустых коалиций I, их размеры и политики. Выигрыш агента зависит от факторов: размер коалиции и расстояние от идеальной точки агента до политики коалиции. По первому параметру выигрыш возрастает, по второму - убывает.

Для данной игры мы исследуем известные теоретико-игровые понятия решения игры: равновесие Нэша (РН) и различные коалиционные равновесия и находим коалиционные структуры, соответствующие равновесному профилю стратегий.

В литературе, посвященной проблеме эндогенного формирования политических структур, существует два основных направления исследования. Одно из направлений изучает проблему формирования индивидами, расположенными на некоторой географической плоскости или линии, юрисдикций (муниципалитетов или регионов, см. [1, 2], [3], [4, 5]). Они формируют коалиции для того чтобы обеспечить себя необходимыми общественными благами: школами, больницами, библиотеками. Каждая коалиция создает центр, который включает в себя все указанные общественные институты. В литературе рассматривается несколько правил определения положения центра коалиции в зависимости от расположения ее членов: правило медианы (the median rule) рассматривается в [6, 7, 8], правила Ролса (the Rawlsian rule) используется в [9], правило среднего (the mean voter rule) подробно изучено в статье [10].

Функция выигрыша агента в этом случае представляет собой сумму двух отрицательных членов: общие издержки на постройку центра, деленные на размер коалиции, и индивидуальные транспортные издержки агента, пропорциональные расстоянию от места расположения агента до центра коалиции. Таким образом, агенты сталкиваются с выбором: либо присоединиться к большой коалиции, где удельная стоимость строительства центра на одного члена коалиции ниже, чем в относительно небольшой коалиции, но можно оказаться достаточно далеко от центра, или принять на себя более высокие издержки на строительство центра в коалиции небольшого размера, но оказаться ближе к нему. Авторы рассматривают эту модель как коалиционную игру с побочными платежами и исследуют ядро игры. В статьях [6, 7], [8] авторы изучают равновесие Нэша и различные коалиционные равновесия для схожих игр без побочных платежей и с малым количеством игроков. В данных статьях получены некоторые результаты относительно существования, единственности и поиска этих равновесий. Однако, данные модели не подходят для описания свойств равновесий в больших популяциях.

Другое направление в литературе посвящено вопросам эндогенного формирования политических партий. В статьях [11], [12], [13, 14] рассматриваются модели в предположении о непрерывном распределении идеальных точек агентов на политическом пространстве. Важное отличие данных работ от настоящей состоит в том, что в указанных работах число партий фиксировано и выигрыш агента не зависит от размера партии. Последнее является достаточно сильным ограничением, поскольку размер партии представляется достаточно существенным фактором. Также данные условия не позволяют определить количество партий в равновесии. Данные модели лучше описывают распределение избирателей по уже существующим партиям, чем процесс формирования партий.

Таким образом, следующие положения отличают базовую модель, рассматриваемую в настоящей работе от других моделей из данной области:

• отсутствие побочных платежей;

• общий вид зависимости выигрыша агентов от размера коалиции и расстояния до политики коалиции;

• некооперативные принципы решения игры.

Основные результаты диссертации состоят в следующем. Исследована модель эндогенного формирования коалиционных структур с игроками, распределенными на множестве значений характеристического параметра (идеальной точки) в трех основных модификациях: базовый случай одномерного множества значений идеальных точек, случай произвольной (конечной) размерности множества значений идеальных точек, игра с вертикальной дифференциацией игроков. Для указанных игр описаны множества равновесий Нэша, исследована устойчивость равновесий к отклонению коалиций игроков, а в игре с двумя типами игроков также проанализирована зависимость коалиционной устойчивости равновесий от соотношения численности игроков различных типов. Научная новизна полученных результатов состоит в следующем. Построена теоретико-игровая модель формирования коалиций игроками, распределенными на множестве значений идеальных точек для функции выигрыша обобщенного вида. В случае единичной размерности множества идеальных точек описаны свойства (регулярных) равновесий Нэша, а также необходимые и достаточные условия локальной устойчивости, то есть устойчивости к объединению соседних коалиций и расколу одной из существующих коалиций. В случае равномерного распределения игроков полностью описано множество регулярных равновесий Нэша: указы три возможных типа равновесий и показано, что других равновесий не существует. Показано, что два из найденных классов равновесий является заведомо неустойчивыми. Для третьего типа равновесий получены необходимые и достаточные условия, обеспечивающие локальную устойчивость этих равновесий. Установлены достаточные условия на параметры модели, при которых понятие локальной устойчивости эквивалентно понятию коалиционного равновесия, то есть коалиционной структуры, в которой невозможно образование новой коалиции, обеспечивающей большие выигрыши всем своим членам. Показано, что в отличие от рассматривавшихся ранее случаев линейной или квадратичной зависимости выигрыша от расстояния до политики коалиции, в общем случае локальная устойчивость структуры не гарантирует, что данная структура является коалиционным равновесием. Сформулировано обобщение базовой модели на случай, когда множество значений параметра имеет размерность п > 2. Установлены основные свойства регулярных равновесий Нэша, а само множество равновесий описано в форме системы уравнений и неравенств. Найдены уравнения гиперповерхностей, разделяющих множества идеальных точек игроков, относящихся к различным коалициям и описаны их свойства. При определенных ограничениях показано, что регулярному равновесию соответствуют структуры, задаваемые равномерной прямоугольной решеткой на множестве значений параметра. Найдены условия, гарантирующие существование равновесия. Найдено условие устойчивости к образованию произвольной коалиции внутри существующей, а также необходимое и достаточное условие устойчивости к локальному объединению равновесий. Показано, что в отличие от одномерного случая, в игре на многомерном множестве идеальных точек из локальной устойчивости не следует устойчивость к объединению произвольного числа коалиций. Получено достаточное условие устойчивости к произвольному объединению коалиций. Описана связь между размерностью множества значений параметра, свойствами функции потерь и существованием устойчивых коалиционных структур. Описана теоретико-игровая модель с вертикальной дифференциацией игроков: все множество игроков делится на два типа игроков ("конформисты"и "индивидуалисты"), различающихся характером зависимости функции выигрыша от своих параметров. Для этой игры описаны свойства регулярных равновесий Нэша, существовавших в игре с одним типом игроков. Установлены критерии локальной устойчивости этих равновесий, а также критерии эквивалентности понятий локальной устойчивости и коалиционного равновесия. Проведен анализ отличий полученных условий от их аналогов в случае однородной популяции. Также описан и исследован вид равновесных структур, не существовавший в игре с одним типом игроков. В таких структурах границы разбиения на коалиции не совпадают для разных типов игроков. Исследована зависимость множества равновесий от соотношения численностей двух типов игроков.

Заключение

1. Alesina A., Spolaore Е. On the number and size of nations // Quarterly Journal of Economics. — 1997.

2. Alesina A., Spolaore E. The size of nations // MIT Press, Cambridge, MA.— 2003.

3. Le Breton M., Weber S. The art of making everybody happy: How to prevent a secession // IMF Staff Papers. — 2003.

4. Haimanko 0., Le Breton M., Weber S. On efficiency and sustainability in a collective decision problem with heterogeneous agents // Mimeo. — 2002.

5. Haimanko 0., Le Breton M., Weber S. Transfers in a polarized country: Bridging the gap between efficiency and stability // CORE Discussion Paper. — 2002.

6. Savvateev A. (Non)existence of secession-proof partitions // Moscow, New Economic School. Mimeo. — 2003.

7. Savvateev A. Achieving stability in heterogeneous societies: multi-jurisdictional structures, and redistribution policies // Moscow: EERC. 2005.

8. Stability of jurisdiction structures under the equal share and median rules / A. Bogomolnaia, M. Le Breton, A. Savvateev, S. Weber // CORE Discussion Paper. — 2005.

9. Rawls J. A theory of justice // Cambridge: Harvard University Press. — 1971.

10. Caplin A., Nalebuff B. Aggregation and social choice: A mean voter theorem // Econometrica.— 1991.

11. Caplin A., Nalebuff B. Competition among institutions // Journal of Economic Theory. — 1997.

12. Ortuno-Ortin I., Roemer J. Endogenous party formation and the effect of income distribution on policy // University of Alicante. IVIE working paper. — 2000.

13. Gomberg A. M., Marhuenda F., Ortuno-Orti I. Equilibrium in a model of endogenous political party formation // Proceedings for 5th International Meeting of the Society for Social choice and Welfare, Alicante.— 2000.

14. Gomberg A. M., Marhuenda F., Ortuno-Ortin I. Endogenous platforms: The case of many parties // Alicante University Press. — 2005.

15. Haimanko 0., Le Breton M., Weber S. Voluntary formation of communities for the provision of public projects // Journal of Economic Theory. — 2004.

16. Downs A. An economic theory of democracy // Harper and Row.— 1957.

17. Cox G. Electoral equilibrium under approval voting // American Journal of Political Science. — 1985.

18. Cox G. Electoral equilibrium under alternative voting institutions // American Journal of Political Science. — 1987.

19. Baron D. Electoral competition with informed and uninformed voters // American Political Science Review. — 1994.

20. Wittman D. Parties as utility maximizers // American Political Science Review. — 1973.

21. Ortuno-Ortin I., Schultz C. Proceedings for 5th international meeting of the society for social choice and welfare // Alicante. — 2000.

22. Fauli-Oller R., Ok E., Ortuno-Ortin I. Delegation and polarization of platforms in political competition // Political Economy. — 2000.

23. Black D. Theory of committees and elections // Cambridge University Press. — 1958.

24. Ortuno-Ortin I., Schultz C. Public funding of political parties. — 2001.

25. Haan M. Endogenous party formation in a model of representative democracy // University of Groningen: CCSO working paper. — 2000.

26. Бавин . Российские выборы: как есть и как должно быть // Фонд «Общественное Мнение».— 2004.

27. Задорин . Средства массовой информации и электоральное поведение россиян // Московский центр Карнеги. — 2000.

28. Задорин . Партийные электораты: динамика и перспективы. Аналитический бюллетень // Московский центр Карнеги. — 2003.

29. Ослон Петренко . Факторы электорального поведения: от опросов к моделям // Вопросы социологии. — 1994.

30. Aldrich J. A downcian spatial model of party activism // American Political Science Review. — 1983.

31. A problem of football bars: Vertically and horizontally differentiated public goods / J. Dreze, M. Le Breton, A. Savvateev, S. Weber // X Международная конференция no проблемам развития экономики и общества. Сборник докладов, II. — 2009.

32. Smith М. Evolution and the theory of games // Cmbrige Univercity Press. — 1982.

33. С осина . . Теоретико-игровые модели политической конкуренции: Ph.D. thesis / Московский государственный университет им. Ломоносова. — 2006.

34. Aumann R. J. Acceptable points in general cooperative n-person games // Contributions to the Theory of Games IV, Annals of Mathematics Study 40. — 1959.

35. Aumann R. J. The core of a cooperative game without side payments // Transactions of American Mathematical Society.— 1961.

36. Vasin A., Sosina Y., Stepanov D. Endogenous formation of the coali-tional structure in a heterogeneous population // NES Working Paper. — 2007. Vol. #WP2007/072.

37. Vasin A., Stepanov D. Endogenous formation of coalitional structures in homogeneously distributed population // ORM2007. — 2007.

38. Васин ., Степанов . О формировании коалиционной структуры в неоднородной популяции // Сборник докладов международнойнаучной конференции «Государственное управление в XXI веке: традиции и инновации». — 2007.

39. Vasin A., Stepanov D. Endogenous formation of political parties // Mathematical and Computer Modeling. — 2008. — Vol. 48.

40. Vasin A., Stepanov D. Endogenous formation of political parties // Сборник докладов IX Международной научной конференции «Модернизация экономики и глобализация». — 2008.

41. Sosina Y. Endogenous forming of political structures and investigation of their stability // Moscow, Higher School of Economics. — 2004.