Моделирование контактных напряжений в упругом слое тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ОРДЕНА ЛЕНИНА СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ_ ИНСТИТУТ ГИДРОДИНАМИКИ им. М. А. ЛАВРЕНТЬЕВА

на правах рукописи

Дергилева Людмила Анатольевна

УДК 539.3

МОДЕЛИРОВАНИЕ КОНТАКТНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В УПРУГОМ СЛОЕ

01.02.04—механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 1995

Работа выполнена в Институте гидродинамики СО РАН

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент |Г. В. Иванов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор КХ В. Немировский; кандидат физико-математических наук, с.н.с. В. А. Сарайкин

Ведущая организация: Вычислительный центр СО РАН (г. Красноярск)

Защита состоится /б 1995г.в /'^часов СО мин.

на заседании специализированного совета К 002.55.01 в Институте ги дродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН (630090, Новосибирск 90, проспект академика Лаврентьева, 15)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института ги дродинамики СО РАН.

Автореферат разослан £^

Ученый секретарь специализированного совета К 002.55.01 в ИГиЛ СО РАН кандидат физико-математических наук ~ Ю. М. Волчко

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Тонкостенные конструкции типа стержней, - пластин и оболочек применяются в различных областях техники. Определение характеристик их напряженно-деформированных состояний-------

имеет большое прикладное значение. Для расчета этих характеристик строятся двумерные модели, учитывающие специфику геометрии и напряженных состояний тонкостенных конструкций. Особый раздел теории пластин и оболочек представляют контактные задачи.. Такие задачи возникают при расчете оболочечных конструкций, подкрепленных жесткими элементами; конструкций из композиционных материалов; многослойных конструкций, в которых крайне важно определение эффектов взаимодействия слоев между собой. В контактных задачах теории пластин и оболочек выбор двумерной модели существенно влияет на результаты расчета и приводит не только к количественно, но и качественно различным результатам. Известно, например, что применение теории Кирхгоффа — Лява приводит к возникновению сосредоточенных сил на границе контакта даже для гладких штампов. Модели, учитывающие влияние поперечного сдвига и обжатия, позволяют частично устранить такого рода эффекты. Большинства уравнений пластин и оболочек первоначально было сформулировано для случая, когда на их поверхностях заданы усилия. Такие уравнения пе всегда позволяют удовлетворить всем краевым условиям на торцах пластин п оболочек и условиям сопряжения на границах контакта. Поэтому построение уравнений пластин и оболочек, позволяющих корректно формулировать контактные задачи, разработка на основе этих уравнений численных алгоритмов — актуальные задачи механики деформируемого твердого тела. Построение и анализ такого рода уравнений содержится в монографиях и статьях Болотина В. В., Гри-голюка Э. И., Иванова Г. В., Лазько В. А., Немировского Ю. В., Но-вичкова Ю. Н., Пелеха Б. Л., Пикуля В. В., Толкачева В. М. и других авторов. Естественным при построении уравнений пластин и оболочек является применение полиномов Лежандра, поскольку первые члены в разложениях напряжений и смещений представляют собой усилия и моменты, действующие в поперечных сечениях слоя и соответствую- . щйе им средние смещения и углы поворотов этих сечений. Полиномы Лежандра используются при построении уравнений пластин и оболочек в работах Векуа И. Н., Иванова Г. В., Лазько В. А, Пелеха Б. Л.

Из зарубежных авторов такой подход содержится, например, в работах А. Солера. Одной из основных задач при представлении напряжений и смещений в виде рядов по полиномам Лежандра является процедура усечения рядов при построении конечного приближения. При этом нужно преследовать две цели: сравнительную простоту разрешающих уравнений и возможность корректно формулировать контактные задачи для упругого слоя.

Цель диссертационной работы:

— построение аналитических решений уравнений упругого слоя первого приближения, предложенных Г. В. Ивановым, исследование применимости этих решений для описания контактных напряжений в упругом слое;

— построение на основе уравнений упругого слоя моментного конечного элемента, приспособленного для решения плоских задач теории упругости с особенностями в напряженных состояниях; разработка численного алгоритма решения плоских задач теории упругости с использованием таких элементов.

Научная новизна. В работе построены аналитические решения уравнений упругого слоя, с использованием которых решен ряд контактных задач для упругого слоя. На основе уравнений упругого слоя в первом приближении построен новый конечный элемент, приспособленный для решения плоских задач теории упругости с особенностями в полях напряжений. Предложена итерационная процедура решения плоских задач теории упругости с использованием таких элементов.

Практическая ценность. Построенные в работе решения уравнений упругого слоя и предложенный конечный элемент могут быть использованы при численном моделировании краевых эффектов в тонких упругих слоях и при моделировании плоских напряженных состояний с особенностями.

Апробация работы. Результаты работы докладывались

-— на 5-й Bqecoюзнoй конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности, Новосибирск, 1978г,

— на б-м Всесоюзном симпозиуме по механике конструкций из композиционных материалов, Новосибирск, сентябрь, 1982г,

— на 13-й Межреспубликанской конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности, Новосибирск, июнь, 1993г,

— на Сибирской конференции по прикладной и индустриальной математике, посвященной памяти лауреата нобелевской премии Л. В. Канторовича, июль, 1994г,

— на семинарах отдела механики деформируемого твердого тела Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН ,

. — на семинаре кафедры механики твердого тела Новосибирского государственного университета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1^4].

Краткое содержание работы.

Во введении дается обоснование актуальности темы диссертации. Формулируется цель работы. Приводится краткий обзор работ, относящихся к теме диссертации, в частности, работ, в которых для построения уравнений пластин и оболочек используются разложения напряжений и смещений по полиномам Лежандра. Отмечаются различия в процедурах усечения рядов при построении конечных приближений уравнений упругого слоя. Одновременная аппроксимация напряжений и смещений, как правило, приводит к смешанным вариационным функционалам, в которых утрачивается свойство минимальности действительного поля перемещений. Принятая в работе процедура нескольких аппроксимаций напряжений и смещений сохраняет это свойство, которое является существенным при разработке численных алгоритмов и позволяет доказывать сходимость итерационных процессов. Во введении также перечислены основные результаты, выносимые на защиту.

В первой главе дан краткий вывод уравнений упругого слоя в первом приближении и построены аналитические решения этих уравнений для различных видов краевых условий на поверхностях слоя.

При выводе уравнений упругого слоя используется несколько аппроксимаций для каждой из искомых функций отрезками полиномов Лежандра (Иванов Г. В. Теория пластин и оболочек, Новосибирск, Изд-во НГУ, 1980).

Уравнения упругого слоя аппроксимируют уравнения плоской задачи теории упругости:

-^7 + /. = О, оц ~ а1}тп£тп, - + —), I1;

в прямоугольной области П : {— / < Х\ < I, — | < < | } где aij, £г] — напряжения и деформации; щ — смещения; /,-, а^тп — заданные кусочно-непрерывные функции XI и х2\ коэффициенты а^тп удовлетворяют условиям:

Яцтп^у^тп С ^ 0, Я{?'тп — = "унт; (2)

где с — неотрицательная постоянная, индексы г, ] принимают значения 1 и 2, по немым индексам проводится суммирование. На границе области ставятся краевые условия вида:

сцщ + ¿н(Тц = при хх = ± I (3)

С^И; + = <р% при х2 = ± /г/2, (4)

где с^Х]), <1^(х\), <¿>^(2:1), ^¡(хч) — заданные кусочно-непрерывные функции; с^, —заданные постоянные, удовлетворяющие условиям:

141 + 141 Ф 0, с±<% > 0, < о (5)

Неравенства (5) обеспечивают диссипативность краевых условий

(3),(4).

Напряжения и смещения аппроксимируются следующими отрезками рядов полиномов Лежандра:

^п'= Х>нР*(0, ^ = 4 = Х>*Р*(С), 4 = 4 (6)

¿=0 ¿=0

^12 =■ Е ^2Р*(С), <4 = Е 4^(0, < = Е «1Р*(0, 4 = Е «£Р*(0

£=0 ¿=0 4=0 Дг=0

Массовые силы — отрезками:

/; = ел*Р*(О, л = я = к = 1,2

¿=о ^ 1

Для смещений щ, и2 используются аппроксимации щ, и2 соответственно. Отрезки рядов и1у и2 используются для аппроксимации производных ди\/дх\ и ди2/дх\ в уравнениях плоской задачи теории упругости, а отрезки и2 — для аппроксимации производных дщ/дх2 и

дщ/дх2 . Основными требованиями при выборе длины отрезков полиномов Лежандра в аппроксимациях напряжений и смещений являются следующие: 1) система дифференциальных уравнений должна быть минимального порядка, позволяющего удовлетворить любого вида краевым условиям (для усилий и моментов и соответствующих им средних перемещений и углов поворотов поперечных сеченнй слоя), и этот порядок не должен зависеть от вида краевых условий на поверхностях слоя, 2) решение должно удовлетворять энергетическому тождеству:

/ aij£ijdn = / (/X + ^ + dii (7)

где

<Tjj = О- ijrmi -гпл

ди\ du'j ди2 ди'2

£и = я—' ^12 ~ я--я—' £22 = я—'

ОХ 1 ОХ2 ОХ 1 ОХ2

Таким образом, в уравнениях упругого слоя предполагается, что напряжения и деформации внутри слоя связаны теми же соотношениями, что и в уравнениях плоской задачи теории упругости. Выполнение равенства (7) позволяет доказать разрешимость и единственность краевых задач для упругого слоя. Определяющая система уравнений упругого слоя — система обыкновенных дифференциальных уравнений шестого порядка относительно коэффициентов отрезков рядов:

7/° 7/1 11° ай пХ л° U] , Uj, U2, <7ц, <72[,

которые в дальнейшем называются основными переменными, а коэффициенты

„О „1 „2 ,,3 „1 „,2

°22> °22' "12! "121 "1 «2» и2

- дополнительными. Система дифференциальных уравнений упругого слоя относительно безразмерных коэффициентов разложений (6) записывается в виде:

+ + = + % = О,

rjm'n - 3tn + + // = О,

in = «¡(r/Ug + yiVl), t2 2 = a2(j2V^0 + (8)

mn = ai(rju[ +3j!V2), m22 = a?(72»?Ui + 3v2),

hi = fn(iJvo + ui + мз)5 mi2 = 3mv.2, т\2 ~ 5тщ

где t\l, ¿12, тп\\ — продольная, перерезывающая силы и изгибающий момент в поперечном сечении слоя, а щ, ьд, щ — соответствующие им средние смещения и угол поворота поперечного сечения слоя, а,-, 7, — константы, зависящие от упругих характеристик слоя. Система (8) из десяти уравнений относительно четырнадцати коэффициентов разложений напряжений и смещений замыкается заданием четырех условий на поверхностях слоя при С = :

+ 4<4 = <4 (9)

В этой же главе построены общие решения системы для следующих условий на поверхностях слоя:

1) на поверхностях слоя заданы нормальные и касательные усилия;

2) на поверхностях слоя заданы смещения

3) на поверхностях слоя £ = ±1 заданы <7^(0 = 0> у±(0 = '73±(0 •

4) на поверхностях слоя заданы а): ст}, = 0 или б): 02, сг^2 = 0.

Во второй главе построены решения ряда контактных задач для упругого слоя и проведено сопоставление с аналитическими решениями по уравнениям плоской задачи теории упругости.

В §8 доказана единственность решения контактной задачи в следующей постановке. Пусть упругое тело занимает область V, ограниченную поверхностью 5. Поверхность 5 состоит из частей 5Р, 5„, На Бр заданы усилия, на - смещения, - поверхность контакта. Доказательство проводится для случая идеального контакта упругого тела с жесткой плоскостью. Это ограничение несущественно, и доказательство сохраняется для случая контакта двух упругих тел. Ставится краевая задача:

+ Л = 0, £у = +Ч;,')> = аг]Ы£{}£к1 >0 в V",

щ = 0 на 5„, СуП; = Р{ на (10)

На поверхности контакта должны быть выполнены неравенства:

(гг < 0, и2 + г> 0 на (11)

Первое неравенство в (11) означает, что на поверхности контакта действуют сжимающие напряжения, во втором неравенстве 2 — величина

первоначального расстояния точки, принадлежащей поверхности тела, от плоскости г = 0, а само это неравенство выражает условие непроникания тела в плоскость. Заметим, что оба неравенства (11) выполняются-^-в том случае, когда, на поверхности контакта действуют силы трения. Предполагается, что вблизи зоны контакта поверхность тела свободна от напряжений. Это условие выполняется практически во всех контактных задачах. Неравенства (11) обеспечивают единственность ¡решения задачи (10); в том числе, единственным образом определяется зона контакта. Предполагается также, что решение обладает необходимой гладкостью.

В §9 и 10 сравниваются результаты решения задачи о поднятии тяжелой полосы по уравнениям пластин и оболочек на основе гипотез Кирхгоффа — Лява, на основе гипотез Тимошенко — Реысснера п по уравнениям упругого слоя в первом приближении.

В §10 решены две контактные задачи для упругой полуполосы и проведено сравнение результатов с аналитическими решениями по уравнениям плоской задачи теории упругости.

Первая задача — задача с уменьшающейся зоной контакта (поднятие полуполосы, нагруженной равномерным давлением, приложенным к поверхности слоя), вторая задача моделирует раскрытие трещины в полуполосе и относится к классу задач с фиксированной зоной контакта. Проведенное сравнение показало хорошее соответствие результатов. полученных по уравнениям слоя и уравнениям теории упругости не только в интегральных характеристиках, но и в величине контактных напряжений.

Таблица

ц \ - ь А ~ ЗД1-")

Точное решение Уравнения слоя

V = 0.44 и = 0.33 V — 0.2

0.05 162.8 167.44 166.99 166.61

0.1 26.2 Г27^30~

0.15 - 9.90 10.65 10.56 10.51

0.2 5.27 5.75 5.70 5.65

0.25 3.37 3.72 3.68_ 3.64

В таблице представлена зависимость величины Л = <5/(2р(1 — и)), характеризующей отношение прогиба полуполосы при £ = 0 к величине приложенного давления, от геометрического параметра т] = Л//. В таблице представлены результаты, полученные по уравнениям упругого слоя и результаты аналитического решения плоской задачи теории упругости.

Величина Л в решении плоской задачи теории упругости не зависит от коэффициента Пуассона. В решении по уравнениям слоя незначительная зависимость Л от коэффициента Пуассона имеется.

В диссертации приведены графики зависимости отношения нагрузки , приложенной на конце полуполосы, к прогибу при £ = 0. На этих графиках представлены зависимости, полученные по уравнениям слоя, классическим уравнениям теории цилиндрического изгиба и соответствующие аналитическому решению по уравнениям плоской задачи теории упругости. В диссертации приведены аналогичные графики зависимости от параметра т} отношения приложенной нагрузки к максимальному раскрытию трещины Л = в задаче 2. Как и в предыдущей задаче, величина Л в точном решении не зависит от коэффициента Пуассона. Для всех значений т/ в диапазоне от 0.05 до 0.25 отличие в величине Л (первая задача), вычисленной по уравнениям упругого слоя для различных значений коэффициента Пуассона, не превосходит 10%. Зависимость величины Л (вторая задача) от коэффициента Пуассона еще менее .значительна. Влияние, коэффициента Пуассона на решение в контактных задачах оказывается различным в зависимости от того, рассматривается ли задача с увеличивающейся, уменьшающейся или с фиксированной зоной контакта. Эти зависимости исследовались рядом авторов на основе точных решений теории упругости. Степень совпадения этой зависимости в точном решении и решении по приближенной модели может служить одним из критериев качества приближенной модели для описания напряженно-деформированного состояния в контактных задачах.

Проведенное сравнение показывает "вполне удовлетворительное совпадение результатов, полученных по уравнениям слоя и уравнениям теории упругости как в задачах с изменяющейся зоной контакта,так и в задачах с особенностями в напряженном состоянии.

В §11 решены задачи о растяжении и сдвиге упругой прослойки, заключенной между двумя "жесткими" плитами. Эти задачи качествен-

но моделируют напряженно-деформированное состояние в "мягком" слое, заключенном между двумя "жесткими". *

В случае растяжения прослойки на поверхностях слоя заданы смещения: ------------------------------ ______________

ц- = 0, и~ = 0, г;+ г: Г. > -- -Г ---------

При £ = О ставятся условия:

*и(0) = #?1(0) = гпц(О) = 0

Вдали от края ( = 0 в прослойке реализуется однородное напряженное состояние. Вблизи края £ = 0 напряженное состояние неоднородное. На поверхностях слоя ( = ±1 действуют нормальные и касательные напряжения:

IV ± 37У

On = ;--(! - crf2 = т

1 — 7 u>i

-е

где (jj\ = • В случае плоской деформации 7 = и/(1 — и), в слу-

чае плоского напряженного состояния 7=1/. Вдали от края £ = 0 в прослойке реализуется однородное напряженное состояние

1 _ M- t _ 2V . П1-ТГ7- '22 — jz^-

При этом максимальное касательное напряжение на бесконечности равно

п действует на площадке, наклоненной под углом в 45° к оси х. Таким образом,

4,(0) _ ь

Лпаг Тиц

Параметр ui\ характеризует протяженность краевого эффекта. В диссертации приведены графики изменения величины /тт,и- в чяви-симости от коэффициента Пуассона v. Более сильная зависимость касательного напряжения от коэффициента Пуассона в случае плоской деформации объясняется тем, что в этом случае равна нулю деформация в направлении, перпендикулярном поперечному сечению слоя £3 = 0. В случае плоской деформации касательные напряжения у свободной поверхности могут значительно превосходить касательные напряжения, соответствующие однородном}'напряженному состоянию. В диссертации приведены графики изменения касательных напряжений на

поверхностях слоя в зависимости от координаты 2х/И для некоторых значений коэффициента Пуассона.

В случае сдвига прослойки на поверхностях слоя ставятся условия:

и+ = 11, и~ = V, у+ = 0, = О

При £ = 0 ставятся условия:

«и(0) = <21(0) = тц(0) = О

На бесконечности реализуется одноосное напряженное состояние чистого сдвига: •

«о (оо) = «о(оо) = <ц(оо) = 0, «1(00) = II

Вблизи края £ = 0 напряженное состояние неоднородное, причем на поверхностях слоя возникают нормальные напряжения. На поверхности С — это растягивающие напряжения, которые могут служить причиной отрыва слоя. В диссертации приведены графики зависимости безразмерного растягивающего напряжения ^(О)/^^ / Л от коэффициента Пуассона V для случая плоской деформации и плоского напряженногб состояния, а также графики распределения нормальных напряжений на поверхностях слоя по продольной координате.

В третьей главе на основе нескольких аппроксимаций смещений и напряжений построен четырехугольный конечный элемент, приспособленный для решения плоских задач теории упругости, решения которых имеют особенности в напряженном состоянии. Как правило, в существующих вариантах метода конечных элементов при решении за. дач о деформировании пластин и оболочек с заданными напряжениями на их поверхностях предпочтение отдается "оболочечным" элементам, которые строятся на основе тех же аппроксимаций, на которых строятся дифференциальные уравнения пластин и оболочек. Оболочечные элементы на основе уравнений пластин и оболочек, предназначенных для решения задач с заданными напряжениями на поверхностях, нельзя использовать для решения пространственных задач из-за невозможности удовлетворить всем условиям непрерывности смещений на общих гранях соседних элементов и граничным условиям для смещений. Поэтому обычно используются два типа элементов: "пространственные" для трехмерных областей и оболочечные для пластин и оболочек. Использование конечных элементов, условия сопряжения которых формулируются в виде условий непрерывности усилий и моментов

на их гранях, оказывается намного эффективнее при решении контактных задач. Предложенный в работе конечный элемент может быть использован как при решении задач упругого слоя, так и при решении плоских задач теории упругости. Построена матрица-жесткости эле- _ мента и алгебраическая система уравнений для области, составленнох! из прямоугольных элементов. Предложена итерационная процедура решения алгебраической системы уравнений, основанная на представлении области в виде пакета упругих слоев. Проведено сопоставление численного решения, полученного с применением конечных элементов, с точным решением плоской задачи теории упругости о растяжении плоскости с разрезом. В численном решении определяются средние по граням элементов значения напряжений и смещений. При разбпснпп области на 32 слоя среднее значение нормального напряжения на нижней грани элемента, примыкающего к разрезу, отличается от точного на 2.5%.

С использованием конечных элементов получено численное решение задач о сдвиге и растяжении упругого слоя. Сопоставление этого решения с аналитическим решением уравнений упругого слоя показало, что

последнее содержит составляющую, описывающую краевые эффекты в напряженных состояниях слоя.

В приложении 1 изложен итерационный алгоритм решения краевой задачи для уравнения Пуассона, основанный на варьировании искомых функций, при котором сумма невязок равна нулю в последовательно расширяющейся области. К решению таких краевых задач сводится, например, задача о кручении упругого стержня.

В приложении 2 приведены матрицы коэффициентов и правых

частей уравнений упругого слоя для различных краевых условий на его поверхностях. Там же приведены характеристические многочлены этих уравнений.

В заключении сформулированы основные выводы из работы:

— построены общие решения одномерных уравнений упругого слоя для различных видов краевых условий на его поверхностях;

— решены задачи о поднятии упругой полосы, лежащей на жестком основании-и задача, моделирующая раскрытие трещины в упругой полосе; проведено сопоставление полученных решений с решениями по

уравнениям плоской задачи теории упругости; из проведенного сравнения следует, что уравнения упругого слоя с большой точностью описывают контактные напряжения;

— решены задачи о краевых эффектах в упругой прослойке при ее растяжении и сжатии; показано, что в аналитическом решении уравнений упругого слоя содержится составляющая, описывающая краевые эффекты "в напряженных состояниях упругих прослоек;

— на основе нескольких аппроксимаций смещений и напряжений построен моментный конечный элемент, приспособленный для решения плоских задач теории упругости, что подтверждается сравнением численных результатов с аналитическим решением; предложена итерационная процедура решения плоских задач теории упругости в областях прямоугольной формы.

1. Дергилева Л. А. Метод решения плоской контактной задачи для упругого слоя // ДСС.—Новосибирск: ИГиЛ СО АН СССР—1976.— Вып. 25.

2. Волчков Ю: М., Дергилева Л. А. Решение задач упругого слоя по приближенным уравнениям и сравнение с решениями теории упругости // ДСС.—Новосибирск: ИГиЛ СО АН СССР,—1977,—Вып. 28.

3. Волчков Ю. М., Дергилева Л. А., Иванов Г. В. Итерационное решение задач для уравнения Пуассона методом самоуравновешенных невязок // ДСС.— Новосибирск: ИГиЛ СО АН СССР—1991—Вып. 102. ' ,

4. Волчков Ю. М., Дергилева Л. А., Иванов Г. В. Численное моделирование напряженных состояний в плоских задачах удругос.ти методом слоев//ПМТФ—1994.—6. '

Публикации по теме диссертации