Моделирование нестационарных электромагнитных полей в электродинамических системах, содержащих диспергирующие среды и потоки заряженных частиц тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Основные методы компьютерного моделирования электромагнитных полей и потоков заряженных частиц.

1.1. Математическая формулировка задачи.

1.2. Численные методы решения спектральных задач.

1.2.1. Типы используемых уравнений.

1.2.2. Устойчивость методов.

1.2.3. Проблема ложных решений.

1.3. Численные методы во временной области.

1.3.1. Метод матричных линий передачи.

1.3.1.1. Двумерные задачи.

1.3.1.2. Трехмерные задачи.

1.3.1.3. Ложные решения.

1.3.2. Метод конечных разностей.

1.3.2.1. Моделирование областей с неоднородностями.

1.3.2.2. Параллельные алгоритмы.

1.3.2.3. Численная дисперсия.

1.3.2.4. Абсорбционные граничные условия.

1.3.3. Метод конечных элементов во временной области.

1.3.3.1. Узловые конечные элементы.

1.3.3.2. Реберные конечные элементы.

1.4. Среды со временной дисперсией.

1.4.1. Дисперсия.

1.4.2. Модели поляризации.

1.5. Обзор методов учета дисперсии.

1.5.1. Основные дисперсионные алгоритмы МКРВО.

1.5.2. Сравнительный анализ алгоритмов учета дисперсии.

1.6. Обзор моделей потоков заряженных частиц.

1.6.1. Основные модели частиц.

1.6.2. Гидродинамические модели потоков заряженных частиц.

1.7. Модели крупных частиц.

1.7.1. Уравнения движения.

1.7.2. Методы решения уравнения движения.

1.8. Сглаживание плотности заряда.

1.8.1. Типичные сглаживающие функции.

1.8.2. Метод «дробных частиц».

1.9. Вычисление силы Лоренца.

Глава 2. Метод моделирования.

2.1. Конечно-разностный алгоритм вычисления электромагнитного поля в криволинейной ортогональной системе координат.

2.2. Моделирование электромагнитных полей в отсутствие временной дисперсии диэлектрической проницаемости.

2.3. Граничные условия.

2.3.1. Электрическая стенка.

2.3.2. Магнитная стенка.

2.3.3. Абсорбционные граничные условия.

2.4. Алгоритм учета временной дисперсии среды.

2.4.1. Модель дисперсии Дебая.

2.4.2. Модель дисперсии Друде-Лоренца.

2.5. Моделирование электродинамических систем в приближении гармонической зависимости полей и токов от одной из координат.

2.6. Моделирование электродинамических систем в двумерном приближении.

2.7. Решение уравнения движения заряженных частиц.

2.8. Определение параметров электродинамической системы.

2.8.1. Энергетические параметры.

2.8.2. Напряжение.

2.8.3. Спектральные характеристики.

Глава 3. Описание программы и результаты моделирования.

3.1. Алгоритм моделирования поля в прямоугольной и цилиндрической системах координат.

3.1.1. Уравнения для нормированных величин.

3.1.2. Уравнения двумерного приближения для нормированных величин.

3.2. Решение уравнения движения заряженных частиц.

3.3. Результаты тестирования алгоритма и программы.

3.3.1. Тестирование двумерного алгоритма моделирования электромагнитного поля.

3.3.2. Тестирование алгоритма моделирования электромагнитных полей, гармонически зависящих от одной из координат.

3.3.3. Тестирование алгоритма учета временной дисперсии среды.

3.3.4. Тестирование алгоритма моделирования потоков заряженных частиц.

3.3.4.1. Моделирование метода фокусировки пучка.

3.3.4.2. Моделирование процесса возбуждения колебаний в выходном резонаторе клистрона.

3.3.4.3. Моделирование процесса образования виртуального катода.

Принцип действия электронных приборов СВЧ, многих типов ускорителей заряженных частиц, установок промышленного нагрева СВЧ систем передачи информации основан на взаимодействии волновых электромагнитных полей со средой, то есть с заряженными частицами (связанными или свободными), образующими эту среду.

При взаимодействии электромагнитного поля со связанными частицами наблюдаются эффекты электрической поляризации и намагничивания, которые приводят к изменению скорости распространения электромагнитных волн, диссипации (или регенерации) электромагнитной энергии и целому ряду других физических эффектов.

Взаимодействие переменного электромагнитного поля со свободными носителями приводит к явлениям скоростной модуляции, группировке и обмену энергией между частицами и полем.

Для анализа всех этих явлений, играющих определяющую роль в современной радиоэлектронике, необходим расчет электромагнитных полей и токов с высокой точностью. Особенностью диапазона СВЧ является соизмеримость размеров электронных приборов и устройств с длиной волны электромагнитного излучения, что делает невозможным получение точных результатов с помощью приближенных методов, основанных на пренебрежении волновым характером поля (цепи с сосредоточенными параметрами, методы геометрической оптики). С другой стороны, экспериментальное исследование электромагнитных полей диапазона СВЧ связано с многочисленными трудностями. Это приводит к необходимости разработки численных методов моделирования электромагнитных полей.

В последнее время создан целый ряд программных средств моделирования электромагнитных полей, которые можно разделить на два класса:

1) программы анализа в частотной области для полей, гармонически изменяющихся во времени (стационарных);

2) программы анализа во временной области для полей с произвольной зависимостью от времени (нестационарных).

К первому классу относятся такие известные программы, как MAFIA, ARGUS, ISFEL3D и другие.

Программы анализа во временной области получили развитие прежде всего за рубежом и, как правило, требуют использования суперкомпьютеров, применение которых весьма дорого, что исключает использование этих программ в качестве оперативного инструмента анализа и проектирования устройств СВЧ.

Среди существующих в настоящее время программ следует отметить следующие:

MAGIC Misson Research Corporation, предназначенная для моделирования потоков заряженных частиц и их полей.

Karat, разработанная Таракановым. Данная программа мало доступна. Кроме того, несмотря на декларируемую трехмерность, в литературе имеются сообщения только об использовании двумерного варианта программы.

Недостатком программ MAGIC и Karat является то, что дисперсия среды в них не учитывается.

XFDTD, Remcom. В программе возможно моделирование полей в средах с дисперсией, описываемой моделями Дебая и Друде-Лоренца. Однако эта программа является очень ресурсоемкой. Кроме того, потоки заряженных частиц в ней не предусмотрены.

Программа Малышева, каф. ТОР СПбГЭТУ, не учитывающая дисперсии среды и потоков заряженных частиц.

Бурное развитие в последние годы средств телекоммуникаций, связанное с ростом несущей частоты и сокращением длительности передаваемых сигналов и времени передачи выдвигает на передний план задачу изучения и расчета нестационарных электромагнитных полей в телекоммуникационных устройствах.

С другой стороны, изучение воздействия микроволнового излучения на среды, которые обладают в диапазоне СВЧ заметной дисперсией, требует применения анализа во временной области. Вследствие этого, в последнее время, в связи с ростом производительности ЭВМ, усилия исследователей направлены прежде всего на развитие временных методов расчета электромагнитного поля.

Поэтому целью настоящей работы явилось построение математической модели, разработка алгоритма и программы моделирования нестационарных электромагнитных полей в электродинамических системах с диспергирующими средами и потоками заряженных частиц.

Для достижения цели работы были сформулированы следующие задачи:

1) анализ существующих методов моделирования нестационарных процессов в электродинамических системах;

2) разработка эффективного алгоритма моделирования нестационарных электромагнитных полей.

3) анализ существующих методов учета дисперсии среды;

4) разработка эффективного алгоритма учета дисперсии среды;

5) анализ существующих методов моделирования потоков заряженных частиц;

6) разработка эффективного алгоритма моделирования потоков заряженных частиц.

7) реализация разработанных алгоритмов в компьютерной программе и ее тестирование.

8) исследование процесса возбуждения колебаний в выходном резонаторе клистрона. 8

В результате выполненной работы сформулированы следующие научные положения:

1) Математическая модель электродинамических систем, регулярных по одной из пространственных координат, основанная на предположении о гармонической зависимости поля от координаты, по которой система является регулярной, позволяет сократить вычислительные затраты на несколько порядков по сравнению с трехмерными методами.

2) Алгоритм учета временной дисперсии среды, основанный на дискретизации общего аналитического решения уравнения движения вектора поляризованности позволяет за счет использования рекуррентных соотношений сократить вычислительные затраты в несколько раз.

3) Использование в самосогласованном решении уравнения движения заряженных частиц сочетания двумерной модели электромагнитного поля и трехмерного уравнения движения, записанного в специальной форме, позволяет существенно сократить требования к ресурсам ЭВМ без потери точности решения.

Данная работа выполнена в рамках госбюджетной НИР ГБ-2/РТЭ-12, проводившейся по единому заказ-наряду министерства общего и профессионального образования РФ, а также при поддержке грантов СПбГЭТУ для аспирантов 1999 и 2000 годов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Среди существующих методов исследования нестационарных электромагнитных полей значительное место занимают методы численного моделирования, что связано с неприменимостью в большинстве случаев приближенных методов, основанных на пренебрежении волновым характером поля, а, с другой стороны, со сложностью экспериментальных исследований.

В ходе выполнения настоящей работы, в соответствии с поставленными во введении целью и задачами, был проведен анализ существующих методов моделирования нестационарных процессов в электродинамических системах. На основании проделанного анализа для достижения цели работы был выбран метод конечных разностей во временной области (МКРВО).

На основе этого метода был разработан эффективный алгоритм моделирования нестационарных электромагнитных полей в электродинамических системах, регулярных по одной из пространственных координат, основанный на предположении о гармонической зависимости полей и токов от координаты, по которой система является регулярной. Данный алгоритм, в частности, позволяет моделировать распространение электромагнитных волн в прямоугольном и круглом волноводах, а также медленных поверхностных волн в замедляющих системах и слоистых оптических волноводах. Полученные в рамках данного приближения в криволинейной ортогональной системе координат конечно-разностные формулы для расчета электромагнитных полей позволяют создавать эффективные алгоритмы для частных систем координат.

Был проведен анализ алгоритмов учета дисперсии среды, на основании которого был намечен путь создания более эффективного алгоритма и создан алгоритм на основе использования в МКРВО дискретизации общего решения уравнения движения вектора поляризованности, приводящей к рекуррентным соотношениям, позволяющим существенно сократить вычислительные затраты.

Данный алгоритм был разработан и успешно реализован в компьютерной программе Tremsi.

Был проведен анализ существующих алгоритмов моделирования потоков заряженных частиц, на основании которого был предложен способ создания эффективного алгоритма решения самосогласованной задачи движения заряженных частиц в электромагнитном поле, основанный на сочетании двумерной модели электромагнитного поля и специального вида трехмерного уравнения движения заряженных частиц, содержащего как импульс частиц, так и их скорость. Разработанный алгоритм был успешно реализован в компьютерной программе Tremsi.

Было проведено тестирование разработанной в ходе работы компьютерной программы Tremsi, которое показало хорошее согласие результатов численного моделирования с теоретически предсказанными.

В ходе тестирования программы было проведено моделирование процессов возбуждения выходного резонатора клистрона и образования виртуального катода, которое показало, что разработанный алгоритм и программа Tremsi могут быть использованы для моделирования процессов взаимодействия нестационарных электромагнитных полей с потоками заряженных частиц в различных приборах и устройствах СВЧ.

Наглядное представление результатов моделирования разработанной в ходе работы программой Tremsi позволяет использовать ее не только в качестве инструмента инженера и исследователя, но и в учебном процессе.

По результатам работы опубликовано 3 работы, одна работа находится в печати.

1. Григорьев А.Д., Силаев С.А. Трехмерные математические модели волновыхэлектромагнитных полей. Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 3. Физика. Астрономия. 1992,—Т.33. №3.

2. Григорьев А.Д., ЯнкевичВ.Б. Резонаторы и резонаторные замедляющие системы СВЧ: Численные методы расчета и проектирования.—М.: Радио и связь, 1984,—284 с.

3. Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальныхуравнений в частных производных: Пер. С англ. Б. М. Будана и Н. П. Жидкова.—М.: ИЛ, 1963.—487 с.

4. Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений.—М.: Наука, 1976.—352 с.

5. Johns Р.В., BeuleR.L., Numerical solution of 2-dimensional scattering problemsusing a transmission line matrix // Proc. IEE, 1971.—V.118, № 9, P.1203—1208.

6. Johns P.B. Application of the transmission line method homogeneous waveguides ofarbitrary cross-section // Proc. IEE, 1972,—V.l 19, № 8, P. 1086—1091.

7. Григорьев А.Д., Янкевич В.Б. Численные методы расчета электромагнитныхполей свободных волн и колебаний в регулярных волноводах и полых резонаторах.—Зарубежная радиоэлектроника, 1977, вып. 5, С.43—67.

8. Johns Р.В., On the relationship between TLM and finite difference methods for

9. Maxwell's equations // IEEE Trans. MTT, 1987,—V.35, № i.p.60—61.

10. YeeK.S., Numerical Solution of initial boundary value problems involving Maxwell's equations in isotropic media, IEEE Trans. Antennas Propagat., 1966 (May).—V.14.—P.302-307.

11. Nielsen J.S., Hoefer W.J.R. Generalized Dispersion Analysis and Spurious Modes of 2-D and 3-D TLM Formulation // IEEE Transmission on MTT, 1993—V.ll, №8,—P.1375—1384.

12. Taflove A., BrodwinM.E., Numerical solution of steady-state electromagnetic scattering problems using the time-dependent Maxwell's equations // IEEE Trans. Microwave Theory Tech., 1975 (Aug.).—V.23—P.623-630.

13. Weedom W.H., Rappaport C.M., A General Method for FDTD Modeling of Wave Propagation in Arbitrary Frequency-Dispersive Media // IEEE Trans. Antennas Propagat., 1997,—V.45, №. 3.

14. YeeK.S., ChenJ.S., The finite-difference time-domain (FDTD) and the finite-volume time-domain (FVTD) methods in solving Maxwell's equations // IEEE Trans. Antennas Propagat., 1997.—V.45, № 3,—P.354-363.

15. ChuangH.-R., Numerical computation of fat layer effects on microwave near-field radiation to the abdomen of a full-scale human body model // IEEE Trans. Microwave Theory Thech., 1997.—"V.45, № l. P.l18 125.

16. Toffgard J., Hornsleth S.N., and Andersen J.B., Effects on portable antennas of the presence of a person, IEEE Trans. Antennas Propagat.,V.41, №6.—P.739-746, June 1993.

17. Dimbylow P.J., FDTD calculation of the SAR for a dipol closely coupled to the head at 900 MHz and 1,9 GHz // Phys. Med. Biol., 1993 (Feb).—V.38.—P.361-368.

18. JonsenM.A., Samii Y.R., EM interaction of handset antennas and a human in personal communications // Proc. IEEE, 1995 (Jan).—V.83, № 1.—P.1-17.

19. Sullivan D., Three-dimensional computer simulation in deep regional hyperthermia using the finite-difference time-domain method // IEEE Trans. Microwave Theory Tech., 1990.—V.38, № 2.—P.204-211.

20. Kapoor S., Sub-cellular technique for finite-difference time-domain method // IEEE Trans. Microwave Theory Tech., 1997.—V.45, № 5,—P.673-677.

21. Maloney J.G., Smith G.S., The use of surface impedance concept in the FDTD method // IEEE Trans. Antennas Propagat., 1992,—V.40, № 1. P.38-48.

22. Umashankar K., Taflove A., BekarB., Calculation and experimental validation of induced currents on coupled wires in an arbitrary shaped cavity // IEEE Trans. Antennas Propagat., 1987 (Nov).—V.35.—P. 1248-1257.

23. Taflove A., Umashankar K.R., BekerB., HarfoushF., YeeK.S., Detailed FDTD analysis of electromagnetic fields penetrating narrow slots and lapped joints in thick conducting screens // IEEE Trans. Antennas Propagat., 1998.—V.36, № 2.— P.247-257.

24. KunzK.S., Luebbers R.J., The finite difference time domain method for electromagnetics, Boca Raton, FL: CRC Press, 1993.

25. Kunz K.S., Prewitt J.F., Practical limitations to a natural mode characterisations of electromagnetic transient response measurements // IEEE Trans. Antennas Propagat., 1980 (July).—V.28.—P.575-577.

26. Jurgens T.G., Taflove A., Umashankar K., Moore T.G., Finite-difference time-domain modeling of curved surfaces // IEEE Trans. Antennas Propagat., 1992.— V.40, № 4.—P.357-366.

27. Maloney J.G., Smith G.S., The efficient modeling of the material sheets in the finite-difference time-domain method // IEEE Trans. Antennas Propagat., 1992.— V.40, № 3.—P.323-330.

28. Zivanovich S.S., Yee K.S., Mei K.K., A subgridding method for the time-damain finite-difference method to solve Maxwell's equations // IEEE Trans. Microwave Theory Tech., 1991,—V.39, № 3,—P.471-479.

29. PrescottD.T., ShuleyN.V., A method for incorporating different sized cells into the finite-difference time-domain analysis technique // IEEE Microwave Guided Wave Lett., 1992,—V.2, № 9,—P.434-436.

30. White M.J., Iskander M.F., Zhenlong Huang, Development of a multigrid FDTD code for three-dimensional applications // IEEE Trans. Antennas Propagat.,1997.—V.45,№ 10.

31. Craddock I.J., RailtonC.J., McGeehan J.P., Derivation and application of an equivalent passive circuit for the GDTD algorithm // Microwave Guided Wave Lett., 1996,—V.6,№ 1,—P.40^13.

32. Craddock I. J., RailtonC.J., Stable inclusion of a priori knowledge in the FDTD algorithm: Application to microstrip lines // in Proc. IEEE AP-S/URSI Symp.,V.2, Baltimore, MD, July 1996, P. 1300-1303.

33. Craddock I.J., Railton C.J., A new technique for the stable incorporation of static field solutions in the FDTD method for the analysis of thin wires and narrow strips // IEEE Trans. Microwave Theory Tech., 1998,—V.46, № 8,—P.1091-1096.

34. Torleif M., An improved near- to far-zone transformation for the finite-difference time-domain method // IEEE Trans. Antennas Propagat., 1998.—V.46, № 9.— P.1015-1022.

35. Navarro E.A., Sangary N.T., Wu C., Litva J., Analysis of a coupled patch antenna with applicationin personal communications // Proc. Inst. Elect. Eng. Microwave Antennas Propagat., 1995 (Dec).—V.142, P.495 497.

36. Mezzanote P., RoselliL., SorrentinoR., A simple way to model curved metal boundaries in FDTD algorithm avoiding staircase approximation // IEEE Microwave Guided Wave Lett., 1995,—V.5, № 8,—P.267-269.

37. ReigC., Navarro E.A., Such V., FDTD analysis of E-sectoral Horn Antennas for broad-band applications // IEEE Trans. Antennas Propagat., 1997—V.45, № 10.

38. Fang J., Time domain finite difference computation for Maxwell's equations, Ph. D. Dissertation, Univ. California, Berkley, CA, 1989.

39. Young J.L., Gaitond D., Shang J.J., Toward the construction of a fourth-order difference scheme for transient EM wave simulation: staggered grid approach I I IEEE Trans. Antennas Propagat., 1997.—V.45, № 11,—P.1573-1580.

40. Chen Y., MittraR., Harms P., Finite-difference time-domain algorithm for solving Maxwell's equations in rotationally symmetric geometries // IEEE Trans. Microwave Theory Thech., 1996,—V.44, № 6,—P.832-839.

41. Григорьев А.Д. Анализ азимутально-неоднородных типов колебаний в аксиально-симметричных резонаторах // Радиотехника и электроника, 1979. — Т.24, № 6,—С.1211-1213.

42. Grigor'ev A.D., Simulation of transient electromagnetic fields and beams of charged particles // Journal of Communications and Electronics,V.45, Suppl. 1, 2000.—P.S87-S94.

43. Rhodes D.L., PerlmanB.S., Parallel computation for microwave circuit simulation // IEEE Microwave Thory Thech., 1997.—V.45, № 5,—P.587-592.

44. Hamblen J.O., Alford C.O., A parallel computer architecture for continuous simulation // IEEE Trans. Aerosp. Electron Syst., 1988 (Nov).—V.24.—P.719-725.

45. Cole J.B., A high-accuracy realization of the Yee algorithm using non-standard finite-differences // IEEE Trans. Microwave Theory Thech., 1997.—V.45, № 6.— P.991-996.

46. Cole J.B., A high-accuracy FDTD algorithm to solve microwave propagation and scattering problems on a coarse grid // IEEE Trans. Microwave Theory Tech., 1995.—V.43, № 9.—P.2053-2058.

47. HadiM.F., Picket-May M., A modified FDTD (2,4) scheme for modeling electrically large structures with high-phase accuracy // IEEE Trans. Antennas Propagat., 1997.—V.45, № 2.—P.254-264.

48. Kim J.S., Hoefer W.J.R., Numerical characteristics and stability factor for the TD-FD method//Electron. Lett., 1990 (Mar).—V.27.—P.485-487.

49. Cangellaris A.C., Lee R., On the accuracy of numerical wave simulations on finite methods // J. Electronmagn. Waves Applicat., 1992.—V.6, № 12.—P.1635-1653.

50. Shlager K.L., Maloney J.G., Ray S.L., Peterson A.F., Reletive accuracy of several finite-difference time-domain methods in two and three dimensions // IEEE Trans. Antennas Propagat., 1993 —V.41, № 12,—P.1732-1737.

51. Bayliss A., Goldstein C.J., Turkel E., On accuracy conditions for the numerical computation of waves // J. Computat. Phys., 1985 (July).—V. 59,—P.396-404.

52. Ait-Sadi R., Emson C.R.I. Practical experience in using absorbing boundary conditions with FDTD method. 3-rd international conference "Computation in electromagnetics". 10-12 April 1996. Venue, Univ. Of Bath, UK.

53. TafloveA. Computational Electrodynamics: Finite-Difference Time-Domain Method, ARTECH House, Inc., 2000, London, UK.

54. Deveze Т., Beaulie L., Tabbara W., A fourth order scheme for the fdtd algorithm applied to Maxwell's equations, in IEEE APS Int. Symp. Proc., Chicago, JL, July 1992.—P.346-349.

55. Deveze Т., Beaulie L., Tabbara W., An absorbing boundary condition for the fourth order fdtd scheme, IEEE APS Int. Symp. Proc., Chicago, JL, July 1992.— P.342-345.

56. Petropoulos P.G., Phase error control for fd-td methods of second and fourth order accuracy // IEEE Trans. Antennas Propagat., 1994,—V.42., №6,—P.859-862.

57. Maury C.W., Broschat S.L., Schneider J.B., Higher order FDT methods for large problems, ACES J.,V.10.— P. 17-29, July 1995.

58. Furse C.M., Roper D.H., Buechler D.N., Christiansen D.A., DurneyC.H., The problem and treatment of DC offset in FDTD simulations // IEEE Trans. Antennas Propagat., 2000,—V.48, № 8,—P. 1198-1201.

59. Goswami J.C., MittraR., An application of FDTD in studying the end effects ofslotline and coplanar waveguide with anisotropic substrates // IEEE Trans. Microwave Theory Tech., 1997,—V.45, № 9,—P.1653-1657.

60. Ziolkowski R.W., Time-derivative Lorenz material model-based absorbing boundary condition // IEEE Trans. Antennas Propagat., 1997.—V.45, № 10.

61. Ait-SadiR., Emson C.R.I. Practical experience in using absorbing boundary conditions with FDTD method. 3-rd international conference "Computation in electromagnetics". 10-12 April 1996. Venue, Univ. Of Bath, UK.

62. Enquist В., Majda A., Absorbing boundary conditions for the numerical simulation of waves //Math. Comput., 1977,—V.31, № 139, P.629-651.

63. Mur G., Absorbing boundary conditions for the finite-difference approximations of the time-domain electromagnetic field equations // IEEE Trans. Electromag. Com-pat., 1981 (Nov).—V.23.—P.377-382.

64. Higdon R., Absorbing boundary conditions for difference approximations to the multi-dimensional wave equations // Math Comput., 1986.—V.47, № 176.— P.437-459.

65. Mei K.K., Fang J., Superabsorption — A method to improve absorbing boundary conditions // IEEE Trans. Antennas Propagat., 1992.—V.42, № 9,—P. 1001-1010.

66. Railton C.J., Daniel E.M., PaulD.-L., McGeehan J.P., Optimized absorbing boundary conditions for the analysis of planar circuits using the finite different time domain method // IEEE Trans. Microwave Theory Tech., 1993.—V.41, P.290-297.

67. Mao J-F., Twofold Mur's first-order ABC in the FDTD method // IEEE Trans. Microwave Theory Tech, 1998,—V.46, № 3,—P.299-301.

68. Zhou J., Hong W., Construction of the absorbing boundary conditions for the FDTD method with transfer functions // IEEE Trans. Microwave Theory Tech, 1998.—V.46, № 11,—P. 1807-1809.

69. Berenger J.-P., A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves//J. Comput. Phys., 1994,—V.114, № 2,—P.185-200.

70. Berenger J.-P., Three dimensional perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves // J. Conput. Phys., 1996.—V.127, № 2.—P.363-379.

71. Berenger J.-P., Perfectly matched layer for the FDTD solution of wave-structure interaction problems // IEEE Trans. Antennas Propagat., 1996.—V.44, № 1.— P.l 10-117.

72. Berenger J.-P., Improved PML for the FDTD solution of Wave-Structure Interaction Problems // IEEE Trans. Antennas Propagat., 1997,—V.45, №3.-—P.466-473.

73. Berenger J.-P., A perfectly matched layer for the free-space simulation in finite-difference computer codes // Ann. Telecomunicat., 1996.—V.51, № 1/2.—P.39-46.

74. Rappaport C.M., Perfectly matched absorbing boundary condition based on anisotropic lossy mapping of space // IEEE Microwave Guided Wave Lett., 1995.— V.5, № 3.—P.90-92.

75. Mittra R., Pekel U., A new look at the perfectly matched layer (PML) concept for the reflectionless absorption of electromagnetic waves // IEEE Microwave Guided Wave Lett., 1995.—V.5, № 3.—P.84-86.

76. Sacks Z.S., Kingsland D.M., LeeR., Lee J.-F., A perfectly matched anisotropic absorber for use as an absorbing boundary condition // IEEE Trans. Antennas Propagat., 1995,—V.43,№ 12,—P. 1460-1463.

77. Gedney S.D., An anisotropic perfectly metched layer absorbing media for the truncation of FDTD lattices, Tech. Rep. EMG-95-006, Univ. Kentucky, May 1995.

78. De Moerloose J., StuchlyM.A., Behaviour of Berenger's ABC for evanessent waves // IEEE Microwave Guided Wave Lett., 1995.—V.5, № 10,—P.344-346.

79. Berenger J.-P., Optimized PML for wave-structure interaction problems, presented at PIERS'96 Symp., Innsbruk, Austria, Juky 1996.

80. Reig C., Navarro E.A., Such V., FDTD analysis of E-sectoral Horn Antennas for broad-band applications // IEEE Trans. Antennas Propagat., 1997.—V.45, № 10.

81. Navarro E.A., GallartL., CruzJ.L., GimenoB., SuchV., Accurate absorbing boundary conditions for the FDTD analysis of H-plane waveguide discontinuities // Proc. Inst. Elect. Eng. Microwave Antennas Propagat., 1994.—V.141, № 1.— P.59-61.

82. Witter D.C., Ziolkowski R.W., Two time-derivative Lorentz material (2TDLM) formulation // IEEE Trans. Antennas Propagat, 2000,—V.48, № 2,—P. 192-199.

83. Sacks Z.S., Kingsland D M., LeeR., Lee J.-F., A perfectly matched anisotropic absorber for use as an absorbing boundary condition // IEEE Trans. Antennas Propagat., 1995.—V.43, № 12—P. 1460-1463.

84. Taflove A., Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method. Boston, MA: Artech House, 1995.

85. Zhao L., Cangellaris A.C., DT-PML: Generalized theory of perfectly matched layers and its application to the reflectionless truncation of finite-difference time-domain grids // IEEE Trans. Microwave Theory Tech., 1996.—V.44, № 12.— P.2555-2563.

86. Gedney S., An anisotropic perfectly matched layer — Absorbing medium for the truncation of FDTD lattices // IEEE Trans. Antennas Propagat., 1996.—V.44, № 10,—P.1630-1639.

87. Ziolkowski R.W., The design of Maxwellian absorbers for numerical boundary conditions and for practical applications using engineered artificial materials // IEEE Trans. Antennas Propagat., 1997.—V.45, № 4,—P.656-671.

88. Ziolkowski R.W., Time-derivative Lorentz materials and their utilization as electromagnetic absorbers // Phys. Rev. E, 1997.—V.55, № 6,—P.7696-7703.

89. Ziolkowski R.W., Time-derivative Lorentz material model-based absorbing boundary condition // IEEE Trans. Antennas Propagat., 1997.—V.45, № 10.— P.l 530—1535.

90. Ziolkowski R.W., Maxwellian material based absorbing boundary conditions // Сотр. Math. Appl. Mech. Eng., 1999.—V.169, № 3/4,—P.237-262.

91. Abarbomel S., Gottlieb D., On the construction and analysis of absorbing layers in СЕМ, in Proc. Appl. Computat. Electromagn. Soc., Monterey, CA, P.876-883, Mar 1997.

92. Ziolkowski R.W., Auzannean F., Passive artificial molecule realizations of dialec-tric materials // J. Appl. Phys., 1997,—V.82, № 7,—P.3195-3198.

93. Ziolkowski R. W., Auzannean F., Artificial molecule realization of a magnetic wall // J. Appl. Phys., 1997,—V.82, № 7,—P.3192-3194.

94. Auzannean F., Ziolkowski R.W., Theoretical study of synthetic bianisotropic smart materials // J. Electromagn. Waves Applicat., 1999.—V. 12, № 3,—P.353-370.

95. Zhao A.P., Generalized-material-independent PML absorbers used for the FDTD simulation of electromagnetic waves 3-D arbitrary anisotropic dielectric and magnetic media // IEEE Trans. Microwave Theory Tech., 1998.—V.46, № 10.— P.l 511—1513.

96. ZhaoA.P., Raisanen A. V., Extention of Berenger's PML absorbing boundary conditions to arbitrary anisotropic magnetic media // IEEE Microwave and guided wave letters, 1998.—V.8, № 1.—^P.15-17.

97. Ramahi O.M., Complementary boundary operators for wave propagation problems//J. Comput. Physics, 1997.—V. 133 .—P. 113-128.

98. Ramahi O.M., Concurrent implementation of the complementary operators method in 2D space // IEEE Microwave Guided Wave Lett., 1997.—V.7.— P.165-167.

99. Ramahi O.M., Efficient characterization of microstrip structures using higher order boundary operators, in URSI Radio Science Meet., Program and Abstracts, July 13-18, 1997,—P.187.

100. Ramahi O.M., Schneider J.B., Comparative study of the PML and C-COM mesh-truncation techniques // IEEE Microwave Guided Wave Lett., 1998.—V.8, № 2.— P.55-57.

101. Peng J., Balanis C.A., A generalized reflection-free domain-truncation method: transparent absorbing boundary // IEEE Trans. Antennas Propagat., 1998.—V.46, № 7.—P.l015-1022.

102. Peng J., Balanis C.A., A new reflection truncation in finite methods: Transparent absorbing technique (TAT), in IEEE Antennas Propagat. Soc. Int. Symp., Baltimore, MD, July 1996,V.l, P.88-91.

103. Peng J., Balanis C.A., Transparent absorbing boundary (TAB): Truncation of computational domain without refactions, in Appl. Comput. Electromagn. Soc. (ACES) 13th Annu. Progress Rev., Monterey, CA, Mar. 1997,—V.I.—P.90.

104. Peng J., Balanis C.A., Transparent absorbing boundary (TAB) for the truncation of the computational damain // IEEE Microwave Guided Wave Lett., 1997.—V.7, № 11,—P.347-349.

105. Richtmyer R.D., MartonK.W., Difference methods for initial-value problems, 2nd ed. New York: Wiley, 1967.

106. Lee J.-F., Candellaris A. Time-Domain Finite-Element Methods // IEEE Trans on Antennas апв Propagation, 1997,—V.45, № 3,—P.430-442.

107. Cendes Z.J., Silvester P., Numerical solution of dielectric loaded waveguides: I—-Finite element analysis // IEEE Trans. Microwave Theory Tech., 1970.—V.18, P. 1124—1131.

108. RahmanB.M.A., Davies J.B., Penalty function improvement of waveguide solution by finite elements // IEEE Trans. Microwave Theory Thech., 1984 (Aug).— V.32.—P.922-928.

109. Webb J.P., Finite element analysis of dispersion in waveguides with sharp metal edges // IEEE Trans. Microwave Theory Tech., 1988,—V.36, № 12,—P.1819-1824.

110. Bossavit A., A rationale for 'edge-elements' in 3-D fields computations // IEEE Trans. Magn., 1988,—V.24, № 1,—P.74-79.

111. Wang J., IdaN., Eigenvalue analysis in EM cavities using divergence free finite elements // IEEE Trans. Magn., 1991.—V.27, № 5.—P.3978-3981.

112. SakiyamaK., KoteraH., AhagonA., 3-D electromagnetic field mode analysis using finite element method by edge element // IEEE Trans. Magn., 1990.—V.26, №5, P.1759-1761.

113. Wu J.-Y., Lee R., The Advantages of Triangular and Tetrahedral Edge Elements for Electromagnetic Modeling with the Finite-Element Method // IEEE Trans, on Antennas and Propagation, 1997,—V.45, № 9—P. 1431-1437.

114. Chaterjee A., JinJ.M., VolakisJ.L., Computation of cavity resonances using edge-based finite elements // IEEE Trans Microwave Theory Tech., 1992.—V.40, № 9.—P.2106-2108.

115. Savage J.S., Peterson A.F., Higher-order vector finite elements for tetrahedral cells // IEEE Trans. Microwave Theory Tech., 1996,—V.44, № 6,—P.874-879.

116. LeeR., Cangellaris A., A study of discretisation error in the finite element approximation of wave solutions // IEEE Trans. Antennas Propagat., 1992.—V.40, № 5, P.542-548.

117. Warren G.S., Scott W.R., An investigation of numerical dispersion in the vector finite element method using quadrilateral elements // IEEE Trans. Antennas Propagat.,1994.~V.42, № 9.—P.1502-1508.

118. Warren G.S., Scott W.R., Numerical dispersion in the finite-element method using triangular edge elements // Microwave Opt. Lett., 1995.—V.9, № 6.—P.315-319.

119. Warren G.S., Scott W.R., Numerical dispersion of higher order nodal elements in the finite-element method // IEEE Trans. Antennas Propagat., 1996.—V.44, №3,—P.317-320.

120. Monk P.B., ParrottA.K., A dispersion analysis of finite element methods for

121. Maxwell's equations // SLAM J. Sci. Comput., 1994.—V.15, № 4,—P.916-937.

122. Joseph R.M., Hagness S.C., TafloveA., Direct time integration of Maxwell's equations in linear dispersive media with absorbtion for scattering and propagation of femtosecond electromagnetic pulses // Opt. Lett., 1991.—V.16, №. 18.— P.14I2-1414.

123. Gandhi O.P., A frequency-dependent finite-difference time-domain formulation for general dispersive media // IEEE Trans. Microwave Theory Tech., 1993.— V.41, №4.—P.658-665.

124. Kashiwa Т., YoshidaN., FukaiL, A treatment by the finite-difference time-domain method of the dispersive characteristics associated with orientation polarization // Inst. Electron. Inform. Communicat. Eng. Trans., 1990.—V.E73, №. 8.—P.1326-1328.

125. KashiwaT. FukaiL, A treatment by the FD-TD method for the dispersive characteristics associated with electronic polarization // Microwave Opt. Tech. Lett., 1990,—V.3, №. 6,—P.203-205.

126. Young J.L., Propagation in linear dispersive media: Finite difference time-domain methodologies // IEEE Trans. Antennas Propagat., 1995.—V.43, №4.—P.422 426.

127. Shlager K.L., Schneider J.B., A selective survey of the finite-difference time-domain literature // IEEE Antennas Propagat. Mag., 1995.—V.37, №. 4.—P.39-57.

128. Sullivan D.M., Nonlinear FDTD formulations using Z transforms // IEEE Trans. Microwave Theory Tech., 1995.—V.43., № 3,—P.676-682.

129. Sullivan D.M., Frequency-dependent FDTD methods using Z transforms // IEEE Trans. Antennas Propagat., 1992,—V.40,№ 10,—P. 1223-1230.

130. Pontalti R., Cristoforetti L., Antolini R., Cescatti L., A multirelaxation (FD)2-TD method for modeling dispersion in biological tissues // IEEE Trans. Microwave Theory Tech., 1994,—V.42., № 3,—P.526-528.

131. Sullivan D.M., A frequency-dependent FDTD method for biological applications // IEEE Trans. Microwave Theory Tech., 1992.—V.40, № 3,—P.532-539.

132. Luebbers R.J., Hunsberger F., KunzK., A frequency-dependent finite-difference time-domain formulation for transient propagation in plasmas // IEEE Trans. Antennas Propagat., 1991,—V.39, № 1.—P.29-34.

133. Luebbers R., Hunsberger F.P., KunzK.S., Standler R.B., Schneider M., A frequency-dependent finite-difference time-domain formulation for dispersive materials // IEEE Trans. Electromagn. Comparat., 1990.—V.32, P.222—227, Aug. 1990.

134. Luebbers R.J., Hunsberger F., FDTD for Nth-order dispersive media // IEEE Trans. Antennas Propagat., 1992,—V.40, № 9,—P. 1297-1301.

135. HunsbergerF., Leubbers R.J., KunzK., Finite-difference time-domain analysis of girotropic media—I: Magnetized plasma // IEEE Trans. Antennas Propagat., 1992.—V.40, №12.—P. 1489-1495.

136. Petropoulos P.G., Stability and phase error analysis of FD-TD in dispersive dielectrics // IEEE Trans. Antenna Propagat., 1994.—V.42., № 1.—P.62-69.

137. Sullivan D.M., Z-Transform theory and the FDTD method // IEEE Trans. Antennas Propagat., 1996,—V.44, № 1,—P.28-34.

138. Proakis J.G., Manolakis D. G., Digital Signal Procesing, 2nd ed. New York: Macmillan, 1992

139. Hockney R.W. Computer experiment of anomalous diffusion // Phys. Of Fluids, 1966,—V.9, №9.—P.1826-1835.

140. Рошаль A.C. Моделирование заряженных пучков.—M.: Атомиздат, 1979.

141. МЗ.ХокниР., Иствуд. Дж. Численное моделирование методом частиц.—М.:1. Мир, 1987.

142. Сушков А.Д., Молоковский С.И. Интенсивные электронные и ионные пучки.—М.: Энергоатомиздат, 1971.

143. Bimeman, О. Time-reversible Difference Procedures // J. Comput. Phys., 1956.— V.I.—P. 517-537.

144. Hockney R. W. The Computer Simulation of Anomalous Plasma Diffusion and the Numerical Solution of Poisson's Equation, Ph. D. Thesis, Stanford University, 1966.

145. Сушков А.Д., Молоковский С.И. Интенсивные электронные и ионные пучки.—М.:Энергоатомиздат, 1992.

146. Henrici P. Discrete Variable Methods in Ordinary Differential Equations, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1962.

147. Butcher J.C. Implicit Runge-Kutta Processes // Math. Comput., 1964.—V. 18, P.50-64.

148. Williamson J.H. Low Storage Runge-Kutta Scemes. // J. Comput. Phys., 1980.— V.35.—P.48-56.

149. Shampine L.F. Storage Reduction for Runge-Kutta Codes // ACM Trans. Math. Software,, 1979,—V.5.—P.245-250.

150. КорнГ., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров.—М.: Наука, 1970.

151. Рошаль А.С., Лейтан В.А. Улучшенный метод вычисления плотности заряда и тока модельных частиц.— В кн.: Численные методы механики сплошной среды. Т.7 Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 1976,—№ 7,—С.63-68.

152. Гоноровский И.С., Демин М.П. Радиотехнические цепи и сигналы: Учеб. Пособие для вузов.—М.: Радио и связь, 1994.

153. Сигов Ю.С., Ходырев Ю.В. К теории дискретных моделей плазмы. Препринт Института прикладной математики АН СССР, № 83, М., 1975.

154. Рошаль А.С. Сглаживание кулоновского поля в моделях «крупных частиц».— «Электронная техника. Сер. Электроника СВЧ», 1976.—№5.— С.72-77.177

155. Кирштейн П.Т., КайноГ.С., Уотерс У.Е. Формирование электронных пучков: Пер с англ.—М.: Мир, 1970.

156. HockneyR.W., Stanford University, Stanford, California, Tech. Rept. SUIPR № 202, October 1967.

157. Levy R.H., Hockney R.W., Computer Experiment on Low-Density Crossed-Field Electron Beams // Physics of Fluids, 1968.—V.l 1, № 4.

158. Алямовский И.В. Электронные пучки и электронные пушки.—М.: Советское радио, 1966.

159. Вендик О.Г., Самойлова Т.Б., Электродинамика (Основы техники СВЧ).— СПб.: Изд-во СПбГЭТУ, 1996.—С.16-17.