Автомодельные движения газа заряженных частиц во внешних электромагнитных полях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

"Го ОД

На правах рукописи УДК 530.145

Наумоз Николай Дмитриевич

АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ ВО ВНЕШНИХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЯХ

01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 1997

работа выполнена в Центральном физико-техническом институт' МО РФ.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук,

профессор A.A. Рухадзе,

доктор физико-математических наук,

профессор В.И. Денисов,

доктор физико-математических наук,

профессор М.В. Кузелев.

Ведущая организация - Российский университет дружбы народов.

Защита состоится .....чЛА&Ь.ЮА.. 199"? г. в час.

на заседании Специализированного Совета Д 053.05.41 при МГ" им. "М.В. Ломоносова на физическом факультете Московског государственного университета, ауд. ..£*.7Г./3...

Адрес: 199899 г. Москва, Б9робьевы горы, МГУ, Физичесхий факультет

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физи ческого факультета МГУ.

Автореферат разослан 199%г.

Ученый секретарь Специализированного Совета доцент

И.А. Квасников

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Необходимость разработки методов описание движения системы заряженных члетии по внешних электромагнитных полях обусловлена практическими задачами физики плазмы, ускорительной техники, электронной оптики. Изучение проблемы учета влияния пространственного заряда на движение электронных пучков было вызвано необходимостью создания мощных СВЧ-приборов, для которых характерно высокое значение первеанс.а нучкон. Дальнейшие ^м-перименталькие к icopc-гические исследования в .»той области были связаны и основном с задачами ускорительной техники. В настоящее время интерес к разработке методов учета влияния коллективного поля на движение потоков заряженных частиц обусловлен также другими областями исследований, к которым относятся активные эксперименты по зондированию ионосферы пучками частиц, генерация когерентного излучения релятивистскими электронными пучками в устройствах на "свободных" электронах, нагрев плазмы с помощью пучков, применение интенсивных электронных и ионных пучков для инициирования реакции термоядерного синтеза в схемах с инерциальным удержанием.

Для теоретического анализа движения газа заряженных частиц используется предложенная A.A. Власовым система самосогласованных уравнений. Как было показано H.H. Боголюбовым, необходимость учета влияния создаваемого частицами поля уже в основном приближении и переход к использованию коллективного полу обусловлен дальнодеиствуюпдим характером кулочовских сил. Точные решения нелинейной системы самосогласованных уравнений получены для стационарных случаев, когда имеются очевидные интегралы движения одиночной частицы в совокупности внешнего и коллективного полей, ß езяяи со сложностью нестационарной задачи большое распространение получило численное моделирование динамики газа заряженных частиц. Однако вместе с этим развивались и аналитические методы решени i нестационарной самосогласованной задачи.

Общепримятым методом решения задачи Коши для самосогласованной задачи является метод Ландау, который заключается в линеаризации системы уравнений и использовании преобразований: Фурье - по координатам и Лапласа - по времени. Это позволяет проследить характер временной эволюции начального состояния, что важно с точки зрения определения спектра волн в плазме, а также для исследования вопроса об устойчивости пуч-ково-плазменных образований. Однако такой подход применим, если известно некоторое стационарное решение системы самосо-

п

гласованных уравнений.

Определенный прогресс в аналитическом описании динамики пучков заряженных частиц связан с применением метода уравнений огибающих. Уравнения огибающих были предложены И.М. Капчинским и В.В. Владимирским для описания поперечных колебаний пучка заряженных частиц в ускоряющей системе. В дальнейшем этот метод использовался для изучения движения кольцевого пучка заряженных частиц в неоднородном магнитном поле, а также для описания распространения пучков заряженных частиц в газообразной среде. Уравнения огибающих обычн<%по-лучаются из решения уравнения Власова на основе построения нестационарного интеграла движения или с помощью метода моментов. Применение этих методов для решения других задач, особенно для задачи инжекции, когда число частиц з системе изменяется с течением времени, вызывает затруднения.

Цель работы. Разработка методов решения уравнений . движения и построение инвариантов движения заряженных частиц во внешних электромагнитных полях. Разработка в рамках теории возмущений метода решения задачи Коши в случае произвольного начального состояния газа заряженных частиц. Анализ возможности применения непертурбативных методов - автомодельного подхода и метода функции Грина - для решения самосогласованных уравнений движения газа заряженных частиц.

Построение аналитических моделей движения пучков и сгустков заряженных частиц во внешних электромагнитных полях. Методическое обоснование оценок характеристик воздействия потоков заряженных частиц на материалы.

Научнач новизна.. Новыми научными результатами, выносимыми на защиту, являются:

1. Разработан метод интегрирования уравнения движения частицы во внешнем поле, основанный на разложении функции Грина оператора уравнения непрерывности. С помощью этого метода вычислены поправки к дрейфовому приближению для заряженной частицы в магнитном поле Земли. Найдено точное решение релятивистских уравнений движения, описывающих динамику заряженной частицы в поле бегущей неоднородной волны, возбужденной в хвадрупольном волноводе. Определены условия устойчивости движения и показано, что эта электродинамическая система может быть использована для сепарации частиц по удельному заряду и продольной скорости.

2. Предложен метод построения нестационарного решения уравнения Власова, основанный на расчете приближенных интегралов движения, соответствующих начальным значениям дина-

чиче1ки\ переменны:.. В отличие от известного метола, который применим для анализа поведения системы вблизи некоторого стационапного состояния, такой подход можно использовать для

счи-шси к 1ИЯНИЧ коллективного п«»лч на чачатьнуч» старик' движения га »а лар-лукеиныл частиц ил проиг-толышго исходного состояния.

лунных ча«л ни аисшис:.; ромйп^нгло:.: пеле. Построен

инвариант движения газа заряженных частиц, определяющий условие сохранения завихренности движения газа во внешнем магнитном поле. Показано, что для автомодельных движений этот инвариант позволяет установить связь между вращением газа как целого и его внутренними перемещениями.

4. На основе автомодельного подхода получены точные нестационарные решения системы самосогласованных уравнений,

оттисыпающ^е п"жжение прпгтпиигтя^иип-огпяиии^нныу пя^пре-

,:е тений однородного гг.'«а мрулемных ч.!<ти1' во инсшш'х :>лек-тром.п ш-п иь'\ полчх, среди которых следует отметить решения .ч'лач о колсЛани.чЛ пучка .«"ряженных часгис я магингчом поле а ч паии метрит-. к«»д во-»'у •клешш |.'олеб«к;ш сгуч тка частиц г. .!'»и\'ш«.»г Пеншнна От« Д1.'и.кени>! < >тнос * , -.<■ .-. классу неустнно-аинишхея днпАений, для которых скорости пропорциональны расстоянию до центра симметрии. Показано, что для самосогласованного описания динамики однородны,-, распределений эллиптического сечения в магнитном поле необходимо рассматривать неустановившиеся движения, для которых скорость газа линейно .¡анисит от автомодельных переменных, т.к. а этом случае наряду с эращ^нием га.с, лак' целого нопшкаюг внутренние перемещения с эллиптическими линиями тока.

5. На основе автомодельного подхода развит метод самосогласованного описания поперечной динамики криволинейных п'.'чхов чягя^нных частиц, для которых малой величиной является как отношение тока пучка к предельному току Альфнена, так к отношение поперечных размеров пучка к радиусу его кривизны. Показано, что тороидальное магнитное поле в циклических системах вызывает полоидальное вращение электронного пучка. Получены уравнения огибаюших кольцевого пучка в модифицированном бетатроне и двухзахедном стеллатроне, а также трубчатого и спирального пучков заряженных частиц в магнитном поле. Установлено, что для вращающегося спирального пучка скорость поперечного расширения под влиянием пространственного заряда уменьшается.

6. В самосогласованной постановке рассмотрена динамика

контактных разрывов в газе заряженных частиц. На основе метода функции Грина сформулирована схема построения нестационарного решения самосогласованной задачи об одномерном движении холодного газа заряженных частиц. Как показано в работе, в отличие от пространственно-ограниченных однородных распределений газа заряженных частиц, одномерное движение которого описывается одним уравнением огибающей, локально-автомодельный характер движения холодного газа позволяет свести задачу расчета его гидродинамических характеристик к решению двух обыкновенных дифференциальных уравнений.

7. Получены точные нестационарные решения самосогласованных уравнений движения неоднородного газа заряженных частиц, описывающие нелинейные лэнгмюровские колебания электронов холодной плазмы и начальную стадию формирования виртуального катода в случае плоской инжекции потока заряженных частиц. Построена аналитическая модель переходного процесса для электронного пучка, инжектируемого перпендикулярно оси коаксиальной системы,

8. Исследовано влияние пространственного заряда и теплового разброса скоростей на компрессию мощности пучка заряженных частиц. По сравнению со случаем нейтральных частиц воздействие коллективного поля приводит к увеличению расстояния, на котором происходит пространственно-временная фокусировка пучка. В работе предлагается соответствующая коррекции известного закона изменения энергии частиц в процессе инжекции для обеспечения компрессии мощности пучка заряженных частиц на мишени.

9. Получены аналитические решения приближенного уравнения переноса для ряда задач, представляющих практический интерес. Сюда относятся расчеты влияния тепловых эффектов на пространственно-временные характеристики пучка, а также энерговыделения тяжелых (с массой, значительно больше массы электрона) заряженных частиц в случайно-неоднородной среде. Исследовано влияние магнитного поля на прохождение заряженных частиц через вещество. Показано, что стабилизирующее действие* магнитного поля на уширение пучка вследствие многократного упругого рассеяния частиц определяется отношением пробега частиц в веществе к радиусу их орбиты в поле.

Практическая значимость. Результаты работы использо-вааись при подготовке методик, обосновании выводов и рекомендаций научно-технических отчетов и руководящих документов по тематике института, а также при проведении совместных работ с другими научно-исследовательскими учреждениями. Построенные

аналитические модели пучков и сгусткон заряженных частиц могут быть т-чкже использованы длч "тестировании расчетных-

программ.

Апробация работы. Результа ты работы докладывались научно-технических конференциях и семинарах в Централоном физико-техническом институте Министерства обороны, Московском инженерно-физическом институте, Российском университете дружбы народов, Институте общей физики РАН.

Структура и объем работы. В целях последовательного изложения материала вначале рассматривается одночастичное приближение, затем излагаются методы построение нестацисшр-. ных решений уравнения Власова. Остальная часть работы посвящена применению автомодельного подхода и метода функции Грина для решения самосогласованных уравнений газодинамики и построению аналитических моделей пучков и сгустков заряженных частиц во внешних электромагнитных полях, а также методическому обоснованию оценок характеристик воздействия потоков заряженных частиц на материалы. Диссертация включает введение, шесть глав, заключение. Общий объем работы составляет 220 листов, включая 25 рисунков. Список литературы содержит 173 библиографические ссылки.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит обзор научных работ, посвященных рассмотренным в диссертации вопросам, краткую формулировку основных достижений, полученных в работах других авторов. Указана также актуальность, научная новизна и практическая значимость работы.

В первой глазе рассматривается движение газа заряженных частиц в рамках одночастичного приближения. Такой подход применим для анализа движения разреженных потоков заряженных частиц, когда можно пренебречь влияниям пространственного заряда.

В первом разделе этой главы развит новый метод определения закона движения частицы во внешнем поле, основанный на преобразопании оператора уравнения непрерывности в- фазовом пространстве. Этот метод заключается в проведении такой замены переменных I, х, р на новые переменные г, г, q:

г- col, r=ríx,p,t), q = q(x,p,t), (1)

в результате которой оператор запишется в следующем виде:

1 ь д , , д , „ . д '

— /, = — + ел(г,ц.т)—- + d)(r,q,T)—-, (2)

со от ' ос cq

где е - малый параметр. Изменение масштаба времени, как правило, связано с необходимостью выделения малого параметра. Это представление оператора уравнения непрерывности позволяет найти для закона движения поправку первого приближения:

где г0, цд - начальные значения новых переменных. Возвращаясь к исходным переменным, найдем приближенное выражение для закона движения частицы во внешнем поле.

Для иллюстрации метода вначале рассмотрена известная задача о малых колебаниях ангармонического осциллятора, потенциальная энергия которого имеет вид: Г/ = та>2(х2/2 — ех4¡24) .

Переход к новым переменным А', А = (х + ¡р/тсо)ехр0а>1) приводит к представлению оператора в указанном выше виде (2), однако после этой замены в операторе содержатся неосцилли-рующие малые слагаемые, которые ответственны за появление секулярных членов. Чтобы избежать этого, нужно уточнить замену переменных, включив в нее неосциллирующие малые члены:

А = аехр(1е<т*а1/16). После этого выражение (3) содержит только осциллирующие малые члены.

Это пример показывает, что область применимости получаемых результатов в значительной мере определяется тем, насколько удачно выбрано основное приближение, т.е.- проведенная замена неременных. Предлагаемый метод позволяет в определенной мере контролировать эффективность проводимой замены переменных. Эта замена будет эффективной, если после нее в операторе либо вовсе не появляются неосциллирующие малые члены, либо они не дают вклада при проведений итерационной, процедуры в силу начальных условий. В конце этого раздела показано, что предлагаемый метод фактически основан на разложении функции Грина оператора уравнения непрерывности.

Второй и третий разделы этой главы посвящены применению развитого метода для расчета движения заряженной частицы в слабонеоднородном магнитном поле; в частности, рассмотрена важная для практических приложений задача о движении заряженной частицы в магнитном поле Земли. Как известно, при малых значениях отношения ларморовского радиуса частицы к радиусу кривизны силовой линии магнитного поля движение частицы состоит из вращения по близкой к круговой орбите, центр

(3)

о

котооой перемещается как вдоль силозой линии, так и в азимут

•ппьисм направлении. После проведен»* п операторе замены переменных, ^оответсгпу:ощей описанию движения в основном ттрпближгчпи с помощью дрейфоямх ур?.янений, получены пг>-праики, позволяющие уточнить траекторию частицы в магнитном ноле Земли.

1> четвертом разлеле поопгдена кокари&итнад формули-"мя*;,-. с<1 "¡итого метода. Злесь по-к; i:\-i что :;гот мстот моа-но использовать для приближенного решения уравнения Диракл-Ипплипя ппа чгтр1гтг>гшя к магнитном поле. Рассмотоенная задача

ППРПС'М.ШУГ-Г мкже ИН1СОСС И С

того метода для решения сингулярно-возмущенных уравнений, к которым относится уравнение Дирака-Лоренца, поскольку у этого уравнения при старшей производной содержится малый параметр.

В пятом разделе получено точное решение релятивистского уравнения Гамильтона-Якоби для заряженной частицы в поле бегущей неоднородной волны, возбужденной в квадруполь-ном волноводе, который образован двумя парами металлических

' ■">" —1С . г" - г ! Ч

п. ■•' ..-,<.,; ;:"'..■.•:::!:,: чг.'"ц:1 -'-'р г: гчер?ч

"•Ч.,; ; 'г , .".зачни чолниччд.' :>.-. ■••.'.■••■! С и-..;

.'■•г. ,о гч:чч<..л'чччч:; г^ол;! риос-'ч л^ч^г-м.," .... ¡.ч..-

•;."']■:...•■ . с,'/!:'■,' к'.".'О"¡:ч-л.и:г." ■ чч, • ч.цню. '"'рр-,)': ^^ •

^'.- ; . с; .^лчцч: гл ч'чтпчч; • !;о, т<" чч

'■!!:• ;'"..--гклу .исгемл ч';>-ч-т чьпь ¡¡счо.ччччччч; члл сспчр.' пчч |.':с:гл пчртлстру '/ --■:"}",/-' где ¡л .'.>,- - и

масса частицы, у, ср3 - начальные значения релятивистского

' ""Г. и р -{.г: . ;Чф>-~"-I члг'ччч.1

.ч>ч"рчччгч; -.¡,.Си: . 1-. ¡V I ".о ■ ;ч-'Ч' • ■

движения газа заряженных частиц в самосогласованной ност-новке (главы 2 - 5). В начале второй главы анализируются известные методы построения нестационарных решений уравнения

р-у-;----, Т¥Г' 1ЯГГЯ111» г, упп^Щяциау

: г;- ¡чпччч и к:аг.чс м -! \кчч>" . ччг. '.ч ! раздел:,

г.остроса не^тац;.опарами шпх! ¿.ал дшь:;с.-ша »ар^чепн«? честны г. переменном :пектричеоком поле кг-адрупольного типа, кото-ос- ш.'ллыултст 1! фильтре «г."с. С плчошью этого интеграла движение найдено точное нестационарное решение уравнения Власова для пучка заряженных частиц в этой электродинамической системе и получено уравнение огибающей.

В четвертом разделе предлагается новый метод оценки

влияния коллективного поля ка движение газа заряженных частиц. Основная трудность при приближенном решении самосогласованных уравнений связана с выбором аппроксимации коллективного поля, т.к. оно заранее неизвестно и изменяется при движении газа. Для описания начального этапа движения газа можно в основном приближении просто пренебречь влиянием коллективного поля, либо выбрать для него, исходя из конкретных условий задачи, какую-то аппроксимацию. Тогда в качестве функции распределения основного приближения следует взять

/0(х,р,() = g(X0(x,p,t),V0(x,p,t)),

где g(x,р) - начальная функция распределения, Х0(х,р,(), ¥0(х,р,1) - интегралы движения одиночной частицы в совокупности внешнего и аппроксимационного полей, соответствующие начальным значениям координаты и импульса частицы.

Определяя с помощью этой функции распределения плотности заряда и тока, затем можно найти из уравнений МаксБ^лла напряженности электромагнитного поля, генерируемого этими зарядами и токами. Чтобы получить уточненную функцию распределения, теперь нужно учесть влияние этого коллективного поля на движение частицы. В работе сформулирована схема расчета уточненных выражений для интегралов движения, соответствующих начальным значениям динамических переменных частицы. Для этого нужно провести замену переменных (I) и представить оператор уравнения Власова в виде (2). Тогда с точностью до членов первого порядка интегралы движения имеют вид:

■г Г

ИС г, я, т) = г - &(г, я, Т')с!7', (}(г, = Ь(г. я, г'>/г'.

.0 ' о

Возвращаясь к исходным переменным, получим уточненные выражения для интегралов движения:

Х; - Щг(х,р,1),ц{х,р,(),аЯ) , Р; = Ъ(г(х,р,1),(\(х,рЛ),сХ) . Соответственно, уточненная функция распределения запишется в виде:

/,(х,р,0 - &(Х1(х,р,1^Г1(х,р,1)). Очевидно, что эта функция будет приближенным решением самосогласованной задачи в той области, где определяемые- с ее помощью плотности заряда и тока остаются близкими к аналогичным выражениям основного приближения; по крайней мере, этого можно ожидать на начальной стадии движения.

В пятом разделе показано, что этот метод позволяет по-

лучить то же дисперсионное соотношение для лэнгмюровских колебаний однородной плазмы, что и рассмотренный во втором разделе метод Ландау. Возможность применения развитого метола для оценки влияния коллективного поля на движение пространственно-ограниченных распределений газа заряженных част иц продемонстрирована в шестом разделе на примере задачи о влиянии пространственного заряда на расширение пучка заряженных частиц.

В седьмом разделе анализируется возможность решения задачи Коши для уравнения Власова с помощью метода функции Грина:

Н(О/(х,р,0 = 10(х,\>,х0,р0;1)/(х0,р0,0)43х0<13р0 . (4)

Функция Грина определяется законом движения одиночной заряженной частицы в совокупности внешнего и коллективного полей: О(х,р,х0,р0;О=Н(1)5(х-хО;х0,р0))д(р-р(1;хп,р0)), (5) где Н(1) - ступенчатая функция Хевисайда. Так как эта глава имеет методический характер, то здесь вновь рассмотрена задача о движении пучка заряженных частиц в фильтре масс, решение которой получено в третьем разделе с помощью метода уравнений огибающих. Для этой задачи возможность решения нестационарного уравнения Власова с помощью метода функции Грина обусловлена существованием канонического преобразования к постоянным значениям динамических переменных частицы, т.е. в данном случае можно построить точные выражения для интегралов движения, соответствующих начальным значениям динамических переменных частицы. Как показано далее в пятой главе, метод функции Грина оказывается продуктивным при рассмотрении одномерного движения газа заряженных частиц.

Как известно, газодинамические уравнения существенно упрощаются, если удается ввести автомодельные переменные. В этом случае система уравнений в частных производных сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Третья глава диссертации посвящена применению автомодельного подхода для построения новых точных нестационарных решений самосогласованных уравнений движения газа заряженных частиц во внешних электромагнитных полях.

Во втором разделе рассматриваются автомодельные решения в наиболее простом случае - для одномерной задачи, когда начальное распределение частиц задано в виде однородных по плотности слоя, цилиндра или шара/ В этом случае гидродинамические характеристики газа имеют вид:

где п0- начальная плотность газа, Н(х) - ступенчатая функция Хевисайда, Ç~ г/R - автомодельная переменная, к = 1, 2, 3 для плоского, цилиндрического и сферического случаев, соответственно. Для функции времени R получено обыкновенное дифференциальное уравнение. Согласно предложенной Л.И. Седовым классификации эти движения относятся к классу неустановившихся движений, для которых скорость газа пропорциональна расстоянию до центра симметрии.

В третьем разделе рассмотрено движение однородного осесимметричного эллипсоида заряженных частиц в магнитном . поле. В этом случае центр эллипсоида перемещается по закону движения одиночной частицы в указанном поле, а изменение поперечных (по отношению к направлению магнитного поля) размеров эллипсоида имеет вид "затухающих" колебаний, что обусловлено постоянным ослаблением влияния пространственного заряда из-за монотонного увеличения продольного размера эллипсоида; одновременно эллипсоид неравномерно вращается вокруг продольной оси.

Во третьем разделе также рассмотрены поперечные колебания осесимметричного пучка заряженных частиц в магнитном поле. Пульсирующее движение потока обусловлено воздействием расталкивающих сил пространственного заряда и сил магнитного сжатия со стороны внешнего поля. В этом случае удобно использовать комплексную автомодельную переменную Ç — {х+>у)/Л.

г , \

iji2(t'Jdt' - функция времени, где а - радиус V о )

пучка, П - угловая скорость вращения пучка. На основе автомодельного подхода получено дифференциальное уравнение для радиуса пучка:

+ и2 +(Пи+сй,)2а40\ . (6)

mua a L 1

где 0L - ларморовская частота, /, э - соответственно ток и эмиттакс пучка, а также выражение для угловой скорости вращения пучка:

n = (J00+coL)^-coL. (7)

а

Здесь Л = а ехр

Однако вроде бы естественное обобщение этого выражения на случай пучка эллиптического сечения в магнитном полег

a h

O~iíi0+co, )-—-u)L ,

an

оказывается неверным, т.к. выражения для составляющих скорости и, - гм , н, - 1}Ь не удовлетворяют уравнению Эйлера. Здесь и - скорость газа относительно вращающейся системы координат q¡, q2 , связанной с осями симметрии сечения пучка, д - (¡¡¡а . q = q2¡b - дстс'.'одельнне переменные, a, b полупи течения пучка.

Чтобы прояснить возникающую трудность, в четвертом разделе проанализированы инварианты потока заряженных частиц. Как показано в работе, для каждого элемента газа в магнитном поле остается постоянным связанное с ним значение величины

-VF(v/+2Cl + — B) = const, ■ (8)

,*? тс

где \\ = roí м - завихренность, п - плотность частип. /''- произвольная скалярная величина, сохраняющаяся при движении газа. Для прямолинейного однородного пучка такой величиной является что позйоляет установить связь между угловой скоростью вращения потока как целого и внутренними перемещениями для рассматриваемого класса неустановившихся движений газа заряженных частиц п магнитном поле; в частности, для пучка эллиптического сечения из (8) найдем:

ab[(rot uj2 + 2(í2+(ol)] - const.

Из проведенного анализа следует, что при рассмотрении динамики осесимметричного пучка относительно системы координат, вращающейся с отличной от (7) угловой скоростью движение газа складывается из радиальных пульсаций и перемещений с круговыми линиями тока. Соответственно, в случае пучка эллиптического сечения наряду с вращением пучка как целого будут происходить внутренние перемещения газа с эллиптическими линиями тока, т.е. автомодельные выражения для компонент скорости во вращающейся системе координат имеют следующий вид:

где о) - некоторая функция времени. В пятом разделе получены выражения для угловой скорости вращения пучка эллиптического

сечения как целого и внутреннего перемещения частиц в зависимости от размеров пучка:

, (аа0 - ЬЬ0/ + (аЬ0 - Ьап)2

(а2-Ь2)2

а=(п0+0 - «>1

(<Г -Ь )

а также обыкновенные дифференциальные уравнения, определяющие колебания поперечных размеров пучка эллиптического сечения в магнитном поле.

В шестом разделе исследовано влияние периодического изменения величины магнитного поля с малой амплитудой на поведение эллипсоидального сгустка частиц в ловушке Пеннинга. Движение сгустка можно рассматривать как наложение трансляционных колебаний, пульсаций объема и неравномерного вращения вокруг оси симметрии, совпадающей с направлением магнитного поля. Как показано в работе, при определенной частоте модуляции магнитного поля происходит раскачка колебаний сгустка, причем область резонансных частот является достаточно узкой.

В четвертой главе развит метод самосогласованного описания поперечной динамики пучков заряженных частиц во внешних электромагнитных полях. Этот метод применим в случае слаботочных пучков заряженных частиц, для которых влияние собственного поля на продольное движение частиц является величиной второго порядка по малому параметру 1/1А , где I - ток пучка, IА - ток Альфвена. В этом случае для определения коллективного поля пучка можно использовать решение уравнений Максвелла в квазистационарном приближении, так-как поперечное движения пучка имеет нерелятивистский характер. Для криволинейных пучкоЕ дополнительным условием применимости метода является малость отношения поперечных размеров пучка к радиусу его кривизны.

В первом разделе с помощью этого метода получено уравнение огибающей гофрированного осесимметричного пучка заряженных частиц в периодическом магнитном' поле, которое можно рассматривать з качестве модели магнитной фокусирующей системы.

Для выяснения степени адекватности предлагаемого метода приближенного решения самосогласованной задачи во втором разделе рассмотрены поперечные колебания тонкого трубча-

того пучка заряженных частиц в магнитном поле. Выбор этой системы обусловлен тем, что для холодного трубчатого пучка, с одной сторон!,!, можно построить приближенное решение автомодельного вида, а с другой стороны, как показано в пятой главе, с помошью метода функции Грина можно найти точное решение нестационарной самосогласованной задачи. Сравнение этих двух решений представляет несомненный методический интерес. Такое сравнение показывает, "то автомодельное приближение дает приемлемое описание динамики поперечных размеров пучка по - крайней мере на начальном этапе движения, тогда как приближенные и точные результаты для плотности частиц отличаются в большей степени.

Во третьем разделе рассмотрен кольцевой пучок в слабонеоднородном магнитном поле

В,=-^кгВ0. В0 = 0, ' В, = В0(1 + к2).

В случае осевой симметрии как распределения газа заряженных частиц, так и внешнего поля сохраняется азимутальная составляющая обобщенного импульса газа, что позволяет найти выражение для азимутальной скорости ¡аза: = С/г - сЛ0!тс , где

постоянная С определяется начальными условиями. Ас)- азимутальная составляющая векторного потенциала магнитного поля.

В случае малости параметра, характеризующего отношение поперечных размеров пучка к радиусу оси пучка, развита методика приближенного решения самосогласованной задачи. Она заключается в линеаризации уравнений поперечного движения газа относительно этого малого параметра и построении решения полученных приближенных уравнений с помошью сформулированной з третьей главе схемы получения автомодельного решения для пучка эллиптического сечения р, мпгтттпом ноле. Показано. что пучок, выталкиваете« в сторону более слабого поля, закручиваясь при этом в полеидальном направлении. Изменение радиуса оси пучка а зависимости от его продольного смещения можно определить с помощью известного адиабатического инварианта дрейфогтого приближения

В четвертом разделе автомодельное приближение используется для описаний движений электронного пучка в неоднородных магнитных полях, используемых в циклических системах - модифицированном бетатроне и двухзаходном стеллатроне. Характерной особенностью движения кольцевых пучков в этих системах является возникновение наряду с колебаниями оси пучка полоидального движения газа. Получены уравнения оги-

бающих электронного пучка в указанных циклических системах.

В последнем разделе рассмотрена поперечная динамика тонкого спирального пучка заряженных частиц в магнитном поле. В этом случае удобно использовать систему криволинейных координат на основе трехгранника Френе, связанного с осью пучка. Получена система обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих изменение поперечных размеров пучка с течением времени. Показано, что для вращающегося спирального пучка скорость поперечного расширения под влиянием пространственного заряда уменьшается.

В пятой главе рассматривается одномерное движение холодного газа заряженных частиц. В отличие от рассмотренных в предыдущих главах однородных распределений газа здесь найдены точные нестационарные решения самосогласованной задачи для неоднородной плотности частиц.

Для выявления определенной связи с результатами третьей главы в первом разделе изучена динамика контактных разрывов в газе заряженных частиц. В качестве примеров подобных задач рассмотрены колебания электронов плазмы в приближении неподвижного ионного фона и динамика ленточного пучка заряженных частиц в однородном поле. Для начального распределения плотности частиц в виде кусочно-однородной функции гидродинамические характеристики газа в каждом слое имеют автомодельный вид, причем перемещение центра каждого слоя под влиянием электрического поля соседних слоев определяется только начальными условиями. Если увеличивать количество слоев с одновременным уменьшением как их толщины, так и разницы значений плотности частиц в соседних слоях, то в пределе можно получить решение задачи для неоднородного начального распределения плотности частиц в виде непрерывной функции.

Точное решение самосогласованной задачи о движении холодного газа заряженных частиц получено с помощью метода функции Грина (выражения (4), (5)). Во втором разделе рассмотрены нелинейные колебания электронов холодной плазмы в приближении неподвижного ионного фона. Если движение электронного газа происходит таким образом, что слои газа перемещаются друг за другом, без обгонов, то величина коллективного поля, действующего на частицу, определяется ее начальным положением:

'.'лес!» п0у(х)~ начальное распределение плотности электронов, п,, - плотность ионов. I, - размер области, занятой плазмой.

В атом случае для гидродинамических характеристик газа ~ момент ""рсметвт О справедливы следующие вкра^ен^т:

Н

,-дс г, случае неподвижного в начальный момент времени электронного газа

5 = я(х0) + [хп-д (хп)]со8<о^, Я = у(х0) + [!-у(х0)]со$а}в1,

¿¡р - ллазмгхшаз частста. При последовательном измспеяяк "0 ~

небольшим шаго.\>- можно получить значения гидродинамических характеристик газа для произвольного момента времени. Для некоторых модельных функций у(х) , например, в случае пилообразного профиля начальной плотности электронов решение самосогласованной задачи получено в явном виде.

В третьем разделе рассмотрены поперечные колебания неоднородного осесимметричного потока заряженных частиц в магнитно« гголе. г, этом случае задача сводится ;< одномерной взиду сохранения азимутальной составляющей обобщенного им-'¡улк и т-.стицы. В отличие от однородного заряженного столба, .■пноме оно; л/нгг.-гмнг которого описывается одним уравнением и! и.'ак.пк";'( (6). расчст гидродинамических характеристик неоднородного столба сводится к решению двух обыкновенных дифференциальных уравнения. Предлагаемый метод позволяет описывать движение га т до момента возникновения обгона какого-!0 слоя газа другими слоями. Такие обгоны, когда плотость частиц' стремится к бесконечности, можно рассматривать как проченные катастрофы.

Применительно к "адаче расчета одномерных лешмюров-скш; :СОлеб'1НИЙ плазмы предложенный метод фактически сводится к известному в рамках лагранжева описания способу. Однако он обладает тем преимуществом, что его нетрудно обобщить для решения задачи одномерной инжекцин холодного газа заряженных чгстии, чему посвящены три последних разделах пятой главы. Для описания системы с переменным числом частиц используется уравнение с источником:

1Р(Х) = Я(Х),

А

где Ь - оператор уравнения Власова, 1<'(X) - функция распределения потока заряженных частиц, через X для краткости обо-

значена совокупность переменных г,р,Г. Решение этого уравнения может быть получено с помощью функции Грина: Р(Х) = \С(Х,Х')3(Х')с1Х'.

Для построения функция Грина необходимо найти закон двихсе-ния заряженной частицы в совбкупности внешнего и коллективного полей:

в(Х.Х') = Н(( - Г)5(г -г((;Х'))д(р- р(1;X')). Отметим, что в случае системы с.фиксированным числом частиц 3(Х)--8(1)/(г,р,0), И(Х) = Н(1 )}(Х) , т.е. эта формулировка эквивалентна рассмотренному ранее решению задачи Коши для уравнения Власова с помощью выражений (4), (5).

В пятом разделе с помощью метода функции Грина построена нестационарная модель начальной стадии формирования виртуального катода в случае плоской инжекции частиц, а в шестом разделе - при инжекции пучка заряженных частиц перпендикулярно оси коаксиальной системы. Для плоского случая получено аналитическое выражение для зависимости от времени распределения плотности тока в случае стационарной инжекции холодного потока электронов в полупространство х 2:0 с начальными значениями плотности частиц п и скорости и :

Л

2 4

д = -{+-И--п3, г = .¡1 + За4--?И2, . 2Ь 4 8 \ Н .4 16

+ g = Е0/2ит[шп .

Здесь Н(х) - ступенчатая функция Хевисайда, Е0 - напряженность внешнего электрического поля, со = ^4 те2¡т - плазменная частота инжектируемого потока, т-(ос, £ = хсо/и.

Из этого решения следует, что в момент времени /0 = + плотность тока обращается в нуль на плоскости

х0 = 8\3и/27а>. После этого момента времени часть потока со-

стоит из отраженных частиц, т.е. внутри области, занятой части-

нл шикает виртуальный кагод. Полученное решение описи-р.. с г начальную стадию формирования вмргуального катода -вплоть ло момента времени, когда возникает обгон инжектируе-М1 :\п» частицами отраженных части« н плотность тока обращается; в бесконечность. Как показано я шестом разделе, аналогичное ттснелепа плотности тока *лсл"е-г происходить и гтртт ттттжгтпптт: г\1п.-: ллрленл;-^:}. л*рно -л-д ¡v>.: кси.-?. :ьпой системы в сторону умсньшаыщкхсн значений радьу^а. При инжекции ä сгороиу возрастающих значений радиуса изменение плотности тока при -глггр-"— рг."?::::" ну-т"л - гттст-мг

ооусловлено геометрическим срактором.

ß седьмом разделе рассмотрено влияние пространственного заряда на распространение плоского потока зараженных частиц в случае нестационарной инжекции. Речь идет об изменения скорости частиц в процессе инжекции по закону . u(t) - ис/( 1 -tjtj , где и0 - скорость частиц при инжекцик фронта потока, t0- некоторая постоянная. В случае незаряженных частиц такой поток фокусируется з продольном направления при .'.. ~ Ljи,, на расстоянии I. от ;хточи;!ка. При шшйкшш лара-жеиныч частиц вслгдстанс расталкивающего действия коллек--¡;:»но!-о ч¡¡/и' фронг потока пер;;, ххаст лл:.\ кость л -• к момемг орсменн i < /с, тогда как последние частицы оудут .шходхтьс« ка .пом расстоянии от источ-ыка ¡¡¡„-и / > в рс iy.ib'iчега плот-ноетт гака пучка падаг-r не сражению со случаем не«тимодей~ ствуккцих частиц. Для обеспечений компрессии мощности потока яарЯАснммх частиц ни мшисни необходимо провести определенную коррекцию закона изменения скорости частиц в процессе инжекции, полагая ta = AL/иа, где коэффициент А зависит от параметров инх:ек» «русмсго потока. В этом случае обгоны будут «п.с-чгкать при попадании частиц на мишень,

В шестой главе получены аналитические решения приближенного уравнения переноса быстрых тяжелых (т.е. масса которых значительно больше массы электрона) заряженных частиц. Проведенное рассмотрение методически спгзако с результатами предыдущей главы, поскольку для построения решения уравнения переноса используется метод функции Грина. Характерной особенностью прохождения быстрых тяжелых заряженных ч.)стиц через вещество является передача энергии атомным электронам вещества малыми порциями, что позволяет использовать приближение непрерывного замедления, и малостью угла отклонения при упругом рассеянии, вследствие чего можно рассматри-

вать уравнение переноса в малоугловом приближении. Такая трактовка процесса прохождения заряженных частиц через вещество применима при условии, что можно пренебречь ядерными взаимодействиями; в частности, это справедливо для протонов с энергией менее 200 МэВ.

В первом разделе предложена модификации модели А-прерывного замедления, заключающаяся в учете непосредственно в исходном распределения частиц, падающих на слой вещества, увеличения разброса по энергиям по мере распространения частиц в веществе вследствие статистического характера потерь энергии частицами. Расчетная. формула для дисперсии возникающего распределения на конечном участке проникновения Частиц в вещество учитывает экспериментальные значения страгглинга. Такой подход позволяет сравнительно просто оценить влияние флуктуации пробегов частиц на энерговыделение частиц в области, пика кривой Брэгга.

Во втором разделе рассмотрена задача об .энерговыделении тяжелых заряженных частиц в случайно-неоднородной с,.еде; такая модель вещества используется для описания оборудования космических аппаратов. При этом применяются различные законы распределения плотности вероятности реализации массовой толщины на заданном геометрическом размере: закон Рэлея, нормальный и биномиальный законы. Известный метод расчета энерговыделения частиц в такой среде относится к моноэнергетическому потоку частиц. В работе предложен метод расчета, позволяющий рассматривать потоки частиц с широким энергетическим спектром. Полученное выражение для пространственнного распределения ионизационных потерь энергии может быть использовано при оценках воздействия частиц на устройства, содержащие изделия электронной техники.

В третьем и четвертом разделах исследовано влияние магнитного поля на прохождение тяжелых заряженных частиц через вещество. Воздействие внешнего поля приводит к дополнительному искривлению траекторий заряженных частиц, проходящих чЬрез вещество, в результате чего изменяются характеристики процесса переноса частиц. Для приближенного решения уравнения переноса используется метод функции Грина. Получены аналитические выражения для кривой Брэгга и распределения Ферми для чисто упругого рассеяния с учетом влияния магнитного поля. Показано, что стабилизирующее действие магнитного поля на уширение пучка вследствие многократного упругого рассеяния частиц определяется отношением пробега частиц в веществе к радиусу их орбиты в поле.

В пятом разделе с помошью метода функции Грина найдено решение уравнения переноса частиц в малоугловом приближении для импульсного источника, причем определены характеристики потока как при наличии у частиц энергетического разброса, так и в случае зависящего от времени энепгеткческого спектра, когда энергия частиц в процессе инжекции меняется с целью обеспечения пространственно-временной фокусировки пучка. Получена аппроксимационная формула, позволяющая оценит» параметры пучка в области фокусировки.

ß заключении кратко сформулированы результаты, полученные в работе.

' Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Наумов Н.Д. Об одном ковариантном методе в электродинами-ке//Известия ВУЗов. Физика. 1978. № 1. С. 70-76.

2. Кузьменков Л.С., Наумов Н.Д. Тетрадный метод расчета волн в релятивистской плазме с учетом радиационного трения//Вести. Моск. ун-та. Сер. 3. Физика, астрономия. 1979. Т.20. № 3. С. 3-7.

3 Наумов Н.Д. Об излучении релятивистского электронного пучка//ЖТФ. [980. Т. 50. № 10. С. '2251-2253.

4 Наумов Н.Д. Излучение заряженной плазмы а магнитном поле/ /Вести. Моск. ун-та. Сер. 3. Физика, астоономпя. 1985 Т. 22. № 1. С 109-1 П.

5. Наумов Н.Д. Козариантные уравнения динамики системы зарядов//Извсстия ВУЗов. Физика. ¡991. № 2. С. 10-13.

6. Наумов Н.Д. Метод функции Грина в классической электродинамике//Известия ВУЗов. Физика. 1991. № Z С. 85-89.

7. Наумов Н.Д., Павленко Ю.Г. Торможение заряженных частиц веществом в магнитном поле//Известия ВУЗов. Физика. 1991. № 7. С. 13-15.

S. Наумов Н.Д. Динамика потока заряженных частиц//»! -,вс-.стия ВУЗов. Физика. Ю91. № 11. С. 124-125; <992. № '! !. С. 42-44.

9. Наумов Н.Д. Расчет влияния магнитного поля на прохождение быстрых заряженных частиц через вещество // Атомная энергия. 1992. Т. 73. № 6. С. 493-495.

10. Наумов Н.Д. Влияние пространственного заряда на динамику потока частиц//Письма в ЖТФ. 1992. Т 18. № 10, С. 1-5; 1993. Т. 19. № 1. С. 38-41.

11. Наумов Н.Д. Рассеяние заряженных частиц веществом я магнитном поле//ЖТФ. 1992. Т. 62. № 2. С. 178-180.

12. Наумов Н.Д. Влияние магнитного поля на прохождение заряженных частиц через вещество//ЖТФ. 1993. Т. 63. № 4.

С. 205-207..

13. Наумов Н.Д. Операторный метод интегрирования уравнения движения частицы во внешнем поле//Известия ЗУЗов. Физика. 1993. № 2. С. 72-75.

14.Наумов Н.Д. Влияние пространственного заряда на динамику сгустка частиц//Письма в ЖТФ. 1993. Т. 19. № 10. С. 59-62.

15. Замышляев Б.В., Наумов Н.Д. Автомодельное движение заряженного газа в магнитном поле//ДАН. 1993. Т. 332. № 2.

С. 158-160.

16. Наумов Н.Д. Об операторном методе расчета движения частиц в геомагнитном дипольном поле//Космические исследования. 1993. Т. 31. № 4. С. 117-119.

17. Наумов Н.Д. Автомодельные движения заряженных частиц // Физика плазмы. 1993. Т. 19. № 11. С. 1406-1408.

18. Наумов Н.Д. Торможение заряженных частиц веществом в магнитном поле//Известия ВУЗов. Физика. 1993. № 11 С. 30-34.

19. Наумов Н.Д. Метод оценки энерговыделения протонов в неоднородной среде/Тезисы, докладов VI межотраслевого семинара "Радиационные процессы в электронике". М.:1994. С. 137-138.

20. Колядин С,А., Наумов Н.Д., Чернявский Г.М., Шенцев Н.И. Автомодельные движения пучка заряженных частиц//ДАН. 1994. Т. 339. № 2. С. 186-188.

21. Наумов Н.Д. Колебания потока заряженных частиц в электромагнитном поле.//Радиотехника и электроника. 1994. Т. 39. № 7. С. 1179-1184.

22. Наумов Н.Д. Динамика заряженных частиц в ловушке Пен-нинга//Известия ВУЗов. Физика. 1994. № 7. С. 18-21.

23. Наумов Н.Д. Влияние пространственного заряда на колебания потока частиц/'/'ЖТФ. 1994. Т. 64. № 8. С. 165-168.

24. Колядин С,А.,Наумов Н.Д.,Чернявский Г.М.,Шенцев Н.И. Автомодельное движение заряженного пучка в аксиальном по-ле//ДАН. 1995. Т. 342. № 4. С. 468-469.

25. Наумов Н.Д. Динамика заряженных частиц в фокусирующей системе//Известия ВУЗов. Физика. 1994. № 10. С. 31-34.

26. Наумов Н.Д., Павленко Ю.Г. Разделение частиц по энергиям в квадрупольном резонаторе//Радиотехника и электроника. 1995. Т. 40. № 3. С. 490-494.

27. Наумов Н.Д., Чернявский Г.М., Шенцев Н.И. О завихренности движения заряженной жидкости в магнитном поле//ДАН. 1996. Т. 346. № 1. С. 37-38.

28. Наумов Н.Д. Влияние пространственного заряда на компрессию мощности пучка//Лисьма в ЖТФ. 1996. Т. 22. Вып. 16.

С. 49-52.

2V. Наумов Н.Д. Автомодельное вращение заряженной жидкости

и чагнтном ноле/'/Л А.Н. 1996. Т. 346. No 4. С. 468-470.

30. Наумов Н.Д. Влияние пространственного заряда на колебания ленто^ттего пучга в однородном поле//Письма в ЖТФ. 1406.

Т. 22. Вып. lb. С. 80-93."

31. Наумов Н.Д.,Пазленхо Ю.Г. Параметрическое возбуждение колебаний сгустка заряженных частиц в ловушке Пгншшгл// ЖТФ. J097. Т. 67. Bun. 1. С. 27-29.

32. Наумов Н.Д. Об одном методе самосогласованного описаний яичямики плектоонных пучков в циклических системах//ЖТФ.

¡997. Т. 67. Вып. 7. С. 103-107.