Моделирование процессов взаимодействия краевых дислокационных петель со свободной поверхностью тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

На правах рукописи

БЕЛОВ Юрий Сергеевич

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ КРАЕВЫХ ДИСЛОКАЦИОННЫХ ПЕТЕЛЬ СО СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ

(специальность 01.04.07 - физика конденсированного состояния)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва -2009

003471277

Работа выполнена на кафедре программного обеспечения ЭВМ, информационных технологий и прикладной математики Калужского филиала московского государственного технического университета им. Н.Э.Баумана

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

профессор Б.М. Логинов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

В.А.Мелик-Шахназаров кандидат физико-математических наук, доцент О.Г.Бонк

Ведущая организация: Научно-исследовательский Институт

Материалов Электронной Техники

Защита состоится «10» ЦЮн_Я 2009 г. в Щ*- часов на заседании диссертационного совета Д.212.141.17 при Московском государственном техническом университете им. Н.Э.Баумана по адресу: 248600, г.Калуга, ул. Баженова, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослан « Н » |АА&!К 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета канд. тех. наук, доцент

С.А.Лоскутов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы работы. Краевые дислокационные петли в большом количестве образуются в кристаллических материалах в результате радиационного облучения. Высокие концентраций дислокационных петель приводят к разбуханию и катастрофической потере прочности материала, что наблюдается, например, в результате длительной эксплуатации конструкционных материалов в атомной энергетике.

Любые реальные конденсированные среды ограничены внешними поверхностями и могут иметь внутренние границы раздела. С учетом современных тенденций развития технологий микро- и нано- электроники и тонкопленочных материалов, проблема анализа различных аспектов взаимодействия дислокационных образований со свободной поверхностью несомненно является практически важной и актуальной._

Математический аппарат теории дислокаций позволяет рассчитывать поля смещений и напряжений для любых дислокационных конфигураций в приближении бесконечной среде. Аналитические решения для дислокационных полей в случае ограниченной среды удается получить лишь для отдельных частных случаев. Таким образом, для адекватного анализа разнообразных аспектов взаимодействия дислокаций со свободной поверхностью необходима разработка эффективных методов решения граничных задач теории дефектов.

Настоящая работа посвящена разработке моделей и методов исследования взаимодействия гибких криволинейных дислокаций со свободной поверхностью и анализу процессов взаимодействия краевых дислокационных петель со свободной поверхностью. Моделирование поводилось применительно к кристаллам с ГПУ кристаллам. Такой выбор, наряду с практической важностью этих структур, обусловлен наличием ряда надежных данных относительно влияния свободной поверхности на дислокационные петли.

Целями диссертационной работы являлись:

- построение физических моделей и методик моделирования процессов взаимодействия гибких криволинейных дислокаций со свободной поверхностью;

- исследование средствами моделирования процессов взаимодействия краевых дислокационных петель со свободной поверхностью применительно к ГПУ кристаллам.

Научная новизна работы состоит в следующем:

- разработана оригинальная операционно-вычислительная модель (ОВМ) полевого динамического взаимодействия гибких криволинейных дислокаций со свободной поверхностью;

- разработан программно-вычислительный комплекс, интегрирующий ОВМ в программную среду ЛЫБУБ для исследований процессов взаимодействия краевых дислокационных петель со свободной поверхностью;

- при строгом учете тонкой пространственной структуры полей внутренних напряжений, создаваемых краевыми дислокационными петлями, осуществлено моделирование процессов взаимодействия краевых дислокационных петель со свободной поверхностью;

- получены основные характеристики процессов взаимодействия краевых дислокационных петель со свободной поверхностью и проведен анализ их зависимости от пространственно-ориентационных параметров системы;

- детально исследован процесс парного взаимодействия краевых дислокационных петель без учета и с учетом влияния свободной поверхности и установлено существование двенадцати пространственных областей взаимного расположения краевых дислокационных петель, для которых выявлены четыре типа эволюционного развития парного взаимодействия;

- установлено, что в процессе взаимодействия хаотического ансамбля краевых дислокационных петель со свободной поверхностью в условиях воздействия внешней сдвиговой нагрузки возникают условия для образования приповерхностных пор.

Теоретическая и практическая ценность работы состоят в том, что в работе предложен новый подход к решению задачи взаимодействия дислокационных петель со свободной поверхностью на основе интеграции авторской операционно-вычислительной модели в высокоэффективную программно-вычислительную среду Развитые в работе методы

моделирования позволяют точно учитывать пространственно геометрические характеристики системы, адекватно воспроизводить гибкие свойства дислокаций и тонкую структуру внутренних полей, обуславливающих данный вид взаимодействия. Практическая ценность работы заключается также в том, что полученные в ней результаты и развитые методы могут быть использованы для количественного анализа широкого круга вопросов физики свободной поверхности, тонкопленочной техники и стимулируют постановку и проведение новых вычислительных и экспериментальных исследований граничных задач взаимодействия дислокаций.

Достоверность результатов работы обусловлена корректной постановкой задачи, применением математически обоснованных методов ее решения, сравнением результатов с известными аналитическими данными.

На защиту выносятся следующие положения:

- операционно-вычислительная модель полевого динамического взаимодействия гибких криволинейных дислокаций со свободной поверхностью;

- методика моделирования процессов взаимодействия гибких дислокаций со свободной поверхностью, на основе интеграции разработанной операционно-вычислительной модели в программно-вычислительную среду АЫЭУБ;

- результаты исследования средствами моделирования процессов взаимодействия краевых дислокационных петель со свободной поверхностью.

Апробация результатов. Результаты диссертационной работы докладывались на конференциях:

^Региональной научно-технической—конференции—«Прогрессивные технологии, конструкции и системы в приборо- и машиностроении» (МГТУ им.Н.Э.Баумана, Москва, 2004);

2. Региональных научно-технических конференциях «Наукоемкие технологии в приборо- и машиностроении и развитие инновационной деятельности в вузе» (МГТУ им.Н.Э.Баумана, Москва, 2006, 2007, 2008, 2009);

3. Всероссийской научно-технической конференции «Прогрессивные технологии, конструкции и системы в приборо- и машиностроении» (МГТУ им.Н.Э.Баумана, Москва, 2005);

4. Всероссийских научно-технических конференциях «Наукоёмкие технологии, в приборо- и машиностроении и развитие инновационной деятельности в вузе» (МГТУ им.Н.Э.Баумана, Москва, 2006, 2007, 2008, 2009).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 печатных работ.

Объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, выводов и списка литературы. Она изложена на 136 страницах текста, содержит 38 рисунков, 2 таблицы, 99 библиографических названий.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, ее практическое значение, формулируются основные цели исследования и основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава диссертации посвящена обзору литературы. В ней проводится рассмотрение и анализ результатов современных исследований взаимодействия краевых дислокационных петель (КДП) со свободной поверхностью.

Во второй главе диссертации проводится описание использованных и разработанных моделей и методик моделирования.

Для расчета влияния реакции свободной поверхности на поля внутренних напряжений рассматривалась следующая декомпозиция задачи. Пусть исходный объем V, содержит дислокации и ограничен поверхностью 5, подверженной действию внешних поверхностных сил = сг • п} и

внешних смещений м,°. Для декомпозиции задачи, компоненты векторных полей смещений (и) и тензорных полей деформаций (г) и напряжений (а) представляются в виде двух аддитивных составляющих:

и,=ц+ц, £„=¿„+¿0, ач=о,1+оч ,

где поля й„ £,г связаны только с дислокациями текущих конфигураций в

объеме V, который считается погруженным в бесконечный континуум, т.е. считается неподверженным действию внешних поверхностных сил Т:а = Су ■ п] и внешних смещений и'1. В свою очередь поля йп ёц, ац являются компенсационными, они соответствуют бездислокационному объему, ограниченному поверхностью Я, при этом, в соответствии с начальными и граничными условиями исходной задачи, начальные и граничные условия для бездислокационного объема выбираются на основе соотношений:

где смещения й1 и поверхностные силы ^ на поверхности 5 -интегральные характеристики, порождаемые текущими конфигурациями дислокаций, находящимися в объеме V, ограниченном поверхностью 5.

Поскольку для бездислокационного объема все деформации являются упругими, решение задачи для бездислокационного объема проводится в рамках классической механики сплошных сред, на основе метода конечных элементов в программной среде АИБУБ. При этом анализ развития полной деформации в объеме в условиях воздействия внешних нагрузок и смещений решается в соответствии со следующим алгоритмическим циклом:

1-ый этап (расчет дислокационного влияния)

Для заданной пространственной конфигурации дислокаций внутри объема V, в предположении отсутствия у объема свободной поверхности, воздействия полей внешних нагрузок и смещений, производится расчет порождаемых дислокациями полей йп ¿V, о^ на поверхности 5;

2-ой этап (реакция упругого бездислокационного континуума)

Для вычисленных на первом этапе значений Тп м, на поверхности S определяются фаничные условия % = -Тп й(=и°-й(, и средствами ANS YS решается краевая задача нахождения полей и,, £ц, &ц внутри объема

V;

3-ый этап (обновление дислокационных конфигураций)

На основании найденных полей и,, ¿ч, сгц, действующих внутри

объема V, производится анализ динамического поведения дислокаций и производится расчет их новых конфигураций.

Для обновленных пространственных конфигураций дислокаций осуществляется переход к 1-ому этапу, и циклическая процедура повторяется до тех пор, пока погрешность выполнения исходных граничных условий на поверхности S превышает порог задаваемой точности S.

Механическая энергия в процессе виртуального движения дислокации состоит из двух частей: 1) изменений упругой энергии среды за счет поля самой дислокации, т.е. изменения собственной энергии дислокации; 2) работы произведенной на перемещение дислокации в результате внешних и внутренних полей напряжений, исключая вклад полей напряжений, порождаемых самой дислокацией. Введение отображения криволинейного дислокационного сегмента на скалярный параметрический интервал {¿У е [0,1]} позволяет свести нахождение дислокационных полей напряжений к процедурам быстрого численного расчета квадратурных сумм. Сила Пича-Келера, действующая на произвольный дислокационный сегмент, может быть вычислена на основе суммарного поля внешних и внутренних напряжений в соответствии с выражением:

FPK = ab х7. (1)

Поскольку локальная кривизна дислокационного сегмента является реакцией на действие всех сил, включая силы дислокационного самодействия, эволюционное движение дислокационной петли можно определить с помощью вариационного уравнения:

№~Bakva)Srt\dI\ = 0, (2)

L

где F'k— компоненты результирующей силы, состоящей из силы Пича-Келера и силы самодействия; Вак- матрица резистивности; va — компоненты вектора скорости. При решении уравнения (2) целесообразно введение следующих безразмерных переменных:

-* - L ?* - __ * _ j"7 а jia В

(3)

где а- параметр решетки; г- время. С учетом (3), уравнение (2) приобретает вид:

jör'T

»\

} ~d7

\dV 1 = 0,

(4)

где величины / -[/^, г' =[^',г2*,г3']7 зависят от безразмерного *

времени т . При расчетах дислокационную петлю целесообразно разбить на N. сегментов и для концов каждого у-ого сегмента выбрать множество обобщенных координат дт, параметризирующих форму:

r' = CQ,

(5)

где С =[Сх(а),С2(со),...,Ст{со)\, СД<у), (/=1,2,...,/и) функциональные

формы, зависящие от параметра й) (0<й><1), 0,—\Ч\1Чг■¡—■>Чп$• Подстановка (5) в (4) дает:

N,

I

М L

dQ^

dV 1 = 0

(6)

Введение

/,= Jcr/*M'I, kj - jÖTC | dl'

и компоновка в соответствии с методом конечных элементов уравнении движения для всех смежных дислокационных сегментов в глобальные матрицы и вектора:

"> Л,

*=21.

>1 У=1

позволяет представить уравнение (6) в окончательном виде:

_Таким_образом,_операционно-вычислительная_модель__с_учетом_

декомпозиции задачи, позволяет проводить анализ эволюционных процессов изменения конфигураций криволинейных дислокаций и их движения на основании решения множества обыкновенных дифференциальных уравнений (7) с использованием программных средств аппарата метода конечных элементов.

Третья глава диссертации посвящена описанию разработанного программно-вычислительного комплекса (ПВК), предназначенного для исследования взаимодействия гибких криволинейных дислокаций со свободной поверхностью на основе ОВМ, интегрированной в вычислительную среду АЫБУЗ. ПВК функционирует на основе пяти модулей (см. рис. 1).

Первый модуль обеспечивает начальный ввод в заданный объем V с границей 5 исходных дислокаций £>/0), в соответствии с решаемыми задачами.

Рис. 1. Модульное представление ПВК

Второй модуль производит расчет необходимых полей, создаваемых на исследуемой границе 5 текущими конфигурациями дислокаций £)'•",

Третий модуль, в соответствии с концепцией декомпозиции ОВМ, средствами универсальной вычислительной среды АЫБУБ, производит расчет компенсационных полей в объеме V.

Четвертый модуль реализует возможные изменения текущих конфигураций дислокаций с учетом компенсационных полей, вычисляемых в третьем модуле.

Пятый модуль обеспечивает визуализацию и наглядное представление необходимых результатов в процессе функционирования комплекса.

Четвертая глава диссертации посвящена оптимизации параметров моделирования для анализа процессов взаимодействия КДП со свободной поверхностью. Здесь и далее рассмотрение проводилось применительно к ГПУ кристаллам, КДП размещались в плоскости базиса, упругие характеристики материала выбирались применительно к монокристаллам цинка. В соответствии с методикой моделирования на основе разработанного ПВК, расчет полей напряжений в объеме материала производился на основании аппроксимации значений полей вычисляемых в программной среде АКБУБ в узлах кубической сетки разбиения с ребром с - значение которого и являлось первым определяемым параметром моделирования. Вторым определяемым параметром моделирования являлся угол сегмента разбиения КДП - <р. Для оптимального выбора параметров с и (р производилось вычисление относительной ошибки расхождения результатов моделирования с результатами расчета на основании известных аналитических выражений для различных точек

азимутальный к оси ОХ угол, у = г/К. В силу симметрии внутренних полей создаваемых КДП, анализ проводился только в первом пространственном октане.

Для обеспечения репрезентативности выборки, поскольку порождаемые КДП поля характеризуется высокой степенью неоднородности, плотность распределения вдоль азимутального луча - функция Ли) выбиралась пропорциональной градиенту поля _Дм) =

0 = 0,1,2,...).

модельного объема - е{с,<р,и,ц/^) =

,аналит

.моделир

Л_

зг-gradcrJu), где эг =

Таким образом, в областях с

í4 У' ~ fgrado-,j(u)du

Vo J

высокими значениями градиента поля объем выборки становился большим, в то время как для областей характеризуемых медленным и незначительным пространственным изменением поля объем выборки оказывался незначительным.

Совокупность полученных результатов (см. таблицу) позволила установить, что значения параметров с и <р, равные соответственно Л/8 и тг/32 оказываются оптимальными, при этих значениях модельные характеристики полей КДП в полной мере адекватны соответствующим характеристикам, полученным на основании аналитических методов и дальнейшее уменьшение данных параметров представляется нецелесообразным.

Значения среднего (е), среднеквадратического отклонения (сг(г)) и третьего центрального момента (Мз(£)) в распределениях относительной ошибки при различных значениях параметров си<р

ч> с

R/3 R/5 R/ 8 Л/10

л/4 ё=63,2±4,8 =26,1 ±1,9 >и3(г)=2,7±0,3 - - -

л/8 - е=45,Ш,2 ет(гг)=17,4±1,3 2,1±1,6 £=36,6±3,1 сг(£-)=14±1,2 цг(е)=2,6±0,2 -

л/16 - г=12,6±1,4 а(е) =4,7±3,8 /¿,(£-)=2,0±1,8 - -

я/32 - - £ =3,4±0,3 cr(f)=l,3±0,l //3(c)=l,0±0,l е=2,8±0,3 сг(е)=1,0±0,1 //3(г)=0,9±0,1

гг/64 - - е"=2,1±0,2 сг(£)=0,8±0,1 =0,7*0,1 -

Пятая глава диссертации посвящена анализу реакции свободной поверхности на поля внутренних напряжений, создаваемые КДП. Анализ совокупности полученных результатов позволил установить, что реакция

свободной поверхности начинает проявляться, когда КДП отстоят от свободной поверхности на расстоянии не более половины своего радиуса. По мере дальнейшего сближения реакция свободной поверхности прогрессирует, что может проявляться как на полевом, так и на силовом уровнях. В результате реакции свободной поверхности, в пространстве над КДП и в небольшом слое под ними, полевые поверхности равного уровня претерпевают деформацию. В частности, поверхности нулевого уровня, которые ранее выстилались вдоль плоскости у=0, теперь трансформируются в конические поверхности, с неподдающимися простому аналитическому описанию образующими, касательные к которым составляют с осью V тупые углы, с увеличивающимися по мере сближения значениями. Расчет сил реакции свободной поверхности, выполненный в соответствии с ОВМ для различных значений V и Я, позволил установить, что физически значимые значения сил, выраженные в относительных единицах силы самодействия, начинают появляются лишь когда расстояние между КДП и свободной поверхностью становиться менее 0,2Я. При этом, во всем рассмотренном диапазоне значений Я, изменяющемся от ЮОЬ до 500Ь, независимо от Л, уменьшение расстояния от 0,2 Л до 0,02 Д сопровождается ростом относительных сил и их компонент (нормальной и компланарных к плоскости залегания КДП) от десятых долей до значений близких к единице.

В шестой главе диссертации проведено моделирование процессов взаимодействия хаотических ансамблей КДП со свободной поверхностью. В исследуемых процессах вероятность перекрытия внутренних полей, создаваемых отдельными КДП, может быть значительной, что требует предварительного анализ особенностей парного взаимодействия КДП.

Путем параметрического изменения в плоскости ХОУ расстояния и, -разности между центрами дислокационных петель в проекции на плоскость V =0, были получены и проанализированы зависимости сил парного полевого воздействия КДП от координаты V. Полученные результаты позволили установить существование двенадцати характерных зон полевого влияния парного взаимодействия КДП. В силу описанной ранее симметрии полей внутренних напряжений, создаваемых краевой дислокационной петлей, из двенадцати зон полевого влияния краевых дислокационных петель содержательно различными являются четыре. Карта зон полевого влияния КДП представлена на рис. 2, где центр безразмерной системы координат иОУ совмещен с центром дислокационной петли, краям которой соответствуют точки (-1; 0), (1;0), а содержательно различные зоны, каждая из которых представляет собой совокупность месторасположения центра второй дислокационной петли, обозначены буквами А, В, С и Б.

Краевая дислокационная петля, попадая в области определяемые зонами А; (! = 1, 2, 3, 4), в результате полевого воздействия оказывается вовлеченной в процесс скольжения вдоль цилиндрической поверхности, образованной контуром петли и ее вектором Бюргерса, который продолжается вплоть до достижения петлей плоскости v=0, после чего петля попадает в область устойчивого равновесия и ее движение прекращается.

Рис. 2. Схема зон полевого влияния КДП при парном взаимодействии

Зоны С| 0 = 1, 2, 3, 4) характеризуются противоположным влиянием полевого воздействия. Если центр дислокационной петли попадает в области определенные зонами С;, дислокационная петля оказывается вовлеченной в процесс скольжения вдоль цилиндрической поверхности, образованной контуром петли и ее вектором Бюргерса в направлении от плоскости у=0, который продолжается вплоть до выхода петли из соответствующей зоны.

Если центр дислокационной петли оказывается расположенным в зонах В;, (I = 1, 2), дислокационные петли скользят по цилиндрической поверхности, образованной контуром петли и ее вектором Бюргерса, в

направлении конических поверхностей, которым в плоскости иОУ на рис. 2 отвечают прямые у=м-1, у=-м-1 (¡=1), у=ы+1, у=-и+1 (1 = 2), а после их пересечения попадают в область устойчивого равновесия.

Дополнительный анализ парного взаимодействия КДП позволил установить, что в том случае, когда цилиндрические поверхности скольжения двух КДП пересекаются и расстояние между их осями оказывается меньше половины значения наибольшего из радиусов, парное взаимодействие может привести к зарождению поры. Для реализации данного механизма требуется работа внешних сил, что может быть реализовано в условиях действия внешней сдвиговой нагрузки в непосредственной близости от свободной поверхности. С целью установления количественных закономерностей отмеченного эффекта было проведено моделирование взаимодействия хаотических ансамблей КДП со свободной поверхностью.

Моделирование проводилось при следующих предположениях. Модельный объем представлял собой прямоугольный параллелепипед, основанием которого служил квадрат со стороной 25-10'6м, а верхняя грань представляла собой свободную поверхность. КДП с вектором Бюргерса нормальным к свободной поверхности размещались в приповерхностном слое толщиной 3-1 О^м, координаты их центров в модельном объеме задавались случайным образом, а распределение по радиусам выбиралось в соответствии с известными экспериментальными данными, при этом значение среднего радиуса составляло 1,810"7м. Моделирование проводилось для трех вариантов со значениями объемной плотности и(/=5-101бм"3, л,,=1-10|7м"3 и лк=1,5-1017м'3. Уровень внешней сдвиговой нагрузки выбирался из интервала значений [0,00001-Ю,003] 0, что, с одной стороны, позволяло КДП преодолевать барьер Пайерлса и скользить вдоль цилиндрической поверхности, образованной ее вектором Бюргерса и контуром, а, с другой стороны, такой уровень внешней нагрузки не позволял КДП преодолевать барьер Гриффитса и выходить на свободную поверхность (сохраняя ее в приповерхностном слое).

Результаты проведенного моделирования показали (см. рис. 3), что линейный рост плотности КДП сопровождается не менее чем степенным ростом образующихся приповерхностных пор. Таким образом, даже не смотря на ограничения рассмотренной модели, связанные, в частности, с отсутствием учета влияния других дефектов, затрудняющих движение КДП, вероятность образования пор в соответствии с рассмотренным механизмом следует считать достаточно высокой.

Рис. 3. Приповерхностные узоры КДПдля слоев /г1" (а,б), /¡12)(в,г), й(:"(д,е) до (а,в,д) и после (б,г,д) образования пор

13

! ¡1

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Разработана математическая модель, методика моделирования и программное обеспечение для исследований процессов взаимодействия краевых дислокационных петель со свободной поверхностью при строгом учете тонкой структуры полей внутренних напряжений, создаваемых краевыми дислокационными петлями.

2. Проведен детальный анализ влияния параметров моделирования на статистические характеристики полей внутренних напряжений, создаваемых краевыми дислокационными петлями. На основе сравнения результатов моделирования с известными аналитическими данными определены оптимальные параметры моделирования.

3. На основе разработанных моделей и методик моделирования проведено исследование процессов взаимодействия краевых дислокационных петель со свободной поверхностью. Всесторонне изучены статистические характеристики рассматриваемого процесса (изменения полей внутренних напряжений, силы реакции свободной поверхности и др.) и их зависимости от пространственно-ориентационных параметров системы.

4. Впервые, при строгом учете тонкой структуры полей внутренних напряжений, детально исследован процесс парного взаимодействия краевых дислокационных петель. Установлено существование двенадцати пространственных областей взаимного расположения краевых дислокационных петель, для которых выявлены четыре характерных типа эволюционного развития парного взаимодействия.

5. Впервые, при строгом учете тонкой структуры полей внутренних напряжений, проведено моделирование процесса взаимодействия хаотического ансамбля краевых дислокационных петель со свободной поверхностью в условиях воздействия внешней сдвиговой нагрузки; показано, что реализация данного процесса приводит к образованию приповерхностных пор.

Основные результаты диссертации отражены в следующих работах:

1. Логинов Б.М., Белов Ю.С., Смирнов A.A. Операционно-вычислительная модель квазидинамического дислокационного моделирования // Труды МГТУ. - 2007. - Т. 594. - С.162-168.

2. Программный комплекс для исследований взаимодействия свободной поверхности с дислокационными скоплениями / Б.М. Логинов, Ю.С. Белов, Чжо Хтун и др. // Наукоемкие технологии. - 2009. - №4. - С. 38.

3. Белов Ю.С. Оптимизация параметрических характеристик вычислительной среды Ansys при расчете взаимодействия дислокационных скоплений со свободной поверхностью // Наукоемкие технологии в приборо- и машиностроении и развитие инновационной

деятельности в вузе: Материалы Всероссийской научно-технической конференции. - М., 2008. - Т. 2. - С. 55-63.

4. Белов Ю.С., Арсентьев Н.К. Визуализация результатов влияния свободной поверхности на поля внутренних напряжений в кристаллах с дислокациями // Наукоемкие технологии в приборо- и машиностроении и развитие инновационной деятельности в вузе: Материалы Всероссийской научно-технической конференции. - М., 2008. - Т. 2. -С. 41-44.

5. Белов Ю.С., Кореньков Д.П. Динамическая интеграция операционно-вычислительной модели в вычислительную среду Ansys // Наукоемкие технологии в приборо- и машиностроении и развитие инновационной деятельности в вузе: Материалы Всероссийской научно-технической конференции. - М., 2008. - Т. 2. - С. 45-49.

6 ._Логинов Б.М., Белов Ю.С. Моделирование сил реакции свободной

поверхности для краевых дислокационных петель на основе операционно-вычислительной модели // Труды МГТУ. - 2008. - Т.596. -С. 89-98.

7. Логинов Б.М., Белов Ю.С. Моделирование процессов парного взаимодействия краевых дислокационных петель // Труды МГТУ. -2008.-Т. 596.-С. 84-88.

8. Белов Ю.С., Кореньков Д.П. Особенности моделирования парного взаимодействия краевых дислокационных петель // Актуальные проблемы фундаментальных наук / Под ред. проф. К.Е. Демихова. - М.: НТА, 2009. - Т.6, 4.2. - С.207-208.

9. Белов Ю.С. Анализ процессов взаимодействия краевых петель со свободной поверхностью в условиях внешнего воздействия // Наукоемкие технологии в приборо- и машиностроении и развитие инновационной деятельности в вузе: Материалы Юбилейной региональной научно-технической конференции. - М., 2009. - Т.1. -С. 239-240.

10. Белов Ю.С. Моделирование процессов образования приповерхностных пор // Наукоемкие технологии в приборо- и машиностроении и развитие инновационной деятельности в вузе: Материалы Юбилейной региональной научно-технической конференции. - М., 2009. - Т.1. -С. 244-246.

Белов Юрий Сергеевич

Моделирование процессов взаимодействия краевых дислокационных петель со свободной поверхностью

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 24.04.009г. Формат бумаги 60x84 1/16. Бумага типографская № 2. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1.0. Уч.-изд. л. 1.0. Тираж 100 экз. Заказ № 023-80-05.

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Калужский филиал 248600, г. Калуга, ул. Баженова, 2.

ВВЕДЕНИЕ.

1. ОБЗОР СОСТОЯНИЯ СОВРЕМЕННЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ДИСЛОКАЦИОННЫХ ПЕТЕЛЬ СО СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ.

1.1. Поля напряжений круговой дислокационной петли с произвольным вектором Бюргерса в бесконечной среде.

1.2. Поля напряжений краевой дислокационной петли в бесконечной среде.

1.3. Поля напряжений и смещений дислокационных петель произвольной формы в пластине.

1.4. Поля напряжений и смещений круговых дислокационных петель в пластине.

1.5. Поля напряжений и смещений краевых дислокационных петель в пластине.

2. ОПИСАНИЕ ИСПОЛЬЗОВАННЫХ МОДЕЛЕЙ.

2.1. Операционно-вычислительная модель.

2.2. Параметрическое описание полей криволинейных дислокационных сегментов.

2.3. Параметрическое описание эволюции дислокационных сегментов.

3. ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ ДИСЛОКАЦИОННЫХ СКОПЛЕНИЙ

СО СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ.

3.1. Структура программного комплекса.

3.2. Модуль создания дислокационного скопления.

3.3. Модуль расчета полей, создаваемых дислокационными ансамблями на границе объема.

3.4. Модуль расчета полей в объеме материала.

3.5. Модуль расчета эволюции дислокационного ансамбля.

3.6. Модуль визуализации результатов.

4. СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ЗАВИСИМОСТИ ХАРАКТЕРИСТИК ПОЛЕЙ ВНУТРЕННИХ НАПРЯЖЕНИЙ ОТ ПАРАМЕТРОВ' МОДЕЛИРОВАНИЯ.

4.1. Описание модели.

4.2. Сравнительный анализ' азимутальной и радиальной зависимостей вычислительных характеристик полей напряжений краевой петли.

4.3. Сравнительный анализ зависимости характеристик полей напряжений краевой петли от значений параметров си.р.

4.4. Сравнительный анализ зависимости характеристик полей напряжений краевой петли от значений параметра v

5. МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ КРАЕВОЙ ПЕТЛИ СО СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ.

5.1. Методические особенности и параметры моделирования.

5.2. Влияние свободной поверхности на поля внутренних напряжений, порождаемых краевой дислокационной петлей.

5.3. Анализ сил реакции свободной поверхности на краевую дислокационную петлю.

5.4. Анализ влияния внешней сдвиговой нагрузки на особенности взаимодействия краевой петли со свободной поверхностью.

6. МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ХАОТИЧЕСКОГО АНСАМБЛЯ КРАЕВЫХ ПЕТЕЛЬ СО СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ.

6.1. Методические особенности и параметры моделирования.

6.2. Результаты анализа парного взаимодействия краевых петель без учета влияния свободной поверхности.

6.3. Анализ парного взаимодействия краевых петель с учетом влияния свободной поверхности.

6.4. Моделирование взаимодействия хаотических ансамблей краевых петель со свободной поверхностью.

Краевые дислокационные петли в большом количестве образуются в кристаллических материалах в результате радиационного облучения. Высокие концентраций дислокационных петель приводят к разбуханию и катастрофической потере прочности материала, что наблюдается, например, в результате длительной эксплуатации конструкционных материалов в атомной энергетике.

Любые реальные конденсированные среды ограничены внешними поверхностями и могут иметь внутренние границы раздела. С учетом современных тенденций развития технологий микро- и нано- электроники и тонкопленочных материалов, проблема анализа различных аспектов взаимодействия дислокационных, образований со свободной поверхностью несомненно является практически важной и актуальной.

Математический аппарат теории дислокаций позволяет рассчитывать поля смещений и напряжений для любых дислокационных конфигураций в приближении бесконечной среде. Аналитические решения для дислокационных полей в случае ограниченной среды удается получить лишь для отдельных частных случаев. Таким образом, для адекватного анализа разнообразных аспектов взаимодействия дислокаций со свободной поверхностью необходима разработка эффективных методов решения граничных задач теории дефектов.

Настоящая работа посвящена разработке моделей и методов исследования взаимодействия гибких криволинейных дислокаций со свободной поверхностью и анализу процессов взаимодействия краевых дислокационных петель со свободной поверхностью. Моделирование проводилось применительно к кристаллам с ГПУ кристаллам. Такой выбор, наряду с практической важностью этих структур, обусловлен наличием ряда надежных данных относительно влияния свободной поверхности на дислокационные петли.

Целями диссертационной работы являлись: построение физических моделей и методик моделирования процессов взаимодействия гибких криволинейных дислокаций со свободной поверхностью; исследование средствами моделирования процессов взаимодействия краевых дислокационных петель со свободной поверхностью применительно к ГПУ кристаллам.

Научная новизна работы состоит в следующем: разработана оригинальная операционно-вычислительная модель (ОВМ) полевого динамического взаимодействия гибких криволинейных дислокаций со свободной поверхностью; разработан программно-вычислительный комплекс, интегрирующий ОВМ в программную среду ANSYS для исследований процессов взаимодействия краевых дислокационных петель со свободной поверхностью; при строгом учете тонкой пространственной структуры полей внутренних напряжений, создаваемых краевыми дислокационными петлями, проведено моделирование процессов взаимодействия краевых дислокационных петель со свободной поверхностью; получены основные характеристики процессов взаимодействия краевых дислокационных петель со свободной поверхностью и проведен анализ их зависимости от пространственно-ориентационных параметров системы; детально исследован процесс парного взаимодействия краевых дислокационных петель без учета и с учетом влияния свободной поверхности и установлено существование двенадцати пространственных областей взаимного расположения краевых дислокационных петель, для которых выявлены четыре типа эволюционного развития парного взаимодействия; установлено, что в процессе взаимодействия хаотического ансамбля краевых дислокационных петель со свободной поверхностью в условиях воздействия внешней сдвиговой- нагрузки возникают условия для образования приповерхностных пор.

Теоретическая и практическая ценность работы состоят в том, что в работе предложен новый подход к решению задачи взаимодействия дислокационных петель со свободной поверхностью на основе интеграции авторской операционно-вычислительной модели в высокоэффективную программно-вычислительную среду ANSYS. Развитые в работе методы моделирования позволяют точно учитывать пространственно-геометрические характеристики системы, адекватно воспроизводить гибкие свойства дислокаций и тонкую структуру внутренних полей обуславливающих данный вид взаимодействия. Практическая ценность работы заключается также в том, что полученные в ней результаты и развитые методы могут быть использованы для количественного анализа широкого круга вопросов физики свободной поверхности, тонкопленочной техники и стимулируют постановку и проведение новых вычислительных и экспериментальных исследований граничных задач взаимодействия дислокаций.

Достоверность результатов работы обусловлена корректной постановкой задачи, применением математически обоснованных методов ее решения, сравнением результатов с известными аналитическими данными.

На защиту выносятся следующие положения:

- результаты исследования средствами моделирования физических процессов взаимодействия краевых дислокационных петель со свободной поверхностью в условиях воздействия внешней сдвиговой нагрузки;

- операционно-вычислительная модель полевого динамического взаимодействия гибких криволинейных дислокаций со свободной поверхностью;

- методика моделирования физических процессов взаимодействия гибких дислокаций со свободной поверхностью, на основе интеграции разработанной операционно-вычислительной модели в программно-вычислительную среду ANSYS.

Апробация результатов. Результаты диссертационной работы докладывались на конференциях:

1. Региональной научно-технической конференции «Прогрессивные технологии, конструкции и системы в приборо- и машиностроении» (МГТУ им.Н.Э.Баумана, Москва, 2004);

2. Региональных научно-технических конференциях «Наукоемкие технологии в приборо- и машиностроении и развитие иновационно деятельности в вузе» (МГТУ им.Н.Э.Баумана, Москва, 2006, 2007, 2008, 2009);

3. Всероссийской научно-технической конференции «Прогрессивные технологии, конструкции и системы в приборо- и машиностроении» (МГТУ им.Н.Э.Баумана, Москва, 2005);

4. Всероссийских научно-технических конференциях «Наукоёмкие технологии, в приборо- и машиностроении и развитие инновационной деятельности в вузе» (МГТУ им.Н.Э.Баумана, Москва, 2006, 2007, 2008, 2009).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Впервые, при строгом учете тонкой структуры полей внутренних напряжений, проведено исследование процесса взаимодействия хаотического ансамбля краевых дислокационных петель со свободной поверхностью в условиях воздействия внешней сдвиговой нагрузки и показано, что реализация данного процесса приводит к образованию приповерхностных пор.

2. Разработана математическая модель, методика моделирования и программное обеспечение для исследования физических процессов взаимодействия краевых дислокационных петель со свободной поверхностью при учете тонкой структуры полей внутренних напряжений, создаваемых краевыми дислокационными петлями.

3. Проведен детальный анализ влияния параметров моделирования на статистические характеристики полей внутренних напряжений, создаваемых краевыми дислокационными петлями. На основе сравнения результатов моделирования с известными аналитическими данными определены оптимальные параметры моделирования.

4. На основе разработанных моделей и методик моделирования проведено исследование процессов взаимодействия краевых дислокационных петель со свободной поверхностью. Всесторонне изучены статистические характеристики рассматриваемого процесса (изменения полей внутренних напряжений, силы реакции свободной поверхности и др.) и их зависимости от пространственно-ориентационных параметров системы.

5. Впервые, при исследовании процесса парного взаимодействия краевых дислокационных петель, установлено существование двенадцати пространственных областей взаимного расположения краевых дислокационных петель, для которых выявлены четыре характерных типа эволюционного развития парного взаимодействия.

1. Eshelby J.D. The mechanics of defects and inliomogeneities. Solid mechanics and its applications. Berlin: Springer, 2006. - 940 p.

2. Хирт Дж., Лоте И. Теория дислокаций. М.: Атомиздат, 1972. - 599 с.

3. Фридедь Ж. Дислокации. М.: Мир, 1967. - 644 с.

4. Хоникомб Р. Пластическая деформация металлов. М.: Мир, 1972. -408 с.

5. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984.-256 с.

6. Шифрин Е.И. Пространственные задачи линейной механики разрушения. М.: Физматлит, 2002. - 368 с.

7. Колмогоров B.JI. Пластичность и разрушение. М.: Металлургия^ 1977. -337 с.

8. Thomson R. Physics of fracture // Solid State Physics. 1986. - V.39: - P. 1129.

9. Suo. Z. Singularities interacting with interface and cracks // International Journal of Solids and Structures. 1989. - V.25. - P. 1133-1142.

10. Suo Z. Singularities, interfaces and cracks in dissimilar anisotropic media // Proceedings of the Royal of Society of London. 1990. -V.A427. - P. 331-358.

11. Fracture mechanics for piezoelectric ceramics / Z. Suo, C.M. Kuo, D.M. Barnett et al. // Mechanics and Physics of Solids. 1992. - V.40. - P. 739765.

12. Zhang T.Y, Zhao M., Tong P. Fracture of piezoelectric ceramics // Advances on Applied Mechanics. 2001. - V.38. - P. 147-289.

13. Pak Y.E. Force on a piezoelectric screw dislocation // Applied Mechanics. -1990,- V.57.-P. 863-869.

14. Lee K.Y., Lee W.G., Pak Y. E. Interaction between a semi-infinite crack and a screw dislocation in a piezoelectric material // Applied Mechanics. 2000.-V.67.-P. 165-170.

15. Chen B.J, Xiao Z.M., Liew K.M On the interaction between a semi-infinite anti-crack and a screw dislocation in piezoelectric solid // International Journal of Solids and Structures. 2002. - V.39. - P. 1505-1513.

16. Kwon K.K., Lee K.Y. Electromechanical effects of a screw dislocation around a finite crack in a piezoelectric material // Applied Mechanics. 2002. -V.69.-P. 55-62.

17. Soh A.K., Liu J.X., Fang D.N. A screw dislocation interacting with an interfacial crack in two dissimilar piezoelectric media // Physica Status Solidi. 2002. - V.232. - P. 273-282.

18. Exadaktylos G.E., Aifantis E.C. Two and three dimensional crack problems in gradient elasticity // J. Mech. Behaviour of Materials. 1996. - V.7, №1. -P. 93-117.

19. Altan B.S., Aifantis E.C. On some aspects in the special theory of gradient elasticity // J. Mech. Behavior of Materials. 1997. - V.8, №3. - P. 231-282.

20. Белов А.Ю., Чамров В.А. О влиянии поверхности на упругие поля и электронно-микроскопические изображения наклонных дислокаций // Металлофизика. 1987. - Т. 9, №3. - С.68-78.

21. Vladimirov A.F., Moos E.N. Development of Eshelby concept in the solution of boundary problems for elastic solids with defects // Phys. stat. sol. (a). -1989. V.lll, №1. - p. 99-108.

22. Gutkin M.Yu., Romanov A.E. Misfit dislocations and surface effects // Trans. Mat. Res. Soc. Jpn. 1994. - V.16B. -P. 1349-1352.

23. Size effects of dislocation stability in nanocrystals / V.G. Gryaznov, I.A. Polonsky, A.E. Romanov et al. // Phys. Rev. B. 1991. - V.44, №1. - P. 4246.

24. Gutkin M.Yu. Nanoscopics of dislocations and disclinations in gradient elasticity // Reviews of Advances in Materials Science. 2000. - V.l, №1. -P. 27-60.

25. Ru C.Q., Aifantis E.C. A simple approach to solve boundary-value problemsin gradient elasticity // Acta Mechanica. 1993. - V.101, №1. - P. 59-68.

26. Gutkin M.Yu., Kolesnikova A.L., Romanov A.E. Misfit dislocations and other defects in thin films // Mater. Sci. Eng. 1993. - V.164, №1. - P. 433437.

27. Elastic fields of dislocations piercing the interface of anisotropic bicrystal / A.J. Belov, V.A. Chamrov, V.L. Indenbom et al. // Phys.stat. sol. (b). -1983,-V.119,№2.-P. 565-578.

28. Romanov A.E., Vladimirov V.I. Straight wedge disclination near a free surface //Phys. stat. sol. (a). 1980. - V.59, №2. - P. 159-163.

29. Gutkin M.Yu., Romanov A.E. On behaviour of dislocations in thin films // Mater. Sci. Forum. 1990. - V.62. - P. 725-726.

30. Gutkin M.Yu., Romanov A.E. Straight edge dislocations in a thin twophase plate. II. Impurity-vacancy polarization of plate, interaction of a dislocation with interface and free surface // Phys. stat. sol. (a). 1992. - V.129, №2. -P. 363-377.

31. Direct bonding of silicon wafers with grooved surfaces: characterization of defects and application to high power devices / I.V. Grekhov, T.S. Argunova, M.Yu. Gutkin et al. // Mater. Sci. Forum. 1995. - V.196, pt. 4. - P. 18531858.

32. Interfacial properties of silicon structures fabricated by vacuum grooved surface bonding technology / T.S. Argunova, L.S. Kostina, T.V. Kudryavtseva et al. // Jap. J. Appl. Phys. 1998. - V.37, №12A. - P. 6287-6289.

33. Structural and electrical quality of silicon bicrystals fabricated by a modified direct bonding teclmique / T.S. Argunova, M.Yu. Gutkin, L.S. Kostina et al. // Solid State Phenomena. 1999. - V.69. - P. 491-496.

34. Vandersally J. A., Wirthz B. D. Supersonic dislocation stability and nano-twin formation at high strain rate // Phil. Mag. 2004. - V.84, №35. -P.3755-3769.

35. Wu X.F., Dzenis Y.A., Zou W.S. Screw dislocation interacting with aninterfacial edge crack between two bonded dissimilar piezoelectric wedges // International Journal of Fracture. 2002. - V.l 17. - P. 9-14.

36. Wu X.F., Cohn S., Dzenis Y.A. Screw dislocation interacting with interface and interfacial cracks in piezoelectric bimaterials // International Journal of Engineering Science. 2003. - V.41. - P. 667-682.

37. Wu X.F., Dzenis Y.A., Fan T.Y. Screw dislocation interacting with twin interfacial edge cracks between two bonded dissimilar piezoelectric strips //Mechanics Research Communications. 2003. - V.30. - P. 547-555.

38. Xiangfa Wu., Bradley D., Rinschen D. Screw dislocation interacting with interfacial edge-cracks in piezoelectric bimaterial strips // International Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation. 2004. - V.5, №4. -P. 341-346.

39. Soh A.K., Liu J.X., Hoon K.H. 3-D Green's functions for transversely isotropic magneto- electro- elastic solid // International Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation. 2003. - V.4. - P. 139-148.

40. Liu X.L., Liu J.X., Liu J. Green's function for a semi-infinite piezoelectric bimaterial strip with an interfacial edge crack // International Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation. 2004. - V.5. - P. 61-66.

41. Liu J.X. Screw dislocation in two dissimilar piezoelectric layers // Physica Status Solidi. 2004. - V.241. - P. 298-304.

42. Li X.F., Fan T.Y. Mode-Ill interface edge crack between bonded quarter-planes of dissimilar piezoelectric materials // Archive of Applied Mechanics. 2001. - V.71. - P. 703-714.

43. Li X.F., Duan X.Y. Electroelastic analysis of a piezoelectric layer with electrodes // International Journal of Fracture. 2001. - V. 111. - P. 73-78.

44. Li X.F, Duan X.Y. Closed-form solution for a mode-Ill crack at the mid-plane of a piezoelectric layer // Mechanics Research Communications. -2001,-V.28.-P. 703-710.

45. Eshelby J.D. Boundary problems // Dislocations in Solids. Amsterdam: Elsevier, 1979. - V.l. -P.167-221.

46. Lothe J. Dislocations in anisotropic media // Elastic Strain Fields and Dislocation Mobility ed. Amsterdam: Elsevier, 1992. - P.269-328.

47. Alshits V.I., Kirchner H.O.K., Maugin G.A. Elasticity of multilayers. Properties of the propagator matrix and some applications // Mathematics and Mechanics of Solids. 2001. - V.6, №5. -P.481-502.

48. Колесникова А.Л., Романов A.E. Круговые дисклокационно-дисклинационные петли и их применение к решению граничных задач теории дефектов. Л.: ФТИ, 1986. - 62 с. (Препринт ФТИ им. А.Ф. Иоффе АН СССР, №1019).

49. Kroner Е. Kontinuumstheorie der verzetzungen und eigen spannungen // Erg. Angew. Math. 1958. - №5. - S. 1-179.

50. Де Вит P. Континуальная теория стационарных дислокаций. М.: ИЛ, 1963.-252 с.51'. Peach М.О., Koehler J.S. The forces exerted on dislocations and stress fields produced by them // Phys. Rev. 1950. - V.80, №3. - P.436-439.

51. Marcinkowski M.J., Sree Harsha K.S. Properties of finite circular dislocation glide loops // J. Appl. Phys. 1968. - V.39, №3. - P.1775-1783.

52. De Chatel F., Kovacs I. The stability and line tension of a general dislocation loop in an isotropic medium // Phys. Stat. Sol. 1965. - V. 10, №1. - P.213-222.

53. Kroupa F. Circular edge dislocation loop // Czech. J. Phyc. 1960. - V.10, №4. -P.264-293.

54. Bullough R., Newman R.C. The spacing of prismatic dislocation loops // Phil. Mag. 1960. - V.5, №57. - P.921-926.

55. Eshelby J.D., Stroh A.N. Dislocations in thin plates // Phil. Mag. 1951. -V.42, №335. - P.1401-1405.

56. Leibfried G., Dietze H. Zur theorie der schraubenversetzung // Zeitschrift fiiir Physic. 1949. - Bd.l263№10/12. - S. 790-808.

57. Gutkiri M.Yu., Mikaelyan K.N., Aifantis E.C. Screw dislocation near interface in gradient elasticity // Scripta mater. 2000. - V.42. - P. 1365

58. Гуткин М.Ю., Микаелян К.Н., Айфантис Е.С. Поведение винтовых . дислокаций' у межфазных границ в градиентной теории упругости // ФТТ. 2000. - Т.42, №9. - С.1606-1612.

59. Chou Y.T. Planar stress field of a dislocation in anisotropic plate // J. Appl. Phys. 1963. - V.34, №12. - P.3608-3614.

60. Белов А.Ю. Поля1 смещений и напряжений прямолинейных дислокаций в анизотропной пластине // Кристаллография. 1987. - Т. 32, вып. 3. -С.550-558.

61. Nabarro F.R.N., Kostlan E.J'. The stress field of a dislocation lying in the plate // J. Appl. Phys. 1973. - V.49, №11. - P.5445-5448.

62. Marcinkowski M.J. The surface dislocations a universal concept // Phys. stat. sol. (a). 1980. - V.60, №1. -P. 109-116.

63. Lothe J., Indenbom V.L., Chamrov V.A. Elastic fields of dislocations emerging at the free surface of an anisotropic half-space // Phys. stat. sol. (b). 1982. - V.lll, №2. -P. 671-677.

64. Kroupa F. Napeti a deformace v nekonecnem pasu zpucobene hranovou dislokaci // Aplicate Matematiky. 1959. - V.4, №5. - P.239-254. ,

65. Nabarro. F.R.N., Kostlan E.J. The stress field of a dislocation lying in a plate // J: Appl. Phys. 1978. - V.49; №11. - P.5445-5448.

66. Колесникова A.JI., Романов A.E. Краевая дислокация, перпендикулярная поверхности пластины // Письма ЖТФ. 1987. - Т. 13, №11. - С.656-660.

67. Микаелян К.Н., Гуткин М.Ю., Айфантис Е.С. Краевые дислокации у межфазных границ в градиентной теории упругости // ФТТ. 2000. -Т. 42, №9. - С.1613-1620.

68. Hecker М., Romanov A.E. The stress fields of an edge dislocation near a wedge-shaped boundaiy // Phys. stat. sol. (a). 1992. - V.130, №1. - P. 91101.

69. Gutkin M.Yu., Romanov A.E. Straight edge dislocations in a thin twophase plate // Phys. stat. sol. (a): 1991. - V.125, №1. - P.107-125.

70. Kubo R., Ishii H., Saito K. About the field of tensions of circular prismatic loop in a plate // Trans. Jap. Society Mechan. Eng. 1976. - V.42, №354. - P.359-365.

71. Chou Y.T., Eshelby J.D. The energy and line tension of a dislocation in a hexagonal crystal // J. Mech. Phys. Solid. 1962. - V.l0, №1. - P.27-34.

72. Chou Y.T. The energy of circular dislocation loops in thin plates // Acta Metall. 1963. - V.l 1, №8. - P.829-834.

73. Бушуева Г.В., Хомякова Р.Д., Предводителев A.A. Поле напряжений круговой дислокационной петли с произвольным вектором Бюргерса II Вестник МГУ. Физика, астрономия. 1974. - №3. - Р.329-334.

74. Поля напряжений дислокационных конфигураций в изотропной пластине / Г.В. Бушуева, А.А. Предводителев, Р.Д. Фролова и др. // Прикладная математика и механика. 1980. - Т.ЗЗ, №4. - С.761-767.

75. Фролова Р.Д., Бушуева Г.В., Предводителев А.А. Поля напряжений некоторых плоских дислокационных конфигураций в изотропной пластине // Материаловедение (физика и химия конденсированных сред). Воронеж: ВГУ, 1977. - 64 с.

76. Логинов Б.М., Белов Ю.С., Смирнов А.А. Операционно-вычислительная модель квазидинамического дислокационного моделирования // Труды МГТУ. 2007. - Т. 594. — С.162-168.

77. Программный комплекс для исследований взаимодействия свободной поверхности с дислокационными скоплениями / Б.М. Логинов, Ю.С. Белов, Чжо Хтун и др. // Наукоемкие технологии. 2009. - №5. -С.3-7.

78. Abaqus инженерные программы. Электронный ресурс. (http://www.tesis.com.ru/software/abaqus/). Проверено 17.04.2009.

79. Engineering Simulation Solution from Ansys, Inc. Электронный ресурс. (http://www.ansvs.com/solutions/default.asp). Проверено 17.04.2009.

80. Рынков С.П. MSC Visual NASTRAN для Windows. M.:HT Пресс, 2004. - 552 с.

81. Морозов Е.М., Муйземнек А.Ю., Шадский А.С. ANSYS в руках инженера: Механика разрушения. М.: ЛЕНАНД, 2008. - 456 с.

82. Предводителев А.А., Ничуговский Г.И. Моделирование движения дислокаций через дислокационный лес // Кристаллография. 1972. -Т. 17, №1. - С.166-171.

83. Предводителев А.А., Ничуговский Г.И., Веселов В.И. Моделирование движения дислокаций через дислокационный лес. Материаловедение. -Воронеж: ВГУ, 1975. 64 с.

84. Логинов Б.М., Ничуговский Г.И., Предводителев А.А. Моделирование движения цуга дислокаций через дислокационный лес // Известия Вузов. Физика. 1979. -№11. - С.97-103.

85. Логинов Б.М., Белов Ю.С. Моделирование сил реакции свободной поверхности для краевых дислокационных петель на основеоперационно-вычислительной модели // Труды МГТУ. 2008. - Т. 596. -С.89-98.

86. Логинов Б.М., Белов Ю.С. Моделирование процессов парного взаимодействия краевых дислокационных петель // Труды МГТУ. -2008.-Т. 596. С.84-88.

87. Белов Ю.С., Кореньков Д.П. Особенности моделирования парного взаимодействия краевых дислокационных петель // Актуальные проблемы фундаментальных наук / Под ред проф. К.Е. Демихова. М.: НТА. - 2009. - Т.6, ч.2. - С.207-208.

88. Chen Z., Loretto М.Н. Cochrane R. Nature of large precipitates in titanium containing HSLA steels // Materials Science and Technology. 1987. - V.3. -P.836-844.

89. Jossang Т., Hirth J.P. The Energies of Stacking Fault Tetrahedra* in>F.C.C. Metals // Phil. Mag. 1966. - V.13. - P.657-672.

90. Dillamore I.L., Smallman R.E. Stored Energy and Flow Stress in Deformed Metals // Phil. Mag. 1965. - V.12. - P.191-209.

91. MLean M., Mykara H. The influence of grain size on the stored energy and mechanical properties of copper // Surface Science 1966. - V.5. - P:466-474'.

92. Wilson P.R., Chen Z. Characterisation of surface grain boundary precipitates formed during annealing of low carbon steel sheets // Scripta Metallurgica et Materialia 2005.-V.50.-P.119-123.

93. Berghezan A., Fourdeux A., Amelinckx S.A. Transmission electron microscopy studies of dislocations and stacking faults in a hexagonal metal: zinc // Acta Met. 1961. - №9. - P.464-490.