Моделирование сетей обслуживания методом слабой регенерации тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Регенерирующие процессы

§ 1.1. Сильно регенерирующие процессы.

1.1.1. Основные определения.

1.1.2. Сильно регенерирующие процессы с дискретным временем.

§1.2. Слабая регенерация.

§1.3. Метод обновляющих событий.

§ 1.4. k-зависимые случайные величины.

§ 1.5. Регенерирующие процессы с непрерывным временем.

§ 1.6. Марковские цепи, возвратные по Харрису

§ 1.7. Искусственная регенерация.

1.7.1. Распределения с тяжелыми хвостами.

1.7.2. Метод экспоненциального расщепления.

1.7.3. Процессы обслуживания, имеющие распределения с тяжелыми хвостами.

1.7.4. Оценка Хилла индекса v тяжести хвоста.

§2.1. Описание систем и сетей обслуживания.

§2.2. Регенеративная структура сетевых процессов.

2.2.1. Система GI/GI/m.

2.2.2. Тандем.

2.2.3. Тандемная сеть GI/GI/ггц -/GI/mN

2.2.4. Сеть типа Джексона.

§2.3.Условия регенерации.

Глава 3. Статистические свойства регенерирующих сетей

§3.1. Доверительное оценивание характеристик сильно регенерирующего процесса

§3.2. Доверительное оценивание на основе слабой регенерации

§3.3. Методы повышения эффективности оценок.

3.3.1. Метод одинаковых случайных чисел.

3.3.2. Метод противоположных случайных чисел

§3.4. Методы повышения эффективности оценки среднего времени ожидания в сетях обслуживания.

Глава 4. Результаты моделирования некоторых сетей обслуживания

§4.1. Время доверительного оценивания с заданной точностью.

4.1.1. Тандем GI/GI/1 -/GI/1.

§4.2. Применение методов уменьшения дисперсии оценки в доверительном оценивании.

Цель работы - разработка методов моделирования сетей обслуживания на основе слабой регенерации.

Системы и сети массового обслуживания очень распространены в реальной жизни. Типичным примером системы массового обслуживания являются автоматические телефонные станции, а вся телефонная сеть - это сеть массового обслуживания.

Система массового обслуживания (узел) характеризуется потоком заявок (клиентов), нуждающихся в обслуживании и числом каналов (приборов) обслуживания. Сеть обслуживания представляет собой объединение взаимодействующих систем массового обслуживания. Для исследования стационарных характеристик систем (сетей) массового обслуживания, главной целью которого является выбор наиболее разумной конфигурации системы (сети), обычно изучаются математические модели систем (сетей) массового обслуживания. Изучением таких моделей занимается теория массового обслуживания [4, 8, 12]. В дальнейшем, для краткости, под системой (сетью) массового обслуживания мы будем понимать их математические модели, как это принято в теории массового обслуживания.

Поскольку аналитические модели недостаточно разработаны и, кроме того, корреляционная структура значений процессов, протекающих в коммуникационных сетях является очень сложной, то возникает необходимость в разработке новых методов анализа поведения сетей обслуживания. В этой связи основным методом был выбран метод имитационного моделирования, ориентированный на определенную структуру зависимости значений процессов, а именно, на свойства регенерации. Регенерация означает, что в определенный момент времени траектория процесса перестает зависеть от предыстории процесса.

В данной работе рассматриваются в основном процессы с дискретным временем.

Актуальность тематики обусловлена интенсивным развитием коммуникационных сетей. Несмотря на быстрое развитие теории массового обслуживания, широко изучены только так называемые Марковские сети, обладающие свойством мультипликативности [4, 8, 12]. Это свойство заключено в теореме Джексона и ее обобщениях, которые содержат достаточные условия мультипликативности предельного распределения векторного процесса очереди в узлах сети. Другими словами, при этих условиях существует предельное распределение процесса, равное произведению маргинальных распределений, относящихся к отдельным узлам. Такие сети, допускающие мультипликативность, называются сетями Джексона. Достаточным условием мультипликативности является обратимость во времени марковского процесса, которая выражается в форме уравнений детального баланса, связывающих вероятности перехода и предельное распределение данного процесса. При этом предельное распределение числа заявок в каждом узле можно выписать в явном виде.

Однако, поведение многих реальных систем нельзя описать марковскими процессами (входной поток не является пуассоновским, а время обслуживания имеет закон распределения, отличный от экспоненциального), кроме того, если сеть и можно описать марковским процессом, то он может быть очень сложным (большой размерности), что приводит к невозможности использования хорошо разработанных методов классической статистики [9]. Для анализа поведения таких сетей можно использовать регенеративный подход [68]. При определенных (весьма слабых) условиях существует предельное распределение регенерирующего процесса, при этом значения процесса делятся на циклы регенерации, которые между собой независимы. Моменты начала нового цикла, называются моментами регенерации [6, 7]. Эти моменты образуют вложенный процесс восстановления. Такая регенерация называется сильной или регенерацией по Смиту [7, 68]. Класс сильно регенерирующих процессов является хорошо изученным. Примерами таких процессов являются процессы, описывающие поведение многоканальных систем типа GI/GI/m [51].

Однако, чем сложнее сеть (чем больше у нее узлов или переходов между узлами), тем менее вероятным становится появление моментов сильной регенерации, и частота появления этих моментов падает. Это очень существенно для доверительного оценивания, т.к. время доверительного оценивания сокращается с ростом частоты моментов регенерации.

Существует более общая конструкция - слабая регенерация. А именно, допускается зависимость значений процесса на циклах регенерации. При этом длины циклов по-прежнему остаются независимыми. Такая ситуация возможна в общих цепях Маркова, возвратных по Харрису. Это цепи с общим пространством состояний, для которых существует некоторое подмножество состояний, в которое сеть попадает бесконечное число раз с вероятностью единица и при выходе из этого подмножества цепь имеет одно и тоже распределение, не зависящее от конкретной точки подмножества.

Метод слабой регенерации базируется на методе обновляющих событий Боровкова [3]. Кроме того, он использует метод расщепления (при анализе цепей Маркова, возвратных по Харрису). Класс слабо регенерирующих процессов гораздо шире и до настоящего времени исследован недостаточно подробно. В применении к процессам обслуживания известны результаты только для многоканальных систем типа GI/GI/m и тандемов [10, 49]. Вышеуказанные системы и сети являются частными случаями ациклических сетей типа Джексона. Сеть типа Джексона представляет из себя несколько узлов обслуживания с входным потоком восстановления, каждый узел имеет несколько каналов обслуживания, заявки в узел поступают из других узлов и внешнего входного потока [24]. В данной работе выявлен класс событий, которые являются обновляющими для тандемной сети GI/GI/ш\ •/GI/mN и ациклической сети типа Джексона, что позволяют строить моменты слабой регенерации.

Параллельно с теоретическими исследованиями регенеративный метод был успешно применен к статистическому анализу сетей обслуживания. Здесь надо отметить работы [5, 9, 38, 63, 6], где для исследования многоканальных систем типа GI/GI/m и тандемов используется подход, основанный лишь на сильной регенерации. В этой связи методом имитационного моделирования было исследовано поведение тан-демных сетей GI/GI/m\ •/GI/tun, на основе и сильной, и слабой регенерации.

Важнейшими характеристиками любой сети обслуживания в стационарном режиме являются время, проведенное заявкой в очередях узлов при прохождении сети (время ожидания) и время пребывания заявки в сети, которое включает времена обслуживания в узлах. Поэтому важно уметь надежно оценить среднее время ожидания и среднее время пребывания в сети. С этой целью в работе уделено большое внимание их доверительному оцениванию. Известно, что для построения доверительных интервалов по моментам сильной регенерации можно использовать центральную предельную теорему (ЦПТ) для независимых случайных величин, а для построения по моментам слабой регенерации можно применять ЦПТ для к-зависимых случайных величин [35].

В доверительном интервале, построенном по моментам слабой регенерации присутствуют оценки ковариаций. С целью уменьшения длины доверительных интервалов в данной работе предлагается использовать методы уменьшения дисперсии оценок, которые позволяют изменить знак оценки ковариации. К ним относится, например, метод одинаковых случайных чисел, который при дополнительном условии монотонности рассматриваемых функций (обе функции возрастают или обе функции убывают) [60] приводит к положительной ковариации между ними. В работе доказана теорема о положительной ковариации функций неодинакового числа аргументов, полученных методом одинаковых случайных чисел. Время ожидания заявки в сети является функцией, зависящей от интервалов между приходами заявок в сеть и времен их обслуживания, причем число аргументов этой функции не одинаково на разных циклах регенерации, в том числе на соседних. Поэтому данная теорема обосновывает применимость метода одинаковых случайных чисел с целью уменьшения дисперсии оценки времени ожидания заявки в сети (и других подобных характеристик). Заметим, что в той же конструкции метод противоположных случайных чисел дает отрицательную ковариацию, что также может быть использовано для уменьшения дисперсии оценки [60].

В данной работе доказана теорема о том, что доверительные интервалы, построенные по моментам сильной и слабой регенерации асимптотически эквивалентны. При большом числе моментов сильной и слабой регенерации лучше использовать сильную регенерацию, вследствие простоты идентификации моментов регенерации. Однако в сетях большой размерности (при большом числе узлов) моменты сильной регенерации отсутствуют или очень редки, что значительно увеличивает время, затрачиваемое на построение доверительного интервала с заданной точностью.

В данной работе найдено условие для сети типа Джексона, при котором моменты сильной регенерации могут отстутствовать. Кроме того, с увеличением размерности сети частота моментов сильной регенерации падает, а, следовательно, доверительное оценивание с заданной точностью на основе слабой регенерации более эффективно по затратам процессорного времени. Мы будем называть это условие условием эффективности слабой регенерации.

Для того, чтобы выяснить как влияют изменения вероятности сильной регенерации и числа узлов сети при выполнении условия эффективности слабой регнерации на время доверительного оценивания с заданной точностью были проведены имитационные эксперименты по моделированию тандемных сетей GI/GI/m\ —>•.—»> 'jGljm^. Кроме того, для того, чтобы оценить как изменяется длина доверительного интервала в результате применения методов одинаковых и противоположных случайных чисел на основе слабой регенерации были проведены имитационные эксперименты и получены доверительные интервалы для оценки среднего времени ожидания.

Кроме моментов слабой регенерации существуют искусственные моменты слабой регенерации. Они строятся методом расщепления, который заключается в том, что исходный процесс заменяется на эквивалентный ему процесс, обладающий свойством слабой регенерации. Причем, если исходный процесс в сети имеет распределение с тяжелым хвостом, то метод искусственной регенерации всегда применим.

На защиту выносятся получены следующие основные результаты:

1. Для сетей типа Джексона выявлен класс событий, являющихся обновляющими;

2. Доказано, что доверительные интервалы, построенные по моментам сильной регенерации и по моментам слабой регенерации асимптотически эквивалентны;

3. Показано, что с увеличением числа узлов в сети типа Джексона вероятность сильной регенерации уменьшается;

4. Доказана теорема о знаке ковариации для монотонных случайных функций с разным числом аргументов;

5. Установлена линейная зависимость между временем доверительного оценивания с заданной точностью по моментам сильной регенерации и числом узлов сети при имитационном моделировании тандемных сетей;

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на международных конференциях и семинарах: Developments in Distributed Systems and Data Communications, Петрозаводск, май 1998г.; The 3th St.Petersburg Workshop on Simulation, июнь-июль 1998г.; Developments in Distributed Systems and Data Communications, Петрозаводск, май 1999г.; Probabilistic Analysis of Rare Events: Theory and Problems of Safety, Insurance and Ruin, Рига, июль 1999г.; Second International Conference on Stochastic Analysis, Осло, август 1999г.; Finnish school on Theory of Probability, Лахти, июнь 2000г.; The 4th St.Petersburg Workshop on Simulation, июнь-июль 2001г.; Developments in Distributed Systems and Data Communications, Петрозаводск, май 2002г. ;Finnish school on Theory of Probability, Лахти, июнь 2002г.; Applied stochastic models and information processes, Петрозаводск, сентябрь 2002г.

Работа частично поддержана грантом РФФИ № 01-07-90259.

Публикации работ. По теме диссертации опубликовано 6 работ [11, 14, 25, 53, 54, 55].

Структура работы. Работа содержит введение, 4 главы, заключение и приложение. Краткое содержание состоит в следующем.

Первая глава носит вспомогательный характер, в ней даны основные определения теории регенерирующих процессов, в том числе сильно регенерирующего процесса, слабо регенерирующего процесса и их свойств, приведен метод обновляющих событий для идентификации моментов слабой регенерации в сетях обслуживания.

Во второй главе рассматриваются основные свойства регенеративной структуры некоторых систем и сетей обслуживания ( многоканальной системы типа GI/GI/m и тандема).

Для тандемной сети GI/GI/m\ -/GI/rriN и сети типа Джексона показано, что некоторое событие является обновляющим (теорема 1) и дана рекурсивная процедура построения моментов слабой регенерации с использованием этого события.

Для сети типа Джексона найдено достаточное условие, при котором с увеличением размерности сети вероятность сильной регенерации убывает, а, следовательно, частота моментов сильной регенерации падает.

В третьей главе приведены процедуры построения доверительных интервалов для различных характеристик, описывающих поведение сетей обслуживания по моментам сильной и слабой регенерации. Доказана теорема 2 о том, что доверительные интервалы, построенные по моментам сильной регенерации и по моментам слабой регенерации асимптотически эквивалентны. Доказаны теорема 6 о знаке ковариации между монотонными функциями с разным числом аргументов и теорема 7 о положительной ковариации в доверительном интервале для оценки среднего времени ожидания, построенном по моментам слабой регенерации на основе метода одинаковых случайных чисел.

В главе 4 приведены численные результаты имитационного моделирования тандемной сети GI/GI/m\ —У . -> -/GI/rriN' процессорное время (в секундах), необходимое для построения доверительных интервалов с заданной точностью по моментам сильной и слабой регенерации; длины доверительных интервалов, построенных методами слабой регенерации, одинаковых случайных чисел и противоположных случайных чисел. Процессорное время, необходимое для построения доверительного интервала включает время, затраченное на генерацию с.ч., необходимых для вычисления всех характеристик, описывающих рассматриваемый процесс (например, для вычисления времен обслуживания, входного потока, вычисления незавершенного времени обслуживания и времени ожидания заявки в сети). Установлены линейная зависимость между временем доверительного оценивания по моментам сильной регенерации и числом узлов сети.

Заключение

В данной диссертационной работе были получены следующие результаты:

1. Для сетей типа Джексона определен класс событий, являющихся обновляющими;

2. Доказано, что доверительные интервалы, построенные по моментам сильной регенерации и по моментам слабой регенерации асимптотически одинаковы;

3. Показано, что с увеличением числа узлов в сети типа Джексона вероятность 5 уменьшается;

4. Доказана теорема о знаке ковариации для монотонных случайных функций с разным числом аргументов, которая использована для доказательства положительности оценки ковариации в доверительном интервале, построенном по моментам слабой регенерации;

5. Установлена линейная зависимость между временем доверительного оценивания с заданной точностью по моментам сильной регенерации и числом узлов сети при имитационном моделировании тандемных сетей;

В дальнейшем следует продолжить исследование в следующих направлениях:

1. Поскольку многие реальные сети имеют структуру сети типа Джексона, то для анализа поведения таких сетей необходимо разработать алгоритм имитационного моделирования для сети типа Джексона;

2. Развитие исследований трафиков коммуникационных сетей в последнее время показывают, что большой поток данных в таких сетях является долговременно зависимым и самоподобным (говорят, имеет фрактальную структуру). Это означает, что при изменении шкалы времени структура процесса не меняется. Эффект самоподобия можно объяснить тем, что размеры передаваемых файлов и количество посещений серверов сетей имеют распределения с тяжелыми хвостами. В этом случае для анализа сетевых характеристик можно применять искусственную слабую регенерацию, основанную на методе экспоненциального расщепления. В связи с этим возникает проблема развития метода искуственной регенерации.

3. Проблема оценки вероятности редких событий является также достаточно важной. Например, необходимо оценить вероятность того, что в коммуникацинной сети число обращений превысит заданный порог, что приведет к перегрузке сети. В связи с этим возникает проблема развития методов оценки вероятностей редких событий.

1. Р. Барлоу, Ф. Прошан. Математическая теория надежности. Советское радио, Москва. 1969.

2. А. А. Боровков. Теория вероятностей. Наука, Москва. 1976.

3. А. А. Боровков. Вероятностные процессы в теории массовго обслуживания. Наука, Москва. 1972.

4. Б. В. Гнеденко, И. Н. Коваленко. Введение в теорию массового обслуживания. Наука, Москва. 1987.

5. С. М. Ермаков, В. Б. Мелас. Математический эксперимент с моделями сложных систем. Санкт-Петербургский университет, Санкт-Петербург. 1993.

6. Д. JI. Иглхарт, Д. С. Шедлер. Регенеративное моделирование сетей массового обслуживания. Радио и связь, Москва. 1984.

7. А. Кокс, В. Смит. Теория воостановления. Советское радио, Москва. 1967.

8. А. Кофман, Р. Крюон. Массовое обслуживание. Теория и приложения. Наука, Москва. 1965

9. М. Крэйн, О. Лемуан. Введение в регенеративный метод анализа моделей. Наука, Москва. 1982.

10. Е. В. Морозов. Регенеративная декомпозиция неоднородных сетей обслуживания с марковской маршрутизацией. Докторская диссертация. Петрозаводский государственный университет, Петрозаводск. 1995.

11. Е. В. Морозов, И. В. Аминова. О доверительном оценивании некоторых регенерирующих сетей//Труды института прикладных математических исследований. Методы моделирования и информационные технологии, Петрозаводск. N 3. стр. 13-27. 2002.

12. Т. Саати. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения. Советское радио, Москва. 1971.

13. А. Н. Ширяев. Вероятность. Наука, Москва. 1980.

14. I. V. Aminova Queueing networks simulation: artificial regeneration and heavy tail phenomena.//Proceedings of FDPW'99. Petrozavodsk State University, Petrozavodsk, pp. 125-138. 1999.

15. S. Andradottir, J. M. Calvin, P. W. Glynn. Increasing the frequency of regeneration for Markov processes. Technical report 94-10. Stanford, Wasington. 1994.

16. A. Andronov. Artificial regeneration points for stochastic simulation of complex system. Technical report. Riga Aviation Univ, Riga. 1998.

17. S. Asmussen. Applied probability and queues. Wiley, New York. 1987.

18. S. Asmussen. Ruin probabilities. To appear in World Scientific Publishing Co., Singapore.

19. S. Asmussen, K. Binswanger, B. Hojgaard. Rare events simulation for heavy-tailed distributions. To appear.

20. S. Asmussen, V. Kalashnikov. Failure rates of regenerative systems with heavy tailes. Lund university, Lund. 1997.

21. S. Asmussen, J. M0ller. Tail asymptotics for M/G/l type queueing processes with subexponetial increments. Research report 1997:13/ISSN 0281-1944. Lund University, Lund. 1998.

22. S. Asmussen, J. Teugels. Convergence rates for M/G/l queues and ruin problems with heavy tails. Research report R-95-2005/ISNN 02811994. Aalborg University, Aalborg. 1995.

23. К. B. Athreya, P. Ney. A new approach to the limit theory of recurrent markov chains// Transactions of the american mathematical society, v. 245. 1978.

24. F. Baccelli, S. Foss. Stability of Jackson-type Queueing Networks// Queueing Systems, v. 17. pp. 5-72. 1994.

25. A. V. Belyy, I. V. Aminova. Queueing networks simulation based on quasi-weak regeneration// Информационные процессы, Институт проблем передачи информации РАН, Москва, т. 2 вып. 2, стр. 146148. 2002.

26. P. Billingsley. Convergence of Probability Measures. Wiley, New York. 1968.

27. N. K. Boots, P. Shahabuddin. Simulating GI/G/1 queues and insurance risk processes with subexponential distributions. Technical report 10027. Columbia university, New York. 2000.

28. A. A. Borovkov Asymptotic methods in queueing theory. Wiley, New York. 1984.

29. O. S. Boxma, S. W. Cohen Heavy-traffic analysis for the GI/G/1 queue with heavy-tailed distributions// CWI Probability, networks and algorithms. Amsterdam. 1997.

30. Y. Chen, Z. Deng, C. Williamson. A model for self-similar Ethernet LAN traffic: design, implementations, and performance implications. To appear.

31. M. Crovella, M. Taqqu, A. Bestavros. Heavy-tailed probability distributions in the World Wide Web. A practical Guide to heavy tails: statistical techniques and applications. Birkhauser, Boston, pp. 3-25. 1999.

32. H. Damerdji, S. Henderson, P. Glynn. Computional efficiency evaluation in output analysis// Annals of statistics, v. 28, N. 1. pp. 254274. 2000.

33. H. Drees, L. Haan, S. Resnick. How to make a Hill plot// Annals of statistics, v. 28. N. 1. pp. 254-274. 2000.

34. W. Feller. An introduction to probability theory and its applications. Wiley, New York. 1984.

35. T. Ferguson. A course in large sample theory. Chapman and Hall. 1996.

36. S. Foss, V. Kalashnikov Regeneration and rennovation in queues// Queueing systems. N. 8. pp. 211-224. 1991.

37. P. Glynn. Efficiency improvement techniques.To apear in Annals of operation reseach.

38. P. Glynn. Some topics in regenerative steady state simulation// Acta Appl. Math. pp. 225-236. 1994.

39. P. Heidelberger. Fast simulation of rare events in queueing and reliability models// ACM Transactions on modeling and computer simulation, v. 5, N. 1. pp. 43-85. 1995.

40. I. Kaj. Stochastic modeling in broadband communications systems. SI AM, Philadelphia. 2002.

41. V. Kalashnikov. Geometric sums Bounds for rare events with applications. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht. 1997.

42. V. Kalashnikov Topics on regenerative processes. CRC Press, Roca Baton. 1994.

43. F. Kelly Reversibility and stochastic networks. Wiley, Chichester. 1979.

44. C. Kluppelberg. Subexponential distributions and integrated tails// J. Appl. Prob. v. 25. pp. 132-142. 1988.

45. P. L'Ecuyer. Efficiency improvement and variance reduction Research report. University of Montreal, Montreal. 2000.

46. D. Lieber, R. Y. Rubenshtein. Rare event estimation via cross-entropy and importance sampling// Third international workshop on Rare events simulation RESIM 2000. 2000.

47. J. Medhi Stochastic models in queueing theory. Academic Press, Boston. 1991.

48. S. Meyn, D. Down. Stability of generalized Jackson networks// Ann. Appl. Probab. v. 4. pp. 124-148. 1994.

49. E. V. Morozov. An extended regenerative structure and queueing nnetwork simulation. Research report 1995:08/ISSN 0347-2809. Chalmers university of technology, Goteburg. 1995.

50. E. V. Morozov. Instability conditions of open regenerative queueing networks. Research report 1998:2. Lund University, Lund. 1998.

51. E. Morozov. Weak regenerative structure of open Jackson queueing networks.// J.of Math. Sciences, v. 91. pp. 2956-2961. 1998.

52. E. V. Morozov. Wide sense regenerative processes with applications to multi-channel queues and networks// Acta Appl. Math. v. 34. pp. 189212. 1994.

53. E. V. Morozov, I. V. Aminova Weak Regenerative simulation: some numerical examples for queues and queueing networks // Proceedings of FDPW'97-98. Petrozavodsk State University, Petrozavodsk, pp. 5663. 1998.

54. E. V. Morozov and I. V. Aminova. On simulation efficiency of weak regnerative queues// Proceedings of the 4th St.Petersburg Workshop on Simulation. St.Petersburg University, S.- Petersburg, pp. 83-88. 2001.

55. E. V. Morozov and I. V. Aminova. On steady-state simulation of some weak regenerative networks//European Transactions on Telecommunications ETT. Associazione Elettrotecnica ed Elettronica Italiana. v. 13. N. 4. pp. 409-418. 2002.

56. E. V. Morozov, S. Sigovtsev. Simulation of Queueing processes based on weak regeneration// J. of Math. Sciences, v. 89. N 5. pp. 1517-1523. 1998.

57. E. Nummelin. Regeneration in tandem queues// Adv. Appl. Prob. N. 13. pp 221-230. 1981.

58. S. I. Resnick. Heavy tail modeling and teletraffic data// Annals of statistics, v. 25. pp. 1805-1869. 1997.

59. S. I. Resnick., G. Samorodnitsky. A heavy traffic approximation for workload processes with heavy tailed service requirements// Management Science, v. 46. pp. 1236-1248. 2000.

60. S. Ross. Simulation. Academic Press, New York. 1997.

61. R. Y. Rubinstein, B. Melamed. Modern simulation and modeling. Wiley, New York. 1998.

62. E. Seneta. Regularly varying functions. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York. 1976.

63. G. Shedler. Regeneration and Networks of Queues. Springer-Verlag. 1987.

64. K. Sigman. Appendix: A primer on heavy-tailed distributions// Queueing systems, v. 33. pp. 261-275. 1999.

65. K. Sigman. Queues as Harris reccurent markov chains// Queueing systems, v. 3. N. 2. pp. 179-198. 1988.

66. К. Sigman. Regeneration in tandem queues with multiserver stations// J. Appl. Prob. N. 25. pp. 391-403. 1988.

67. K. Sigman, R. Wolff. A review of regenerative processes// SIAM Review, v. 35. N. 3. pp. 269-288. 1993.

68. W. L. Smith. Regenerative stochastic processes// Proc. Roy. Soc. Ser. A. v. 232. pp. 6-31. 1995.

69. J. Walrand An introduction to queueing networks. Prentoce-Hall Englewood Cliffs, N.J. 1988.

70. R. W. Wolff. Poisson arrivals see time avverage// Operation Research, v. 30. pp. 223-231. 1982.

71. A. P. Zwart, O. J. Boxma. Sojourn time asymptotics in the M/G/l processor sharing queue// CWI. 1998.