Моделирование системы формирования и транспортировки электронного пучка на основе полевого эмиттера тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ' УНИВЕРСИТЕТ

РГ8 Ой

д м , - - -. На правах рукописи

ВИНОГРАДОВА Екатерина Михайловна

МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМЫ ФОРМИРОВАНИЯ И ТРАНСПОРТИРОВКИ ЭЛЕКТРОННОГО ПУЧКА НА ОСНОВЕ ПОЛЕВОГО ЭМИТТЕРА

Специальности: 01.01.07 Вычислительная математика 05.13.16 Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (в отрасли физико-математических наук)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург - 1998

Работа выполнена в Санкт-Петербургском Государственном Университете на факультете Прикладной Математики - Процессов Управления.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Егоров Н.В.

Официальные оппоненты -

доктор физико-математических наук, профессор

Овсянников Л.А. (г.Санкт-Петербург)

доктор физико-математических наук

Петренко В.В. (г.Москва)

Ведущая организация: Научно-Исследовательский Институт

Электрофизической Аппаратуры им. Д.В.Ефремова

(г.Санкт-Пётербург)

Защита диссертации состоится " " ip^pc/U-Я 1998 года в if часов на заседании диссертационного совета К 063.57.16 по защитам диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук в Санкт-Петербургском Государственном Университете по адресу: 199004, Санкт-Петербург, 10-я линия В.О., д.ЗЗ, ауд.

С диссертацией можно ознакомится в научной библиотеке им. A.M. Горького Санкт-Петербургского Государственного Университета.

Автореферат разослан п13п января 1998 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, д.ф.-м.н.

Горьковой В.Ф.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность проблемы. В настоящее время пучки заряженных частиц широко используются во многих областях науки и техники и перед ними открываются все новые перспективы. Решение одной из важнейших задач современной микроэлектронной технологии — освоение субмикронного диапазона — возможно только на основе диагностического и технологического оборудования на основе электронных: и ионных зондов. При этом, задачи освоения субмикронного диапазона принципиально может быть осуществлено только при условии использования в соответствующих электронно-оптических системах (ЭОС) в качестве источника электронов — полевого электронного катода (ПЭК). Однако задача расчета и создания ЭОС применительно к ПЭК в настоящее время ждет своего решения. Имеющиеся в настоящее время отдельные работы по этому вопросу, пока не позволили решить практически ни одной проблемы. Существенное отличие характера полевой электронной эмиссии (ПЭЭ) от фото- и термоэмиссии состоит в том, что в случае ПЭЭ поле, создаваемое электродами системы, выполняет двойную роль: во-первых, вызывает эмиссию, а, во-вторых, обладает электроннооптическими свойствами. Следовательно, задача фокусировки и транспортировки электронного пучка должна решаться совместно с задачей получения требуемых эмиссионных характеристик системы.

Естественный путь решения проблем — эксперимент. Однако, с повышением сложности экспериментальных установок, с необходимостью применения высокого напряжения, прецизионных измерительных приборов, сверхвысокого вакуума, привлечением высококвалифицированного персонала, практическая реализация экспериментальных исследований, хотя и является принципиально осуществимой, связана с большими временными и материальными затратами. Кроме того, интерпретация полученных результатов часто затруднена. При этом встает важная задача создания математических моделей и эффективных методов их анализа. Летальный количественный анализ таких моделей необходим при сравнении теории и эксперимента. Он становится важным элементом проектирования, что позволяет предварительно проана-

лидировать возможности нового прибора, или как б яашем случае, одного из элементов электровакуумного прибора системы формирования и транспортировки электронного пучк;',.

Таким образом, актуальность моделирования сисем формирования и транспортировки электронного пучка на основе полевого эмиттера определяется необходимостью теоретического обоснования новых технологий пучковой диагностики и приборов современной твердотельной электроники на базе полевых электронных катодов.

Цель работы. Целью настоящей работы является: разработка математических моделей и определение оптимальных параметров систем формирования и транспортировки электронного пучка на основе полевых катодов; создание алгоритмов расчета и вычислительных программ, реализующих разработанные математические методы на ЭВМ; аппробация разработанных математических моделей с использованием численного эксперимента.

Научная новизна работы и основные положения, выносимые на защиту. Все научные результаты, изложенные в оригинальной части диссертационной работы получены впервые и являются новыми.

Основные положения, выносимые на защиту, представлены:

— физическими и математическими моделями электронных пушек на основе полевых катодов различных конфигураций.

— методикой расчета и формулами для нахождения распределения электростатического потенциала в острийных системах.

— полученными в результате численного расчета и численного эксперимента оптимальными геометрическими параметрами острийных систем по критерию минимума отклонения тока от заданного значения при постоянной величине анодного напряжения.

— алгоритмами и пакетами вычислительных программ для релизации предложенных физических и математических моделей электронных пушек с полевыми катодами.

Практическая значимость и внедрение результатов. До-

стоверность предложенных математических моделей электронных пушек на основе полевых катодов подтверждена тестированием используемых алгоритмов при различных значениях параметров (геометрических размеров и потенциалов электродов) и сравнением результатов расчетов с известными экспериментальными данными, а также с характеристиками элементов электронно-оптических систем, практически реализованными в лаборатории физического и математического моделирования управляющих полей и систем заряженных частиц факультета ПМ-ПУ.

Вычисленные физические характеристики могут быть использованы для анализа экспериментальных данных и оценки возможности применения исследуемых острийных систем в реальных приборах электронной и ионной оптики. Теоретические разработки по проблемам математического моделирования рекомендованы для включения в программы спецкурсов и учебного лабораторного практикума на факультете Прикладной математики -процессов управления Санкт - Петербургского университета.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на 12-м Всесоюзном семинаре по линейным ускорителям заряженных частиц (Харьков, 1991г.); Международных совещаниях RDO (Beam Dynamics Optimization)-94, BDO-95, BDO-96 (С.-Петербург, 1994, 1995 и 1996гг.) и BDO-97 (Москва, Дубна, 1997); на научных семинарах факультета Прикладной математики - процессов управления.

Методы исследования. В работе основными методами исследования являются методы вычислительной математики, математического моделирования и численного эксперимента, а также метод парных уравнений математической физики, численные методы оптимизации и программирования.

Структура и обтьем диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 112 наименований. Работа изложена на 153 страницах, содержит 15 рисунков и 5 таблиц.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, опре-деленацель работы, поставлены задачи, указаны научная новизна и практическая значимость работы, сформулированы основные защищаемые положения.

В первой главе дается аналитический обзор литературы по основным методам, применяемым для расчета характеристик электронно- оптических систем.

Следует отметить, что в настоящее время нет адекватных математических моделей, способных описать реальные физические характеристики электронно-оптических систем с полевыми катодами.

Последующие главы являются оригинальными.

В второй главе рассматриваются математические модели систем формирования и транспортировки пучков электронов, представляющих собой диодные системы: катод (тонкое острие) — анод (плоскость, часть сферы). Методы, представленные в этой главе, позволят в дальнейшем перейти к исследованию многоэлектродных систем.

В §2.1 представлена математическая модель диода: полевой электронный катод (произвольной формы) — анод (плоскость). В качестве физической модели рассматривается осесимметричная электронно-оптическая система, состоящая из катода — аксиально-симметричного тонкого острия произвольной формы (толщина острия много меньше его длины) на плоской металлической подложке и анода — бесконечной плоскости. Потенциал подложки совпадает с потенциалом острия (примем его равным нулю: {/о = 0). Параметрами физической задачи являются: радиус кривизны острия (г0), длина острия (¿), форма острия (го(г)), расстояние от подложки до анода (¿а), потенциал анода (/71). Влиянием пространственного заряда пренебрегаем. Для расчета основных физических характеристик (напряженности, тока, траекторий и т.д.) требуется прежде всего найти распределение электростати-

ческого потенциала V.

Потенциал V(r, z) в рассматриваемой диодной системе удовлетворяет уравнению 'Лапласа и краевым условиям:

AV(r,z) = О, V r=U0, И =Ult (1)

Го (г) \z—Z 1

где (г, г) — цилиндрические координаты, г0(г) — поверхность острия; Uо — потенциал на острие; (—оо < г < оо, г = Z\) — поверхность анода; U\ — потенциал анода. Решение представляется в виде:

V(r, z) = l/0(г, z) + Vi (r, z) 4- V2(r, z) (2) L-i

Vo(r,z)= f , P^ =dz', (3)

v ; J Jr-+ (z - z'f ^ ' о v

а функции Vi и Vi являются решениями следующих краевых задач:

Д Vi = 0, Vi| =iTi; (4)

A V2 = 0, V2

z = Z i

= —VQ

(5)

Очевидно функция (г, г) представляет собой решение краевой задачи без учета острия. Решение краевой задачи (4) очевидно:

Функцию V2 можно представить в виде:

L-6

V2(r,z)= J u2(r,z;z')p(z')

(б)

(7)

где функцию иг (г, г; ¿') в силу (5) можно представить как решение краевой задачи:

, о! -1/2

г = 1

&u2(r, z;z') = 0, u2(r,z;z')

Выражение (2), очевидно, удовлетворяет уравнению Лапласа и краевым условиям на границе г = Требуется подобрать такое распределение заряда р(г) в (3), чтобы эквипотенциальная поверхность потенциала V со значением потенциала По совпала с поверхностью острия. Т.к. рассматриваются только тонкие острия, достаточно исследовать эквипотенциальные поверхности модельного потенциала (2), расположенные близко к оси острия. При т —► 0 воспользуемся асимптотическим разложением потенциала (2), (3) вблизи оси острия. Тогда, р(г) можно представить в виде ряда:

*) = !>(*), (В)

Рк+1{г) = - (1п г

-1 Г ь~ь

г-

I- п

Рк(0~Рк(г)

■¿е+

+

(9)

где 6 - До/2.

Поскольку У(г,0) = 0, краевую задачу (1) по принципу антисимметрии можно распространить на отрицательную полуплоскость г < 0.

Тогда, функция П2(г, г; г') — решение краевой задачи:

Д«2(г, г; г') — 0, М2(г, г; г')

•=±2х у/г2+ (±^1 -г'У

Воспользовавшись разложением Ханке ля, функцию и^ (г, г; г') можно представить в явном виде:

к = О

1

1у/г2 +(4кг! - {2 +

1

(10)

^Г2 + (4кгх + 421 - (*' - г))2.

+

1

1

+

Ур2+(4к21+ 2^1+(2 + г'))2 \Д2 + + 4ЯХ + - г))?.

Итак, формулы (2), (3), (6)—(10) дают решение исходной краевой задачи (1), т.е. определяют электростатический потенциал во всем пространстве исследуемой диодной системы.

В §2.2 представлена математическая модель диода: полевой электронный катод ("сфера на веретене") — анод (сфера). В данном разделе предложено аналитическое решение уравнения Лапласа для распределения электростатического потенциала в диодной системе, основанием которой является сфера, с полевым катодом специальной формы — "сфера на веретене", т.е. в качестве поверхности, описывающей тело острия берется не конус, а веретенообразная поверхность вращения, образующей которой является часть окружности. Вершиной острия является часть сферы. В бисферической системе координат острие можно представить координатными поверхностями: "тело" острия — а = (0 < а^ < тг, 0о < 0 < 0Х), вершина (сфера) острия — 0 = 01 (0 < 0о < 01 < +оо, 0 < а < сц), основание системы (анод) — 0 = 0О (0 < а < 01). Случай 0о = 0 соответствует тому, что основанием острия является плоскость, а при 0\ — +оо острие представляет собой веретенобразную поверхность вращения без сферы на его конце (радиус сферы равен нулю).

Для того,чтобы найти распределение потенциала во всем пространстве исследуемой диодной системы, требуется решить следующую краевую задачу:

Общее решение уравнения Лапласа У(а,0) задачи (11) можно записать в виде:

У(а, 0) = О 0 < а < ах, 0о < 0 < 01

У(аь/?) = 0 0о<0<01

У(а,01) = О 0 <«<<*!

У (а, 0а) = и (а) 0 < а < сц

(И)

зЬ (!/„ + - 0) 8Ь (1'„ + !)(/?! - 0о)

Р„в(с08 а), (12)

Коэффициенты Ап определяются последним граничным условием из (11):

а 1

Л" = лГ / г ^¿r^ =Py„(cosa)sinatfa, (13)

J V cth ро — cos а

о

Нормирующие функции Nn можно представить: «i

Nn = f [P¡; (cos a)] sin a da —

о

sin ai dP„(cosat)

= -Ô—rTpín(C0sau—^-

2г/п 4 1 ov

(14)

v = vn

Итак, формулы (12)—(14) представляют собой аналитические выражения распределения электростатического потенциала для электронной пушки с полевым острием, поверхность которого можно задать как "сферу на веретене".

В §2.3 представлена математическая модель диода: полевой электронный катод (с "кратером") — анод (сфера). Также, как и в предыдущем разделе, в бисферической системе координат поверхность острия задается поверхностями: тело острия — а = ai (0 < а < тг, Ро < Р < ft); "кратер" — Р = ft (ai < a < тг); основание системы (анод) — Р = /?о (0 < ft < Ро, 0 < a < ai).

Решение уравнения Лапласа можно записать в виде:

оо

Vi(a,/?)= V cth /3 — cosay% exp(n + |)(ft - P)Pn(cosa),

n = l

0 < » < 7Г, ft < < OO

^--" Г shK-f |)(0-/Зо)

+B,2

sh (I/n + i)(ft-/?)

sh (i/n+ |)(ft-/30)J

0<«ь Po<P<Pi

■ P„n(cosa),

— корни уравнения Р^Дсоба^ = 0. Коэффициенты Вуп определяются из граничных условий на аноде. Для определения неизвестных коэффициентов Ап, В\п приравниваем значения и первые производные для 1^(а,/?) при р ~ 0 < а < ац.

В третьей главе предложены математические модели электронно-оптических систем, представляющих собой электронные пушки с полевыми катодами. В качестве катодов рассматриваются тонкие острия различных форм, а в качестве систем фокусирующих электродов рассматриваются осесимметричные диафрагмы, либо части сфер.

В §3.1 представлена математическая модель электронной пушки: полевой катод (тонкое острие произвольной формы) и система фокусирующих электродов (диафрагмы).

Параметрами задачи являются: радиус кривизны острия (йо), длина острия (¿), форма острия (го(г)), число диафрагм (./V), расположение диафрагм (.&), радиусы отверстий диафрагм (Д,), потенциалы диафрагм (б^). Влиянием пространственного заряда пренебрегаем. Требуется найти распределение электростатического потенциала У(г, г).

Согласно методу, представленному в §2.1, У(г, г) ищется в виде трех функций, для определения которых требуется решить две граничные задачи

Д К1(г,г) = 0 V (г, 0)=0

К (г, г-)

г > 11,

Д и2(г,г;г') = О

и2(г,±

Г > К;

Представим функции ^(г, г) и и2(г, г; г') в виде разложений Хан-келя:

оо

+/

О

зь х(2-1+1 -т) лд^-го . .

вИ A(Z¡^.l — 2{) A(Zi+l — Z¡)

•7о(Аг) (IX, < г <

и 2 = — <

(Ж-'О + ехр(—А|Х,- — г'|)) +

вь л(21+1 - го

(16)

•70(Лг)йЛ, Вводя новые функции

Я;

/¿(А) = У тММ, (17)

о

и удовлетворяя условиям непрерывности вектора электрического поля и граничным условиям, приходим к системе интегральных уравнений Фредгольма Н-го рода относительно функций &(<), решив которую, согласно (15)—(17) найдем решение исходной задачи — распределение электростатического потенциала во всем пространстве исследуемой острийной системы.

В §3.2 рассмотрена математическая модель электронной пушки с системой фокусирующих диафрагм с малыми радиусами отверстий. В этом случае многие расчетные формулы для определения распределения потенциала значительно упрощаются.

В §§3.3 — 3.5 представлены математические модели электронных пушек на основе полевых катодов ("сфера на веретене", "веретено с кратером") на подложке (плоскость, сфера, сферический сегмент) — анод (сфера, сферический сегмент).

В четвертой главе представлен расчет оптимальных характеристик электронной пушки с полевым катодом и системой фокусирующих электродов (диафрагм). При этом, задача оптимизации входных параметров электронной пушки с полевым катодом и системой фокусирующих диафрагм заключается в том, чтобы выбором соотношений между этими параметрами, а также выбором формы острия получить минимальное отклонение значения полного тока с острия от заданного значения 1о при постоянном анодном напряжении.

Расчет основной зависимости полевой электронной эмиссии — зависимости величины плотности тока от величины интенсивности вызывающего эмиссию воздействия (в данном случае таким

воздействиемявляется само поле) дается известной формулой Фа-улера - Нордгейма:

. _ е3Е2 3 ~ 8хЙФ<2(а) бХР

4(2т)1/2фз/2 ■

--ШЁ 0И

(18)

Здесь е — заряд электрона;

Ф — работа выхода электрона из металла; Е — напряженность поля у поверхности катода; О(а) и ¿(а) — известные в теории полевой электронной эмиссии эллиптические функции Нордгейма (для них имеются рассчитанные на ЭВМ таблицы) аргумента а = 3.79 - 10~АФ~1у/Ё. Таким образом, требуется минимизировать

I/

j ¿Б - /0

где у определяется по формуле (18). Прежде чем приступить к решению задачи оптимизации, следует выбрать параметры, по которым будет происходить оптимизация. Это связано с тем, что расчеты в соответствии с алгоритмами оптимизации требуют значительных затрат времени при большой размерности задачи, поэтому этих параметров должно быть такое количество, чтобы оптимизационная задача решалась за реальный промежуток времени.

Показано, что наибольшее влияние на эмиссионные характеристики при заданном значении анодного напряжения оказывает введение дополнительной "прикатодной" диафрагмы с координатами (гх, при 0 < ¿1 < Ь (Ь — длина острия). Потенциал "прикатодной" диафрагмы совпадает с потенциалом острия и подложки. В силу этого, в качестве параметров оптимизации принимаются расположение и радиус "прикатодной" диафрагмы.

В качестве метода оптимизации был выбран метод комплексов, для которого имеется достаточно эффективный алгоритм, позволяющий применить прямой поиск по симплексу к решению задач с ограничениями-неравенствами.

Проведенные расчеты показали, что

1) Предложенные физические и математические модели систем формирования и транспортировки электронных пучков на основе

полевых катодов с диафрагмами в качестве фокусирующих электродов дают удовлетворительное описание распределения электростатического потенциала в данных системах.

2) Расчет эмиссионных характеристик электронного пучка (плотности тока, напряженности поля в вершине острия, площади эмиссии) согласуется с физическими представлениями о характере их изменения при варьировании геометрических параметров системы и потенциалов фокусирующих диафрагм.

3) Не обнаружено противоречия при сравнении результатов расчетов с известными экспериментальными данными.

В заключении даны выводы по результатам диссертации. Основное содержание диссертации опубликовано в следующих печатных трудах:

1. Алмазов А.А., Виноградова Е.М., Егоров Н.В. Математиче-

ская модель электронной пушки с полевым катодом //В кн. Тезисы докладов 12-го Всесоюзного семинара по линейным ускорителям заряженных частиц, Харьков, 1991, с.39.

2. Vinogradova Е.М. Mathematical model of electron gun with field

cathode // Proceeding of First Inter. Workshop: BDO, 1994, St.Petersburg, p. 179—184.

3. Vinogradova E. M. Solution of Boundary-value Problem in Bispherical

Coordinates // Abstracts of Second Inter. Workshop: BDO, July 4—8, 1995, St .Petersburg, Russia, p. 22.

4. Vinogradova E. M. Trajectory Analisy of Electron Gun with a Field

Cathode // Abstracts of Second Inter. Workshop: BDO, July 4—8,

1995, St.Petersburg, Russia, p. 23.

5. Vinogradova E. M. Field Distribution for Field Emission "Crater"

Cathode // Abstracts of Third Inter. Workshop: BDO, July 1—5,

1996, St.Petersburg, Russia, p. 35.

6. Vinogradova E. M. Mathematical Modelling and Calculation Trajectories

for Electron Guns // Abstracts of Third Inter. Workshop: BDO, July 1—5, 1996, St.Petersburg, Russia, p. 36.

7. Виноградова Е.М., Лебедева Т.Е., Томкина Т.В. Расчет си-

стемы формирования электронного пучка электронной пушки с круговыми апертурами. // Деп. N 3041 - В94 от 27 декабря. Вестник СПбГУ, Сер. 1 мат., мех., астр., Вып. 2 (Ы 8), апрель 1996, с.120.

8. Егоров Н.В., Виноградова Е.М. Математическая модель элек-

тронной пушки с полевым катодом // Математические методы моделирования и анализа управляемых объектов / Под ред. Ю.З.Алешкова.—СПб.: Изд-во С.-Петербургского унта, 1996. с.57-62.—(Вопросы механики и процессов управления; Вып. 17)

Лицензия ЛР № 040815 от 22.05.97.

Подписано к печати 12.01.98 г. Заказ 156.Тираж 100 экз. Объем 1,0 печ.л. НИИ химии СПбГУ.

Отпечатано в отделе оперативной полиграфии НИИ химии СПбГУ 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 2