Моделирование влияния гармонических и случайных пульсаций давления на трансзвуковые течения в каналах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

РГо ОД 2 5) АВГ 7ЯПП

ТОНКОВ Леонид Евгеньевич

МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ГАРМОНИЧЕСКИХ И СЛУЧАЙНЫХ ПУЛЬСАЦИЙ ДАВЛЕНИЯ НА ТРАНСЗВУКОВЫЕ ТЕЧЕНИЯ В КАНАЛАХ

01.02.05 — Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

/

/

Ижевск - 2000

Работа выполнена в Институте прикладной механики Уральского отделения РАН (г.Ижевск).

Научный руководитель — доктор физико-математических наук

Ю.Ф. Кисаров.

Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук,

профессор А.Н. Гильманов, доктор физико-математических наук, профессор В.А. Тененев.

Ведущая организация — Московский государственный авиационный институт.

Защита состоится « 2. '2. » С'(Л

200/5

2000г. в

сс

на заседании диссертационного совета Д 200.70.01 в Институте прикладной механики УрО РАН по адресу г.Ижевск, ул.Горького, 222.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института прикладной механики УрО РАН.

Автореферат разослан «

23

2000г.

Ученый секретарь диссертационного совета к.ф.-м.н.

С.П.Копысов

Общая характеристика работы

Актуальность темы. С необходимостью определения характеристик (в первую очередь газодинамических) подводящих устройств ракетных и авиационных двигателей тесно связаны задачи о колебаниях и устойчивости ударных волн в каналах.

Требования к точности оценок этих характеристик постоянно растут, что делает необходимым создание высокоэффективных численных методов расчета внутренних течений, развитие существующих аналитических моделей и выполнение большого объема экспериментальных исследований.

Создание численных схем газодинамики проводилось научными школами A.A. Самарского, Г.И. Марчука, О.М. Вслоцерковского, С.К. Годунова и их учениками. Развитию и применению методов расчета внутренних течений посвящено большое число научных работ А.М Липа-нова, У.Г. Пирумова, А.Н. Крайко, И.М. Васеиина, А.Н. Гильманова, В.А. Тененева, Ю.Ф. Кисарова, В.Н. Емельянова, М.Х. Стрельца и многих других.

Существенный теоретический вклад в исследование поведения ударной волны в расширяющемся канале при наличии гармонического возмущения был сделан в середине 80-х годов Ф. Э. К. Куликом и Т. Роджерсом.

Достаточно полные экспериментальные исследования по изучению нестационарных течений в упрощенной модели диффузора при наличии низкочастотных возмущений были проведены Дж. И. А. Мейером, Дж. К. Кроутилом, М. Сейбеном, К. П. Ченом и Т. Дж. Богаром. В результате было установлено наличие случайных изменений параметров течения и положения ударной волны. Первые результаты численных исследований вынужденных колебаний ударных волн в воздухозаборниках были опубликованы в работах Т. Хси., А. Уордлоу, Т. Кроукли, Э. Кумара. Однако, колебания, вызвапные случайными возмущениями, в этих работах пе изучались.

Для того, чтобы исследовать течения при наличии стохастических возмущений и получать надежные статистические оценки характеристик потока необходимо решать начально-краевые задачи для полной системы уравнений Навье-Огокса на временных отрезках в несколько сотен раз больших, чем при решении традиционных нестационарных задач вычислительной гидродинамики. Это требует применения наряду с высокоэффективными численными методаи решения соответствующих алгоритмов обработки получаемых результатов.

Целью работы является построение методов исследования внутренних газодинамических течений при наличии детерминированных и случайных внешних возмущений.

Создание эффективных алгоритмов расчета указанных процессов и методов статистической обработки получаемых результатов.

Исследование устойчивости ударных волн в сужающихся-расширяющихся каналах при различных условиях, механизмов, обеспечивающих эту устойчивость, а также связи детальной структуры течений с процессами колебаний ударных волн.

Научная новизна. На основе одномерного квазистационарного при ближения построена математическая модель колебаний прямого скачка уплотнения при наличии гармонических возмущений. Методами качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений доказано существование периодического решения и получены условия егс устойчивости.

Построена математическая модель и численно исследована задача о колебаниях системы скачков уплотнения в сужающемся-расширяющемся канале при наличии случайных возмущений статического давления. Модель основана на полной системе уравнений Навье-Стокса i позволяет исследовать случайные возмущения различного спектраль ного состава.

Показано, что гармонические возмущения статического давленш могут приводить к существенному изменению интенсивности имеющих ся в канале ударных волн (как в сторону увеличения, так и уменьше ния), а также к изменению их количества и формы, что приводит i глобальному периодическому перестроению всего течения. Численш исследовано влияние пограничных слоев и отрывных зон на процессь колебаний ударных волн.

Разработаны алгоритмы анализа статистических характеристик га зодинамических параметров течений, подверженных случайным botj мущениям. Исследована спектральная плотность и корреляционны характеристики пульсационной составляющей давления и смещени, ударной волны при различном спектральном составе возмущения.

Обоснованность и достоверность результатов следует из кор ректности постановки задач, выбора адекватных математических мс делей для рассматриваемого класса задач и подтверждается всестс роншш тестированием численных алгоритмов и хорошим совпадет ем полученных результатов с теоретическими оценками, расчетными экспериментальными результатами других авторов.

Теоретическая и практическая ценность. Часть полученных

работе результатов, связана с вопросами устойчивости ударных волн и носит теоретический характер. Основные результаты относятся к вычислительной гидродинамике внутренних течений, имеют прикладной характер и могут быть использованы, в первую очередь, при анализе и оценке характеристик, выявлении особенностей газодинамических процессов, происходящих в устройствах типа воздухозаборников реактивных двигателей. Благодаря применению монотонной разностной схемы расщепления потоков повышенного порядка точности, разработанный алгоритм позволяет исследовать достаточно широкий класс внутренних гидродинамических течений с ударными волнами при наличии детерминированных и случайных возмущений.

Апробация работы. Результаты, представленные в диссертации, докладывались на I и II конференциях «Применение математического моделирования для решения задач в науке и технике» в г. Ижевске, 1996, 1998 гг.; на молодежной конференции по математическому моделированию в г.Казани, 1998 г.; на международной конференции по внутрикамерным процессам и горению (1СОС99) в г.Ижевске, 1999г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в семи работал.

Структура и объем работы. Работа состоит из введепия, трех глав, двенадцати параграфов (нумерация параграфов сквозная), заключения, списка литературы и содержит 44 рисунка. Объем диссертации 112 страниц. Библиографический список включает 94 наименования.

Содержание работы

Во введении на основе анализа существующих экспериментальных и теоретических работ обоснована актуальность темы, сформулирована цель работы, общая постановка задачи, показана научная новизна результатов. Излагается краткое содержание работы по параграфам.

В первой главе в рамках, предложенной Ф. Э. К. Куликом и Т.Роджерсом1), гипотезы квазистационарности одномерного течения построена модель колебаний ударной волны в расширяющемся канале в приближении второго порядка точности относительно амплитуды смещений волны. Доказано существование в определенных условиях устойчивого периодического режима колебаний ударной волны при гармоническом возмущении давления.

*) Кулик Ф. Э. К., Роджерс Г. Отклик прямого скачка уплотнения в диффузоре на волновое возмущение //Аэрокосмическаятехника. — 1984. - Т.2. -№6. - С. 19-29.

В первом параграфе строится дифференциальное уравнение, описывающее отклик ударной волны на приходящее справа гармоническое возмущение давления (считается, что газ движется слева направо).

Обозначим: £ — смещение (малое) скачка от своего начального положения, £ = d£/dt — скорость скачка. В силу предположения о квазистационарности выполнено равенство

eM = 1 + JlI[(Ml(í)-{/ai({))'-1]. (!)

Разложим каждую из функций, входящих в (1) в ряд Маклорена по степеням малого параметра £ и отбросим слагаемые порядка малости выше второго. Предположим далее, что

p'2(0,t) = £pi cosui, 0 < £ < 1, ш > О,

тогда для смещения ударной волны относительно ее стационарного положения получим уравнение

(О2 + M + Bti + С£ = £ cos ut, (3)

где А, В, С — константы и выполнены неравенства

Л > 2, В < О, С > 0 (в силу соотношений на ударной волне), ^ О ^ £ < 1 (по определению).

Во втором параграфе изучаются общие свойства уравнения (3), чтс необходимо для выяснения ответа на вопрос о существовании и устойчивости его решений. Показано, что для того, чтобы существовало решение уравнения (3), соответствующее физическому смыслу задачи достаточно, чтобы для всех (£,£) € M х (—оо,б/С] выполнялись уело вия (4) и неравенство

еВ1 + 2Сл/еВ2 + С2 - ЛВС ^ 2С2 - ЛБС. (5;

В третьем параграфе рассматривается вопрос о существовании i единственности решения задачи Коши для уравнения (3), которую удоб но записать в виде

é = -1/2BÉ + v(t,0 - 1/2Л, É(t0) = ío, (6;

где , = 1/2л/(А + 2 — 4С£ 4- 4гсое и>1. Доказано, что для вся кой точки (¿о>£о) € К х (—оо,е/С], при выполнении (4), (5) решешн задачи (6) существует на некотором интервале в М, содержащем точ ку ¿о и это решение единственно. Доказано далее (с учетом теоремь

р ■р

US 0 75

0.S

U - 0JB

Ар --—

%м ---- - и _______

м - Т.1 ■0.3 "—^ - • U

1Л <1.5 ----«.и —■— m —•— «и

.-- -0.7!

. ... J ... . 1 .... i ... . ........... ........

а)

О

б)

Рис. 1. Нормированная функция Пуанкаре; а) при различной интенсивности скачка; б) при различной частоте внешнего возмущения

•1

Чаплыгина и теоремы о продолжаемости), что решение задачи (6) удовлетворяет неравенствам — е/С £(t) <С е/С , t ^ <о .

В четвертом параграфе для ответа на вопрос о существовании Т -периодических решений задачи (6), Т = 2тг/ы, исследуется функция Пуанкаре 'Р(^о) , 'Р(Со) = о) , где — решение за-

дачи (6) при £о € I = [—е/С; е/С]. Доказано, что при выполнении неравенств (4), (5) и

|Я| + \/(ЛС - еЯ)2С-* + 8еС2) С{2С + А\В\), (7)

справедливы оценки V{—e/C) > —е/С, 0 < <№(£o)/r'so < 1, в силу которых, задача (6) имеет единственное Т -периодическое решение.

На рис. 1 изображены графики функции Пуанкаре при различных значениях перепада давления Ар = ру Jpi и циклической частоты /. Значения функции получены численным интегрированием задачи (6) на отрезке t £ [0; Г] для ряда значений £о £ int / . При этом проверялось всякий раз выполнение неравенств (5) и (7). Значения £ п V для удобства сравнения отнесены к величине е/С .

Как следует из рис. 1а, решения задачи (6) при увеличении интенсивности скачка все быстрее приближаются к периодическому (растет устойчивость периодического решения). При Ар = 7.1 график функции Пуанкаре в масштабе рисунка неотличим от прямой, параллельной оси £ , то есть можно считать, что периодические колебания в данном случае вне зависимости от значения устанавливаются за время, равное одному периоду (расчеты проводились для / = 0.08). Рисунок 1 б, свидетельствует о том, что при увеличении частоты внешнего возмущения, соответствующее периодическое решение становится менее

устойчивым.

Во второй главе проводится выбор метода численного решения, для чего решается тестовая задача и сравниваются две монотонные разностные схемы. В одномерном приближении далее решаются: тестовая задача об определении акустического адмитанса дозвукового сопла и задачи о периодических и случайных колебаниях скачка уплотнения. Описаны методы спектрального анализа полученных результатов.

В пятом параграфе приводится система уравнений, описывающих одномерное течение идеальной невязкой среды по каналу переменной площади

FdU/dt + дЕ/дх = G (8)

где U = (р, ри, РЕГ , Е = (puF, (,ри2 + p)F, puHF)* , G = (O.pff.O)*, H , E — энтальпия и энергия соответственно, р = рТ, F — F(r) — площадь поперечного сечения канала. Система приведена к безразмерному виду (в качестве характерных величин выбраны критические параметры газа и линейный размер входного сечения). Для определенности будем считать точку х = 0 входным, а х = L — выходным сечением канала. Решение системы (8) ищется в прямоугольнике (О ^ t ^ <*) х (0 ^ х ^ L). В качестве начального условия задается распределение параметров, отвечающее одномерному стационарному изо-энтропическому течению идеального газа. В сечении х = 0 фиксируется значение полной энергии, давление определяется экстраполяцией. На выходной границе задается только статическое давление.

В шестом параграфе на основе явной схемы расщепления Стегера-Уорминга 2) для одномерного приближения строятся два варианта раз-лосхных схем повышенного порядка точности, отличающиеся способом аппроксимации пространственных производных^ -

В одном случае используется интерполяционный полином с ограничителем Чакравати-Ошера3) («схема А»). В другом случае («схема Б») для вычисления потоков в «полуцелых» узлах сетки применяется полином, обеспечивающий второй порядок аппроксимации производной dXS/dx в областях гладкости U. В окрестностях сильных изменений решения порядок аппроксимаци понижается до первого действием ограничителя Вязникова4). Далее численно исследуются свойства разност-

2) Андерсон Д., Тоннехил Док., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. — М.: Мир, 1990. - Т. 1.

3) Chakravathy S.R., Osher S. Computing with high-resolution upwind schemes for hyperbolic equations// Lect. Appl. Math.- 1985 - V.22, №1- P.57-86.

4) Вязников К.В., TutuKUH В.Ф., Фаворский А.П. Построение монотонных раз-

ных схем А и Б. Для этого решается задача об определении скорости движения прямого скачка в канале постоянного сечения при заданном изменении давления за скачком (рг )- Вычисления показали удовлетворительное согласование с аналитическим решением, при этом ошибка определения скорости волны при применении схемы Б оказалась в 2 раза меньше, чем для схемы А. Кроме того, в канале за скачком при его движении против потока были получены колебания давления (и других параметров течения), обусловленые аппроксимационными свойствами разностной схемы. Среднеквадратичное отклонение давления от среднего значения при расчетах по схеме Б оказалось примерно в 2.5 раза меньше, чем для схемы А. Для дальнейших расчетов использовалась схема Б и ее обобщение на плоский случай.

Решение задачи, состоящей в определении закона колебаний прямого скачка уплотнения при наличии малых гармонических возмущений статического давления показало хорошее согласование с приближенным аналитическим решением, полученным в первой главе.

Рассмотрим подробнее последнюю задачу этого параграфа об установившихся колебаниях с большой амплитудой в сужающемся-расширяющемся канале, когда частота возмущений давления /о = 0.06, а амплитуда состазляет 20% от его стационариого значения. Найденное методом установления решение системы (8) возмущается синусоидальными колебаниями статического давления в выходном сечении. Расчет продолжается до установления периодического режима течения, обычно на это требуется около 7-10 периодов изменения граничных условий. На рис. 2 показаны изолинии функции давления р = р(х, д), 0 - фаза колебаний в выходном сечении. Линии с отрицательным наклоном, соответствуют распространению возмущений против потока.

В начале периода от выходного сечения распространяется волна сжатия и ее интенсивность увеличивается (это видно но сгущению изолиний). В определенный момент времени волна сжатия встречается со скачком уплотнения, двигавшимся навстречу, и образуется ударная волна большой интенсивности В это время от выходного сечения распространяется уже волна разряжения. В окрестности точки х = 6.3 она взаимодействует с отраженной от скачка волной сжатия, которая имеет существенно меньшую амплитуду. На диаграмме это заметно по «излому» изолиний. Скачок уплотнения достигает своего крайнего левого положения и начинает двигаться в противоположную сторону. За-

ностных схем повышенного порядка аппроксимации для систем уравнений гиперболического типа //Матем. моделирование.— 1989.- Т.1.— №5.- С. 95-180.

Рис. 2. Изолинии функции давления р(х, в) при гармоническом возмущении частоты /о = 0.06

тем процесс повторяется.

Рассмотрим спектральный состав колебательной составляющей давления (р'). Для этого воспользуемся соотношением

2

Т ~

(Зр')к,] —

N

~ехр

где р(г^) —среднее значение давления рЦ,х) по I на отрезке [О, ТЩ , вычисленное в точке х^ , N — количество отсчетов, Т — временной интервал между отсчетами. Величина называется спектраль-

ной плотностью и характеризует вес с которым в спектральное раз-

(9)

ложение процесса в сечении входит гармоническая составляющая частоты и = 2ккп/И .

На рис. За представлен график 5Р'(/, х) . При удалении от выходного сечения (х — 8.88) в спектре появляются сначала один а затем другой пик на частотах 2/о и З/о , что свидетельствует об отклонении закона колебаний от гармонического. На рис. Ъб изображена спектральная плотность смещений скачка х, (I). Период колебаний скачка совпадает с периодом колебаний выходного давления, но движение происходит но закону, существенно отличному от гармонического Границей распространения возмущений является крайнее верхнее пс потоку положение скачка уплотнения. Показано, что представленна« одномерная модель описывает происходящие процессы подробнее, чек квазистационарное приближение (3), в виду того, что возмущения I

пульсаций давления как функция координаты х и частоты /; б) спектральная плотность смещений скачка х,{Ь)

этом случае нельзя считать малыми.

В заключительной части параграфа производится проверка пригодности выбранной разностной схемы для расчета распространения акустических возмущений. Для этого решается задача об определении адмитанса дозвукового сопла. Сравнение результатов расчетов с приближенным аналитическим решением и экспериментальными данными М.А. Ильченко5) показывает, что численное решение в пределах точности метода совпадает с приведенным в указанной работе.

В седьмом параграфе рассматриваются колебания скачка уплотнения, вызванные случайными изменениями давления на выходной границе канала.

Колебания давления определяюся случайным процессом £(<, ф), ф Е Ф (Ф - пространство элементарных событий), каждая траектория которого при фиксированном ф = ф* представляет собой кусочно-постоянную на интервалах длины Л непрерывную справа функцию £ , принимающую два значения 1 и — 1 . Координата первой точки «переключения» является случайной величиной, равномерно распределенной на интервале (О, Л). Величина 0 < Р < 1 — вероятность перехода в момент времени ^ = 1+ к • Л , к = 0,1,... из одного состояния в другое. Граничное условие для давления имет вид р(г,Ь)=рг( 1+аф,р)).

На рис. 4а представлена нормированная функция взаимной корреляции пульсационной составляющей давления (по смыслу аналогич-

5) Устойчивость рабочего процесса в двигателях летательных аппаратов/ М.А. Ильченко, В.В. Крютченко, Ю.С. Мнацаканян и др. — М.'.Машиностроение, 1995. - 320 с.

а) б)

Рис. 4. Пространственно-временная корреляционная функция (а) и спектральная плотность (б) (я, /) для случая узкополосного случайного возмущения ( Р = 0.25 , Л = 9 )

ная х-1 -диаграмме детерминированных колебаний) для случая узкополосного случайного возмущения (Р = 0.25, А — 9). Параметры выбраны таким образом, чтобы первый локальный минимум спектральной плотности процесса £(<, ф) пришелся на частоту — 0.12 . Данное значение является первой характерной частотой для области, ограниченной с одной стороны скачком уплотнения, с другой — выходным сечением канала при наличии среднего потока.

Штрих-пунктирной линией показано геометрическое место максимумов корреляционных кривых в различных сечениях — гребень, наклон которого характеризует скорость распространения возмущений.

Форма гребня на рис. 4а свидетельствует о том, что возмущения распространяются от выходногсгсечения с^остояннойчжоростью^примерн но равной а — ы) до сечения х ^ 6.25 , то есть до крайнего правого положения скачка. Как и в случае детерминированных колебаний границей распространения возмущений являеется крайнее верхнее по потоку положение ударной волны. Затененная область на диаграмме соответствует отрицательным значениям корреляции. Чередование областей положительной и отрицательной корреляции с безразмерным периодом 20 свидетельствует о преобладании колебаний частоты / = 0.05. Волны давления, вызванные отражением возмущений от ударной волны, имеют небольшую интенсивность и их можно обнаружить по наличию седловых точек, которым соответствует пересечение изолиний на контурной диаграмме.

На рис. 46 показана спектральная плотность колебательной со ста-

вляющей давления §р> (ж, /). «Всплеск» спектра обусловлен колебаниями скачка уплотнения около своего среднего положения. Амплитуда перемещений примерно вдвое меньше (а амплитуда возмущений меньше в 20 раз), чем при гармонических колебаниях. Хорошо видны на рисунке два локальных максимума находящихся на первой характерной частоте ( /1 = 0.12).

Далее рассматривается широкополосный случайный процесс (дискретный «белый шум»). Параметры (Р = 0.46, Л = 4.8) выбраны таким образом, чтобы существенное уменьшение амплитуд гармоник начиналось с частоты / = 0.2. Пространственно-временная корреляционная зависимость в данном случае отличается от представленной на рис. 4а отсутсвием свидетельств о преобладающей периодичности колебаний скачка, а спектральная плотность сосредоточена в основном на низких частотах.

В третьей главе рассматривается в двумерном приближении задача, о колебаниях ударной волны в сужающемся-расширяющемся канале, вызванных синусоидальными и случайными возмущениями давления в выходном сечепии. Постановка задачи соответствует наблюдаемому в экспериментах режиму, когда трехмерные особенности течения слабо выражены.

В восьмом параграфе приводится общая постановка задачи. Интересующее нас течение вязкой сжимаемой среды описывается системой уравнений Навье-Стокса

Зи/З« + 5Е/д£ + в¥/дг, = + <9 \У/дг), (10)

где и = (р,ри,ру, рЕ)*, Е= (ри, ри2 + р, рьи, риН)*, Р = (ру,риу,ру2 + р, руН, )*, V = (0, г1ь па, «Гц + ут12 + хдТ/д(,)% ™ = (0, г2и г22, итц + ут22 + хдТ/дг),)*. Здесь х - коэффициент теплопроводности, с^ удельная теплоемкость при постоянном объеме, -у - показатель адиабаты, г^ - компоненты тензора вязких напряжений. Остальные обозначения те же, что и в одномерном случае.

Решение системы (10), ищется в цилиндре П х [0,Г], основанием которого является область £2 с границей Г = Г1 и Г2 и Гз и Г4 , представляющая собой сужающийся-расширяющийся канал, ограниченный твердыми непроницаемыми стенками Гг , Г4 , входным сечением Г1 и выходным Гз (среда двигается слева направо). Начальные и граничные условия на Гг и Гз определяются аналогично одномерному случаю, на Г2 и Г4 ставятся условия прилипания и отсутствия тепловых потоков.

В девятом параграфе описывается метод численного интегрирова-

ния системы (10). Перед построением конечно-разностного аналога для (10) уравнения приводятся к безразмерному виду. Затем производится преобразование координат (ж, у) , переводящее исходную область О в Г2' = {(ж, у): х 6 [0,1], у € [0,1]} . Полунеявная разностная схема строится аналогично схеме Б в одномерном случае. Применяемая во всех расчетах сетка содержит 80 узлов по длине, 60 по высоте и экспоненциально сгущается к непроницаемым границам (Гг , Г4).

В десятом параграфе приведено решение системы (10) при стационарных граничных условиях полученное методом установления, которое используется далее в качестве начального условия при расчете возмущенных течений.

В одинадцатом параграфе изучаются режимы течения при гармоническом возмущении давлепия различной частоты на выходной границе. Рассмотрено три варианта: / = {0.06,0.12,0.03} . Анализ результатов расчета показывает хорошее их соответствие данным приведенным в работе Т. Хси., А. Уордлоу., Т. Кроукли.6), где рассмотрен случай / = 0.06 (300 Гц).

Процесс установившихся колебаний в канале можно разделить на несколько стадий. В начале цикла изменения давления (рис. 5а,б, I < 0.2 на рис. 6) скачок небольшой интенсивности движется вверх по потоку. Отрывные зоны отсутствуют. От выходного сечения распространяется волна сжатия (рис. 5в, 0.2 < I < 0.3 на рис. 6). Ее интенсивность увеличивается и на стенках возникают зоны отрывного течения (рис. 5г). Образовавшиеся структуры двигаются против потока (рис. 5д, 0.3 < { < 0.5 на рис. 6), волна сжатия догоняет замыкающий скачок (рис. 5е, I ~ 0.5 на рис. 6). и образуется система скачков, движущихся против потока (рис. Ъж, 0-5 < £ < 0.6 на рис. 6), при этом ин-тенсшшость замыкающего скачка уменьшается (рис. 5з, 0.6 < < < 0.7 на рис. 6). На последней стадии замыкающий скачок останавливается и начинает медленно смещаться вниз по потоку к положению, занимаемое им в начале цикла (рис. 5и,к, 0.7 < I < 0.9 на рис. 6). Зоны отрыва вырождаются.

Далее рассмотрен случай / = 0.12. В отличие от предыдущего, здесь в начале цикла вблизи критического сечения находятся два слабых скачка. Первый смещается по течению, второй — против. На верхней стенке отсутствуют ярко выраженные проявления процесса отражения волны давления. Общее время существования отрывных зон (от-

6) Хси Т., Уордлоу А. В., Кроукли Т. Влияние пульсаций давления в камере ПВРД на течение во входном диффузоре // Аэрокосмическая техника. - 1988. -т. - С. 122-129.

Рис. 5 (з-к). Изолшши числа Маха при различных значениях фазы колебания для / = 0.06

несенное к величине периода) в 1.6 раза меньше, чем при / = 0.06.

Весьма существенно от рассмотренных ранее отличается течение полученное при частоте / = 0.03. На рис. 7 показаны изолинии числа Маха, интервал между графиками составляет 1/12 периода изменения р{1, Ь). Рис. 7а соответствует нулевой фазе колебания На рис. 8 изображены линии тока. Опи построены только вблизи стенок для выделения областей отрыва течения.

В начале цикла (рис. 7а) в канале находится три скачка уплотнения и зоны отрыва на обеих стенках (рис. 8а), содержащие по два вихря. Ударные волны и зоны отрыва двигаются против течения, при этом интенсивность скачков и толщина отрывных зон увеличиваются (рис. 76г, рис. Ъб-г). Достигнув критического сечения замыкающий скачок вырождается, а на нижней стенке происходит присоединение и повторный отрыв (рис. 8г). Такое взаимное расположение отрывных зон приводит к существенному искривлению потока, не наблюдавшемуся ни в одном из рассмотренных до этого случаев. Далее поток постепенно выравнивается и ведет себя в основном так же как и в предыдущих случаях.

Обобщая результаты, полученные для трех случаев различных частот можно выделить следующие характерные особенности: во-первых, периодическое образование и исчезновение замыкающего скачка уплотнения в расширяющейся части канала. При этом может происходить

Рис. 6. Изолинии функции р = р(£, £) : а) ось канала; б) верхняя стенка; I— относительное время в долях периода

«деление» его на две волны меньшей интенсивности. Во-вторых, периодическое образование, движение и исчезновение протяженных зон отрыва. В случае f — 0.03 это приводит к значительному искривлению течения в ядре потока. В-третьих, отражение волны сжатия от верхней стенки канала и ее движение вниз по потоку оказывает заметное влияние на течение по всей высоте канала. Наиболее ярко этот процесс проявляется в случай j = 0.06 и наименее — при f = 0.12 .

В двенадцатом параграфе рассматривается течение в канале при случайных колебаниях давления в выходном сечении. По аналогии с одномерным случаем исследуются течения при наличии широкополосных и узкополосных случайных возмущений.

На рис. 9 изображены графики среднеквадратического отклонения давления р, характеризующего интенсивность пульсаций. Для двух случаев, достаточно сильно различающихся спектральным составом, данные зависимости практически одинаковы. Абсолютный максимум на кривых 1 (ось канала) соответствует среднему положению скачка уплотнения, следующий ниже по течению локальный максимум вызван смещениями второго скачка уплотнения меньшей интенсивности. Полученные зависимости хорошо соответствуют результатам экспериментов, где наблюдается прннебрежимо малый уровень пульсаций перед ударной волной, затем ярко выраженный максимум и почти постоянный уровень пульсаций в дозвуковой области вниз по потоку.

На рис. 10 показана оценка спектральной плотности колебательной составляющей давления Sp> (£, /) . Разрешение спектра по частоте составляет 0.005. На рис. 1 Об в сечении среднего положения скачка (£ = 4.2) есть локальный максимум на второй собственной ча-

г)

Рис. 7. Изолинии числа М в зависимости от фазы колебаний ( / = 0.03 )

- ___-

1 ■ г ---;"""" «—---1 1 | -1- а) т

......|..|.....-> . . ^ ^

• 1.!

в)

^^ __________■ -——— -----1 а...... —"" 1 •

г)

Рис. 8. Линии тока при различных значениях фазы колебаний ( / = 0.03 )

0.10 0.14 0.12 0.1 ВЛ ДО

ом 022

- / // | ' 1 1 1 ' 1 1! 1

- ^___.. ___

............ 1.... ■.... 1.... 4 6 в Т * X

О 16 014 012

сое ом С 02

Л ' 1 _ 1

/1 ' -------з

Ь1

А '

......'-----:.......

1 ...»

а) б)

Рис. 9. Среднеквадратическос отклонение давления; а) узкополосные случайные возмущения; б) широкополосные случайные возмущения; 1— ось канала; 2— верхняя стенка; 3— нижняя стенка

Рис. 10. Спектральная плотность пульсаций давления на оси канала 5;,' (£, /) а) узкополосные случайные возмущения; 5) широкополосные случайные возмущения

стоте / = 0.21, отсутствующий в оценках, выполненных по одномерной модели. По изолиниям нормированной пространственно-временной корреляционной зависимости для пульсационной составляющей давления (рис. 11) можно четко выделить два семейства возмущений — это волны распространяющиеся от выходного сечения вглубь канала (гребень А) и возмущения, вызванные колебаниями скачка уплотнения, двигающиеся вниз по течению (гребень В). Это сущетвенно отличается от одномерного случая (рис. 4). Кроме того, обнаруживается гораздо более сильная связь между колебаниями давления по разные стороны от скачка. Так на рис. 11 не заметно уменьшения значений корреляции левее крайнего верхнего положения ударной волны (отметитим, что амплитуда колебаний давления перед скачком в десятки раз меньше чем за ним), в то время как на рис. 4 такое понижение ярко выражено.

Сравнение полученных результатов с экспериментальными данными свидетельствует, что предложенная математическая модель отра-

Рис. 11. Изолинии нормированной пространственно-временной корреляционной зависимости С(£, £) для оси канала: а) узкополосные случайные возмущения; б) широкополосные случайные возмущения

жает наиболее характерные особенности рассматриваемых нестационарных течений, такие как взаимное влияние пограничного слоя и процесса колебаний скачка, количество и расположение максимумов в спектрах колебаний давления, распределение интенсивности пульсаций по длине канала. Однако, в расчитаяных спектрах отсутствуют наблюдаемые в экспериментах локальные максимумы на высоких частотах, обусловленные образованием и движением мелкомасштабных турбулентных вихрей.

Заключение

1. По одномерной квазистационарной модели проведены теоретические исследования устойчивости колебаний прямого скачка уплотнения при наличии гармонических возмущений давления. Получены условия существования периодического решения, критерии его устойчивости и единственности.

1. Построены одномерная и двумерная математические модели внутренних течений при наличии детерминированных и случайных возмущений статического давления различного спектрального состава.

3. Построены и численно исследованы свойства двух монотонных разностных схем повышенного порядка точности.

4. Проведены численные исследования колебаний ударных волн и их влияние на параметры течения при различных частотах гармонического возмущения давления. Показано существенное влияние возмущений на характер течения, а именно: периодическое изменение интенсивности, количества и формы ударных волн, толщины пограничного слоя, количества и расположения зон отрывного течения.

5 . Разработаны алгоритмы анализа статистических характеристик

газодинамических параметров течений, подверженных случайным возмущениям.

6. Проведены численные исследования колебапий ударных волн и их влияние на параметры течения при наличии случайных возмущений давления разного спектрального состава (узкополосный процесс и «дискретный белый шум»). Показано, что предложенная математическая модель хорошо отражает такие, наблюдаемые в экспериментах, особенности рассматриваемых течений как распределение интенсивности пульсаций (среднеквадратичного отклонения) давления по длине канала, «модуляция» (корреляционная связь) характеристик пограничного слоя и отрывных зон колебаниями скачка, количество и расположение максимумов на спектрах давления.

Публикации по теме диссертации

1. Кисаров Ю.Ф., Тонкое Л.Е. Создание неявных псевдоспектральных методов для расчета трехмерных турбулентных течений./ Отчет по НИР ИПМ, инв. №02940002353 ВНТИЦ. — Ижевск, 1994. - 52 с.

2. Тонкое Л.Е. Моделирование неустойчивости ударных волн в каналах //Матем. моделирование. - 1997. - Т.9. - №2. - С. 102-105.

3. Кисаров Ю.Ф., Тонкое Л.Е. Создание програмных комплексов расчета двумерных нестационарных газодинамических процессов./ Отчет по НИР ИПМ, инв. №02940002410 ВНТИЦ. — Ижевск, 1997. - 61 с.

4. Кисаров Ю.Ф., Тонкое Л.Е. Колебания прямого скачка уплотнения в канале переменного сечения// Материалы молодежной научной школы-конференции по математическому моделированию, геометрии и алгебре (Казань, 4-11 декабря 1997 г.) — Казань, 1998. - С.195-201.

5. Тонкое Л.Е. Моделирование колебаний скачка уплотнения в канале переменного сечения //Известия Института математики и информатики. — Ижевск, 1998. - Вып. 1(12). - С. 3-28.

6. Кисаров Ю.Ф., Тонкое Л.Е. Моделирование случайных колебаний скачка уплотнения в канале переменного сечения //Внутрикамер-ные процессы и горение в установках на твердом топливе и ствольных системах (1СОС99). Материалы докл. 3-й Междунар. научн. конф. 2125 июня 1999г.— Ижевск, 2000-С.34-42.

7. Кисаров Ю.Ф., Тонкое Л.Е. Периодические колебания скачка уплотнения в канале переменного сечения //Вестник Удмуртского университета. — Ижевск, 2000. -№1. - С. 28-37.

Введение

Список обозначений

I. Квазистационарные колебания прямого скачка уплотнения

1. Основные соотношения.

2. Уравнение движения скачка.

3. Доказательство существования периодических решений

4. Построение функции Пуанкаре и исследование устойчивости периодических решений.

II. Моделирование колебаний скачка уплотнения в одномерном приближении

5. Постановка задачи.

6. Поведение ударной волны при детерминированном возмущении

6.1. Выбор разностной схемы. Реализация граничных условий.

6.2. Задача об определении акустической проводимости дозвукового сопла.

6.3. Отклик ударной волны на гармоническое возмущение

7. Поведение ударной волны при стохастическом возмущении

7.1. Выбор модели стационарного случайного возмущения

7.2. Вычисление спектральной плотности

7.3. Случайные колебания скачка уплотнения.

Проектирований современных силовых установок летательных аппаратов (сверхзвуковых авиационных [1, 2, 3] и прямоточных воздушно-реактивных ракетных двигателей [4, 5]) требует проведения с высокой точностью предварительных оценок внутренней аэродинамики создаваемой конструкции. Важным элементом таких оценок является определение характеристик течения в канале системы воздухозаборник-диффузор. В частности существенным является определение положения и формы замыкающего скачка, так как он оказывает сильное влияние на устойчивость и характер течения в целом. Этот факт отмечается в экспериментальных исследованиях трансзвуковых течений в диффузорах [6, 7, 8, 9, 10, 11]. Исследования в основном были направлены на изучение структуры и свойств системы скачков уплотнения, возникающей при торможении сверхзвукового потока в канале, а также на выяснение особенностей вязкого взаимодействия ударной волны с пограничным слоем.

В связи с актуальностью данной задачи Дж. К. Кроутилом, М. Сей-беном, К. П. Ченом и Т. Дж. Богаром был выполнен значительный объем экспериментальных исследований [12, 13, 14] которые охватывали определение как осредненных, так и нестационарных параметров течений при наличии умеренно сильных скачков уплотнения в модели диффузора, представляющей из себя сужающийся-расширяющийся канал. Интересно отметить, что указанные исследования были направлены в первую очередь на получение материала, необходимого для отработки и проверки численных методов расчета течений в воздухозаборниках.

Результаты экспериментальных исследований показали, что течение в окрестности скачка имеет достаточно сложную структуру: оно включает области отрыва, обусловленные взаимодействием скачка и пограничного слоя. При этом положение скачка очень чувствительно к характеру изменения площади попереченого сечения канала.

Одной из первых работ, где построена и изучается аналитическими методами модель взаимодействия прямого скачка уплотнения в расширяющемся канале и синусоидального возмущения давления была работа Ф.Э.К. Кулика и Т. Роджерса [48]. Ими рассматривалось одномерное квазистационарное приближение и задача описания процессов в воздухозаборнике сводилась к задаче взаимодействия скачка и акустических волн давления. Предположение о квазистационарности означает, что в каждый момент времени течение в окрестности скачка удовлетворяет соотношениям, справедливым, строго говоря, лишь для стационарного случая с теми же условиями разрыва.

Результаты исследований, приведенные в [48], могут быть применены для определения отражающей способности скачка при оценке характерных частот канала со средним потоком, тестирования численных методов и в качестве источника информации при анализе экспериментальных данных. Однако, нелинейный анализ течения выполнен только для канала постоянного сечения и обобщение результатов данной работы на случай расширяющегося канала представляет практи-чесий интерес.

Значительное увеличение сложности формы воздухозаборника и подводящего тракта реактивного двигателя, появление новых конструктивных схем [15], произошедшие за последнее время, привели, с одной стороны, к невозможности использовать простые аналитические методы для оценки их характеристик, с другой — к возросшей трудоемкости проведения экспериментов [16, 17].

Сочетание указанных факторов делает весьма актуальной задачу разработки новых методов и алгоритмов расчета нестационарных течений в каналах с учетом взаимодействия ударных волн и пограничного слоя с образованием отрывных зон.

Одним из первых способов расчета вязких течений является разбиение исходной области на область невязкого ядра потока и пограничный слой. В каждой подобласти используются различные системы уравнений [18, 19, 20]. Принципиальным недостатком такого подхода является сложность адекватного учета в существенно нестационарном случае взаимодействия скачка уплотнения с пограничным слоем и отрыва потока [21, 22]. Следовательно, для моделирования должны применятся методы, основанные на интегрировании полной системы уравнений Навье-Стокса [23, 24].

Из-за наличия в изучаемых нестационарных течениях скачков уплотнения и развитого пограничного слоя к численным методам решения уравнений математической модели предъявляются строгие требования многие из которых противоречат друг другу [25]. Например, метод должен обеспечивать высокое разрешение фронта двигающейся ударной волны и в то же время являться методом сквозного счета, обладать одновременно высоким порядком аппроксимации решения и достаточным запасом устойчивости.

Указанным требованиям во многом удовлетворяют, появившиеся в последнее десятилетие монотонные разностные схемы [26, 27, 28, 29, 30], при построении которых использованы новые идеи и принципы: невозрастание полной вариации решения [32] (TVD-схемы), ограниченности полной вариации решения (TVB-схемы), неувеличение числа локальных экстремумов решения при ограниченном росте его полной вариации [33] (ENO-схемы). Численные схемы данного класса достаточно полно исследованы как теоретически, так и практически [29, 38, 39, 40, 41] и с успехом применялись для расчета сложных гидродинамических задач к которым относится и рассматриваемые в работе течения. В частности, с применением указанных разностных схем, A.M. Липа-новым, Ю.Ф. Кисаровым, С.Ю. Кисаровой [42, 43, 44] исследовались нестационарные течения в ракетных двигателях а А.Н. Гильмановым, H.A. Кулачковой, A.M. Пановой [45, 46, 47] торможение сверхзвукового потока в каналах.

Самостоятельной задачей является изучение влияния изменений параметров в камере сгорания двигательной установки на течение в подводящем канале. Описание результатов экспериментальных исследований в этом направлении можно найти в [12, 13]. В указанных работах отмечается, что пульсации давления в камере, имеющие большую амплитуду, приводят к существенному изменению положения и интенсивности скачка, возникновению и исчезновению отрывных зон, деформации профиля скорости в выходном сечении канала. Отмечается также и ряд принципиальных трудностей при проведении подобных экспериментальных исследований. В частности, невозможность воспроизвести колебания статического давления с большой амплитудой (порядка 20% от среднего значения), произвольно задавать закон изменения давления в выходном сечении. Кроме того, затруднительно определить, например, давление и скорость потока в произвольной точке области без внесения заметных искажений.

В работах [14, 49] отмечается также, что течение в диффузорах всегда в той или иной степени нестационарны. Наблюдаемые при проведении экспериментов пульсации газодинамических величин и, как следствие, колебания системы скачков уплотнения носят стохастический характер.

Таким образом, необходимо, чтобы математическая модель учитывала влияние на параметры течения как детерминированных так и случайных возмущений различного спектрального состава. В данной работе рассматриваются различные варианты задания случайных колебаний давления и способы анализа получаемых при этом результатов.

Итак, целями данной работы являются:

1) построение математических моделей движения ударной волны в канале переменного сечения при наличии детерминированных и случайных возмущений;

2) создание эффективных алгоритмов расчета параметров нестационарного течения, содержащего ударные волны и развитые отрывные зоны и методов статистической обработки получаемых результатов.

3) численное исследование устойчивости ударных волн в сужающихся-расширяющихся каналах при различных условиях, механизмов, обеспечивающих эту устойчивость, а также связи детальной структуры течений с процессами колебаний ударных волн.

Работа состоит из введения, трех глав, двенадцати параграфов (нумерация параграфов сквозная), списка литературы и заключения.

В первой главе на основе, предложенного Ф. Э. К. Куликом [48], одномерного квазистадионарного приближения построена модель колебаний ударной волны в расширяющемся канале в приближении второго порядка точности относительно амплитуды смещений волны. Доказано (при определенных допущениях) существование устойчивого периодического режима колебаний ударной волны при гармоническом возмущении давления.

Во второй главе проведено практическое сравнение двух монотонных разностных схем повышенного порядка точности по пространственным переменным, основанные на методе Стегера-Уорминга [35]. При помощи численного интегрирования одномерных уравнений газодинамики решены тестовые задачи об определении акустического ад-митанса дозвукового сопла и о равномерном движении скачка уплотнения в канале постоянного сечения. Численно решены задачи о колебаниях ударной волны, вызванных синусоидальными и случайными возмущениями давления. Описаны методы спектрального и корреляционного анализа результатов. Полученные решения сопоставляются с результами первой главы и сравниваются с экспериментальными данными, представленными в [50, 52].

В третьей главе путем численного интегрирования системы уравнений Навье-Стокса в двумерном приближении решается задача о движении ударной волны по каналу переменного сечения при наличии гармонических и случайных возмущений давления. Рассмотрено влияние синусоидального возмущения давления при трех различных частотах и влияние случайных возмущений различного спектрального состава. Проведено сравнение с результатами [12, 13, 14, 50].

Результаты, представленные в диссертации, опубликованы в работах [53, 54, 55, 56, 57, 58, 59] и докладывались на I, II конференциях «Применение математического моделирования для решения задач в науке и технике» в г. Ижевске, 1996, 1998 гг.; на молодежной конференции по математическому моделированию в г.Казани, 1998 г.; на международной конференции по внутрикамерным процессам и горению (1СОС99) в г.Ижевске, 1999г.

Список основных обозначений р — плотность; и, V — проекции вектора скорости на оси 0£ и Оту; р — статическое давление;

Т — температура; период колебаний; интервал дискретизации процесса; Е — энергия; Н — энтальпия; а — скорость звука; 7 — показатель адиабаты Пуассона; М — число Маха; функция Пуанкаре; £ — время; — смещение (малое) скачка уплотнения от своего стационарного положения; г] — нормированный акустический адмитанс; координаты в исходной области (О,); х,у — координаты в преобразованой области (ГУ); «7 — определитель якобиана преобразования ^ —» П'; Е(х) — площадь поперечного сечения канала; и — круговая частота колебаний; Шгь — пространственно-временная сетка; / — нормированная циклическая частота колебаний (число Струхаля);

3 — фазовый сдвиг волны, отраженной прямым скачком уплотнения; ограничитель Вязникова; в(и>) — спектральная плотность; £(/п) — оценка спектральной плотности; С[т — нормированная оценка функции взаимной корреляции; случайный стационарный процесс;

Р, <5 — параметры, определяющие вид спектральной плотности процесса (-Р + Ф = 1);

Л — величина в (1.8),(1.9), характеризующая нелинейность колебаний; масштабирующий параметр процесса £(£, ?/>); г — шаг дискретизации по времени; кх,Ну — шаги разностной сетки по пространству вдоль осей Оя и О у соответственно.

Заключение

1. По одномерной квазистационарной модели проведены теоретические исследования устойчивости колебаний прямого скачка уплотнения при наличии гармонических возмущений давления. Получены условия существования периодического решения, критерии его устойчивости и единственности.

2. Построены одномерная и двумерная математические модели внутренних течений при наличии детерминированных и случайных возмущений статического давления различного спектрального состава.

3. Проведено построение и численное исследование свойств двух монотонных разностных схем повышенного порядка точности. На основе результатов решения тестовых задач показана возможность возникновения при определенных условиях колебаний решения имеющих численную природу.

4. Проведены численные исследования колебаний ударных волн и их влияние на параметры течения при различных частотах гармонического возмущения давления. Показано существенное влияние возмущений на характер течения, а именно: периодическое изменение интенсивности, количества и формы ударных волн, толщины пограничного слоя, количества и расположения зон отрывного течения.

5 . Разработаны алгоритмы анализа статистических характеристик (функция взаимной корреляции, спектральная плотность, стандартное отклонение, математическое ожидание) газодинамических параметров течений, подверженных случайным возмущениям.

6. Проведены численные исследования колебаний ударных волн и их влияние на параметры течения при наличии случайных возмущений давления разного спектрального состава (узкополосный процесс и «дискретный белый шум»). Показано, что предложенная математическая модель хорошо отражает такие, наблюдаемые в экспериментах, особенности рассматриваемых течений как распределение интенсивно

103 сти пульсаций (среднеквадратичного отклонения) давления по длине канала, «модуляция» (корреляционная связь) характеристик пограничного слоя и отрывных зон колебаниями скачка, количество и расположение максимумов на спектрах давления.

1. Герман Р. Сверхзвуковые входные диффузоры. — М.: Физматгиз, 1960. 290 с.

2. Пирумов У.Г., Росляков Г.С. Газовая динамика сопел.— М.:Наука, 1990. 364 с.

3. Воздухозаборники летательных аппаратов для сверхзвуковых и гиперзвуковых скоростей. Обзор по материалам иностранной печати /М.: ОНТИ ЦАГИ. -№658. -250с.

4. Аэродинамика ракет: пер. с англ./ Под ред. А.Д. Хонькина. — М.: Мир, 1989. Кн.1. - 426 с.

5. Теория и расчет воздушно-реактивных двигателей. — М.: Машиностроение, 1989. 568 с.

6. Saiben M., Kroutil J.C., and Chen C.P. "A High-Speed Shlieren Investigation of Diffuser Flows with Dynamic Distorsion", AI A A Paper 77-875, July 1977.

7. Meier G.E.A., "Shock induced Flow Oscillations", AGARD Conference Procedings on Flow Separation, No. 168, 1974.

8. Березовский A.B., Панченко В.И., Владимиров А.Г. Торможение сверхзвукового потока в канале некруглого поперечного сечения //Изв. ВУЗов. Авиационная техника. 1989. - №2. - С. 23-26.

9. Зубков А.И., Соркин Л.И. Влияние вязкости на течение в области прямого скачка уплотнения //Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. 1961. - т. - С. 114-120.

10. Ударные волны в реальных газах /Баженова Т.В. и др. — М.: Наука, 1968. 198 с.

11. Новиков В.Н., Котельников A.M., Хомяков A.M. и др. Конструкция и расчет комбинированных ракетно-прямоточных двигателей твердого топлива. Учебное пособие. — М.: МАИ. 1984. - 69с.

12. Чен К. П., Сейбен М., Кроутил Дж. К. Колебания ударной волны в диффузоре в области трансзвукового течения //Ракетная техника и космонавтика. 1979. - ТЛ7. - №10. - С. 65-75.

13. Богар Т. Дж., Сейбен М., Кроутил Дж. К. Экспериментальное исследование параметров течения и характерных частот возмущений в сверхзвуковых диффузорах //Аэрокосмическая техника. 1984. -Т.2. - №5. - С. 3-14.

14. Богар Т. Дж., Сейбен М., Кроутил Дж. К. Экспериментальное исследование течений в плоских воздухозаборниках //Аэрокосмическая техника. 1985. - Т.З. - №10. - С. 3-13.

15. Курзинер Р.И. Реактивные двигатели для больших сверхзвуковых скоростей полета. — М.: Машиностроение, 1989. 264 с.

16. Гесснер Ф.Б., Фергюсон С.Д., Лоу К.Х. Экспериментальное исследование сверхзвукового турбулентного течения в канале квадратного сечения //Аэрокосмическая техника. 1987. - №12. - С. 40-50.

17. Уэбстер Ф.Ф. Экспериментальная разработка прямоточных воздушно-реактивных двигателей //Аэрокосмическая техника. -1990. №6. - С. 9-25.

18. Адамсон Т.К. мл., Месситер А.Ф., Лиу М.С. Движения с большой амплитудой ударных волн в околозвуковых течениях в плоских каналах// Ракетная техника и космонавтика. 1978. - №12. - С. 32-41.

19. Наполитано М., Верле М. Дж., Дэвис Р.Т. Численный метод решения задач с использованием трехслойной схемы течения //Ракетная техника и космонавтика. 1979. - Т.17. - №7. - С. 35-44.

20. Тимошенко В.И. Сверхзвуковые течения вязкого газа — Киев: На-укова думка, 1987. 184 с.

21. Барнетт М., Девис Р. Расчет сверхзвуковых течений с сильным вязко-невязким взаимодействием //Аэрокосмическая техника. -1987. №5. - С. 96-103.

22. Гогиш Л.В., Степанов Г.Ю. Отрывные и кавитационные течения: основные свойства и расчетные модели. — М.: Наука, 1990. 310 с.

23. Kumar A., "Numerical Analysis of the Scramjet-Inlet Flow by Using Two-Dimensional Navier-Stokes Equations," TP-1940, Dec. 1981.

24. Найт Д.Д. Улучшенный метод расчета высокоскоростных течений в воздухозаборниках //Ракетная техника и космонавтика. 1981. -Т. 19. - №1. - С. 23-33.

25. Самарский A.A. Теория разностных схем. — М.: Наука, 1977. -656 с.

26. Годунов С.К. Разностный метод численного расчета разрывных решений гидромеханики. — Матем. сб., 1959. Т.47, Вып.З. - С. 271306.

27. Годунов С.К., Забродин A.B., Иванов М.Я. Численное решение многомерных задач газовой динамики. — М.: Наука, 1976. 400 с.

28. Колган В.П. Применение принципа минимальных значений производных и построение конечно-разностных схем для расчета разрывных решений задач газовой динамики. — Уученые записки ЦАГИ, 1972. Т.З. - №6. - С. 68-77.

29. Ильин С.А., Тимофеев Е.В. Сравнение квазимонотонных разностных схем сквозного счета на задаче Коши для одномерного уравнения переноса //Матем. моделирование.— 1992.- Т.4.- №3 С. 62-74.

30. Андерсон Д., Тоннехил Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. — М.: Мир, 1990. Т. 1-2.

31. Лапин Ю.В., Стрелец М.Х. Внутренние течения газовых смесей. — М.: Наука, 1989. 368 с.

32. Chakravathy S.R., Osher S. A New Class of High Accuracy TVD Schemes for Hyperbolic Conservation Laws. — AIAA Paper. №850363. - New-York. - 1985.

33. Harten A. ENO Scheme with Subcell resolution //J. Comp. Phys., 1989. V.83, - №. - P. 148-184.

34. Бим P.M., Уорминг Р.Ф. Неявная факторизованная разностная схема для уравнений Навье-Стокса течения сжимаемого газа //Ракетная техника и космонавтика. 1978. - Т. 16. - №4. - С. 135-144.

35. Steger J.L., Warming R.F. Flux Vector Splitting of the Inviscid Gasdynamic Equations with Applications to Finite Difference Methods //J. Comp. Phys., 1981. V.40, - №2. - P. 263-293.

36. Chakravathy S.R., Oshér S. Computing with high-resolution upwind schemes for hyperbolic equations// Lect. Appl. Math.- 1985.- V.22, №1 P.57-86.

37. Вязников K.B., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П. Построение монотонных разностных схем повышенного порядка аппроксимации для систем уравнений гиперболического типа //Матем. моделирование.— 1989.- Т.1.- №5.- С. 95-180.

38. Шенг Дж. С. Обзор численных методов решения уравнений Навье-Стокса для течений сжимаемого газа //Аэрокосмическая техника. 1986. - №2. - С. 65-92.

39. Жмакин А.И., Фурсенко A.A. Об одной монотонной разностной схеме сквозного счета //Журнал вычислительной математики и математической физики. 1980. - №4. - С. 1021-1030.

40. Крайко А.Н., Полянский А.Р., Тиляева Н.И. К сквозному счету течений с ударными волнами //Журнал вычислительной математики и математической физики. 1989. - №6. - С. 881-901.

41. Иванов М.Я., Нигматуллин Р.З. Неявная схема Годунова повышенной точности для численного интегрирования уравнений Эйлера //Журнал вычислительной математики и математической физики. 1986. - Т.26. - №11. - С. 1679-1694.

42. Липанов A.M., Кисаров Ю.Ф., Ключников И.Г. Численное моделирование вязких дозвуковых потоков при числе Рейнольдса 104 //Матем. моделирование. 1997. - Т.9. - №3. - С. 3-12.

43. Кисаров Ю.Ф., Кисарова С.Ю., Мерзлякова Н.И. Разработка комплекса программ по исследованию теплообмена в силовых цилиндрах. Отчет по НИР /ИПМ-КБСМ; инв. №4 ИПМ. Ижевск, 1991. -119с.

44. Гильманов А.Н., Кулачкова H.A. Численное исследование двумерных течений газа со скачками методом TVD на физически адаптивных сетках //Матем. моделирование. 1995. - Т.7. - №3. - С. 97-106.

45. Гильманов А.Н., Кулачкова H.A. Численное моделирование торможения газа в сверхзвуковом воздухозаборнике //Изв. ВУЗов. Ава-ционная техника. 1996. - №4. - С. 26-32.

46. Гильманов А.Н., Панова А. М. Торможение сверхзвукового ламинарного потока газа в псевдоскачке //Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 1999. - №3. - С. 164-171.

47. Кулик Ф. Э. К., Роджерс Т. Отклик прямого скачка уплотнения в диффузоре на волновое возмущение //Аэрокосмическая техника. -1984. Т.2. - №6. - С. 19-29.

48. Краузе 3. Экспериментальное исследование сверхзвуковых диффузоров с большим отношением сторон поперечного сечения и низкими числами Рейнольдса //Ракетная техника и космонавтика. -1981. Т.19. - №1. - С. 91-101.

49. Хси Т., Уордлоу А. В., Кроукли Т. Влияние пульсаций давления в камере ПВРД на течение во входном диффузоре // Аэрокосмическая техника. 1988. - №4. - С. 122-129.

50. Толкот-мл. Н. Э., Кумар Э. Численный расчет двумерных вязких течений с замыкающими скачками уплотнения в системе воздухозаборник-диффузор //Аэрокосмическая техника. 1986. -№1. - С. 12-19.

51. Устойчивость рабочего процесса в двигателях летательных аппаратов/ М.А. Ильченко, В.В. Крютченко, Ю.С. Мнацаканян и др. — М.: Машиностроение, 1995. 320 с.

52. Кисаров Ю.Ф., Тонков JI.E. Создание неявных псевдоспектральных методов для расчета трехмерных турбулентных течений./ Отчет по НИР ИПМ, инв. №02940002353 ВНТИЦ. — Ижевск, 1994. 52 с.

53. Тонков JI.E. Моделирование неустойчивости ударных волн в каналах //Матем. моделирование. 1997. - Т.9. - №2. - С. 102-105.

54. Кисаров Ю.Ф., Тонков JI.E. Создание програмных комплексов расчета двумерных нестационарных газодинамических процессов./ Отчет по НИР ИПМ, инв. №02940002410 ВНТИЦ. — Ижевск, 1997. -61 с.

55. Кисаров Ю.Ф., Тонков Л.Е. Колебания прямого скачка уплотнения в канале переменного сечения// Труды молодежной научной конференции по математическому моделированию (Казань, 10-15 февр. 1998 г.) — Казань, 1998. С.195-201.

56. Тонков Л.Е. Моделирование колебаний скачка уплотнения в канале переменного сечения //Известия Института математики и информатики — Ижевск, 1998. №1(12). - С. 3-28.

57. Кисаров Ю.Ф., Тонков Л.Е. Периодические колебания скачка уплотнения в канале переменного сечения //Вестник Удмуртского университета. — Ижевск, 2000. JVH. - С. 28-37.

58. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — М.: Физматгиз, 1963. 1100 с.

59. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Мир, 1970. 720 с.

60. Крокко Л. Одномерное рассмотрение газовой динамики установившихся течений //Основы газовой динамики: пер. с англ. /Под ред. Эммонса Г., — М.: Изд-во иностр. лит., 1963. С. 64-324.

61. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. — М.: Наука, 1987. -840 с.

62. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. — М.: Наука, 1977. 426 с.

63. Курант Р., Фридрихе К. Сверхзвуковое течение и ударные волны. — М.: Изд-во иностр. лит., 1950. 426с.

64. Гинзбург И.П. Аэрогазодинамика. — М.: Высшая школа, 1966. -404 с.

65. Марпл-мл. С. Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения: Пер. с англ. — М.: Мир, 1990. 584 с.

66. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. — М.: Наука, 1970. -720 с.

67. Антонов И.Л. Случайные колебания. Свойства траекторий. — М.: Изд-во мех.-матем. факультета МГУ, 1993. 176 с.

68. Рытов С.М. Введение в статистическую радиофизику. — М.: Наука, 1966. 404 с.

69. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: Высшая школа, 1998. 479 с.

70. Болотин В.В. Случайные колебания упругих систем. — М.: Наука, 1979. 336 с.

71. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. — М.: Наука, 1967. 472 с.

72. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. — М.: Физматгиз, 1962. 336 с.

73. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. — М.: Мир, 1967. 310 с.

74. Джорджев М.П. Интегральный метод исследования вязко-невязких взаимодействий при произвольном охлаждении стенки //Ракетная техника и космонавтика. 1974. - Т.12. - №10. - С. 165-175.

75. Козлов A.M., Сабельников В.П. Расчет процесса торможения вязкого сверхзвукового потока в каналах //Изв. АН СССР. МЖГ. -1982. №2. - С. 162-166.

76. Киллендерис Я. Дж., Бэрон Дж. Р. Применение адаптивных методов для решения уравнений Навье-Стокса //Аэрокосмическая техника. 1989. - №10. - С. 122-132.

77. Липман Г.В., Рошко А.Р. Элементы газовой динамики. — М.: ИЛ, I960. 518с.

78. Седов Л.И. Механика сплошной среды. В 2-х т. — М.: Наука, 1994. -Т.1 556 с.

79. Шкадов В.Я., Запрянов З.Д. Течения вязкой жидкости. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984. 200 с.

80. Эккерт Г. Расчет турбулентного пограничного слоя на пластине в сжимаемом потоке по измерениям в трубах //Вопросы ракетной техники. 1951. - Вып.З. - С. 104-111.

81. Головизнин В.П., Менде Н.П., Жмакин А.И. и др. О распространении ударных волн в плоских и осесимметричных каналах. — Л., 1981. 48с. (Препринт АН СССР, Ленингр. физ.-техн. ин-т: 709)

82. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. — М.: Физматлит, 1994. 448 с.

83. Томас Дж., Уолтере Р.У. Релаксационные схемы с разностями против потока для уравнений Навье-Стокса. //Аэрокосмическая техника. 1988. - т. - С. 13-23.

84. Боровой В.Я. Течение газа и теплообмен в зонах взаимодействия ударных волн с пограничным слоем. — М.: Машиностроение, 1976. 260 с.

85. Войнович П.А., Евтюхин Н.В., Жмакин А.И. и др. Расслоение ударных волн в неоднородных средах //Физика горения и взрыва. -1987. т. - С. 77-80.

86. Шоссе Д.С., Пуллиам Т.Х. Численное моделирование работы плоского воздухозаборника с помощью диагональной неявной схемы //Ракетная техника и космонавтика. 1981. - Т.19. - №3. - С. 35-44.

87. Хэлоулейкос В.Э. Интенсивные ударные волны в воздушно-реактивных двигателях //Аэрокосмическая техника. 1984. - №7. -С. 160-168.

88. Гусев A.C. О распределении амплитуд в широкополосных случайных процессах при схематизации их по методу полных циклов //Изв. АН СССР. Машиноведение. 1974. - т. - С. 9-31.112

89. Зарембо Jl.К., Красильников В.А. Введение в нелинейную акустику. — М.: Наука, 1976. 160 с.

90. Монин A.C., Яглом A.M. Статистическая гидромеханика. — М.: Наука, 1967. 320 с.

91. Плахов Д.Д. Корреляционные соотношения в звуковом поле бесконечной пластины при воздействии случайных флуктуаций давления //Акустич. журнал. 1968. - Т.14. - №2. - С. 35-44.

92. Прохоров Ю.В., Розанов Ю.А. Теория вероятностей. Основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы. — М.: Наука, 1978. 360 с.

93. Свешников A.A. Прикладные методы теории случайных функций. — М.: Наука, 1968. 280 с.

94. Кокс Д., Льюис П. Статистический анализ последовательности событий. — М.: Мир, 1969. 321 с.