Нахождение матрицы отклика линейной динамико-стохастической системы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

На правах рукописи

Мартынов Роман Сергеевич

НАХОЖДЕНИЕ МАТРИЦЫ ОТКЛИКА ЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКО-СТОХАСТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

01 01 07 — вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 2007

8536926572212

Работа выполнена в Институте вычислительной математики

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, Нече^уренко Ю М

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

Кузнецов Ю И

доктор физико-математических наук, Шутяев В П

Ведущая организация

Институт физики атмосферы РАН

Защита состоится " '/А " ИОЗ^р-Я 2007 г в 'Й ч 00 мин на заседании Диссертационного совета Д 002 45 01 в Институте вычислительной математики РАН по адресу 119991, г Москва, ГСП-1, ул Губкина, 8

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института вычислительной математики РАН

Автореферат разослан

" 43 " 2007

Ученый секретарь Диссертационного совета / * доктор физико-математических наук

Бочаров Г А

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В диссертационной работе предложен и обоснован алгоритм нахождения матрицы отклика по заданному ряду наблюдений для линейной дискретной динамико-стохастической системы Решаемая задача является плохо обусловленной, поэтому предусмотрено нахождение матрицы отклика в заданном подпространстве, в частном случае совпадающем со всем пространством Такой подход позволяет получить более точные результаты и уменьшить вычислительные затраты Для относительной погрешности вычисления приближенной матрицы отклика получены вероятностные мажорантные оценки, зависящие от параметров алгоритма, выбранного подпространства и длины ряда наблюдений Показано, как задачу нахождения матрицы отклика для непрерывной системы можно свести к задаче нахождения матрицы отклика дискретной системы Качество теоретических оценок было проверено на различных тестовых задачах, в том числе, была рассмотрена модель баротропной атмосферы

Актуальность темы

Нахождение оператора отклика на внешнее воздействие по заданному ряду наблюдений, сгенерированному линейной динамико-стохастической системой, является важной задачей Например, линейные динамико-стохастические системы могут достаточно хорошо описывать низкочастотную составляющую изменчивости атмосферы Однако, все известные методы нахождения оператора отклика по конечному ряду наблюдений, который генерируется исходной линейной динамико-стохастической системой, имели серьезный недостаток для этих методов не было известно мажорантных теоретических оценок точности

Цели работы- разработка нового алгоритма нахождения приближенной матрицы отклика в подпространстве по ряду наблюдений для линейной дискретной динамико-стохастической системы,

- получение вероятностных мажорантных оценок точности нахождения приближенной матрицы отклика в зависимости от параметров системы, параметра алгоритма, размерности подпространства и длины ряда наблю-

дений,

- распространение результатов на линейные динамико-стохастические системы с непрерывным временем,

- экспериментальная проверка полученных теоретических оценок

Методика исследования

При разработке алгоритма используются методы матричного анализа На основе сингулярного разложения получается формула для нахождения матрицы отклика в подпространстве Для получения вероятностных оценок погрешности приближенной матрицы отклика используются теорема Чебышева и интегральные критерии качества дихотомии При сведении непрерывной задачи к дискретной плотность вероятности решения непрерывной задачи получается путем решения уравнения Фоккера-Планка с использованием прямого и обратного преобразования Фурье

Научная новизна работы.

Предложен новый алгоритм нахождения матрицы отклика в подпространстве для линейной дискретной динамико-стохастической системы по ряду наблюдений на основе ковариационных матриц Впервые получены верхние оценки относительной погрешности приближенной матрицы отклика, найденной по ряду наблюдений

Теоретическая и практическая значимость.

Теоретическая значимость проведенного исследования заключается в новых мажорантных вероятностных оценках точности вычисления матрицы отклика динамико-стохастических систем Практическая ценность заключается в возможности применения предложенного алгоритма для нахождения матрицы отклика по заданному ряду наблюдений с использованием теоретических оценок для правильного выбора параметров

Апробация работы.

Основные результаты докладывались и обсуждались на научных семинарах и отчетных сессиях ИВМ РАН (Москва, 2004-2007 гг), семинаре отдела исследования климатических процессов ИФА РАН (Москва, 2007 г), международной конференции "Тихонов и современная математика" в МГУ им Ломоносова (Москва, 2006 г), семинаре "Методы Монте-Карло"в ИВМиМГ (Новосибирск, 2006 г), на 48-й научной конференции МФТИ

(Москва, 2005 г)

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в 5 печатных работах, из них 2 опубликованы в реферируемых журналах рекомендуемых ВАК РФ для защиты кандидатских диссертаций

Личный вклад автора.

Вклад автора в работы [1],[2],[4] заключается в совместной разработке алгоритма вычисления приближенной матрицы отклика, доказательстве оценок его погрешности, постановке численных экспериментов, в самостоятельной технической реализации и обработке результатов экспериментов

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения, списка литературы из 46 названий, содержит 38 иллюстраций и 4 таблицы Объем диссертации составляет 95 страниц

Основное содержание работы

Во введении обсуждается рассматриваемая задача, описывается структура диссертации, кратко формулируются основные полученные результаты

В первой главе, состоящей из восьми разделов, делаются предположения относительно дискретной динамико-стохастической системы, строится алгоритм вычисления приближенной матрицы отклика в подпространстве Формулируются и доказываются теоремы для оценки погрешности нахождения матрицы отклика Показывается, как можно реализовать алгоритм с расчетом ковариационных матриц под ряду наблюдений в режиме накопления Проводятся численные эксперименты с целью проверки качества полученных оценок

В разделе 1 1 рассматривается следующая линейная дискретная динамико-стохастическая система

ик+1-Вик-дк = /к, к> 0, «° = 0, (1)

где а' 6 С" - п-компонентные векторы, В 6 спхп - п х п матрица, собственные значения которой лежат строго внутри единичного кру-

ra, fk & Cn - детерминированные векторы, дк € Сп - одинаково распределенные случайные векторы с нулевым математическим ожиданием М{<7А} = 0 Предполагается, что векторы дк и д1 не коррелируют друг с другом в случае когда к ф I, а М{дкдк*} = G, где G - эрмитова положительно определенная матрица Также делается предположение, что матрица D — М.{(дкдк* — G)2} ограничена

Отклик возмущенной системы определяется как предел M{ufc} при к —V оо При этом, если внешнее воздействие fk меняется ступенчато, то есть, если для некоторого feo > О, fk = 0, к < ко и fk = /, при к > feo, то отклик системы равен Rf, где R = (I — В)^1 Матрицу R называют матрицей отклика системы (1)

В разделе 1.2 выводится формула для получения матрицы отклика во всем пространстве по заданному ряду наблюдений uNl, ,uN2, N2 > Ni > О В рассмотрение вводятся следующие матрицы

г=0 г=0

Показывается, что в силу (1) при fk = 0 для любых положительных целых Ni < N2 и р < N2 — Ni справедливо равенство

W + А = (/ - B)V^N2_pU*NuN2_p, (2)

W — UpíuM2-pU¡fuN2_p — UN1+pjf2Uj¡fuNí_p, А = ГNuMi-p^^^-p Введя обозначения U = UjfltM2-p, V = и предположив, что мат-

рица W невырожденная, имеем

I + AW'1 = (I - B)VU*W~l

В предположении малости матрицы А для приближенной матрицы отклика получаем формулу

R^R=VU*W'1, (3)

а для ее погрешности оценку

Нл-дН^НдНгПдж-1!^ 6

В разделе 1 3 выводится формула для получения матрицы отклика в подпространстве В формулу для приближенной матрицы отклика (3) входит обратная матрица \¥~1 Во многих случаях матрица ЦТ оказывается почти вырожденной, что приводит к большой погрешности при вычислении матрицы отклика во всем пространстве Погрешность можно существенно уменьшить, если искать матрицу отклика в подпространстве

Задается некоторое подпространство V и рассматривается матрица Р е сихт такая, что ее столбцы образуют ортонормированный базис в V Тогда РР* - ортопроектор на подпространство V и Лр = НРР* - матрица отклика на внешнее воздействие в подпространстве Отклик системы (1) на внешнее воздействие из подпространства равен

1ш1 М{ик} = ДРР*/ = ДР/

А-—>сх>

Вводятся в рассмотрение матрицы <2 £ (угхт и цг ^ £тхт такив; что

= I, ]¥<э = рж

Матрицы <3 и \¥ можно найти по заданным матрицам Р и\¥ при помощи сингулярного разложения Для приближенной матрицы отклика в подпространстве и ее погрешности получаются представления

= Уи*Ш-гРР* = Уи*0№~1Р*, (4)

Яг = ДДИ^РР* = ДДСЗИ^Р*,

В разделе 1 4 формулируются основные теоремы В теоремах 1 и 2 даются оценки нормы относительной погрешности приближенной матрицы отклика, вычисленной по формуле (4) В первой теореме рассмотрен наиболее общий случай, когда V - произвольное подпространство В теореме 2 в качестве подпространства V берется линейная оболочка сингулярных векторов матрицы \¥ и для этого случая получаются соответствующие оценки В теореме 3 показывается, что с ростом длины ряда наблюдений матрица Ш стремится к матрице 5Р, являющейся решением уравнения Ляпунова — ВБрВ* = (I — Вр)0 При р —>■ оо матрица £р стремится к автоковариационной матрице системы (1)

Теорема 1. Для любого положительного 5 < 1 выполнены следующие неравенства

Р{||ЛР - Ир\\р/\\В\\г < >1-6,

где

С- (1 _ /3)3/2 ад»

Р{Л} - вероятность события Л, ¡3 и /?о - произвольные константы такие, что < /Зо/Зк, к > 0, а £т-() - след матрицы

Теорема 2 Пусть V - линейная оболочка сингулярных векторов матрицы , отвечающих ее т максимальным сингулярным числам Если ат

/у/Ш < 1, то

Р{||% - Ят\\Р/\\Щ\2 < Ст^} >1-6

где

Суп

от " т-ое максимальное сингулярное число

Теорема 3 Для любого положительного 5 < 1 имеем

где

Раздел 1 5 полностью посвящен доказательствам В подразделе 15 1 доказываются вспомогательные леммы на основе неравенства Чебы-шева В лемме 1 устанавливаются общие свойства приближенных ковариационных матриц для векторов дк Результаты леммы 1 потом используются в лемме 2, которая оценивает ||Д||.р и в лемме 3, позволяющей оценить = 1/ат(у/) В подразделе 1.5 2 на основе этих лемм доказываются теоремы 1-3

В разделе 1.6 предлагается алгоритм вычисления приближенной матрицы отклика в режиме накопления и оцениваются его вычислительные затраты В подразделе 1 6.1 показывается, как по ряду наблюдений иМ1, ,иМ2 вычислить матрицы Ш и VII*, не храня при этом весь ряд в памяти компьютера Показывается, что в случае, если размерность подпространства т < те/2, матрицу отклика можно умножать на вектор быстрее, если она представлена в виде произведения трех матриц ,Р*,

хранимых отдельно Рассматривается модифицированная версия алгоритма

В подразделе 1.6 2 получаются оценки объема минимальной оперативной памяти, необходимой для работы алгоритма и оцениваются суммарные вычислительные затраты Показывается, что при то < п/3 модифицированная версия алгоритма более эффективна и использовать следует именно ее

В разделе 1 7 проводятся численные эксперименты с матрицами вида В = сЬ^(?)1, , Ьп) Векторы дк выбираются нормально распределенными с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией В двух таблицах приводятся результаты численных экспериментов, проверяющих качество теоретических оценок Показывается, что теоретические оценки с хорошей точностью описывают зависимость погрешности от параметров и при этом дают достаточно точные оценки ее величины

Во второй главе, состоящей из шести разделов, рассматривается линейная непрерывная динамико-стохастическая система Показывается, как непрерывную задачу можно свести к дискретной В случае, когда система допускает разделение переменных, оцениваются константы теоремы 2 на основе уравнения Фоккера-Планка Рассматривается случай одномерного и двумерного операторов Лапласа Приводятся результаты численных экспериментов

В разделе 2 1 рассматривается следующая линейная непрерывная динамико-стохастическая система

= 1>0, (5)

где м(0) = 0 - начальное значение, А € Ыпхп - п х п матрица с веще-

ственными коэффициентами, собственные значения которой лежат строго в левой полуплоскости, £ В,™ - действительная детерминированная векторная функция, д{{) £ И™ - действительный стационарный векторный нормально распределенный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и спектральной плотностью 2(?о > 0, являющейся эрмитовой положительно определенной матрицей порядка п Показывается, что если для некоторого ¿о, /СО = 0 при < < ¿0 и /(£) = / при 0, то

ЬтМ{«(<)} = -А-1/

Следовательно —А-1 - это матрица отклика системы (5) на ступенчатое изменение внешнего воздействия

В разделе 2 2 непрерывная задача сводится к дискретной Показывается, что векторы ик = и{тк) совпадают в моменты времени тк с решением непрерывной системы (5) с /(£) = 0, если они сгенерированы дискретной системой (1) с /* = 0, матрицей В = ехр(тА) и векторами дк такими, что

дк= I ^Лд^ (б)

4-т

Все векторы дк независимые одинаково распределенные с нулевыми математическими ожиданиями и матрицей ковариаций

т

С = М{дкдкТ} = 2 J евАв^АТ¿з о

Отмечается, что плотность вероятности перехода системы (5) с = 0 из начального состояния и(0) = 0 в нулевой момент времени в состояние и в момент времени £ можно найти, решив уравнение Фоккера-Планка

/ гу I '' .у \ II II ^

с начальным условием р(и, 0) = ¿(их) 5(ип), где - к-я компонента вектора и, А3к и Со^ означают ]к-е элементы матриц А и бо соответственно, а ¿() - дельта-функцию Дирака

Делается вывод что описанный в главе 1 подход позволяет оценить матрицу отклика Я = (I — ехр{тА))~1

В разделе 2.3 рассматривается случай, когда в некотором ортонормированием базисе матрицы А и Со имеют диагональный вид Ап = а3' = ^ В подразделе 2 3.1 выписывается уравнение Фоккера-Планка для диагонального случая и решение ищется в виде р{и,Ь) = р\{и\,£] рп(ип,Ь) Отмечается, что уравнение Фоккера-Планка распадается на п отдельных уравнений

При помощи прямого и обратного преобразования Фурье находится решение уравнения (7)

с дисперсией Хз{^) ~ (7з/аз)(ехР(^аз) ~ 1)

В подразделе 2 3.2 вычисляются следы матриц (? и И на основе полученной формулы распределения Показывается, что матрицы (7 и О диагональные и их диагональные элементы равны соответственно

п

= Хз (г), = X; (г) ^ Хк(т) + Хз {г)2

к—1

Рассматривается случай

аиа < -а, < а2за, дич <Ъ< ЯгЗ4, а-д> 1, а > 0, <? < О, (8)

где а, <21, <22, д, д\, д2 - некоторые константы, причем а2> а-±> 0, д2> д\> О Показывается, что в случае а — д > 1 следы матриц СиД одновременно ограничены с ростом п, а при а — д < 1 - одновременно неограничены

В подразделе 2 3 3 оцениваются константы Сщ и ¿т теоремы 2 Показывается, что при выполнении условия (8) для диагональных элементов матриц А и С?о справедливы оценки констант

1 + е"™'/2 д2а2 а - д тоа"9

< 2\/з

(1 _ е-го1)3/2(1 _ е-т<цр) д1а1 а _ д _ ! ! _ е-2га1т» ' 11

d < 12 (l + e~rai/2)2 q2a2 a-q ma~g m ~ (1 - e-r0l)3(l - e~Ta&) qm a-q- 11- е-2та^та В подразделе 2.3.4 рассматривается случай, когда в качестве оператора А системы (5) берется конечномерная модель оператора Лапласа, полученная методом Бубнова-Галеркина в базисе собственных функций оператора Лапласа В одномерном случае показывается, что если Gq - единичная матрица, то а3 = — 7Г2?2, 7, = 1 и следы матриц G и D, фигурирующие в оценках теорем 1-3, ограничены при любом п Оцениваются константы ст и dm В двумерном случае выводится оценка для а3 tt2j < \а3\ < 2 5tv2j Показывается, что для ограниченности следов матриц G и D диагональные элементы матрицы Gq должны убывать Приводится оценка констант ст и ¿т

В разделе 2 4 ставятся численные эксперименты в случае, когда А - конечномерная модель одномерного и двумерного операторов Лапласа Задаются параметры алгоритма, матрица системы, математическое ожидание и дисперсия векторов дк Вводятся в рассмотрение условное эмпирическое среднее и дисперсия, которые сравниваются с теоретическими Показывается, что экспериментальная зависимость погрешности от т есть Vrrfi вместо теоретической ш2, экспериментальная зависимость погрешности от р есть ^/р, что совпадает с теоретической Теоретическое среднее при всех значениях параметров эксперимента не превосходило экспериментальное среднее более чем в 200 раз, а при определенных значениях параметров было больше лишь на порядок

В разделе 2.5 оценивается эффективное число степеней свободы для рассмотренных в предыдущем разделе систем по известной формуле nef — tr(S')2/tr(52), где 5 - автоковариационная матрица системы Показывается, что для конечномерной модели одномерного оператора Лапласа эффективная размерность nef < 3, а для двумерного пе/ < 17, то есть независимо от размерности системы, ее эффективная размерность мала

В третьей главе, состоящей из пяти разделов, рассматривается модель баротропной атмосферы, по которой строится дискретная динамико-стохастическая система Для построенной системы проводятся численные эксперименты и обсуждаются полученные результаты

В разделе 3.1 для модели баротропной атмосферы рассматривается известный метод получения оператора динамико-стохастической системы путем линеаризации исходного уравнения относительно положения равновесия

В разделе 3.2 выписано уравнение баротропной атмосферы ^ = -А'^{ф, Аф + I + кЬ) - аф + цАф + А_1Р,

где ф = ф(9, Л) - безразмерная функция тока, О<0<7Г, 0<Л< 2тт, 3 - оператор Якоби, а, ¡1 - коэффициенты трения, Р - внешнее воздействие, Н - орографические неоднородности постилающей поверхности, к -нормировка орографии, I - параметр Кориолиса Описывается известный процесс линеаризации этого уравнения относительно положения равновесия и нахождения линейной непрерывной модели, для которой строится дискретная модель

В разделе 3.3 ставятся численные эксперименты Задается параметр т и вычисляется матрица В = ехр{тА) дискретной динамико-стохастической системы по оператору А непрерывной системы Распределение векторов дк задается нормальным с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией В качестве подпространства V рассматриваются >У - линейная оболочка первых собственных векторов матрицы У/, отвечающих максимальным собственным значениям и подпространство 5 - линейная оболочка первых ЕОФ-ов (естественных ортогональных функций)

В разделе 3.4 обсуждаются результаты проведенных экспериментов Показывается, что при р > 104 подпространство УУ почти совпадает с 5 Показывается, что в подпространстве УУ матрица отклика находится с большей точностью, чем в подпространстве 5 той же размерности Делается вывод, что теоретическая зависимость погрешности от параметров хорошо согласуется с экспериментальной в обоих подпространствах, а теоретические значения погрешности для данной задачи оказываются сильно завышенными по сравнению с экспериментальными значениями Это объясняется тем, что используемые теоремы 1-2 применимы в гораздо более общих случаях

В приложении 1 приводится реализация алгоритма нахождения приближенной матрицы отклика в подпространстве первых сингулярных векторов матрицы IV в среде МАТЬАВ

В приложении 2 приводятся оценки степеней матриц, спектр которых лежит строго внутри единичного круга, на основе работ С К Годунова и Ю М Нечепуренко

В заключении кратко формулируются основные результаты диссертационной работы

Основные результаты диссертационной работы

• Разработан новый алгоритм нахождения приближенной матрицы отклика на внешнее воздействие из подпространства по заданному ряду наблюдений для линейных дискретных динамико-стохастических систем

• Получены теоретические мажорантные оценки точности нахождения приближенной матрицы отклика в подпространстве в зависимости от параметров системы, параметра алгоритма, длины ряда наблюдений и выбранного подпространства

• Для дискретной динамико-стохастической системы, к которой сводится вычисление матрицы отклика системы с непрерывным временем, теоретически исследована точность предложенных оценок в случае, когда система допускает разделение переменных

• Экспериментально проверена точность полученных оценок и их функциональная зависимость от параметров для различных тестовых задач

Публикации по теме диссертации

1 Мартынов Р С, Нечепуренко ЮМ, О нахождении матрицы отклика линейной дискретной динамико-стохастической системы// М ЖВМ и МФ 2004, 5 с 771-780

2 Мартынов Р С, Нечепуренко Ю М, Вычисление матрицы отклика линейной дискретной динамико-стохастической системы на внешнее воздействие из подпространства// М ЖВМ и МФ , 2006 7, с 11551167

3 Martynov R S, The experimental proof of a theoretical estimate of the error m computing of the response matrix// Russ J Numer Anal Math Modelling 2007, 22, 3, p 221-231

4 Martynov R S, Nechepurenko Y M, Computation of the response matrices to external actions for linear stochastic dynamical systems// International Conference "Tikhonov and Contemporary Mathematics", Moscow, 2006, p 128-129

5 Мартынов PC Об экспериментальной проверке оценок точности вычисления матрицы отклика линейной дискретной динамико-стохастической системы// Сборник трудов 48-й научной конференции МФТИ, 2005

Заказ № 112/10/07 Подписано в печать 08 10 2007 Тираж 100 экз Уел пл 0,75

ООО "Цифровичок", тел (495) 797-75-76, (495) 778-22-20 7>\ www cfr ru , e-mail info@cfr ru

Введение

Глава 1. Дискретная динамико-стохастическая система

1.1 Линейная дискретная система

1.2 Приближенная матрица отклика.

1.3 Приближенная матрица отклика в подпространстве.

1.4 Формулировка основных теорем.

1.5 Доказательства.

1.5.1 Вспомогательные леммы.

1.5.2 Доказательства теорем.

1.6 Алгоритм вычисления приближенной матрицы отклика

1.6.1 Вычисление матрицы отклика в режиме накопления

1.6.2 Вычислительные затраты.

1.7 Численные эксперименты.

1.8 Выводы по Главе 1.

Глава 2. Непрерывная динамико-стохастическая система

2.1 Система с непрерывным временем.

2.2 Сведение непрерывной задачи к дискретной

2.3 Диагональный случай.

2.3.1 Решение уравнения Фоккера-Планка в диагональном случае.

2.3.2 Вычисление следов матриц G и D.

2.3.3 Оценка констант теоремы 2.

2.3.4 Пример с оператором Лапласа.

2.4 Численные эксперименты.

2.5 Замечания по полученным оценкам

2.6 Выводы по Главе 2.

Глава 3. Эксперименты с баротропной моделью атмосферы

3.1 Свойства модели, подход к задаче.

3.2 Оператор линеаризованного уравнения баротропного вихря

3.3 Постановка численных экспериментов.

3.4 Результаты численных экспериментов.

3.5 Выводы по Главе 3.

Нахождение оператора отклика на внешнее воздействие по заданному ряду наблюдений, сгенерированному линейной динамико-стохастической системой, является важной задачей, встречающейся во многих приложениях, в том числе, при исследовании нелинейных систем.

Например /25, 45/, линейные динамико-стохастические системы могут быть успешно использованы для описания низкочастотной составляющей изменчивости атмосферы /4, 16, 30/. В работах /8, 13, 29/ показано, что для многих климатических моделей, являющихся диссипативными системами, применима Флуктуационно-Диссипативная Теорема (ФДТ), доказанная для регулярных систем /10, И/, при условии, что у климатической системы имеется аттрактор /9/ и ее поведение хаотично и имеет большое число степеней свободы. ФДТ соотносит оператор отклика системы на бесконечно малое воздействие со статистическими характеристиками системы /31, 32/ и позволяет вычислить оператор отклика по траектории невозмущенной системы. При выполнении еще некоторых дополнительных условий, накладываемых на климатическую модель, отклик системы на небольшие внешние возмущения становится линейным относительно возмущения /6, 17/.

Все известные методы, используемые для нахождения оператора отклика по конечному ряду наблюдений, который генерируется исходной линейной динамико-стохастической системой, имели по крайней мере один серьезный недостаток: для этих методов не было получено теоретических мажорантных оценок точности нахождения приближенного оператора отклика.

В диссертации рассматривается линейная дискретная динамико-стохастическая система. Предложен новый алгоритм вычисления приближенной матрицы отклика по заданному ряду наблюдений и впервые получены теоретические мажорантные оценки точности нахождения приближенной матрицы отклика в зависимости от параметров исходной системы и параметра алгоритма.

При вычислении матрицы отклика приходится решать обратную задачу, которая является плохо обусловленной и во многих случаях погрешность получается слишком большой. Для уменьшения погрешности предлагается искать отклик системы на внешнее воздействие из подпространства, что является вполне естественным, так как во многих случаях система возмущается каким-то конкретным, а не произвольным, образом. Для дискретной динамико-стохастической системы, к которой сводится вычисление матрицы отклика системы с непрерывным временем, теоретически исследована точность предложенных оценок в случае, когда система допускает разделение переменных. Качество теоретических оценок проверяется в численных экспериментах, в том числе, была рассмотрена линеаризованная модель баротропной атмосферы.

Структура и основные результаты работы

Диссертация состоит из трех глав. В главе 1 рассматривается линейная дискретная динамико-стохастическая система: и0 = О, иш - Вик - дк = fk, к> О, где ик 6 С" - n-компонентные векторы, В £ Спхп -пхп матрица системы, fk еСп - неслучайные векторы, дк 6 С" - случайные независимые векторы с конечными первыми и вторыми моментами. Для этой системы строится алгоритм по нахождению приближенной матрицы отклика, основанный на вычислении ковариационных матриц по ряду наблюдений /35, 36/. В формулу для нахождения матрицы отклика входит матрица, обратная некоторой ковариационной матрице W. Для систем большой размерности матрица W как правило оказывается очень плохо обусловленной, что ведет к большим погрешностям при её обращении. Поэтому предлагается искать матрицу отклика, действующую на векторы из заданного подпространства V. В формулу для соответствующей приближенной матрицы отклика входит матрица, обратная к сужению матрицы W на V. Если подпространство V выбрано так, что это сужение - хорошо обусловленная матрица, то вычисление приближенной матрицы отклика становится численно устойчивым. Более того, переход к задаче меньшей размерности позволяет сократить объем вычислений за счет ослабления требования к длине ряда наблюдений, необходимой для получения результата с требуемой точностью. Формулируются теоремы, в которых оценивается погрешность нахождения приближенной матрицы отклика как в случае произвольно выбранного подпространства, так и в случае, когда в качестве подпространства V берется линейная оболочка сингулярных векторов матрицы W, отвечающих ее т максимальным сингулярным числам. Доказательства теорем и вспомогательных лемм приводятся в отдельном разделе главы. Рассматриваются две возможности реализации алгоритма вычисления матрицы отклика в режиме накопления с подсчетом количества арифметических операций и объема необходимой оперативной памяти в каждом случае. В последнем разделе главы проводятся численные эксперименты с диагональными матрицами для проверки качества полученных в теоремах оценок погрешности нахождения приближенной матрицы отклика.

В главе 2 рассматривается непрерывная динамико-стохастическая система вида:

0) = 0, Au(t)-g(t) = f(t), t> О, где А - квадратная матрица порядка n, u(t), f(t) - n-компонентные векторные функции, g(t) - стационарный векторный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и постоянной спектральной плотностью 2Go. Показано, что вычисление матрицы отклика такой системы сводится к вычислению матрицы отклика дискретной системы. Подробно рассматривается случай, когда матрицы А и Go одновременно приводятся к диагональному виду некоторым ортогональным преобразованием подобия. На основе уравнения Фоккера-Планка получаются явные формулы для плотности распределения случайных векторов дк и находятся их характеристики, необходимые для получения оценки погрешности вычисления приближенной матрицы отклика. Эти результаты позволили, в частности, моделировать векторы дк и ставить численные эксперименты. В качестве модели для численных экспериментов рассматривается непрерывная система с оператором Лапласа. Для этой системы вычисляются константы, фигурирующие в оценках теоремы о погрешности вычисления приближенной матрицы отклика и проводится ряд численных экспериментов. В конце главы находится эффективная размерность системы для рассмотренной задачи с оператором Лапласа и делается вывод, что независимо от размерности системы, ее эффективная размерность мала.

В главе 3 рассматривается модель баротропной атмосферы. Описывается известный способ нахождения оператора непрерывной динамико-стохастической системы путем линеаризации исходного уравнения баротропной атмосферы относительно положения равновесия. По оператору непрерывной системы вычисляется оператор дискретной системы по методу, описанному во второй главе. Для построенной дискретной динамико-стохастической системы проводятся численные эксперименты, в которых матрица отклика ищется в двух разных подпространствах: в линейной оболочке первых т сингулярных векторов матрицы W и первых т сингулярных векторов автоковариационной матрицы системы, то есть в подпространстве главных ЕОФ-ов (естественных ортогональных функций). По результатам экспериментов сравниваются функциональные зависимости теоретической и экспериментальной погрешностей от параметров алгоритма, определяется, в каком подпространстве приближенная матрица отклика находится точнее.

В приложении 1 приводится реализация алгоритма вычисления приближенной матрицы отклика по заданному ряду наблюдений в среде MATLAB.

В приложении 2 приводятся оценки норм степеней матрицы В основе дискретного уравнения Ляпунова.

Обозначения

В диссертации используются следующие обозначения: tr{A) — след матрицы Л, сгт(А) — т-ое максимальное сингулярное число матрицы А, ||Л||2 = (Ji(Л) — вторая норма матрицы А,

1 /9

Л||р = (Е \dij\2) — норма фробениуса матрицы А,

Qnxm комплексное пространство п X т матриц,

Сп = Спх1 — комплексное пространство n-комцонентных векторов,

Р {Л} — вероятность события А,

М {ж} — математическое ожидание случайной величины х.

Основные результаты диссертационной работы

• Разработан новый алгоритм нахождения приближенной матрицы отклика на внешнее воздействие из подпространства по заданному ряду наблюдений для линейных дискретных динамико-стохастических систем.

• Получены теоретические мажорантные оценки точности нахождения приближенной матрицы отклика в подпространстве в зависимости от параметров системы, параметра алгоритма, длины ряда наблюдений и выбранного подпространства.

• Для дискретной динамико-стохастической системы, к которой сводится вычисление матрицы отклика системы с непрерывным временем, теоретически исследована точность предложенных оценок в случае, когда система допускает разделение переменных.

• Экспериментально проверена точность полученных оценок и их функциональная зависимость от параметров для различных тестовых задач.

Заключение

Для линейных дискретных динамико-стохастических систем разработан и обоснован метод нахождения приближенной матрицы отклика в подпространстве по заданному ряду наблюдений.

1. Adams J.C., et al., Fortran 90 Handbook. USA: 1992.

2. N.A. Bagrov, On the equivalent number of independent data// TV. Gidrom-eteor. Cent. 1969. №44. P. 3-11.

3. A.Yu. Bulgakov and S.K. Godunov, Circular dichotomy of the spectrum of a matrix.// Sib. Math. Zh. 1988. V. 29, №5. P. 734-744.

4. G. Branstator, Low-frequency patterns induced by stationary waves// J. Atmos. Sci. 1990. V. 47, №5. P. 629-648.

5. Ch.S. Bretherton, M. Widmann, V.P. Dymnikov, J.M. Wallage, I. Blade, The effective number of spatial degrees of freedom of a time-varying field// J. Climate. 1999. M2. P. 1990-2009.

6. G. Gallavotti, Chaotic dynamics, fluctuations, nonequilibrium ensembles// Chaos. 1998. V. 8, №2. P. 384-392.

7. A.S. Gritsoun, Fluctuation-dissipation theorem on attractors of atmospheric models// Russ. J. Numer. Anal. Math. Modeling. 2001. V. 16, №. P. 115-133.

8. A. S. Gritsoun, G. Branstator, and V. P. Dymnikov, Construction of the linear response operator of an atmospheric general circulation model to small external forcing// Russ. J. Numer. Anal. Math. Modeling. 2002. V. 17, №5. P. 399-416.

9. V. P. Dymnikov, A. S. Gritsoun, Climate model attractors: chaos, quasi-regularity and sensitivity to small perturbations of external forcing// Nonlinear Processes in Geophysics. 2001. M. P. 201-209.

10. R. H. Kraichnan, Classical fluctuation-relaxation theorem // Phys. Rev. 1959. V. 113, №. P. 115-133.

11. R. H. Kraichnan, Irreversible statistical mechanics of incompressible hy-dromagnetic turbulence// Phys. Rev. 1958. V. 109, №5. P. 1407-1422.

12. Anderson E., Bai Z., Bischof C., Demmel J., Dongarra J., Du Croz J., greenbaum A., Hammaling S., McKenney A., Ostrouch S., Sorensen D., LAPACK users guide. SIAM. Philadelphia. 1992.

13. С. E. Leith, Climate response and fluctuation dissipation // J.Atmos.Sci. 1975. №32. P. 2022-2026.

14. R.S.Martynov, The experimental proof of a theoretical estimate of the error in computing of the response matrix// Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2007. V.22, №3. P. 221-231.

15. R.S. Martynov, Y.M. Nechepurenko, Computation of the response matrices to external actions for linear stochastic dynamical systems// International Conference "Tikhonov and Contemporary Mathematics". Moscow. 2006. P. 128-129.

16. C.Penland, P.D.Sardeshmukh, The optimal growth of sea surface temperature anomalies// J. Climate. 1995. №8. P. 1999-2024.

17. D. Ruelle, General linear response formula in statistical mechanics and the fluctuationdissipation theorem far from equilibrium// Phys. Letters A. 1998. №245. P. 220-224.

18. Агошков В.И., Дубовский П.Б., Шутяев В.П., Методы решения задач математической физики.М.-.Физм&тлит, 2002.

19. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М., Численные методы, издание бторое.М.-Спб.:Физматлит Невский Диалект Лаборатория Базовых Знаний, 2001.

20. Гантмахер Ф.Р., Теория матриц.М.: Наука, 1966.

21. Годунов С. К., Современные аспекты линейной алгебры. Новосибирск: Научная книга, 1997.

22. Годунов С. К., Лекции по современным аспектам линейной алгебры. Новосибирск: Научная книга, 2002.

23. Голуб Дж., Ван Лоун Ч., Матричные вычисления. М.: Мир, 1999.

24. Грицун А.С., Дымников В. П., Отклик баротропной атмосферы на малые внешние воздействия: теория и численные эксперименты// М.: Известия АН. Физика атмосферы и океана. 1999. Т. 35, №5. С. 565-581.

25. Зубарев А.П., Демченко П.Ф., Предсказуемость среднеглобальной температуры воздуха в простой стохастической модели взаимодействия атмосферы и океана// М.: Известия АН. Физика атмосферы и океана. 1992. Т. 28, №1. С. 27-32.

26. Двайт Г.Б., Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука, 1973.

27. Дымников В. П., Вычислительные методы в геофизической гидродинамике. М.: Отдел вычислительной математики АН СССР, 1984.

28. Дымников В. П., Филатов А.Н., Основы математической теории климата. М.: ВИНИТИ, 1994.

29. Дымников В. П., О предсказуемости изменений климата// Известия АН. Физика атмосферы и океана. 1998. Т. 34, №6. С. 741-751.

30. Дымников В. П., О связи естественных ортогональных составляющих полей метеоэлементов с собственными функциями динамических операторов// Известия АН. Физика атмосферы и океана. 1988. Т. 24, №. С. 675-683.

31. Дымников В.П., Володин Е.М., Галин В.Я., Глазунов А.В., Грицун А.С., Дианский Н.А., Лыкосов В.Н., Чувствительность климатической системы к малым внешним воздействиям// Метеорология и гидрология. 2004. №4. С. 77-91.

32. Дымников В.П., Володин Е.М., Галин В.Я., Глазунов А.В., Грицун А.С., Дианский Н.А., Лыкосов В.Н., Климат и его изменения: математическая теория и численное моделирование// Известия АН, Физика атмосферы и океана. 1988. Т. 24, №7. С. 675-683.

33. Кляцкин В.И., Стохастические уравнения глазами физика. М.: Физматлит, 2001.

34. Кляцкин В.И., Динамика стохастических систем. М.: Физматлит, 2002.

35. Мартынов Р.С., Нечепуренко Ю.М., О нахождении матрицы отклика линейной дискретной динамико-стохастической системы// ЖВМ и МФ. 2004. №5. С. 771-780.

36. Мартынов Р.С., Нечепуренко Ю.М., Вычисление матрицы отклика линейной дискретной динамико-стохастической системы навнешнее воздействие из подпространства //ЖВМ и МФ. 2006. №7. С. 1155-1167.

37. Мартынов Р.С., Об экспериментальной проверке оценок точности вычисления матрицы отклика линейной дискретной динамико-стохастической системы // Сборник трудов 48-й научной конференции МФТИ. 2005.

38. Марчук Г.И., Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980.

39. Нечепуренко Ю. М., Спектральные разложения// Труды математического центра им. Н.И.Лобачевского. Том 26. Казань, июнь 2004, 44 стр.

40. Нечепуренко Ю.М., Оценка нормы матричной экспоненты через норму решения уравнения Ляпунова и границы хаусдорфова множества //ЖВМ и МФ. 2002. Т. 42, №2. С. 131-141.

41. Самарский А. А., Теория разностных схем. М.: Наука, 1989.

42. Розанов Ю.А., Случайные процессы (краткий курс). М.: Наука, 1971.

43. Тыртышников Е.Е., Краткий курс численного анализа. М.: ВИНИТИ, 1994.

44. Тутубалин В.Н., Теория вероятностей и случайных процессов. М.: Изд-во МГУ, 1992.

45. Чавро А.И., Дымников В.П., Методы математической статистики в задачах физики атмосферы. М.: ИВМ РАН, 2000.

46. Ширяев А.Н., Вероятность, статистика, случайные процессы. М.: МГУ, 1973, 1974; Т. 1, 2.