Исследование задач оптимального управления и фильтрации линейных стохастических дискретных систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК БЕЛАРУСИ

Г г п п

" ™ Институт математики

1 0 ямп Ш

УДК 517.97

ТЫНКОВШ АНАТОЛИЙ ПАВЛОВИЧ

ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЙ И ФИЛЬТРАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ

Специальность: 01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МИНСК - 1395

Работа выполнена в Гродненском государственном университете имени Янки Купали '

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, .

профессор Минек С.А.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Бяагодатских В. И.

I

•кандидат физико-математических наук, доцент Крахотко В.В.

Оппонирующая организация- Брестский государственный университет

Защита состоится 1996г. в 1)°часов на заседании

совета по защите диссертаций Д 01.02.02 при Институте математики АН Беларуси (220072, г.Минск, ул.Сурганова.И)

С диссертацией молено ознакомиться в библиотеке Института ' математики АН Беларуси

Автореферат разослан ИГ" 19 эй.

Ученый секретарь совета по защите диссертаций

кандидат физ.-мат. наук А.И.Астровский

ОВДАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. В теория дискретных систем задачи оптимального управления и фильтрации занимают одно из центральных мест. При решении данного класса задач для общих дискретных систем применение известных методик, в частности, динамического программирования, затруднительно и приводит к вычислительным процедурам болылосо объема. Существенное влияние на развитие теории оптимального управления и фильтрации дискретных систем оказали результаты, полученные в работах Ю.С.Осипова, А.Б.Куржанского, В.Б.Колмановского, Р.Калмана, Р.Фалба, К.Браммера, Г.Зиффлинга.М.МаЧР.Ьацу,вис^А.ШСет, А.^в-ни^'л^с" и др. В последние годы.важные результаты по управлению дискретными двупараметрическями системами ( 2-1)системами) получены И.В.Гайшуном и его учениками, а также М.П.Дымковым.

Диссертация посвящена разработке теории и алгоритмов оптимального управления и фильтрации линейных стохастических одно-параметрических и двупараметрических дискретных систем. Приведенные результаты яЬяяются актуальными с точки зрения формирования общей теории оптимального управления и наблюдения динамических систем, а также могут служить основой для решения различных прикладных задач.

Связь работы с крупными научными программами, темами. Работа является составной частью госбюджетной НИР ГР А 018600487056, выполняемой кафедрой дифференциальных уравнений согласно Республиканской комплексной программе важнейших исследований в области естественных наук АН Бзларуси.

Цель и задачи исследования. Целью работы является получение алгоритмов решения задач оптимального управления и фильтрации линейных стохастических однопараметричесхих и двупараметрических дискретных систем.

Научная новизна. В диссертации для линейных стохастических однопараметрических и двупараметрических дискретных систем получены алгоритмы решения задач оптимального управления с квадратичным критерием качества, алгоритмы решения задач оптимальной фильтрации, построены и исследованы соответственные двойственные

г

задачи оптимального управления.

Приведенные"в работе результаты являются новыми.

Практическая значимость полученных результатов.-Лолученн: в диссертации результаты могут быть использованы при формиров. нии.общей теории управления и наблюдения динамических систем, также при решении ряда прикладных задач..

Экономическая значимость полученных результатов. Выполнен ная работа имеет теоретическое значение. Экономический эффект от'использования полученных алгоритмов решения рассматриваемо: класса задач на данном этапе не определен.-

Основные положения диссертации, выносимые на защиту. На защиту выносятся следувдие результаты:

- алгоритм решения задач оптимального управления с квадратичным критерием качества для линейных стохастических одно-параметрических дискретных систем;

- алгоритм решения задач оптимальной фильтрации вг случае линейных стохастических однопараметрических дискретных систем, Построение для.них соответственных двойственных задач оптимизации;

- алгоритм решения задач оптимального управления с квадр; тичным критерием качества в случае двупараметрических лянейнш дискретных систем;

- алгоритм решения задач оптимальной фильтрации для лине! ннх стохастических двупараметрических дискретных систем. Построение для них соответственных двойственных задач оптимальногс управления.

Полученные в диссертации алгоритмы позволяют сократить объемы вычислений при решении задач оптимального управления и фильтрации для линейных стохастических однопараметрических и двупараметрических дискретных систем.

Личный вклад соискателя. Работы, на основании которых написана диссертация, выполнены совместно с научным руководителем. Роль научного руководителя состояла в постановке рассматриваемых в диссертации задач и анализе полученных результатов. Все результаты, изложенные в диссертации, получены лично соискателем.

Апробация результатов диссертации. Основные результаты ди

сертации докладывались на Ш Всесоюзной конференции "Перспективные методы планирования и анализа экспериментов при исследовании случайных полей и процессов" С Москва-1988 г.) С конференции математиков Белоруссии (Гродно-1992 г.) с ¿1 . математической конференции "Еругинские чтения - и "(Гродно-1995 г.) С , семинарах кафедры дифференциальных уравнений Гродненского государственного университета имени Я.Кудалы.

Результаты диссертации опубликованы в пяти статьях в научных журналах, трех тезисах конференций.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, трех глав, списка использовании источников, включахщего 67 наименований на 7 листах. Общий объем работы 74 страницы машинописного текста.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ

Во введении дана оценка современного состояния решаемой в работе проблемы, обоснована необходимость проведения исследований, приведены исходные данные для разработки темы.

В главе 1 дается краткий обзор литературы по оптимальному управлению и фильтрации 1 "линейных однопараметрических и двупа-раметрических дискретных систем, приведено краткое изложение содержания. работы.

Во второй главе разработана теория оптимального управления и фильтрации линейных стохастических однопараметрических дискретных систем.

В разделе 2.1 дана постановка задачи оптимального управления для линейных стохастических однопараметрических дискретных систем.

Рассмотрим объект управления

л» *?

х(1) - ^ Ага)х(-е-г) + +

+ ¡и), * — I**/

, и (Г) - о , ** 77 -••/

где г б- (С , ц. е ;

¿■„я -61 - заданные целые положительные числа, --¿ъ >,тах[т1 (■ А ■ а) • г' - 'Г*» , "7" - заданные г « х- -матрицы; /3^), / = ¿7? , - заданные -матрицы;

, -¿¿Т~ - дискретный случайный процесс с нулевым матема тическим ожиданием и заданной матрицей ковариации;

под допустимым управлением , ~Т~ понимаем доследова

тельность { иа„), Ш<)};

, -¿-б- 77 - и мерная случайная начальная функция с нуле вым математическим ожиданием и заданной матрицей ковариации; ¿(■к) . Т - заданная /г -вектор-функция-;

Задача 2.1. Требуется определить управление , -6 е./

из условия минимума целевого квадратичного функционала

У = Е[£ъ'трюхю + и'а)6)«Ю7.

где В - символ математического ожидания; штрих - операция транспонирования;

и £>(■&) , , ~ ( - симметрические и неотрицательные матрицы порядка и. » и, ;

, * е 7~ - симметрическая и положительная матрица порядка х г .

Теорема 2.1( теорема разделения) . Если управление и°(-£) / является решением задачи 2.1, то оно является также и решением следующей детерминированной задачи 2.2:

=¿=1 АсИ)зси-о -г -ь^а) , * еТ

¿=1 /=о

■4- =

и наоборот,

где 5 (4) -£ [Ы+Я . _

В разделе 2.2 путем приведения функционала С7 к каноничес му виду предложен алгоритм решения задачи 2.2.

В разделе 2.3 дана постановка задачи оптимальной^фильтрации для линейных стохастических однопараыетрических дискретных систем и построена двойственная задача оптимизации.

Пусть ненаблюдаемый п, -вектор ха) - решение стохастической системы т

* а) = ^г А с (О * а-с) с Ш т-/, и), + е т,

ОС С - <) = Ха , лгМ - О , * < -¿с '-■£,

а доступный наблюдению вектор удовлетворяет соотношению

где ; И) - заданная С ^ ►) -матрица;

^г(^) , ¿еТ- заданные вектор-функции; дискретная случайная величина имеет заданные математическое ожидание и корреляционную матрицу ^Т3 и не зависит от независимых случайных процессов , , бе Тс нулевыми ма-

тематическими ожиданиями и единичными матрицами ковариации;

матрица Л^ (-6) =£а)6Ц_'Ч)}о , т.е. положительно определена при всех * <? ~Т ;

. / = > ^ е ^ ~ заданные матрицы размера 2 * ^ ; остальные параметры данного объекта определены при постановке задачи 2.1.

Обозначим $ - линейная несмещенная оценка вектора сс(Ы , построенная на основе результатов измерений Ошибка оценивания х С**) ~ лгС^-О•

Матрица ковариации Рал) ~ Е С £ ^ II •

Будем искать опт1шальные оценки из условия, что компоненты ошибки оценивания должны иметь минимальную дисперсию. Здесь это эквивалентно ^

Зри'г- Р(^) —? ■

Построение наилучшей в среднеквадратичном смысле оценки величины ха<) сведено к определению оптимального управления двойственной задачи оптимизации.

В разделе 2.4 предложен алгоритм решения полученной в разделе 2.3 двойственной задачи оптимизации. Задача оптимизации сводится к нахождению минимума квадратичной формы на множестве

векторов, удовлетворяющих системе-линейных ограничений типа рг венств, что достигается с помощью применения известных стендах ных процедур.

В разделе 2.5 просчитаны два конкретных примера решения г дач оптимального управления и фильтрации.

В третьей главе исследуются задачи оптимального управлеш и фильтрации для линейных стохастических двупараметрических дискретных систем.

В разделе 3.1 дана постановка задач оптимального управлеь для двух классов-двупараметрических систем и доказаны теоремы разделения.

Рассмотрим -систему

7~- r-f, .... -t*-t},

5 & $ - [ S* , +f , - • ■ , S< - f} с начальными условиями

-f(-i) , ¿=7777777,

* (-¿v,s) =y(s) , s= iTTTTT, (

где rf/?" ^ € g

Ac(-i,s) , t -77S ,(*ls)eT~'Ji - заданные -матрицы;

Bl-t, s) ,(4,s) e -(.hxt) -заданная матрица;

fCt.s) , (¿,s)e , -n -мерный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и заданной ковариационной матрице /('¿.s? ,(*,s)e ~*<S - заданная и. -вектор-функция;

¿=¿777777 , yes) , j-iTTTT?-., - случайные процессы с s данными математическими ожиданиями и ковариационными матрицамг ?с0 - случайная величина с заданным математическим ожиданг и ковариационной матрицей, причем все случайные процессы и вел чина Х0 не зависят друг от друга;

Oi+0 ,0<4Л ,OiSo ,o<sл , -г., ^/,

заданные целые числа.

Задача 3.1. Требуется определить управление uv(-t,S)i(-(-i s)f~] из условия минимума функционала

у-/¿/¿Г y^x'u.jUu.six-tt.s)! +

гд,$=£«>+•/, 5., , - симметрическая и неотрицательная матрица порядка и * и- ;

- симметрическая я положительная

матрица порядка £ * 1 .

Теорема 3.1 (теорема разделения для задачи 3.1). Если управление и.°1б,5) - решение задачи^3.1, то оно также решение следующей детерминированной задачи 3.2:

= рсО, г = я-с ^,

— у ^ ^ _

; Г-» - Г

- 2111 д/ЬС*, 5) и(+,<;) —*

и наоборот.

Здесь = £ , (*,-г)

= ( / = ,

~ ЕСус^З , 5 ^

^ - £■ С ^ 3 ■ ■

При апроксимации управляёмых систем уравнений в частных производных первого порядка приходим к дискретным системам несколько другого вида. Цусть имеем дискретный процесс

а: и^г^) -А^^хЪзМги^Н,*) гЗМ.^ЬЭ

с начальными условиями

-О = У № / , У(■£■), е7, ,

где хе /?" , • :

/4«: (Г^/^) , £>¿.(¿,5) , ¿--Л 2- , 7Г - задан-

ные матрицы соответствующих размерностей;

Ъз.(-<г>5') >/=^•2 . -О ^ ^Г - случайные процессы размерностей Ли/« соответственно с нулевыми математическими ожиданиями и заданными матрицами ковариации;

, , СЛ-О6 Л 'Л - заданные вектор-функции;

¥>($) , , бе Тл)-п(.т) -мерный случайный процесс с заданным.математическим ожиданием и ковариационной матрицей;

о ¡с , ¿ч , --¿0 / , 0 6 , ^ , -я - заданные

целые числа.

Задача 3.3. Определить управление (¿,У)е77,

из условия минимума функционала

Здесь (С, Г) 6~) , , , - симметрические

и неотрицательные матрицы порядков и к и. I моя соответствен^ р,ц,$) , *£л - симметрическая и положительная матрица

порядка Ъ

Теорема 3.2 (теорема разделения для задачи 3.3). Управлени и°С-ь,£) ,16,5) еТ, являющееся решением задачи 3.3, является также решением следующей детерминированной задачи 3.4:

е- Т, <2, ,

/ ^

-Г 'С?, <Г) ю +

/

4-

t-, 5,

i

< »-fro s.=s

и наоборот,

где x(*ts) ~ , 'f. f

Yes) = l=Cr(s)J .seí, , 9-a) = ECpV] ,

В разделе 3.2 предложен алгоритм решения вспомогательных детерминированных задач 3.2 (3.4).

В разделе 3.3 дана постановка задач оптимальной фильтрации. Для них построены двойственные задачи оптимизации.

Пусть ненаблюдаемый п. -векторx(é,s)является решением стохастической системы

зс(*т1, s+1)* Ai(*¿)xc*,s) +Aít-ilr)xrC*-bf,S) +

s) (¿,s) , s) e T* JS t

Cc(¿*,S) -y-(S), S ~ S.+<f,S,

sj -x-o,

а доступный наблюдению вектор определяется равенством

* -tf-. , s T,;

где 2: б/?"", ;

Ai(-t,s) , г =773 , (-¿•,s)e~r~xg - заданные(/z * ^г-) -матрицы; (-i, s) ,(■{■, s) € T*£ - заданная С -матрица;

■t-to+f,^, s -s.+i,^- заданная С ? ' -матрица; причем матрица положительна;

векторные случайные процессы г} и имеют нулевые

математические ожидания и единичные матрицы ковариации; С(s) - заданная (1 * п.) -матрица;

.f-iW,^ = - заданные

вектор-функции; _

f(-i) A , ¥Cs), s=S0H,Si - случайные процессы с задан-

ными математическими ожиданиями и ковариационными матрицами;

0Со - случайная величина с заданным математическим ожиданием и ковариационной матрицей, причем все случайные процессы и величина хв не зависят друг от друга;

o$-t0 ,0<±л , U-ia У/Л , P4S. ,o<S1 , S-, -S.>,2, - заданные целые числа.

Требуется определить оптимальную линейную несмещенную оценку вектора основе результатов измерений .

Обозначим линейную несмещенную оценку вектора х({*,£,) через ХС. Ошибка оценивания it у,) - , J,) - arYi-. . Оптимальную оценку ищем из условия

й- \ £рил. Р,'S-J —> ж.!.'«.,

Or

где матрица ковариации ошибки измерения г LttsJ определяется следующим образом:

pCt< Sj-tC £ , .

Пусть теперь ненаблюдаемый 'п. -вектор occ4,s) и т -вектор - решение стохастической системы

frH.So) л e~Ti,

а доступный, наблюдению £ -вектор определяется так:

J)U,s)cca,s) J) + sJfjUSJ * =

Здесь С Г*, О ССгс f,5), r=Wi,)-

заданная("гт) ((z*m)) матрица; заданная^ *и<)((hitnrj)-матрица; fc, - заданная ft*?-,) -матрица;

=77з - векторные случайные процессы с нулевыми математическими ожиданиями и заданными матрицами ковариации; ■ffC^iS)', ¿-ЧТъ - заданные вектор-функции; матрица'/^-У) -О ¿) , * = xW, ,

положительно определена;

А - заданные матрицы соответствующих размерностей;

^сг), (ft.tr), ¿¿Т,) - И(м-)-ыерный случайный процесс с заданным математическим ожиданием и ковариационной матрицей;

о $ -ь» , о<4л , 04 о< $1 - заданные целые числа. Предположим, что все случайные процессы не зависят друг от друга, а также 4.л, - ъ Я.*

Обозначим и ^ + Я - линейные несмещенные

оценки векторов аг(£,и , построенные на результа

тах измерений ¿-вектора , ^ , ? =гГ7Т7ТГ .

Рассмотрим матрицу ковариации ошибки измерения

Оптимальные оценки векторов лг^-г-'-л^Ои ^"-¿-г, Лт-^ищем из условия, чтобы компоненты ошибки оценивания имели минимальную дисперсии, что эквивалентно

В разделе 3.4 предложен алгоритм решения построенных в разделе 3.3 двойственных задач оптимального управления. Как и в случае однопараметрических дискретных систем, данные задачи сводятся к нахождению минимума квадратичной формы на множестве векторов, удовлетворяющих системе линейных ограничений типа равенств.

ВЫВОДЫ

В диссертации исследованы задачи оптимального управления и фильтрации для линейных стохастических однопараметрических и двупараметрических дискретных систем. По результатам выполненной работы можно сделать следующие выводы:

1. Получен алгоритм решения задач оптимального управления для линейных стохастических однопараметрических дискретных систем. Данный алгоритм позволяет значительно упростить и уменьшить объемы вычислений по сравнению с ранее применявшимися методами.

2. Предложен способ решения задач оптимальной фильтрс^ш в случае линейных стохастических однопараметрических дискретных систем. Задаче фильтрации построена двойственная задача

оптимизации, решение которой сведено к нахождению минимума квадратичной формы на множестве векторов, удовлетворяющих системе линейных ограничений типа равенств.

3. Исследованы задачи оптимального управления с квадратичным критерием качества в случае линейных стохастических двупараметрических дискретных систем.

4. Получен алгоритм решения задач оптимальной фильтрации для линейных стохастических двупараметрических дискретных систем и построены двойственные задачи оптимального управления.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ

1. Минюк С.А., Тынкович А.П. К теории фильтрации линейных дискретных систем с запаздыванием /Ред. журн. "Ввсщ

АН БССР". - Минск, 1988. - 10 с. - Деп. в ВИНИТИ 18.07.88, ü 5800-В 88.

2. Минюк С.А., Тынкович А.П. К теории фильтрации линейных дискретных систем с запаздыванием // Перспективные методы планирования и анализа экспериментов при исследовании случайных полей и процессов: Тез. докл.^ Всесоюзной конференции. - Москва, 1988. - С. 69-70.

3. Минюк С.А., Тынкович А.П. К теории фильтрации линейных дискретных систем с запаздыванием // ВесцГ АН БССР. - • 1989, ü 4. - С. 116,

4. Минюк С.А., Тынкович А.П. К теории оптимального управления и фильтрации линейных стохастических дискретных систем и Дифференц. уравнения. - 1992. - Т. 28, И. -

С. 1112-1122.

5. Минюк С.А., Тынкович А.П. К теории оптимального управления и фильтрации линейных стохастических,дискретных систем / Ред. журн. "Дифференц. уравнения". - Минск, 1992. -

27 с. - Деп. в ВИНИТИ 19.05.92, ü 1644-В 92.

■ 6." Минюк.С.А., Тынкович А.П. К теории оптимальной фильтрации линейных стохастических дискретных систем // Тез. докл.7> .71 конференции математиков Беларуси, часть 4. - Гродно, 1992.-СГ173.

7. МинюкС.А., Тынкович А.П. К теории оптимального управления и фильтрациж линейных стохастических дискретных

систем // Дифференц. уравнения. - 1993. - Т.29, № 2. -С. 358-360.

8. Тынкович А.П. Об одной задаче оптимального управления дл модели Россера // Тез.докладов математической конференци. "Еругинские чтения -П ". - Гродно, 1995. С. 101.

РЕЗЮМЕ

Тынкович Анатолий Павлович

№следование задач оптимального управления и фильтрации линейных стохастических дискретных систем

Ключевые слова: оптимальное управление, наблюдение, фильтрация, линейная стохастическая дискретная система, одно-параметрическая (двупараметрическая) система.

Целью диссертационной работы является разработка алгоритмов решения задач оптимального управления и фильтрации линейных стохастических однопараметрических и двупараметрических дискретных систем.

В диссертации использованы методы оптимизации, линейной алгебры, теории вероятностей.

Основные результаты диссертации:

- получен алгоритм решения задач оптимального управления для линейных стохастических однопараметрических дискретных систем;

- предложен способ решения задач оптимальной фильтрации • в случае линейных стохастических однопараметрических дискретных систем;

- исследованы задачи оптимального управления в случае линейных стохастических двупараметрических дискретных систем;

- получен алгоритм решения задач оптимальной фильтрации для линейных стохастических двупараметрических дискретных систем, построены двойственные задачи оптимального управления.

Полученные в диссертационной работе результаты являются новыми и могут быть использованы при формировании общей теории управления и наблюдения динамических систем, решении ряда прикладных задач.

~ РЗЗЮМЭ " -

Тынков ¡ч Анатол/й Паулав/'ч

Даследавание задач аптымальнага к/равання Г ф/льтрацы/ Л1нейных стахастычных дыскрэтных с/'стэм

Юиочавыя словы: аптымальнае к/'раванне, наз/ранне, ф1льтрадыя, л/нейяая сгахастычная дыскрэтная с/стэма, адна-параметрычная(двухпараметрычнйя)с¡стэма.

Мзтай дысертацыйнак работы зкуляецца распрацоука алга-рытмау рашэння задач аптымальнага к('равання ( ф|'льтрацы:' ■лшейных стахастычных аднапараметрычных I двухпараметрычных дыскрэтных сГстэм.

У дысертацш' выкарыстаны метады аптымГзацы/ , лГнейнай алгебры, тэоры! ¡мавернасцей.

Асяоуныя выш'к/ дысертащл:

- атрыманы алгарытм рашэння задач аптымальнага к/раван-ня для л!нейных стахастычных аднапараметрычных дыскрэтных с!стэм;

- прапанаваны спосаб рашэння задач аптымальнай ф/льтрацы/ у выпадку л/нейных стахастычных аднапараметрычных дыскрэтных сГстэм;

- атрыманы алгарытм рашэння задач аптымальнай ф/льтрацы/ для линейных стахастычных двухпараметрычных дыскрэтных с 1'с— тэм, пабудаваны дваГстыя задачы аптымальнага к/равання;

- даследаваны задачы аптымальнага к/равання у выпадку лГнейных стахастычных двухпараметрычных дыскрэтных с(стэм.

Атрыманыя у дысертацыйнай рабоце вынГк! з'яуляюцца новым! могуць быць выкарыстаны пры фарм/раванн/ агульнай тэоры! к/равання '/ наз/рання дынам/чных с!стэм, рашэнн! шэрагу прыкладальных задач.

RESUME

TYNKOVICH ANATOLY PAVLOVICH

Investigation of Optimum Control and Filtration for Linear Stochastic Discrete Systems Problems.

Key words: optimum control, observation, filtration, linear stochastic discrete system, one-parameter (two-parameter) system.

The purpose of the thesis is to create algorythms for solving problems of optimum control and filtration of linear stochastic one-parameter and two-parameter discrete systems.

The methods of optimization, linear algebra, probability theory have been used in the thesis.

The main results of the thesis are following:

- the algorythm for solving optimum control problems linear stochastic one-parameter discrete systems has been obtained;

- the method for solving optimum filtration problems of linear stochastic one-parameter discrete systems has been suggested;

- the optimum control problems of linear Btochastic two- . parameter discrete systems have been investigated;

- the algorythm for solving optimum filtration problems of linear stochastic two-parameter discrete systems has been obtained, the optimum control dual problems have been created.

The thesis results are new and can be used in the creation of general dynamic systems control and observation theory, and for^ solving some applied problems.

Подписано к печати 09. И. 95~г . формат 60*90/16. Бумага & 1. ■ Печать офсетная. Усл.печ.л. Усл. к рас ко от 1. 5~. Тираж 100 экз. Заказ Л -154.

Отпечатано на ротапринте ВЗЛО 231900, г.Волковыск Гродненской обл., ул.Пролетарская,31.