Оптимальная фильтрация при конечно-коррелированных возмущениях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Введение.

1 Линейно-квадратичная задача оценивания

1.1 Линейно-квадратичная задача оценивания.

Дискретное время.

1.1.1 Постановка задачи

1.1.2 Сведение к задаче оценивания с возмущениями типа белого шума.

1.1.3 Фильтр Калмана-Бьюси.

1.2 Спектральный метод вычисления калмановского коэффициента усиления.

1.2.1 Постановка задачи оптимального управления

1.2.2 Стационарная задача Калмана- Летова.

1.2.3 Спектральный метод с расширением задачи управления.

1.2.4 Коэффициент Калмана в задаче фильтрации

1.2.5 Решение уравнения Лурье через контурный интеграл в случае ненаблюдаемой пары матриц системы

1.3 Линейно-квадратичная задача оценивания. Непрерывное время.

1.3.1 Постановка задачи

1.3.2 Фильтр Винера - Колмогорова.

1.3.3 Алгоритм вычисления оптимального фильтра

1.4 Аппроксимация оптимального непрерывного фильтра с помощью дискретных рекуррентных фильтров.

1.4.1 Сведение непрерывной задачи оценивания к дискретной.

1.4.2 Свойства помех в дискретной задаче.

1.4.3 Пример.

1.5 Двойственность задач оптимального оценивания и управления

2 Задачи Я°°-оптимизации

2.1 Постановки задачи Я°°-оптимального управления.

2.1.1 Стохастическая постановка задачи.

2.1.2 Детерминированная постановка задачи.

2.1.3 Третья постановка

2.1.4 Постановка задачи #°°-субоптимизации.

2.2 Двойственность задач управления и фильтрации в Н°° постановке.

2.2.1 Постановка задачи Я°°-оптимальной фильтрации

2.2.2 Двойственная задача управления.

2.3 Решение задачи управления при помощи линейного функционального уравнения.

2.4 Алгоритм решения линейного функционального уравнения для задачи фильтрации с запаздыванием в возмущении.

3 Примеры

3.1 Объект первого порядка.

3.1.1 Решение линейно-квадратичной задачи оценивания

3.1.2 Решение Н°° задачи оценивания.

3.2 Задача отслеживания отклонения двухколесной тележки от заданной прямолинейной траектории.

3.2.1 Решение линейно-квадратичной задачи отслеживания

3.2.2 Решение Н°° задачи отслеживания.

В теории оптимальной фильтрации важнейшими разделами являются линейно-квадратичная теория Винера-Колмогорова фильтрации стационарных случайных процессов [9, 28, 44, 52], а также теория рекуррентных фильтров Калмана-Бьюси [7, 40, 41].

В теории Винера-Колмогорова оптимальной фильтрации стационарных случайных процессов решение задачи фильтрации дается в терминах спектральных плотностей наблюдаемых и оцениваемых случайных процессов. Искомая передаточная функция оптимального фильтра рассчитывается при помощи операций факторизации и сепарации над некоторыми функциями, определяемыми данными задачи фильтрации. Наиболее полно данная теория исследована в случае, когда спектральная плотность возмущений, воздействующих на случайные процессы, является рациональной функцией [13, 18, 29].

Оптимальные свойства рекуррентного алгоритма оценивания, известного как фильтр Калмана-Бьюси, были установлены в предположении, что оцениваемая величина удовлетворяет линейному стохастическому уравнению и линейная функция этой величины наблюдается на фоне некоррелированной помехи (белого шума). Калман связал сформулированную им в пространстве состояний теорию наблюдения линейных систем с понятием ортогональной проекции случайных векторов [40].

Уравнения линейной фильтрации выводятся в работах Уонэма и Каллианпура и Стрибела [38, 39, 54]. В обзорной статье Кайлата [37] имеются ссылки на литературу, в которой детально обсуждается связь между линейной фильтрацией и уравнениями Винера-Хопфа.

Построение фильтра Калмана-Бьюси при наличии корреляции между возмущениями и ошибками измерения представлено в работах Яз-вински [35] и Сейджа [19]. Исследование систем с коррелированными возмущениями в основном ограничивалось случаями, когда спектральная плотность возмущений является рациональной функцией. Тогда оптимальный фильтр допускает представление в виде фильтра с расширенным пространством состояний [18, 29], так как система может быть записана в виде конечномерного стационарного объекта с белым шумом на входе.

Остановимся подробнее на этом преобразовании. Пусть объект оценивания задается системой уравнений х = Ах + Ву, у = Сх + Ву, где V — гауссовский обобщенный стационарный случайный процесс. Предположим, что спектральная плотность процесса V ограничена на мнимой оси и допускает спектральную факторизацию = Г(^)ГТ(—г), где Г(2г) = (1(г)~1с(г), й(г) = + + ф) = с0 +. + спгп. Тогда процесс у порождается стандартным непрерывным белым шумом й)\ д,{р)ю = с(р)т.

Введем процесс 7? = V — спйдля которого б1(р)г] = с(р)гу, где матричный полином с(г) = с(г) — (1(г)сп1 ; = со + . + сп-\%п~Х имеет степень меньше п. Введем векторный стационарный процесс £ уравнением С = + От, где матрицы ^иС имеют вид

0 . . 0 N ( ё° \ = I . . 0 С1

0 . . I —<4-1} \ Сп-1 /

Введем расширенный вектор состояний х = со1(ж, С)- Тогда систему наблюдения можно записать в виде х = Ах + Вт, у = Сх + Йги, где

А = ВЯ 42)

С = (С Веп), Т) = Всп, = (0,

О, I)

Исходный объект управления с гауссовским процессом на входе заменен эквивалентным объектом с белым шумом на входе. Поэтому линейно-квадратичная теория синтеза оптимальных фильтров, созданная для объектов с белым шумом на входе, распространяется и на объекты, у которых спектральная плотность возмущений является рациональной матричной функцией.

Если спектральная плотность возмущений в объекте или уравнении измерения не является рациональной, то размерность объекта становится бесконечной, а стандартный фильтр Калмана-Бьюси — операторным уравнением, непригодным для эффективных вычислений.

Поясним особенности расчетных алгоритмов синтеза линейно-квадратичных регуляторов на примере многомерных систем управления с возмущениями, имеющими рациональную спектральную плотность [21].

Решение линейно-квадратичной задачи управления определяется через процедуры факторизации и сепарации. Рассмотрим следующую задачу линейной оптимизации: требуется минимизировать функционал качества управления

АТ (Я - где матрица N = I ^ I неотрицательна, при наличии линеинои связи" a(V)yt = b(V)ut + vt на переменные у и и. Здесь а,Ь — полиномиальные матрицы. Оператор V может обозначать сдвиг назад, если система задана в дискретном времени, £ = 0,±1,±2, .либо оператор дифференцирования, если система задана в непрерывном времени, ^ 6 И. Минимизация осуществляется в классе допустимых стратегий управления, порождаемых стабилизирующими регуляторами

В дальнейшем оператор * означает транспонирование и замену аргумента Л на —Л для непрерывных систем и на Л-1 для дискретных систем.

Теорема ([21, теорема 3.4.7]). Предположим, что выполнены следующие условия:

1) пара матричных полиномов а(Х), 6(А) стабилизируемая;

2) Я(Х) = ^^ , где {к,д) — несократимая справа пара матричных полиномов, такая, что /г(Л)^1(Л) = а1(Л)6(Л);

3) функция В*(Х)МВ,(\) положительна при |А| = 1;

4) возмущение V — центрированный процесс, имеющий рациональную спектральную плотность

А)=Г(А)Г*(А), где рациональная функция Г (А) — устойчивая вместе со своим обращением Г(А)-"1.

Тогда полиномы а(Х), (3(Х) стабилизирующего регулятора имеют вид: а(А) = Ф(АЖА) + [Л(А)П-1(А)]*]у(/° ),

3(Л) = Ф(А)а(А)-[Л(А)П"1(А)]*Л'(^), где П(А) — устойчивая вместе с обращением П-1(А) рациональная функция, определяемая из условия факторизации

Д*(А)ЛГД(А) = П*(А)П(А); функция Ф(А) специального вида,

Ф(А) = Ь(А)Г+(А) + Ф(А)[/„ - Г(А)Г+(А)], с произвольной рациональной функцией Ф(А) обеспечивает сепарацию в выражении для коэффициентов а(Х) и (3(Х), т. е. Иш^^оо 1/(А)=0 и матричные функции а(А) и (3(Х) не имеют полюсов в области неустойчивости.

Таким образом, расчетный алгоритм решения данной общей задачи оптимального управления состоит из нахождения полиномиальной матрицы П (процедура факторизации) и в компенсации неустойчивых составляющих в матричных функциях а(А) и (3(Х) при помощи полиномиальной функции Ф(Л) (процедура сепарации).

Для конечномерных объектов управления, к которым сводятся стационарные возмущения с рациональной спектральной плотностью, перечисленные операции легко осуществляются методом вычисления корней соответствующих многочленов и понижением порядка вычислительной задачи [30].

В главе 1 данной работы изложен алгоритм расчета оптимальных фильтров для конечномерных систем наблюдения, возмущения в которых имеют нерациональные спектральные плотности, в частности, когда возмущения конечно-коррелированы.

Метод решения основан на тех же процедурах спектральной факторизации и сепарации, что и в теории Винера-Колмогорова. Однако полиномиальные методы анализа заменяются на изучение свойств произвольных функций в пространствах Харди, в которых возникают проблемы сходимости интегралов и изучение свойств носителей импульсных характеристик у соответствующих передаточных функций.

Близкие линейно-квадратичные задачи управления и фильтрации рассматривались в работах Алиева и Ларина [1, 2]. На основе стандартного спектрального метода синтеза регуляторов, разработанного этими авторами, решены задачи, в которых основная операция факторизации все же остается полиномиальной, хотя следующая операция сепарации и окончательное решение выходит за рамки рациональных функций.

В работе Петрова и Фомина [15] были получены субоптимальные линейно-квадратичные оценки для непрерывно-дискретных систем наблюдения, в которых спектральная плотность возмущения не являлась рациональной.

Линейно-квадратичная задача в непрерывном времени с конечно-коррелированным возмущением решена в разделе 1.3, где сформулированы основные уравнения для расчета оптимального фильтра. Подробный численный алгоритм расчета оптимальных фильтров в несколько более общей постановке задачи приведен в главе 2 данной работы.

Построение фильтра Калмана-Бьюси для конечномерных объектов наблюдения в дискретном времени в стационарном случае основано на нахождении неотрицательного решения уравнения Лурье

Я = А*НА - (А*НВ + С)(В*НВ + Б + 0*)~\А*НВ + С)*.

Для его решения обычно применяются итеративные методы. В [23] для определения нужного решения уравнения Лурье предлагается использовать уравнение Риккати

Щ+1 = А*ЩА - (А*ЩВ + С)(В*ЩВ + В + 0*)~1(А*ЩВ + С)* при начальном условии Щ = 0. Итерационная процедура определяет последовательность неотрицательных операторов Щ, монотонно сходящихся к положительному оператору Н — решению уравнения Лурье, при этом скорость сходимости операторов Щ к Н экспоненциальная.

В [22] В.Н.Фоминым был предложен спектральный способ нахождения калмановского коэффициента усиления в задаче оптимального управления методом " расширения" линейно-квадратичной задачи управления. Калмановский коэффициент определяется явной формулой через контурный интеграл от функции, определяемой матрицами исходной системы. Далее уравнение Лурье после подстановки найденного коэффициента усиления становится линейным, а именно, уравнением Ляпунова.

Для задачи фильтрации аналогичный способ расчета коэффициента Калмана представлен в разделе 1.2. Прямое обобщение результата В.Н.Фомина по двойственности невозможно для систем с запаздыванием по возмущению по следующей причине.

Одним из необходимых условий применения спектрального метода расчета коэффициента Калмана была управляемость пары матриц объекта управления. В двойственной задаче оптимальной фильтрации для применения метода контурного интеграла требуется полная наблюдаемость пары матриц в объекте наблюдения.

В системах фильтрации с цветными шумами требуется предварительно расширять пространство состояний системы для сведения ее к каноническому виду Калмана. После сведения пара матриц объекта наблюдения оказывается, как правило, ненаблюдаемой.

В пункте 1.2.5 указан способ расчета калмановского коэффициента без решения уравнения Лурье через контурный интеграл для ненаблюдаемых систем.

Определенный теоретический и прикладной интерес представляет соответствие между непрерывной и дискретной задачами оптимальной фильтрации. Центральным моментом рассматриваемой проблемы является задача об аппроксимации непрерывного фильтра с помощью дискретного. Предполагается, что синтез последнего осуществляется проще. В математическом плане эта задача связана с установлением соответствия между "непрерывной" и "дискретной" факторизацией корреляционных операторов частично-наблюдаемых процессов.

При дискретизации стандартной системы наблюдения в непрерывном времени с независимыми возмущениями в объекте и наблюдении возникает вырожденная задача: после расширения пространства состояний объект оказывается ненаблюдаемым. Таким образом, в разделе 1.4 представлен способ формирования аппроксимирующих дискретных фильтров с расчетом коэффициента усиления без решения уравнения Лурье.

В главе 2 решаются задачи синтеза "Н°°-оптимальных регуляторов и фильтров для систем с запаздываниями по возмущению.

Направление ^^-оптимизации возникло в западной литературе как продолжение работ по анализу чувствительности систем с обратными связями. Работой, положившей начало этой теории, принято считать статью Дж. Зеймса [55].

Для объектов управления в форме "вход-выход" задача Т^-опти-мизации обычно ставилась следующим образом. Пусть объект описывается векторным уравнением а{р)у(*) = Ь(р)и(г) + с(р)т(г), где а, 6, с — матричные многочлены, р = ¿¡(И — оператор дифференцирования, у — выход объекта, и — управление, ю — возмущение. Требуется синтезировать неупреждающую обратную связь и = \УТщ(р)у({) так, чтобы минимизировать норму отображения и? —> (у, и) в пространствах L2(0,оо) при нулевых начальных условиях:

J= sup (||2/||Ь(0,оо) -Ь «ll«lli»(0,oo))ll^lli2(0jOo)<l

Первое решение этой задачи было получено Майклом Сафоновым [48] для скалярного объекта управления и при к, = 0. Оказалось, что данная задача в точности эквивалентна классической проблеме Неванлинны-Пика в теории равномерной аппроксимации аналитическими функциями.

В дальнейшем решение М.Сафонова было обобщено на общий векторный случай и были получены алгоритмы расчета передаточной функции Wieg оптимального регулятора. Методы решения составили так называемый спектральный подход в теории "Н^-оптимального управления. Они были собраны в монографии Френсиса [34]. Эти методы содержат большое количество вспомогательных преобразований рациональных передаточных функций объекта управления, сводящиеся к решениям диофантовых полиномиальных уравнений, а также полиномиальную факторизацию матричных функций. Целью преобразований было сведение исходной задачи к матричной проблеме Неванлинны-Пика, хотя бы и ценой алгоритма последовательных приближений.

Обилие вспомогательных процедур значительно затруднило интерпретацию, обобщение и исследование полученных результатов. В частности, эмпирически выяснилось, что степени оптимальной рациональной функции регулятора Wreg получаются намного меньшими, чем ожидается в решении полиномиальных уравнений и меньшими, чем степени промежуточных полиномиальных матричных функций. Кроме того, неизвестной оставалась связь данной задачи со стохастической линейно-квадратичной задачей оптимального управления, в которой показателем качества является дисперсия выходной переменной объекта управления.

Эти недоработки были устранены в результате применения совершенно новых методов исследования задачи Н^-оптимального управления, не связанных ни с задачей Неванлинны-Пика, ни с аналитическими аппроксимациями. Было найдено прямое алгебраическое решение задачи методом пространства состояний и уравнений Лурье (так называемый "подход двух уравнений Риккати"). Наиболее последовательно эти методы изложены в знаменитой статье Дойла, Френсиса, Гловера и Каргонекера [31]. Поясним это решение.

Пусть система управления описывается уравнениями х = Ах + В\гю + В^и, z = С]х + £>12^, у = С2Х + £>21«;, где х — фазовый вектор системы, т — возмущение, и — управление, г — выход системы, определяющий показатель качества ее функционирования, у — измеряемый выход системы. Все величины векторные, а матрицы коэффициентов — постоянные. Начальные данные нулевые: я(0) = 0.

Требуется синтезировать неупреждающую обратную связь и = \¥тек(р)у так, чтобы минимизировать норму порождаемого замкнутой системой линейного отображения ги —»• г, т.е.

3 = 8ир{р|||2(01Оо) I |Н|£'(0,оо) < !}•

В задаче субоптимального управления фиксируется уровень 7 > 0 и требуется дать параметрическое описание всех регуляторов, обеспечивающих условие 3 < 7. Такие регуляторы называются 7-сжима-ющими.

Решение дается при помощи уравнений Лурье, имеющих много общего с конструкциями решений линейно-квадратичной задачи аналитического конструирования регуляторов. Сформулируем решения для частного случая, известного как задача с "полной информацией" [31]. Предположим, что Сч — I — единичная матрица и = 0, т.е. измеряется весь фазовый вектор х без ошибок. Тогда без ограничения общности можно считать, что 2 = со1 (Сх,и), т.е. С\ = со1(С,0), £>12 = со1(0,/).

Пусть пара матриц (А, В2) стабилизируема и 7 > 0. Тогда для того, чтобы существовал 7-сжимающий регулятор, необходимо и достаточно, чтобы максимальное решение Н уравнения Лурье

АТН + НА + С[СХ + Н^ВгВ^ - В2В%) = 0 существовало и было неотрицательно определенным: Н > 0. Если это условие выполнено, то множество всех 7-сжимающих регуляторов может быть записано в виде и(г) = -в1х(г) + - 7-1Е%Нх{1)), где !)(•) — произвольная функция из шара в пространстве Харди Н°°(С+) в правой полуплоскости: Ц-ОЦ^ < 7.

Данное множество регуляторов параметризуется функцией П и изоморфно шару в пространстве Н°°(С+). Центр этого шара при I) = 0 определяет так называемый "центральный регулятор" и(€) = Кх({), где К = —В^Н, который обладает дополнительными свойствами минимума энтропии [17]. Было доказано, что при 7 —у оо матрица коэффициентов К центрального регулятора сходится к матрице коэффициентов оптимального линейно-квадратичного регуляторов, и что соответствующие решения уравнений Лурье также сходятся.

Это красивое решение породило большое количество работ в области Т^-оптимального управления в течение последних 10 лет. Было доказано, что задача оптимальной фильтрации с аналогичным функционалом качества в виде нормы отображения от функции возмущений к функции ошибок оценивания является двойственной к поставленной задаче оптимального управления с "полной информацией". Двойственность определяется транспонированием блочной матрицы из трех блоков, составляющей правую часть системы уравнений в общем виде.

Прямой связи между спектральным решением и методом уравнений Риккати долгое время не удавалось найти. В статье [24] были введены полиномиальные уравнения Риккати, определяемые при помощи процедуры спектральной факторизации, и найдена явная алгебраическая связь этих решений с матрицей Н в матричном уравнении Лурье.

Эффективные решения задач Т^-оптимального управления и фильтрации, доведенные до численных алгоритмов, получались лишь для систем, описываемых дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами и без запаздываний, т.е. для систем с конечномерным вектором состояний. Была даже доказана теорема о том, что для существования конечной системы обыкновенных (нелинейных) дифференциальных уравнений с входом у(£) и выходом £(£) — оптимальной линейно-квадратичной оценкой фазового вектора, — необходимо и достаточно, чтобы существовало преобразование координат, сводящее задачу к постановке Калмана-Бьюси, т.е. к линейной системе в объекте и измерении. Если добавить условие автономности, то получается система, описанная выше уравнениями в форме "вход-выход" или уравнениями в пространстве состояний.

Перенесение решений на системы с запаздыванием, как и на другие бесконечномерные системы, сталкивается с новыми трудностями. Стандартное спектральное решение дается в классе передаточных функций. Операции факторизации и решения диофантовых уравнений над кольцом полиномиальных матриц доведены до численных алгоритмов, тогда как аналогичные операции с произвольными аналитическими функциями создают проблемы уже в вопросах правильного определения области проектирования и функциональных пространств.

Подход пространства состояний и уравнений Риккати может быть непосредственно обобщен на бесконечномерные системы определенного класса (системы Притчарда-Соломона [47]), но получающееся операторное уравнение Риккати дает только теоретические результаты типа существования и единственности решений. В статье [42] дается решение задачи управления системы с чистым запаздыванием, представленное в терминах операторного уравнения Риккати. Однако выбран такой частный случай, в котором основная операция факторизации оказывается полиномиальной, и поэтому решение операторного уравнения Риккати в определенном смысле вырожденное. Другие подходы к решению задач 'Н°°-оптимального управления и фильтрации основываются на априорных численных аппроксимациях и применении современных пакетов программ, в частности, по линейным матричным неравенствам (ЬМ1).

Задача минимаксной фильтрации, двойственная к задачам управления, рассматривалась в различных постановках в работах М.С.Пин-скера и Г.К.Голубева [6, 16], а также в работах О.М.Куркина, Ю.Б.Ко-робочкина и С.А.Шаталова [12, И]. Постановка задач усложнена наличием дополнительного белого шума в системе, что приводит к минимизации суммы норм в пространствах I? и Ь°°.

В работах [25, 26] был предложен новый способ расчета параметров оптимальных регуляторов в задаче %°°-оптимизации, названный Ф-подходом. Сначала он был сформулирован как упрощенный способ вычисления параметров оптимальных регуляторов для конечномерных автономных систем управления [25]. Затем были найдены функциональные пространства и операторы проектирования в них, обобщающие решение на случай функционально-дифференциальных уравнений объекта, в том числе на уравнения с чистыми запаздываниями по управлению и по выходной координате [26].

Задачи ¿/"^-оптимального управления с чистыми запаздываниями в управлении и шуме наблюдения были рассмотрены в работах [33, 45, 49], с запаздываниями в состоянии [36, 43, 46, 51]. Задача Н°°-оценивания, двойственная к задаче управления с запаздыванием в состоянии, была изучена в работе Фату, Сенэйм и Диона [32]. Во всех перечисленных работах либо системы имели чистое запаздывание, что делало операцию факторизации полиномиальной, либо для систем общего вида сразу же применялись конечномерные аппроксимации.

В данной работе Ф-подход применен к задачам оптимального управления и фильтрации с произвольными запаздываниями в возмущении. Получены численные алгоритмы расчета параметров оптимальных фильтров и регуляторов, приведены примеры. Метод решения относится к спектральным, но включает проектирование из пространства на пространство Харди V2 в правой полуплоскости, которое ссылается на свойства носителей соответствующих импульсных характеристик во временной области.

Спектральное решение задачи управления формулируется в терминах передаточных функций разомкнутой системы и не требует обращения к матрицам пространства состояний. Между тем, известные уравнения двойственности фильтрации и управления были сформулированы для канонических систем первого порядка через их матрицы. Поэтому возникла задача определения преобразования двойственности для систем в форме вход-выход.

В разделе 2.2 установлена алгебраическая связь двойственности задачи "Н°°-оптимального управления и задачи "Н°°-оптимальной фильтрации для объектов, записанных в форме вход-выход. При помощи этого преобразования впервые получено точное решение задачи оптимальной фильтрации для систем с запаздыванием. Сформулирован численный алгоритм расчета параметров фильтров, приведены примеры расчета и графики весовых функций в интегро-дифферен-циальном уравнении фильтра.

Явная форма оптимального регулятора и оптимального фильтра для систем с запаздыванием дает возможность дополнительного изучения свойств оптимальных замкнутых систем. В частности, при 7 —»• оо уравнения для расчета %°°-оптимального регулятора переходят в уравнения для расчета линейно-квадратичного регулятора, синтезированного в разделе 1.3.

В главе 3 приводятся примеры расчета оптимальных регуляторов и фильтров в соответствии с алгоритмами, изложенными в главе 2. Рассмотрены объекты первого и второго порядков, возмущения в которых описывается суммой дифференциальных операторов с запаздыванием.

В заключении перечисляются основные результаты работы.

Основные результаты работы:

1) Разработан алгоритм расчета линейно-квадратичного фильтра для скалярных систем в непрерывном времени с конечно-коррелированными возмущениями.

2) Предложен и обоснован метод аппроксимации оптимального линейно-квадратичного фильтра в непрерывном времени фильтрами в дискретном времени с расчетом их параметров без решения уравнения Лурье при наблюдаемой и ненаблюдаемой паре матриц в уравнениях объекта и измерения.

3) Доказана теорема двойственности в задачах .йГ°°-оптимального управления и фильтрации для систем, записанных в терминах "вход-выход" .

4) Получено общее решение задач #°°-оптимальной фильтрации и управления для непрерывных систем наблюдения с конечно-коррелированными возмущениями.

5) Предложен алгоритм расчета параметров #°°-оптимальных фильтров методом линейного функционального уравнения на основе факторизации спектральных плотностей возмущений, содержащих чистые запаздывания. Проведен полный расчет параметров оптимальных ите-гро-дифференциальных фильтров для систем наблюдения первого и второго порядков.

Заключение

1. Ф. А. Алиев, Б. А. Бордюг, В. Б. Ларин. Я2-оптимизация и метод пространства состояний в задаче синтеза оптимальных регуляторов. Баку: Элм. 1991.

2. Ф. А. Алиев, В. Б. Ларин, К. И. Науменко, В. Н. Сунцев. Оптимизация линейных инвариантных во времени систем управления. К.: "Наук, думка". 1978.

3. Г. Б. Афанасьева, В. Н. Фомин, А. А. Шереметьев. Методы нахождения максимального решения уравнения Лурье. СПб. 2000. Деп. в ВИНИТИ №361-В00 от 14.02.2000.

4. А. Е. Барабанов. Оптимальное управление линейным дискретным динамическим объектом с усредненным функционалом качества. ДАН СССР. 1990. т. 312. №5. С. 1053-1057.

5. И. И. Гихман, А. В. Скороход. Введение в теорию случайных процессов. М.: "Наука". 1965.

6. Г. К. Голубев. О минимаксном оценивании регрессии. Проблемы передачи информации. 1984. Т. 20. №1. С. 56-64.

7. Р. Калман, Р. Бьюси. Новые результаты в линейной фильтрации и теории предсказания. Тр. Амер. общ-ва инженеров-механиков. 1961. Сер. Д. №1. С. 123-141.

8. X. Квакернаак, Р. Сиван. Линейные оптимальные системы управления. М. 1977.

9. А. Н. Колмогоров. Интерполирование и экстраполирование стационарных случайных последовательностей. Изв. АН СССР. Математика. 1941. N 5. С. 3-14.

10. А. Н. Колмогоров. Основные понятия теории вероятностей. М. 1974.

11. О. М. Куркин. Минимаксная линейная фильтрация стационарного случайного процесса с ограниченной дисперсией возмущения. Радиотехника и электроника. 1981. №8. С. 1689-1697.

12. О. М. Куркин, Ю. Б. Коробочкин, С. А. Шаталин. Минимаксная обработка информации. М.: Энергоавтомиздат. 1990.

13. Фильтрация и стохастическое управление в динамических системах. Под. ред. К.Т.Леондеса. М. 1980.

14. О. А. Петров, В. Н. Фомин. Линейная фильтрация случайных процессов. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та. 1991.

15. О. А. Петров, В. Н. Фомин. Оптимальное оценивание непрерывно-дискретных процессов. Кибернетика и вычислительная техника. 1993. Выпуск 97. С. 28-33.

16. М. С. Пинскер. Оптимальная фильтрация квадратично-интегрируемых сигналов на фоне гауссовского шума. Проблемы передачи информации. 1980. Т. 16. №2. С. 52-68.

17. А. Позняк, Г. Себряков, А. Семенов, Е. Федосов. Н°°-теория управления: феномен, достижения, перспективы, открытые проблемы. М. 1990.

18. Я. Н. Ройтенберг. Автоматическое управление. М.: "Наука". 1971.

19. Э. Сейдж, Дж. Мелса. Теория оценивания и ее применение в связи и управлении. М.: Связь. 1976.

20. В. Н. Фомин. Рекуррентное оценивание и адаптивная фильтрация. М.: "Наука". 1984.

21. В. Н. Фомин. Методы управления линейными дискретными объектами. JL: Изд-во Ленингр. ун-та. 1985.

22. В. Н. Фомин. Операторные методы теории линейной фильтрации случайных процессов. СПб. 1996.

23. В. D. О. Anderson, К. L. Hitz, N. D. Diem. Recursive algorithm for spectral factorization. IEEE, Trans. Circuits Syst. 1974. Vol. CS-6. P. 742-750.

24. A. E. Barabanov. Canonical factorization and polynomial Riccati equations. Europ. J. of Contr. 1997. №1. P. 47-67.

25. A. E. Barabanov. Operator approach to H-infinity control of delayed systems. The 37th IEEE Conf. on Decision and Control. 1998. P. 291296.

26. A. E. Barabanov, A. M. Ghulchak. Operator approach to H°° control of linear delayed systems. European Control Conf. 1999. Section DM-1.

27. A. E. Barabanov, A. M. Ghulchak. Numerical solution and operator approach to H°° control of linear delayed systems. The 39th IEEE Conf. on Decision and Control. 2000 (accepted).

28. H. W. Bode, С. E. Shannon. A simplified derivation of linear least square smoothing and prediction theory. Proc. IRE. 1950. Vol. 38. P. 417-425.

29. R. S. Bucy, P. D. Jospeh. Filtering for Stochastic Processes with Applications to Guidance. Interscience Publishers. New York. 1968.

30. F. M. Callier. On polynomial matrix spectral factorization by symmetric extraction. IEEE Trans, on Automat. Contr. 1985. Vol. AC-30. P. 453-464.

31. J. C. Doyle, K. Glover, P. P. Khargonekar, B. A. Francis. State-space solution to standard and H^ control problems. IEEE Trans, on Automat. Contr. 1989. Vol. AC-34. №8. P. 831-847.

32. A. Fattouh, O. Sename, J.-M. Dion. H^ Observer Design for Time Delay Systems. Proc. of 37th CDC. P. 4545-4546.

33. C. Foias, A. Tannenbaum and G. Zames. Weighted Sensitivity Minimization for Delay Systems. IEEE Trans. Automat. Contr. 1986. Vol. 31. P. 763-766.

34. B. A. Francis. A course in H^ control theory. Lect. Notes in Contr. and Info. Sci. 1987. Vol. 88.

35. A. H. Jazwinski. Stochastic processes and filtering theory. New York: Academic Press. 1970.

36. E. T. Jeung, J. H. Kim and H. B. Park. i^-Output Feedback Controller Design for Linear Systems with Time-Varying Delayed State. IEEE Trans. Automat. Contr. 1998. Vol. 43. P. 971-974.

37. T. Kailath. A view of three decades of linear filtering theory IEEE Trans. Inf. Theory IT-20. 1974. P. 146-181.

38. G. Kallianpur, C. Striebel. Stochastic differential equations in statistical estimation problems. In P.R.Krishnaiah, ed.: Multivariate Analysis II. New York and London: Academic. 1969. P. 367-388.

39. G. Kallianpur, C. Striebel. Stochastic differential equations in the estimation of continuous parameter stochastic processes. Theory Probab. Its. Appl. 1969. Vol. 14. P. 567-594.

40. R. E. Kalman. A new approach to linear filtering and prediction theory. J. Basic. Eng. ASME. 1960. Vol. 1. P. 35-45.

41. R. E. Kalman, R. S. Bucy. New results in linear filtering and prediction theory. J. Basic. Eng. ASME. Ser. D. 1961. Vol. 83. №1. P. 95-108.

42. A. Kojima, Sh. Ishijima. H°° performance of preview tracking control. European Control Conf. 1999.

43. J. H. Lee, S. W. Kim and W. H. Kwon. Memoryless HQ0 Controllers for State Delayed Systems. IEEE Trans. Automat. Contr. 1994. Vol. 39. P. 159-161.

44. N. Levinson. The Wiener (root mean square) error criterion in filter design and prediction. J. Math. Phys. 1974. Vol. 25. P. 261-278.

45. G. Meinsma, H. Zwart. On HControl for Dead-Time Systems. IEEE Trans. Automat. Contr. 1997.

46. S.-I. Niculescu. H^ Memoryless Control with an a-Stability Constraint for Time-Delay Systems: An LMI Approach. IEEE Trans. Automat. Contr. 1998. Vol. 43. P. 739-743.

47. A. J. Pritchard, D. Salamon. The linear quadratic optimal control problem for infinite dimensional systems with unbounded input and output operators. SIAM Journal on Control and Optimization. 1987. Vol. 25. P. 121-144.

48. M. G. Safonov. Stability margins of diagonally perturbed multivariable feedback systems. IEE Proceedings. D: Control theory and Applications. Nov. 1982. P. 251-256.

49. U. Shaked and I. Yaesh. H^ Static Output-Feedback Control of Linear Continuous-Time Systems with Delay. IEEE Trans. Automat. Contr. 1998. Vol. 43. P. 1431-1436.

50. G. Tadmor. Weighted Sensitivity Minimization in Systems with a Single Delay: A State Space Approach. SIAM J. Control and Optim. 1997. Vol. 35. P. 1445-1469.

51. W. Tan, J. Liu. Stability Analysis and H^ Control for Time-Delay Systems. Proc. of 37th CDC. P. 827-828.

52. N. Wiener. Extrapolation, Interpolation and Smoothing of Stationary Time-Series. Camdridge. 1949.

53. J. C. Willems. Paradigms and puzzles in the theory of dynamical systems. IEEE Trans, on Aut. Contr. 1991. Vol. 36. P. 259-294.

54. W. M. Wonham. Random differential equations in control theory. In A.T.Bharucha-Reid, ed.: Probabilistic Methods in Applied Mathematics. 1970. Vol. 2. New York and London: Academic. P. 131-212.

55. G. Zames. Feedback and optimal senstivity: model reference transformations, multiplicative seminorms and approximate inverses. IEEE Trans. Automat. Control. Apr. 1981. Vol. AC-26. P. 301-320.