Некоторые испытания стойкости консервативных систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

РГ5 СО

ч - п 'ГС! АКАДИЯЯ НАУК УКРЛЕШ ~ О I ¡.м» \

1НСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукопису

СОСШЦШЙ Степан Петрович

УДК 531.33

ДЕГ1К1 ПИТАНИЯ СТ1ЙКОСТ1 КОИСЕРВАТНВШВС СИСТЕМ 01.02.01 - теорспгспа мсхан1ха

Автореферат

дисертацИ на здобутгя каукового етупеня доктора ф1зико-математичш1Х наук

Ки!в-1993

Робота викатна в Тнеттут1 математики АН Укрв! пи

0ф1ц1йн1 опоненти:

член-кореспоидент АН УкраЬш, доктор ф1зико-математичних наук, . професор САВЧЕНКО О.Я.,

доктор ф! зико-матеметичних наук, -КЛРАПЕТЯН О.В.,

доктор ф1зико-матемвтпчних наук ШИК В.1.

Пров|дна орган1аац!я: Гнститут механ{ки АН Укра1ни

Захист в(дбудеться £ & - О ^ 1993р. о /5 годин! на воЫданн! спец1ал1зовано1 ради Д 016.50.02 при 1нститут1 математики АН УкраШ; га адресов: 252601 Ки?в-4( МСП, вул.Тере-иекк!вська, 3

3 дисертзц1сю мокяа озяаЗомиткся в б!бл1отец1 ! «отшучу Автореферат роз!слано , &1993 р.

НчениЯ секретар опсц1ал!зовано! ради

ЛУЧКА А.Ю.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА Р0Б01И

Актуалън{сть теми. Проблематика задач, пов'язаних з до-сл!дженням cTfiiKocri консервативних систем, включав в себе коло питань, що концентруэться навколо теорем 1аграняа-Д!р!хле I Рауса i Ix оберненъ. При цьому терм!н "обернення", враховуючи при-клади P. Painiei/e i A.Wintner'a , мар дещо уг.ювгшй характер, оск!льки BiH означав з'ясування, кргм уиови в!дсутност! м!н!адуцу потещ1ально! енергН в положена! р1вноваги, що розгля-дазгься, додаткових обмежень, як! зумовлгатьяест!йк!сть р!вяо-ваги.

Ключовигл моментом для постановки задач! про обернення теорем Лагранжа-Д1р1хле i Рауса е створен! О.М.Ляпуновшл методи теорП ст!йкост1. Саме "Общая задача об устойчивости движения" О.Н.Ляпунова, дё наводиться nepmi глибоко обгруятован! результаты з питань оберкення теореми Лагранжа-Д!р1хле, стимулювала появу " низки нових досл!дяень, присвячених стшкост! консервативних систем. Значнпй внесок в дану проблематику зроблений М.Г.Четаевим. Отриман! в межах другого методу Ляпунова його теорема про нерт!й-к!сть, а також теорема про допогшше векторнэ поле стали фундаментом для досл(дження нових випадк!в обернения теорем Лаграняа-' Д!р1хле } Рауса (В.В.Румянцев, IV. Т. Kaite.r , М. LаСоу ,

B.П.Паламодов, В.В.Козлов 1 1н.). Важлив! результата в питанк! оберкення останн!м часом одержан! i з допомогоп першого методу О.М.Ляпунова (В.В.Козлов, В.П.Паламодов i 1н.). Фактично в Bet п1дстави стведаувати, що стан розгладувано! проблеми в значн1й Mfpl визначаеться роботами, що грунтуются на застосуванн! першого I другого метод!в Ляпунова, хоча корисшми выявились I 1ни! п!дходи, зокрема, вар!ацШний ( P. Hagedom , S.fi.Tatiaferro,

C.В.Болот!н f В.В.Козлов, е.О.Лвбушн, М. Safer- ).

При во!й ваяливост! багатьох результат(в, що стосуються дано! 'проблеми', ориг1нальност1 способ!в ix отримання, далеко не завжди 1 не в noBHtft Mlpl при цьому враховуиться специ$!чн! особ-ливост! консервативних систем. Також залишагаться далеко не вичер-юшми ! моютвйст! самих метод 1 в досл!даення ст!йкост!, зокрепа, другого методу Ляпунова. 1де1, що закладен! в остапнъоку, доектъ глибок!, доб при 1х використвнн! 61 ль а повио охопити характера!

ознаки досл!даувашх систем, а такс« по момивост! послабити о6-меяення як щодо диференцШованост! в1Дпов1дного лаграюс1ана

(} ) , так 1 щодо його структури, зокрема, не обмежуватпсь системами, в яких передбачаеться моялив!стъ аид!лення головно! частини потенц!алу сил, що так ташово для багатьох роб!т. Якраз досл{джешш спйкост! консервативних систем з б!льш повним враху-ваннлгл 1х специф!ки, в{диови в1д деяких коротких обме&ень, що тор-каються структур« потенц!алу сил, I становись ц!яком зм1стовну I корисну для зэстосувань задачу.

Мета роботи:

- доол!дкти ст1йк!сть полокэння р1вновати консервативних систем (як голоног,ших, так I неголоиомних) з лагронк1 аном

) е С ! при в!дсутяост1 максимуму 1(ц,0}

в положена! р1вноааги;

- в'яоувати питания про ст1йк!сть положения р!шгавагя на тура ль них систем при умов], що потенШальна енерхЧя ПЩ) не мае в полокенн! р!вноваги I дП/да + О

VI} е 60 : П(Ц)<0 } ;

- отримати критерП нест!йкост! стац1онарних рух1в;

- встаяовити критер|{ ст!йкост! за ¡фассонда I 1снування !нтегральних 1нвар1ант1в для оборотнях систем.

Мвтоди досл}дяення. В робот! застосоцуються метода террИ ф/нкц!й Ляпунова, методи теорИ поток!в (динам!чних систем), елементи ергодично! теорИ.

Наукова'новизна результат^. Отриман! кратер!! не'ст!йкост1 р!вноваги консервативних систем з лагранкланом £ С ,

для яких мвв ы!сце розщеплвння функцИ ) — на

головну частину ! деяку малу добавку. Зокрема, побудована <|унк-ц!я Ляцуяова-Четаева э врахуванням спедиф!ки даних систем. Еста-новлен1 умови !снування асимптотичних розв'язк1в, ио притягують-ся до положения р!вноваги, ! тим самим груба нест!йк!сть остан-нього. Лналог!чн! результата отриман! для неголокомних систем У!ттекера. В рамках 1х класиф!кацП на виродаен! ! невиродясн!

показано, що у випадку вироджених систем метод ЗПттекера досл1д-кення стШсост! неприйнятний, Запропоновано метод досл1дкення ст1йкост! голоноу.них консерватнвних систем з допоыогою функцп д! ï за ймЬгмшом £, що задаеться в розширеному фазовому просто-pt ( < , Cf , q - прост 1р). На п1дстав! застосування функцп

S отркман! критерП оберяення теорем Лаграняа-Д1р1хле i Рауса, що узагальнюють багато як| paHiuie в!дом1 результата. Для оборот-шх систем, що fie задовольняють умову збереаення фазового об'ему, встановлен! крятэрН 1снування !нтегралышх iHBapiaHTiB i стixi— косг} за Пуассоном.

Теоретична f прикладке значения^ Дисертац!йна робота мае теоретичний характер. Б н1й досупджуеться cTiiîKicTb консерватив-них систем, коли не виконуються умови в!домих теорем Лагранжа-Д!р1хле i Рауса. Разом з тим запропонований в робот! п!дх!д до-зволяз розв'язувати задач! стШкост! в Оагатьох коихретних, що становлятъ практичнлй Штерес, випадках, оск1льки отриман! теорема кокструктиЕНt. Кориснимя для застосувань в такок критерП ст!йкост! за Пуассоном неголономшпс систем, що наводяться в ро-doTi.

Апробашя поботи. Освовн! результата дисертац!йно"1 роботи допов!далиоь на: 1У t -У Четаевских конференциях по устойчивости движения, аналитической механике и управлению движением (м. Звенигород, 1982 р., м.Казань, 1987 р.); Ш Республиканском симпозиуме по дифференциальным и интегральным.уравнениям (м.Оде-са, 1982 р.); Я бсесоизной толе по методу-функций Ляпунова и его приложениям (мДркутськ, .1982 р.) ¡' Всесоюзной научной конференции Петом Функций Ляпунова в современной математика" (м.Хар-К1в, IS8S р.); У1 ВсесовзноЙ конференция "Качественная теория дй$фйрещйальннх уравнений" (мДркутсыс, 1966 р.); Всесовзной конференции "Устойчивость движения. Колебания механических систем. Аэродинамика" (м .Москва, MAI, 1988 р.); Всесоюзной конференции "Йелкнейнав пройлемн дифференциальных уравнений и математической физики" (м.Терноп1ль, 1989 p.)j УП Всесоюзном съеэдй по теоретической а прикладной механике (м.Москва, 1991 р.)} Меж-

дународной математической конференции "Яяпуновские чтения" (м.1арк1в, 1992 p.); ceMiHapi з анал(тично| механ!ки f. ст[йкос-Ti руху п!д кер!вяицтвом вкадем!ка В.В.Румяяцева (¡ЦЦУ, 1981, 1982, 1990 p.p.)

Цублiкацt i. Основн{ положения дисертацП в!дображсн1 в ро-. ботах СI-I7 ] .

Структура й об'ем диоевтапН. ДисертаЩйна робота скяада-еться з вступу, чотирьох глав та списку л(тератури, що м!стить 147. наймеиувань. Об'ем робота - 165 стор1нок машинописного тексту. • .

аист роюти

В дисертац(йн1й робот1.до&л1джуеться ст!йк!сть р}вноваги 1 стац!онарких pyxtB консервативных систем з1 ск1нченним числом ступен!в вЬтьност!. Розглядаеться також ст1йк1стъ за Пуассоном оборотних систем, для яких не виконуеться умова збереження фазового об'ему.

Формулювання основноГ теореми про ст!йк1сть р!вноваги кон-сервативких голономних систем належить Лагранжу (1788 р.), хоча ще Торр!челл1 (1644 р.) було в!домо, що положе!шя системи т!л, як| знаходяться п!д д1ею сил тяж(нвд, буде ст1йким, якцо центр ваги ц!е1 системи т1л займае найнижче з можливих положень (принцип Торр1челл1). Лаграяж узагальнмв цей принцип на'випадок будь-яких потенц!альних сил. Е.Дж.Раус (1877 р.) розробив метод 1гнорування цикл1чяих координат, що дозволило йому кияхом уза-гальненйя теореми Лагранжа знайти критер!й cTffiKocri стад}оаар-гах рух!в.

Зг1дно з теоремою Лагранка положения р$вноваги консервативно! системи ст!йке, якщо потевд1альна енерг!я Псу) набував в ньому строгого локального ы!н!ьуму. Доведения Лаграняа дано! ■теореми грунтуеться на розклад! фунщ! i П(д) в окол! положения р!вноваги в ряд Тейлора 1 зберененн! член!в другого порядку малост!. Строге доведения теореми Лагранжа запропонував Ле- • кен-Д1р!хле (1846 р.), в зв>язку а чш дана теорема ще в (дома в

•л!таратур! як теорема Лаграяжа-Д!р1хле.

1снуввння строгого локального м!н!муму потенц1ально! енэр-г!1 в полояенн! р!вноваги с, проте, лш достатньою угловою ст!й-кост! положения р!вноваги. Тому становитъ ¡нтерес з'ясування додаткових обмежень на потешЦальну енерг!к>, як1 зумовлюють не-ст!йк!сть р!вноваги. Падал! дану задачу за традиц!ею називатиме-мо задачею обернення теореми Лагранжа-Д(р|хле, розум!ючи умовний характер тако! назви.

При вс!й р!зноман!тпост! п!дход!в до задач! обернення все ж можка окреслити найб!льш важлив! напрями, в рамках яких одержан1 теореми про нестЦк!сть. До них взноситься:

1) перший метод Ляпунова;

2) другий метод Ляпунова; *

3) вар!ац!йний п!дх!д.

Заслуговуз на увоху ! той факт, (до б!льш!сгь результат1в, присвяченкх оберненню теорем Лагранка-Д!р!хле, одержано на постав! застосування другого методу Ляцунова, зокрема, теореми М.Г.Четавва про нест!йк!сть. Мабуть, цв пов'язано з гнучк!стю другого методу в умовах зм1 ни структури потешцалу сил, шо до-зволяэ дагай метод усп!шно застосовувати 1 при одержана! обернення теореми Рауса, а такоя при досл!джени! неголономних систем. Оаувакимо, що у випадку консервативних неголономних систем такоя мае сенс постановка зад.ач! про ст!&с!сть р!вноваги (е.Т.У!тте-кер), вкдйчати пошрення теореми Лагранжа-Д1р1хле ! П обернень (В.В.Румянцев).

В п а р п I й глав! розглядаються консервативн! голономн! системи -з леграна!аном ) £ С1 , структура функцН

1.Щ, 0) « ¡¿¡/(у) яких дозволяв ввд!лити головну частину у сираз! ) . Зокрема, досл!джуеться випадок, коли для

Ь0Щ) мав м!сце зображення

' > * 1-ек(Р + *<9>* " 0 Л 9 ¡1 *■> ' .

дв ) - однор1дна Функц!я Ьтеаенд к> б , -

добавка б!льш високого порядку малост!. При цьог.г/ почотйовкм моментом досл1джеийй з розгляд натурально! системи, ао мае взгляд

й дТ дТ _ дПк сИ ~ дц ~ ду

нест1йк1сть положения р!вноваги яко! за умови в!дсутност1 в -яьому м!н!муму функц 11 Ц ) - форми степеня 2 була

доведена М.Г.Четаевим в 1934 р. На жаль, доведения М.Г.Четаева, ио опираеться на його теорем иро нест!йк!сть, за небагатьма данятками, не мояна автоматично перенести на випадок, коли П(у) = * Жф ) , невалекно в!д степеня малост!

) . Тут показовим е той факт, що нест!йк! сть р!вноваги натурально! системи при Ф О ! умов!, що в!дпов!дний лагранж!ан = Т(с[,, у) - Г}(ф) е анал!тичною функц!ею в окол! положения р1вноваги, була доведена лише в 1982 р. (В.В.Козлов, В.П.Паламодов). Доведения В.В.Козлова ! В.П.Паламодова грунтуеться на побудов! розв'язк!в, що асимпто-тично прямують до положения р!вноваги при I -*-оо ! Ъ -*--оо , Для цього доведения, виконаного в рамках пзршого методу Ляпунова, в {стотною анал!тичн!сть Ь . Разом з тим, якщо для досл!д. аання ст!йкост! ззстосувати другий метод Ляпунова, - то,навпаки, ця вимога не е {стотною I могла обмегштись лагракк!аном С1 , забезпечивш лише (снування розв'язк!в.

Якраз врахування д!е! обставини суттево використовуеться в перш!й глав! дисертацП, де для широкого класу консервативних. систем будуеться функция Ляпунова-Четаева. Специф!ка застосуван-ня тут теореми М.Г.Четаева про наст!йк1сть полягае в тому, цо в!дпов!дн! властивост! допом!кно1 функц!! 1 !! йох!дно! в!дно-сяться лише до розв'язк!в системи, що належать п!дмножин! нульо-вого р!вня ¡нтеграла енвргП, а не облает! з додатною лебеговою м!рою, як це зеичайно прийнято. Таке звуження класу розглядува-них розв'язк!в не лише Не суперечить теорем! Четаева, а,навпаки, досить гтовйо реал!эуе закладену в н!й (дею, коли для висновку про нест1йк1сть достатньо виявити хоча б один розв'язок з початком в як аавгодно малому окол! положения р!вйоваги, що залишас ф1ксований ок!л положения р!виоваги.

Эй умови, що Ну,,!} )е С1(Пу * ) , система

натуральна (Цу,,^)** П(д) ) , точка О

в1дпов)дпе досл!джуваиому положению р!вноваги I П(0)= О ,

в §1 першо! глави встановлюються критерП нест1йкост! положения р!вноваги.

Т е о р ь м а 1.1. Пехай при як завгодно малому чйсл! егО (£п => , Н ц II а? <; } ) виконуються умови:

1) функц!ю П<у) можна подати у вигляд!

ПО}) - Пкщ)+ /?(}}), В*),

да Пк - однор!дна форма степеня А > 2 ;

2) форма Пк(ф) не мае в точц1 0 м1н|мутлу;

3) Л« 11 - О, c<='Const, <*е]<7, /[ .

Тод! положения р|ЕНоваги ^ = 0 натурально5- системи-наст1йке.

Доведения теореми грунтуеться на зображешН натурально! системи в гам!льтонов!й форм!

дН , дН

<1~7р* ¿--Щ- ' (I)

) + Л « санзЬ ■

{ розглядов! допом1кио1 функцН

V- , 0<Ыcanst

на множив!

Н($,р)<* к** 0 , ]/>/)},

Прй виконэнн! умой теорем I за разуной в!дпов!дного вибору стало! с/1 Д Ф 0 при як завгодно малому £ > О

Для Оох!дно! в!д фушщЯ У по векторному полю, шо шз-ййчевтЬся р!внянняш! (I), одержуемо сц!нку

що дае можлив!сть, застосовуючи схему доведения теореми Четавва, зробити висновок про нест1йк!сть положеши р1вн0ваги ц^ц .

Н а о л ( д о к. В углов ах теореми 1.1 розв'язки, до зали-шають множину Д 1 тим самим ок1л • при ? е I П К* ( I с -максимальная (нтервал, на'якоыу розв'язок

системи (I) нал ежить 5* ) , задовольнярть оц!нки

Зауваження, В формулювашП теореми 1.1 однор!дцу фор«у ПкЩ) мояиа зам! нити на будь-яку однор!дну функц!» класу С1 , не обов'язково ц1лого степеня .

Даний спос!б доведения нест!йкост{ р!ЕНОваги натуральних систем мояша пошрити на б1лыз загалышй випвдок, коли потенц!-ельну енерг!ю можна зобразити у вигляд {

ту) - Рт<Я> > *<$)-Р*<9> ПА«?> '

да - однор1дна форма степеня к .

Визначимо мнокини

и} «■[ у е бе г П($)< 0 у,

{9 е % П№><0}, - ЯП

Теорема 1.2. Якщо 1снуе число «г > О (3=>$£ ), тейе, ща:

1) (ОФ 0 \

2) I

3) ое ю* }

4) со*а<т.) - 0 ; „

ЧЖ-сйз ' сЗр&зггз' -;

то положения р1ЕН0ваги ^ = ^ = ¿7 натурально! системи ■ нестпше.

Доведения теореми 1.2, як 1 у випадку теореми 1.1, грунту-вться на використвнн! допом(жно5 функцН

«„ -«91Г ,

К « ур -<г\ц\ е , Р < (г 7

що розглдцаеться на множшП типу Л . Число т. , що входить в Н вираз, в!дображае той факт, що полIном Рп , аналогично фор/1 ПА в попередньому випадку, е визначальним при анал1-з! властивостей функцН- V 151 пох!дно1, що розглядаються на множия! типу Л .

Наел 1 д о к. Нехэй в достатньо малому окол! положения р!внозаги потенц|альна енерг!я П(у) мае вигляд

Щ)а Щ>~оа$цт),

дз , Пт,($) - одцор!дн! форли в1дпов1дно степе-

ни к? 2 , т>к , , Ход Г положения р!вновэ-

ги ^ 0 П8ст1йк9( ямцо фррмз П^Щ ) на множи-

п! (ул1в формя ) коке пайувати в1д'а?них значень I ей-

яопуеться умова

в, ътцъ

ЗаугёйаеннЯ. Дания наол!дод заляшасться справед-двдд}> Якко в ньему форм П^ , зш!нпти на одпор(дп1

{даоу , Дв числа О , нэ обов'язкойо

Щлк

Теорема в рвщьтет^ I),Я,.Козлова,

Ё.П.Паламодойа, о ^акба рйзульТй'Ие , V. hianu.ro <

Р.ИёцНМ , К.Пййрера, що суттево викоркстовують п1дх!д В.В(?;озлово 1 В.ШПаламодова*

Стэновить Пиерес пор!вняннй теореми 1,2 3 в{доми»л результатом М.Г.Чбтаевй, дё пест!ЙА1 сть иолояанмя р!ваовйги доводе«

при умов!, що П(1} ) - анал!тична функц!я, Ф 0 ,

• Пк >0 (к < т } • ^А^ 0 <к>*П.)

Хоча дане твердження Чет'аева про нест(йк!сть в б!льш коротким в пор!внянн! з теоремою 1.2, але разом з тим техн!ка !! доведения м!стить елементи результату Чегаева.

При доведенн! теорем 1.1, 1.2, аналогично роботам В.В.Козлова, в.п.паламодова, в.в.таС\а^егго , С. Maffei , V. Моаига, Р- /Уеугг'/гг , К.Пайффера, такок суттево використовуеться можли-в!оть вид!лення головно! части'ни потещ1влу сил, зокрема, фор-ми Пк або пол!нема Р^ . Проте застосування допом!кно1 функц!! V дозволяв значно послабити вимоги до диференц!йо-ваност! в!дпов!дного лаграняс18на Ь , в чому якраз ! полягв-ють переваги другого методу Ляпунова.

Дня доведения нёст!йкост! р!вноваги иатуральних систем в умовах теорем 1.1, 1.2 1сто гною була консервативн!сть, а також моиив!сть ввд!лення в облает! розглядуваних рух!в головно! частини потенц!алу сил. 3 врахуванням даних обставин умови нв-ст!йкост1 р!вноваги при в!дпов!дних обмекеНнях можнй отримати для б!льш широкого класу консерватявних систем, коля д!ють г1-роскоп1чн! сили. Цьому I присвячений §2, де розглядасться го-'лономна система з п ступенями в!льност1

Л. 1к - 1к ^ л (2)

(И Ц Ц

1 лагранж1аном, що мае вигляд

1.гЩ, р + '¿¿У) ~

т + * . (3)

Як в!домо (Л.А.Парс, В.Б.Румянцев), до р!внянь (2),(3), в яких без обмеження эагальност! розгляду можна вважати, що f(ff¡ « о , 10(о) =. О , а досл!джуваному стационарному рухов! в!дпов(дае точка у = Ц =*0 , зводиться задача про ст|йк!сть стац1онарних рух!в.

КритерН нестШюет! стац1онарнях рух!в - р!вноваги система (2), (3) е!дом! в л!тератур! як обернення теорк.ти Рауса

(див. огляд А.В.Каропетян, В,В.Румянцев "Устойчивость консервативных и диссипатившх систем" // Итоги науки и техники. Общая механика. - М.: ВИНИТИ, 1983. - Т.6. - 132 е.). Остання е уза-гальненням теореми Лагранжа-Д1р!хле. Наявн!сть в лагранж!ан! L доданка ) (припускоеться, що Lflq,^)^

^9^ ' тим самим мошшвють ПроскоШчно! стаб!л!звц!! (Е.Дк.Раус, И.Г.Четаев) приводить до того, що критерП нест!й-KocTi р!вноваги натуральних систем не мояуть бути автоматично перенесен! на стац!онарн! рухи. Дана обставина Ictbtho усклад-нюе досл!дження I робить б!лыи вашем отримання в!дпов!дних критерПв, особливо якщо для розв'язання задач! доводиться вра-ховувати нел!н!йн! доданки (В.В.Румянцев, О.Я.Савченко, А.П. Маркезв). I, мабуть, не випадково перевакна б!лы1Псть результата (Е.Дж.Раус, В.Томсон, П.Тет, П.Аппель, М.Г.Четаев, Г.К.По-карицький,'Ван Чжао-л1н, JI.Сальвадор!, В.В.Румянцев, В.М.Руба-новський, Д.Р.Мвркй! I !н,), в тому числ! i яайбКяьш в!домий -теорема Кельв!на-Четаева, в!дносяться до л!н!йних i кваз!л!н1й-них систем.

Теорема 1.3. Нехай L(ç,($)e cUty* Ra ) !

при як завгодно малому числ! S > 0 ( Dç 3 ) вико-нуьться умови:

1) функц!ю Lff(y) можна подати у вигляд!

fie Lçbly) - однор!дна функц1я степеня к>0 ;

2) ф/нкц!я L^CÇt) не Mas в точц! максимуму?

8) л. ÎâR/âql л , „л л, г

ltm -,.., j,....... , ос const-, t*e]ö,tl L

»*»-» 50*'*'*

4) ¿un - 1 ■ » rr

ТоД! положения piвноваги ty^tfÖ система (2), (35 (стац1анерний pyx) нест!Яйе (нест!йкий).

H а с л ! д о К. - Якцо С (Dç* R%) *

to умову 3) теореми 1.3 можна випуститп, а умоггу 4) зе--л»ими тайо»

У? «

Якщо в умов! I) теореми 1.3 покладемо * — 2 , то одер-шмо результат Л.Сальвадор!. Якщо С"3 ,

то,з врахуваняш насл!дку,а теореми 1.3 вшивав крктер!й С.Д.Фурти. Теорема 1.3 узагальйюе також результат V. Ыоаига .

ральне число S належить (нтервалу [. ( к+z l/Z, h J h ъ к ? 2 .

Аналог1чно §1, в рамках даного п!дходу можна одеркати умови нэст!йкост! стац!онарних рух!в ! при б!льш складн!й структур! функц!i L0( q, ) , зокрема, коли осташш мае виглад пол!нома ! деяко! мало! добавки. Моиив!сть обмеяитись в дан!й ситуац! i меками п!дходу, що вшсористовуеться при досл1дкенн! ст)йкост1 р1внозаги назуральних систем, ц!лком зрозум!ла, якщо врахувати, що умова 4) теореми 1.3 в|добракае той факт, що на мноасин! типу Л , Бизначен(й в §1, г!роскоп(ад! сила мал! в пор!внянн! з потенц!.альшмя. Отяга, у в!дпов!'дност1 з умовою-4) теореми 1.3, р!вшння (2),' (3) мояна розглядати як мале збурення натурально! система.

Яй в!домо (М.М.Красовський), нластив!сть нестШкост! поло-нення р!вноваги системи в загальноыу ькпадку не е грубою, i мал! збурююч! сили, врахувамня яких в вих^дних р!вняннях руху не завзди мойливе, мо^ть суттево спотворити як! сну картину поведем системи, так що достов!рн!сть висяовяу про характер Н руяу стае проблематикой. В цъсму зв'язку ц!кавим в ввд!лення такого класу систем, нест!Йк!сть р!вновагп яких збер!гаетьсй при достатньо малих збуреннях. Виявляеться, що така властив!ст|. характерна для досить широкого класу систем з !ш;ар!антною м!*

принайми!, якщо виходити з того, що ст!йк!сть положения р!вно-ваги для конеервативних систем не е грубою властив1стю. Груб!сть властивост! иест!йкосТ! в бвгатьоХ випвдках консервативных систем зумовлена !снувалням розв'Язк!в, що еекмптотично Притянуться до положения р!вшваги при / ч—« (со )

ров, зокрема, консервативних, що е далеко не рчевидним фактом,

Доведения 1снувашш асимптотичних pyxiB в рамках запропо-нованого походу (§0) не становись труднот1в i досягаеться зб¡льшекня?.! клаоу длференц}йовыност1 лагранж!ана L(q.,q,) на одшшцю в теоремах перших двох параграф!в. Перех!д в1д L(t},q )€ С1 до L(qr(})€C необх!дний для забез-

печеняя единост! роэв'яз1у i мокливост) скориетатися теоремой М.М.Красовського (Н.Н.Красовский "Некоторые задачи теории устойчивости движения", М.: Физматгиз, 1959. - 211 е.). Враховуючн це, обмежимося там, ио сфорцулюемо теорему про трубу нест!йк1сть, яка, кр!м !снуваиня асимптотичних розв'язк1в, дае уявлення про характер притягування ociaHHix до положения piBHOBarii, що роз-глядаеться.

Теорема 1.6. Нехай Uq, q )G Сг( Dq * ) , система натуральна ( Lf(<f, q ) ^ 0 ) i прл як'завгодно

малому числ1 <S > 0 ( Dy '=> ) виконуються умови:

1) потенц1ельну енерг!о системи fl(q ) монна пода7Я у шгллд?

дэ Пк - одиор1дна функц!я отепеня к>0 ;

2) функц!я ) не мае в точц! мШмуну;

' - 3) , II дй/ва Я

йт -tttztt « 0, a^const-, <хе}0,1{ ,

■ в 8

Тод1 1снуйть розв'язкя, що асшптотично прямують до поло-женвя р}вновагл 0 при t ->- оо f t <»

I эздовольшшгь-neptBiiocTl

I q(t)\ <[lt}(0n~r ± Л^—t] , iqU-)f< Ц(о)1 e*'-t o<t*~const ь

дв верхШ I ffiistl знаки й!дносяться в!дпов!дно до йначень

t й $ + fe* е* [ 1 й» J •

Як еазначалося вйще; доведения теоречи В.ВЖозловэ 1 В^П.Пеламодова про нест1!!к!сть р!рноваги патуряльяях спотр:/ ) е С ** ) якраз ! грунтуйтьел пэ побудке!

у вигляд! зб1Kfuix ряд!в розв'язк!в, що асимптотично притягують-ся до положения р1вн0в8ги при t -*~OQ j £ - оо ,в умо-вах теореми 1.6, не маючи асимптотичних розв'язк1в в явному вигляд!, разом з тим одервуемо оц!нки, що дають уявлення про характер притягзяня.

При вс1й р1зноман1тностi ситуац1й, пов'язаних з ст1йк!стю консервативних систем, як! мояна проанал!зувати в рамках запро-понованого п!дходу, а також врахуванн! того, що доведен! в §§1-3 теореми е узагальненням багатьох ран!ше в!домих результат!в, зо-крема, одержаних з допомогою першого методу Ляпунова, природним е питання.' яка в!дм!нна ряса даних систем I як багато таких систем. В1дпов!дь на це питання, як можна здогадатися, м!ститься гае в caMONy способ! формування головно! частини потенц!алу сил. А. саме, в будь-якому з розглянутих випадк!в область со «

? 0 }• м!стить в!др!зок променя, що вихо-дить з точки • q *= 0 , на якому головна частина потенц!алу сил е перевакаючою. Якщо ж структура а) б!.>рлз склада, як, напри-* клад, в натуральнШ систем! з- П((} ) = * ^Фг "**

+ Ф Цг 1!'^}, то даний метод не працюе. 'Отйе, клао систем, .

нест!йк!сть яких можна довести в рамках даного п!дходу, досить специф!чшШ 1 не охошпое вже пор1вняно лростих систем. Якраз в зв'язку з цим дуке кориснога може виявитись теорема М.Г.Четаева про допом!енв векторйе Поле <р(<} ) , що задовольняв умойу:

Цей результёт М.^.Четаёва'знакшов ёфективне застобування в доел !дженнях W. Т- Koiter'a, M.Laloy , В.П.Паламодова, В.В. Козлова* В!н таконузагалыповався е.О.Любушиним, К. Peiffer'mi ' i P.CarEier- , Г.М.В!ннером. Не дивлячись на численн! за-стосування ц!ёI робота Четаева, не зовс!м усв1домлввалась необ-х!дн!сть присутньоГв н!й уиова в!дсутност! крииптних точок фун-

• кц! i

в облает! ¿О , Частково це обмекення зняли K.Peiffer t P.CariiGr . Виявилось, проте, що в!д нього могла зв!льнитись зовс!м, що ! обгруятовуеться в §4 гл.1.

При виконанн1 прйпущення^ що L(g,,q)e С Чду * R^) , система натуральна, точка $ = 9 ^ • в!дпов!дае положении р!внов?ги f П(0) ** О , мае м(сцв

Теорема 1.8, Нехай при як заагодно малому числ I ««{^евд! I О € дш , Припустило, що !снуе таке векторне поле <р(у) 6 С' ! I що викопуються умови!

г д П I) <? ((}) Щ ^ 0 Ууео);

>с\кй< с = сопзб ,

Тод| положения р1виоваги Ц—Ц — О на орально! систе-ми нестойка,

Н а с л 1 д о к. Нехай при як завгодно малйлу числ!

а>0 (1> ) 0 , о 6 дсо ( }СНуе

таке векторне поле ) Е С1: /?п , <р(0)=^О , що

виконуеться умова I) теореми 1,8 !, кр!м того:

к >с\х\г Ухе Окс^соЫ.

Тод! положения р!виоваги натурально! систе-

ми нест!йке,

Зауввкенйя. Пор!вняння формулювання теореми 1.8 1 насл!дку покавув, що в теорем! 1,8 не ройиться припущення: $10) — 0 , тобто векторне пола ) можэ м!отити

сталу складову,

В. д р у г I й глав! розглядаються консервативн! неголо-нсмн! система, полокенн» р1вновагй яких в!дпов!дае критична точка еих!дного лагранж!ана $ ) , Досл!дяення ст!йкост! таких систем бера початок в!д У!ттекера, Зокрема, у випадку, коли МПЩ) , а потенц!альна евергЫ

сястеми е квадратичною формою в1д уэагальнених координат, У1т!Г8Кер про)нтегрував л!нварязоввн! р!вняшш в'язей 1 тлм самки зв!в задачу про ст!йк!сть Для наголономно! еистеми До аналог!ч-йо! Задач! Для голономно1 сис^бми з б!льш аизькоя розм!рн!стю й!дпой!дного фазового йростору, У!ттекер ввахяв, шб в положён.ч! р!ёйовагй дц Ь , що йроте не забэди в!дпоз!дз<? д!й-сйос*! ( О.&ОЫёмй ). Сама той факт, шо "Щду. моя« I чи

перетворюватися в нуль в положенн! р!вноваги, суттево обмезуе клас систем, досл1дження стНшост! яких е ефективним в рамах другого методу Ляпунова; Тут, як 1 у випадву обернення теорёми Рауса, доводиться задовольнятися перевакно класом клозШнйищ систем (М.А.АЯзерман, Ф.Р.Гантмахер, Ю.1.Неимарк, М.О. Фуфаев, О.В.Карапетян I (н.), оск(льки наявн!сть неголономних в'язей фактично екв! валентна дп поряд з потенц!альними силами додатко-вих сил !ншо! природа, що ускладяюе досл!д'<сення. У випадву задач! про cTiiiKicTb стац!окарних рух!в такими додатковими силами були ripocKoni4Hi сили.

При Bciii специфичном! систем У1ттекера, для яких в по-локеннi р(вноваги (jrad L(y, у ) *= О , вони ц!кав1 тим, що при деяких додаткових обметаниях на них мокна перенести метода, як! застосовуються при досл!дяенн! cTifiKocTt натуральних систем, Ця обставина суттево використовувалась в роботах В.В.Румянцева, Х.В.Школену.о, В.В.Козлова, r.M.Bimiepa t in. Сале ддя таких систем в межах п!дходу, ио застсгаувався в перш!й глав!, иэголона.нИсть монна 1нтерпретувати як мала збурення голоноглно! систали. Використапня другого методу Ляпунова дозволяе ввести до м!н!муыу обмеження на клас дяференц!йованост! в1дпов!дного лагранж!ана L(<J, ({ ) 1 коеф1ц!ент!в р!внянь неголономних в'язей,

Формулквання теорем, що м!стяться в друг1й глаз!, взноситься до р!внянь, записать у форм!

■ B(q) j - 0 , (4)

iif-w = ßT(i)A' (5)

де (6ij(i}) ) , »=/77 у= /7л . {< «

мэтршхя розм!ршст! £хп , Л - ынозники в'язей, L(q., q,) B(qj е С1 (Dy * ) , лагранж!ан L вззна-

часться виразом (3), 11е!нтогровак! сп!вв!дношення (4), що об-

•меяують узагальнен! ывидкост!' системи ( rank B(q) £ . ),

ЯВЛЯЮТ* собою неголономп! В'ЯЗП

Поряд з (4), (5) при безпосередньоцу розгляд! питань с.гыкост! застосовуються i !нш! форш; Р1ЕНЯНЬ руху, зокрегла,

стандартна форма р1внянь руху (§1), !стотним елемен-том Hicoi е подання р!внянь в'язей у отгляд!

у - В (1С, ¡/) * » x~(xf,...,xn_e)T,

Це )Т» S(o,o)~ <г .

В §2 друго1 глави наводяться теореми про нест!йк!сть, цо Б!дображавть можливост! розглянутого в перш!й глав! п!дхо,пу сто-совно неголономних систем У!ттекера. Зокрема, мае мгсцв

Теорема 2.1. Нехай при як завгодно малоцу б > 0 (¡!Э5£={^еЛ Й^И^«?}) виконуються

умови:

1) функц!я 0)~ L0(q ) мае вигляд

h«I)-'Lon<9)*/t<9)* R($)-oa<j>ln),

де - однор!^на функц!я стелена myi ;

2) фунлц!я i-pmf^) I якою виз начав ться обмеження ^От^Я) на г!перилощину <¥ i B<0)q—fl , но мае в

точц! fi.-О максимуму (умова невиродженост! );

3) . II йП/до. I , 1 / г

ntc цТ^^0' vmeaasii [ '

- | . . __

. йпь- a : ,-"-=

Год! точка ^ ~ О, ~ О s нест!пким положениям р!в-новаги система (4), (5).

Н а с л 1 д о к I. Якщо в теорем! 2.1 покластя

то умову 3) моана випустити,

а умову 4) 3SMiнити такою: '

1ш i£il.;.

W+o Ц Г

Наел ¡док 2. В умовах теореми 2.1 п!дх!д У1тте-кера е прпйнятним.

Ч<9>

На п!дстаа1 теореми 2.1 мояна зробити висновок, що не-голономн!сть системи в рамках запропонованого п(дходу в пор!в-нянн! з голономшш випедком вносить обмекення в умови нест!й-кост1 р!вноваги. Якщо к ускладнювати структуру потенц1алу сил, зокрема, розглянути випадок

де , и0п - однор!дн! функцП в!дпов!дно степей!в

1 , гп> к , ) < О , то ц( обмекення стають

ще б1льщ жорсткши.

Поклавши в теорем! 2.1 1(д, у) , В(д)еС ) ,

) 3 0 , одерауемо теорему В.В.Козлова. Вдастив!сть невиродженост! неголономно! систеш, зг!дно э якою функц!я ) ■ не мае в точц! у* О максимуму

(включают випадок > + 1ат(<})-* К<9 ) ,

^ ^ 6 ^ • е кличовою при отриманн! критерПв ноет1й-кост! р1вноваги. Тоц^ стаковить !нтерас питания про можлив!сть нест!йкост!, коли Ь0п1(ф) й О . сиогеми, для яких мае н)оце такий випадок, назвемо в и р о д и е д и м и. 1м I при-СВЯЧШЮЙ §3 гл.П.

Визначвмо величшш

*

*£-*па* и0л(г)1*%г\

де %') - одиор!дна фуикц!я стейеня щ ¡> 1 ,

, л 6 /е*7 , г<= Ке » - сфера

¿даничного рад|уса в £ : II л © 3 | — 7 .

Позначшо через ¿Я*» ®очиу сфэри , в

як(й функшя IX IIг 1Вт( г ) набуваа максимального значения яг , покладаючи йг^ ** ) *

Теорема 8.6« Нехай , В(у) Ё

е Сг(£у * ) ! при як вавгодяо малому ё>0 )

ВИКОНуЬТЬСЯ УМОВИ1

1) $уНКЦ!Я t-fty) MSS вигляд

де L0m,( Ъ ) - однор!дна функц!я степеня ;

2) функц!я L0n(H) не мае в точц! х-О максимуму?

3) 2яе3 (т+ 2) зег ;

^ у WH II п

\ {т о „ п — "" 0 ' ч-О И

5> л™ 1 dfi/Qb-df'/4i I _ „ „ —

im -s—,. -'-:--v, jiS=f,n .

I^ll-i 1ф1 n 1 J

Тод! точка q, — 0 в нест!йким положениям р!вно-

ваги системи (4), (5).

Н а с л i д о к. Застосування для досл!дження стГЗкост! р1вноваги вироджених неголономних нел!н!йних систем методу У!т-текера не е коректним.

Як в!домо .(Ю.1.Не.ймарк, М.О.Фуфаев), питания про ст!й-к(сть негрло(ю;лндх[ систем мае сво! особливост!що проявляють-ся, зокрема,.'в -наданаст! многовиду положень р!вноваги, розм!р-н!сть яког-о .н.е менщз :чи.сла- неголономних в'язей. Зв!дси, протв, зовс!м не. вйшшрав",'-'Щ.о позбавлена сенсу постановка задач! про ст1'йк'1сть ф!ксова.ндсо .полрдення р.!-внрваги, особливо, якщо вра-хувати можлив!сть перенесения висновку про умови ст!йкост! (не-ст!йкост!) даного положения р!вноваги на весь многовид положень ptBHOBarw неголономшн системи. Саме в межах тако! постановки задач! про ст!йк!сть для неголономних систем, одним з положень р!вноваги яких е критична точка вихГднрго .лаграня1ана ,

в §4 I розглядаеться ст!йк!сть многовид'!'?'-полокень р!вноваги.

Теорема 2.7. Нехай-положения-р!вноваги йеголономно! системи (4), (5), що сп!впадав з критичною точкой вих1дного лагранжиана L(q,cj,) , нест1йна, причому нест!й-KicTb мае м!сце 1 по в!дношенню до ^ . Тод! многовид поло-тень р!вновпгя М

-J^. -Г Вг(д)Л , 0

hectifikkii. -

В §5 з'становлвються умови !снування асимптотичних pyxiB, якI притягуються до положения р!вноваги, що эумовлюе грубу не-ст!йк!сть положения р!вноваги -(многодиду положень р!вноваги).

Заувакеяня. В межах запропоноэаного п!дходу, що базуеться на побудов! допоьйжних функцШ, задача про ст!йк!сть piBHosara негояоноших консерватавних систем Чашшг!иа екв!вален-тка аналог1чн1й задач) для голономних коясервативних систем. Зо-крема, на'система Чаплигша по_вн!ста переносяться теореми §§1-3 пером! глави.

2 т р е ч i и глав! досл!дкуеться cTiftticTb р!вноваги голономних коясервативних систем з лагранж!аном Сг .

Розглядаються також системи Лагранжа-Остроградського ! неголо-номн! системи Чаплиг!на. На в!дм!ну в!д попередн!х двох глав, до Iciothob була можлив!сть розбиття ¡-¡¡(д ) на головву частицу i деяку малу добавку, тут акцента переставяшиься на як!сн! характеристики функцП Lff(^) , псв'язан! не т!льки з в!дсут-н!стю максимуму L0($) в полокс-нн! р1вноваги, але t з структурою МНОКИКИ критичних ТОЧОК фушаШ 2 окол! положен" ня р{вноваги, що розглядаеться. Зокреыа, фужаПя ) , кр1м умови в1дсутност! максимуму в положены! р1вноваги, задоЕольняе ще одну вакливу умову: в!дсутн!сть критичних точок, принайми!, в облает! a>-{ges*t {(¡£Rn> I 9 8<<5>> Остання екв!валентна тому, по мнокина

^ = Ь 9} ! 9 W. Т L /l < 0 }

при будь-якому достатньо малому по модулй. ф!Ксованому числ!

А < 0 е многовидом.

Тека переор!ектац!я в характер! обмекень на LB(£ ) пояснюеться застосуванням Для доел!дження_ ст!йкост! фунйцП ДП за Гам!льтоном у форм! функцИ 6(t> q. ф ) , що залекйть в!д часу £ f-фазових координат ( Ц? р ) » На в!дм!иу в!Д

головно! ф'/пкцИ ГаШльтона S( if 0f% <1) яка не залетать

в1д ^ 1 яку в переваяп!й б!льшост! випадк!в (включаючи лйий-ний), через ноявн!сть фокальних точок (к!нетичних фокус!в) (X. Якоб!), немояливо визначити у всьому окол! положения р!в.човаги, функц!я у. у ) визначена на вс!й мнояин! рух1в, то на-

лежать околу положения р!вноваги. Щопррвда, явний вираз за винятком л!н!йпого випадку, зокрема, характер залежност! ¿> в1дносш часу í залишаються при цьоиу нев!домими, в!дома лиш повна пох!дна в!д «5 по векторному полю, яке визначаеться сис-темов, що розгладавться С йЬ — ) . Разом з тим в прочее! досл1дження ст!йкост| вдаеться встановити деяк! ванлив! властивост! функцП <5 , що дозволяють застосувати П як аналог функцП Ляпунова. Тут вир!шальну роль в!д!грав та обстаёина, що для систем, як! досл^кувться, при певних умовзх !снуе клас розв'язк!в, на яких функц!я д1I 5 обмежена при # е I + = оо [, принайми!, якщо ц! розв'язки знаходяться в'малому окол/ положения р1вноваги.

Поряд з безпосередн!м застосуванням функцП <5 для до-сл!дяення-ст!йкост1 пропонуеться такоя побудова аналогу функц!! Ляпунова V , ио метить ¿> як аргумент, питания обмеженос-т! (необмеженостП'якого не е впзначальним.

Допом'.жн! функцП як 5 , так ! VI д, * <5 ) не е фунгаиями Ляпунова в традиц!йному розум!нв!, оск!льки н!яку конкретну теорему Ляпунова (якщо нав!ть розглядзти модиф1кгцП цих теорем) вони не задовольняють. Разом з тим, дссл1джешш ст!йкост! р!вноваги з !х допомогою вдаетъея провести в тому ж (дейному Ключ!, що ! у випадку звичайних функцП; Ляпунова. Це дае можлив1сть зробити висновок, що другий метод Ляпунова не рац!онально зводити до деякого ф1ксованого рецепту, а швздше, навпаки, трактувати йог о в б(лыл гшроксму сенс!51 використову-вати пера за все !де!, що в ньому закладен!, а не обмзкуватись конкретними теоремами другого методу. При такому п!дход! мояли-вост! другого методу значпо зростають, ! в цьому зв'язку анзл!з ст|йкост! р!вноваги з допомогою функцП д11 за Гам!льтоном мож-на розгладати же двякий конструктивний крок в напрямку розкрит-тя нових можливостей, що м!стяться в другому метод! Ляпунова.

В §1 третьо! глави за умоЕЯ, яка пяредбачоо моклив!сть продовжити роз в 'язки системи (2), (3), що починзються в достот-

ньо малому окол! положения р!вноваги = ^ на всю

Д'йсну В1сь ( Г = /? ) , розглядаються властивост! функцИ дП за Гам1льтоном

що визначаеться в розширеноцу фазовому простор!. Дана умова, враховуючи, що в гл.Ш наводиться теореми про нест!йк!сть, не об-межуе загальност1 м!ркувань 1 разом з тим суттева для зображення функцП 5 у вигляд! (6).

Найб1льш важливу власгив!сть функцП дП за Гам!льтоном За, у, с/, ) , що застосовувться при оберненн! теореми Лаграижа-Д1р!хле (§2), в!дображае

Л е м в 3.1. Припустираю,шо система натуральна

V \ дш . Тод! на трзектор!ях системи, що налекать

мнохсин! Т + П = А } , функц!я

дП за Гам1льтонда 5 може бути представлена так, що в!дпов1д-на "перв1сна" функц!я ( V, (}, д. ) задовольняс сп!вв!д-ношення

Ц!каво зауважити, що в л!н(йному випадку

ей

а функц!ю V - Ч ФР при досл!дтш1 ст!йкос-

т1 р(вноваги, причому нел1нШйх катураиних систем, застоеову-вав ще О.М.Ляпунов»

Теорема 3.1» Нехай консервативна система (2), (8) е натуральною «а В) | при як аавгодно малому чксл!

£> 0 ( I) ) ЕККОЦуОТЬСЯ УМОЕШ I) & !

2) оееи> { з) дп/д^Фо кре г»*\ вы ..тод»

положений р1внойаги § " 4 ^ ^ кестШке.

Н а с л ! д о к I. 1зольоввне Положения р!сновет'и лшу-ральних систем нест!Ме, яйшо в положена! рИ'Коваги потеки!яльнэ

енерг!я П(д) не набувае локального м!н!муму.

Н а с л ! д о к 2. Нехай в окол! точки = 0 лаг.раи-

ж1ан L анал1тичний в!дносно у . Тод! положения р!вноваги

д = q =» О натурально!, системи нест!йке, якщо в точц! q = 0 потенц|альнэ енерг!я не набувае легального м!н!муму.

Теорема 3.1 поряд з теоремами §1 гл.1 встановлюе умови обернення теореми Лагранжа-Д!р!хле. Характерною ознакою теогеми 3.1 е те, що обмеження на функд(ю П(у) не передбачають роз-щегшення останньо! на деяку головну частину 1 доданки, що в!д!г-рають другорадну роль, як це мало м!сце в гл.1.

Функц!ю дН за Гам!льтоном S можна застосувати ! для досл!джешш ст!йкост( стац1онарних рух!в, зокрема, одердати теорему про нест!йк!сть (обернення теореми Рауса) ! в цьому б!льш складному випадку. Проте, в дан!й ситуац!! дещо модиф!куемо наш п1дх1д (§3). А саме, зам!сть того, щоб безпосередньо використо-вувати функц!ю 6 , розглянемо допом!жну функц!ю

.. SL . „I _

що м!стить S , як'один э аргумент!в. При так!й конструкцП V питания обмеженост! (необмеженост!) S вне не е визначальним в т!й м!р!, як це мало м!сце в §2. Кр!м того, ця конструкц!я аналогу функц!f Ляпунова ц!кава тим, що являв собою нетрив!альний приклад використання знакозм!нно! допом!жно! функц!I !з знакоз-м!нною пох!дною, з допомогою яко! разом з тим можна провести анал!э ст!йкост! ц!лком в дус! !дей другого методу Ляпунова.

Т е_о рема 3.2. Нехай при як завгодно малому е>0 (£„ z) S* } виконуються умови: I) ; Lo(q)>0\j±

Ф 0 ; 2) Ое да) з) dLt>/dq О Vq е а) ;

.4) Lg- jfTA-ff > О Vqeeo -

Тод! положения р!вноваги Ц — ф = О системи (2), (3) (стац!онарний рух) нест!йке (нест!йкий).

Н а с л ! д о к. Нехай система натуральна (Lf s О) ! при як завгодно малому £ > 0 ( В„ S* ) виконуються умови: I) = П«})<0 0 5 2) Ов да) ;

2<t

3) дп/щ Фо Vqeai . 1од1 положения Ывноваги нест!кке.

iuc частинний випадок з теореми 3.2 отримуемо теорему 3.1. 3 а у в а у е н н я. Якщо -вираз Le~. j fT А~ f мае в TOMUi Ц*=0 локалький м!н1цум (не обов'язкова строгий), то, розглядаючи рух системи на множив!

можна отркмати узагальнення результату Хагедорна, аналог!чнв тому, яке отрплали С.В.Болот1н 1 В.В.Козлов.

Розглянутш: а §3 метод досл1дження ст!йкост! можна також узагальнити на випадок систем Лагранжа-Остроградського

А , йк / 1

S™ - m

як! монна отпиши з углови стац!онарност1 функц!онвлу '

ь

Цьок'У питашш присвячений §4 гл.И.

Пехай LGCn+i(J) С *... * К*«*) > , точка ¿С(г,'г~1)~ ... ~ i <= л = 0 в1дпов!д50 полоаашда р(вдовагн системи (?) ( dLfgx~0) i, кр1м того, L (<?, Í,..., 0 ) ^ 0 ,

В!домо (М.В.Остроградсьгай), то р!внлшш (?) меютъ порядок Zm , де m - число поздних в ¿ , Для данях р!вш!гь 1снуе аналог перогвсрэшш Лекажа, 1до дае моклшйоть й кевл-родженому випадку (коли структура лаграик!ана L ' дозволяв систему (7) подати в нормально форм! КоыО вобразити 1х в гагЛль-тонов 1 й форг,5| в простор! posMipHoóTt #/ПП , де К - розм1р-л!сть простору 5f.il люк <£ . .

Теорема 3.8. ЯйщО L невйродяейа ! в полокен-

и! р!вноваги сийеми (7) набурае лЬкшяьйого екстршуму| То войо нест1йке. .

Теорему 3»3 можна розглйдйтй як аналог тебремм Хегедорна

доя систем Лаграняа-Остроградсъкого.

Р!вняння (7) s не просто формальном узагальненням р!внянь Ейлера-Лаграгека (2), a виникають при моделюванн! реальнкх систем як в сам i li механ!ц1, зокрема, в задачах суц5лького середо-вища (К.Ланцои), так i в сучаснН! теоретичн!й ф!зиц1.

Д|ю за Гам(льтоном «5 з ycnixoM мокна застосувати i для доведения ¡снування асимптотичних рух!в (§5), як!, як це вне п!дкреслювалось в попередн!х двох главах, ц1кав1 тим, цо обу— мовлюють rpytíicTb властивост! нест!йкост1. Цоправда, в!дпов1д-ний лагранж1ан в цьоьу випадку пЗлягае б!лъш коротким обме-

женням, зокрема, вимагаеться 1зольован1сть положения р!вноваги ? = 0 •

При досл!даенн1 ctIükoctí р1вноваги неголономних систем з

допомогоп другого методу Ляпунова ix, як в.ке п!дкреслювалося в

гл.П, при деяких природних обмеженнях монна розглядати як збу-

рен! голономн!. Особливо переконливим такий п!дх!д е у випэдку

неголономних систем ЧаплигГна ■ л

° С » »- *>1 У (8)

d ñl* di* Г" i dL V*fl¿ A -n

J 4 (9)

¿

де з!рочка означае результат операцИ вилучення в!дпов}дяо з вираз!в L ~ Т- П i OL/dcj,n+i узагальнених швид-' костей 4n*i 3 Допомогою р1ваянь в'язей (8).

Виявляеться, що для досл1дяення ст!йкост[ системи (0), (9) також ц!лком усп(шно можнэ застосувати 5ушсц1ю д11 за Гам1льтоном (§6), пов^язуючи останто з деякою допом!шюю га-м!льтоновою системою.

Припускаычи; шо точка Q, = Ü критична для фушщП

L*- j фГВ(<],)у - П(д,) , позначимо «

"Я 9п )Г) ' эобразимо Р1ВШШВ8 (9) у виглад!

rfi dp ¿i

де функц|я

«= | рТВ~'р ■* Л** h « ДРЛУ/- , (II)

як 1 у випадку укорочено! системи

, , (12) d* <?/з dt dq

e першим 1нтегралои систе.ш (10).

ЗункЩвдН S(t,$,p) , що в 1дпов!дае укорочен!й сис-1тш1 (12), можна sac то су вата для досл!даення ст!йкост1 неголо-номно! системи Чаилиг!на в форм! (10). При цьому в рамках походу, що розглядаеться, доданок 0(Щр1*) виконуе роль малого абурення укорочено! системи (12). Зокрема, мае м!сце

Теорема 3.7. Нехай при як эавгодио шлому е>0 (D(q) э s* ) вшсоцуютьея умовн: I) «>** {{¡¡EG* » П($)< 0} ф 0 -,г)0<=дш ; 3). дП/Щ + О

Тод! положения р!вноваги системи (8),

(9) пест!йке ! 1свують розв'язки, що аскмптотично прямують до точки 1} •=• Ц «= 0 прг 1 t -»--со .

Заетосування дуккц!! дП ва Гш!льтоном дяя досл!дкення стШсост! неголойомшх систем ЧаплшЧно (8),(9) вилвнлось иож-лив1ы завдяки тому, що остаин!» з одного боку, моква розглада-ти як абурення голоно.мнях, s (ишого - вони успадковують ваюшв! властизост! нбзбуреиях систем, в дапоод випадку натуралышк, оск!лькм в, зокрeuа, обороти;;:,ai I для них мае м!сце Иггеград енерт!К

Вчстйерт1й эакл&ча!й глав!, на в!дм!цу в{д трьох попередн!'х, дб'мова йша про аестИ;к!сть положения р!вноваги, роаглядаёться эадача про ст!йк)сть за ПуессоМом оборотних систем, для кких he вйер!гаеться фазовШ! об'ен, Прикладом таких

систем е, зокрема, неголономн! системи. Обм!рковуються також питашш, пов'язан! з !снуванням ¡нтегралъних 1нвар1ант1в для оборотних систем.

Зауважимо, що поняття стКтеих за Пуассоном траектор!й ш-роко використовувалось в трст!й глав!. Тому,' якщо врахувати, що оборотиt системи, для яких за певних умов !снуе !нтегралью1й !нвар(ант п -го порядку, а також мае м!сце аналог теореми- Пуанкаре про повернення, багато в чому схож! на гам!льтонов! системи, то зв'язок м!ж главами 111 ! 1У ц!лком очевидний. В!добра-Sеняям даного зв'язку е i те, що в гл.1У також реал!зуеться !дея застосуваняя допом!жно? функцП, явний вираз яко! не передбача-еться. Якщо в гл.111 такою функц!ею була функц!я д!1 за Гам!льтоном>! То тут !стотну |хш> виконуе функц!я •

х *= | div Х(хт) dv . о

В §1 гл.1У наводиться низка тверджень допом!жного характеру для автономних систем

де Х(х)£ Cr( JD(x) С Rn ) , г* 1 .область-

Х)(х ) - !нвар!ангна мно.тана, jc« (£,,..., Хп )г .

X = (Xfi... , Хп ) т , f £ R .3 даних тверджень випливае, що говорити про застосування ергодичяо! теор!! для систем (13) Можна лише в тому випадку, коли виконуеться нер!вя!сть

sup | \ div X(x(?))dt { < оо (14)

ieR i

Vr= {«ffji tGRjc DM>°, mesDP- 0 .

В зв'язку з нер!вн!стю (14) виникло питания про вид!лення такого класу систем, для'яких вона задовольнявться, ! при цьону не потр!бно мати явний вираз div Л( x(t)) на роз-

в'язках системи (13) * Виявилось, що Такий мае утворюють обороти! системи

■г = ) , fix,у) - Нх,-у ) , (15)

де f(x,A) е сЧй(х%х)с R2n) .

Зокрема, мае м1сце. ^

Теорема 4.2. Нехай J)(X,à> £ R

.обмежена ¡нвар(англа область систем и (15). Тод| майже acj Tpaeic-Topiî cTÎËKt sa Цуассоном.

Доведения теореми спираеться на лему, що наводиться шшче. Л е м а 4.3. В умовах теореми 4.2 для майже Bcix (Л)х}7'сСЗ спревдкуетъся яер!вн1стъ t

teR+im 2 1

Пояяття оборотное?! можна узагальнити на неавтоншй! систе-

Ш

, х = f(t,x,â), ' f(-h . (к)

йкщо припустим, що f(t,<z, х) G с!°'г'г> ( R " ¿п. t л л

х D, De R ) f розв'язки спсте;.:и (16),

цо починаються в ]) , можва продовжити на век в!сь t G # , то мае Micqe

Теорема 4.3. Нехай оборотка система (16) зэдоеоль-няе умови:

1) 1снуе обмекена множвна траоктор!й

{(*(t), ten) с £ i

2) rn.es (ф) > О , Тод! для систем

х-у, if fit* Лу у),

як еквIвалету-системи (16)^ (снуз !втегралью!Й 1нвар!внт

де

3 густиною 0< J>(t, Л, IJ ) GC^'j.'J (R*J>*),

що обмежена майже скр!зь на множил! R * Ч/ Е а с л I д о в I. Мае м!сде оц!нка

Л| < тез á Лг , 0< canst, i-1, 2 ,

mes () - j dx dq , at

0< (mes al' )-mes (&.)<<*> , л c .

H а с л i д о к 2. Положения р1внозаги оборотно! система (16) не може бути аслмптотично ctüíkim.

Н а с л I д о к 3. Нехай виконуються умови теоремй 4.3 I функц!я f (tу Я, Я ) пер!одична в!дносно t . Тод!

на множин! ^ мае м!сце майже скр!зь ст!йк!сть за Цуассоном.

В §2 гл.1У теоремй 4.2, 4,3 застосовуються до неголономних систем, вих!дний лагранж{ан яких мае форму ¿ <=> — Г1(ф), mo I забезпечуе ix оборотн!сть.

Основн! положения дисертац!! опубл!кован! в наступних роботах:

1. Сосшщкий С.П. К вопросу о гироскопической стабилизации // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 1983. - Íf5. -С.3-7.

2. Сосницкий С.П, 0 некоторых случаях неустойчивости равновесия натуральных систем // Укр.мат.журн. - 1985. - 32, И. - С. 124-127.

3. Сосницкий С.П. Действие по Гамильтону как аналог функции Ляпунова для натуральных систем // Укр.мат.журн. - 1987. - 39. №2. - С.215-220.

4. Сосницкий С.П. О грубой неустойчивости равновесия автономных систем // Укр.мат.журн. - 1988, - 40, 151. - С.95-101.

5. Сосшщкий С.П. Об устойчивости равновесия натуральных систем // Математическое моделирование динамических процессов

в системах тел с жидкостью. - Киев: Ин-т математики АН УССР, 1988. - С.38-43.

6. Сосницкий С,П. Об одном признаке неустойчивости равновесия консервативных систем }) Прикл.механика. - 1989,- 25, JS6.-С.68-73.

7. Сосницкий С.П. Об асимптотических движениях неголономшх систем Чаплыгина // Укр.мат.курн. - 1989.- 41, И2.~ С.206-2X0.

8. Сосницкий С.П. Об устойчивости неголономшх систем Чаплыгина // Укр.мат.журн. - 1983.- 41, й 8.- C.II00-II06.

9. Сосшщкий СЛ. Об одном случае неустойчивости равновесия не-голонокных систем Воронца // Црикл.мздсаника.- 1989.- 25,

й 10.- С.96-101.

10. Сосницкий С.П. О неустойчивости равновесия неголономшх систем /У Сб.тр. У Всесоюзной конференции по аналитической механике, теории устойчивости и управлению движением (Задачи устойчивости, управления, колебания). - М.: ВЦ АН СССР, 1990.- С.41-50.

11. Сосницкий С.П. Об устойчивости равновесий неголономшх систем в одном частной ояучае // Укр.ках'.ззФН. - 1991,43, & 4.- С.440-447.

12. Сосницкий С.П. О неустойчивости равновесия натуральна;: систем // Задачи исследования устойчивости и стабилизация движения.- M.j ВЦ АН СССР, 1991.- С.48-61.

13. Сосницкий С.П. Об устойчивости разиовосия коасерватпБШх систем // Прикл.математика п механика,- 1991.- 65, й 4.-С.560-564.

14. Сосницкий С.П. Об устойчивости равновесия голоиошш систем // Фильтрация и управление в- механических системах.- Клев« Ин-т математики АН УССР, 1991.- C.SS-I03.

15. Сосницкий С.П. Действиэ по Гвмилмону и уотоЗчивооть рав-. новесия консервативных сииТем // ПроЙлеш динамики и устойчивости многсмэршх систем,- 'Киев: Кн-т математики АН УССР; 1991.- С.99-106.