Некоторые вопросы теории сплайнов и ее применение тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ШД2£Я НАУК ЛЗЕРЬАПд2ЛНСІС0!І РЕСПІЕЛНСІ Институт hï3ï'6'.nvnrn п Мэхажг~

^ ^ .На ітраврх рукописи

! 'і1-1' ¡.%Ч‘

ГАРЛЕЗ ПОЯЛД їїТРТЗВЛЛл or"!

УДІС 517.51

НЕГ.ЭТОРНЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ СШИНОЗ

П 33 ПИШЕНННІЗ ( 01.01.01 -ї.їатег.са’Пл.їскг.П анаяпз)

АВТОРВФЗРАг

диссертации ни с жсканкэ ученой степени кандидата фгаико-математических науі:

БАІС7-199І

Работа выпашзна в Институте математике и механике АН АзербаЯдаана.

Научнай Руповодатель:

академик АН Азербайджана, доктор физико-математических наук, профессор ©.Г.МАГСУДОЗ.

0£.1ДЕ£ тьные оппоненты*

доктог физико-гатематических наук, профессор Дх.И.МАгщхлнов,

доктор физико-математических наук, профессор Ы.А.ЯГУБОВ.

Вещдая организация - Азербайджанская Нефтяная Академия.

Защита состойся < 28 > декабря 1994 г. в « 14 > часов на заседании специализированного соьета Н 004.О1.01 по присуждению ученой степени кандидата фкзико-ьатсматических наук при Институте Математики и Механики АН Азербайдаана. ■

Адрес: 370602,■ Баку ГСІі-602 ул. Ф. Агаеш, 553 квартал С диссертацией моадэ знакомиться в научной библиотеке Института математики и механики АН Азербайджана.

Автореферат разослан « 25 » ноября 1994 г.

Ученой секретар^

гтвщцяяияирпяянноно С0В8Т2 доктор физика-м^текатихвсках наук I^ САДЫГОВ М.А.

Л-туялт'Fonr^ тячч. В созре”энкои анализе газ бояьпэ зозраотоот ?збования, предъявляемые т: вычислительный алгоритм и прездэ !2го к ;сх экономичности, универсальности» точности, lía.” известно, математика :i ео лрилогениях потзуотся приблсижгади предстаоде-•,?л функций. Кдр^сичеокзы аппаратом таких прэдста:здений являются :огочлены каплучсего щиблигания и ин7ерпо.,.лцио;ШЫ(Э :п-:огочлэш1. i они имеют некоторые учтатз недостатки. К недостаткам исполь-»зания нногочленов каллучиею лрнблиг&ння относятся трудности ГЕС ютроения и быстрый реет коэффициентов с гсзрастенизм их степени; недостатка интерполяционных ккогочлеюз ьюзко отнести то, что ¡глэдогательность таких функций КЗ Есегда схбдптся к иктерполируа-i:t функции. Поэтов возникает необходимость з выборз аппарата, в ¡тором отсутствовали Си эти недостатки. Таю-л аппаратом í.злятся лайнн. Теория сплайнов и сплапн-аттрожмаяциа прэдставляе" собой ■сьма ватный к шпенеивто разншгзенйел раздел теории приближения ■нкций. Уатематическая твори сплайнов появилась относительно давно. Обычно в качестве даты ее ровдоккя указываю? 1946г., гда вышла осшЕОПолагавдая работа Я. Шенберга (США).

Начиная с 60-х годов сплайны начали' интенсивно применяться в .тематических исследованиях. В частности, з настоящее время в ории приближений сплайнам, уделяется шюго внимания. В последние ДЫ сплайн-функции успейно ЩИЦЗНЯЮТСЯ в ЭКОНОМИЧвСКИХ ¡юдалях. вестны работы, где сплайн-функций использованы дал анализа рэ-лььтатов эксперимента по стимулирования трудовой активности. . лайн-функцюпя такие были предстглзленн такие езягие!, как гоз-ст, уровень образования, ставка калогеюблогонзш гагантироЕ 'urcix плат. Имеются значительное кол1иество лргчероз, где успешно при-кяэтся сплайкь., з особенности при худотаеггенком конструировании, судостроительной, авиакосмической и ашгогюбильн^й щхядшяаннос-ях и ,тр. Сплайн-Функции, з частности, ^сочко-полш-зигальныэ фун-ИИ ЯВЛЯЮТСЯ Г’ЫНЗ наиболее успешно пткне-кяеьаши з целях ПрИ'ЛИ23-я zzçiiï. Оhí ггр.с'гц в обршдани^ при тавота nd ЭЕМ и итл-ni зтоя лызой гибкистьэ. Таким образом, разносбразп возможностей щянз-ния сплайн-ЛункшШ свидетельствует сб :к актуальности. 0

В последние годы теория гдагврподплс* обогатилась ковш,1я '.это-

даьиі, подучйЕ2£Зі название сплайнонж интерполяций. Пдаблигекіл сплайнаш: вооншгза? таюе щи исследований квадратурных сорцул. • Исследованию кусочна-ікшшршіальннх аппроксимаций функцій, аппроксимаций сплайвзж к из: приманению посвящены работы Дг.Алберт, Э.Нильсона, Дї. Уольез, ?.Варта, Н.П.Коркайчуїз, С.В.Сї-ечккна, Ю. К. Субботина, Ю.С.Завьялова, В. Л. Цирошниченко,

Б. К.ІСвасовз, В.А.Васклэнко, С. її. Никольского, 11. Ш. Б;;рмана, Ц.З.Сиоляка, Б. В. Борзова, В.и.Тихоыировз, К.И.Бабенко и др.

Настоящая диссертационная работа посвящена ксслвдованиз теории сплайнов з: лл ттр'Елзкэннв к интегральный і: кнтегро-диі|ференцнальн£л уравнениям.

Цдд ту'5.->т-2. Исследовать тейлоровые и лагршпэше сплайны для функции шїгіа. перекажи:; ввести а торим дгт нахождения г-о:-№?±-~ ентов сплайна; найти оц-зжн логр-.-сносг!-:; исследовать многомерные натуральные сплавки; вззстк ачгорятм для построения натуральних сплайнов* демонстрировать апгорити ітрії п=3; пра ганить сплайн для апп-роксизліщк резаний иногомегных интегральных к ннте/’ро-дкдаерзнцкаль-кнх уравнений; найти, с примэнекиек сплайнов, л^.'блигвншэ решешгэ линейных к нелинейных сингулярных интегральных ураЕнениЛ; найти, с пргиекениек сплайнов, лркблтэнное рэшение Стшгулярккх ИНТеГрО-ДО/-ференциальнкх (обшшоввігшх і: в частігш: производных) уравнений.

Нзтод псслзго'вакяіь. Основной ыотодлкой, иопользуеьіой в диссертации, является аппроксимация фугеа.ик сплайнам.

Еаучкд.я норузня. Исследованы многомерные сплайны типа іного-члгна Тейлора к Лагракш, д°ш алгорггмы построения этиг сплайнов и кяйдеш оценки погрзшости в некоторых классах. Ксслздоваш ікого-ьэрны-з натутьльнш сплайны, _даш алгоритмы построения натуральных сплайнов и дешнстрірован алгоритм 'при п^=3.' С признание« сплайнов найдено ЩЕЙлисэнное решение игагокерных ілтегральш;. уравнении типа Фрэдгольш, нелинеіашх уравнений типа Урысонэ и нелинейных шгегро- . -дифференциальных уравнений. Кубические сплайнч применены к приблк-еенному решении линейных V нелинейных сингулярных интегральных • уравнений. Найдено приближенное реиение краевых задач для сингулярных интвгро-дифврэнцаальншс (обыкновенных и в частных производных) уравнений.

Тесурвптаепуяя и ттраттгаяпкяя пдннопть. Полученные в . диссертации результаты, шэя терэтическую ценность в вопросах аппроксимации

n p

■ R, !:i

J Ц y

i\ И

fi T3 b!

С! b I--'1

СС!-"Г?ЛГ7 ГТЯГРТ^^П

Бо еез^зн^і дзотоя spszss5 обггр і^сходоваїшії по темз дгссорта-щн н пзхагаэтся кг*атсеэ сохарсание работы.

Парззя ітава посвягагэ гсслэдованст ікогсьїзрніос сл^айн-функций

l|äl

0 и |j 8 S

1 S п В я 2ftA ? il

I Ц g B g

a і p 0 ri

nè**B

A H

g Ä S

n VJTT

& V «“1

0 t.

H "

s

1

и .

in

ífrj; ,

Опрэдэлвниэ 1.Сункдяя f(z)€Z(J) прянадасгс классу С (ii) если ЩИ квддои r=fr#,.‘..,PnJ суцастврл! Н91ГрврИНС_3 производив

(frJÍ (гч,...,г) .

/ н/ 1 n , (OQrt<nt,l=1:7i).

0щ£Д2Д2Еиа_2. Функция называется сплайном п-ого порядка

деффзкта r-WYj,• • •«т^Ст^цег.ог число, (KT{C7.l+1 J,cczi

а)в кагдоа обидел: £1^ ее когно прздстакпь в бидз полккокоз V*;sSkrr/rJ'WS гс^.гдэ Х^в П

írj-l W

(Ca-TJ)

б)5яу(х)е<Е (Ш.для zeQ.

В §1 исследованы тейлороьпз сплайны для фушздй мнэпк переменных, приведен алгоритм для нахоадения коэффгдкентоз сплайна к найдены оценки погрешности. •

Определение 3. Функция /(х)ШЛ) принадлежи? классу "<F'(H,3), если при каждом 1=1.... ,п существуют непрерывные производные

( J1.. • •. Jt-1 .та{ + 1, О.О) .

°<^{||^..............0)

удовлетворяющие неравенству

Г102 Г||

ККЧ1-1

где 1ф1С(л)=^|фГгЛ,^г:г=('2:11....1п;,о1<г1<Ь1,1^:п]-

п-мерный параллелепипед, а И=(И^,...,Нп)~вектор с полоЕительныкн компонентами.

Пусть задано разбиение ДА^ДТ^х. ..хМп, где

Пусть ^[г])(х[в]^ есть значение производной функции !(х) [г]~то порядка в точке хм*Ыв1)....,^*}), где 8=(з1$. ...ап),(0&ъ<Як). Пусть [И] п

8ЬЖж(х*?}-;[а ^ сплайн для Я«.;, где .

[а]=1

Р~1о/Х‘^=^ а[о][г](Х~:1[о]}+ГЗ, а [г]-1 .

г®"=Гв7^г3в|П/я»"^|,-,14, (П)*в[езгСО.и-Ш».

05оз:'л-па [s]=í[t]:(кtliзi;l=1:n}, [з]=[э]\{[?]},

=4«;* гдэ

1£[1]

^ г-{г:г=Г^........*1яТ гп}

Козффиценты иногочлзна опрздэлкм, а.ллогичш кахозде

ншз кссйздентов ¡догочлзна ТеАяора, сладугсцм способом

аг.ягГ - -V - • гдэ г,в#п г»/‘

Теорема 1. Пусть fCvГ■{!^,Л) и г,/.)-тейлороЕкз сплайны з стандартно« евдэ, построенные по заданным значениям

Т0Г» ' • п .‘а'о-Л/ии в.ч

.+_с ,гГоМ

^ ^ * -1-(1)

1-/ * где 1

г , ^ 0Ь!ЛЛЬ!

Х?^}> 0<*Ь<1> а ^ я1^йШ Р=0-

В 52 ( аналогично 51) ксслодоезш лагрэнгзннэ спдайкн для функций многих пэремэшсж го класса СРСй.О.).

0гтр°1гя.уя-..уд &.*} Сункцпя /еГГл; прякадлзгнт классу ЕРС/М.), если 'Г.ри КЭ5Д0.Ч 1=1,...,п существует непрерывные ПрОПЗЗОДНЫЭ.

^{0,. г.,0,п^1,0,. .. ,0)'

триея I/0...........о,*1+1,0,

Н.Н.Анучнна, Н.И.Бгбэнко н др. "Теорэтическиэ остова и конструирование численных алго’ктиов задач математической ¡^азики", "Наука", 1979. ' .

лус-гь

¿и о,‘:хи

-•*• . >«»< у ч. » « * -\Цу..А^ • ■ - — '

< -----"“Г'-Н

Г£2 • I *

:го „ ,./

V ; “ч ~'"

¡г+ЫЩНХ^+и

». V

II пусть /&пр-'гхх2}^ Сзгвдл г^/в то^

«. г/’-: Х-. г;.' > з "у т < г/гг? •'«.** ]

"*£и '» »«г »;..,-. ^ “*•! /•

пус? ья(СсЗ}*~:щоГ гь,,.«¡луг 5л

**чс“{):с(< ~ч^1йс/<с;Г£.к...<Г^г£, >сг +|(а,;=ъ,г^.;

► *

С.-^з'*.-", ко

кгБ: •

СЧл!

' р^2(Чг}(~‘ 1-2)‘

1г}-1

гш(гМ(х)~ ^ £Ч^’

гегс;

е 1_ _ С”, *6. ;нЙ’Щ58Ц21йгсгьНЬ; ДЗГРЗКЗВ» ГОВШЕЕ В,-ГО ПОрЗДКС

{ V

огносггтелью ^ч(з{). Спрэдашш тахз .

РьГГв7/

4-Г *4

где „

Г < ; щз .ЬО

1 ь •

I П \,' Га^; 1фа 1Ф&-1,

■\ ^(в1 1 гс£г{^4*а1 ^*&а(Гс{У.Ъ^е^]’

г^*0

п*о гег’.анвяотов Еокз'гактай Лебега оттоктельш ¿а{Сэ{Л

2ещвш_2.Цус?ь /&*(да>-а Зд^Гг,/; есть сшаЛш, опрэдаг--ОННШ ииюукяяяииям СЗЮСОбОН . ТОГДЭ

э

■“ глз І, .= і:~" \ ?,л1э1)\.

{-# (а^1)! 1 - , *• І&зІ'-ЕЮ1' * 1 }

З о?ом параграфа ?ак=з ::оо*зхс2~з сгсзйкз з чешд пздэ.

В 53 іісследовакн ;л-югс"’зрннз катурзльккз сплайкн.

Пусть дані ЛИНСЙНСЗ ПРССТР2:І2ГЕ0 " II Е0гЗСТГ2Ш:С£і галбортово іространство ¡Н. В простпакстгз К отгрэдзлзш бпзрэдк: слезнш эла-'єктоб (взкгороз) :і опзрают ^зїегсігеі элг:пкюз на взпчстБвнааз шсла, 9 птосгрзнсггз, зр-и-з с2СГО,опроя953ші склляргое щшзвэдешю зда-'зіігоз <?і} ,а2> :і і-гор'л ПТСТ? ;заз гпвеянзй спара-

:др 5 »чКт->гі :і яшвйп» спгтггзга Ь,г%г**&1, 1*Т:я, гдз \?1 яшэйнсэ тодщрстранстга прссгрзкста 2. *

Расс::отіт с здачу пз^пгсцг*: '

іаг

=и{, Ш:п,

(2)

(Ь)

где у^— фпксгфзвашінз злз::зіїтн и пгшппуу бэрэтся по всем элементам изХ, таким, что 11и=У1,1е1:п. Репзкнэ о задача (2)-(3),если оно зужествует,называется 'натуральним сплаЯпоіі хші просто спла£кои. Героїн «натуральний» попользуется для того, чтобы подчеркнуть, что О является Р223НИ6И ЕЩЗЧП (2)-(3).

Теперь рассмотри задачу

лг х)\ сіг

сіп

и|зд=г>

и(:'1)(х^)=у(к1)(х^) ск^с^-ґ, і€І:п . и(1іі)(х^}=уС2іі)(^ (ХП^^-1, іа:п.

Г5о ^-¡-Р^Р%(п), г^=г|= -рі'2* }(х^)^ъ ;(г;|

ВЕЭдем о§35"дг12:пгэ ' .

14)

(5)

(6) (7)

I, ра{а,ъу. Р

«і-,.«»-,.

Я

^^г0;а’0=^а?**■ ■ *-1 *• • • ,хп)• т. ¿а.-п}.

ПУсгь „ С1^; („.......п;

Г^"Г° ПОрГ’-дга' кэто^э однозначно определяем сротшсзнияш ^ л£[р*;гь4м>;

• | 3^^;^1;=еа{р{' вс{^}(а^=0:

[ (а1‘^1<>>1....,т1-1) (1=1....,&}.

Определим фунхцкэ

п

о(*)=Т (т1)!-'-1о.(х).

где й

Н-.к+?

--- {

<У** I о.г,.«. -

СС — (р * -

а, ^; ^ ,'£«*• '7ф^ Гх4 )1(а1>(х1).

п-Ь+1

Р1р(х)='Т.С1(х>*1Р-1)> *я,(х)*,(х).

Теоаи1а_а. Пусть выполнены следуйте условия-^функция К*) непрерывна на мГа/ ■

6)Лля V* функции «/* >г~*; реГа.ы принадлежат классу ,с'^Мч ^и *“у* -г'мовл0,воистм '»™®в « с»'

и V- - )(^)^^)(^}.

2.

3. »Ы'г3>(Х11)^<1*.ьЧ(хп);

4.

аа

10

Я у(г ,в})аЬ(Х^) ^ а 1(х)яо(г1 }(х).

Тогда о(х) является единственны репенкем задачи (4)-(7).

В §4 рассмотрено иногокеркое шггегрэльное ураавнеше типа Сродголька

и(2)=/(Х)+\$К(Х,1))и(у)йу. . .

. Л '

Прэдполозш, ЧТО /е£(М^Л), К(Х,у)С![.С[г1]’1)[^].

Уравнение ресается двумя способами:в первом ядро аппроксимируется тейлоровыни сплайнами, а во второн-реиение ищется в виде тейлоровых сплайнов, дашюэ интегральное уравнение заменяется системой алгебраических уравнений. Доказано, что эта система имеет единственное решение при некотором значении'X..

3 этом параграфа такге рассмотрено интегральное уравнение типа Урь'сона . .

и( х)=1(х )+\$К(х,у.и( у))йу.

■ ■з .

иредполозим, что К(х,уЛ)€.&[а3,1,1*СЛ2>&1].

Ерккеняя тейлоровте сплайны и итерацисннно процзссн, получено приблигецное решение. Доказало существование, еданственноить репения приблизеиных уравнения и дана оценка погресностя.

В §5 рассмотрено кногомерюе нелинейное интегро-дкф$ерэнциаль-ное уравнение. Ставится задача '

и( г) (х)=7 |г, и( 1} (х),... г и( [^ }(х), г, у, и )йу^ (8)

Л

• • и|агу . (9)

й{€0^, $ (10)

[ й{€0^, Ш:п, '• (11)

"3 1Лх,у,и)г7.(зшу,у.(1}(11),...,и{191}(у)),-

Вэдзваега*, что гйСГйУ. 7Ж&&1*1*1.), ШОС'!?*®?*1). '

Г$^-г-:о сйссггс“"^,'о~п;з7гоп!ость рзпггйа еаота (8М11).

Пршэкяя слйзйш и зйбрадюннцз продоссн, получено

щз&лк^знноо регзикз и дана оценка погрзскости.

Во второй гглзэ кубические сплайнн птайзилэтся к сингулярны:.; интегральным и ннтехфсндаФХерэнщтльшм ураннекпя*.

В 51 Расширено сингулярное интегральное урагаэнке Е;да *

и(л

г ¡/ГШ£ г

х)=т(х)+1(х)\---------+Ш(х,Ииа)М. (12)

о-1 ^ .

Будем предполагать, что функции г(х), К(х,г) и Кх) щинадлегат классу Я на своих областях определения. , .

Предпологк.!, что существует единственное ресение у(х) :*равненкя (12), щккадЕзегцее классу $?СО,12. Тогда приблигенное решение цш> найти в слсдуадэи ездз:

* Л

й^х.у)^ Л^(хШх^),

где

•V г; С (К!<10 фувдашнгалъние кубические сплайны 'удовлетворят;:: условно

Тогда

ЭДЭ

а

Обозначим

*ь/хо^А&/х1 ^ *ь/хя-1 *шАЬ./х1?' у(х)^х,уНБ^ г>у),

Е^(х.у)=о( М^МсЮ,1.2),

* -А.гил • * '

*-г

ВСЯ

о" • ~ о

Решение вадачн оведетоя к мвцдаиэиу ур? ют вида

(13)

гдэ ЯШ^а^Ш^шзздрзтичкал гсзтрща порядка <7+1, для которой

— • • «У"-'» ь!= (ГСХ^). . . . ,Т(2у))*— Г/гг-#/—НЗрКаЭ ВЭКИ'ОРН.

1. Пусть

пах

К1-.СГ-

Тогда щи

.1*0 .

2-# Щ1 . 1-1 1

I 'щн< ЪШ К/^'} •

к*1 1>-; J J

^¿¿ё-.Кл' |}1- [«£§{ '

ц 3~о Л-О -1

[|як[|-£ И^л-£«в К/^4[°^{ ¿</=*>}1 ’

I *• К-1 *т1 1 *■ ЪгО 1

Ш-ЛИЧНО0, УРЗБНйКИЗ (13) 12131* ? еДИГСТБЭНГОЭ реЗЭНПе. .

В 52 рассштрэно нэлсюйкоэ спнгулярнсз кнтегральшэ ураЕненне

• гуа)<И г у(х)=г(х)+1(х)\-------+щ(х.г.уи)т. (14)

о-* *_г о'*

ПуиТЬ Т(х), К(Х^,3) Н 1(Х) ПВЩвЩЕЮ Л^ф0р312ЩЕУС13г0 порио-

дкческиэ функции по пэрзизнноцу Х,т.0. '

г(х), Кх)<Д?Л)[0,1] и К(х,г,8)^а)[0,1]

щп всех ©пссщовакннх (?,з), тдв а=0,1,2.3.4; и . - г(0)=г(1), 1(0)*Н1)*0.

Прэдползгпи, что с>сбс?гуог едкнстввшк!о рзпэнпв у(х.) уравнения

(14) щкнадагкэв классу ^Рсо.и. ■

Нго решение штрокспгяруется х, !/,)-пэ1г:одэтесппл кублчосггая

• • Л . 1* А *

у(х)=г(х)+}\(х)о^(х)у(хлН\.2^ \к(хЛ.\а.и))М. (15)

Ьх=1/(2К) (1И=0,1,...,Ю УДОЕЛЭТЕОряеТ УСЛОВИЕ

» г5 ~ Д г 1 ~ л,

иж=г( хк}+)^1(хкЫ^(хк)у^Х.2^ Шх^г.Б^г.у);^. (16)

3-0 1«,^м

Нзлгшайную онотеыу уравнений (16) рошш по кзгоду посодоБатеяьных приближений

~ _Д ^ _Д =1 „ „

у1=т(хх)+2_}(^^(хк)уу\.]Г I^ГfxJí.tJ5лfí,í/n■,;dí, (17)

•>~° ~ *-*«{_,

Предпологим, что \"Р(х)*г(х). '

1еоР£1Я-Ь. Пусть К(хл.з) нэпраргшна по э в К* н Уз'.з'сЕ1 .

Шаг.г.з )-К(х,г.з’)1ц:[0'1]2 <Ы|з'-з"|, .

пусть выполняется порэое условие теорвкн 4.

Тогда, если

*<[*.. |ШдГО;Г,|]~ # '

то нэлинвДная система уравнений (16) имеет единственное решение и пах (

0<Х<Х[

воа{»ЗА|}<-

тх

|Х| [йе. т^О)]-1 г]"*'

ММ(кс.1ПНд«Ш_,1] .

где кс=6И , Г'дШ=£-Ад(Л; а Е={с^]-едишгшая матрица (N+1)-го порядка, а .

л» ■ Л г т п+1

1М/^1А1аЖ>|_ВдГ*>) Га=0,1,2.V,

ГДВ Г 1

ЯдШИМ^-КИдГО,'^!].

В §Э дянп лрныенэние СЛЯРЯВОЗ к ПрЕ&ЕЕ^еННОНУ рЗЕьНПЗ СИНГУЛЯРНОГО

иытегрсьднффвренциадьного уравнения.

Пусть ставится заача

11 .

Ыу(х)]^(х)Л(х)]-"---~- +\\к(х,г)уа№, (18)

о”» *-» о-*

а1У(0)4с^],‘ (0)=а0, Ь?1/С (^

где

11у( х) 3-/ (х)+& х)у ( х)н1(х)у(х).

Пр^дполозш, ЧТО СУЦЭСТЕУО? еДТКСТЕЗКОО репзнпз у(х)е&г)[0.11 этой задача. Пользуясь результатов! *я>,тп. ¿зэатся, что кублчэс-кие сплаРш!, иггорпо-гругадэ рэгэ:пз- задачи (18Ы1Э), когко ггрод-

СТаЕГГЬ В Е1Д9 я "

Зд('г,у)=) А^(х)у(г})+у' (0)ВАс(х)+у' (1 )Б^х),

Л"*

ГДО

А^(х) (Ь=0,1,...,Ю, В^(х) Сг=0,П

образует базис для всех кубкческ:тх сплейгоз, ощэда..гс.нйпзс ка сетке Л. Задздгдл они «Гтн^'жальнЕ! кубзксскЕа стиайнаа усязвта

| «г {"£у,/=0, 7, . . • , Аг/,

..Дл;-.г_,;=йв (^,Н). (к-ю,1,....И),

■Зл^-’^йГ (Ь=О.Ю.

Обозначим

г' Рд/Ш* г

- -?•' *“г ол

г«, ,ы г^; (]=о....,ю рш.ву. ^ ^=а/*.....ур2’. н^аЦл*/*;}

элементы которой определяются внизу для оледупдзх четырех случаев.

Т.СлучсЛ : Пус*ь а2тЮ н Ь^Ю. Прэдголозш 1=1;

II.Случай : Пу.сть а^Ю к Ъг=0. Црэдгюлозм 1=2;

III.Случай : Еусть а2=0 и &2#. Предоолозы 1=3;

______VI.Случай : £§г<_ть а2«0 и Ь?-0. Прэдпо.'го=аы <.=4;

~ ’ • **; Дз.Алберг, Э. Кальсон, Дз.Уолл "Теория сплаЯноз л ее тглтс^э-о ния", "Мир" !'осква 1972.

*

r(xl)-AúJ^0(K)-30^JK); щзі 1=1; r(=i:-Ac.ßl0(\)-B01^lXK); ц а 1=2; r(xK)-Л0,hf0(V~30¿iBvXЮ; пр-і 1=3;

. rCs^-Ajfh^m-B^hfgíJi)! та 1=4; (Oïl<X)

rm AiJ<=al/aJ, Blj=bl/bj ( 1=0.1;J=1.2);

(■y0»yi»....Ûy_i»yffJ2’; при 1=1; iy0.üf,....5y.f,îij/; при 1=2; (V0.V1.‘".V1i_1.V}!)'¡!; при 1=3; (¡/0»5,»•••»%.i*v¡f)*; щи i=4;

; .при 1<j<Ih1;

при J=0,H; ((Xtslt),

ГДЗ

(1=1,2,3,4), a1}í=i; (k=0,fl),

щи k=0; при h=il ;.

f f ; при k=0; 2Ь I O ; при &=N;,'

a4i=0 ; (k=0,H),

при h=0; при h=H;,

J 0 ;

M f ;

f-V* «*«*<?•• B J 4» ; it¿ i -ß02 “P*£=íí*'» 2 I t ;

í í ; npi ¿=ú; ß3vH - ß,b=i; (Ь=О.Ю.

3k I -Sf2 ; щи ЫЦ, 4Ь '

Ресэние задачи с возися к иатргеноыу уравнаып) вада

I VöWV

v.

(20)

(21)

{7-f p q j)

4 v. - J ftlf •

X /Л : /гг, .*-? rr, rfг\ ; f'.\ J f.H),. , * S.VJ.

^Vs—•------Г* С

ч.Г‘г '* " ; г’-гю"!г:сг га

■ nJa+j- rn; ]

cíteos

•KÍ.

Плтч *»*3| r"1 ••* »»

ÀWj. V^'^i

QVfLfJ,s„V }

|ЛЇ< . ..V

»-1

то Lsrprass ягзкяп (20)-(21) ггэот едайзтазпюэ poseíais.

î^QTrojr^î’î'Aj^tTQ ^ ССя”^,?

<yw-[«!e{|'í."‘'l-Il'í/wi})'

j-í

Зйигго’лзр:^ стл-х.;:*:.^ по И, то ЕЗд-їїдІітОШ, гг

тг;=-

“А

Г«; ?* ■ -¿> ■■■{•• • •.•У*. ЩП W;

(и0.щ,.. щп 1=2;

(УфjJ/j » • • **У.7- .f.i/-Jr; Щ5Ї 1=3;

(¡JptUj »•• •*ул- » .я ■rV •’ "РЯ, ,l«í;

Б в той параграфа сашз рассмотрена задача Г1!(Ц6Л Г

у(х)=г(х)+1(х)\--------+\\В(х.гтуа)]&. .

, 0 *~х 0 .

. ^уСО+а^и'(0)*со. Ъ^си+Ъ^'(1)=ъ0. ‘

В 54 рассмотрено сингулярное интегральное урэвнение с краткой гатвгралацн.

Пусть на 02:СК+1^2ч1 задано интегральное уравнение вида

Диа.л.)<н.<нР

1 12 + •

6г«1

,=2Л1Л1)уа1,г1 )<Х (22)

е2

Ьудзы предполагать, что фуккщз: г(х1,х2), Яfг},r2,t},íJ; и ^х^.х^ принадлежат классу Я ва своих области определения.

Предпэлогпн,-что существует единственное решение у(х1,х2) уравнения (?2), принадлегацее классу <£?[£р. .

С”Гб21-се^зПство функций Лх^,хг) определенных на ©2, п-я частная производная ютатах, включая н-з более г дифферэнцированкий относительно каждой перэ:ленноа, существует и непрерывна.

В работе *ж) введен сплайн ,г2;/,’ для функции ?(х^ ,х2) из класса Ч^сс^], псследокша сходикость, найдены оценки погрешности

5д=5д2с5д} » 2ь^х1 ,гг‘1*•

Аналогично, как б одаоыррнза, случае, щх-^знзн сппайн Б^х^х^:/) для розвняя уравнения (22). . _ .

В 55 рассмотрено иотегро-дкфферовдиальнов уравнение в частных щшзгодных вида

1£у(х1 ,х2)]=г(х1 ,х2)+1(х1 ,х2) 11 1 1___I—£_ +

©2 (*1~Х1)(*2~Х2)

+х||кгх1.х2.{. ,г2)уа1^2)си1йг2. (23)

«*

ГД9

r^O

и нка~зствс таких краеіах услзіяй,‘что задаче корректна з crujía

Адаглра. . , ’

Аналогично случая с6нх:-:сеєшшх ьлтогро- дифференднальных урав- •

зкения с здача дйскретигчруется п сводится к кзтрхічкоцу ураЕкеніп).

Основино результаты диссертант опубликованы з слодтепп роботах:

1.П.Н.Гараев "O rüorcL'sp’-cy сплайне и его пркенекші" Дапонир. ВИНИТИ а 1558-79, 15.с. ' .

й.П.М.Гаггев "Пркблигонноз ресэкиэ нелинейных ньгеї’рзльннх утягнений'’. Тезиси докладов II Республиканской,Научной Конферэнции Аспирантов ВУЗов Азарбайдаана. Баку 1979. с.12.

3.П.М.Гараев "Приблсзнное pecarcta пнтвпзо-дкфЗвранщшлыпос уравнений" Депоннр. ЕИШЕРй И 1569-80, 12 с.

4.П.’?.Гараев "Приближенное реиение интагро-дгзКврэнцкальных урав кеккй з частных производных* Дапонир. ВИНИТИ Н 1738-80, 12 с.

5.П.М.Гараэв "Приблизенное регэкиа уравнение перзноса нейтронов в однородном слое" !£атвр.кьуч.конф.іюсвяц.б0-лртию Азгоспэд-института, Баку, 1982, с.74-75.

6. П. М. Гараев "Пркблигзнное рэпэние нелинейных интегро-дифферзр’Ш-альных уравнений4. Материалы VII Республиканской Конференции молодых ученых і® математике и кеханике. Баку, 1987, с. 103-105.

7.П.М.Гараав •‘Приблжгенное р'Евкие многомерных нелинейных интегро -дкффренциальных уравнений мате дон сплайн коллокации". Тезисы докладов Научной Ковфэренця Взакмосвяз науки и практики. Гаку, Азгосуниверситет, 1989, с.75-76.

8. П. М.Tapien "Приближенное репенко мкогоиарннх синп .тарных нтег-

ралъных уравнений". L'aiep.науч.конф.посвящ.75-лэтиа Азербайджанской Демократической Рбспуб^ики. Баку, А^еро. Институт Кооперации , 1993, с.173-179. 1

9.П.Н.1аргев "Кногоиеркыз Натуральные сплайны к его преліанение". !іатер.кауч.конф.ігосЕЯц.75-Л9ТИі5 Атрбайдгшсігй Демократической Республики. Баку, Азерб. ¡Інстітуг Кооперации ,1993, с. 180-188..

Ю.П.М.Гараэз "йгоготрнна Лагревгзгйа сплайны ". йзтериалі XI Pe«r публикансксй Юонфзренцяи молодых учвіоп по иатемати я я маха.чш'ї.

Баку, 192?, с. 103-105.

. 'TV&fi'’

cz2¡~.:? zs'zn Z2C&2?¿7:: сз c;m

Тбїбзг сіарндїйз ЕРтгчоїгр аги^оидізр:

І.Чол&лчулу їо^лор Б5 Лзгргк: чозйэдашк: їіхп; e.:ra£mp гурулауп еэ озларан ащракгашйф ,2о*таларз Ьзсгі'іг^г-^цг^р. Ллпагп нэти-\элзр п=2 Ьаш учун сзїір є;:гп-:дщр. г.Чогзл'іу.т/ гагургл салаки уч¥и кэсэлэ^э баз^лсіл, снул Ьэяли *у-рулмуа еэ öy Ьэллэ; JosasanaJa костор^лгп^гр. Алын^ Е&'лг«лэр п=3 учуй ПЭЙр едшплздцр.

З.ЧОХелчулу 2ЭТТЕ, re jjs Z0ÏTE Ентеграл ЕЭ rajpa XBÏVa ЕНЇЄГрО-Д£ф-ференсиал їЗЕЛпЕлврш hwussa чохолчулу сплайн тзтйіг едт^ддир, yjrys олараг EanpoKŒsacsijs id’талари Ьэсаблаааэдар.

4.Бир вэ ша елчулу Ііадда cEsrynJop интеграл sa cHHryjJap интегро--даИеренсиал тевднклэрэ yjrys оллраг кубик зэ икигат кубик сплаінлар ?етбиг єдозел, онлзран empoKcciaczJa 10’талари Ьесаблшшзднр.

SCIS FP.OBLEIj C? SHJI35 □SORY’ AKD IS APrLICATICIS.

A D S 2 H A 0 i

The results oi the vrork are the IolloT7in’^:

1. Taylor and Lagrsnse polynomial type nultivarlnt^ splines are consrtusted and their approximation errors are calculated.

The obtained results are demonstrated for n=2.

2. A problem-3 cn ntultivarinte natural jpline is investigated, its solution is consructed and the uniqueness of this solution ia shorn. The obtained results are demonstrated for n=3.

3. Multivariate spline is applied to the solution of nultivariate linear, non-linear integral and non-linear intesro-differential equations. Approximation errors are calculated accordingly.

4. In cne dine^sional and tTO-dinsnsional case, according to singular integral and singular Integro-difierenaial equations, cubic and double cubic splines are applied and their approxicpticn errors are calculated.

21