Нелинейная динамическая теория теплового пробоя тонких плёнок полупроводниковых материалов в аморфном состоянии тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ
|
Андреева, Наталья Владимировна
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Курск
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2008
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.04.07
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
АНДРЕЕВА Наталья Владимировна
НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ТЕПЛОВОГО ПРОБОЯ ТОНКИХ ПЛЁНОК ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ МАТЕРИАЛОВ В АМОРФНОМ СОСТОЯНИИ
01 04 07 - физика конденсированного состояния
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
ООЗ164548
Курск-2005"
Работа выполнена на кафедре теоретической физики Белгородского государственного университета
Научный руководитель. доктор физико-математических наук, профессор
Вирченко Юрий Петрович
Официальные оппоненты. доктор физико-математических наук, профессор
Родионов Александр Андреевич
доктор физико-математических наук, профессор Левин Даниил Михайлович
Ведущая организация- Тамбовский государственный университет
им Г Р.Державина
Защита состоится Qp>tbj^£uUjL 2004¡ г. в 44 ч. DD мин на
заседании диссертационного совета Д212105 04 при Курском государственном техническом университете по адресу 305040, г Курск, ул. 50 лет Октября, 94 -
С диссертационной работой можно ознакомиться в библиотеке Курск ГТУ по адресу: 305040, г Курск, ул. 50 лет Октября, 94
Автореферат разослан «_ » suUapx- 200^_ г.
Ученый секретарь
диссертационного совета, /"
кандидат физико-математических наук Рослякова Л И
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена теоретическому исследованию эффекта теплового пробоя в тонких плёнках полупроводниковых материалов. Важность теоретического изучения явления теплового пробоя связана с его деструктивным проявлением при функционировании электронных приборов. При разработке таких приборов возникает проблема определения области параметров их безопасной работы. Одной из основных причин отказа приборов, ограничивающей возможные рабочие значения параметров как раз и является эффект теплового пробоя. Его наличие, вот уже в течение нескольких десятилетий, оказывает
электрической цепи, находящейся под нагрузкой постоянной ЭДС (см. рис. 1.). Известно, что, в такой ситуации, при определённых экспериментальных условиях, наблюдается сильный разогрев, спонтанно развивающийся в малых областях плёнки, ориентированных вдоль направления протекания тока и имеющих диаметр ~ 1 10 мкм. Процесс нагрева протекает очень быстро, в течение микросекунд, температура изменяется на один, два порядка и достигает температуры плавления материала плёнки. Таким образом, внутри плёнки, в перегретых областях возникают проплавленные каналы. Вследствие этого, происходит скачок проводимости плёнки. В этом, собственно, и состоит эффект теплового пробоя. К настоящему времени имеется громадное количество экспериментальных и теоретических исследований описанного теплового эффекта, однако, не имеется удовлетворительной теории, объясняющей все имеющиеся особенности протекания описанного процесса. Исследование, проведенное в работе, основано на феноменологическом подходе, в котором используется представление об образовании, в процессе зарождения пробоя, пронизывающих плёнку микроплазменных каналов с существенно повышенной, по сравнению с окружающим материалом плёнки (тепловым фоном), температурой. Все образованные на плёнке каналы, вместе с тепловым фоном, образуют единую термодинамическую систему. В процессе эволюции, температура и размер каждого из каналов изменяется, посредством обмена теплом с фоном. В рамках таких представлений, в диссертации конструируется эволюционная модель для описания динамики пробоя в терминах набора зависящих от времени 4 параметров - температур
о-
Рис.1
сильнейшее влияние на развитие полупроводниковой микроэлектроники. В работе, теоретически, изучается простейшая физическая ситуация, когда тепловому пробою подвергается плёнка полупроводникового материала, которая входит в состав функционирующей
T.(t) и радиусов г (t) каждого из каналов i = 1 ,...,N . Эта модель описывает развитие пробоя в общей ситуации - при всевозможных наблюдаемых на * эксперименте зависимостях
м ' ^-'-~з2от~к коэффициентов теплопроводности к(Т), электропроводности <т(Т) и теплоёмкости с(Т). В диссертации дано её конкретное применение для описания пробоя плёнок полупроводниковых материалов в аморфном состоянии. Это связано с тем, что для проведённых в диссертации вычислений, существенно, что теплопроводность к(Т) материала линейно возрастает при изменении Т в той температурной области, в которой происходит зарождение пробоя ~ 300 500К с тенденцией к насыщению в области высоких температур. Такой тип температурной зависимости теплопроводности наблюдается, именно, для полупроводниковых материалов в аморфном состоянии. Типичными соединениями, представляющими такого рода материалы, являются As2Se3, As2S3, для которых температурная зависимость к(Т ) хорошо изучена экспериментально (см. рис.2., 3.,4.). На рис.2, показана температурная зависимость теплопроводности аморфных As2S3 - (2), As2Se3 - (3) и твёрдого раствора As2S3 - As2Se3 - (1) [Оскотский B.C., Смирнов И.А. 1972]. В рамках этой модели, находит объяснение экспериментально наблюдаемый эффект локализации тепла в малых областях, линейный размер которых не превосходит -100 мкм. Этот эффект связан с существенной нелинейностью эволюционных уравнений системы микроплазменных каналов.
На рис.3.,4. показана температурная зависимость теплопроводности чистого аморфного As2Se3 - (3), легированных образцов As2Se3 + 29 ат.% Ge -(1), As2Se3 + 9 ат.% Ge — (2), а также чистого Se — (5) и легированного Se + 20 ат.% Ge - (4) [Оскотский B.C., Смирнов И.А. 1972].
Целью работы является построение нелинейной динамической теории теплового пробоя полупроводниковой плёнки, которая изготовлена из аморфного полупроводникового материала, обладающего возрастающей температурной зависимостью теплопроводности и входит в состав электрической цепи с постоянной ЭДС Такая теория должна дать решение конкретных задач, перечисленных в следующем пункте
Задачи исследования.
- Построить, в рамках неравновесной термодинамики, адекватную нелинейную динамическую модель, позволяющую теоретически описывать развитие теплового пробоя и создать, на её основе, метод вычисления экспериментально измеряемых характеристик теплового пробоя полупроводниковой пленки, включенной в состав электрической цепи с постоянной ЭДС
- На основе построенной модели, произвести анализ физического механизма зарождения теплового пробоя, в случае, когда плёнка изготовлена из материала с возрастающей температурной зависимостью теплопроводности, с целью определения области значений физических параметров плёнки и электрической цепи, при которых возникает динамический режим пробоя
- На основе проведенного анализа, найти расчетные формулы для экспериментально измеряемых физических величин, характеризующих тепловой пробой — времени развития пробоя, размера проплавленных, в результате пробоя, каналов
- Выявить физические условия, приводящие, в условиях стабилизации неустойчивости динамического режима для предотвращения теплового пробоя, к статистически различному поведению ансамбля микроплазменных каналов в пленке полупроводникового материала, которые вызваны эффектом локализации тепла Определить распределение вероятностей случайного числа этих микроплазменных каналов
Научная новизна. Все результаты, полученные в работе, являются новыми В тексте диссертации даётся их подробное математическое обоснование При теоретическом исследовании теплового пробоя в тонких пленках, изготовленных из полупроводникового материала, который реализуется в том случае, когда пленка функциональным элементом электрической цепи с постоянной ЭДС была создана нелинейная динамическая теория этого эффекта на основе представлений неравновесной термодинамики В рамках развитой теории было установлено следующее.
-В плёнке полупроводникового материала с возрастающей температурной зависимостью, которая характерна для материалов в аморфном состоянии, в результате теплового пробоя, происходит образование проплавленных каналов с радиусом, величина которого не
зависит от амплитуды и пространственного размера температурных неоднородностей, вызывающих пробой
- Универсальность размера проплавленных каналов не может быть объяснена в рамках линейной динамической модели развития теплового пробоя аморфной полупроводниковой пленки
- Эффект пробоя имеет пороговый характер по температуре, т е его развитие на пленке начинается только по достижению средней температурой пленки определенной величины, которая определяется параметрами материала пленки и параметрами электрической цепи Установлено уравнение, на основе которого эта пороговая температура может быть вычислена для рассматриваемых в диссертации экспериментальных условий
- При достижении средней температуры пленки порогового значения, пробой зарождается только на тех температурных неоднородностях, амплитуда 0о и пространственный размер го которых удовлетворяют
определенному ограничению В диссертации это ограничение получено в виде неравенства, которому должны удовлетворять во и го
- При определенных значениях параметров пленки и электрической цепи, возможна стабилизация неустойчивости динамического режима, в результате которой тепловой пробой не реализуется, а на пленке образуются микроплазменные каналы Это происходит в том случае, когда температура стабилизации, определяемая в диссертации на основе параметров пленки и электрической цепи, не превосходит температуры плавления материала
- В условиях стабилизации динамического режима число наблюдаемых микроплазменных каналов случайно В диссертации показано, что распределение вероятностей этого числа является пуассоновским с показателем, величина которого выражается через параметры пленки и электрической цепи и может изменяться в широких пределах
- В рамках модели, предложенной в диссертации, найдены формулы для расчета диаметра каналов в пленке аморфного полупроводникового материала, проплавленных в результате теплового пробоя Получена формула для расчета времени теплового пробоя
Автор выносит на защиту:
1 Метод вычисления, на основе температурных зависимостей коэффициентов электропроводности а (Т) и теплопроводности к (Т), экспериментально измеряемых характеристик теплового пробоя полупроводниковой пленки, включенной в состав электрической цепи с постоянной ЭДС пороговой температуры, ограничения на средний пространственный размер и среднюю величину температурных неоднородностей, при которых зарождается тепловой пробой, диаметра проплавленных каналов, времени пробоя,
2 Распределение вероятностей для случайного числа светящихся микроплазменных каналов в пленке полупроводникового материала в аморфном состоянии, включенной в состав электрической цепи с постоянной ЭДС, при стабилизации в ней неустойчивости, которая вызвана эффектом локализации тепла
3 Формулу для расчета диаметра каналов, проплавленных в результате теплового пробоя в пленке, находящейся в составе электрической цепи при постоянной ЭДС и изготовленной из полупроводникового материала в аморфном состоянии, который обладает возрастающей зависимостью теплопроводности от температуры
4 Формулу для вычисления времени теплового пробоя полупроводниковой пленки, которая является функциональным элементом электрической цепи с постоянной ЭДС и выполнена из полупроводникового материала в аморфном состоянии, обладающего возрастающей зависимостью теплопроводности от температуры
Достоверность теоретических исследований подтверждается сравнением по порядку величины с экспериментально измеренными величинами размером проплавленных, в результате теплового пробоя, каналов в полупроводниковой пленке, временем пробоя (длительностью задержки электрического импульса), амплитудой всплесков температуры, на которых зарождается пробой, — численными значениями этих физических параметров, рассчитанными на основе известных экспериментальных зависимостей от температуры коэффициентов теплопроводности и электропроводности Подтверждением теории является текже то, что, на ее основе, объясняется эффект локализации тепла при зарождении теплового пробоя и существенное различие числа образующихся микроплазменных каналов при стабилизации динамического режима, который может приводить к пробою
Научная и практическая ценность работы. Теоретические построения, выполненные в диссертации, позволяют проводить, в рамках базовых представлений теоретической физики, математическое моделирование явления теплового пробоя в пленках полупроводниковых соединений АБ28ез, Аз283, при приложении к ним внешнего электрического напряжения в различных температурных режимах Результаты диссертации могут быть использованы для разработки новых методов защиты полупроводниковой микроэлектроники от разрушающего воздействия на ее функционирование эффекта теплового пробоя.
Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на
VI международной конференции по математическому моделированию (г Херсон, 2003),
Воронежской зимней школе (г Воронеж, 2004),
Десятой международной научной конференции им акад М Кравчука (г. Киев, 2004),
XVI Международной конференции по физике радиационных явлений и радиационному материаловедению (г Алушта, 2004),
Международной конференции памяти Н Н Боголюбова "Современные проблемы математики и теоретической физики" (г Киев, 2004),
Международной конференции по нелинейной динамике (г Харьков,
2004),
VII Международной конференции по математическому моделированию (г Феодосия, 2005),
III Всероссийская научно-техническая конференция "Физические свойства металлов и сплавов" (г Екатеринбург, 2005),
IV Всероссийская научно-техническая конференция "Физические свойства металлов и сплавов" (г Екатеринбург, 2007),
а также на семинарах в Ин-те Монокристаллов НАНУ (г Харьков), ХФТИ НАНУ (г Харьков), Белгородском государственном университете, Тульском государственном университете
Связь с научными программами, планами и темами. Диссертационная работа выполнена в рамках индивидуального плана подготовки аспиранта, научно-исследовательского направления разрабатываемого кафедрой теоретической физики БелГУ, а также в рамках проектов Российского фонда фундаментальных исследований (грант №03-01-9641)
Публикации; основные положения и результаты диссертации отражены в девяти печатных научных изданиях и в семи материалах международных и всероссийских научно-технических конференциях [1-14]
Личный вклад соискателя: Автором получены основные результаты, проведен обзор имеющейся литературы по теме диссертации, выполнены вычисления, возникающие в процессе решения задач, при этом он непосредственно участвовал в написании текстов работ по теме диссертации. Вклад научного руководителя в опубликованных работах заключается в формулировке общей концепции исследования, постановке задач и выборе методов исследования
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и библиографического списка из 96 наименований Общий объем диссертации составляет 177 страниц основного текста и содержит 7 рисунков
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обоснована актуальность, сформулированы цель и задачи диссертационной работы Приведены основные положения, выносимые на защиту, научная новизна и практическая значимость работы, отмечена апробация работы
Первая глава посвящена описанию научного направления, к которому относится диссертационная работа, постановке задачи теоретического описания явления теплового пробоя тонких полупроводниковых пленок и обзору литературы, связанной с этой проблемой
Во второй главе развивается термодинамическая теория теплового пробоя пленок полупроводниковых материалов на основе представлений неравновесной термодинамики Постулируется наличие, наблюдаемых на эксперименте, тепловых каналов с существенно повышенной температурой Эти каналы вместе с окружающим фоном являются элементами термодинамической системы, которые обмениваются энергией Сначала строится статическая теория, основанная на представлении об установлении термодинамического равновесия в такой системе На этом пути, получаются формула для радиуса г* проплавленных, в результате пробоя, каналов и
уравнение для пороговой температуры , при которой становится
возможным возникновение теплового пробоя Затем, в этой главе строится динамическая система, описывающая развитие во времени теплового пробоя в указанной термодинамической системе Режим пробоя интерпретируется как неустойчивость этой динамической системы, которая приводит к неограниченному росту температуры в каналах Эволюционные уравнения строятся для отклонений в (г)-Т0 температуры в каждом из каналов
г = 1, от температуры фона Т0 и для радиусов г (г), г = 1, этих каналов
На стадии зарождения пробоя каналы считаются невзаимодействующими
Уравнение для отклонения © в типичном канале имеет вид а&{1) 2 в(0+Т°
ср^Ш=Ег(сгт)+Тй)_а(То))--1к(т)с1т> (Х)
Л С Г10) 7-0
где с - теплоёмкость материала, р - плотность Е - напряжённость электрического поля в пленке, 1, 7*0 - температура теплового фона, к(Т) — коэффициент теплопроводности, <?(Т) — коэффициент электропроводности Для изменения радиуса канала получено следующее уравнение
&(1)+Т0
-г (I)
2% Е2 г ср@(1)
[ст(То+0(1))-<т(То)-<г <Т,)е(г)\ (2)
где С ~ 1- При этом £ и С' - феноменологические параметры В диссертации показано, что границей области устойчивости решений системы уравнений (1), (2) является температура 7*, которая определяется как ненулевое решение уравнения
Гзг.
Лг
к(Т*Ы<?(Т*)-а(Тй)Г\^А (Ъ)
Для исследования стадии зарождения пробоя, в зависимостях теплопроводности к(Т) и сг(Т) материала учтены первые члены разложения этих зависимостей по степеням & так, чтобы уравнения (1), (2) содержали только квадратичные нелинейности
к(0)=ко+к^0, сг(То+0) = ао+ ах0+-<т20г, (А)
2
где к ,а а положительны В этом случае, уравнения (1) и (2)
1 1 2
превращаются в следующие
срг20)=С
к -гг(х)^Ег ч1 2 .
0(0 (6)
В диссертации показано, что траектории решений системы уравнений (5), (6) с начальными значениями г0 < г», где
( Б2
ведут себя таким образом, что сначала отклонение температуры 0(г) убывает, затем - почти не изменяется и при этом радиус г(1) возрастает Когда г(1) становиться почти равным критической величине г*, рост
радиуса канала приостанавливается и, наоборот, начинает резко возрастать температура канала достигая сколь угодно больших значений Таким образом, существует универсальный диаметр для всех прожигаемых в
результате пробоя каналов, который равен 2 г* Этот факт соответствует
тому, что наблюдается на эксперименте при реализации теплового пробоя При подстановке характерных значений параметров в формулу (7), получаются разумные значения для диаметра проплавленных каналов ~ 50 мкм При этом величина г* оказывается равной той, которая вычисляется в
рамках термодинамической теории и совпадает, с точностью до числового множителя X, с формулой полученной ранее в работе А А Водяницкого с соавторами Анализ показал, что реализация описанного режима зарождения теплового пробоя возможна только при определенных значениях для параметров к , к , а а , для которых положительна величина
О 1 1 ' о
0*--
к„ ,
Равенство нулю выражения в правой части является уравнением для определения температуры 7* - порога зарождения теплового пробоя, те
тепловой пробой возможен только в том случае, когда температура теплового фона Т0 достигнет пороговой величины Т*
Кроме ограничения по величине температуры теплового фона, при которой происходит тепловой пробой, анализ системы (5),(6) показал, что, для реализации теплового пробоя, имеется ограничение по амплитуде тепловых флуктуаций, на которых зарождаются микроплазменные каналы Эта амплитуда в^ и радиус г0 затравочных температурных всплесков должны удовлетворять следующему условию
г'« 2- 2 К<
При подстановке характерных значений в это выражение получаются значения для в0 ~ 10К, который соответствуют известным измерениям по измерению всплесков температуры на полупроводниковых р-п переходах. Эти всплески неустранимы Они связаны с процессом приготовления пленки и образованию в ней линейных дислокаций, в области которых и происходит повышение температуры Система (5), (6) позволяет вычислить время пробоя те то время, за которое температура в канале достигает
температуры плавления материала, из которого изготовлена плёнка Это время дается следующей формулой
й. (Ю)
В третьей и четвертой главах диссертации тепловой пробой пленки изучался на основе подхода, который является более точным, по сравнению с термодинамическим подходом, развитым во второй главе Этот подход основан на эволюционном уравнении для пространственного распределения температуры Т (х, 0 в пленке полупроводника, которым является нелинейное уравнение теплопроводности с самосогласованным, распределенным по образцу источником, описывающем выделение джоулева тепла в каждой точке х в момент времени 1, в зависимости от значения температуры Т (х, пространственно-временная зависимость этого источника самосогласованна с мгновенным распределением температуры Т (х, на пленке, при наличии нелинейной зависимости коэффициента электропроводности ст(Т) материала от температуры Т В этом уравнении учтено также влияние на динамику теплового пробоя наличия внешней, по отношению к полупроводниковой пленке, электрической цепи Это влияние может оказаться настолько существенным, что может привести к стабилизации тепловой неустойчивости и, как следствие, предотвращению пробоя Эволюционное уравнение имеет следующий вид
срТ=Ч(к(Т)УТ)+Ег(1)а(Т(х, I)), ПI)
-1
E(t)=E
l+<£rS)-1 jcr(T(x',i ))dx'
(12)
Е = e/d, где е — электродвижущая сила, которая считается постоянной, d -толщина пленки, параметр а является характеристикой внешней цепи
a=d / RS,
где R - сопротивление активной нагрузки в цепи, S - площадь плёнки Выражение (12) находится на основе закона Кирхгофа e = I(t)R + E(t)d, (13)
и закона Ома
I(t)=E(t)fc(T(x,t))d (\А)
х
Теплоемкость с(Т), в рассматриваемых в диссертации полупроводниковых материалах, изменяется намного медленнее, в рабочем диапазоне температур, чем коэффициент теплопроводности к(Т) Поэтому в уравнении (11), она полагалась постоянной с = const. Учет зависимости E(t) оказывается существенным для описания эффекта переброски падения напряжения в результате пробоя на активную нагрузку, имеющуюся в цепи Благодаря этому эффекту, в процессе развития пробоя, происходит конкуренция в отборе мощности от протекающего тока между различными микроплазменными каналами
В третьей главе показано, что тепловая неустойчивость, связанная с наличием положительной обратной связи в уравнении (9), которая раскачивает малые тепловые неоднородности в распределении температуры, в случае линейной зависимости электропроводности сг(Т) от температуры и постоянства теплопроводности к (так называемая линейная теория) не может описывать динамику теплового пробоя Это связано с тем, что амплитуда ¡ = т(х,1 )-гРешений уравнения (11), которая определяется
' о
формулой
( , \ г
ср(х-х')
в(х,1) = -У^ехЦ
— Г
ср '
1«
Ак\.
в(х',0 )<Х
(15)
увеличивается ~ tI/2 и, следовательно, такой нагрев компенсируется процессом теплопроводности при учете граничных условий теплоотвода
В четвертой главе анализировалась одномерная модель Эта модель получается из уравнения (11), в котором Е(1) = Е, что возможно в том случае, когда величина а велика настолько, что знаменатель выражение в скобках в формуле (12) почти равно единице, что исключает режим стабилизации Кроме того, в (11) учтены только квадратичные члены по отклонениям
(Щ
срв(\Л) = кА0(х, г>+*■/V, в(х г+Е2(0
Уравнение (16) описывает распределение температуры на стадии зарождения пробоя Изучались решения этого уравнения в одномерном случае,
срв(х,0= к(Ч,в(х,г)Ув(х,1))+ав(х,1)+р@г(хл) (\7)
В'а.
кг,
А=-Ц а—-Ц/»=
ср ср 1с р
без учёта постоянной части коэффициента теплопроводности, так как это слагаемое не оказывает существенного влияния на формирование микроплазменных каналов Решения этого уравнения обладают т н обострением режима, те достигают бесконечных значений за конечное время Это время оценивалось на основе тн эталонных решений © (х,г),
равных
(х,()=а (1)+Ь соь(1лх/ ),
при 0 (х() у. о и нулю в противном случае, где
г* =
2 к
(Ы)
Эти эталонные решения, с точностью до численного множителя, локализованы на той же критической длине £ которая была получена во
второй главе, в рамках неравновесной термодинамики На основе эталонных решений, было вычислено время пробоя ( , которое совпало с временем
пробоя, найденным во второй главе в рамках термодинамической теории
В пятой главе диссертации изучается статистический ансамбль большого числа N флуктуаций распределения температуры, на которых зарождается тепловой пробой В этой главе вычислено асимптотически точное распределение вероятностей для случайного числа й таких микроплазменных каналов, которые доступны наблюдению, посредством регистрации свечения их выходов на плоскость плёнки Вычисление произведено на основе динамической модели введенной во второй главе При этом эволюция размеров каналов не учитывалась, а их радиусы сразу полагались равными критической величине В этом случае, динамическая система, описывающая эволюцию во времени набора всплесков температуры в /=1,2, , N на пленке, имеет вид
с р0,(1) =-^0,(1)+ ^(1)0,(0,1=1,2, (19)
Е(1)=Е
(О
(20)
(а0+сг)3
Эти уравнения описывают кинетику системы сформировавшихся тепловых каналов в тонкой полупроводниковой плёнке При этом ограничение линейной зависимостью электропроводности и постоянной теплопроводностью в этой системе уравнений оказывается достаточным в условиях уже образованной системы микроплазменных каналов при наличии стабилизации динамического режима Начальные условия для этой системы полагались случайными, независимыми, одинаково распределёнными величинами с плотностью распределения
Г(в)=в^гхр(-4/в0), (21)
где в - средняя величина амплитуды флуктуаций такая, что# /ш Здесь
о о *
введена температура зажигания , при которой микроплазменный канал
начинает светиться Она определяется возможностями наблюдения Динамическая система точно интегрируется, а затем, на основе этих решений, зависящих от случайных начальных данных, вычисляется распределение вероятностей для случайного числа я микроплазменных каналов, температура которых превзошла, в режиме стабилизации пробоя, температуру зажигания Эта вероятность р (п), определяется выражением
®*Г .
О и=1 Дг=1
Х\х(®*-@т(«>)) (22)
)^т=п+1 )
где N — полное число затравочных температурных всплесков на пленке, из которых возникают тепловые каналы, которое мы связываем с числом дислокаций на пленке В формуле (22), %() - функции Хевисайда и ©/оо;,/=1,2, ,ы - предельные точки траекторий динамической системы (19) при ¿->со, в условиях, когда произошла стабилизация динамического режима Такая стабилизация возможна, если температура Тт=Т0+в стабилизации не превосходит температуру плавления материала Она определяется параметрами материала и величиной внешнего активного сопротивления II,
= (23)
2к-. _ а Е2
А=-
В=-
ср(г1 ср(\ + ао/а)г
Интеграл (22) вычислялся методом перевала в пределе Это
осуществлялось следующим образом Записывалось соответствующее интегральное представление для производящей функции Ры(г) распределения вероятностей,
Л- *.( *
о
¿<9, ае„
Предельная производящая функция имеет вид
Р^(г)=кт Р^(г)=ехр(м(г-\)),
где
-уИ _
(24)
1-е
При этом показатель у равен г =в*/0 При получении численных значений
полагалось N = 104см"2 В результате, было получено следующее предельное распределение вероятностей
Рг (и = п }=-ехр( -V ),
п I
которое является пуассоновским с показателем V
Изменяя параметры, определяющие показатель V, можно изменять его величину так, что наблюдаемое на эксперименте среднее число
микроплазменных каналов может изменяться в широких пределах от 1 до ~ 100. Это же распределение вероятностей описывает число проплавленных в результате пробоя каналов При этом необходимо положить &*=вте„=тши-тй
В заключении подводится итог проведенного исследования и даны основные выводы и развитой автором теории
Основные результаты и выводы:
В рамках развитой в диссертации нелинейной динамической теории теплового пробоя тонких плёнок полупроводникового материала с возрастающей температурной зависимостью теплопроводности, которые служат функциональными элементами электрической цепи постоянной ЭДС получены следующие результаты
- установлена независимость размера проплавляемых, в результате теплового пробоя каналов, от амплитуды и пространственного размера температурных неоднородностей, вызывающих пробой,
- универсальность размера проплавленных каналов не может быть объяснена в рамках линейной динамической модели развития теплового пробоя аморфной полупроводниковой пленки,
- существует температурный порог, при котором начинается развитие теплового пробоя,
- получено уравнение для определения, на основе известных температурных зависимостей к(Т) и а(Т), пороговой температуры, при которой возникает тепловой пробой,
- установлена зависимость пороговой температуры от параметров материала плёнки и параметров электрической цепи,
- найдено ограничение на амплитуду д и пространственный размер г^
неоднородностей температуры, при которых возникает тепловой пробой,
—установлена возможность предотвращения теплового пробоя посредством стабилизации динамического режима изменения амплитуд температурных неоднородностей,
- показано, что распределение вероятностей числа микроплазменных каналов, возникающих в пленке вследствие стабилизации режима, является пуассоновским,
- установлена зависимость показателя пуассоновского распределения от параметров плёнки и параметров электрической цепи,
- выведена формула для расчета диаметра каналов, проплавленных в результате теплового пробоя,
- получена формула для расчёта времени теплового пробоя
СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
1 Андреева Н В, Вирченко Ю П Качественный анализ эффекта теплового пробоя плёнок полупроводниковых материалов на основе теории бифуркации// Математические модели в образовании, науке и промышленности Сб науч трудов - СПб. Санкт-Петербургское отделение МАНВШ, 2003 -С 15-17.
2 Andreyeva N.V , Virchenko Yu Р Analysis of the mathematical model of semiconductor material thermal breakdown// Functional Materials - 2003 - Vol. 10 №4 _p 591-598
3 Андреева H В , Вирченко Ю.П. Анализ режима теплового пробоя полупроводниковых материалов на основе нелинейного уравнения теплопроводности// Научные ведомости Серия: Физико-математическая № 3 (20) -Вып 9 - Белгород 2004 - С 91-97
4 Andreyeva N V, Virchenko Yu Р Stabilization of thermel breakdown development in semiconductor films// Problems of atomic science and technology NASU, Kharkov, № 5, 2004, P 126-128
5 Andreeva N V , Virchenko Yu P Analysis of the secondary breakdown of semiconductor materials on the basis of the nonlinear thermal conductivity equation//Functional Materials -2005 - Vol. 12 -№2 -P 190-195
6 Андреева H В , Вирченко Ю П Анализ статистики мезоплазменных каналов в тонких пленках полупроводниковых материалов в режиме стабилизации теплового пробоя// Вестник Херсонского национального технического университета Вып 2(22) —Херсон ХНТУ, 2005 -С 18-21
7 Андреева Н В, Вирченко Ю П Статистика образования мезоплазменных каналов в тонких полупроводниковых пленках при стабилизации теплового пробоя// Письма в ЖТФ 2005 - Т 32 - Вып 5 - С 8-12
8 Андреева Н.В , Вирченко Ю П. Распределение вероятностей числа мезоплазменных каналов на полупроводниковой пленке// Десята мшнародна наукова конференцш шеш академика М Кравчука, 13-15 трав 2004р , Киш-Матерюпи конф. - К . Задруга, 2004. - С 564
9 Андреева Н В , Вирченко Ю П Оценки времени обострения режима в математической модели теплового пробоя// Воронежская зимняя школа -2004 - Воронеж ВорГУ, 2004 - С 6-8
10. Андреева Н В, Вирченко Ю.П К теории теплового пробоя полупроводниковых плёнок// Труды XVI Международной конференции по физике радиационных явлений и радиационному материаловедению -Алушта 2004 - Харьков ХФТИ, 2004. - С. 349.
11 Andreyeva N.V , Virchenko Yu.P The probability distribution of the mesoplasma channels number m semiconductor film at thermal breakdown regime// Bogolyubov Kyiv conference "Modern Problems of Mathematics and Theoretical Physiscs", Abstracts, Kyiv, 2004. - P 60
12. Andreyeva N.V, Virchenko Yu P. Dynamic system of mesoplasma channels generation on semiconductor film// The International Conference on Nonlinear Dynamics, Abstracts, Kharkov, "ХТУ Харьковский политехнический институт", 2004.-С. 11
13 Андреева Н В, Вирченко Ю П Статистика мезоплазменных каналов в тонких пленках в режиме стабилизации теплового пробоя// Сборник тезисов докладов III Всероссийской научно-технической конференции "Физические свойства металлов и сплавов" - Екатеринбург ГОУ ВПО "УГТУ-УПИ", 2005. - С 14-15
14 Андреева Н В, Вирченко Ю П Феноменологическая модель развития теплового пробоя в тонкой полупроводниковой плёнке// Сборник тезисов докладов IV Всероссийской научно-технической конференции "Физические свойства металлов и сплавов" - Екатеринбург ГОУ ВПО "УГТУ-УПИ", 2007 - С 12-13
Подписано в печать 2712 2007 Формат 60x84/16 Гарнитура Times Уел пл. 1,0 Тираж 100 экз Заказ 486 Оригинал-макет подготовлен и тиражирован в издательстве Белгородского государственного университета. 308015, г Белгород, ул Победы, 85
Введение
Глава 1. Феноменология теплового пробоя полупроводниковых материалов
1.1 Тепловой пробой в твёрдотельных материалах
1.2 Полупроводники и их физические свойства.
1.3 р-п переходы.
1.4 Тепловой пробой плёнок полупроводниковых материалов.
Глава 2. Термодинамический подход к описанию теплового пробоя полупроводниковых материалов
2.1 Макроскопическое описание теплового пробоя.
2.2 Термодинамика формирования теплового канала.
2.3 Неравновесная термодинамика зарождения теплового пробоя.
2.4 Выводы.
Глава 3. Динамическая теория возникновения теплового пробоя
3.1 Эволюционное уравнение для распределения температуры.
3.2 Математическое описание условий возникновения теплового пробоя.
3.3 Динамика теплового фона.
3.4 Эволюция теплового фона при постоянном напряжении
3.5 Линейная теория тепловой неустойчивости.
3.6 Выводы.
Глава 4. Нелинейная динамика теплового пробоя
4.1 Эволюционное уравнение для флуктуаций температуры.
4.2 Описание зарождения пробоя. Нелинейное уравнение теплопроводности
4.3 Одномерная модель.
4.4 Анализ динамической системы.
4.5 Локализация тепла и возникновение теплового пробоя.
4.6 Выводы.
Глава 5. Анализ статистики микроплазменных каналов в тонких плёнках полупроводниковых материалов в режиме стабилизации теплового пробоя
5.1 Статистическая система микроплазменных каналов
5.2 Динамика системы микроплазменных каналов.
5.3 Исследование динамической системы микроплазменных каналов.
5.4 Предельное распределение числа микроплазменных каналов.
5.5 Выводы.
Актуальность темы. Настоящая диссертационная работа посвящена теоретическому исследованию эффекта теплового пробоя в плёнках полупроводниковых материалов. Этот эффект возникает в процессе работы электронных приборов, в состав которых эти плёнки входят как составные элементы. Наше исследование, основано на феноменологическом подходе, т.е. используемая нами модель для описания динамики распределения температуры в плёнке формулируются в терминах макроскопических величин и не связаны с изучением кинетики электронов и дырок на основе микроскопического гамильтониана, учитывающего их взаимодействие с кристаллической решёткой. Основная идея такого подхода, сформулировать динамическое уравнение для распределения температуры в плёнке, учитывающее наличие источника джоулева тепла и влияние внешней, по отношению к плёнке, электрической цепи, а, затем, провести исследование динамического режима, приводящего к возникновению пробоя, на основе этого уравнения. Анализ показывает, что указанное динамическое уравнение должно быть обязательно нелинейным, ввиду того, что на основе его решений, приходится описывать физический эффект, связанный с качественными изменениями в системе. Описанный подход, однако, не является новым. Он был предложен ранее в работах [89] - [91]. Новым в диссертационной работе является такое видоизменение базовой модели указанных работ, которое допускает относительно простой математический анализ. Оно основано на представлениях неравновесной термодинамики. Предложенная в диссертации модель позволяет получить теоретически такие физические следствия, которые остались неисследованными в работах.
Важность теоретического изучения явления теплового пробоя связано с его деструктивным проявлением при функционировании электронных приборов. При разработке таких приборов возникает проблема определения области параметров их безопасной работы. Одной из основных причин отказа приборов, ограничивающей возможные рабочие значения параметров как раз и является эффект теплового пробоя. Наличие этого эффекта, вот уже в течение нескольких десятилетий, оказывает сильнейшее влияние на развитие полупроводниковой микроэлектроники. Несмотря на накопленный обширный экспериментальный материал относительно явления теплового пробоя в полупроводниковых легированных и полуизолирующих материалах, а также опыт борьбы с этим эффектом [61], к настоящему времени имеются проблемы в его теоретическом описании с целью объяснения не понятых до настоящего времени, связанных с ним экспериментально наблюдаемых явлений.
Тепловой пробой был обнаружен в 1948 г. при отказах в работе и выходе их из строя полупроводниковых диодов, и описан впервые в работе [72]. Спустя десять лет аналогичное явление было обнаружено также при работе транзисторов. [88]. К моменту экспериментального наблюдения явления теплового пробоя, был известен эффект резкого падения переменного напряжения при достаточно большом его обратном смещении (вторичном смещении), превышающем рабочий диапазон. Наблюдавшийся-выход из строя полупроводниковых приборов в результате возникновения теплового пробоя их элементов также сопровождался резким уменьшением падающего на них напряжения' при обратном смещении. В связи с чем, тепловой пробой получил в литературе несколько неудачное официальное название "вторичного пробоя" (secondary breakdown), принятое Международной электротехнической комиссией [81]. Однако, несмотря на внешнюю похожесть этих явлений - резкое уменьшение величины электрического напряжения, падающего на элемент цепи, в состав которого входит плёнка полупроводникового материала, позднее было выяснено, что явление вторичного пробоя характеризуется не пробоем плёнки в буквальном смысле, как это имеет место в слое диэлектрика, к которому приложено напряжение, а интенсивным локальным разогревом и последующим проплавлением в плёнке каналов [84]. Поэтому, в настоящей работе, мы будем в основном пользоваться термином тепловой пробой и не прибегать к термину вторичный. В связи с появлением проплавленных каналов, естественно предположить, что возникновение теплового пробоя является результатом тепловой неустойчивости, которая проявляется вследствие роста электропроводности при увеличении температуры. Эта неустойчивость сопровождается т.н. файламентацией тока, которая представляет собой перестройку режима его протекания, пространственно однородного вдоль плоскости плёнки, в режим сосредоточения тока в тонких пронизывающих плёнку каналах. Заметим, что в русскоязычной литературе часто употребляется, в отношении этого эффекта, неудачный термин шнурование тока, что приводит к смешению его с другим эффектом - т.н. пинч-эффектом, возникающем в проводящей среде. Неустойчивости, сопровождающиеся файламентацией тока были обнаружены в образцах полупроводниковых материалов - Ge, Si, GaAs, безотносительно к их использованию в виде элементов электронных приборов [79], [69],[80]. Заметим, что при такой неустойчивости в указанных материалах наблюдается S-образная вольт-амперной характеристика [61],[22]. Наряду с концепцией о тепловой неустойчивости появились микроскопические теоретические модели для объяснения явления теплового пробоя. Из наиболее ранних работ, мы упомянем теорию монополярного режима инжекции носителей [46]. Возникла также теория режима с двойной инжекцией носителей [48], [71], где фактором, с которым связывается зарождение шнура тока, являются флуктуации уровня легирования, проявляющиеся при наличии градиента концентрации компенсирующей примеси (см., также [31], в которой анализируется возникновение, в результате двойной инжекции, области сильного электрического поля в тиристорных структурах при сверхбольших плотностях тока). Упомянем также об известной одномерной модели [51], [77], в которой локализация тепла в диодах и транзисторах связывается с наличием границы р — п перехода. Однако, как было указано выше, тепловой пробой имеет место не только в р — п переходах, но и в однородных по составу плёнках полуизолирующих материалах, и, поэтому, такое объяснение локализации тепла следует признать недостаточным. Не вдаваясь, далее, глубоко в критику имеющихся в настоящее время различных теоретических построений (см., например, [69],[46], [48], [51] - [87], [73]), на основе которых делаются попытки объяснения эффекта вторичного прибоя и обработки имеющихся экспериментальных данных, укажем, что они также, по нашему мнению, являются недостаточными, прежде всего, вследствие качественного несоответствия - невозможности теоретического выявления причин, вызывающих локализацию тепла.
Таким образом, следует признать, что, несмотря на большой экспериментальный материал по измерению вольтамперных характеристик в предпробойной и послепробойной стадиях [46], [48], [70], [71], [78], [74], [75], [68] при возникновении теплового пробоя, до самого последнего времени оставалась неисследованной ни микроскопическая природа тепловых не-однородностей, которые являются затравочным возмущением при возникновении тепловой неустойчивости, ни нелинейный эволюционный режим развития тепловых возмущений. С целью преодоления указанных трудностей построения, теории теплового пробоя, в работах [89] - [91] был предложен подход к изучению этого явления, основанный только на макроскопических понятиях - распределения температуры и плотности суммарного тока электронов и дырок. Это обстоятельство кардинально отличает такой подход от предшествующих теоретических построений. Обычно считалось, что, в связи с микроскопической природой флуктуаций, инициирующих тепловой пробой, адекватным подходом для описания зарождения пробоя должен быть именно микроскопический подход на основе кинетического описания ансамбля электронов и дырок. Идея исследования режима развития теплового пробоя в плёнке полупроводникового материала, в рамках макроскопического описания эволюции распределения температуры по плоскости плёнки на основе нелинейного уравнения теплопроводности с распределённым по ней самосогласованным образом источником джоулева тепла была предложена в работах [89] - [91]. В этих работах было введено понятие о фундаментальной длине — характерной величине размерности длины, которая связывается с размерами проплавленных, в результате пробоя, каналов, были проанализированы физические причины, вызывающие локализацию тепла, а также, была исследована, в рамках одномерной модели, стадия зарождения пробоя, которая оказалась качественно аналогичной т.н. LS-режимам [52], обнаруженным в решениях одномерных нелинейных уравнений теплопроводности с самосогласованно распределённым источником.
Следует отметить, что уравнение теплопроводности с распределённым самосогласованным источником тепла с нелинейно возрастающей зависимостью от температуры электропроводности материала было впервые использовано В.А.Фоком, в связи с построением им теории теплового пробоя диэлектриков [58], [76]. Однако, условия, при которых производился анализ этого уравнения - постоянство теплопроводности материала, не могут приводить к локализации тепла и, поэтому, его теория не может быть автоматически перенесена для описания'теплового пробоя полупроводниковых плёнок. Это связано с тем физическим положением, что в диэлектриках, электрические токи чрезвычайно малы и не могут приводить к такому достаточно быстрому выделению джоулева тепла, при котором происходит его локализация и зарождение тепловых каналов. Пробой диэлектриков,, который происходит при достаточно больших электрических перенапряжениях, превосходящих электрическую прочность материала, развивается лавинообразно [24] и приводит к образованию структурых повреждений в образце материала без его расплавления Влияние изменения распределения температуры в диэлектрической плёнке на возможность развития пробоя состоит в том, что её повышение уменьшает электрическую прочность материала.
Таким образом, следуя работам [89] - [91], теоретическое исследование эффекта теплового.пробоя,в настоящей работе основано на подходе, который мы называем феноменологическим или макроскопическим. Наряду с имеющимися в цитируемых работах несомненными достижениями, остались нерешёнными многие вопросы теории. Во-первых, не была развита количественная теория, базирующаяся на реалистической (а не академической модели) и, во-вторых, не были объяснены качественно, а тем более, обоснованные количественными расчётами некоторые эффекты, сопровождающие тепловой пробой. Это касается, прежде всего, явлений переброса напряжения" в результате пробоя и стабилизации режима пробоя, когда, несмотря на возникновение предпробойного состояния, этот эффект не реализуется, а напротив, в результате такой стабилизации, на плёнке материала возникает статистический ансамбль микроплазменных каналов. Не были найдены физически обоснованные критерии на внешние параметры, при которых возникает пробой.такие как пороговая температура пробоя, пороговые значения амплитуды, пространственного размера и плотности тепловых флуктуаций, на которых зарождается пробой и т.д. Настоящая работа посвящена решению именно этих вопросов. В то же время, работа не претендует на построение всеобъемлющей теории теплового пробоя полупроводниковых плёнок при всевозможных типах их тепловых и электрических характеристик. Нами существенно используется возрастающий тип температурной зависимости теплопроводности. Это положение характерно для полупроводниковых материалов в аморфном состоянии. В частности, достоверные экспериментальн определённые зависимости такого рода для соединений АэгЗез, A.S2S3 в аморфном состоянии.
Цель работы: Построение нелинейной динамической теории теплового пробоя полупроводниковой плёнки, которая изготовлена из аморфного полупроводникового материала, обладающего возрастающей температурной зависимостью теплопроводности и входит в состав электрической цепи с постоянной ЭДС.
Задачи исследования: Исходя из вышеуказанной цели исследования, в диссертации решались следующие задачи теоретического описания явления теплового пробоя.
1. Построить, в рамках неравновесной термодинамики, адекватную нелинейную динамическую модель, позволяющую теоретически описывать развитие теплового пробоя и создать, на её основе, метод вычисления экспериментально измеряемых характеристик теплового пробоя полупроводниковой пленки, включенной в состав электрической цепи с постоянной ЭДС.
2. На основе построенной модели, произвести анализ физического механизма зарождения теплового пробоя, в случае, когда плёнка изготовлена из материала с возрастающей температурной зависимостью теплопроводности, с целью определения области значений физических параметров плёнки и электрической цепи, при которых возникает динамический режим пробоя. t ,
3. На основе проведенного анализа, найти расчётные формулы для экспериментально измеряемых физических величин, характеризующих тепловой пробой - времени развития пробоя, размера проплавленных, в результате пробоя, каналов.
4. Выявить физические условия, приводящие, в условиях стабилизации неустойчивости динамического режима и предотвращения теплового пробоя, к статистически различному поведению ансамбля микроплазv * менных каналов в плёнке полупроводникового материала, которые вызваны эффектом локализации тепла. Определить распределение вероятностей случайного числа этих микроплазменных каналов.
Научная новизна. В результате исследования теплового пробоя в тонких плёнках, изготовленных из полупроводникового материала, была
1 * создана нелинейная динамическая теория этого эффекта на основе представлений неравновесной термодинамики. В рамках развитой теории было установлено следующее.
1. В плёнке полупроводникового материала с возрастающей температурной зависимостью, которая характерна для материалов в аморфном состоянии, в результате теплового пробоя, происходит образование проплавленных каналов с радиусом, величина которого не зависит от амплитуды и пространственного размера температурных неоднород-ностей, вызывающих пробой.
2. Универсальность размера проплавленных каналов не может быть объяснена в рамках линейной динамической модели развития теплового пробоя аморфной полупроводниковой плёнки.
3. Эффект пробоя имеет пороговый характер по температуре, т.е. его развитие на плёнке' начинается только по достижению средней температурой плёнки определённой величины, которая определяется параметрами материала плёнки и параметрами электрической цепи. Установлено уравнение, на основе которого эта пороговая температура может быть вычислена для рассматриваемых в диссертации экспериментальных условий.
4. При достижении средней температуры плёнки порогового значения, пробой зарождается только на тех температурных неоднородностях, амплитуда 0ц и пространственный размер го которых удовлетворяют определённому "ограничению. В диссертации это ограничение получено в виде неравенства, которому должны удовлетворять Oq и го.
5. При определённых значениях параметров плёнки и электрической цепи,, возможна стабилизация неустойчивости динамического режима, в результате которой тепловой пробой не реализуется, а на плёнке образуются микроплазменные каналы. Это происходит в том случае, когда температура стабилизации, определяемая в диссертации на основе параметров плёнки и электрической цепи, не превосходит температуры плавления материала.
6. В условиях стабилизации динамического режима число наблюдаемых микроплазменных каналов случайно. В диссертации показано, что распределение вероятностей этого числа является пуассоновским с показателем, величина которого выражается через параметры плёнки и электрической цепи и может изменяться в широких пределах.
7. В рамках модели, предложенной в диссертации, найдены формулы для расчета диаметра каналов в плёнке аморфного полупроводникового материала, проплавленных' в результате теплового пробоя. Получена формула для расчёта'времени теплового пробоя.
Теоретическая и практическая значимость. Теоретическое и практическое значение полученных результатов обуславливается тем, что разработанные теоретические методы позволяют проводить, в рамках базовых представлений теоретической физики, математическое моделирование явления теплового пробоя в средах с различными физическими свойствами-и давать предсказания о поведении полупроводниковых плёнок,, входящих в состав электронных приборов, при приложении к ним внешнего электрического напряжения, в различных температурных режимах.
Положения, выносимые на защиту.
1. Метод вычисления, на основе температурных зависимостей коэффициентов электропроводности сг(Т) и теплопроводности х(Т), экспериментально измеряемых характеристик теплового пробоя полупроводниковой пленки, включенной В: состав электрической цепи с постоянной ЭДС: пороговой температуры, ограничения на средний пространственный размер и среднюю величину температурных неоднороднос-тей, при которых зарождается тепловой пробой; диаметра проплавленных каналов; времени пробоя;
2. Распределение вероятностей для случайного числа светящихся микроплазменных., каналов в плёнке полупроводникового материала в аморфном состоянии, включенной в состав электрической цешгс постоянной ЭДС, при стабилизации в ней неустойчивости, которая вызвана эффектом локализации тепла.
3. Формулу, для расчета диаметра каналов, проплавленных в ^результате теплового пробоя в пленке, находящейся в составе электрической цепи при постоянной ЭДС и изготовленной из полупроводникового материала в аморфном состоянии, который обладает возрастающей зависимостью теплопроводности от температуры.
4. Формулу для вычисления; времени теплового пробоя полупроводниковой пленки, которая является функциональным элементом электрической цепи с постоянной ЭДС и выполнена из полупроводникового материала в аморфном состоянии, обладающего возрастающей; зависимостью теплопроводности от температуры.
Апробация работы. Материалы, включенные в^диссертацию^ опубликованы в в: девяти печатных научных работах автора совместно с научным руководителем и в материалах семи международных и всероссийских научно-технических конференций. Они вышли из печати на протяжении 2003-2007гг. и представлены в общем< списке литературных источников, на которые имеются ссылки в диссертации. Материалы работы докладывались и обсуждались на: ;
1. VI международной конференции по математическому моделированию, г.Херсон, 9-14 сентября 2003г.
2. Воронежской зимней математической школе, г.Воронеж, 23-28 января 2004г.
3. Десятой международной научной конференции им. акад. М.Кравчука, г.Киев (Украина), 13-15 мая 2004г.
4. XVI Международная конференция по физике радиационных, явлений и радиационному материаловедению, г. Алушта (Украина),б-11 сентября 2004г.
5. Киевская Боголюбовская конференция "Современные проблемы математики и теоретической физики", г. Киев (Украина), 13-16 сентября 2004г.
6. Международная конференция по нелинейной динамике, г. Харьков (Украина), 14-16 сентября 2004г.
7. VII Международной конференции по математическому моделированию, г.Феодосия, 5-10 сентября 2005г.
8. III Российская научно-техническая конференция "Физическая свойства металлов и сплавов", г. Екатеринбург, 16-19 ноября 2005г.
9. IV Российская научно-техническая конференция "Физическая свойства металлов и сплавов", г. Екатеринбург, 21-22 ноября 2007г.
Структура и содержание работы. Диссертация состоит из настоящего введения, четырёх глав, заключения, списка литературы, который содержит 96 наименований. Каждая глава состоит из разделов.
В каждой главе и в каждом разделе принята своя нумерация формул. Таким образом, нумерация их является тройной: первая цифра указывает на номер главы, вторая на номер раздела, третья на номер формулы в пределах главы и раздела, указанных первыми двумя цифрами. Однако при ссылках на формулы в пределах текущей главы первая цифра опускается, точно также как при ссылках в пределах текущего раздела опускаются две первых цифры.
Ссылки на литературу даны заключенными в квадратные скобки номерами соответствующих литературных источников в приложенном в конце диссертации списке. В этом списке указаны только те источники, на которые даются ссылки в тексте. Нумерация литературных ссылок построена в алфавитном порядке.
Мы придерживаемся в работе единой для всего текста системы обозначений. Принципы ее построения приводится в отдельном списке.
Для удобства чтения работы, формулировки некоторых полученных в диссертации результатов, а также даваемые по ходу изложения точные определения понятий выделены наклонным шрифтом.
Первая глава посвящена введению в проблему теоретического изучения эффекта теплового пробоя полупроводниковых плёнок, постановке возникающих, в рамках этой проблематики, задач. В этой главе, даётся феноменологическое описание эффекта теплового пробоя.
Во второй главе развивается подход к исследованию явления теплового пробоя плёнок полупроводниковых материалов на основе методов неравновесной термодинамики. Bi рамках такого подхода в этой главе получены формулы: для времени пробоя диаметра проплавленных каналов 2г*; даются доказательства:-универсальности величины ?%, существования; пороговой; температуры Т*;для^;возникновения эффекта пробоя; а также, выводится; у равнение для температуры Т* и даётся критерий для амплитуды тепловых:флуктуаций в:плёнке и их пространственных размеров, при которых зарождается; пробой:.
В третьей главе исследуется» динамическое уравнение для пространственного. распределения! температуры в плёнке полупроводникового материала, описывающего зарождение;, развитие и стабилизацию теплового пробоя- Эта уравнение было получено в! более ранних работах [89]-[93]. Новым результатом в этой главе является доказательство того, что в рамках линейной теории, основанной на линейном уравнении теплопроводности с распределённым самосогласованным источником тепла невозможно построить теорию теплового пробоя, объясняющую экспериментальные факты.
Четвёртая глава также основана на идеях указанных работ. Новым в этой главе является вывод формулы для времени пробоя находящейся в согласии с формулой; получаемой в рамках неравновесной термодинамики.
В пятой главе изучается статистический ансамбль тепловых флуктуаций, на которых зарождается тепловой пробой. Доказывается возможность стабилизации режима пробоя и образования долгоживущих микроплазменных каналов. В рамках простейшей модели, вычислено распределение вероятностей для случайного числа светящихся микроплазменных каналов, которые возникают из температурных неоднородностей на плёнке.
В заключении подведены итоги проведенному в диссертации исследованию.
I Феноменология теплового пробоя полупроводниковых материалов
В этом разделе мы дадим введение в проблему теоретического описания теплового электрического пробоя плёнок твердотельных материалов. Этот эффект наблюдается в различных формах, при всех типах реакции веществ на воздействие внешнего электрического поля. А именно, он имеет место в диэлектриках, полупроводниках, полуметаллах и даже в металлах. Эффект теплового пробоя представляет собой быстро протекающий кинетический процесс, переводящий образец материала в качественно иное состояние. Его можно рассматривать как процесс деградации материала, т.е. преобразования, которое переводит материал в другой, с характеристиками, находящимися за пределами функционально полезной области значений. Мы даём, сначала, в общих чертах, описание объекта исследования, вводим основные понятия, на которых основана настоящая работа. Затем, даётся постановка теоретической задачи, связанной с изучением эффекта теплового пробоя и описывается состояние проблемы теоретического исследования теплового пробоя в полупроводниках.
5.5 Выводы
Итак, в этой главе нами доказано, что:
- при определённых значениях параметров плёнки и электрической цепи, возможна стабилизация неустойчивости динамического режима, в результате которой тепловой пробой не реализуется, а на плёнке образуются микроплазменные каналы;
- это происходит в том случае, когда определённая в этой главе температура стабилизации не превосходит температуры плавления материала;
- доказано, что распределение вероятностей для случайного числа микроплазменных каналов, возникающих в условиях стабилизации, является пуассоновским, показатель которого (4.30) выражается в терминах физических параметров характеризующих экспериментальную ситуацию.
5.4.30)
Заключение
В работе построена феноменологическая теория зарождения и развития теплового пробоя в тонких плёнках полупроводниковых материалов. В рамках этой теории сформулировано динамическое уравнение, решения которого, с качественной точки зрения, описывают эффект теплового пробоя в плёнке полупроводникового материала, включённой в состав электрической цепи с постоянной ЭДС. В частности, подход, положенный в основу этой теории, позволил выявить физический механизм эффекта теплового пробоя и механизм его стабилизации, обнаружить пороговый характер эффекта теплового пробоя. Обнаружено, что тепловой пробой связан с локализацией тепла, которая является существенно нелинейным эффектом. Она приводит к ограничению на размер образующихся, в результате выделения джоулева тепла, тепловых каналов, которое принципиально не может иметь место в линейной динамике развития неустойчивости про* * " ' * v"" » v г* '» странственно неоднородного распределения температуры в плёнке.
Для материалов, обладающих возрастающей температурной зависимостью теплопроводности, которая характерна для материалов в аморфном состоянии, в рамках развитого в диссертации подхода удалось вычислить основные экспериментально измеряемые физические величины, связанные s . ' > с эффектом пробоя, связать их с физическими величинами, характеризующими полупроводниковые материалы, прежде всего с особенностями температурных зависимостей теплопроводности и электропроводности. В диссертации изложены как новые результаты, полученные в работах автора совместно с научным руководителем [5]-[12], [63]-[67], так и дано методически усовершенствованное изложение результатов, полученных ранее [26], [89]-[94].
Существенным достижением работы является постановка и решение задачи о поведении статистически большого ансамбля N слабо взаимодействующих, в процессе развития пробоя или при стабилизации динамического режима, температурных неоднородностей. Тот факт, что возникаюi "i i ' , 1 ' i ■ ) "> ( м" j < ,1 i i, i • .v щее при этом распределение случайного числа микроплазменных каналов на плёнке является пуассоновским, не является удивительным, ввиду слабости взаимодействия между каналами и, как следствие, их статистической независимости в пределе N —> со. Однако, найденная в диссертации зависимость показателя пуассоновского распределения от параметров, характеризующих создавшуюся физическую ситуацию, позволяет подойти к объяснению имеющихся экспериментальных статистических данных по образованию микроплазменных каналов в плёнке полупроводникового материала в различных динамических режимах.
1. Абдуллаев Н.А., Алджанов М.А., Керимова Э.М. Теплопроводность слоистых полупроводников GaS и GaSe// ФТТ. 2002. - Т.44.-Вып.2. - С.213-214.
2. Алжданов М.А., Наджафзаде М.Д., Сеидов З.Ю. Теплопроводность сульфида галлия// Физика твёрдого тела. 1999. - Т.41. - №1. -С.24-25. ' "
3. Андреева Н.В., Лазарькова А.В., Трансляция на ИК лучах// Сб.студ. научных работ. Вып.6. Белгород: БелГУ, 2003. - ч.1. - С.49-51.
4. Андреева Н.В., Лазарькова А.В., Трансляция на ИК лучах// Сб.студ. научных работ. Вып.5. Белгород: БелГУ, 2001. - ч.1. - С.39.
5. Андреева Н.В., Вирченко Ю.П. Оценки времени обострения режима в математической модели теплового пробоя. Воронежская зимняя школа. Воронежский государственный университет. Воронеж. 2004. - С.6-8.
6. Андреева Н.В., Вирченко Ю.П. К теории теплового пробоя полупроводниковых плёнок.' Тр.1 XVPМеждународной конференции по физике радиационных явлений и радиационному материаловедению. Алушта 2004.- Харьков: ХФТИ. 2004. - С.349.
7. Андреева Н.В., Вирченко Ю.П. Анализ режима теплового пробоя полупроводниковых материалов на основе нелинейного уравнения теплопроводности. Научные ведомости, серия физико-математическая. -Белгород. 20041 - №3 - Вып.9(20). - С.91-97.
8. Андреева Н.В., Вирченко Ю.П. Распределение вероятностей числа мезоплазменных каналов на полупроводниковой плёнке. X международная научная конференция имени акад. М.Кравчука. Материалы конференции.- Киев 2004.- С.564.
9. Андреева Н.В., Вирченко Ю.П. Статистика образования мезоплазменных. каналов в тонких полупроводниковых плёнках при стабилизации теплового пробоя// Письма в ЖТФ. 2006. - Т.32. - Вып.5. -С.8-12.
10. Ансельм А.И. Введение в теорию полупроводников. М.: Наука, 1982.- 580 с.
11. Ахиезер А.И., Пелетминский С.В. Методы статистической физики. -М.: Наука, 1977. 368 с.
12. Баранский П.И., Клочков В.П., Потыкевич И.В. Полупроводниковая электроника. Свойства материалов. Справочник. К.: Наукова думка, 1975. - 704 с.
13. Батавин В.В. Оценка роли эффекта перераспределения примесей вблизи частицы Si02 в возникновении микроплазменного пробоя р-п-переходов в кремнии// Физика и Техника Полупроводников. 1970.- Т.4. №10. - С.1943-1946.j t , . . .
14. Берченко Н.Н., Кревс В.Е., Средин В.Г. Полупроводниковые твёрдые растворы и их применение: Справочные таблицы. М.: Воениздат, 1982. - 208 с.
15. Богородицкий Н.П. и др. Электротехнические материалы. Издание шестое, переработанное. Л.: Энергия, 1977. - 352 с.j
16. Бонч-Бруевич В.JI., Калашников С.Г. Физика полупроводников. М.: Наука, 1977. - 672 с.
17. Брагин С.М., Вальтер А.К., Семёнов Н.Н. Теория и практика диэлектрического пробоя. М.: Госиздат, 1929. - 280 с.
18. Бузников Н.А., Пухов А.А. Микроволновой пробой высокотемпературной сверхпроводящей плёнки, инициированный тепловыми возмущениями и дефектами// ЖТФ. 1999. - Т.69. - Вып.5. - С.52-59.
19. Бурцев Э.Ф., Грехов И.В., Крюкова Н.Н. Локализация тока в кремниевых диодах при большой плотности прямого тока// Физика и Техника Полупроводников. 1970. - Т.4. - Вып.10. - С.1955-1962.
20. Быков Ю.А., Карпухин С.Д., Газукина Е.И. О некоторых особенностях структуры и свойств металлических "тонких" плёнок// МиТОМ.- 2000. №6. - С.45-47.
21. Вершинин Ю.Н. Электронно-тепловые детонационные процессы при электрическом пробое твёрдых диэлектриков. Екатеринбург: УрО РАН, 2000. - 342 с.
22. Викулин И.М., Стафеев В.И. Физика полупроводниковых приборов.- М.: Сов. радио, 1980. 220 с.
23. Вирченко Ю.П., Водяницкий А.А. Синергетика вторичного теплового пробоя/1/1 Современные* проблемы статистической физики. Сб. докладов. Харьков, 1991. С.41-42.
24. Водяницкий А.А. Кинетические диссипативные процессы и становление радиационной тепловой структуры// Современные проблемы статистической физики. Сб. докладов. Харьков, 1991. С.44-45.
25. Вольтер А.Иц>Худеев С.И. Анализ в классах разрывных функций и уравнения математической физики. М.: Наука, 1975. - 320 с.
26. Воробьев Г.А., Еханин С.Г., Несмелов Н.С. Электрический пробой твёрдых диэлектриков// Физика твёрдого тела. 2005. - Т.47. -Вып.6. - С.1048-1052.
27. Электротехнический справочник. В 4-х томах. Т1. Общие вопросы. Электротехнические материалы./Под ред. проф. МЭИ Герасимова В.Г. и др., 8-е изд. М.: МЭИ, 1995. - 682 с.
28. Горбатюк А.В., Панайотти И.Е. Возникновение домена сильного поля в тиристорных структурах при сверхвысоких плотностях тока// Письма в ЖТФ. 2003. - Т.29. - Вып.9. - С.35-41.
29. Грехов И.В., Серёжкин Ю.Н. Лавинный пробой р-п-перехода в полупроводниках. Л.: Энергия. Ленингр. отделение, 1980. - 152 с.
30. Физические величины. Справочник. Под ред. Григорьева И.С., Мей-лихова Е.З. М.: Энергоатомиздат. 1991, - 760 с.
31. Электротехнический справочник. Под ред. Грудинского П.Г. и др., 4-е изд. Т.1. Книга первая М.: Энергия, 1971. - 624 с.
32. Дирнлей Дж., Стоунхем А., Морган Д. Электрические явления в аморфных плёнках' окислов//' Успехи физических наук. 1974. -Т.112. - Вып.1. - С.83-128.
33. Дмитриев А.В., Евлюхин А.Б. Порог и вероятность ударной ионизации электронами в узкощелевых полупроводниках р-типа с.сильно вырожденными дырками// Физика твёрдого тела. 1997. - Т.39. -№2. - С.275-279.
34. Драбл Дж., Голдсмид Г. Теплопроводность полупроводников. Пер. с англ. М.: Издательство иностранной литературы, 1963. - 764 с.
35. Епифанов Г.И. Физические основы микроэлектроники М.: Советское радио, 1971. - 376 с.
36. Жузё В.П. Полупроводниковые материалы (Элементы- полупроводники). Вып. 17. Л.: Наука. Ленингр. отделение, 1957. - 484 с.
37. Забродский А.Г., Ионов А.Н., КорчажкинаР.Л., ШлимакИ.С. Проводимость сильно легированного и компенсированного германия// Физика и техника полупроводников. 1973. - Т.7. - Вып.10. - С.1914-1918.
38. Закревский В.А., Сударь Н.Т. Электрическое разрушение тонких полимерных плёнок//-Физика твёрдого тела, — 2005. Т.47. - Вып.5 -С.931-936.
39. Исаев М.Р., Муталибов Ш.Р. К вопросу о температурной зависимости характеристик,микроплазмы в р-п переходах// Физика и техника полупроводников. 1976. - Т'.Ю. - Вып.5. - С.154-158.
40. Коломиец Б.Т,,,Поясова. Л., Штоурач Л. // ФТТ. 1965. - Т.7.1. С.1588: " ' ' " .
41. Таблицы физических величин. Справочник под ред. И.К. Кикоина.-М.: Атомиздат, 1976. 1124 с.
42. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука; 1982.- 542-с.:
43. Ламперт М., Марк П. Инжекционные токи в твёрдых телах. М.:. Мир, 1977. 240 с.
44. Мае лов В. П., Данилов В.Г., Волосов К. А. Математическое- моделирование процессов тепломассопереноса. М.: Наука, 1987. - 420 с.
45. Милне А. Примеси. с глубокими: уровнями- в полупроводниках. М.: . Мир^ 1977; -;368^с: .
46. Оскотский В:С., Смирнов И.А. Дефекты в кристаллах и теплопроводность. М:: Наука, Ленинград, отделение. Л. 1972. - 160 с.
47. Пономарёв К.В., Коржавый П.А., Векилов Ю.Х. Распределение кремния по,подрешёткам в полупроводниковых соединениях A3 // ФТТ. 1997; - Т;39." - №2: - С.264-266.
48. Риккетс Л. У., Бриджес Дж.Э., Майлетта Дж., Электромагнитный импульс и методы защиты. М.: Атомиздат, 1979. - 324 с.
49. Самарский А.А., Галактионов В;А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. , Режимы с обострением, в задачах для квазилинейных: параболических уравнений. М.: Наука, 1987. - 388 с.
50. Смит Р. Полупроводники: Пер. с англ. М.: Мир, 1982. - 560 с.
51. Сохоминский^М'.С. Полупроводники. Л.: Наука. Ленингр. отделение, 1967. - 268 с. :
52. Физическая энциклопедия/ Гл. ред. A.M.,Прохоров, Т.1. М.: Советская энциклопедия,,1988. - 540 с.
53. Физическая энциклопедия/ Гл. ред. A.M. Прохоров; Т.4. М.: Большая Ерссийская:энциклопедия;,:1994:;-566 с. .
54. Физическая;энциклопедия/ Гл. ред. А.М: Прохоров- Т.5. М.: Большая* Российская-энциклопедия, 1996i - 548 с.
55. Фок В.А. К тепловой теоришэлектропробоя// Труды Ленинградской . физ-техн. лаборатории: 1928'; -■■№5L- C152i
56. Фридман Ay. Уравнения^с частными производными параболического типа;Миру. 1966^- 388 с./.
57. Цэндин К.Д., Лёбедев Э.А., Шмелькин А.Б;.Неустойчивости с S- и N-образнымшвольт-амперными характеристиками и фазовые переходы-в халькогенидных стеклообразных полупроводниках и полимерах//.
58. Физика^твёрдога.тгела;,-,'2005;.- Т:47.■.-Вып.З; С:42£-432;.
59. Цэндин К.Д.', Шмелькин: А.Б. Условия; предотвращения теплового. пробоя; полупроводниковых плёнок// Письма в ЖТФ. 2004. - Т.30. - Вып. 12;- С.86-94*. ;
60. Акустические кристаллы. Справочник/ Блистанов А.А., Бондаренко В.С., . Чкалова; B.Bi и др.; под. ред. М.П.Шаскольской: М.: Наука,
61. Г-'Т.ч П -Ч ; ",У Г.ДППГТГПЙ С . Ч-чг 1 м.-,:-.-;;. • u .
62. Главная редакция физикогматематическои литературы, 1982. 632 с.
63. Andreyeva N.V., Virchenko Yu. P. Analysis of the mathematical model of semiconductor material thermal, breakdown. Functional Materials. -2003:.-V.10. №4. - C.591-598.
64. Andreyeva N.V., Virchenko Yu.P. Dynamic system of mesoplasma channels generation on semiconductor film. The International Conference on Nonlinear Dynamics. Тезисы докладов. Харьков: "НТУ. Харьковский политехнический институт". - 2004. - С.11.
65. Andreyeva N.V., Virchenko Yu.P. Stabilization of thermel breakdown development in semiconductor films.Problems of atomic science and technology. NASU, Kharkov. 2004. - №5. - P.126-128.
66. Andreyeva N.V.,Virchenko Yu.P. Analysis of the secondary breakdown of semiconductor materials on the basis of the nonlinear thermal conductivity equation// Functional Materials. 2005. - V.12. - №2.- P.190-195.
67. Antinone R.J. How to prevent circuit zapping// IEEE Spectrum. 1987.- №4. P.34-38.
68. Ashley K.L., Milnes A.J. Doudle Injection in Deep-Lying Impurity Semiconductors // J.Appl.Phys. 1964. - V.35. - P.369.
69. Barnett A.M., Yensen H.A. Observation of Current Filaments in Semi-Insulating GaAs// Appl.Phys.Lett. 1968. - V.12. - P.341-343.
70. Barnett A.M., Milnes A.J. Filamentary Injection in Semi-Insulating Silicon // J. Appl. Phys. 1966. - V.37. - P.4215-4223.
71. Benzer, S.t High Inverse Voltage Germanium Rectitifiers// Journal Applied Physics. 1949. - V.20. - C.804-815.
72. Budenshtein P.P., Pontius D.H., Smith W.B.// U.S.Army Missile Command. Report RQ-TR-72-15. April 1972.
73. Day G.F.// IEEE Trans. 1966. - V.ED-13. - P.88. (пер. на рус.яз.: Дж.Дэй СВЧ-колебания в высокоомном GaAs// Новые методы полупроводниковой СВЧ-электроники. - М.: Мир. 1968. С.294-300)
74. English А.С. Physical Investigation of the Mesoplasma in Silicon. IEEE Trans. 1966. - V.ED-13. - №№8/9. - P.622-670.
75. Fock V.A. Die Warmetheorie des Durschlages// Arkhif fiir Elektrotechnik. 1927. - V.19. - S.71.
76. Flemming D.J. // IEEE Trans. 1971. - V.ED-18. - №2. - P.94-97.
77. Ferro A.P., Ghandhi S.K. Propertis of Gallium Arsenide Doubie-Injection Devices// Journal of Applied physics. 1971. - V.42. - №10. - C.4015.
78. Gerhard G.C., Yensen H.A.// J.Appl. Phys.Lett. 1964. - V.10. - P.333.
79. Holonyak N.Jr.// Proc. IRE. 1962. - V.50. - P.164.
80. IEEE Document 47 (Secretariat)// IEEE Trans. 1963. - V.86. - №2.
81. Ing S.W., Jr., Jensen H.A., and Stern B. GaAs p-si-n-negative resistance infrared emitting diode at liquid N2 and room temperatures// Applied physics letters. 1964. - V.4. - №9. - P.162-164.
82. Puritis Т., Volks D., Kaupuzs J. Pinch Effect in Silicon p-n Junction at Secondary Breakdown coming into Existence// Solid State-Electronics.- 1995. V.38. - №1. - P.258-260.
83. Special Issues on Second Breakdown. IEEE Trans. 1966. - V. ED-13.- №8/9. P.ll.
84. Stourac L., Vasko A., J.Srb, C.Musil, F. Strba // Czech.J.Phys. 1968. " - B18. - P.1067.
85. Stourac L., Kolomiec B.T., Silo V.P.// Czech.J.Phys. 1968. - B18. -P.92.' T
86. Sunshine R.A., Lampert M.A. //IEEE Trans. 1972. - V.ED-19. - №7.- P.104
87. Thornton C.I., Simmons C.D. A new high current mode of transis for operation// IRE Trans, on Electron Devices. 1958. - V.ED-5. - P.6-10.
88. Virchenko Yu.P., Vodyanitskii A.A. Semiconductors materials heat breakdown under action of the penetrating electromagnetic radiation.
89. General theory// Functional Materials. 1996. - V.3. - №1. - P.5-11.
90. Virchenko Yu.P., Vodyanitskii A.A. Semiconductors materials heat breakdown under action of the penetrating electromagnetic radiation.1.. One-dimensional model analysis// Functional Materials. 1996. -V.3. - №3.- P.312-319.
91. Virchenko Yu.P., Vodyanitskii A.A. Semiconductors materials heat breakdown under action of the penetrating electromagnetic radiation// Электромагнитные явления. 1998. - T.l. - №2. - P.239-253.
92. Virchenko Yu.P., Vodyanitskii A.A. Heat localization and formation of heat breakdown structure in semiconductor materials. I. Nonlinear model// Functional Materials. 2001. - V.8. - №3. - P.428- 434.
93. Virchenko Yu.P., Vodyanitskii A.A. Heat localization and formation of heat breakdown structure in semiconductor materials. II. Mathematical analysis of the model// Functional Materials. 2002. - V.9. - №4. -P.601-607.
94. Virchenko Yu.P., Vodyanitskii A.A. Heat localization and formation of heat breakdown structure in semiconductor materials. III. Analysis of the one-dimensional model// Functional Materials. 2004. - V.ll. - №2. -P.236-239.
95. Wagner K.W. Trans. American Inst. Electr. Engin. 1922. - V.41. -P.288.
96. White G.K., Woods S.B., Elford M.T. //Phys.Rev. 1958. - V.112. -P.lll.
