Нелинейная трансформация профилей и спектров акустических волн в неоднородной среде тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА

Физический факультет

На правах рукописи УДК 534.222

Гусев Владимир Андреевич

НЕЛИНЕЙНАЯ ТРАНСФОРМАЦИЯ ПРОФИЛЕЙ И СПЕКТРОВ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН В НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ

Специальность 01.04.06 - акустика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2005

Работа выполнена на кафедре акустики физического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова

Научный руководитель: Доктор физико-математических наук,

Руденко О.В.

Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук,

Чиркин A.C.

Доктор физико-математических наук, (

Куличков С.Н

Ведущая организация: Акустический институт

им. академика H.H. Андреева

Защита диссертации состоится «» 2005 года в 1С часов

на заседании Специализированного Совета Д.501.001.67 в МГУ им. Ломоносова по адресу: 119992, г. Москва, Ленинские горы, МГУ, физический факультет, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан « /_» C^V^j 2005 г.

Ученый секретарь Специализированного Совета Д.501.001.67 Кандидат физико-математических наук

А.Ф. Королев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Задачи, связанные с распространением широкополосных акустических сигналов, в том числе нелинейных волн, содержащих разрывы, привлекают в последнее время все большее внимание специалистов из различных областей прикладной и фундаментальной физики Такой интерес обусловлен новыми широкими возможностями, которые предоставляют нелинейные волны при исследовании свойств среды и диагностике материалов, в которых они распространяются, а также влиянием нелинейных эффектов на пространственные и временные характеристики волн большой амплитуды. При создании и использовании мощных источников звукового излучения необходимо учитывать влияние интенсивного звука на окружающую среду и предсказывать эволюцию профилей и спектров волн при распространении в неоднородной среде.

Среди наиболее важных с практической точки зрения задач нелинейной акустики можно отметить проблему звукового удара, а также применение интенсивного ультразвука в медицине. В этих задачах необходимо рассматривать распространение нелинейных акустических волн в неоднородных средах - это может быть стратифицированная или турбулентная атмосфера, или биологические ткани (тело человека). Нелинейная волна при прохождении, например, через неоднородную атмосферу испытывает фазовые и амплитудные искажения, которые приводят к образованию областей сжатия и разрежения, нежелательным областям фокусировок или смещению положения фокальной области. В результате жилые районы, вблизи которых используется сверхзвуковая авиация, становятся неблагоприятными для проживания. Нелинейные эффекты успешно применяются также при неразрушающем контроле и дефектоскопии, в задачах дальнего распространения звука в атмосфере и океане, открывая дополнительные возможности для восстановления распределения неоднородностей и расчета физических параметров среды на основе данных, полученных дистанционными методами.

К настоящему времени хорошо изучены нелинейные эффекты при распространении интенсивных акустических волн в однородных и одномерных средах. Однако большая часть име ется распространения

исходных гармонических сигналов, и задачи нелинейной дифракции для волн с широким частотным спектром остаются до конца не решенными. Неоднородность среды значительно повышает сложность решения задач нелинейной акустики. Накопление нелинейных эффектов теперь зависит от конкретной траектории, пройденной волной. Соответственно, усложняется пространственная структура волны, в изначально плоской волне разрывы образуются на разном расстоянии для различных лучей.

Основными подходами к решению подобных задач являются приближение нелинейной геометрической акустики и параболическое приближение Однако даже приближенные уравнения становятся сложными при описании неоднородной среды, так что нахождение точных аналитических решений представляет как самостоятельный ишерес, так и важно для проверки численных алгоритмов решения нелинейных уравнений. Необходимо отметить, что во многих задачах неоднородность является случайной, либо ее удобно рассматривать как случайную. В этих случаях математически задача сводится к решению нелинейных стохастических уравнений, что требует развития дополнительной теории. Цель работы.

• Исследование эволюции волнового фронта при распространении интенсивной волны в неоднородной среде, моделируемой фазовым экраном.

• Построение и анализ решения для широкополосного сигнала, распространяющегося в неоднородной среде; изучение трансформации профиля, спектра и амплитуды волны.

• Построение точного решения для непрерывно неоднородной среды и анализ влияния структуры неоднородности на поведение волны.

• Исследование статистических характеристик интенсивной волны при распространении в случайно-неоднородной среде.

• Использование метода среднего поля, приближения нормального шума и метода среднего профиля в задачах нелинейной акустики неоднородных сред.

• Вывод и решение приближенных уравнений нелинейной акустики дифрагирующих пучков и задач дифракции волны на случайном фазовом экране.

Научная новизна работы заключается в следующем:

Предложен новый способ решения уравнения эйконала для трехмерной неоднородной среды. Вводятся функции наклона луча, для которых получается система уравнений первого порядка типа простых волн. Такая система уравнений позволяет получить точное неявное аналитическое решение для среды с сосредоточенной в узком слое неоднородностью с произвольным поперечным распределением.

Используя построенное решение для эйконала, получено точное неявное решение для амплитуды нелинейной волны с произвольным временным и поперечным пространственным профилями после прохождения фазового экрана. Показано влияние фазовой модуляции на распространение нелинейных волн и искажение амплитудных характеристик в поперечном направлении.

Рассчитаны статистические характеристики волны, прошедшей через двумерный фазовый экран со случайной модуляцией. Найдена характеристическая функция и первые моменты распределения (в том числе среднее поле и среднеквадратичное значение) площади поперечного сечсния лучевой трубки. Рассчитана плотность вероятности для сечения трубки. Показано, что при увеличении расстояния от экрана ширина распределения растет, а максимум сдвигается в область меньших значений.

Рассчитана плотность вероятности наклонов лучей в произвольном сечении после случайного экрана, вычислены среднее давления и дисперсия Показано, что среднее давление убывает с ростом флуктуаций, в то же время дисперсия растет, что говорит о появлении выбросов больших амплитуд

Предложено точное решение двумерной и трехмерной задач для непрерывно неоднородной среды с периодическим распределением неоднородности в поперечном направлении. Найдено решение уравнения эйконала. Для решения уравнения переноса использованы два метода (характеристик и лучевых координат) и показана их эквивалентность. Второй метод позволяет свести уравнение к более простому, что значительно облегчает решение задачи.

Рассмотрены мелко- и крупномасштабные неоднородности (в зависимости от соотношения характерных масштабов в продольном и поперечном направлении); выявлены различия при распространении разных начальных волновых профилей. Мелкомасштабная неоднородность приводит к фокусировке и повышению амплитуды в локальной области вблизи своей локализации. Наибольшая фокусировка достигается для одиночного М-импульса. В то же время крупномасштабная фокусировка приводит к увеличению амплитуды в целом, так

что волна медленнее затухает на больших расстояниях При этом периодическая "пилообразная" волна затухает медленнее, чем одиночный импульс

При анализе применимости различных методов замыкания стохастических уравнений для акустического давления в волне, распространяющейся в случайной среде, показано, что из-за фазовых флуктуаций многие методы, хорошо себя зарекомендовавшие в линейных задачах, неудовлетворительно описывают нелинейные волны. Для правильного описания необходимо сначала исключить фазовые флуктуации, и затем уже к преобразованному уравнению применять асимптотические методы.

Выведено новое параболическое уравнение для волны, падающей на экран под произвольным углом, учитывающее дифракционные и нелинейные эффекты. Это уравнение позволяет описывать более широкий класс падающих волн, в частности волны с широким пространственным спектром.

Достоверность результатов диссертации обеспечена корректностью постановок задач, использованием обоснованных методов расчета, а также совпадением предельных и частных случаев с известными ранее решениями, и подтверждается экспериментальными данными.

Научная и практическая значимость работы:

В работе найдены точные аналитические решения для акустического давления интенсивной волны для нескольких моделей неоднородное!и. Эти решения позволяют описать основные эффекты, возникающие при распространении интенсивных акустических пучков в неоднородной среде -конкуренцию нелинейных и рефракционных эффектов, модуляцию фазы и амплитуды волны в поперечном направлении. Значимость найденных решений связана также с тем, что они позволяют рассмотреть распространение исходною сигнала произвольной формы, в частности широкополосные сигналы и волны, содержащие ударные фронты. Полученные решения могут быть использованы также для проверки точности численных методов. Выведенное параболическое уравнение для наклонно падающей волны может быть использовано для построения теории дифракции волн с широким пространственным спектром.

Апробация работы.

Материалы диссертации докладывались на Международной Конференции Студентов и Аспирантов по Фундаментальным Наукам "Ломоносов-2001", (Москва), на VIII и IX Всероссийских Школах-Семинарах "Волновые Явления В

Неоднородных Средах", (Московская область, 2002, 2004), 16 Международном Симпозиуме по Нелинейной Акустике ИСНА-16 (Москва, 2002), 11 Международном Конгрессе по Звуку и Вибрациям (Санкт—Петербург, 2004), XV сессии Российского Акустического Общества, (Нижний Новгород, 2(104)

Материал диссертации докладывался и обсуждался на семинарах кафедры акустики физического факультета МГУ.

Публикации.

Основные результаты изложены в 9 опубликованных работах, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы, включающего 143 наименования Общий объем работы составляет 124 страницы, включающие 46 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении приводится обзор выбранных направлений исследований, обосновывается актуальность избранной темы, излагается общая постановка задач и описывается структура диссертации.

В Главе 1 рассматривается распространение интенсивных акустических волн через слой неоднородной среды, смоделированной бесконечно тонким фазовым экраном. В такой модели неоднородность приводит к модуляции фронта волны и, следовательно, изменению лучевой картины и распределения амплитуды. Глава состоит из 5 параграфов.

В первом параграфе приводятся некоторые экспериментальные результаты об атмосферной турбулентности, и обосновывается применение модели неоднородной среды в виде бесконечно тонкого фазового экрана.

Во втором параграфе приводится вывод основных уравнений нелинейной акустики неоднородных сред. В приближении медленно изменяющегося профиля волна описывается параболическим уравнением, обобщающим уравнение Хохлова-Заболотской на неоднородные среды. Семейство таких уравнений было получено

А.П.Сухоруковым с соавторами в 1994-1996 гг. В приближении геометрической акустики нелинейное параболическое уравнение приводится к следующей системе

oz 2

ф * p^ + JLf^ + v^V^WpV^+i^^O

dz рсй дТ Ipydz J 2

для «квазиэйконала» у и амплитуды давления р; g описывает неоднородное ib скорости звука.

В третьем параграфе анализируется решение полученной системы для бесконечно тонкого фазового экрана. В этом случае уравнение эйконала сводится к системе уравнений типа связанных римановых волн для функций наклона лучей а = 34/дх и fi-d'Vldy к осям хну соответственно:

да да „да „ — + а— + р— = 0 dz дх ду

dp др „др .

dz дх ду

Точное решение данной системы выражается через неявные функции-

a(x,y,z) = A{x-az,y-Pz\ p(x,y,z)= B(x-az,y-pz), где функции A(x,y)=a(x,y,z-О), B(x,y) = p{x,y,z = 0) задают углы наклона лучей на экране. Записанное в лучевых координатах £,/7, уравнение переноса приобретает вид нелинейного уравнения, обобщающего уравнение Вебстера для амплитуды давления в лучевой трубке:

Ф * ^ + = о.

dz pacl дТ 2 dz

Здесь S имеет смысл безразмерной площади лучевой трубки. Достоинством полученного уравнения является то, что возможно выписать его общее решение для произвольного начального временного и пространственного профиля-

p^.z^S^pUrjJ^pS^ Js

>, Poco 0

В четвертом параграфе на основе полученного выше решения анализируется эволюция некоторых характерных профилей для экрана с периодическим распределением фазы Ч*0 - (р smkx smky. На рисунке 1 приведены линии равного наклона лучей на расстояниях z=0 и z=0 5 от экрана. Более темные участки соответствуют большим углам скольжения, т.е. лучи в этих областях

направлены почти параллельно оси г; лучи в этих областях почти не сдвигаются в поперечном направлении. Наоборот, светлые области с большими углами скольжения быстро деформируются. Соответственно, образуются области сгущения и разрежения лучей, в которых амплитуда либо будет превосходить начальное значение, либо уменьшится по сравнению с ней.

а рШШНШН в

Рис. 1. Линии равного наклона лучей на расстояниях г=0 (а), г=0,5 (в)

В

Рис.2. Поперечные распределения амплитуды в физических координатах на расстоянии 2=0,5 (а) и 2=0,9 (в)

Рассчитанные для такой

неоднородности распределения в поперечной плоскости «амплитуды» (пикового значения) разрыва начальной Ы-волны показаны на рисунке 2. Видно, что модуляция волнового фронта приводит также к модуляции исходно плоского распределения «амплитуды», образую области повышенного и пониженного скачка давления.

Рис.3' Амплитуда пучка в поперечном сечении для различных значений нелинейной длины (1-4), начальный профиль (5).

Также рассмотрено распространение круглых пучков с произвольным поперечным распределением амплитуды. Из точного решения следует эффект насыщения амплитуды для круглых пучков (рис.3), когда амплитуда на оси пучка в среде слабо зависит от начального распределения и на поперечном профиле пучка образуется «плато» почти постоянной амплитуды.

В пятом параграфе рассматриваются статистические характеристики волны, прошедшей через случайный фазовый экран. В частности, для гауссовского распределения фазы на экране можно вычислить характеристическую функцию площади лучевой трубки и ее первые моменты:

(5) = 1, (5г) = 1 + 8у22+12у4г4, (53} = 1 + 24у72 +132у2г4+48у3г6.

Таким образом, площадь трубки в среднем не меняется, но рост дисперсии говорит о возрастании вероятности пересечения лучей и появления каустик. Плотность вероятности площади трубки может быть рассчитана как Фурье-преобразование. Из рисунка 4а, что вероятность появления лучевой трубки меньшей площади возрастает с расстоянием от экрана.

Рис.4. Плотность распределения площади лучевой трубки (а) и эволюция функции распределения сходимости лучей (расстояния Х-0; 0.5) (в-с)

При вычислении среднего давления необходимо учесть, что в трубке с большей площадью вероятность измерения выше. Тогда известное вероятностное распределение углов наклонов на экране позволяет рассчитагь средние значения амплитуды волны, а также распределение наклонов лучей в произвольном сечении после экрана. Эволюция исходно гауссовского распределения сходимостей лучей приведена на рис.4.

В Главе 2 анализируется распространение интенсивной волны в слое с распределенной неоднородностью, обобщаются результаты предыдущей главы. Глава состоит из трех параграфов.

В первом параграфе рассматривается двумерная задача, когда все характеристики зависят от одной продольной и одной поперечной координат.

Распределение неоднородности моделируется следующим выражением:

О + г/*о)

Для периодического распределения неоднородности С„(у), уравнение

эйконала допускает следующее точное решение: а = . Эта функция

1 + г/г„

наклона луча позволяет рассчитать лучевую картину (см. рисунок 5а). Периодическое распределение наклонов приводит к повторению областей сгущения и разрежения лучей.

Дня уравнения переноса с таким наклоном луча также может быть найдено точное неявное решение для произвольного начального временного и пространственного профиля волны. Показана идентичность двух методов решения уравнения - стандартного метода характеристик и перехода к лучевым координатам. Второй метод полезен во многих случаях, поскольку позволяет проанализировать амплитуду в данной лучевой трубке.

Рис.5: Траектории лучей (а), поперечное распределение амплитуды - периодическая волна (в), Ы-волна (с).

Неоднородность приводит к сложной картине поперечного распределения амплитуды давления. Рассчитаны поперечные формы для ударных профилей -одиночного Ы-импульса и периодической "пилообразной" волны (рисунок 5 в,с). Проведено сравнение решений для различных соотношений продольного и поперечного масштабов. Показано, что мелко- и крупномасштабные неоднородности по-разному влияют на распространение разных начальных волновых профилей. Мелкомасштабная периодическая неоднородность приводит к фокусировке и повышению амплитуды в локальной области вблизи своей

локализации. При этом набольшая фокусировка достигается для одиночного Ы-импульса. Крупномасштабная фокусировка приводит к увеличению амплитуды в целом, так что волна медленнее затухает на больших расстояниях При этом оказывается, что периодическая пилообразная волна затухает медленнее, чем одиночный импульс.

Рассмотрено также распространение исходно периодического сигнала и рассчитаны амплитуды гармоник, образующихся за счет нелинейного взаимодействия. За счет неоднородности среды разрыв в такой волне происходит на различных расстояниях для различных лучей, поэтому происходит излом волнового фронта, по которому начинает бежать вторичная волна разрыва.

Во втором параграфе рассматривается трехмерная задача (характеристики волны зависят от всех трех пространственных переменных). В качестве неоднородности также выбирается периодическое распределение, убывающее по мере распространения волны. Более сложные выкладки по сравнению с первой частью удается упростить переходом к лучевым координатам, после чего можно также выписать точное решение для произвольного профиля. Проведен анализ распространения ударных профилей через периодическую неоднородность, показана возможность образования областей повышенной амплитуды скачка давления.

В третьем параграфе рассматривается распространение интенсивных волн в среде с периодической неоднородностью при учете слабой вязкости Вязкость обеспечиваез конечную ширину ударного фронта, величина которой определяется совместным действием нелинейного затухания и рефракции лучей. Получены асимптотические выражения для профиля волны и ширины ударного фронта в областях сгущения и разрежения лучей. Рассмотрены два примера фокусировки - с фокусом на бесконечности и параболическая с фокусом на конечном расстоянии. В результате анализа показано, что фокусировка влияет на ширину ударного фронта и способна конкурировать с нелинейным затуханием, приводящим к уширению фронта. В частности, в случае параболической фокусировки ширина фронта в фокусе стремится к нулю, приводя к вторичному образованию ударного фронта. В случае фокусировки на бесконечности ширина ударного фронта никогда не

достигает нуля и на больших расстояниях возрастает из-за преобладания нелинейного затухания над фокусировкой.

Глава 3 посвящена методам анализа стохастических уравнений и сведения их к детерминированным уравнениям для моментов применительно к задачам нелинейной акустики. Сравнение различных методов замыкания уравнений проводится на примере волнового уравнения с флуктуапиями скорости. Глава состоит из 4 параграфов.

В первом параграфе стандартным методом среднего поля получено замкнутое уравнение для среднего акустического давления Флуктуации приводят в среднем к появлению вязкого члена в уравнении для среднего и, соответственно, к уменьшению амплитуды. В то же время, из-за фазового набега квадратичные члены по флукгуациям становятся большими, и стандартная схема перестает работать, поскольку именно такими членами пренебрегают при решении.

Поэтому во втором параграфе рассматривается другой метод, основанный на «гауссовском» приближении. При достаточно слабых флуктуациях распределение давления будет близко к нормальному, в этом случае удается расцепить цепочку уравнений для высших моментов, выражая их через два независимых - среднее значение и дисперсия.

В третьем параграфе проверена точность использованных методов. С этой целью найдено точное решение для плоской нелинейной волны в среде с флуктуациями скорости. Полученное динамическое решение было непосредственно усреднено Сравнение точного усреднении о профиля с профилями, полученными с помощью рассмотренных выше приближенных методов, показывает их ограниченную справедливость.

Рис.6. Профили среднего давления, рассчитанные: 1 - усреднение точного динамически о решения, 2 - методом среднего поля, 3 - в гауссовском приближении для значений дисперсии фазы а1 = 0.2 (а) и <тг = 1 (в)

Рассчитанные профили среднего давления для М-волны представлены на рисунке 6. Действительно, метод среднего профиля дает заниженное значение пиковой амплитуды, связанное с турбулентным затуханием, поскольку не учитывает нелинейное расплывание импульса и дает неверное выражение для длительности импульса. В то же время гауссовское приближение, более точно учитывающее нелинейное расплывание импульса, дает еще более заниженное значение пиковой амплитуды. Надо отметить, что отклонения приближенных решений от точного растут с увеличением флуктуаций; при малых флуктуациях все решения достаточно близки.

В четвертом параграфе используется метод среднего профиля, основанный на масштабном изменении координат, исключающих фазовые флуктуации. Рассмотрено два случая - первый, когда флуктуации и нелинейность одного порядка, и второй - когда нелинейность более слабо проявлена. Показано, что решение для первого случая полностью совпадает с точным решением, рассмотренным выше, а во втором случае волна, как и следовало ожидать, затухает заметно быстрее.

Глава 4 посвящена развитию дифракционной теории распространения широкополосных сигналов в случайно-неоднородных и нелинейных средах. Глава состоит из 4 параграфов.

В первом параграфе исследована дифракция широкополосного импульса на случайном фазовом экране в линейном приближении. Действительно, когда нелинейная длина больше дифракционной (преобладает процесс дифракции), волна может быть описана в рамках поэтапного подхода. При этом дифракция описывается в линейном приближении, а нелинейные эффекты учитываются до и после прохождения экрана. Используя решение линеаризованного уравнения Хохлова-Заболотской в виде интеграла Релея, рассчитаны статистические характеристики прошедшей через экран волны, такие как среднее давление, средняя интенсивность, дисперсия. Показано, что и при учете дифракции влияние турбулентности в среднем аналогично вязкости.

Во втором параграфе рассматривается наклонное падение волны на фазовый экран. Выведено уравнение, обобщающее уравнение Хохлова-

Заболотской для случая волн, распространяющихся под произвольным углом к экрану:

8_ дт

др др . е др

—сова + — вт а —5— р дг 3~

/ г2 ' с1 р

1 д2р)

дх сое а ду

I-

Рис 7 Профили сфокусированной волны в случайной среде на различных расстояниях

ду с*ргдт_

Здесь а - угол между волновым вектором волны и плоскостью экрана. Такое уравнение может быть использовано для описания как линейных, так и нелинейных, волн с широким пространственным спектром. На основе этого уравнения рассмотрено прохождение волны через случайный фазовый экран.

В третьем параграфе основное внимание уделяется эффектам при распространении ограниченных пучков через фазовый экран. В частности, рассмотрено распространение волны через неоднородность, которая в среднем фокусирует пучок, но вносит при этом флуктуации. Учет дифракции позволяет описать фокальную область. Флуктуации в среднем приводят к сглаживанию профилей в фокусе. На рисунке 7 приведены профили М-волны на различных расстояниях (как до, так и за областью фокуса). Видно, что в области за фокусом профиль волны продифференцирован из-за дифракции и сглажен («в среднем») из-за турбулентной вязкости.

В четвертом параграфе, исходя из решения линейной задачи, для поля на оси фокусирующего излучателя предлагается упрощенное уравнение. Известно, что в параксиальном приближении, на оси пучка, лапласиан можно моделировать формулой

Ф)

где $(г) - ширина пучка. Применение к такому упрощенному уравнению замены переменных Т = т + (е/рс3)рг, г, = г, точно учитывающей нелинейные искажения в простой волне, позволяет получить удобное для асимптотического разложения уравнение. Решение по такой схеме может быть найдено для волны с

произвольным начальным спектром и позволяет описать в параксиальном приближении дифракцию нелинейной волны и описать фокальную область.

В Заключении изложены основные выводы диссертационной работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. В приближении нелинейной геометрической акустики решена задача о прохождении интенсивной акустической волны через бесконечно тонкий фазовый экран. Уравнение эйконала сведено к системе уравнений типа римановых волн для наклонов лучей, найдено точное решение. Оно описывает модуляцию фазового фронта волны и образование областей сгущения и разрежения лучей.

2. Найдено точное решение уравнения переноса для волны с произвольным временным и пространственным профилем после прохождения ею фазового экрана. Показано, что модуляция фронта приводит к изменению поперечного распределения давления, в частности к зависимости «амплитуды» (пикового давления) разрыва и длины образования разрыва от поперечных координат. Поперечная структура разрыва для М-имлульса оказывается более резкой, с образованием узких областей высокого пикового давления. Структура разрыва периодической "пилы", наоборот, характеризуется плавными изменениями поперечного профиля. Поперечные распределения находятся в соответствии с лучевой картиной; в областях сгущения лучей находятся максимумы давления, в областях разрежения - минимумы. Построено точное решение для круглого пучка с произвольным поперечным распределением «амплитуды». Продемонстрирован эффект насыщения - в приосевой области «амплитуда» слабо зависит от своего начального значения.

3. Рассчитаны статистические характеристики интенсивной волны, прошедшей через экран со случайной модуляцией. Найдена характеристическая функция и первые моменты распределения (среднее значение, средний квадрат) площади поперечного сечения лучевой трубки. Показано, что с увеличением расстояния максимум плотности вероятности площади трубки смещается в сторону меньших значений, дисперсия также возрастает, что говорит об увеличении вероятности наблюдения выбросов большой амплитуды. Рассчитана плотность вероятности

наклонов лучей в произвольном сечении после экрана; вычислены среднее давления и дисперсия. Показано, что среднее давление убывает с ростом флуктуаций, в то же время дисперсия растет, что говорит о появлении выбросов больших амплитуд.

4. Найдено точное решение двумерной и трехмерной задач для непрерывно неоднородной среды с периодическим распределением неоднородности в поперечном направлении. Решение описывает волну с произвольным временным и просгранственным профилем. Для волн с ударными фронтами - периодической "пилы" и одиночного Ы-импульса - показано, что искажения фронта приводят к фокусировке и конкурируют с нелинейным затуханием. Для одиночного импульса затухание слабее, и рефракционная сходимость способна полностью компенсировать затухание и даже увеличить максимальную амплитуду по сравнению с начальным значением. Для синусоидального на входе сигнала неоднородность приводит к еще одному эффекту - длина образования разрыва становится различной для разных лучей; в результате начинает распространяться вторичная ударная волна - разрыв волнового фронта.

5. Показано, что мелко- и крупномасштабные неоднородности по-разному влияют на распространение разных начальных волновых профилей Мелкомасштабная периодическая неоднородность приводит к фокусировке и повышению амплитуды в локальной области вблизи своей локализации. При этом набольшая фокусировка достигается для одиночного Ы-имнульса. Крупномасштабная фокусировка приводит к увеличению амплитуды в целом, так что волна медленнее затухает на больших расстояниях. При этом оказывается, что периодическая пилообразная волна затухает медленнее, чем одиночный импульс.

6. Проанализированы эффекты, возникающие при распространении волны в неоднородной среде с диссипацией. Здесь ширина ударного фронта зависит от поперечной координаты. Рефракционные и нелинейные эффекты конкурируют друг с другом, и при определенных соотношениях приводят к уменьшению ширины ударного фронта, что говорит об образовании более сильной ударной волны. В рамках данной модели фокусировка слаба и не приводит к неограниченному росту «амплитуды» в фокусе даже без учета дифракции.

7. Рассмотрены различные методы замыкания стохастических уравнений для акустического давления в волне, распространяющейся в случайной среде. Показано, что многие методы, хорошо себя зарекомендовавшие в линейных задачах, неудовлетворительно описывают нелинейные волны. Для правильного описания необходимо сначала исключить фазовые флуктуации, и затем уже к преобразованному уравнению применять асимптотические методы.

8. Решена задача о дифракции волны с широким частотным спектром на случайном фазовом экране. Рассчитаны статистические характеристики волны после случайного экрана. Показано, что в среднем флуктуации фазы приводят к уменьшению амплитуды, и этот эффект похож на действие "турбулентной" вязкости. Полученные зависимости дисперсии пикового значения говорят о повышении вероятности больших выбросов при увеличении интенсивности флуктуаций, несмотря на убывание амплитуды в среднем.

9. Выведено новое параболическое уравнение для волны, падающей на экран под произвольным углом, которое учитывает дифракционные и нелинейные эффекты. Это уравнение позволяет описывать волны с широким частотным и пространственным спектром.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Гусев В.А, Руденко О.В. "Прохождение широкополосных нелинейных сигналов через случайно-неоднородную среду", Вестник МГУ, Серия Физика, 2001, №6, с.37-40.

Гусев В.А. "Прохождение широкополосных звуковых ударов через случайный фазовый экран", Известия РАН, Серия Физическая, 2002, том 66, №12, с. 17421746.

Gusev V.A. Propagation of sonic booms through the turbulent boundary layer of the atmosphere. Nonlinear Acoustics at the beginning of the 21st Century, International Symposium on Nonlinear Acoustics ISNA-16,2002, Moscow, vol.1, pp 315-318. Gusev V.A. Rudenko O.V. "Propagation of intense acoustical waves through the periodical inhomogeneous medium", Proceedings of the Eleventh International Congress on Sound and Vibration ICSV11, St.Peterburg, 2004, p. 407-412.

5. Гусев В.А., Руденко О В. Статистические характеристики интенсивной волны за двумерным фазовым экраном. Акуст.Журн. 2005, .№6.

6. Гусев В.А. "Прохождение ударноволнового импульса N-образной формы через турбулентный атмосферный слой", Тезисы Международной Конференции Студентов и Аспирантов по Фундаментальным Наукам "Ломоносов-2001", Москва, секция Физика, с. 117-119.

7. Гусев В.А., Руденко О.В "Прохождение широкополосных сигналов через ^ случайно-неоднородную среду", Груды VIII Всероссийской Школы-Семинара

"Волновые Явления В Неоднородных Средах", Красновидово, 2002, часть 2, с. 28-^ 29.

8. Гусев В.А., Руденко О.В. "Распространение интенсивных акустических волн через периодический неоднородный слой". Труды IX Всероссийской Школы-Семинара "Волновые Явления В Неоднородных Средах", Звенигород, 2004.

9. Гусев В.А., Руденко О.В. "Статистические характеристики интенсивной акустической волны после прохождения двумерного случайного фазового экрана", Сборник трудов XV сессии Российского Акустического Общества, Нижний Новгород, 2004. т. 1, с.180-184.

J»

á>

s

i

ООП Фиэ ф-та МГУ Заказ 120-100-05 '

V

f

f

1

is 1 S3 89

РНБ Русский фонд

2006-4 19941

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1.

МОДЕЛЬ ДВУМЕРНОГО ФАЗОВОГО ЭКРАНА ДЛЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ

АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН В НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ.

Модель фазового экрана.

Основные уравнения нелинейной акустики.

Решение уравнений геометрической акустики.

Примеры точных решений.

Периодическая неоднородность.

Пилообразные временные профили.

Эволюция начального синусоидального профиля.

Круглые пучки.

Статистические характеристики прошедшей волны.

Выводы к главе 1.

ГЛАВА 2.

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ИНТЕНСИВНЫХ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН В СРЕДЕ С

ПЕРИОДИЧЕСКИМ ПОПЕРЕЧНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ НЕОДНОРОДНОСТИ.

Двумерная задача.

Периодическая неоднородность.

Траектории лучей.

Амплитуда волны.

Эволюция ударных профилей.

Периодический сигнал.

Трехмерная задача.

Периодическая неоднородность.

Ударные временные профили.

Учет вязкости и описание тонкой структуры ударного фронта.

Выводы к главе 2.

ГЛАВА 3.

МЕТОД СТОХАСТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ АКУСТИЧЕСКИХ

ВОЛН В СЛУЧАЙНО-НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ.

Основные уравнения.

Метод среднего поля.

Приближение нормального шума для плоских волн.

Распространение плоских нелинейных волн в случайной среде.

Метод среднего профиля.

Выводы к главе 3.

ГЛАВА 4.

ДИФРАКЦИЯ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН С ШИРОКИМ ЧАСТОТНЫМ СПЕКТРОМ НА

СЛУЧАЙНОМ ФАЗОВОМ ЭКРАНЕ.

Дифракция на случайном фазовом экране.

Наклонное падение волны на тонкий слой неоднородной среды.

Фокусировка широкополосных сигналов на случайном и модулированном экране.

Вывод и решение упрощенных уравнений дифракции нелинейных сфокусированных пучков.

Выводы к главе 4.

Задачи, связанные с распространением широкополосных акустических сигналов, в том числе нелинейных волн, содержащих разрывы, привлекают в последнее время все большее внимание специалистов из различных областей, как прикладной, так и фундаментальной физики. Во многом такой интерес обусловлен новыми широкими возможностями, которые предоставляют нелинейные волны при исследовании свойств среды, через которую они распространяются, и диагностике материалов, а также влиянием нелинейных эффектов на пространственные и временные характеристики волн большой амплитуды. С другой стороны, развитие технологии привело к созданию мощных источников звукового излучения, и во многих случаях необходимо учитывать влияние интенсивного излучения на окружающую среду, а так же уметь предсказывать эволюцию профилей и спектров волн при распространении в неоднородной среде.

К настоящему времени нелинейные эффекты при распространении интенсивных акустических волн в однородных и одномерных средах изучены достаточно хорошо, и основные результаты приведены в уже ставших классическими монографиях [1-12]. В частности, такие задачи, как динамика образования разрывов и описание их тонкой структуры, распространение акустических солитонов, явления самофокусировки [13-15] и саморефракции импульсов, распространение волн в кубично-нелинейных средах [16-17], получили аналитическое решение. Так же заметные успехи были достигнуты в экспериментальных и теоретических исследованиях эволюции звуковых пучков [5,18-20]. Разработанные аналитические методы позволили, в частности, описать фокальную область при распространении сфокусированных пучков. Однако большая часть полученных результатов касается распространения гармонических сигналов, и задачи нелинейной дифракции для волн с широким временным спектром остаются до конца не решенными.

Неоднородность среды значительно повышает сложность решения задач нелинейной акустики. Для описания нелинейных волн необходимо правильно определить положение и форму ударного фронта, если он уже успел сформироваться, а также величины возмущений при переходе через фронт ударной волны. Однако иметь информацию только о фронте волны, конечно, недостаточно. Волна представляет собой сигнал со сложным спектральным составом, несущий информацию об источнике и трассе своего распространения. В процессе распространения волна постоянно взаимодействует с неоднородностями среды, которые служат рассеивателями, волноводами, линзами и имеют определенные частотно-избирательные свойства.

Одним из бурно развивающихся направлений, где необходимо учитывать неоднородность среды, является применение интенсивного ультразвука в медицине [2830]. К этим задачам относятся как ультразвуковая диагностика, так и различного вида лечебные процедуры — терапия и хирургия, разрушение почечных камней. Во всех случаях волна распространяется в такой достаточно неоднородной среде, как человеческое тело. Кроме этого, при ультразвуковой хирургии используются мощные источники волн. Соответственно, на границе раздела разных видов тканей могут образовываться значительные перепады давлений, неоднородность может влиять на расстояние и область фокусировки волны. И для правильного лечения необходимо как можно точнее предсказывать совместное влияние неоднородности, нелинейных и дифракционных эффектов.

Другой задачей, также непосредственно имеющей отношение к жизнедеятельности людей, является проблема звукового удара. Известно, что самолет, летящий со сверхзвуковой скоростью, генерирует ударную волну, распространяющуюся в конусе Маха. Причем ударная волна наибольшей амплитуды образуется при переходе через скорость звука. В настоящее время сверхзвуковые самолеты обычно переходят через звуковой барьер над поверхностью океана, чтобы уменьшить негативное влияние ударной волны. Однако не всегда можно найти достаточно большую неиспользуемую область, в которой самолет может набрать скорость без нанесения вреда жителям и наземным постройкам. Особенно это относится к аэропортам вблизи больших городов и густонаселенных районов. Так же в последнее время активно ведутся работы по созданию нового класса сверхзвуковых самолетов, что в свою очередь вызвало большой интерес как к разработке эффективных технических методов уменьшения амплитуды генерируемой ударной волны, так и к проблеме распространения сильно нелинейной волны в турбулентной атмосфере. В списке литературы приведен достаточно большой обзор работ, связанных с проблемой звукового удара [40-121], среди них стоит отметить несколько работ, наиболее близко связанных с содержанием данной работы [43,44,78,79,88,203,105,116,120,121].

Также нелинейные эффекты оказываются очень полезными при исследовании свойств самой среды, через которую проходит волна, в частности, при неразрушающем контроле и дефектоскопии [122]. При этом на резких неоднородностях происходит сильное нелинейное взаимодействие, измерение высших гармоник позволяет более точно вычислить положение и форму неоднородности. Также сюда можно отнести задачи дальнего распространения звука в атмосфере и океане [123]. Главным образом, они связаны с возможностью передачи информации на большие расстояния (например, взрывные сигналы в подводном канале), а также с развитием дистанционных методов зондирования далеких слоев атмосферы и океана и прогнозированием катастрофических возмущений атмосферы и земной поверхности.

Среди основных подходов к упрощению исходных уравнений, дающих возможность решить различные нелинейные задачи, можно выделить два [31-37]. Первый подход основан на приближении нелинейной геометрической акустики и применяется для пучков с большой расходимостью лучей. Однако он не справедлив в аберрационной области, где появляются пересечения лучей. Второй подход, основанный на квазиоптическом приближении, рассчитан только на пучки с узким угловым спектром, но зато позволяет описать поля в окрестности фокусов и каустик.

При рассмотрении неоднородных сред часто оказывается, что либо среда сама по себе является случайной, как, например, турбулентная атмосфера, либо состоит из большого числа мелких неоднородностей, так что ее удобно рассматривать как случайную. В таком случае распространяющаяся волна испытывает флуктуации амплитуды и фазы, и интерес представляют такие характеристики случайной волны, как среднее поле, средняя интенсивность, корреляционная функция, плотность вероятности значений волны. Наилучшим методом было бы нахождение точного аналитического динамического решения исходного стохастического уравнения, и затем его усреднение по ансамблю флуктуаций. Однако, найти само точное решение можно только в исключительных случаях, кроме того процедура усреднения также может оказаться слишком сложной. Поэтому для анализа полученных стохастических уравнений используются различные приближенные методы, основанные на определенных моделях случайной среды. Эти методы позволяют получить замкнутые детерминированные уравнения для средних характеристик волны — среднего поля, средней интенсивности, корреляционной функции. Сравнение полученных результатов с усредненным значением точного решения для какого-либо частного случая позволяет оценить степень точности используемого приближения. Во многих случаях продуктивным оказывается метод кинетических уравнений для функций распределения или функция распределения может быть найдена непосредственно [38,39, 132].

Таким образом, были освещены основные проблемы нелинейной акустики неоднородных сред, которым и посвящена данная работа. Цели работы можно сформулировать так:

• Исследование эволюции волнового фронта при распространении интенсивной волны в неоднородной среде, моделируемой фазовым экраном.

• Построение и анализ решения для широкополосного сигнала, распространяющегося в неоднородной среде; изучение трансформации профиля, спектра и амплитуды волны.

• Построение точного решения для непрерывной неоднородной среды и анализ влияния структуры неоднородности на поведение волны.

• Исследование статистических характеристик интенсивной волны при распространении в случайно-неоднородной среде.

• Использование метода среднего поля, приближения нормального шума и метода среднего профиля в задачах нелинейной акустики неоднородных сред.

• Вывод и решение приближенных уравнений нелинейной акустики дифрагирующих пучков и задач дифракции на случайном фазовом экране.

В Главе 1 исследуется распространение интенсивной акустической волны через бесконечно тонкий слой неоднородной среды - фазовый экран.

Вначале выводятся основные уравнения нелинейной акустики неоднородных сред. Поскольку даже эти упрощенные уравнения оказываются слишком сложными, чтобы решить их для случая произвольного вида неоднородности, в следующем разделе приводятся основные сведения об атмосферной турбулентности, а также характерные особенности распространения ударных волн в неоднородной среде. Экспериментальные данные позволяют рассмотреть, довольно простую, но эффективную модель неоднородной среды - бесконечно тонкий фазовый экран. Преимущества этой модели в том, что, с одной стороны, она позволяет рассматривать важнейшие эффекты - фокусировки и дефокусировки волнового фронта, с другой стороны — получить точное аналитическое решение в приближении нелинейной геометрической акустики.

Для описания эволюции волнового фронта выводится система уравнений типа простых волн для наклонов лучей к поперечной плоскости. Получено общее решение для произвольного распределения дополнительного фазового сдвига на экране. Решение иллюстрируется периодическим распределением фазы на экране, для которого построена лучевая картина и уровни равного наклона луча для различных расстояний от экрана вплоть до расстояния первого пересечения лучей.

Далее было получено выражение в виде неявной функции для акустического давления с произвольном начальным (на экране) пространственным распределением амплитуды и временным профилем. На основе этого решения была рассмотрена эволюция плоских ударный профилей — одиночного N-импульса и периодической пилообразной волны. Модуляция волнового фронта приводит пространственному перераспределению амплитуды волны, образуя локальные области сгущения лучей с повышенной амплитудой и области разрежения лучей, где амплитуда достигает меньших значений. Рассмотренная модель с локальными фокусировками не может полностью конкурировать с нелинейным затуханием и амплитуда волны в целом уменьшается по сравнению с начальной.

Также было рассмотрено распространение гауссовского круглого пучка. Показано, что вследствие искажения волнового фронта и нелинейных эффектов профиль поперечное распределения амплитуды изменяется, и в точке пересечения лучей в нем появляется разрыв. Это говорит о том, что по поперечному профилю волны начинает бежать вторичная ударная волна - волна разрыва амплитуды.

Модуляция волнового фронта приводит изменению поперечного профиля амплитуды, а значит и к различной длине образования разрыва в различных поперечных сечениях. Таким образом, при распространении, например, синусоидальной волны разрыв в различных сечениях образуется на различном расстоянии, что также приводит к появлению вторичной ударной волны.

Такие резкие искажения волнового профиля компенсируются нелинейной рефракцией. Известно, что скорость распространения разрыва пропорциональна его амплитуде. Поскольку в областях, где разрыв уже сформировался, возникает нелинейное затухание, то скорость движения разрыва в этих областях уменьшается, и фронт волны в результате выправляется.

Во второй части первой главы рассмотрены эффекты, возникающие при прохождении нелинейной волны через случайный фазовый экран. Полученные ранее точные решения для амплитуды волны позволяют вычислить статистические характеристики прошедшей волны по известным статистическим свойствам случайной фазы на экране. Считая заданным распределение фазы, было найдено распределение сходимостей лучей на экране. Это позволило вычислить характеристическую функцию и первые три момента для нормированной ширины лучевой трубки. При вычислении статистики амплитуды волны было отмечено, что возможны различные способы постановки эксперимента, и при измерении в фиксированной точке необходимо плотность вероятности умножать на ширину лучевой трубки, что соответствует большей вероятности наблюдения поля более широкой лучевой трубки.

Анализ построенных решений для среднего давления и средней интенсивности показывает, что в среднем флуктуации фазы приводят к более сильному затуханию по сравнению с однородной средой. В этом полученные результаты хорошо согласуются с экспериментальными данными.

В Главе 2 рассматривается частное решение уравнений нелинейной акустики для модели неоднородного слоя — флуктуации распределены произвольным образом в поперечной плоскости, их амплитуда убывает по мере удаления от начала неоднородного слоя.

Недостатком модели фазового экрана, рассмотренной в первой главе, является учет только однократного взаимодействия волны с неоднородностью. При этом лучи один раз отклоняются от своего первоначального направления, а дальше представляют из себя прямые линии. В тоже время при распространении волны в реальной неоднородной среде такие искажения волнового фронта на неоднородностях будут происходить непрерывно, и картина распространения будет гораздо сложнее. В частности, могут образовываться многочисленные локальные фокусы и каустики, вблизи которых приближение геометрической акустики перестает работать.

В работе найдено точное аналитическое решение для функции наклона луча для периодической в поперечном направлении неоднородности, при этом амплитуда в продольном направлении убывает обратно пропорционально пройденному в среде расстоянию. Показано, что решение в квадратурах может быть найдено для широкого класса поперечных распределений неоднородности. Решение построено как для двумерной, так и для более сложной трехмерной постановки. В ходе вывода решения для двумерной задачи рассмотрено два метода - стандартный метод характеристик и метод замены переменных, аналогичный переходу к лучевым координатам в первой главе. Показана эквивалентность этих подходов. Достоинство метода замены переменных в том, что если вид неоднородности позволяет найти явные выражения для новых, лучевых, координат, то, особенно при решении трехмерной задачи, это позволяет избежать вычисления громоздких интегралов, а также уменьшает число независимых переменных в уравнении для амплитуды волны. Такой метод может быть применен и в том случае, если явный вид лучевых координат найти не удается; тогда, так же как и при решении обычным методом характеристик, остается проблема разрешения физических координат через лучевые.

Аналогично первой главе, для иллюстрации полученных решений рассмотрена эволюция ударных временных профилей и распространение синусоидального сигнала. Рассмотренный вид неоднородности, для которого удалось найти точное решение, приводит к сильной фокусировки; сама область пересечения лучей в такой задаче находится на бесконечности, на любом конечном расстоянии можно выделить области сгущения и разрежения лучей.

Предложенная модель позволяет сравнить влияние мелко- и крупномасштабной неоднородностей. Интересным результатом является то, что мелкомасштабная неоднородность приводит к сильным фокусировкам вблизи области своей локализации, в то же время на больших расстояниях за счет нелинейного затухания происходит быстрый спад амплитуды. Крупномасштабная неоднородность, напротив, влияет на распространение волны в целом, не образую локальных областей с ярко выраженным увеличением амплитуды, но приводит к более медленному спаду амплитуды на больших расстояниях. Можно отметить, что подобные эффекты будут наблюдаться и для других типов поперечного распределения неоднородности. В частности, если рассматривать распределение с более сильным фокусирующим эффектом, то можно получить значительный рост амплитуды волны в фокальной области.

Представляет интерес сравнение амплитуд одиночного N-импульса и периодической пилообразной волны. Мелкомасштабная неоднородность оказывает более сильное влияние на амплитуду одиночного импульса, приводя к образованию резко выраженных областей с большой амплитудой. Крупномасштабная неоднородность, наоборот, сглаживает амплитуду одиночного импульса и более резко выделяет наибольшие значения для периодической волны. Наиболее значительно различие в поведении амплитуд при равенстве продольного и поперечного масштабов неоднородности. В этом случае для одиночного импульса нелинейное затухание и локальная фокусировка компенсируют друг друга, так что амплитуда волны в области сгущения лучей остается постоянной на бесконечности, в то время как амплитуда периодической волны стремится к нулю.

Глава 3 посвящена применению методов решения стохастических нелинейных уравнений к задачам нелинейной акустики. Проблема распространения волн в случайных средах давно занимает важное место среди интенсивно развивающихся областей акустики и физики волновых процессов вообще. Но если для линейных волн разработаны эффективные асимптотические методы — приближение Буре, метод среднего поля [125127], позволяющие получить замкнутые уравнения для искомых усредненных характеристик, то обобщение и развитие подобных методов для нелинейных флуктуирующих сред встречает немалые трудности. Для линейных сред эффективным оказался предложенный Канером [128] метод среднего поля, основанном на малости флуктуаций по сравнению со средним значением. Этот метод получил строгое обоснование и затем был плодотворно применен для решения различных задач рассеяния волн во флуктуирующих средах.

После строгого обоснования этого метода для однородных сред появилось множество работ, посвященных исследованию нелинейных уравнений, а также экспериментальных работ, в которых измеренные средние поля сравнивались с предсказанными теоретически. Однако строго обобщить полученные методы для нелинейных сред не удалось. Более того, в работе [129] были найдены примеры систем с флуктуирующими параметрами, для которых этот метод дает заведомо неверные результаты. Как было показано в работе [130], нарушение метода среднего поля связано с отбрасыванием малых согласно схеме метода поправок, содержащих на самом деле расходящиеся интегралы, что и нарушает пригодность метода. Физической причиной таких расходимостей является неограниченный рост среднеквадратичной флуктуации фазы волны, обусловленной в свою очередь флуктуациями скорости звука в неоднородной среде.

В работе рассматриваются три метода получения упрощенного детерминированного уравнения и проведено сравнение с усредненным точным динамическим решением. В качестве объекта исследования выбран существенно нелинейный профиль волны — одиночный N-импульс. Во-первых, было получено решение для среднего давления в такой волне согласно стандартной схеме метода среднего поля. Как и следовало ожидать, флуктуации приводят в среднем к расплыванию ударных фронтов и уменьшению пикового давления. Сравнение с линейной задачей показывает, что нелинейность приводит к образованию более узких ударных фронтов с большим значением амплитуды. Но поскольку метод среднего поля не совсем корректно описывает именно нелинейные слагаемые, предложен другой метод — гауссовское приближение. Суть метода состоит в том, что при достаточно слабых флуктуациях, малых по сравнению со средним, распределение поля будет близко к гауссовому. В этом случае бесконечную цепочку связанных уравнений для моментов удается разорвать и рассматривать только уравнения для двух независимых параметров распределения — среднего поля и интенсивности (или дисперсии). Приведенные графики иллюстрируют полученное решение. Можно отметить, что при малых в гауссовском приближении ударные фронты оказываются более резкими, чем в методе среднего поля, и по форме довольно близки к форме исходного N-импульса.

Далее полученные результаты сравниваются с усредненным точным динамическим решением для плоских волн. Как и следовало ожидать, метод среднего поля неверно описывает длительность импульса, в то же время давая хорошее приближение для ширины ударного фронта. Причина этого очевидна — метод среднего поля не точно описывает нелинейные эффекты, а именно они приводят к увеличению длительности импульса. Затухание же волны в среднем и расплывание ударного фронта характерно и для линейных сред. Гауссовское приближение тоже оказалось достаточно ограниченным по своей области применимости. При больших флуктуациях фазы он дает слишком большое затухание волны, и профиль волны почти совпадает с соответствующим решением методом среднего профиля. При малых флуктуациях он хорошо чувствует нелинейные эффекты и длительность импульса близка к точному решению, однако форма импульса заметно искажается.

Поэтому рассмотрен корректный метод замыкания уравнений, основанный на исключении фазовых флуктуаций подходящим преобразований координат. Этот метод, названный методом среднего профиля, был введен в работе [130] для одномерных волн и достаточно слабой нелинейности. Как показано в третьей главе диссертации, для случая плоских волн, когда уравнения заметно упрощаются, так что можно найти точное аналитическое решение, решение методом среднего профиля точно совпадает с точным решением.

В Главе 4 рассматривается распространение дифрагирующих звуковых пучков в случайных средах. Как уже отмечалось выше, в областях пересечения лучей — в фокальных областях сфокусированных волн, на каустиках приближение геометрической акустики перестает работать. Главным фактором, ограничивающим амплитуду в фокусе, становится дифракция. Сфокусированные пучки используются во многих важных приложениях для создания большой интенсивности акустического излучения в небольшой области. Что произойдет, если на пути встретится неоднородность, как будет происходить фокусировка волны, прошедшей через случайно-неоднородную среду? Решению этих вопросов и посвящена последняя глава диссертации.

Прежде всего, рассмотрена дифракция линейной волны на случайном фазовом экране. В такой упрощенной постановке эта задача выявляет основные особенности, возникающие при распространении волны в случайной среде. В частности, во многих случаях величина фокальной перетяжки может считаться малой по сравнению с характерной длиной накопления нелинейных эффектов, так что сама фокальная область может рассматриваться в линейном приближении. При этом, однако, необходимо рассматривать волны с широким частотным спектром, поскольку за счет нелинейного взаимодействия происходит генерация высших и кратных гармоник, а при взаимодействии с низкочастотным сигналом и субгармоник. Таким образом, задача дифракции должна решаться для произвольного профиля волны. Полученные решения действительно написаны для волны с произвольным профилем, и могут быть использованы для анализа фокальной области сильно нелинейной волны. Как результат вычисления среднего давления, показано, что при дифракции на изотропном случайном фазовом экране среднее поле всегда уменьшается, так что влияние флуктуаций в среднем аналогично действию "турбулентной вязкости".

Рассмотренная модель позволяет рассчитать не только среднее давление, но и корреляционную функцию давления, а также среднюю интенсивность и дисперсию. Полученные зависимости статистических характеристик от интенсивности флуктуаций и расстояния хорошо согласуются с экспериментальными данными, полученными при измерениях звуковых ударов в натурных и модельных экспериментах.

При рассмотрении модели случайной среды в идее бесконечно тонкого фазового экрана обычно ограничиваются нормальным падением волны. Однако во многих случаях углы падения нельзя считать малыми, и исходное уравнение должно быть изменено так, чтобы правильно описывать волны, падающие под произвольным углом. Считая, что в достаточно малой окрестности фронт сферической или цилиндрической волны можно считать плоским, выведенное уравнение позволяет описывать также и дифракцию волн с более сложной структурой волнового фронта, чем плоская волна.

Приведены решения для широкополосных квазиплоских волн, позволяющие описать поле нелинейных волн в фокальной области. В недавнее время были получены новые результаты, касающиеся дифракции нелинейных волн. Предложенные асимптотические методы — разложение поля в параксиальном приближении вблизи оси совместно с обобщением результатов линейной теории дифракции, а также замена независимой переменной, учитывающая нелинейные эффекты в плоской волне, позволили описать дифракцию гармонической волны, и объяснить полученные в экспериментах данные. Полученное решение уравнений первого приближения позволяет при добавлении усовершенствований достаточно точно описать эволюцию сфокусированного интенсивного пучка.

Научная новизна полученных в работе результатов заключается в следующем:

Предложен новый способ решения уравнения эйконала для трехмерной неоднородной среды. Для введенных функций наклона луча получена система уравнений первого порядка типа простых волн. Получено точное аналитическое решение для среды с неоднородностью, сосредоточенной в узком слое с произвольным поперечным распределением.

Получено точное неявное решение для амплитуды нелинейной волны с произвольным временным и поперечным пространственным профилями после прохождения фазового экрана. Показано влияние фазовой модуляции на распространение нелинейных вол и искажение амплитудных характеристик в поперечном направлении.

Рассмотрена эволюция интенсивных круглых пучков. Получен эффект насыщения амплитуды вблизи оси пучка.

Рассчитаны статистические характеристики волны, прошедшей через экран со случайной модуляцией. Показано, что при удалении от экрана дисперсия площади лучевой трубки растет, и максимум распределения сдвигается в область малых значений, что говорит о возрастании вероятности появления лучевых трубок малой площади.

Рассчитана плотность вероятности наклонов лучей в произвольном сечении после экрана по заданной вероятности наклонов лучей на экране, вычислены среднее давления и дисперсия. Показано, что среднее давление убывает с ростом флуктуаций, в то же время дисперсия растет, что говорит о появлении выбросов больших амплитуд

Предложено точное решение для волны в двумерном и трехмерном слое с периодическим распределением неоднородности в поперечном направлении. Для решения уравнения переноса для амплитуды рассмотрена два метода и показана их эквивалентность. Второй метод позволяет свести уравнение к более простому, что может значительно облегчить решение поставленной задачи.

Для периодической неоднородности рассмотрены случаи мелко- и крупномасштабной неоднородности в зависимости от соотношения характерных масштабов в продольном и поперечном направлении. Мелкомасштабная неоднородность приводит к фокусировке в области вблизи своей локализации. Крупномасштабная неоднородность приводит к увеличению амплитуды в целом, так что волна медленнее затухает на больших расстояниях.

Рассмотрены различные методы замыкания стохастических уравнений для акустического давления в волне, распространяющейся в случайной среде. Показано, что фазовые флуктуации приводят к тому, что методы, хорошо себя зарекомендовавшие в линейных задач, неудовлетворительно описывают нелинейные волны.

Выведено новое параболическое уравнение для волны, падающей на экран под произвольным утлом, учитывающее дифракционные и нелинейные эффекты. Это уравнение позволяет описывать более широкий класс падающих волн, в частности волны с широким пространственным спектром.

Решены задачи дифракции волны с широким частотным спектром на случайном фазовом экране. Предложено упрощенное уравнение нелинейной дифракции, позволяющее рассчитать поле на оси интенсивного сфокусированного пучка с произвольным частотным спектром. Защищаемые положения.

• Найдено точное решение (лучевая картина, амплитуда, профили и спектры волны) для интенсивной акустической волны с произвольным временным и пространственным профилем, прошедшей через двумерный фазовый экран.

• Найдена характеристическая функция, среднее значение, средний квадрат и плотность вероятности площади поперечного сечения лучевой трубки.

• Рассчитана плотность вероятности наклонов лучей в после экрана.

• Предложено точное решение для волны в двумерном и трехмерном слое с периодическим распределением неоднородности в поперечном направлении.

• Выведено новое параболическое уравнение для волны, падающей на экран под произвольным углом, учитывающее дифракционные и нелинейные эффекты.

Предложено упрощенное уравнение нелинейной дифракции, позволяющее поле на оси интенсивного сфокусированного пучка с произвольным частотным спектром.

Основные результаты исследований опубликованы в работах [138-147]. Материалы диссертации докладывались на семинарах кафедры акустики, на Международной Конференции Студентов и Аспирантов по Фундаментальным Наукам "Ломоносов-2001" (Москва,2001), на VIII Всероссийской Школе-Семинаре "Волновые Явления В Неоднородных Средах", (Красновидово, 2002), Международном Симпозиуме по Нелинейной Акустике ISNA-16, (Москва, 2002), на IX Всероссийской Школе-Семинаре "Волновые Явления В Неоднородных Средах", (Звенигород, 2004), на 11 Международном Конгрессе по Звуку и Вибрациям ICSV11, (Санкт-Петербург, 2004), на XV сессии Российского Акустического Общества, (Нижний Новгород, 2004).

Выводы к главе 4

В главе исследована дифракция широкополосных сигналов на случайном фазовом экране. Полученные решения позволяют рассчитать среднее поле и корреляционную функцию после прохождения экрана для произвольного временного профиля волны.

Показано, что действие флуктуаций в среднем аналогично действию "турбулентной вязкости". Амплитуда волны в среднем становится меньше, ударные фронты волн с разрывами расширяются. Полученное решение легко обобщается на неоднородный слой конечной толщины, при этом амплитуда волны будет уменьшаться по мере распространени я.

Выведено уравнение для дифракции наклонно падающей на фазовый экран. Это позволяет расширить круг рассматриваемых явлений, в частности, рассматривая локально фронт волны произвольного, достаточно гладкого вида как плоский, можно описать дифракцию различных волн, например сферических и цилиндрических.

Получены выражения для дифракции на экране квазиплоских волн с широким спектром, фронт которых не сильно искажен. Такие решения могут быть использованы для анализа дифракционных эффектов для волн с сильными нелинейными искажениями, приводящими к генерации высших гармоник и уширению исходного спектра.

Выведено упрощенное уравнение дифракции сфокусированных пучков, позволяющее описать поле в параксиальном приближении на оси пучка. Решена задача о дифракции гармонической волны с гауссовской поперечной формой амплитуды. Развитый подход совместно с полученными выше решениями для квазиплоских волн позволяет перейти к рассмотрению дифракции волн с широким частотным спектром.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. В приближении нелинейной геометрической акустики решена задача о прохождении интенсивной акустической волны через бесконечно тонкий фазовый экран. Уравнение эйконала сведено к системе уравнений типа римановых волн для наклонов лучей, найдено точное решение. Оно описывает модуляцию фазового фронта волны и образование областей сгущения и разрежения лучей.

2. Найдено точное решение уравнения переноса для волны с произвольным временным и пространственным профилем после прохождения ею фазового экрана. Показано, что модуляция фронта приводит к изменению поперечного распределения давления, в частности к зависимости «амплитуды» (пикового давления) разрыва и длины образования разрыва от поперечных координат. Поперечная структура разрыва для N-импульса оказывается более резкой, с образованием узких областей высокого пикового давления. Структура разрыва периодической "пилы", наоборот, характеризуется плавными изменениями поперечного профиля. Поперечные распределения находятся в соответствии с лучевой картиной; в областях сгущения лучей находятся максимумы давления, в областях разрежения — минимумы. Построено точное решение для круглого пучка с произвольным поперечным распределением «амплитуды». Продемонстрирован эффект насыщения — в приосевой области «амплитуда» слабо зависит от своего начального значения.

3. Рассчитаны статистические характеристики интенсивной волны, прошедшей через экран со случайной модуляцией. Найдена характеристическая функция, плотность вероятности и первые моменты распределения (среднее значение, средний квадрат) площади поперечного сечения лучевой трубки. Показано, что с увеличением расстояния максимум плотности вероятности площади трубки смещается в сторону меньших значений, дисперсия также возрастает, что говорит об увеличении вероятности наблюдения выбросов большой амплитуды. Рассчитана плотность вероятности наклонов лучей в произвольном сечении после экрана; вычислены среднее давления и дисперсия. Показано, что среднее давление убывает с ростом флуктуаций, в то же время дисперсия растет, что говорит о появлении выбросов больших амплитуд.

4. Найдено точное решение для интенсивной волны в двумерном и трехмерном слое я непрерывно неоднородной среды с периодическим распределением неоднородности в поперечном направлении. Решение описывает волну с произвольным временным и пространственным профилем. Для волн с ударными фронтами - периодической "пилы" и одиночного N-импульса - показано, что искажения фронта приводят к фокусировке и конкурируют с нелинейным затуханием. Для одиночного импульса затухание слабее, и рефракционная сходимость способна полностью компенсировать затухание и даже увеличить максимальную амплитуду по сравнению с начальным значением. Для синусоидального на входе сигнала неоднородность приводит к еще одному эффекту — длина образования разрыва становится различной для разных лучей; в результате начинает распространяться вторичная ударная волна — разрыв волнового фронта. Для решения уравнения переноса рассмотрена два метода (метод характеристик и лучевых координат) и показана их эквивалентность.

5. Показано, что мелко- и крупномасштабные неоднородности по-разному влияют на распространение разных начальных волновых профилей. Мелкомасштабная периодическая неоднородность приводит к фокусировке и повышению амплитуды в локальной области вблизи своей локализации. При этом набольшая фокусировка достигается для одиночного N-импульса. Крупномасштабная фокусировка приводит к увеличению амплитуды в целом, так что волна медленнее затухает на больших расстояниях. При этом оказывается, что периодическая пилообразная волна затухает медленнее, чем одиночный импульс.

6. Проанализированы эффекты, возникающие при распространении волны в неоднородной среде с диссипацией. Здесь ширина ударного фронта зависит от поперечной координаты. Рефракционные и нелинейные эффекты конкурируют друг с другом, и при определенных соотношениях приводят к уменьшению ширины ударного фронта, что говорит об образовании более сильной ударной волны. В рамках данной модели фокусировка слаба и не приводит к неограниченному росту «амплитуды» в фокусе даже без учета дифракции.

7. Рассмотрены различные методы замыкания стохастических уравнений для акустического давления в волне, распространяющейся в случайной среде. Показано, что многие методы, хорошо себя зарекомендовавшие в линейных задачах, неудовлетворительно описывают нелинейные волны. Для правильного описания необходимо сначала исключить фазовые флуктуации, и затем уже к преобразованному уравнению применять асимптотические методы.

8. Решена задача о дифракции волны с широким частотным спектром на случайном фазовом экране. Рассчитаны статистические характеристики волны после случайного экрана. Показано, что в среднем флуктуации фазы приводят к уменьшению амплитуды, и этот эффект похож на действие "турбулентной" вязкости. Полученные зависимости дисперсии пикового значения говорят о повышении вероятности больших выбросов при увеличении интенсивности флуктуаций, несмотря на убывание амплитуды в среднем.

9. Выведено новое параболическое уравнение для волны, падающей на экран под произвольным углом, которое учитывает дифракционные и нелинейные эффекты. Это уравнение позволяет описывать волны с широким частотным и пространственным спектром.

10. Предложено упрощенное уравнение нелинейной дифракции, позволяющее рассчитать поле на оси интенсивного сфокусированного пучка с произвольным частотным спектром.

В заключение выражаю глубокую благодарность заведующему кафедрой акустики, профессору Олегу Владимировичу Руденко за научное руководство и обсуждение полученных результатов.

1. Руденко О.В., Солуян С.И. Теоретические основы нелинейной акустики. М.: Наука, 1975.

2. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977.

3. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн (2-е издание, перераб. и доп.). М.: Наука, 1990.

4. Зарембо JI.K, Красильников В.А. Введение в нелинейную акустику. М.: Наука, 1966

5. Бахвалов Н.С, Жилейкин Я.М, Заболотская Е.А. Нелинейная теория звуковых пучков. М.: Наука, 1982.

6. Васильева О.А., Карабутов А.А., Лапшин Е.А., Руденко О.В. Взаимодействие одномерных волн в средах без дисперсии. М.: Изд-во Моск. Ун-та, 1983.

7. Новиков Б.К, Руденко О.В., Тимошенко В.И. Нелинейная гидроакустика. Л.: Судостроение, 1981.

8. Пелиновский Е.Н, Фридман В.Е, Энгельбрехт Ю.К. Нелинейные эволюционные уравнения. Таллин: Валгус, 1984.

9. Наугольных К.А., Островский Л.А. Нелинейные волновые процессы в акустике. М.: Наука, 1990.

10. Блохинцев Д.И. Акустика неоднородной движущейся среды. М.: Наука, 1981.

11. КравцовЮ.А, ОрловЮ.И. Геометрическая оптика неоднородных сред. М.:Наука, 1980

12. Гурбатов С.Н., Малахов А.Н, Саичев А.И. Нелинейные случайные волны в средах без дисперсии. М.: Наука, 1990.

13. Карабутов А.А., Руденко О.В, Сапожников О.А. Тепловая самофокусировка слабых ударных волн. Акуст. ж. 1989. т.35 №1. с.67-70.

14. Руденко О.В, Сагатов М.М, Сапожников О.А. Тепловая самофокусировка пилообразных волн. ЖЭТФ. 1990. т.98.№3 (9). С 808-818.

15. Руденко О.В., Сапожников О.А. Безынерционная самофокусировка недиспергирующих волн с широким спектром. Кван. Электрон. 1993, т.20. № 10. с.1028-1030.

16. Руденко О.В., Сапожников О.А. Волновые пучки в кубично нелинейных средах без дисперсии. ЖЭТФ. 1994.Т. 106.№2(8).С.395-413.

17. Руденко О.В., Сухоруков А.А. Дифрагирующие пучки в кубично-нелинейных средах без дисперсии. Акуст.ж.1995.Т.41.С.822-827.

18. Андреев В.Г., Карабутов А.А, Руденко О.В. Экспериментальное исследование распространения нелинейных звуковых пучков в свободном пространстве. Акуст.ж. 1985.Т.31 .№4.С.423-428.

19. Руденко О.В., Солуян С.И.,Хохлов Р.В. К нелинейной теории параксиальных звуковых пучков. Докл. АН СССР 1975.Т.225.№5.С. 1053-1055.

20. Гамильтон М.Ф., Руденко О.В., Хохлова В.А. Новый метод расчета параксиальной области интенсивных акустических пучков. Акуст.ж.1997.Т.43.№1.С.48-53.

21. Мусатов А.Г., Сапожников О.А. Нелинейные эффекты при фокусировке акустических импульсов с ударным фронтом. Акуст.ж. 1993.T.39.№3.C.510-516

22. Дубровский А.Н., Сапожников О.А. Наблюдение нелинейной эволюции акустических импульсов в отсутствие дифракции. Вестн.Моск. Ун-та, сер.З, физика, астрономия, 1993.Т.34.№4.С.67-73

23. Ахманов С.А., Гордиенко В.М., Карабутов А.А., Решилов А.Б., Руденко О.В., Шмальгаузен В.И. Теоретические и экспериментальные исследования лазерной генерации нелинейного звука. IX Всесоюзная акустическая конференция, 1997. ч. IV-6.C. 25-28

24. Руденко О.В., Хохлова В.А. О нелинейных и дифракционных эффектах в звуковых пучках со случайной поперечной структурой. Акуст.ж.1987.т.33.вып.2.с.335-341

25. Лапидус Ю.Р., Руденко О.В. Новые приближения и результаты теории нелинейных акустических пучков. Акуст.ж. 1984.№6.С.797-802

26. Руденко О.В. Нелинейные пилообразные волны. УФН.1995. Т.165.№9.С.Ю11-1036

27. Руденко О.В. Взаимодействия интенсивных шумовых волн. УФН, 1986.Т.149.вып.З.С.412-447

28. Thomas J.L., Fink М.А. Ultrasonic beam focusing through tissue inhomogeneities with a time reversal mirror: application through transscull therapy/ IEEE Trans. Ultrasonics Ferroelectr. Freq. Control. 1996. V.43. No.6. P. 1122-1129.

29. Руденко O.B., Сарвазян А.П. Нелинейная акустика и биомедицинские приложения Медицина и биотехнология. 2000.№З.С.6-19

30. Duck F.A. Nonlinear Acoustics in diagnostic ultrasound. Ultasound in Med and Biol. 2002. V.28.N. 1 .P. 1 -18

31. Руденко O.B., Сухорукова A.K. Нелинейные пилообразные волны в неоднородной среде. Акуст.ж. 1991.Т.37.вып.4.С.753-759

32. Руденко О.В., Сухорукова А.К. Нелинейная пилообразная волна в подводном звуковом канале. Акуст.ж., т. 37, № 5,1991

33. Руденко О.В., Сухорукова А.К., Сухорукое А.П. Уравнения высокочастотной нелинейной акустики неоднородных сред Акуст.журн. 1994. Т.40. № 2. С.290-294

34. Руденко О.В., Сухорукова А.К., Сухорукое А.П. Двумерные нелинейные волны с разрывами в стратифицированных средах. Акуст. ж., т.41, №2, 1995.

35. Руденко О.В., Сухорукова А.К., Сухорукое А.П. Распространение звуковых волн в нелинейных движущихся стратифицированных средах. Тр. 5 Всерос.шк.-сем. «Волн.явл.в неодн.средах», Изд. МГУ, 1996

36. Руденко О.В., Сухорукова А.К., Сухорукое А.П. О распространении высокоинтенсивных акустических волн в неоднородных средах. Изв.АН, сер. Физическая, 60,12, 1996

37. Руденко О.В., Сухорукова А.К., Сухорукое А.П. Полные решения уравнения геометрической акустики в движущихся стратифицированных средах. Акуст.ж., 43, 3,1997

38. Руденко О.В., Чиркин А.С. О статистике шумовых разрывных волн в нелинейных средах. Докл. АН СССР. 1975. Т.225. №3.C520-523.

39. Руденко О.В., Хохлова В.А. Кинетика одномерных пилообразных волн. Акуст.ж., 1991 .Т.37.вып. 1 .С. 182-188.

40. Maglieri D.J. Overview of current knowledge and activity in sonic boom research. 124th Meeting Acoustical Society of America, New Orlean, 1992.

41. Новиков Ю.В., Фридман B.E. Лучевая структура звукового поля в стандартной атмосфере. Препринт №280. -Горький, Изд.НИРФИ, 1989.

42. Hubbard Н.Н., Maglieri D.J., Stephens D.G. Sonic boom research (Selected bibliography). NASA Technical Memorandum 87685. Langley Research Center, Hampton, 1986.

43. Ruyan L.J., Kane E.J. Sonic boom literature survey. Report № AD-771-274. National Technical Information Service, Springfield, 1973.

44. Plotkin K.J. Review of sonic boom theory. Proc. 12th Aeroacoustics Conference. AIAA, N.-Y., 1989.

45. Darden C.M., Hayes W., George A., Pierce A.D. Status of sonic boom methodology and understanding. NASA Publication 3027, Office of management, 1989.

46. Pierce A.D. Nonlinear acoustics research topics stimulated by the sonic boom problem. Proc. 13 th ISNA, Bergen. Norway, 1993.

47. Бабич B.M., Будырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука, 1972.

48. Осташев В.Е. Распространение звуковых волн в неоднородных движущихся средах (обзор). XI Всесоюзн. Акуст. Конф., М.: Изд. Акустического ин-та, 1991.

49. Whitham G.B. The flow pattern of a projectile. Commun Pure and App.Math.l952.V.5.P.301-348.

50. Whitham G.B. On the propagation at weak shock waves. J.Fluid Mech. 1956.V.1.P290

51. Whitham G.B. A new approach to problems of shock dynamics. J.Fluid Mech.1957.V.2.P. 145-171. 1959.V.5.P.369-386

52. Keller J.B. Geometrical acoustics. 1. The theory of weak shock waves. Y.Appl.Phys. 1954.V.5.N.8

53. Rao P.S. Supersonic bands. Pt 1,2. Aeronaut. Quart. 1956.VII.P.21-44, 135-155.

54. Randall D.G. Methods for estimating distributions and intensities of sonic bands. Aeronaut Quart. 1958.IX. 164-194

55. Губкин K.E. Распространение разрывов в звуковых волнах ПММ.1958.Т.ХХН.вып.4

56. Полянский О.Ю. О затухании ударных волн в движущейся среде с переменными плотностью и температурой. ПММ. 1960.Т.ХХ1У.вып.5

57. Рыжов О.С. Затухание ударных волн в неоднородных средах. ПМТФ. 1961.№2, №6

58. Read J.W., Adams K.G. Sonic boom waves. Calculation of atmospheric refraction. Aerospace Eng. 1962.V.21.P.66-69.

59. Лайтхилл М.Дж. Высшие приближения, в сб. "Общая аэродинамика больших скоростей", ред. Сире У.Р. М.: Изд. МО, 1962.С.300-431

60. Фридман, Кейн, Сигала. Влияние атмосферы и движения самолета на положение и интенсивность звукового удара. Ракетн. техн и космон. 1963.№6.С.56-67

61. Жилин Ю.Л. Теория затухания стационарных и нестационарных ударных волн в неоднородных средах. Труды ЦАГИ. 1967.вып.1094.С.З-12

62. Жилин Ю.Л. О звуковом ударе. Ученые записки ЦАГИ.1971.Т.11.№3.

63. Жилин Ю.Л. Звуковой удар от сверхзвукового пассажирского самолета. Труды ЦАГИ. 1973 .вып. 1489.С.41 -45

64. Жилин Ю.Л. Звуковой удар от самолета при полете вдоль произвольной траектории в слоистой атмосфере с трехкомпонентным ветром. В сб. Аэромеханика. М.: Наука. 1976.С.73-86

65. George A.R. reduction of sonic boom by azimuthal redistribution of overpressure. AIAA J. 1969.V.8.№2

66. Hayes W.D., Haefeli R.C., Kulsrud H.E. Sonic boom propagation in stratified atmosphere with computer program. NASA contractor report, CR-1299. (1969)

67. Пронин H.M. Метод и программа расчета звукового удара в слоистой атмосфере с учетом ветра. Труды ЦАГИ. 1973.вып.1489.С.97-104

68. Звуковой удар и методы уменьшения его интенсивности, (библ. список). ЦАГИ, ОНТИ.1974. 26 С.

69. Результаты некоторых исследований по теории звукового удара. Труды ЦАГИ. 1981.вып.2110.

70. Чернышев С.Л. Расчетные исследования по влиянию компоновки самолета и режима его полета на звуковой удар. Труды ЦАГИ. 1984.вып.2240.С.З-12

71. Чернышев С.Л. О влиянии приземного слоя атмосферы на звуковой удар. Труды ЦАГИ. 1984.вып.2240.С.З-12

72. Воеводенко Н.В., Шифонтьев В.А. Расчет гиперзвукового обтекания трехмерных тел с использованием закона сечений Труды ЦАГИ. 1985.вып.2262

73. Александров Ю.А. и др. Приближенный метод аэродинамического расчета летательных аппаратов при больших сверхзвуковых скоростях. Труды ЦАГИ. 1989.вып.2492

74. Gollard D. Future supersonic transport studies at Aerospatiale. SAE Techn.Rep.Ser. N 901890. 1990,1-9. Авиастроением 18. 1992.C22-30

75. Corell P, at al. Supersonic aerodynamics characteristics of a Mach-3 high speed civil transport configuration. AIAA Rep. 1990. V.3210.P.1-9. Авиастроение 1992.№5.C.26.

76. Pittman J. et al. Euler analysis of a high-speed civil transport concert at Mach-3. J.Aircraft. 1991.V.28.N.4.P.239-245. Авиастроение 1992.№20.C.2-9

77. Wesoky, Howard et al. NASA's high-speed research program: an introduction and status report. SAE Techn.Pap.Ser. N 901923. 1990.P.1-24. Авиастроение 1992. №20.C.2-18

78. Maglieri D.J. Overview of current knowledge and activity in sonic boom research. J.Acoust.Soc. Am. 1992.V.92.N.4(2).P.2328

79. Lipkens В., Blackstock D.T. Further report on propagation of spark-produced N-waves through turbulence. J.Acoust.Soc.Am. 1992.92.N.4(2).P2330

80. Фридман B.E. Лучевая теория акустических волн конечной амплитуды. Автореферат докт. Дисс. М.: ИОФ АН СССР. 1985

81. Осташев В.Е. Распространение звука в движущихся средах. М.: Наука. 1992

82. Xu D., Honma Н. Numerical simulation of weak blast waves in air using a linear analysis. Trans. Of the Japan Soc. For Aeronaut. And Space Sci. 1989. V.32.N.95.p.26.

83. Honma H., Glass I.I., Wong C.H., Hoist-Jensen O., Xu D. Experimental and numerical studies of weak blast waves in air. Shock waves. 1991.V.1.P.111-119

84. Березкина M.K., Смирнов И.В., Сьпцикова М.П. Формирование ударных волн взрывного профиля в ударной трубе. ПМТФ. 1989. №6.С.50-56

85. Glass J., Patterson G.N. A theoretical and experimental study of shock tube flow. J.Aero.Sci. 1953. V.22. N.2.P.73-100

86. Холдер Д., Норт P. Теневые методы в аэродинамике. М., 1966

87. Hodgson J.P. Vibrational relaxation effects in weak shock waves in air and the structure of sonic bangs. J. Fluid Mech. 1973.V.58.P.187-196

88. Pirce A.D. Statistical theory of atmospheric turbulence on sonic boom rise times. J. Acoust.Soc. Am. 1971. V.49.P.906-924

89. George A.R, Plotkin K.J. Propagation of sonic booms and other weak nonlinear waves through turbulence. Phys. Of Fluids. 1971.V.14. P.548-554

90. George A.R, Plotkin K.J. Propagation of weak shock waves in turbulence. J.Fluid Mech. 1972.V.54.P.449-467

91. Flowcs-Williams J.E., Howe M.S. On the possibility of turbulent thickening of weak shocks. J.Fluid Mech. 1973.V.58.P.461-480

92. Bass H.E., Raspet R. Vibrational relaxation effects on the atmospheric attenuation and rise times of explosion waves. J.AcoustSoc.Am. 1978.V.64.P.1208-1210.

93. Bass H.E., Ezell J., Raspet R. Effect of vibrational relaxation on rise times of shock waves in the atmosphere. J.Acoust.Soc.Am. 1983.V.74.P.1514-1517

94. Tubb P.E. Measured effects of turbulence on the rise time of a weak shock. Paper AIAA-75-543, in Proceedings of the AIAA 4th Aeroacoustics Conference (New York, 1975)

95. Bass H.E., Layton B.A., Bolen L.N., Raspet R. Propagation of medium strength shock waves through the atmosphere. J.Acoust.Soc.Am. 1987.V.82.P.306-310

96. Hayes W.D., Runyan H.L. Sonic boom propagation through a stratified atmosphere. J.Acoust.Soc.Am. 1972.V.51.P.695-701

97. Pierce A.D. Acoustics: an introduction to its physical principles and applications. New York, 1989.

98. Pierce A.D., Sparrow V.W. Relaxation and turbulence effects on sonic boom signatures. NASA Conference Publication 10087,pt.3.P.l211-1240

99. Kang J., Pierce A.D. Profiles and Fourier transforms of weak shocks propagating through a relaxing atmosphere. Computational Acoustics. V.2,P. 195-207.

100. Pierce A.D. Progressive wave equation and algorithms for sonic boom propagation. Proceedings of the 1993 Noise-Con. Williamburg, ed. Stephens D.G. 1993

101. Mendousse J. Nonlinear dissipative aistortion of progressive sound waves at moderate amplitudes. J.Acoust.Soc.Am 1953.V.25.P.5154.

102. Raspet R., Bass H., Yao L., Wu W, Steady state risetimes of shock waves in the atmosphere. Yigh-Speed research: V.l, NASA Conference Publication 3172.P. 109-115

103. Crow S.C. Distortion of sonic bangs by atmospheric turbulence. J.Fluid Mech. 1969.V.37.P.529-563

104. Kang J. Transient evolution of steady-state shock profiles for sonic booms in a relaxing atmosphere. J.Acoust.Soc.Am.Suppl.l 1990.V.87.P.s20

105. Pierce A.D. Spikes on sonic boom pressure waveforms. J.Acoust.Soc.Am. 1968.V.44.P. 1052-1061

106. Kulkarny V.A., White B.S. Focusing of waves in turbulent inhomogeneous medium. Phys. Fluids. 1982.V.25.P. 1770-1784

107. White D.S. The stochastic caustic. SSIAM Jour.Appl.Math. 1984.V.44.P.127-149

108. Zwillinger D.I., White B.S. Propagation of initially plane waves in the regione of random caustics. Wave Votion. 1985.V.7.P.207-227

109. Hesselink L., Sturtevant B. Propagation of weak shocks through a random medium. J.Mtch. 1988.V.196.P.513-553

110. Karweit M.,Blanc-Benon Ph.,Juve D.,Comte-Bellot G. Simulation of the propagation of an acoustic wave through a turbulent velocity field: a study of phase invariance. J.Acoust.Soc.Am. 1991.V.89.P.52-62.

111. Sparrow V.W., Pierce A.D. Simulation of sonic boom ray tube area fluctuations for propagation through atmospheric turbulence including caustics via f Monte Carlo method. High-speed research: Sonic boom, V.l, NASA Conference Publication 3172. P.49-62

112. Mayers M.K., McAninch G.L. parabolic approximation for sound propagation in the atmosphere. AIAA Jour. 1978.V.16.P.836-842

113. Reiso E., Naze Tjotta J., Tjotta S. Nonlinear equations of acoustics in an inhomogeneous fluid. Frontiers ofNonlinear Acoustics: Proceedings of 12th ISNA.P.177-182.

114. McDonald B.E., Kuperman W.A. Time domain formulation for pulse propagation including nonlinear behavior at a caustic. J.Acoust.Soc.Am. 1987.V.81.P. 1406-1417

115. Too G.P.J., Ginsberg G.H. Nonlinear progressive wave eqation for transient and steady-state sound beams. J.Acoust.Soc.Am. 1992.V.91.P.59-68

116. Pierce A.D. Wave equations and computational models for sonic boom propagation through a turbulent atmosphere. High-Speed research: Sonic Boom, V.l, P.31-48

117. Pierce A.D., Sparrow V.W. Weak shock propagation through a turbulent atmosphere. Paper AIAA-90-4031. Proceedings of the AIAA 13th Aerjacoustics conference

118. Pierce A.D. Wave equation for sound in fluids with unsteady inhomogeneous flow. J.Acoust.Soc.Am. 1990.V.87.P.2292-2299

119. Pierce A.D. The Helmholz-Kirchoff integral relation as a framework for developing algorithms for sound propagation through inhomogeneous moving medis. Computational Acoustics: Ocean-Acoustics models and supercomputing.P.53-66

120. Дубровский A.H., Руденко O.B., Хохлова В.А. Флуктуационные характеристики волны звукового удара после прохождения случайно-неоднородного слоя Акуст. Журн. 1996. Т. 42. №5. С.623-628.

121. Rudenko O.V., Enflo В.О. Nonlinear N-wave Propagation through a One-dimensional Phase Screen // Acustica. 2000. V.86. P. 229-238.

122. Руденко О.В. Нелинейные методы в акустической диагностике (Обзор) Дефектоскопиия. 1993. С.24-32.

123. Куличков С.Н. Дальнее распространение звука в атмосфере (обзор). Известия Академии наук. Физика атмосферы и океана, 1992, т.28, №4, с.339-361.

124. Руденко О.В., Сухорукова А.К., Сухоруков А.П. Двумерные нелинейные волны с разрывами в стратифицированных средах. Акуст.ж. 1995.Т.41.Ж2.С.291-295

125. Татарский В.И. Распространение волн в турбулентной атмосфере. М.:Наука.1967

126. Распространение волн во флуктуирующем океане. Под. Ред. Флате С.М. М.: Мир. 1982

127. Рытов С.М., Кравцов Ю.А., Татарский В.И. Введение в статистическую радиофизику. Ч. II. М.: Наука. 1978

128. Канер. Э.А. К теории распространения волн в среде со случайными неоднородностями. Изв. Вузов.Радиофизика.1959.Т.2.С.827

129. Гурбатов С.Н., Пелиновский Е.Н., Саичев А.И. К проблеме замыкания уравнений для средних полей в нелинейных средах с хаотическими неоднородностями. Изв.вузов.радиофизика. 1978. Т.21 .№ 10.С. 1485-1491

130. Бенилов Е.С., Пелиновский Е.Н. К теории распространения волн в нелинейных флуктуирующих средах без дисперсии. ЖЭТФ.1988. Т.94.№1.С.175

131. Ибрагимов Н.Х., Руденко О.В. Принцип апрорного использования симметрии в теории нелинейных волн. Акуст.ж.2004. Т.50.№4.С.481-495

132. Ахманов С.А., Дьяков Ю.Е., Чиркин А.С. Введение в статистическую радиофизику и оптику. М.: Наука, 1981

133. B.Lipkens, D.T.Blackstock. Model experiment to study sonic boom propagation through turbulence. Part 1: General results. J.Acoust.Soc.Am, 1998,v.l04, p. 148-158/

134. B.Lipkens, D.T.Blackstock. Model experiment to study sonic boom propagation through turbulence. Part 2: Effect of turbulence intensity and propagation distance through turbulence. J.Acoust.Soc.Am, 1998,v.l04, p.1301-1309

135. Lipkens В. Experimental and theoretical study of the propagation of N waves through a turbulent medium. Diss. For the degree of PhD. The University of Texas at Austin. 1993

136. Blanc-Benon P., Lipkens В., Dallois L., Hamilton M.F., Blackstock D.T. Propagation of finite-amplitude sound through turbulence: Modeling with geometrical acoustics and the parabolic approximation J.Acoust.Soc.Am. 2002. V.l 11.

137. Enflo B.O., Rudenko O.V. To theory of Generalized Burgers' Equations. Acta Acustica. 2002. V.88.

138. Гусев В.А, Руденко O.B. "Прохождение широкополосных нелинейных сигналов через случайно-неоднородную среду", Вестник МГУ, Серия Физика, 2001, №6, с.37-40.

139. Гусев В.А. "Прохождение широкополосных звуковых ударов через случайный фазовый экран", Известия РАН, Серия Физическая, 2002, том 66, №12, с. 1742-1746.

140. Gusev V.A. Propagation of sonic booms through the turbulent boundary layer of the atmosphere. Nonlinear Acoustics at the beginning of the 21st Century, International Simposium on Nonlinear Acoustics ISNA-16,2002, Moscow, vol.1, pp 315-318.

141. Gusev V.A. Rudenko O.V. "Propagation of intense acoustical waves through the periodical inhomogeneous medium", Proceedings of the Eleventh International Congress on Sound and Vibration ICSVI1, St.Peterburg, 2004, p. 407-412.

142. Гусев В.А., Руденко O.B. Статистические характеристики интенсивной волны за двумерным фазовым экраном. Акуст.Журн. 2005.№6

143. Гусев В.А. "Прохождение ударноволнового импульса N-образной формы черезтурбулентный атмосферный слой", Тезисы Международной Конференции Студентов и Аспирантов по Фундаментальным Наукам "Ломоносов-2001", Москва, секция Физика, с. 117-119.

144. Гусев В.А., Руденко О.В. "Прохождение широкополосных сигналов через случайно-неоднородную среду", Труды VIII Всероссийской Школы-Семинара "Волновые Явления В Неоднородных Средах", Красновидово, 2002, часть 2, с. 28-29.

145. Гусев В.А., Руденко О.В. "Распространение интенсивных акустических волн через периодический неоднородный слой", Труды IX Всероссийской Школы-Семинара "Волновые Явления В Неоднородных Средах", Звенигород, 2004.

146. Gusev V.A. Rudenko O.V. "Propagation of intense acoustical waves through the periodical inhomogeneous medium", Proceedings of the Eleventh International Congress on Sound and Vibration ICSVI1, St.Peterburg, 2004, p. 407-412.

147. Гусев B.A., Руденко O.B. "Статистические характеристики интенсивной акустической волны после прохождения двумерного случайного фазового экрана", Сборник трудов XV сессии Российского Акустического Общества, Нижний Новгород, 2004. т.1, с.180-184.