Необратимые процессы в интенсивных волновых полях, средние поля и нелинейная акустика тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

г | и V"

- а МАЯ 1935

Санкт-Петербургский Государственный университет

На правах рукописи

МАКАРОВ Серией Николаевич

НЕОБРАТИМЫЕ ПРОЦЕССЫ В ИНТЕНСИВНЫХ ВОЛНОВЫХ ПОЛЯХ. СРЕДНИЕ ПОЛЯ II НЕЛИНЕЙНАЯ АКУСТИКА

01.02.05 - механика жидкостей, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических паук

Санкт-Петербург 1995

Работа вьшсякена в Санкт-Петербургском государственном университете Научный консультант - д.ф.-м.н., профессор Б.В. Филиппов

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Аленнсои Юрий Зосимович доктор физико-математических паук, профессор

Бабич Василий Михайлович доктор физахоматематических наук, профессор

Коузов Даниил Петрович

Ведущая организация: Московский государственный университет

Защита состоится 25 мая 1995 гада в 16 часов 30 шт. на зяседашш диссертационного совета Д 063.57.34 «о защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в Санкт-Петербургском Государственном университете по адресу; 198904 Санкт-Петербург, Сг.Петергоф, Библиотечная пл., д. 2, математико-мсханический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Горького Санкт-Петербургскою государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., д. 7/9.

Автореферат разослан апреля 1995 года

Ученый секретарь диссертационного совета,

профессор С.А. Зегжда

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Предметом нелинейной акустики являются волны давления умеренной п малой шггенснвностп. Илтерес к нелнпейпой акустике и ее возникновение как самостоятельной дисциплины были г.о многом инициированы развитием ультразвуковой техппки к созданием с 50-х мощных излучателей ультразвука. Теория шшейяой акустики оказалась неприменимой и возникла необходимость в приплечешпг других моделей. Простейшей ю них является комбинация волны Римана и пзэнтрошиеского скачка. В течении ряда лет эта модель или, как альтернатива, прямое разложение решения в ряд по малому параметру господствовали в литературе что отражает, например, киша Зарембо и Красилыгиксва (i960) или обзор Beyer (1965).

Римановское решение плохо тем, что только плоская бе[ухцая волна в идеально!! среде является объектом анализа. Пп геометрические искаженна, пп вязкое поглощение, ни иные процессы не могут быть рассмотрены одновременно. С другой стороны, теория возмущений учитывает обьпгао лишь слабое нелинейное искажение формы волны, что явао недостаточно. Качественный скачок был сделан в связи с использованием асимнтотсгческого метода медленно меняющегося профиля и с формулировкой так называемых моделыалх уравнений нелинейной акустики. Исходной точхой здесь являются точные уравнения механики жидкости. "Нулевое прпблпже;п;е" суть по-прежнему плоская бегущая акустическая волна. Однако следующее приближение, полученное га точных ypamiemrft. ys;e учитывает перечисленные мехашамы и дает совершенно другую форму полны па достаточно больших расстояниях или временах. Различные модельные уравнегая, отбывающие этот процесс, есть пн что иное, как хорошо швестное уравпеш:е простых воли во втором ррибдтгуеиии относктелыго амплитуды волны, дополненное соответствующими членами, возможно пеодяомернымп. За исключением некоторых полых результатов, теория модельных уравнений второго приближения достаточно полно изложена в книгах Рудеихо и Солуяиа (1975) а также Бахвалова, Жияейхниа и Заболотской (1982).

В настоящее время уравнения пелинеГшой акустики привлекают внимание в связи с развитием ультразвуковой техники удаления камней из печешт и других органоа человека. Они позволяют рассчитать волновое поле в различных зонах, включая фокус излучателя. При атом речь, в основной, идет о развитии численных методов, хотя предлагаются также повью теоретические модели. Ряд практически вазашх приложений як-ют место в шдр псу стихе (параметрические аптенпы, подводт-га взрывы, калибровка мощиьп

ультразвуковых излучателей). С точки зрения аэромеханики область приложений включает в себя теорию звукового удара, воздушные резонаторы и т.д.

В ряде случаен амплитуды колебаний могут быть настолько велики (порядка или более 100 гтм в воде ш 0.1 атм в воздухе ), что теория второго приближения ухе является недостаточной. В то же время прямое численное моделирование задач все еще не представляется возможным. Возникает необходимость в разработке модели следующего приближения, учитывающего, помимо всего прочего, еще одна важный физический механизм -цеиззЕггрогшческий (необратимый) характер движения среда. Метод

медленно меняющегося профиля теории воли конечной амплитуда сформулировал так, что учет необратимых эффектов отвечает третьему приближению по малому параметру - амплшуде волны, точно также, как в газовой динамике. Поэтому указанное приближение носит назвапие шгдшшшешяе. Первые результаты его исследогшигя были сообщены Рудспко, Солуаном н Хохловым в 1969 году.

Распространение шггенсивпой периодической волны сопровождается целым рядом необратимых процессов среди которых наиболее заметными являются акустическое течение и акустический нагрев. Здесь речь уже вдет о новых пщродашамических модах (тепловая и вихревая), не имеющих, строго говоря, ничего общего с акустикой. Тем пе мепее, имеет смысл сохранить понятие волны давленая, заимствованное из классической акустической теории и рассматривать полное течение как суперпозицию трех мед с учетом, если это потребуется, взаимодействия между ними.

Акустические макроскопическле течения интенсивно исследовались в 6070-х годах у вас в стране и за рубежом. Сколько-нибудь значительных технических приложений найдено однако не было. Акустические макроскопические течения рассматриваются скорее как помеха при различных измерениях или процессах таких как, например, акустическая коагуляция суспензий.

Акустический нагрев часто пе столь заметен экспериментально, но является, как показано в настоящей работе, энергетически наиболее значимым механизмом диссипации. Интересное приложение связано с самофокусировкой звука в сильно поглощающих средах. Последнее особенно интенсивно обсуждалось в отечественной литературе в конце 80-х начале 90-х годов. В медицинской технике и в ультразвуковой экспозиметршг акустический патрев является нежелательным фактором и, с этой точки зрения, изучается более деталью.

Своеобразным и малоизученным пеобратпмым процессом является самоотражение звука, т.е. появление слабой прогивополоашо направленной звуковой волны в результате поглощения главной. Этот эффект бил открыт в приложения к акустическим задачам Рудеихо, Сояуяиом п Хохловым еще в 1969 году, по в дальпеПшем соответствующая теория не получила должного развитая. Упиверсальность п важность этого эффекта в приложения к определению средних параметров волнового поля остались вне рамок первоначального анализа.

Существенное (и несколько неожиданное) утверждение состоит в том, что вычисление средних параметров звукового поля в реальной поглощающей среде также может требовать учета необратимости и неизэвпроппчносш течения, даже в пренебрежения акустическим нагревом и течением. Дело в том, что процесс иакаплшшшя малых кубических тгсймутценлй вдоль трассы волпы иозеет иметь следствием суммарную величгагу второго порядка, т.е. того же порядка, что и самя средние. Определение средних параметров звукового поля (радиационное давление) важно для нахождения интенсивности звука по данным механичесык измерений (ультразвуковая экспозиметрия). Имеется также ряд "экзотических" приложений как то "акустический" пинцет и тд.

Деаь-ра&ньи Основной целью работы является анализ газодинамического приближения теория воли конечной амплитуды, что соответствует учету влияния необратимых процессов на распространение пот в сжимаемой вязкой теплопроводной жидкости пот в жидкости с произвольным механизмом поглощенпя. Одновременно результаты для слабопелннейпых еоля расширяются на случай умеренных амплитуд вплоть до их безразмерных значений порядка единицы.

Областью исследования являются одномерные а двумерные осескмметрнчные интенсивные волновые поля тала звукового пучха в неограниченном пространстве либо в трубе.

Главное внимание уделяется периодическим волнам для которых необратимость приводит к поеым и интересным эффектам. Наиболее существетгымп паправленпямп настоящего псследоваши являются:

1. Непзэнтропяческне эффекты для главной волновой моды ц соответствующее эволюционное уравнение.

2. Источники новых мод, условия их существования к взаимосвязь,

3. Самоотражешге звука в условиях открытого и закрытого сосудов.

4. Средние параметры звукового поля в потога&ющей среде.

5. Влияние новых мод на исходную волну шш так называемое самовоздейспше звука.

Шушимладгоня, Получено простое эволюцношюе уравнение для плоских бехутцих воли в реальной среде, обобщающее результат второго приближении-уравнение Бюргерса, и учитывающее влияние необратимости и малыг следующего порядка. Получено эволюционное уравнение для нелинейных звуковых пучков третьего приближения.

Детально исследован необратимый эффект самоотражения интенсивной волны в условиях закрытого сосуда при различных механизмах поглощения. Показано, что самоотражение существует всегда и определяется изменением среднего квадрата скорости пивной волны в пространстве. Теоретически рассчитана периодическая отраженная волна, возникающая при амплитудной модуляции гаавной.

Исследован эффект самоотражсния для нелинейного звукового пучка в свободном пространстве. В свободном пространстве отраженные волны, бегущие к излучателю, обнаружены не были. Потери импульса прямой волны преобразуются ш в отраженную волну, а в вихревое акустическое течение.

Указано, что задача Рэлея о радиационном давлении может иметь три различных решения:

-классический результат для идеальной среды без поглощения -решение для среды с квазвдциабатическим погоощяшем -решение для реальной кездкабатичесхой среды. Найден конкретный вид двух аослсдпих решешй.

Введены: определения интенсивности волны и потенциальной энергии волнового паяя, верные в малых любого порядка относительно амплитуды волны.

Показано, что критерий тслэвой самофокусировки звука, содержащий температурный коэффициент скорости звука, является неполным. Необходим дополни ельиый учет изменения средней плотности среды. Оп приводит к возможности самофокусировка звука в газообразных средах с показателем адиабаты у, большим двух.

Достоверность резулу.тутпд подтверждается сравнением нескольких независимых теоретических подходов, развитых в работе. Кроме того, полученные формулы сравниваются с данными прямого числешюго расчета неадиабатических волновых полей, выполненными недавно японскими акторами. При исследовании уравнений третьего приближения в гааве 5 проводится сравнение' с данными расчетов по эволюции нестационарных ударных волн, выполненных отечественными авторами.

Рршгпгкестф отуу^ядс диссертации состоит в формулировке весьма простых уравнений и формул, позволяющих аналитически и численно

моделировать волновые поля с безразмерным! амплитудами, сравнимыми с единицей, а также исследовать сопутствующие необратимые процессы.

Рад результатов диссертации могут быть использованы и используются в учебном процессе при преподавании таких дисциплин, как механика сплошных сред, нелинейная акустика, техническая акустика.

АпроСашш и публпкппип. Основные результаты диссертации

докладывались на трех Всесоюзных школах по моделям механики сплошной среды (1983, 1985, 1989), на международной конференции по моделированию в механике (Новосибирск 1990), на двух совещаппях сскщт "Физическая акустика" Немецкого акусппеского общества (Бая Хоннеф 1993, 1994), на конференции по асимптотическим методам в механике жвдкостп (Париж 1994), а также па городском акустическом семинаре Петербурга, семинарах в СПбГУ, МГУ, Санкт-Петербургском отделении математического 1ш-та РАН, Техническом ун-те Берлина, Фнзжо-техничсском немецком федеральном институте (Ьраупгавайг) и ,'срупк организациях. Отдельные результаты были включены в лекптг, прочитанные в Техническом ун-те Берлина в 1993 году.

Полный список публикаций автора составляет 38 наименований [1-38], цитируемых Ш1жс в списке литературы. Работы [4, 5, 12-37] непосредственно раскрывают содержанке настоящей диссертации, остальные затрагивают близкие вопросы.

'Структура и о5т>см работы. Ныло принято целесообразным изложить результаты, касающиеся необратимых процессов, в контексте современной теории нелинейной акусгнкн, развеется, в весьма ограпичепном объеме. Главная причина для этого-разпообразие эффектов третьего порядка, которые проявляются в различных разделах, но, тем не менее, тесно сгязаиы друг с другом.

Не ставилось целью папясать «пну о предмете, подобную известным монмрафням ко нелинейпой акустике. Тем но менее, в ■ некоторых своих частях настоящая работа пе требует привлечения дополнительной информации и является в этой смысле замкнутой. С точки зрешга структуры она может быть охарактеризована как комбинация оригинального исследования п мопографпческого обзора теории.

Каждая гаава начинается с анализа известных результатов и продолжается изучением влияния необратимых процессов на ати результаты п, как следствие, соответствующими изменениями в теории. Специальный и трудоемкий вопрос вывода уравнений кошпейпой акустики третьего приближенна шпесеп в отдельпую главу.

Диссертация состоит из шести глав, заключения, списка цитируемой литературы и двух приложений. Литература приводится общим списком в конце работы и цитируется, за исключенном списка авторских работ, выпесегагого в начало, в алфавитном порядке. Общий объем диссертации составляет 269 страниц, 17 рисунков и 10 таблиц. Список литературы содержит 330 наименований. Нумерация формул, рисунков, таблиц и сносок -сквозная внутри каждой главы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Краткое содержание по главам. В главе 1 (Введение) анализируется состояние предмета исследования, особенности изучения необратимых процессов, а также содержание работы.

В плаве 2 рассматриваются различные уравпеиия состояния жидкой и газообразной среды, используемые в теории волн конечной амплитуды. Изменение исходного состояния среды, которое обычно опускается при расчете волнового поля, связано с необратимыми процессами: акустическим нагревом и течением. Оно может быть учтено путем использовании модифицированного уравнения состояния, что приводит к так называемому эффекту самовоздействия звука. Глава содержит новый момент, а именно, учет изменения равновесной плотности нагреваемой среды, что делает теоретически возможным самофокусировку звука s газовых средах с большим значением показателя адиабаты.

Пхава 3 посвящена усредненным эффектам звуковых волн. С самого начала мы обсуждаем известные факты для акустической ттгенсгашости (вектор плотности потока энергии), среднего давления, тензора радиационного давления, радиационной силы н т.д. в идеальной среде. Приводится не только стандартное определяем акустической интенсивности но и более общее, верное в малых любого, в том числе и третьего порядка, полученное автором совместно с К. Байсснером.

Далее мы переходим к анализу поведения средних поля в поглощающей среде. Источники тепла п гидродинамического импульса, приводящие к акустическому нагреву н течению, определяются как дивергенции акустической интенсивности и тензора радиационного давления соответственно. Кратко обсуждаются свойства двух новых мод и их количественные характеристики.

Следующая часть главы касается средних поля в попгощающей среде в условиях открытого сосуда. Здесь мы стремимся обосновать течку зрения.

состоящую в том, что учет необратимости и вообще теория третьего приближения играют по очень значительную роль в »том случае, если исключить геометрические эффекта самовоздейепшя. Хотя приведенные в этой части главы рассуждепня являются во многом умозрительными, они подтверждаются в дальнейшем сравнением с рядом теоретических и экспериментальных выводов.

Наиболее подробпо гпучаются средние поля в поглощающей среде в условиях закрытого сосуда (плоская волна). Анализ начипается с эффекта самоотражения звука. Этот эффект рассматривается с методически повой точки зрения, что позволяет учесть практически любой механизм поглощения. Собственно расчет средних в условиях закрытого сосуда предполагает влияние самсютражсшы. Мы рассматрииасм классическую задачу Рэлея об определении радиационного давления плоской бегущей волны в трубе на идеальный попготсгтеяь звука, расположенный па конечном расстоянии от поршня. Найденные такта образом средние отличаются от значений, цитируемых .в литературе по акустике и относящихся к случаи незатухающей волны.

В целях полноты изложети в конце главы дал краткий анализ теории радиационной силы, действующей да малые частицы в звуковом поле.

Глава 4 характеризует переход я новому разделу, а именно к нелинейным эволюционным уравнениям. В этой главе выведено нелинейное волновое уравнение, и приведена полная система уравнений, описывающая необратимые процессы в звуковом поле а также самовоздействие звука в трехмерном пространстве.

Пива 5 является следующей по объему вслед за главой 3 и посвящена модельным эволюционным уравнениям нелинейной акустики. Здесь представлены и исследованы эволюционные уравнения третьего юш газодинамического приближения для плоских и неодномерпых волн. В плоском одномерном случае их следствием является уточненное правило равных площадей шш правила Уизема для псстацвонаряых ударных волн. Исследуются физические особенности решения для главной волны и область его применения.. Проведено сравпепне ряда результатов с аналогичными, по полученными методически другим путем в главе 3. Установленное совпадет» дает основание признать оба подхода справедливыми.

Наряду с анализом уравнений третьего приближения, мы обсуждаем последовательно и достаточно полно а друпю модельные уравнения, почта гая от уравнения простых воли и кончая более сложными трехмерными моделями и численными схемами.

В глазе 6 мы приводим полный вывод эволюционных уравнений а также других соотношений третьего приближения для ограниченных пучков (и, как частный случай - плоских волл) с использованием асимптотических условиГ параболического приближения, которое само попутно уточняется в малых следующего за главным порядка. Особое внимание уделяется результатам для отраженных волн в неодномерном случае. Устанавливается связь между самооотражепием и акустическим течением как родственными явлениями, вызванными необратимыми потерями волнового импульса. Лишь форма реализации этих потерь является различной вследствие различной геометрии.

В заключении сформулированы все оригинальные результатов настоящего исследования.

I. Самоотражепае для плоских вали. Феномен самоотражения о идеальной среде получается из уравнений газовой динамики и неявно обсуждался еще Курантом и Фридрихсом (1950). Пусть имеется одиночный импульс, состоящий из простой волны с ударной волной па переднем фронте. В результате взаимодействия между простой и ударной волной должна появиться отраженная волна, бегущая в обратно,« направлении. Эта ситуация напоминает зеркальное отражение, если зеркало заменяется ударным фронтом, а лучи-характервегакамн. Элементарная отраженная волна является очень малой величиной а пропорциональна третьей степени ампшпуды скачка.

Чтобы доказать существование самоотражения при конечных числах Рейнольдса, воспользуемся асимптотическими условиями метода медленно меняющегося профиля. Предполагается, что безразмерная амплитуда волны, вязкое затухание на длине волны (обратное число Рейнольдса), геометрическое искажение на длине вшшы и т.д. есть малые величины. Первоначально они имеют один тот же порядок ц«1, но в окончательном выражении возможно установить точный баланс между различными членами. Как результат, волна также медленно меняется по мере ее распространения: характерный масяггаб изменения профиля в Ц"1 раз больше длины водны. Для плоской волны, бегущей вдоль оси х, разложения для плотности, скорости, энтропии и давления (в размерных перемешшх) таковы

р' РА 0«. *) + йгРг№> *) + М5Рэ(Р*> *)+... р' = VРЛР*Рг О+^'Рз»)+•■•

где г -1 - х / с0 . приведенное время, с0 - скорость звука. Подставим разложения (I) в уравнения движения вязкой баротропной жидкости с однопараметрическим ур-см сосгоя!шя

Р~Ра= А

В р!

, N

Ро)

б и;

(2)

В малых третьего порядка имеем

дрг рп <?у, дх с0 дх

В-2А духуг раЬ <?■ у, В! А & у]

->..* я. Яг* + я 3

2с* дх 1с\ дх1 4с' га~ дх1

1 ( С гв-гв2 Г А-2А\ду\ р0 В/ Л+2 ду]

4с04

) дх

8 дх

где

дпссипаплшый коэффициент.

(3)

Предположим, что до прохождения пмпульса состояние среды является певозмущепньш, т.е.

Pi.Pj.Pj->«, т—> —со у„1>„у3->0, т->-оо

(4)

5

+

Предположим, что после прохождения пмпульса состояние среды является невозмущешшм в малых главного и второго порядков, т.е.

Р1>р1-»0.

V,, у3 -»О, т-> со ^

Равенства (4), (5) относятся также к соответствующим пропзводным. Тогда интегрируя уравпепие (3) по приведенному времена и бесконечных пределах, имеем для некоторой пространствепной юткп

-И-

, „ Ро , ч Ро В/А + 2 .

Таким образом, после прохождения импульса жидкость не переходит в состояние покоя, но остается пекагорос возмущение в третьем приближении. Поскольку введешлое выше условие на малость вязкого поглогденм предполагается выполненным во всем объеме жидкости, указанное возмущение удовлетворяет в главном порядке в терминах физических переменных системе уравнений

др, дч, „ ,1

Уравнение (б) должпо давать граничное условие дли системы уравнений (7), (8). В терминах физических переменных оно соответствует области непосредственно позади импульса, масштаб которой может составлять несколько его дгшп. Решением системы (7), (8) являются две звуковые волны, бегущие в противоположных направлениях

Рз=Р,з+Р-з> V, = у„3 + у_3 Рч=Р»э('-*/со). Р-з = Р-з(' + */со>

В силу первого равенства во еторой формуле (9) бегущая направо волна исчезает из граничного условия (6) а поэтому ниже не рассматривается. Остается волна, бегущая палево. Граничное условие (б) предсказывает дня нее ненулевую амплитуду, которая может быть определена следующим образом. Фиксируем время » и предположим, что импульс находится в этот момент времена в окрестности точки а ваяна, бегущая налево, ищется в точке л0 < Поскольку сам импульс движется направо со звуковой скоростью, мы можем рассматривать это состояние как результат "разбеганиа" импульса и обратной волны в противоположных направлениях из окрестности одной и той же точки у = х0+(х,-х,,)/2. В этой окрестности мы можем использовать

граничное условие (б) непосредственно позади импульса, чтобы определить амплитуду обратной волчы. В силу уравнений (9) амплитуда обратной полгал не меняется в процессе пробега от точки у = *,+(*, -х0)/2 до топки x¡. Поэтому

со Со 8 L дУ

(10)

Иными словами, амплитуда обратной волны определяется не состоянием импульса в точке как могло бы показаться на первый взгляд, по его более раншм состоянием в точке y~xt + (лг, -дг,)/2. С учетом второго равенства во ьчорой формуле (9) отсюда имеем

Со со »0 L оу

(И)

Таким образом, мы установили существование отраженных если при конечных числах Рейншодса, т.е. в неадеальной среда с дпеенпапшиым поглощением. Ошстим, что формула (II) не содержит вязкости в явном виде н может быть записана через полную кил отческую энергию импульса Е в форме

, . В/A + 2dE, . .

Р-з(х0) = са-jj-П> (12)

Наряду с вязкостью мы можем рассмотреть слабую релаксацию н оператор нототения типа потерь в акустическом пограничном слое без тепловых

Ppbcfv,

эффектов. При этом вместо члена ^э в уравнении (3) следует писать

I д

2<¿ дх

гдо релаксационные константы имеют стандартные обозначения, и R радиус трубы. После интегрирования по приведенному времена в бесконечных

пределах этот член исчезает при выполнении равенств (4), (5). Аналогично рассуждения справедливы при модификации третьего члена в правой части (3). Поэтому нам безразлично, какой механизм поглощения в действительное!:', имеет место при формулировке уравнения (12).

Рассмотрим теперь волну от периодического источника как серию одиночных импульсов (периодов). Согласно уравнению (12) период, расположенный в охрестпости точки х1г дает отраженную волну в точке *о Х1 вида

Р-э(*о) = Ро у—^--= х0 + (х,-л0)/2) (13)

ще черта наверху означает среднее по периоду. Суммируя теперь отраженные волны для всех периодов, расположенных справа ог точки наблюдения и заменяя сумму шггеграаом, получим полную отраженную волну в точке х„, генерируемую сигналом

, . В/А+. Р. 2 Схо ) = Ре —^— J = *» + (*,- «о )' (14)

или

Р-1 (*о) = -Ро---У,(хе) (15)

Главной особенностью для сигнала является накшлшшшо отраженных волн до малой второго порядка.

II. Самоотражение в неадиабатическом случае. Уравнение состояния имеет вид

те р - термический коэффициент объемного расширения, удельные

теплоемкости жидкости, с - местная скорость звука. Расчеты предполагают прямое подключение уравнения «нерпга ют »гггрогаш (дополненного аффектом теплопроводности) и разделение течения позади импульса на собственно отраженную волну в »нгропнйный след. Уравнение (13) переходит

„ (, л- mjlla+i ^bv* >

Неадиабатическяя поправка в уравнении (16) дня . воды составляет порядка 5% и поэтому несущественна. Напротив, в газе с полптроплым уравпеппем состояния она не может ботъ опущена. Для политровного газа

сце у - показатель адиабаты. В книге Руденко и Сояуява (1975) имеется ошибка, которая дает 5у-3 вместо 5—3/ (для ударных воин). Опа связала с пеучетом дополнительного изменения плотности в зоне энтропийного следа. Ш.Самоотражепие для периодической аолиы. В работе (пава 3) развит другой подход к самоотражеишо для периодических вода, основанный на законах сохранения. Л именно, затухающая волиа, бегущая направо (инвариант Романа - постоянная в малых второго порядка) не может удовлетворять закону сохранения импульса при выполнении закона сохраиеппя массы. Противоречие устраняется ведением отраженной волпы, котором та ore является малой второго порядка. Результаты, полученные двумя подходами, совпадают.

Для Периодического стационарного излучения отраженная волна отвечает в установившемся режиме неоднородному сгациопардаму полю давлений п, следовательно, лпшь условно может быть названа волгой. IУ.Самоотражение в свободном пространстве (осесимметричпый пучок)

Разложения (1) дополняются выражением для радиальной скорости w н условиями па радиальное расхождение, соответствующими параболическому приближению теории дифракции

р' и lip, (nx,<JJir, т) + ц1 р2 г) + ц Зр} т)+...

v= ЦУТ) + Ц1Уг(11Х,Л1г,г) + }t3v}(iix,J}ir, т)+... w= pJOiv/tinx.Jitr,t) t^fiwtipx.fiir, + т)+...

P' = (^,-JJjr, т)t) + p3Pilvx.'fiir, r)+...

(18)

Подстановка в уравнения движения с уравнением состояния (2), использование условий

Р|.Р2.Рз-+0. х—¥ —да х —> —да

»> ^ 0» г-»-оо

Ри Ра 0, т оо

V,, V,

■О,

•О,

Т-> » Г-+00

я интегрирование по приведенному временя дают вместо уравнения (б) (для импульса)

у3 (г-><»)- —- р3(т->со) = -+<й»А (V, и-, (20)

причем

Здесь О - ротор скорости или удаоенпая завихрсшюсть (угловая компонента). Уравнение (20) предполагает, что интеграл по избыточному давлению для импульса равен нулю во втором приближении. Для периодического сигнала »то соответствует известной гипотезе "поджатая" для ограниченного пучка.

Таким образом, после прохождения импульса жидкость также не переходит в состояние покоь, но остается некоторое возмущение в третьем приближении. Оно представляется в виде линейной комбинации отраженной звуковой волны и вихревой волны, так что

Р}**Р-э» ^»^и+У.,, ^з = + ^-з Р-г + Росоу-э "0, гог(?_3) = 0 СИУ(УК1) = 0, гог(Уя:)*0

(23)

Для вихревой моды выполнено также выполнено условие параксиального приближения (направленное течение)

Вм>г

дх

«

в У,

дг

<24)

Решение урашгсшй (20), (21) с учетом (23),(24) показывает, что амплитуда отраженной всишы обращаеГ£2_В_нуль, в то время -ак амплитуда вихревой моды становится отличной от нуля. Дггя периодического сигнала это означает, что взамен отраженной волны второго порядка малости (15) генерируется стационарное акустическое течение.

Ь рабг-е обсуждается также другой способ доказательства факта отсутствия отраженных воли в свободном ьостранстве (глава 3), основанный на рассмотрении ограниченного звукового пучка в трубе и последующем предельном переходе нри радиусе трубы, стремящемся в бесконечность. У.Периодическая отраженная волна. Если плоская затухающая волна модулирована по амплитуде, то возможно получить периодическую отраженную волну. Допустим, что низкочастотная модуляция имеет вид

у(л = 0,т) = у'/(Пт)8т(т), а«со, / = 1+псоз(Пт), 0<п<1

где О - частота, и л - глубина модуляцпи. В этом случае V,1 =» у,(х,С1г) , п суммирование в уравнении (14) проводится пначе. Имеем

Данное решение содержит постоянную компоненту, первую низкочастотную гармонику и гармонику с частотой 20. Наибольшего впнмапия заслуживает первая гармоника. Предположим, что для основной волны учитывается только малоамшштудное поглощение, причем механизм поглощения включает в себя вязкость, эффект пограничного слоя и релаксацию одновременно, как указано выше в п/. Тогда амплэтуда н фаза первой гармоники па излучателе вычисляются аналитически как

р_г(*в,£1т) = р0

(В/Л+ 2)7(1 У} 16 \лу

¡~±-{у = хв + {х1-х0)12,Щх-(х1-хв)12с,)<1

„ ш иг» .

ГО« К -коЧфигшент вида л д ^ + ^^ ^ ^ '

со Ьа> т ют* 1Вс. — —г+—:—-гг+

со

■>-Вс,

пропорциональный отношению длины волны модуляции а аффективной длины затухания основной волны, ^ = 2/(2Лс0) (я _ рашус трубы) и

I Ро

N = (у + 1)/8, (5-Зу)/8 соответственно для уравнения баротропы нш политропы. Таким образом, как амплитуда, так и фаза периодической отраженной волны несут информацию о доссипатштых свойствах среды, по которой распространялась главная волна.

V7. Эволюционное ураанаше третьего приближения. В терминах координат времени наблюдения 1,Х = х -cat и скорости течения эволюционное уравнение газодинамического приближенна выглядит чрезвычайно просто (разбиения на приближения здесь я ниже в тексте опускаем)

c?v <?v b é1 v ^.bfdv V

и отличается от уравнения Пюргсрса только присутствием в правой части члена типа источника энтропии. Здесь ЛГ = 1-е/4 для барелгрошюго уравнения состояния, н Л'=3 с/4 дня подгпропного газа (е = (у + 1)12,£ = {В1 А + 2)/2 для политропы или баротропы соответственно). Интересно и важно, что кубические нелинейные члены тождественно сокращаются. Данный результат неудивителен, если пошить о том, что уравнение (25) в отсутствие вязкости в ударных волн должно переходить в уравнение простых голи для скорости течения, которое, в свою очередь, является точным уравнением в малых любого порядка.

Прямая подстановка показывает, что точный закон сохранения уравнения (25) несколько необычен ц имеет вид

= (26)

Если сохранить только два первых члена ряда при разложении в ряд акспошяггы в подынтегральном выражении, что «с нарушает асимптотической точности, то получается уточвепие правила равных площадей шш правила Уизема для слабых ударных волн в малых следующего порядков.

Отличительными особенностями решения являются движение скачка со сверхзвуковой скоростью и наличие постоянной компоненты скорости. Оба эффекта составляют характерную черту газодинамического приближения. Оба

этих эффекта были недавно "переоткрыты" laoue and Yano (1990,1993), сто проанализировали полную задачу численно s неадшб- -ичесхом приближении.

В терминах других переменных (координаты точки наблюдения, давление как независимая перелгепнаа и т.д.) эволюционное уравпенне имеет более сложную структуру, и появляются кубические нелинейные члени. УН.Уточ■ mue правила Уизема для нестационарных ударных волн умеренной интенсивности. С точпостью до кубических членов сохранения (26) имеет над

jvdX +—JViff = const pi)

Я С0 я

Первый член левой части дает правило равных площадей пли правило Уизема для слабых ударных волн. Все выражение (27) естественно рассматривать как его обобщение. Таблица 1 демонстрирует соотношение двух законов сохранения с точки зрения определения положения скачка п его амплитуды для нестационарной ударной волпы путем сравнения с данными численного расчета Кестенбойма, Рослякова и Чудом (1974) (безразмерные переменные взяты из их кшот{). Значения безразмерного времени т соответствуют различным положениям волны.

Таблица 1

X

0,989 1,993 4,997 7,967 15,93 29,90

Рг-Ро Р0 0,656 0,459 0,289 0,229 0,163 0,119

л/2,% - 3,1 9.0 14 21 34

А/,,% - 0,8 2.4 4,0 4,0 8,0

Д Vj, % - 2,9 6.2 7,6 9.1 10,4

Avj,% 0,7 1.8 2,0 2,2 2,5

с2 0,149 0,159 0,168 0,175 0,179 0,185

С, 0,180 0,183 0,166 0,190 0,189 0,192

АСг,% — 6,7 13,4 17,5 20,1 23,7

АС,,% — 1,7 3,3 5,6 5,0 6,7

Первая строка таблицы покалывает амплитуду ударной волны давления, вторая и третья строки - относительные погрешности положения фронта ударной вошш для второго (правило Унзема) и газодинамического (настоящий результат) приближения, соответственно. Аналогично четвертая и пятая строки таблицы дают относительную погрешность для амплитуды скачка скорости во втором и третьем приближениях. Если мы обозначим соответствующие константы в правых частях двух законов сохранения, записанных в используемых безразмерных переменных, соответственно как Сг и как С3 , то четыре последние строки таблицы дают частные значения этих параметров в их относительную погрешность при подстановке точного решения. Видно, что величина С3 действительно практически ке меняется, года как значение С3 существенно возрастает, что указывает на неточность исходного приближения при достаточно больших амплитудах.

Разобранный пример позволяет оцепить условия применимости теории газодинамического приближения с точки зрения величины амплитуды волны. Поскольку адалопгаше чнеиешые расчеты для случая периодических затухающих ударных волн практически отсутствуют, мы будем считать, что оценка распространяется в на него. Из данных таблицы следует, что при амплитудах

р' < 0.6 атм воздух (28)

газодинамическое приближение дает хорошее по точности результаты. Аналогичная сцепка в воде осуществляется путем пересчета давивши относительного внутреннего дадлеаия жидкости (рд£д /(В! /1+2), примерно 3000 атм дан вшы) в ограничена неравенством

р' < 1500 атм вода (29)

VIII.Задача Рзлея, Анализируется следующая классическая задачи для акустических средних, связываемая с именем Ралея. Рассматривается плоская бегущая волна в области, ограниченной с одной стороны плоскостью излучателя и с другой стороны - плоскостью идеального поглотителя звука. Требуется найти радиационное давление и остальные средние пап. Результат решепия в иностранной литературе называют р-злеевским радиационным давлением па идеальный поглотитель. Согласно Chu and Apfel (1984), идеальный поглотитель определяется таким образом, что "если некоторая волна падает на идеальный поглотитель, то последний движется или ведет себя таким образом, что отраженная волна никогда не появляется и падающая волна полностью поглощается в любой момент времени".

При отсутствии затухашгя полны в рассматриваемой области, хоро-но известный результат для радиационного давления П имеет ввд (см. Westervelt (1950), Beyer (1974, 1978), Chu and Apfel (1982), Lee and Wang (1993))

где значение v1 - постоянная величина. Если появляется поглощение, радиационное давление также не будет зависеть от пространствешгой координаты х, т.е. П = R = const. Тем не менее, значение постоянной Ä остается неизвестным. Чтобы найти его, мы не можем применить уравнение (30), поскольку v2 теперь изменяется в пространстве. Попыткой решить проблему было бы предположение ( Beyer (1978), Livett, Emery and Leeman

где символ { } означает пространственное среднее.

Ниже решение для затухающей волны в конечной области рассматривай«! в два шага. Первый имеет в виду поглощение в среде с баротропным уравнением состояния, т.е. квазиадиабатическое приближение. Далее, включается эффект невдиабатичносги течения. Волновые поля представлены глчвпой волпой и отраженной волпой. Существенно отметить, что конкретный тип повтощепия опять не траст роли.

Предположим, что излучатель расположен при .х = 0, в то время как поглотитель - при * = а. Непосредственно вблизи поглотителя имеется только

(30)

(1981))

(31)

падающая волна. Иными словами, только исходная волна давления, бегущая направо, наблюдается в этой области несмотря на наличие самоотражения. Поэтому, чтобы найти радиационное давление при х = а, мы можем просто применить уравнение для радиационного давления в волне, бегущей направо,

[у ——

из текста диссертации: И, (л) = —-—р„ V (х). Имеем

П(а)=П+(а) = ^|^р07(а) (32)

Поскольку П одновременно должно бьггь постояшшм во всей пространственной области, мы получаем

П = (33)

Для идеальной жидкости уравцение (33) повторяет хорошо известный результат (30). Однако при наличии поглощения оно не совпадает с формулировкой, данной уравнением (31).

Для неадиабатического течения радиационное давление П снова постоянно, так как анализ уравнения импульсов не затрагивается условием пеаднабатичности течения. Единственное отличие от предыдущего результата (32) состоит в добавлении неаднабатической поправки к главной волне из уравнения, полученного в работе

П(а> = П>)+ДрДа) = ^ро7(а)+^- (7(0)-7(я)) (34)

Вместо уравнения (33) находим

n = ír±l>p07(a)+¿- (7(0)-7(а)), OSxía (35)

roe т, = Ар. При использовании иолигрошюго уравнения состояния, радаапионпое давление приобретает вид

n=üil)p07(a)+ílzi>p87(0), о<,х<,„ (3б)

Обычно Г| > 0, н пеаднабапгшость течения приводит к увеличению радиационного давления. I) жидкости с т, < 0 в принципе возможно достичь состояния с радиационным давлением, равным нулю. Для этой цели следует при известном поглощении волны определенным образом выбрать расстояние между излучателем и поглотителем.

В не зиабатнческом случае имеет место перенос масс из нагреваемой области. Разрежение, создаваемое энтропийной модой, приводит к появлению потока массы на поглотитель. Здесь нет противоречия, поскольку, по определению, жидкость может протекать через его поверхность. В рамках развитой в работе теории поток массы пригашает вид

В отличил от уравнения (36), стационарное решение для р-р0 не существует. Средпяя плотность уменьшается в любой точке пространства в области 0 а с течением времени. Ясно, что такой процесс пе может продолжаться достаточно долго. Pairo аля поздно неадиабатическос решение, данное уравнениями (35)-(3б), станет некорректным. Соответствующие оценки, одпако, весьма оптимистичны. Сравнение среднего потока массы, найденного из уравнения (37), с аналогичным численным результатом Inoue and Yano (1990, 1993) указывает на хорошее совпадение, несмотря па приближенный характер настоящей теории.

1Х.Интенсивностъ волны в любом порядке аппроксимации. Почти во всех учебниках и обзорах по акустике и гидромеханике акустическая интенсивность рассматривается исключительно во втором приближении. Иногда полезно иметь выражение, верное в любом порядке приближения. Было установлено, что следующие критерии приводят к однозначному решению в идеальной среде:

I. Акустическая интенсявпость определяется как часть усредненного потока эперпш, которая существует при условии пулевого потока массы.

II. Поток акустической эпергип (мгновенная акустическая иптепегашоегь) Ja и плотность акустической энергии Еа должны точно удовлетворять закону сохранения энергии.

lil. Во втором приближении должно быть соответствие с известными результатами.

Решение в этом случае дается выражениями

(37)

J. = (P-Po)V + EJ (38)

SL-T+K.K-P - (39)

ft> P

где второй член в правой части уравнения (38) суть плотность акустической потенциальной энсрган определяемая теперь интегралом. Следует отметить, что аналогичная формулировка была предложена без обсуждения Richter еще в 1948 году.

IIa основе этих выражепий были рассчитаны поправки третьего и четвертого порядка я соотношение между акустической интенсивностью и акустическим радиационным давлением и оценены затем с точки зрения современного медицинского оборудования. Анализ привел к погрешностям менее чем 0.06 % , если' амплитуда волпы не превышает 1.2 МПа (интенсивность порядка 24 Ватт/см2 ) в воде. Данные поправки следовательно малы и могут быть опущены. Для медицинского диагностического оборудования максимальные амплитуда давления составляют до 7.4 МПа по паяным Duck et al (1985). Это даст погрешности порядка 0.2 %. X.Анализ условий для тепловой самофокусировки. Влияние акустического нагрева заключается в увеличении температуры жидкости в тех областях, где существенно поглощение звука. В уравнении состояния пз и. II величина 5'характеризует лишь необратимое увеличение энтропии и не включает в себя влияние теплопроводности в линейном приближении, которым для простота пренебрегаем. Значение s' связало с приращением температуры жидкости №=A7(x,t) по формуле (тепловая мода)

(40)

Уравнение состояния принимает вид

, (дс)

где ЛР - т,, 2р0со1—— I = г2 Для пиа с псгогтропиым уравнением V У р. тчг„

состоятся, справсдчиво равенство = т2 =рас/>(у~1) . Подчеркнем, что уравнение (41) включает в себя не только волну давления, но и энтропийную шш тепловую моду. Характерное свойство последней суть отсутствие градиента давления, по крайней мере, в тавном порядке приближения. Другими словами, ми говорим о термическом раепшретп« нагреваемой жидкости при постоянном внешнем давлении. В этом случае плотность жидкости уменьшается. Чтобы исключить из рассмотрения тепловую моду, мы должны определить соответствующее изменепие плотности жидкости Ар следующим образом:

,Ро.

=_7Т'ЛГ (42)

Разделяя два модальных поля в уравнении (41) и обозначая волну давления индексом а, имеем

Последний член в уравнения (43) описывает пи что иное, как рассеяние звука на температурных неоднородностях (множитель г2 ) и неоднородностях плотпости (множитель (.В/А)г,) энтропийного модального поля. Во многих литературных источниках, повященных самофокусировке звука (см., ианример, Бахвалов и др. (1982), Карабутов, Гудешсо и Саножппков (1989)), эффект изменения плотности среды не учитывается. Другими словами, при анализе тепловой моды жидкость рассматривается как чисто несжимаемая, что является не вполне корректным (Ландау и Лифопщ (1986), § 50). Формально можно лишь предположить, что тг»(В1А)хх. Это неравенство действительно справедливо в воде при некоторых условиях ко, конечно, не во всех других жидкостях. Таблица 2 дает значения двух множителей т уравнения (4-3) в воде и в воздухе, вычисленные с не эщью данных Бэтчелор (1973) (Д/Л=5).

Таблица 2

т, °с (В/А) , , Па/град т,, Па/град

вода 10 9.4 ■ 10' 1.10 • 10'

20 23 • 10' 1.16- 10'

30 34 • 10' 0.79 • 10'

40 44- 10' 0.55 • 10'

воздух 15 198 495

Интересное следствие имеет место в теории самофокусировки. Стандартный критерий тепловой самофокусировки звука гласит

2 РЛ

ВТ J

' If Ра

х, <0

(44)

Уравнение (43) приводит к несколько иному результату, а именно х2-{В! A)xi <0

(45)

Согласно уравнению (44), термическая самофокусировка не может иметь место в газах, так как скорость звука всегда возрастает с ростом температуры. Напротив, уравнение (45) допускает самофокусировку в газообразной среде при некоторых условиях. С учетом равенства т, = х2 > 0, уравнеш!е (45) дает

1-(Я/Л)=2-у<0 (46)

где у - шюззь отношение удельных талоемкостсй.

РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Проведено систематическое исследование шобратнмого аффекта самоотражсши интенсивной акустяческой волны в услов:шх закрытого сосуда нря. любом механизме поглощения ( вязкость ц теплопроводность, релаксирующая среда, эффект акустического пограничного слоя и т.д.) Показано, что в условиях закрытого сосуда самоогражеиис волны существует при любом механизме поглощения и определяется изменением среднего

югадрата скорости в пространстве. Теоретически рассчитана периодическая отраженная полна, возникающая при а,\ястктудной «.г лулягога гласной.

2. Проведено исследование необратимого эффекта самоотражепия для нелинейного звукового пучка в свободном пространстве. В свободном пространстве отраженные волны, бегущие к излучателю, обнаружены не были. Потери импульса прямой волны преобразуются не в отрзжетгую волпу, а в вихревое акустическое течепле. Сделан вывод о том, что акустическое течение п самоотражение есть две различных формы реализации теряемого волпового импульса.

3. Получено простое эволюционное уравнение для плоски бегущих волн в реальной среде, обобщающее результат второго приближения - уравнение Бюргсрса и учитывающее влитию необратимости и малые следующего порядка. Показано, что это уравпение имеет хорошую точность для волн с амплитудой до 0.6 атм а воздухе и с амплитудой до 1500 атм в воде. Решение уравнения дает количественные характеристики основных эффектов необратимости для периодической волны - сдвига фаз и постоянной составляющей скорости. Его закон сохранения уточняет правило Унзема на случай больших амплитуд. Получено эволюционное уравнетше для нелинейных звуковых пучков третьего приближения.

4. Вычислено радиационное давление плоской волны на идеально петяодающий днех Рэлея в условиях закрытого сосра. Показано, что известный результат теория становится некорректным при наличии поглощения. Найдено, что задача Рэлея о радиационном давлении имеет три различных решения:

-классический результат для идеальной среды без поглощения -решение для среды с квазиадтбатичеекпм поглощением -решение для реальной неаднабатической среды. Последнее решение справедливо на ограниченных временах с момента вклгочешга поля. Оценена область его применимости с точки зрения развития акустического пагрева.

5. Введены определения интенсивности волпы и потенциальной энергии волнового поля, верные в малых любого порядка относительно амплитуды волны. На ях основе рассчитаны нелинейные поправхи третьего и четвертого порядкоз в обычно используемое в улыразг "копой экспозиметрии соотнопхешге меэиу радиационным даплетгем и интенсивностью. Показано, что для современного медицинского диагностического и терапевтического оборудования эти поправки не превышают 0.2 %.

6. Дана точная опенка сверху поправок в радиационную силу на диск Ралея за счет акустического течения и тепловой конвекции, связанной с акустическим нагревом, в воде.

7. Дан анализ условий протекания процесса тепловой самофокусировки волнового пучка в жвдкой п газообразной среде. Показано, что известный критерий самофокусировки, содержащий температурный коэффициент скорости звука, ямяется неполным. Необходим дополнительный учет изменения средней плотности среды. Оп приводит к возможности самофокусировки звука в газообразных средах с показателем адиабаты у, большим двух.

а Сформулировано граничное условие дня нелинейного уравнения звуковых пучков при распространении нсодномернда волн в трубах с учетом трения о стенки и возможного теплообмена. Его основой является доказательство факта о том, что параболическое приближение теории дифракции и приближение пограгагшого слоя Сгокса являются сращиваемыми асимптотическими разложениями.

9. Показало, что определение постоянной пздродинамической силы, действующей на жидкость в волновом поле, данное Лайгхиллом, может приводить к неясным результатам в условиях закрытого сосуда. Предлохеца естественная модификация определения для 'этого случая. Исследована сравнительная энергетика акустического течения и акустического нагрева.

10. Сформулирована простая модель акустического течения при больших гидродинамических числах Рейнодьдса дня хорошо коллнмировагшого звукового пука.

11. Изучено уравнение простых волн с фрактальной производной произвольного порядка как метод описания слабонашгнейлых систем со сложным поглощением и дисперсией.

12. Получено приближениое аналитическое репгегше для цилиндрических и сферических нелинейных волн в вязкой среде.

ПУБЛИКАЦИИ

1. Макаров С.Н., Филиппов Б .В. Об интегральной форме сильно неравновесных уравнений перекоса. 13 кн. Численные методы дашамихи вязкой жидкости, ред Ю.А.Березпн (Труды IX Всесоюзной школы-семинара) /Новосибирск 1983. С 231-235.

2. Макаров С.Н., Филиппов Б.В, Приближенное решение уравнений переноса на основе интегрального вариационного принципа линейной термодинамики// Физическая механика/ Л-д, Изд-во ЛГУ/ 1984. Выи. 5. С. 3-16,

3. Макаров С.Н., Филиппов Б.В. О рачделсшш вязких и нелинейных членов в одпомсрпой шггсгральной системе уравнений переноса И Вест. Лен. уп-та. Сер. мат -нех.-зстроп, 1983. N19. С. 64-72.

4. Макаров С.Н.. Филиппов H.H., Хамзняа Б.С. О поведении коротких волн вязкого теплопроводного газа. В кн. Численные методы динамических процессов /Апатиты 1984. С 27-33.

5. Макаров С.Н., Филиппов Б.В. Решение одной нз задач теории воля конечной амплитуды на основе интегральной вариационной постановки// Вопросы судостроения. 1985. N42. С. 109-114.

6. Ватрупщна Е.В., Макаров С.Н., Хамзина Б.С. Расчет неравповесных течений газа прям! 'мн вариацкопцымя методами газа. В кн. Проблемы динамических процессов в гетерогенных средах/ Калинин, Из-дво К1У. 1987. С. 101-107.

7. Макаров С.Н., Филиппов Б.В. Акустика течений, содержащих большое число коротких волн конечной амплитуды И Акусг. журн. 1987. Т. 33. N4. С. 720-723.

8. Ненеои Ю.Е., Макаров С.Н. Влияние вязкости и нелинейности па плоскую стоячую волну // Вест. Леи. ун-та. Сер. мат.-мгх.-астроп.( 1) 1989., вып. 3. С. 39-42.

9. Макаров C.II., Смирнов В.Е., Филиппов Б.В. Решение задачи о взрыве методом Бубнова-Чебышева И Вест. Лен. ун-та. Сер. мат,-мгх,-астрон.( 1) 1989., вып. 4 (N22). С. 58-60.

10. Макаров С.Н., Смирно» В.Е., Филиппов Б.В. Прямые вариационные методы расчета одномерных задач о в?рыве // Физическая механика / Л-д, Изд-во ЛГУ/ 1990. Вып. 6. С. 7-12.

11. Макаров С.Н., Смирнов В.Е., Филиппов Б.В. Расчет нестационарных ударно-волновых процессов псевдоспектральным методом Бубпова-Чебышева // Вест. Лен. ун-ra. Сер. мат.-мех.-астрон. ( 1 ) 1991., вып. 2 (N8). С. 82-89.

12. Макаров С.Н., Филиппов Б.В. Об асимптотической структуре ударных ваш в вязком теплопроводном газе U Чися. мет. мех. спл. среды 19S5. Т. 1о. N6. С. 102-109. '

13. Макаров СЛ., Филиппов Б.В. Эволюция цилиндрических вчлн конечной амплитуды, расходящихся по нагретому газу // Изв. АН СССР, Механика жидкости и газа 1985. N4. С. 150-153.

14. Макаров С.Н., Филиппов Б.В. К расчету волн конечной амплитуды в гатодкпамическом приближения // Изв. АН СССР, Механика жидкости и газа 1986. N4. С. 150-153.

15. Макаров С.Н., Филиппов Б.В. Об изменении энтропии при рассеянии плоских вели конечной амплитуды // Газовая динамика к теплообмен/ Л-д, Изд-во ЛГУ/ 1987. Вин. 9. С. 177-181.

16. Махаров С.Н., Хамзина Б.С. Численное решение неизэнтрогаисского уравнения теории волн конечной амллшуды. /Деп. ВИНИТИ, 7509-1387. Ленишрад 1987. 12 С.

17. Махаров С.Н., Хамзина Б.С. Численный расчет эволюшш интенсивных импульсов в газодинамическом прнближешш // Вест. Леи. ун-та. Сер. мат.-мех.-астроп. 1987. N3. С. 179-181.

18. Макаров С.Н., Хамзина Б.С. Эволюция гармонического сгапала в г-лзодщтапеском приближении теории плоских волн конечной амплитуда // Акуст. жури. 1988. Т. 34. N1. С. 135-139.

19. Махаров С.Н., Назаров А.Ю., Филиппов Б.В. Применение интегрального принципа к выводу нового эволюционного уравнешш для неизэнтропических бегущих вола// Модеянровасте в механике 1989. Т. 3(20). N3. С. 104-110.

20. Макаров С.Н. Определение средних параметров звука в задаче Ирншоу ка стадии пилообразной волны // ДАН СССР 1989. Т. 306. N6. С. 1325-1327.

21. Макаров С.Н., Хашпш Б.С. Определение средпих параметров звука в задаче Иршпоу на основе нелинейной теории // Акуст. журн. 1989. Т. 35. N2. С. 308-312.

22. Макаров С.Н., Сшгрпоа В.Е. Эволюционное уравнение; для нестационарных ударных волн умеренной интенсивности в вязком теплопроводном газе // Изв. АН СССР, Механика жидкости и газа 1989. N5. С. 187-190.

23. Макаров С.Н., Семенова Н.Г., Смирнов В.Е. Модель акустического течеюш для интенсивного звукового пупса в свободном пространстве // Изв. АН СССР, Механика жидкости а газа 1989. N6. С. 3-7.

24. Макаров С.Н., Филиппов Б.В. Эволюция нелинейных волн в сжимаемых средах без дисперсии (обзор). В кн. Моделирование в механике, ред Г.В.Гадяяк/ Новосибирск 1989. С 170-193.

25. . Макаров С.Н. Использование уравнений нелинейной акустики офапичецных пучков при еычислсшш средних вешило// Акуст. журн. 1990. Т. 36. N3. С. 507-510.

26. Макаров С.Н., Назаров А.Ю. Генерация вихревой и второй звуковой мода в пилообразной кваз»галоекой волне// Акуст. жури. 1990. Т. Зй. N4. С. 703707.

27. Макаров С.Н. Утешение правила равных площадей для нестационарных плоских ударных волн умеренной интенсивности// ПМТФ. 1990. N5. С. 14-19.

28. Макаров С.Н. Нелинейный звуковой пучок в трубе с жесткими стенками. Средние параметры поля и гидродинамическая сила// Акуст. журн. 1991. Т. 37. N3. С. 512-517.

29. Makarov S.N., Nazarov A.Yu. (1992) "Parametric acoustic nondirectional radiator", Acustica., 77, 240-242.

30. Makarov S.N. (1993) "Time-averages for plane travelling waves-The effect of attenuation: I, adiabatie approach", J.Sound Vib., 163, 311-317.

31. Makarov S.N., Vatnishina E.V. (1993) "Effect of the acoustic boundary layer on a nonlinear quasiplane wave In a rigid-walled tube", J.Acoust. Soc.Am., 94 (Pt.l), 1076-1083.

32. Ochmann M., Malcarov S. (1993) "Representation of the absorption of nonlinear waves by fractional derivatives", J.Acoust. Soc.Am., 94,3392-3399.

33. Makarov S.N.(1994) "Self-reflection in nonlinear acoustics. Theoretical ground and possible applications", Acastica, 80, 1-13.

34. Бурнусенко E.H., Макаров С.Н. О численном расчете средних по времени величин зкукового поля на базе псецдоспектралыюго метода Бубкова-Чебышева // Вест. Лен. ун-та. Сер. мат.-мех.-астрон.( 1) 1993., вып. 3 (N15). С. 81-88.

35. Макаров С.Н., Бурнусенхо Е.Н. Уравнения нелинейной акустики третьего приближения и их приложения// Моделирование в механике 1993. Т. 7(24). N1. С. 114-120.

36. Makarov S.N.(1994) "Higher-order effects In nonlinear ultrasonic fields". Acta Acustica, 2, 166.

37. Beissner K., Makarov S.N. (1995) "Acoustic energy quantities and radiation force in higher order", J. Acoust.Soc.Am., 97, 898-905

38. Enderlein J., Makarov S„ Chilla E, Froehlich H.-J. (1995) "Mass sensitivity of temperature stabilized surface acoustic waves delay lines on GaAs", Sensors and Actuators., B24, no 1-3.