Низкочастотная динамика лазеров с инерционной активной средой тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.21 ВАК РФ

На правах рукописи

ХАНДОХИН Павел Александрович

НИЗКОЧАСТОТНАЯ ДИНАМИКА ЛАЗЕРОВ С ИНЕРЦИОННОЙ АКТИВНОЙ СРЕДОЙ

01 04 21 - лазерная физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Нижний Новгород - 2007

ООЗ 16

003161572

Работа выполнена в Институте прикладной физики РАН, г Нижний Новгород

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук

Кравцов Николай Владимирович

доктор физико-математических наук Мельников Леонид Аркадьевич

доктор физико-математических наук Хазанов Ефим Аркадьевич

Ведущая организация

Федеральное государственное унитарное предприятие научно-исследовательский институт "Полюс" (г Москва)

Защита состоится " 12 " ноября 2007 года в 15 00 на заседании диссертационного совета Д 002 069 02 в Институте прикладной физики РАН (603950, г Нижний Новгород, ул Ульянова, 46)

С диссертацией можно ознакомиться в научной бибчиотеке Института прикладной физики РАН

Автореферат разослан " ю ." Рр^Г^М 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета д ф -м н , профессор ** ТОВ" Чугунов

Актуальность темы. В настоящее время лазеры уверенно вошли в нашу повседневную жизнь С ними мы встречаемся почти на каждом шагу, очень часто и не подозревая об этом (лазерные проигрыватели, принтеры, компьютеры) Требования к параметрам лазерной генерации могут быть самыми разными, и одно из них - это стабильность характеристик излучения Серьезным препятствием на пути получения стабильного излучения твердотельных лазеров является их резонансная чувствительность к внешним возмущениям на частотах релаксационных колебаний Для таких лазеров характерно большое время релаксации инверсии населенности по сравнению с временем затухания поля в резонаторе, что приводит к появлению релаксационных колебаний (низкочастотных динамических мод), характеризующих поведение системы при возмущении стационарного состояния, и является предпосылкой его дестабилизации и развития нестационарных режимов генерации В связи с этим изучение релаксационных колебаний твердотельных лазеров, представляет существенный интерес при исследовании их динамического поведения, флуктуационных свойств и вопросов стабилизации параметров лазерного излучения.

Динамические характеристики многомодовых лазеров определяются не только соотношением релаксационных констант, но также и характером межмодового взаимодействия Существует два типа взаимодействий между лазерными модами в активной среде чисто энергетическое, через насыщение активной среды полями отдельных мод [1*-4*], и фазочувствительное, через рассеяние полей мод на индуцированных ими колебаниях инверсии В зависимости от степени превалирования того или иного типа взаимодействия реализуются различные системы низкочастотных динамических мод и различные виды их связи с оптическими модами Примером проявления фазо-чувствительного взаимодействия является динамика двунаправленного кольцевого лазера [5*-7*] Его оптические моды - бегущие навстречу друг другу волны - вырождены по частоте и вследствие этого эффективно взаимодействуют через наведенную их совместным действием решетку инверсии В таких лазерах возможна реализация различных стационарных режимов, каждый из которых характеризуется своим набором релаксационных колебаний В этом случае нет однозначного соответствия между числом динамических и оптических мод, и связь между ними не прямая Так, режим квазиоднонаправленной генерации характеризуется тремя типами релаксационных колебаний Два из них обусловлены фазочувствительным взаимодействием встречных волн и проявляют сильную зависимость от фазовой невзаимности резонатора разность частот этих релаксационных колебаний совпадает с фазовой невзаимностью, т е с разностью частот оптических мод

Кольцевому лазеру присущ еще один тип межмодового взаимодействия, не связанный с активной средой - линейная связь мод через обратное рассеяние на микроне-однородностях оптических элементов резонатора Если эта связь достаточно велика, то режим квазиоднонаправленной генерации становится неустойчивым, и устанавливается автомодуляционный режим квазисинусоидальных противофазных колебаний интенсивностей встречных волн В работах группы Н В Кравцова [5*-8*] и в наших работах [14, 23] было показано теоретически и экспериментально наличие двух типов релаксационных колебаний в этом режиме, которые ведут себя во многом аналогично релаксационным колебаниям квазиоднонаправленного режима Однако за фазовое взаимодействие в этом случае отвечает только одно релаксационное колебание, которое совместно с автомодуляционными колебаниями проявляет чувствительность к ч фазовой невзаимности резонатора Одним из важных в прикладном аспекте свойств '

кольцевых лазеров является их чувствительность к невзаимным эффектам Измерение фазовой невзаимности и, в частности, вращения успешно осуществляется с помощью газовых лазеров Делается это методом сбивания встречных волн, которые имеют примерно равные амплитуды и разные, вследствие фазовой невзаимности, частоты Использование для этих целей твердотельных кольцевых лазеров затруднительно, главным образом, тем, что очень сложно организовать требуемый режим с не синхронизированными и близкими по амплитуде волнами Однако спектр релаксационных колебаний твердотельного лазера в различных динамических режимах содержит информацию о фазовой невзаимности резонатора либо разность частот, специфичных для кольцевого лазера в режиме бегущей волны, равна разности частот встречных мод [9*], либо частота автомодуляционных колебаний определенным образом зависит от скорости вращения резонатора лазера [5*-8*] В связи с этим вопросы извлечения этой информации по спектрам релаксационных колебаний в различных режимах требуют проведения дальнейших исследований

Поляризационная (векторная) степень свободы обеспечивает появление новых свойств, которые способствуют решению различных фундаментальных и прикладных задач В частности, изучение векторных лазеров привлекательно с точки зрения их потенциального применения в телекоммуникациях, создании оптических компьютеров, засекречивании данных передаваемых по волоконно-опическим линиям связи, спектроскопии, доплеровских измерителях скорости, виброметрии и т д С поляризационным типом межмодового взаимодействия Мы сталкиваемся при исследовании низкочастотной динамики волоконных лазеров В первых же работах П Глорье с сотрудниками, посвященных исследованию противофазной динамики ортогонально поляризованных мод волоконного лазера с резонатором типа Фабри-Перо, были обнаружены релаксационные колебания, отражающие взаимодействие всех оптических мод одной поляризации как целого со всей группой мод ортогональной поляризации [10*] В работах [11 *, 23] были обнаружены аналогичные поляризационные эффекты в Nd YAG лазерах с резонатором Фабри-Перо Наблюдаемая на эксперименте поляризационная динамика также требовала своего теоретического объяснения

Таким образом, многомодовые лазеры с инерционной активной средой проявляют нетривиальную связь низкочастотных динамических мод и оптических мод, обусловленную особенностями межмодового взаимодействия Эта связь делает указанные лазеры интересными объектами исследований в области нелинейной динамики и открывает возможности решения практически важных обратных задач, понимаемых как извлечение информации о параметрах лазера и отдельных внутрирезонаторных элементов по ею динамическому поведению

Цель работы

Целью диссертационной работы является исследование низкочастотной динамики

многомодовых лазеров с инерционном активной средой и физических факторов,

влияющих на конкурентное взаимодействие мод, в том числе

влияние неоднородного распределения ненасыщенного усиления на динамику многомодового твердотельного лазера с резонатором Фабри-Перо, изучение релаксационных колебаний многомодовых лазеров и способов воздействия на них,

исследование низкочастотной динамики биполяризационных твердотельных лазеров,

изучение эффекта взаимодействия релаксациошгых колебаний твердотельного кольцевого лазера в режиме бегущей волны и особенностей автомодуляционных режимов генерации,

исследование низкочастотной динамики полупроводниковых лазеров с кольцевым и линейным резонаторами

Научную новизну проделанной работы характеризуют следующие основные результаты

1) Обнаружен эффект исчезновения низкочастотных релаксационных колебаний при числе мод, превышающем некоторое критическое значение, зависящее от параметров многомодового твердотельного лазера с резонатором Фабри-Перо,

2) Предложен и экспериментально апробирован метод воздействия на релаксационные колебания многомодовых лазеров с помощью дифференциальной оптоэлек-тронной обратной связи,

3) Предложена и обоснована модель многомодового твердотельного лазера с произвольной неоднородностью накачки вдоль резонатора Фабри-Перо, хорошо описывающая экспериментальные данные,

4) Обнаружен эффект взаимодействия релаксационных колебаний твердотельного кольцевого лазера в режиме бегущей волны,

5) Показана взаимная связь релаксационных колебаний твердотельного кольцевого лазера в различных динамических режимах в режиме бегущей волны, в режиме квази-синусоидальных противофазных колебаний интенсивностей встречных волн и в режиме низкочастотных переключений направления генерации,

6) Экспериментально обнаружены новые типы релаксационных колебаний, проявляющиеся в противофазных осцилляциях интенсивностей ортогонально поляризованных мод биполяризационных лазеров с инерционной активной средой,

7) Предсказан теоретически и обнаружен экспериментально эффект поляризационной (угловой) анизотропии усиления наводимой в активной среде Nd YAG лазера линейно поляризованным излучением накачки

8) Экспериментально показано, что возникновение нестационарной генерации при внутрирезонаторном удвоении частоты в усчовиях фазового синхронизма 2-го рода происходит благодаря потери устойчивости на частоте одного из поляризационных релаксационных колебаний через бифуркацию Андронова-Хопфа

9) Предложена модель многомодового твердотельного лазера, адекватно описывающая низкочастотную динамику биполяризационного лазера с линейно поляризованной накачкой, включая внутрирезонаторное удвоение частоты

Научное и практическое значение диссертации

Важными с практической точки зрения являются вопросы повышения стабильности излучения лазеров, включая мощные многомодовые лазеры с внутрирезонаторным удвоением частоты Другая практически важная проблема — разработка методов извлечения информации о параметрах лазера и отдельных внутрирезонаторных элементов по его динамическому поведению - так называемые обрагные задачи динамики лазеров Для решения этих задач требуются новые идеи, основывающиеся на современных концепциях нелинейной динамики Ярким примером решения обратных задач динамики лазеров может служить возможность определения по низкочастотным релаксационным колебаниям твердотельного кольцевого лазера (ТКЛ), а также по частоте автомодуляционных колебаний и по интенсивностям встречных волн различных параметров резонансной системы (обратное рассеяние, ширину моды резонатора и его фазовую невзаимность) Большое значение имеет то, что эти параметры определяются в условиях генерации, поскольку в холодном резонаторе они могут иметь совершенно иные значения

Создание твердотельных лазеров с полупроводниковой накачкой позволило провести детальное исследование их поляризационных свойств В противоположность "скалярным" лазерам, в излучении которых все генерируемые моды имеют одинаковое фиксированное состояние поляризации, "векторные" лазеры позволяют эволюционировать своим поляризационным состояниям почти свободно, что значительно сказывается на их динамическом поведении Недавние исследования показали, что векторные лазеры могут демонстрировать сложную нелинейную динамику там, где в скалярных аналтах она строго запрещена [12*] К тому же, поляризационная (векторная) степень свободы обеспечивает появление новых свойств, которые способствуют решению различных фундаментальных и прикладных задач В частности, изучение особенностей 1енерации "векторных" лазеров привлекательно с точки зрения их потенциального применения в телекоммуникациях, создании оптических компьютеров, засекречивании данных, спектроскопии, доплеровских измерителях скорости, вибро-метрии [13*], оптико-микроволновых системах, и тд Все это показывает важность проблемы исследования влияния поляризационных (векторных) степеней свободы на динамику лазерной генерации [14*]

Положения, выносимые на защиту

1) При заданном наборе параметров твердотельного лазера (добротность резонатора, превышение над порогом) существует такое критическое число генерируемых мод, превышение которого приводит к исчезновению низкочастотных релаксационных колебаний и связанной с ними противофазной динамики

2) Дифференциальная оптоэлектронная обратная связь позволяет управлять степенью устойчивости стационарного многомодового режима генерации твердотельного лазера

3) Неоднородное распределение ненасыщенного усиления вдоль резонатора многомодового лазера с резонатором Фабри-Перо способно модифицировать как оптический спекггр генерации лазера, так и спектр релаксационных колебаний

4) Линейная связь встречных волн, фазовая невзаимность резонатора и тонкая структура линии усиления оказывают ключевое влияние на динамическое поведение кольцевого лазера на алюмоиттриевом гранате с неодимом и на спектр релаксационных колебаний

5) Лазеры на изотропных активных средах способны генерировать одновременно на ортогонально поляризованных модах, соотношением интенсивностей которых можно управлять ориентацией линейно поляризованной лазерной накачки

6) Биполяризационным лазерам с инерционной активной средой присущи противофазные релаксационные колебания, играющие важную роль в динамике лазеров с внутрирезонаторным удвоением частоты в условиях фазового синхронизма второго типа

Апробация работы. Диссертация выполнена в ИПФ РАН Ее результаты опубликованы в работах [1-37] (из них 28 статей в отечественных и зарубежных реферируемых журналах, 1 препринте ИПФ РАН, 8 статьях в сборниках трудов международных конференций) и 36 тезисах докладов на международных конференциях и симпозиумах

Представленные в диссертации научные результаты обсуждались на семинарах ИПФ РАН, научной сессии совета РАН по Нелинейной Динамике

Материалы диссертации докладывались на следующих конференциях Всесоюзных конференциях "Оптика Лазеров", Ленинград (1987,1990), Международных конференциях "Оптика Лазеров", С Петербург (1995, 1998, 2000, 2003, 2006), Международных конференциях по Когерентной и Нелинейной Оптике (Минск 1988, Ленинград 1991, С Петербург 1995, Москва 1998, Минск 2001, С Петербург 2005), Международных Европейских конференциях по Лазерам и Электрооптике (CLEO/Europe) (Амстердам, 1994, Гамбург, 1996, Глазго, 1998, Ницца, 2000), Международных конференциях по Поляризационным Эффектам в Лазерах и Спектроскопии (PELS) (Торонто, 1997, Саутгемптон, 2000), Международной конференции "Progress in Nonlinear Science" (Нижний Новгород, 2002), Международном симпозиуме "Актуальные проблемы физики нелинейных волн" (NWP-2003), Нижний Новгород-Москва-Нижний Новгород, 2003, Российско-Немецком лазерном симпозиуме (RGLS-2005, Нижний Новгород, 2005), Международной конференции "Coherent Control of the Fundamental Processes in Optics and X-ray-Optics" (Нижний Новгород-Казань-Нижний Новгород, 2006)

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы

Общий объем составляет 301 страниц, включая 152 рисунка и список литературы из 195 наименований

Краткое содержание работы

Во Введении обосновывается актуальность темы исследований, формулируется цель работы и кратко излагается ее содержание

Глава 1 посвящена обоснованию базовых уравнений миогомодового биполяриза-ционного твердотельно1 о лазера, учитывающих фазочувствительное взаимодействие мод Для любых типов резонаторов и произвольного распределения активной среды в резонаторе При этом не накладываются какие-либо ограничения на времена релаксации поляризации Т2, инверсии населенностей Г, и поля в резонаторе Тс Полученная система уравнений пригодна для анализа динамики лазеров класса С по классификации Арекки [15*] Проведение процедуры адиабатического исключения поляризации, как самой быстрой переменной, приводит к многомодовой модели лазеров класса В (с инерционной активной средой), применимой к описанию динамики твердотельных лазеров Показано, как из общей модели лазера класса С получается хорошо известная модель Лоренца - Хакена (модель лазера с однородно уширенной линией усиления, с пространственно однородным распределением активной среды вдоль резонатора лазера, с линейно поляризованными и одинаково ориентированными дипольными моментами активных центров - простейшая скалярная модель одномодового лазера бегущей волны) [16*, 6, 7] На основе этой модели проанализированы условия возникновения неустойчивости, установления Раби осцилляций и связь этих осцилляций с релаксационными колебаниями в различных динамических классах лазеров На плоскости параметров (бг-^/Гг, С=Г,/Гс) наглядно продемонстрированы области реализации лазеров различных динамических классов

Глава 2 посвящена исследованию низкочастотной динамики многомодовых монополяризационных лазеров с однородно уширенной и пространственно однородной активной средой, полностью заполняющей резонатор лазера в режиме свободной генерации и с применением оцтоэлектронной обратной связи В таких лазерах единственным существенным нелинейным эффектом является насыщение активной среды, которое вследствие пространственной неоднородности полей мод приводит к образованию решеток инверсии населенностей Динамика излучения этих лазеров хорошо описывается в балансном приближении, при котором учитывается только энергетическое взаимодействие мод через активную среду не зависящее от фаз полей лазерных мод

В параграфе 2 1 на примере одномодовых лазеров представлена методика исследования устойчивости стационарного состояния, основанная на анализе корней характеристического уравнения Установлено, что число комплексно сопряженных корней в одномодовом случае, описывающих релаксационные колебания, не зависит от типа резонатора Появление мелкомасштабной неоднородности разности населенностей в лазере стоячей волны приводит лишь к появлению в характеристическом уравнении дополнительного отрицательного корня

Ситуация кардинально меняется с появлением в генерации новых мод при росте превышения накачки над порогом генерации (параграф 2 2) В лазерах с однородно

уширенной линией усиления благодаря пространственно неоднородному выжиганию инверсии населенностей возможна генерация на нескольких продольных модах Процесс появления в генерации новых мод сопровождается появлением новых релаксационных колебаний, огвечающих за противофазную динамику оптических мод Низкочастотная динамика такого лазера описывается известной моделью Танга Статца и ДеМарса (ТСД) Она получается из базовой модели, представленной в первой главе, при соответствующих упрощениях в генерации участвуют продольные моды с одинаковой поляризацией в силу предположения об одинаковой ориентации всех активных центров, частота межмодового интервала значительно превышает ширину полосы моды холодного резонатора, что позволяет пренебречь быстро осциллирующими членами, отвечающими за межмодовые биения Аналитически найдено стационарное состояние в этой модели при произвольном числе мод Линеаризация системы уравнений возле найденного стационарною состояния приводит к характеристическому уравнению 2А'+1 -го порядка, К комплексно-сопряженных корней которого описывают релаксационные колебания (рис 1), присущие твердотельному лазеру в этом стационарном состоянии (К- число генерируемых мод)

Рис. 1 Поведение частот (а) и декрементов (б) релаксационных колебаний и интенсивностей мод (в) от параметра накачки А при несимметричном расположении мод Приведена также зависимость действительного корня характеристического уравнения На врезке рис 1в приведена форма оптического спектра при А = 3 Параметр накачки А равен отношению мощности накачки к ее пороговому значению

1 0 1 2 14 1 6 1 8 20 22 24 26 28

10 12 М 16 18 2.0 22 24 26 28

Все релаксационные колебания делятся на две категории Первая представлена единственным релаксационным колебанием, частота которого является наивысшей в спектре собственных частот динамических мод Оно соответствует синфазным колебаниям интенсивностей всех мод, благодаря чему всегда представлено в интегральной интенсивности выходного излучения и имеет место в одномодовой модели Остальные релаксационные колебания принадлежат противофазной динамике, вызванной конкуренцией мод Релаксационные моды второй категории подразделяются на скомпенсированные и нескомпенсированные Скомпенсированные релаксационные моды существуют только при равенстве линейных коэффициентов усиления симметрично распо-

ложенных оптических мод Такие релаксационные колебания не представлены в суммарной интенсивности излучения, и в их существовании можно убедиться только по динамике отдельных мод Наглядное представление о характере релаксационных мод в стационарном состоянии дают собственные вектора линеаризованной системы Их удается найти численными методами Особенности проявления релаксационных колебаний изучались также путем расчета передаточных функций (отклика в интенсивно-стях отдельных мод и в суммарной интенсивности на малую модуляцию потерь) [26] В отклике суммарной интенсивности наблюдается единственный резонансный пик на частоте синфазных релаксационных колебаний Низкочастотные релаксационные колебания проявляются только в передаточных функциях отдельных мод Численными методами найдены собственные вектора системы и прослежена зависимость собственных значений от управляющих параметров Выявлены закономерности в поведении собственных векторов низкочастотных динамических мод как при симметричном оптическом спектре, так и при нарушении симметрии, когда релаксационные колебания уже нельзя подразделять на скомпенсированные и нескомпенсированные При несимметричном расположении оптических мод (рис 1) увеличение накачки приводит к поочередному вступлению в генерацию мод, сопровождающемуся появлением новых релаксационных колебаний В том случае, когда интенсивности мод далеки от вырождения, каждой моде можно однозначно приписать свое релаксационное колебание При этом более интенсивной моде будет соответствовать более высокочастотное релаксационное колебание

Ранее было принято считать, что число релаксационных колебаний совпадает с числом лазерных мод В параграфе 2 2 показано, что число релаксационных колебаний многомодового лазера не является постоянным и может принимать значения от нуля до числа генерируемых мод Число релаксационных колебаний зависит также or таких лазерных параметров, как уровень накачки и скорость затухания поля в резонаторе Так, при K>KSup, где

K%W=2G(A-\)!A\ (1)

остается только один тип синфазных релаксационных колебаний (рис 2,3)

Тот факт, что каждой лазерной моде соответствует своя динамическая мода (релаксационное колебание), нашел подтверждение в исследованиях многомодового твердотельного лазера с дифференциальной оптоэлектронной обратной связью [12], которым посвящен параграф 2.3 Из всею многообразия видов оптоэлектронной обратной связи выделяется обратная связь, в которой управляющий сигнал пропорционален производной от интенсивности выходного излучения Среди важных свойств такой дифференциальной обратной связи в первую очередь является внесение дополнительного фазового сдвига п/2 по отношению к изменениям интенсивности излучения Во-вторых, поскольку такой сигнал исчезает в случае устойчивой стационарной генерации, постольку дифференциальная обратная связь, не изменяет стационарное состояние В силу указанных свойств она оказывает воздействие только на его устойчивость В аспекте математического исследования устойчивости генерации дифференциальная обратная связь изменяет реальные части корней характеристического уравнения, соответствующего стационарному состоянию В параграфе 2 3 представлено детальное теоретическое и экспериментальное исследование релаксационных резонансов многомодовых лазеров класса В с обратной связью, пропорциональной

(а)

а

2

0 12^ Рис. 2. Зависимости релаксационных частот (а) и декрементов затухания (б) от параметра накачки в случае плоского контура усиления (число мод К = 50)

0 1

Рис 3. Зависимости релаксационных частот (а) и декрементов затухания (б) от параметра накачки в случае плоского контура усиления {К= 51)

производной от суммарной интенсивности и интенсивности заданной моды, и управляющей мощностью лазера накачки

Л = Л + нго,— ¿1

1Л

Ч Р

+н.

Ёх. ¿т '

(2)

где Нш и Ну, (V = 1,2, ,К~) - коэффициенты обратной связи по суммарной интенсивности и по отдельным модам соответственно При увеличении коэффициента селективной обратной связи, например по четвертой моде (самой слабой при рассматриваемой 4-х модовой генерации), форма передаточной функции претерпевает значительные изменения в процессе приближения параметра Я4 к бифуркационному значению (рис 4а) Ширина резонансного пика на частоте П4 уменьшается, а амплитуда этого пика резко возрастает, о чем можно судить по уменьшению общего прилегающего фона, включая и небольшие пики на соседних релаксационных частотах Подобная закономерность наблюдается при выборе любой другой моды, используемой для обратной связи (рис 46) При этом более слабой по интенсивности моде соответствует более низкочастотное релаксационное колебание

' i

3

г V

1 ^^ 1 1 —I4— *

(б)

частота модуляции

Рис. 4 Отклик суммарной интенсивности на модуляцию накачки при комбинированной обратной связи Нш—О 015

(а) Я4= -0 01 (1), 0 03 (2), 0 Об (3), 0 073 (4),

(б) , #! 2,3 4=0 0 (1), Я2И) 032, #1 , 4-0 (2), #э=0 038, #j 24=0 (3), Я4=0 073, #, 2з=0 (4) G=7000, А=2

Предлагаемые в диссертации комбинации сигналов обратной связи позволяют получить почти любые динамические режимы Отмечается возможность подавления синфазного релаксационного колебания с помощью отрицательной обратной связи по суммарной интенсивности В противоположность этому, увеличение коэффициента селективной обратной связи приводит к нестабильности и, в конечном счете, к хаосу по двум сценариям Первый путь состоит из бифуркации Хопфа с последующим переходом низкочастотных регулярных колебаний к хаотическим колебаниям через квазипериодичность По второму сценарию хаотические пульсации устанавливались сразу после суперкритической бифуркации Хопфа, но в этом случае временные масштабы соответствовали высокочастотным релаксационным колебаниям

Глава 3 посвящена исследованию лазеров, у которых межмодовый интервал сравним или заметно меньше полосы моды В этом случае на поведение лазера оказывает существенное влияние интерференционное взаимодействие мод, обусловленное их рассеянием на решетках инверсии населенностей, наведенных совместным действием полей разных мод При моделировании динамики таких лазеров необходимо

учитывать это фазочувствителыюе взаимодействие Последствия этого взаимодействия были исследованы на примере двухмодовой модели лазера, модами которого являются стоячие волны [10] Особый интерес представляет вопрос о влиянии фазочув-ствительного взаимодействия на динамические характеристики кольцевых лазеров, к которым простой балансный подход не применим вовсе, поскольку модами являются бегущие волны, каждая из которых равномерно насыщает активную среду По этой причине теория двунаправленного ТКЛ сразу строится с учетом фазочувствительного взаимодействия встречных волн на совместно созданной ими единственной решетке [1] В зависимости от линейной связи встречных волн р и от отстройки частоты генерации от центра линии усиления А в ТКЛ может реализоваться либо режим бегущей волны, чибо один из двух видов автомодуляционных режимов, присущих этим лазерам В параграфе 3 2 приводятся результаты исследования низкочастотной динамики ТКЛ Пункт 3.2 1 посвящен эффекту взаимодействия релаксационных колебаний в режиме бегущей волны В эюм режиме наблюдается три типа релаксационных колебаний (рис 5) обычные синфазные колебания на частоте ц и специфичные для ТКЛ

релаксационные колебания на частотах Г2 , и <ЛВ Обнаружено, что при определенных параметрах лазера, когда С1д ~ПА , либо С1А « ^ , наблюдаются эффекты отталкивания и затягивания релаксационных частот, захват декрементов затухания В этих областях пространства параметров, где наблюдается сильное взаимодействие релаксационных колебаний, устойчивость режима бегущей волны снижается, и наиболее вероятно появление режимов динамического хаоса

Рис 5. Зависимость частот релаксационных колебаний (а) и декрементов затухания (б) от фазовой невзаимности резонатора Ас в ТКЛ (7 = 5000, А = 1 2, р = 0

В п 3.2 2 обсуждается проблема адекватного описания режима низкочастотных переключений направления генерации (автомодуляционного режима второго рода), и обоснована необходимость перехода к модели ТКЛ, учитывающей тонкую структуру линии усиления и объясняющей этот режим Найдено стационарное решение модифицированной модели ТКЛ, ориентированной на конкрешую активную среду — алюмо-иттриевый гранат с неодимом, и учитывающей линейную связь встречных волн, а так

же фазовую и амплитудную невзаимности резонатора Проанализированы условия возникновения автомодуляционного режима генерации второго рода На основе этой модели получено объяснение наблюдающейся на эксперименте чувствительности спектра флуктуаций интенсивности в режиме бегущей волны к знаку фазовой невзаимности резонатора при смене знака резонансный пик на частоте С1Л исчезает, но появляется резонансный пик на частоте другого специфичного для ТКЛ релаксационного колебания 0.в

В пункте 3 2 3 обсуждаются особенности спектра релаксационных колебаний и частотной динамики в автомодуляционном режиме второго рода В отсутствие фазовой невзаимности резонатора при смене направления бегущей волны частотные скачки встречных волн Ал и Лв одинаковы, и при этом частота генерации сохраняется В тот момент, когда волна становится сильной, она вытесняет конкурирующую встречную волну на позицию, расположенную дальше от центра линии Разность частот обеих волн равна Дл до тех пор, пока слабая волна не достигнет минимума по интенсивности В этот момент частота последней изменяется на Ал + Ав (в отсутствие фазовой невзаимности АЛ=АВ), и слабая волна оказывается ближе к центру линии, чем сильная Обе волны равноправны и каждая из них остается на положении сильной ровно половину периода автомодуляции Введение фазовой невзаимности Ас (рис 6) влечет за собой выделение доминирующей волны, время пребывания которой в положении сильной превышает половину периода Одновременно пропадает симметрия в частотной динамике Частота генерации оказывается ближе к центру линии в те отрезки времени когда сильной является доминирующая волна (сплошная линия) Причем частотные скачки удовлетворяют соотношению АЛ-АВ=АС Важным обстоятельством является то, что частотные скачки в точности совпадают с частотами специфичных для кольцевого лазера релаксационных колебаний С1А и С1Ц в режиме бегущей волны Релаксационные процессы в этом автомодуляционном режиме представлены теми же типами релаксационных колебаний, которые присущи ТКЛ в режиме бегущей волны

(а)

Ль

(б)

ГММсУДЖ г

т о

Ж

А

а

1

Рис. 6 Поведение интенсивностей (а) и частот (б) встречных волн в автомодуляционном режиме второго рода при р = 0, Дс= 31, <3 = 5000, Д = 0 1 иЛ = 4

Пункт 3 2.4 посвящен исследованию особенностей низкочастотной динамики TKJI в автомодуляционном режиме квазисинусоидальных противофазных колебаний интенсивностей встречных волн (автомодуляционный режим 1-го рода) Релаксационные колебания, как переходный процесс от возмущенного состояния к устойчивому режиму генерации, присущи и автомодуляционным режимам с постоянными во времени параметрами (частотой и амплитудой колебаний) Приводя гея результаты экспериментального исследования характеристик излучения TKJI в автомодуляционном режиме, включая свойства релаксационных колебаний, при изменении таких параметров, как уровень накачки А = PuiJPnop, температура лазерного кристалла и величина магнитного поля Наложение магнитного поля на активный кристалл при эллиптических собственных поляризациях встречных волн позволяет создавать фазовую невзаимность (имитировать вращение ТКЛ) за счет эффекта Фарадея в матрице алюмоит-триевого граната Экспериментальные результаты получены на моноблочном кольцевом Nd YAG лазере с неплоским контуром резонатора Накачка осуществлялась полупроводниковым лазером на длине волны Х = 810 нм В режиме свободной генерации реализуется автомодуляционный режим 1-го рода Из-за неплоской конфигурации резонатора встречные волны оказываются эллиптически поляризованными При этом имеется разность азимутов между большими осями эллипсов поляризаций встречных волн, которая составляла ~10° В спектре флуктуаций мощности излучения наряду с интенсивными резонансными пиками на частоте релаксационных колебаний ii, и на частоте автомодуляционных колебаний Qm имеются слабые спектральные компоненты на частотах Clm ±ii, и на частоте дополнительного низкочастотного релаксационного колебания fi2 Отношение релаксационных частот П,Ш2 равнялось 1,6 и практически не зависело от А Наложение магнитного поля Н на активную среду приводит к изменению средних интенсивностей встречных волн, частоты и глубины модуляции, fi2 и амплитуды релаксационного пика на этой частоте

Создана модель ТКЛ, учитывающая взаимодействие двух неколлинеарных эллиптически поляризованных встречных мод, проведено исследование спектров релаксационных колебаний в двух режимах работы лазера В режиме однонаправленной генерации (когда интенсивность одной волны значительно меньше интенсивности другой волны) использовалась традиционная процедура линейного анализа устойчивости, позволяющая находить частоты и декременты релаксационных колебаний Для поиска релаксационных частот в квазисинусоидальном автомодуляционном режиме проводилось численное интегрирование уравнений ТКЛ со случайными источниками, моделирующими спонтанное излучение или технические флуктуации в системе По спектрам флуктуаций интенсивностей мод выявлялись резонансные свойства системы Расчеты велись при параметрах системы, соответствующих условиям эксперимента Найдено, что отношение релаксационных частот Г2, / П2 составляло величину 1,6, в полном согласии с экспериментом Исследование влияния коэффициента линейной связи на переход от режима бегущей волны к автомодуляционному режиму позволил выявить связь между релаксационными колебаниями в этих режимах Установлено, что релаксационные колебания автомодуляционного режима на частотах Ц , С23 и сами автоколебания на частоте переходят соответственно в релаксационные колебания на частотах О,, Qg и в режиме бегущей волны, когда коэффициент линейной связи встречных волн становится меньше некоторого бифуркационного значения

Пункт 3.3 посвящен теоретическому исследованию динамики полупроводниковых кольцевых лазеров Специфические особенности полупроводниковой активной среды учитываются путем введения в представленные в разделе 3 2 1 уравнения TKJI дополнительных членов, содержащих коэффициент диффузии носителей d, и фактора неизохронности а, характеризующего асимметрию линии усиления полупроводника и несовпадение ее максимума с нулем дисперсионной кривой Показано, что диффузия активных центров, и а-факгор оказывают заметное воздействие на динамику кольцевого лазера с инерционной активной средой В дополнение к режиму однонаправленной генерации появляется режим стационарной двунаправленной генерации Диффузия и неизохронность, управляя амплитудой и фазой решетки инверсии населенно-стей, обеспечивают многообразие режимов генерации - от подавления одной из волн и однонаправленной генерации через нестационарные двухмодовые режемы к стационарной генерации двух волн с равными интенсивностями Сглаживание пространственной неоднородности инверсии проявляется не только в смене динамических режимов, но и в поведении релаксационных колебаний, присущих стационарным режимам В режиме бегущей волны система обладает тремя типами релаксационных колебаний, как и в TKJI (рис 7) Отличие заключается только в сильной зависимости специфичных релаксационных колебаний С1Л и Пв от диффузии и фактора неизохронности Результаты анализа устойчивости режима бегущей волны аналогичны соответствующим

100-

Рис. 7. Зависимости частот (а) и декрементов (б) релаксационных колебаний от коэффициента диффузии для стационарного состояния, соответствующего однонаправленной генерации, в отсутствии фазовой невзаимности для двух значений а-фактора а = 0 (сплошные линии), а = 0 2 (пунктирные линии) О = 5000, А — 4

результатам, полученным для ТКЛ с отстройкой частоты резонатора от центра линии генерации, причем роль отстройки выполняет параметр а Так же как и в ТКЛ, в кольцевом полупроводниковом лазере существует критическое значение а-фактора, выше которого режим бегущей волны становится неустойчивым через хопфовекую бифуркацию с характеристической частотой, равной одному из специфичных релаксационных колебаний На рис 7 отмечен критический коэффициент диффузии

с1^=а^в(А-])/2-А, (3)

соответствующий смене знака декремента 5л при ¡} < с/''} режим однонаправленной

генерации становится неустойчивым, и устанавливаются либо автомодуляционные колебания, либо режим двунаправленной генерации Внесение фазовой невзаимности снимает вырождение с частот специфических релаксационных колебаний, как и в ТКЛ Двухволновому режиму, в отличие от режима бегущей волны, присущи только два типа релаксационных колебаний Первое - это основное релаксационное колебание с частотой П', и пр которая слабо зависит от управляющих параметров ос, с/ Второе релаксационное колебание на частоте П'2 отвечает за противофазные колебания интенсивностей встречных волн Общим для обоих стационарных режимов является уменьшение частоты релаксационных колебаний, обусловленных фазовым взаимодействием мод, при увеличении коэффициента диффузии Наиболее заметно это проявляется в двухволновом режиме при некотором коэффициенте диффузии исчезает релаксационное колебание на частоте С1'2 и связанная с ним противофазная динамика встречных волн

В параграфе 3.4 приводятся результаты численного исследования особенностей низкочастотной динамики двухмодового лазера с резонатором Фабри-Перо с учетом фазочувствительного взаимодействия мод в условиях, когда межмодовый интервал сравним с шириной моды резонатора В этом случае при переходе от интегро-дифференциальных уравнений к уравнениям в обыкновенных производных появляются два новых типа решеток инверсии населенностей, записанных совместным действием полей разных продольных мод мелкомасштабная решетка Д+2 с масштабом

неоднородности порядка длины волны и крупномасштабная решетка £}~ с масштабом неоднородности порядка длины резонатора Для изучения влияния решеток на динамику такого лазера в модель были введены дополнительные факторы, управляющие параметрами решеток диффузия возбуждений и а-фактор Генри Такая модификация модели позволила применить ее к описанию динамики полупроводникового двухмодового лазера [10] При диффузионной длине значительно короче длины резонатора Ь диффузия носителей оказывает существенное воздействие только на мелкомасштабные решетки не отражаясь на крупномасштабной решетке Д~

В параграфе 3.5 подводятся итоги исследования фазочувствительного взаимодействия мод в лазерах класса В Подчеркивается, что фазочувствительное взаимодействие мод приводит к более богатой низкочастотной динамике по сравнению с чисто энергетическим взаимодействием независимо от типа резонатора

Глава 4 посвящена исследованию динамики твердотельных лазеров с неоднородным распределением ненасыщенного усиления вдоль резонатора Исходными остаются общепринятые дифференциальные уравнения Танга, Статца1 и ДеМарса, которые имеют вид

Переменными системы уравнений (4), (5) являются интенсивности мод, зависящие только от времени, и инверсия населенностей, которая зависит еще и от пространст-

<*г I. о

(4)

(5)

венных координат, поэтому в уравнении для инверсии населенностей (5) используется знак частной производной В предыдущих главах рассматривалась идеализированная ситуация, когда активная среда полностью заполняет резонатор, а накачка пространственно однородна, что обеспечивает равномерное распределение ненасыщенного усиления вдоль резонатора На практике в подавляющем большинстве случаев эти условия не выполняется В параграфе 4.1 проводится обоснование и вывод балансных уравнений многомодового твердотельного лазера с произвольным видом продольной неоднородности ненасыщенного усиления Из уравнения (5) можно найти, что в стационарном состоянии насыщенное распределение инверсной населенности пропорционально ненасыщенному усилению A(z) = А0Ф(г)

п(2) = А0Ф(2)[\+^^{1)1У (6)

Здесь сомножитель Ф(г) не зависит от времени и определяется только геометрией задачи (размерами кристалла, изменением накачки вдоль кристалла и т д ) и отвечает за медленные изменения инверсии населенностей вдоль оси резонатора Введем новую динамическую переменную D(z, г)> выделив ненасыщенный профиль усиления в виде отдельного не зависящего от времени сомножителя

n(z,r) = <2>(z)D(z,r) (7)

Она отвечает за эффект насыщения инверсии населешгостей генерируемым полем Представляя отдельные сомножители в (7) в виде Фурье разложений по быстро осциллирующим собственным пространственным функциям резонатора ц/,.(г) для

D(z,r) и по медленно осциллирующим крупномасштабным собственным функциям для Ф(г) получаем балансную систему уравнений многомодового лазера класса В с неоднородным распределением накачки вдоль резонатора Полученная система уравнений по размерности совпадает с моделью Танга Статца ДеМарса Рассмотрен конкретный вид продольной неоднородности ненасыщенного усиления, обусловленный экспоненциальным затуханием накачки вдоль кристалла, не полностью заполняющего резонатор лазера, что соответствует нашим экспериментальным условиям

В параграфе 4.2 рассматривается влияние частичного заполнения резонатора (длины L) активной средой (длиной Г) на динамику многомодовой генерации Показано, что при l/L< 1 из-за конкуренции мод интенсивность генерирующей моды на центре линии, где имеет место наибольшее ненасыщенное усиление, может оказаться меньше интенсивностей ближайших к ней боковых мод Этот эффект наблюдался в экспериментах с Nd YAG лазером [28] Исследования показали, что в этих условиях порядок чередования скомпенсированных и нескомпенсированных релаксационных колебаний отличается от описанной во второй главе закономерности для случая l/L= 1 Показано, что существует такой набор значений фактора заполнения и уровня накачки, при котором спектр частот релаксационных колебаний весьма близок к тому, который наблюдается при полном заполнении резонатора активной средой Обсуждается влияние скрытой асимметрии усиления на проявление скомпенсированных релаксационных колебаний в передаточных функциях для суммарной интенсивности

В параграфе 4.3 приводятся результаты экспериментального исследования многомодового Nd YAG лазера с продольной накачкой Неоднородное распределение ненасыщенной инверсии, обусловлено экспоненциальным затуханием пучка накачки в активной среде и частичным заполнением резонатора активной средой Наличие этих факторов может приводить к довольно существенным изменениям в оптическом спек-

тре излучения лазера Показано, что уменьшение фактора заполнения резонатора активной средой с 0 32 до 0 22 приводит к прорежению оптического спектра число подавленных мод между соседними генерирующими модами увеличивается с 1-2 до 2-3 соответственно Приводятся резучьтагы численных расчетов, произведенных с помощью полученной в п 4 1 модели, при значениях параметров совпадающих с экспериментальными Продемонстрировано качественное согласие численных результатов и экспериментальных данных

В параграфе 4 4 подводятся итоги теоретического и экспериментального исследования влияния неоднородного распределения ненасыщенного усиления на спектр генерации лазера и спектр релаксационных колебаний Проводится сравнение с расчетами, проведенными по предложенной в работе [17*] модели, учитывающей насыщение крупномасштабных решегок инверсии населенностей и имеющей большую размерность Расчет показал, что интенсивности мод совпадают, а расхождение в амплитудах решеток инверсии населенностей составляют единицы процентов Это показывает оправданность выбранного приближения для расчета стационарных состояний Расчеты показывают, что наблюдаемый на эксперименте эффект прорежения оптического спектра наиболее точно описывается при совместном учете обоих механизмов неоднородного распределения ненасыщенного усиления вдоль резонатора частичного заполнения резонатора активной средой и экспоненциального затухания накачки в активной среде

Глава S посвящена экспериментальному и теоретическому исследованию динамики генерации твердотельных биполяризационных лазеров Во введении к этой главе 5 1 дается краткий обзор работ, посвященных этой проблеме Бииоляризационный режим работы был обнаружен как в миниатюрных твердотельных лазерах на алюмо-иттриевом гранате [18*], так и в волоконных лазерах [19*] с оптической линейно поляризованной накачкой При этом в волоконных лазерах наблюдался эффект наведенной анизотропии усиления

В параграфе 5 2 рассмотрены условия проявления эффекта наведенной лазером накачки анизотропии усиления в квазиизотронных активных средах Ответственные за усиление когерентного излучения в волоконных лазерах примесные ионы Nd располагаются случайным образом в матрице стекла В силу этого Распределение дипольных моментов по их ориентациям в волоконном лазере, по-видимому, всегда с большой степенью точности можно считать равновероятным [20*] В твердотельных лазерах на основе кристаллов в отличие от волоконных лазеров активные центры в кристаллической ячейке занимают вполне определенные положения Тем не менее, разброс по ориентациям дипольных моментов как поглощающего, так и излучающего переходов в кристалле Nd YAG (в общем случае они ориентированы по шести направлениям) несколько сближает их с волоконными лазерами Определенную специфику в поляризационную динамику как волоконных лазеров, так и лазеров на кристаллах, привносит использование лазерной накачки Накачка работающих по четырехуровневой схеме лазеров на ионах Nd осуществляется когерентным поляризованным лазерным излучением на X = 0 81 мкм Поскольку вероятность возбуждения активных ионов увеличивается с ростом проекции вектора дипольного момента поглощающего перехода на

направление вектора поля накачки, распределение возбужденных ионов N<1 оказывается неоднородным по азимутальному углу, и усиление слабого сигнала на частоте рабочего перехода может зависеть от состояния поляризации сигнального поля [19*, 20*] Анало1Ичные результаты известны для лазеров на красителях [21*] В силу этого, при использовании поляризованного излучения накачки в лазерах наблюдается эффект наведенной анизотропии усиления Ясно, что в лазерах с ламповой накачкой, также как и при накачке неполяризованным излучением полупроводникового лазера с волоконным выходом, этот эффект не возникает

С самого начала изучения волоконных лазеров была обнаружена их способность одновременно генерировать на ортогонально поляризованных модах В каждой поляризованной компоненте излучения генерируется огромное число продольных мод Будем называть "супермодой" [10*] всю совокупность одинаково поляризованных генерируемых лазером мод, отличающихся пространственной структурой поля и, следовательно, частотой В параграфе 5.3 изложены результаты экспериментального исследования поляризационной динамики волоконного лазера на примесных ионах N<1, генерирующего на двух ортогонально поляризованных "супермодах", и нроведено сопоставление теоретических выводов с экспериментальными результатами Обнаружено, что изменение ориентации поляризации излучения накачки приводит к противофазному изменению интенсивностей "супермод" Пороги генерации "супермод" оказались практически одинаковыми и не зависели от ориентации плоскости поляризации излучения накачки Однако отношение интенсивностей "супермод" изменялось в широких пределах В спектре флуктуаций интенсивностей "супермод" наряду с высокочастотным синфазным релаксационным колебанием на частоте О,, присущим всем типам лазеров с инерционной активной средой, были обнаружены еще два типа низкочастотных релаксационных колебаний на частотах П-, и £13 , которые совершаются в каждой "супермоде" в противофазе друг к другу

Экспериментально проводилось исследование влияния комбинированной опто-электронной дифференциальной обратной связи на поляризационную динамику генерации волоконного лазера Была показана возможность возбуждения незатухающих низкочастотных колебаний точно так же, как в многомодовом лазере, описанном во второй главе

Для описания особенностей низкочастотной поляризационной динамики двухмо-довые балансные модели не подходят, поскольку не могут дать третьего релаксационного колебания на частоте Л3 Предложена модель, учитывающая фазочувствитель-ное взаимодействие двух ортогонально поляризованных мод Она позволила описать все основные особенности динамики волоконных лазеров, генерирующих две ортогонально поляризованные "супермоды" При этом принималось во внимание, что собственные моды волоконного резонатора в общем случае являются эллиптически поляризованными Эффект наведенной анизотропии усиления линейно поляризованным излучением накачки учитывался феноменологически путем введения неоднородного по азимуту распределения активных диполей с максимумом, совпадающим с направлением поляризации накачки

Параграф 5 4.1 посвящен экспериментальному и теоретическому исследованию влияния поляризации излучения лазера накачки на динамические и флукгуационные характеристики излучения многомодового Nd YAG лазера со слабо анизотропным резонатором Фабри-Перо [23] Все результаты по поляризационной динамике, полученные с Nd YAG лазером, являются новыми и наблюдались впервые в наших экспериментах В условиях нашего эксперимента "супермоды" разделялись на сильную и слабую Эффект наведенной анизотропии усиления проявляется в зависимости порогов генерации орто! оналыю поляризованных мод от ориентации поляризации накачки Ч'р (рис 8) Проявление эффекта наведенной анизотропии усиления в активном элементе наблюдалось не только в режиме лазерной генерации, но и в спонтанном излучении активно1 о кристалла, когда он находился вне резонатора В этом случае выходное зеркало резонатора отсутствовало, а фотоприемник располагался по оси кристалла При вращении полуволновой пластинки, управлявшей ориентацией плоскости поляризации накачки, наблюдалось синхронное вращение азимутов максимума и минимума интенсивноеги спонтанною излучения Отношение минимума к максимуму в среднем было равно 0 7

</;/ 2

Рис 8 Поведение порогов генерации "суперчод" многомодового Nd YAG лазера от ориентации поляризации накачки ¥

Вращение плоскости поляризации накачки приводило к противофазному изменению интенсивностей "супермод" с периодом, равным 180° (рис 9) Зависимость интенсивностей "супермод" от ориентации поляризации накачки свидетельствовало о наличии наведенной анизотропии усиления В спектрах флуктуации интенсивностей "супермод" (рис 10) наряду с высокочастотным пиком на частоте Г2,, соответствующем основномурелаксациошюму колебанию, присутствуют два низкочастотных релаксационных пика на частотах Я2 > ^з Отсутствие низкочастотных пиков в спектре флуктуаций суммарной интенсивности свидетельствует о противофазном характере малых колебаний интенсивностей ортогонально поляризованных "супермод" на

частотах Q2, fi3 Проявление эффекта наведенной анизотропии усиления в активном элементе наблюдалось также в спонтанном излучении активного элемента, когда он находился вне резонатора

Рис. 9. Поведение интенсивностей "супермод" /] и h многомодового Nd YAG лазера от ориентации поляризации накачки f

Частота (кГи)

Рис. 10. Пример спектров флуктуации интенсивностей "супермод" 1\ (а), h (б) и суммарной интенсивности (в) многомодового Nd YAG лазера

Для адекватной интерпретации экспериментальных результатов, полученных при изучении биполяризационной генерации многомодового Nd YAG лазера, был использован модифицированный вариант модели лазера класса В с двумя ортогонально поляризованными модами Изменения в этой модели коснулись феноменологически введенного выражения для функции распределения активных диполей по ориентаци-ям В развитие идей Касперсона [21*] был предложен последовательный квантово-механический подход к выводу функции углового распределения активных центров под воздействием линейно поляризованного излучения накачки

Несмотря на хорошее качественное согласие, не приходится надеяться на детальное соответствие теоретических результатов на основе двухмодовых моделей и экспериментальных исследований многомодовых лазеров, поскольку последние генерируют большое количество ортогонально поляризованных мод с различными частотами, взаимодействующими друг с другом через посредство пространственных решеток инверсии населенностей Поэтому важно провести экспериментальное исследование взаимодействия двух ортогонально поляризованных мод с одинаковой пространственной структурой поля Для этой цели хорошо подходит излучение микрочип лазера, который имеет настолько короткий резонатор, что в полосу усиления попадает не более двух ортогонально поляризованных мод с одинаковой пространственной структурой поля Это делает такие лазеры хорошим объектом для исследования чисто поляризационного взаимодействия мод Параграф 5 4.2 посвящен экспериментальному и теоретическому исследованию влияния поляризации излучения лазера накачки на динамические и флуктуационные характеристики излучения Nd YAG микрочип лазера с резонатором типа Фабри-Перо [31] Все экспериментальные результаты хорошо интерпретируются в рамках модели, учитывающей фазочувствительное взаимодействие ортогонально поляризованных мод Экспериментально наблюдаемое влияние ориентации поляризации излучения накачки на анизотропию усиления также хорошо описывается предложенной моделью Коэффициенты, характеризующие эффект наведенной анизотропии усиления линейно поляризованным излучением па-качки, могут быть получены при согласовании экспериментальных результатов с теорией

Исследование микрочип лазеров с малой фазовой анизотропией резонатора показало, что спектры флуктуаций поляризационных мод в биполяризациокном режиме содержат, как правило, по три резонансных пика на частотах релаксационных колебаний П,, iî2 и П,, демонстрируя полное сходство с многомодовыми Nd YAG и волоконными лазерами Наличие фазовой анизотропии резонатора (благодаря остаточному двулучепреломлению) приводит к исчезновению релаксационного колебания на частоте Q2 и к появлению сигнала биений на частоте 0.Ьеа1 Поведение интенсивностей ортогонально поляризованных мод при изменении ориентации поляризации накачки в микрочип лазерах качественно совпадает с поведением "сунермод" многомодовых лазеров Измерения показывают, что частоты релаксационных колебаний слабо зависят о г ориентации поляризации накачки

Обнаруженные низкочастотные релаксационные колебания на частотах П2 и Q3 играют важную роль в динамике биполяризационных твердотельных лазеров Особенно ярко это проявляется в биполяризационных лазерах с внутрирезонаторным удвоением частоты в условиях фазового синхронизма 2-го типа

В параграфе 5.5 приведены результаты экспериментального исследования низкочастотной динамики твердотельного лазера с внутрирезонаторным удвоением частоты в условиях фазового синхронизма 2-го типа Эффективность нелинейного преобразования управлялась температурой нелинейного кристалла КТР Оптические оси нелинейного элемента ориентировались точно параллельно ориентациям поляризационных мод лазера Преобразование частоты происходило при участии мод, имеющих ортогональные поляризации Процесс контролировался по оптическому спектру как на фундаментальной длине волны 1064 нм в обеих поляризациях, так и на удвоенной частоте в диапазоне 532 нм Зарегистрирован эффект прорежения спектра, обусловленный

частичным заполнением резонатора активной средой (см главу 4) Исследованы условия перехода от стабильного режима генерации к хаотическому

Эксперимент показал, что внутрирезонаторное суммирование частот уменьшает скорость затухания поляризационных релаксационных колебаний При высокой эффективности нелинейного преобразования частоты е и высоком уровне накачки малые затухающие колебания на частотах поляризационных релаксационных колебаний трансформируются в незатухающие колебания, свидетельствуя о наличии бифуркации Хопфа (рис 11) Этот результат можно считать первым экспериментальным наблюдением бифуркации Хопфа, существование которой в этом процессе было предсказано (с помощью численного моделирования) еще в работах [22*] Экспериментально показано, что бифуркация Хопфа происходит на частоте поляризационного релаксационного колебания, отражая факт взаимодействия поляризационных мод В противоположность результатам [22*] из эксперимента следует, что бифуркация Хопфа имеет суперкритический характер, те возникает не как резкий переход от стабильной генерации к колебательному режиму, а как непрерывное возрастание амплитуды колебаний с уровня шумов Дальнейшее увеличение эффективности преобразования е и уровня накачки приводит к хаотической динамике Эти результаты важны как для понимания физических процессов, управляющих динамикой многомодового лазера с внутрирезонаторным удвоением частоты, так и для совершенствования методов получения стабильной генерации

-40

-60

-<3 -во

а

£

о о -100

1 -40

а:

1 -во

а

а

-80

1

§

-100

-40

О.

Е

ш к -60

О

-80

-100

00

I

ДА

4 Вт1

£ = 50 Вт

Е = 80 Вт

-1 -

•Л-у.

100 200 300 400 частота (кГц)

Рис 11. Спектры флуктуаций интенсивности излучения одной из поляризационных мод при фиксированном уровне накачки А = 3 25, но различных эффек-тивностях нелинейного преобразования частоты

а) е = 4 Вт"' >

б) 6 = 50 Вт \

в) е = 80 Вт"'

500

Параграф 5.6 посвящен построению модели многомодового биполяризационного лазера Хотя простейшая двухмодовая модель биполяризационного лазера качественно верно описывает результаты экспериментального исследования реального многочастотного режима работы биполяризационного лазера, остается открытым вопрос о

том, как изменяется низкочастотная динамика генерации при увеличении числа генерирующих мод в составе каждой "супермоды" В работе [32] отмечалось, что вступление в генерацию новой моды иногда может сопровождаться появлением дополнительного резонансного пика в спектре флуктуаций интенсивности отдельной "супермоды" Чтобы прояснить ситуацию, была предложена модель биполяризационного лазера класса В, в которой каждая "супермода" имеет одинаковое произвольное число (К) мод Взаимодействие мод, имеющих разные частоты (различные продольные индексы), описывается в рамках балансного приближения, рассмотренного в четвертой главе диссертации Взаимодействие ортогонально поляризованных мод одной частоты (с одинаковой продольной пространственной структурой поля) описывается с учетом фазочувствительного взаимодействия в соответствии с подходом, использованным в параграфе 5 4 Полученная модель имеет размерность 7К+3

Установлено, что все релаксационные колебания многомодового биполяризационного лазера можно разбить на три группы Эти группы образуют синфазное релаксационное колебание на частоте Г2, + (5,, низкочастотные релаксационные колебания на частотах 0.'р + и { П';) + ¡8^ }, обусловленные прос гране гвенным

выжиганием инверсии населенностеи и отражающие противофазную динамику генерации всех мод внутри одной "сунермоды", и поляризационные релаксационные колебания на частотах П2 , + гб2, и + ¡3*' , обусловленные выжиганием инверсии населенностей и отвечающие за противофазную динамику между ортогонально поляризованными модами

Интенсивности ортогонально поляризованных "суиермод" изменяются в проти-вофазе с изменением ориентации поляризации накачки р аналогично тому, как это

наблюдалось в случае двухмодовой модели биполяризационного лазера При этом релаксационные частоты остаются практически постоянными В отсутствие внутрире-зонаторного нелинейного преобразования частоты ( б = 0 ) все декременты затухания также остаются почти постоянными Включение процесса преобразования (е ^ 0) приводит к появлению зависимости от *Р декрементов 5,,62,53, в то время как

остальные декременты остаются практически независимыми от ориентации поляризации накачки

Особое место в группе поляризационных релаксационных колебаний занимают релаксационные колебания { П2 3, 52 3 } Они ответственны за противофазные колебания суммарных интенсивностей ортогонально поляризованных мод и наблюдаются в спектрах флуктуаций полных интенсивностей "супермод" в виде резонансных пиков на частотах П, 3 Физическое содержание колебаний { П2 3, 62 3 } не зависит

от числа К мод, I енерирующих в каждой "супермоде", и сохраняется в частном случае /*Г=1, который описывается простейшей моделью биполяризационного лазера Введение нелинейных впутрирезонаторных потерь (е * 0 ), обусловленных нелинейным преобразованием частоты во вторую гармонику, приводит к бифуркации Хопфа на частоте одного из релаксационных колебаний { П2 ,, б2 , } в зависимости от соотношения интенсивностей поляризационных мод При большой разнице интенсивностей "супермод" наблюдается субкритическая бифуркация Хопфа на частоте П3 (возни-

кают колебания с конечной амплитудой) Выравнивание интенсивностей приводит к суперкритической бифуркации Хопфа на частоте П2 В этом случае при увеличении эффективности нелинейного преобразования е флуктуации на частоте поляризационного релаксационного колебания П2 растут В результате резонансный пик на частоте поляризационного релаксационного колебания в спектре флуктуаций интенсивности излучения обужается и растет по амплитуде При переходе бифуркационного значения эти изменения сопровождаются появлением в спектре шумов большого числа гармоник поляризационной релаксационной частоты Именно такой же характер развития неустойчивости наблюдался и на эксперименте

Дополнительной мотивацией создания модели многомодового биполяризацион-ного лазера послужили экспериментально обнаруженные особенности оптического спектра биполяризационного лазера (параграф 5.5) Наряду с прорежением оптического спектра, обусловленным неоднородным распределением усиления вдоль оси резонатора, была обнаружена генерация ортогонально поляризованных мод на разных частотах Предложенная модель, учитывающая частичное заполнение активной средой резонатора лазера, позволила объяснить и эту особенность оптического спектра генерации ортогонально поляризованных мод

В Заключении перечислены основные результаты диссертации

1) Обнаружен эффект исчезновения низкочастотных релаксационных колебаний при числе мод, превышающем некоторое критическое значение, зависящее от параметров многомодового твердотельного лазера с резонатором Фабри-Перо,

2) Предложен и экспериментально апробирован метод воздействия на релаксационные колебания многомодовых лазеров с инерционной активной средой с помощью дифференциальной оптоэлекгронной обратной связи,

3) Предложена модель многомодового твердотельного лазера с произвольной неоднородностью накачки вдоль резонатора Фабри-Перо, хорошо согласующаяся с экспериментом,

4) Обнаружен эффект взаимодействия релаксационных колебаний твердотельного кольцевого лазера в режиме бегущей волны,

5) Показана взаимная связь релаксационных колебаний твердотельного кольцевого лазера в различных динамических режимах в режиме бегущей волны, в режиме квази-синусоидальных противофазных колебаний ингенсивностей встречных волн и в режиме низкочастотных переключений направления генерации,

6) Экспериментально обнаружены новые типы релаксационных колебаний, проявляющиеся в противофазных осцилляциях интенсивностей ортогонально поляризованных мод биполяризационных лазеров с инерционной активной средой (волоконные и Nd YAG лазеры),

Предсказан теоретически и обнаружен экспериментально эффект поляризационной (угаовои) анизотропии усипения наводимой в активной среде твердотельного лазера линейно поляризованным излучением накачки Эффект проявлялся в зависимости интенсивностей поляризационных мод от ориентации поляризации пучка накачки,

Экспериментально показано, что возникновение нестационарной генерации при внутрирезонаторном удвоении частоты в условиях фазового синхронизма 2-го рода происходит благодаря потери устойчивости на частоте одного из поляризационных релаксационных колебаний через бифуркацию Андронова-Хопфа

Предложена модель многомодового твердотельного лазера, адекватно описывающая низкочастотную динамику биполяризационного лазера с линейно поляризованной накачкой, включая внутрирезонаторное удвоение частоты

Цитируемая литература

I * С L Tang, Н Statz and G DeMars, "Spectral output and spiking behavior of solid-state

lasers", J AppI Phys 34,2289-2295(1963) 2* H Statz, С L Tang, J M Lavine, "Spectral output of semiconductor lasers", J Appl Phys 35, 2581-2585(1964)

3* Mandel P , Georgiou M , Otsuka К and Pieroux D, "Transient and modulation dynamics

of a multimode Fabry-Perot laser", Opt Commun , v.100, P 341 (1993) 4* Pieroux D and Mandel P , "Transient dynamics of a multimode laser oscillation frequencies and decay rates", Opt Commun, v.107, P 245 (1994) 5* H В Кравцов, E Г Ларионцев, "Автомодуляционные колебания и релаксационные процессы в твердотельных кольцевых лазерах", Квантовая электроника, т21, 903 (1994)

6* Н В Кравцов, Е Г Ларионцев, "Невзаимные эффекты в кольцевых лазерах", Квантовая электроника, т 27, 98 (1999) 7* Н В Кравцов, Н Н Кравцов, "Нелинейная динамика твердотельных кольцевых лазеров", Квантовая электроника, т 36, 192 (2006) 8* II Zolotoverkh, NV Kravtsov, EG Lariontsev, A A Makarov, VV Firsov, "Relaxation oscillations in a self-modulated solid-state ring laser", OptComm, vll3, p 249-258, (1994)

9* П А Хандохин, "Низкочастотные процессы в твердотельном кольцевом лазере" Канд

Дисс , ИПФ АН СССР, Горький, 1986 10* S Bielawski, D Derozier, and Р Gloneux. Antiphase dynamics and polarization effects in the Nd-doped fiber laser Phys Rev A, v 46, p 2811 (1992)

II * R. Dalgliesh, A D May, G Stephan, "Polarization states of a single-mode (microchip)

Nd YAG laser - part II Comparison of theory and experiment", IEEE Journal of Quantum Electronics, v 34, #8, pl493 (1998) 12* A Kul'nunsku, Yu Loiko, and A Voitovich, "The effect of the vectorial degree of freedom on the dynamics of class A lasers", Opt Commun v 167, 235 (1999) 13* J W Czarske, H Mueller, "Birefringent Nd YAG microchip laser used in heterodyne

vibrometry", Opt Commun v 114, 223 (1995) 14* The Special Issues of Quant and Semicl Opt on "Polanzation Effects m Lasers and

Spectroscopy" 10, N1 (1998) and 3, N2 (2001) 15* FT Arecchi in Instabilities and Chaos in Quantum Optics, eds FT Arecchi and RG

Harrison (Spnnger, Berlin) p 9 (1987) 16* LM Narducci, M Sadiky, С A Lugiato, NB Abraham, "Dynamics instabilities and

pulsations in lasers", Opt Commun , v 55, p 370 (1985) 17* D Pieroux and P Mandel, "On the rate equation approximation for free-runmng multimode lasers", Quantum and Semiclassical Optics, 9, L17-L22 (1997) 18* A Owyoung, P Eshenck, "Stress-induced tuning of a diode-laser-excited monolithic

Nd YAG laser", Opt Lett, v.12, p 999 (1987) 19* R Leners, P L Francois, and G Stephan "Simultaneous effects of gain and loss anisotropics on the thresholds of a bipolanzation fibre laser" Opt Lett, v.19, p 275 (1994) 20* R Leners, G Stephan, "Rate equations analysis of a multimode, bipolanzation Nd3+

doped fibre laser", Quantum and Semiclassical Optics, v 7, p 757 (1995) 21* КС Reyzer, LW Casperson, "Polanzation charactenstics of dye-laser amplifiers II

Isotropic molecular distnbutions", J Appl Phys , v 51, p 6083 (1980) 22* J Wang and P Mandel, "AnUphase dynamics of multimode intracavity second-harmonic generation", Phys Rev A, v.48, 671 (1993)

Список работ по теме диссертации

1 Khandokhin Р А, Khanin Yd I, "Instabilities in a solid-state ring laser", JOSA B, v 2, P 226 (1985)

2 AC Меллер, П А Хандохин, Я И Хании "Теория естественных флуктуаций интенсивности и частоты в многомодовых инжекционных лазерах" Квантовая электроника,т 13, стр 2278, 1986

3 ИВ Корюкин, П А Хандохин, Я И Ханин, "Периодические и хаотические пульсации в одномодовом однородноуширенном лазере трехуровневая модель и модель Лоренца", Препринт № 161, ИПФ АН СССР, 1987

4 В А Парфенов, П А Хандохин, Я И Ханин, "Неустойчивости в одночастот-ном твердотельном кольцевом лазере и эффект регенеративного усиления шумов ", Квантовая электроника, т.15, 1985 (1988)

5 ПА Хандохин, Я И Ханин, "Хаотическая динамика Nd YAG лазера с кольцевым резонатором", Квантовая электроника, т.15, 1993 (1988)

6 PA Khandokhm, Ya I Khanin, I V Koryukin, "Bifurcations and chaos in the three-level model of a laser with coherent optical pumping", Optics Communications, v 65, #5, p 367-372 (1988)

7 Корюкин И В , Хандохин П А , Ханин Я И , "Одномодовый лазер с когерентной накачкой и модель Лоренца сходство и различия", Известия АН СССР, сер Физ , т.52, №6, с 1081 (1988)

8 Корюкин И В Хандохин П А , Ханин Я И , "Частотная динамика двунаправленного кочьцевого лазера с невзаимным резонатором", Квантовая электроника, т 17, 978(1990)

9 Koryukin I V , Khandokhin Р А , Khanin Ya I, "Dynamics of a solid-state ring laser with two-component gain line", Optics Comms, v.81, 297 (1991)

10 Khandokhin P A , Koryukin I V , Khanin Ya.1 and Mandel P , "Influence of earner diffusion on the dynamics of a two-mode laser" IEEE J Quantum Electron ,31, 647 (1995)

11 Корюкин И В , Хандохин ПА,, Ханин Я И и Мандель П , "Динамика кольцевого лазера с диффузиеи активных центров", Квантовая электроника, т 22, 1045 (1995)

12 Khandokhin Р А , Khanin Ya I, Celet J -С , Dangoisse D and Glorieux P , "Low frequency relaxation oscillations in class В lasers with feedback", Opt Commun, v 123, P 372 (1996)

13 В Г Жислина, П А Хандохин, Я И Ханин, "Коррелированы ли источники естественных фтуктуаций в отдельных модах лазера''", Изв ВУЗов Радиофизика, т XXXIX, N6, с 771 (1996)

14 VM Gehkonov, D Р Stepanov, Р A Khandokhin, A A Turkm, Yu A Mamaev, Е Yu Shirokov, "Fluctuation and Dynamic Characteristics of Self-Modulation regime in Solid-State Ring Laser", SPIE Proceed , 1996, v.2792, p 74

15 IV Koryukm, P A Khandokhin, Ya I Khanin, P Mandel, "Gyroscopic potensiah-ties of semiconductor ring laser", SPIE Proceed , 1996, v 2792, p 94

16 N D Milovsky, Ya I Khanin, P A Khandokhin, S Bielawski, D Derozier, P Glorieux, "Dynamics of class В laser with two elliptically-polanzed modes", SPIE Proceed , 1996, v 2792, p 148

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

Хандохин П А , Ханин Я И , "Динамика двунаправленного кольцевого лазера класса В с невзаимным резонатором модель с двумя линиями усиления", Квантовая электроника, 23, 29 (1996)

Хандохин П А, Ханин Я И , "Взаимодействие релаксационных колебаний и неустойчивости в двунаправленном лазере класса В с невзаимным кольцевым резонатором", Квантовая электроника, т 23, 36 (1996)

Р A Khandokhin, Ya I Khanin, IV Koryukm, P Mandel, В A Nguen, "Multimode Fabry-Perot laser Number of relaxation frequencies", Известия ВУЗов Радиофизика, т.40, № 1-2, с 161 (1997)

PA Khandokhin, P Mandel, IV Koryukm, В A Nguyen, Ya.1 Khanin, "Disappearance of relaxation oscillation frequencies in a multimode solid-state laser", Phys Lett A, v.235, p 248 (1997)

P A Khandokhin, Ya.1 Khamn, N D Milovsky, E Yu Shirokov, S Bielawski, D Derozier, P Gloneux, "Polarization dynamics of a fiber Fabry-Perot laser with feedback", Quantum and Semiclassical Optics, v 10,97 (1998) N В Abraham, P A Khandokhin, V G Zhislina, "Relaxation Oscillations in Solid State Lasers with Derivative Feedback" Известия ВУЗов, Прикладная Нелинейная Динамика, т 6, №4, с 86 (1998)

Р A Khandokhin, N D Milovsky, Yu A Matnaev, Е A Ovchmnikov, Е Yu Shirokov, "Polarization dynamics of Nd YAG laser with weakly anisotropic Fabry-Perot cavity", Laser Optics'98 Solid State Lasers, Vladimir I Ustyugov, Editor, Proceedings of SPIE, v.3682, p 53-62,1998

П А Хандохин, Я И Ханин, 10 А Мамаев, Н Д Мидовский, Е Ю Широков, С Белавски, Д Дерозье, П Глорио, Низкочастотная динамика лазера класса В с двумя эллиптически поляризованными модами, Квантовая электроника, т 25, №6, с 517 (1998)

Ю А Мамаев, Н Д Миловский, А А Туркин, П А Хандохин, Е Ю Широков, "Низкочастотная динамика монолитного кольцевого Nd YAG-лазера в магнитном поле", Квантовая электроника, т 27, №3, с 228 (1999) Р A Khandokhin, Е A Ovchmnikov, Е Yu Shirokov, "Optical spectrum of a solidstate diode pumped Fabry-Perot laser", Phys Rev A, v.61, 053807-1 - 053807-9 (2000)

E А Овчинников, П А Хандохин, E Ю Широков, "Спектр генерации твердотельного лазера с неоднородным распределением накачки вдоль резонатора Фабри-Перо", Квантовая электроника, т.30, с 23 (2000) N В Abraham, L Sekanc, L L Carson, V Seccareccia, P A Khandokhin, Ya I Khamn, IV Koryukm, V G Zhislina, "Details, Anomalies and Symmetries in Relaxation Oscillations Spectra of Multimode Lasers", Phys Rev A v.62, 013810, 2000

Czeranowsky, V Baev, G Huber, P Khandokhin, Ya Khanin, I Koryukm, E Shirokov, Polarization dynamics of a Nd YAG laser with intracavity second harmonic generation, Proceedings of the International Conference PROGRESS m NONLINEAR SCIENCE, v 2, Frontiers of Nonlinear Physics, Ed by A G Litvak, p 474-478, 2002

G Bouwmans, В Segard, P Glorieux, N Milovsky, P Khandokhin, E Shirokov, Phase sensitive effects in laser polarization dynamics a test bench for YAG laser models, Proceedings of the International Conference PROGRESS in NONLINEAR

SCIENCE, v 2, Frontiers of Nonlinear Physics, Ed by A G Litvak , p 468-473, 2002

31 G Bouwmans, В Segard, P Glorieux, N Milovsky, P Khandokhin, E Shirokov, "Polarization dynamics of longitudinally monomode bipolanzcd microchip solid-state lasers", Известия ВУЗов Радиофизика, 2004, т 47, № 10-11, с 813-825, 2004

32 С Czeranowsky, V М Bacv, G Huber, Р A Khandokhin, Ya I Khanin, I V Koryukm, E Yu Shirokov, "Polarization dynamics of mtracavity frequency-doubled Nd YAG lasers", Известия ВУЗов Радиофизика, 2004, л 47, № 10-11, с 807-812, 2004 {Radiophysics and Quantum Elect) onics, Vol 47, № 10-11, p 729742, 2004)

33 I levlev, P Khandokhin, E Shirokov, "Polarization dynamics of longitudinally monomode Nd YAG microchip lasers", ICONO 2005 Nonlinear Spacc-Time Dynamics, Editors Nikolai Rosanov, Stephano Tnllo, Proceedings of SPIE v 6255, p 18-25, 2006

34 P Khandokhin, "Polarization dynamics of multimode solid-state lasers", ICONO 2005 Nonlinear Space-Time Dynamics, Editors Nikolai Rosanov, Stephano Tnllo, Proceedings of SPIE v 6255, p 131-139, 2006

35 И В Иевлев, П А Хандохин, Е Ю Широков, "Поляризационная динамика продолыго-одномодовых Nd YAG-лазеров со слабо анизотропным резонатором", Квантовая электроника, т.36 (3), 228 (2006)

36 ПА Хандохин, "Моделирование динамики многомодового биполяризацион-ного лазера класса В с внутрирезонаторным удвоением частоты ", Квантовая электроника, т.36, 1161 (2006)

37 ПА Хандохин, В Г Жислина, "Управление параметрами излучения твердотельного лазера с внутрирезонаторным удвоением частоты при помощи опто-электронной обратной связи ", Квантовая электроника, т 37, 527 (2007)

Хандохин Павел Александрович

НИЗКОЧАСТОТНАЯ ДИНАМИКА ЛАЗЕРОВ С ИНЕРЦИОННОЙ АКТИВНОЙ СРЕДОЙ

Ав1ореферат

Формат 60 х 90 У16 Бумага офсетная № 1 Уел печ л 2,0 Тираж 120экз Заказ № 129 (2007)

Отпечатано в типографии Института прикладной физики РАН, 603950 Н Новгород, ул Ульянова, 46

Введение.

Глава 1 Особенности динамики лазеров с однородно уширенной линией усиления.

1.1 Классификация лазеров по соотношению релаксационных констант.

1.2 Классификация лазеров по виду неоднородностей активной среды.

1.3 Вывод исходных уравнений с учетом векторного характера взаимодействия поля с веществом и различных видов неоднородности активной среды.

1.4 Одномодовый лазер класса С, модель Лоренца.

1.5 Выводы.

Глава 2 Низкочастотная динамика многомодовых лазеров с однородной активной средой, спектр релаксационных колебаний.

2.1 Твердотельный одномодовый лазер.

2.2 Твердотельные лазеры с резонатором типа Фабри-Перо: многомодовая модель в балансном приближении, спектры релаксационных колебаний, эффект исчезновения релаксационных колебаний в многомодовых лазерах.

2.2.1 Стационарное состояние многомодового лазера.

2.2.2 Многомодовый Фабри-Перо лазер: эффект исчезновения низкочастотных релаксационных колебаний.

2.3 Твердотельные лазеры с оптоэлектронной обратной связью.

2.3.1 Виды оптоэлектронной обратной связи.

2.3.2 Дифференциальная оптоэлектронная обратная связь: управление устойчивостью стационарной генерации.

2.3.2.1 Введение.

2.3.2.2 Теория.

2.3.2.3 Эксперимент.

2.3.2.4 Дифференциальная оптоэлектронная обратная связь: подавление синфазных релаксационных колебаний и уровня шумов.

2.3.2.5 Обсуяедение результатов.

3.2 Динамика двунаправленного твердотельного лазера с кольцевым резонатором. 113

3.2.1 Особенности динамики лазеров класса В с кольцевым резонатором . 114

3.2.1.1 Введение, модель двунаправленных кольцевых лазеров. 114

3.2.1.2 Двунаправленные режимы генерации, стационарные состояния, спектр релаксационных колебаний. 117

3.2.1.3 Взаимодействие релаксационных колебаний при изменении фазовой невзаимности резонатора и линейной связи встречных волн. 123

3.2.2 Влияние тонкой структуры линии усиления. 128

3.2.3 Частотная динамика двунаправленного кольцевого лазера с невзаимным резонатором в автомодуляционном режиме второго рода . 138

3.2.4 Спектр релаксационных колебаний в автомодуляционном режиме первого рода. 143

3.2.4.1 Введение. 143

3.2.4.2 Экспериментальное исследование автомодуляционного режима TKJI в магнитном поле (при изменении фазовой невзаимности резонатора). 144

3.2.4.3 Модель TKJI с эллиптически поляризованными встречными модами. 148

3.2.4.4 Теоретические результаты. 152

3.2.4.5 Обсуждение результатов и заключение. 153

3.3 Динамика кольцевого лазера с полупроводниковой активной средой. 154

3.3.1 Введение. 154

3.3.2 Модель TKJI с полупроводниковой активной средой. 155

3.3.3 Режимы генерации, спектр релаксационных колебаний, влияние фазовой невзаимности резонатора. 155

3.4 Динамика полупроводниковых лазеров с резонатором Фабри-Перо: двухмодовые модели в фазочувствительном приближении, спектры релаксационных колебаний. 167

3.4.1 Введение. 167

3.4.2 Модель. 167

3.4.3 Стационарные состояния и релаксационные колебания.170

3.4.4 Обсуждение.175

3.5 Заключение.176

Глава 4 Динамика твердотельных лазеров с продольной неоднородностью ненасыщенного усиления вдоль резонатора.180

4.1 Балансная модель многомодового лазера с продольной неоднородностью распределения накачки вдоль оси резонатора.180

4.2 Конкурентное взаимодействие мод при изменении фактора заполнения резонатора активной средой.187

4.3 Влияние экспоненциального изменения поля накачки на конкурентное взаимодействие продольных мод лазера.196

4.3.1 Экспериментальные результаты.197

4.3.2 Сравнение экспериментальных результатов с теорией.203

4.4 Обсуждение результатов и заключение.208

Глава 5 Поляризационная динамика многомодовых твердотельных лазеров 211

5.1 Введение.211

5.2 Эффект наведенной лазером накачки анизотропии усиления в квазиизотропных активных средах.213

5.3 Поляризационная динамика волоконного лазера.219

5.3.1 Экспериментальная установка.220

5.3.2 Динамика волоконного лазера в режиме свободной генерации.221 a) Влияние ориентации плоскости поляризации.221 b) Спектр релаксационных колебаний.222

5.3.3 Динамика волоконного лазера с оптоэлектронной обратной связью . 223

5.3.4 Теория волоконного лазера.225

5.3.4.1 Основные приближения.225

1) Эллиптическая поляризация собственных мод.225

2) Поле в резонаторе.226

3) Активная среда.227

5.3.4.2 Модель волоконного лазера.228

5.3.4.3 Результаты численного моделирования и сравнение с экспериментальными данными.230

5.4 Поляризационная динамика Nd:YAG лазера.235

5.4.1 Динамика многомодового биполяризационного лазера.235

5.4.1.1 Введение.235

5.4.1.2 Экспериментальная установка.236

5.4.1.3 Экспериментальные результаты.238

5.4.1.4 Модель биполяризационного твердотельного лазера.240

5.4.1.5 Теоретические результаты и сравнение с экспериментом.246

5.4.2 Динамика продольно одномодового биполяризационного микрочип лазера.247

5.4.2.1 Введение.247

5.4.2.2 Экспериментальная установка.247

5.4.2.3 Экспериментальные результаты.249

5.4.2.4 Модель продольно одномодового лазера класса В.258

5.4.2.5 Результаты численного моделирования и сравнение с экспериментом.261

5.5 Поляризационная динамика Nd:YAG лазера с внутрирезонаторным удвоением частоты в условиях фазового синхронизма 2-го типа.266

5.5.1 Введение.266

5.5.2 Экспериментальная установка.267

5.5.3 Экспериментальные результаты.268

5.5.4 Обсуждение результатов.272

5.6 Моделирование динамики многомодового биполяризационного лазера . 273

5.6.1 Введение.273

5.6.2 Модель многомодового биполяризационного лазера.274

5.6.3 Результаты численного моделирования и сравнение с экспериментом.277

5.7 Заключение.284

Заключение.287

Литература.289

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. В настоящее время лазеры уверенно вошли в нашу повседневную жизнь. С их присутствием мы встречаемся почти на каждом шагу, очень часто и не подозревая об этом (лазерные проигрыватели, принтеры, компьютеры). Требования к параметрам лазерной генерации могут быть самыми разными, и одно из них - это стабильность характеристик излучения. Первым серьезным препятствием на пути получения стабильного излучения оказался пичковый характер генерации, свойственный большинству твердотельных лазеров. Лишь после того, как были установлены механизмы возбуждения пичков, связанные с резонансной чувствительностью к внешним возмущениям на частотах релаксационных колебаний, стала возможной и была проведена работа по снижению амплитудных флуктуаций до естественного предела, обусловленного спонтанным излучением. В связи с этим изучение релаксационных колебаний твердотельных лазеров представляет существенный интерес при исследовании их динамического поведения и флуктуационных свойств.

Важными с практической точки зрения являются вопросы повышения чувствительности методов внутрирезонаторной лазерной спектроскопии и стабилизации параметров лазерной генерации при обеспечении максимальной мощности излучения, например, во второй гармонике при внутрирезонаторном удвоении частоты.

Общий прогресс в области нелинейной динамики, возникновение и бурное развитие теории динамического хаоса обусловили современный всплеск интереса к динамической теории лазеров. Особенно это касается лазеров с инерционной активной средой (твердотельные и полупроводниковые лазеры, СОг-лазеры низкого давления). Характерное соотношение релаксационных параметров таких лазеров - время релаксации инверсии населенности значительно больше времени затухания поля в резонаторе -обеспечивает необходимые условия для появления релаксационных колебаний (низкочастотных динамических мод), возникающих при возмущении стационарного состояния, и является предпосылкой развития нестационарных режимов генерации. Динамические характеристики многомодовых лазеров определяются не только соотношением релаксационных констант, но также и характером межмодового взаимодействия. Существуют два типа взаимодействий между лазерными модами в активной среде: чисто энергетический через насыщение активной среды полями отдельных мод и фазочувствительный через рассеяние полей мод на индуцированных ими колебаниях инверсии. В зависимости от степени превалирования того или иного типа взаимодействия реализуются различные системы низкочастотных динамических мод и различные виды их связи с оптическими модами.

Чисто энергетическое взаимодействие мод реализуется в многомодовом лазере с резонатором типа Фабри-Перо [1,2]. Динамика такого лазера наиболее подробно проанализирована в работах П. Манделл с соавторами [3,4]. В стационарном состоянии с К генерирующими модами система обладает также К релаксационными колебаниями (К динамическими модами). В нашей работе [5] было показано, что в отсутствие вырождения интенсивностей мод существует однозначное соответствие между отдельной оптической модой и отдельным релаксационным колебанием. Релаксационные колебания подразделяются на два типа: синфазные и противофазные. Синфазный тип релаксационных колебаний представлен единственным высокочастотным релаксационным колебанием и отвечает за конкурентное взаимодействие между процессами индуцированного испускания и накачки [6]. Противофазные релаксационные колебания (К-1) отражают факт конкурентного взаимодействия мод вследствие кросс-насыщения активной среды. Экспериментальные исследования релаксационных колебаний в твердотельных многомодовых лазерах с резонатором типа Фабри-Перо проводятся на протяжении многих лет, но самые убедительные результаты получены К. Отсукой с соавторами [7,8]. Выяснилось, что в спектре флуктуации полной интенсивности излучения лазера присутствует только один пик, соответствующий синфазному релаксационному колебанию. Группа низкочастотных динамических резонансов проявляется только в спектрах флуктуаций интенсивностей излучения отдельных мод. Формы спектров, наблюдаемых на эксперименте, очень похожи на рассчитанные теоретически в работах [9,10].

Примером проявления фазочувствительного взаимодействия является динамика двунаправленного кольцевого лазера [11-14]. Его оптические моды - бегущие навстречу друг другу волны - вырождены по частоте и вследствие этого эффективно взаимодействуют через наведенную их совместным действием решетку инверсии. В таких лазерах возможна реализация различных стационарных режимов, каждый из которых характеризуется своим набором релаксационных колебаний. В этом случае нет однозначного соответствия между числом динамических и оптических мод, и связь между ними носит другой характер. Так, режим квазиоднонаправленной генерации характеризуется тремя типами релаксационных колебаний. Одно из них имеет ту же природу, что и синфазное релаксационное колебание всех мод в линейных лазерах. Два других обусловлены фазочувствительным взаимодействием встречных волн и зависят от фазовой невзаимности резонатора. Важно отметить, что разность частот этих релаксационных колебаний совпадает с разностью частот оптических мод, обусловленной фазовой невзаимностью резонатора. Другими словами, спектр оптических мод как бы проецируется на низкочастотную область.

Кольцевому лазеру присущ еще один тип межмодового взаимодействия, не связанный с активной средой, - линейная связь мод через обратное рассеяние на микронеоднородностях оптических элементов резонатора. Если эта связь достаточно велика, то режим квазиоднонаправленной генерации становится неустойчивым, и устанавливается автомодуляционный режим квазисинусоидальных противофазных колебаний интенсивностей встречных волн. В работах группы Н.В. Кравцова [11,14] и в наших работах [15,16] было теоретически и экспериментально показано наличие двух типов релаксационных колебаний в этом режиме, которые ведут себя во многом аналогично динамическим модам квазиоднонаправленного режима. Однако за фазочувствительное взаимодействие в этом случае отвечает только одно релаксационное колебание, которое совместно с автомодуляционными колебаниями проявляет чувствительность к фазовой невзаимности. Одним из важных в прикладном аспекте свойств кольцевых лазеров является их чувствительность к невзаимным эффектам. Измерение фазовой невзаимности и, в частности, вращения успешно осуществляется с помощью газовых лазеров. Делается это методом сбивания встречных волн, которые имеют примерно равные амплитуды и разные вследствие фазовой невзаимности частоты. Использование для этих целей твердотельных кольцевых лазеров затруднительно, главным образом, потому, что очень сложно организовать требуемый режим с несинхронизированными и близкими по амплитуде волнами. Однако было обнаружено, что спектр релаксационных колебаний твердотельного лазера содержит информацию о фазовой невзаимности резонатора: либо разность частот, специфичных для кольцевого лазера в режиме бегущей волны, равна разности частот встречных мод [17], либо частота автомодуляционных колебаний определенным образом зависит от скорости вращения резонатора лазера [11-14].

При исследовании низкочастотной динамики волоконных лазеров мы сталкиваемся еще с одним типом межмодового взаимодействия - поляризационным. В первых же работах П. Глорье с сотрудниками [18], посвященных исследованию противофазной динамики между ортогонально поляризованными модами волоконного лазера с резонатором типа Фабри-Перо, были обнаружены релаксационные колебания, отражающие взаимодействие всех оптических мод одной поляризации как целого со всей группой мод ортогональной поляризации. В работах [19,20] были обнаружены аналогичные поляризационные эффекты в лазерах на Nd: YAG с резонатором Фабри-Перо.

Наблюдаемая в эксперименте поляризационная динамика требовала своего теоретического объяснения.

Таким образом, в многомодовых лазерах с инерционной активной средой проявляется нетривиальная связь низкочастотных динамических и оптических мод, обусловленная особенностями межмодового взаимодействия. Эта связь делает указанные лазеры интересными объектами исследований в области нелинейной динамики и открывает возможности решения практически важных обратных задач: извлечение информации о параметрах лазера и о его отдельных внутрирезонаторных элементах по динамическому поведению спектра генерации и проявлению релаксационных колебаний в спектрах флуктуаций как суммарной интенсивности, так и интенсивностей отдельных мод.

Цель работы

Целью диссертационной работы является исследование низкочастотной динамики генерации многомодовых лазеров с инерционной активной средой и физических факторов, влияющих на конкурентное взаимодействие мод.

Задачи работы

В круг вопросов, рассматриваемых в диссертации, входят: влияние неоднородного распределения ненасыщенного усиления на динамику генерации многомодового твердотельного лазера с резонатором Фабри-Перо; изучение релаксационных колебаний многомодовых лазеров и способов воздействия на них; исследование низкочастотной динамики излучения биполяризационных твердотельных лазеров; изучение особенностей релаксационных колебаний твердотельного кольцевого лазера в режиме бегущей волны и в автомодуляционных режимах генерации; исследование низкочастотной динамики генерации полупроводниковых лазеров с кольцевым и линейным резонаторами.

Научную новизну проделанной работы характеризуют следующие основные результаты:

1) Обнаружен эффект исчезновения низкочастотных релаксационных колебаний при числе мод, превышающем некоторое критическое значение, зависящее от параметров в многомодового твердотельного лазера с резонатором Фабри-Перо;

2) Предложен и экспериментально апробирован метод воздействия оптоэлектронной обратной связью, величина сигнала которой пропорциональна производной от интенсивности выходного излучения, на релаксационные колебания многомодовых лазеров с инерционной активной средой;

3) Предложена модель многомодового твердотельного лазера с произвольным неоднородным распределением накачки вдоль резонатора Фабри-Перо, результаты численного исследования которой хорошо согласуются с экспериментом;

4) Обнаружен эффект отталкивания и обменного взаимодействия релаксационных колебаний твердотельного кольцевого лазера в режиме бегущей волны;

5) Установлена взаимная связь релаксационных колебаний твердотельного кольцевого лазера в различных динамических режимах генерации: в режиме бегущей волны, в режиме квазисинусоидальных противофазных колебаний интенсивностей встречных волн и в режиме низкочастотных переключений направления генерации;

6) Экспериментально обнаружены новые типы релаксационных колебаний, проявляющиеся в противофазных осцилляциях интенсивностей ортогонально поляризованных мод биполяризационных лазеров с инерционной активной средой (волоконные и Nd:YAG лазеры);

7) Предсказан теоретически и обнаружен экспериментально эффект поляризационной (угловой) анизотропии усиления наводимой в активной среде твердотельного лазера линейно поляризованным излучением накачки. Эффект проявлялся в зависимости интенсивностей поляризационных мод от ориентации поляризации пучка накачки;

8) Экспериментально показано, что возникновение нестационарной генерации при внутрирезонаторном удвоении частоты в условиях фазового синхронизма 2-го рода происходит благодаря потере устойчивости на частоте одного из поляризационных релаксационных колебаний через бифуркацию Андронова-Хопфа.

9) Предложена модель многомодового твердотельного лазера, адекватно описывающая низкочастотную динамику биполяризационного лазера с линейно поляризованной накачкой, включая внутрирезонаторное удвоение частоты.

Научное и практическое значение диссертации

Важными с практической точки зрения являются вопросы повышения стабильности излучения лазеров, включая мощные многомодовые лазеры с внутрирезонаторным удвоением частоты.

Другая практически важная проблема — разработка новых подходов во внутрирезонаторной лазерной спектроскопии. Имеется в виду создание новых методов получения информации о спектрах излучения по особенностям низкочастотной динамики многомодового лазера и получение информации о тех параметрах среды, которые не проявляются при использовании традиционных способов решения подобных технических задач. К этой проблеме тесно примыкает проблема извлечения информации о параметрах лазера и отдельных внутрирезонаторных элементах по его динамическому поведению -так называемые обратные задачи динамики лазеров. Эти задачи, для решения которых требуются новые идеи, основывающиеся на современных концепциях нелинейной лазерной динамики, также имеют большую практическую значимость. Ярким примером решения обратных задач динамики лазеров может служить возможность определения по низкочастотным релаксационным колебаниям твердотельного кольцевого лазера (ТКЛ), а также по частоте автомодуляционных колебаний и по интенсивностям встречных волн различных параметров резонансной системы (обратное рассеяние, ширину моды резонатора и его фазовую невзаимность). Большое значение имеет то, что эти параметры определяются в условиях генерации, поскольку в холодном резонаторе они могут иметь совершенно иные значения.

Создание твердотельных лазеров с полупроводниковой накачкой позволило провести детальное исследование особенностей их поляризационных свойств. В противоположность "скалярным" лазерам, в излучении которых все генерируемые моды имеют одинаковое фиксированное состояние поляризации, в "векторных" лазерах поляризационное состояние излучения может эволюционировать почти свободно, что значительно сказывается на их поведении. Последние исследования продемонстрировали фундаментальные различия между "скалярными" и "векторными" лазерами: среди них различия в топологических структурах поля [21] и возможность "векторных" лазеров демонстрировать сложную нелинейную динамику там, где в скалярных аналогах она строго запрещена [22]. К тому же, поляризационная (векторная) степень свободы обеспечивает появление новых свойств, которые способствуют решению различных фундаментальных и прикладных задач. В частности, изучение особенностей генерации "векторных" лазеров привлекательно с точки зрения их потенциального применения в телекоммуникациях, создании оптических компьютеров, засекречивании данных, спектроскопии, доплеровских измерителях скорости, виброметрии [23], оптико-микроволновых системах, и т.д. Все это показывает важность проблемы исследования влияния поляризационных (векторных) степеней свободы на динамику лазерной генерации [24].

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы.

Заключение

Основные научные результаты заключаются в следующем:

1) Обнаружен эффект исчезновения низкочастотных релаксационных колебаний при числе мод, превышающем некоторое критическое значение, зависящее от параметров многомодового твердотельного лазера с резонатором Фабри-Перо;

2) Предложен и экспериментально апробирован метод воздействия на релаксационные колебания многомодовых лазеров с инерционной активной средой с помощью оптоэлектронной обратной связи пропорциональной производной от интенсивности выходного излучения;

3) Предложена модель многомодового твердотельного лазера с произвольной неоднородностью накачки вдоль резонатора Фабри-Перо, хорошо согласующаяся с экспериментом;

4) Обнаружен эффект взаимодействия релаксационных колебаний твердотельного кольцевого лазера в режиме бегущей волны;

5) Показана взаимная связь релаксационных колебаний твердотельного кольцевого лазера в различных динамических режимах: в режиме бегущей волны, в режиме квази-синусоидальных противофазных колебаний интенсивностей встречных волн и в режиме низкочастотных переключений направления генерации;

6) Экспериментально обнаружены новые типы релаксационных колебаний, проявляющиеся в противофазных осцилляциях интенсивностей ортогонально поляризованных мод биполяризационных лазеров с инерционной активной средой (волоконные и Nd:YAG лазеры);

7) Предсказан теоретически и обнаружен экспериментально эффект поляризационной (угловой) анизотропии усиления наводимой в активной среде твердотельного лазера линейно поляризованным излучением накачки. Эффект проявлялся в зависимости интенсивностей поляризационных мод от ориентации поляризации пучка накачки;

8) Экспериментально показано, что возникновение нестационарной генерации при внутрирезонаторном удвоении частоты в условиях фазового* синхронизма 2-го рода происходит благодаря потере устойчивости на частоте одного из поляризационных релаксационных колебаний через бифуркацию Андронова-Хопфа.

Предложена модель многомодового твердотельного лазера, адекватно описывающая низкочастотную динамику биполяризационного лазера с линейно поляризованной накачкой, включая внутрирезонаторное удвоение частоты.

1. C.L. Tang, H. Statz and G. DeMars, "Spectral output and spiking behavior of solid-state lasers", J. Appl. Phys. 34,2289-2295 (1963).

2. H. Statz, C.L.Tang, J.M. Lavine, "Spectral output of semiconductor lasers", J. Appl. Phys. 35, 2581-2585 (1964).

3. Mandel P., Georgiou M., Otsuka K. and Pieroux D., "Transient and modulation dynamics of a multimode Fabry-Perot laser", Opt. Commun., v.100, P.341 (1993).

4. Pieroux D. and Mandel P., "Transient dynamics of a multimode laser: oscillation frequencies and decay rates", Opt. Commun., v.107, P.245 (1994).

5. Khandokhin P.A., Khanin Ya.I., Celet J.-C., Dangoisse D. and Glorieux P., "Low frequency relaxation oscillations in class В lasers with feedback", Opt. Commun., v.123, P.372 (1996).

6. D.E. McCumber, "Intensity fluctuations in the output of CW laser oscillators," Phys. Rev. 141,306-322 (1966).

7. K.Otsuka M. Georgiou and P. Mandel, Jpn. J.Appl.Phys,v.31, p.L250 (1992).

8. K. Otsuka, P. Mandel. M. Georgiou and C. Etrich, "Antiphase dynamics in a modulated multimode laser", Jpn. J. Appl Phys., v.32, p.L318 (1993).

9. А.С.Меллер, П.А.Хандохин, Я.И.Ханин "Теория естественных флуктуаций интенсивности и частоты в многомодовых инжекционных лазерах" Квантовая электроника,т.13, стр.2278, 1986.

10. В.Г.Жислина, П.А.Хандохин, Я.И.Ханин, "Коррелированы ли источники естественных флуктуаций в отдельных модах лазера?", Изв.ВУЗов Радиофизика, T.XXXIX, N6, с.771 (1996).

11. Н.В. Кравцов, Е.Г. Ларионцев, "Автомодуляционные колебания и релаксационные процессы в твердотельных кольцевых лазерах", Квантовая электроника, т.21, 903 (1994).

12. Н.В. Кравцов, Е.Г. Ларионцев, "Невзаимные эффекты в кольцевых лазерах", Квантовая электроника, т.27,98 (1999).

13. Н.В. Кравцов, Н.Н. Кравцов, "Нелинейная динамика твердотельных кольцевых лазеров", Квантовая электроника, т.36, 192 (2006).

14. I.I. Zolotoverkh, N.V. Kravtsov, E.G. Lariontsev, A.A. Makarov, V.V. Firsov, "Relaxation oscillations in a self-modulated solid-state ring laser", Opt.Comm., v.113, p.249-258, (1994).

15. Y.M. Gelikonov, D.P. Stepanov, P.A. Khandokhin, A.A. Turkin, Yu.A. Mamaev, E.Yu. Shirokov, Fluctuation and Dynamic Characteristics of Self-Modulation regime in Solid-State Ring Laser, SPIE Proceed., 1996, v.2792, p.74.

16. Ю.А. Мамаев, Н.Д. Миловский, A.A. Туркин, П.А. Хандохин, Е.Ю. Широков, "Низкочастотная динамика монолитного кольцевого Nd:YAG^a3epa в магнитном поле", Квантовая электроника, т.27, №3, с.228 (1999).

17. П.А. Хандохин, "Низкочастотные процессы в твердотельном кольцевом лазере" Канд. Дисс., ИПФ АН СССР, Горький, 1986.

18. S.Bielawski, D.Derozier, and P.Glorieux. Antiphase dynamics and polarization effects in the Nd-doped fiber laser. Phys.Rev.A, v.46, p.2811 (1992).

19. R. Dalgliesh, A.D. May, G. Stephan, "Polarization states of a single-mode (microchip) Nd:YAG laser part II: Comparison of theory and experiment", IEEE Journal of Quantum Electronics, v.34, #8, pi493 (1998).

20. L. Gil, "Vector order parameter for an unpolarised laser and its vectorial topological defects", Phys. Rev. Lett. 70, 162 (1993).

21. A. Kul'minskii, Yu. Loiko, and A. Voitovich, "The effect of the vectorial degree of freedom on the dynamics of class A lasers", Opt. Commun. v. 167, 235 (1999).

22. J.W. Czarske, H. Mueller, "Birefringent Nd:YAG microchip laser used in heterodyne vibrometry", Opt. Commun. v.114, 223 (1995).

23. The Special Issues of Quant, and Semicl. Opt. on "Polarization Effects in Lasers and Spectroscopy": 10, N1 (1998) and 3, N2 (2001).

24. F.T. Arecchi in: Instabilities and Chaos in Quantum Optics, eds F.T. Arecchi and R.G. Harrison (Springer, Berlin) p.9 (1987).

25. Халдре Х.Ю., Хохлов P.B., "Об устойчивости колебаний в молекулярном генераторе", Известия вузов. Радиофизика, т.1, №5-6, с.60 (1958).

26. L.M. Narducci, М. Sadiky, С.А. Lugiato, N.B. Abraham, "Dynamics instabilities and pulsations in lasers", Opt.Commun., v.55, p.370 (1985).

27. P.A.Khandokhin, Ya.I.Khanin, I.V.Koryukin, "Bifurcations and chaos in the three-level model of a laser with coherent optical pumping", Optics Communications, 1988, v.65, #5, p.367-372.

28. Корюкин И.В., Хандохин П.А., Ханин Я.И., "Одномодовый лазер с когерентной накачкой и модель Лоренца: сходство и различия", Известия АН СССР, сер. Физ., т.52, №6, с. 1081 (1988).

29. Ханин Я.И., Динамика нестационарных режимов излучения твердотельных лазеров, Дис. докт.физ.-мат. наук, Горький, 1980.

30. N.B. Abraham, L. Sekaric, L.L. Carson, V. Seccareccia, P.A. Khandokhin, Ya.I. Khanin, I.V. Koryukin, V.G. Zhislina, "Details, Anomalies and Symmetries in Relaxation Oscillations Spectra of Multimode Lasers ", Phys.Rev.A. v.62, 013810, 2000.

31. Khandokhin P.A., Koryukin I.V., Khanin Ya.I. and Mandel P., "Influence of carrier diffusion on the dynamics of a two-mode laser" IEEE J. Quantum Electron., 31, 647 (1995).

32. Khandokhin P.A., Khanin Ya.I., "Instabilities in a solid-state ring laser", JOSA B, v.2, P.226 (1985).

33. D.Pieroux and P. Mandel, "On the rate equation approximation for free-running multimode lasers", Quantum and Semiclassical Optics, 9, L17-L22 (1997).

34. A. Owyoung, P. Esherick, "Stress-induced tuning of a diode-laser-excited monolithic Nd:YAG laser", Opt.Lett., v.12, p.999 (1987).

35. R. Leners, P.L. Francois, and G. Stephan. "Simultaneous effects of gain and loss anisotropics on the thresholds of a bipolarization fibre laser". Opt.Lett., v.19, p.275 (1994).

36. K.C. Reyzer, L.W. Casperson, "Polarization characteristics of dye-laser amplifiers II. Isotropic molecular distributions", J.Appl.Phys., v.51, p.6083 (1980).

37. G.Bouwmans, B.Segard, P.Glorieux, N.Milovsky, P.Khandokhin, E.Shirokov, "Polarization dynamics of longitudinally monomode bipolarized microchip solid-state lasers", Известия ВУЗов Радиофизика, 2004, т.47, № 10-11, с.813-825, 2004.

38. J.Wang and P.Mandel, "Antiphase dynamics of multimode intracavity second-harmonic generation", Phys. Rev. A, v.48, 671 (1993).

39. П.А.Хандохин, Я.И.Ханин, Ю.А.Мамаев, Н.Д.Миловский, Е.Ю.Широков, С.Белавски, Д. Дерозье, П. Глорио, Низкочастотная динамика лазера класса В с двумя эллиптически поляризованными модами, Квантовая электроника, т.25, №6, с.517 (1998).

40. И.В.Корюкин, П.А.Хандохин, Я.И.Ханин, "Периодические и хаотические пульсации в одномодовом однородноуширенном лазере: трехуровневая модель и модель Лоренца", Препринт №161, ИПФ АН СССР, 1987.

41. В.А. Парфенов, П.А. Хандохин, Я.И. Ханин, "Неустойчивости в одночастотном твердотельном кольцевом лазере и эффект регенеративного усиления шумов ", Квантовая электроника, т.15,1985 (1988).

42. П.А.Хандохин, Я.И.Ханин, "Хаотическая динамика Nd:YAG лазера с кольцевым резонатором", Квантовая электроника, т.15, 1993 (1988).

43. Корюкин И.В. Хандохин П.А., Ханин Я.И., "Частотная динамика двунаправленного кольцевого лазера с невзаимным резонатором", Квантовая электроника, т.17, 978 (1990).

44. Koryukin I.Y., Khandokhin Р.А., Khanin Ya.I., "Dynamics of a solid-state ring laser with two-component gain line", Optics Corams, v.81, 297 (1991).

45. Корюкин И.В., Хандохин П.А., Ханин Я.И. и Мандель П., "Динамика кольцевого лазера с диффузией активных центров", Квантовая электроника, т.22, 1045 (1995).

46. Хандохин П.А., Ханин Я.И., "Динамика двунаправленного кольцевого лазера класса В с невзаимным резонатором: модель с двумя линиями усиления", Квантовая электроника, 23, 29 (1996).

47. Хандохин П.А., Ханин Я.И., "Взаимодействие релаксационных колебаний и неустойчивости в двунаправленном лазере класса В с невзаимным кольцевым резонатором", Квантовая электроника, т.23, 36 (1996).

48. P.A.Khandokhin, Ya.I.Khanin, I.V.Koryukin, P.Mandel, B.A.Nguen, "Multimode Fabry-Perot laser: Number of relaxation frequencies", Известия ВУЗов Радиофизика, т.40, № 1-2, с. 161 (1997).

49. Р.А. Khandokhin, P. Mandel, I.V. Koryukin, В.А. Nguyen, Ya.I. Khanin, "Disappearance of relaxation oscillation frequencies in a multimode solid-state laser", Phys. Lett. A, v.235, p.248 (1997).

50. P.A. Khandokhin, Ya.l. Khanin, N.D. Milovsky, E.Yu. Shirokov, S. Bielawski, D. Derozier, P. Glorieux, "Polarization dynamics of a fiber Fabry-Perot laser with feedback", Quantum and Semiclassical Optics, v.10, 97 (1998).

51. N.B. Abraham, P.A. Khandokhin, V.G. Zhislina, "Relaxation Oscillations in Solid State Lasers with Derivative Feedback" Известия ВУЗов, Прикладная Нелинейная Динамика, т.6, №4, с.86 (1998).

52. P.A.Khandokhin, E.A.Ovchinnikov, E.Yu. Shirokov. "Optical spectrum of a solid-state diode pumped Fabry-Perot laser", Phys.Rev.A, v.61, 053807-1 053807-9 (2000).55.