Новые методы и результаты в квантовой задаче трех тел тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение

1 Гиперсферические эллиптические координаты и новая приближённая симметрия кулоновской задачи трёх тел

1.1 Система координат и кинетическая энергия.

1.1.1 Координаты Якоби и кинематическое вращение.

1.1.2 Гиперсферические координаты и гиперугловой момент

1.1.3 Разные наборы гиперсферических углов формы.

1.1.4 Разделение движений по углам формы и ориентации во вращающейся системе координат.

1.2 Потенциальная энергия.

1.3 Гиперсферическое адиабатическое разложение.

1.4 Свойства гиперсферического адиабатического базиса в приближении разделяющихся переменных.

1.4.1 Два интеграла движения задачи с разделяющимися переменными

1.4.2 Гиперсферические эллиптические гармоники.

1.4.3 Я —> 0: связь с гиперсферическими эллиптическими гармониками

1.4.4 Л —У оо: связь с параболическими координатами и вектором Лапласа-Рунге-Ленца.

1.4.5 7 —0: связь со сфероидальными координатами и двух-центровой кулоновской задачей.

1.4.6 7 тс/2: связь с квантовыми числами Херрика-Лина для двухэлектронных атомов.

1.4.7 Два способа выбора потенциальных функций а(г]) и &(£)

1.4.8 Численные иллюстрации.

1.5 Классификация скрытых пересечений гиперсферических адиабатических потенциалов.

1.6 Гиперсферическое разложение по базису с разделёнными переменными

2 Метод дискретизации медленной переменной

2.1 Основные уравнения.

2.1.1 Метод адиабатического разложения и его трудности

2.1.2 Метод SVD.

2.1.3 Сравнение двух подходов и связь между ними.

Вряд ли можно сказать что-нибудь оригинальное о роли задачи трёх тел в физике. К этой задаче со времён Ньютона обращалось множество блестящих умов, черпавших из неё новые идеи об устройстве нашего Мира в масштабах от ядерного до астрономического, и этот процесс безусловно продолжится. И всё же, в качестве введения в круг вопросов, рассматриваемых в диссертации, представляется уместным изложить, почему квантовая задача трёх тел кажется интересной и важной в контексте современного развития квантовой механики с точки зрения самого автора.

Очевидно, что сложность квантовомеханического описания физических систем быстро растёт с ростом числа степеней свободы. Одномерные задачи или задачи, сводимые к одномерным путём разделения переменных, допускают наиболее полный анализ и могут быть решены фактически с любой требуемой точностью. Результаты исследования таких задач составляют "золотой фонд" квантовой механики. Задачи со многими степенями свободы, как правило, не поддаются решению методами одной лишь квантовой механики и требуют привлечения подходов, относящихся к области статистической физики. Задачи же с несколькими (двумя, тремя, .) степенями свободы занимают промежуточное положение. С одной стороны, достаточно полноное исследование таких задач объединёнными усилиями современных как аналитических так и вычислительных методов всё-таки представляется возможным. Следует отметить, что численный анализ играет при этом далеко не последнюю роль, фактически заменяя собой гораздо более дорогостоящий и трудоёмкий эксперимент, (если не ставить под сомнение само уравнение Шредингера, а лишь интересоваться многообразием его решений, то точное численное решение задачи вполне заменило бы собой эксперимент), и что возможности такого анализа в последнее время резко возросли благодаря стремительному росту быстродействия современных компьютеров и их доступности. С другой стороны, такие задачи гораздо более содержательны, чем одномерные задачи, и их детальное изучение должно привести к пополнению того самого "золотого фонда" новыми идеями и методами, которые затем могут быть использованы для решения ещё более сложных задач. Наиболее интересные с точки зрения приложений физические системы с несколькими степенями свободы — это системы нескольких тел, взаимодействующих друг с другом и с внешними полями, если таковые имеются. Именно через изучение этих систем проходит передний край современного развития квантовой механики. Учитывая, что задача двух тел решается точно (в указанном выше смысле), фундаментальная роль задачи трёх тел становится вполне очевидной.

Актуальность темы

Кроме приведённых выше общих соображений актуальность и практическая значимость квантовой задачи трёх тел диктуется ещё и вполне конкретной для приложений необходимостью знания численных значений различных характеристик разных трёхчастичных систем. Уточним, о каких характеристиках и о каких системах идёт речь. Характеристики — это энергии связанных состояний, положения и ширины резонансов, сечения всевозможных столкновительных процессов, включая упругое и неупругое рассеяние, столкновения с перераспределением частиц и фрагментацию, а также различные матричные элементы, представляющие локальные и интегральные свойства системы, например по отношению к радиационным процессам. Системы — это различные трёхчастичные квантовые системы, изучаемые в физике. Их можно разделить на кулоновские, молекулярные и ядерные в соответствии с типом взаимодействия между частицами. Кулоновские системы — это прежде всего традиционные для атомной физики двухэлектронные атомы (Н~, Не, Ы+, .) и одноэлектронные молекулы (Н^, ННе2+, Не^, .), но также и более экзотические системы, включающие в себя позитрон е+, мюон /л, антипротон р и другие элементарные частицы. Потенциальная энергия взаимодействия между частицами в таких системах известна и равна сумме трёх парных кулоновских потенциалов. О неугасающем интересе к изучению кулонов-ских систем можно судить по трудам любой из международных конференций по физике электронных и атомных столкновений (1СРЕАС), см. например [1]. Молекулярные системы — это системы трёх атомов, рассматриваемые в приближении Борна-Оппенгеймера, когда эффективная потенциальная энергия, определяющая межъядерное движение, получается в результате усреднения электронных степеней свободы. Такие системы активно изучаются в химической физике. Основной интерес при этом представляют химические реакции обмена, в теоретическом описании которых за последнее время был достигнут значительный прогресс [2, 3]. И, наконец, ядерные системы — это системы трёх нуклонов, эффективная потенциальная энергия взаимодействия между которыми определяется феноменологически в результате сложной процедуры фитирования совокупности экспериментальных данных модельными функциями. Такие системы изучаются в ядерной физике, и основной целью здесь является не столько получение самого теоретического предсказания, сколько уточнение параметров феноменологической модели путём достижения лучшего согласия теории с экспериментом [4]. Итак, квантовая задача трёх тел глубока и многогранна, а её приложения многочисленны и относятся к различным областям физики.

Цель работы и её содержание

Целью настоящей работы является развитие новых методов решения квантовой задачи трёх тел и демонстрация их эффективности на примерах изучения некоторых конкретных трёхчастичных систем. Развитые в диссертации методы позволяют расчитывать весь спектр перечисленных выше характеристик за исключением сечений процессов трёхчастичной фрагментации и будут продемонстрированы вычислениями для ряда кулоновских и молекулярных систем. Следует отметить одно субъективное обстоятельство, объясняющее связь между рассматриваемыми в диссертации задачами. Активный интерес автора к квантовой задаче трёх тел был инициирован работой [5], положившей начало развитию гиперсферического адиабатического (НБА)* метода. По мнению автора, предложенный в [5] подход является наиболее перспективным направлением развития квантовой теории систем нескольких тел, о чём высказывались также и другие авторы [6]. Некоторые из методов решения квантовой задачи трёх тел, о которых будет идти речь в диссертации, существенным образом связаны с НБА методом, некоторые же не имеют к нему никакого отношения. Однако все они объединены тем, что возникли в процессе осмысления возможностей, открытых предложенным в [5] подходом, и их численная реализация в диссертации была осуществлена на основе этого подхода.

Диссертация состоит из пяти глав и приложения. Хотя каждая глава написана так, что может читаться независимо, численная реализация рассматриваемых в данной главе методов существенным образом использует методы и результаты всех предыдущих глав, так что на самом деле всё изложение является связанным. Несмотря на то, что численные расчёты, иллюстрирующие развиваемые в диссертации методы и подтверждающие справедливость тех или иных выводов и утвержденй, занимают довольно важное место, сами по себе численные процедуры, используемые в этих расчётах, в основном тексте обсуждаться не будут. Однако мы сочли уместным кратко изложить в приложении метод представления дискретной переменной (БУЯ), который является основным инструментом всех наших численных расчётов, во-первых, потому что этот метод очень красив и эффективен, а во-вторых, потому что используемый нами его вариант был разработан автором.

Содержание диссертации по главам следующее.

Заключение

В заключении сформулируем основные результаты, выносимые на защиту.

1. Введена новая ортогональная система координат в пространстве углов формы на гиперсфере в шестимерном конфигурационном пространстве задачи трёх тел, названная гиперсферической эллиптической (НБЕ) системой координат. Установлена её связь с гиперсферическими координатами Делвиса и Смита-Виттена, использовавшимися ранее для решения квантовой задачи трёх тел. Получены выражения для оператора гиперуглового момента в НБЕ координатах, и построена система его собственных функций, названных НБЕ гармониками.

2. Показано, что гиперсферическая адиабатическая (НБА) задача на собственные значения для трёхчастичных кулоновских систем в состоянии с Ь = 0 допускает приближённое разделение переменных в НБЕ координатах. Возникающая при этом задача с разделяющимися переменными является обобщением двухцентровой кулоновской задачи на системы с произвольными массами частиц и имеет сходную с ней математическую структуру, а дополнительный интеграл движения обобщает известный интеграл константы разделения этой задачи.

3. На основе приближённой разделимости переменных в НБА задаче на собственные значения в НБЕ координатах построена классификация точек ветвления НБА потенциальной энергии для трёхчастичных кулоновских систем, рассматриваемой как многозначная аналитическая функция комплексного гиперрадиуса. Показано, что существует два главных типа точек ветвления этой функции (скрытых пересечений), обобщающих известные Б и Т типы скрытых пересечений в двухцентровой кулоновской задаче. Показана связь этих точек ветвления с соответствующими типами неустойчивых периодических траекторий в классическом описании адиабатических состояний.

4. Предложен новый подход к решению кулоновской задачи трёх тел — гиперсферическое разложение по собственным функциям введённой нами задачи с разделяющимися переменными. Этот подход гораздо более удобен, чем стандартное HSA разложение. В простейшем приближении, когда оставляется только один член в разложении, все переменные в волновой функции разделяются. Это приближение является обобщением приближения Борна-Оппенгеймера для волновой функции систем типа Н^ на трёхчастичные ку-лоновские систем с произвольными массами частиц, где межъядерное расстояние заменено на гиперрадиус, а сфероидальные координаты — на HSE координаты. Точность такого приближения при расчёте энергий связанных состояний оказывается лучше, чем точностью приближения Борна-Оппенгеймера для Н^ и точность приближения Хартри-Фока для Не.

5. Предложен новый подход к построению волновой функции систем, гамильтонианы которых допускают адиабатическое разделение переменных, названный методом дискретизации "медленной" переменной (SVD). Этот подход основан на предположении о гладкости параметрической зависимости адиабатического гамильтониана от адиабатической переменной, которое заменяет собой традиционное для метода адиабатического разложения деление степеней свобод системы на "быстрые" и "медленные". Показано, что HSA гамильтониан для кулоновских систем идеально удовлетворяет условиям применимости метода SVD. Эффективность этого метода продемонстрирована вычислениями энергий связанных состояний, положений и ширин резонан-сов, сечений различных столкновительных процессов для ряда трёхчастич-ных кулоновских систем. Некоторые из этих численных результатов (энергии метастабильных состояний второй группы в антипротонном гелии рНе+, сечения перезарядки d/j,(n)+t —»• tfi(n)+d между состояниями с п = 2) получены впервые.

6. Введён особый класс решений радиального уравнения Шредингера, названных псевдосостояниями Зигерта (SPS), и разработана новая формулировка теории рассеяния в одноканальном случае, единым образом описывающая как дискретный, так и непрерывный спектры в терминах чисто дискретного набора SPS. Эта формулировка не только "вдохнула жизнь" в давно известные результаты теории состояний Зигерта, но и впервые позволила продемонстрировать их чрезвычайно высокую численную эффективность.

7. Методом SPS проведены расчёты положения и ширины низшего резонанса в семействе симметричных трёхчастичных кулоновских систем от Н~ до Hg". Обнаружено, что ширина резонанса является осциллирующей функцией отношения масс составляющих систему частиц. Эти осцилляции проинтерпретированы на основе квазиклассического подхода и "конструкции Демкова" как результат интерференции двух путей распада резонансного состояния, один из которых напрямую ведёт в область фрагментации, а второй сначала проходит через точку поворота в открытом канале.

8. Развит новый подход к теории химических реакций обмена лёгким атомом в трёхатомных системах. В основе этого подхода лежит приближённая адиабатическая разделимость переменных в HSA задаче на собственные значения в HSE координатах (77, £) для систем, состоящих из одного лёгкого (обычно это водород) и двух тяжёлых атомов, обусловленная тем, что движение по 77 в таких системах приближённо соответствует вращению, а по £ — колебаниям. В качестве иллюстрации проведён расчёт вероятностей реакции С1Н(viji) + О —ОН(vfjf) ■+ С1 между состояниями с колебательными квантовыми числами v = 0, 1 и 2 в интервале энергий вплоть до 0.9 эВ от основного состояния молекулы HCl.

9. Развита последовательная теории кумулятивной вероятности реакции (CRP) на основе стационарной теории рассеяния. Получено точное выражение для CRP через функцию Грина системы, а также выражение для функции Грина через 1Z матрицу Вигнера-Айзенбада. Эти новые выражения позволяют вычислять CRP, во-первых, напрямую (минуя вычисления матрицы рассеяния), а во-вторых — стандартными методами квантовой теории рассеяния (без введения "поглощающих потенциалов"). Эффективность такого подхода проиллюстрирована расчётами CRP для двух реакций в трёхчастичных кулоновской dfi + t t/i + d и молекулярной С1Н + О —> ОН + С1 системах.

243

Благодарности

Я считаю своим приятным долгом выразить глубокую и искреннюю благодарность М. Мацузаве и С. Ватанабе за создание уникальных условий в течение первых трёх лет работы, результатом которой является эта диссертация, а также за гостеприимство, тёплое отношение и поддержку во время моей жизни в Японии.

Я хотел бы также поблагодарить моих соавторов М. Мацузаву, С. Ватанабе, X. Накамуру, В.Н. Островского и Е.А. Соловьёва за опыт и знания, которыми они щедро со мной делились, и за обсуждение задач, рассмотренных в диссертации.

Я особо хотел бы поблагодарить Л.И. Пономарёва за сохранение в созданном им исследовательско-координационном центре МЮКАТЭКС той научной среды, без которой не может существовать теоретик, и за поддержку моих исследований.

Я благодарен также своим оппонентам за взятие на себя этого нелёгкого труда.

Наконец, эта работа была бы невозможной без терпения, понимания и поддержки моей жены и друга И.Ю. Толстихиной.

1. The Physics of Electronic and Atomic Collisions, XX1.International Conference, AIP Conf. Proc. 500 ed. by Y. Itikawa et al. (AIP Press, New York, 2000).

2. Advances in Molecular Vibrations and Collision Dynamics, ed. by J. M. Bowman (JAI Press Inc., London, 1994), Vol. 2A and 2B.

3. Dynamics of Molecules and Chemical Reactions, ed. by R. E. Wyatt and J. Z. H. Zhang (Marcel Dekker, New York, 1996).

4. Few-Body Problems in Physics, Proceedings of the XVII European Conference ed. by A. Stadler et al. (Elsevier, Amsterdam, 2001).

5. J. Macek, Properties of autownizing states of He, J. Phys. В 1, 831 (1968).

6. U. Fano, Unified treatment of collisions, Phys. Rev. A 24, 2402 (1981).

7. О. I. Tolstikhin, S. Watanabe, M. Matsuzawa, Hyper spherical elliptic coordinates and three-body Coulomb problem, Phys. Rev. Lett. 74, 3573 (1995).

8. О. I. Tolstikhin, S. Watanabe, M. Matsuzawa, "Slow" variable discretization: a novel approach for Hamiltonians allowing adiabatic separation of variables, J. Phys. В 29, L389 (1996).

9. О. I. Tolstikhin, S. Watanabe, M. Matsuzawa. Metastable states of an-tiprotonie helium in the energy range of the 2S and 2P states of helium: hyperspherical analysis of the system, Phys. Rev. A 54, R3705 (1996).

10. S. Watanabe, T. Morishita, D. Kato, О. I. Tolstikhin, K. Hino, M. Matsuzawa, Progress and applications of the hyperspherical coordinate method, Nucl. Instr. and Meth. in Phys. Res. В 124, 218 (1997).

11. O. I. Tolstikhin, V. N. Ostrovsky, H. Nakamura, Siegert pseudo-states as a universal tool: resonances, S-matrix, Green function, Phys. Rev. Lett. 79, 2026 (1997).

12. O. I. Tolstikhin, V. N. Ostrovsky, H. Nakamura, Cumulative reaction probability without absorbing potentials, Phys. Rev. Lett. 80, 41 (1998).

13. O. I. Tolstikhin, H. Nakamura, Hyperspherical elliptic coordinates for the theory of light atom transfer reactions in atom-diatom collisions, J. Chem. Phys. 108, 8899 (1998).

14. K. Nobusada, O. I. Tolstikhin, H. Nakamura, Quantum mechanical elucidation of reaction mechanisms of heavy-light-heavy systems: role of potential ridge, J. Chem. Phys. 108, 8922 (1998).

15. O. I. Tolstikhin, V. N. Ostrovsky, H. Nakamura, Siegert pseudo-state formulation of scattering theory: one-channel case, Phys. Rev. A. 58, 2077 (1998).

16. K. Nobusada, O. I. Tolstikhin, H. Nakamura, Quantum reaction dynamics of heavy-light-heavy systems: reduction of the number of potential curves and transitions at avoided crossings, J. Phys. Chem. A 102, 9445 (1998).

17. K. Nobusada, O. I. Tolstikhin, H. Nakamura, Quantum reaction dynamics of CI + HCl —> HCl +CI: vibrationally non-adiabatic reactions, J. Mol. Struct. (THEOCHEM) 461-462, 137 (1999).

18. G. V. Mil'nikov, O. I. Tolstikhin, K. Nobusada, H. Nakamura, Quantum reaction dynamics of an asymmetric exoergic heavy-light-heavy system: Cl+HBr —> HCl+Br, Phys. Chem. Chem. Phys. 1, 1159 (1999).

19. O. I. Tolstikhin, I. Yu. Tolstikhina, C. Namba, Interference effects in the decay of resonance states in three-body Coulomb systems, Phys. Rev. A. 60, 4673 (1999).

20. O. I. Tolstikhin, C. Namba, Hyperspherical calculations of low-energy rearrangement processes in dtfj,, Phys. Rev. A. 60, 5111 (1999).

21. O. I. Tolstikhin, M. Matsuzawa, Hyperspherical elliptic harmonics and their relation to the Heun equation, Phys. Rev. A. 63, 032510 (2001).

22. О. I. Tolstikhin, V. N. Ostrovsky, H. Nakamura, Cumulative reaction probability and reaction eigenprobabilities from time-independent quantum scattering theory, Phys. Rev. A. 63, 042707 (2001).

23. О. I. Tolstikhin, M. Matsuzawa, Exploring the separability of the three-body Coulomb problem in hyperspherical elliptic coordinates, Phys. Rev. A. 63, 062705 (2001).

24. О. I. Tolstikhin, New methods and results in the three-body Coulomb problem, Nucl. Phys. A 689/1-2, 127 (2001).

25. E. A. Solov'ev, О. I. Tolstikhin, The classification of hidden crossings in the three-body Coulomb problem: separable and conventional hyperspherical representations, J. Phys. В 34, L439 (2001).

26. С. D. Lin, Phys. Rep. 257, 1 (1995).

27. F. T. Smith, J. Chem. Phys. 31, 1352 (1959).

28. С. П. Меркурьев, JI. Д. Фаддеев Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц, (Наука, Москва, 1985).

29. F. Т. Smith, Phys. Rev. 120, 1058 (1960).

30. Т. Н. Gronwall, Annals of Math. 33, 279 (1932); Phys. Rev. 51, 655 (1937).

31. T. Iwai, J. Math. Phys. 28, 964 (1987); 28, 1315 (1987).

32. R. G. Littlejohn, M.Reinsch, Rev. Mod. Phys. 69, 213 (1997).

33. P. M. Morse, H. Feshbach, Methods of Theoretical Physics (McGraw-Hill, New York, 1953).

34. F. T. Smith, J. Math. Phys. 3, 735 (1962); R. C. Whitten, F. T. Smith, J. Math. Phys. 9, 1103 (1968).

35. Я. А. Симонов, Ядерная Физика 3, 630 (1966); A. M. Бадалян, Я. А. Симонов, Ядерная Физика 3, 1032 (1966).

36. R. Т. Pack, Chem. Phys. Lett. 108, 333 (1984).

37. L. M. Delves, Nucl. Phys. 9, 391 (1958/59); 20, 275 (1960).

38. J. О. Hirschfelder, E. Wiger, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 21, 113 (1935).

39. L. C. Biedenharn, J. D. Louck, Angular Momentum in Quantum Physics: Theory and Application, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Vol. 8 (Addison-Wesley Publishing Company, Reading, 1981).

40. Jl. Д. Ландау, E. M. Лифшиц, Квантовая механика (нерелятивистская теория) (Москва, Наука, 1989).

41. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Механика (Москва, Наука, 1988).

42. М. Born and V. Fock, Z. Phys. 51, 165 (1928).

43. J. Avery, Hyper spherical Harmonics (Kluwer, Dordrecht, 1989).

44. H. Klar, M. Klar, J. Phys. В 13, 1057 (1980).

45. L. Zhang, A. R. P. Rau, Phys. Rev. A 46, 6933 (1992); ibid. 48, 3567 (1993).

46. V. Aquilanti, S. Cavalli, G. Grossi, J. Chem. Phys. 85, 1362 (1986); V. Aquilanti, S. Cavalli, D. De Fazio, J. Chem. Phys. 109, 3792 (1998).

47. A. Kievsky, L. E. Marcucci, S. Rosati, M. Viviani, Few-Body Systems 22, 1 (1997).

48. U. Fano, D. Green, J. L. Bohn, T. A. Heim, J. Phys. В 32, R1 (1999).

49. E. T. Whittaker, G. N. Watson, A Course of Modern Analysis (Cambridge University Press, Cambridge, 1927).

50. A. Erdelyi, W. Magnus, F. Oberhettinger, F. G. Tricomi, Higher Transcendental Functions (McGraw-Hill Book Co., NY, 1955).

51. Heun's Differential Equations, edited by A. Ronveaux (Oxford University Press, Oxford, 1995).

52. E. W. Hobson, The Theory of Spherical and Ellipsoidal Harmonics (Cambridge University Press, Cambridge, 1931).

53. P. Moon and D. E. Spencer, Field Theory Handbook (Springer-Verlag, Berlin, 1988).

54. С. Ю. Славянов, Структурная теория уравнений и спецфункций класса Гойна, докторская диссертация, Санкт-Петербург, 1996.

55. J. H. Bartlett, Phys. Rev. 51, 661 (1937).

56. В. А. Фок, Изв. Акад. Наук СССР, Сер. Физ. 18, 161 (1954).

57. J. М. Feagin, J. Macek, А. F. Starace, Phys. Rev. A 32, 3219 (1985).

58. С. L. Siegel, J. К. Moser, Lectures on Celestial Mechanics (SpringerVerlag, Berlin, 1995).

59. M. Cavagnero, Z. Zhen, J. Macek, Phys. Rev. A 41, 1225 (1990).

60. D. Park, Z. Phys. 159, 155 (1960).

61. D. R. Herrick, Adv. Chem. Phys. 52, 1 (1983).

62. И. В. Комаров, Jl. И. Пономарёв, С. Ю. Славянов, Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции (Наука, Москва, 1976).

63. D. I. Abramov, V. V. Gusev, L. I. Ponomarev, Sov. J. Nucl. Phys. 60, 1133 (1997).

64. H. A. Erikson, E. L. Hill, Phys. Rev. 75, 29 (1949).

65. C. D. Lin, Adv. At. Mol. Phys. 22, 77 (1986).

66. C. D. Lin, in Review of Fundamental Processes and Applications of Atoms and Ions, edited by C. D. Lin (World Scientific, Singapore, 1993), p. 357.

67. A. Kuppermann, Chem. Phys. Lett. 32, 374 (1975).

68. G. Tanner, K. Richter, J.-M. Rost, Rev. Mod. Phys. 72, 497 (2000).

69. A. Zwaan, Arch. Neerland. Ser. IIIA 12, 1 (1929).

70. E. C. G. Stueckelberg, Helv. Phys. Acta 5, 369 (1932).

71. E. А. Соловьёв, УФН 157, 437 (1989).

72. E. A. Solov'ev, in The Physics of Electronic and Atomic Collisions, AIP Conf. Proc. 360 ed. by L. J. Dube et al (AIP Press, New York, 1995) p. 471.

73. D. I. Abramov, S. Yu. Ovchinnikov, E. A. Solov'ev, Phys. Rev. A 42, 6366 (1990).

74. E. А. Соловьёв, ЖЭТФ 90 1165 (1986).

75. Е. А. Соловьёв, ЖЭТФ 89 1991 (1985).

76. I. Langmuir, Phys. Rev. 17, 339 (1921).

77. J. Müller, J. Burgdörfer, Phys. Rev. Lett. 70, 2375 (1993).

78. C. L. Beckel, B. D. Hansen III, J. M. Peek, J. Chem. Phys. 53, 3681 (1970).

79. C. Froese Fisher, The Hartree-Fock Method for Atoms (John Wiley, New York, 1977).

80. E. E. Nikitin, S. Ya. Umanskii, Theory of Slow Atomic Collisions (SpringerVerlag, Berlin, 1984).

81. E. E. Никитин, Б. M. Смирнов, Медленные атомные столкновения (Энергоатомиздат, Москва, 1990).

82. М. S. Child, Semiclassical Mechanics with Molecular Applications (Clarendon, Oxford, 1991).

83. E. S. Medvedev, V. I. Osherov, Radiationless Transitions in Polyatomic Molecules (Springer-Verlag, Berlin, 1995).

84. M. Born, R. Oppenheimer, Ann. Phys. 84, 457 (1927).

85. H. Hellmann, Einführung in die Quantenchemie (Deuticke, Leipzig & Vienna, 1937).

86. R. P. Feynman, Phys. Rev. 56, 340 (1939).

87. E. P. Wigner, L. Eisenbud, Phys. Rev. 72, 29 (1947).

88. A. M. Lane, R. G. Thomas, Rev. Mod. Phys. 30, 257 (1958).

89. K. L. Baluja, P. G. Burke, L. A. Morgan, Comp. Phys. Comm. 27, 299 (1982).

90. C. Bloch, Nucl. Phys. 4, 503 (1957).

91. A.M. Frolov, J. Phys. В 26, 1031 and L845 (1993).

92. D. M. Bishop, A. M. Frolov, V. H. Smith, Jr., Phys. Rev. A 51, 3636 (1995).

93. V. I. Korobov, Phys. Rev. A 61, 064503 (2000).

94. A. G. Abrashkevich, D. G. Abrashkevich, M. S. Kaschiev, V. Yu. Poida, I. V. Puzynin, S. I. Vinitsky, J. Phys. В 22, 3957 (1989).

95. M. Masiii, J. E. Hornos, J. J. De Groote, Phys. Rev. A 52, 3362 (1995).

96. D. I. Abramov, V. V. Gusev, L. I. Ponomarev, Hyp. Int. 102/102, 375 (1996).

97. M. Iwasaki, S. N. Nakamura, K. Shigaki, Y. Shimizu, H. Tamura, T. Ishikawa, R. S. Hayano, Phys. Rev. Lett. 67, 1246 (1991).

98. T. Yamazaki, E. Widmann, R. S. Hayano, M. Iwasaki, S. N. Nakamura, K. Shigaki, F. J. Hartmann, H. Daniel, T. von Egidy, P. Hofmann, Y.-S. Kim, J. Eades, Nature 361, 238 (1993).

99. N. Morita, M. Kumakura, T. Yamazaki, E. Widmann, H. Masuda, I. Sugai, R. S. Hayano, F. E. Maas, H. A. Torii, F. J. Hartmann, H. Daniel, T. von Egidy, B. Ketzer, W. Müller, W. Schmid, D. Horvath, J. Eades, Phys. Rev. Lett. 72, 1180 (1994).

100. T. Yamazaki, Hyp. Int. 101/102, 451 (1996); Phys. Rep. принято к печати (2001).

101. Л. И. Меньшиков, М. К. Есеев, УФН 171, 149 (2001).

102. Т. Yamazaki, К. Ohtsuki, Phys. Rev. А 45, 7782 (1992).

103. Т. Yamazaki, К. Ohtsuki, Phys. Rev. A 50, 5350 (1994).

104. R. Ahlrichs, O. Dumbrajs, H. Pilkuhn, H. G. Schlaile, Z. Phys. A 306, 297 (1982).

105. I. Shimamura, Phys. Rev. A 46, 3776 (1992).

106. P. Т. Greenland, R. Thurwachter, Hyp. Int. 76, 355 (1993).

107. I. Shimamura, M. Kimura, Phys. Rev. A 50, 5346 (1994).

108. V. I. Korobov, Phys. Rev. A 54, R1749 (1996).

109. V. I. Korobov, Hyp. Int. 101/102, 479 (1996).

110. V. I. Korobov, D. Bakalov, H. J. Monkhorst, Phys. Rev. A 59, R919 (1999).

111. V. I. Korobov, D. D. Bakalov, Phys. Rev. Lett. 79, 3379 (1997).

112. G. T. Condo, Phys. Lett. 9, 65 (1964).

113. Y. Accad, C. L. Pekeris, B.Schiff, Phys. Rev. A 4, 516 (1971).

114. C. Schwartz, Phys. Rev. 124, 1468 (1961).

115. I. Shimamura, J. Phys. Soc. Jap. 30, 1702 (1971).

116. Y. D. Wang, J. Callaway, Phys. Rev. A 50, 2327 (1994).

117. M.-K. Chen, C. D. Lin, J.-Z. Tang, Phys. Rev. A 56, 2435 (1997).

118. L. I. Ponomarev, Contemp. Phys. 31, 219 (1990).

119. J. S. Cohen, Review of Fundamental Processes and Applications of Atoms and Ions, Ed. by C. D. Lin (World Scientific, Singapore, 1993), p. 61.

120. H. Fukuda, T. Ishihara S. Hara, Phys. Rev. A 41, 145 (1990).

121. J. S. Cohen, M. C. Struensee, Phys. Rev. A 43, 3460 (1991).

122. C. Chiccoli, V. I. Korobov, V. S. Melezhik, P. Pasini, L. I. Ponomarev, J. Wozniak, Muon Catal. Fusion 7, 87 (1992).

123. V. V. Gusev, L. I. Ponomarev, E. A. Solov'ev, Hyp. Int. 82, 53 (1993).

124. A. Igarashi, N. Toshima, T. Shirai, Phys. Rev. A 50, 4951 (1994).

125. A. A. Kvitsinsky, C. Y. Hu, J. S. Cohen, Phys. Rev. A 53, 255 (1996). L29] Y. Kino, частное собщение (1994).

126. Y. Kino, M. Kamimura, Hyp. Int. 82, 45 (1993).

127. W. Czapliñski, A. Gula, A. Kravtsov, A. Mikhailov, N. Popov, Phys. Rev. A 50, 518 и 525 (1994).

128. Л. И. Пономарёв, Е. А. Соловьёв, Письма ЖЭТФ 68, 9 (1998).

129. V. N. Ostrovsky, Phys. Rev. А 61, 032505 (2000).

130. Д. И. Абрамов, В. В. Гусев, Л. И. Пономарёв, частное собщение (2001).

131. A. J. F. Siegert, Phys. Rev. 56, 750 (1939).

132. G. Gamow, Z. Phys. 51, 204 (1928).

133. N. Hu, Phys. Rev. 74, 131 (1948).

134. J. Humblet, Mém. Soc. Roy. Sci. de Liege (8o) 12, No. 4 (1952).

135. T. Regge, Nuovo Cimento 8, 671 (1958).

136. T. Regge, Nuovo Cimento 9, 295 (1958).

137. В. И. Сердобольский, ЖЭТФ 36, 1903 (1959).

138. Я. Б. Зельдович, ЖЭТФ 39, 776 (1960).

139. J. Humblet, L. Rosenfeld, Nucí. Phys. 26, 529 (1961).

140. N. Hokkyo, Prog. Theor. Phys. 33, 1116 (1965).

141. T. Berggren, Nucí. Phys. A109, 265 (1968).

142. W. J. Romo, Nucí. Phys. A116, 617 (1968).

143. W. J. Romo, Nucí. Phys. A142, 300 (1970).

144. R. M. More, Phys. Rev. A 3, 1217 (1971).

145. B. Gyarmati, T. Vertse, Nucí. Phys. A160, 523 (1971).

146. R. M. More, Phys. Rev. A 4, 1782 (1971).

147. R. M. More, E. Gerjuoy, Phys. Rev. A 7, 1288 (1973).

148. W. J. Romo, Nucí. Phys. A237, 275 (1975).

149. G. García-Calderón, Nucí. Phys. A261, 130 (1976).

150. W. J. Romo, Nucí. Phys. A302, 61 (1978).

151. J. Bang, F. A. Gareev, M. H. Gizzatkulov, S. A. Goncharov, Nucl. Phys. A309, 381 (1978).

152. W. J. Romo, J. Math. Phys. 20, 1210 (1979).

153. W. J. Romo, J. Math. Phys. 21, 311 (1980).

154. J. Bang, S. N. Ershov, F. A. Gareev, G. S. Kazacha, Nucl. Phys. A339, 89 (1980).

155. А. И. Базь, Я. Б. Зельдович, А. М. Переломов, Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике (Москва, Наука, 1971).

156. X. М. Нуссенцвейг, Причинность и дисперсионные соотношения (Москва, Мир, 1976).

157. R. G. Newton, Scattering Theory of Waves and Particles (Springer-Verlag, New York, 1982).

158. V. I. Kukulin, V. M. Krasnopol'sky, J. Horacek, Theory of Resonances: Principles and Applications (Academia, Praha, 1989).

159. Proceedings of the Workshop on Complex Scaling in the Spectral Theory of the Hamiltonian, Int. J. Quant. Chem. 14, 343-542 (1978).

160. M. Rotenberg, Adv. At. Mol. Phys. 6, 233 (1970).

161. А. И. Маркушевич, Теория аналитических функций (ГИТТЛ, Москва, 1950).

162. В. С. Владимиров, Уравнения математической физики (Наука, Москва, 1981).

163. I. Gohberg, P. Lancaster, L. Rodman, Matrix Polynomials (Academic Press, NY, 1982).

164. L. P. Presnyakov, Phys. Rev. A 44, 5636 (1991).

165. H. M. Nussenzveig, Nucl. Phys. 11, 499 (1959).

166. E. M. Ferreira, A. F. F. Teixeira, J. Math. Phys. 7, 1207 (1966).

167. J. N. Bardsley, A. Herzenberg, F. Mandl, Proc. Phys. Soc. 89 305 (1966).

168. E. M. Ferreira, N. Guillen, J. Sesma, J. Math. Phys. 9, 1210 (1968).

169. S. Joffily, Nucl. Phys. A215, 301 (1973).

170. W. J. Romo, Can. J. Phys. 52, 1603 (1974).

171. R. A. Bain, J. N. Bardsley, B. R. Junker, C. V. Sukumar, J. Phys. B 7, 2189 (1974).

172. B. Gazdy, J. Phys. A 9, L39 (1976).

173. G. D. Doolen, Int. J. Quantum Chem. 14, 523 (1978).

174. R. Yaris, J. Bendler, R. A. Lovett, C. M. Bender, P. A. Fedders, Phys. Rev. A 18, 1816 (1978).

175. N. Moiseyev, P. R. Certain, F. Weinhold, Mol. Phys. 36, 1613 (1978).

176. A. D. Isaacson, C. W. McCurdy, W. H. Miller, Chem. Phys. 34, 311 (1978).

177. B. Gazdy, Phys. Lett. 76A, 367 (1980).182. 0. Atabek, R. Lefebvre, A. Requena, Mol. Phys. 40, 1107 (1980).

178. B. R. Junker, Phys. Rev. Lett. 44, 1487 (1980).

179. M. Rittby, N. Elander, E. Brandas, Phys. Rev. A 24, 1636 (1981).

180. H. J. Korsch, H. Laurent, R. Mohlenkamp, Mol. Phys. 43, 1441 (1981).

181. O. Atabek, R. Lefebvre, Chem. Phys. Lett. 84, 233 (1981).

182. H.-D. Meyer, O. Walter, J. Phys. B 15, 3647 (1982).

183. O. Atabek, R. Lefebvre, M. Jacon, J. Phys. B 15, 2689 (1982).

184. H. J.Korsch, H. Laurent, R. Mohlenkamp, J. Phys. B 15, 1 (1982).

185. M. Rittby, N. Elander, E. Brandas, Mol. Phys. 45, 553 (1982).

186. H. J. Korsch, H. Laurent, R. Mohlenkamp, Phys. Rev. A 26, 1802 (1982).

187. M. Rittby, N. Elander, E. Brandas, Phys. Rev. A 26, 1804 (1982).

188. J. N. L. Connor, A. D. Smith, J. Chem. Phys. 78, 6161 (1983).

189. H.-D. Meyer, J. Phys. B 16, 2265 (1983).

190. A. D. Isaacson, Chem. Phys. 85, 367 (1984).

191. H. J. Korsch, R. Möhlenkamp, H.-D. Meyer, J. Phys. B 17, 2955 (1984).

192. B. R. Junker, Autoionization: Recent Developments and Applications, ed. by A. Temkin (Plenum Press, NY, 1985).

193. G. Jolicard, E. J. Austin, Chem. Phys. 103, 295 (1986).

194. U. V. Riss, H.-D. Meyer, J. Phys. B 26, 4503 (1993).

195. U. V. Riss, H.-D. Meyer, J. Phys. B 28, 1475 (1995).

196. F. M. Fernández, J. Phys. A 28, 4043 (1995).

197. H. A. Yamani, M. S. Abdelmonem, J. Phys. A 28, 2709 (1995).

198. M. Cízek, J. Horácek, J. Phys. A 29, 6325 (1996).

199. S. A. Sofianos, S. A. Rakityansky, J. Phys. A 30, 3725 (1997).

200. I. Shimamura, J. Phys. Soc. Jap. 31, 852 (1971).

201. Y. K. Ho, A. K. Bhatia, and A. Temkin, Phys. Rev. A 15, 1423 (1977).

202. Y. K. Ho, Phys. Rev. A 23, 2137 (1981).

203. S. Hara and T. Ishihara, Phys. Rev. A 40, 4232 (1989).

204. C. Y. Hu and A. K. Bhatia, Phys. Rev. A 43, 1229 (1991).

205. P. Froelich and A. Flores-Riveros, Phys. Rev. Lett. 70, 1595 (1993).

206. V. I. Korobov, Hyperfine Interactions 101/102, 307 (1996).

207. U. Fano, Nuovo Cimento 12, 156 (1935); Phys. Rev. 124, 1866 (1961).

208. H. Feshbach, Ann. Phys. (N.Y.) 5, 357 (1958); ibid. 19, 287 (1962).

209. Yu. N. Demkov, The Physics of Electronic and Atomic Collisions, ICPEAC-V. Invited Papers, edited by L. M. Branscomb (Nauka, Leningrad, 1967) p. 186.

210. L. Landau, Phys. Zs. Sowjet. 1, 88 (1932); ibid. 2, 46 (1932).

211. S. F. C. O'Rourke, B. S. Nesbitt, and D. S. F. Crothers, Adv. Chem. Phys. 103, 217 (1998).

212. A. Kuppermann, G. C. Schatz, J. Chem. Phys. 62, 2502 (1975).

213. G. С. Schatz, A. Kuppermann, Phys. Rev. Lett. 35, 1266 (1975).

214. A. Kuppermann, G. C. Schatz, M. Baer, J. Chem. Phys. 65, 4596 (1976).

215. G. C. Schatz, A. Kuppermann, J. Chem. Phys. 65, 4642 (1976); 4668 (1976).

216. A. Kupperman, P. G. Hipes, J. Chem. Phys. 84, 5962 (1986).

217. R. T. Pack, G. A. Parker, J. Chem. Phys. 87, 3888 (1987).

218. J. M. Launay, B. Lepetit, Chem. Phys. Lett. 144, 346 (1988).

219. G. C. Schatz, Chem. Phys. Lett. 150, 92 (1988); G. C. Schatz, D. Sokolovski, J. N. L. Connor, см. 2], Vol. 2B, p. 1.

220. S. Takada, K. Tsuda, A. Ohsaki, H. Nakamura, см. 2], Vol. 2A, p. 245.

221. V. Aquilanti, S. Cavalli, G. Grossi, J. Chem. Phys. 85, 1362 (1986).

222. D. E. Manolopoulos, D. C. Clary, in Annual Reports on the Progress of Chemistry, Sec. C, Vol. 86 (1989), p. 95.

223. K. Nobusada, H. Nakamura, Y. Lin, B. Ramachandran, Quantum reaction dynamics of 0(3P) + HC1 on a new ab initio potential energy surface, J. Chem. Phys. 113, 1018 (2000).

224. H. Kamisaka, W. Bian, K. Nobusada, H. Nakamura, Accurate quanbtum dynamics of electroniocally nonadiabatic chemical reactions in the DH^ system, J. Chem. Phys. (2001), принято к публикации.

225. G. G. Balint-Kurti, in Advances in Chemical Physics, Vol.XXV (1974), p. 137.

226. A. Persky and M. Broida, J. Chem. Phys. 81, 4352 (1984).

227. H. Koizumi, G. C. Schatz, and M. Gordon, J. Chem. Phys. 95, 6421 (1991).

228. G. Nguyen Vien, N. Rougeau, C. Kubach, Chem. Phys. Lett. 215, 35 (1993); G. Nguyen Vien, C. Kubach, Chem. Phys. 179, 131 (1994); N. Rougeau, C. Kubach, Chem. Phys. Lett. 228, 207 (1994); N. Rougeau,

229. C. Kubach, THEOCHEM 330, 57 (1995); N. Rougeau, C. Kubach, Chem. Phys. Lett. 274, 535 (1997).

230. A. Ohsaki, H. Nakamura, Phys. Rep. 187, 1 (1990).

231. J. Mantz, R. Meyer, E. Pollak, and J. Römelt, Chem. Phys. Lett. 93, 184 (1982).

232. W. H. Miller, J. Chem. Phys. 61, 1823 (1974); 62, 1899 (1975).

233. E. E. Никитин, Теория элементарных атомно-молекулярных процессов в газах (Химия, Москва, 1970).

234. W. Н. Miller, S. D. Schwartz, and J. W. Tromp, J. Chem. Phys. 79, 4889 (1983).

235. T. Yamamoto, J. Chem. Phys. 33, 281 (1960).

236. R. Kubo, J. Phys. Soc. Japan 12, 570 (1957).

237. N. Moiseyev, J. Chem. Phys. 103, 2970 (1995).

238. W. H. Thompson and W. H. Miller, J. Chem. Phys. 102, 7409 (1995); 106, 142 (1997); H. Wang, W. H. Thompson and W. H. Miller, J. Chem. Phys. 107, 7409 (1997).

239. U. Manthe, J. Chem. Phys. 102, 9205 (1995); F. Matzkies and U. Man-the, J. Chem. Phys. 108, 4828 (1998); 110, 88 (1999).

240. D. H. Zhang and J. C. Light, J. Chem. Phys. 106, 551 (1997);

241. D. H. Zhang, J. C. Light, and S.-Y. Lee, J. Chem. Phys. 109, 79 (1998).

242. T. Seideman and W. H. Miller, J. Chem. Phys. 96, 4412 (1992).

243. Т. Seideman and W. H. Miller, J. Chem. Phys. 97, 2499 (1992).

244. U. Manthe and W. H. Miller, J. Chem. Phys. 99, 3411 (1993).

245. C. Leforestier and W. H. Miller, J. Chem. Phys. 100, 733 (1994).

246. S. M. Auerbach and W. H. Miller, J. Chem. Phys. 100, 1103 (1994).

247. A. Viel, C. Leforestier, and W. H. Miller, J. Chem. Phys. 108, 3489 (1998).

248. B. Poirier, J. Chem. Phys. 108, 5216 (1998).

249. U. Manthe, T. Seideman and W. H. Miller, J. Chem. Phys. 99, 100781993); 101, 4759 (1994).

250. D. E. Manolopoulos and J. C. Light, Chem. Phys. Lett. 216, 18 (1993).

251. T. Seideman and W. H. Miller, J. Chem. Phys. 95, 1768 (1991).

252. S. Glasstone, K. J. Laidler, H. Eyring, The Theory of Rate Processes (McGraw-Hill, New York, 1941).

253. E. Gerjuoy, Ann. Phys. (N.Y.) 5, 58 (1958).

254. Yu. N. Demkov, V. N. Ostrovsky, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 69, 1582 (1975) Sov. Phys. — JETP 42, 806 (1975)].

255. V. N. Ostrovsky, J. Phys. В 24, 4553 (1991); Phys. Rev. A 49, 37401994).

256. П. П. Горват, В. Ю. Лазур, JI. П. Пресняков, Д. Б. Усков, ТМФ 91, 373 (1992).

257. См., например, приложение в А. Т. Amos, G. G. Hall, Proc. Roy. Soc. 263, 483 (1961).

258. Atomic and molecular processes: an R-matrix approach, edited by P. G. Burke and K. A. Berrington (IOP, Bristol, 1993).

259. D. C. Chatfield, R. S. Friedman, S. L. Mielke, G. C. Lynch, Т. C. Allison, D. G. Truhlar, and D. W. Schwenke, in Dynamics of Molecules and Chemical Reactions, edited by R. E. Wyatt and J. Z. H. Zhang (Marcel Dekker, New York, 1996), p. 323.270

260. D. О. Harris, G. G. Engerholm, W. D. Gwinn, J. Chem. Phys. 43, 1515 (1965).

261. A. S. Dickinson, P. R. Certain, J. Chem. Phys. 49, 4209 (1968).

262. J. C. Light, I. P. Hamilton, J. V. Lill, J. Chem. Phys. 82, 1400 (1985).

263. С. C. Marston, G. G. Balint-Kurti, J. Chem. Phys. 91, 3571 (1989).

264. J. T. Muckerman, Chem. Phys. Lett. 173, 200 (1990).

265. J. Echave, D. C. Clary, Chem. Phys. Lett. 190, 225 (1992).

266. E. G. Layton, J. Phys. В 26, 2501 (1993).

267. D. Baye, J. Phys. В 28, 4399 (1995).

268. В. I. Schneider, Phys. Rev. A 55, 3417 (1997).

269. О. И. Толстихин, не опубликовано (1993).

270. Handbook of Mathematical Functions, edited by M. Abramowitz and I. A. Stegun (Dover Publications Inc., New York, 1972).

271. А. Ф. Никифоров, В. Б. Уваро в, Специальные функции математической физики (Москва, Наука, 1984).

272. W. Н. Press, S. A. Teukolsky, W. Т. Vetterling, and В. P. Flannery, Numerical Recipes in FORTRAN (Cambridge University Press, Second Edition, 1992).