Новый аппарат теории переноса в плоском слое тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.02 ВАК РФ

Предисловие

ВВЕДЕНИЕ

§1. АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОБЗОР

1. Полубесконечная среда

2. Анизотропное рассеяние

3. Слой конечной толщины

4. Методы Амбарцумяна

§2. КРИТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

1. Принцип инвариантности

2. Методы наращивания слоев

3. Общая теория Соболева

4. Метод псевдозадач

§3. ЦЕЛЬ И СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

1. Метод сведения

2. Полугрупповой аппарат

3. Аналитические результаты

4. Дополнения и приложения

§4. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

1. Основные результаты

2. Новизна и ценность

3. Публикации и апробация

4. На защиту выносятся.

Часть первая. ТЕОРИЯ

Глава I. ОСНОВНАЯ МОДЕЛЬ

§5. МОДЕЛЬ ПСЕВДОЩЩЖАТРИСЫ

§6. ПРИНЦИП ОБРАТИМОСТИ

§7. ВНЕШНЯЯ И ВНУТРЕННЯЯ ЗАДАЧИ

§8. ПРИМЕЧАНИЯ

Глава П. СЛОЙ КОНЕЧНОЙ ТОЛЩИНЫ

§9. ОДНОМЕРНАЯ СРВДА

1. Отражение и пропускание

2. Произвольные источники

3. Внутренние поля

4. Решение задач

§10. МНОГОМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ

1. Основные соотношения

2. Частные задачи

3. Вычислительный метод

4. Нестационарные задачи

§11. ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ СЛОЙ

1. Основные уравнения

2. Частные характеристики. 1.

3. Частные характеристики.П.

4. Случай вырожденного ядра

§12. ОБСУЖДЕНИЕ МЕТОДА СВВДЕНИЯ

1. Преимущества метода

2. Примечания

3. Нелинейная задача

Глава Ш. ПОЛУБЕСКОНЕЧНАЯ СРЕДА

§13. ПОЛУГРУППОВОЙ АППАРАТ

1. Полугрупповое соотношение

2. Следствия

3. Соотношение коммутативности

4. Оператор инвариантности

§14. РАССЕЯНИЕ С ПСЕВДОИНДИКАТРИСОЙ

1. Выражения для У .и Z

2. функции F и F

3. Сводка интегралов

4. Другие интегралы

§15. АППАРАТ ИНВАРИАНТНОСТИ

1. Оператор отражения

2. Уравнения инвариантности

3. Одномерная среда

4. Плоско-параллельный слой

§16. ОБСУЖДЕНИЯ

1. Преимущества аппарата

2. Примечания

3. Полная функция Грина

Глава 1У. ВЫСОКОТОЧНЫЕ

АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ

§17. ВЫСОКОТОЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ

1. Преобразование уравнений

2. Основное приближение

3. Решение уравнений

4. функция С(х0)

§18. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМЫ

1. Физическая область углов

2. Консервативный случай

3. Загадка Ямамото

4. Не почти-консервативный случай

§19. АСИШТОТИЧЕСКИЙ ПРЕДЕЛ

1. Нетонкие слои

2. Толстый слой, ^ I

3. Толстый слой,

4. Условие асимптотичности

§20., ОБСУЖДЕНИЯ

1. Влияние псевдоиндикатрисы

2. Внутреннее решение

3. О более точных решениях

Глава У. АНИЗОТРОПНОЕ РАССЕЯНИЕ

§21. ПСЕВДОЗАДАЧИ ПЕРЕНОСА

1. Преобразования Соболева

2. Псевдозадачи переноса

3. Выбор псевдоиндикатрисы

4. Правило перехода

§22. ПОЛУБЕСКОНЕЧНАЯ СРВДА

1. Групповые свойства

2. Явные выражения

3. Аппарат инвариантности

4. Характеристическое уравнение

§23. СЛОЙ КОНЕЧНОЙ ТОЛЩИНЫ

1. Основные соотношения

2. Приближение для F*

3. Высокоточные решения

4. Внутренние поля

§24. ОБСУЖДЕНИЯ

Часть вторая. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ

Глава У1. ДРУГИЕ ЗАДАЧИ ПЕРЕНОСА

§25. ОДНОМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ

1. Анизотропная среда

2. Критическая толщина слоя

3. Число рассеяний. 1.

4. Число рассеяний. II.

§26., РАЗВИТИЕ АППАРАТА ИНВАРИАНТНОСТИ

1. Некогерентное рассеяние

2. Слой конечной толщины

3. Сферический слой

4. Неоднородная среда

§27. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. О функции источников

2. Об интегралах переноса

3. Слой с отражающей границей

4. О консервативном рассеянии

§28. СЛУЧАЙНЫЕ БЛУЕДАНИЯ

1. Полубесконечная решетка

2. Решетка конечной длины

3. Критическая длина решетки

4. Другие задачи

Глава УЛ. О НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ

ПЕРЕНОСА И АНАЛОГИЯХ В ТЕОРИИ КВАНТОВАННЫХ ПОЛЕЙ

§29. ПОЛУБЕСКОНЕЧНАЯ СРВДА

1. Полугрупповое уравнение

2. Решение уравнения

3. Примечания

4. Оператор инвариантности

§30. АНАЛОГИИ С РЕНОРМГРУППОЙ

1. Инвариантный заряд

2. Число рассеяний кванта

3. Полихроматическое рассеяние

4. Слой конечной толщины

§31. О ФИЗИЧЕСКИХ АНАЛОГИЯХ

1. Призрачный полюс и критичность

2. Аналогия элементарных актов

3. Диаграммные аналогии

4. О принципе инвариантности

§32. ОБСУЖДЕНИЯ

1. Задача об отражении

2. Аналогии в других дисциплинах

3. Функциональная автомодельность

Отдельные вопросы теории рассеяния света рассматривались еще в прошлом веке в задачах по геометрической оптике и при интерпретации атмосферных явлений. Принципиальные же положения теории были сформулированы в начале века в астрофизических исследованиях, приведших к последующему формированию теории переноса излучения. В настоящее время, в силу общности физического содержания и математического описания большого разнообразия задач, область приложений теории переноса включает в себя широкий класс проблем естествознания.

Сюда, в первую очередь, следует отнести чрезвычайно важные в прикладном отношении проблемы диффузии нейтронов в ядерных реакторах £xj. • По существу, теория переноса нейтронов адекватна теории переноса излучения.

По своей физической сущности теория переноса родственна кинетической теории газов, составляющей основу важнейших разделов теоретической физики. Газокинетическое уравнение Больцмана в линеаризованной форме совпадает с основным уравнением теории переноса И .

К теории переноса тесно примыкает также ряд других классических вопросов современной физики - теории распространения звука и переноса возбуздений (экситонов) в конденсированных средах И, рассеяния рентгеновского и гамма-излучения в веществе [4] , явлений сложного теплообмена [б], а также физики плазмы и отчасти химии и биологии [б].

Формальное сходство с уравнениями теории переноса можно обнаружить и в других дисциплинах - нелинейной механике, экологии, социологии. Интересные математические аналогии могут быть установлены между задачами нелинейной теории переноса и теории взаимодействующих квантованных полей (элементарных частиц) [7] . Не исключено, что между описываемыми ими процессами существуют и более тесные - физические аналогии.

Широкое применение нашла теория переноса в современной геофизике - атмосферной оптике, 'океанологии и метеорологии \8] .

Актуальные задачи перед теорией перенора ставит современная астрофизика в связи с новейшими достижениями, особенно, полученными на основе внеатмосферных наблюдений. На их основе изучаются механизмы образования спектров небесных тел и интенсивно разрабатываются модели строения звездных и планетных атмосфер. Уже t достигнутыми в этом направлении успехами теоретическая астрофизика обязана первым долгом теории переноса излучения [э].

С развитием строгой теории переноса выявляются возможности и чисто математических ее приложений: методы теории переноса, базирующиеся в основном на физических соображениях, могут? быть непосредственно использованы в теории интегральных уравнений, в теории случайных процессов и в некоторых новых областях математики, таких, например, как интегральная геометрия Jio] и динамическое программирование [il] .

В свою очередь, исследования в указанных отдельных отраслях науки обогащают собственно теорию переноса, стимулируя ее развитие как самостоятельной отрасли математической физики. Такое направление намечается в ряде книг и монографий, посвященных объединение накапливаемых в литературе разрозненных методов и результатов и различным обобщениям математического характера.

В основу этих разработок, естественно, кладутся аналитические исследования - именно они определяют фактическое развитие всякой теории. Конечно, практически нельзя представить современную теорию переноса без ее вычислительных аспектов. Их ценность в прикладных задачах неоспорима, технические же возможности чрезвычайно широки. К примеру, самые сложные процессы диффузии нейтронов в управляемых реакторах рассчитываются на электронновычис-лительных машинах за времена, буквально опережающие реальное время протекания самих процессов (чем и обеспечивается техническая возможность их управления (j2] ).

И все же важность аналитических исследований в теории несомненна. Ведь даже эффективность того или иного вычислительного метода предопределяется его исходными аналитическими предпосылками. В ряде же случаев, например, в обратных задачах теории переноса численные методы малопрактичны. Аналитические методы позволяют выявить характер решения, что важно для понимания сути явления, в то время как машинные расчеты - всего лишь численный эксперимент, впрочем, мало способствующий восприятию результатов.

В обоих этих аспектах теория переноса разработана весьма основательно. Относительного совершенства она достигла в задачах с плоской геометрией. В частности, строгие результаты получены для однородной плоско-параллель ной полубесконечной среды. Именно, найдены точные аналитические решения задач о монохроматическом анизотропном рассеянии, а также в приближении полного перераспределения по частотам при изотропном рассеянии.

Но, тем не менее, уже для слоя конечной оптической толщины найти замкнутые решения в аналитическом виде не представляется возможным. В то же время теория здесь изобилует известным разнообразием вычислительных методов.

Важные практические применения, которые находит сегодня теория переноса, демонстрируют актуальность ее фундаментальных достижений. С другой стороны, исследования последних лет указывают на возможности качественно новых разработок и аналитических построений в самом аппарате теории.

Одной из таких теоретических разработок посвящено настоящее исследование. Оно преследует цель свести задачи о слое конечной толщины к более частным задачам для полупространства и в этом плане претевдует на построение нового аппарата линейной теории переноса в плоском слое. Главными его достижениями нужно считать установление эффективного вычислительного метода - в общем случае многомерных задач и высокоточных аналитических решений-в задачах о монохроматическом рассеянии в слое конечной толщины.

В Первой Части диссертации излагается основной аппарат теории - метод сведения для слоя конечной толщины и полугрупповой аппарат для полубесконечной среды и полученные на его основе решения задач о монохроматическом рассеянии в плоско-параллельном слое. Методические аспекты развития и применения аппарата в более специальных вопросах теории переноса и в связи с некоторыми родственными задачами теории случайных блужданий и теории взаимодействующих квантованных полей отражены в Приложениях.

Литература к Предисловию

1. БЕЛЛ,ГЛЕССТОН (1974), ВЛАДИМИРОВ (1961), ДЕВИСОН (I960), КЕЙЗ ,ЦВАЙФЕЛЬ (1972), МАРЧУК (1961), ОТДЕЛОВ (1963).

2. ЧЕРЧИНЬЯНИ (1978).

3. АГРАНОВИЧ,ГАЛАНИН (1978) .

4. ПИНСКЕР (1978,1982), ФАНО,СПЕНСЕР,БЕРГЕР (1963).

5. ЗИГЕЛЬДОУЭЛЛ (1975), ОЦИСИК (1975).

6. См.ссшши в книге ХАКЕН (1980).

7. МНАЦАКАНЯН (1982).

8. См.журнал "Физика атмосферы и океана".

9. АМБАРЦУМЯН (I960), ИВАНОВ (1969), МИХАЛАС (1982), СОБОЛЕВ (1956,1972,1975), ЧАВДРАСЕКАР (1953).

10. АМБАРЦШН Р.В. (1982),

11. БЕЛЛМАН,ДРЕЙФУС (1965).

12. МАРЧУК, ЛЕБЕДЕВ (1981) .

Актуальность настоящего исследования определяется множеством приложений теории переноса в различных областях точного естествознания, особенно в планетных исследованиях, интерес к которым в последние годы сильно возрос в связи с бурным развитием космонавтики. Для успешного решения этих проблем первым делом необходимо усовершенствование аппарата теории переноса, вплоть до коренного пересмотра её методов.

ВВЕДЕНИЕ

Исследованиям по теории переноса посвящены сотни книг и тысячи статей. Отметим лишь пользующиеся наибольшей популярностью издания трудов АМБАРЦУШНА(1960), БАСБРИЩ1960), БЕЛЛМА-НА,КАЛАБЫ,ПРЕСТРУДА(1963), ИВАН0ВА(1969), КАГИВАДА,КАЛАБЫ,УЭНО (1975), КУРГАН0ВА(1952), МИХАЛАСА(1982), СОБОЛЕВА(1956,1972), Х0ПФА(1934), ЧАНДРАСЕКАРА(1953) - по теории переноса излучения, и БЕЛЛА,ГЛЕССТ0НА(1974), ДЕВИС0НА(1960), КЕЙЗА,Г0ФФМАНА,ПЛАЧЕКА (1953), КЕЙЗА,ЦВАЙФЕЛЯ(1972), МАРЧУКА(1961), МАРЧУКА, ЛЕБЕДЕВА (1971) - по теории переноса нейтронов. Перечисление одних только обзорных статей составило бы большой список. Из них упомянем обзоры ИВАН0ВА(1969,Гл.Ш;1981), МИНИНА(1981),НАГИРНЕРА(1971), ТРИ-ГА(1969), ХИОЛЕТА,УОРМИНГА(1968), представляющие фактическое состояние аналитической теории переноса.

Каждый обзор отражает в некоторой степени субъективное отношение его автора к проблемам развития теории и отдает предпочтение в оценках методам, близким по духу к его личным изысканиям. Точно так же здесь мы коснемся тех известных методов теории переноса, которые наиболее тесно примыкают к развиваемым в диссертации. Мы обсудим их преимущества и недостатки и в свете этого анализа изложим цель и содержание нашей работы.

§ I. АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОБЗОР

Первые исследования задач переноса лучистой энергии восходят к работам А.ШУСТЕРА, К.ШВАРЦИШЬДА, Э.МИННА, А.ЭДЦИНГТОНА, Э.ХОПФА и к более ранним - Г.СТОКСА, РЕЛЕЯ, О.Д.ХВОЛЬСОНА. Но систематические аналитические разработки в теории начались с фундаментальных работ В.А.АМБАРЦУМЯНА, в частности, по созданию принципа инвариантности, и получили дальнейшее развитие в основополагающих трудах С.ЧАНДРАСЕКАРА и В.В.СОБОЛЕВА. Особенно высокой результативностью отличаются труды Ленинградской школы теории переноса - сотрудников кафедры астрофизики АО ЛГУ (В.В. СОБОЛЕВ, И.Н.МИНИН, В.В.ИВАНОВ, Д.И.НАГИРНЕР и др.).

Развитие аналитической теории протекало, естественно, начиная с простейших моделей - от изотропного рассеяния к анизотропному и от полубесконечной среды к слою конечной толщины. Для случая монохроматического рассеяния оно привело к полному решению в замкнутом виде задач для полубесконечной среды; но уже для слоя конечной оптической толщины этого сделать пока не удается.

Ниже мы вкратце обсудим коренные этапы этого развития для случая монохроматического рассеяния в плоско-параллельной однородной среде. Сначала мы рассмотрим задачи для полубесконечной среды и переход от изотропного случая к анизотропному, а затем перейдем к более общей задаче о слое конечной толщины.

Мы сочли целесообразным также привести здесь детальную иллюстрацию на примере одномерной среды "метода сложения слоев" и "принципа инвариантности" Амбарцумяна, предоставляя тем самым также возможность непосредственного сравнения их с развиваемыми в диссертации методами.

I.I. Полубесконечная Среда

Простейшей задачей для полубесконечной среды является, пожалуй, определение относительного углового распределения и выходящего через границу излучения в задаче Милна - когда источник (поглощенный квант) расположен в среде бесконечно глубоко. В "обобщенной" задаче Милна источники распределены равномерно по всей глубине полубесконечной среды.

Решения этих задач получил АМБАРЦУМЯН (1942а,19486), выразивший их через функцию , описывающую другую простейшую по постановке задачу - об угловом распределении выходящего через границу излучения, но когда источник расположен на границе полубесконечной среды, ^-функция Амбарцумяна играет фундаментальную роль в теории переноса, поскольку с ее помощью записываются решения всех без исключения более общих задач.

В частности, через -функцию непосредственно выражается решение задачи об экспоненциальном распределении источников, служащей обобщением задачи Милна. Из физических соображений ясно, что ее же частным случаем является также задача о диффузном отражении R . Эту функцию , зависящую от двух угловых переменных, АМБАРЦУШЩ1942а,1943а) выразил с помощью простого соотношения через функцию ij>0{) одной угловой переменной.

Указанные решения АМБАРЦУШЩ 1943а) получил применением введенного им принципа инвариантности, идея которого кроется в обезоруживающе простой формулировке о неизменности отражательных свойств полубесконечной среды при мысленном добавлении к ней слоя произвольной толщины. Требование равенства нулю вклада от добавляемого слоя в общий процесс рассеяния открывает исключительно эффектный путь решения задачи. Указанный вклад легко рассчитать для бесконечно тонкого добавляемого слоя, так как при этом достаточно учесть в нем лишь рассеяния не выше первого порядка.

Для определения ^-функции служит нелинейное функциональное уравнение Амбарцумяна. Точное аналитическое решение этого уравнения было найдено Ф0К0М(1944). Правда, в практических расчетах это решение не является наиболее удобным, зато благодаря именно ему замыкаются решения всех задач для полубесконечной среды в явном аналитическом виде.

Сравнительно более общей задачей является определение вероятности Рб^") выхода в направлении vj^ кванта, поглощенного на глубине полубесконечной среды. Упомянутые выше функции и 1*0^") соответствуют частным значениям при х=0 и

Знание Р(т;ц) позволяет описать общие задачи о выходящем излучении при произвольном распределении первичных источников в полубесконечной среде путем соответствующего суммирования по этому распределению. Кстати, на примере этой величины СОБОЛЕВ (1951) ввел в теорию переноса вероятностную трактовку процессов рассеяния, которую МИНИН(1966) распространил на случай анизотропного рассеяния.

Функция j? задает так называемую функцию источников (при освещении границы параллельным пучком света), не первичных, а обусловленных только вторичными процессами рассеяния. Особый интерес представляет задача о функции источников в специальной -милновской постановке, точное решение которой - функция ХОПФА (1934), найдено аналитически МАРЖЩ1947).

Аналитическое решение задачи о вероятности выхода Р происходило следующим образом. С0Б0ЛЕВ(1957) ввел важное понятие резольвентной функции и выразил через нее функцию Рб:,^ .

Смысл^(-с) состоит в вероятности того, что квант, поглощенный на границе полубесконечной среды, в результате всевозможных блужданий будет поглощен на глубине . Наряду с ценными ее исследованиями В.В.Соболев составил также интегральное уравнение для функции <^>(х) . Следующий, завершающий шаг сделал МИНИН (1958); он нашел точное аналитическое решение этого уравнения, выражающее в явном виде ^-функцию Соболева через ip-функцгш Амбарцумяна. Явное же решение для функции <-j> было уже найдено в упомянутой работе В.А.Фока.

-функция Соболева имеет фундаментальное значение в теории переноса, так как через нее, как показал С0Б0ЛЕВ(1958), выражается более общая резольвентная функция ГСт^тО- вероятность того, что квант, поглощенный на глубине т;' полубесконечной среды, в результате всевозможных рассеяний, поглотится в ней на глубине «с . Последняя, в свою очередь, определяет решение наиболее общей задачи о внутренних световых полях в полубесконечной среде при произвольных источниках.

Описанная последовательность переходов от решений частных задач к решению более общих составляет основу общей теории С0Б0-ЛЕВА(Г972).

1.2. Анизотропное Рассеяние

В задачах с анизотропным рассеянием возникают принципиальные затруднения, вызванные необходимостью разложения решений по специальным функциям. АМБАРЦУМЯН(1941) предложил использовать разложения по (присоединенным) полиномам Лежандра, обосновав это тем, что последние являются собственными функциями индикатрисы рассеяния. (Строго говоря, решение задачи таким путем есть некое приближение, состоящее в предположении, что ряд разложения индикатрисы по полиномам Лежандра ограничивается конечным числом членов).

В результате указанных разложений АМБАРЦУМЯЩ19436) свел задачу к решению системы функциональных уравнений для вспомога

VV1 тельных tj>. -функций (Амбарцумяна). С их помощью, аналогично изотропному случаю, АМБАРЦУМЯЩ1944а) выразил решения остальных, более общих задач - задачи Милна, задачи об отражении и т.д.

Принципиально важный шаг в теории анизотропного рассеяния был осуществлен затем в работах ЧАНДРАСЕКАРА(1953) и К7ЩЕРА(1955, 1958) на ряде частных примеров, и С0Б0ЛЕВА(1969а) - в общей постановке задачи. Смешанную систему уравнений, отвечающих разложению уравнения переноса по полиномам Лежандра, им удалось расцепить - на уравнения, описывающие в отдельности каждую ( т. -ую) азимутальную гармонику решений. При этом каждое такое отдельное "псевдоуравнение" переноса по своей структуре и внешней форме совпадает с уравнением переноса при изотропном рассеянии, с тем только отличием от последнего, что содержит некую дополнительную функцию Y 6|). Введение этой "характеристической" функции Ijr* ЧАЦДРАСЕКАРОМ( 1945,1946) позволило ему заменить систему ^ функций (ц) меньшим количеством вспомогательных величин Н

Далее, по аналогии, обобщающей случай изотропного рассеяния, С0Б0ЛЕВ(1969) ввел в рассмотрение резольвентные функции и с их помощью записал решения более общих задач. Тем самым В.В. Соболев построил "общую теорию" для отдельной азимутальной гармоники. Заодно В-.В .Соболев установил обратные преобразования от азимутальных гармоник к полным величинам, описывающим решение задач с анизотропным рассеянием.

§ I 18 jYA

Наконец, уравнения для Ср (х*) аналитически разрешил НАГИР

НЕР(1964), в результате чего функция сЬ (V) была явным образом

Hwi

• Полное решение задачи завершается исследованиями функций Н™ * выполненными в основном РЛАЛЛИ-КИН0М(1964) и НАГИРНЕР0М(1968), нашедшим в ряде случаев также аналитические решения.

Таковы классические достижения аналитической теории переноса монохроматического излучения в.полубесконечной среде.

1.3. Слой Конечной Толщины

Задачи для слоя конечной толщины являются более общими, чем для полубесконечной среды, так как их решения зависят от толщины слоя *с0 . Как мы уже отмечали, здесь замкнутые аналитические решения пока не найдены, несмотря на наличие множества точных соотношений между различными его характеристиками, установленных в полной аналогии со случаем полубесконечной среды.

Для исследования функциональной зависимости коэффициентов отражения и пропускания слоем от его толщины АМБАРЦШЩ19446) предложил метод "сложения слоев". Суть его сводится к мысленному добавлению друг к другу слоев разных (конечных) толщин т± и тг^ и установлению (четырех) соотношений "типа баланса" между характеристиками отдельных и суммарного слоев. Эти соотношения образуют систему нелинейных функциональных уравнений, явное решение которых, однако, известно лишь на простейших примерах.

Для достижения математического упрощения этих функциональных уравнений толщина одного из слоем принимается бесконечно малой. При этом функциональные уравнения обращаются в более простые дифференциальные (нелинейные) уравнения по толщине слоя.

Таким образом, практическое использование метода сведения слоев подразумевает добавление к исследуемому слою бесконечно тонкого слоя. В частности, для полубесконечной среды добавление к ней бесконечно тонкого слоя привело к формулировке принципа инвариантности Амбарцумяна.

Чрезвычайно высокая эффективность применения принципа инвариантности к решению полубесконечных задач, естественно, стимулировала последующее обобщение принципа инвариантности и на слой конечной оптической толщины. Его сформулировал АМБАРЦУМЯН (1943): отражательная и пропускная способности среды не изменятся, если к одной границе слоя добавить бесконечно тонкий слой, а от другой границы отнять точно такой же бесконечно тонкий слой. В конечном счете эта процедура равносильна бесконечно малому сдвигу исходного слоя в пространстве.

По аналогии с -функцией для полубесконечной среды, для слоя конечной толщины АМБАРЦУМЯН( 1943а) ввел уже две вспомогательные функции cjX^^I и , описывающие угловое распределение излучений, выходящих по разные стороны от слоя хс , когда источник расположен на одной из его границ. Через эти функции применением принципа инвариантности АМБАРЦУМЯЩ 1943а) выразил коэффициенты отражения и пропускания для данного слоя. В случае анизотропного рассеяния аналогичное выражение было получено АМБАРЦУШНОМ( 19436) через соответствующие коэффициенты W I wi м£ 5 1 i ^ разложения по полиномам Лежандра. Для последних же Амбарцумян составил систему интегро-фукциональных уравнений.

Затем ЧАНДРАСЕКАР(1947), используя характеристическую функцию "flj^, ввел функции X и У*4, заменяющие соответственно

J- VH | W, системы функций t|>. и , предопределив тем самым роль "псевдозадач" в теории анизотропного рассеяния. Х~ и У-функции

§ I 20 для слоя конечной толщины заменяют [-| -функцию для полубесконечной среды.

Наконец, С0Б0ЛЩ19696,1972) развил общую теорию и душ слоя конечной толщины, сведя все задачи анизотропного рассеяния к определению соответствующих фундаментальных резольвентных функций ф <т:,то)для данного слоя. С0Б0ЛЕВ(19696) составил и решил интегральные уравнения для cj^fcj-cj) , установив их связь с функциями X и У (т01>|).

XV* \/w и / справедлива система функциональных уравнений, аналогичных таковым для с|> и ij;-функций.

Однако, в отличие от случая полубесконечной среды, для ко

HVM

V^ WW здесь уже явные решения для Ли/ представляются недостижимыми. Вследствие этого все задачи о слое конечной толщины остаются пока неразрешенными в конечном виде.

Из явных аналитических результатов, относящихся к слою конечной толщины, особо следует отметить асимптотические решения для слоя большой оптической толщины "c0»J, выражающиеся посредством характеристик полубесконечной среды. Эти решения тем точнее, чем больше толщина слоя Т0 . Они найдены путем рассмотрения светового баланса в глубоких слоях полубесконечной среды и использования асимптотического поведения интенсивности на больших ее глубинах. Такие решения найдены для важнейших характеристик слоя в случае анизотропного рассеяния (для нулевой гармоники) . Они подробно описаны в книге СОБОЛЕВА(1972). Асимптотические решения основываются на результатах работ АМБАРЦУМЯНА(1942а, 1944а), С0Б0ЛЕВА(1956,1957,1964,1968), ван де ХШСТА( 1964,1968), ГЕРМ0ГЕН0В0Й( 1961) и других.

1.4. Пример Одномерной Среды

В этом пункте мы проиллюстрируем методы Амбарцумяна на примере простейшей задачи переноса в одномерной среде. Изложение следует работам АМБАРЦУМЯНА ( 1943а,19446) (см.также книгу СОБОЛЕВА ,1956,Гл.Ш) . а) Метод сложения слоев

Мысленно приложим друг к другу два слоя с толщинами т^и . Пусть квант падает на границу суммарного слоя толщиной (гчт ). Обозначим коэффициенты (вероятности) отражения и проа- с. пускания через г и , а интенсивности на границе прилегания слоев - через

It и I 1 r<V V)

I.

Из простых соображений типа "баланса" можно записать четыре соотношения, связывающие коэффициенты отражения и пропускания для слоя (-с^+г^ ) о таковыми для отдельных слоев ^ и г^ и величинами I :

I. Отраженный от суммарного слоя поток гСт^г^ складывается из потока, отраженного; от слоя -г, , и части потока , пропущенной слоем т:^:

П. Пропущенный слоем (т^-* т^) поток ^Г^+с^ состоит из пропущенной слоем ~с части потока Т : 1

2)

Рассмотрим теперь потоки Х^ и на границе раздела двух

§ I 22 слоев.

Ш. Поток складывается из части начального потока, пропущенной слоем ~с± и части потока I , отраженной слоем т^ :

3)

17. Поток I состоит из части потока X , отраженной от

Z. i слоя :

I^vCtoI,. W

Перейдем к решению уравнений (1-4).

Из (2), (3) и (4), исключив величины I , находим

Т 1- , (5) i-гСхЛг СО а из (I) чГ^гСхО

Г--—

1-lrOOrC-O

6)

Для слоя малой оптической толщины Jt , очевидно, имеем (для анизотропного рассеяния) r(<k) = , о(«М = d - (i-V)Jt С)

Здесь х - вероятность рассеяния кванта вперед, а (S—у) - назад.

Воспользуемся (7) и положим в (5) и (6)

§ I 23

Пренебрегая членами, содержащими , находим ск

Деля (8) на (9), имеем

9) аЛо = гАг - , откуда где С - постоянная интегрирования. Но при (полное пропускание, что соответствует ~с~0 )» отражение г-О . Поэтому c=i.

Мы игле ем

2(L-\x) у Mi-*-)

10)

Подставляя (10) в (9), находим

Ж-х)

Обозначим корни уравнения через .R и 1/R и выберем R^i (см. ниже (17),(18)) . Тогда (10) перепишется в виде

§ I 24 а уравнение (II) после интегрирования даст С r-R

1-С где

- 2ic.tr

13) а С - постоянная интегрирования. Но при "с=0 должно бытЫ= 0. Поэтому C-R7" . Итак,

I -2vctt rfel - к , "Д • (14)

1-тг:

-е

Подставляя это выражение в (10), находим для ^:

М = --—Г— • (15) f е

Из формулы (14) видно, что]? есть значение коэффициента отражения от полубесконечной среды (т:= оо) .

Формулы (14-15) представляют собой искомые решения.

Примечание.

Предыдущее решение можно было несколько упростить, положив в (б) t^ek и получив сразу уравнение (II), не содержащее б) Принцип инвариантности

Систему функциональных уравнений (5) и (6), как мы видели, удалось упростить - преобразовать к дифференциальному виду, положив для этого толщину одного из слоев бесконечно малой. Это можно сделать и минуя вывод функциональных уравнений. Найдем вероятность отражения г От) от слоя толщиной -с , добавив к нему бесконечно тонкий слой cbc . 7 гС-мАО rOc^ л

Вклад слоя dx в процесс рассеяния содержит пять членов, а именно, в слое Л<с квант либо:

I) Проскочит (l-dr ), отразится г(т) , проскочит ( i-ckc) с вероятностью rC-rKL-JLcf

2) Поглотится cfr , пройдет вглубь \у , отразится vC-c) и проскочит ( i-J-r ): с вероятностью \xrC-e) (1

Г/Ш

3) Проскочит (i-cix), отразится rCt) , поглотится Лх и испустится из среды: X с вероятностью

4) Поглотится и испустится обратно У 1-х) веР0ЯТН0СТЬЮ

Pv /у \ (1- у) Л-с

5) Проскочит ( 1 - Хт ), отразится г Ос) , поглотится кг , рассеется обратно ^((-х') , снова отразится гб:) и проскочит (1-1с) с вероятностью

Суммарный вклад этих членов должен равняться у 6сч-<Алг). Отсюда следует дифференциальное уравнение Риккати Ш-xl гЪ + -ДМ, бЬс

16) решение которого и определяет искомую функцию Кт) (см. (14)) .

Для коэффициента отражения 5 от полубесконечной среды, Т.—&0 , полагаем и из (16) получаем квадратное уравнение (12)

I?) с "физическим" решением

Xе-Г-ТТ-Т--(18)

Примечание

Для слоя конечной толщины принцип инвариантности подразумевает также отнятие слоя сзади от рассматриваемого слоя т .

Тогда для г(т) можно составить еще одно, дополнительное соотношение, содержащее, однако, коэффициент пропускания С^Ь) :

Arte) W/ . о AU-xl^C-r). (19)

Сравнивая дифференциальные уравнения (16) и (19), снова приходим к алгебраическому соотношению (10): гНкГ"'

Теперь возникает необходимость установления дополнительных соотношений для определения с^. Добавлением спереди или отнятием сзади от среды бесконечно тонкого слоя приходим к одному и тому же соотношению: сводящемуся к уравнению (8).

Мы видим, что использование принципа инвариантности для слоя конечной толщины не избавляет нас от решения, по крайней мере, одного нелинейного дифференциального уравнения (8).

§ 2. КРИТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

В § I мы отметили наиболее плодотворные, на наш взгляд, методические разработки современной теории переноса для плоскопараллельной среды. Стержневыми в них служили методы Амбарцумяна и общая теория Соболева. Наряду с безусловными преимуществами, возводящими их в ранг фундаментальных, этим методам присущи свои недостатки. На них мы и хотим обратить внимание в этом параграфе, так как их полное или частичное устранение является одним из результатов нашего исследования.

Классическое рассмотрение задачи переноса опирается на исследование интегро-дифференциального уравнения относительно интенсивности X ; для изотропного случая (см.Гл.1) оно имеет вид

I) с соответствующими граничными условиями), или эквивалентного интегрального уравнения относительно» функции источников В :

3 fc)« \ $K(hr-H:lM& - 9W . (3) О

Здесь индикатриса рассеяния, - распределение первичных (истинных) источников внутри данной области (0,т0 ),

KfcW Cf^iL (4)

J I i

- интегральная показательная функция.

В общем случае задача переноса является краевой задачей и ее решение (скажем, численное) сводится к решению последовательности краевых задач - путем переходов от данной области (с условиями на ее границе) к меньшей области, с принятием каждый раз в качестве новых краевых условий уже найденных решений на границе новой подобласти (источники вне новой области уже не играют роли).

Как и во всякой краевой задаче математической физики, вышесказанное подразумевает единственность решения уравнения переноса, а точнее, равносильно условию единственности при (см. теорему о единственности в книге КЕША,ЦВАЙФЕЛЯ,1972).

Иногда такую постановку краевой задачи ошибочно называют принципами инвариантности (см., например, формулировку "общего принципа инвариантности" ЯН0ВИЦК0Г0,1979) . На самом деле, смысл принципа инвариантности заключается в установлении дополнительного условия о том, что новая область, в результате геометрических преобразований, оказывается идентичной старой и описывается исходным решением 1 , либо явно выражается через это решение (примеры принципа инвариантности для полубеоконечного слоя и слоя конечной толщины, "инвариантного погружения" для среды произвольной формы).

Прямые методы решения задачи (1-2) состоят в дискретизации интеграла (2) по направлениям (с соответствующими усреднениями) и сведении задачи к системе алгебраических уравнений с постоянными коэффициентами. Таковы фактически методы Эдщингтона (усреднение угловых множителей), Шварцшильда-Шустера (усреднение интенсивности в двух направлениях и сведение задачи к одномерной) и метод дискретных ординат Чандрасекара (усреднение интенсивности с весами; узловыми точками здесь служат корни полинома Лежандра). Большое распространение нашли методы численного моделирования процесса переноса на быстродействующих электронных машинах (методы Мо нте-тКарло).

Из специальных аналитических методов отметим следующие: метод ВИНЕРА -Х0ПФА(1931) решения уравнения (3); метод сведения задачи к сингулярным линейным интегральным уравнениям (СОБОЛЕВ, 1949) и их решение методом Карлемана; метод обобщенных сингулярных функций КЕЙЗА (КЕЙЗ ,ЦВАЙйШ>,1972) . В случае полубесконечной среды каждый из них приводит к точному и явному решению задачи.

Существующие в теории переноса методы решений задач в слое конечной толщины по своим аналитическим предпосылкам можно классифицировать в две группы: а) Методы, обходящиеся расчетами характеристик только для рассматриваемого слоя данной толщины х0 : поиск решений производится путем перехода от одних глубин т: данного слоя к другим его глубинам. б) Методы, использующие связь с другими слоями также конечной оптической толщины. Здесь поиск решений ведется путем вариации границы - наращивания толщины, обычно, переходом от тонких слоев к толстым.

В обоих случаях строится последовательность вспомогательных задач, сводящая общие задачи к более частным. (Тогда вышесказанное относится к расчетам вспомогательных характеристик данного слоя). При этом опять возникает необходимость многократного решения некоторых интегральных или интегро-дифференциальных уравнений - либо для каждого отдельного слоя, либо при каждом переходе от одного слоя к другому, на стыке слоев.

Главная особенность всех этих методов в том, что из-за отсутствия аналитических решений, последовательность указанных переходов должна целиком осуществляться численным образом. Это обстоятельство, в свою очередь, ограничивающее анализ окончательных решений, представляется существенным недостатком, присущим всем без исключения известным строгим методам, развитым для слоя конечной толщины.

Практические расчеты для слоя конечной толщины нуждаются в составлении обширных таблиц резольвентной функции для различных -г: и ~со , или и для различных т0 и ^ . Такую работу провели, например, БЕЛЛМАН,КАГИВАДА,ШАБА (1966а,19666) ; БШМАН,ШАБА,ПРЕСТР7Д(1963); КАГИВАДА,КАЛАБА (19666,1967); КАГИВАДА,КАЛАБА,УЭН0(1975); КАРЛСТЕД,МАЛЛИКИН (1966); К0ЭЩ1969); МАЙЕРС(1962); НАГИРНЕР(1973); СОБОЛЕВ,МИНИН (1965); С0Б0УТИ(1963); ЧАЦЦРАСЕКАР,ЭЛБЕРТ(1952); ШУЛТИС(1971) и другие. В то же время использование на практике подобных подробных и громоздких таблиц сопряжено с серьезными трудностями.

Отметим, наконец, недостатки асимптотических решений для слоя большой толщины. Они известны не для всех характеристик слоя, поскольку их выводы не обладают общностью и не лишены искусственности. Асимптотики справедливы только для ограниченных значений углового аргумента (как обычно, ^(ОД) ), и не обладают аналитическими свойствами в обычном смысле. Их погрешность велика и растет с ростом вытянутости индикатрисы рассеяния. Асимптотические решения известны, понятно, только для усредненных по азимуту величин - вследствие грубости отмеченного приближения "очень больших" толщин.

2.1. Принцип Инвариантности

Роль принципа инвариантности в теории переноса трудно переоценить. Он вскрывает принципиальные возможности исследования внешних полей излучения без знания поведения внутренних световых полей. Главные достижения принципа инвариантности для полубесконечной среды, в первую очередь, относятся к аналитическим аспектам теории.

Характерным недостатком всех работ по применению принципа инвариантности нам представляется некая искусственность его конкретной реализации. В кадцой отдельной задаче приходится детально расписывать процессы, отвечающие рассеяниям нулевого и первого порядков в добавляемом бесконечно тонком слое, что порой (в многомерных задачах) связано с громоздкими выражениями, и повторять в "первозданном" виде соответствующие выкладки и преобразования, приводящие к окончательным уравнениям, следуя примерам уже решенных задач. Мы подчеркиваем, что в литературе отсутствует четкий и компактный математический аппарат "инвариантности", приводящий к общему описанию окончательных соотношений, достижимых соображениями типа инвариантности.

Другие аспекты применения принципа инвариантности (при надлежащем его развитии) касаются возможности непосредственного изучения внутренних световых полей в среде. Этот вопрос нам представляется на данном этапе дискуссионным и ответ на него может быть получен только при наличии существенных аналитических достижений в этом направлении.

Что касается применений принципа инвариантности для слоя конечной толщины, то они оказываются менее эффективными, чем для случая полубесконечной среды. Это, конечно, обусловлено трудноеаналитического исследования задач о слое конечной толщины. По этой же причине приложения принципа инвариантности для слоя конечной толщины в общем сводятся к вычислительным задачам теории.

Принцип инвариантности сводит задачу для конечного слоя, вообще говоря, к нелинейному интегро-дифференциальному уравнению (типа Риккати) по толщине слоят:0 (речь идет о задачах, более общих, чем задача об отражении), решение которого подразумевает последовательное наращивание толщины слоя бесконечно малыми шагами и выражение характеристики искомого слоя через характеристики слоев с меньшими толщинами. В конечном итоге, требуется предварительное вычисление характеристик всех слоев с меньшими толщинами.

Идея принципа инвариантности нашла чрезвычайно широкое распространение в так называемых методах "инвариантного вложения" или "инвариантного погружения" (БЕЛЛМАН и др.,1956-1969). Такое название объясняется тем, что "инвариантный сдвиг" среды удобнее описать мысленной процедурой последовательного выделения из бесконечной среды двух идентичных сред на расстоянии сдвига. Удобство такого представления особенно проявляется в случае среды с границей сложной формы.

2.2. Методы Наращивания Слоев

Поскольку, в конечном счете, решение задачи о слое конечной толщины с самого начала должно осуществляться численным способом, то сравнительно эффективнее выглядят методы наращивания толщины слоя не бесконечно малыми, а конечными шагами. Суть этих методов состоит в последовательном выражении характеристик более толстого слоя посредством характеристик более тонких слоев. В их основе лежат соотношения (I.I-I.4) метода сложения слоев Амбар-цумяна.

Очевидно, что соображения (1-1У) § 1.4, приводящие к указанным соотношениям, носят весьма общий характер и справедливы для многомерных задач, а не только одномерных; при этом достаточно соотношения (I.I-I.4) интерпретировать как операторные. Например, при монохроматическом рассеянии в трехмерной среде они запишутся в виде (прямопрлетную составляющую мы не выделяем): L Кт^^К > (5) о ' 1

6) 1 Н ^ ^ > 1 J г ^ ^ ^ г ^ > о i

7)

8)

Но теперь они должны рассматриваться уже как система интегральных уравнений относительно г и

Кстати, соотношения (5-8) в литературе получили название соотношений инвариантности. ЧАНДРАСЕКАРА(1953), а соображения баланса 1-ГУ - принципов инвариантности Чандрасекара (соответственно 1У, Ш, I и П).

Зная 'г и ^ при толщинах слоя т^ и т2 , можно определить их значения при толщине ("^^"С^). Очевидно, наискорейший рост D

§2 34 толщины совершается путем ее удвоения (тг^тг2) . Такой метод удвоения слоев развили ван де ХШСТ( 1963) ,ХАНТ,ГРАНТ( 1969),ХАНСЕН (1969) и другие. Технически его несколько усовершенствовал ( в применении к определению внутренних полей) ЯН0ВИЦКИЙ(1979).

Заметим, что для решения системы (5-8) нужно сначала решить пару уравнений (7-8) с ядром v , представляющим собой коэффициент отражения от слоя конечной толщины, зависящим от толщины а затем - пару (5-6) с ядрами и [ , зависящими (в методе удвоения) от трех аргументов.

Недостаток методов наращивания слоев мы видим в том, что подобное решение системы двух пар уравнений (5-8) необходимо при каждой операции наращивания толщины слоя, причем ядро v*(Tx) каждый раз меняется и, подчеркиваем, строится численно.

Аналогичные методы наращивания слоев нашли весьма широкое применение в теории переноса и считаются сейчас, наиболее эффективными для исследования задачи о слое конечной толщины (см.,например, ЯН0ВИЦКИЙ,1982). Любопытно, кстати, что методы, аналогич^ ные методу сложения слоев, использовались еще СТ0КС0М(1852,1904) в задачах о распространении света через стопку пластинок, и ДАР-ВИН0М(1914) - в задаче о дифракции рентгеновских лучей в идеальных кристаллах (см. также ПИНСКЕР,1978; ВАРДАНЯН,МАНУКЯН, 1981).

2.3. Общая Теория Соболева

Суть общей теории В.В.Соболева состоит во введении резольвентной функции интегрального уравнения (3): С KC-0+ ^СМОфах.Ш о; и выражении через нее резольвенты ГС^^-Ч»)

О I

10) общего уравнения, описьшающего решение при произвольном распределении ^ внутренних источников. (Заметим, что ф^-с^ ГС^О,^-) ).

Резольвенту фС^ч) можно определить и из интегрального уравнения типа

---- т. т ° (П) о где 2 i если известны Х- и /-функции Амбарцумяна-Чандрасекара.

Трудности общей теории Соболева мы усматриваем в процедуре численного интегрирования (10) по глубине -с для определения Г&'-с -ц,") и последующего вычисления функции источников по формуле х0

ЪС^о) ^С-с) + ^ ^(-Bi-t ? (13) о не говоря уже о том, что предварительно надо решить также "глубинное" интегральное уравнение (9) или (II) для фОц'О.

Функцию источников можно определить также интегрированием по глубине *с о

-г-4:

-y^W^-v-v 5 л

14) если предварительно найти

Х~ и ^-функции, либо по выражениям о о при известной функции фб^То) при всех т , либо из системы функциональных уравнений Амбарцумяна i А rV i z-l i6) методом итераций.

Словом, в общей теории Соболева нужно несколько раз "пропахать" слой ~са по всей его глубине т , причем численным образом! Положительным обстоятельством при этом является то, что толщина слоя то везде служит параметром. Для полубесконечной среды аналогичные уравнения существенно упрощаются и решаются в явном аналитическом виде.

2.4. Метод Псевдозадач

Для изложения идеи общей теории Соболева выше мы рассмотрели случай изотропного рассеяния. Переход к аналогиям для анизотропного рассеяния осуществляется нижеописываемым "методом псевдозадач".

Задачи переноса наиболее просты для модели изотропного рассеяния в силу того обстоятельства, что при каждом акте рассеяния квант "забывает" направление своего первоначального полета. В § 1.2 мы описали тот путь, на котором в более сложной ситуации -для анизотропного рассеяния, удалось добиться существенного продвижения в теории. Именно, В .А .Амбарцумян предложил разложения по полиномам Лежандра, СЛандрасекар ввел характеристическую функциюTJT™, а В.В.Соболев построил общие преобразования, сводящие задачу анизотропного рассеяния к серии независимых "псевдозадач", по своей структуре схожих с задачами изотропного рассеяния. Благодаря этому, решение анизотропных задач становится фактически равноценным решению некоторого количества простейших задач типа изотропных.

Указанные преобразования Соболева производятся над угловыми переменными и не затрагивают толщины слоя. В этом смысле они являются общими, в равной мере применимыми для слоя произвольной толщины, как конечной, так и бесконечной.

Наряду со столь замечательным достижением, соответствующие преобразования Соболева лишены физического содержания. По этой причине решение задач анизотропного рассеяния сопряжено с громоздким формализмом, не поддающимся, в отличие от изотропного случая, наглядному осмыслению. Последнее, как правило, придает компактность и ясность выводам и результатам, что в известной мере стимулирует аналитическое продвижение в теории. Нам кажется, будь эти преобразования "физичнее", они скорее нашли бы достойное использование и в других областях математической физики.

§ 3. ЦЕЛЬ И СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Поскольку задачи переноса для полубесконечной среды служат частными случаями задач о слое конечной толщины Тг, (когдачг-?><и>) и, следовательно, являются несравненно более простыми - вплоть до того, что их решения удается найти в аналитическом виде, то наиболее эффективным путем исследования задач о слое конечной толщины нам представляется подход, заключающийся в их непосредственном сведении к задачам для полубесконечной среды.

Реализация такого подхода в принципе возможна. Для этого добавим к исследуемому слою конечной толщины не бесконечно тонкий слой, как это делается при практическом использовании принципа инвариантности, или другой слой конечной толщины, как в методе сложения слоев, а бесконечно толстый слой - поочередно, к обеим границам исходного слоя. Поскольку как добавляемые, так и суммарные слои являются полубесконечными, то тем самым мы установим некие (линейные) связи между искомыми характеристиками слоя конечной толщины и соответствующими характеристиками полубесконечной среды.

В разработке этой идеи - сведения конечных задач к полубесконечным - как метода исследования задач переноса в плоском слое конечной толщины и состоит главная цель настоящей работы. Для ее полного достижения мы вынуждены обратиться к вспомогательному исследованию полубесконечных задач. Последнее, однако, благодаря своей результативности и методической новизне приобретает в работе также самостоятельное значение.

Во всем исследовании мы стремимся к максимальному продвижению в аналитическом аспекте. Само собой разумеется, конец каждого аналитического пути может служить базой для дальнейших вычислительных методов.

Изложение принципиальных положений теории проводится в операторном виде, справедливом в общем случае - многомерных (линейных) задач, без ограничений, в частности, на индикатрису рассеяния. Конкретные аналитические выводы в конечном виде удается получить в случае монохроматического рассеяния в однородном слое.

Модель элементарного акта рассеяния и постановка задачи обсуждаются в Главе I. Здесь проводится четкое разделение внешней и внутренней задач (с учетом их двойственности, порождаемой принципом обратимости оптических явлений) при произвольном распределении первичных источников (поглощенных и летящих первичных квантов) . Такая общность постановки задач фактически выдерживается на протяжении всего их исследования.

Основная цель Главы I состоит во введении модели "псевдоиндикатрисы" рассеяния.

Как известно, решения задач переноса наиболее просты в модели изотропного рассеяния и принципиально усложняются в анизотропном случае. Можно указать, однако, модель, как бы промежуточную между случаями изотропного и анизотропного рассеяний. Это - индикатриса, хоть и не сферическая (а произвольной формы), но и не зависящая от направления первоначального полета кванта до акта рассеяния.

Правда, модель псевдоиндикатрисы физически нереальна, но она допускает столь же простые аналитические решения, как и сферическая индикатриса. Служа математическим обобщением модели изотропного рассеяния, она придает свежую окраску всему исследованию и, в частности, уже известным результатам. Главное же назначение модели псевдоиндикатрисы состоит в том, что с ее помощью все результаты для изотропного рассеяния удается тривиальным образом распространить на общий случай анизотропного рассеяния. Этому существенно способствует наглядность "физических" соображений, которую приобретают все соотношения в рамках этой модели.

3.1. Метод Сведения (слой конечной толщины)

Изложение метода сведения, состоящего в добавлении к рассматриваемому слою конечной толщины последовательно справа и слева полубесконечной среды, дается в Главе П. Ей в диссертации отводится главенствующая роль.

Сначала на примере одномерной среды (§ 9), а затем в общем случае многомерных линейных задач (§ 10), из физических соображений записываются основные соотношения, устанавливающие искомые связи между решениями конечных и полубесконечных задач.

Для внешних решений методом сведения мы получаем два независимых соотношения - линейные уравнения, алгебраические в одномерном случае, и интегральные типа Фредгольма П рода для многомерного случая. Для внутренних же решений методом сведения устанавливается их явное выражение через более частные - внешние решения для этого же слоя. Этй~три основных соотношения служат в качестве отправных для наших дальнейших исследований.

В § II рассматривается конкретный случай монохроматического анизотропного рассеяния в трехмерном плоско-параллельном слое. Из физических соображений записываются основные уравнения метода сведения в общей постановке задач и иллюстрируются на различных частных задачах. Обсуждается структура этих уравнений и дается решение в случае вырожденного ядра, отвечающее общему классу асимптотических решений.

Существенным преимуществом метода сведения является то,что толщина слоя тг0 в основных уравнениях служит парметром (по ней не проводится ни интегрирование, ни дифференцирование). Кроме того, в роли параметра выступает также распределение первичных источников, в частности, глубина тг в задаче о точечном источнике, и направление - в задаче о мононаправленном источнике. Более того,, все детальные характеристики элементарного акта рассеяния (альбедо однократного рассеяния, форма индикатрисы и т. д.) в основных соотношениях явно не фигурируют - зависимость от них содержится в неявном виде в решениях соответствующих полубесконечных задач.

Эти особенности делают метод сведения весьма эффективным для численного решения задач о конечном слое. Дискретизацией интеграла по угловому аргументу на интервале (0,1) задача сводится к решению друх отдельных систем линейных алгебраических уравнений с постоянными коэффициентами. При этом чрезвычайно важной представляется возможность установления непосредственной связи с соответствующей полубесконечной задачей задачи о слое конечной толщины в каждой ее данной постановке.Вследствие этого отпадает необходимость рассмотрения каких бы то ни было вспомогательных чабтных задач и вспомогательных функций как таковых (в том числе и функций Грина) для слоя конечной толщины, обязательных во всех известных методах решения конечной задачи (см. § 2). При этом, конечно, процедура сведения более общих решений к вспомогательным (частным) сохраняется за полубеоконечной средой, что непринципиально, ввиду возможности их проведения аналитическим путем. Для слоя же конечной толщины эту процедуру пришлось бы осуществлять численным образом.

На этом в принципе можно было бы и остановиться: мы считаем,

1 I

§ 3 42 что метод сведения - наиболее эффективный среди всех известных путей строгого численного решения (линейной) задачи о переносе в плоском слое конечной толщины. Но явные преимущества метода сведения позволяют надеяться на дальнейшее аналитическое продвижение, по крайней мере, в случае монохроматического рассеяния. В этом и состоит последующая цель Первой Части диссертации.

Необходимо все же оговориться, что метод сведения применим только для решения линейных задач переноса ввиду использования в нем соображений типа суперпозиционных (складывание вероятностей) . Метод сведения совершенно непригоден для нелинейных задач, в то время как здесь успешно работает принцип инвариантности АМБАРЦУШНА( 1964,1966). Поэтому в § 12 обсуждается другой подход к решению нелинейных задач, близкий по духу к идеям инвариантности Амбарцумяна. Здесь вводятся полугрупповые соотношения, которым удовлетворяет поверхностная функция Грина слоя конечной толщины (в задаче об освещении слоя снаружи) и для полубесконечной среды. Полугрупповые соотношения можно записать как для нелинейных, так и, в частности, для линейных задач.

Для линейных полубесконечных задач групповой подход представляет собой отличную базу их эффективного исследования. На этом (линейном) полугрупповом аппарате будет основано содержание Главы И о полубесконечной среде, излагаемое, кстати, независимо от нелинейных задач. Что касается линейных задач о слое конечной толщины, то, хотя для них и справедливы полутрупповые соотношения, наиболее эффективным все же остается метод сведения.

3.2. Полугрупповой Аппарат (полубесконечная среда)

В методе сведения все характеристики полубесконечной среды

§ 3 43 считаются известными. В частности, одной из таких характеристик является поверхностная функция Грина полубесконечного слоя, служащая ядром ( Н ) основных уравнений метода сведения. Поскольку исследование этих уравнений сводится к изучению свойств их ядра 2 » то мы обращаемся к рассмотрению полубесконечных задач (хотя они и считаются хорошо изученными). При этом для наших целей достаточно ограничиться исследованием только поверхностной функции Грина, описывающей внешнее решение для полубесконечной среды. Этому посвящена Глава Ш, которой по идее в диссертации была предназначена вспомогательная роль.

Применяя процедуру добавления к конечному слою полубесконечного, непосредственно из определения функции Грина автоматически устанавливаются и ее групповые свойства (§ 13), рекуррент-но связывающие ее значения на разных оптических глубинах. Соответствующие полугрупповые соотношения для функции Грина служат в наших исследованиях отправными для вывода дальнейших аналитических соотношений в задачах о полубесконечной среде. Они могут быть непосредственно использованы также в вычислительных целях (§ 14) .

В частности, из полугруппового соотношения следуют: две новые дифференциальные формы уравнения переноса на половинном отрезке, выражение восходящей интенсивности через нисходящую,очень важное соотношение коммутативности. Последнее в тех случаях,когда квант "забывает" предысторию акта рассеяния (например, для псевдоиндикатрисы), сразу приводит к разделению угловых переменных в функции Грина ^простому алгебраическому выражению посредством функций F иР, зависящих от одной угловой переменной.

Функции F и F играют фундаментальную роль во всем нашем исследовании и подробно изучаются в § 14. Здесь указывается их физический смысл, устанавливается ряд свойств и выводятся рекуррентные соотношения для вычисления этих функций. Выражение с их помощью поверхностной функции Грина представляется наиболее удобным путем вычисления последней. Тем самым решается вопрос определения ядерной функции основных уравнений метода сведения.

В свою очередь, из полугруппового соотношения сразу следуют явные выражения для множества точных интегралов, содержащих характеристики полубесконечной среды. Это - интегралы от произведения функций Грина, явные и точные значения которых фактически находятся из физических соображений. В различных частных и асимптотических случаях они приводят к интересным соотношениям, используемым во всем дальнейшем исследовании. Некоторые из них в случае изотропного рассеяния представляют собой известные классические результаты.

Во всех этих выводах важную роль играет вводимое нами понятие оператора инвариантности G" . С помощью этого оператора записываются также уравнения инвариантности, описывающие внешние решения полубесконечных задач с частными распределениями первичных источников, фактически решаемых с помощью принципа инвариантности Амбарцумяна. Такой аппарат инвариантности изложен в § 15 для общих линейных задач переноса, а следующие отсюда более конкретные аналитические результаты выводятся для модели псевдоиндикатрисы .

Они обобщают и расширяот множество классических результатов, известных для случая изотропного рассеяния. Полученные в Главе Ш результаты существенно используются в Главах 17 и 7 для вывода высокоточных аналитических решений задачи о слое конечной толщины.

В § 16 указываются возможности распространения полугруппо

§ 3 45 вого аппарата на пространственную функцию Грина, описывающую внутренние решения для полубесконечной среды. Для слоя конечной толщины аналогичный вопрос затрагивается в § 26.3.

3.3. Аналитические Результаты (слой конечной толщины)

После того, как изучены свойства и структурв ядра основных уравнений метода сведения, определяющих характеристики конечного слоя, мы переходшл к исследованию их решений. Это делается в Главе 1У для модели псевдоиндикатрисы рассеяния.

Сначала даются преобразования основных уравнений, приводящие, кстати, к различным точным соотношениям (интегралам) теории переноса для слоя конечной толщины. В частных случаях они переходят в классические Ц-и ^-интегралы. Некоторые из них выражают интегралы теории переноса принципиально нового типа (см.также § 27).

Указанные преобразования имеют целью выразить неизвестные решения через функцию F , для которой из физических соображений устанавливается весьма точное описание (в отличие от F ) ее асимптотическим поведением.

Такое приближение, используемое в основных уравнениях только под знаком интеграла на интервале (ОД), позволяет решить их в аналитическом виде (§17) ив результате явным образом, посредством простых выражений, записать решения для слоя конечной толщины через решения (уже известные из Главы Ш) соответствующих задач для полубесконечной среды. Точность этих решений для слоя произвольной толщины чрезвычайно высока - в худшем случае их погрешность не превышает долей процента. Причем эти решения справедливы на всей комплексной плоскости углового аргумента yi , что

§ з 46 весьма важно для их анализа. В частности, при v^oa они переходят в высокоточные аналитические решения задачи о среднем числе рассеяний кванта в слое конечной толщины.

В § 18 обсуждаются различные приближенные формы высокоточных аналитических решений. В частности, они содержат в себе "загадочное" решение Ямамото, долгое время подозреваемое в качестве точного, и общий класс обычных асимптотических решений для оптически толстого слоя.

Полученные нами аналитические решения могут быть улучшены ( § 20) с использованием более точного асимптотического приближения для функции F . Последнее позволяет также сделать оценки погрешности высокоточных аналитических решений.

Что касается задач с общим законом анизотропного рассеяния, то в принципе их решения соответствующими преобразованиями Соболева ( § 21) сводятся к неким псевдозадачам, более простым по структуре - типа изотропных. Однако, как отмечалось, эти преобразования, к сожалению, носят формальный характер и лишены физического со держа, ния.

Выводы же предыдущих Глав полностью опирались на физические соображения (метод сведения, его основные соотношения или уравнения, групповые соотношения, аппарат инвариантности, идея приближенных аналитических решений и т.д.). Так что, без помощи физических соображений, переход, например, от соотношений, связывающих решения конечных и полубесконечных задач, к соответствующим аналогам - для азимутальных гармоник, т.е. к псевдозадачам, представляется весьма затруднительным и, видимо, сопряжен с чрезвычайно громоздкими математическими преобразованиями.

Обойти такое затруднение нам удается с помощью введенной модели псевдоиндикатрисы. В § 21 мы покажем, что псевдоуравнения

§ 3 47 переноса Соболева-Чандрасекара допускают именно такую "физическую" интерпретацию, то есть каждая гармоника отвечает выбору модели псевдоиндикатрисы конкретной формы IjT^Cпоэтому мы обозначаем псевдоиндикатрису той же буквойТ|Г ). Тогда мы сможем непосредственно, из простых соображений записать аналогичные соотношения для отдельной азимутальной гармоники.

Таким путем мы сможем тривиальным и физически осмысленным образом распространить результаты, относящиеся фактически к изотропному случаю, на случай общего закона анизотропного рассеяния. Определяющую роль при этом играют указанные преобразования Соболева к псевдоуравнениям и обратно, и мы считаем, что в принципе эти результаты могли бы быть выведены и формальным путем, обходящим физические соображения.

Примечательно, что определенный смысл всем псевдозадачам придать все же можно, и это следует считать немалым достижением. Тем самым вносится некоторая ясность в так называемую проблему Чандрасекара - о физической стороне связи псевдозадач с задачами анизотропного рассеяния. Во всяком случае при этом достигается краткость и наглядность выводов и результатов теории анизотропного рассеяния.

Глава У как раз и посвящена распространению аналитических результатов, полученных в предыдущих Главах для модели псевдоиндикатрисы, на случай общего закона анизотропного рассеяния. В особенности это касается высокоточных аналитических решений, найденных в Главе 17. Интересно, кстати, что с ростом вытянутос-ти индикатрисы точность этих решений возрастает.

В сущности, Главы 17 и У диссертации содержат наиболее глубокие аналитические результаты теории монохроматического рассеяния в плоском слое.

§ 3 48

Наличия столь точных аналитических решений, на наш взгляд, вполне достаточно для практических целей в виду того, что сама модель уже - однородный плоско-параллельный слой, монохроматическое рассеяние - слишком идеализирована. Вследствие этого следует считать излишними разработки разных численных методов ( в том числе и предлагаемых нами) и работы по табулированию всяких вспомогательных функций для слоя конечной толщины в случае монохроматического рассеяния.

3.4. Дополнения и Приложения

Следующая Глава УТ посвящена приложениям метода сведения и аппарата инвариантности к другим задачам теории переноса. Здесь указываются перспективы развития аппарата в этих более специальных направлениях.

В § 25 метод сведения применяется к решению одномерных задач в анизотропной среде и о среднем числе рассеяний кванта в среде конечной толщины. Интересно, нто метод сведения может быть использован и для решения задачи о критической толщине слоя.

В § 26 намечаются пути развития аппарата инвариантности в задачах о некогерентном рассеянии, неоднородной среде, в слое конечной толщины и в сферическом слое.

В § 27 обсуждаются некоторые специфические особенности задачи монохроматического рассеяния в слое конечной толщины - о представлении функции источников, о независимости решений от коэффициентов разложения в ряд по полиномам Лежандра в случае консервативного анизотропного рассеяния, об интегралах уравнения переноса. Решается задача переноса в слое, примыкающем к отражающей поверхности с законом отражения типа "псевдоиндикатрисы" и указывается возможность получения высокоточных аналитических решений в этом случае. Здесь все выводы существенно используют метод сведения.

В § 28) демонстрируются применения метода сведения и полугруппового аппарата на классическом примере дискретных случайных блужданий на одномерной решетке. Наш подход представляется наиболее элементарным среди всех известных в литературе методов решения этой задачи.

В то время как метод сведения для конечного слоя применим только к линейным задачам, полугрупповые соотношения Главы Ш действительны и эффективны для исследования также более общих -нелинейных задач, причем не только для полубесконечной среды ( § 29), но и ( это важно!) для среды конечной толщины. Сказанное иллюстрируется в Главе УП на примерах монохроматического и полихроматического рассеяний.

Эта Глава ни в коей мере не претендует на полноту исследования нелинейных задач, а имеет целью лишь установление (§ 30) интересных аналогий мевду задачами нелинейной теории переноса и теории взаимодействующих квантованных полей. В последнем случае математический аппарат основывается на так называемой ренормали-зационной группе, идентичной введенной выше полугруппе. Не исключено, что в этих аналогиях кроются и более глубокие физические основания, могущие пролить свет на существо процессов, происходящих в столь далеких друг от друга областях физики (§ 31) . Такой параллелизм процессов демонстрируется на примере аналогий между диаграммами, отвечающими применению принципа инвариантности Ам-барцумяна, и диаграммами Фейнмана для рассеяния электрона на потенциале. В § 32 обсуждаются возможности использования полутруп-повых соотношений в задачах из других дисциплин (в нелинейной ме

§ 4 50 ханике, экологии) и понятие функциональной автомодельности Д.В. Ширкова в связи с представлением об универсальности уравнений ренормализационной группы.

В Заключении подытоживаются основные выводы и результаты нашего исследования и отмечаются перспективы их использования.

§ 4. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

4.1. Основные Результаты а) ^ля многомерных линейныхзадачослое конечнойтощины.

1. Предложен новый метод исследования задач линейной теории переноса в слое конечной толщины - метод сведения их к более частным задачам для полубесконечной среды.

2. Установлено явное выражение внутренних решений для слоя конечной толщины (с произвольными источниками) через решения двух более частных задач - внешнее решение для этого же слоя и внутреннее решение для полубесконечной среды.

3. Установлены точные линейные соотношения (основные уравнения метода сведения) между внешними решениями задачи для слоя конечной толщины и соответствующими решениями для полубесконечной среды. В одномерном случае это - линейные алгебраические уравнения, в многомерных - интегральные уравнения Фредгольма II рода.

4. Предложен метод численного решения задачи о слое- конечной толщины, основанный на обращении систем линейных алгебраических уравнений, следующих дискретизацией основных уравнений метода сведения.

§ 4 51

5. Показана высокая эффективность метода сведения и установлены его преимущества как для численного решения задачи о слое конечной толщины, так и для аналитических исследований.

6. Установлены групповые свойства и, в частности, полугрупповое (рекуррентное) соотношение для функций Грина полубесконечной среды.

7. Установлены важные следствия из полугруппового соотношения, в частности, оператор инвариантности, соотношение коммутативности, новые формы уравнения переноса.

8. Построен компактный аппарат инвариантности в смысле Ам-барцумяна для решения задачи со специальными распределениями первичных источников в полубесконечных средах.

9. Дана наглядная физическая трактовка всех вышеустановлен-ных результатов. б) Для зацач с мо н охроматиче ским рас с еянием

10. Введено понятие псевдоиндикатрисы - модели полного перераспределения по направлениям, позволяющая тривиальным и физически осмысленным образом распространить все результаты, относящиеся к случаю изотропного рассеяния, на случай анизотропного рассеяния - в рамках преобразований Соболева. Последующие результаты получены для этой модели.

11. Из уравнений метода сведения получен общий класс асимптотических решений для слоя большой оптической толщины, как для внешних, так и для внутренних решений.

12. Проведено разделение угловых переменных в поверхностной функции Грина полубесконечной среды, определяющей ядерную функцию основных интегральных уравнений метода сведения. Получено её явное выражение через функции Р и F одной угловой переменной, служащие характеристиками полубесконечной среды.

13. Установлена фундаментальная роль функций V и р во всех задачах переноса и их решениях. Знания этих функций достаточны для решения всех задач как для полубесконечной среды, так и для слоя конечной толщины. Исследованы свойства этих функций.

14. Установлено множество точных интегралов (в том числе сингулярных), содержащих произведение функций Грина для полубесконечной среды, в частных случаях являющих собой известные классические результаты.

15. Составлены и решены уравнения инвариантности для модели псевдоиндикатрисы рассеяния, в изотропном случае представляющие собой известные классические решения.

16. Установлено рекуррентное соотношение для функций F и F , служащее эффективным путем их численного определения и дальнейшего определения поверхностной функции Грина по его явному выражению.

17. Из физических^соображений установлена высокая точность приближения функции Rfc,^ ее асимптотическим поведением .(в отличие от F ) при всех значениях аргумента т . Дано численное обоснование этому утверждению.

18. Найдены высокоточные (приближенные) аналитические реше-' ния задач для слоя конечной толщины, выражающиеся посредством соответствующих решений для полубесконечной среды. Эти решения справедливы на всей комплексной плоскости углового аргумента с точностью до нескольких долей процента.

19. Исследованы частные и приближенные формы этих решений.

В очень частной задаче они переходят в известное "загадочное" решение Ямамото, долгое время подозреваемое в качестве точного.

20. Исследованы асимптотические формы высокоточных аналитических решений при больших толщинах, приводящие к общему классу асимптотических решений, в частных случаях известных при изотропном рассеянии.

21. Делается утверждение, что знания высокоточных аналитических решений вполне достаточно для практических целей из-за их высокой точности и ввиду идеализированности задачи о монохроматическом рассеянии в однородном плоско-параллельном слое конечной толщины. При этом отпадает надобность в каких бы то ни было вычислитель ных методах решения этой задачи.

22. Установлен ряд точных интегралов и "квазиинтегралов" теории переноса в слое конечной толщины. Выявлен ряд "инвариантных" особенностей задачи анизотропного рассеяния (например, независимость решений от коэффициента х^ разложения индикатрисы по полиномам Лежандра). в) В задачах анизотропного рассеяния:

23. Установлены основные соотношения метода сведения и их следствия для каждой азимутальной гармоники в задаче о слое конечной толщины.

24. Для каждой азимутальной гармоники установлены полугруп- . повые соотношения и все следующие из них результаты в задачах рассеяния в полубесконечной среде.

25. Высокоточные аналитические решения распространены на случай нулевой гармоники (усредненной по азимутальному направлению) характеристик для слоя конечной толщины.

26. Устанавливаются высокоточные аналитические решения для высших гармоник в задаче о слое конечной толщины.

27. Всем выводам и результатам в анизотропном случае придан доходчивый "псевдофизический" смысл, обуславливающий их компактность и наглядность. г) В щ)Ш1ожениях:

28. Методом сведения решена задача об анизотропной одномерной среде, найдены значения критической длины в такой задаче, исследована задача о среднем числе рассеяний.

29. Исследована принципиальная возможность развития аппарата инвариантности в задачах о некогерентном рассеянии, о слое конечной толщины в неоднородной среде и о слое с отражающей границей.

30. Метод сведения и полутрупповой аппарат применены к решению классической задачи о случайных блужданиях на одномерной решетке. Такой путь представляется наиболее элементарным среди известных методов решения этих задач.

31. Установлено нелинейное полугрупповое соотношение для решения нелинейной задачи переноса в одномерной среде. При этом рассмотрены также задачи о числе рассеяний, о среде конечной оптической длины, о полихроматическом рассеянии.

32. Установлены аналогии между полугрупповыми соотношениями и уравнениями ренормализационной группы в теории взаимодействующих квантованных полей, а также между их решениями на множестве примеров.

33. Установлены физические аналогии между процессами нелинейного рассеяния света и нейтронов и процессами взаимодействия элементарных частиц в теории квантованных полей. В частности, найдена аналогия между диаграммами Фейнмана для рассеяния электрона на потенциале и диаграммами, отвечающими в задаче об отражении кванта от среды.

34. Обсуждаются возможные аналогии и применения полугрупповых соотношений в задачах из других дисциплин (нелинейной механики, экологии).

35. Даны обоснования преимуществ метода сведения - для решения задач о слое конечной толщины, и полугруппового аппарата -для решения задач в полубесконечной среде перед другими известными методами. (Полугрупповому аппарату в линейных задачах о слое конечной толщины противопоставляется метод сведения).

4.2. Новизна и Практическая Ценность

В Диссертации развит новый аппарат теории переноса, обладающий высокой методической эффективностью как в вычислительном, так и в аналитическом аспектах теории. Все принципиальные положения аппарата и основные выводы и результаты диссертации являются качественно новыми и оригинальными - обоснования этому утверждению даются в примечаниях и обсуждениях соответствующих Глав.

Результаты исследования могут найти широкие применения при решении более сложных, чем рассматриваемые в диссертации, задач теории переноса и смежных задач из других областей математической физики. Таковыми могут являться задачи с учетом нестационарности излучения, поляризации, некогерентности рассеяния, задачи с периодической неоднородностью среды, в сферических системах, о критических: размерах среды и нелинейных задачах. Из чисто математических приложений отметим задачи о случайном блуждании и на исследование интегральных уравнений.

Конкретные результаты могут быть использованы при исследованиях задач монохроматического рассеяния в планетных атмосферах, в частности при построении их моделей, а также в геофизических ' задачах о рассеянии света атмосферой при наличии отражающих поверхностей.

Избранные Главы диссертации, дополненные упражнениями, могут лечь в основу вводного курса лекций по теории переноса для студентов физико-математических специальностей.

Следует заметить, что ряд выводов и результатов работ автора нашли уже использование или заслужили специального упоминания во множестве статей других авторов (некоторые из них в списке литературы отмечены звездочкой).

4.3. Публикации и Апробация а) Публикации. Основные Выводы и Положения Диссертации опубликованы автором в статьях МНАЦАКАНЯН (1975а,б,в;1976,1978,1979, 1980,1981,1982), ДАНИЕЛЯН.МНАЦАКАНЯН (1975), ЕНГИБАРЯН,МНАЦАКАНЯН (1974,1976), МНАЦАКАНЯН,МЕЛИКЯН (1979). Все принципиальные положения и выводы охвачены тремя публикациями (МНАЦАКАНЯН,19756,1978, Г980), отражающих существо Глав П, Ш, 1У и У1. Расширенное изложение Диссертации произведено в основном за счет их детализаций.

Глава У и вводная к ней Глава I основаны на тривиальном замечании об очевидной роли псевдоиндикатрисы как "катализатора" в решении задач анизотропного рассеяния. Их содержание не опубликовано, но было доложено на Всесоюзном Симпозиуме "Принцип инвариантности и его приложения" (Бюракан, 1981). Отдельная публикация была бы неразумной и технически неоправданной - для этого пришлось бы переопубликовать фактическое содержание предыдущих V работ с введением поправок во всех формулах (относящихся к изотропному случаю) на модель псевдоиндикатрисы. Это мы сделали в диссертации. Ввиду элементарности такого пересмотра, думается, справедливость содержания Главы У не может вызвать возражений. б) Л.ичныйвклад. По теме диссертации в соавторстве нами опубликованы четыре работы.

В работе (ЕНГИБАРЯН,МНАЦАКАНЯН,1974) Мнацаканяну принадлежит содержание п.6 - краткого изложения идей метода сведения, полугруппового соотношения и оператора инвариантности. Остальное содержание этой работы не имеет идейного отношения ни к ее п.6, ни к теме диссертации.

В работе (ДАНИШН,МНАЦАКАНЯН ,1975) Мнацаканяну принадлежит разработка метода сведения (для задачи монохроматического рассеяния в трехмерной среде), полугрупповое соотношение, соотношение коммутативности и все выводы,основанные на физических соображениях и с привлечением оператора инвариантности Q , в частности, явных выражений для функций Грина У и Z , через функции р и t . Э.Х.Даниеляну принадлежит вывод этих соотношений другим путем, заключающимся в составлении интегральных уравнений и вытекающих из них дифференциальных уравнений (для У и 2 )» а также интегральное уравнение типа Вольтерра для числа рассеяний кванта в слое. Эти выводы в диссертацию не включены.

В работе (ЕНГИБАРЯН,МНАЦАКАНЯН,1976) проведена "математизация" основных выражений, полученных нами из физических соображений. Строгие математические обоснования принадлежат1 Н.Б.Енгиба-ряну; они в диссертации не приводятся. (Речь идет о Рб:,^)).

В работе (МНАЦАКАНЯН,МЕЛИКЯН,1979) А.О.Меликяну принадлежат явно не указываемые выражения для альбедо однократного рассеяния в реальной нелинейной физической задаче, но использованные в конечных результатах. Они не приведены и в диссертации. в) Апробация работы^ Большинство результатов и выводов по теме диссертации докладывались и обсуждались: на семинарах отдела теоретической астрофизики Бюраканекой астрофизической обсерватории АН Арм.ССР; на семинарах кафедры теоретической физики, в цикле семинаров кафедры общей физики физического факультета Ер.гос.ун-та

Ереван,1975-1982); на совместных колоквиумах Абастуманской (АН Груз .ССР) и Бюраканской астрофизических обсерваторий (Бюракан,1974; Тбилиси, 1982) ; на семинаре теоретического отдела Ереванского физического института при Гос.Комитете по Атомной Энергии (Ереван,1982); на годичных собраниях отделения физико-математических наук Академии наук Арм.ССР (Ереван,1976,1979,1980,1983); на семинарах Лаборатории теоретической астрофизики Астрономической обсерватории Ленинградского государственного университета (Л е ни иград41 етергоф,1973,1975,1976,1977,1978,1980,1983) ; на заседании сектора Лаборатории Теоретической физики Объединенного института ядерных исследований (Дубна,1981); на семинаре Национальной обсерватории Болгарской Академии наук (Рожен,1979); на Всесоюзном совещании молодых астрофизиков, посвященном 70-летию академика В.А .Амбарцумяна (Бюракан,1979); на Всесоюзном симпозиуме 'Принцип инвариантности и его приложения" с участием иностранных ученых (БюраканД981):; на Международной конференции по 'Проблемам квантовой теории поля" (Алушта, 1981) ;

Главы П, Ш, УГ диссертации составили содержание вводного курса лекций по теории переноса, читаемых автором студентам У курса при кафедре астрофизики ЕрГУ (Ереван,1979-1983) .

4.4. На Защиту Выносятся.

A. Следующие основные положения аппарата теории переноса, развитого в диссертации.

I. Метод сведения для линейных задач в плоском слое конечной толщины: основные соотношения для внешних решений; явное выражение для внутреннего решения; эффективный численный метод; эффективность в аналитических исследованиях.

П. Полугрупповое соотношение для нелинейных задач о слое конечной толщины и, в частности, полугрупповой аппарат для линейных задач о полубесконечной среде: рекуррентное соотношение для функции Грина и следствия из него; оператор инвариантности; соотношение коммутативности; новые формы уравнения переноса; аппарат инвариантности и уравнения инвариантности.

B. Следующие основные результаты для задач монохроматического рассеяния в плоском слое.

Ш. Для полубесконечной среды: явное выражение^поверхностной функции Грина; фундаментальные функции F и F и рекуррентные соотношения для них; эффективный численный метод определения функций Грина; множество точных интегралов, содержащих функции Грина и их частные значения; уравнения инвариантности и их решения.

17. Для слоя конечной толщины: ряд точных соотношений для характеристик слоя и интегралов теории переноса; основные уравнения метода сведения и их приближенные решения; высокоточные аналитические решения, их приближенные формы и предельная форма - общие асимптотические решения (внешней и внутренней задач) ; эффективность высокоточных аналитических решений для практических целей.

C. Приложения аппарата

У. В более специальных задачах переноса: о некогерентном рассеянии, о слое с отражающей границей, в многомерных задачах, о критической толщине, о среднем числе рассеяний и других.

УГ. В задачах о случайных дискретных блужданиях и в связи с аналогиями в теории взаимодействующих квантованных полей; их перспективность.

Д. Новизна, компактность и наглядность основных выводов и результатов работы и ее методологическое значение.

ЙРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМЫ (1У) I е-" J 1

АНИЗОТРОПНОЕ РАССЕЯНИЕ(У)

Д Ж

ВЫСОКОТОЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ (ТУ) 1

МЕТО,

СВЕДЕНИЯ(П)

-9

ЧИСЛЕННЫЕ ЫЕТОДЫ(Ш)

МОДЕЛЬ к94 ПСЕВДОИЩМКАТРИСЫ РАССЕЯНИЯ(1) V

ПОЛУГРУППОВОЙ АППАРАТ(Ш) i v

СЛУЧАЙНЫЕ БЛУЖДАНИЯ(У1) i

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ(П)

НЕЛИНЕЙНЫЕ ПОЛУГРУППЫ(УП)

-ЛV V

АППАРАТ ИНВАРИАНТНОСТИ (Ш)

АНАЛОГИИ С РЕНОРМГРУППОЙ(УЩ

СХЕМАТИЧЕСКАЯ ВЗАИМОСВЯЗЬ ОСНОВНЫХ ВЫВОДОВ ДИССЕРТАЦИИ

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ

ТЕОРИЯ

Настоящее исследование показывает, что даже в самом аппара те теории переноса возмол^ ны качественно новые построения, прин ципиально отличающиеся от существующих разработок и обладающие чрезвычайно высокой результативностью. В качестве такового мы вы двигаем метод сведения для решения линейных задач в слое конечной толщины. Он противопоставляется методам, оперирующшл щхассичес ким уравнением переноса; методам, основывающимся на принципе ин вариантности, или методу инвариантного вложения; методам удвоения (и вообще, наращивания) слоев; общей теории Соболева для слоя ко нечной толщины и другим известньм методам, особенно вычислитель ным, разрабатываемыгл для слоя конечной толщины - в силу только лишь того обстоятельства, что явные аналитические решения в замк нутом виде для слоя конечной толщины пока недостижшлы.Три основных соотношения метода сведения доставляют, на наш взгляд, наиболее эб[)фективный путь как численного решения задачи о слое конечной толщины, так и аналитических исследований. Они позволяют путем дисхфетизации свести внешкою задачу в произволь ной (общей) постановке непосредственно к соответствующей задаче для полубесконечной среды, а через них явны?л образом выразить и решение внутренней задачи. Претлущества такого пути обсуждены в Метод сведения выявил и большие аналитические возможности.С его помощью в случае монохроматического рассеяния мы весьма просто вывели общий класс асимптотических решений, установили множество точных соотношений, выявили различные особенности ре шения задач для слоя конечной толщины и, наконец, построили при ближенные аналитические решения исхслючительно высокой точности, достаточные для практических целей и исклочающие необходимость разработки всяких численных методов.Мы продемонстрировали преимущества метода сведения и в бо лее специальных задачах теории переноса, а таюке в аналогичных задачах теории слзгчайных блуаданий (специальная глава, посвящен ная общему рассмотрению дискретных блужданий, из-за большого объема диссертации, нами опущена и в § 28 вошла лишь иллюстрация на простейшем примере). Метод сведения, очевидно, может быть ис пользован и в чисто математических исследованиях в теории инте гральных уравнений с разноGTHHTVIH ядрами.Особенно э(М)ективныгл, как показывает предварительный анализ, метод сведения обещает быть в задачах о некогерентном рассеянии.Здесь представляется весьма ценной возможность вывода высокоточ ных аналитических решений.Другие аспекты развития аппарата теории переноса связаны с полугрупповы?м соотношениями, установленными нами для нелинейных задач о слое конечной толщины. Интересные перспективы вырисовы ваются в связи с аналогитш в задачах теории квантованных полей, а также из других дисциплин. В этих задачах могут оказаться весь ма полезные методы рекуррентного определения функций Грина и заголствование принципов метода ренормализационной грзтзпы.В случае линейных задач теории переноса полугрупповой аппарат предоставляет широкие возможности исследовашя функций Гри на для подубесконечной среды (для слоя конечной толщины такой подход отвергается методом сведения). Эффективность полутруппо вого аппарата глы продехмонстрировали в задачах монохроматическо го рассеяния, но его преиглущества неоспоршлы и в многомерных за дачах. Множество следствий из полугрупповых соотношений - соот ношение кошлутативности, оператор инвариантности, аппарат инва риантности, новые дифферентдиальные форглы уравнения переноса, разделение переменных в фушщии Грина, множество точных интегра лов, содержащих характеристики полубесконечной среды, фундаглен тальная роль вспомогательных v и ^ , приводящих в частных слзгчаях к известным классическим результатам, являются ценными для изучения процесса переноса в полубесконечных средах.В этом случае - полубесконечной среды, безусловно, фундамен тальное положение в аппарате теории переноса занимают идеи инва риантности Лмбарцутляна, общая теория Соболева (для полубесконеч ной среды) и "метод псевдозадач" - преобразования Соболева в за дачах анизотропного рассеяния. Эти положения глы хотели бы допол нить понятием модели псевдоиндикатрисы, вводшлой нами, позволяю щей в parviKax преобразований Соболева тривиальным и физически осмысленным образом распространить все результаты, относящиеся, фактически, к изотропному случаю, на случай анизотропного рассея ния. Такая модель может быть использована и в задачах о слое с отражающей границей. Особенно перспективньм представляется нам введение аналогичной модели в случае, если удастся развить метод "псевдозадач" в теории некогерентного рассеяния с законом частич ного перераспределения по частотам.Такшл образом, можно говорить о построении в диссертации но вой теории переноса, базирующейся на методе сведения и полугрупповом аппарате, практическая эффективность которого конкретно демонстрируется множеством оригинальных следствий и результа тов, содержап^их; в себе в компактной форме, в частности, извест ные классические результаты.

1. АГРАНОВШ В.М., ГАЛАНИН М.Д. Перенос энергии электронного возбуйщения в конденсированных средах. - М,, Наука, 1978, 383 с,

2. А1'ЛБАРЦУ11'ШН В.А. Рассеяние и поглощение света в планетных атмосферах. - Уч.зап.ЛГУ, I94I, 15 82, сер.мат.наук (астрон.), вып.П, Тр. Астр, обсерв. ЛГУ, т.12, с.64-85.

3. АГЛБАРЦУ1^ЛЯН В.А. О рассеянии света атмосферами планет. - Астр.ж.,194;2(а), т .19, вып.5, с,30-41.

4. АМБАРЦУ1ЛЯН В.А. Новый способ расчета рассеяния света в мутнойсреде. - Изв. АН СССР, сер, геогр. и геофиз., 1942(6), 1. JJ5 3 , с .97-103.

5. А№АРЦУ1УШН В.А. К вопросу о диффузном отражении света мутнойсредой. - Докл. АН СССР, 1943(a), т .38, J.^ 8, с.257-261.

6. АГЛБАРЦУ1(/ШН В.А, К задаче о диффузном отражении света, - К.эксп.и теор, физ., 1943(6), т .13 , вып.9-10, с. 323-334.

7. АГЖАРЦУМШ В.А, Диффузия света через рассеиващую среду большойоптической толщины. - Докл. АН СССР, 1944(a), т .43, & 3 , с, I06-II0.

8. А1ЛБАРЦУ1ЛЯН В.А. Об одномерном случае задачи о рассеивающей и поглощающей среде конечной оптической толщины. - Изв. АН

9. Арм.ССР, естеств. науки, 1944(6), А^ 1-2, с. 31-36.

10. АШАРЦУ1ШН В.А. О диффузном отражении и пропуикании света анизотропной одномерной рассеивающей средой конечной оптической толщины. - Докл. АН Арл.ССР, 1947, т .7 , Гз 5, с . 199-202.

11. АГЛБАРЦУМЯН В.А, О числе рассеяний при диффузш фотонов в мутнойсреде. - Дохш. АН Арм.ССР, 1948(a), т . 8 , В 3 , с. I0I-I05. 330

12. АМБАРЦУМЯН В.А. Мутная среда с равномерньм распределением источников. -Докл. АН Арм.ССР, 1948(6), т . 8 , !^ А, с. 149-151.

13. А1^1БАРЦУМЯН В.А. Научные труды в двух томах / Под ред. В.В.Соболева - т . I , Ереван, АН Арм.ССР, I960. - 430 с,

14. А1У1БАРЦУ1У1ЯН В , А . Об одной задаче нелинейной теории рассеяния света в мутной среде. - Докл. АН Aptvi.CGP, 1964, т .38, 1!э 4 , с, 225-230.

15. А1ЛБАРЦУ1ЛЯН В.А. О некоторых нелинейных задачах теории переносаизлучения. - В кн.: Теория звездных спектров. М., Наука, 196.6, с.91-104.

17. Gambridge Univ . ,Press , (Cambridge, 1982.- 240 p .

18. А1ЛБАРЦУМЯН P.B. Критическая толщина для рандомизированной одномерной модели переноса. - Изв. АН Арм.ССР, 1966, т . 1 , 1. В 4, с.284-290.

19. АНДРЕАСЯН P.P. ТабШ'Щы некоторых функции! теории переноса излучения. - Сообщ. Бюраканской о б е , 1978, вып. 50, 0.79-84.

20. АНИКОНОВ А,С. Световой решш в глубоких слоях планетных атмосфер. -Астр.ж. , 1973, т.50, В Б, с.137-146.

21. АРШАКЯН Т.Г. Об интегралах уравнения теории переноса. - Дипломн.раб., рукопись. - Ереванский гос.ун-т, 1983, 32 с.

22. БАСБРИДД - BUSBRIBGE I.W. Mathematics of Radiat ive Trans fe r .

23. Clarendon Press , Oxford, I960. -181 p .

24. БЕЛЛ ДЖ. ,• ГЛЕССТОН Теория ядерных реакторов. - М.: Атомиздат,'1974. - 495 с .

25. БЕЛЛ, КАЛАБА, УШО-BUELL J.,KALABA R., UENO S. Numerical Resul ts-^е:

26. Sobolev's Function Q of Radiat ive T rans fe r .

27. Астрофизика., 1971, т .7 , вып.I, с.23-37,- 331

28. БЕЛЛ, ФРШ, ФРШ - BUELL T.L.,PEISCH U.,PEISGH Н.А. Benormalization Group Approach to Noncoherent Radiative Transfer.

29. Phys.Rev, 1978, v.A 17, No.3, p.1049-1057.

30. БЕЛЛМН - BELLMAII R. Invariant Imbedding and Random Walk.

31. Proc.Amer.Math.Soc, 1962, v.13, p.251-254.

32. БЕЛЛГШ1 - BELLMAN R. Invariant Imbedding and Computation Methodsin Radiative Transfer.- In: Transport Theory. Amer.Math.

33. SCO., Providence, R.T, 19б9 - 327 p.

34. БЕЛЛГЛАН P., ДРЁЙФУС С Прикладные задачи динамического програглмирования. - М.: Наука, 1965,

35. БЕЛЛМАН, КАГИВАДА, КАЛАБА - B E L L M A N R., ICAGIWADA Н., KALABA R.

36. Numerical Results for the Auxilary Equations of Radiative

37. Transfer.- IQSRT, 1966, v.6,No.2, p,219-230.

38. БЕЛЖДАН, КАЛАБА -BELLMAN R.,KALABA R, On the Principle of Invariant Imbedding and Propagation Through Inhomogeneous

39. Media.-Proc.Math.Acad.Sci.US,1956,v,42,p.629-632.

40. БЕЛЛ'МН, КАЛАБА, BPfflT -BELLMAN E., KALABA R.,WING G. Invariant1.bedding and Mathematical Physics. I.Particle Processes.

42. БЕЛЖЛАН, КАЛАБА, ПРЕСТРУД -BELLI.IAN R.E.,KALABA R.E.,PRESTRUB M.C.1.variant Imbedding and Radiative Transfer in Slabs of finite Thickness.-American Elsevier,New York,1963,- 346 p.

43. БОГОЛЮБОВ H.H., ШИРКОБ Д.В. 0 ренорглализационной группе в квантовой теории ПОЛИ. - Докл. АН СССР, 1955(a), т.103, J5 2, 0.203-206.

44. БОГОЛОэОВ К.Н., ШИРКОВ Д.В. Приложение ренормализационной группы к улучшению формул теории возмещений. - Докл. АН СССР, 1955(6), т.103, В 3, с. 391-394.

45. БОГОЛЮБОВ Н.Н., ШИРКОВ Д.В, Введение в теорию квантованных по1. УС - 332 лей. - 3-е изд. - М.: Наука, 1976. - 479 с.

46. БЬЕРКЕН ДЖД., ДРЕЛЛ Д. Релятивистская квантовая теория, т.2,1. М«: Наука, 1978. - 408 с. 47. ВАРДАНЯН, М Н У К Ш -V1RDMIM Б.М.,1ШГОЖ1А1>1 Н.М. Х-Еау Plane

48. Wave Dynamic Reflection of Laminar Cristalline Mediumin the Bragge Gas.- Phys.Stat.Sol,(a), 1982, v.69, p,475-482..

49. ВИЙК Т.Ф. Новые методы определеши поля излучешщ в слое. - Публ.

50. Тартуской обе, 1979, т.47, с.3-19.• ВИЙК Т.ф. Поле излучения в многослойных изотропно рассеивающих атмосферах. - Астрофизика, I98I, т.17, вып.4, c.735-74d •К

51. ВИЙК Т.Ф, Об одной аппроксимационной формуле в теории переносаизлучения. - Публ. Тартуской обе, 1982(a), т.49, с.2839.

52. ВИЙК Т.Ф. - В П К т. А Generalized Principle of Invariance and

53. Radiation Pield in Multilayer Atmospheres.- Astrophys.an-d Space Sci,, 1982, v.86, p.169-178.

54. ВИЛСОН - WILSON K.G. Eenormalization Group and Critical Phenomena.

55. II.-Phys.Rev., 1971, В 4, No.9, p.3174-3205.

56. ВИНЕР, ХОПФ - WIENER N., HOPE E. Tiber Eine Klasse Singularer1.tegralgleichungen.- Sitzungsberg Press, Acad.Wiss., •^erlin, 1931, - 696 p.

57. ВЛАДИУШРОВ B.C. Математические задачи односкоростной теории пераноса нейтронов. - Труды Мат. Инст. АН СССР, I96I, т.61, 1. C.I-I58.

58. ВОЛЬТЕРРА В. Математическая теория борьбы за существование.1. М.: Наука, 1976. - 288 с.

59. ГЕЛЛ-4'ДАНН, ЛОУ - GELL-MAim M.,L0W P. Quantum Electrodynamics at

60. Small Distances.-Phys.Rev., 1954, v.95, p.1300-1312.- 333

61. ГЕРМОГЕНОВА Т.А. О характере решения уровненщ переноса дляплоского слоя. - Ж . выч.мат, имат.физ. , I96I, т , 1 , 1. ВЫП.6, C.100I-I0I9.

62. ГЕРМОГЕНОБА Т.А, О диффузии излучения в сферической оболочке,окрз^ жающей точечный источник, - Астрофизика, 1966, т ,2 , вып. 3 , с.251-266.

63. ГОРЕЛОВ В.П., ИЛЬИН В.И. о приближенном расчете вспомогательныхфункций теории переноса излучения, - Астрофизика, 1978, т Л 4 , Бып.З, с.407-423.

64. ДАНИЁЛШ Э.Х., Г.ШАЦАКАНЯН М.А. К задаче диффузии света в слоеконечной оптической толщины. - Сообщ, Бюраканской о б е , 1^)75, ВЫП.46, с. 101-114.

65. ДАГОШЛЯН Э.Х. Поле излучения в плоском слое, освещенном параллельными лзгчатли. - Астрофизика, 1976, т. 12, БЫП,4, с.579-586.

66. ДАНИЕЛЯН Э.Х., ПИКИШ1 О.Б. Поле излучения в плоско-параллельнойатмосфере, содержащей источники энергии. - Астрофизика, 1£)77. т . 13, вып.2, с.275-286.

68. ДЕВИС0Н Б. Теория переноса нейтронов. - М.: Атомиздат, I960.520 с.

69. ДЛУГАЧ Ж.М. Расчет поля излучения в однородной полубесконечнойатмосфере. -Астр.ж. , 1976, т .53 , 1^6, с.1295-1305.

70. ДОМКЕ - БОШСЕ И. Linear Predholm Integral Equations for

71. Radiative Transfer Problems in Pinite Plane-Parallel

72. Media. II Imbedding in a Semi-Infinite Medimn.

73. Astron.^'^achrich., 1977, Bd.299, H.2, p.95-102.- 334

74. ЕНГШАРШ Н«Б, Рассеяние света в шаре при произвольном распределении источьшков, - Астрофизика, 1972, т . 8 , вып,1, 0,149153.

75. ЕНГЖАРЯН Н.Б. О нелинейной проблеме Милна. - Астрофизш^а, 1980,т.16, БЫП.З, 0.595-597.

76. ЕНГИБАРЯН Н.Б., 1)ЛНАЦАКАНЯН М.А, О факторизацш интегральныхуравненш!. - Докл. АН СССР, 1972, т.206, JM, с.792-795.

77. ЕНГЖАРЯН М.Б., МНАЦАКАНЯН М.А. О линейных задачах переноса.

78. Жош, АН СССР, 1974, т.217, В 3 , с.533-535.

79. ЕНГИБАРЯН Н.Б., ГШАЦАКАНЯН М.А. Об одном интегральном уравнениис разностный ядром. - Мат.заглетки, 1976, т . 19, J'= 6, с. 927-932.

80. ЗИГЕЛЬ Р . , ХОУЭМ ДЖ. Теплообмен излучением. - М.: Мир, 1975,934 с.

82. ИВАНОВ В.В, Перенос излучения и спектры небесных тел. - М.: Наука, 196У. - 472 с.

83. ИВАНОВ В.В. Асимптотические свойства полей излучения в полубесконечных атмосферах. - Астрофизика, 1974, т.10, вып.2, с.193-204. -г

84. ИВАНОВ В.В. Принципы инвариантности и внутренние поля излученияв полубесконечных атмосферах. - Астр.ж., 1975, т.52, 1. В 2, с.217-226.

85. ШАНОВ В.В. О стандартной задаче теории переноса излучеши.

86. Аст.рофиз1ша, 1977, т .13 , вып.З, с.505-516.

87. ИВАНОВ В.В. Нелинейные соотношения в линейных задачах о переносе излучения Б плоских атмосферах. - Астр.ж., 1978, т.55, - 335 la 5, C.I072-IG83. 1. В. Теория перено*

88. ИВАНОВ В.В„, ЛЕОНОВ В.В. Рассеяние света в оптически толстой атмосфере при несферической индикатрисе. - Изв. АН СССР, физ. атм. и океана, 1965, т.1, с.803

89. КАГИВАДА, МЛАБА - j^AGAWAM Н., KALABA Е. А New liitial-Value

90. Method for Internal Intensities in Radiative Transfer.

91. Astrophys.J., 1967, V.147, No.l, p.301-309.

92. КАГИВАДА МЛАБА - ^G-IWADA П., EALABA R. The Equivalence of the1.otropic and Monodirectional Source Problems.-JQSRT, 1968, V.8, p.843-846.

93. КАГИьАДА, 1САЛАБА, УЭН0 - KAGIWADA H., KALABA R., UENO S. Multiple Scattering Proceses. Invers and Diveet.-Massachusetts :Addison Westley Publ.Comp., 1975.- 333 p.

94. КАРЛСТЁД, ШЛЛИКИН -CARLSTEDT J.L., MULLIKIN T.W. Chandrasekhar's

95. Xand Y-Punctions.- Astrophys.J.Suppl«Ser.,1966, v.12,1. No.113, p.449-585. '^ K^ACTM - OASTI J. X- and Y Operators for General Linear Transport

96. Processes.- Proc.Nat.Acad.Soi.,US.,1975,v.72,lfo.3,p.J^10

97. КАСТИ ДД,, КАЛАБА P. Методы погружения в прикладной матекштике,1. М.: Мир, 1976. - 223 с.

98. КЕЙЗ, ГОФФМАН, 1ШЧЕК - CASE К.М., HOPPMAF Р.^е, PLACZEE G.1.troduction to the Theory of Neutron Biffusion.- U.S.

99. Government Printing Office, Washington, 1953.- 174 p.

100. КБЙЗ K., ЦЕАЙФЕЛЬ П. Линейная теория переноса. - М.: Мир, 1972»384 с. - 336

101. КИНГ - KING J. The Source Punotion for an Equilibrium Gray

102. Atmosphere.-Astrophys.J.,1956, v.124, p.406-411.

103. КОЛЕСОВ A.K,, СОБОЛЕВ В.В, О некоторых асшптотических формулахв теории неизотропного рассеяния света. - Астрофизика, 1969, т.5, БЫП.2, 0,175-186.

104. КОНОВАЛОВ Н.В. Асиглптотические свойства решения одно скоростного

105. Згравнения переноса в однородном плоском слое. Задача с£13Имутальной зависимостью. - М,: Изд, АН СССР, 1974. 29.с. (Препринт / ИШД АН СССР, J5 65).

106. КРОСБИ, ЛЖШЕНБАРД - CEOSBIE А.Ь., ЬШЗЕКБАЕБТ T.L. Intensity

107. Distribution in Isotropioally Scattering Semi-Infinite

108. Medium.- lAAA Journ., 1977,v.l5,H'd).ll,p.i604-l6ll

109. Ракетная техника и космонавтика, т.15, lb II, с.84-92).

110. КУРГАНОВ - KOURGAITOPP V. Basic Methods in Transfer Problems,- Clarendon Press, Oxfiord, 1952,- 280 p.

111. КУЩЕР - KUSGER I, Milne's Problem for Anisotropic Scattering.

112. J.Math.Phys., 1965, v.34, N0.4, p.256-266.

113. КУЩЕР - KUSCER I. Diffuse Reflection of Light from a Semi

114. Infinite Scattering ^'^edium.-J.Math.Phys., 1958,v.37,p.52

115. ЛАНДАУ Л.Д.,, АБРИКОСОВ A.A,, ХАЛАТНЖОВ И.М. Асшптотическоо ''^'^•*выражение для гриновской функции фотона в квантовой электродинамике. - Докл. АН СССР, 1954, т.95, В 6, 1. 1177-П80.

116. ЛАНДАУ Л,Д.., ПО^/ШРАНЧУК И.М. О точечном взаимодействии в квантовой электродинамике. - Докл. АН СССР, 1955, т.102, 1. J^ 3, с.489-492.

117. ЛЕОНАРД Ш1ЛЛ1ЖИН - LEONARD A.,MULLIKIN Т.\7. Green's Punction for

118. One-Dimensional Slab and Sphere.- Proc.Nat,Acad.Sci.

119. U.S.A., 1964, V.52, N0.3, p.683-688.

121. М Ш. Современная теория критических явлений. - М.: Мир, 1980.299 с.

122. МЙЕРС -- MAYERS Б.Р. Calculation of Chandrasekliar's Х- and

123. Y-Punction for Isotropic Scattering,-Monthly Nojr.

124. Roy.Astron.Soc,1962, v.123, p.471-483.

125. ММИКЙН - Mullikin T.W. Chandrasekhar's X- and Y-Punctions.

126. Trans.Amer.Math.Soc, 1964, v.113, No.2, p.316-332.

127. МАЛЛИКИН - MULLIKIN T.y/. Multiple Scattering in Homogeneous Plane

128. Parallel Atmospheres.- Proc.Interdisciplinary Conference of Electromagnetic Scattering, Univ.of Massachusetts, 1965, p.697-719.

129. M P K - МА1Ж С Neutron Density Near a Plane Surface.- Phys.Rev.,19^7. V.72, No.7, p.558-563.

130. МРЧУК Г.И. Методы расчета ядерных реакторов. - М.: Госатомиздат, I96I. - 667 с.

131. МАРЧУК Г.И,, ЛЕБЕДЕВ В,И. Численные методы в теории переносанейтронов. - М.: Атомиздат, I98I, - 456 с.

132. МСЛЕНЮЕОЗ М.В. Проблема Милна с анизотропным рассеянием.

133. Труды Мат.Инст. АН СССР, 1968, т.97, с.3-134.

134. МИННАЕРТ - MINNAEET M. The Reciprocity Principle in Lunar Photometry.- Astrophys.J., 1941, V.93, p.403-410. - 338

135. МШИН И,Н. к теории диффузии излучения в по лубе оконечной среде,

136. Докл. АН СССР, 1958, т.120, В I , с.63-65.

137. МИНШ И.Н, Диффузия излучения в полубесконечной среде при неизотропном рассеянии. I . - Вестник ЛГУ, I96I, 11> I , с. 133-143.

138. Г^ШНИН И.Н. Диффузия излучения в плоском слое при неизотропномрассеянии. - Астр.к., 1966, т .43, В 6, с.1244-1260.

139. МИНИН И.Н. Диффузия излучения в плоском слое при неизотропномрассеянии. - Астр.ж., 1968, т .45, ..^ 2, с.264-278.

140. МИНИН И.Н. Ленинградсг^ая теория переноса излучения. - Астрофизика, I98I, т .17, вып.З, с.585-618.

141. МИХАЛАС Д. Звездные атмосферы. - М . : Мир, 1982, - т , 1 , 352 с ,т.П, 424 с. -jlr

142. ЖРТЧЯН А.Р., ГАБРЖЛШ Р.Г. Пршленение принципа инвариантностик задачам переноса гагма-излучения. - Астрофизика, 1984,(в печати).

143. ГЖ/ЩАКАНЯН М.А. К решешго задачи переноса в одномерной однородной среде, - Сообщ. Бюраканской о б е , 1975(.а), вып. 46, с.93-100,

144. ГЛНАЦАМНЯН М.А. О сведении задачи переноса в конечном слое к задаче для полупространства. - Докл. АН СССР, 1975(6), т.225, }^ 5, с. 1049-1052.

146. МНАЦАКАНЯН М.А. Квазиасимптотические решения задачи о переносеизлучения в слое конечной толщины. П. Неконсервативное рассеяние. - Астрофизика, 1976, т,12, вып,3, 0,451-473, - 339

147. МНАЦАКАНЯН М,А. К решеншо задач переноса излучения в полубесконечных средах. Сообщ, Бюраканской о б е , 1978, вып. 50, с.59-78.

148. Ш^АЦАКАНЯН М,А,, ШЛШШ. А.О. К решению нелинейной задачи отражения. - Аннотации докладов Всесоюзного совещания молодых астрофизиков, посвященного 70-летию академика

149. В.А. Амбарцутляна. - Ереван, АН Арл.ССР, 1979. - с.22.

150. ГУШАЦАКАНЯН М,А, Аналитические решения высокой точности задачи омонохроматическом рассеянии света в плоском слое.

151. Астрофизика, 1980, т.16, вып.З, с,513-533.

152. Л^НАЦАКАНШ М.А. Об одной особенности решения задач консервативного анизотропного рассеяния. - Астрофизика, I98I, т .17, ВЫП.1, с.179-183,

153. ГШАЦАКАНяН М.А. Нелинейные задачи переноса и ренорлализационнаягруппа, - Докл. АН СССР, 1982, т.262, JM, с.856-860. (См. такке: Проблемы квантовой ФеорШ'1 поля. - Труды

154. У1 Международного Совещания по проблемам квантовойтеории поля. - Алушта, Крыгл, 5-9 мая I98I г . - ОИЯИ, 1. Д2-81-543, 267.).

155. НАГИРНЕР Д.И. О решешш интегральных уравнений теорш! рассеяниясвета. -Астр .Е , , 1964, т .41 , вып.4, с,669-б75.

156. НАГИРНЕР Д.И. Многократное рассеяние света в полубесконечнойсреде. - Уч. зап. ЛГУ, В 337. - Труды Астрон.обс.ЖУ, 1968, т .25, вып.42, с.3-17.

157. НАП-ТРНЕР Д.И. Аналитические методы в теории переноса излучения.

158. В 1Ш.: Теоретические и прикладные проблемы рассеяниясвета. - Минск: Наука и техника, 197I, с.15-28.

159. НАГИРНЕР Д.И, Расчет поля излучешм при монохроматическом изотропном рассеяшш. I . Резольвентные функции. - Астрофизита, 1973, т .9 , вып.З, с.347-359. - 340

160. НАГИРНЕР Д.И. Нестационарный перенос излучения. - Астрофизика,1874, т.10, вып^ 3 , с.445-489.

161. ОВСЯННИКОВ Л.В. Общее решение уравнений реномализационной группы. - Докл. АН СССР, 1956, T.IG9, В 6, 0.1112-1115.

162. ОЦИСИК М.Н. Сложный теплообмен. - М.: Мир, 1975. - 934 с.

163. ПИКИЧЯН О.В. о функции Грина плоского слоя при некогерентном неизотропном рассеянии. - Астрофизика, 1977, т.14, вып.1, с.169-190.

164. ПИКИЧЯН О.В. Задача диффузного отражения при произвольном законеперераспределения излучения по частотам. - Докл. АН Арм.

165. ССР, 1978, Т.67, !Ь 3 , с.151-156.

166. ПИКИЧЯН О.В. Квазиасимптотическое приближение для функции Гринаплоского слоя. - Тез. докл. I конференции молодых ученых НИИ АН Арм.СОР Аштаракского р-на. - Нор-Амберд, 17-20 сент. 1979 г . . Изд. АН Арм.ССР, с.50-51.

167. ПИКИЧЯН О.В. функция Грина оптически толстого слоя. - Астрофизика, 1980, т .16, вып.2, с.351-361.

168. ПИКИЧЯН О.В. Общие соотношения инвариантности для исследованиязадач переноса в средах с геометрическигди и физическими характеристиками произвольной сложности. - Докл. АН

169. СССР, 1982, т.262, №4, с.860-863.

172. ПИНСКЕР З.Г. Рентгеновская кристаллооптика. - М . : Наука, 1982.390 с.

173. ПОПОВ Е.П. Нелинейные задачи статики тонких стержней. - Л-М.:

174. ОГИЗ, ГЙТТЛ, 1948. - Г70 с .

177. РОГОВЦОВ H..H, Восстановление внутреннего распределения поля излзгчения по его характеристикам на границах рассеиващей среды. - Изв. АН СССР, физ.атм. и океана, 1980, т .16, 1. В 3 , с.244-253.

178. РОГОВЦОВ Н.Н. Теория переноса и общий принцип инвариантности.

179. Докл. АН БССР, I98I, т .25, № 5, с.420-423.

182. САБАПВИЖ Ш.А. Вычисление функций, характеризукщих перенос излучения в плоском слое. - Бюлл. Абастуманской о б е , 1972, 1. Т.43, с.207-222.

183. СГЛЕЛОВ В.В. Лекции по теории переноса нейтронов. - М.: Атомиздат, 1963. - 216 с.

184. СОБОЛЕВ В.В. О коэффициентах яркости плоского слоя мзгтной среды.- Докл. АН СССР, 1948, т .б1 , В 5, с.803-806.

185. СОБОЛЕВ В.В. О диффузном отражении света плоским слоем мутнойсреды. - Докл. АН СССР, 1949(a), т .69, }Ь 3 , с.353-356.

186. СОБОЛЕВ В.Б, К задаче о диффузном отражении и пропускании света.- Докл. АН СССР, 1949(6), т .69, В 4 , 547--550.

187. СОБОЛЕВ В.Б. Новый метод в теории рассеяния света. - Астр,ж.,1.5I, Т.28, вып.36, с.355-362.

188. СОБОЛЕВ В.В. Перенос лучистой энергии в атмосферах звезд и планет. - М.: ГИТТЛ, 1956. - 391 с.

189. СОБОЛЕВ В.В. Диффузия излучения в полубесконечной среде.

190. Докл. АН СССР, 1957, т.116, Ш I, с.45-48.

191. СОБОЛЕВ В.В. Диффузия излучения в плоском слое. - Докл. АН СССР,1958, т.120, J^ I, с.69-72. - 342

192. СОВОЛЕВ В.В. О некоторых соотношениях в теории рассеяния света.

193. Астр.ж., 1962, Т.39, ВЫП.2, с.229-234.

194. СОБОЛЕВ В.В. Диффузия излучения в плоском слое большой оптичес1С0Й толщины. - Докл. АН СССР, 1964, т. 155, Л 2, с.316319.

195. СОБОЛЕВ В.В. О числе рассеяний при диффузии фотонов. I. - Астрофизика, 1966, т.2, вып.2, с.135-146.

196. СОВОЛЕВ В.В. Диффузия излучения в среде большой оптической толщины при неизотропном рассеянии. - Докл. АН СССР, 1968(a), т.179, iS I, с.41-44.

197. СОБОЛЕВ В.В. Неизотропное рассеяние света в атмосфере большойоптической толщины. - Астрофизика, 1968(6), т.4, вып.З с.325-336.

198. СОБОЛЕВ В.В, Неизотропное рассеяние света в полубесконечной атмосфере. - Астр.ж., 1969(a), т.46, вып.З, с.512-523.

199. СОБОЛЕВ В.В. Неизотропное рассеяние света в атмосфере конечнойоптической толщины, - Астрофизика, 1969(6), т.5, вып.З, с.343-358.

200. СОБОЛЕВ В.В. Рассеяние света в однородном шаре. - Астрофизика,1972(a), Т.8, вып.2, с.197-212.

201. СОБОЛЕВ В.В. Рассеяние света в атмосферах планет. - М.: Наука,1972. - 335 с.

202. СОБОЛЕВ В.В. Курс теоретической астрофизики. - М.: Наука, 1975,503 с.

203. СОБОЛЕВ В.В. Проблема Милна для неоднородной атмосферы. - Докл.

204. АН СССР, 1978, т.239, № 3, с.558-561.

205. COBOJiEB В.В., МИНИН И.Н. Изотропное рассеяние света в атмосфереконечной оптической толщины. - Астр.ж., I96I, т. 38, 1. ВЫП.6, C.I025-I032.

206. СОБОУТИ - SOSOUTI I. Cliandraseldiar's Х-, Y- and Belated Punctions,- Astrophys.J.Suppl,Ser.,1963,v.7, No.72, p.411-561. - 343

207. СПИЦЕР Ф. Принципы случайного блуждания.-М.: Мир, 1969, - 472 с.

208. СТиКС - STOKES G. Mathematical and Physical Papers of Sir George

209. Гос. Пед. ин-т, 1979. - 124 с.

210. ТРИГ - van TRIGT. Analitically Solvable Problems in Radiative

211. Transfer.I.-Phys.Rev., 1969, v.181, IJo.l, p.97-114.

212. ФАЙГЛАТ, KAJIABA - PH^ IAT A.L., KALABA R.E. A ITowel Methodology for

213. Radiative Transfer in a Planetary Atmosphere.I. The

214. Punctions (A and X) of Anysotropic Scattering.

215. Astro.and Space Sci.^,1977, v.47, p.195-216.

216. ФАНО y., СПЕНСЕР Л., BEPPiiiP M. Перенос гаша-излучения. - М.:

217. Госатомиздат, 1963, - 284 с.

218. Ф Е Ш Л А Н Р. Теория фундаментальных процессов. - М.: Наука, 1978.199 с.

219. ФЕЛЛЕР В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т.1,1. М.: Мир, 1964. - 498 с.

220. ФИЗИКА МИКРОРЛИРА. - Под ред. Д.В.Ширкова. - М.: СЭ, 1980,- 528с.

221. ФОК В.А. О некоторых интегральных уравнениях математической физики. - Мат.сб., 1944, т.14(56), il 1-2, 0^3-50.

222. ХАКЕН Г. Сшергетика. - М.: Мир, 1980. - 404 с.

223. ХАНСЕН - ашЗЕИ J.Е.Radiative Transfer by Doubling Very Thin1.yers.- -^strophys.J., 1969, v.155, p.565-573.

224. XAHT, ГРАНТ -HUNT G.E., GRAFT I.P. Discreate Space Theory of

225. Radiative Transfer and Its Application to Problemsin Planetary Atmospheres.- J.Atmos.Sci., 19б9, v. 26, No.5, p.963-972.

226. ХВОЛЬСОН О.Д. Grudzuge Einer Matheraatischen Theorie der Inneren

227. Biffusion des Lichtes,-ИзБ. Петербургской Акадеши наук,1890, т.33, с.221-265.

228. ХР1СЛЕТ,У0Р1\'1ШГ-HEASLET М.А., V/ARMIITG R.P. Radiative Source Function Prediction for Pinite and Semi-Infinite Nonconservative

229. Atmospheres.- Astrophys.and Space Sci., 1968, v.l, No.4,p.460-498.

230. ХИСЛЕТ,УОР№ШГ -HEASLET M.A.,WARMING M.E. Radiative Transport ina Absorbing Planar i^^ edium.II. Prediction of Radiative Source

231. Punctions.- Intern.J, of Heat Mass Transfer, 1965, v.10,p.1413-1427.

232. ХОПФ-НОРР E. Mathematical Problems of Radiation Equilibrium.

233. Cambridge Math.Tract., No.34,- Cambridge Univ.Press,1934.105 p.

234. XlOJICIr-van de HULST H.C, Scattering in a Planetary Atmosphere.

235. Astrophys.J., 1948, v.107, No.l, p,220-246.van de HULST H.C, A New Look at Multiple Scattering.- Pep. 1.st«for Space Studies, New York, 19бЗ.

236. XDICT-van de HULST H.C. Diffuse Reflection and Transmission by avery Thick Plane-Parallel Atmosphere with Isotropic Scattering.- Icarus, 1964, V.3, No.4, p.336-341.

237. WTiOT-ran de HULST H.C. Radiative Transfer in Thick Atmosphereswith an Arbitrary Scaterring Pimction.- Bull.Astron.Inst.

239. ЧАДЦРАСЕКАР - CHAKDRASEKHAR S. On the Radiative Equilibrium of

240. Stellar Atmosphere.YIII.-Astrophys.J,,1945,V.101,No.3,p.348-355

241. ЧАНДРАСЕКАР - CHANDRASEKHAR S. On the Radiative Equilibrium of a

242. Stellar Atmosphere. XII.- Astrophys.J., 1946, v.103, No.l,- 345 p. I65-I8I.

243. ЧАНДРАСМСАР - GHANDRASEKHAR S. On the Radiative Equlibrium ofa Stellar Atmosphere. XVII.- Astrophys.J., 1974, v.105, 1. Wo.3, p.441-460.

244. ЧАНДРАСЕКАР Перенос лучистой энергии. М.: Мир, 1953. - 431 с.

245. ЧАНДРАСЕКАР, БРИН - CHAiroRASEKHAR S., BREEN F. On the Radiative .

246. Equilibritim of a Stellar Armosphere.XIX. - Astrophys.J^,1947, V.106, lJo.2, p. 143-144.

247. ЧАНДРАСЕКАР, Б Р Ш - CHAiroRASEZblAR S., BEEEN P. On the Radiative

249. ЧАНДРАСЕКАР, ЭЛБЕРТ, ФРАНКЛИН - CHAlJDRASEIfflAR S . , EIBERT D . ,

251. ЧАПЛИН - CHAPLIIT G.F. Renorma l i za t ion Group Approach t o ITonlinear

253. ЧЕРЧИНЬЯНИ К. Теория и приложения уравнения Больцмана, - М.:1. Мир, 1978, - 496 с.

254. ШВАРДЦШИЛЬД - SGHWARZSCHILD К. Uber des Gleichgewicht der Sonnenatmosphere.-Gottingen ^ach.,1906,v.41, p.

255. Ш Ш Ц У - SHIMIZU A. Calculation of the Penetration of ^ a^mma

256. Hsiys Through Slabs by the Method of Invariant Embedding.

257. ITuol.Sci.Eng., 1968, v.32, p.184-194.

258. ШИМИЦУ, АОКЙ - SCHIMIZU A., AOKI K. Applications of Invariant

259. Embedding to Reactor Physics.- Acad.Press, Nev/ Yorkand London, 1972.- 184 p.

260. ШИРКОВ Д.Б. Двухзарядная ренормализационная группа в псевдоскалярной мезонной теории. - Докл. АН СССР, т.109, J5 5, - 346 с, 972-975.

261. ШИРКОВ Д.В. Ренормализационная группа, принцип инвариантности и

262. Фз^нкциональная автомодельность. - Докл. АН СССР, 1982,1. T.263, .1 I, с.64-67.

263. ШНЕЙВАЙС А,Б. Расчет поля излучения в полубесконечной среде приизотропном рассеянии. - Вестник ЛГУ, Труды Астрон. обе.

265. ШНЕИВАИС А.Б, Поле излучения в спектральной линии в полубесконечной атмосфере. - Труды Астрон, о б е , т.38, Уч. зап.

267. ШУЛТИС - SCHULTIS J.K. А New Computational Method for the X-and

268. Y-Pimctions of Eadiative Transfer.- Astron.and Astrophys.,1971, V.14, Wo.3, p.463-467.

269. ШУСТЕР -SCiroSTEE A. Radiation Through a Poggy Atmosphere.

270. Astrophys.J., 1905, v.21, Ifo.l, p.1-22.

271. ЭДДИНГТОН - EDBIFGTOIT A.S. The Formation of Absorbtion Lines.

272. Monthly Hot.Roy.Astron.Soc.,1929, v,89, p.620-636.

273. ЭЛВАКИЛ, ХАГАГ, СААД - ELV/AKIL S.A., HAGGAE М.Ы., SAAD E.A.

274. Radiation Transfer with Synthetic Scattering Phase

275. Function.-JQSRT,1979, v.23, p.553-564.

276. ЯГЛА1Л0Т0 - ТМйМйОТО G. (ссылка дается по Кингу, 1956).

277. Soi.Rept.Thoku Univ.,Ser.5, Geophys., 1955, v.7,p.1-5.

278. ЯНОВИЦКИИ Э.Г, Поле излзгчения в полубесконечной атмосфере приизотропном рассеянии. - Докл. АН GCCF, 1976Са), т.227, 1. В 6, C.I3I9-I322.

279. ЯНОВИЦКИИ Э.Г. Поле излучения в полубесконечной атмосфере прианизотропном рассеянии. -Астр.ж., 1976(6), т.53, вып.5, C.I063-I074.

280. ЯНОВИЦКИИ Э.Г. Принципы инвариантности и интегральные соотношения для полей излучения в плоской атмосфере. - Астр.ж. - 347 1979(a), т.56, вып.4, с.833-844.

281. ЯНОВИЦКШ Э.Г. Общий принцип инвариантности для полей излученияв плоских неоднородных атмосферах и его следствия.

282. Киев, 1979(6). - 39 с. (Препринт / ИТФ ГАО АН УССР:1. ИТФ-79-Ц7Р;,

283. ЯНОВИЦКИЙ Э.Г, Поле излучений в плоской атмосфере при анизотропном рассеянии. Разделение угловых переменных, - Астрофизика, 1980, т.16, вып.2, с.362-374,

284. ЯНОВИЦКИЙ Э.Г. Поля излучения в неоднородных атмосферах, - Д и с ,докт, физ,-мат, наук, - Киев, 1982. - 296 с.