Операторный метод решения уравнения переноса излучения при некогерентном и анизотропном рассеянии тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

российская академия наук

институт прикладной математики ииени М.В.Келдыша

На правах рукописи

АЛИЕВ Джасарат Саттар оглы

операторный метод решения уравнения переноса излучения при некогерентном и анизотропном рассеянии

Специальность 01.01.03 - математическая физика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Москва - 1992

Работа выполнена в Шеыахинской астрофизической обсерватории иы. Н. Гуси АН Азербайджана и Институте прикладной математики им. М.Б. Келдаша РАН

Научный руководитель - доктор физико-математических наук

Т.А. Гермогенова Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук

Б.И. Агошков - доктор физико-математических наук В.В. Веденяпин Ведущая организация - Московский инженерно-физический

институт.

Защита состоится " "_ 1992 г.

в ___ часов на заседании специализированного совета

Д 002.40.03 при Институте прикладной математики

им. М.В. Келдыша РАН _ * _

Москва, русская пл., д. 4

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПМ иц. М.В. Келдыша РАН.

Автореферат разослан " "_ 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета доктор физ.-мат. наук

I ДМ ' Е.И.

/

Леванов

- — ; общая характеристика работы

Диссертация посвящена разработке аналитического аппарата для решения уравнения переноса излучения в спектральных линиях при некогерентноы и анизотропном рассеянии в плоскопараллельных средах.

Актуальность проблемы. Теория переноса излучения изучает явления, сопровоядавдие прохождение, излучения через вещество. Объектом математического исследования в теории переноса является интегро-дифференциальное уравнение переноса.

Уравнение переноса возникает во многих областях, например, при изучении полей нейтронов в реакторах, распространения излучения в атмосферах звезд и планет, переноса электронов в металле, распространения звука и т.п.. Эта родственность различных явлений связана с тем, что все они представляют собой некоторый кинетический процесс, который описывается линеаризованным уравнением Больцмана. Развитие теории в одной из перечисленных областей несомненно находит применение в других и является вкладом в теорию уравнения Больцмана в целом.

Аналитическое исследование даже линеаризованного уравнения Больцмана представляет собой трудную задачу и поэтому привлекло внимание многих математиков.

Одним из актуальных направлений в теории переноса является исследование многократного рассеяния излучения в спектральных линиях. Эта теория лежит в основе понимания линейчатых спектров небесных тел. Несмотря на то, что первые исследования переноса

излучения в линиях возникли в 30-х годах, из-за сложности долгое время эта проблема не получала необходимого развития.

Уравнение переноса излучения в спектральных линиях при двух крайних предположениях о процессе рассеяния, а именно, при когерентном и полностью некогерентном рассеяниях исследовалось достаточно полно, причем различными математическими методами. Эти исследования сыграли значительную роль в понимании процессов переноса в линиях с одной стороны, и математической структуры решения, с другой.

При предположении, именуемом "Частичное перераспределение по частотам" (ЧПЧ), т.е., когда корреляция между рассеянным и поглощенным квантами принимается во внимание, уравнение переноса в спектральных линиях становится более сложным и классические аналитические методы, применяемые в теории переноса, в лучшем случае оказываются громоздкими и не продуктивными.

По-видимому, это и есть одна из причин слишком малого количества работ, посвященных аналитическому исследованию уравнения переноса при учете ЧПЧ.

Актуальность задачи обуславливается необходимостью проведения строгого математического исследования . уравнения переноса излучения в спектральных линиях при ЧПЧ и разработки аналитического метода, позволяющего единым путем получать любую информацию о переносе излучения на произвольной оптической глубине.

В диссертации изучается задача о переносе излучения в однородном некогерентно и анизотропно-рассеиваицем плоском слое оптической толщины Ььи при предположении о ЧПЧ. В этом случае

стационарное уравнение переноса для интенсивности (|) имеет вид:

= (Й(х)4-р)ф(Т,С0,х) -

- -щ |йх'|<±и'р(ш,х;ш,,х')ф(т;,шг,2')-/(т,ш,х), (I) О

где 1-оптическая глубина, тей1, п.ш.и'еП , П-единичная сфера,

<$Ф=-фх1ср, (пы)=11=ооез-®, |1е[-1,1]. <ре[0,2и;], 0-угол медду

направление»! распространения излучения и внешней нормалью п к

поверхности 1=0, х, х'- безразмерные частоты, х, х'е[-со,оо],

р-отношение коэффициента поглощения в непрерывном спектре к

коэффициенту поглощения в центре линии, [3=оопв1,' о<р<1,

е-альбедо однократного рассеяния, с=оопз1;, ске<1, функция

рассеяния р(и,х,1и',х') представляет собой произведение

индикатрисы рассеяния ,д(оы') на функцию перераспределения по

/-т /-г

частотам (ФП) г(х,х'ш'=0037=141'+-/ 1-ц у 1-ц' ооз(ф-ф'), 1

/Ж)' гпх.х'.шчск' -профиль коэффициента поглощения,

О -чь

к(х)-непрерывная убывающая функция |х|.

Предполагается, что функция рассеяния р((х,х,(р;р.,,х',(р') аппроксимируется конечной суммой

р(ц,х,ф;ц',х',ср')=Е Е Е а^1(ц,х)ф^(ц.',х,)соЕ5т(ср-<р'),

т =Оп =0 I = т

где ф'г''1(ц,х)-ограниченные на [-1,1 ]х (-со,со) функции, а^=Тг,РГЬг,1 ■ Т,= -¿Г » Э> — Ьш= 1

п!^ % г (1 ! ¿-I

Р, (ц.)-полиномы Лежандра, п+1=2к, к=о, 1,..., 1<п, а"о=1/2х, Ьци=1 , о<-.Ь <-.1 , при п, I>и,

Введя оператор А соотношением

г со П

придаем (1) вид дифференциально-операторного уравнения:

= ^ * Р"/. (2)

Граничные условия задаются следующим образом

ф(О.Н..х,ф)=(|Г,

+ (3)

При таком представлении уравнение переноса становится абстрактным дифференциально-операторным уравнением в некотором подходящем пространстве. Решение уравнения (2)-(3) можно представить через оператор экспоненту ехр(аЛ), порождаеыуп оператором А. Однако граничные условия (з) задаются только на части граничного множества и поэтому разрешимость задачи зависит от существования так называемых операторов отражения и пропускания, которые сопоставляют заданным граничным значениям их полное значение. Доказательство существования и нахождение явного вида этих операторов, построение операторного исчисления для функций от А, представление решений уравнения переноса через оператор-экспоненту ехр (1/4) и оператор-функцию Грина будут главной задачей диссертации.

Целью диссертации является разработка аналитического аппарата для решения уравнения переноса излучения в спектральных линиях, основанного на современных методах теории дифференциально-операторных уравнений с привлечением спектральной теории неограниченных несамосопряженных операторов.

Научная новизна. В диссертации построены разложение единицы и операторное исчисление для неограниченного несамосоп-

ряженнного плотно определенного оператора Доказано существование оператора Рн (в случаях ь=со и сопоставляющего заданным при (х- О или ц>0 граничным значениям их полное значение на границе. Найден явный вид оператора отражения при 11=«,, операторов отражения и пропускания при Ь<а> в случае спектральной линии. Решения однородного и неоднородного уравнений в случаях полубесконечного и конечного слоев представлены в операторной форме. При помощи этих формул и операторного исчисления вычислен явный аналитический вид решения однородного уравнения в полубесконечноы слое. Введены новые, полиномы л" (г>), обобщенные на случай спектральных линий. Для них получены рекуррентные соотношения и соотношение ортогональности.

Теоретическая ценность работы:

разработан аналитический аппарат решения граничный задачи для уравнения переноса излучения в спектральных линиях, основанный на теории дифференциально-операторных уравнений с неограниченным несамосопряженным оператором, который позволяет установить структуру решения; в рамках . предпосылок, сделанных при анализе оператора А, метод может быть использован и в цругих задачах теории переноса с учетом энергетической зависимости.

Практическая ценнссть работы:

полученные результаты могут пригодиться для расчета выходящего излучения из среды при произвольном падающем излучении, зветового режима на любой оптической глубине при сложной структуре первичных источников в различных астрофизических объектах. Остановленная аналитическая структура решения может служить

основой выбора базисных функций в приближенных методах решения задач с ЧПЧ; наконец решения могут быть использованы как тесты для численных расчетов в задачах с произвольной оптической толщиной.

Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на конференции молодых ученых (Баку, 1986 г.), на теоретическом семинаре "Численные методы решения уравнения переноса" (Тарту, 1988 г.), на семинарах АТУ, Астросовета , ИПМ им. М.В. Келдьша РАН , Института

вычислительной математики РАН , МИФИ, а также неоднократно - на семинарах ШАО им. Н. Гуси Азербайджанской АН.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из Введения, четырех глав, Заключения, списка цитируемой литературы (91 наименование) и трех приложений; содержит 115 страниц машинописного текста.

содержание работы

Во введении дается общая постановка граничной задачи для уравнения переноса излучения в спектральных линиях при частичном перераспределении по частотам и приводится краткий исторический обзор математических методов решения уравнения переноса в плоскопараллельной геометрии.

В главе i содержится краткий обзор результатов исследований функций перераспределения по частотам (ФП) для двухуровенного атомавыписываются явные формулы для них ($1.1), приводятся разложения в ряд по специальным функциям (§1.2).

В главе II рассматривается граничная задача для уравнения переноса излучения в полубесконечном слое. В J2.I дается пос-

тановка граничной задачи; приводятся основное уравнение и граничные .условия к нему.

В §2.2 изучается оператор А. Доказывается, что спектр А не пуст, состоит из непрерывной о (4) и возможно дискретной о1 (Л) частей. Спектр А допускает расщепление относительно начала координат: а(.4)=о+(4)Ца_(4). Вводятся проекторы Р и оператора А, соответствующие а+М) и проекторы Р+ оператора Лоф = г)ф, соответствующие а+), соответственно. Здесь же найден явный вид резольвенты Ж;-?,Л) оператора А.

В §2.3 строится операторное исчисление для функций от А и определяются экспоненциальные оператор-функции.

В §2.4 приводятся аналитические решения однородного и неоднородного уравнений. Вводится оператор Р, который сопоставляет заданному граничному значению известному на части граничного множества, его полное значение. Нахождение явного вида Р сводится к решению краевой задачи Гильберта.

В §2.5 с использованием операторного исчисления находится явный аналитический вид решения однородного уравнения.

В §2.6 приводятся сингулярные линейные и несингулярные нелинейные уравнения для Х(*>]), Щц) и ф™ (т),х)-функций. Устанавливается связь между <р"' -функцией и Я-функцией.

§2.7 посвящен исследованию специальных полиномов 1~Гг'л {г>), которые возникают в теории пере! оса. В частных случаях, ^(г1) переходит в полиномы Лежандра и Кущчера.

В главе тп изучается граничная задача для уравнения переноса в однородном оптически конечном слое толщины Ь. Как и в предыдущей главе, предполагается, что среда рассеивает анизотропно и при этом происходит ЧПЧ. В отличие от

полубесконечной задачи, в случае конечной оптической толщины требуется найти четыре оператора: операторы отражения и

пропускания Т^ , которые осуществляют соответствие между

заданными и полными граничными значениями.

В §3.1 дается постановка задачи для конечного слоя и решение представляется в операторной форме. Вводятся операторы отражения и пропускания .

В {3.2 изучается интегральное уравнение для функции источников, вводятся коэффициенты отражения и пропускания.

В §3.3 вводятся Л"',- и ^'¡-функции. В этом же параграфе приводится явный вид операторов отражения и пропускания.

В $3.4 приведены нелинейные уравнения для ЛГ - и ;-функций. Более того, получены уравнения, описывающие зависимость этих функций от 1-1. При больших 1г, в предположении о том, что дискретный спектр оператора А не пуст, найден явный вид выражений, описыващих асимптотическое поведение ДГ^ - и -функций.

В главе IV полученные результаты применяются к частным задачам: альбедная задача для полубесконечной среды (§4.1), альбедная задача для конечного слоя (§4.2).

В §4.3 и §4.4 рассматриваются полубесконечный и конечный слои с первичными источниками вида конечной суммы произведений полиномов и экспонент. §4.5 посвящен изучению неоднородной граничной задачи в конечном слое (задача Шустера), а в §4.6 рассмотрена проблема Милна.

В Заключении формулируются основные результаты, полученные в диссертации.

На защиту выносятся следупцие результаты:

1. Разработан аналитический метод решения граничной задачи для уравнения переноса излучения в спектральных линиях в плоскопараллельной геометрии.

2. Доказано существование оператора Ри (при Ь=ио и 1г<со ),

сопоставляющего заданному распределению входящего излучения распределение на всем граничном ыножесве.

3. Найден явный вид альбедного оператора Р в случае полубесконечного слоя, а также явные представления операторов отражения и пропускания Г- в случае конечного слоя.

4. Решения однородного и неоднородного уравнений в случаях полубесконечного и конечного слоев представлены в операторной форме через оператор-экспоненту ехрпЛ) и оператор-функцию Грина С . При помощи этих формул и операторного исчисления вычислен явный аналитический вид реиения однородного уравнения в полубесконечном слое.

5. Получены рекуррентные уравнения и соотношение ортогональности для специальных полиномов Тт.™ (г>), обобщенных на случай спектральных линий.

6. Найден аналитический вид решений при ЧПЧ альбедной задачи, задачи с неоднородным граничным условием в конечном слое, проблемы Милна, задачи с первичными источниками вида конечной суммы произведений полиномов и экспонент .

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Aliyev J.S., Astrophys.Spaoe Soi., 1986, 121, I, 45.

2. Aliyev J.B., As trophys.Spaoe Soi., 1986, 121, 2 , 283.

3. Алиев Дж.С., Труды конференции молодых ученых, Баку, 1986.

4. Алиев Дж.С., Деп.ВИНИТИ, 1988, & 7930.

5. Алиев Дж.С., ДАН СССР, 198Э, 307, 6, 1340.

6. Алиев Дж.С., Циркуляр ШАО, 1991, Л 88.

7. Алиев Дж.С., Циркуляр ШАО, 1991, X 89.

8. Алиев Дж.С., Циркуляр ШАО, 1991, N 90.

9. Алиев Дж.С., Циркуляр ШАО, 1991, M 91.

Алиев Джасарат Саттар оглы ' Операторный метод решения переноса излучения при некогерентном и анизотропном рас — сеянии'.

Специальность 01.01.03 - математическая физика. Подписано £ печать О5.05.92г, Заказ № 114.Тираж 100 экз.

Отпечатано на ротапринтах в Институте прикладной математики дн