Метод дискретных ординат и линейно-алгебраическая модель переноса излучения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Введение

Список обозначений

Глава I. Основные уравнения переноса излучения.

§1. Интегро-дифференциальное и интегральное уравнения переноса.

§2. Связь между решением интегро-дифференциального и интегрального уравнений

§3. Интегральное уравнение переноса как операторное уравнение II рода в пространстве непрерывных функций

§4. Единственность, положительность и непрерывная зависимость решения от начальных данных

§5. Некоторые свойства решения интегро-дифференциального уравнения переноса.

Глава П. Дискретизация уравнения переноса.

§1. Линейно-алгебраическая модель переноса излучения

§2. Примеры линейно-алгебраической модели переноса излучения

§3. Векторно-матричная запись системы (1.1] .,

§4. Интегральная форма линейно-алгебраической модели переноса излучения

§5. Интегральная форма линейно-алгебраической модели переноса излучения как операторное уравнение

П рода в пространстве непрерывных функций

§6. Некоторые свойства решения линейно-алгебраической модели переноса излучения

Г • п

Глава Ш. Итерационный метод Зейделя

§1. Построение итерационного процесса.Теорема о сходимости итерационного процесса

§2. Доказательство теоремы.

§3. Исследование оценки скорости сходимости итерационного процесса.

§4. Обсуждение итерационного процесса

Глава 1У. Исследование линейно-алгебраической модели переноса излучения в случае равномерной дискретизации уравнения переноса по азимуту

§1. Структура линейно-алгебраической модели в случае равномерной дискретизации уравнения переноса по азимуту.

§2. Преобразование линейно-алгебраической модели переноса излучения

§3. Связь линейно-алгебраической модели переноса с "классическим" вариантом метода дискретных ординат и приближением.

§4^ Линейно-алгебраическая модель переноса излучения как система дифференциальных уравнений с коэффициентами из множества СсЪ ср).

Глава У. Структура решения интегральной формы линейно-алгебраической модели переноса излучения

§1. Система интегральных уравнений

§2. Некоторые определения, обозначения и леммы

§3. Существование решения уравнения (1.1) и его

• структура.

§4. Доказательство теоремы I

§5. Получение некоторых тождеств

§6. Исследование тождеств \5.4-5.5)

§7. Исследование тождеств (5.6-5.7)

§8. Некоторые свойства функции^ (£).

§9. Завершение доказательства теоремы I

§10. Векторно-матричная запись интегральной формы линейно-алгебраической модели переноса излучения

§11.Существование и единственность решения интегральной формы линейно-алгебраической модели переноса излучения

§12. Структура решения интегральной формы линейно-ал гебраической модели переноса излучения.

§13. Структура решения интегральной формы линейно -алгебраической модели в случае равномерной дискретизации уравнения переноса по азимуту

§14. Решение интегральной формы линейно-алгебраической модели переноса излучения в случае изотропного рассеяния.

§15. Структура решения линейно-алгебраической модели переноса излучения

§16. Некоторые обсуждения.

Глава У1. Численные результаты.

§1. Схема расчетов

§2. Исходные данные уравнения и метода решения.

§3. Численное решение уравнений

§4. Численное исследование скорости сходимости итерационного процесса

Уравнение переноса является одним из важнейших уранений математической физики. Оно описывает самые разнообразные физические процессы в астрофизике, физике атмосферы, атмосферной оптике, ядерных реакторах, светотехнике.и т.д. Большое разнообразие применения уравнения переноса для описания различных явлений окружающего нас мира позволяет выделить изучение уравнения переноса в самостоятельную дисциплину - теорию переноса.

В связи с тем, что уравнение перенса в общем случае интег-ро-дифференциальное имеет довольно сложную структуру, важную роль приобретают различные приближенные методы его решения. Вопросам численного решения уравнения переноса посвящена обширная литература (см. например, недавнюю монографию[Зб]и обзор [7б]).

В настоящей работе изучается метод дискретных ординат применительно к решению уравнения переноса, описывающего излучение в плоско-параллельной анизотропно рассеивающей среде:

А 2Т

1(0,= о •]), 1 .

Рассмотрен следующий вариант этого метода: выбирается конкретный набор направлений и, тем или иным способом, интегральный член заменяется конечномерным аналогом. Благодаря этому, уравнение переноса приближенно заменяется системой дифференциальных уравнении с количеством неизвестных функций, равным числу выб-„ранных направлений. Эту систему мы будем называть системой ме тода дискретных ординат ССЗДО]. п

Прототипами метода дискретных ординат являются методы Шусте-ра[7в], Шварцшильда['79] и Зддингтона[б5] , разработанные для решения уравнения переноса излучения в изотропно рассеивающих(т.е. ^(р) =1) атмосферах звезд и основанные на усреднении интенсивности излучения по углам. Естественным обобщением этих методов является метод Вика [82]- Чандрасекара[5б] . Идея стого метода заключается в следующем: интегральный член в уравнении переноса заменяется квадратурной формулой. Полученная на основе етого сис тема дифференциальных уравнений допускает аналитическое решение.

В настоящее время метод Вика-Чандрасекара является наиболее хорошо изученным численным методом простейшего уравнения переноса. Так, например, в[5,68,70]он обобщается на случай конечной оптической толщины, а в работах [38,39] - на случай неоднородной среды и сферической геометрии. В[б,7,37,48,57,59,60,77,81] изучены вопросы сходимости и скорости сходимости метода к точному решению.

Дальнейшее обобщение метода дискретных ординат применительно к решению уравнения переноса излучения в плоско-параллельной анизотропно рассеивающей атмосфере было сделано в монографии бб]. Оно основано на предположении о разложении индикатрисы рассеяния ^(¡С) в ряд по полиномам Лежандра со $(Г) ' Г Д £ , где^ -заданные коэффициенты, а Рг (р-)- полиномы Лежандра. Благодаря Этому, решение уравнения К1;^^) переноса представляется в виде ряда Фурье

I в II СЛ-Я0?) 11[11,/л.) сМ . (0.2) в котором коэффициенты if'itjjuj определяются из уравнений i А Л . п*. где= уЗ^ Ре » а /^присоединенные полиномы Лежандра. Далее интеграл в уравнении (0,3) заменяется на основе некоторой квадратурной формулы

1=4 7 вследствии чего уравнение (0.3) заменяется системой уравнений cLLcW -ri, , Л V £

А лГ-* г¿Wi^/w ^

На практике ограничиваются конечным числом L членов в разложении С 0.1),обеспечивающим нужную точность задания индикатрисы рассеяния. При небольших L описанный метод является весьма еффектив-ным, т.к. система (О^может бить решена аналитически.

Однако, при увеличении L эффективность этого метода резко ухудшается, сто связано, во-первых, с тем, что число ^ узлов квадратурной формулы (0.4) должно быть сравнимо с L , ибо в л • противном случае нарушается условие баланса частиц

4 Jï

-л из-за чего решение 1 ft/, С =I,2,.,Z. может потерять физический смысл. Число /V возможно уменьшить путем введения "нормировочных" коэффициентов , /¿/ ,J =1,2,., ru напри

69]

Л/ S Vv^= ' 2.A мер, методом ренормализации [ b9J таких, что н. однако это не снимает второй проблемы: нахождение решения п I (г,¡а., у>) - 1 & у7 » а суммирование ряда Фурье является некорректно поставленной задачей.

Эти свойства делают метод дискретных ординат в его оригинальной форме в задачах с сильно анизотропной индикатрисой рассеяния практически нереализуемым.

Отказ от разложения индикатрисы рассеяния в ряд по полиномам Лежандра впервые, по-видимому, сделан Секера[80]. Он применил идею метода Чандрасекара для изучения поляризованного солнечного излучения: Двойной интеграл в интегро-дифференциальном уравнении переноса заменяется с помощью квадратурной формулы. Полученная таким образом система дифференциальных уравнений решалась итерационным методом Зейделя. Такой алгоритм в настоящее время довольно популярен среди специалистов по атмосферной оптике и используется для решения различных задач атмосферной физики [58, 61,63,64,66,71-73]. Однако этот метод имеет существенный недостаток: в СМДО нарушено условие баллансности частиц. В результате этого решение уравнения может стать отрицательным или даже вообще комплексным[20] . Кстати, с такой ситуацией при исследовании • переноса излучения в "мутной" (^иъбиЖ) атмосфере столкнулся Эпельбаи[6б]. Он предложил модификацию метода Секера, которая заключалась в том, что в СМДО выполнялось условие баллансности частиц к р к У У 9 * <1, ¡¿1*12,-, *>> Л и.А. ы ¿V

Здесь дискретный аналог символа ^ (¡Г)

Условие балланса частиц является важным требованием для метода дискретных ординат. К такому выводу, например, пришли Карлсон и Латроп 20] . В этой работе для подтверждения указангного факта они получают СМДО не; путем применения каких-либо разностных методов к аналитической форме уравнения переноса, а на основе вывода уравнения переноса в терминах дискретных переменных: уравнение переноса выводится для конечной ячейки в фа- • зовом пространстве способом, аналогичным тому, который используется для вывода аналитического уравнения переноса. Полученное таким образом разностное уравнение оказалось устойчивым по отношению к численному счету.

Систему метода дискретных ординат, в которой выполняется уело вие баланса, мы, следуя терминологии [43] , будем называть лине йно-алгебраической (ЛАМ) переноса излучения.

Настоящая работа посвящена изучению линейно-алгебраической модели переноса излучения в плоско-параллельном однородном анизотропно рассеивающем слое конечной оптической толщины.

Остановимся теперь на содержании работы.

Первая глава носит вспомогательный характер. Здесь приводится вид интегро-дифференциального уравнения переноса излучения в плоско-параллельном однородном анизотропно рассеивающем слое и его интегральный аналог. Затем описывается связь между гтими уравнениями, которая формулируется!в виде теоремы эквивалентности. Далее интегральная форма уравнения переноса рассматривается как операторное уравнение II рода в пространстве непрерывных функций. Доказывается полная непрерывность, положительность оператора этого уравнения, а также существование, единственность и непрерывная зависимость решения от начальных данных. Последний параграф этой главы посвящен перенесению основных свойств решения интегрального уравнения на решение интегро-дифференциального уравнения (существование, единственность и непрерывная зависимость решения от начальных данных1) .

Теоремы существования, единственности, непрерывной зависи- ^ мости решения от исходных данных в соответствующих пространствах даны во многих работах[1,8,17,18,21,55] и для более общего случая. В этой главе воспроизводится ход этих доказательств для конкретного уравнения переноса. Мы старались оформить теоремы в таком виде, чтобы иметь возможность опустить доказательства аналогичных теорем для ЛАМ, рассматриваемых в последующих главах.

При изложении этого параграфа мы в основном придерживались монографий f8,45,46,56J .

Вторая глава посвящена определению ЛАМ рассматриваемой задачи и исследованию свойств единственности, положительности и непрерывной зависимости от начальных данных. В первом параграфе этой главы мы определяем ЛАМ как краевую задачу для системы диф ференциальных уравнений, коэффициенты которой удовлетворяют условиям "симметричности", "положительности" и "балансности".Затем, во втором параграфе приводятся две конкретные ЛАМ. Первая из них получена путем замены интегрального члена в- уравнении переноса на основе какой-либо квадратурной формулы. При этом, чтобы не нарушилось балансности, вводятся нормировочные коэффициенты.

Вторая ЛАМ получена следующим образом. Разбиваем отрезки [0,1] и [0,23í] точками 0=jUc V; 0-соответственно. Далее интегро-дифференциальное уравнение переноса осредняется по угловым переменным и ju, ( здесьji-Wd\ <ty - полярное расстояние в сферической системе координат,) на множествах

Г „ -1

Представляя интеграл столкновении в виде суммы интегралов, где интегрирование происходит на множестве ^¿^ и считая решение 2(^/¿/У) уравнения переноса постоянным по ^ и у на получим второй вариант ЛАМ. Отметим, что для этой ЛАМ условие балансности оказывается выполненым автоматически.

В следующем, третьем параграфе, для более компактной записи ЛАМ вводится векторно-матричная символика. Все вводимые здесь обозначения сохранены на протяжении всей работы.

В четвертом параграфе выводится интегральная форма ЛАМ.

Последние два параграфа этой главы посвящены установлению свойств единственности, положительности и непрерывной зависимости решения от начальных данных как ЛАМ, так и его интегральной формы. Теоремы, формулирующие эти свойства, практически дословно повторяют рассуждения соответствующих теорем предыдущей главы. Поэтому здесь они приводятся без доказательства.

При изложении этой главы мы придерживались в основном работы [24] , а также: [20,43] .

В третьей главе изучается итерационный метод Зейделя применительно к пешению ЛАМ. В первом параграфе этой главы формулируется итерационный процесс и приводится теорема о сходимости и скорости сходимости этого процесса, доказательству которой посвящен следующий параграф. Показано, что метод Зейделя сходится к точному решению ЛАМ как геометрическая прогрессия со знаменателем, который можно оценить и-е«р(-ън)х ( осд<1. (0.7)

В третьем параграфе изучается асимптотическое поведение величины ^ , т.е. ее поведение в предположении, что количество дискретных направлений ЛАМ достаточно велико. В этом случае величина £ , входящая в определение ^ , есть : г £ г г™- [ к) к > (0-8) где — индикатриса рассеяния, а I - множество точек , для которых имеет место равенство А ЖТ о У* ~г о

Из формул (0.7) - (0.8) видно, что скорость сходимости итерационного процесса уменшается с ростом анизотропности индикаИ трисы влево" (т.е. уменьшением величины % ^сС^с) и, в случае Т^р, не уменшается с ростом "анизотропности вправо" Ст.е. с увеличением величины }0 ) • Численные эксперименты подтверждают гипотезу об увеличении скорости сходимости метода с ростом анизотропности индикатрисы "вправо" (см. §4.2 гл.УТ) .

В §4 этой главы обсуждается метод трапеций для решения задачи Коши, возникающей на каждом итерационном шаге. Яга глава написана на основе работы автора [ 24] .

В четвертой главе изучается ЛАМ в предположении, что дискретные направления равномерны по азимуту.

В §1 изучается структура ЛАМ. Показано, что матрица коэффициентов такой ЛАМ естественным образом разбивается на блоки -циркулянты, которые обладают рядом хороших свойств^см. Дополнение Далее, в §2 исходная ЛАМ путем несложных линейных преобразований разбивается на ряд подзадач вида

•и где = Д., д - количество дискретных направлений по азимуту,

1 ¿^ » ОСс > некоторые заданные величины, а решение ЛАМ представляется в виде суммы

1г су- + ^юснкъ, (0.19

Здесь с , С указывает точку (I , у) на единичной сфере.

В §3 рассматривается ЛАМ, полученная на основе замены интеграла столкновений в уравнении переноса на основе квадратурной

2Ж формулы прямоугольников по азимуту и некоторой квадратурной формулы по дс (т.е ЛАМ, построенную в §2 главы И) ; А И/

С- 4

Предположим, что индикатриса рассеяния представима в виде суммы по полиномам Лежандра с количеством членов, равным (см. формулу (0.1]) . Тогда в системе уравнений (0,9) есть: где о, { С»чк)£<Р}1

Ь1

Р-/ (м-к)бР) I Снп-ЦеР) г О*

1 ¿(-г) определяется аналогичным (0.12) выражением, =/¿¿1 СС1 * /Ъщ/¿I .

При р. Ъ 21 получаем

Я еС</) с, СШ/гоГс)£ (Т^) у ///=- 4,2,-., п,; 4,2,., f-<f, где^ некоторые нормировочные множители. В этом случае система (0.9) отличается от системы (0.3) лишь наличием,в ней нормировочных множителей.

Если и-./Х-,- - и-, Ы: есть веса и узлы формулы Гаусса на с/ *

0,1] и уь = 1 * (^1=2, тоД. =у2«>^=1, а следовательно ЛАМ и метод Чандрасекара (0.4-0.Ъ) совпадают.

Из приведенных выше формул видно, что ЛАМ аналогична методу Чандрасекара £ср. (0.2,1,(0.5) с (0.9) , (0.10^) . Однако между этими методами имеется существенное различие.

Для применения метода Чандрасекара к решению уравнения переноса нам необходимо задать индикатрису рассеяния в виде суммы по полиномам Лежандра, а в таком представлении необходимо присутствие некоторого минимального числа и полиномов Лежандра. С ростом анизотропности индикатрисы рассеяния это число возрастает и попадает в некоторую область I. % А. , где метод Чандрасекара в его оригинальном виде практически нереализуем даже для довольно грубых расчетов *

Для построения ЛАМ такого представления индикатрисы рассеяния не требуется, что расширяет класс уравнений переноса, где этот метод применим. В гл. У1 приведено численное исследование точности решения уравнения переноса методом построения ЛАМ от величиныД (см. табл. 103 .

Глава У посвящена изучению структуры интегральной формы ЛАМ. В §1 рассматривается система интегральных уравнений вида .4 b CM (Iß (V-4J 0

J А £ oc(4)d4+ j А г ui*)cUtAe Cc голз) о z где А , A j A*~ - квадратные матрицы размерности л* Yi ; ß , yf £ , ß , - диагональные матрицы; C0 - вектор-столбец длины /v ,

- искомая вектор-функция. Яга система включает в себя как частный случай интегральную форму JIM. Более общую постановку задачи, чем требуется, мы представили для того, чтобы включить в рассмотрение некоторые модели переноса излучения в разорванной облачности, описывающиеся интегральными уравнениями и не имеющие интегро-дифференциального аналога (см.,например, /3,4]J. В §2 даны некоторые понятия, -обозначения, свойства матриц и т.д., которые потребуются для формулировки и доказательства теорем.

В §3 сформулированы теоремы о единственности и структуре решения системы (О.13,) . §§4-9 посвящены их доказательству, а §§10-14 - применению этих теорем к различным видам интегральных форм ЛАМ. В §15 исследуется структура решения ЛАМ, а в §16 обсуждаются некоторые результаты, полученные в этой главе.

Показано, что при определенных условиях на исходные данные задачи L А , А ,.J решение системы (O.isj представимо в виде и(?) = ex/o(Алv)g1 - е*р (Л,г)где вектора^ , §z , и столбцы матрицы находятся из соответствующих уравнений, а диагональные матрицы У% , J\, и матрицы , бу имеют следующее строение: J -й диагональный ¡элемент матрицы Л & =1,2) удовлетворяет характеристическому урав1 нению

Г -1

С' а j -й столбец матрицы ^ есть нетривиальное решение уравнения

Т ■ СО. 14)

Пусть система (0.13) есть интегральная форма ЛАМ, а соответствующая ей ЛАМ есть со io.15)

Тогда решение системы CO.Iöj имеет вид г(т) - ел.р(Аг)$ + So ex/? C6°v)C0 .

Здесь Л - диагональная матрица, j -й элемент которой удовлетворяет характеристическому уравнению. Показано, что если Л является корнем этого уравнения, то также будет удовлетворять характеристическому уравнению. Кроме того, каждый корень является одновременно и собственным значением матрицы JL . Обратное утверждение неверно.

Каждый столбец матрицы <5 имеет вид

-i j = + % J солб) где д удовлетворяет системе (0.14) , Д - корень характеристического уравнения, Е - единичная матрица, а о \ iE о \ о &2) ' <7 = ( О ^

Показано, что каждый вектор <) вида (0г1б) является собственным вектором матрицы JL . Обратное утверждение неверно.

Из вышесказанного следует, что структуру ЛАМ определяют корни характеристического уравнения и соответствующие бтим г СП корням нетривиальные решения уравнения (0.14) . Иначе говоря, в формировании решения ЛАМ (0.15) участвуют только те собственные значения матрицы и соответствующие им собственные вектора, которые удовлетворяют характеристическому уравнению и уравнению (0.14) .

Отметим, что в соответствующих теоремах о структуре ЛАМ и структуре его интегрального аналога приведены оценки количества корней характеристического уравнения.

При изложении главы У мы придерживались работы автора [2б] .

Последняя глава содержит результаты численного исследования ЛАМ. Результаты етих расчетов приведены в Приложении.

При изложении главы У1 используются понятия матриц специального типа - циркулянтов. Определения и основные свойства этих матриц даны в Дополнении. Ссылка на Дополнение, как в основном тексте, так и в самом Дополнении, начинается с буквы Д, затем идет римская цифра, указывающая номер пункта и, наконец, арабская цифра в случае необходимости указывает номер формулы, например (Д. Ш.5).

Ссылки на формулы текста построены следующим образом: римская цифра указывает номер главы, далее следует номер параграфа, а затем - номер формулы, например (1.1.1). Если римская -цифра отсутствует, то цитируемая формула расположена в этой же главе.

В начале работы приведен список обозначений с указанием страницы, где каждое из них введено. Начиная с указанной в этом списке страницы, значение символа не меняется.

Обозначения

V) 21 6 34

21 34

А 21 ^^Сс) 34

И 21 35

21 Ъ 39

Г'Г 21 ь 39

21 л 39

23 2) 39

28 9А 39

29 о.Ь 39 е. от? 29 г 39

29 (•Г)ь 40

4^ 30 ,32 40

30 ,32 III ' III 40

33 46

33 <Г(4) 49 а. ч 33 49

33 49

33 61,62

Х( Г) 34 $ 61,62 у*) 34 и а I Год 66 я 34 66

А 34 * Г ОД 66

А* 79,98

79

0о 79,98

1А1 79 сС (А) 80

Л 80

80

81

81 а ГЛ,&] 81

82

Г«; 83

90

91 ь- 98 (Г) 98 а (V) 98

Р 99

4- 99

Я 100

100

100

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Приведем краткую сводку основных результатов работы.

1. Доказана сходимость и оценена скорость сходимости итерационного метода Зейделя (III Л Л) к решению ЛАМ (IIЛ Л

- ПЛ.2).

2. Изучена зависимость скорости сходимости итерационного процесса от индикатрисы рассеяния.

3. Показано, что в случае равномерной дискретизации уравнения переноса по азимуту матрица коэффициентов системы дифференциальных уравнений естественным образом разбивается на блоки специального вида - циркулянты. Благодаря этому, исходная задача разбивается на ряд подзадач меньшей размерности. Исследована связь между ЛАМ и методом Чандрасекара.

4. В рамках линейной алгебры построено решение ЛАМ. Для получения этого решения обобщено понятие характеристического уравнения метода дискретных ординат.

5. Изучены вопросы численной реализации итерационного метода Зейделя для решения ЛАМ. Численные результаты не противоречат теоретическим.

В качестве перспектив дальнейших исследований следует указать на более детальное изучение ЛАМ в случае равномерной дискретизации по азимуту, на исследование связи между этой системой и методом, основанном на разложении индикатрисы рассеяния в ряд по полиномам Лежандра, а также на построение приближенных методов с использованием характеристического уравнения.

В заключение хочется выразить искреннюю благодарность моему научному руководителю профессору Г.М.Вайникко за большую

ДОПОЛНЕНИЕ Циркулянты. Основные свойства

I. Циркулянтом порядка С называется матрица вида С

Iе 1 0 с< С*.

Со сл сгг Сс к Съ

1.1)

Упорядоченный набор ( С0 , С^ , С^ , . С^-^ ) называется образующим вектором циркулянта. Всякий циркулянт однозначно определяется своим образующим вектором.

Теорема I. Матрица С -(с^с) является циркулянтом тогда и только тогда, когда ее элементы выражаются формулой

1.2)

II. Если матрица (1.1) есть симметричная матрица, то в этом случае С называется симметричным циркулянтом. Из (1.2) следует следующая структура симметричного циркулянта: образующий вектор симметричного циркулянта четного порядка есть

С0 С, . Су< С^ Сг< . С,) , р,* 2.$-, а нечетного с0 с4 - - ■ С^ Сс^ С^-л Сл) , /г

Отсюда следует, что всякий симметричный циркулянт однозначно определяется заданием первых + 4) чисел образующего вектора.

III. Собственное значение циркулянта (I.I) определяется формулой [2,35]

Л" V 4 И

J^

Cj 1 , U = q 2,-, /г--f, а соответствующий ему собственный вектор g есть

1.3)

1.4) где х - ¡с -й корень уравнения =1. Нетрудно показать. что

1.5)

1У. Из (1.3) - (1.5) следует, что любой циркулянт порядка при помощи унитарного преобразования V

- J

- f 4

1 / ф л

-i

I < fl-4 4

Ь*-4 /

Г" 1 (7(7% £ Л j не зависящего от конкретного циркулянта, приводится к диагональному виду

С= и]и* ,

V. Все циркулянты порядка [ь- коммутируют между собой.

VI. Рассмотрим симметричный циркулянт четного порядка р, = = Хо^ . Из пп.2-3 следует, что 1с-тое собственное значение циркулянта есть

Л. - £ + С-^Сс + Сс см^ I о,<,г,.;1ь-4.

V / Т

УН. Собственные значения симметричного циркулянта четного порядка удовлетворяют соотношениям

Это выражение следует из следующей цепочки равенств:

Агк - Сс + (.-Ао1 сь * ¿Г ег С*> =

- а - (-<)\ , г Гее с« (и- Т-М) ,

УШ. Рассмотрим операцию умножения циркулянта на вектор. Поставим каждому вектору х. е ' ос — С З^о, ос ^ . ос ^ ) в соответствие циркулянт 06 с образующим вектором (X*

Нетрудно убедиться, что соответствие хм ^ есть изоморфизм.

Очевидные выкладки показывают, что образующий вектор циркулянта и

Г л, ]

СЗГсовпадает с вектором Схе Я . Следовательно, операция умножения циркулянта С на вектор ос, эквивалентна произведению двух циркулянтов С и X

IX. Обозначим через Ссъ(р>) множество всех циркулянтов порядка р, , а через СсъСр*) - множество всех симметричных циркулянтов. Очевидно, что с ОуъС^) ■

Кроме того, имеют место следующие свойства:

X. А, В е =7 ОС А & 6 Сог(^) 7

XI. А, 6 6 =9 А 1Ъ € Ссл.ср.> ,

XII. /А е а-^7/0 2 в А'4 =7 СсъГСр),

XIII. А, е, е ссъ* АЪ^&А

XIV. Свойства Х-Х1У остаются в силе и для множества Сс'ьС^) .

XV. Рассмотрим величину

-1 и Т п. *

Л = ¿. — С&о —т

Теорема. Имеет место соотношение

С о, С у

Пм I 1 Ц.о) о, ¿.,21.,. 5

Доказательство. Применяя формулу произведения тригонометрических функций С16] , получим I { у4 , £7)(м+п)к , |

А - к ¿- С СМ---+ иъ-г ) '

2 % (Ю */л ) У.

Рассмотрим величину С&ъ —£— . Она определяет к* о собственные значения циркулянта

А .л л ■ • • л А Л

Следовательно 1-Л и« 4 п. = О, /-, 1 L/ .

7Г(*п4к) ¡О С0О --—

М-+-П, ^ 2 ••

Аналогично иол —-¡—2-= ^

Отсюда получаем формулу (1.6).

1. Белл Д., Глестон С. Теория ядерных реакторов.- М.:Атомиздат, 1974.- 494 с.

2. Беллман Р. Введение в теорию матриц.-М.:Наука, 1976.-352 с.

3. Вайникко Г.М. Транспортное приближение к средней интенсивности излучения в разорванной облачности. Метеорологические исследования, 1973, №21, с.38-51.

4. Вайникко Г.М. Уравнение средней интенсивности излучения в разорванной облачности.- Метеорологические исследования, 1973, № 21, с.21-37.

5. Вайникко Г.М., Карпенко Л., Шилман А. Решение интегральных уравнений с экспоненциальными ядрами.- Изв.АН ЭССР, сер. физ.-матем., 25, № 2, 1976, с.118-123.

6. Вайникко Г.М., Князихин Ю.В., Маршак A.A. 0 быстроте сходимости метода Чандрасекара. В кн.:Республиканский симпозиум по методам решения нелинейных уравнений и задач оптимизации. Тез. докл.,Таллин, 1978, с.21-22.

7. Вайникко Г.М., Маршак A.A. 0 быстроте сходимости метода дискретных ординат в задаче переноса излучения.- Изв.ВУЗов, Матем., 1978, Ш II, с.11-22.

8. Владимиров B.C. Математические задачи односкоростной теории переноса частиц. 'Груды матем. ин-та им.В.А.Стеклова АН СССР, 196I, № 61.-160 с.

9. Владимиров B.C. Особенности решения уравнения переноса.- Ж. вычисл. матем. и математ. физ.,1968, т.8, № 4, с.842-852.

10. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры.-М.; Наука, 1977.-304 с.1. С""

11. Воеводин В.В., Тартышников Е.Е. Численные методы решения задач с матрицами типа теплицевых.- Ж.вычисл.матем. и матем. физ., 1981, т.21, №3, с.531-544.

12. Гантмахер Ф.Ф. Теория матриц.-М.:Гостехиздат, 1955.-492 с.

13. Гермогенова Т.А. Локальные свойства решения уравнения переноса.- Докл.АН СССР, 1969, т.187, № 5, с.978-981.

14. Гермогенова Т.А. Обобщенные решения краевых задач для уравнения переноса.- Ж. вычисл.матем. и матем.физ.,1969, т.9,3, с.605-625.

15. Гермогенова Т.А. 0 характере решения уравнения переноса для плоского слоя.- Ж. вычисл. матем. и матем. физ, 1961, т.I, № 6, с.

16. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические форму-лы.-М.:Наука, 1978.-224 с.

17. Дэвисон Б.Теория переноса нейтронов.-М.:Атомиздат, 1960.--520 с.

18. Ершов Ю.И., Шихов С.Б. Методы решения краевых задач теории переноса.-М.:Атомиздат, 1977.-193 с.

19. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ.-М.:Наука, 1977.-741 с.

20. Карлсон Б., Латроп К. Теория переноса. Метод дискретных ординат. -В кн.: Вычислительные методы в физике реакторов. М.:Атом-издат, 1972, с.102-157.

21. Кейз К., Цвайфель П. Линейная теория переноса. М.:Мир,1972. -384 с.

22. Князихин Ю. Метод дискретных ординат применительно к решению уравнения переноса излучения в однородной плоскопараллельной анизотропно рассеивающей атмосфере. I.-Изв.АН ЭССР, сер.:физ.--матем.,1982, т.31, № I, с.1-10.

23. Князихин Ю. Метод дискретных ординат применительно к решению уравнения переноса излучения в однородной плоскопараллельной анизотропно рассеивающей атмосфере. 2.-Изв.АН ЭССР, сер:физ.-математ.,1982, т.32, №2, с.185-197.

24. Князихин Ю.В. Решение уравнения переноса с произвольной индикатрисой рассеяния методом дискретных ординат.-В кн.:Защитаот ионизирующих излучений ядернотехнических установок: Труды Третьей всесоюзной научной конф.Тбилиси, 1983, с.106-113.

25. Князихин Ю. Структура решения некоторых систем интегральных уравнений, связанных с приближенным решением задач переноса излучения.- Уч. зап. Тартуск. ун-та, 1979, № 500, с.73-91.

26. Коллатц Л.Функциональный анализ и вычислительная математика.- М.:Мир, 1969.-448 с.

27. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа.- М.:Наука, 1972.-496 с.

28. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров.- М.:Наука, 1978,-832 с.

29. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий

30. Я.Б.,Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений.- М.:Наука, 1969.-456 с.

31. Красносельский М.А., Стеценко В.Я. Замечание о методе Зейделя.--Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1969, т.9, № I с.177-181.

32. Курпель Н.С., Шувар Б.А. Двусторонние операторные неравенства и их приложения.-Киев: Наукова думка, 1980.-267 с.

33. Ланкастер П. Теория матриц.-М.:Наука, 1978.-280 с.

34. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры.-М.:Наука, 1975.-400 с.

35. Маркус М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. -М. : Наука, 1972.-232 с.

36. Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов.-2-е изд., перераб. и доп.-М.:Атомиздат, 1981.--456 с.

37. Маршак А.Л. 0 быстроте сходимости метода дискретных ординат в случае квадратур Гаусса.-Уч.зап. Т^ртуск. ун-та, 1979,500, с.92-104.

38. Маршак А. 0 решении уравнения переноса в неоднородной среде методом дискретных ординат.-Изв.АН ЭССР, сер.:физ.-матем., т.30, № 3, с.190-201.

39. Маршак А. 0 решении уравнения переноса методом дискретных ординат в сферической геометрии.-Изв.АН ЭССР, сер.:физ.-ма-тем. ,1981, т.30, №4, с.364-375.

40. Масленников М.В. Проблема Милна с анизотропным рассеянием.--Труды матем. ин-та им.В.А.Стеклова АН СССР, 1968, т.97.--133 с.

41. Масленников М.В. Проблема Милна с произвольной индикатрисой.--Докл.АН СССР, 1958, II, с.895-898.

42. Рисс Ф.,Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. -М.:Мир,1979.-587 с.

43. Румянцев Г.Я. Линейно-алгебраическая теория переноса нейтронов в плоских решетках.-М.:Атомиздат, 1979.-224 с.

44. Смелов В.В. Лекции по теории переноса нейтронов.-М.:Атом-издат, 1978.-216 с.

45. Соболев В.В.Перенос лучистой энергии в атмосферах звезд и планет.-М.:Гостехиздат, 1956.-392 с.

46. Соболев В.В. Рассеяние света в атмосферах планет.- М.:Наука, 1972.-336 с.

47. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений /Под общ.ред.Дк.Холл и Днс.Уатт -М.:,Х979. -312 с.

48. Султангазин У.М. Методы сферических гармоник и дискретных ординат в задачах кинетической теории переноса.-Алма-Ата: Наука.Каз.ССР,1979.-267 с.

49. Сушкевич Т.А. Об учете сильной анизотропии рассеяния в задачах распространения излучения с мононаправленным источником. -М.,1979.-30 с. (Препринт/Ин-т прикладной матем. им. М.В.Келдыша р 132).

50. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. -М.:Гостехиздат, 1945, с.1-304.

51. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры.-М.:Физматиздат, 1960.-656 с.

52. Форсайт Д?к.,Малькольм М.,Моулер К. Машинные методы математических вычислений.-М.:Мир,1980.-280 с.

53. Форсайт Дя.,Молер К. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений.-М.:Мир,1969.-168 с.

54. Функциональный анализ: Справочная математическая библиотека/ /Под общ. ред. С.Г.Крейна и др.-М.:Наука, 1972.-544 с.

55. Цвайфель П. Физика реакторов.-М.:Атомиздат, 1977.-280 с.

56. Чандрасекар С. Перенос лучистой энергии.-М.:ИЛ,1953.-432 с.

57. Чуянов В.А. 0 сходимости приближенного решения кинетического уравнения (метод квадратур типа Гаусса).-В кн.:Некоторые математические задачи нейтронной физики,М.:МГУ,1960,с.199-220.r 1

58. Ahmad Z., Fräser R.S. An Iterative Radiative Transfer Code For Ocean Atmosphere System. J. Atmos. Sei., 1982, v. 39, No. 3, p. 656-665.59* Anselone P.M. Collectively compact operator approximation theory. Prentice-Hall, New Jersey, 1971, 196 p.

59. Anselone P.M. Convergence of Chandrasekhars method for in-homogeneous transfer problems. J. Math. Mech., 1961, No. 10, p. 537-546.

60. Braslau N., Dave J.V". Effect of Aerosols on the Transfer of Solar Energy through Realistic Model Atmospheres. 1. J. App. Meteor. 1973, No. 12, p. 601-615.

61. Dahlquist G. A special stability problem for linear multistep methods. BIT, No. 3, p. 27-43.

62. Eddington A.S. Der innere Aufbau der Sterne. Berlin, Verlag von Julius Springer, 1928, 514 S.

63. Eschelbach G. A direct method for the integration of the equation of radiative transfer in a turbid atmosphere. J. Quant. Spectrose. Radiat. Transfer, 1971, v. 11, No. 6,p. 757-765.

64. Gast R, On the equivalence of the spherical harmonics method and the discrete ordinate method using Gauss quadratur for the Boltzmann equation. Beftis Report, WARD-TM--118, 1958, p. 1-10.j1. Г" 1

65. Gautchi W. Construction of Gauss-Cristoffel Quadrature Formulas. Mathematics of Computation, 1968, Vol. 22, Ho. 102, pp. 251-270.

66. Hansen J.E. Multiple Scattering of Polarized Light in Planetary Atmospheres» Part II. Sunlight Reflected by Terrestrial Water Clouds. J. Atmosph. Sci, 1971, Vol. 28, No. 8,pp. 1400-1426.

67. Heinlo A., Viik T. Radiative Transfer in a Finite Slab by Kernel Approximation. В сб.: Перенос излучения несером слое образование линий поглощения, Тарту,АН ЭССРД978, с. 37-54.

68. Herman В.М., Browning S.R. A Numerical Solution to the Equation of radiative transfer. J. Atm. Sci., 1978, v. 22, p. 559-566.

69. Herman B.M., Browning S.R., Curran R.J. The Effect of Aerosols on scattering Sunlight. J. Atm. Sci, 1971, 28, pp. 419-428.

70. Herman B.M., Yarger D.N. Some Effects of Multiple Scattering on Heating Rates in the Ozone Layer. J. Atm. Sci, 1966,v. 23, p. 320-324.

71. Keller H.B. On the pointwise convergence of the discrete ordinate method. J. SIAM, 1960, v. 8, No. 4, pp. 560-567.

72. Liou K. A numerical experiment on Chandrasekhar*s discrete- ordinate method for radiative transfer: Applications to cloudy and hare atmospheres. J. Atmos. Sci, 1973, 30, No.7, p. 1303-1326.

73. Lenoble J. Standard procedures to compute radiative transfer in a ecatteringatmosphere. Colorado 80307, USA 1977, 1,p. 1-125.

74. Pitkaranta J., Scott L.R. Error estimates for the combinedspatial and angular approximations of the transport equation1..Jfor slab geometry. Helsinki, 1982, 59 p. (Report)Teknilli-nen korkeakoulu matematiikan laitos, HTKK-MAT-A192)•

75. Schuster A. Radiation tlirough a Foggy Atmosphere, Ap.J. 1905, 21, No. 1, pp. 24-36»

76. Schwarzcshild K. über des Gleichgewicht der Soancn-at.osphä-re, Gottinger Nachr., 1906, v. 41, p. 27-39«

77. Sekera Z. Investigation of polarization of skylight.- Pinal Report, Contract AF 19 (120-239), 1955, 120 p.

78. Vainikko G., Padas A. The properties of solutions of weafcly singular integral equation. J. of the Australian Math. Society, Series B, 1981, 22, Part 4, pp. 424-435.

79. Wick C.G. Über Ebene Diffusions Probleme. Zeits. f. Physik, 1943, 121, Ho. 11-12, S. 702-718.