Численное моделирование радиационного нагрева поверхности спускаемого космического аппарата сложной формы тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Филипский Максим Владимирович

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАДИАЦИОННОГО НАГРЕВА ПОВЕРХНОСТИ СПУСКАЕМОГО КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА СЛОЖНОЙ ФОРМЫ

Специальность 01.02.05 - "Механика жидкости, газа и плазмы"

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2005 г.

Работа выполнена в Институте проблем механики Российской академии наук

Научный руководитель:

- доктор физико-математических наук, профессор С.Т. Суржиков Официальные оппоненты:

- доктор физико-математических наук, профессор Ю.Д. Шевелев

- доктор физико-математических наук, А.Ф. Колесников

Ведущая организация:

- Центральный аэрогидродинамический институт им. проф. Н.Е. Жуковского

Защита состоится" " 2005 г. в" " час. на заседании

диссертационного совета Д 002.240.01 при Институте проблем механики РАН по адресу: 119526, г. Москва, пр-т. Вернадского, 101, корп. 1

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем механики РАН

Автореферат разослан" " 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 002.240.01

кандидат физико-математических наук

Е.Я. Сысоева

1 ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ 1.1 Актуальность темы

Теплообмен излучением играет важную роль в природе и технике. Структура атмосфер планет и звездных фотосфер, рабочие процессы в камерах сгорания и плазменных генераторов, тепловой режим радиоэлектронной аппаратуры и искусственных спутников Земли, аэротермодинамика космических аппаратов- это лишь некоторые примеры процессов, в которых теплообмен излучением является определяющим. В последнее время в научной литературе по сложному теплообмену отмечается повышенный интерес к радиационному переносу энергии в связи с его принципиальным значением для таких объектов техники, как возвращаемые космические аппараты, различные энергетические установки и термоядерные устройства.

Использование космических аппаратов для исследования планет солнечной системы, вызывает практический и теоретический интерес к изучению процессов протекающих при вхождении спускаемых аппаратов в плотные слои атмосфер планет. При скоростях составляющих 6-11 километров в секунду космический аппарат подвергается сильному конвективному и радиационному нагреву в результате взаимодействия с газом, нагретым в ударном слое.

Чтобы уменьшить общий вес космического аппарата необходимо точно рассчитать его тепловую защиту. Для этого важно с высокой достоверностью вычислить тепловые потоки на поверхность спускаемого модуля. Как правило, оценку конвективного и радиационного нагрева проводят для головного аэродинамического щита, принимающего на себя основную часть тепловой нагрузки. Однако при входе космического аппарата в атмосферу Марса радиационный нагрев задней поверхности может играть важную роль, поскольку эта поверхность практически не защищена, но подвергается воздействию радиационного теплового . потока, идггусвд^ого десятками

кубических метров нагретой до высоких температур двуокиси углерода, которая, как известно, является хорошим излучателем в инфракрасной области спектра. Таким образом, одной из задач аэротермодинамического анализа межпланетных спускаемых аппаратов является предсказание интенсивности радиационного нагрева задней поверхности.

Представляет значительный практический и научный интерес создание теоретических моделей, разработка численных методов и программ расчета спектральных и интегральных радиационных тепловых потоков к поверхности космических аппаратов сложной формы и энергетических устройств типа плазменных генераторов. Это выдвигает необходимость разработки двух- и трехмерных моделей радиационного переноса тепла в объемах сложных геометрий на структурированных и неструктурированных сетках. 1.2 Цель работы и задачи исследования

Диссертационная работа имеет четыре основных цели:

1. Разработка численных методов для расчета спектральных и интегральных параметров поля излучения низкотемпературной плазмы в объемах сложной геометрии.

2. Разработка численных методов расчета излучательной способности локализованных в пространстве неоднородных объемов низкотемпературной плазмы.

Для этих целей были решены следующие задачи:

• Разработаны алгоритмы решения уравнения переноса излучения на ортогональных сетках методом дискретных ординат в многогрупповом приближении, в плоской и цилиндрической геометриях;

• Разработаны алгоритмы решения уравнения переноса излучения на неструктурированных треугольных и тетраэдальных сетках методом дискретных ординат в многогрупповом приближении;

Ч<

• Разработан алгоритм оптимального счета на неструктурированных сетках, а так же алгоритм расчета геометрических свойств ячеек и распознавания их пространственной ориентации относительно направления распространения фотонов;

• Рассчитаны угловые квадратуры высоких порядков для ряда наборов дискретных направлений;

• Разработанные алгоритмы реализованы в виде программного кода на языке FORTRAN.

3. Исследование характеристик поля излучения (радиационного потока, плотности лучистой энергии, дивергенции вектора плотности потока радиационной энергии) неоднородных плазменных объемов в зависимости от пространственных и угловых сеток, а так же от числа спектральных групп в оптическом диапазоне.

4. Тестирование разработанных методов на примерах сравнения результатов численных расчетов с имеющимися экспериментальными данными и с результатами, полученными другими методами решения уравнения переноса излучения.

1.3 Научная новизна

Разработана методика применения метода дискретных ординат к расчету переноса теплового излучения потока вязкого, теплопроводящего газа через локализованную область плазмы в лазерном плазменном генераторе. Модель основана на уравнении переноса излучения в многогрупповом спектральном приближении. В качестве плазмообразующего газа исследован воздух и водород при атмосферном давлении. Проведен численный расчет радиационного нагрева внутренней поверхности лазерного плазменного генератора. Групповые и интегральные радиационные тепловые потоки на внутреннюю поверхность цилиндрического лазерного плазменного генератора были вычислены при помощи метода дискретных ординат на ортогональных структурированных

сетках. Произведено сравнение численных результатов метода дискретных ординат с методом дискретных направлений.

Разработан метод и представлены результаты численного моделирования радиационного нагрева задней поверхности космического аппарата MSRO (Mars Sample Return Orbiter) Европейского космического агентства. Для определения радиационных тепловых потоков разработан метод дискретных ординат на неструктурированных тетраэдальных сетках. Радиационная модель основана на уравнении переноса излучения в многогрупповом приближении.

Численный расчет выполнен для наиболее теплонапряженной точки предполагаемой траектории входа космического аппарата типа MSRO в атмосферу Марса содержащей 97% СО2 и 3% N2 (массовые доли). Численные результаты получены для различных пространственных и угловых сеток. Произведено сопоставление результатов численных расчетов на структурированных и неструктурированных сетках. Предсказан уровень радиационных тепловых потоков к задней поверхности космического аппарата MSRO.

Для применения метода дискретных ординат для расчета поля излучения в объемах содержащих локализованные источники излучающего газа были вычислены веса S„ угловых квадратур высоких порядков, вплоть до п=16. 1.4 Практическая ценность работы

Созданная расчетно-теоретическая модель, позволяет предсказывать характеристики радиационных полей в камерах лазерных плазменных генераторов, а также выполнять расчеты потерь радиационной энергии из воздушной и водородной лазерной плазмы энергетических устройств типа плазменных генераторов.

Вычисленные радиационные потоки на поверхность MSRO (Mars Sample Return Orbiter) входящего в атмосферу Марса, могут быть использованы для расчета тепловой защиты космического аппарата.

Разработанный расчетно-теоретический материал позволяет производить расчеты характеристик поля излучения в объемах произвольной формы, как для двумерных, так и для трехмерных геометрий. Созданный компьютерный код, основанный на методе дискретных ординат на треугольных (тетраэдальных) сетках, может быть использован для расчета поля излучения в радиационных газодинамических моделях в качестве дополнительного блока.

1.5 Защищаемые положения

1. Метод расчета переноса теплового излучения методом дискретных ординат на структурированных и неструктурированных сетках для двумерной, цилиндрической и трехмерной геометрий, особенностью которого является учет сильной неоднородности излучающего объема.

2. Квадратурные формулы высоких порядков точности для расчета теплового переноса излучения методом дискретных ординат в объемах с сильной локализацией плазмы.

3. Результаты расчета спектральных и интегральных характеристик поля излучения низкотемпературной плазмы в воздушном и водородном лазерном плазменном генераторе методом дискретных ординат.

4. Результаты расчета тепловых радиационных потоков к задней поверхности спускаемого космического аппарата при входе в атмосферу Марса.

1.6 Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы докладывались на следующих общероссийских и международных конференциях:

1. ХЫУ научная конференция МФТИ, "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук", Москва, 23-30 ноября 2001

2. 3 российская национальная конференция по теплообмену, Москва, 21-25 октября 2002.

3. XLV научная конференция МФТИ, "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук", Москва, 29-30 ноября 2002

4. 34th AIAA Plasmadynamics and Lasers Conference/ Orlando Florida, 23-26 June 2003

5. International Workshop on Radiation of High Temperature Gases in Atmospheric Entry/ Lisbon, Portugal, 8-10 October 2003

6. IV международный симпозиум по радиационной плазмодинамике, Москва, 22-24 октября 2003

7. XLVI научная конференция МФТИ, "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук", Москва, 28-29 ноября 2003

8. 40th AIAA Aerospace Sciences Meeting & Exhibit/ Reno, NV, 8-11 January 2004

9. XLVII научная конференция МФТИ, "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук", Москва, 29 ноября 2004

10.38th AIAA Thermophysics Conference, Toronto, Ontario, Canada, 6-9 June 2005

1.7 Публикации

По результатам диссертации опубликовано 15 печатных работ, список которых приведен в конце автореферата.

1.8 Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, девяти глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации - 140 страниц, включая 95 рисунков и 4 таблицы. Список литературы содержит 56 наименования.

2 Основное содержание работы

2.1 Введение

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы. Формулируются основные цели и содержание поставленных задач. Отмечена научная новизна и практическая значимость полученных результатов. Кратко сформулирована структура и содержание диссертационной работы.

2.2 Первая глава

Первая глава содержит литературный обзор по методу дискретных ординат. Приведена история развития метода и его вариаций: метод характеристик, метод конечного объема. Отмечено, что наиболее часто практический интерес представляет расчет переноса теплового излучения плазмы занимающую локализованную в объеме область, в то время как практически все расчетные методы теории переноса теплового излучения ориентированы на более или менее равномерное распределение источников излучения в исследуемой области.

2.3 Вторая глава

Вторая глава посвящена применению метода дискретных ординат для решения уравнения переноса на ортогональных сетках.

В разделе 2.1 дана формулировка уравнения переноса теплового излучения в двух- и трехмерной постановках применительно к прямоугольной декартовой, цилиндрической и сферической систем координат.

В разделе 2.2 записаны конечно-разностные расчетные формулы интегрирования уравнения переноса теплового излучения в объемах разной геометрии с использованием ортогональных структурированных сеток. А так же приведены алгоритмы отыскания решения с использованием конечно-разностных уравнений. Особое внимание уделяется решению задач переноса в осесимметричной постановке.

2.4 Третья глава

Третья глава посвящена выбору значений весовых функций в уравнениях связи средних интенсивностей на граях со средней интенсивностью в центре ячейки для обеспечения положительности конечно-разностной схемы.

Раздел 3.1 посвящен выбору значений весовых функций в плоской геометрии.

Раздел 3.2 посвящен анализу решения уравнения переноса излучения в ячейке для обеспечения положительности конечно-разностной схемы в двумерной геометрии декартовой системе координат.

В разделе 3.3 рассмотрена проблема выбора весовых функций в трехмерной геометрии.

Раздел 3.4 посвящен выбору весовых функций в цилиндрической геометрии.

2.5 Четвертая глава

Четвертая глава посвящена применению метода дискретных ординат на треугольных (тетраэдальных) неструктурированных сетках. Для вывода конечно-разностных уравнений применяется интегральное уравнение переноса теплового излучения, которое интегрируется вдоль граней ячейки для нахождения средних интенсивностей.

Рассмотрены двумерная и трехмерная геометрии. Предложен алгоритм отыскания решения в объеме произвольной формы. Предлагаются пути перехода от криволинейных газодинамических сеток к неструктурированным сеткам. Исследуется возможность возникновения численных осцилляций решения и предложен способ устранения.

2.6 Пятая глава

Пятая глава посвящена краткому описанию решения уравнения теплового излучения методом дискретных направлений (т.н. "ray-tracing method"). Данный метод используется для верификации полученных результатов численного

моделирования излучения лазерной плазмы. Имея высокую точность и простоту применения, этот метод имеет существенный недостаток, состоящий в чрезмерности затрат компьютерного времени на получение требуемого решения.

2.7 Шестая глава

В шестой главе диссертации обсуждаются принципиально важные элементы метода дискретных ординат, позволяющие применять этот метод для решения задач о переносе излучения в объемах сильно неоднородных сред. Здесь приведены методы выбора дискретных направлений и представлены результаты расчетов Sn квадратур высоких порядков.

2.8 Седьмая глава

В седьмой главе проведено тестирование конечно-разностных схем метода дискретных ординат на различных типах сеток. В качестве тестовых случаев взяты объемы простой формы (бесконечный квадратный и конечный круглый цилиндры), с постоянным коэффициентом поглощения и с экспоненциальным распределением температуры внутри объема.

В случае конечного цилиндра круглого профиля решались две тестовых задачи с разным распределением температуры. Показан механизм возникновения локальных экстремумов, связанный с лучевым эффектом (т.н. "ray effect") при сильных температурных градиентах.

Чтобы проверить точность разработанных методов, было проведено тестирование на задачах переноса теплового излучения в областях допускающих сравнение с экспериментальными данными, и результатами других авторов. Произведено сопоставление рассчитанных радиационных потоков для топки Делфта с экспериментальными данными [1], а также сравнение радиационного нагрева поверхности водородного лазерного плазменного генератора рассчитанного методами дискретных ординат и дискретных направлений [2] показало хорошую точность метода. Сравнение

радиационных тепловых потоков к задней поверхности космического аппарата типа МБЛО с расчетами, выполненными недавно в Европейском космическом агентстве [3], показали близость результатов к предсказанным в девятой главе данной работы. Некоторые расхождения (до 30-40%) обусловлены различием используемых спектральных оптических моделей. 2.9 Восьмая глава

Последние две главы посвящены практическому применению разработанного метода. В восьмой главе диссертации проведен численный расчет радиационного нагрева внутренней поверхности лазерного плазменного генератора (ЛПГ). Энергетические устройства типа ЛПГ представляют большой практический интерес для изучения газодинамических процессов, возникающих в разнообразных аэрокосмических приложениях. ЛПГ характеризуются чрезвычайно высокими температурами равновесной плазмы Т=20 ООО К при атмосферном давлении, которая, к тому же, является абсолютно чистой, поскольку образуется вдалеке от ограничивающих объем поверхностей. Плазма, генерируемая в ЛПГ, может быть использована для изучения процессов сильного радиационно-газодинамического взаимодействия, характерного для высокотемпературных ударных слоев, образующихся у поверхности сверхорбитальных космических аппаратов, и для экспериментального изучения оптических свойств высокотемпературного газа.

В разделе 8.1 сформулирована задача о нахождении тепловых радиационных потоков на внутреннюю поверхность ЛПГ. Схема ЛПГ приведена на рис.1. Исследуемый плазменный генератор представляет собой цилиндрическую камеру, в которой на некотором расстоянии х/ от входного сечения создается низкотемпературная плазма посредством фокусированного лазерного излучения. Плотность потока лазерного излучения (в данном случае непрерывного СО2- лазера с длиной волны X = 10,6 микрон) меньше, чем это

необходимо для создания оптического пробоя, но достаточна для поддержания плазмы в лазерном луче. Характерный размер плазмы определяется поперечным размером лазерного пучка Я4 в месте локализации плазмы. Скорость газа в канале ЛПГ дозвуковая (~ 10... 100 м/с), температура достигает -15000...20000 К.

Рис. 1. Схема ЛПГ: 1 - фокусированное лазерное излучение; 2 - лазерная волна горения; 3 - продуваемый газовый поток; 4 - плазменная струя.

В разделе 8.2 произведен расчет радиационных потоков на внутреннюю поверхность водородного плазменного генератора. Спектральная оптическая модель была создана при помощи вычислительной системы ASTEROID [4]. Групповая оптическая модель получена усреднением спектрального коэффициента поглощения в 37-ми спектральных группах. Данная модель была использована для нахождения радиационных потоков на внутренней стенке ЛПГ. На рис.2 показан спектральный коэффициент поглощения водородной плазмы атмосферного давления при температуре 7"=20000 К. На рис.3 показан 37-ми групповой коэффициент поглощения водородной плазмы при атмосферном давлении и температуре 7"=20000 К.

АЬвОфИОП СОИЛСШЛ, 1/СШ

ё п - 1нмп Г* - ЛЦ|Ц * - |»вт •а» - л»« Мая (ИИ г- - .ни«— 1

\1

! ^ К /

в#оирвЬюфёмсовАс1|11^ 1/см

Рис.2. Спектральный коэффициент поглощения водородной плазмы при давлении р=\ атм и 7=20000 К.

Рис.3. 37-ми групповой коэффициент поглощения водородной плазмы при р=\ атм и Г=20000 К.

Т: 2316.64 4633.27 6649.91 6666.65 10583.2 12599.8 14616.5 18633.1 18849.7 20666.4

Рис.4. Температура (К) в водородном ЛПГ для скорости газа 20 м/с.

Радиационные тепловые потоки на внутреннюю поверхность ЛПГ в зависимости от скорости вдуваемого газа в водородном ЛПГ показаны на рис.5. Радиационные потоки на внутренней цилиндрической поверхности ЛПГ, вычисленные с использованием метода дискретных направлений для водорода, приведены на рис.6. Вычисления проводились на угловой сетке 21,

М?= 20. Результаты систематического методического численного исследования показали, что радиационные тепловые потоки, вычисленные при помощи метода дискретных направлений, сильно зависят от параметров пространственно-угловой конечно-разностной сетки. Представленные расчетные данные соответствуют оптимальным параметрам.

Я ЭОО

—— и-20пМ —- и««0пу* ----и-Г0я*

\

\

/ V \

! / / /Г

тттт 1,4 V \

1 ! ,<< ' .' /' Ч\

V N Ч

■л-*' •

Рис.5. Радиационный поток излучения вдоль внутренней поверхности водородного ЛПГ при различных скоростях вдуваемого газа. Метод дискретных ординат.

Рис.6. Радиационный поток излучения вдоль внутренней поверхности водородного ЛПГ при различных скоростях вдуваемого газа. Метод дискретных направлений.

В разделе 8.3 проведен расчет радиационных потоков на внутреннюю поверхность воздушного ЛПГ. Групповая оптическая модель получена усреднением спектрального коэффициента поглощения в спектральных группах. При расчетах использовались 37, 74 и 148-ми групповые модели. На рис.7 представлен спектральный коэффициент поглощения водородной плазмы при атмосферном давлении и температуре Г=20000К. Более точная 148-ми 1рупповая модель представлена на рис.8.

Расчеты проводились для следующих исходных данных: мощность СО2-лазера Рс= 100 кВт, фокусное расстояние линзы х/=3 см, расходимость лазерного излучения - в= 0,1 мрадиан, начальный радиус пучка - Яь= 1,0 см, давление в канале Л111 р0= 1 атм, скорость вдуваемого воздуха «о=30 м/с, длина и радиус канала ЛПГ составляет £с = 11 см и Яс= 1,3 см. Вычислительная область разбита на неравномерную вычислительную сетку Ш= 100, N1 = 30.

При расчете воздушного ЛПГ делались разные предположения относительно структуры газового потока. Одна серия расчетов была выполнена для ламинарного потока газа, а" вторая- для турбулентного потока в начальном сечении канала. Температура внутри ЛПГ для ламинарного потока воздуха представлена на рис.9.

АЬмрЙойсоММм^ 1/ет

Огоир аЬ>оф<оп со«(1ИШ Коп

Рис.7. Спектральный коэффициент поглощения воздушной плазмы при давлениир=\ атм и 7^=20000 К.

1Маумит1мг, Мст

Рис.8.148-ми групповой коэффициент поглощения воздушной плазмы при р= 1 атм и Т=20000 К.

Т- 2545.45 4790 91 7036.36 9281 82 11527 3 13772.7 16018.2 18263 6 20509 1 22754.5

Рис.9. Температура (К) в воздушном ЛПГ при входной скорости газа 30 м/с; ламинарный газовый поток.

ММдШ папам «их. иноп'

- - ТигМмЯдмЯм*

/

/ / \

//

X, ст

Рис. 10. Радиационный поток излучения вдоль внутренней поверхности воздушного ЛПГ при скорости вдуваемого газа 30 м/с при ламинарном и турбулентном режимах. Метод дискретных ординат.

Рис. 11. Радиационный поток излучения вдоль внутренней поверхности воздушного ЛПГ при скорости вдуваемого газа 30 м/с при ламинарном и турбулентном режимах. Метод дискретных направлений.

На рис.10 приведено распределение теплового радиационного потока на внутренней стенке воздушного ЛПГ для турбулентного и ламинарного режимов

течения. Расчет проведен с использованием S12 квадратуры (168 дискретных направлений в полном телесном угле) и 37-ми групповой оптической модели.

Радиационные потоки, . вычисленные с использованием метода дискретных направлений для 37-ми групповой оптической модели воздуха, приведены на рис. 11. 2.10 Девятая глава

В девятой главе произведен расчет радиационных тепловых потоков к задней поверхности спускаемого космического аппарата при входе в атмосферу Марса. Численный расчет выполнен для наиболее теплонапряженной точки предполагаемой траектории входа космического аппарата типа MSRO Европейского космического агентства в атмосферу Марса содержащей 97% СО2 и 3% N2 (массовые доли). На рис.12 показан порядок расположения точек на задней поверхности космического корабля, в которых приводятся радиационные потоки. На рис.13 приведено распределение температуры вблизи поверхности космического аппарата. Оптический диапазон, в котором осуществляется основной перенос тепла излучением выбран равным 1970-4000 ст'1. Групповые коэффициенты поглощения рассчитывались при помощи компьютерного кода ASTEROID [4]. Граничные условия формулируются для абсолютно черной поверхности космического корабля при температуре 500 К, газ на границе расчетной области является холодным и не излучающим.

На точность решения весьма заметно влияет выбор порядка квадратуры. Распределения плотностей интегральных радиационных потоков вдоль задней поверхности космического корабля, с использованием квадратур разных порядков приведены на рис.14. Расчет представлен для 10 групповой оптической модели.

Для тестирования полученных результатов аналогичные расчеты были выполнены с помощью метода дискретных ординат на ортогональных сетках. Вычислительная область разбивалась на неравномерную ортогональную сетку.

Поверхность космического корабля моделировалась ячейками с высоким коэффициентом поглощения (105 см'1) и с температурой 500К. Распределения температуры (рис.13) и массовых концентраций компонент высокотемпературной смеси газов вблизи поверхности космического аппарата на цилиндрической сетке вычислялись методом билинейной интерполяции с газодинамической сетки. На рис.15 показаны распределения интегральных радиационных потоков, полученные для одинаковых квадратур (8)6) и числа спектральных групп (N0=200) при расчетах на структурированных и неструктурированных сетках.

По результатам численных исследований, представленных в восьмой и девятой главах, даны рекомендации по выбору оптимальных параметров разработанного метода для проведения расчетных исследований.

Рис.12. Расположение координатных точек на задней поверхности космического аппарата.

г, си

Рис.13. Температурное распределение за космическим кораблем.

Рис.14. Интегральные радиационные

потоки на задней поверхности космического аппарата в зависимости от порядка применяемой квадратуры.

Рис.15. Потоки к задней поверхности космического аппарата, полученные методом дискретных ординат на ортогональной и тетраэдальной сетках.

3 Основные выводы и результаты работы

• Разработан алгоритм и создана программа расчета переноса теплового излучения в объемах произвольной формы на неструктурированных сетках методом дискретных ординат.

• Для нахождения радиационных параметров среды по методу дискретных ординат рассчитаны квадратурные веса 8„ аппроксимаций высоких порядков.

• Произведен расчет радиационных потоков на внутреннюю поверхность воздушного и водородного плазменного генератора методом дискретных ординат.

• Предсказано, что характерный уровень радиационных тепловых потоков к задней поверхности космического аппарата типа МБЯО Европейского космического агентства составляет величину порядка 1 Вт/см2. Численный расчет проведен для наиболее

теплонапряженной точки предполагаемой траектории входа космического аппарата в атмосферу Марса.

4 Список работ опубликованных по теме диссертации

1. Филипский М.В., Суржиков С.Т. Решение двумерной стационарной спектральной задачи переноса теплового излучения в неоднородной низкотемпературной плазме методом конечного объема // Труды XLIV научной конференции МФТИ, Изд-во МФТИ, 2001 г. С.47.

2. Филипский М.В. Решение двумерной спектральной задачи переноса теплового излучения в неоднородной низкотемпературной плазме методом конечного объема // Труды третьей Российской национальной конференции по теплообмену, Москва, Изд-во МЭИ, 2002 г. С.142-143.

3. Филипский М.В., Суржиков С.Т. Метод конечного объема применительно к различным видам геометрии // Труды XLV научной конференции МФТИ, Изд-во МФТИ, 2002 г. С.12.

4. Filipskiy М., Mokrov М., Surzhikov S., Capitelli М., Colonna G. Radiative Heating of Internal Surface of Hydrogen Laser Supported Plasma Generator // AIAA Paper 2003-4037, 34th Plasmadynamics and Lasers Conference, 23-26 June 2003, Orlando, Florida, P.l 1.

5. Filipskiy M., Mokrov M., Surzhikov S., Capitelli M., Colonna G. Prediction of Radiative Heating of Internal Surfaces of Hydrogen and Air Laser Plasma Generators Intended for Aerospace Applications // 1th International Workshop on Radiation of High Temperature Gases in Atmospheric Entry; 8-10 October 2003, Lisbon, Portugal (ESA SP-533, December 2003), P.l 1-18.

6. Филипский M.B., Суржиков С.Т. Решение двумерной осесимметричной задачи переноса теплового излучения в неоднородном объеме методом дискретных ординат // VI международный симпозиум по радиационной

плазмодинамике, сборник научных трудов, М.: НИЦ "Инженер", 2003 г. С.125-127.

7. Филипский М.В., Суржиков С.Т. Применение метода конечного объема для решения двумерной цилиндрической задачи переноса теплового излучения в лазерно-плазменном ускорителе // VI международный симпозиум по радиационной плазмодинамике, сборник научных трудов, М.: НИЦ "Инженер", 2003 г. С.128-130.

8. Филипский М.В. Нахождение радиационных потоков на стенке воздушного плазменного генератора методом дискретных ординат // Труды XLVI научной конференции МФТИ, Изд-во МФТИ, 2003 г. С.24.

9. Filipskii М., Surzhikov S. Numerical Simulation of Radiation Heat Transfer in Plasma Generation // AIAA Paper 2004-0988, 40th Aerospace Sciences Meeting and Exhibit, 8-11 January 2004, Reno, NV, P. 12.

10. Филипский М.В. Модифицированный метод дискретных ординат применительно к криволинейной сложной геометрии // Труды XLVII научной конференции МФТИ, Изд-во МФТИ, 2004 г. С.31-32.

11. Филипский М.В. Расчет интегральных радиационных потоков на заднюю поверхность космического аппарата методом дискретных ординат // Труды XLVII научной конференции МФТИ, Изд-во МФТИ, 2004 г. С.33-34.

12. Filipskiy М., Surzhikov S., Discrete Ordinates Method for Prediction of Radiative Heating of Space Vehicales // AIAA Paper 2005-4948, 38th Thermophysics Conference, 6-9 June 2005, Toronto, Ontario, Canada, P.7.

13. Филипский M.B., Суржиков C.T. Радиационный нагрев внутренней поверхности водородного и воздушного плазменного генератора // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. "Машиностроение". 2005.№2. С. 3-19.

14. Филипский М.В., Суржиков С.Т. Метод дискретных ординат для решения задач теплообмена излучением в сильно неоднородных средах // Препринт ИПМех РАН № 781, 2005.

15.Филипский М.В., Суржиков С.Т. Расчет радиационных потоков к поверхности космического аппарата с помощью метода дискретных ординат // Инженерно-физический журнал, том 79, 2006.

5 Список цитируемой литературы

1. Wu H.L. and Flicker N. The Characteristics of Swirl-Stabilized Natural Gas Flames. Part 2: The Behavior of Swirling Jet Flames in a Narrow Cylindrical Furnace // Journal of the Institute of Fuel, Vol. 49, 1976, pp.144-151.

2. Filipskiy M., Mokrov M., Surzhikov S., Capitelli M., Colonna G. Radiative Heating of Internal Surface of Hydrogen Laser Supported Plasma Generator // AIAA Paper 2003-4037, p.l 1.

3. Radiation of High Temperature Gases in Atmosphere Entry. Part 2, SP-583, May 2005, p. 160.

4. Surzhikov S.T. Computing System for Solving Radiative Gasdynamic Problems of Entiy and Re-Entry Space Vehicles // Proceedings of the 1st International Workshop on Radiation of High Temperature Gases in Atmospheric Entry; 8-10 October 2003, Lisbon, Portugal. ESA- 533, December 2003, pp.111-118.

Подписано к печати 28 октября 2005 г. Заказ № 23-2005. Тираж 70 экз.

Отпечатано на ризографе Института проблем механики РАН 119526, Москва, проспект Вернадского д.101, корп.1

f

f

РНБ Русский фонд

2006-4 18705

Ш902 6 6

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ОБЗОР РАБОТ ПО МЕТОДУ ДИСКРЕТНЫХ ОРДИНАТ.

ГЛАВА 2. МЕТОД ДИСКРЕТНЫХ ОРДИНАТ НА ОРТОГОНАЛЬНЫХ СЕТКАХ.

2.1 Уравнение переноса излучения.

Трехмерная геометрия.

Двумерная геометрия.

Цилиндрическая геометрия.

Сферическая геометрия.

2.2 Метод дискретных ординат на ортогональных сетках, основные расчетные алгоритмы.

Трехмерная геометрия.

Двумерная геометрия.

Цилиндрическая геометрия.

ГЛАВА 3. ВЫБОР ВЕСОВЫХ ФУНКЦИЙ.

3.1 Плоская геометрия.

3.2 Двумерный случай.

3.3 Трехмерная геометрия.

3.4 Цилиндрическая геометрия.

ГЛАВА 4. МЕТОД ДИСКРЕТНЫХ ОРДИНАТ НА ТРЕУГОЛЬНЫХ (ТЕТРАЭДАЛЬНЫХ) НЕСТРУКТУРИРОВАННЫХ СЕТКАХ.

Двумерная геометрия.

Трехмерная геометрия.

Алгоритм расчета.

Расчетные сетки.

ГЛАВА 5. МЕТОД ДИСКРЕТНЫХ НАПРАВЛЕНИЙ.

ГЛАВА 6. КВАДРАТУРЫ НА ПОВЕРХНОСТИ СФЕРЫ.

ГЛАВА 7. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ДИСКРЕТНЫХ ОРДИНАТ НА

РАЗЛИЧНЫХ ТИПАХ СЕТОК.

Двумерная геометрия.

Цилиндрическая геометрия.

Результаты тестирования разработанных программных кодов.

ГЛАВА 8. РАСЧЕТ РАДИАЦИОННЫХ ПОТОКОВ НА ВНУТРЕНЮЮ ПОВЕРХНОСТЬ ВОДОРОДНОГО И ВОЗДУШНОГО ЛАЗЕРНОГО ПЛАЗМЕННОГО ГЕНЕРАТОРА.

8.1 Постановка задачи радиационной газовой динамики ЛПГ.

8.2 Водородный лазерный плазменный генератор.

Свойства водородной плазмы.

Результаты численного моделирования водородного ЛПГ.

8.3 Воздушный лазерный плазменный генератор.

Свойства воздушной плазмы.

Результаты численного моделирования воздушного ЛПГ.

ГЛАВА 9. РАСЧЕТ РАДИАЦИОННЫХ ПОТОКОВ НА ПОВЕРХНОСТЬ СПУСКАЕМОГО КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ПРИ ВХОДЕ В

АТМОСФЕРУ МАРСА.

Результаты вычислений.

Теплообмен излучением играет важную роль в природе и технике. Структура атмосфер планет и звездных фотосфер, рабочие процессы в камерах сгорания и плазменных генераторов, тепловой режим радиоэлектронной аппаратуры и искусственных спутников Земли, аэротермодинамика космических аппаратов- это лишь некоторые примеры процессов, в которых теплообмен излучением является определяющим. В последнее время в научной литературе по сложному теплообмену отмечается повышенный интерес к радиационному переносу энергии в связи с его принципиальным значением для таких объектов техники, как возвращаемые космические аппараты, различные энергетические установки и термоядерные устройства.

Использование космических аппаратов для исследования планет солнечной системы, вызывает практический и теоретический интерес к изучению процессов протекающих при вхождении спускаемых аппаратов в плотные слои атмосфер планет. При скоростях составляющих 6-11 километров в секунду космический аппарат подвергается сильному конвективному и радиационному нагреву в результате взаимодействия с газом, нагретым в ударном слое.

Чтобы уменьшить общий вес космического аппарата необходимо точно рассчитать его тепловую защиту. Для этого важно с высокой достоверностью вычислить тепловые потоки на поверхность спускаемого модуля. Как правило, оценку конвеетивного и радиационного нагрева проводят для головного аэродинамического щита, принимающего на себя основную часть тепловой нагрузки. Однако при входе космического аппарата в атмосферу Марса радиационный нагрев задней поверхности может играть важную роль, поскольку эта поверхность практически не защищена, но подвергается воздействию радиационного теплового потока, испускаемого десятками кубических метров нагретой до высоких температур двуокиси углерода, которая, как известно, является хорошим излучателем в инфракрасной области спектра. Таким образом, одной из задач аэротермодинамического анализа межпланетных спускаемых аппаратов является предсказание интенсивности радиационного нагрева задней поверхности.

Представляет значительный практический и научный интерес создание теоретических моделей, разработка численных методов и программ расчета спектральных и интегральных радиационных тепловых потоков к поверхности космических аппаратов сложной формы и энергетических устройств типа плазменных генераторов. Это выдвигает необходимость разработки двух- и трехмерных моделей радиационного переноса тепла в объемах сложных геометрий на структурированных и неструктурированных сетках. Цель работы и задачи исследования.

Диссертационная работа имеет четыре основных цели:

1. Разработка численных методов для расчета спектральных и интегральных параметров поля излучения низкотемпературной плазмы в объемах сложной геометрии.

2. Разработка численных методов расчета излучательной способности локализованных в пространстве неоднородных объемов низкотемпературной плазмы.

Для этих целей были решены следующие задачи:

• Разработаны алгоритмы решения уравнения переноса излучения на ортогональных сетках методом дискретных ординат в многогрупповом приближении, в плоской и цилиндрической геометриях;

• Разработаны алгоритмы решения уравнения переноса излучения на неструктурированных треугольных и тетраэдальных сетках методом дискретных ординат в многогрупповом приближении;

• Разработан алгоритм оптимального счета на неструктурированных сетках, а так же алгоритм расчета геометрических свойств ячеек и распознавания их пространственной ориентации относительно направления распространения фотонов;

• Рассчитаны угловые квадратуры высоких порядков для ряда наборов дискретных направлений;

• Разработанные алгоритмы реализованы в виде программного кода на языке FORTRAN.

3. Исследование характеристик поля излучения (радиационного потока, плотности лучистой энергии, дивергенции вектора плотности потока радиационной энергии) неоднородных плазменных объемов в зависимости от пространственных и угловых сеток, а так же от числа спектральных групп в оптическом диапазоне.

4. Тестирование разработанных методов на примерах сравнения результатов численных расчетов с имеющимися экспериментальными данными и с результатами, полученными другими методами решения уравнения переноса излучения.

Научная новизна.

Разработана методика применения метода дискретных ординат к расчету переноса теплового излучения потока вязкого, теплопроводящего газа через локализованную область плазмы в лазерном плазменном генераторе. Модель основана на уравнении переноса излучения в многогрупповом спектральном приближении. В качестве плазмообразующего газа исследован воздух и водород при атмосферном давлении. Проведен численный расчет радиационного нагрева внутренней поверхности лазерного плазменного генератора. Групповые и интегральные радиационные тепловые потоки на внутреннюю поверхность цилиндрического лазерного плазменного генератора были вычислены при помощи метода дискретных ординат на ортогональных структурированных сетках.

Произведено сравнение численных результатов метода дискретных ординат с методом дискретных направлений.

Разработан метод и представлены результаты численного моделирования радиационного нагрева задней поверхности космического аппарата MSRO (Mars Sample Return Orbiter) Европейского космического агентства. Для определения радиационных тепловых потоков разработан метод дискретных ординат на неструктурированных тетраэдальных сетках. Радиационная модель основана на уравнении переноса излучения в многогрупповом приближении.

Численный расчет выполнен для наиболее теплонапряженной точки предполагаемой траектории входа космического аппарата типа MSRO в атмосферу Марса содержащей 97% С02 и 3% N2 (массовые доли). Численные результаты получены для различных пространственных и угловых сеток. Произведено сопоставление результатов численных расчетов на структурированных и неструктурированных сетках. Предсказан уровень радиационных тепловых потоков к задней поверхности космического аппарата MSRO.

Для применения метода дискретных ординат для расчета поля излучения в объемах содержащих локализованные источники излучающего газа были вычислены веса SN угловых квадратур высоких порядков, вплоть до п=16. Практическая ценность работы.

Созданная расчетно-теоретическая модель, позволяет предсказывать характеристики радиационных полей в камерах лазерных плазменных генераторов, а также выполнять расчеты потерь радиационной энергии из воздушной и водородной лазерной плазмы энергетических устройств типа плазменных генераторов.

Вычисленные радиационные потоки на поверхность MSRO (Mars Sample Return Orbiter) входящего в атмосферу Марса, могут быть использованы для расчета тепловой защиты космического аппарата.

Разработанный расчетно-теоретический материал позволяет производить расчеты характеристик поля излучения в объемах произвольной формы, как для двумерных, так и для трехмерных геометрий. Созданный компьютерный код, основанный на методе дискретных ординат на треугольных (тетраэдальных) сетках, может быть использован для расчета поля излучения в радиационных газодинамических моделях в качестве дополнительного блока. Защищаемые положения.

1. Метод расчета переноса теплового излучения методом дискретных ординат на структурированных и неструктурированных сетках для двумерной, цилиндрической и трехмерной геометрий, особенностью которого является учет сильной неоднородности излучающего объема.

2. Квадратурные формулы высоких порядков точности для расчета теплового переноса излучения методом дискретных ординат в объемах с сильной локализацией плазмы.

3. Результаты расчета спектральных и интегральных характеристик поля излучения низкотемпературной плазмы в воздушном и водородном лазерном плазменном генераторе методом дискретных ординат.

4. Результаты расчета тепловых радиационных потоков к задней поверхности спускаемого космического аппарата при входе в атмосферу Марса.

Апробация работы.

Основные результаты диссертационной работы докладывались на следующих общероссийских и международных конференциях:

1. ХЫУ научная конференция МФТИ, "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук", Москва, 23-30 ноября 2001

2. 3 российская национальная конференция по теплообмену, Москва,

21-25 октября 2002

3. XLV научная конференция МФТИ, "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук", Москва, 29-30 ноября 2002 iL

4. 34 AIAA Plasmadynamics and Lasers Conference, Orlando, Florida, 2326 June 2003

5. International Workshop on Radiation of High Temperature Gases in Atmospheric Entry, Lisbon, Portugal, 8-10 October 2003

6. IV международный симпозиум по радиационной плазмодинамике, Москва, 22-24 октября 2003

7. XLVI научная конференция МФТИ, "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук", Москва, 28-29 ноября 2003

8. 40th AIAA Aerospace Sciences Meeting & Exhibit, Reno, NV, 8-11 January 2004

9. XLVII научная конференция МФТИ, "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук", Москва, 29 ноября 2004

10. 38th AIAA Thermophysics Conference, Toronto, Ontario, Canada, 6-9 June 2005

Материалы, изложенные в диссертации, опубликованы в работах:

1. Филипский М.В., Суржиков С.Т. Решение двумерной стационарной спектральной задачи переноса теплового излучения в неоднородной низкотемпературной плазме методом конечного объема // Труды XLIV научной конференции МФТИ, Изд-во МФТИ, 2001 г. С.47.

2. Филипский М.В. Решение двумерной спектральной задачи переноса теплового излучения в неоднородной низкотемпературной плазме методом конечного объема // Труды третьей Российской национальной конференции по теплообмену, Москва, Изд-во МЭИ, 2002 г. С.142-143.

3. Филипский М.В., Суржиков С.Т. Метод конечного объема применительно к различным видам геометрии // Труды XLV научной конференции МФТИ, Изд-во МФТИ, 2002 г. С. 12.

4. Filipskiy M., Mokrov M., Surzhikov S., Capitelli M., Colonna G. Radiative Heating of Internal Surface of Hydrogen Laser Supported Plasma Generator // AIAA Paper 2003-4037, 34th Plasmadynamics and Lasers Conference, 23-26 June 2003, Orlando, Florida, P.ll.

5. Filipskiy M., Mokrov M., Surzhikov S., Capitelli M., Colonna G. Prediction of Radiative Heating of Internal Surfaces of Hydrogen and Air Laser Plasma Generators Intended for Aerospace Applications //1th International Workshop on Radiation of High Temperature Gases in Atmospheric Entry; 8-10 October 2003, Lisbon, Portugal (ESA SP-533, December 2003), P.l 1-18.

6. Филипский M.B., Суржиков C.T. Решение двумерной осесимметричной задачи переноса теплового излучения в неоднородном объеме методом дискретных ординат // VI международный симпозиум по радиационной плазмодинамике, сборник научных трудов, М.: НИЦ "Инженер", 2003 г. С. 125-127.

7. Филипский М.В., Суржиков С.Т. Применение метода конечного объема для решения двумерной цилиндрической задачи переноса теплового излучения в лазерно-плазменном ускорителе // VI международный симпозиум по радиационной плазмодинамике, сборник научных трудов, М.: НИЦ "Инженер", 2003 г. С.128-130.

8. Филипский М.В. Нахождение радиационных потоков на стенке воздушного плазменного генератора методом дискретных ординат // Труды XLVI научной конференции МФТИ, Изд-во МФТИ, 2003 г. С.24.

9. Filipskii М., Surzhikov S. Numerical Simulation of Radiation Heat Transfer in Plasma Generation // AIAA Paper 2004-0988, 40th Aerospace Sciences Meeting and Exhibit, 8-11 January 2004, Reno, NV, P. 12.

10. Филипский М.В. Модифицированный метод дискретных ординат применительно к криволинейной сложной геометрии // Труды XLVII научной конференции МФТИ, Изд-во МФТИ, 2004 г. С.31-32.

П.Филипский М.В. Расчет интегральных радиационных потоков на заднюю поверхность космического аппарата методом дискретных ординат // Труды XLVII научной конференции МФТИ, Изд-во МФТИ, 2004 г. С.33-34.

12. Filipskiy М., Surzhikov S., Discrete Ordinates Method for Prediction of Radiative Heating of Space Vehicales // AIAA Paper 2005-4948, 38th Thermophysics Conference, 6-9 June 2005, Toronto, Ontario, Canada, P.7.

13. Филипский M.B., Суржиков C.T. Радиационный нагрев внутренней поверхности водородного и воздушного плазменного генератора // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. "Машиностроение". 2005.№2. С. 3-19.

14. Филипский М.В., Суржиков С.Т. Метод дискретных ординат для решения задач теплообмена излучением в сильно неоднородных средах // Препринт ИПМех РАН №781, 2005.

15. Филипский М.В., Суржиков С.Т. Расчет радиационных потоков к поверхности космического аппарата с помощью метода дискретных ординат // Инженерно-физический журнал, том 79, 2006.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, девяти глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации - 140 страниц, включая 95 рисунков и 4 таблицы. Список литературы содержит 57 наименований. Основное содержание работы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Разработан алгоритм и создана программа расчета переноса теплового излучения в объемах произвольной формы на неструктурированных сетках методом дискретных ординат.

Для нахождения радиационных параметров среды по методу дискретных ординат рассчитаны квадратурные веса БЫ аппроксимаций высоких порядков.

Произведен расчет радиационных потоков на внутреннюю поверхность воздушного и водородного плазменного генератора методом дискретных ординат.

Предсказано, что характерный уровень радиационных тепловых потоков к задней поверхности космического аппарата типа МБЯО Европейского космического агентства составляет величину порядка 1 Вт/см2. Численный расчет проведен для наиболее теплонапряженной точки предполагаемой траектории входа космического аппарата в атмосферу Марса.

1. Чандрасекар С. Перенос лучистой энергии. М., ИЛ, 1953.

2. Wick G.C. Uber Ebene Diffusionsprobleme // Z. Phys. 1943. V.121. P.702.

3. Басс Л.П., Волощенко A.M., Гермогенова Т.А. Методы дискретных ординат в задачах о переносе излучения. Монография ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 1986.

4. Карлсон Б., Латроп К. Теория переноса. Метод дискретных ординат. В сб.: Вычислительные методы в физике реакторов. Под ред. X. Гринспена, К. Келбера и Д. Окрента. М., Атомиздат, 1972, стр. 102-157.

5. Fiveland W.A. Discrete Ordinate methods for Radiative Heat Transfer in Isotropically and Anisotropically Scattering Media // ASME J. Heat Transfer 109 (1987), pp. 809-812.

6. Fiveland W.A. Discrete- Ordinates Solutions of the Radiative Transport Equation for Rectangular Enclosures // J. Heat Transfer, 106 (1984), pp. 699-706.

7. Ramankutty M.A., Crosbie A.L. Modified Discrete- Ordinates Solution of Radiative Transfer in Two- Dimensional Rectangular Enclosures // JQSRT, 571997), pp. 107-140.

8. Ramankutty M.A., Crosbie A.L. Modified Discrete- Ordinates Solution of Radiative Transfer in Three- Dimensional Rectangular Enclosures // JQSRT, 601998), pp. 103-134.

9. Fiveland W.A. Three- Dimensional Radiative Heat- Transfer Solutions by the Discrete- Ordinates Method // J. of Thermophysics and Heat Transfer, 2 (1988), pp. 309-316.

10. Fiveland W.A. A Discrete Ordinates Method for Predicting Radiative Heat Transfer in Axisymmetric Enclosures // ASME Paper 82-HT-20.

11. Jamaluddin A.S., Smith P J. Predicting Radiative Transfer in Axisymmetric Cylindrical Enclosures Using the Discrete Ordinates Method // Combust. Sei. and Tech., 62 (1988), pp. 173-186.

12. Jamaluddin A.S., Smith P.J. Discrete-Ordinates Solution of Radiative Transfer Equation in Nonaxisymmetric Cylindrical Enclosures // J. of Thermophysics and Heat Transfer, 6 (1992), pp. 242-245.

13. Jendoubi S., Lee H.S., Kim Т.К. Discrete Ordinates Solutions for Radiatively Participating Media in a Cylindrical Enclosure // J. of Thermophysics and Heat Transfer, 7 (1993), pp. 213-219.

14. Menart J. Radiative Transport in a Two- Dimensional Axisymmetric Thermal Plasma Using the S-N Discrete Ordinates Method on a Line-by-Line Basis // JQSRT, 67 (2000), pp. 273-291.

15. Vaillon R., Lallamand M., Lemonnier D. Radiative Heat Transfer in Orthogonal Curvilinear Coordinates Using The Discrete Ordinates Method // JQSRT 55 (1996), pp. 7-17.

16. Басс JI.П. О решении уравнения переноса методом характеристик. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН № 13, 1969.

17. Cheong К.В., Song Т.Н. An Alternative Discrete Ordinates Method with Interpolation and Source Differencing for Two-Dimensional Radiative Transfer Problems // Numerical Heat Transfer, Part B, 32(1997), pp. 107-125.

18. Kim Т.К., Menart J.A., Lee H.S. Nongray Radiative Gas Analyses Using the S-N Discrete Ordinates Method // J. Heat Transfer, 113 (1991), pp. 946-952.

19. Menart J. A., Lee H.S., Kim Т.К. Discrete Ordinates Solutions of Nongray Radiative Transfer With Diffusely Reflecting Walls // 115 (1993), pp. 184-193.

20. Sakami S., Charette A., V. Le Dez Application of the Discrete Ordinates Method to Combined Conductive and Radiative Heat Transfer in a Two-Dimensional Complex Geometry // JQSRT, 56 (1996), pp. 517-533.

21. Sakami S., Charette A. Application of a modified discrete ordinates method to Two-Dimensional Enclosures of Irregular Geometry // JQSRT, 64 (2000), pp. 275-298.

22. Басс Л.П., Николаева О.В. Решение уравнения переноса излучения в средах с пустотами. Специализированный алгоритм в /х,у/ геометрии. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН № 130, 1995.

23. Басс Л.П., Николаева О.В. Положительная схема для уравнения переноса излучения в сильно гетерогенных средах и пустотах, часть I. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН №1, 1997.

24. Басс Л.П., Николаева О.В. Положительная схема для уравнения переноса излучения в сильно гетерогенных средах и пустотах, часть II. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН №2, 1997.

25. Басс Л.П., Николаева О.В. Улучшенная схема расчета переноса излучения в сильно гетерогенных средах с пустотами // Журнал Математического Моделирования, т. 9, № 10,1997, стр. 63-72.

26. Rathby G.D., Chui Е.Н. A Finite-Volume Method for Predicting a Radiant Heat Transfer in Enclosures with Participating Media // Journal of Heat Transfer, 112 (1990), pp. 415-423.

27. Rathby G.D., Chui E.H. Computation of Radiant Heat Transfer on a Nonorthogonal Mesh Using Finite-Volume Method // Numerical Heat Transfer, Part B, 23 (1993), 269-288.

28. Rathby G.D., Chui E.H., Hughes P.M.J. Prediction of Radiative Transfer in Cylindrical Enclosures with the Finite Volume Method // J. of Thermophysics and Heat Transfer, 6 (1992), pp. 605-611.

29. Liu J., Shang H.M., Chen Y.S., Wang T.S. Prediction of Radiative Transfer in General Body-Fitted Coordinates //Numerical Heat Transfer, Part B, 31 (1997), pp. 423-439.

30. Cheong K.B., Song Т.Н. Examination of Solution Methods for the Second-Order Discrete Ordinate Formulation // Numerical Heat Transfer, Part B, 27 (1995), pp. 155-173.

31. Liu J., Chen Y.S. Examination of Conventional and Even-Parity Formulations of Discrete Ordinates Method in Body-Fitted Coordinate System // JQSRT, 61 (1999), pp. 417-431.

32. Fiveland W.A., Jessee J.P. Comparisons of Discrete Ordinate Formulations for Radiative Heat Transfer in Multidimensional Geometries // ASME HTD-276 (1994), pp. 49-56.

33. Chai J. С., Patankar S. V., Lee H. S. Evaluation of Spatial Differencing Practices for the Discrete-Ordinates Method // Journal of Thermophysics and Heat Transfer, 8 (1994), pp. 140-144.

34. Lathrop K. D. Spatial Differencing of the Transport Equation Positivity vs. Accuracy // Journal of Computational Physics, 4 (1969), pp. 475-498.

35. Fiveland W. A., Jessee J. P. Acceleration Schemes for the Discrete Ordinates Method // Journal of Thermophysics and Heat Transfer, 10 (1996), pp.445-451.

36. Соболев С.Jl. О формулах механических кубатур на поверхности сферы // Сибирский математический журнал, Том III, №5, стр. 769-796, 1962.

37. Лебедев В.И. Квадратурные формулы для сферы 25-29-го порядка точности // Сибирский математический журнал, Том XVIII, №1, стр. 132-142, 1977.

38. Лебедев В.И. О квадратурах на сфере // Журнал вычислительной математики и математической физики, Том 16, №2, стр. 293-306, 1976.

39. Koch R., Krebs W., Wittig S. and Viskanta R. Discrete Ordinates Quadrature Schemes for Multidimensional Radiative Transfer // JQSRT, 53 (1995),pp. 353-372.

40. Thurgood C.P., Pollard A., Becker H.A. The TN Quadrature Set for the Discrete Ordinates Method, Journal of Heat Transfer// 117 (1995), pp. 1068-1070.

41. Rukolaine S.A., Yuferev V.S. Discrete Ordinates Quadrature Schemes Based on the Angular Interpolation of Radiation Intensity // JQSRT, 69 (2001), pp. 257-275.

42. Flemming M.B. Andersen. Comparison of Numerical Quadrature Schemes Applied in the Method of Discrete Transfer // Journal of Thermophysics, Technical Notes, 10(1996), pp. 549-551.

43. Суржиков С.Т. Тепловое излучение газов и плазмы. М.: Изд-во МГТУ им. Баумана. 2004. 546 с.

44. Суржиков С.Т. Радиационно-конвективный теплообмен в камере оптического плазмотрона//ТВТ. 1990. Т. 28, №6. С. 1205-1213.

45. Суржиков С.Т. Численный анализ радиационных лазерных волн медленного горения // Квантовая электроника. 2000. Т. 30, № 5. С. 416-420.

46. Capitelli М., Colonna G., Gorse С., D'Angola A. Transport Properties of High Temperature Air in Local Thermodynamic Equilibrium // The European Physical Journal D. 2000. V. 11. P. 279-289.

47. Surzhikov S.T. 2D CFD/RGD Model of Space Vehicles // 1st International Workshop on Radiation of High Temperature Gases in Atmospheric Entry; 8-10 October 2003, Lisbon, Portugal (ESA SP-533, December 2003), pp. 95-102.

48. Surzhikov S.T. Radiative Gasdynamic Model of a Martian Descent Space Vehicle //AIAA Paper No.04-1355,2004.

49. Wu H.L. and Fricker N. The Characteristics of Swirl-Stabilized Natural Gas Flames. Part 2: The Behavior of Swirling Jet Flames in a Narrow Cylindrical Furnace // Journal of the Institute of Fuel, Vol. 49, 1976, pp.144-151.

50. Radiation of High Temperature Gases in Atmosphere Entry. Part 2, SP-583, May 2005, p. 160.