Некоторые линейные и нелинейные задачи физической кинетики тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.02 ВАК РФ

<Ц31Ш51ГЬЬ <Ц\)Р11'т1Ь5ПИЭ-Зи"Ь ад^пыэ-эпьч/ъьрь иаадзьъ №иаЬ№Ц рзпьрцииъь штит-мирць

РГб од

о Ь ЙН8 1998 ьизизгзиъиаичим-мгоизш-гь

ПГПС я-шзкь £?Ч

по о-шекь 1иъ^ръьр

11.03,02 - ЦиищшЭДхчВДш, пш^пшиищшо^ишодтС Ц.01.02. - П-^ЬрЬОд^иц ЬшфиишрпиШЬц

шиифбшй!! Ьиудйшй штЬОш{ипитр]шО

НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ АРМЕНИЯ БЮРАКАНСКАЯ АСТРОФИЗИЧЕСКАЯ ОБСЕРВАТОРИЯ

ХА ЧА ТРЯН АГАВ АРД ХА ЧА ТУРОВИЧ

НЕКОТОРЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ФИЗИЧЕСКОЙ КИНЕТИКИ

Лии 0ик$1нтир_)1ш1 р

иьяитьл

Ь№Ч1ГЬ-1997

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

по специальностям: Ц.03.02 - Астрофизика, радиоастрономия Ц.01.02. - Дифференциальные уравнения

ЕРЕВАН - 1997

Работа выполнена в Бюраканской астрофизической обсерватории Национальной Академии Наук Республики Армения

Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук

профессор Ю.А.Кравцов

Доктор физико-математических наук профессор М.Г.Абрамян

Доктор физико-математических наук профессор А.В.Латышев

Ведущая организация: Кафедра теоретической физики

Ереванского Государственного Университета

Защита состоится " & января 1998 г. в // ~ час на заседании Специализированного совета (шифр 048) по специальностям II.03.02-"Астрофизика, радиоастрономия", 11.01.02 - "Дифференциальные уравнения" при Бюраканской астрофизической обсерватории Национальной Академии Наук Республики Армения по адресу: 378433, область Аратацотн, с.Бюракан, Бюраканская астрофизическая обсерватория.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Бюраканской астрофизической обсерватории

Автореферат разослан " 2> " ^-в^к-а Д^С

J ■ 1997 г.

Ученый секретарь Специализированного совета кандидат физико-математических наук Г.А.Арутюнян

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Как известно, в основе физической кинетики лежит кинетическое уравнение Больцмана (УБ). УБ первоначально было создано в основном для кинетики разреженного газа, а в дальнейшем стало предметом исследования в различных областях физики в связи с приложениями в теории переноса излучения в атмосферах звезд и планет, в теории переноса электронов в твердых телах и плазме, переноса нейтронов и гамма квантов и т. д.

Задачи кинетической теории газов и переноса излучения имеют много общего, так как они связанны с неравновесными процессами, которые описываются кинетическим УБ. Однако существует также их определенная разница, выражаемая как в физике рассматриваемых процессов, так и в математических особенностях соответствующих уравнений.

Линейная теория переноса излучения (ТПИ), являющаяся одной из области физической кинетики, к настоящему времени в математическом аспекте достаточно хорошо разработана, и стало по существу самостоятельным разделом математической физики. Оказывается, что основные математические конструкции теории перекоса излучения могут быть применены в кинетической теории газов, в теории много кратного резонансного рассеяния гамма квантов и др.

-В кинетической теории (КТГ) газов важное место занимает крут задач, связанных с течением газа со скольжением в полупространстве ограниченном твердой стенкой, а также задача о течении газа между двумя параллельными пластинками. Вдали от стенки состояние газа описывается уравнениями газодинамики (уравнение Навье Стокса). Однако в некоторой окрестности стенки в так называемом кнудсеновском слое, эти уравнение не применимы и следует решить уравнение Больцмана. Представляет определенный интерес нахождения массовой скорости, а также кинетических коэффициентов, посредством

которых на границе слоя Кнудсена задается граничное условие для уравнения газодинамики. Эти задачи сводятся к интегральным уравнениям на полуоси и на конечном промежутке (с разностным и суммарным ядрами).

Следовательно, актуальность исследований и разработка эффективных аналитических и численных методов для решения указанных задач в этой области не вызывает сомнений.

-Другая область физической кинетики связана с мессбауэровской спектроскопией. Существует ряд физических механизмов (диффузионное движение атомов, флуктуация электронного заряда, релаксация электронного спина и т. д.), вызывающих изменение частоты гамма квантов при их резонансном рассеянии на мессбауэровских ядрах.

Задачи переноса излучения при многократном рассеянии гамма квантов сравнительно мало изучены. Для интерпретации ряда физических явлений, происходящих в кристалле, часто требуется учет многократного резонансного рассеяния (МРР) гамма квантов. Тем самым построение теории некогерентного рассеяния гамма квантов, и на хождение эффективных методов аналитического и численного решения этих задач является актуальной.

-Как известно основную часть нашей информации о космических объектах мы получаем из анализа их линейчатых спектров. Поэтому проблема образования спектральных линий является одной из центральных вопросов теоретической астрофизики. Решение этой задачи сопряжено с детальным изучением физических процессов и с решением соответствующих уравнений переноса.

Линейное приближение к задачам переноса излучения в спектральных линиях законно при малых плотностях излучения, когда основная доля атомов находится в невозбужденном состоянии. В астрофизических объектах часто это условие не выполняется и возникает необходимость учитывать нелинейные эффекты, связанные с заметным влиянием сильного поля излучения на локальные оптические

свойства среды. Эти задачи значительно сложнее соответствующих линейных задач.

Интерес к нелинейным задачам в последнее время возрос в связи со стремлением учета частичного перераспределения излучения по частотам и направлениям внутри спектральной линии. Для интерпретации ряда физических явлений, происходящих в звездных атмосферах, требуется совместный учет двух механизмов: с одной стороны нелинейные эффекты, а с другой стороны частичное перераспределение излучения по частотам при элементарном акте рассеяния. Эти задачи являются важными и сложными, и позволяют устранить большое число расхождений между теорией и наблюдениями. Все это не оставляет сомнений в актуальности исследований и в этой области.

Итак, создание с единой точки зрения строгой линейной и нелинейной теории физической кинетики и разработка эффективных методов при решении конкретных задач является важной и актуальной.

Целью работы является :

-Нахождение оптимальных и с математической точки зрения обоснованных методов ддя решения ряда физически важных задач.

-Разработка и развитие аналитических: методов для решения ряда важных линейных задач кинетической теории газов.

-Получение решений задачи многократного резонансного рассеяния гамма квантов в кристалле, содержащего мессбауэровские рассеивающие центры.

-Изучение и решение ряда линейных и нелинейных задач переноса внутри спектральной линии при частичном перераспределении по частотам и направлениям.

-Создание приближенных методов для решения различных задач физической кинетики.

Научная новизна. В настоящей работе, применяя и развивая классические и новые методы теории интегральных уравнений и теории

переноса излучения, удалось создать аналитический аппарат для решения различных задач физической кинетики. Удалось, с помощью простых и универсальных функций, описывать физические процессы и предложить оптимальные и математически обоснованные методы для вычиления указанных функций.

Хотя основное внимание уделено задачам газовой кинетики и переноса фотонов и гамма квантов, однако некоторые построения имеют намного широкую область применения. Изложение математически корректно и в ряде случаев, сопровождается соответствующими строгими математическими доказательствами, указывая на оптимальные пути решения тех или иных прикладных задач.

В диссертации получены следующие новые результаты:

-Предложен эффективный метод решения ряда задач газовой кинетики, связанных с течением газа со скольжением вдоль твердой, плоской поверхности при произвольном значении коэффициента аккомодации. Доказано существование разрешимости УБ с оператором столкновений в форме БГК модели и исследована асимптотика решения на больших расстояниях от стенки.

-Получены явные выражения (через функцию Амбарцумяна) для скорости скольжения и кинетических коэффициентов простой и многокомпонентной газовой смеси с учетом и без учета аккомодации. Результаты применяются также в теории переноса излучения и фононной гидродинамике. Показана фундаментальная и универсальная роль функции Амбарцумяна в решении этих задач.

-Предложен аналитический и численный метод решения задачи Куэтта и Пуайзеля о течении газа между двумя параллельными пластинками.

-Впервые получены аналитические решения задачи переноса резонансных гамма квантов с учетом многократных актов рассеяния для модели КП рассеяния (когерентное и полностью некогерентное).

-Принцип инвариантности Амбарцумяна применяется к задачам дифракции рентгеновских лучей в геометрии Брегга. Получены явные и универсальные выражения для коэффициентов отражения и пропускания для кристалла, имеющего конечное число отражающих плоскостей.

-Выполнен ряд новых построений по линейной теории переноса при частичном перераспределении по частотам. Предложен новый матричный метод решения уравнения Амбарцумяна (УА) для задачи некогерентного рассеяния, найден внутренний режим как в полупространстве, так и в слое конечной толщины.

-Впервые решены нелинейные задачи переноса излучения в плоско параллельном слое при частичном перераспределении по частотам и направлениям. Эффективно решена нелинейная задача переноса излучения в слое конечной толщины и найдено значение реальной оптической толщины, что представляет определенный астрофизический интерес. С применением кинетического подхода к задачам переноса, найдены отклонения профилей коэффициентов поглощения <р(х) и вынужденного излучения ц/(х) от контура коэффициента поглощения а(х), обусловленные отклонением распределения возбужденных атомов по скоростям от максвелловского.

Решена нелинейная задача полихроматического рассеяния в среде состоящей из трехуровневых атомов с полностью запрещенным переходам 2^3.

-Разработаны эффективные приближенные методы, которые применяются в КТГ, в ТПИ световых и гамма квантов. Полученные результаты имеют достаточно общий характер и могут быть применены и к другим областям естествознания, где встречаются интегральные уравнения типа свертки (когда ядро является суперпозицией экспонент). С применением развитых в диссертации аналитических построений выполнен огромный объем численных расчетов по решению линейных и нелинейных задач физической кинетики.

g

Все перечисленные результаты выносятся на защиту.

Практическая ценность:

Разработанные методы позволяют определить профиль массовой скорости в кнудсеновском слое простого и многокомпонентного газа, движущегося со скольжением вдоль плоской, твердой стенки при произвольном значении коэффициента аккомодации, а также найти кинетические (изотермический, диффузионный и тепловой) коэффициенты. С помощью их определяется область применимости теории сплошной среды и правильные граничные условия для уравнения газодинамики.

Они имеют разнообразные применения в задачах об обтекании летательных и космических аппаратов, движущихся на больших высотах, движение газа в вакуумных аппаратах, неравновесного течения газа в трубе и т. д.

Разработанные методы предоставляют возможность определить профиль отраженного гамма излучения с учетом многократного резонансного рассеяния. Результаты используются для объяснения уцшрения мессбауэровской линии вследствие диффузионного движения атомов, а также флуктуации электронного заряда.

Найдены коэффициенты отражения и пропускания для кристалла конечной толщины. Результаты могут быть применены для любой периодической слоистой среды.

Полученные результаты по теории переноса излучения используются для расчета поля излучения в атмосферах звезд и планет при отсутствии локально термодинамического равновесия (ДТР) (с учетом нелинейных эффектов и некогерентности элементарного акта рассеяния). Результаты применяются для D линии Nal, для Н и К линии Ca.II, которые возникают в атмосферах солнца и играют важную роль при исследовании хромосферы.

Результаты могут быть применены также в теории оптических квантовых генераторов.

Разработан алгоритм (пакет программ) для эффективного численного решения интегральных уравнений типа свертки на полуоси и на конечном промежутке, когда ядро является суперпозицией экспонент (как в диссипативном так и в консервативном случаях).

Общая методика. В диссертации физический анализ задач сочетается с применением классических и новых методов теории интегральных уравнений и теории переноса излучения. Среди них особое место занимают: Метод самосогласованных оптических глубин (СОГ) Амбарцумяна, Принцип инвариантности и уравнение Амбарцумяна-Чандрасекара и его обобщения, метод нелинейных уравнений факторизации (НУФ) Н.Б. Енгибаряна, Вероятностный метод В.В. Соболева, Билинейное разложение функции перераспределения (ФП), Обобщенный вариант метода дискретных ординат (МДО) и др.

Апробация работы. Материалы диссертационной работы докладывались: на семинарах теоретической астрофизики Бюраканской астрофизической обсерватории, на всесоюзной конференции "Численные методы решения уравнения переноса " (Тарту 1988), на семинарах кафедры теоретической физики ЕрГУ, на семинаре кафедры общей физики ЕрГУ, на семинаре кафедры дифференциального уравнения и функционального анализа ЕрГУ, на семинарах по математической физике Института прикладных проблем физики НАН РА, на семинаре Института астрофизики и физики атмосферы АН Эст. ССР (1986,1987 гт. ), на астрофизическом семинаре университета Ирвайн (Калифорния, США 1992), на II Всесоюзном совещании по методам и аппаратуре для исследования когерентного взаимодействия излучения с веществом (Ереван 1982), на армянско-французской совместной конференции (1995), на международной конференции, посвященной 50-ти летаю Бюраканской астрофизической обсерватории (1996), на семинаре кафедры астрофизики ЛГУ (1986), на летней сессии союза

математиков Армении (1996), на семинаре кафедры математического анализа Московского пед. университета (1997), на семинаре института Космических исследований РАН (1997), на семинаре Московского государственного технического университета им.Н.Э.Баумана (1997), на семинаре института радиотехники и электроники РАН (1997), на теоретическом семинаре Ереванского физического института (1997).

Публикация. Основные результаты, приведенные в диссертациии опубликованы в работах, список которых приведен в конце автореферата.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из Введения, пяти глав, содержащих 24 параграфов и заключения. Кроме того она содержит 11 рисунков, 9 таблиц и список цитируемой литературы из 162 наименований. Общий объем диссертации составляет 233 страниц машинописного текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении дается краткий исторический обзор тех вопросов физической кинетики, которые непосредственно связанны с оригинальной частью диссертации, обоснована актуальность выбранной темы, приводится краткое содержание диссертационной работы и основные результаты, которые автор выносит на защиту.

Первая глава диссертации посвящена изучению и эффективному решению ряда задач КТГ, связанных с течением газа в полупространстве, ограниченном твердой стенкой или течением газа между двумя параллельными пластинками.

§1.1 имеет подготовительный характер и в нем приводится общий анализ УБ в рамках БГК модели для простого и многокомпонентного газа. Выводятся соответствующие уравнения без учета и с учетом аккомодации. Показано, что в случае без учета аккомодации задача сводится к решению интегрального уравнения Винера Хопфа

(-(х)=8(х)+]кфН)ф)<к (и

о

где g(x)>Q; geL)(0,^-ío) и допускает представления суперпозиция экспонент

со

а(х)=|е-Х501^з (2)

о

К(х) положительная четная функция из Ь, (-<», +да), представленная в виде суперпозиции экспонент:

00

К(х)= |е-1х15С(з)с)5 (3)

о

причем

д=]К(х)ск=2]^=1 (4)

-да О

Задача с учетом аккомодации сводится к интегральному уравнению с разностным и суммарным ядрами

СО СО

о о

где у (0<у<1) есть так называемый коэффициент аккомодации, а К„ является суперпозицией экспонент

оо

Кй(х)= |е-хЧ}0(к)<1к; К0 еГ +^(О,*») (6)

О

В §1.2 рассматривается задача скольжения газа в полупространстве, ограниченном твердой плоской стенкой без учета зеркального отражения.

Указанная задача сводится к построению положительного решения уравнения (1), обладающего асимптотикой

{■(х)-ах при х-но (7}

Из (4) следует, что символ l-K(s) уравнения (1) обращается в нуль в точке s = 0 (K(s)-преобразования Фурье от ядра) Поэтому в случае условия (4) уравнение (1) называется консервативным уравнением (КС) и представляет собой особый случай интегрального уравнения Винера Хопфа (ИУВХ).

Применяя УА и факторизационные методы, а также другие новые построения, предложен аналитический метод решения уравнения (1), (7). Доказано не только существование положительного решения уравнения (1), (7), но и существование и вычисление предела

Х- lim [f(x) -ах] ; х = lim f(x) (8)

этого решения. Справедливы следующие теоремы.

Теорема 1.1. Пусть в уравнении (1) (3), (4) К(х)-обладает конечными моментами второго порядка, а свободный член g(x) имеет вид (2), причем mi(g)<+oo (mk(g) момент k-ro порядка g). Тогда существует предел основного решения уравнения (1) в причем

хя.21ДрШ[в«1+ь (9)

' «! at J -

s 2ai

о

fcp(s)G(s)ds

где am - m! 1 —• <р(з)-функция Амбарцумяна и удовлетворяет

J я

s О

следующему нелинейному функциональному уравнению

(10)

о 8+Р

Теорема 1.2. Если функция К(х) обладает конечным моментом порядка 3, а функция §(х) конечным моментом порядка 2, то

r(x) = f(x) -. Xj eL] причем

Jr(x)dx=— J<p(s)G,(s)

n al n

2a] s

ds (11)

Исследуется ряд свойств функции Амбарцумяна в консервативном случае и ее асимптотика при 5->0.

Число х имеет важное физическое значение и представляет собой коэффициент (изотермического, теплового или диффузионного) скольжения.

В §1.3 рассматривается аналогичная задача §1.2, с учетом аккомодации. Задача сводится к уравнению (5)-(7), которое в математическом аспекте более общее по сравнению с задачей без учета зеркального отражения от стенки (у=0) рассмтриваемая в §1.2. Показано, что уравнение (5)-(7) имеет единственное решение при произвольном значениии коэффициента аккомодации. Доказаны следующие теоремы:

Теорема 1.3. Пусть в уравнении (5) ядро К и К0 определяются согласно (3), (4) (6), а свободный член имеет вид (2) и обладает конечным моментом первого порядка. Тогда уравнение (5), (7) имеет

положительное решение Г еЬ1^, при произвольном значении 0 < у < 1.

Сущеествует предел (8), значение которого определяется согласно

«1

где (З^) определяется из следующего интегрального уравнения

0 8+Р

Здесь

МРК^Ф °Г<Р2(Р)Оо(Р)<1Р

0 5+р ^ ф+р)

Теорема 1.4. Уравнение (5)-(7) имеет единственное решение f еЬ1ос при V 0<у <1.

Дискретизация меры с1ст0=00(з)с15 сводит уравнение (12) к конечной линейной алгебраической системе с матрицей простой конструкции.

Излагаемый подход опирается на результаты §1.2, на факторизационные методы и на некоторые новые построения.

§1.4 посвящен применению результатов предыдущих параграфов к конкретным задачам физической кинетики:

- в КТГ найдена формула для вычисления коэффициента диффузионного скольжения бинарного газа, найдены также коэффициенты изотермического и теплового скольжения, посредством которых определяется фиктивное значение скорости скольжения у стенки

- в ТПИ найдено значение поля излучения в глубоких слоях атмосферы при наличии экспоненциально распределенных внешних источников в случае чистого рассеяния.

- результаты применяются также в фононной гидродинамике для нахождения граничного условия на границе диэлектрика с металлом.

§1.5. посвящен задачам Куэтга и Пуайзеля относительно течения газа между двумя параллельными пластинками. Они сводятся к решению интегрального уравнения типа свертки на конечном промежутке:

где ¿(х) и К(х) имеют вид (2) и (3).

Применяемый нами метод работы* основан на установлении связи между решением рассматриваемого уравнения и решением интегрального уравнения на полуоси (1) (когда г=+°о) с тем же ядром. Такой путь дает возможность привлечь к решению уравнения (13) нелинейное интегральное уравнение Амбарцумяна (10), которое является наиболее эффективным орудием решения уравнения Винера-Хопфа на полуоси, ядро которого является суперпозицией экспонент. Метод

работы* решения уравнения (13) обоснован при ц<1 (диссипативный

г

(13)

о

* Н.Б. Енгибарян, М.А. Мнацаканян. Об одном интегральном уравнении с разностным ядром.- Мат.заметки, г.19, №16, 1976.

случай). Рассматриваемый нами консервативный случай (1=1, когда уравнение (1) является особым случаем уравнения Винера-Хопфа, требует специального подхода. Указаны две возможности на преодоления дополнительных трудностей, возникающих в консервативном случае, и предложен эффективный путь аналитического решения уравнения (13).

Вторая глава посвящена вопросам многократного резонансного рассеяния гамма квантов в однородных средах, содержащих мессбауэровские ядра. Изложены методы решения задачи в случае КП рассеяния. Полученные результаты допускают полное математическое обоснование. Последний параграф настоящей главы посвящен применению принципа инвариантности к решению задачи дифракции рентгеновских лучей на монокристаллах в симметричном случае Брегга.

В §2.1. выводятся соответствующие уравнения переноса гамма излучения в случае когерентного и полностью некогерентного (КП) рассеяния в плоскопараллельной среде произвольной толщины. Одним из основных понятий теории МРР гамма квантов является функция перераспределения г(х,х')=а(х)§(х,х'), где а(х) форма линии поглощения, а g(x,x')dx' - вероятность того, что гамма квант, имевший частоту х до рассеяния, после рассеяния будет иметь частоту, лежащую между х',х' + с1х'.

Представляет теоретический и прикладной интерес исследование резонансного рассеяния гамма квантов в случае следующего закона перераспределения

г(х,х')=аа(х)5(х-х')+ЬАа(х)а(х') а+Ь = 1

который мы назовем КП рассеянием. Несмотря на внешную простоту, случай КП рассеяния является специфическим, не укладывается в общую теорию некогерентного рассеяния и требует специального подхода. Исходное двойное интегральное уравнение с разностным ядром сводится к следующему скалярному уравнению:

и(т)=ио(т)+ ^(т,т')и(т')<3т'

(15)

где ио(т) заданная функция, а ядро вообще говоря, не является

зависящим от разности аргументов -с—т\ хотя обладает некоторыми важными свойствами разностных ядер.

§2.2 посвящен решению уравнения (15) в случае бесконечной среды (т, = -ао, т2= +оо,). В этом случае ядро Ш=Ш0 оказывается зависящим от разности аргументов, и представляется в виде суперпозиции экспонент:

Эта задача допускает замкнутое аналитическое решение. Задача решается двумя способами: с помощью преобразования Фурье и с помощью нелинейных функциональных уравнений. Решение этой задачи описывает поле излучения в глубоких слоях толстой среды и дает наглядную информацию о роли когерентного и полностью некогерентного рассеяния в формировании спектра мессбауэровских гамма квантов. Существует простая связь между различными характеристиками (среднее число рассеяния, длина термализации и др.) поля излучения в бесконечной и полубесконечной средах, что позволяет контролировать точность приближенного решения задач переноса в полупространстве по известному решению задачи в бесконечной среде.

В §2.3 рассматривается МРР гамма квантов в случае КП рассеяния в полубесконечной среде (т3 = 0, т2= +оо).

Полубесконечную, с одной стороны ограниченную среду, можно рассматривать как совершенный кристалл, если его размеры намного превышают длину свободного пробега кванта, т. е. оптическая толщина кристалла в центральной частоте очень большая, и поле излучения эффективно не влияет на ближащие грани кристалла.

(16)

Ядро уравнения (15) в отличие от бесконечной среды не является зависящим от разности аргументов

\У0 (|т- т1)+\У. (хУ)

где

а) * Б+р

-оо 0 ^

(17)

а \У0(|т|) задается согласно ¡16).

Однако специфика ядра (17) позволяет эффективно решить задачу и в этом случае.

В §2.4 рассмотрено уравнение (15) и показано, что его решение при (т, —0, \2~ +оо) можно представить в виде

00 Ш

и(т) = У(т) + | |р(т,з\х')К(з\х>1х,сЮ(з')

-со О

где У(т) и Р(т,б,х) удовлетворяют уравнению Винера хопфа (с ядром Ш„) со свободным членом ио(т) и а2(х)е"а'х|те соответственно, а II определяется из интегрального уравнения

СО оо

К(5,х) = К0(з,х)4- 11Т(Ч в', х, х')Щь', х)ск' сЮ(б) (18)

-со О

Доказано существование и единственность решений уравнения (18) в

-<Ю(5); I].

в с^

пространстве Ь|

Теорема 2.1. Оператор Т определяемый посредством

00 оо

(Т0(:5,х)= | |т(8.Я\х,х')Г(з',х')с1х'сЮ(.<;)

-со О

является оператором сжатия в

со

С<(1= |\У0(х)|<к<1.

-сЮ; -« а

с постоянной

Дискретизация меры (Ю(з) сводит уравнения (18) к алгебраической системе.

В §2.5 Принцип Инвариантности Амбарцумяна применяется к решению задачи дифракции х - лучей на монокристаллах, в симметричном случае Брегга. Этот подход дает возможность непосредственно определить коэффициент отражения (для амплитуды) полубесконечного кристалла. Указанный подход отличается не только простотой и наглядностью, что немаловажно с методологической точки зрения, но и позволяет решить задачу дифракции в кристалле конечной толщины. Путем установления связи между решениями задачи дифракции на кристалле, содержащем конечное число п отражающих плоскостей и задачи дифракции на полубесконечном кристалле, получены явные выражения для коэффициентов отражения и пропускания С/а. Учитывается также поглощение в кристалле конечной толщины.

Третья глава диссертации посвящена линейным задачам переноса световых квантов в одномерных и трехмерных средах (полубесконечные и конечные) при частичном перераспределении излучения по частотам (ЧПЧ) внутри спектральной линии. Изучаются вопросы разрешимости уравнения переноса и уравнения Амбарцумяна, а также определяется поле излучения в полубесконечных и конечных средах. Результаты этой главы существенным образом используются при решении соответствующих нелинейных задач.

В §3.1 приведены основные свойств и представления функции перераспределения (ФП), обусловленные разными физическими механизмами. Предлагается метод решения линейной задачи некогерентного рассеяния в одномерных и трехмерных полубесконечных средах. Эта задача существенным образом связана с решением обобщенного УА. УА в одномерном приближении имеет вид-.

^ "о , »

[а(х)+а(1)]р(хд)=-г(х,1)+- | г(х,х')р(х'д)(1х'+— |р(х,х')г(х\()с1х'+

X °° 00

|р(х,х')с1х' |г(х',х")р(х"д)с)х"

-00 -00

где р(хд) искомая функция отражения от полубесконечной среды. С использованием билинейного разложения ФП

гМ«2>как(хЫ0 (2°)

к=1

(где {ак(х)} некоторая линейно независимая система функции) предлагается простой способ решенеия уравнения (19), основанный на сведении его к нелинейному матричному уравнению

Гр + рГ = (I + р)2(1 + р) (21)

Здесь 1=(5ус) единичная матрица порядка п, р=(рцс) искомая матрица,

Г=(у;к)= |сц(х)ак(х)с}х; 2=^— АкУ^. Отдельно рассматриваются случаи

-ГО

систем {ак} ортогональных с весом 1, —— и а(х). Рассматривается

<х(х)

также общий случай, когда система {ак(х)} не обладает свойством ортогональности. Предложен эффективный метод решения матричного уравнения (21). Знание функции р(хД) дает возможность не только найти спектр отраженного излучения от полупространства, но и посредством ее определяется внутренний световой режим среды.

В конце параграфа результаты обобщаются на трехмерный случай. В §3.2 решается линейная задача переноса при ЧПЧ в слое конечной толщины. Предлагаются два альтернативных варианта нахождения внутреннего светового режима среды конечной толщины, основанные на предварительном решении соответствующей задачи в полупространстве.

В первой части этого параграфа рассматривается задача диффузионного отражения и пропускания. Найдены коэффициенты отражения и пропускания слоя конечной толщины при ЧПЧ.

Во второй части параграфа установливается связь между внутренними режимами для полубесконечного и конечного слоев:

СО 00

8ео(т,х)=5То(т,х)+ |у(х0,х,х,)ах' |р(х\х")й,о(т0-т,х")<1х"

—оо -00

где 800(т,х) искомая функция источника и удовлетворяет уравнению

со от

8ос(т,х)=80(т,х)+- | г^х.х')^ |Е1[а(х,)|,т-т,|]5и(г',Х')ах' (22)

-00 О

а функция У(х0,х,х') определяется из некоторой задачи Коши. После нахождения р.У.Б«, решение рассматриваемой задачи сводится к простой линейной алгебраической системе.

В §3.3 метод установления связи между решениями задачи в полупространстве и на конечном промежутке, распространяется на систему интегральных уравнений

5;(тМо1(т)+£ } (23)

3=1 о

соответствующей задаче некогерентного рассеяния. Здесь

0 (24)

СО 1 '

о

Полученные результаты используются для нахождения интеграла

То <о

0(го)= | ^Дт.х^скск играющего важную роль в нелинейных задачах

О ~00

некогерентного рассеяния.

§3.4 посвящен задаче переноса при наличии неравномерно распределенных внутренних источников, с учетом некогерентности

элементарного акта рассеяния. Найдены внутренние режимы в конечных и полубесконечных средах. Эта задача возникла для нужд решения соответствующих нелинейных задач, хотя она, безусловно, представляет самостоятельный интерес в линейной теории некогерентного рассеяния.

Четвертая глава диссертации посвящена изучению и решению ряда важных и сложных нелинейных задач при частичном перераспределении по частотам и направлениям как в двухуровневых, так и в трехуровневых системах. Применение метода СОГ Амбарцумяна позволяет не только линеаризовать исходные уравнения, но и находить связь между реальной оптической и геометрической глубинами, что означает полное решение задачи.

В §4.1 с использованием кинетического подхода к задачам перено са излучения (рассматривая УБ как уравнения переноса для фотонов) приводятся общая система уравнений и условий стационарности.

Как известно, поле излучения резонансного рассеяния зависит от плотности возбужденных атомов, а тем самым, и от распределения атомов по скоростям, а распределение возбужденных атомов по скоростям, в свою очередь, обусловлено полем излучения. Поэтому строгое рассмотрение задачи резонансного рассеяния в линии в звездных атмосферах при отклонении ЛТР требует совместного решения нелинейного уравнения переноса и соответствующего кинетического уравнения. Считая, что распределение атомов по скоростям в целом максвелловское, вводятся функции распределения атомов ^(у) и Г2(у) в основном и возбужденном состояниях соответственно. Это предположение обусловлено селективным характером возбуждения атомов квантами той или иной частоты. Указанная модель согласована с моделью Оксениуса, предложенной им в 1965 г.

В §4.2 в качестве первого приближения делается упрощающее предположение о совпадении профилей коэффициентов поглощения и вынужденного излучения.

Тогда уравнение переноса и условие стационарности в плоском слое принимают вид:

(25)

471

п2Щ

а21+А21+™- J«(x')dx' Jl(z,x'ri}dn

-i

=n,

а12а{х)3- Jr(x,x')dx' Jl(z,x',r|)dr]

«i

Ja(x)ck' Jl(z,x,T])dri

=n2

a2i+A2i+~- Ja(x)ck Jí(z,x,T|)tlri

(26)

(27)

К уравнению (25) присоединяются также граничные условия I(0,x,-n)=Io(x,7i) при г)>0 l(zo,x,t))=0 при г]>0

Здесь использованы следующие общепринятые обозначения: A2¡, BI2, B2i эйнштейновские коэффициенты переходов, I(z,x,^¡-искомая интенсивность излучения, а(х) и 47(х) профили коэффициентов поглощения и спонтанного излучения, z-геометрическая глубина, rij(z) и n2(z) концентрации атомов находящихся на нижнем и верхнем уровне на глубине z, г]-косинус угла между направлением распространения излучения и внутренней нормалью к плоской границе z- О, х-безразмерная частота, а|2, а2Гкоэффициенты перехода вследствие электронных ударов первого и второго рода.

В уравнении переноса (25) совершается переход к новому аргументу согласно формуле

ах=^[П1(г)в12-п2(2)в21]аг

4к

(28)

Значение т при каждом г зависит от состояния поля излучения в слое [О,г]. Благодаря переходу к х по формуле (28) удается линеаризовать

соответствующие уравнения и свести их к уравнению (22). Обсуждается вопрос нахождения реальной оптической толщины среды, и обратный переход в решении от агумента т к исходному аргументу г. Далее рассматривается соответствующая нелинейная задача в слое конечной толщины. Предлагается эффективный путь определения функции О(т0) которая осуществляет связь между реальной и предельной оптическими толщинами слоя согласно формуле

Уо=то+с(3(то); с=согсЛ (29)

Показано, что при любом уо>0 уравнение (29) относительно т0 имеет единственное решение. Определением т0 завершается решение нелинейной задачи.

Особое внимание уделяется различиям профилей коэффициентов поглощения <р(х) и вынужденного излучения Ч'(х) от контура коэффициента поглощения а(х1, обусловленным отклонением в каждом из уровней от максвелловского:

8Ф(х)= |г,(у)-4м|с13у=ф(х)-а(х)

\ \ (30)

5Ч'(х)= ][ (V) - Г^1 ]а3 V = ^(х) - сс(х)

Численные результаты показывают, что относительное отклонение в центре линии составляет несколько процентов, что свидетельствует в пользу допущения о совпадении профилей коэффициентов поглощения и вынужденного излучения.

В §4.3 рассматривается нелинейная задача некогерентного рассеяния в среде состоящей из трехуровневых атомов. Считается, что

переходы 2^3 полностью запрещены. Предполагается, также, что профили коэффициентов поглощения и вынужденного излучения одинаковы в каждой линии. После перехода к реальной оптической глубине (в каждой линии) уравнения разделяются и линеаризуются. Реальные оптические толщины т? и т? в каждой из линии определяются из следующих систем трансцендентных уравнений

где Qk("tk) = J JSt„ (x,x)dxdx; хк =const; к=2,3

-Я) 0 к

В §4.4 рассматривается нелинейная задача переноса в спектральной линии при общих предположениях о некогерентности и анизотропности элементарного акта рассеяния. Допускается приближение, основанное на предположении о совпадении профилей коэффициентов поглощения и вынужденного излучения. В случае анизотропного рассеяния ФП г зависит также от угла рассеяния у:

Использовано билинейное разложение ФП следующего вида:

r(x,x\r)=£pt(cosy)r, (х,х') ^¿Pi (cosy )£4 (х)4 (х') (32)

i=l ¡«1 k=l

где jak(x)j являются собственными функциями ядра г,(х,х'), а РДсоэу)

полиномы Лежандра. Применением метода СОГ позволяет линеаризовать задачу. С использованием разложения (32) линеаризованное уравнение сводится к решению либо системы интегральных уравнений, либо к краевой задаче для дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Используя соотношения, связывающие между собой поля излучения в конечной и полубескокечной средах, предлагается способ нахождения функции Q(t0), необходимой для перехода от реальной к предельной оптической толщине.

В §4.5 рассматриваются нелинейные задачи некогерентного рассеяния при наличии плоского источника или равномерно распределенных внутренних источников. Показано, что метод СОГ с успехом можно применить и к таким задачам.

Предлагается метод решения задачи, рассмотренной в §4.2 во втором приближении, при котором принимаются в расчет возможные

отклонения распределения по скоростям атомов, находящихся на различных энергетических уровнях, от максвелловского закона.

Эта задача эквивалентна некоторой задаче переноса, рассмотренной в §4.2 с неравномерно распределенными внутренними источниками. Предлагается разбить слой несколько подслоев и соответственно заменить внутренний источник постоянной (по г) функцией. Далее предлагается способ "сшивания" для совместного решения задач переноса в этих подслоях.

В §4.6 рассматривается одна нестационарная задача переноса в плоском однородном среде при частичном перераспределении по частотам. Члены, описывающие вынужденное излучение, учитываются приближенно. Применяя преобразование Лапласа во времени, решение представляется в виде разложения по степеням 1/.ч. Коэффициенты разложения определяются из рекурентного соотношения. Задача сводится к линейному интегро-дифференциальному уравнению с внутренними источниками, которое было изучено в гл.3.

Пятая глава посвящена приближенному решению и численной реализации ряда задач физической кинетики, рассматриваемых в предыдущих главах. Главная цель настоящей главы показать, что аналитические результаты предыдущих главах дают принципиальную возможность решить рассмотренные задачи с любой наперед заданной точностью. Как будет показано такая возможность априори не является очевидной.

Предложенный метод дает возможность соответствующие уравнения заменять дискретными уравнениями более простой структуры, которые численно легко решаются. Приводятся различные оценки близости между точными и приближенными значениями искомых величин. Существенное внимание уделено проблеме отбора и оптимизации алгоритмов для численной реализации конкретных прикладных задач физической кинетики.

В §5.1, применяя и развивая модифицированный вариант МДО, предлагаются эффективные приближенные методы решения основных уравнений (1)и (13).

Уравнение (1) заменяется уравнением:

00

?(х)=2(х)+|к(х-{)?(1)& (33)

о

где

К(х)=£аие-^; аю>0 (34)

Ш=1

Ью>0 (35)

т=[

0<£,<52 <"'<Зп_1 <Бп<-К» Приводится оценка погрешности приближенного решения уравнения (1) вследствие редукции

<36>

где

|*-Нсгг И4*: «»НМц (37)

Из (36) видно, что близость между точным Г и приближенным £ решениями по метрие Ь{(0,-но| оценивается величиной 5,

В связи с этим возникает проблема оптимального выбора значений свободных параметров 8^,, ат и Ьт, при которых 5 достигает минимума при заданном числе узлов. Описан путь определения оптимальных значений узлов и весовых множителей. В качестве примера рассматривают-

ся случаи ядер интегральной экспоненты Еш(х)=|е пг>1 и функ-

ции Веландера Tn(x)=--= fe xse s2s"ds; п=-1>0,1---. которые встречаются ^о

в ТПИ и в КТГ.

В п.З настоящего параграфа изложен п обоснован метод приближенного аналитического решения уравнения (13). Этот метод основан на замене исходного ядра Кг редуцированным ядром Кг, представляющим собой конечную линейную комбинацию экспонент. Тот факт, что ¡KjjE <1, (Er=E[0,rj- одно из банахово простанств Lp [0,г];

М[0,г]; СГО,г]) дает нам возможность с нужной точностью аппроксимировать решение уравнения (13) решением f(x) усеченного уравнения с ядром Кг.

Имеют место легко проверяемые оценки

Me,

M|Bfs»«(H*,ra

где

5,=l-P=2|T_,(x)-T_,(x)]dx

о

г/2

Me, ^г=2 |T_,(x)dx¡<l О

г/2

Щ ¿Pr=2 |t,(x)dx¡<^r

О

Ясно, что если выбрать 8, достаточно малым, то сможем сделать

числа IJf- fII и Б— сколь угодно малыми.

,1Е< и,

не,

§5.2 посвящен приближенному решению уравнения (1), (4) и (5), (6). Предложена схема приближенного решения УА (10) в

консервативном случае и получена оценка между точным и приближенным решениями <р и <р.

где

И

<f(s)-<p(s)Sp2V57 при r<s<+oo

<p{s)—— при 0<s<r

a,s

Ж,

1 0 0 s

Предложена также схема приближенного вычисления моментов функции Амбарцумяна

r<p(s)G(s)ds

sm+l

I ff

ara=m!j-o

и других интегралов, которые играют важную роль в КТГ. Показано, что указанные величины можно приближенно найти с любой наперед заданной точностью . Доказано:

Теорема 5.2. Пусть F(x) и F(x) имеют вид

СО СО

F(x)= Je-xs<p(s)G,(s)ds; F(x)=|e""$(s)G1(s)ds о о

тогда гля Ve>0 можно построить приближенное решение уравнения (10), такое, что If-fI . <е.

II IIL,

На основе полученных результатов описан алгоритм приближенного решения уравнения (1) и (5).

В §5.3 применяется МДО к задачам переноса излучения гамма квантов в случае полностью некогерентного рассеяния. В этом случае ядро интегрального уравнения имеет вид:

K(x)=-]a2(x)e-aWtdx (38)

—СО

Функция К(т) задаваемая согласно (38) заменяется функцией

' 2 \ 2 а„

ат-\)ат (39)

а

£М=2>те""атТ; ат =а(хт)

Разрабатывается эффективный способ определения узлов хт и весовых множителей ат, близких к оптимальному. Они определяются из следующей граничной задачи

хт+!

| а2(х)<1х=~

"•Ш-1У хо=°; хп+1=®

Теорема 5.4. Дискретная граничная задача (39) имеет единственное решение (х,, х2, ...хп) , которое сообщает минимум функции 3,

Результаты настоящего параграфа, представляют самостоятельный интерес, а также способствуют численному решению задач МРР гамма квантов.

Во второй части §5.3 п.2 рассматривается интегральное уравнение 00 £» %Н(х)+ |у/0(|х-1|)ф)Л+ |\У,(хД)ф)({1 (40)

о о

с двумя ядрами, где \У0 и имеют вид (16) и (17) соотвественно. Модифицированный вариант МДО обобщается по отношению к уравнению (40). Уравнение имеет непосредственное применение в теории переноса гамма квантов в случае КП рассеяния, а также представляет самостоятельный интерес в математической физике.

В §5.4 с применением развитых в предыдущих главах аналитических построений выполнен большой объем численных расчетов:

• Предложен алгоритм численного решения интегрального уравнения типа свертки на полуоси и на конечном промежутке в консервативном и диссипативном случаях,

• Найдена погрешность в каждом конкретном случае, и приводится сравнение результатов полученных разными методами. Они хорошо согсласуются между собой.

• Приводятся результаты численных расчетов в случае полностью некогерентного рассеяния. Результаты используется для нахождения спектра отраженного гамма излучения.

• Выполнен большой объем численных расчетов, относящихся к линейным задачам переноса излучения световых квантов при ЧПЧ. Численно репнотся матричные уравнения (21) для коэффициента Фурье pik функции отражения. Находится внутренний режим поля излучения как в полубесконечной среде, так и в слое конечной толщины. Приведены также некоторые численные результаты для линейной задачи с внутренними источниками.

• Приводятся результаты численных расчетов, относящихся к нелинейным задачам. Найдены связь между реальной и предельной оптическими глубинами, отклонение профилей поглощения и вынужденного излучения, а также реальная оптическая толщина слоя.

В заключении диссертации резюмированы и перечислены основные результаты работы.

Список опубликованных работ по теме диссертации.

ЬЕнгибарян Н.Б., Хачатрян А.Х. Нелинейная задача переноса при общих законах перераспределения по частотам, Астрофизика, 1985, т. 23, вып.

1. 145-161.

2. Хачатрян А.Х. Одна нелинейная задача переноса при анизотропном рассеянии. Изб. АН Арм. ССР (Физика), 1985, т. 20, вып. 5, 265-272.

3. Хачатрян А.Х. К решению нелинейной задачи некогерентного анизотропного рассеяния. Астрофизика, 1985, т. 23, вып. 2, 349-362.

4. Геворгян М.С., Хачатрян АХ. О задаче некогерентного рассеяния в одномерной среде. Астрофизика, 1985, т. 22, вып. 3, 599-612.

5. Хачатрян А.Х. Об одной задаче некогерентного рассеяния. Астрофизика, 1985, т. 23, вып. 1, 206-211.

6. Vardanian R.S., Khachatrian A. Kh. Application of the Invariance Principle in the Diriamic Theory of X Ray Scattering. Phys. Stat. Soli, (a), 1985, v. 86, 73-78.

7. Хачатрян A.X., Акопян A.A. О нелинейной задаче некогерентого рассеяния в одномерной среде. Астрофизика. 1985, т. 23, вып. 3, 569-581.

8. Варданян Р.С., Хачатрян А.Х. Об одной нелинейной задаче полихроматического рассеяния при общих законах перераспределения по частотам. Изв. АН Арм. ССР. , (Физика), 1986, т. 21, вып. 3, 93-96.

9. Хачатрян А.Х., Акопян А.А. О профилях поглощения и излучения в нелинейной задаче резонансного рассеяния. Астрофизика, 1986, т. 25, вып. 1, 189-195.

10. Хачатрян А.Х. О нелинейных задачах некогерентного рассеяния при наличии внутренних источников. Изв. АН Арм. ССР (Физика), 1988, т. 23, вып. 6, 309-318.

11. Хачатрян Al-X., Акопян А.А. Профили линии поглощения в полупространстве. Изв. АН Арм. ССР (Физика), 1988, т. 24, вып. 1, 14-19.

12. Хачатрян А.Х., Акопян А. А. Матричный подход к задачам некогерентного рассеяния. "Численные методы решения уравнения переноса". Тарту, 1988, 205-211.

13. Khachatrian A. Kh. Nonlinear problem of polychromatic scattering. Application to the Na I. D line. Astr. and Space Science. 1990. v. 172, 167-184.

14. Yengibarian N.B. , Khachatrian A.Kh. On a problem of multiple resonance scattering of Gamma Ray Quanta. J. Q. S. R. T. , 1991, v. 46, No. 6, 565-575.

15 Khachatrian A.Kh. , Akopian A.A. , Melkonian E.A. A matrix method solution for noncoherent scattering problems. J. Q. S. R. T. , 1991, v. 45, No. 6, 367-376.

16. Khachatrian A.Kh. , Amalian G.G. On one problem of gamma quantum multiple resonance scattering. J. Integral Eq. and Math. Physics, 1992, v. 1, 126-139.

17. Khachatrian A.Kh. On one numerical method of solution of coherent and incoherent scattering problem. Astr. and Space Science. 1994, v. 215, 17-35.

18. Хачатрян A.X. Об одной нестационарной задаче переноса при частичном перераспределении по частотам. Астрофизика, 1995, т. 38, вып. 1, 89-99.

19. Yengibarian N.B., Khachatrian A.Kh. Formation of spectral lines in stellar atmosphere. Linear and Nonlinear Theory. Astrophysika. 1995, v. 38, No. 4, 565-571.

20. Енгибарян Н.Б., Хачатрян А.. О некоторых интегральных уравнениях типа свертки в кинетической теории. Ж. Выч. математики и математической физики. 1998, т.38, №3.

21. Хачатрян А.Х., Папоян К.В. Об одном интегральном уравнении свертки в кинетической теории газов. Изв. НАН РА (Математика), 1997, т.32, №1.

ШГФПФПЫГ

Uinbfiiufimunipjni&p Gi)|ipijuiö t ЭДчЭДшЦшО l[{iühmfiljuij(r uiumquijfiß üpGnpipmGbp}i ицЬЦшрш^ qöbpniiS fiuiiiuiquijpiiiuG uibquiiJinJuiJuiG mbumpjuiö Ii quiqbp|> Ijtißbuifil) mbunipjuiü lîji ¿uipp qöuij[iß Ii n¡ qduijjifi ¡uGri[ipGbp¡i uiGunJiuifilj U pi]uij[iG риййшй úbpru]GLp]i quipqujgduiGp: li[)pumb¡ni) U quip()tugDb[ni| dumuiquijpiíuJÜ mbrpin{m)uiíuiG inbunipjuiG U tí'*in''4I1UJt huii{muujpxu>5ûhpji mbuntpjuiG №pnj}Gbpp' hiugnqijbi l ujmpq b niG]iiJbpuiui !j™Gl¡gtiuiGbp|i' <ii]i5pmpántiSjuiü)i ;¡HuGljg)iuiGbp¡) b Qpui pKijhuiGpuigniiíGbpfi ií|i$>ngni| Gljuipuiqpbi ^¡iqjitjuiljujü ujpngbuGbpp |ipbGg puiqiiuiqmGnipjmiSp U uinuijuiplpjbi hfi lîiupbiïtuuiJiliuiljuiO mbuuil}bmt¡g oupiijiiími «SuiGuiujmphßbp uiju Ijuitf uijG IjjipummljuiG luGqJipGbpp iruflbijiu: Suipquigijbi t ЛЦ lífiuiuGuiliuiG límnbgniiS SumuiquijpiíujG mbriuii}in¡u\SuiG inbunipjuiG Ь quiqbp[i ЩхСЬтВД inbunipjuiü juGtiJipfibpJi GipumiSui'ip, U gnyg t inpijbl <U!j5píüpánii!jU¡G¡i fclüijyiUUlpdiiiG h¡íi5Gü;¡;n¡p i)tpp uijq luûtjfipGUptîiiî:

llmbGuiJiinunipjmG db? umuigt^UG hbmUjuiihliiSGuit¡uiG uiprijniGpGbpp: ui) fij IjnhbphGui gpiSuiû qhujpnuS qöuijfiü ¡iiün]ipfiuji¡i huiúmp qinpquig»)li) \: <u¡i5pmp¿miíjuiG¡i hiuijuiuiupiIuiG jmdiluiQ iSuiinpfigwjjiG übpnqp: Q-uiGi-]b| t ümmuquijpunjiü 1)Ш2Ш(1 hfi¿uibu IfJiuuiuiGtlbps, uijCiqbu l.¡ ijl¡pymijnp huiuuimpjiuQ ¿bprnmiî:

p) Lntirijbi bG uiumrytiijjiû ilpíininpuiGhpfi uajbljtnpuq qdLjimii $ninnGßbpfi nbqnGmGumjJiG gpúuiG n¡ qfruiifiû JuGijJipSbp' риш hm6iu¡unipjmüGbpJi pGqhiuGrap ijbpuiptu^fuiSuiG opbGpGbpJi htn¿i]umúuiiíp: UprçjniGpGbpp lijipuimjhi bü Nal-¡1 D Ь Cali ¡i II 1» К ribqnûuiGuuijfifl q&bpji íitjuiiniíuníp: 4-mGi)bt t IjpuGiíuiQ h umJiupujuiliuiG (JmmuqiujpiîuiG Ujpn^JiiGbpti ¿bqmtíp, npp iquijiîuiGunJnpiluiù t qpqmjuid штпйСЬр}) uipuiqnipjmGGbpli puylutfiuû iSmpui}bijuiGlig ¿brpSuiiSp:

q) Ulin!ïtu)uig{nuj[] qripdmligji l{mi5uijuilpuG uipdbpji qbuipniiS [niùipq t bpijiu IpipJiqniJ (гшфц U hui^iuquipà тЬдш^ш^ЛиЦ, fiGmbqpuii huii}uiuuipnui tinûubpi}aim[ii( дЬидашЗ: Q-inG^bi U imdiîuiG uuihiîiuGiu|)iuj& uipdbpQ uiûiJUp$>mpjniGm<5, npp GbplpujmgGrmî t l¡uipknp ;}>fiq]ilituliuiG uipdbp JiGjujbu шшпгриЗфчЗДшртнЗ, lujüiqbu tiquiqbpji (j}iGbm)íl¡ uibunipjuitt úh?;

q) 1фршпЬ[т} b quipquigfibimj ôuirtuiquijpiîujG mbr]uii}in[ui5u)G uibumpjmG iSbpnqûbpp huigniplbi 1; mGmifuntiljnphG piöbl tfjmupuimbpjuiG dfijmljGUp upiipniüuiljm) pjmpbqGbpniiJ y pi|uiGmGbp{i pmqiîuiupumiili gptïuiû iî[l ?шрр JuüqfipGbp:

b) UuibGui]unumpjuifi iSbg uinuigi}mö uiGmQiui[)I} mpqjaiGpGbpp hmugijbi UG pi|mj[iG JipmgiîuiG: Snijg t шрЦЬ], up uuiuigijmù wGmiJiuililj uiprjjniüpGbpp uIjqpruGpnpbG bfimpmi]npnipjniG bû muqjiu pi|uijGnpbG ]niöb[ni qjiuimpljijnq JuGqfipGbpp gmGljmgmà Gui[uuiu(bu uipi}uiô ô^mnipju'iîp: