Математические задачи динамики ядерных реакторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Г правах рукописи

2'

.лг.л 1

КУЗНЕЦОВ Юрий Алексеевич

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ЯДЕРНЫХ РЕАКТОРОВ

Специальность 01.01.02 - Дифференциальные уравнения 05.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физнко - математических наук

Нижний Новгород - 1998

Работа выполнена в Научно-исследовательском институте механики при Нижегородском государственном университете им. Н.И.Лобачевского (НИИ механики при ННГУ)

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В.И. Агошков , доктор физико-математических наук, профессор В.Н. Белых , доктор физико-математических наук, профессор А.И. Саичев

Ведущая организация - Московский государственный инженерно -физический институт (Технический Университет) - МИФИ.

Защита состоится “ 24 ” декабря 1998 года в 1430 часов на заседании диссертационного совета Д 063.77.07 в Нижегородском государственном университете им. Н.И. Лобачевского по адресу : ГСП - 20, 603600, г.Нижний Новгород, просп.Гагарина, д.23, корп. 2, конференц-зал .

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке Нижегородского государственного университета им. Н.И.Лобачевского.

Автореферат разослан” 23 ” ноября 1998г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико - математических наук доцент

о

3 .

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория ядерных реакторов уже на протяжении нескольких десятков лет является одним из основных источников новых математических задач. Возрастание научного интереса к нестационарным и нелинейном чвленням в физике ядерных реакторов, расширение представлений о количествен ных и качественных характеристиках протекающих в них динамических процессов определяют важность теоретических исследований динамики ядерных реакторов, тем более что экспериментальные исследования во многих случаях невозможны. Так. задачи безопасности и надежности. связанные с исследованием аварийных ситуаций, как никакие другие, нуждаются в корректном математическом описании явлений и в теоретическом изучении их качественных особенностей. '

Эта сторона физики реакторов, имеющая фундаментальный характер, является одной из предпосылок исследований, представленных в данной работе. Многочисленные динамические задачи теории реакторов могут оагь представлены в виде абстрактной задачи Кошн для нелинейных эволюционных уравнений с, вообще говоря, неограниченными операторами в соответствующем банаховом пространстве. При этом оказывается возможно рассмотрение некоторого класса нелинейных эволюционных уравнений в банаховой пространстве с л:::;сйкымн и нелинейными операторами специальных тииоп. включающего в себя нелинейные уравнения динамики ядерных реакторов, а также, ряд других, представляющих значительный ’ интерес в теоретических и прикладных исследованиях систем дифференциальных и шпегро-дифференц.чалькьа уравнений. Поэттегу разработка теории разрешимости определенных классов абстрактных нелинейных дифференциальных уравнений н исследование качественных свойств их решений, а также рассмотрение на этой основе вопросов разрешимости и корректности конкретных задач мдтемлпчесхсй теории реакторов и других прикладных задач актуальны и г.гтеглгея х числу важнейших математических проблем динамики ядегных р-гахтороа.

Обшая математическая теория ядерных реакторов начала формиро-латьег; на рубегке 40-х и 50-х годов. З&юый вклад п развитие и становле-!*!« ->гой теории "jk раздела теории дифференциальных уравнений внесли’ !.*нсгне отече пленные >; зарубдакныг ученые: Агошхсз В.И.. Владимиров B.C., Геууогеноза ТА., Хрлиев А.В.. Лебедез З.И., Мсряук- Г.И., Мас-,т-;нч|сс.'з М.В.. Шнхсэ С.Б.. HL •”р!л?лов АЛ., Albertcni S., Bellem-Morante . .. Са«г ГСМ., Dsvfcca В., Hejtmaitek. J.. Jcrgetw IC,K.aper H.G.. Lehr.er J., *;ta J.. r;w C.V., Vidav f„ Wing G.M. и многие другие. Оригинальный и' •«меткмЯ з'очд з мат!;мзтг*.'>есхук» теорию nepetioca и теорию реакторов алчя ч*'Л.“П'*.-одсг.-ими ученым и.

Настоящая работа относится к одному гэ важнейших разделов общей теории дифференциальных уравнений и посЕя;.;ена исследованию в общей ■[остановке вопросов существования, единственности, продолжимости не-•г.'регьшнои зависимости от параметров новых классов нелинейных систем дифференциальных и интегро-дифференцнальных уравнений динамики реакторов, изучению их качественных свойств и особенностей, а также рассмотрению ряда задач из смежных областей: построению' и изучения: свойств некоторых функциональны?: пространств теория переноса, вопросам существования и устойчивости сгационарных решений, исследованию структуры спектра соответствующих линейных операторов н тл.

Гаким образом, актуальность темы диссертационной работы опреде-лястся, с одной стороны, осмыслением многочисленных процессов и явлений в динамике ядерных реакторов как траекторий некоторые нгтгацио-карных нелинейных систем н необходимостью их единого ( в методологическом и модельном планах) описания, а с другой - выделением определенных классов абстрактных нелинейных дифференциальных уравнений ^ах универсальной математической модели широкого класса явлений ь <|и-

- знке реакторов и необходимостью построения для таких классов уравнений строгой математической теории. ■ • “

Цель работы состоит в построении теории разрешимости и основ качественной теории нового класса абстрактных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах с неограниченными линейными и нелинейными операторами, а также в исследовании с единых методических позиций ряда важных математических задач динамики ядерных реакторов, изучение которых в рамках иных подходов затруднено или вообще не представляется возможным.

Методы исследования. Основу аппарата исследований составляют методы обшей теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории дифференцнальных уравнений с частными производными и функционального анализа ( в частности, теория полугрупп линейных операторов и теория операторов в полуупорядоченных банаховых пространствах), теории гункцни. краевых задач теории переноса частиц, теории динамических систем ( в частности, принцип сравнения в математической теории систем).

Научная новизна. Результаты, полученные автором и излагаемые в настояшей работе, можно отнести к следующим направлениям:

1. Построение основ теории разрешимости и элементов качественной теории нового класса нелинейных абстрактных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах.

2. Исследование вопросов разрешимости и качественных свойств решений общих нелинейных систем дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений динамики и кинетики ядерных реакторов в наи-

более широких предположениях относителы л коэффициентов и ядер уравнении и начальных и граничных условий.

3. Построение некоторых функцион тьных проста я нет, представляющих интерес (5 исследованиях нелинеш х задач матем, тической теопии переноса частим. Изучение свойств некого,/' ;х операторов теории переноса г! зткх пространствах.

л. Построение обшей системы дифференциальных уравнений кинетики превращении нуклидов г? исследование её разрешимости и общих качественных свинств.

5. Исследование нопоосов разрешимости стационарных краевых зя-дач теории ядерных реакторов I существование стационарных решении нелинейных снег-. »! уравнений динамики реакторов». Элементы математической теории "критического состояния” реактора. Вопросы теории оптимизации "критического состояния" ядерных реакторов.

6. Изучение избранных вопросов устойчивости положительных ста-иионарных решений систем уравнений динамики и кинетики реакторов. Несуществование глобальных решений и “взрывные решения” некоторых интегро-дифференииальных систем уравнений динамики реакторов.

Теоретическое и практическое значение. Работа носит теоретический . характер. В ней развит единый методологический подход к исследованию нелинейных математических задач динамики ядерных реакторов, включающий в себя создание адекватного математического аппарата, обоснование корректности постановок основных задач динамики ядерных реакторов и исследование качественных свойств их решений, выявление ряда общих закономерностей поведения решений нестационарных систем дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений динамики и кинетики ядерных реакторов. Эти результаты могут рассматриваться как оспорь’ обшей математической теории нелинейных стационарных и нестационарных задач теории переноса частиц и теории реакторов. '

Результаты работы позволяют также дать обоснование ряду вычислительных алгоритмов в теории переноса частиц и теории реакторов.

Выявленные в работе обшие закономерности повеления решении *-линенных математических задач динамики ядерных реакторов пиедс -ют определенный практический интерес, поскольку на их осноре мот , сделаны качественные выводы о зависимости динамического .«в»:: ядерных -энергетических установок (ЯЭУ) от их физических иг- •. ?го:-. что особенно важно на ранних стадиях проектирования ЯЭ; • . и лна

чение рассматриваемой методики в вопросах математнчесго-; • моделирования динамики ядерных реакторов рассматривается в раб уте .

1 Митенков Ф.М. Актуальные эопросъз динаю«и ^сргетических 'tz.tr /;’Ьопрсхъ: атомяс^ уг_:-и т??кики. Серия: Фюихз. и технюсз р^актогоэ. 198Ыллп.6 1г- .^..*-5.

Диссертационная работа содержит результаты, полученные н холе выполнения цикла работ, включенных в программу НИИ механики при • ННГУ по важнейшей тематике, определенной рядом Постановлении правительства, планами работ, утвержденных ГНТУ Министерства среднего машиностроения СССР и ГНТУ Минатома РФ. Координационными планами НИР АН СССР |тсмы ШТ Я - 313~4. Леї Р X - 33931. ,\ЬГР X - Зу^ч .Ч-ГР X - 32869. НіГР X - 3435'. .Nol'P ""О'ІЗі. .\о ГР 0і9200!024\ >! P 0186006R9S3. №ГР 0і860128891 и др.!. '

Некоторые результаты диссертации включены в спецкурсы, читаемые ■.-г дсіггам мехгішко-математнческого факультета НН!~У. а также вошли в <'5 юры ».> математическим вопросам теории ялерных реакторов и метолам чч математического мо,|г глировання.*’

Апробация работы. Результаты работы докладынались на следующих конференциях и семинарах:

--Ш-Семинар - симпозиум по применению метода функций Ляпунова ь энергетике! Новосибирск, 1975):

- Всесоюзная школа-семинар по оптимизации динамических снсгем ' ■ (Минск, 1977);

- IV Всесоюзная конференцій по оптимальному управлению в механических системах (Москва. 1982):

- II Всесоюзная летняя школа “Метод функций Ляпунова и его приложе

ния’’( Иркутск. 1982): .

- V Всесоюзная конференция "Вариационно-разностные методы в математической фнзике”(МоскваЛ983):

- Международный Конгресс математиков (Варшава, 1983);

- Всесоюзная научная конференция “Метод функций А_М. Ляпунова в современной математике "(Харьков, 1986):

- Школа “Современные методы качественной теории краевых задач" (Воронеж. 1992);

- III. и IV Конференции “Нелинейные колебания механических систем” (Нижний Ноагород, 1993.1996):

- Школа “Современные методы в теории краевых задач” (Понтрягннскне чтения - \'ПХВоронеж. 1996):

- Третий Сибирский Конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ - 98 ХНовосибігрск. 1998);

Семинары Отдела Вычислительной математики АН СССР (ОВМ АН СССРхМосква. 1981-19S5); Всесоюзный семинар по динамике ЯЭУ (Горь-

* Сы.,ьалр*ше^. Смирнов Л.Б. Матемгтнчслаїе ікзіл-’зі. якалити'аеосие и чиглккие мгте^ы исспе^гва-wte П^гссінамичгсх»и, Гісіс}*прупіх и ттп.-с'счrr.rstc»atx процессе© в E&rr : T ру^ь: ЬЬъхрньрс&сй їззя-ічгрскиїуг ’Ttt а-тж>ггь: 6сзг:;4лости BBS?” { Тєллосіс*іг. * 5,. - ССн>тех; 1995, Г.’., С. 7 • 19.; Щууз-м Н.5. 7»*c>c*mrxrcr>№ и гтгаиспгесъие веггххытюгтроекА* »сгррс»ггкых

iijbs.br,ік}\ лЭУ (V 1і1«2Лв-сешснар' ^ 1нтсгрлройв_чкие bieTttfaTjrHecfcjtt ыодслу. к прогрзднкьм ю?мггкксы d азерней эн*гггТ1^кг"( Динивоз -S'S ). - М: 195$. - Ъ5$с.

к-ий, 1984|;Ленннградский городской семян; .> "Диффсрекпнальные уравнения и математическая физика~( Ленинград 1985); Региональный семинар Волго-Вятского региона по математически < физике(Гор! ::ии, 1985): Семинары Института Прикладной Математики и м. М. В. Ке л,: ы ш а АН СССР (Москва. 1985.1988);Научные Конференц!,:1 ГГУ (Горький, 1982-1987); Научный семинар факультета ВМиК МГУ “Проблемы нелинейной динамики') Москва. 1993); Научные семинару Отдела динамики систем НИН механики при ННГУ (1976-1998); Научные семинары кафедры математической физики механик --математического факультета ННГУП97б-Г’УЧ!: Научное заседание Ни;+а-городского математического общества (19981.

Публикации. Всего по теме диссертации автором опубликовано более ЬО работ, исчовные результаты диссертации являются новыми, принадлежат автору, опубликованы в работах [1-27р и др., а также в одноименной монографии [!), куда в обобщенном и систематизированном виде вошли также результаты и ряха работ, не отмеченных в списке публикаций.

Личный вклад автора состоит в построении основ теории разрешимости и -элементов качественной теории нового класса нелинейных абстрактных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, разработке общей методики исследования нелинейных математических задач динамики ядерных реакторов, обосновании корректности постановок основньсх задач динамики ядерных реакторов и исследовании качественных свойств их решений. выявлении ряда общих закономерностей поведения решений нестационарных систем дифференциальных и кнтегро-дифференциальных уравнений динамики и кинетики ядерных реакторов, ■

О характере совместных работ. Ряд статей по теме диссертации опубликован вместе с Е.Ф.Сабаевым [19-21], совместно с которым выполнены постановки соответствующих задач. Доказательства основных результатог •лих работ принадлежат автору. ( Эти результаты используются в параграфах 2.7, 5.3, 7.4. диссертации.). Некоторые статьи по теме диссертации выполнены совместно с С.Ф.Морозовым и вошли в кандидатскую диссертацию автора". В переработанном и обобщенном виде отдельные лет'.т. т. -ты;;, имеющие для данной работы вспомогательный характер, излагаются е параграфах 4.3, 4.5. Результаты, опубликованные в совместных с В.В.Щ.иь-ковым статья.': [22-27], вошли в его кандидатскую диссертацию, выполненную под руководством автора.4 (В обобщенном виде некоторые из •?тн.\ результатов вошли в параграфы 7.2 - 7.4 настоящей работы). Упомянуты;-выше результаты совместных работ в докторских диссертациях соавтор'• на защиту не выносились. ,

*С&. список основных публоаций по тгае :г*сеертзцииз монце автореферата. •

* Шаадота В.Б. Нааггорые келдаейзд задачи кинггккз* ядпрных гегггоров./.1 Автсг>-

ферат диссертации... гсанд. фш.-ыат. наук: (по слеш-итьности 01.01.02 - дифференциальные >рлзне-кизн матмгатинсскаи физика).-ГГУ. 1925.-15с. .

Структура диссертации. Диссертация представляет собой одноименную монографию [1], состоящую из предисловия, трёх разделов.содержаиш.ч семь пив, разбитых на тридцать два параграфа, списка л!*тературы к оглавления, а также приложения. Список литературы содержит 308 наименований. 06мм работы - 384 страницы( 25 учетио-издательских листов). Приложение представляет собой краткую сводку некоторые новых результатов, относящихся к теме работы и полученных после сдачи монографии в печать.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В Пргзстотжи обосновывается актуальность темы работы, излагаются направление, цып» и задачи исследования, дается общая характеристика работы и описываются её содержание и структура. Более подробный обчор результатов по теме работы м по смежным вопросам, а также библиография к ним даются непосредственно в текста диссертации (обычно в заклю-чительиой часта соответствующих разделов),

В первом разделе, состоящей кз двух глав, дается изложение основ используемого на протежен!:и всей работьшатшатического аппарата.

Глава I пссгадгка из&ргниым вопросам функционального анализа, наиболее ваявши диз дальнейшего изложения, и носит обзорный характер. В параграф 1.1 гзлагашэея некоторые результаты теории полугрупп линейных операторов в бзиахозых пространствах. В частности, здесь пргао-датса шкмеиты теоршг сспр.тхсгкных’ по Р.Фктипсу операторов и полугрупп.3 В параграфе О рассцатргшактся, причги б несколько более общей фор\;е, чем оэычьо. сопросы теория яикгйкых эголюционкьк уравнений в банаховых пространствах. Ооггогмая часть излагаемых здесь результатов восходит к работам Т.Като.4 Кзкогетц, параграф 53 посгящен некоторым понятиям в результатам кглхкеПкзго а«сал:гза. В частности, здесь рассматриваются ргз&ячгздз опресгвгшгз прокзгояноЗ имвшеГшого отображения и некоторые езойяса аазЕгжйиых ишккшгеяыздх опгргтороз.

•- • Втсрпя гагра гзеегтея цггярслыгоЗ гтазей первого раздета гг одной ш основных пив оесЯ работы. 0:а поссшаекз цгкохгшгоо попросоз теории

• нелинейных ззогаздагмшш урасягниЗ в бзнаго&ои пространен». Выделяемый в данной пехе козы£ класс кслнпгйпьЕх зпо.тацкоииых уравкгкмЗ г. бакахозом пространстве кгЕэчаэт а ссбгз кезеоторыг т:;пы «еякнгйкьк знфференщкиакых уравнений с кешргшгсега&гкя кг.’вшейкьши опергто-

: К:;-.'*.:;Е..З. 7и: с-.Ч;.." ;.„'.*.:-*гсд.у.УЗ.сЛ1$23,5И.5,£-1з2Л\20-~?3.

6 ~:1 аю Т. с-.гс^и1юп оГ “ЬурггЪоЪи’Хург //3 ^Чс.^ЛТг^г.Тс.'г,-о, Нгг. 1Д.!510,7.17Л'Ь К\

Р.241-Оиал-Ьпсйг еди£{;сп сГето^ииса, тгаЬ адзысааспз *о рег?*:-5 &Ггти51Ы // 3-«\и;.

Мсгса ш М=Л.. 1971 ^Х-гЗЛЧЗЗ-ТО.е^

рами, весьма характерные для приложений. Полученные в данной главе результаты являются новыми и служат теоретической основой для исследования широкого круга прикладных математических задач, рассматриваемых в последующих главах работы.

Вторая глава состоит из семи параграфов. В параграфе 2.1 вводятся основные определения и формулируются предположения об операторах и данных абстрактной задачи Коши вида:

^ = АО)х(О+ГО,х<О),1>10, (1)

ад

• ^ ,««040**0 (2)

Эти предположения (нумеруемые для удобства ссылок римскими цифрами) выглядят следующим образом. ■

Пусть £, Е - банаховы пространства с нормами |. |0,0 = •?,£, Е,

причем £ с Е и соответствующие вложения непрерывны, а множество У плотно в Е. В то же время плотность множества у в пространстве £ вообще говоря не предполагается. ,

I. Оператор А(0, афд,®) - замкнутый пшейиый оператор в

Е со всюду плотной в Е областью опргякккия ЩАХ кг зависящей от времени с, сильно непрерывна дифференцируемый по с на О(А),- обладающий ограниченным обраийса сператсрса А ’(£), пр;г;с« дез лгобого компакт* ного множества Ас 1,0 имеют место оценки шск *

\\ АфА’Ч.) !н_в £.К(Д) , | А'МЛ'Чт) |^в 5Р(Д), УЛлтеДЧ Далее, предполагается, что линейная однородная задача Копт екдз (1),(2) (задача (1),(2) с Г(1д) = 0 ) равномерно корректна ка любом щюисжутхе зн-да I* = [10д0 + Т{,10,Т еЯ,Т >0 и порождает в Е семейство эволюционных операторов 1Ак* {1^(3,0, («,0 еД,0 в 5 з< 1< «о}}.

И. Семейство эволюционных операторов На обладает следующими свойствами:!) Уа{5,0 ? с ?, ид(*,0 «: с£, (*,1) еД(а. й)Сужения операторов ил(*Л),(*Д) € Л(д на ? и’£ , обозначаемые соопгетстЕгнно, и^д) и 1%{§,1), являются линейными ограниченными опгратораш зу а £ соотает-сгвенно. т) Семейство из-{ил(5Л), (ад) 6 Д, } сильно непрерывно»?.

Ш. Нелинейный оператор Г(е, х) определен в Е ка множестве О(А), ч/ге 1,0 причем-? с 0(1'.), VI <е! г*. ограншгшй Г(1,.) оратора Ц1,.) на 5 -

действует из 7 п £. Оператор !'(.,.):2,у х ~ —> £ непрерывен по совокупности переменных, обладает ограниченными лнпш.щево-непргрывньшн по х 'л равномерно непрерывными по г производными Френх ^ € 5(7, £) !Т

1’/ на каждом множестве вида ЛхБріт), где Л ~ [а,Ь} с I, , 5йт) - замкнутый шар в ^ радиуса Я с центром в точке то є 3, и имеют место оценки:

I Г/<<,х) |в<а(Д,И) , 1 ?'(1,х) <Ь(Д,к),1 Г(і,х) !!£ <с(Д.Ю

| Ці І.Х) - І!(х,у) < А(Д,Я)| х - у + си.! I - 4Л»

і'і(і.х)-ІЦ'-У) |1 _ <В(Д,К)|| х-у « + р<| г-г,Д.Я),

1 “ У—« * _

где- а(є, Д, Р), Р(є, Л, Р) —> 0 при є —► 0 дая любых фиксированных Д ,Р.

• Для формулировки следующего лредположения нам потребуется одно определение. Пусть заданы две пары банаховых пространств {А, А}, { В, В}. .

причем А с А. В с В и множество А плотно в А, а также нелинейный оператор §(.}: Л —>В, причем справедливы включения А с 0(£) с Л , где 'о(я) - область определения оператора g. Пусть сужение оператора % на А. обозначаемое а, действует из А в В, причем § обладает производной т>рсше ^(х0)(.)еВ(А.В),Ух0 є А. Если существует оператор <3{хо) кз В(Л, В), обладающий свойством О(х0)х = £*(х0)х еВ,Ух0,х еА, то он называется (А,В)-расширением производной Фреше ^(хгД-) є В(А, В) и обозначается §£(я0)(.).В силу плотности А в Атакой оператор (если он существует) единственен. Опредеяение(А,В)-расшлргнной производной является обобщением одной конструкции, впервые, по-видимому, использованной И.Сигалом.7 .

1ЛГ. Оператор € В(5,£) обладает (Е,Е)- расширением е

В(Е,Е) \/хе ?и нмекхг место следующие оценки: .

І 4'м)-Ї'(і,У) І1Н_Е 5 в(л.к)!|х-^? ^Э(|1-4Д,Я)

| 1/(1,х) <Ь(Д,Й), х,ує5к(га),

где Д. її) 0 гтря 2-і-0 для тсбых фиксированных Д и Я.

Обозначим (Д) = С{ Д, ? Д, Е}.

V. Оператор Вольтерра-Немь:цкого

" 0,[<р]= |'иА(1,зХ(а,ф(з))си

>о

.•действует из пространства % (I^)в С| !*,?}. прячем ддя любого кло-•иества вида С*<хв) =• { я<0 € $£(!*) :*(*> |№,а+0 >

'То^-1^.іг«ггд-у^р^/ЛллгїІ7 0?МаіН.,ї^'53Л*сз.вїїДТ2-Р.32'Р-КЛ;£ІсЬо!СацгЬургсЬкгт .-г і jc.it аг і".«Іі«-.їГі рс^і-г їчЛ.оТс.МіГч ТУ^г,—.V' і д. 91. Г. с Р.'-! З 5.

• (хо € Э. И с К. ) суиїеста;‘*кїт Постоянные ::х&. . :о, то::.. IV, і-аз.-нг.

что для любой пары функций ^і і. здП Сг< Хс! * "иг/г-а саснг.з

і! О, [Е| ] - <3( 1в^} Ї!-іМ' -

і ■ |! с!т а; ,,

VI. Множество '3;Л) “і9 непусто.

Обозначим Ъл • банхчово пространство, -совпадаюшес по найору элемент он с множеством 0| А) и оснащенное нормой

. і х !]- =і| V і! ті X 1„ + |і А(!г,)х р„.

•• 'сл '^АгО *' "Ь 11 ' >'£■

Пусп, І с І,1 - некоторый промежуток. Обозначим 50) = С{ 1,5 )пС| І. Ел }оС‘{ І, Б }.

Если 1 с Я - компактное множество, то 3(1) - банахово пространство, норма ь котором может быть определен:;, например, слецугощии образо»:

і! г \т = варі 2{і) !|, і:! ’ ї;і~І) 2(1) Ь +1 їЕ +1| ~

Ю 11 "-Ь

ПодрггШдаем задали Ксііті (!),.(2) ка г,іяо::мсгзг І*,7>0 понимается абсТрзіггная функцій г.{1) £ ), у^о'зііітс^ооиш на ї* уравнению (1) в Е, з лрн і -> + 0 - і;д\*2лк!сму усяср&о (2) в ?, хо є В (А) о Ч -

В параграфе 2.2 усг-шавлгготсл Терема существования ;і единственности локального рішсг.ня залічи (і),(2) (теорема 2.!). Е5 доказательство основано на перехода от даїф^садкїльнсго уравнения (1) к системе интегральных уравнений длл раза с&личим, связанных с решением. 3 параграфе 2.3 устанавливаю гея болгг оЗгігл* удзертгйгшм о существева’пш максимального (непродалзкимого) ргіГЧгл х(і) є ^5^°), Л‘п = [іо, їо + Тя,),Т-. = Таіх(і0,х0) = Тгпет(С0,хс,Л,Г), су&'гдейёинсго на максимальном интервале существования }г™ и о гго сосясгаах; .

Тєооєу’. 2.2 Пусть гмпсл:№кы угасйіиі І - V. Тогда для ліооььч начальных условий /.о я 0(А> г-, ~ї ург’цияй» іІ) имеет единственное максимальное (иепродолазімое) решение х(і) = х(і,іо, хо) є ) ■

Теорема 2.2 по суїдестзу яадясгся сЛед«вн»й Теоремы сушестаог;?.-ніія локального решения и нгхоторой тгоргтнко-множественнои конструк-цин, связанной с леммой Курлтсаского-Цорна( о существовании ■ максимального элгмемта). і '

Возможно некоторое уточнение теоремы 2.2. связанное с требованием своеобразной "равностепенной непрерывности” по переменно» і в пространстве ?элементоа а =СМ х 1. х(0 € В(-)^т)• Точная формулировка этого требования содержится в следующем предположении.

VII. Пусть х{1} € ВС* ).т> 0.Тогда, если И > 0 и в. і. і-Ь £Д . причем 8 < і, ї+Н .то справедлива оценка:

I <г,*ьМ-<З.М 1? <^0ДЬ)+(1-9}Р(1а.Т.Мйд(,ь,)- ,

* ь5^в.т.!!хи:А»). д^КГ0.

іій^ісТ.С). 0(ь, Т. С) - неубывающие функции С. а 72(сл. Т, С)-* 0

*г '

при С -> 0 для лзебогофиксированного Т еД* .

УСИОЭНС VII ЯВЛЯЇГСЯ некоторым усилением условия V и в ряде важных частных случаен следует из условий I * VI автоматически. Справедливо следующее утверждение.

Леимз . Пустъ задача Коши (1), (2) и тройка пространств ( 9- £- Е } удовлетворяют .условиям I - VI. Пусть выполнено одно из следующих условий: і) банахово пространство 9 является замкнутым подпространством пространства Є с индуцированной нормой: іі) справедливо вложение Ел с 5. Тогда услознг VII также имеет место.

• Приведем теперь угзерхзеш'.е,обобщающее результаты теоремы 2.2.

Теорема 23 Пусть пыполлены условия І - VII ихо € 0(А) .** ?.Топта дал «ахеимакьного (нгпрододазшого) решенііях(ио, Хо) є 5\^,‘0а) задачи

-(і},(2),определенногоил нтгрзале Д1а, имеет ыесто адьтернатіта: либо

Ти = ^ти(1о>5о) = с°.ЕібоТп<л :: 1 | = сс •

. , »-*0*тв-о“ . *

Теорема 23 позволяет сделать ряд конструктивных выводов об условиях сушесхЕосашія ( ііди несуществования-) глобальных решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. Получению таках следствий теоремы 23 поспящси параграф 2.4. В нем установлен ряд предложений. позволяющих утверждать, что наличие на всем интервале существования решения некоторых априорных оценок гараігпгругт существование глобального решения. В частности, такие априорные-оценки легко устанавливаются в случае, когда спраЕедліша оценка

| {(их) |£ 5 р(1>| х \? + q(t), Ухє£ .

гае р(1), q(t) - неотрицательные функции класса С{ I Д}. В этот случае задача (1). (2) имеет глобальное решение для любых начальных условий ха є

0(А) предложение 2.3). Аналогичное утверждение ( предложение 2.5) имеет место в случае, когда справедлива оценка более общего характера: |Г(1,х) \£ < ВДш[ | х где неотрицательная функция к(1) е Ьцос(1, ), а со[. ] - функция типа Винт-нера® (монотонно неубывающая положительная функция ю[. }:К-г —>К+ ,

со

удовлетворяющая условию \

Г|

. Приведенные выше утверждения связывают вопрос о существовании гасбального решения задачи (I), (2) с наличием некоторых оценок по норме для нелинейного оператора. Возможно, однако, получение иных кр!ггернез продолжимости решения, основанных на использовании вспомогательных функционалов типа функционалов Ляпунова. Например (предложения 2.С, 2.7), пусть Р(1,у) - непрерывная вектор-функция, обладающая сесйстесм по-гю::зтгезьност51 н удовлетворяющая условию; каждая хоипонгнта

-аЪвллется неубывающей функцией пгргмгяньа (Эго ус-

Г1-: с-сычпо тагькшог утопгз Т3таагасксго?)^1сс«о!1р1а1 вадачу Коши

' *е1,0; ЧОЦ^о -»<геЯп. ■

. Как тягсп», йикая ггвзчз ебкадмт шзххзд^лшш ( ггкрокоагзи-гйл*я:) Егр~:т:т:.ги ;пгяа:м хгхеязгекши ркйаани ч*Г(ь) и пф), опреде-лепными на додаэсашаос кпкрсапах еущтепегшпм Iе- и 1г. Пусть верх-.' иге хпасскческсг ргщггшг »р(1) сфададафоватюЗ еышг гадай существует •••.а всей полуоэз Г при свбои наодтгдо ушгят- ч? с- К*(Я*) ( К*(В) - ' кштус иг^мцзгнаимх зггм&ят* » ^юет^аястзе В). Тоера, «ян да азща-^:,г (1), (2) <увд«ва5вг ггчтор^жяЁя У(1д) € 0(1^ х В» К**}, лехаяъиб-

хгг-жаявжш по гхяс*гйзйь5 ч/я ткзая* тао У;0,х)&У.(х), где

' ’ ■ ' .1*1

а. ч>-з', а&жы ггмт май*© ЕЖгор-лсг гзгффгрекцкаяьнсе

г'З^ЗЯЙЭЯЭК» ' - - '

*(%п.ъ{лт+ тт^А*я*ниУ). '

ь~**о:л ■ '

а ,ЛЖ гчгъ4о£а1’<гзг'? *?* ьг? С Ма*Ь. 1543.

' ./,/* ' ; „ . ■ * ' ' .

7 V/ з^^глз Т. схз.Ол*г с’-'С^у '*:-<:гДсл;!,т, 5-Г?1 с\г £г„*;зв:;ъ1 тапЬгеи

ггл-с^^с? * 1’5М?9 >ч?гг£» МЫ«т М. иЬсг <1**

V 1927. Е&26. НГ*.

. *' •. . - : ■■ • .. ••' •

%и = «, ^>0. ®м=0).

то задача (1), (2) имеет гаобальн:г ргЕьгнне »,\.к хо) для люСи-х начальных данныххо е D(A)л?,й ямежгместо нергш.::-.-ля

eRn < V(t,Ji(t,t0,x0))svr(t,i0,v0),vc ; ' Чо.хо).

Заметим, что если V(t,x):l х Е -» R и достаточна гг; ?.ое отображение так что в каждом шаре пространства Е существует прок-содная V/(t,x)

и производная Фршо V* (tл), то укалдь-нозеыщс онф^-ерй-. - s-.;. =аное неравенство запишется в обычном виде .

■ ■ v/.(tjc) + VI(t д){ A(t)x + tY} < F(t, V).

Предложения 2.6, 2.1 обобщают на случай нелинейных диффгг.-'л-лш-альных уравнений в банаховом пространстве с неограниченными операторами ряд известных результатов ( Вгаигт F., Conti R... Stsmbcrg S., man p., Lakshmikantaro V. и др.). '

Аналогичным ссразом фсрауакруготсй “д^йЗстзсгкше” результаты о несуществовании глобального решения задачи (J), (2) (предложение 2.8).

Слевдгащий параграф 2.5 шкшащгк уетаиоэявжво оценок решений

• дифференциальных уравнений в фдэоеом п^осзракст п исследованию продолжимости ргшггаад с иг'Поаоюйз. Вътте ссстросннях важную роль играют Hzxatopbis упяркденая с5 опсцюгоркых ««jxssesjcraax п пояуупора-дзченньи банахозда вросфаисгиа ( лгшш 2.7, 2Х>); Помимо предположений I - VII о5 ontpsaopas ss взтаьк ядачя (2), (2), а езнном параграфе предполагаются сыпашкжздш юрхе tvxatoput усяоаш подсмсктельностн имоиохокиосткояерогг^озурзшеаии(I). • ■ - '

VHi.Cemfci£o заожждеаижыг еюрюодве U^*{UA(a,0, (м) еД,в}, псро%дог:чсг гв»«ь2 Kexti (t}> {%% саиздас3 mseScjaota пошшшшг операторш ь S сткосскгьо» таг чгэ Ua(«s{)K-*(E) с К.«<В)»

{s,e)€/jSiJ. Саагйдай ыя65й*о‘:с-з U~ гг Ucssasscsos сяшйявшм педагг®-iUy}= г Г» EL4E) ;

. г.** ' *■ I*-*." v'; VD4^”.il‘ .

£X.Gr.r,piioo ;Vv.) е~«уда;гтгсъгдгишигкяе f(t,s) ~-а:(£,к) v rss OHIpKOpil мог усгмгиям III - VII. и, XpOJtt ioro:

i i еуицгггу\п кадфгйшзк?,.кад (зягхшв! p|t> й С1 f lt Д1| пкая, что егег*

ратор rti{t д'г - t;;{i Д-), + p{i) r,, !ли.S' яэаокбягагя и ««.огекс;! ^ К.Ц?). что . -

. >: Кчу) i L'!;4" Vs

e V

ci) cucf люр mi'x) ди.-;у;д-:г.ст t:~'г~^?гл:хк' « c’-.?. rro ^r\r~

*'rr'Vi.>uji!;': сдс^агч>р f*?'- rnt-5a<a r.s *Г ,

:,лл^.ст^; а ?лт;зягг'1^г;.’^-; кг."-'

К.Л90 . У= 9 то справедливо неравенство N(t.y) S - p(t. ijyjj^'x . гае p(t.s)

- непрерывная по совокупности переменных неотрицательная функция.

Теорема 2.4 Пусть выполнены условия I - IX. Тогда для любых начальных условий хо є D(A) о К.+{?) решение задачи (1), (2) принадлежит конусу К.4~Э) на всем интервале своего существования.

Рассмотрим наряду с задачей Коши (1), (2) следующую задачу:

~i=A(t)z(t)*g(t,z(t)), t>t0; z(Oi'r=to+0 = =o , (З)"-

Теорема 2.5 Пусть абстрактные задачи Коши (1), (2) и (3) удсвлетво-ряют условиям I - VIII, ха , 2й є D(A) п К+(5) и хо ~zo относительно норе.

мального конуса К+(5). Пусть для всех te. имеет место

неравенство

f(t,x(t,t0,x0)) I Kt,x(t,t0,x0))., . (4)

а отображение д(ід) удовлетворяет условию IX. f .. _ .

Тогда TmM(t0,x0>A,f)2:Tmaj[(t0>z0,A,g) н на все:/интервале 1л имеет место Нфавеіїство x(t)ax(t,t0,x0) a a(t)32(t,t0,Z0)> где x(t) И z(0, COOT- ■

ветсгвенно, решения задач (1), (2) и (3). ; . ■

Аналогичное утверждение имеет место в том случат, - 'капа.'нерайгн' ■ ' сгоо (4) справедливо на решениях задачи (3), а условию ІХ удовлетворяет оператор f(t, х), а не. g(t, х) (теорема 2.6). Далее в парахрафё 25 устаїїашш- ,. вается ряд утверждений, касающихся следующей сіпуациіи Оператор' f(t, х),

допускает на K+(jf) оценю* віща h(t,z)^f(t,z)Sh(t,z), п» отображения

• ■ є £ ■ ■ _ ■ ■

h(t,z),h(t,z) удовлетворяют условиям III-V, VIIJX, оператор A(t) удовлетворяет условиям I - VIII, и рассматриваются, наряду с задачей Коши (0,(2), “верхняя” и “нижняя” системы сравнения:

-jp = A(t)z(t) + h(t,z(t)X t>t0; i(c)j eD(A)nKt(?)

^|£=A(t)z(t)+h(t,z(t)). t>lo; z(t)f tete+0=?o eD(A)oKt(?) ,

(5)

причемао £ хо < го е ' .. V .

Оказывается, что в такой стуаыии можно утверждать, что, например, справедливы следующие соотношения: . - '

О ^*тах(1о,20,Ь) ^ ^"пиосОо’^0»0^^твх(^0*?0*Ь)>

і ■?

іі) при ір ]^гх^о-хоЛЛ СПрав ідщщо нераїл ; чзо ЙЧ) і хЦ>;

- _ ? ’ ’

■•а* при і€ і-1а»«‘,*алАЛ' справедливо неравсисич сГі) < г(і)

" ? ’

' п ''тял неравенств следует (предкожеяие 2.10), что «.'..ні Ттз,!і.0іго,Ь}- V, і-'- :г--шеств\'ет любальное решение -задачи (1), (2) і .правеялива оцен*'

: л.і.і ;г -і г{і) І ; ссаи же Тп.л\і.,„2г,Ьі < *, го задача (І}. (2)

мі имеет глобального решения и для дремени существования нормы реше-ніія ;лдачи (Іі, (2) справедливы оценки Тта.(і0,х0,Г)£'Г..,Л.(10>г0,Н)и

• *!:» -її, -і !5^{К„і ?))]"',! тії) 43дЗдесь М(К,.(?)}- постоянная ’’нормаль-

•«ости ; конуса гС-л У)).

Установленные а параграфе 2.5 результаты позволяют исслг.г.-іпагь .-■•■просы существования глобальных решений задачи (1), (2) путем посірое-

- п~..^.-1Ииныл. систем сравнения - как сходных по структуре с исходной з;>,-.?-•!«« і ум. (5і), так и имеющих принципиально иную структуру (конечно-■-ирные системы сравнения иди системы сравнения с более “широким”, чем ;< задаче ((!, (2) фазовым пространством). • '

Рассмотрению различных способов построения систем сравнения посвящен параграф 2.6. В нем демонстрируется возможность применения линейных форм (играющих роль функций Ляпунова специальной структуры) для построения конечномерных систем сравнения для задачи (I), (2), а также . построения систем сравнения с “удвоенным” фазовым пространством Е *Е в ситуации, когда оператор Г(1д) обладает свойством типа “гетеротон-носга”10.В Чтом случае могут быть получены двусторонние оценки решения задачн( !),(2). В заключительном параграфе 2.7 главы рассматриваются во-. просы непрерывной тависи.мостн решения задачи (1), (2) от параметров, когда ота тадача “погружена” з семейство задач вида (1), (2) с операторами Ч* г:сі, ІЇс:«) и начальными условиями хс(а) е 0(А)г&зависящими от параметра а е М с А, где - некоторое компактное множество в банаховом ^грлнетве л. Пусть при а = «о с существует непрсдолжимое решение . ., '■«1.. - л;.) . Мочено и’окиаать. что при достаточно гладкой зависимое* "і данных’ и операторов задачи от параметра а призегха, близких к ао ( ^ , е > 0 > существуют непродолжимые решения Ха(1}, опрв'

деленные" на интервалах сто-.то существования причем Тш(ао) =

£>г Т»(а) и на любом компакте Д с справедлив предельный пере-

'• І.Л.; I а! ог^итс^ і; простргжгтжід г когтем.- Тбилиси: Из^. Тби-

~\ЧГ>Э -

ход ! л,, - хо -* 0,а—ю-о- В конц; пара) афа п.'лкет'я ряд замечание

и литературных указании по проблеме-устс. «тости в с .ют. Ляпуно-: стационарных решений задачи 11), (2) и сме>- ,ім вопросам

Второй раздел работы состоит из тр* глаз и пост пи. Єц мат^'їзи’1" ским моделям основных физических проие...-ов в активней зоне реактора и их исследованию с позиции теории нелинейны;; ■мюямш'л'і.чь:;. равнений н банаховых пространствах.

Г лава 5 носит обзора їй характер, состоит из двух паратааю^. »: ;■■■ сняшснг. обіп.П'м математическому описанию физических проиеесог і" ; а-рактеріпуіог.іих іслчччн. Оосуя'лаются различные подходы к описан;!;: " гра^тоЕК*- лчьлмі.чсікнх систем и пришита обо^тнои ср."";- ‘

Глаиа ч посьяшена исслеловатгю линейных математически, процесса переноса нейтронов, носит вспомогательный характер ь т-теЛьнон мере содержит переработанные и обобщенные результаты автор-.1 В отой главе описывается общая система уравнений кинетики реа;пора. вводятся основные обозначения и задастся структура её коэффициентов и ядер. Описывается операторная постановка задачи Коши для системі.! уравнений кинетики реактора с независящими ог времени коэффициентами и ядрами, дается точная формулировка основных предположений о свойствах её коэффициентов и ядер н основных функциональных пространств, используемых при её изучении. Система уравнений кинетики реазо-орз имеет вид

+ (у>ух)М(У,у,1н і V іпхл'Мх,%•.«!=

О ‘ .

= [К(Х,у,у'Ж!(Х.у'.ОгЬ'-' - V і\')С, (X. ■ і - ОгдХ. V. і ■ ;■ ■

д С ГК О ■ —

—С, (Хд)-1 | К, (Х.у)Н(Х.у.:кі'-: - 5 - ;..т..

Р і т,

Граничные и начальные условия задаются в гнд'-

' М(Х,\'Д) = 0- <^'.гц'Хн<0. V е"'.', • ' '

І'ііХлч I) ; -. = IV,іХ. V. і'Х. V.; ^ С».'

С,(Х.0 =с:'(х>. х і=.ілГ.:'* •/

Здесь О - ограниченная выпуклая область в .трехмерном сіікік;;.;-: пространстве Я3 с кусочно-гладкой границей дО. п( А : - внешня"' »-орм^.:* ;

11 Кузнецов Ю-А- Кетхгтсрые катеыатичеи-рзл задачи мшетики ядсрньга іл.^ігг.'г^и . ,.і.-

сгртяиііи . . . ісакд. наук спсізтальт-кхти 01.01.02 * дгзуггтжнцна'Гь.чь:-.; и

сравнения V- ГорьхнУї: ГГУ. 1975.-}?*с.

точке X е сХЗ, V с Я* - множество векторов V € Я-!, удовлетворяющих условию I V |е[ у.у|, Ой V < у<оо. Обозначим, далее, '

ЬМ(Х,у)= -(V,V, )К(Х,у) - IV V)

КеК(Х,у)ЕрС,РС.у^')М(Хл')^', а = 5.Г, К.*К, + К,.

К)К(Х)^/К,(Хл’)М(Х.ук1\'. 1-Г^.

- ■ ‘ V

Вводя операторы

. ■ ' ! К. /..г., .. •

"к, 0 .. О :

Кго 0 .. О | _

п-ясхщнггсшбец Ф(1)=со]{М(Х,у,1),С!(Х,1),...,Ст(Х,1)} запишем задачу (6), (7) в виде ~

; ^^ = АФ(0+д(0. АеЗ’+З, 18)

<«0|1=+о = Фо .

Задача (8) рассматривается в обобщенной постановке в пространстве Е = % = Ьр(0хУ)хЦ(0)* _ хЦ(О) = Ц(0х\>{Ц(0)Г,

‘ где1.р(0 х Л'), Ьр(0) ,1 £ р 5 ® - пространства функций, р-я степень абсолютной величины которых суммируема по Лебегу на соответствующем множестве. Для предельного показателя р = ®, например, ^(С?) есть пространство измеримых и существенно ограниченных функций с нормой | Г = зирпта^ 1(Х>{. Областью определения операторов 3! и А в

уравнении (8)явяяется множество - Ор х {Ьр(0)}т=3^, где БР - функциональное пространство В.С-Владнмирова*2, являющееся банаховым пространством с нормой | Г = | (V, V, )Г , 15р2® Лрн 1 < р < ®

всюду плотно в Ьр (О х V). •

В параграфе 43 описываются свойства операторов 2:, А, Б и приводя «я основные результаты о разрешимости задачи Кошн (8) и свойствах сё решений. Дается полная характеристика свойств оператора 3: в просгран-

■_______________________ \ ‘ .

1г Ьл«1Лшкроа Ь.С. МатеиапгЕсоме задачи односкврссп^ай тдррки переносгОгасггы // Труда ЩДН СССР ка. В.А.Отскяора. 1$61.Т,б1.СЗЧ58.;Щ*ятвСД?. Вопросы иатшатагаеоссй теории реакторов.

’ ЛинеГш^и *нзл*с. - 1и1: Атоагодат. 1973. -376с^ Гермагтаова ТА- Локавьныь свойства решении уравменяя переноса. * М.: Квухзв- 1986. -2Т&~

. ствах 3?р (теорема 4.1). В частности, здесь от ашаепся спектр оператора £'. Он состоит из конечного числа точек суш: тьенного ( р. смысле Ф.Брау-дераи) спектра Х = і=1,ш) і остальная ч.і с гь комплексної;

плоскости есть резольвентное множество ; ;’} оператора.Оператор к ь

каждом из пространств Зі> поромедает положительную лжммающук,' С, -полугруппу операторов Iі- = {и^(.1 £ є К ^ і. Лалее прсводіттся аналі*.: оператора А = 3 + 5 . С помошью теоремы об инвариантности ного електра[27/ устангіслівается совпадение о,.ЛЙ' ) и се(ї(іГ- Л", л-.-г дается описание спектра с{А) оператора А (гт<А) - <7.^(АкЛ%і Аі. прн-че.л Реї А) не более чем счетное множество, состоит из собственных чисел конечной кратности, единственно возможными точками их накопления являются точки агя( А) и точка -оо), устанавливаются оценки резольвенты Кх(А) и существование в каждом из 5?Р, і < р < =о, положительной Со - полугруппы операторов иА={иА(і), іє Я+}, разрешающей однородную задачу Коши (8) для любого Фо є П(А). В параграфе 4.4 описываются известные результаты12, относящиеся к формально сопряженным операторам Ь2!', А1 и сопряженным операторам ІД 3 *, А*. В частности, описывается область определения Д, оператора Ь1 в Ьч(в х V), 1 £ я 5 =с. пё определение и исследование свойств оператора Ь 1 выполняются по схеме, описанной в параграфе 43. При 1 <, р < <«з справегепшо равенство Ь ; = Ь*, а при 1< р < =о - равенство (I. /)* = Ь , 1/р + 1/р = 1. Здесь же указываются оценки резольвенты сспр.тженных операторов, показьгоаюшие применимость теории 6 - сопряженных (по Р.Филлипсу) операторов и полугрупп для исследования задачи Коши (8) в пространстве Щ, для предельного значения показателя р = «о. ( Заметим, что в этом случае А) = 5,,, ке' является всюду плотным в 3? множеством). Кратко описывается подход г рассмотрению в Ь<в(\г л О) оператора I. с областью определения 1)х. каг: - с--:-

пряженного оператора к оператору ) = .і, —> Ь,іV Омь сг>о’-

ветсхвии с определением которого в пространстве і_ог(V -«-О) операть^

следует отождествлять С его сужением- на (Ь,(\; ‘ О): ” = 7 іри :

областью определения Ь является множество функции иХ.г . -

таких, 'гго Г є гіЬі'.ЦГ е Эти построения проясняют рель множить.

Бго^скг И-В. Оп іЬе ер«лга1 іІмогуоГ с-рег аіоггЛ// МаїЬ-Алп. 1961 .В<1.14 2ЛТ 1.Р.22-1 ЗО.

прассмотреннях.касающихся задачи (8) в пространстве .Utmctiim.

• —Hi1 '

'по пространство Lf = !)«;** можно охарактеризовать также как подпространство тех элементов Lco(VxG) для которых “модуль непрерывности" a>(f;5) = jj UL(S)f - f |j, (VxG)-+0 при & -> +0. Здесь же осуждаются вопросы. относящиеся к постановке задачи Коши для нелинейны.'. уранненни типи (S) и целесообразности выбора тех или иных функциональных пространств для е? исследования. Наконец, указывается вид асимптотического разложения К np>i i —» ® > решения однороджлЧ задачи (8), обсуждаются ьл-просы разрешимости раачичных стационарных задач для уравнения переноса, отъ^чаюитх нотацнонарнон задаче (8) и отмечается шаимосля и, различных ыатеигоюгсхих моделей кинетики реакторов.

Е сигто» главе рассматриваются математические модели процессов изменения нуклшшого состава среды н теплообмена. В параграфе 5.1 строится оишая-система уравнении кинетики превращений нуклидов. исследуется вопрос о сё разрешимости н устанавливаются некоторые свойства ее ре-шеннй.Счкгея известной неотрицательную функцию N(X.v.i). ie llo. данную

систему уравнгний можно записать в виде:

^^М=Та„СХлЮр,(Х1), к€Л, (9)

V t Jb»

гае p*(X,t) - математическое cskjsohhc етгрнон плотности нуклида с номером к € Л, а наиболее общий вид коэффициентов может был. записан следующим образом: . .

+ Jp^(X,'v.t)N(X,v,t)dv, k,j€^ v

причем < 0 , s во вся остальных случаях > 0 (k, j ел). Ис-

пользуя очеаидньге обозначения, задачу Коши для системы уравнений (9) можно -записать в операторной форме

. ^^=A(X^N)p(X,i)^€ 1,сгр(Х,01тЦьй=Ро(50 ( 10) . Целесообразно рассматривать задачу (10) в пространстве Е= ЬИ(0)хЬв(0)х..^ЬИ(0 = {ЬИ(0)}№ rot i*‘ - количество элементов в (конечном» множестве Л.

С«!пгая, что неотрицательная функиия N(X,v.t) е C{Itc. L«(V *-G)} и

выполнены некоторые естественные условия ограниченности и суммируемости коэффициентов и данных задачи (10), можно доказать (теорема 5.1), что задача Коши (10) равномерно корректна в Е, порождает семейство зво

люциониых операторов ил-Шд^д), (з,1)^Д,„}, являющихся положительными операторами в Е. Устанавливается, что линейная форма виза 3?(Х.0-2£Рі(Х,0* 2р.(Х.О,

>=N1 . >«ЯР '

является инвариантной, так что справедлив своеобразный закон сохранения

■ Л(Х, 1)= 'Л(Х, 1-о^ ~ 1Гг!,Г< є О. Этот факт позволяет установить априорные оценки неотрицательных решений задачи Коши (10).

В параграфе 5.2 дается краткий обзор математических моделей теплообмена и теплопеоеносз. Одной га наиболее общих математических моделей таких процессов является уравнение теплопроводности вила: .

а(х^^1^+(^(х),ут)т(х,ои^{о(х)^тт(х(і)} + д(Хд) (11)

І дг } - .

В задачах динамики ядерньи реакторов функция .<2(Х,1)имеет сия

<2(Х,1) = | £(Х, V, Т(Х, І))»(Х, V, 1)сЬ,Х єО, ієі.() , (12)

V ' ’

и деличнны г(Х),',УіХ),Е’іХ) являются кусочно-гладкими функциями X € О, причем у.'(Х) = 0 в областях, соответствующих твердому телу, и выполнено “условие прилипания"\!,г(Х) | =0, где у - поверхность контакта твердого

тела и жидкоета. ІС урасиешио (11) добавляются граничные условия и условия сопряжения на поверхностях разрыза коэффициентов уравнения (11).

Для тензора теплопроводности 0(Х)=|Ьц(Х)| — предполагается вы-

патаеннымуслс:з:?г:мзхжгтчнссти(1>!П,им = сап$с, 0<о[П,им<<о ): -

: \ °иМ2№г=І$?- . ■

В параграфі 5-2 расгг.гкріемтеі постановка начально-краевой задачи дляуравигиня (И) з прегфашязг Ь2(0;а(Х)) измеримых хвадратич-ко-суммирусмых с ймом сг(Х) фушгцлй. Вводится формальное дифференциальное выражение

X г =[ с|ЦС(Х) о УЖГ<Х)} - о<Х)(у,'У^ДХ) ]

с соотзетстук?щнш5 граничными условиями и условиями сопряжения, а также связанную с этим выражением полуторалинейную форму>4(6 ф).

огфеделенную для Г, © €"9/2 (О; $.,.)( 5+ - лоданожестзо границы 8 О чно-:-хгсгаа О, на котором функции Ї,имеют нулезой след). Для тйдхих функ- ■ циЗ Г, Ф спр&еедштао соотношение ,-4(ї;9) = (-? і\'?)і_2(С;с;г Этот фахт позволяет опредглшь-з Ь2(СЗ;а(Х)) зз\ггиутыЯ линейный оператор тн: 0( тн) =

є \У2(0;3+): ъ £ єЬ2(С5;аСл))} -> Ь2('- >. х(Х)), такой, ч о уравнение ( II) может быть записано в виде операторного у(. гшения в Ь2(С,. ~ (X))

~^-нТ(0+ р(у,г еІІ0; Т(і) \ = Т0,- ' 13)

ГД5 F (I)

~ —— 0|Х, t). Оказывается.'-что' оператор і-тн) является дисснпа-

ЇНЬіЛі оператором В Н= L п(С-,ЫХ));И:

порождает сш/ык- непрерывную

положительную полугруппу- <Ч), ІєЯ.,}, разрешаю- - - - ( ні. ■ >

шуго соответствующую однородную задачу Коши вида 113). В параграфе >.2 с<іч>рмулирозана теорема 5.2, детально описывающая свойства о ператора (-ін). его резольвенты, спектра, функциональные характеристик!і о іемен-гов Г р 0(хн; и тд. Эта теорема суммирует результаты целого ряда рабо:14 и используется при исследовании нелинейных задач в третьем разделе работы.

Завершается глава параграфом 5.3, в котором обсуждаются вопросы математического моделирования иных обратных связей, а также делаются замечания о возможном обобщении описанных математических моделей. „ Рассмотренные во втором разделе линейные математические модели и представленные здесь результаты о свойствах соответствующих начальнокраевых задач и отвечающих им линейных операторов представляют самостоятельный интерес и в то же время позволяют перейти к исследованию общих нелинейных математических моделей динамики ядерных реакторов. Исследование таких задач можно рассматривать как пример применения результатов главы 2. Этому посвящен третий раздел работы. Он состоит из двух глав, і ■ .

В главе 6 изучается общая математическая модель динамики реакторов с учетом температурных обратных связей и изменения нуклидного состава среды. Параграф 6.1 содержит постановку задачи и основные определения. Изучаемая математическая модель представляет собой систему длфференинальных уравнений, описывающих эволюцию во времени про-странственно-схоростного распределения нейтронов Ы(Х^д), концентраций нуклйдов-;рк<Х,1). кеЛ а температуры среды Т(Хд). Соответственно уравне-жн/описывающие эволюцию указанных величин, аналогичны уравнениям

• 6 и 9!, {(•!•>, (12) и. записываются в виде '

'* CM.Jt&£b£*reHcx-&ji С~Д_.?у.вкдад ВЛ.^Урллылеал Н.Н. О классичееюой разрешимости задач дифракции Труа- КС'ЇАН ССС? нм. В-А-Стеклева. 19эб1Т.92, С. 116-14.6; Stewart Н,В- Spectral theory of h«e-c’.fJUaor. system .7 J.Marh-Ar»aI..AppI. IS76.V>-54, K' IJ3.59-73; Generation of analytic semigroups bv nr^r.^iy octrrator* utvier general boundary conditscns {( Trans. Amer.Math. Soc. I9S0. V.259£.299*

2VZ. Г<ьнгл Z.- ГесмсгрнчсскАл теория ггелуяижаіньас гяраболичеа&х. уравнений: Ilepuc un. - М.: я тл. • ’ - -

^^+(у^х)Н(Х,уД)+| V 11<т;Т(Х,йр{Х,еММ(Х,у>0«

31 ' .

-1К(у,у',Т(Х,0,|ХХ,1))К(Х^',1)с1-/ +. 2X.fi(*)Р;(Х,1),

V |«11р

Зр^Хд) = (7(Х, I); N (X,., 0)р, (X, I), кеУ/, (14)'

о' ^ 9 1

а(Х){ Э-Т(?:1) + (у,(Х), У,)Т(Хд)} = <!ЭДХ) - 7Д(Х, 0} н-I V 1 ’ 1

• +[£(мТ(Хд),р(Х,1))Х(Х,7,1)еу

. V

с ссотпетствующммн начальными и граничными усясгитами н условиями сопргокеиия. Коэффициенты щ (ТтМ), (‘нгурихтошке з сксгеже уравнений (! 4), и?леют следующую структуру: ■

а!д(Т,М) = а1э + |В^(^Д(Х0)М(Х,у,1)<Ь, к,]е^Г '

' V ’

• 1 V |Цу;Т,р)= '£1 ^ Ьа("Д(Х))?с(Х),

. с «А

:-.?:пем 0 <) V |гг(у , Т) < в ^ = сст.'Х, УГ <з К.. .

I 1х £зльио-хр..-ь-вяз ^эдач-д с:л ял^ст: (И) я^"~~гя п псп» -

С'^ггопом прострагсп» В = Ьг(Ох У)х {Ьг(О)}^ * 1«2(0;а(Х)) ккгор-•;}-г."ч;кй ¥(0 = со!(М(Х,?, 1),р(-Х,|),Т(Х,»)} и ^юрагзльна' записывается в. ;гг г-г^,':*л 1Сс-.'.\; • ?. '

.. (15)

. ■ (16)

Окзрдаяр /I а ф&слъу* 0^4) = О, х {Ь2(<3)}^ х 'Щщ)

: •'Г/^гггз еяхяуигягм р^гзсу'з: ‘

"ч2Ь^й;А,Д=Р'с.;

^ Г'ХТ'Пг'.ГТО г.п’>рсесгп (и) ГШЛ‘“'*С!Г,Т гН соэт-

(!•*), ОСстсрл IV =П{?^ г^^гг,“м*:г:г.:сто гияа-

::с" 'у'.то (яг.хтгт.'.т-1?*» г: -^.г'гг-'л ;? >1 2, гп:: потерю:

Д.Е'тп-.Г'-г глтагг^'лг:'.г,-? гг л т •■-

(гг-^л с.ь), «дз ■^гхгтггд.''; г; т Л:г.*Л *хлг*гс*> ,Л в Б со

■угу-у г,.::/-’-'" •) :1 си;гг.тгь;- ■. , кггл'.'лг': '<(^Ь 3- «шъно ; :г; ь.:.:г;гг>тг>г.’ сг^л^/г. Г-^Со-€Я+} =

Для того, чтобы исследм г-ть задачу :ин (15), (16) с помощью методов, рассмотренных в главе 2, -.•ребустся полг..-.т. трой:<у нро'гранств ?с .Г с Е таким образом, чтобы операторы.;/? н V} удовлетвори ■< условном 1 - VI. В силу леммь: 6.1 сбой-лес I икс!.' :> ьл . Следующим яв-

.1«1ся выбор пространства ? • Б чграхрафе 6.1 о1г .човьтается цеди -образность выбора пространства у в виде

?= {Ь,(У < С)}® х {ЬМ(0)}И! х ОС), где, как и выше, ;Ь, (V у О)} **1? с1 м;'\?х О) - в-слзрл к.: ,-чое пространство к. пространству Ь;(Ох V) относительно 0-опердтори «'1 - <у.'7!с)с областью определения 0(£ /) - Д|. ввозу плотной в- ЬдО х V). Ясно, что £ и, в силу результатов глав 4-6, |] 0^(1}^ - 'V |[ -» Од —^ -О, \’Ч' е ,

так что выполнено условие II параграфа 2.1.

Однако рассмотрение задачи Коши (15). (16) в выбранной укагг^пым способом тройке пространств ( у- Е ) представляет определенные трудное.и; в связи с неконструктивностью описания функциональных свойств '.'Лементов пространства 1^(У х С), что препятствуетэффективной проверке выполнения условий Ш-У1 главы 2. Поэтому в параграфе 6.2 вводятся в рассмотрение и изучаются некоторые новые функциональные пространства, что позволяет получ;ггь, в частности, "внутреннее” описание свойств пространства Ь7(V хб). Эта пространства являются подпространствами пространства Ь„(У х О) с индуцированной нормой; их элементы имеют определенную непрерывность вдоль характеристик днффqзгнциaльиoгo выражения (у,УхУ, кроме того, некоторые из этих пространств таковы, что их алименты обладают следами на “оевгшенной” и “теневой” частях границы <?0 множества О для всех в е £2. Б случае гладкой границы д О указанные пространства можно охараэтеризоьлть следующим образом:

с'О,. -{X *=6О:(а.п(Х))<0}, йОа+ ={Х еЗС5:(&,п(Х))>0}. де п(Х') - внешняя нормаль к 30 а точнее ХедО. Заметим. что ишшо ■;п мнол-есгса фшурнруыт в формулировке граничныд условий для ураз-пешы переноса и в определении {гростражлв В.С .Владимирова 0Р и впол* не аналойных им пространств А{. Обозшщш

Гх = V « Г Од/= У,(Х)гда. г- Г = Г.иГ,, - (17)

\\дХ}=Ф еУ:(у.мХ))>Ог. У<,(Х) = {\? еУ:(*лп.(Х))>6}

В параграфе 6.2 ввозятся следующие вростршегад: Ув(0 х Т)- куост-рднс-п'О - функций, непрерывны?. гдель хзрдхтарисяиг сибферешжя^звг© а».?ражгннз I - (определила? 6.1};ив{Ох V) - стъгегрглгтаз

пий in VV (G * V), обладающих к іраргг: wc лсч с км::.' rcr.'-'w ка миого-'образии Г - Г. <.< Г., причем uiX,v> € U„:i\ V). -'ігл: ;іг, , еі'оюс: <х глсду-

лсй непрерывности Q(3:g.V * G> и ... ,") crpwciv.t : с..от--о!ненлз : €.int Q('6; g. V •< Gl = 0 и ?.lm : ..лрггехсни: 'in.-, с:>.:тно!не-

.5 —* - 0 w ’ 5-"

ния характері ітуют определен і іу к> "неггрерь’глччть г ц?;:оч’: 'дтхпгтс-

ріісгик оператора -(v,V„ ’ •:-де.меіггов пространства U«,(G х V). У сш:з?я>-ваются некг-юрые ,-.ч (эквивалентные) способы описания введен п<?. пространств і лемі'; і. Далее рвогзггся просіраисгва І ’... f G ■ V:F.i- по пг'-стр^:і. баш.л.гда просіракстЕ»?. U„(G * V)- элемпггы которых обладают ла v.hot >:ч-разип Гг ( z = + - ) нулевым следом. Устанавлиза.-т.~я (леммы 6.3. 6.4), что'данные классы функций могут быть о.чарзкгери'юв-и-.ь-предельнымисоотношениями /Міі'о;'о,Г,,'< = 0.где уИя(8;£.Г.М2. = ;

->•4-0 ' “ " "

- некоторые модули Sfenptf l... -сети. Пліссн-ді, чс-::но шссмотреть тапчт множество U ъ(G * V;Г ) йуікціій из U„(G -V), соладагогіл::: пуле::!."'

следом на многообразии Г = Г. и Г.. Взаимосзять введенных присірансп характеризуется сдед\тошей цепочке»! мххиссинй:

‘ Ij’(GxV;r.;

Uі(G > V:Г ) с с UM(G ,< V)с Ve(G ч V) с LM(G х V)

U,(GxV;r_)

■ В параграфе 6.3 ус:лнагя!г- ::отся некоторые своііляа пространсть U„(G>: У;Гг) и их емзн с пр-лстранстаамн D„ и Лл. В частности, здесь до:<азывгется, что пространство D„, с U,(G х V;L) н всюду плотно в U„(G > У;Г_), а Л«J с UіG /: V;Г+) - всюду плотно в UW(G - У:Г„) (леммы 6.5, 6.6) ; кроме того, -«ксь д’..'кя альтернативная характеристик пространства U„(G х У;Г_) как подпространства L„(Gx Vi, состоящего из тех элементов f с L„{G -.Vi, ддя которых li T^f.Of -Г !!, —?0,i — -0.

где {T€(:),t eRJ - сужение на La(G х V) полгутруппь» {L^ii),t JR.;. порождаемой в Lp(G »• Vj (! < р< ) оператором й = -»v,V„). Пг'слегнее отзывается очень иазккым при неследпкагии свойств операторов Больтерр^-Немыцхого . возникающих в сз’ми с таяачей П5Ш0). Изучению л.. фунл-цнонхтьиых свойств посаяигчі параграф 6.4. В частности, здесь локолаис. (лемма 6.7), что оператор

і5С«. ігилх'.'тьсуі■йС.Прг f .Tj-rr^n-rfi >yu^_j -її и T*on*“Vb- кгоч'^'ч * !v; :

Ha^ra. '

Цф= Iиг(і- а)ф(5)сІ5,

. «о

гді {ие(і)д єЕ+}- полугруппа, порождаемая оператором Є. является линейным непрерывным оператором, действующим из V / О)! в

С{1^;ив{\’ хО;Г.)}, т.е. в определенном смысле улучшает свойства аб. страстных функций <?:!,* -> ЬЮ(У х О).

Установленные в параграфах б.2-6.4 результаты позволяют со всей полнотой исследовать задачу Коши (15Ц16) в тройке пространств |у. £, В). С кой цгаио-к параграфе 6.5 проводится исследование операторов задачи Коші (!5Х! 16). В частности, здесь устанавливается, что пространства J и Є нішариаїтш относительно полугруппы {и^(іМ еК.}. семейство сужений

€Я+}операторов {и^-(()Л )на ? образуют в Ї сильно н<-

пргрьівнук. полугруппу, прячем У язлягтея замкнутым подпространстх.о\ пространства £ н ;? с Є с £(лемма 6.5). Исследование свойств нелинейно го оператора. Р{4*} (лемма 6.9) н соответствующего уравнение (15) опера тора Вольтерра - Неыыакого

д,т=

. ‘о

показывают (лемма 6.10), что для задачи (15Ц16) имеют место у слові ІЛ'ІІ главы 2, в связи с ч:м разрешимость -задачи <15).( 16) и ряд свойств ргшекш прямо след уют «о резтаыатов плавы 2.

Формулировке результатов о разрешимости абстрактной задачи К иш для уравнения (15) ( общей системы уравнений динамики ядерных реа торов (14)) н освойсхвал ее решений посвяшен параграф 6.6. Здесь у стан Елигастсй теорема 6.1 существования единственного максимального реи ннялУ(0 = со1{М(Хлд),р(Х, і),Т(Х,і)} е 5(Л^а),Тш =Тсв(«о,Ч'г) задачи (1

(16), отвечакмагго произвольным начальным условиям Тее В(уІ)п9- П ртом, соті Тъ < <® , то справедливо соотношение

■ гйп

■ «-«о+Т^-0 .

где !}ЧЧІ) Мс^Е^а'пропра

стзоі&і)оіфгасйястсяравенством^!) = С{ І,у ЕО^) }г. С‘{ І, I

Далее, теорема 62 устанавливает, что «саі^нач^ьное условие (16) отрицательно, То є 0(^4) п К-*0), где К-^5)= 'у 'пК-^Д) конус неоїр::

тельных элементов в пространстве то решение задачи (15), (16) неотрицательно на всем интервале своего существования, Ч*(1) є К+<7). VI є _1,Тп. Важ-

■ *0

но отметить, что данный результат получен без каких - либо ограничений типа монотонности на коэффициенты и нелинейные операторы системы уравнений (14). Этим достигается значительная общность теоремы 6.2 по сравнению с полученными ранее многочисленными результатами, обоснованными к тому же лишь для частных математических моделей динамики реактора. Наконец, теорема 6.3 утверждает, что при некоторых естественных условиях относительно кинетики превращений нуклидов (подробно описанных в п. 5Л.4) для любых неотрицательных начальных условий *Ь‘0 € О(А) о К.-Ч?) существует единственное глобальное неотрицательное решение ‘Р(1)€ Шг0)- Таким образом, из теоремы 63 вытекает, что для любых физически реализуемых (включение 4*0 є К*(5)) и достаточно гладких (включение 1Р0 є Б(^4)) начальных условий задача (!5),(16) (система уравнений динамики реактора (14)) обладает достаточно регулярным положительным глобальным решением. Тем самым дается строгое обоснование математической модели динамики ядерных реакторов, учитывающей в общем виде наиболее важные физические процессы в ядврисм ргактсре и соответствующие им обратные связи.

Глава7 посвящена исследозаііщо нескольких мзтеотшчесхи* моделей динамики ядерных реакторов на тепловых нейтронах, родственных ыатема- . таческой модели, рассмотренной в піаве 6, но не сводящихся формально к системе уравнений (14) (задаче Коши (15),(16)). Причина таких различий состоит в ряде гипотез физического характера, делаемых при выводе соответствующих систем уравнений. В параграфе 7.1 исслсдугтсэ общая система уравнений динаыихи с учгго.гз отрлллеяня рггхтора ксеноном и температурной обратной свят;!: .

га

о X у

£ММ = -Д.І(,,(Х,І) + ]Г;(Х у;Т)К(Х,у, і)Лг,

V I у

. -Х,° - -АхсРХе(Х,і) + ХІР[(Х,І) і ГгХі(Х,у;Т.)К(Х,у,і>сІ7-

СІ V

- РХе Iх'£) І і Р Хе (у; Т)М(Х, V, >. )ау •

. V

Система уравнений (18) дополняется начальными я іраничньшн условиями и условиями согласования (сопряжения), использованными в главе 6. Кроме того, считается, что

0^2т.<| V |2(Х,у,Т)<2м> У(Х,у.Т)єО*УхЯ, 2т,£м=СОп5і.

Вводя в рассмотрение пространств.!

Е=Ь>(ОхУ)х {12(0)}т х Ь2(0;а(Х))х{Ь2(0)хЬл(0)),

£= Ьв(УхС)х{Ьи(0)ГхЬю(О2х !Ьо(0)х^(0) }, э =ил(Сх У;Г_) х{Ьв(0)Г хС(С)х { МО)х1,я(а) } вектор-столбцов ¥(1) = со!{Ы(Х,у,0,С|(Хл),..,Ст(Х,1), Т(Х,1), р[(Х.1),рХе(Х,'0} и оператор X- <ііа-Я.,,..., -Ха, -хн, А} с областью определения Э(Ж) -= 0(£)х {Ь2<0)}т х Т>(гн)х (Ь2(0) х Ь2(<3)), где А- матричный оператор вида

• I Ч ’~*-л

операторы £, хн и множества Р(2) = И, и 0(тм) определены в главах 4,5, а также нелинейный оператор Р('Р}= со!{ Ро{4'},..., РИ+1{*Р}, РіО^}, Рх«{4'}}, запишем задачу Коши для системы уравнений (18) в следующем виде:

^Р = А*Р(г)+Р{Чт ї ЄІ,0; У(1) ио+0 . (»9)

Исследование системы уравнений (18) и задачи Коши (19) проводится по схеме, изложенной в главе 6 и опирается на представленную в главе 2 .методику. Как и в предыдущей главе, основные свойства решения 1Р(1) за-лачи Кошу (19). в частности, его положительность для всех % є £>{Ж) г установлена без. привлечения каких-либо гипотез (типа монотонно.-; и! о .характере зависимости сеченші взаимодействия нентроног; с вг шееггом от температуры. Таким образом, результаты параграфа 7.1 можт ;'.іі\л!.г.рііі'лть. как обоснование одной из весьма обших м популярных мо лелен дннлиікн рсактороп на тепловых нейтронах.

П глр.ирлфе рлссмлтриглстся еще один интересный класс матемг ::'-чч->.1!.\.-1'.'ллтсп - N’.'.441?! кинетики реактора с учетом температурных ос г.:-;;'.;.'. ег*чіі. Эти «лдсли характеризуются наименьшим» временами

шкале "кинетика - динамика - кампания”, и п едставляют собой общие математические модели собственно кинетики р гктора, копт; исходные физические предпосылки позволяют пренебречь з частности, изменением нук-лидного состава среды. Рассматривается си гма уравнений кинетики реактора обшего вида: .

^ №Х V И .

_-^ + (у,У1)№Х,у,() + | V Е(Х,у;ЩХ,-.м)= -

дг

. -|К(Х,V у';Т)Н(Х,у',1)йу'+У Я./1(у)С;(Х,0, .

V ~

= с,(Х.1) + [К.ДХ.^ТЩХ.м)^, ! = £т (20)

б; у .

а(Х)'——^ - (%-/(Х),V^ТГ(Х,г)} = сЗЦБ(Х)*УхТ(Хд)} - .

( I

4-}£(Хл';Т)М1Х,уд)^, _

Она дополняется также начальны1.!’,! и граничными условиями и условиями сопряжения.. При этом с'пггаетсг?. что | V |£(Х,’.\Т) - ограниченная измеримая функция, гладкая по перемс'л-с» Те Я и удовлетворяющая офаничг-ниям вида

0 <£„,<’ V |1(Х,у,Т)< '7(Х^,Т)€-Ох УхЯ. £т,Ем = сопх!.

В некоторых случаях удобно считать, что | у |2(Х,у,Т) - есть отображение I V 1цХ,у,.): Ь2(СЗ;а(Х)) £.„(0 х V), такое, что для любой функ-

ции Т(Х) в Ь2(С:а(Х)} зыпс.игеко неравенство приведенного выше вида, причем оператор | V |ПХ,у,.) обл^дз.ет лнпшицево - непрерывном производной Фреше по Т(Х) е Ь;(С';а;Х}). С зведением операторов и фун":ш.'-нальных пространств по у:г« пспольгсвл-пной схеме приходим к абстрактной задаче Коши в'ал:

^^ = .'.??({)+ Р{’Р(1)1. 1*1,; '¥(1) |. г . <2Г,

^1, ' ' ' ■ ■ о ■ 'г-Гп+и -

в тройке пространств

’ 5= Ь2(0 •< V) х !Ь--(0)У~ -< Ьл(0;а(ХУ),

5 = Ьа(У-<С5)хЯ.„(0'у},п хЬв(С;,

V ~^«<О х V; (О)Г - СЮ).

Здкь Л ..................:0 = Шй)-'- {Ьг(0}г‘! «-

Для исследования задачи Коши (21) вновь может быть привлечена методика, развитая в главе 2. Доказываемые в парырафе 7.2 утверждения позволяют дать обоснование общей модели кинетики реактора (20).(2/1.

Далее рассматривается специальный класс моделей кинешки реактора, характеризуемый тем, что зависимости сечений взаимодействия нейтронов с веществом от температуры не являются равномерно ограниченными функциями. Такие модели появляются, в частности, при замене "нпинныч" сечений взаимодействия нейтронов с веществом их линейными аппроксимациями. Получающиеся при этом модели кинетики реактора (названные я Р'ччпе ' ли]кмрц'юванными”) обладают некоторыми специфическими осо-ценностями. Можно установить, что для любых начальных данных такие системы уравнений имеют непродолжимые решения из класса В- а ПР" некоторых предпоагожгниях они обладают положительными решениями (на веем интервале их существования) для любых положительных начальных дан-ньи^-Однако отказ от условия равномерной ограниченности зависимости сечений от температуры приводит к тому, что теорема существования глобального положительного решения оказывается справедливой лишь при ’ • ряде дополнительных и достаточно ограничительных условий. Более того, при определенных условиях, имеющих ясную физическую интерпретацию, задача Кошн для “линеаризованных” моделей не имеет глобального решения для обширных классов начальных условий. При этом могут быть указаны оценки ВИД» .

• |<Н(|)|в*а(()20. а^еСр;»;!*}. (22)

причем Ттв(10,‘Р0)2Т* < ® и а(1) -*со, I -и0 + - 0. Такие решения с

конечным временем существования часто называют “взрывными”. Доказательство высказанного и некоторых родственных ему утверждении проводится в параграфе 7.4. Эти построения связаны с вопросом о существовании стационарных решений системы уравнений кинетики реактора общего вида (20), который изучается в параграфе 73. Полученные здесь результаты представляют также достаточно большой самостоятельный интерес. В стационарной задаче, как и всегда в подобных, случаях, в-систему уравнений вводится параметр X., аналогичный по физическому содержанию эффективному коэффициенту размножения к<а. используемом}.’ в линейных стационарных задачах теории переноса. Получаемая при этом система уравнений ( для функций К(Х,\’) иТ(Х)). как показано в параграфе То. в операторной форме может быть записана в виде системы

X* = уЦ N.Т).Т = К.Т), _ (23)

рассматриваемой в прстранстве <М = Ь2(У х О) х С(С),

Анализ системы уравнений (23), проведенный в «й?рафе 73 и опирающийся, в частности, на некоторые известные результаты МА.Красно-

ЗІ ’ ' .

сельского-'' и І !.А.Бахтина'7, показывает. чт;‘ существование у системы (23) ненулевых решении связано со значением с оеяеленного функционала Ло -Л(Н. 'Г . Ч;) на функциях Т-. .Ч..\ являющих• » решениями некоторы. линейных операторных уравнений: этот фуш.-пн: • іл имеет яспук- физическою ич-іергірстациіо - он пропорционален и >, .сетному в геогии реактор -ч "температурному коэффициенту реактивности реактора". При достаточно широких предположениях ой операторах система (23) обладает полусоб-степными р?»порам» Ф= образующими условно-непрерывную встг-ь

бесконечно)1 длины.

ІЗ параграфе ~.4 нсслецуются и-оранные вопросы устойчивости стоит чириих решишй системы ура'-нений кинетики реактора. Предполагается. что-ч1сте:.!л уравнений (20) (.л ационарнос операторное уравнение, отвечающее уравнению (2і І) имеет изолированное стационарное решение Ф0 = ссЧ-;\ .Г;. . ... .С--. ...Тс} •= Э, - (I . ■ Оі:.') .'- ?, причем в некотором

шаре Sf (Ф-). г- > 0. других стационарных решений нет. Операторное

уравнение для отклонения <р(0 = С-іі) - Ф0 можно записать в виде .

сЫп , » ,

—- = ЛГ<рО)-!-ю{<р(0}, 9(г.) |,=,0+0=Фо

Вид операторов Ж и «{.} леї і: о установить из сопоставления спсте- уравнении (20).(2П н (2-і}. При достаточно широких предположениях о системе (24) можно установить, что оператор Ж обладает.ведущим собственным числом причем знак определяется знаком “температурного коэффициента реактивности", так что 5Іші Ул - їідп ІоГГо, То, Мо) - FignaTtTc.No).

При сформулированных выше условиях можно исследовать устойчивость с,аі нонарного решения задачи (21) (соответственно, нулевого решения задачи (24)) (теоремы 7.9, 7.10). Оказывается, что в случае'отрицатель-" ното ат(Т.,. N-.1 0 стационарное решение Фл задачи (21) устойчиво в ма-

лом. а в случае сг.т(Т;і. N0) > 0 - неустойчиво. Бод-.-е того (теорема 7.11), “линеаризованная" модель кинетики реактора виді (20) в случае положительности температурного коэффициента реакпшкости для любых неотрицательных начальных условий Ф, е М(3; г К.-1.?).

Мч')- ; Фє 1 иЭ): (УоЛ’Зьз.-у.о,--г, (Ч.с, )ь,{0, > о. (У*..!.Т)Ьг;.. о *,.

где V-. р = с .гг.-.- - некоторые положительные в соответствующих облает'-': определения функции, а 5.>о. і 0. не имеет глобального решенич » сг:г.'.-вгддцвь! оценки вида (22) со следующей функцией аі! у. 1

іь Кр.іГНС'.'сМА. Пслсжііт«:ьгплє;*уієніія олррлтсгнЫл уравнений. Главы нє-Піінс.:^ л-» .іні;:.;-•зі. •М:,4“г«атпг'. ІУ'Гі. • Зу?> .

:т Ьахгик Ї1А. С не~£*рьзчях вств <х полус-с^'-тоенных яастороа нелинейных операторов /7 Исв. АН ССС?.\>рия мгтмв. 17. 30.2-і 5.СЛ0П»Ю£б. _

а(і) = Я-5-Я.-ехр(Х« • С)-{{Я.. + у-о) - у • оехр(Я. • ()}"*. ще постоянные В., у, Я., определяются данными задачи и не зависят от о. а величины Я. у > 0. Попутно оценивается длина интервала существования решения Т т '• 0< Тт £ Т. = !п(1 + ^).Таким образом, в описанной сіпуз-

цни существуют решения взрывного типа.

В параграфе 15 рассматривается еше одни варішгт моделей динамики реактора, также связанный с рядом специальных физических предположи-ііііГі об установлении температурного поля. В этом случае система уравнений. опнсыьакидая динамику реактора, принимает вид:

0 ‘ч<Х:У-) * (V,У^МХ.V.о +1 V К 1(Х.V: М) + 6^ (V;\ )Рхе < X. і )}Х| X.V.і!

$1 '

‘ * • т

_____ =/К(Х,у,\';Н)Н(Х.уММу' + Т;я,Г,(у)С,(Хл).

V ' >=!

^^*-х1с1(хи1+/к,(Х.^ыж(Х.¥:«)ау. і = Гїіі ‘

01 у

Щ*- 0- = -ХіРі (X. о + І Г, рі.у-.ЇОДХл.:«V.

о1 V.

-Р^Г-1> *->-ХеРХе(Х,0 + >.1Р1(Хл) + ]ГХе(Х,^*чХ.V,ікьг -. д! V

- РХе(Х0|І V К(Х,V, 1)<ь-

. . V •

Изучение этой системы уравнении проводится на основе методики и

• по схеме, описанной в главах 2 и 6; обсуждаются некоторые другие модели динамики, соответствующие им стационарные задачи и вопросы устойчивости стаинонарных решений.

‘ В заключение затрагиваются вопросы теории оптимального управления ядернымн реакторами н оптимизации их стационарных режимов. Попутно дается краткий обзор литературы по указанным вопросам и высказываются некоторые соображения о направлениях дальнейших математических исследований в представленных в работе разделах теории реакторов и в смежных областях.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Кузнецов ЮЛ. Математические задачи динамики яде реакторов.- М.: Энергоатомнздаг. 1994.-334с.

2. Кузнецов ЮА. О некоторых задачах качественной теории нелинейных

ннтегро-дифференциальных систем уравнений кинетики реакторов // Проблемы теории и численного решения задач переноса частиц. М.: ОВМ АН СССР. 1983. С.70-81.

3. Кузнецов Ю А. О некоторых нелинейных математических задачах теории переноса частиц // Прикладные проблемы теории колебаний. Межвуз. сб.Изд.ННГУ.1990. С.132-142.

4. Кузнецов ЮА. Некоторые вопросы качественной теории нелинейных -эволюционных уравнений и динамика ядерных реакторов// Прикладные проблемы теории колебаний. Межвуз.сб.Изд.ННГУ. 1991 .С. 126-133,

5. Кузнецов ЮА. О разрешимости и некоторых свойствах решении сис- . темы уравнений кинетики превращений нуклидов II Методы прикладного функционального анализа. Межвуз.сб. Изд.ННГУ.1991. С.36-42.

6. Кузнецов Ю.А. Методы качественной теории нелинейных эволюционных

уравнений и динамика ядерных реакторовЛ В кн.: “Современные метопы в теории краевых задач”- Воронеж: Изд-ВГУ. 1992. С.127. ■

7. Кузнецов Ю А. Принцип сравнения и качественные свойства решений нелинейных эволюционных уравнений IIВ кн.:Ш Конференция "Нелинейные колебания механических систем". Нижний Новгород. 1993.С.П6.

8. Кузнецов ЮА. Нелинейные эволюционные уравнения в полуупорядо-

ченных пространствах: положительность, продолжимость и ограниченность решений И Прикладные проблемы теории колебаний. Межвуз. сб. Изд.ННГУ. 1993.С, 181-208. . . _ . . .

9. Кузнецов ЮА. Метод функций Ляпунова в анализе качественных свойств' решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве //Прикладные проблемы теории колебаний. Межвуз. сб. Изд. ННГУ. 1993. С.208-228.

10. Кузнецов ЮА. Оснозы качественной теории некоторых классов нелиней нмх эволюционных уравнений в поту упорядоченных банаховых пространствах// В кн.: “Потрятнаспг чтения -VII"(Воронежская иатематичес-

кая школа). - Вороня» Иза. ВГУ. 1996. С.112.

11. Кузнецов ЮА. Разрешимость зздачи Коши и качественные свойства реше иий некоторых классов кглзягейньа дифференциальных уравнений второго порядка в банаховом пространстве I/ В кн.: 1У Конференция “Нелинейные колебания механических систем”. Нижний Новгород. 1996.С.90. .

12. Кузнецов 10 А. Нестационарное уравнение п&реноса частиц с обобщеины-

мыми граничными условиями // Вестник Нижегородского университета. Сер?£я: Математическое моделирование и оптимальное управление. - Н. Новгород: ННГУ.Вып.2(19). 1993.С-92-98. •

13. Кузнецов Ю А. Математическое моделирование, динамика ядерных реакторов и нелинейные дифференциальные уравнения И Вопросы атомной

• науки к техники. Серия: Физика и техника ядерных реакторов. Динамика ядерных -знерГетическИх установок. М.: ИАЭ. Вып.2. 1998. •

14. Кузнецов Ю.А. Нелинейные глфференцнал/.ьые уравнения., неограннчен-ные решения и динамика ядерных реакторов/,''Тезисы докладов I [[ Сибирского Конгресса по прикладной и индустриальной математике; Ні і !1РПМ-98). - Новосибирск: 1998. . '

і 5. Кузнецов ЮА. О необходимых условняхоптимальностн в задачах управления системами, описываемыми уравнениями эллиптического тика Сибирским матем.журнал. 19“9.Т.2!).ЬУЗ.С .586-^,96.

!<?. Кузнецов ЮА. Задача оптимизации физических характеристик ядерного реактора ;/ ДАН СССР.1981 .Т.260.КЗ.С.583->8 ^

! 7.'Кузнецов ЮА. О необходимых условиях оптимальности в галл чах управления' системами, описываемыми собственными функциями э.т.типтичес-кого оператора //Сибирский матем.журнал. 1982.Т.23 ЫЗ.СЛ18-135.

18. Кузнецов ЮА. Математические задачи оптимизации и управление в динамике ядерных реакторов 11В кн.: IV Коллоквиум "Современный >руи повои анализ. Методы и приложения”. Н.Новгород: ННРФИ. 1992. С.31.

19. Кузнецов Ю А., Сабаев Е.Ф. Оценки решений в фазовом пространстве и устойчивость инвариантных множеств і і Дифференц. уравнения. 1978. Т. 14.

• М2.С.212-222. . .

20. Кузнецов Ю А., Сабаев Е.Ф. Вычисление ляпуновских величин для дифференциальных уравнений в банаховом пространстве в некоторых критических случаях//ДАН СССР Л 978. Т.24СШ4.С .778-781.

21. Кузнецов 10 А., Сабаев Е.Ф. Об устойчивости нулевого решения дифференциального уравнения в банаховом пространстве в критическом случае //Динамика систем.Межвуз. сб. Изд.ГГУ.1979.С.38-58.

22. Кузнецов Ю А., Шашков В.В. Об одной нелинейной системе уравнений теории ядерных реакторов II Дифференц. и интегральные уравнения. Межи уз .сб. Горький: Изд.ГТУ. Вып.З. С. 163-169.

23. Кузнецов ЮА., Шашков В.В. Об одной нелинейной интегро-дифференци-альной системе уравнений кинепгки реакторов И Дифференц. уравнения. (930.ТЛ6.К І2.С.2250-2266.

24. Кузнецов ЮА.. Шашков В.В. Об ограниченности области притяжения стационарного состояния регулируемого ядерного реактора с полохаггель-я>'и температурной обратной связью II Препринт N 31 ОВМ АН СССР.

‘І.І ЭД:.с\ 1-43.

Ку нс,юн Ю А.. Шашков В.В. О неограниченных решениях нелинейной -.•счсмы уравнений кинетики ядерных ректоров //ДАН СССР. 1922.

N Зл' .5,') ~->^2.

К'-чсїіов Н 'А.. Шашков В.В.О нслокхпыюй продолжимости решений нелинейных жл'егро-дифференииальнмх систем уравнений кинетнки реакторов , іи $<-ерсни. уравнения. і9о->.Т.20.їч 10.СЛ769-17<]2. -

К» !че!і.'в ЮА.. Шаіяк-.'в В.В. Об ннг.лри.шгноеп! суїді егвенного шект-о оиеріТоі'а Оі-онрокиїі магем.ял-рнлл. і935. Т.26.Ь4.СЛ98;

Ю. А. Кузнецов

Математические

задачи динамики ядерных реакторов

—{

' ^ЗУО

и X С}/ Ю. А. Кузнецов

Математические

задачи Динамики ядерных реакторов

* ■

¡1 Президиум ВАК Р

|| (решениеот*//_* Ш/36

': присудил ученую степень ДОКТОг ✓

^ЩрМйт,..............,........_ наук

Начальншгрттравления ВАК России

Москва Энергоатомиздат

УДК 621.039.51

Кузнецов Ю.А. Математические задачи динамики ядерных реакторов. - М.: Энергоатомиздат, 1994. - 384 с. КВЫ 5-283-03815-7

Рассматриваются общие нелинейные распределенные математические модели динамики ядерных энергетических установок с учетом различных обратных связей. Основное внимание Оделено вопросам корректности постановок задач, существованию, единственности и продолжимости их решений, выявлению и исследованию качественных свойств и особенностей решений. Дано систематическое изложение используемого математического аппарата, в частности вопросов качественной теории нелинейных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах.

Для научных и инженерно-технических работников, занимающихся теорией и физикой ядерных реакторов, а также для специалистов в области прикладной математики. Может быть использована студентами старших курсов соответствующих вузов.

Библиограф. 379.

Рецензенты док-р физ.-мат. наук Т. А. Гермогенова, канд. физ.-мат. наук Н.С. Келлин РОС СМ Й С К

ГОСУДАРСТВЕННАЯ

5МБНПО)

Научное издание 'i /f ,п, 'f~\j " vf "(

i V

Кузнецов Юрий Алексеевич

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ЯДЕРНЫХ РЕАКТОРОВ

Заведующий редакцией В.В. Климов Редактор ГЛ. Чернышева Художественный редактор В А, Гозак-Хозак Технический редактор М.А. Канониди Корректор Л.А. Гладкова ИБ № 3012

Набор выполнен в издательстве. Подписано в печать с оригинала-макета 25.11.93. Формат 60x88 1/16. Бумага офсетная № 2. Печать офсетная. Усл.печ.л. 23,52. Усл. кр.-отт. 23,76. Уч.-изд. л. 25,01. Тираж 500 экз. Заказ 2220. С 006. Энергоатомиздат, 113114, Москва, М-114, Шлюзовая наб., 10.

Московская типография № 9 Министерства печати и массовой информации Российской Федерации, 109033» Москва, Волочаевская. 40.

3603030000- 00«

К-- 252-91

051 (01)-94

ISBN 5-283-03815-7

© Автор, 1994

Л""

ПРЕДИСЛОВИЕ

Современные тенденции в развитии ядерной энергетики, в частности в проецировании и. эксплуатации энергетических реакторов, делают все более актуальными задачи технико-экономической оптимизации реакторов, безопасности и надежности их работы в различных условиях. Решение этих важных практических задач основывается на детальном исследовании динамики реакторов и ядерных энергетических установок (ЯЭУ) в целом.

Сложность динамических задач теории ядерных реакторов связана, в частности, с разнообразием многочисленных процессов различной физической природы и их взаимным влиянием, а также с чувствительностью реактора к различным возмущениям.

Как отмечается в [100], на стадии проектирования реакторов единственной возможностью получения и анализа их динамических характеристик является исследование соответствующих математических моделей реакторов. Стремление создать достаточно полную картину исследуемых процессов приводит к необходимости строить все более сложные математические модели реакторов. При этом сразу же возникает вопрос о корректности соответствующей математической модели, или, другимй словами, вопрос о том, насколько правильно эта модель передает основные физические особенности исследуемых процессов. В связи с этим весьма актуальной становится задача исследования математических моделей реакторов с целью установления их непротиворечивости, в частности выявления некоторых качественных свойств, присущих решениям соответствующих уравнений, наличие которых является необходимым условием корректности тех или иных математических моделей. К таким важнейшим свойствам относится, например, неотрицательность некоторых переменных во всей области их определения (плотность нейтронов, концентрации предшественников запаздывающих нейтронов и др.). Кроме того, исследование сложных математических моделей динамики реактора должно включать также и выявление способов корректного упрощения этих моделей до приемлемых в расчетной практике.

Использование достаточно общих математических моделей динамики реакторов приводит к необходимости использования численных методов их решения, т.е. в конечном счете к переходу от исходных распределенных уравнений к алгебраическим системам уравнений той или иной

7- з

структуры. Важно подчеркнуть, что построение таких алгебраических систем обычно существенно опирается на априорную информацию, свя-^ занную с исходной задачей. Такой информацией обычно являются принадлежность решения к тому или иному функциональному классу, свойства операторов задачи, а также различные качественные особенности решений, которые выявляются при теоретическом исследовании исходных систем уравнений (см. [91-93]). Эта априорная информация во многих случаях оказывает решающее влияние на выбор методов вычислительной математики, используемых для практического решения задач. Важно отметить также, что обычно имеется некоторое соответствие между свойствами решения и операторов йсходней задачи и ее , алгебраического аналога.

Сказанное выше указывает на важность исследования различных качественных свойств сложных математических моделей динамики реакторов.

Математической теории реакторов, теории устойчивости стационарных режимов их работы, а также теории управления и оптимизации ядерных реакторов посвящена обширная библиография. Отметим здесь ряд монографий [18, 31, 34, 48, 74, 125, 166, 175, 204], наиболее близких по методологии и общей точке зрения на изучаемые объекты излагаемым ниже исследованиям.

Основная цель предлагаемой книги — изложение методики и резуль-. татов исследования нелинейных распределенных моделей динамики^ ядерных реакторов методами качественной теории нелинейных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах. Такие исследования относятся к новому напр лвлению в теории ядерных реакторов, не нашедшему пока должного отражения в монографиях и учебной литературе, а используемые в книге методы исследования пока еще не получили широкого распространения среди специалистов по теории ядерных реакторов и динамике ЯЭУ. В отечественной литературе данное направление представлено по существу лишь монографиями [48, 73, 125].

Настоящая работа отличается от указанных выше монографий как охватываемым кругом вопросов, так и применяемой методикой их исследования и способом изложения материала. Практически не пересекаясь с ними, она освещает в первую очередь те вопросы теории реакторов и динамики ЯЭУ, которые либо не затронуты в других источниках; либо рассмотрены там с иных методических позиций и в меньшей степени общности.

К числу отличительных особенностей книги следует отнести, во-первых, рассмотрение достаточно общих моделей реактора, содержащих зависимости нейтронно-физических параметров реактора от состояния среды весьма общего вида. В этих моделях для описания нейтронно-физических процессов систематически используется система уравнений кинетики реактора, включающая в себя нелинейное уравнение переноса нейтронов (типа уравнения Больцмана). Последнее позволяет рассмат-

4 V

бривать различные обратные связи в реакторе с единых позиций в общих физических предположениях.

Во-вторых, в книге развивается единый методический подход к исследованию математических задач динамики ядерных реакторов, основанный на систематическом использовании качественной теории дифференциальных уравнений в банаховых пространствах и некоторых специальных разделов функционального анализа.

В связи с этим в книге не только приводятся результаты исследования качественных особенностей достаточно общих распределенных математических моделей ядерного реактора, но и дается (по возможности в сжатой форме) очерк основных методов их исследования.

Коротко о содержании книги. Она состоит из трех разделов. В первом разделе излагаются основы используемого в дальнейшем математического аппарата. Глава 1 содержит изложение избранных вопросов функционального анализа. Изложение достаточно фрагментарно и сконцентрировано вокруг нескольких наиболее важных для дальнейшего тем. Быть может, несколько более подробно и в более общей форме, чем обычно, дается описание некоторые вопросов теории линейных эволюционных уравнений в банаховых пространствах, не ставших еще вполне традиционными. Описанный здесь материал систематически используется в дальнейшем, причем, как правило, без специальных ссылок. Излагаемые результаты, помимо того что они, сами по себе весьма интересны и поучительны, дают также возможность ощутить имеющиеся традиции в вопросах математической строгости. Подробное и систематическое изложение функционального анализа и тео.рии функций, а также затронутых в гл. 1 тем имеется в целом ряде монографий и руководств по функциональному анализу (см. [39, 44, 51, 54, 59, 63, 80, 107, 120, 124,154,159,220,233,270] и др.).

Глава 2 посвящена изложению вопросов качественной теории нелинейных эволюционных уравнений в банаховом пространстве. Рассматриваются вопросы разрешимости, единственности, нелокальной продолжимости классических решений нелинейных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах. Устанавливаются разнообразные оценки решений в фазовом пространстве, упорядоченном некоторым конусом. Отсюда, в частности, получаются результаты о существовании и продолжимости положительных решений йёлинейных эволюционных уравнений. Рассмотрение проводится при весьма широких предположениях о фигурирующих в уравнениях операторах. Выделяемый этими предположениями класс эволюционных уравнений, как следует из полученных в гл. 2 результатов, включает в себя и некоторые нелинейные дифференциальные уравнения с неограниченными нелинейными операторами.

Второй раздел книги посвящен краткому изложению основных физических представлений о рассматриваемых процессах и принципов их математического моделирования и состоит из трех глав.

В гл. 3 дается общее описание физических процессов в активной зон<г ядерного реактора, вводится понятие динамической системы, обсуждается принцип обратной связи и моделирование систем с обратными связями. В последующих двух главах рассматриваются линейные (без учета обратных связей) математические модели основных физических процессов в активной зоне реактора. В гл. 4 рассматривается процесс переноса нейтронов, а в гл. 5 — процессы изменения нуклидного состава среды и процессы теплообмена. Рассмотрение линейных математических моделей процессов является основой для последующего изучения соответствующих нелинейных моделей, учитывающих их взаимное влияние. Изложение ведется преимущественно без доказательств, по ходу его даются необходимые ссылки на литературу.

Выявленные во втором разделе свойства линейных моделей физических процессов в сочетании с результатами о разрешимости нелинейных эволюционных уравнений в банаховых пространствах, установленными во второй главе, позволяют перейти к рассмотрению в третьем -разделе нелинейных математических моделей динамики реактора. Третий раздел состоит из двух глав. В гл. 6 исследуется общая модель динамики реактора, описывающая процесс нестационарного переноса нейтронов с учетом обратных связей, обусловленных процессами теплопередачи и изменения нуклидного состава среды. Соответствующая нелинейная система уравнений записывается в абстрактной операторной форме. Вводятся некоторые функциональные пространства и описываются их свойств* Далее для исследования возникающей здесь абстрактной задачи Коши привлекаются результаты гл. 2. Итогом достаточно подробно проведенного рассмотрения являются утверждения о разрешимости абстрактной задачи Коши, о существовании глобального положительного решения системы уравнений динамики реактора и др. Важно отметить, что полученные здесь результаты установлены без привлечения каких-либо требований типа монотонности сечений взаимодействия нейтронов с веществом относительно температуры.

В гл. 7 обсуждаются более конкретные нелинейные модели динамики и кинетики ядерного реактора на тепловых нейтронах. Рассматриваются математические модели динамики реактора с учетом отравления ксеноном и температурной обратной связи, динамики реактора с учетом отравления ксеноном и мощностной связи, кинетики реактора с учетом температурной обратной связи. Обсуждаются вопросы разрешимости соответствующих стационарных систем уравнений, а также вопросы устойчивости их решений. Исследуются качественные свойства решений нестационарных и стационарных систем уравнений динамики и кинетики реактора. Среди них — вопросы продолжимости, ограниченности, положительности решений, вопросы существования решений с конечным временем определения (решения взрывного типа). Кратко затрагиваются также вопросы теории управления ядерными реакторами и оптимизаций стационарных режимов их работы.

На различных этапах работы над проблемами, нашедшими свое отражение в настоящей книге, автор имел благоприятную возможность пользоваться советами, поддержкой и благожелательным отношением большого числа коллег и товарищей по работе. Пользуясь возможностью, хотелось бы выразить всем им искреннюю признательность, а особенно В.И. Агошкову, Т.А. Гермогеновой, В.Д. Горяченко, A.B. Кряневу, В.И. Лебедеву, С.Ф. Морозову, А.И. Попыкину, Е.Ф. Сабаеву, В.В. Шаш-кову и С .Б. Шихову.

Т.А. Гермогеиова и Н.С. Келлин просмотрели рукопись данной книги и сделали ряд полезных замечаний, которые были учтены при окончательном ее оформлении.

Автор

f

РАЗДЕЛ I. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АППАРАТА

<~ЛАВА 1. избранные вопросы ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА

1Л. Некоторые результаты теории полугрупп

линейных операторов в банаховых пространствах

1.1.1. Многие проблемы математической физики сводятся к изучению начальных или начально-краевых задач для линейных и нелинейных уравнений (систем уравнений) с частными производными. Последние часто могут быть естественным образом представлены в виде абстрактной задачи Коши для дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. Х- Рассмотрим сначала линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. Помимо значительного самостоятельного интереса их изучение является зачастую основой для последующего исследования различных нелинейных задач.

Пусть задано Уравнение

~ = .4 (О* (О +/(0 (1.1)

а(

с начальными условиями

*(О1,=,о+0 = *0, С1-2)

где х(?) - неизвестная абстрактная функция х(-): 1( X; А (?) -при каждом г € линейный,^вообще говоря, неограниченный оператор в X; /(?) - заданная абстрактная функция /(•): X; х0 -заданный элемент X.

Задача Коши (1.1), (1.2) состоит в отыскании неизвестной функции х (?), называемой решением, удовлетворяющей в определенном смысле уравнению (1.1) и начальному условию (1.2). При этом решение должно обладать также некоторой регулярностью (гладкостью), например должна существовать (в каком-либо естественном смысле) производная Лс(?) ¡с1л.

Существует достаточно обширное множество определений решения, основанных на различной интерпретации уравнения (1.1) и разных свойствах фигурирующего в нем линейного оператора.

Нас будут интересовать как наиболее адекватные изучаемым в дальнейшем прикладным задачам только некоторые из них.

! Под решением задачи Коши вида (1.1), (1.2) в дальнейшем, как пра-■ вило, понимается ее классическое решение, т.е. абстрактная функция *(•)■' /(J* X, принадлежащая классу C1{l^,x} П С{/^,ХА} , удовлетворяющая на if уравнению (1.1), а при t -*■ t0 + 0 — условию (1.2). При_этом следует считать, что х0 G D (А) — области определения линейного оператора А (/)'. Символом ХА здесь обозначено банахово пространство, совпадающее по набору элементов с множеством D(A) и оснащенное нормой = !Ы1Х + 1И (ío)7Üz-

В случае стационарного оператора A (t) = А такое определение решения согласуется с теорией сильно непрерывных полугрупп линейных операторов в банаховом пространстве, а в общем случае [при достаточно гладкой зависимости оператора A (f) от параметра t\ — с понятием эволюционного оператора, порождаемого задачей вида (1.1), (1.2).

1.1.2. Пусть X — банахово пространство с нормой II • ; В(Х) = = В (X, X) — банахова алгебра линейных ограниченных операторов в X. Однопараметрическое семейство непрерывных линейных операторов {í/(í), t S R+ = [0,°°)} CB(X) называется полугруппой, если выполнены следующие условия:

1) U(t)Vii) = U(t +s), Vt,s>0;

2) U{0) = , где Ix - тождественный оператор в X. Полугруппа операторов называется сильно непрерывной, или, что то

же, полугруппой класса С0, если для любого х £1

3) \\U(t)x -х\\у -»■(),?-*■ +0, т.е. если s-lim U{t)x=x. л + о

Полугруппа операторов называется равномерно непрерывной, если

4) ||t/(í) - 7V ||„,„, 0, t +0, т.е. s-lim U{î) = IY. ' ' о

Таким образом, сильно непрерывные полугруппы хар�