Математические задачи нелинейной теории переноса. Газокинетическое уравнение тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

'о

На правах рукописи

МАКИН Руслан Сергеевич

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ ПЕРЕНОСА. ГАЗОКИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ

Специальность: 01.01.03- математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

□□34746Б1

Москва 2009

003474661

Работа выполнена в ОАО «Государственный научный центр Научно -исследовательский институт атомных реакторов» (ОАО «ГНЦ НИИАР» )

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Малинецкий Георгий Геннадьевич

доктор физико-математических наук, профессор Кащенко Сергей Александрович

доктор технических наук Селезнев Евгений Федорович

Ведущая организация: Научно-исследовательский ядерный университет - Московский инженерно-физический институт (НИЯУ - МИФИ)

Защита состоится «6» октября 2009 г. в 11 часов на заседании диссертационного совета Д 002.024.02 при Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН по адресу: 125047, Москва, Миусская пл., д.4

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке. Отзывы на автореферат диссертации отправлять по адресу: 125047, Москва, Миусская пл., д.4

Автореферат разослан «2б> ШйУУ^ 2009 г.

Учёный секретарь диссертационного

О.В.ЩЕРИЦА

1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Безопасность эксплуатации ядерных энергетических реакторов и других радиационно-опасных установок различного назначения является одной из важнейших проблем современной энергетики и нелинейной динамики. Большое значение в решении этой проблемы имеет знание и исследование их динамических характеристик. Целью исследования динамики в конечном итоге является доказательство устойчивости стационарных режимов нелинейной системы или отыскание условий, при которых обеспечивается указанная устойчивость. Обычно a priory такой информации либо нет, либо ее чрезвычайно мало. В этих условиях практически единственной возможностью является создание адекватных математических моделей и их последующий анализ. При этом резко возрастает роль различных эффектов, связанных с распределенностью, неоднородностью систем и нелинейностью происходящих сложных процессов, В то же время используемые для анализа подобных нелинейных систем весьма упрощенные математические модели либо вообще не учитывают указанных эффектов, либо учитывают их очень приближенно, например, в рамках линеаризованных моделей. Это связано в первую очередь с тем, что сложные распределенные системы в неоднородных нелинейных средах обычно описываются системой уравнений в частных производных или системой интегро-дифференциальных уравнений и должны рассматриваться в весьма общих банаховых пространствах. Заметим, что сама процедура линеаризации для сложных нелинейных систем, как правило, требует строгого обоснования.

Таким образом, разработка адекватных распределенных нелинейных моделей сложных объектов, процессов и исследование возникающих режимов, вопросов устойчивости и нелинейных явлений, включая асимптотическое и нерегулярное (хаотическое) поведение, является весьма актуальной задачей. Кроме того, решение вопросов существования, единственности, свойств спектра, полноты корневых векторов, положительности решений и некоторых других представляет значительный интерес. Данное обстоятельство связано с решением нового класса задач, описывающих гораздо более сложные процессы, чем, например, краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка, которая, как известно, является достаточно грубым диффузионным приближением для рассматриваемых процессов переноса.

Начиная с первых работ по теории переноса излучения (нейтронов) в размножающих и замедляющих средах, выполненных Э.Ферми, И.В.Курчатовым с сотрудниками, исследования по теории реакторов тесно связаны с именами А. Вейнберга, Ю. Вигнера1 в США, академиков РАН В.С.Владимирова2, Г.И. Марчука, заложивших основы математической теории взаимодействия излучения с веществом, в том числе переноса нейтронов. Существенный вклад в развитие

' Вейнберг А^ВигнерЕ. Физическая теория ядерных реакторов. М.: ИЛ, 1961. (

2 Владимиров B.C. Математические задачи односкоростной теории переноса частиц. II Тр. Матем. ин-та им. В. А. I

Стеклова т.61. Изд-во АН СССР. 1961.

математической теории реакторов внесли профессора С.М. Фейнберг, С.Б. Шихов3, А.Д. Галанил В.В. Орлов, JI.H. Усачев, ГЛ. Бать и научные коллективы РНЦ «Курчатовский Ш1ститут», ГНЦ ФЭИ, ИТЭФ, ОКБМ, МИФИ, ИПМ, ИПЭ HAH Беларуси и др. Работы отечественных ученых Т.А. Гермогеновой, М.В. Масленникова, Б.Б. Кадомцева, С.Б. Шихова, Ю.И. Ершова4, В.В. Смелова, В.И. Лебедева, В.И. Агоппсова, В .Я. Гольдина, В.В. Учайкина, A.B. Крянева, Ю.А. Кузнецова и их учеников, а также зарубежных ученых Б. Дэвисона, Р. Маршака, С. Чандрасекара, Е. Хопфа, К. Кёйза5, Дж. Ленера, Г. Випга и др., отражающие основные положения этой теории, хорошо известны.

Одним из важнейших открытий второй половины прошлого века явилось установление нового факта, говорящего о том, что нелинейная детерминированная динамическая система при отсутствии в ней каких-либо случайных внешних возмущений может генерировать стохастические колебания, т.е. порождать динамический или детерминированный хаос. Такой хаос может возникать в ситуации, когда в фазовом пространстве динамической системы имеется ограниченная область, из которой траектории пе уходят, и при этом они неустойчивы по Ляпунову. В силу неустойчивости сколь угодно близкие вначале траектории расходятся за конечный промежуток времени. Поэтому практически невозможно предсказать длительное поведение детерминированной нелинейной динамической системы, поскольку реально начальные условия задаются лишь с конечной степенью точности.

Сегодня, несмотря на значительные успехи, теория нелинейных динамических систем6 далека от завершения даже для конечномерных пространств. Известно, например, что хаос в нелинейных системах возникает при наличии в их фазовом пространстве гомоклинических (в общем случае -гиперболических) структур. Существующие критерии возникновения хаоса труднопроверяемы, поскольку требуют, например, определения условий взаимного пересечения устойчивых и неустойчивых инвариантных многообразий, и в общем случае отсутствуют. Поэтому актуальной остается задача разработки конструктивных критериев хаоса, которые бьши бы применимы для широкого класса нелинейных динамических систем.

В настоящее время, после открытия в 1964 г. первой модельной системы (системы Лоренца) с хаотическим поведением, известны многочисленные примеры систем с подобным поведением в различных областях физики, механики, гидродинамики, биологии (список можно продолжить)7, в том числе в реакторных системах. Возникающий здесь круг вопросов в основном связан с устойчивостью поведения решений и возникновением динамического хаоса. Традиционно в теории устойчивости изучается асимптотическое поведение траекторий, лежащих вблизи уже известной (стационарной) траектории, или, как в теории ветвления, обнаружение и исследование решений,

3 Шихов С.Б. Вопросы математической теории реакторов. М.: Атомиздат, 1973.

4 Шихов С.Б., Ершов Ю.И. Математические основы теории переноса. T.l; Т.2. М.: Энергоатомиздат, 1985.

5 Кейз К., Цвайфель П. Линейная теория переноса. М.: Мир, 1972.

6 Малинецкий Г.Г., Потапов A.B. Современные проблемы нелинейной динамики. М.: УРСС, 2002.

7 Лихтенберг А., Либерман Г. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984.

2

етвляющихся от известного по мере изменения параметров задачи. Несмотря на обширные следования, существующие трудности далеки от преодоления. Обычно исследуются на тойчивость решения, появляющиеся при первой бифуркации, если их удается получить. Очевидно, ой путь исследования задач гидродинамики имел в виду Л.Д. Ландау, высказавший гипотезу, что и возрастании параметра - числа Рейнольдса, усложнение (турбулизация) течения объясняется явлением все большего числа несоизмеримых периодов у решения. Можно принять и изическую» точку зрения, восходящую к Э. Хопфу, O.A. Ладыженской и др. - решения ссипативных систем «забывают» свои начальные данные и формируются под действием постоянно стационарно действующих факторов. В строгом математическом смысле это пе так, потому что в ерминироваиной системе решение (глобальное или локальное) полностью определяется своими чальнымн и дополнительными данными, а также внешним воздействием (например, системой травления). Однако с течением времени решение может «далеко» уйти от этих данных и в этом ысле «забыть» их. В связи с этим возникает вопрос о той части фазового пространства, к которой втягиваются все решения, и динамике рассматриваемой системы на ней. Структура этого омпакгаого) притягивающего инвариантного множества (аттрактора) может быть весьма сложной, и динамика на нем; другими словами, такое множество должно являться объектом исследования, ожность изучения таких притягивающих множеств (аттракторов, квазиаттракгоров) нелинейпых намических систем заключается в отсутствии законченной теории таких множеств иперболических множеств) не только для бесконечномерных, но даже для конечномерных намических систем8. Кроме того, не исключено (строго не установленный факт) появление так ываемых «диких гиперболических множеств» (Ньюхаус) в составе притягивающих многообразий, от вопрос является дискуссионным и затрагивает другой, более важный: правильно ли мы ределяем притягивающие множества и достаточно ли для описания динамики на них концепции убости (типичности) Андронова-Понтрягина. Постановка и решение этих вопросов представляют сомненный, в том числе и самостоятельный интерес.

Для ряда нелинейных динамических систем наблюдается последовательность бифуркаций воения периода при изменении параметра от значений, при которых оно имеет лишь неподвижные чки, к значениям, при которых существует бесконечное множество периодических орбит. Эти скады бифуркаций удвоения периода обладают богатой структурой (универсальность ейгенбаума). Существуют свойства, ассоциированные с этими каскадами, которые универсальны в м смысле, что не зависят от выбора конкретной динамической системы. При этом весьма сальной является задача установления механизма перехода к «хаосу» через бифуркации удвоения риода для конкретной распределенной модельной задачи переноса, который наблюдался

есин Я.Б. Общая теория гладких гиперболических динамических систем. // Итоги науки и техники. Современные облемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ. 1985. с.123-173.

экспериментально. Важно отметтъ, что для нелинейных распределенных динамических систем возможен пространственно-временной хаос, характеризующийся тем, что в процессе колебаний случайными оказываются не только временные реализации процесса, но и пространственные распределения поля (излучения, температуры). Такой режим пространственно-временнбго хаоса в теории нелинейных динамических систем имеет специальное название - диссипативные структуры. Этому режиму присуще соответствующее притягивающее множество (квазиаттрактор). В последние годы в исследовании структуры и свойств таких множеств на базе новых идей и понятий (инерциальные многообразия и инерциальные формы, параметры порядка, фрактальные множества и т.п.), а также основных положений (парадигм) синергетики достигнуты определенные успехи9,10,11. Существенные достижения в разработке соответствующих методов и подходов для широкого класса нелинейных систем получили коллективы исследователей ИПМ им. М.В. Келдыша, РНЦ КИ, МГУ, МИФИ, ННГУ, СГУ и др., а также зарубежные исследователи П. Константин, К. Фойяш, Б. Николаенко, Р. Темам, Дж. Хейл со своими сотрудниками. Однако результаты исследований нелинейных распределенных моделей переноса и их различных приближений немногочисленны, а в части изучения инвариантных многообразий, структуры притягивающих множеств и сопутствующих вопросов публикаций еще меньше.

Анализ современного состояния теории нелинейного переноса на основе газокинетического уравнения с распределенными параметрами позволяет сформулировать как одну из важнейших проблем нелинейной динамики проблему разработки и создания теоретических методов анализа динамики и свойств решений модельных задач переноса. При решении этой проблемы на первый план выступают модельные задачи переноса в распределенных неоднородных средах, в основе которых лежат газокинетическое уравнение или многогрупповое диффузионное (Рг) приближение.

Цель работы. Развитие и обоснование строгой математической теории нелинейных уравнений переноса, включающее следующие этапы исследования:

1. Выбор математической модели (моделей) исследования, адекватно описывающей реальные физические процессы (на примере переноса излучения (нейтронов)) в распределенных нелинейных неоднородных и ограниченных средах.

2. Формулировка и доказательство теорем существования и единственности решений исходной нелинейной задачи, где перенос описывается газокинетическим уравнением, в некотором бесконечномерном функциональном пространстве.

9 Ахромеева Т.О., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский A.A. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М.: Наука, 1992.

10 Шустер Г. Детерминированный хаос: Введение. М.: Мир, 1988.

'' Малинецкий Г.Г. Математические основы синергетики. Хаос, структуры, вычислительный эксперимент. Изд. 4-ое. Москва, УРСС. 2005.

3. Установление условий существования и свойств решений стационарной нелинейной задачи, твечакяцей исходной системе, включая вопросы полноты собствсшшх (корпевых) векторов, стойчивости решений и существования точек бифуркации.

4. Обоснование метода линеаризации (первого метода Ляпунова) в задаче устойчивости ационарных и периодических решений исходной нелинейной задачи.

5. Анализ спектральных свойств линеаризованной задачи, нелинейным образом зависящей от пектралыюго параметра; исследование структуры спектра, его асимптотики и других важных центральных свойств.

6. Доказательство обобщенной теоремы Смейла - Биркгофа (условий существования омоклинической точки трансверсального пересечения инвариантных (локальных) многообразий метод Мельникова)). Установление существования инвариантного гиперболического множества, опологически эквивалентного подедвигу конечного типа (подкове Смейла) для исходной елинейной задачи.

7. Установление условий существования инвариантных конечномерных множеств -нерциальных многообразий, исследование их свойств. Проверка спектрального условия (условия

конуса) и доказательство существования конечномерных инерциальных многообразий для исходной нелинейной задачи.

8. Применение изложенных методов для более общих нелинейных динамических систем, емонстрация вышеуказанного подхода на примере одной практической модельной задачи, в

которой перенос описывается в многогрупповом диффузионном (Р]-) приближении.

Методы исследования. Для исследования использовался аппарат функционального анализа (теория полугрупп операторов, теория операторов, инвариантных относительно положительных конусов в банаховых пространствах, теория знакорегулярных (квазизнакораулярных) операторов, спектральная теория самосопряженных и несамосопряженных операторов), топологические методы, аппарат теории нелинейных динамических систем (гиперболические множества, инвариантные притягивающие множества (аттракторы, квазиаттракторы) и инвариантные инерциальные многообразия), теория устойчивости и теория бифуркаций; использованы также результаты линейной теории переноса В основе развитого подхода лежат принципы линеаризации и локализации, а также основные положения синергетики.

Научная новизна и практическая ценность работы:

- сформулированы условия существования глобального (сильного) решения и условия существования локального решения для исходной нелинейной распределенной системы уравнений в ограниченных средах, где перенос описывается многоскоростным газокинетическим (интегродифференциальным) уравнением или его миогогрупповым диффузионным (Рг)

приближением; доказаны соответствующие теоремы существования (несуществования) глобальнь решений в выбранном функциональном (фазовом) пространстве;

- исследованы свойства операторов и решений исходной нелинейной задачи, включая свойс положительности решений в некоторых банаховых пространствах с положительными конусами;

- сформулированы и доказаны теоремы существования и свойства решений нелинейн стационарной задачи, отвечающей исходной нелинейной задаче, включая свойства положительно и условия существования ведущего собственного значения;

- доказаны теоремы полноты собственных (корневых) векторов в общем случае; указаны услов существования базиса Рисса;

- установлено существование счетного множества простых вещественных собственных значеви и отвечающих им собственных элементов из некоторых множеств конечномерных положителы конусов (конусов конечного ранга) в однородной среде;

- указана оценка спектрального зазора (расстояния между ведущим собственным значением остальным спектром) и установлено, в каких случаях базисные функции являются чебышевскими ( системами), что позволяет применять чебышевские методы ускорения сходимости;

- показано существование счетного множества точек бифуркации в случае однородной сре; рассмотрены вопросы о количестве, характере и устойчивости решений на некотором инвариантно множестве;

- проведен анализ спектральных свойств линеаризованной задачи и установлен принци линеаризации и спектр линеаризации (по В.И. Юдовичу) для исходной нелинейной зада установлены свойства гладкости нелинейной диссипативной полугруппы, разрешающей исходи задачу;

- сформулированы и доказаны теоремы о структуре спектра (точечного, непрерывног существенного) операторного пучка (обобщенного пучка типа М.В. Келдыша), отвечающег линеаризованной задаче, где спектральный параметр нелинейным (дробно-рациональным и/ил полиномиальным) образом входит в пучок; найдена асимптотика спектра задачи;

- доказана полнота корневых векторов (кратная полнота по М.В. Келдышу) и услови сходимости по ним в некотором функциональном пространстве; установлены условия существован (ио-положительность) ведущего собственного значения и отвечающего ему (единственного)элемент из положительного конуса;

- существенно уточнены спектральные свойства и асимптотические оценки в одномерно геометрии:

• Минимальность, полнота и базисность системы корневых векторов;

• Принадлежность операторного пучка классу вполне положительных операторов;

• Существование счетного подмножества простых вещественных собственных значений и отвечающего ему множества собственных элементов, обладающих осцилляционными свойствами (ряды Маркова);

- установлены условия существования (обобщенный метод Мельникова) гомоклинической етерокишшческой) точки трансвсрсального пересечения (локальных) устойчивого и неустойчивого нвариантных многообразий для некоторого семейства абстрактных эволюционных уравнений бобщенная теорема Биркгофа - Смейла); эти условия проверены для исходной нелинейной задачи; формулировано утверждение: трансверсальная гомокляническая (гетероклиническая) траектория орождает хаос («дипамический реакторный хаос») в бесконечномерном фазовом пространстве;

- доказано существование инвариантного гиперболического множества, топологически квивалентного подсдвигу конечного типа (канторова множества, топологически эквивалентного одкове Смейла);

- проведен анализ экспериментально наблюдавшегося перехода к «реакторному хаосу» через оследовательность бифуркаций удвоения периода (универсальность Фейгенбаума) как общего войства (модельных) нелинейных систем, приближающихся к гомоклиническому касанию стойчивого и неустойчивого многообразий некоторой периодической орбиты (неподвижной точки);

- установлены условия существования инвариантных экспоненциально притягивающих онечномерных многообразий - инерциальных многообразий для исходной нелинейной задачи с омпакгной (квазикомпактной) полугруппой и нормальным гиперболическим множеством;

- проведен анализ основных свойств инерциальных многообразий; сформулирован принцип ведения, проверено спектральное условие (условие конуса) и установлено существование к-мерного нерциального многообразия для исходной нелинейной задачи (гипотеза Э. Хопфа); сформулирован елинейный динамический метод Галеркина;

- развитый подход распространен на семейства модельных задач, где перенос описывается в ногогрупповом диффузионном (Р]-) приближении; соответствующие результаты получены для ышеуказанного семейства моделей; рассмотрены возможности применения вышеизложенного одхода для более сложных нелинейных модельных задач.

Проведенные в диссертационной работе исследования, предложенные подходы и полученные результаты позволили развить и обосновать строгую математическую теорию нелинейных уравнений переноса. Тем самым осуществлен важный этап в развитии нового направления теории переноса -нелинейной теории переноса. Кроме того, изложенные в работе методы и подходы представляют самостоятельный интерес для общей теории нелинейных динамических систем и вносят определенный вклад в общие представления синергетики. Материал диссертационной работы, будучи в первую очередь теоретическим исследованием, является основой для формулировки конкретных вычислительных алгоритмов и решения актуальных практических задач в

соответствующих областях физики и техники. С другой стороны, полученные в работе результаты поставленные вопросы могут являться основой для последующих исследований.

На защиту выносятся:

1. Качественный анализ свойств решений исходной нелинейной задачи, включ положительность решений в пространствах с положительными конусами и условия продолжимост (непродолжимосга) решений. Доказательство условий существования по крайней мере одно стационарного положительного нетривиального решения нелинейной стационарной задачи отвечающей исходной нелинейной задаче.

2. Анализ полноты корневых векторов стационарной (условно-кртической) задачи базисностъ системы корневых векторов и условия сходимости разложений; некоторые тонки свойства спектра в случае одномерной геометрии - знакорегулярность, существование счетног множества простых вещественных собственных значений; конструктивная оценка спектральпог зазора, обоснование чебьппевских методов ускорения сходимости вычислительных алгоритмов.

3. Обоснование метода линеаризации применительно к задаче устойчивости стационарн] (периодических) решений исходной нелинейной задачи. Исследование структуры спектр линеаризованной задачи; метод исследования операторного пучка с нелинейным вхождение спектрального параметра; теоремы полноты (кратной полноты по М.В. Келдышу) корневых векторо и условий сходимости; условия существования в спектре ведущего (крайне правого) собсгвенног значения и оценка спектрального зазора. Спектральные свойства и асимптотические оценки д собственных значений и элементов в случае однородной среды.

4. Условия существования гомоклинической точки трансверсального пересечения (локальных) ..устойчивого и неустойчивого инвариантных многообразий (обобщенная теорема Смейла -

Биркгофа); существование инвариантного гиперболического множества, топологически эквивалентного подедвигу конечного типа для исходной нелинейной задачи. Доказательство существования инвариантных экспоненциально притягивающих конечномерных многообразий -инерциальных многообразий; свойства инерциальных многообразий: липшицева непрерывность, экспоненциальная дихотомия, устойчивость и неустойчивость компактных инвариантных множеств.

5. Результаты по п.п. (1-4) для модельной нелинейной задачи, где перенос описывается в многогрупповом диффузионном (Рг) приближении.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы отражены в 42 публикациях.

Результаты исследований, изложенные в диссертации, по мере их получения докладывались на семинарах в следующих организациях: «ГНЦ РФ - Научно-исследовательский институт атомных реакторов»; ПЩ РФ - Физико-энергетический институт им. академика А.И. Лейпунского; Московском инженерно-физическом институте (кафедра прикладной математики, кафедра «Ядерные реакторы и энергетические установки»); Всероссийском научно-исследовательском институте по эксплуатации атомных электростанций; Научно-исследовательском и конструкторском институте энерготехники им. академика Н.А.Доллежаля; Научпо-исследовательском технологическом институте им. академика А.П.Александрова; Институте прикладной математики им. академика М.В. Келдыша; Санкт-Петербургском техническом университете; Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН; Ульяновском государственном университете; Ульяновском государственном техническом университете; Новосибирском государственном университете; Институте математики СО РАН; Факультете вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В. Ломоносова.

Основные результаты диссертации докладывались на следующих научных форумах:

• XXXTV ежегодная научно-техническая конференция МИФИ. Москва, 1988 г.

• Третья Международная научная конференция Ядерного Общества России. С.-Петербург, Россия, 1992 г.

• 7-ой Европейский Симпозиум по моделированию (ESS'95), Эрланген - Нюрнберг, Германия, 1995 г.

• 12-ая Международная конференция по моделированию (SI'95), Феникс, Аризона, США, 1995 г.

• Международный семинар «Days on Diffraction», С.-Петербург, 2005 -2008 г.г.

• 10-е Харитоновские чтения.г. Саров, 2008 г.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 8 глав, 29 параграфов, заключения и 3 приложений, а также содержит 12 рисунков и 498 библиографических ссылок. Общий обьем диссертации 372 страницы.

2. ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит обзор работ по методам нелинейной динамики и нелинейной теории переноса излучения и вещества, выделены возникающие здесь узловые вопросы. Во введении обоснована актуальность диссертации, определен предмет и цели исследований, приведено краткое описание содержания диссертации по главам.

(1)

В главе 1 «Нелинейная нестационарная система уравнений переноса» дана постановка задачи для общей нелинейной модели переноса излучения в размножающих распределенных средах. В рамках рассматриваемой модели определены основные операторы и установлены их свойства, для чего приведены необходимые сведения из теории операторов в банаховых пространствах (параграф 1 и Приложение 1).

В параграфе 2 представлена математическая модель (семейство моделей), в рамках которой функция распределения излучения (нейтронов) удовлетворяет газокинетическому уравнению переноса, ядерно-физические характеристики которого функционально зависят от температуры среды; температура среды в свою очередь подчиняется уравнению, записанному в общем виде, так что все встречающиеся на практике варианты являются его частным случаем12:

и

Г 4-1

Ы }

5=ДДх,г)+а(Г(1>0;ЛГ(х,1>,0);

Ы

начальные и граничные условия:

=АГв(х,в); Ск(х4,+0 =Си(х); * = 1,...,М;

Ц*,^ =Г0(хУ,

Ы(х, г>,/)| 1еГ = 0 У(о, п(х)) < 0. (3)

Здесь коэффициенты и ядра даются выражениями:

К(х, V,!; Г) = ЛГ, (х, и,Г) + Л: Дх, и, г/; Г);

д:,(х,1»,о';Г) = ^|ф:'Дх,1г,г)А'(®), *=1-М; (4)

/.1

ы

Функции (х,о;Г(х,Г)), р = 5,/,с; / = 1,...,г , характеризуются макроскопическими нейтронным сечениями; р - тип взаимодействия излучения (нейтронов) с ядрами 1-го нуклида, входящего в соста среды.

(2)

12 Крянев A.B., Шихоа С.Б. Вопросы математической теории реакторов: Нелинейный анализ. М.: Энергоатомиздат, 1983.

10

Система (1) - (3) описывает эволюцию во времени пространственно - энергетического коростного) распределения плотности излучения (нейтронов) N{x,v,t), пространственного спределения М групп запаздывающего излучения (нейтронов) Ck{x,t), к = \,...,М, и температуры еды T{x,t) в некотором (мультиплицирующем) объеме G с границей SG(s Г). Температура T(x,t) считывается от температуры окружающей среды; по физическому смыслу задачи (x,t)>0 VjreG,/>0. Далее предполагается, что Г(х,С)зО соответствует состоянию системы с (x,v,t) = 0.

Заметим, что операторное уравнение для температуры в системе (1) записано в достаточно бщем виде, позволяющем охватить практически все случаи переноса тепла в размножающих и едтяющих средах. Конкретизация линейного, вообще говоря, неограниченного оператора Л0 оответствует конкретизации способа и характера переноса тепла в различных частях объема G; онкретизация нелинейного оператора Q0(T:N) соответствует конкретизации характера выделения епла (энерговыделения) в процессе деления ядер делящихся материалов и (или) других актов ыделения тепла.

В качестве примера конкретизации нелинейного оператора QÜ{T\N) можно принять, что (см. (4)) 4(Г;Ю^ \dvKu^v,T{x,t))N{x,v,t). (5)

v

ростам, но важным примером конкретизации линейного неограниченного оператора Д можно читать оператор теплопроводности (типа диффузионного)

Д0Г s div{d(x)VT(x,!)}, d{x){n{x),VtT(x,t))+a{x)T{xj)\xtT = 0. (6)

Более сложный пример конкретизации оператора Д, доставляет распределенная активная среда, остоящая из технологических каналов, в которых тепло выделяется в результате процесса деления дерного топлива. В то же время система технологических каналов охлаждается с помощью жидкого еплоносителя, который прокачивается через активную среду в пространстве между епловыделяющими элементами12. Отметим, что в определение линейного оператора Д с областью пределения D( Д,) входят краевые условия на Г типа (6); они могут быть более сложными.

Система (1) - (3) представляет собой наиболее общее семейство моделей описания переноса излучения (нейтронов) и температурных распределений в неоднородных размножающих средах.

Далее предполагаются выполненными следующие условия относительно областей G, V, а также коэффициентов и ядер системы (1) - (3), которые не носят ограничительного характера. Условие 1. Пусть G с - ограниченная выпуклая область в трехмерном евклидовом

пространстве Ез с границей ГеС2;й(д:) - внешняя нормаль к Г в точке х еГ; V с Е,{х,,х:,х3} -

ограниченная область, причем для всех we К, 0<£<|u|<ti<°o, |с| = (d,2 + v] + v\)2, v,v = const

Область G может быть разбита на (N+1) подобластей G, поверхностями Г» i=î,..., являющимися поверхностями Ляпунова, гомеоморфными сфере и не пересекающимися между собо и Г.

Условие 2. Функции a(x),d(x),a(x)Jl{v),vlp(v),fil(v),fil(v),Kp('i',v'),p = s,f;l<=\,...,r; k = l,...,M представляют из себя неотрицательные измеримые в соответствующих областях определен функции, удовлетворяющие следующим условиям ограниченности и суммируемости: О < Л (V) < т, ; 0 < fil (у) < b[\ 0 < v'p(v) <п,;0< ft (v) < fk ;. 0<ап<а{х)<ам <«>;0<dm <d(x)<dM <œ; K'p(v,V) >Cp> 0 V(c,î)') s Vx V\ jdvK'pfvtf) = 1;

Y

i K;p = s,f;l=l,...,r;

V

m!,b't,nl,fk,a„,au,dm,dM,C'p,K = const«xi,k = l,...,M-

При xeG, функции a(x) = al(x),d{x) = dt(x), где al(x),di(x)eC(Gl) i = \,...,N. Функция a(x) e c'(r), ¡¡(1)>0деГ.

Пусть Ei, E2 - банаховы пространства с нормами j-j ,j|-|E , соответственно; A:EX -*£2 -оператор, действующий из Ei в Ег. Множества линейных замкнутых, ограниченных и вполне непрерывных операторов A:Et-*E1 обозначим через С{Е^,Ег), В{Е^,Ег) и QiE^E^), соответственно.

Относительно операторов |и[Е'Дх,и;Г), p = s,f,c; I -\,...,г, входящих в выражения (4), далее используется одно из следующих предположений.

Условие А. Нелинейные операторы |ii[s'/î(x,u;T):Z7(G;a)->It0(GxK), p = s,f,c;l = l,...,r, имеют производные Фреше \v^'pT(x,v\T)&B{L1(G\a),Lx,(G'><V)), липшицево непрерывные по Т, так что

<œ'Jr, -Г21М6>), = «тй < =0 r(e£j(G;a), / = 1,2. При любых фиксированных значениях reij(G;a) ЭДе'Дх.р;?) являются ограниченными измеримыми в ¿„(GxF) функциями и справедлива равномерная по Т е L2(G;a) оценка

О< а'яр <r;D S < <= const, (7)

причем хотя бы для одного I е {1,...,г} a'mf > 0 .

Условие В. Операторы |г>|Е'/,С*,г»;7'), р = $,f,c; I = l,...,r, представимы в виде:

(х, р; Г) = Щъ'р (х, в) + сг'р {х, V, Т), (8)

где функции |и|£'р(х,и;Г)е 1„(0хГ) удовлетворяют неравенству (7); ст' (х,ф,Т) - зависящие от (х,г>) е (бх К) линейные над /^(б;«) функционалы, такие, что

а1р(х,у,Т)=1с1х'а>1р(х,х\и)Т(х,у, (9)

с;

<а'р(х,х'- измеримые в области бх^хС функции с оценкой ^ск'\®'р(х,х'<1Ур1 = сотиС <оо

с

почти всюду в 0x7, к неотрицательные почти всюду на множестве вхУхС, р^з,/.

В параграфе 3 определено пространство ^22(С?) как прямая сумма соболевских пространств (С?/) функций/(х), определенных на О, и имеющих две производные на в,, суммируемых с

квадратом. Норма в W2{G¡) определяется как = |И1;,(с) +Х

8f

3

а2/

&

; здесь

производные понимаются в смысле обобщенных функций. Пространство W2(G) очевидным образом гильбертово, а из теорем вложения следует, что D(A0) с W2 (G) с C(G); здесь С* (G) - пространство непрерывных вместе с k-ой производной функций в G; C(G) з C°(G) •

Пусть А:Е]-уЕ2, E¡ - банаховы пространства с конусами ТС№). ' = 1,2. Оператор Л называется положительным, если ^K(.£i)c7t(£2). Замкнутое множество 1i(E)<zE назьшается конусом, если а(х) + /3(у) е %(Е) Vx,ye Х(Е)~, а,р > 0, и по крайней мере один из элементов х или -х (х*в,хеЕ) не принадлежит Х(Е). Конус ?C(I2 (G;a)) является нормальным и воспроизводящим'3.

Пусть оператор А е С(Е), D(Á) -Е, порождает С0-полугруппу V,(A), t>0. Для положительности полугруппы V,(A), т.е. V, (А)1С(Е) с ТЦЕ), / > 0, достаточно, чтобы резольвента

= {А) > 0 для достаточно больших 1. Лемма 1. Замкнутый линейный неограниченный оператор Aq : D(Aq)L2(G;a) системы (I)

обладает следующими свойствами: (1) £>(Д,) = ¿2(0;аг); (2) уравнение Аа/ = <р

однозначно разрешимо в О(А0); (3) существует положительный обратный оператор Д]4 еО^^С))^ В{Ь2(<3)); (4) оператор А0 положительно определен, т.е.

11 Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Физматгиз, 1962.

13

(Л/.Луу)^2!/!!^) v/e-°M>). 4 = const >0; (v)WG> ~ скалярное произведение гильбертовом пространстве L2(G).

Далее для определенности воспользуемся реализацией (6) оператора Аа. Введем опера диффузии / з -div{d{x)gradx}: D(J) L2 (G) с областью определения D(í), состоящей из множес функций fix) е Wf(G), для которых выполнено граничное условие из (б) и условия сопряжения поверхностях П, i=l, ...,N:

[/W]|r, = [/MÍ,_0 -I/Wlr,. ЛУ*

здесь — = d{x)(ñl(x),V:cf{x)) - производная по конормали к поверхности r¡ в точке х; Я (х) др.

внешняя по отношению к G¡ нормаль к ¡=/.....N.

Введем в гильбертовом пространстве L2(G;a) функций/(*}, квадратично суммируемых на весом а(х), линейный оператор A = -a"'(x)l: D(k)L2(G;a) с областью определения D{ состоящей из множества функций f{x) б W2{G\a), удовлетворяющих граничному условию из (б) условиям сопряжения (10). Установлена

Лемма 2. Линейный оператор А: D(A) -> L2(G;a) обладает следующими свойствами:

Л б C(¿2((J;úO), D(A) = L2(G\u); (2) V(z>e L2(G;a) уравнение Af = <р однозначно разрешимо

D(A); (3) спектр <т(Л) оператора А состоит из счетного множества изолированных точ

{-//,}, >0, j = 1,2,..., точечного спектра аДЛ.), расположенного на вещественной оси.

спектре &р{А) существует ведущее собственное значение {-//0}, которому отвечае

единственная (с точностью до нормы) собственная функция <рй е %,(L2{G\a)), такая, чт

vraiinf<p0(x) = h0(q>0) = const>0; (4) VRe¿>-/í0 существует RX(A), для которой справедлив «ft

оценка [яд(Л)}Ве,г((;с0 < (Re Я+ ,«)'• При этом оператор ЛЯ(Л) положителен (

оператор А является производящим оператором Co-полугруппы положительных сжимающ операторов т),(Л), I > 0, для которых справедлива оценка

||г),(Л)| £ехр (~МЛ (П)

II »«((.¡у:.»))

Введем в I,(GxK) операторы

¿ = (i»,VJ(-)> ¿(T) = (p,V1(.))+Hz',(x,ir,r(jr))(.); (12)

.

-0;

(Ю)

здесь Т(х) - некоторая фиксированная функция из 12(С;а). Свойства оператора I хорошо изучены2'3. С помощью оценки (7) установлено, что для любой фиксированной функции Т(х) е £2(0;а) оператор 1(Т) из (12) обладает аналогичными свойствами.

Лемма 3. Пусть выполнены Условия 1,2,А. Тогда для любой фиксированной функции Т(х) е £7 (р,а) справедливы следующие утверждения: (1) 1(Т)сС{12(вхУ)), £)(х(Г))= Д о(1{Т))= ^(вхУ); (2) \/(2>(д:,о)е ^(бхК) уравнение 1(Т)/ = <р однозначно разрешимо в О; (3) существует оператор положительный относительно конуса (¿2(ОхК)); (4) спектр

пуст; справедлива равномерная по Ге£2(0;сг) оценка

<(Ке1 + о-„)"', и = \Taiinf

(5) оператор 1{Т) является производящим оператором положительной С0-полугруппы

Введем операторы:

V

(?) / = (х, V, Т)/(х,т)), к=\,...,М + 1; (13)

V

ЦТ)/ = ЩЕ{х^;Т)/(х,у), /е^ОхУ); ДГ)/= £(Г)/+ (Г)/. емма 4. Пусть выполнены Условия 1,2,А и ТеЬ2(С;а) - фиксированная функция. Тогда:

а) 8г{т),ЦТ)ЛТ)£В(Ь2{ОхУ)),р=!,/-, ЗДбВ(£2((УхГШ<г)) к = 1,...,М; (Т) 6 В(12 (С X У), Ь2 (&, а)) (и) (Т)Ш2 * У)) £ Шг (С * V)), р = *,/;

^(т^ССх^стСС^СО)), * = I.....ЛГ,- ^,(ГШ£2(СхК))сК(А(0;«)),' <Ш) Р(т)8р(т)е

бе(1,(СхК)); ¿-'(Г)5,(Г)бе(12(ОхК))Д = 1,...,М + 1;р = ^/; (п) если а'тр>0 для какого-нибудь /(е {1,...,г}), то операторы Г'(Т),$р(Т) щ-положительны, р = (у) /•„(¿"'(Г)^ (2"))<1 и совпадает с ведущим собственным значением \ оператора (Г)| (здесь га (л) - спектральный радиус оператора А). При этом, можно считать, что авномерно по ТеЬ,(С;а) справедлива оценка ||£"'(Т)5,(7')|| ( Оператор

= в'- любая фиксированная функция, обладает следующ

свойствами: (а) &'(Г) е В(12 (в х V), 13 (в; а)); (в) 5(7Х(£2(<5* И) с ЗС(12 (0;а)). Введем в рассмотрение следующие линейные операторы:

^(ГоЛ)/ ^

/>->,/.* (14)

г ы к ы

6 4(0хК); Г0 € !,((?;«); / е ¿2(фа). Из свойств коэффициентов и ядер системы (1)-(3) установлена Лемма 5. Пусть выполнены Условия 1,2,А. Тогда УЛ'0(*,и)е/,2(£хК), Т11(х)е£1(С;а

фиксированных, операторы (Т^Ы^\)т(Г0, )Э'рГ(Г0,) е В(О;а), (<?хР))

С помощью Условия А найдено, что линейные операторы (14) являются производными Фреш

в точке (Г0Л) от нелинейных операторов 6'р(Т^, ¿(Г)А', )(Т)Ы, ^ (Г) /> = $,/;£ = 1.....М + 1

соответственно.

Аналогичные утверждения справедливы при выполнении Условия В. В главе 2 «Теоремы о существовании решений» установлены соответствующие теоремы существовании сильных решений исходной задачи (1) - (3) при выполнении Условия 1,2,А 1 Условия 1,2,В, соответственно. Установлены условия продолжимости и непродолжимости решени задачи (1) - (3) на всей временной оси.

Для этого введено в рассмотрение гильбертово пространств ^/"^¿2(СхК)х^2(0)х...х^2((7)х£г(С:;а) вектор-функций Ф = с0/{М,С,,...,См,Г} с обычнь определением нормы и скалярного произведения:

кА

Конус неотрицательных в Я вектор-функций обозначен через *К(Ю (в {к(12 (С х У)) X Х(Ь2 ((?)) х... X ?са2 (О)) х 2С(4((?;а))}); он является воспроизводящим и нормальным13.

Тогда исходную систему (1)-(3) запишем в виде абстрактной задачи Коши (АЗК) ^ = АФ(0 + Рт% I е Л, Ф(0и = фо е ДА Ф е Я. (15)

Здесь А:0(А)->Я - линейный оператор с В(А) = Лх12(О)х...х£2((?)х1)(^0); Л = £,-г, ,...,-гА(, Ай |; £(Ф(0): Я х Д Я - нелинейный оператор вида:

Рт)) = со1{Р0(Ф),Р](Ф\...,Рм(Ф),РШ1(Ф)Ь

м . (161 м

В случае конкретизации (6) оператора А„ в (15) он заменяется на оператор Л.

Под решением АЗК (15) на отрезке Д понимается вектор-функция

удовлетворяющая уравнению (15) на А. В параграфе 2 установлены важные свойства операторов А и Р(Ф) в Условиях 1,2Д и 1,2,В. В частности, в Условиях 1,2,А установлено: (¡) оператор А является производящим оператором Со-полугруппы сжимающих положительных операторов V,(А), !>0\ (и) нелинейный оператор Р(Ф) :Ях[0,оо) Я ограничен и имеет сильно непрерывную производную Фреше по Ф Рф (Ф) с оценками Липшица в каждом шаре 5„(ф0) = {фе?/':|ф-ф0||)(. <я}:

|пф,)-ДФ2)|[г </ЦФ, -ф^; ^ни

р.(Ф)|вм ¿С2(К); |^(Ф,)-#ф(Ф24г -ф2||„; (17)

/, с,,с2 (Я), с3 (Я) = со/иг < со; фр ф2 е5„(Ф0У,ФеЯ.

помощью этих свойств и теоремы о продолжении АЗК в банаховом пространстве доказана теорема существовании сильного глобального

решения задачи (1) - (3) (АЗК (15)) Ф(г) е зф

,оо)). Более

ого, в Условиях 1,2,А установлена устойчивость решения задачи (1) - (3) по возмущению оэффициентов и начальных условий системы, т.е. смешанная задача для системы (1) - (3) оставлена корректно.

В параграфе 3 АЗК (15) исследована в Условиях 1, 2, В и установлено, что в отличие от редыдущего глобальное решение уже может не существовать. Такое решение называется гепродолжимым в отличие от локального, которое существует на компакте [0,Ь] и может быть родолжено на более широкий интервал. Не исключается возможность того, что уход на

бесконечность решения задачи (1) - (3) по норме может происходить за счет ухудшепн дифференциальных свойств (по пространственным переменным), и норма решения может оставатьс конечной. Показано, что для задачи (1)-(3) такой сценарий невозможен.

Содержание параграфа 1 главы 2 составляют необходимые общие сведения о продолжимост решений АЗК типа (15) в банаховом пространстве.

В главе 3 «Качественные свойства решения нелинейной задачи» при некотор-дополнительных предположениях о характере ядерно-физических и начальных данных установлен! интересные и полезные свойства задачи (1) - (3).

Содержание параграфа 1 составляют результаты о положительности АЗК (15), полученные н основе обобщения известных теорем сравнения14. В параграфе 2 данной главы рассмотрен важнь вопрос о положительности решений задачи (1) - (3). В частности, указаны требования и коэффициенты и начальные данные задачи (1) - (3), при которых наблюдается положительное решений исходной задачи (АЗК (15)) для случая справедливости Условия А. Аналогичны результаты о положительности получены при выполнении Условия В, в частности, когда оператор |х)|£'р(х,г;;Г), р = 5,/,с;?=1,...,г, линейны по температуре. Отметим, что указанные результаты не требуют монотонности операторов сдвига по траекториям системы и поэтому легко проверяемы на практике.

Содержание параграфа 3 составляет рассмотрение вопроса о несуществовании глобального решения задачи (1) - (3) при выполнении Условия В. В частности, опираясь на свойство положительности решения Ф(0 АЗК (15) установлено, что решение уходит на бесконечность по корме пространства Я за конечное время (имеет «взрывной» характер) в условиях положительной обратной связи; дана оценка времени ухода через параметры задачи (1) - (3).

Заметим, что предлагаемый подход является достаточно общим и применим для широкого класса нелинейных (диссипативных) систем эволюционного типа с распределенными параметрами.

Глава 4 «Стационарная нелинейная задача» посвящена рассмотрению свойств нелинейной стационарной задачи, отвечающей системе (1) - (3):

= Д4^ (Т)И + (Т)М + X Л (Р)С,;

».1 (18)

гкСк = А-'^ {Т)М, А0Т = (7)^ * = 1 Параметр X. в системе (18) соответствует «эффективному коэффициенту размножения который используется в практических расчетах размножающих систем1'3. Отметим, что указанный способ введения спектрального параметра X является типичным, но не единственным. Все определяется удобством исследования возникающей при этом спектральной задачи.

" Сабаев Е.Ф. Системы сравнения для нелинейных дифференциальных уравнений и их приложения 8 динамике реакторов. М.: Атомиздат, 1980.

С помощью установленных в леммах 1-4 свойств входящих в систему (18) операторов удобно записать ее в следующем виде:

N = Г (/ + ¿'(Т-))!-' (Г)5р (Т)Ы = Х[С(Т)Ы г Xх А{Ы,Г);

Т = Л'^ДЖ а зд = йг(Т)+¿Л (Г), т 6 ¿2(0). (19)

»-1

В параграфе 1 главы 4 для задачи (19), рассматриваемой в пространстве Я = 12 ((? х Г) х ¿2 (б) вектор-функций <£(г) = со1{Ы,Т}, установлено, что эта задача при выполнении Условий 1,2,А имеет малые по норме в Н положительные (в соответствующем конусном пространстве X,(Я0) = ?С(£2 *П)* (С?))) решения при А > Яс, если функционал У(Л) > 0, или при X < Л0, если ./(Л) < 0. В соответствии с леммой 5 знак функционала определяется характером

температурной связи по сечениям процессов,

М) = {~К(0,п0) + Б1АО,^ + Хй%г(в,г,0)}т0)1^ .

Здесь п0(д:,р)(б ¿2(ОхК)), г0 го е определяются из решения линейной в

задачи

N = /Г!£(0)Л'; Г = Д," V, (0Ж, (20)

и им отвечает простое собственное значение Л = Яа> 0; й0 - собственная функция линейной краевой задачи = ¿^(Т^ + Х\Т)8;(Т0)А',Т„ е12(0), отвечающая Я = при Г„ =6>;здесь <•,•> -

скалярное произведение. Аналогичные результаты получены при выполнении Условия В. Случай J(Л) = 0 требует отдельного рассмотрения.

В параграфе 2 главы 4 продолжено рассмотрение нелинейной системы (18) и эквивалентного ей нелинейного операторного уравнения

№ = ¿(Ф(ЛГ))]У = ЯШ {Ы,Т} е 12 (С х К) о Я,. (0); (21)

здесь у?(Л,):5Го(0)->Х2(ОхК) - ограниченный, положительный, вполне (квазивполне) непрерывный оператор, дифференцируемый по Фреше, причем ,ДЛ.(6>) = £(#) е £>(£2(<?х П)-Очевидно, что уравнение (21) имеет тривиальное решение N - в при всех X, поскольку Л(в) = Поэтому при исследовании вопроса о существовании ненулевых решений уравнения (21) полезно ввести понятие точки бифуркации13.

Число называется точкой бифуркации уравнения (21) (оператора ДАО), если любому е>0

соответствует такое X, \Л-Л0\<е, при котором уравнение (21) имеет по крайней мере одно ненулевое решение Ы = причем ||М(А)|| 0 <£• Отсюда и из результатов М.А,

Красносельского следует, что каждое нечетнократное (в частности, простое) собственное значение

19

оператора ¿(9) является точкой бифуркации оператора JL(N) (21). В частности, - точка бифуркации операторного уравнения (21).

Параграф 3 главы 4 посвящен установлению существования у задачи (19) (системы (18)) условно-непрерывной ветви полусобственных векторов.

Решение Ф = col задачи (19) называется полусобственным вектором оператора

Я = [a(T,N),%{N,T)), если N ¿в. Соответствующее этому решению значение Я называется полусобственным. Говорят, что полусобственные векторы Ф - co¡(N,T¡ оператора Я образуют условно-непрерывную ветвь длины R, если для границы Г любого открытого в L,(GxV) множества цъО из шара ¡Л<|; s(0,l), существует такой полусобственный вектор Ф

оператора Я. что ЯеГ. Если R - любое число, то говорят, что ветвь имеет бесконечную дайну.

Установлено, *гго при выполнении Условий 1,2,А относительно коэффициентов и ядер задачи (1) - (3) отвечающая ей нелинейная стационарная система (18) имеет условно непрерывную ветвь полусобственных векторов бесконечной длины.

Содержание параграфа 4 главы 4 посвящено существованию стационарных решений исходной задачи (1) - (3). Вопрос о существовании нетривиальных стационарных, решений задачи (1) - (3) сводится к вопросу о существовании неподвижных точек оператора Я в конусе ?С(#0). При выполнении Условий 1,2,А задача (1) - (3) имеет по крайней мере одно положительное стационарное решение Ф, е co¡[N.,c'¡ ,...,с'м е ТЦЯ); при этом отсутствуют требования монотонности макроскопических сечений процессов. Полученные здесь результаты говорят о том, что если задача 0) ~ (3) удовлетворяет Условиям 1,2,В, то система, охваченная положительной температурной обратной связью, может работать на любом стационарном уровне мощности.

Затронутые в §4 вопросы тесно связаны с вопросами устойчивости стационарного решения задачи (1) - (3) Ф, е col{N,,c'¡ ,-,см,Т.}, чему посвящен параграф 5 главы 4. Из многочисленных определений устойчивости в общей теории устойчивости систем с распределенными параметрами рассмотрена устойчивость по норме, более удобная для нашей задачи. Стационарное решение Ф. задачи (1) - (3) (АЗК (15)) называется устойчивым (по Ляпунову), если по любому наперед заданному е>0 можно указать 5>0 такое, что для любых t > 0 решение Ф(0 задачи (I) - (3) (АЗК (15)) остается в шаре 8С(Ф.) с Я, если в начальный момент Ф0 е S¿(0,). Если, кроме того,

Цт|Ф(Г)-Ф.|зг =0 для любых Ф0 <=S¡(0,), (22)

то стационарное решение задачи (1)-(3) Ф. называется асимптотически устойчивым. Стационарное решение Ф, задачи (1)-(3) (АЗК (15)) называется устойчивым в большом (в области Я), если оно

стойчиво и условие (22) выполняется для всех начальных возмущений Ф0, таких, что Ф0 е Я. бласть Я в этом случае называется областью притяжения (аттрактором) стационарного ешения Ф..

Установлено, что если выполнены Условия 1,2,А и полугруппа Ц(А.), />0, отрицательного ипа, ¡'УДА)! <ехр(-ДД Рц >0, / >0, то область притяжения к Ф. непуста и содержит екоторый шар в % а стационарное решение Ф. задачи (1) - (3) существует и устойчиво симптотически; здесь А. - линеаризованный в окрестности стационарного решения Ф. АЗК (15) ператор.

Свойство оператора А, порождать Со-полугруппу тесно связано со структурой и свойствами пектра сг(А,) оператора А,; этому важному вопросу посвящена глава 6.

В главе 5 «Свойства оператора нелинейной стационарной задачи» продолжено исследование войств оператора стационарной задачи (18) для ряда практически важных моделей теории переноса, частности, для несамосопряженной условно-критической задачи второго рода (20) получен важный езультаг о полноте корневых векторов. Другая серия результатов позволяет уточнить и обобщить езультаты главы 4. Оказывается, можно выделить новый класс линейных положительных ператоров, который естественным образом возникает при спектральном анализе некоторых задач еории переноса. С его помощью установлен ряд важных свойств решений задачи (20), например, ринадлежность к системам типа чебышевской (Т-системам), свойство не повышения числа перемен ака, что весьма важно с точки зрения построения эффективных вычислительных алгоритмов, етодов ускорения сходимости и других прикладных вопросов.

Параграф 1 главы 5 посвящен установлению полноты корневых векторов условно-критической ачи второго рода, т.е. для оператора Ян (#)(= ¿(0)) • А именно, с помощью классической теоремы .В. Келдыша'5 при выполнении Условий 1,2,А (1,2,В) доказана полнота системы корневых кторов оператора Яы (в) (линейной в Яо операторной задачи (20)) в области я = {I: ЯеА > -ат}; ектр оператора Яы (в) (задачи (20)) в области Л е л является счетным, точечным, с предельными чками на прямой КеЯ = -ат. Более того, при выполнении Условия 1,2,А в точечном спектре ератора Як(8) существует положительный собственный элемент 1>0 е ?С(¿2(^х Ю) и отвечающее у простое собственное значение Л^ > ЯеЯ, > -сгр(Яц(в)), ¡=1,2,..., такие, что ^о 9<р0 е12(СхУ). Других собственных элементов, принадлежащих собственным

ачениям из <тг(Яц(в)), оператор Д„(#) не имеет.

ГохбергИ.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. М.: Наука, 1965.

21

Если же выполнен принцип детального равновесия для ядра КДх,с,г;,;Г) и условие четно для него, то система корневых векторов оператора Я „(в) (задачи (20)) в области Лея бу; составлять некоторый базис Рисса в Ьг (в х У )(Л0).

Интересно отметить, что в рассматриваемой постановке задачи оператор яы трактуется возмущение (в смысле МБ. Келдыша) самосопряженного оператора и'(в)§г(0)(ес,) впол непрерывным оператором 5(0). С этой точки зрения физической причиной, порождают существование положительного решения задачи (20), следует признать особые свойст мультиплицирующей среды Су с С.

Установленные результаты позволяют строить и реализовывать эффективные численн алгоритмы решения рассматриваемых задач. Прежде всего это относится к нахождению ведуще1 собственного значения ^ - центральной задаче математической теории переноса, и связанной с н

задачей оценки спектрального зазора ? =)Лц -Л,) > 0, /=1,2.....Установленная базисяость (по Рисе

системы корневых векторов задачи позволяет успешно применять эффективные методы ускорен сходимости, в частности, чебышевские методы ускорения сходимости.

Оказывается, что в ряде частных случаев, например, в однородной среде, спектральнь результаты §1 можно существенно уточнить, чему посвящен параграф 2 главы 5. Поскольк постановка задачи носит общий характер, рассмотрена абстрактная задача на собственные значения банаховом пространстве Е с конусом %(Е)

Я'(в)<р=;А<р,<р£Е-, ■ (23)

причем Я'{вуК(Е)сЦ(Е) и Л'(#)е<2(Е). Здесь Я'(в) - производная по конусу %(Е) оператор Я(<р), Л((рУК,{Е) с %{Е), где Я(1р)~Х(р - некоторый абстрактный аналог условно-критическо задачи (18).

В главе 4 установлено, что если Х(в)е<2(Е) и ио - положителен (это так, например, Условиях 1,2,А), то задача (23) имеет единственное простое позитивное полусобственное значени Лц, которому отвечает единственный положительный полусобственный элемент <р0 е 1С(Е) Очевидно, что в общем случае возможны другие полусобственные значения в спектре оператор Я'(в), которые также могут являться точками бифуркации задачи Д<р) - Лср. Для исследования этого случая при малых по норме в Е <р считаем справедливым представление13

Мр) = М0) + Св(р) + С,(р); (24)

здесь С0{(р) - однородный оператор порядка а> 1, т.е. С0(г^з) = г"С0(р),/е(-да,-ко); С,((») -оператор более высокого порядка по сравнению с а, т.е. ||С!(р)|| 30(|И£).0(||р||,;)/?>я ->0 при

Хорошо известно16, что в ряде случаев в точечном спектре ар(я'(в)) оператора Я'(в) можно установить существование счетного (конечного) множества простых вещественных собственных значений с соответствующими собственными функциями, которые в общем случае не являются положительными, т.е. ср1 етс(£), = 1,2,.... Известны классы линейных положительных операторов,

для которых устанавливается наличие не одного, а целой группы ведущих собственных значений. Один из таких классов образуют знакорегулярные (осцилляционные, квазизнакорегулярные) операторы16, для анализа которых применяется теория конусов.

В параграфе 2 главы 5 установлены тонкие результаты о детальном поведении решений задачи Я{<р) = Л<р, Я'{в)€ {классу вполне положительных (ВП), осцилляционных операторов} в окрестности точек бифуркации и в условиях (24) в зависимости от знака функционала = = ^-собственный элемент, которому отвечает собственное

значение Я' оператора Я'* (в), ] = ОД,.... Основным результатом здесь является появление нового класса решений - инвариантного множества Т}(Е), такого, что т](Е) л ?С(£) = Ф ;впервые для задач теории переноса оно было введено автором, близкие результаты для задач эллиптического типа получены МЙапо.

Если J(¡{<p'J) = 0 при каких-то Я = Я*, у = 0,1,2,..., то вопрос о количестве и характере решений задачи Я{<р) = Л<р на множествах 7С(Е),ц(Е), зависит от вида оператора более высокого порядка малости, нежели чем С^ф) в представлении (24), и проводится по той же схеме с введением функционала катастрофы первого порядка. Тем самым, продолжая процесс, решаем проблему существования и количества стационарных решений эволюционного уравнения с оператором Я(<р).

В параграфе 3 главы 5 изложены общие результаты о точках бифуркации для бифуркационного уравнения общего вида

1и-Яи + Т(Л,и) = 0, А е С, и е Е, (25)

полезные для нас далее, которые имеют также самостоятельный интерес. Здесь: I: Е Е -линейный замкнутый неограниченный оператор; £ = 1-Я0/: £>(£)-»£ - линейный оператор

16 Гантмахер Ф.Р., Крейн М.Г. Осцилляционные матрицы и ядра и малые колебания механических систем. М.-Л.: Гостехиздат, 1950.

Фредгольма, Я0 - изолированное собственное значение оператора Ь; Т(Л,и):Схв -> Е нелинейное отображение, 9 - окрестность нуля в Е; X - спектральный параметр; f(Я,u) е с'(С,в) множество всех непрерывно дифференцируемых по Фреше (по и и X) отображений. Нас интерес} нетривиальные решения бифуркационного уравнения (25). Сводка основных результатов о спек замкнутого оператора представлена в Приложении 1.

Известны две основные серии результатов, относящихся к проблеме бифуркации (не обязательн для уравнения вида (25))'3: (1) при соответствующих условиях всегда возникает бифуркация, есл кратность собственного значения Л^ оператора £ нечетна (такой подход реализован выше параграфе 2 главы 5); (2) ничего не предполагается относительно кратности Л^, но предполагаете

что оператор Т(А,и) есть градиентный (потенциальный) оператор. При установлении этих дв серий результатов не подчеркивалась связь между ними.

В параграфе 3 главы 5 установлено, что обе серии результатов являются специальными случаям более общего геометрического принципа, а именно: если определенное касательное векторное поле зависящее от Т(Л,и), на единичной сфере в 'Н*°, а > О, имеет нуль, то возникает бифуркация; здес( СЧ*а - обобщенное нуль-пространство оператора £. Интересно, что эта связь исчезает явно пр ¿ = £\

Изложенные в §3 результаты применены для рассмотрения нелинейной стационарной задачи (18), отвечающей исходной системе (1) - (3). Введение спектрального параметра X можно осуществлять технически различными способами (но разумными в рамках физического содержания рассматриваемой задачи). Выбор того или иного подхода определяется возникающими сложностями технического характера, иногда трудно преодолимыми. Предлагаемый подход продемонстрирован на двух достаточно простых примерах в §4; показано, что один из них приводит к более простому техническому анализу нелинейной (по X) задачи. При рассмотрении более сложных спектральных задач, например, с полиномиальным и (или) дробно-рациональным вхождением параметра X, отличие в различных подходах может бьпъ весьма существенным и в результате может приводить к успешному анализу, что продемонстрировано в главе 6.

Глава 6 «Свойства линеаризованной задачи» посвящена исследованию свойств линеаризованной задачи, отвечающей исходной системе (1) - (3). Основанием для такого анализа являются теоремы существования, установленные в главе 2, и общий принцип линеаризации, примененный для абстрактной задачи Коти (15), который, в свою очередь, опирается на результаты исследований решений стационарной задачи, отвечающей исходной системе (1) - (3), установленные в главах 4,5. Такая постановка задачи естественным образом приводит к изучению спектральной задачи дм операторного пучка с нелинейным, полиномиальным и(или) дробно-рациональным,

вхождением спектрального параметра X и непустым существенным спектром достаточно общего вида

Л(Я)(г>0 = О, А(Я) = 1 + £Я"С„ + ]Г(Я + а>Г'Л,, и < со.

(26)

Здесь С„, Л, е сг„; а» * 0, о, # ау, ],к = 1,..., т; 5 < 2; определение пространств сг^, 1 < р < оо, дано в

§ 1 главы б. Поскольку теория спектральных задач с произвольным вхождением параметра X далека от завершения, исследование возникающих в теории переноса модельных задач, приводящих к операторным пучкам вида (26), представляет самостоятельный интерес и задача сформулирована в абстрактной форме. Исследование существенно усложняется, поскольку входящие в (26) операторы в общем случае являются несамосопряженными и имеют сложную структуру спектра.

В параграфе 1 главы 6 введены необходимые основные понятия и определения теории операторных пучков; сводка основных результатов для полиномиальных операторных пучков, которые носят законченный характер, представлена в Приложении 2.

Для семейства операторных пучков вида (26) воспользуемся определением цепочки собственных присоединенных к ним векторов и соответствующих собственных значений (по М.В. Келдышу) и

ведем пространство Г""|©Гг

и вектор-функцию йе V*", и =со/{р,^0,...,(е,„},

(1 = -Л~>; за'1, ат0 =0;

Я, = (/ - В) 2 акАк (/ - В)

В параграфе 2 главы 6 изложен метод сведения операторного пучка (26) к операторному авнению с линейным вхождением спектрального параметра вида

(ш=Ай, и е Ь . десь А - линейный в Ь"*1

(27)

оператор из класса операторов Радона-Никольского;

Я =

Н Щ

Щ

и? о

№

о о

I \

Н1 о

л

о;

(л

Рк - оператор проектирования на подпространство Ек = Д Щ

\

я0 = (/ - ву с2 (I - В)~г; Н=(/ - ¡с, + £ V/ - .

V М )

Результаты анализа операторного уравнения (27), а значит, операторного пучка (26), содержат в следующей теореме.

Теорема I. В условиях формулировки операторного пучка (26) (значит, уравнения (27)) справедлив следующие утверждения: (а) спектр оператора £) состоит из точек ак,к = 0,1,..,, т, и только них. Кратность собственного числа ак совпадает с размерностью подпространства Ек с V" (Ь) существенный (предельный) спектр операторов А и £) совпадает; (с) существенны (предельный) спектр оператора А состоит из нуля и тех точек ак, которым соответствуюг бесконечномерные подпространства Екс.1Гк = й,\,...,т; (¿1) спектр оператора А являете точечным, счетным с предельными точками (точками накопления) в ак,к-0,1,...,т. Точечны спектр сгДЛ) оператора А определяется оператором Я. Собственные подпространства

отвечающие точкам точечного спектра, конечномерны и, если к нормален, ортогональны.

Параграф 3 главы 6 посвящен исследованию свойств линеаризованной задачи, отвечающе* исходной системе (1) - (3). В главе 4 для нелинейного эволюционного уравнения достаточно общег вида (15) определена достаточно гладкая нелинейная (частичная) полугруппа V,, которую порождав оператор А + Е(Ф) при Условии А (соответственно, при Условии В). В соответствии с общи принципом линеаризации АЗК (15) поставим в соответствие линеаризованную в некоторо" окрестности ы. (= {х, г;),с* (*),...,с]^ (*),7". (*)}) стационарного решения задачи (15) (дале рассматриваем Условие А) задачу

^ = (28)

= А + ->Я, £>(£) = О(А). Здесь Ч1Л -банахово

пространство, состоящее из элементов О(А) с нормой Ц^ = ;

Щ) = со1{ч/(х,ю, 0,1//, (х,0,...,1//м (х,0\ А = сИа§{- Д-г, ,А};

В--

АТ.) г,/(О)

О

о 5;ГСГ.,ЛГ0

3„(Г.) О ... О ^„.(Г.Л) (,5г(Г.) О - о

Математическая корректность процедуры линеаризации АЗК (15) и постановки задачи (28) обеспечена существованием неподвижных точек оператора стационарной задачи (15), а также существованием у оператора Ё(Ф): К х [0, со) Н сильно непрерывной производной Фреше по Ф, липшицевой в некотором шаре Як(Ф)(с Я), Л > 0. Установлено, что в Условиях 1,2,А полугруппа V, (Я0 ), Д, = Л + Р(Ф), имеет неподвижную точку Ф, с Я, т.е. V, (Я0 (Ф.)) = О V/ > 0, и Т, (£) = ВЦ (Я0 (Ф,)) - сильно непрерывная линейная на .^полугруппа класса Со (теорема Хялле -Иосида - Филипса). Соответствующие результаты получены также в Условиях 1,2,В. АЗК (28) поставлена в соответствие задача на собственные значения 1р~1р,£ = А + В:Э{А->Я,реЯА, (29)

области Лер[=\1:-ат <НеЯ<|.в|| * -сгт,Л * -гк,к = 1,...,Л/|);

р =со1{<р,1(_х,у),д>1(х),..:,ри(х)}. Для последующего анализа рассмотрена вспомогательная задача ледующего вида

% =К<р0, д>а е й{Мг) с Ьг(Ох V), (30)

оператором Мл = 1~л] Щ) е {?(£2 (О х У)), Я е 5У"(= {Я: Яе Л > -<тя, Я * ат, Я ф -гк ,к = 1,..., М}); „

;, еЯ/+£; 5(Я) = 5, + 5,- + . Задача (30) имеет самостоятельный интерес,

ы

оскольку соответствует линейной задаче переноса излучения (нейтронов) с учетом запаздывающего злучения. Результатом анализа с помощью лемм (1-4) операторного пучка Мх (30) является важная еорема о кратной полноте корневых векторов.

еорема 2. Пусть выполнены Условия 1,2,А. Тогда в области Яе5У система корневых векторов ператорного пучка (30) (задачи (29)) (М+1)-кратно полна в пространстве ¿¡(бхК) с некоторым овым скалярным произведением (Щ, топологически эквивалентным исходному. Спектр задачи влиется точечным, счетным, с предельными точкти -2к,к = \,...,М,-ат и (-со). Собственные

одпространства, отвечающие точкам из <т;,(А/Д Я е N, конечномерны.

Более того, обращая дифференциальную часть оператора МА, задачу (30) удается свести к виду

6) с оператором А(Я) при т=М, .1=1, что позволяет применить теорему 1 и установить;

(¡) характер и структуру спектра спектральной задачи (29); (н) условия существования ведущег собственного значения задачи (29) и сопряженной к ней, которому отвечает единственны собственный вектор из конуса ?См+] (12 (р х У))(Км*1 (¿2 х П))-

Вышеуказанные результаты в соответствующей формулировке установлены в Условиях 1,2,В. В параграфе 4 главы 6 в частном, но важном случае однородной среды результаты теоремы существенно уточнены.

Теорема 3. В условиях теоремы 2 система корневых векторов задачи (30) (пучка Мх), минимальна полна в Н¡. Более того, для всех = 1,...,М]

справедливы утверждения. (1°) В случае однородной среды система корневых векторов пучка М образует ортогональный в Я, базис. Для любых векторов /г еЯ,,г = 0,1,...,Л/, безусловно сходятс

(М+1)-кратные разложения со скобками по набору последовательностей {я^"}", гд

у]}", v = ОД,..., М - набор собственных и присоединенных функций задачи (30). (2°) Операторны

пучок Мк, /¿6 г], принадлежит классу т](Ь2(СхУ}) операторов и обладает (квази осцилляционными свойствами; все собственные значения ц являются простыми, вещественными образуют счетное множество; система отвечающих им векторов образует ряд Маркова.

Опираясь на результаты, полученные для вспомогательной задачи (30), установлен важнь результат для спектральной задачи (29).

Теорема 4. Пусть выполнены Условия 1,2,А. Тогда спектр задачи (29) состоит из собственны значений конечной кратности, симметричен относительно вещественной оси и имеет предельны точки -гк ,к = 1,...,М, и, возможно, на прямой КеЛ>-сти. Для достаточно больших X вс собственные значения, за исключением, быть может, конечного числа, попадают в облает

/и\АеН,А111 где е>0 - произвольное достаточно малое числ

Система корневых векторов задачи (29) полнав Хм+2(= 12(0;а)х Я, х...хЯЛ).

В рамках теоремы 3 установлен также важный результат об асимптотике спектра оператора спектральной задачи (30), из которого вытекает существование счетного подмножеств ар{С) сар(£), Яе//5„(с р), состоящего из простых вещественных чисел Хк, к =1,2,.... При это не исключается, что часть множества <тр(£) может находиться в области КеЯ<-сг;я, но они н участвуют в формулировке теорем 2,3. Более того, в случае однородной среды получен двусторонние оценки асимптотического спектра.

В заключение главы 6 приведено несколько полезных замечаний и выводов. Прежде всего, сомненный интерес представляет рассмотрение операторного пучка Мд (30) в случае М=1 (одной уппы запаздывающего излучения (нейтронов)); тогда его можно записать в следующем виде

от абстрактный пучок известен и достаточно хорошо изучен. Для пучка М возможен детальный и лный анализ, основным нетривиальным фактом здесь является принадлежность пучка М (задачи

0)) к типу так называемых сильно демпфированных систем (в теории колебаний механических 1стем изучаются квадратичные пучки такого типа).

Остановимся на физической трактовке полученных результатов для задачи (30) (пучка hiр), s3V. Рассматривая нашу задачу в случае M=l по аналогии с демпфированными колебаниями ханических систем, сделан вывод, что роль внутреннего сопротивления играет запаздывающее лучение. Существует счетное множество нормальных колебаний, которые представляют собой ериодические движения; периодических колебаний нет. Нормальные колебания образуют ухкратно полную систему. Не существует сколь угодно быстро затухающих апериодических ижений (jt—*0). Особо отмечается, что при наличии запаздывающего излучения множество 5V егда не пусто.

Другой вывод касается принципа линеаризации - теорема 4 определяет структуру и спектр тойчивости (по В.И. Юдовичу) стационарных решений исходной системы (I) - (3). Если спектр тойчивости расположен внутри левой полуплоскости комплексной плоскости, то стационарное шение устойчиво (асимптотически устойчиво). Если хотя бы одна точка спектра устойчивости одится внутри правой полуплоскости, то стационарное решение неустойчиво. Если в правой луплоскости нет точек спектра устойчивости, но они имеются на мнимой оси (критический учай), то нельзя сделать заключение об устойчивости, ограничиваясь линейным приближением м. Гл.5). В конечномерном случае эти утверждения составляют содержание известных теорем A.M. пунова. В главе 6 эти теоремы установлены для одного класса бесконечномерных уравнений, ючающих интегродифференциальный оператор переноса и параболический оператор, т.е. для самосопряженной системы уравнений в частных производных смешанного типа. В этой связи обходимо отметить, что оператор переноса, вообще говоря, не относится к классу классических авнений математической физики (например, уравнения параболического типа, волновые авнения, уравнения Навье - Стокса и т.д.).

Глава 7 «Инвариантные многообразия и нелинейные свойства решений» посвящена ссмотрению нелинейных явлений и свойств решений исходной задачи (I) - (3). Анализ нелинейной ссипативной системы уравнений (I) - (3) проведен на основе результатов, полученных в

предыдущих главах, с использованием данных о характере и структуре спектра линеаризовали задачи (28), а также с привлечением понятий теории гиперболических множеств, теории бифуркац и притягивающих инвариантных множеств.

В параграфе 1 главы 7 даны необходимые понятия и определения, в частности, устойчивые неустойчивые инвариантные (локальные) многообразия, притягивающие множества (аттрактор квазиаттракторы), гомоклинические и гетероклинические траектории, а также некоторые др] необходимые результаты теории бесконечномерных диссипативных динамических систем.

Параграф 2 главы 7 посвящен рассмотрению в вещественном банаховом пространстве абстрактного эволюционного уравнения

~ = Д,(и) + 4 (и;0, »('.) = «.. * * 0; (31)

at

неавтономное слагаемое Л,(м;0 = Л,(ы;Г + Г) периодично по t с периодом Т(>0). Класс исследуемь задач определен с помощью системы условий (Al) - (А5). В качестве частного случая он включает себя системы квазилинейных уравнений в частных производных с линейной главной частью возможно, непустым существенным спектром.

(Al) (i) А:Е-+Е - неограниченный линейный оператор со всюду плотной область определения D(Â)(cE); Âq(u) = [Àu + È(u)]:E-+E - неограниченный нелинейный операто D(Â)(cz Е), порождающий однопараметрическую непрерывную полугруппу (группу);

(ii) нелинейные отображения В(н):£->£; Ât{u-,t):ExS' -+E;S' =<R./(madT), имеют кла гладкости С" ■ При этом, возможно, ¿(0) = 0, DB(0) = 0; D2B(0) = 0; DB{u) - производная Фреше точке и(е £); ||В(и, ) - В(щ )[| < L |к, - и21|, L = const > 0; и,, иг е Е ;

(iii) уравнение (31) порождает в ExS' локальный по времени полупоток (пото диффеоморфизмов F,", F,0 s F, ; F' определен для всех t s <R_ и достаточно малых е>0.

(А2) (i) Неавтономное слагаемое в (31) имеет вид Л,(ы;/) = A,u + H(t) + G(u;t), гд Д H(t) = H(t + Г), G(u;t) = G(u;t + T), T > 0, G(0;/) = 0 ;

(ii) линеаризованное уравнение

~^Âv + sÂtv + e(H(t) + G'(t))o (32)

dt

имеет Т-периодическое решение v{t, s), Vf > 0, причем Jv{t, г)|| = 0{e), A'=DA.

(A3) Для семейства операторов Â(s) = Â + eÂ,+sG'

(i) ст(Л(0)) = {А}и{р}и(г(1,сг(,=:{А:КеЛ = 0;Л*0},Л(>0),р(<0) - простые вещественны собственные значения оператора А(0) ;

(ii) <т(Л(е)) = {Xe}u¡/¿Jucrt, Ví>0; Xt, fie - простые вещественные собственные значения для остаточно малых е>0 и lim|A, -X¡+¡/jc — //[ = 0. Множество сг, состоит из точек спектра с трицательной действительной частью и с2е < {й&/(ехр(£Гс ),5)} < схе, где S - единичная окружность а комплексной плоскости; exp(ct) - образ аг, относительно отображения ехр: X ел, ехрс -> С ■

(А4) Состояние равновесия невозмущенного (ё=0) семейства операторов ДО) имеет омоклиническую траекторию ы0(г), т.е. Ити0(/) = 0, А(0)щеЕ для всех t е <Ц.. Предполагается, то при I ±® гомоклиническая траектория стремится к нулю, касаясь собственного одпространства £s(i(0)) оператора ДО), отвечающего собственному значению р. В свою очередь, ри f->-w м0(()0, касаясь собственного подпространства £„(Д0)), отвечающего собственному ачению X.

(А5) Предполагается, что существует кососимметрическая, непрерывная, слабо невырожденная, илинейная (симплектическая)форма П \ЕхЕ-*% и гладкая функция Л :£-><}{. такие, что (Д)(v),и) = Dh(v)u для всех veD(A), ие Е.

Если у автономной динамической системы имеется гомоклиническая траектория состояния новесия, то при малых по времени периодических возмущениях она может расщепиться с разовадием в ее окрестности «грубой» гомоклинической траектории гиперболической риодической орбиты. В свою очередь это означает существование у возмущенной динамической стемы нетривиального гиперболического множества, гомеоморфного канторову совершенному ножеству'7.

В §2 главы 7 показано, что в Условиях (Al) - (А5) для достаточно малых е>0 гомоклиническая етероклиническая) траектория 7 может расщепиться таким образом, что устойчивое W" и устойчивое W" многообразия периодической гиперболической орбиты ys, рождающейся из стояния равновесия невозмущенного (е=0) уравнения, будут иметь точку трансверсального ресечения. Для этого введены полупоток (поток) F' :ExS1 -*ExS\ порожденный уравнением 1), и П:£х5'->£ - каноническая проекция. Определено также отображение Пуанкаре для лупотока (потока) F' на сечении £x{f„} PJ =TÍ(F'(u,t0)), г0 е[0,:Г], причем Р° = О, Т -

риодическим орбитам F' отвечают неподвижные точки Р*. Пусть yc(t) = (u€{t),t) -риодическая траектория полупотока F^-yW^y^Wj^iyJ и W^Xy,) - устойчивое, сильно тойчивое и неустойчивое локальные инвариантные многообразия траектории ус. С помощью

мейл С. IIУ МН, 1970. Т.25. № 1. с. И 3-185.

модифицированного метода Мельникова установлено поведение и характер пересечения и ^«("Д'о)) ПРИ достаточно малых е>0. Для этого рассмотрена функц ДДг0) = П^ДиДО)),«*(/„)-а"(Г0)^; здесь иДг0) - точка трансверсального пересечения ^(м£(Г0)) некоторой гиперплоскостью М с Е коразмерности единица, проходящей через то ^о е {у0(0:/ез?.}зГ, = о0(0). Аналогично определяется точка Для функции АД?

установлена справедливость представления

со

АМ = ~/и(ф+0(г2\ //(/0)= /^(ДХ^-ОЙЫГ-О,/)), (33)

позволяющая вычислить первый член разложения ДД?0) по е; ,и(г0) - известная функц Мельникова. Суть данного подхода составляет обобщенный метод Мельникова.

Если Ь - линейное подпространство в Е, то X, = Г„Ж;"(0), Х„ = Г0Ж("ДО), где Т„ - касателыг подпространство к многообразию в точке V. Гомоклиническая траектория яД/) симметрична, ее ДВ(»0(О) = £>5(р0(-0) для всех / е ^. Основным результатом §2 является

Теорема 5 (обобщенная теорема Биркхофа - Смеша). Пусть выполнены Условия (А1) - (А5) и фор, О невырождена на подпространстве Если гомоклиническая (гетероклииическ

траектория v(¡(t) симметрична, фунщия //(?„) имеет невырожденный нуль, то при достаточ малых £>0 многообразия $"'(мДг0)) и йГ"{иг{^)) неподвижной точки иДг0) отображения , имеют точку трансверсального пересечения.

В силу общности предположений установленное существование трансверсально гомоклинической (гетероклинической) точки пересечения влечет за собой существовал бесконечного, по крайней мере, счетного множества гомоклинических (гетероклинических) точ пересечения с различными траекториями.

Более того, сделан важный вывод: трансверсальные пересечения порождают хаос (в наши условиях); близкие результаты получены в работах18'". Указано также, что установление услови теоремы связано с исследованием конкретной модели динамической системы в соответствующи функциональных пространствах.

В параграфе 3 главы 7 рассмотрены примеры динамических систем, для которых установлен некоторые аналоги теоремы 5. Для этого исходная система (1) - (3) записана в следующем виде

+ + (34)

18 Лерман Л.М., Шильников Л.П. //Сиб. матем. ж., 1988. Т.29. №3. с.92-103. " На1е ¿К., Х'ио - В!ао Ып // Апп. Май. Рига Арр1., 1986. У.144. №4. р.229-259.

рей"; Т>0 - некоторый период; е>0 - малый параметр. Операторы В{д>) и 5(Г; р) = (£(/ +Г; рГ)) определены следующим образом:

ьт=со1{Рит.ш.....

I

Задача (34) порождает в N = %1{ш>&Т) локальный по времени диффеоморфизм Р',

который определен для всех Г е и всех е > 0, достаточно малых.

Класс задач вида (34) включает в себя системы уравнений смешанного типа: например, интегродифференциальные и параболические уравнения в частных производных с линейной главной частью и непустым существенным спектром, включая, возможно, континуум непрерывного спектра. Системы подобного типа трудны для анализа, поскольку в общем случае сложно установить структуру и характер спектра; дополнительные трудности возникают вследствие несамосопряженности задачи.

Опираясь на результаты предыдущего анализа, в частности, результаты спектрального анализа главы 5, в §3 главы 7 установлена справедливость системы Условий (А1) - (А5) для задачи (34) при некоторых уточняющих условиях гладкости. Основным результатом такого анализа является Теорема 6. Пусть выполнены Условия 1,2,А и форма О невырождена на подпространстве £ц ФI,, т.е. функция Мельникова (33) имеет простые нули и не зависит от £>0. Если гомоклиническая траектория £0(О симметрична, то устойчивое ^'"("Д'о)) и неустойчивое й^"(к£(/0)) инвариантные многообразия неподвижной точки м((/0) отображения Р' имеют точку трансверсального пересечения, т.е. * ® при достаточно малых е>0.

Значение данного результата обусловлено возможностью конструктивной проверки существования трансверсальных гомоклинических (гетероклинических - в общем случае) орбит для конкретных динамических систем. Из факта существования таких орбит, в силу теоремы Смейла -Биркхофа, следует, что некоторая итерация Р,' отображения Пуанкаре имеет инвариантное гиперболическое множество - подкову Смейла. Это множество содержит счетное множество (неустойчивых) периодических орбит, несчетное множество ограниченных непериодических орбит и плотную орбиту. Представляет большой практический интерес чувствительность к выбору начальных данных, которую придает подкова полупотоку для данной динамической системы.

Фактически анализ хаотического поведения для конкретных динамических систем включает в себя идентификацию гиперболических инвариантных множеств, что должно являться предметом

отдельного исследования. В §3 главы 7 с помощью теоремы 6 и на основании гомоклиническ теоремы Смейла получен важный результат.

Теорема 7. Пусть выполнены Условия теоремы б и Р' -диффеоморфизм, порождаемый задачей ( (системой (1) - (3)), для которого существует гиперболическая неподвижная точка p. Toc существует е(>0), такое, что («,(*<,)) = q * р и Р' обладает гиперболическ

инвариантным множеством А, на котором Pf топологически эквивалентен подсдвигу конечн типа.

Поскольку нуль-мерные гиперболические множества топологически сопряжены подсдвиг конечного типа, то из теоремы 7 вытекает существование нуль-мерного множества Л, т.е. кантор совершенного нигде не плотного множества, топологически эквивалентного инвариантно множеству подковы Смейла.

В качестве одного из следствий теоремы 7 сделан вывод о возможности введения Маркове разбиений для описания динамики инвариантного гиперболического множества Л. Более toi опираясь на результаты главы 4, на марковских разбиениях предлагается ввести топологическ марковские цепи, которые являются удобным инструментом для структурного гяш притягивающих множеств (аттракторов, квазиаттракторов) диффеоморфизма Р'8.

В параграфе 3 главы 7 указан также практический пример хаотического нерегулярн поведения реальной динамической системы, описываемой задачей (1) - (3).

В результате анализа экспериментальных данных была построена модель и дана теоретичес трактовка последовательностям бифуркаций удвоения периода в некотором однопараметрическ семействе при изменении параметра (мощность, давление). Эти последовательности обладш структурой универсальных последовательностей Фейгенбаума, в том числе, масштабн инвариантностью. Установлено, что переход к «хаосу» через последовательности бифуркац удвоения периода является общим свойством рассматриваемых нелинейных диссипативных сист приближающихся к гомокпиническому касанию устойчивого и неустойчивого многообраз некоторой периодической орбиты (неподвижной точки).

В качестве более простого примера динамической системы в заключение §3 рассмотре известное уравнение типа синус-Гордон с нулевыми граничивши условиями Дирихле на отре [0,1], которое возмущено внешней периодической силой и силой вязкого трения. В форме систе уравнений первого порядка оно имеет вид

= = ¿'Чх + sin м + 8р + f(x)s¡n(<v/)),

oí Sí v")

u(x,t0) = <p(x); p(x,t0) = ty(x), S > 0, s > 0, с £ 0; f(x) - заданная гладкая функция. Проверка условий теоремы 5 для системы (35) говорит о том, при достаточно малых s>0 она будет иметь грубую гомоклиническую траекторию гиперболическ

34

периодической орбиты, если у функции Мельникова /j(t„) существует невырожденный нуль. В случае f(x)sf = const невырожденный нуль существует при условии

J 1 +1)"» sinf—arccA(f/D)]lni(Vi4T+ll^+l - if 1 > p-i \ЖР° ) L

> гя-'&р2/-1^"1 -arctgp\ p = ^(ж)-2 -1.

Параграф 4 главы 7 посвящен исследованию условий существования и анализу свойств инвариантных экспоненциально притягивающих конечномерных многообразий - инерциальных многообразий для исходной задачи (1) - (3). В последнее время интенсивно обсуждается эффект «конечного» поведения решений диссипативных эволюционных уравнений при I -» +°о20. В ряде случаев такое поведение решений определяется динамикой на некотором инвариантном (F,A = Я)

конечномерном (гомеоморфном Ч^) многообразии Я с Е. В известном смысле это обстоятельство позволяет свести уравнение (31) к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) в (гипотеза Б. Хопфа)21.

В §4 установлено, что в условиях (Al) - (А5) уравнение (31) обладает (универсальным) минимальным глобальным аттрактором (более точно - В-атграктором) ЯяЕ для нелинейной полугруппы Ft, который является основным объектом исследований22. Ввиду конечной размерности его исследование заключается во вложении в гладкое конечномерное многообразие % и если Ж инварианта о, то сужение векторного поля исходной системы на многообразие 9Л означает: (i) инерциальное многообразие содержит все компактные инвариантные множества уравнения (31), о позволяет свести описание таких множеств к соответствующей задаче ОДУ в %к; (ii) множество обладает свойством нормальной гиперболичности на Д что возникает при рассмотрении равнения в вариациях (32).

Инерциальное многообразие М является нормально гиперболическим на Д если существует азложение Е = Ти9Л® Nt% на подпространства, непрерывно зависящие от us Я - Здесь Ти9Л -асательное подпространство множества М в точке и(еЕ); N„% - некоторое дополнительное ко)подпространство в точке и(е Е). Касательные и нормальные пучки Я = {{u,v)sExE:u е Я,УеТ„м}-, NЯ = {(u,v) a ExЕ:и е Я,ъе Nu${} с необходимостью юложительно инвариантны с потоком, равномерно удовлетворяющим экспоненциальным оценкам я решений и{1) е Л:

0 Constaniin P., Foias С., Nicolaenco В., Temam R. Integral manifolds and inertial manifolds for dissipative partial differential quations. N.-Y. etc.: Springer, 1989.

1 HopfE.//Comm. Pure Appl. Math., 1948. V.I. p.303-322.

2 Ладыженская О.A. // Теорет. и мат. физика: Сб. обзорных статей. 3. Труды МИАН СССР. Т. 175. М.: Наука, 1986.

||н(0|| - ® exp(~At) ||а(0)|| на Nfi для всех />0;

]|ы(0| ^ asexp(-/d)]|и(0)| на Tfl для всех i < 0; я = const >0; 0 </л < А.

Таким образом, в условиях (Al) - (А5) уравнение в вариациях (32) допускает экспоненциалы! дихотомию. Идея данного понятия состоит в том, что множество Ш испытывает сжатие нормальном направлении сильнее (Зс>ц), чем в касательном. Как следствие нормальн гиперболичности в условиях (Al) - (А5) установлен принцип сведения: компактные инварианта множества Ж уравнения (31) и множества iti соответствующей системы ОДУ устойчивы неустойчивы одновременно. Поэтому существование инерциального многообразия <Я мож рассматривать как динамическую версию метода Галеркина.

В параграфе 4 главы 7 указаны достаточные условия того, что уравнение (31) облада инерциальным многообразием. Эти условия фактически сводятся к оценке спектрального зазора литературе употребляется термин «условие конуса») для оператора линеаризованной задачи (1). Теорема 8. Пусть выполнены Условия (Al) - (А5) и А„+/ ~AK<2L;{ - изолированные вещественн собственные значения конечной кратности оператора А, т.е. принадлежащие дискретно спектру crp(A); L - постоянная Липшица из оценки (Al) (ii). Тогда в Е существует k-мерн инерциалъное многообразие с асимптотической фазой.

Условия теоремы накладывают достаточно жесткие ограничения на возможность существовал} инерциальных многообразий; известны контрпримеры20. Это происходит не по причине отсутств гладкости у оператора В(и), и не по причине того, что аттрактор Л слишком большой. Требован! нормальной гиперболичности вместе с возможным появлением собственных (и присоединеннь значений высокой кратности для линеаризованной задачи накладывает очень жесткие ограничен на возможную размерность инерциального многообразия !М. Вышеуказанный контрпример говорит том, что возникновение нормального гиперболического инерциального многообразия являет весьма тонким и деликатным явлением; оно возникает только в подпространстве достаточно низк размерности. Требование нормальной гиперболичности инерциальных многообразий не являете очевидно, необходимым условием. Однако без этого свойства нельзя ожидать, что инерциальнь многообразия будут грубыми (типичными) и устойчивыми при малых возмущениях.

В §4 указано на возникающее определенное противоречие. Если мы работаем с устойчивыми классическом смысле определения Андронова - Понтрягина) инвариантными многообразиям (экспоненциальными аттракторами), тогда действительно нужно принимать во внимание тольк устойчивые (в определенном смысле) инерциальные многообразия. С другой стороны, известно существовании квазиаттракторов (странных аттракторов), которые не являются устойчивыми, но м

ерены, что такие системы являются реалистичными моделями хаотического поведения23. Укажем ке на существование «диких» гиперболических множеств, которые по определению являются устойчивыми. Таким образом, регулярные (по Андронову - Понтрягину) инвариантные множества гут представлять собой весьма малую часть всех возможных инерциальных многообразий.

В заключение §4 главы 7 установлены условия существования инерциальных многообразий для ходной задачи (1)-(3) в Условиях 1,2,А. Для применения теоремы 8 необходимо провести оценку ектрального зазора (проверить условие конуса), которая проведена на основании результатов в учае однородной среды (см. комментарии к теореме 3).В общем случае такие оценки неизвестны, оверка других условий теоремы 8 не вызывает затруднений.

Глава 8 «Задачи нелинейной теории переноса в многогрупповом диффузионном (Р]-) иближении» посвящена общей постановке задачи (1) - (3), где перенос излучения и вещества исывается в многогрупповом диффузионном (Рг) приближении, и кратком обзоре полученных есь результатов. Эти результаты важны с практической точки зрения, поскольку почти все оектные и инженерные расчеты, комплексы вычислительных программ основаны на много (мало) упповом диффузионном (Рг) приближении. Для функционирования этих вычислительных мплексов разработана соответствующая система обеспечения многогрупповыми ядерно-зическими константами.

В параграфе 1 главы 8 дана общая постановка модельной задачи (семейства моделей) переноса в огогрупповом диффузионном (Р])-приближении, которая описывается следующей, наиболее спространенной в практике, системой уравнений:

в-' =-хф - цх; Т)Ф(х,г)+(1 - (г, Г)Ф(х, /)+£ (х, г);

ОТ 4.1

~ = -гС(х,0+Д7(х;Г)Ф(х,/);; (36)

Зг

а(х)Ц- = АТ(х,0 + 0 (Т(х,0; Ф(х,0); й

■ ) = ■ )}, с начальными и граничными условиями:

Фу(*,0) = Ф>(х>; Ск(х,0) = С0((ж); Г(*,0) = Г0(х);

ЭФ' / л (37)

-+ =0;

дNJ ' 1г

+ =0. (38)

укенхеймер Д., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. М.-Ижевск: Д.2002.

оФ I- \

Здесь - 01(х){п(х)^гас1/1>1 (х,()) - производная по конормали к поверхности Г,;=1 ,...,т;

п(х) - внешняя нормаль к границе Г вьшуклой ограниченной области О в точке х = (х, ,х2, х3). За точку отсчета температуры Т(х,0 принята температура окружающей среды. В системе (36) - (38)

Ф(х,0 = со/{Ф1,...,Ф'"}, С(х,0 = со/{С,.....С,}; /? = £д; х* = }, Д = со/{Д,„,£,};

4=1

у = ^{г;,(х),...,г;„(х)}; г = <Й<в{2„...,гя}; {Кх;Г)}^ = -^(х;Г)в-[^(г.Г) + {Цх;Г)},.=Х^'(х;Г); {^(х;Г)}; =4/'(х;Г); /(х;Г) = со1{у^г(х-,Т),..Ж!(г,Т)} ; /(х;7,) = со/{1^(х;7'),...,2"(х;7')|; ФДх,/), г>у(х) - плотность и скорость излучения (нейтронов) группе]; Ск(х,1) - концентрация источников запаздывающего излучения в группе к;

у, р, х'Р> Ь/. -Действительные неотрицательные постоянные;

Операторное уравнение для температуры в системе (36) записано в достаточно общем ви позволяющем охватить практически все случаи переноса тепла в размножающих и замедляющ средах. Конкретизация нелинейного оператора соответствует конкретизации характе

выделения тепла (энерговыделения) в процессе деления ядер делящихся материалов и (или) друг актов выделения тепла.

В качестве примера конкретизации нелинейного оператора 0(Г;Ф) можно принять, что Й(Г(х,/);Ф(х,0)^р/(х;Г)Ф(х,г). (39)

Конкретизация линейного, вообще говоря, неограниченного оператора А, соответств} конкретизации способа и характера переноса тепла в различных частях объема б; в качес простого примера для оператора А, можно указать выражение (6). Более сложный при конкретизации оператора \ доставляет распределенная активная среда, состоящая технологических каналов, в которых тепло выделяется в результате процесса деления ядерн топлива. В то же время система технологических каналов охлаждается с помощью жидк теплоносителя, который прокачивается через активную среду в пространстве ме тепловыделяющими элементами.

Система (36) - (38) является наиболее общим семейством моделей переноса излучения ¡ейтронов) в многогрупповом диффузионном (Pi-) приближении с учетом температурной обратной язи. Условия на область G совпадают с Условием 1. Следующее условие является аналогом словия 2.

словие 2D. Функции a(x),Dj(x),vj(x), а(х), d(x), ¿Дх), ст(х) представляют из себя

отрицательные измеримые в соответствующих областях определения функции, овлетворяющие следующим условиям ограниченности: 0<а„ <а(х)<ам <«.; О<v"j <(х)<v" <го; О < dm <, d(x) <, du < со; 0 < а„ < а(х) < аи < со;

0<bj <bj(x)<bf <со; 0<ат <сг(х) <<тм <оэ; 0<DJ <Dy(x)<Z)" <оо; j = \,...,m; а,, v'r а,,<т,, d,, = const, i = m,M\

и xeG, ог(х)=а,(х), D¡(x) = Djt{x), d(x) = dl(x)-,d(x),Dj(x)^Ci{G,) i = \,...,N + l;

(x),bj(x),a(x)ec\Gl), j = \,...,m. На Г/ функции a(x), DJ(x),d(x), a(x) могут терпеть разрывы

рвого рода, при этом выполнены условия согласования на поверхностях раздела зон Г,, iW.....N.

В общей формулировке задачи (1) - (3) нет аналога следующим двум условиям. словие 3D. Будем считать, что существуют у0, i0,1 < /0 ,j0 <т, такие, что

Xj°(x;T)>0, х) >0, xeG0cG, ТеЦ; А, >0, ziD>(W = l,..,m;ioS{l,M}. словие 4P. Будем считать, что функции t'j(x\T),i-s,a,f-,Y!^J(x\T) при любой фиксированной eL:(G;a) являются ограниченными измеримыми на G функциями, причем равномерно по б L2(G;a) справедливы оценки: 0 < £1 ■ < min <£/(х;Г)< max <да;

/= 1.....in js\....M

0 <а>,„ < min coli (x;T)< max cou <co: (,j =1.....m ij'l-m

есь x e G. Q.' ,су/',Й, ,(o, - постоянные; t=m,M; i=a,sf; l,j~l.....т. Отметим, что возможны

учаи, когда Q'„f=0 для всех xeV\V0, где V0 ={JV,e, К. = (х :Ца (х;Г) >0, ; = \,...,т],

:0 е {1,2,...,JV-t-1}. Кроме того, функции 2/(х;Г),£'ДДх;Г), рассматриваемые как пображеаия из L2(V,a) в L„(V), обладают липшщево непрерывной производной Фреше \ (х;Г)Х7Чх;Г), i = s,a,f; l,j = I...,т. Параграф 2 главы 8 посвящен постановке модельной задачи (семейству моделей) об устойчивости остранственного нейтронно-температурного распределения в размножающих средах с учетом

поведения предшественников запаздывающего излучения в многогрупповом диффузионном ( приближении (так называемая ксеноновая неустойчивость). Наиболее общая система уравнен имеет вид:

, Эф _

и — = -Щх,0-Цх;Т)Ф(х,0 + (1 - /?)Гр (х;Г)Ф(х,0 -

_ м

ы

~ = -2С{х,1) + р/(х-,Т) Ф(х,0;

(Л

(40)

= -Л;<р(х,г) + 0,/,(х; Т)ф(х,0 - X; (х;Г)Ф(х, Г);

~ = -Я^(х,Г)+~1Х!(х;Т)ч/(х,ф(хЛ 01

ДГ(*,0 + &(Т(х,0-МхЖ

(Я

с начальными и граничными условиями (37), (38). Здесь {Т,(Х;Т)}9= 1/(х; Ё,(х;Г) = со?|х5(х;Г),...,Е;ш(г,Г)|; Л,, / = ./, .Хе - действительные положительн постоянные; ц/(х,0 - концентрация ядер предшественников (йода и ксено

запаздывающего излучения (нейтронов).

Задача об устойчивости системы (39), (37), (38) имеет значительный практический интерес актуальность вследствие экспериментального обнаружения явления ксеноновой неустойчивое Данная задача рассматривалась при выполнении Условий 1, 2Т) - 4Б; для функций £,(х; справедливы все положения Условия 40, М, Хе. Анализ задачи (39), (37), (38) проведен на осно результатов исследования задачи (36) - (38) с помощью методов и подходов, примененных к зада (1) - (3). Это позволило установить ряд важных результатов по п.п. (1 - 5), в частности, о структуре характере спектра линеаризованной задачи, условиях существования ведущего собственно значения, полноте корневых векторов и ряд других.

Параграф 3 главы 8 посвящен сравнительному анализу результатов, полученных для нелинейнь задач (1) - (3) и (36) - (38), где перенос излучения и вещества описывается, соответственн газокинетическим уравнением и его многогрупповым диффузионным (Рг) приближением. Указа на качественные отличия в структуре и характере спектра этих двух задач, что, в свою очеред приводит к различному характеру асимптотического поведения решений. С другой сторон отмечено, что при определенных условиях может существовать ведущее собственное значен задачи, которому отвечает единственное решение; эти условия существенно различные для зада (1)-(3) и задачи (36)-(38). Выполненный анализ позволил сформулировать некоторые качественнь выводы относительно изменений в спектральной картине модельных задач.

Заключение

В диссертационной работе дано развитие и обоснование строгой математической теории линейных уравнений переноса и на этой основе решен ряд проблем теоретического и прикладного рактера, относящихся к вопросам устойчивости и нелинейным явлениям для диссипативных шамических (реакторных) систем.

1. Сформулированы условия существования глобального решения и условия существования кального решения для нелинейной системы (семейства) уравнений, описывающей нестационарпые йтронно-температурные распределения в отраниченных (мультиплицирующих) средах, следованы свойства операторов нелинейной задачи, включая свойство положительности решений банаховых пространствах с положительными конусами. Эти результаты обобщают теоремы о одолжимых и непродолжимых решений в теории нелинейных динамических систем с определенными параметрами.

2. Построена теория нелинейной стационарной задачи, отвечающей исходной; установлены оремы существования и свойства решений; указаны условия существования ведущего бственного значения; доказаны теоремы полноты собственных (корневых) векторов и условия ществования базиса Рисса. Исследованы тонкие свойства спектра в некоторых важных частных

гаях, а именно: установлено существование счетного множества простых вещественных бственных значений над некоторым множеством положительных конусов конечного ранга; Тдена оценка спектрального зазора; показано существование счетного множества точек фуркации; обоснованы чебышевские методы ускорения сходимости вычислительных алгоритмов; конец, проведен качественный анализ количества, характера и устойчивости решений на котором инвариантном множестве.

3. Построена спектральная теория для линеаризованной задачи, которая базируется на зультатах теории нелинейной стационарной задачи и результатах анализа ее спектральных свойств, частности, установлены принцип линеаризации и спектр линеаризации (по В.И. Юдовичу); следованы свойства гладкости нелинейной диссипативной полугруппы, разрешающей исходную ачу; доказаны теоремы о структуре спектра операторного пучка (обобщенного в смысле М.В. лдьпна), где спектральный параметр нелинейным образом входит в пучок, найдена асимптотика ектра; установлена полнота корневых векторов (кратная полнота по М.В. Келдышу) и условия одимости; найдены условия существования ведущего собственного значения и отвечающего ему

нственного) элемента из положительного конуса. В случае однородной среды результаты щественно уточнены: установлена минимальность, полнота и базисность системы корневых кторов; показана принадлежность операторного пучка классу вполне положительных операторов; наружено существование собственных элементов, обладающих (квази)осцилляционными ойствами.

4. Для абстрактного эволюционного уравнения достаточно общего вида сформулирова обобщенная теорема Биркхофа - Смейла. Тем самым найдены условия существования (обобщен метод Мельникова) гомоклинической (гетероклинической) точки пересечения (локальны устойчивого и неустойчивого инвариантных многообразий для некоторого семейства абстракта эволюционных уравнений. Установлены условия существования инвариантного гиперболическо множества, топологически эквивалентного подсдвигу конечного типа (канторова, топологичес эквивалентного подкове Смейла). В качестве примера рассмотрена исходная нелинейная задача уравнение типа эт-Гордон; сформулировано утверждение: трансверсальная гомоклиническ (гетероклиническая) траектория порождает хаос («динамический реакторный хаос»).

5. Дана трактовка экспериментально наблюдавшегося перехода к «реакторному хаосу» чер последовательность бифуркаций удвоения периода в некотором однопараметряческом семействе п изменении параметра от значений, при которых оно имеет лишь неподвижные точки, к значения при которых существует бесконечное (по крайней мере, счетное) множество периодических орб Каскады бифуркаций удвоения периода обладают структурой универсальных последовательност Фейгенбаума и свойством масштабной инвариантности. Установлено, что переход к «хаосу» чер последовательность бифуркаций удвоения является общим свойством рассмотренных модельн систем, приближающихся к гомоклиническому касанию устойчивого и неустойчивого многообраз некоторой периодической орбиты (неподвижной точки).

6. Развит конструктивный подход в теории нелинейных динамических систем, основанный существовании инвариантных экспоненциально притягивающих конечномерных многообразий инерциальных многообразий и на его основе впервые установлены условия их существования абстрактных эволюционных уравнений с компактной (квазикомпактной) полугруппой и нормальнь гиперболическим множеством. Проведен качественный анализ инерциальных многообразий исходной нелинейной задачи и установлена экспоненциальная дихотомия, асимптотическая мерность, свойство притяжения с асимптотической фазой; сформулирован принцип сведения. Д исходной задачи установлено существование конечномерного инерциального многообразия и т самым сформулирован нелинейный динамический метод Галеркина.

7. Изложенные подходы и методы распространены на семейство модельных задач, где перен описывается в многогрупповом диффузионном (Р|-) приближении; соответствующие результа получены для этой задачи. В качестве примера более сложной нелинейной задачи сформулирова достаточно общая модельная задача, которая описывает ксеноновую неустойчивость реакторн систем и представляет практический интерес.

Рассматривая работу, в целом можно сделать вывод, что в ней решена важная научно-техническ проблема, связанная с дальнейшим развитием и обоснованием математической теории нелинейн уравнений перекоса излучения (нейтронов), включая семейство модельных задач в многогруппов

ффузионном (Pi -) приближении, а также с исследованием сложных нелинейных нерегулярных жимов и динамических характеристик с целью обеспечения безопасности эксплуатации адергшх акторов.

СПИСОК ОСНОВНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Махин P.C. О существовании ведущего собственного значения для одной задачи Рг приближения. // Функц. анализ и его приложения. 1984. Т.18. Вып.4. с.88-89.

2. Макин P.C. О спектре стационарного односкоростного уравнения переноса с изотропным рассеянием. //Докл. АН СССР. 1984. Т.274. №3. с.536-540.

3. Макин P.C. О спектре стационарного односкоростного уравнения переноса с линейной зависимостью индикатрисы рассеяния от углов. // Дифференц. уравнения. 1985. Т.21. №.6. с. 1032-1036.

4. Макин P.C. Метод собственных функций решения некоторых задач термализации нейтронов. // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Физика и техника ядерных реакторов. 1984. Вып.6(43). С. 18-22.

5. Makin R.S. On the spectrum of the steady-state single-speed transport equation with isotropic scattering. \\ Soviet Math. Dokl. 1984. V.29. №1. p.59-63.

6. Макин P.C. О спектре многогруппового диффузионного приближения уравнения переноса нейтронов.//Дифференц. уравнения. 1986.Т.22. №9. с.1623-1626.

7. Либенсон М.Н., Макин B.C., Макин P.C. Дисперсия поверхностных поляритопов в среде с пространственно неоднородной диэлектрический проницаемостью. // Оптика и спектроскопия. 1985. Т.59. Вып.4. с.916-919.

8. Макин P.C. О существовании ведущего собственного значения для одной линеаризованной задачи динамики реакторов. // Функц. анализ и его приложения. 1987. Т.20. №1. с.80-81.

9. Макин P.C., Шихов С.Б. О полноте системы собственных функций многогруппового диффузионного приближения условно-критической задачи с однородной активной зоной и произвольным отражателем. // Дифференц. уравнения. 1987. Т.23. №10. с.1812-1815.

10. Макин P.C. О спектре стационарного многоскоростного спектра переноса с линейной зависимостью индикатрисы рассеяния от углов. // Ред. журнала «Дифференциальные уравнения». 1987. Деп. статья. №4816-887. с.1-19.

11. Макин P.C. Об одном классе линейных положительных операторов. // Математические заметки. 1988. Т.43. №1. с.71-81.

12. Макин P.C. О полноте корневых векторов системы интегродифференциальных уравнений кинетики реактора. //Дифференц. уравнения. 1988. Т.24. №3. с.508-516.

13. Макин P.C. О полноте корневых векторов одной задачи кинетики реактора в диффузионном приближении. // Дифференц. уравнения. 1988. Т.24. №6. с.1053-1056.

14. Макин P.C. О свойствах решений и полноте собственных функций одн интегродифференциальной системы уравнений динамики реактора. // Диффере уравнения. 1988. Т.24. №10. с.1811-1818.

15. Макин P.C. О спектре стационарного односкоростного уравнения переноса с краевь условиями типа отражения. // Функц. анализ и его приложения. 1990. Т.24. Вып.2. с.99-10

16. Макин P.C. О полноте корневых векторов одной линеаризованной задачи динами реакторов. //Дифференц. уравнения. 1990. Т26. №10. с.1800-1805.

17. Макин P.C. Об ограниченности области притяжения стационарного решения нелинейн диффузионной системы уравнений динамики регулируемого реактора. // Диффере уравнения. 1991. Т.27. №3. с.511-520.

18. Макин P.C. О полноте корневых векторов одной линеаризованной задачи динами реактора в многогрупповом диффузионном приближении. // Вопросы атомной науки техники. Серия: Ядерная техника и технология. 1991. Вып.6. с.29-36.

19. Махин P.C. О существовании глобального решения одной нелинейной диффузионн системы уравнений. // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Ядерная техника технология. 1991. Вып.6. с.22-29.

20. Макин P.C. Об асимптотике решений некоторых задач динамики реакторов. // Вопро атомной науки и техники. Серия: Ядерная техника и технология. 1992. Вып.6. с.59-67.

21. Макин P.C. Об устойчивости кипящего реактора как нелинейной динамической системы Вопросы атомной науки и техники. Серия: Ядерная техника и технология. 1992. Вып.6. с. 28.

22. Макин P.C. Свойства решений некоторых интегродифференциальных задач динам реакторов. // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Ядерная техника и технолог 1992. Вып.6. с.29-38.

23. Макин P.C. О спектре стационарного односкоростного оператора переноса с анизотропн рассеянием. // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Физика и техника ядерн реакторов. 1993. Вып.1. с.13-19.

24. Makin R.S. Some Regularity in Simulating of Sophisticated Dynamical Systems. // Proceedings 7-th European Simulation Symposium ESS'95. Erlangen - Nuremberg, Germany. 1995. p.798-8

25. Макин P.C. О свойствах решений одной задачи динамики реакторов с учетом ксенонов колебаний. //Дифференц. уравнения. 2004. Т.40. №4. с.80-89.

26. Макин P.C. О гомоклинических траекториях для одной задачи динамики реакторов. Вестник УлГТУ. 2005. Вып. 1 (29). с.21 -31.

27. Макин P.C. О гомоклинических траекториях эволюционных уравнений. // Диффере уравнения. 2005. Т.41. №4. с.479-489.

28. Makin R.S. On homoclinic trajectories of evolution equations. \\ Differ. Eqts. 2005. V.41. №4. p.506-517.

9. Макин P.C. О стационарных решениях нелинейной динамики реакторов. // Вестник УлГТУ. 2006. ВыпЛ(ЗО). с.23-33.

0. Макин Р.С. О свойствах решений одной нелинейной интегродифференциальной системы уравнений переноса. // Сб. статей: Матем. методы теорет. физики. Ульяновск: УлГУ. 2007. с.3-59.

1. Макин Р.С. О гомоклинических траекториях эволюционных уравнений. // Сб. статей: Матем. методы, теорет. физики. Ульяновск: УлГУ. 2007. с.81-100

2. Makin R.S. On one the nonlinear spectrum problem. // Proceedings of the International Seminar "Days oil Diffraction-2006", 2006. St.-Petersburg. p.161-166.

3. Макин Р.С. Математические задачи нелинейной теории переноса.Газокинетическая теория. Ульяновск-Димитровград. Изд-во УлГТУ,2006. 256 с.

4. Макин Р.С. Введение в теорию инвариантных притягивающих множеств (аттракторов). Учебное пособие. Ульяновск-Димитровград. Изд-во УлГТУ, 2006.100 С.

5. Макин Р.С. Введение в теорию нелинейных диссипативньк динамических систем. Учебное пособие. Ульяновск-Димитровград: Изд-во УлГТУ,2006.

6. Makin V.S., Makin R.S., Vorobyev A.Yu., Guo Ch. Universality of Feigenbaum and dissipative microstructures for highly nonequilibrium nonlinear systems. \\ Proc. of Inter. Seminar "Days on Diffraction-2007". St.-Petersburg, 2007. p.60-66.

7. Makin V.S., Makin R.S. Feigenbaum universality and Sharkovsky order for dissipative structures of highly nonequilibrium nonlinear systems.W Proc. of Intern. Conference "Fundamentals of Laser Assisted Micro- and Nano-technologies (FLAMN-07)". St.-Petersburg. 2007. p.56-57.

8. Макин B.C., Макин P.C., Воробьев АЛО., Гуо Ч. Диссипативные наноструктуры и универсальность Фейгенбаума в неравновесной нелинейной динамической системе металл-мощное поляризованное короткоимпульсное излучение. // Письма в ЖТФ. 2008. Т.34. Вып.9. с. 55-64.

. Макин Р.С. Введение в динамическую теорию бифуркаций. Ульяновск-Димитровград: Изд-во УлГТУ, 2008. 59 с.

. Makin V.S., Makin R.S. Fundumental universality and dissipative microstructures for highly nonequilibrium nonlinear systems. \\ Proc. of Intern. Conference-10-th Charitonov scientific colloquium " Power laser and investigations of the highly densities energy physics ". Sarow. 2008. p. 21-23.

41. Makin V.S., Makin R.S., Vorobyev A.Yu.,Guo Ch. Dissipative nanostrucrures and Feigenba universality in the "Metall-High-Power Ultrashot-Pulsed Polarized Radiation" nonequilibri nonlinear dynamic system. \\ Techn. Phys. Letters. 2008. V.34. №5. p.387-390.

42. Макин P.C. Нелинейные задачи теории реакторов. Газокинетическое уравнение. Учеб пособие. Ульяновск - Димитровград: Изд-во УлГТУ,2008.

43. Makin V.S., Makin R.S. Fundamental universality and dissipative micro- and nanostructures highly nonlinear systems. // Proc. of Conf. " Applied Optics - 2008 ". St.-Petershurg, 2008. p. 187-191.

44. Макин B.C., Макин P.C., Воробьев Ф.Я., Гуо Ч. Универсальность Фейгенбаума и поря Шарковского в лазерно-индуцированных периодических структурах на поверхностях объеме конденсированных сред. // В сб. статей: Нелинейность в современ естествознании. М.: Изд-во УРСС, 2008. с.319-341.

45. Макин Р.С. О собственных значениях для некоторых классов положительных операторо Матем. заметки. 2009. Т.85. №2. с.214-226.

Подписано в печать 17.06.09. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 2,79. Тираж 150 экз. Заказ N2 537.

Отпечатано в Открытом акционерном обществе «Государственный научный центр -Научно-исследовательский институт атомных реакторов» 433510, г. Димитровград-10 Ульяновской области

Введение.

§ В1. Актуальность темы.

§ В2. Современное состояние проблемы (обзор литературы).

§ ВЗ. Основные результаты и структура диссертации.

Глава 1.

Нелинейная нестационарная система уравнений переноса.

§ 1.1. Операторы в банаховых пространствах.

§ 1.2. Условия и постановка задачи.

§ 1.3. Свойства операторов переноса.

Глава 2.

Теоремы о существовании решений.

§ 2.1. Теорема о продолжении решения.:.

§ 2.2. О решении для Условия А.

§ 2.3. Существование сильного решения при выполнении Условия В.

Глава 3.

Качественные свойства решения нелинейной задачи.

§ 3.1. Положительность решения задачи Коши.

§ 3.2. Положительность решения нелинейной задачи.

§ 3.3. О не существовании глобального решения.

Глава 4.

Стационарная нелинейная задача.

§ 4.1. Свойства операторов стационарной задачи.

§ 4.2. Нелинейная стационарная задача. Существование решений.

§ 4.3. Существование условно-непрерывной ветви полусобственных векторов.

§ 4.4. Существование стационарных решений.

§ 4.5. Устойчивость стационарного решения.

Глава 5.

Свойства оператора нелинейной стационарной задачи.

§ 5.1. Полнота корневых векторов условно-критической задачи.

§ 5.2. Условно-критическая задача в однородной среде.

§ 5.3. Существование точек бифуркации.

§ 5.4. Условно-критическая задача в неоднородных средах.

Глава 6.

Свойства линеаризованной задачи.

§ 6.1. Основные сведения п результаты из теории операторных пучков.

§ 6.2. Операторные пучки с нелинейным вхождением спектрального параметра.

§ 6.3. Спектральные свойства линеаризованной задачи.

§ 6.4. Существование ведущего собственного значения и теоремы полноты для линеаризованной задачи.

Глава 7.

Инварнантные многообразия и нелинейные свойства решений.

§7.1. Основные положения теории бесконечномерных динамических систем.

§7.2. О существовании инерциальных многообразий для одного класса эволюционных уравнений.

§7.3. Нелинейные свойства решений исходной динамической системы.

§7.4. О существовании инерциальных многообразий для нестационарных задач.

Глава 8.

Задачи нелинейной теории переноса в многогрупповом диффузионном

Pi-) приближении.

§ 8.1. Условия и постановка задачи.

§ 8.2. Условия и постановка задачи о ксеноновой неустойчивости.

§ 8.3. Сравнительный анализ модельных задач и некоторые выводы.

§ В1. Актуальность темы

Безопасность эксплуатации ядерных энергетических реакторов и других радиационно-опасных установок различного назначения является одной из важнейших проблем современной энергетики и нелинейной динамики. Большое значение в решении этой проблемы имеет знание и исследование их динамических характеристик. Целью исследования динамики в конечном итоге является доказательство устойчивости стационарных режимов нелинейной системы или отыскание условий, при которых обеспечивается указанная устойчивость. Обычно a priory такой информации либо нет, либо ее чрезвычайно мало. В этих условиях практически единственной возможностью является создание адекватных математических моделей и их последующий анализ [1-3]. При этом недостаток экспериментальных данных может быть компенсирован более полным математическим описанием основных процессов [3,4]. Повышение требований безопасной эксплуатации приводит к резкому росту требований в се обеспечение и точности проектных предсказаний [2,3]. При этом существенно возрастает роль различных эффектов, связанных с распределенностью, неоднородностью систем и нелинейностью происходящих сложных процессов [4-9].

В то же время используемые для анализа подобных нелинейных систем весьма упрощенные математические модели либо вообще не учитывают указанных эффектов, либо учитывают их очень приближенно, например, в рамках линеаризованных моделей [3,4,10-12]. Это связано в первую очередь с тем, что сложные распределенные системы в неоднородных нелинейных средах обычно описываются системой уравнений в частных производных или системой интегро-дифференциальных уравнений и должны рассматриваться в весьма общих банаховых пространствах [13-22]. Заметим, что сама процедура линеаризации для сложных нелинейных систем, как правило, требует строгого обоснования. При этом в отличие от упрощенных, точечных или полуточечных моделей, важную роль начинают играть такие вопросы как существование и единственность решения в исследуемом классе функций (функциональном пространстве), непрерывная зависимость его от начальных данных и физических коэффициентов системы, существование положительных стационарных решений, свойства полноты и сходимости корневых векторов, словом, все вопросы, связанные с корректностью и непротиворечивостью рассматриваемой математической модели: Без ответа на эти вопросы невозможно дать строгий математический анализ устойчивости и безопасности рассматриваемых сложных систем [6-9,23-25].

Поскольку получение аналитических решений таких сложных распределенных систем в неоднородных активных средах в большинстве случаев не удается, то при решении подобных задач широко используются вычислительные методы. При этом нелинейная распределенная система сводится в конечном итоге к системе алгебраических уравнений той или; иной структуры. На этом пути встречаются значительные трудности, которые приводят к необходимости использования мощных ЭВМ. Поэтому остается актуальной задача дальнейшего совершенствования существующих и создания новых, более экономичных и адекватных вычислительных методов исследования базовых математических моделей [26-28]. В связи с этим весьма полезной оказывается априорная информация, связанная с исходной моделью (семейством моделей). Такой информацией может служить принадлежность решения к тому или иному классу функций (функциональных пространств), обладающих определенными свойствами гладкости, свойства операторов задачи, свойства исходных данных и т.п. Априорная информация (если она имеется) в подавляющем большинстве случаев оказывает решающее влияние на выбор вычислительных методов, а иногда на создание принципиально новых подходов, используемых для решения рассматриваемых задач. Как правило, должно иметь место соответствие между априорными требованиями для исходной задачи и свойствами ее конечномерного (как правило, алгебраического) аналога. Это прежде всего относится к операторам задач, свойства которых должны быть по возможности сохранены при редукции задачи от континуальной модели к дискретной. Такой принцип, по-видимому, является основополагающим при решении многих модельных задач. Одновременно следует отметить, что преемственность свойств операторов задач при редукции дает возможность опираться на хорошо разработанные методы функционального анализа, что обычно позволяет простым и универсальным путем проводить исследования эффективности алгоритмов вычислительной математики [28,3]. В конечном итоге результаты качественного анализа распределенных базовых моделей помогают с весьма общих позиций оценить обоснованность тех или иных инженерно-физических методов расчета, применяемых при проектировании и создании сложных систем и установок [2933].

Априорная информация о базовых математических моделях (семействах моделей) (существование решения, его свойства и принадлежность определенному классу функций [34,35]) также очень важна при построении строгой математической теории некоторых оптимальных задач, в том числе задач управления, возникающих в теории реакторов [2325,32,33,36-38]. .-„ •

Таким образом, разработка адекватных распределенных нелинейных моделей сложных объектов, процессов и исследование возникающих режимов, вопросов устойчивости и нелинейных явлений, включая асимптотическое и нерегулярное (хаотическое) поведение, является весьма актуальной задачей. Кроме того, решение вопросов существования, единственности, свойств спектра, полноты корневых векторов, положительности решений и некоторых других представляет значительный интерес [2,68,39-41]. Данное обстоятельство связано с решением нового класса задач, описывающих гораздо более сложные процессы, нежели чем, например, краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка, которая, как известно, является достаточно грубым диффузионным приближением для рассматриваемых процессов переноса [2628,42-46].

В настоящее время считается общепринятым, что одной из базовых моделей описания нейтронно-физических процессов в реакторных системах является уравнение переноса [4,26-28,33], которое с учетом обратных связей представляет из себя нелинейную интегро-дифференциальную систему уравнений динамики реактора: дЬ м

0.1) дСк^ =-гкСк(х,0+ \^Кк{х,у-,Т{х,1))Ы{х,у\1), к = 1,.,М; а(х) Е^И = 20Т(х, 0 + 4 (Т)Щх, V, О , от с начальными и граничными условиями:

- N о (х, V); Ск (*Д=+0 = Ск0(х); к = 1 Г(х,ОЦ0 =Г0(х);

V(v,Гг(x))<0. (0.3) с?(х)(п(х),УхТ(х,0) +а(х)Т(х,Г)1хег = 0. (0.4)

Одной из основных целей диссертации является исследование свойств семейства нелинейных динамических систем, в которое естественным образом входит система (0.1) — (0.4). Коэффициенты и ядра в системе (0.1) имеют следующий вид:

К(х,V,Vй,Т) = К,(х,у,у}\Т) + К} (х,V,Vй,Т)\ ы

К, (х,и,у'-,Т) = ¿| т$1р(х,г,Т)р1к(р), к = 1 ,.,М; (0.5) 1 1 х Г) = ¿М^ (*. + (*> П + ^ (X, г;; Г)}, ы

Вывод уравнений системы (0.1) и физический смысл коэффициентов в (0.1) — (0.5) можно найти в работах [1,4,6-8]. Отметим лишь, что функции \у\Т,' (х,у;Т(х^)),р = з,/,с;1 = 1,.,г, характеризуются ядерно-физическими сечениями; р — тип взаимодействия излучения (нейтронов) с нуклидами (ядрами) 1-го изотопа, входящего в состав среды (р=в — рассеяние; р=1'- деление; р=с — захват).

Система (0.1) - (0.4) описывает эволюцию во времени пространственно — скоростного распределения М групп предшественников запаздывающего излучения (нейтронов) Ск (х,Г), к = \.,М, и температуры среды Т(х,1) в некотором объеме О с границей дО(=Г). Температура Т(х,/) отсчитывается от температуры окружающей среды. Система (0.1) - (0.4) является одной из базовых моделей переноса излучения (нейтронов) в ограниченных размножающих средах с температурной обратной связью. Основным ее отличием является то, что для описания эволюции температуры используется нелинейное уравнение диффузии.

Одним из важнейших открытий второй половины прошлого века явилось установление нового факта, говорящего о том, что нелинейная детерминированная динамическая система при отсутствии в ней каких-либо случайных внешних возмущений может! генерировать стохастические колебания, т.е. порождать динамический или детерминированный хаос [47-58]. Такой хаос может возникать в ситуации, когда в фазовом пространстве динамической системы имеется ограниченная область, из которой траектории не уходят, и при этом они неустойчивы по Ляпунову. В силу неустойчивости сколь угодно близкие вначале траектории расходятся за конечный промежуток времени. Поэтому практически невозможно предсказать длительное поведение детерминированной нелинейной динамической системы, поскольку реально начальные условия задаются лишь с конечной степенью точности.

Сегодня, несмотря на значительные успехи, теория нелинейных динамических систем далека от завершения даже для конечномерных пространств [59-65]. Известно, ( например, что хаос в нелинейных системах возникает при наличии в их фазовом пространстве гомоклинических (в общем случае — гиперболических) структур.

Существующие критерии возникновения хаоса труднопроверяемы, поскольку требуют, например, определения условий взаимного пересечения устойчивых и неустойчивых инвариантных многообразий, и в общем случае отсутствуют. Поэтому актуальной остается задача разработки конструктивных критериев хаоса, которые были бы применимы для широкого класса нелинейных динамических систем.

В настоящее время, после открытия в 1964 г. первой модельной системы (системы Лоренца) с хаотическим поведением, известны многочисленные примеры систем с подобным поведением в различных областях физики, механики, гидродинамики, биологии [66-120] (список можно продолжить), в том числе в реакторных системах [121-125,7]. Возникающий здесь круг вопросов в основном связан с устойчивостью поведения

•ч решений и возникновением динамического хаоса. Традиционно в теории устойчивости изучается асимптотическое поведение траекторий, лежащих вблизи уже известной (стационарной) траектории, или, как в теории ветвления, обнаружение и исследование решений, ответвляющихся от известного по мере изменения параметров задачи. Несмотря на обширные исследования, существующие трудности далеки от преодоления. Обычно исследуются на устойчивость решения, появляющиеся при первой бифуркации, если их удается получить. Очевидно, такой путь исследования задач гидродинамики имел в виду Л.Д. Ландау, высказавший гипотезу, что при возрастании параметра - числа Рейнольдса, усложнение (турбулизация) течения объясняется появлением все большего числа несоизмеримых периодов у решения. Можно принять и «физическую» точку зрения, восходящую к Э. Хопфу, O.A. Ладыженской и др. — решения диссипативных систем «забывают» свои начальные данные и формируются под действием постоянно и стационарно действующих факторов. В строгом математическом смысле это не так, потому! что в детерминированной системе решение (глобальное или локальное) полностью определяется своими начальными и дополнительными данными, а также внешним воздействием (например, системой управления). Однако с течением времени решение может ¡«далеко» уйти от этих данных и в этом смысле «забыть» их. В связи с этим возникает вопрос о той части фазового пространства, к которой притягиваются все решения, и динамике рассматриваемой системы на ней. Структура этого (компактного) притягивающего инвариантного множества (аттрактора) может быть весьма сложной, как и динамика на нем; другими словами, такое множество должно являться объектом исследования. Сложность изучения таких притягивающих множеств (аттракторов, квазнаттракторов) нелинейных динамических систем заключается в отсутствии t • законченной теории таких множеств (гиперболических, множеств) не только для бесконечномерных, но даже для конечномерных динамических систем [57-65]. Кроме того, не исключено (строго не установленный факт) появление так называемых «диких гиперболических множеств» (Ньюхаус) в составе притягивающих многообразий (см. [55], глава 6). Этот вопрос является дискуссионным и затрагивает другой, более важный: правильно ли мы определяем притягивающие множества и достаточно ли для описания динамики на них концепции грубости (типичности) Апдронова-Портрягина. Постановка и решение этих вопросов представляют несомненный, в том числе и самостоятельный интерес.

Для ряда нелинейных динамических систем наблюдается последовательность бифуркаций удвоения периода при изменении параметра от значений, при которых оно имеет лишь неподвижные точки, к значениям, при которых существует бесконечное множество периодических орбит. Эти каскады бифуркаций удвоения периода обладают богатой структурой (универсальность Фепгенбаума) [113,55,57]. Существуют свойства, ассоциированные с этими каскадами, которые универсальны в том смысле, что не зависят от выбора конкретной динамической системы. При этом весьма актуальной является задача установления механизма перехода к «хаосу» через бифуркации удвоения периода для конкретной распределенной модельной задачи переноса, - который наблюдался экспериментально [7,9,24,25,30,33,125]. Важно отметить, что для нелинейных распределенных динамических систем возможен пространственно-времеыпой хаос, характеризующийся тем, что в процессе колебаний случайными оказываются не только временные реализации процесса, но и пространственные распределения поля (излучения, температуры). Такой режим пространственно-временного хаоса в теории нелинейных динамических систем имеет специальное название — диссипативные структуры [57,69-72]. Этому режиму присуще соответствующее притягивающее множество (квазиаттрактор). В последние годы в исследовании структуры и свойств таких множеств на базе новых идей и понятий (инерциальные многообразия и инерциальные формы, параметры порядка, фрактальные множества и т.п.), а также основных положений (парадигм) синергетики достигнуты определенные успехи [56,57,69-72,89,108,109]. Здесь важно отметить, что результаты исследований нелинейных распределенных моделей переноса и их различных приближений немногочисленны, а в части изучения инвариантных многообразий, структуры притягивающих множеств и сопутствующих вопросов публикаций еще меньше.

Анализ современного состояния теории нелинейного переноса на основе газокинетического уравнения с распределенными параметрами позволяет сформулировать как одну из важнейших проблем нелинейной динамики проблему разработки и создания теоретических методов анализа динамики и свойств решений модельных задач переноса.

При решении этой проблемы на первый план выступают модельные задачи переноса в распределенных активных неоднородных средах, в основе которых лежат газокинетическое уравнение или много групповое диффузионное (Рг) приближения.

Заключение

В диссертационной работе рассматривалась задача для общей нелинейной модели (семейства моделей) переноса излучения в размножающих распределенных средах с газокинетпческим уравнением переноса вида (0.1) — (0.4). В качестве конкретной нелинейной модели рассматривалась нелинейная динамическая система, описывающая динамику ядерного реактора с обратной связью по температуре. Выполненный анализ современного состояния теории нелинейного переноса на основе газокинетпческого уравнения с распределенными параметрами позволил сформулировать как одну из важнейших проблем нелинейной динамики проблему разработки и создания теоретических методов анализа динамики и свойств решений модельных задач переноса. При решении этой проблемы в первую очередь рассматривались два семейства модельных задач переноса в распределенных неоднородных размножающих средах, в основе которых лежали: (1) газокинетическое уравнение переноса (семейство моделей (1.1) - (1.4)); (и) его многогрупповое диффузионное (Р1-) приближение (семейство моделей (8.1) — (8.4)).

Основной целью работы являлось развитие и обоснование сгрогой математической теории нелинейных уравнений переноса, включившее в себя следующие основные этапы исследования: a) Выбор семейств математических моделей, адекватно описывающих реальные физические процессы (на примере переноса излучения (нейтронов)) в распределенных нелинейных неоднородных и ограниченных средах с размножением. b) Установление для них теорем существования и (локальной) единственности решений исходной задачи, а также условий существования" и" свойств решений стационарной нелинейной задачи, отвечающей исходной системе (системам), включая вопросы устойчивости. c) Обоснование метода линеаризации (первого метода Ляпунова) в задаче устойчивости стационарных и периодических решении исходной нелинейной задачи; анализ спектральных свойств линеаризованной задачи, нелинейным образом зависящей от спектрального параметра; исследование спектральной картины, структуры спектра и его основных спектральных свойств. с!) Доказательство обобщенной теоремы Смейла — Биркгофа (условий существования гомоклинпческой точки трансверсального пересечения инвариантных (локальных) многообразий (метод Мельникова)). Установление существования инвариантного гиперболического множества, топологически эквивалентного подедвнгу конечного типа (подкове Смейла) для исходного модельного семейства (1.1) - (1-4); установление условий существования инвариантных конечномерных множеств — инерциальных многообразий, исследование их свойств. Проверка спектрального условия (условия конуса) и доказательство существования конечномерных инерциальных многообразий для исходного семейства модельных задач (1.1) - (1.4). е) Применение изложенных методов и подходов для исследования более общих нелинейных диссипативных динамических систем; их демонстрация на двух практически важных модельных задачах (семействах): ф модельная задача (1.1) — (1.4), где перенос описывается в многогрупповом диффузионном (Р]-) приближении — динамическая система (8.1) — (8.4); (и) модельная задача (семейство) об устойчивости пространственного нейтронно-температурного распределения в размножающих средах с учетом поведения предшественников запаздывающего излучения в много групповом диффузионном (Р1-) приближении (так называемая ксеноновая неустойчивость) - динамическая система (8.8) -(8.11).

В работе был использован классический аппарат функционального анализа (теория полугрупп операторов, теория операторов, инвариантных относительно положительных конусов в банаховых пространствах, теория знакорегулярных (квазизнакорегулярных) операторов, спектральная теория самосопряженных и несамосопряжснных операторов), топологические методы,'' аппарат теории нелинейных динамических систем (гиперболические множества, инвариантные притягивающие множества (аттракторы, квазнаттракторы) и инвариантные инерциальиые многообразия), теория устойчивости и теория, бифуркаций, а также использованы результаты линейной теории переноса. В основе- развитого подхода лежат принципы линеаризации и локализации, а также основные положения синергетики.

Основными результатами диссертации являются следующие.

1. Сформулированы условия существования глобального (сильного) решения и условия существования локального решения для исходной нелинейной распределенной системы уравнений в ограниченных средах (1.1) - (1.4), где перенос описывается многоскоростным газокинетическим (интегродифференциальным) уравнением или его много групповым диффузионным (Р)-) приближением (система (8.1) — (8.4)); доказаны соответствующие теоремы существования (несуществования) глобальных решений в выбранном функциональном (фазовом) пространстве; г исследованы свойства операторов и решений исходной нелинейной задачи, включая свойство положительности решений в некоторых банаховых пространствах с положительными конусами.

2. Сформулированы и доказаны теоремы существования и свойства решений нелинейной стационарной задачи, отвечающей исходной нелинейной задаче, включая свойства положительности и условия существования ведущего собственного значения;

- доказаны теоремы полноты собственных (корневых) векторов в общем случае; указаны условия существования базиса Рисса;

- установлено существование счетного множества простых вещественных собственных значений и отвечающих им собственных элементов из некоторых множеств конечномерных положительных конусов (конусов конечного ранга) в случае одномерной геометрии;

- указана оценка спектрального зазора (расстояние между ведущим собственным значением и остальным спектром) и установлено, в каких случаях базисные функции являются чебышевскимп (Т-системами), что позволяет применить чебышевские методы ускорения сходимости;

- показано существование счетного множества точек бифуркации в случае одномерной геометрии; рассмотрены вопросы о количестве, характере и устойчивости решений на некотором инвариантном множестве; дана конструктивная оценка спектрального зазора.

3. Проведен анализ спектральных свойств линеаризованной задачи и установлен принцип линеаризации и спектр линеаризации (по В.И. Юдовичу) для исходной нелинейной задачи; установлены свойства гладкости нелинейной диссипативной полугруппы, разрешающей исходную задачу;

- сформулированы и доказаны теоремы о структуре спектра (точечного, непрерывного, существенного) операторного пучка (обобщенного пучка типа М.В. Келдыша), отвечающего линеаризованной задаче, где спектральный параметр нелинейным (дробно-рациональным и/или полиномиальным) образом входит в операторный пучок; найдена асимптотика спектра задачи;

- доказана полнота корневых векторов (кратная полнота по М.В. Келдышу) и условия сходимости по ним в некотором функциональном пространстве; установлены условия существования (ио-положительность) ведущего собственного значения и отвечающего ему (единственного)элемента из положительного конуса;

- существенно уточнены спектральные свойства и асимптотические оценки в одномерной геометрии:

• минимальность, полнота и базисность системы корневых векторов;

• принадлежность операторного пучка классу вполне положительных операторов;

• существование счетного подмножества простых вещественных собственных значений и отвечающего ему множества собственных элементов, обладающих осцилляционнымн свойствами (ряды Маркова);

4. Установлены условия существования на основе обобщенного метода Мельникова гомоклинической (гетероклинической) точки трансверсального пересечения (локальных) устойчивого и неустойчивого инвариантных многообразий для некоторого семейства абстрактных эволюционных уравнений (обобщенная теорема Биркгофа -Смейла); эти условия проверены для исходной нелинейной задачи; сформулировано утверждение: трансверсальная гомоклиническая (гетероклиническая) траектория порождает хаос («динамический реакторный хаос») в бесконечномерном фазовом пространстве; доказано существование инвариантного гиперболического множества, топологически эквивалентного подедвигу конечного типа (канторова множества, топологически эквивалентного подкове Смейла);

5. Проведен анализ экспериментально наблюдавшегося перехода к «реакторному хаосу» через последовательность бифуркаций удвоения периода (универсальность Фейгенбаума) как общего свойства (модельных) нелинейных систем," приближающихся к гомоклиническому касанию устойчивого и неустойчивого многообразий некоторой периодической орбиты (неподвижной точки);

6. Установлены условия существования инвариантных экспоненциально притягивающих конечномерных многообразий — ннерциальных многообразий для исходной нелинейной задачи с компактной (квазикомпактной) полугруппой и нормальным гиперболическим множеством;

- проведен анализ основных свойств инерциальных многообразий; сформулирован принцип сведения, проверено спектральное условие (условие конуса) и установлено существование к-мерного инерциального многообразия для исходной нелинейной задачи (гипотеза Э. Хопфа); сформулирован нелинейный динамический метод Галеркина.

7. Развитые в работе методы и подходы распространены на семейство модельных задач, где перенос описывается в многогрупповом диффузионном (Рг) приближении. Такое рассмотрение является важным с практической точки зрения, поскольку все проектные и инженерные расчетные исследования проводятся в указанном приближении. Результаты по п.п. 1—7 имеют место, в соответствующих формулировках, для нелинейной системы (8.1) — (8.4). Рассмотрена практически важная модельная задача (семейство) об устойчивости нейтронно — температурного распределения в размножающих ограниченных неоднородных средах с учетом поведения предшественников запаздывающего излучения в -многогрупповом диффузионном (Р1-) приближении (задача о ксеноновой неустойчивости (8.1) - (8.11)). Для этой задачи получепы результаты по п.п. 1-3.

8. Сравнительный анализ результатов, полученных для нелинейных динамических систем (семейств) (1.1) — (1.4) и (8.1) - (8.4), продемонстрировал принципиальные качественные отличия в спектральной картине, структуре и характере спектра этих двух задач; в частности, это касается различного характера асимптотического поведения решений, условий существования «диффузионного хаоса», «динамического хаоса» и некоторых других свойств. С другой стороны, было отмечено, что при определенных условиях может существовать ведущее собственное значение задачи, которому отвечает единственное положительное решение; эти условия существенно различные для задачи (1.1) - (1.4) и задачи (8.1) - (8.4). Проведенный анализ позволил сформулировать некоторые качественные выводы относительно изменений в спектральной картине рассмотренных семейств модельных задач. В частности, установлена понимаемая в определенном смысле эквивалентность эффектов «удержания» и «запаздывания» излучения и связанных с ними качественных изменениях в спектральной картине; в свою очередь, это позволяет применить разработанный в работе математический аппарат для решения ряда актуальных зада1!.

В заключение заметим, что многие результаты диссертационной работы можно распространить на модельные задачи (семейства) (1.1) - (1.4), (8.1) - (8.4), (8.1) - (8.11), в которых учитывается движение жидкого теплоносителя.

Проведенные в диссертационной работе исследования, предложенные подходы и полученные результаты позволили развить и обосновать строгую математическую теорию нелинейных уравнений переноса. Тем самым осуществлен важный этап в развитии нового направления теории переноса - нелинейной теории переноса. Кроме того, изложенные в работе методы и подходы представляют самостоятельный интерес для общей теории нелинейных динамических систем и вносят определенный вклад в общие представления синергетики. Материал диссертационной работы, будучи в первую очередь теоретическим исследованием, является основой для формулировки эффективных вычислительных алгоритмов и решения актуальных практических задач в соответствующих областях физики и техники. С другой стороны, полученные в работе результаты и поставленные вопросы могут являться основой для последующих исследовании.

1. П2. Крянев A.B., Шихов С.Б. Вопросы математической теории реакторов. Нелинейный анализ. М.: Энергоатомиздат, 1983.

2. ПЗ. Емельянов И.Я., Константинов Л.В., Ефанов А.И. Научно-технические основы управления ядерными реакторами. М.: Энергия, 1980.

3. П4. Агошков В.И. Некоторые вопросы теории и приближенного решения задач теории переноса. М.: Отдел вычислит, матем. АН СССР, 1984.

4. П5. .Ершов Ю.И., Шихов С.Б. Математические основы теории переноса. Т.2. Приложения к физике реакторов. М.: Энергоатомиздат, 1985.

5. П6. Шихов С.Б., Щукин Н.В. Динамика реакторов. Учебное пособие. М.: МИФИ, 1982.

6. П7. Многогрупповое приближение в теории переноса нейтронов. // М.Н. Николаев, Б.Г. Рязанов, М.М. Савоськин, A.M. Цибуля. М.: Энергоатомиздат, 1984. 256 с.

7. П8. Математические проблемы кинетической теории переноса. // У.М. Султангазин, В.В. Смелов, А.Ш. Акишев и др. Под ред. У.М. Султангазина и И. Марека. Алма-Ата: Наука (Каз. ССР), 1986. 256 с.

8. П9. Румянцев Г.Я. Обобщенные распределения нейтронов. М.: Энергоатомиздат, 1989. 296 с.

9. П10. Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов. М.: Атомиздат, 1981.

10. П11. Шихов С.Б., Троянский В.Б. Теория ядерных реакторов. Учебник для вузов. Т.2. Газокинетическая теория. М.: Энергоатомиздат, 1983. 368 с.

11. П12. Охрименко А.И., Шихов С.Б. Метод интегральных уравнений для расчета реакторов сложной геометрии в многогрупповом Pi-приближении. НИИАР. Препринт №34 (442). Димитровград, 1980.

12. П13. Троянский В.Б. Аналитические решения уравнения переноса с произвольной индикатрисой рассеяния. // В кн.: Физика ядерных реакторов. Вып. 10. М.: Энергоиздат, 1981. с.79-85.

13. П14. Лебедев В.И., Дмитриев A.B. Численное исследование эффективности чебышевского итерационного метода для некоторых нелинейных задач. // В сб.: Проблемы теории и численного решения задач переноса частиц. М.: АН СССР, 1983. с.95-111.

14. П15. Agoshkov V.l. Boundary value problems for transport equations. Basel: Birkhäuser, 1998.

15. П16. Макин P.C. Некоторые математические задачи нелинейной теории переноса. Многогрупповое диффузионное приближение. Часть 1. // Сб. трудов НИИАР. 1998.

16. Вып.З. с.94-118. Часть 2. // Ibid. 1999. Вып.1. с.72-105. Часть 3. // Ibid. 1999. Вып.З. с.3-25. Часть 4. // Ibid. 2000. Вып.1. с.56-88.

17. П17. Макин P.C. Чебышевский итерационный метод для некоторых нелинейных задач динамики реакторов. // Вестник УлГТУ-ДИТУД. 2003. Вып.1(15). с.60-66.

18. П18. Макин P.C. Устойчивость стационарных режимов и нелинейные модели реакторов. // Вестник УлГТУ-ДИТУД. 2003. Вып. 2(16). С.40-45.

19. П19. Макин P.C. Нелинейные свойства решений одной модельной задачи динамики реакторов. // Вестник УлГТУ-ДИТУД. 2003. Вып.3(17). С.82-90.

20. П20. Поливанов И.Ф., Макин P.C., Старков В.А., Юдин К.И. Метод расчета кампании гетерогенного реактора. НИИАР. Препринт №19(427). Димитровград, 1980.

21. П21. Ванеев Ю.Е., Поляков Ю.Н., Коротков Р.И. Методика расчета запаса реактивности реакторов со сложной гетерогенной структурой. НИИАР. Препринт №25(478). Димитровград, 1981.

22. П22. Поливанов И.Ф., Макин P.C., Юдин К.И., Старков В.А. Методы расчета кампании гетерогенного реактора с регулярной решеткой органов системы управления и защиты. НИИАР. Препринт №13(528). Димитровград, 1982.

23. П23. Макин P.C., Юдин К.И., Поливанов И.Ф. Численный метод решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений динамики реакторов. НИИАР. Препринт №26(638). Димитровград, 1984.

24. П24. Макин P.C. О свойствах решений некоторых интегро-дифференциальных задач динамики реакторов. ЦНИИ атоминформ. Препринт №24(705). М.: 1986.

25. П25. Макин P.C. Метод собственных функций решения некоторых задач термализации нейтронов. // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Физика и техника ядерных реакторов. 1984. Вып.6(43). С. 18-22.

26. П26. Платонов А.П. Численный метод расчета спектров замедляющихся нейтронов в конечных средах с учетом 5-образной зависимости индикатрисы упругого рассеяния. // Атомная энергия. 1998. Т.84. с.216-219.

27. П27. Платонов А.П. О дифференцируемое™ по энергии интеграла упругих соударений в задачах замедления нейтронов. // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 1999. Т.39. №4. с.663-669.

28. П28. Платонов А.П. Об одном подходе к решению задачи упругого замедления нейтронов в однородной среде от моноэнергетического изотропного точечного источника. // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т.40. №1. с.144-152.

29. П29. Платонов А.П. Об эквивалентности решений интегральной и дифференциальной форм уравнения замедления нейтронов в бесконечных средах. // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 2001. Т.41. №3. с.459-466.

30. П30. Платонов А.П. Модели и вычислительные методы в теории нейтронных полей (упругое замедление нейтронов). Автореферат диссерт. на соиск. уч. степени д.ф.-м.н. Ульяновск, УлГУ, 2003. '

31. П31. Николаев М.Н. Замедление нейтронов. Учебное пособие. Обнинск: Обнинский институт атомной энергетики. 1989.

32. П32. Байбаков В.Д., Воробьев Ю.Б., Кузнецов В.Д. Коды для расчета ядерных реакторов. Учебное пособие. М.: Изд-во МЭИ, 2003.

33. ПЗЗ. Емельянов И.Я., Гаврилов П.А., Селиверстов Б.Н. Управление и безопасность ядерных энергетических реакторов. М.: Атомиздат, 1975.

34. П34. Кострица A.A. Теория переноса нейтронов в движущейся среде. М.: Энергоиздат, 1981.

35. П35. Цыканов В.А., Чечеткин Ю.В., Макин P.C. и др. Реактор с органическим теплоносителем для ACT. НИИАР. Препринт №4(457). Димитровград, 1981.

36. П36. Бунтушкин В.П., Макин P.C., Карпюк В.И. и др. Исследования на установке АРБУС в обоснование безопасности атомных станций теплоснабжения на останове реакторов с органическим теплоносителем. НИИАР. Препринт №21(474). Димитровград, 1981.

37. П38. Цыканов В.А., Аверьянов П.Г., Бурукин В.П. Исследовательский реактор РБТ-6. // Атомная энергия. 1977. Т.43. Вып.1. с.14-19.

38. П39. Цыканов В.А., Чечеткин Ю.В., Кормушкин Ю.П., Макин P.C. и др. Опытная атомная станция теплоснабжения на базе реактора АРБУС. // Атомная энергия. 1981. Т.50. Вып.6. с.376-381.

39. П40. Макин P.C., Артемчук В.В., Поливанов И.Ф., Юдин К.И. Исследования аварийных ситуаций при разгерметизации «сухих» каналов на установке АСТ-1. НИИАР. Препринт №5(529). Димитровград, 1982.

40. П41. Коняшов В.В., Макин P.C., Охрименко А.И. и др. Реакторная установка ВК-50 -экспериментальная база научных исследований. // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Ядерная техника и технология. 1991. Вып.6. с.81-90.

41. П42. Макин Р.С. О свойствах решений одной задачи динамики реактора с учетом ксеноновых колебаний. //Дифференциальные уравнения, 2004. Т.40. №4. с.1-11.

42. П43. Герасимов А.С., Рудик А.П. Отравление реактора ксеноном-135. М.: Энергоиздат, 1982.

43. П44. Митин A.M. Реакторы на быстрых нейтронах с внутренне присущими свойствами безопасности. Обзор. М.: ЦНИИ атоминформ, 1990.

44. П45. Митенков Ф.М. Актуальные задачи динамики энергетических реакторов. // Ibid. 1981. Вып.6(19). С.3-15.

45. П46. Горяченко В.Д. Качественные методы в динамике ядерных реакторов. М.: Энергоатомиздат, 1983.

46. П47. Горяченко В.Д., Золотарев C.JL, Колчин В.А. Исследование динамики ядерных реакторов качественными методами. М.: Энергоатомиздат, 1988.

47. П48. Eshcherkin V., Makin R.S., Yakshin Е. Energy block with vessel boiling reactor. // Third Annual Scientific Conference Nuclear Society International. Book of Abstracts. St.-Petersburg, 1992. p.222-224.

48. П49. Шихов С.Б., Щукин H.B. Метод расчета устойчивости кипящего канального реактора. //В сб.: Физика ядерных реакторов. Вып.7. М.: 1978. с.83-97.

49. П50. Щукин Н.В. Исследование устойчивости кипящих канальных реакторов с исследованием распределенных моделей. Диссерт. на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук. Москва, 1979.

50. П51. Леппик П.А., Павлов С.П., Плютинский В.И. К вопросу о механизме ВЧ-резонансной нестабильности реактора ВК-50. // Атомная энергия. 1984. Т.52. Вып.6. с.379-382.

51. П52. Леппик П.А. Экспериментальное определение взаимодействия пульсаций нейтронного потока и расхода теплоносителя в корпусном кипящем реакторе. // Атомная энергия. 1984. Т.57. Вып.6. с.420-422.

52. П53. Waaranpera V., Andersson S. BWR stability testing: reaching the limit cycle threshold at natural circulation. // Trans. Amer. Nucl. Soc. 1981. V.39. p.868-870.

53. П54. March-Leuba J., Perez R.B. A physical model of nonlinear noise with application to BWR stability. // Trans. Amer. Nucl. Soc. 1983. V.44. p.523-525.

54. П55. Потапенко П.Т., Косилов A.H., Михайлов B.H. Исследование двухфазного жидкого регулирования реакторов CANDU. // Атомная техника за рубежом. 1983. №7. с.79-89.

55. П56. Вдовин С.И. Бифуркации решений уравнений кинетики ядерного реактора с нелинейной обратной связью. // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Физика и техника ядерных реакторов. 1985. Вып.2. с.75-81.

56. П57. Вдовин С.И., Сабаев Е.Ф. Ограниченность решений уравнений кинетики реактора. // Ibid. с.70-74.

57. П58. Горяченко В.Д., Колчин В.А. Исследование упрощенной модели динамики реактора как объекта с запаздыванием. // Ibid. 1982. Вып.3(25). С.18-25.

58. П59. Горяченко В.Д., Колчин В.А., Шилов Б.Н. Исследование динамики ядерного реактора по сосредоточенным нелинейным моделям с запаздываниями. // Ibid. 1986. Вып.1. с.76-87.

59. П60. Шилов Б.Н. К исследованию устойчивости ядерного реактора вторым методам Ляпунова. // Ibid. с.63-66.

60. П70. Золотарев С.Л. К исследованию точечной модели динамики реактора с циркулирующим горючим. // Ibid. с.52-58.

61. П71. Золотарев С.Л. Алгоритмы численного исследования бифуркационных явлений в динамических системах с последействием. //Ibid. 1984. Вып.2(39). с.75-80.

62. П72. Сабаев Е.Ф. Взрывные, неограниченные и глобально ограниченные решения уравнений кинетики реактора с обратной связью по реактивности. // Ibid. с. 10-19.

63. П73. March-Leuba J., Cacuci D.G., Perez R.W., Award M.M. Nonlinear dynamics and stability of boiling water reactors: qualitative and quantitative analyses. // Trans. Amer. Nucl. Soc. 1985. V.50. p.543-544.

64. П74. March-Leuba J. Stability of boiling water reactor limit cycle bifurcations and chaotic behavior. //Ibid. 1989. V.60. p.345-346.

65. П75. March-Leuba J., Otaduy PJ. The importance of momentum dynamics BWR neutronic stability: experimental evidence. // Ibid. 1985. V.50. p.563-564.

66. П76. March-Leuba J., Perez R.B. A physical model of nonlinear noise with application to BWR stability. //Nucl. Sei. Eng. 1984. V.86. №4. p.401-404.

67. П77. Cheng H.S. et al. Simulation of the recent La Salle incident with BWR analyzer. // Trans. Amer. Nucl. Soc. 1988. V.57. p.385-386.

68. П78. Robin G.R., Peter J.J. Investigation of BWR instability phenomena using RETRAN-03. // Ibid. 1989. V.60. p.482-483.

69. П79. March-Leuba J. Average power increase during limit cycle oscillations. // Ibid. 1989. V.60. p.481-482.

70. П80. Damiano В., March-Leuba J. Power distribution effects on boiling water reactor stability. // Ibid. 1989. V.60. p.480-481.

71. П81. Larry E.F. et al. OD YS Y: A computer program to predict stability of boiling water reactor. //Ibid. 1983. V.45. p.727-728.

72. П82. Nielan L.A., Pruitt D.W., Jones S.W. Stability monitoring in boiling water reactors. // Ibid. 1988. V.57.p.277-278.

73. П83. Jones S.W., Humphreys H.C. Stability monitoring system demonstration program AT WHP-2. // Ibid. 1989. V.60. p.483-484.

74. П84. Koldstein L. et al. Stability monitoring experience on German BWR's. // Ibid. 1989. V.60. p.484-485.

75. П85. Макин P.С. Об устойчивости кипящего реактора как нелинейной динамической системы.// Вопросы атомной науки и техники. Серия: Ядерная техника и технология. 1992. Вып.6. с.24-27.

76. П86. Макин Р.С. О бифуркации одной нелинейной системы уравнений динамики реакторов с распределенными параметрами. Препринт. НИИАР-27(639). Димитровград: 1984. 29 с.

77. П87. Макин Р.С. Асимптотические свойства решений некоторых задач динамики реакторов. Препринт НИИАР-13(744). ЦНИИ атоминформ. М.: 1988. 20 с.

78. П88. Макин Р.С. Об асимптотике решения некоторых задач динамики реакторов. // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Ядерная техника и технология. 1992. Вып.6. с.59-67.

79. П89. Макин Р.С. Методы обнаружения и прогнозирования скрытых закономерностей поведения сложных динамических систем. // Труды НИИАР. Димитровград. 1993. 104 с.

80. П90. Постников Н.С. Динамический хаос в реакторе с системой регулирования. // Атомная энергия. 1991. Т.77. Вып.1. с.3-10.

81. П91. Постников Н.С. К исследованию автоколебаний в нелинейных моделях динамики ядерного реактора. // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Физика и техника ядерных реакторов. 1994. Вып.1. с.28-30.

82. П92. March-Leuba J., Perez R.B., Caccuci D.G. Universality and aperiodic behaviour of nuclear reactor. //Nucl. Sci. Eng. 1988. V.86. №4. p.401-404.

83. П93. March-Leuba J., Perez R.B., Caccuci D.G. Nonlinear dynamics and stability of boiling water reactor: P.l. Qualitative analysis. //Nucl. Sci. Eng. 1986. V.93. №2. p.l 11-123; P.2. Quantitative analysis. // Ibid, p.124-136.

84. П94. Постников Н.С. Стохастические автоколебания в реакторе с дискретной системой регулирования. // Атомная энергия. 1989. Т.67. Вып.4. с.251-255.

85. П95. Постников Н.С. Хаотическая динамика ядерных реакторов. // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Физика ядерных реакторов. 2002. Вып.З. с.17-25.

86. П96. Ни В., Мао J. Period doubling: universality and critical point order. // Phys. Rev. A. 1982. V.25 A. №6. p.3259-3261.

87. П97. Ни В., Satija I.I. A spectrum of universality classes in period doubling and period tripling. // Phys. Lett. 1983. V.98 A. №4. p.143-146.

88. П98. Kawai H., Туе S.-H.H. Approach to chaos: universal quantitative properties of one-dimensional maps. //Phys. Rev. A. 1984. V.30. №4. p.2005-2023.

89. П99. Schraiman В., Wayne C.E., Martin P.O. Scaling theory for noisy period- doubling transitions to chaos. //Phys. Rev. Lett. 1981. V.46. №4. p.935-936.

90. П100. Huberman B. A., Zisook A. B. Power spectra of strange attractor. // Phys. Rev. Lett. 1981. V.46. №10. p.626-632.

91. П101. Wolf A., Sift J. Universal power spectra for the reverse bifurcations sequence. // Phys. Lett. 1981. V.83 A. №5. p.184-188.

92. П102. Farmer J. D. Spectral Broadening of period-doubling bifurcation sequences. // Phys. Rev. Lett. 1981. V.47. №3. p. 179-182.

93. П103. Пиковский А. С. О поведении спектра странного аттрактора в критической точке. // Изв. Вузов. Серия: Радиофизика.1982.т.25.№7.с.846-848.

94. П104. Kai Т. Universality of power spectra of a dynamical system with an infinite sequence of period- doubling bifurcations. // Phys. Lett. 1979. V.74 A. №6. p.375-378.

95. П105. Гольберг А.И., Синай А. Г., Ханин Г.М.Универсальные свойства для последовательности бифуркаций утроения периода. // Успехи матем. наук. 1983. V.24. №3. р. 1640-1642.

96. П106. Кузнецов С.П., Пиковский А.С.Универсальность бифуркаций удвоения периода в одномерной диссипативной среде. // Изв. Вузов. Серия: Радиофизика. 1985. Т.28. №3. с.308-319.

97. П107. Makin R.S. Some regularity in simulating of sophisticated dynamical system.//Proc. of 7th European Simulation Symposium (Erlangen-Nuremberg, Germany).1995.p.798-801.

98. П108. Макин P.С.,Зайцев M.E. О спектральной оценке для одной задачи кинетики реактора.\\ Труды междунар. конференц. «Безопасность АЭС и подготовка персонала». 2007.0бнинск.с. 132-133.

99. П110. Грачев А.Ф., Кинский О.М., Макин Р.С., Федулин В.Н. Подготовка эксплуатационного персонала исследовательских реакторов в отраслевом Учебно-тренировочном центре. // Изв. Вузов. Ядерная энергетика. 1995. №5. с.58-65.

100. П112. Грачев А.Ф., Зацепин А. И., Макин Р.С., Ризванов В.К. Подготовка персонала исследовательских реакторов в отраслевом учебном центре. // Изв. вузов. Ядерная энергетика. 1998. №4. с.56-58.

101. П114. Makin R.S., Ochrimenko A.I., Demidov L.I. Research reactor operators training for emergency accident management using simulators and nuclear power analyzer. // Proc. of OECD Workshop, Lyon, France, (12-14) March, 2001. p.28-35.

102. П116. Макин Р.С., Охрименко А.И., Демидов Л.И. Подготовка персонала исследовательских реакторов с использованием тренажеров и анализаторов. // Ibid. с.263-264.

103. П119. Либенсон М.Н., Макин B.C., Макин Р.С.Дисперсия поверхностных поляритонов в среде с пространственно неоднородной диэлектрической проницаемостью. // Оптика и спектрокопия. 1985. Т.59. Вып.4. с.916-919.

104. П120. Либенсон М.Н., Макин B.C., Пестов Ю.И., Трубаев В.В. Образование регулярного рельефа на поверхности кремния под действием поляризованного лазерного излучения. // Оптический журнал. 1996. Вып.2. с.78-84.

105. П121. Makin V.S., Makin R.S., Guo С., Vorobjev A.Y. Universality of Feigenbaum and dissipative microstructures for highly nonequilibrium system. // Proc. of Int. Seminar "Days on Diffraction-2007". St.-Petersburg. 2007. p.60.

106. П122. Bonch-Bruevich A.M., Libenson M.N., Makin V.S., Trubaev V.V. Surface electromagnetic waves in optics. // Optical Engineering. 1992. V.31. №4. p.716-730.

107. П124. Logacheva E.I., Makin V.S., Trubaev V.V. Negative dispersion cylindrical surface plasmon- polaritons in layered media. // Proc. of the Intern. Conf. "Days on Diffraction 2006". May 30- June 2, 2006.St.-Petersburg, Russia, p. 154-160.

108. П125. Smirnov D.S., Makin V.S. Negative dispersion cylindrical surface plasmon-polaritons in spatially inhomogeneous dielectric permittivity media. // Ibid, p.286-292.

109. П126. Trubaev V.V., Logacheva E.I., Makin V.S. The fields generated by finite grating coupler in conditions of SEW excitation. // Ibid, p.306-313.

110. Емельянов Н.Я., Гаврилов П.А., Селиверстов Б.Н. Управление и безопасность ядерных энергетических реакторов. М.: Атомиздат, 1975.

111. Митенков Ф.М. Актуальные задачи динамики энергетических реакторов. // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Физика и техника ядерных реакторов. 1981. Вып. 6. (19). с. 3-15.

112. Воронков A.B., Масленников М.В. О математической модели нейтронно- физических процессов в ядерном реакторе. //В сб.: Современные проблемы математической физики и вычислительной математики. М.: Наука, 1982. с. 84-101.

113. Akcasu A.Z., Lellouche G.S., Shotkin L.M. Mathematical methods in nuclear íeactor dynamics. N.-Y.: Academic Press, 1971.

114. Вейнберг Э., Вигнер E. Физическая теория ядерных реакторов. М.: Иностранная литература, 1961.

115. Горбунов В.П., Шихов С.Б. Нелинейная динамика ядерных реакторов. (Анализ методами A.M. Ляпунова). М.: Атомиздат, 1975.

116. Крянев A.B., Шихов С.Б. Вопросы математической теории реакторов. Нелинейный анализ. М.: Энергоатомнздат, 1983.

117. Новиков В.М., Шихов С.Б. Теория параметрического воздействия на перенос нейтронов. М.: Энергоиздат, 1983.

118. Горяченко В.Д.--Методы исследования устойчивости ядерных реакторов. М.: Атомиздат, 1977.

119. Галанин А.Д. Теория гетерогенного реактора. М.: Атомиздат, 1971.

120. Кипин Дж.Р. Физические основы кинетики ядерных реакторов. Пер. с англ. М.: Атомиздат, 1967.

121. Шишков Л.К. Методы решения диффузионных уравнений двумерного ядерного реактора. М.: Атомиздат, 1976.

122. Дэвисон Б. Теория переноса нейтронов. Пер. с англ. М.: Госатомиздат, 1960.

123. Шихов С.Б. Вопросы математической теории реакторов. Линейный анализ. М.: Атомиздат, 1973.

124. Ершов Ю.И., Шихов С.Б. Математические основы теории переноса. Т.1. М.: Энергоиздат, 1985.- • .

125. Ершов Ю.И., Шихов С.Б.(Математические основы теории переноса. Т.2. Приложения к физике реакторов. М.: Энергоатомиздат, 1985.

126. Фейиберг С.М., Шихов С.Б., Троянский В.Б. Теория ядерных реакторов. Т.1. Элементарная теория реакторов. М.: Атомиздат, 1978.

127. Кейз К., Цвайфель П. Линейная теория переноса. М.: Мир, 1978.

128. Давыдов В.И., Шихов С.Б. Аналитические методы решения газокинетического уравнения переноса^нейтронов (приближенные представления). М.: Атомиздат, 1975.

129. Владимиров B.C. Математические задачи односкоростной теории переноса частиц. // Труда матем. института им. В.А. Стеклова СССР. 1961.Т.61. с. 3- 158.

130. Смелов В.В. Лекции по теории переноса нейтронов. М.: Атомиздат, 1978.

131. Кольчужкин A.M., Учайкин В.В. Введение в теорию прохождения частиц через вещество. М.: Атомиздат, 1978.

132. Сабаев Е.Ф. Системы сравнения для нелинейных дифференциальных уравнений и их приложения в динамике реакторов. М.: Атомиздат, 1980.

133. Горяченко В.Д. Методы теории устойчивости в динамике ядерных реакторов. М.: Атомиздат, „1971. „ . . „.

134. Морозов И.И., Герлига В.Н. Устойчивость кипящих аппаратов. М.: Атомиздат, 1969.

135. Марчук Г.И. Методы расчета ядерных реакторов. М.: Госатомиздат, 1961.

136. Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов. М.: Атомиздат, 1971.

137. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980.

138. Крамеров А.Я., Шевелев Я.В. Инженерные расчеты ядерных реакторов. М.: Атомиздат, 1964.

139. Хетрик Д. Динамика ядерных реакторов. Пер. с англ. М.: Атомиздат, 1975.

140. Хитчкок А. Устойчивость ядерных реакторов. Пер. с англ. М.: Госатомиздат, 1963.

141. Гози М., Кахан Т. Управление ядерными реакторами. М.: Госатомиздат, 1960.

142. Емельянов И.Я., Константинов Л.В., Ефанов А.И. Научно- технические основы управления ядерными реакторами. М.: Энергия, 1980.

143. Гермогенова Т.А. Локальные свойства решений уравнения переноса. М.: Наука, 1986.

144. Агошков В.И. Некоторые вопросы теории и приближенного решения задач теории переноса. М.: Отдел вычисл. мат. АН СССР, 1984.

145. Рудик А.П. Оптимизация физических характеристик ядерных реакторов. М.: Атомиздат, 1979.

146. Хромов В.В., Кузьмин A.M., Орлов В.В. Метод последовательной линеаризации в задачах оптимизации реакторов на быстрых нейтронах. М.: Атомиздат, 1978.

147. Рудик А.П. Оптимальное расположение ядерного горючего в реакторе. М.: Атомиздат, 1974.

148. Теория ядерных реакторов. Под ред. Г. Биркхофа и Э. Вигнера. Пер. с англ. М.: Атомиздат, 1963.

149. Шихов С.Б., Щукин 11.В. Динамика реакторов. Учебное пособие. М.: МИФИ, 1982.

150. Многогрупповое приближение в теории переноса нейтронов. // М.Н. Николаев, Б.Г. Рязанов, М.М. Савоськин, А.М Цибуля. М.: Энергоатомиздат, 1984.

151. Методы расчета полей тепловых нейтронов в решетках реакторов. // Под ред. Я.В. Шевелева. М.: Атомиздат, 1974.

152. Румянцев Г.Я. Линейно-алгебраическая теория переноса нейтронов в плоских решетках. М.: Атомиздат, 1979.

153. Румянцев Г.Я. Обобщенные распределения нейтронов. М.: Энергоатомиздат, 1989.

154. Ершов Ю.И., Шихов С.Б. Методы решения краевых задач теории переноса. М.: Атомиздат, 1975.

155. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984.

156. Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем. М.: Наука, 1984.

157. Шустер Г. Детерминированный хаос: Введение. М.: Мир, 1988.

158. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987.

159. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984.

160. Мун Ф. Хаотические колебания. М.: Мир, 1990.

161. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. М.: Мир, 1991.

162. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику: о г маятника до турбулентности и хаоса. М.: Наука, 1988.

163. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. Ижевск: PXD, 2002.

164. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский A.A. Нестационарные диссипативные структуры и диффузионный хаос. М.: Наука, 1992.

165. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. Изд. 2-ое. М.: УРСС, 2002.

166. Нелинейные волны. //Сб. статей. Под ред. А. В. Гапонова-Грехова. М.: Наука, 1979.

167. Пссии Я.Б: Общая -теория гладких гиперболических динамических систем. // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ. 1985.С. 123-173.

168. Нитецкп 3. Введение в дифференциальную динамику. М.: Мир, 1975.

169. Странные аттракторы. М.: Мир, 1981.

170. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкип С.Э. Теория колебаний. Фнзматиз, 1959.

171. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев 11.А. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука, 1976.

172. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные . направления. Т. 1,2. М.: ВИНИТИ, 1985.

173. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Новейшие достижения. Т.28. М.: ВИНИТИ, 1987. . . . .

174. Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций. М.: Мир, 1983.

175. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: 1980.

176. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. М.: Наука, 1997.

177. Малинецкий Г.Г. Математический основы синергетики. Хаос, структуры, вычислительный эксперимент. М.: УРСС, 2005.

178. Нелинейные волны: самоорганизация. // Сб. статей. Под ред. А. В. Гапонова-Грехова и М.И. Рабиновича. М.: Наука, 1983.

179. Нпколис Г., Пригожии И. Самоорганизация в неравновесных системах. М.: Мир, 1979.

180. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1980.

181. Самарский A.A., Галактионов В.А., Курдюмов А.П., Михайлов А.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических' уравнений. М.: Наука, 1987.

182. Боуэн Р. Методы символической динамики. М.: Наука, 1979.

183. Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности. М.: Мир, 1984.76,11,78,79,80,81,82,83,84,85;86,87