Исследование некоторых общих свойств полей излучения в плоскопараллельных средах на основе применения принципа инвариантности тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.02 ВАК РФ

Стр.

ВВЕДЕНИЕ. 2

Глава I. ЗАДАЧА. ДИФФУЗНОГО ОТРАЖЕНИЯ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНОМ ЗАКОНЕ ПЕРЕРАСПРЕДЕЛЕНИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ ПО ЧАСТОТАМ. II

§ I. Вероятность выхода излученного кванта . 13

§ 2. Соотношение взаимности .16

§ 3. Определение функции диффузного отражения полубесконечной среды .18

§ 4. Аналог резольвентной функции Соболева.20

§ 5. Угловой момент аналога вспомогательной функции

Амбарцумяна.25

§ 6. Прямой вывод основного результата из функционального уравнения Амбарцумяна. 27

§ 7. Диффузное отражение и диффузное пропускание излучения слоем конечной оптической толщины. . . 29

Выводы. . 35

Глава П. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНШ В ТЕОРИИ

ВНУТРЕННЕГО РЕЖИМА . 38

§ 8. Функция Грина полубесконечной среды при изотропном рассеянии . 42

§ 9. Функция Грина слоя конечной оптической толщины при общем законе перераспределения излучения по частотам и направлениям. 43

Выводы.54

Глава Ш. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ИНВАРИАНТНОСТИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ЗАДАЧАХ ВНУТРЕННЕГО РЕЖИМА. 57

§ 10. Метод сложения слоев Амбарцумяна для функции

Грина слоя конечной оптической толщины.59

§ II. Общие соотношения инвариантности для сложения двух плоскопараллельных слоев с произвольными характеристиками. 66

Стр.

§ 12. Обобщенная задача Стокса. 68

§ 13. Процедура удвоения для расчета поля излучения в однородном слое при произвольных источниках энергии . 71

§ 14. Совместное использование алгебраических выражений и интегральных соотношений инвариантности .

Выводы. 80

Глава 1У. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ВНУТРЕННЕГО РЕЖИМА ДЛЯ СЛОЯ КОНЕЧНОЙ ТОЛЩИНЫ. 83

§ 15. Асимптотическое приближение для ф.г. конечного слоя при анизотропном рассеянии .

§ 16. Асимптотический режим внутри среды при наличии произвольных первичных источников энергии.92

§ 17. Квазиасимптотическое приближение для ф.г. плоского слоя при изотропном рассеянии. .

§ 18. Определение вспош га тельных функций. 99

§ 19. Явные выражения для основных характеристик однородной полубеоконечной среды при изотропном рассеянии. 104

Выводы. 107

Истоки теории переноса лучистой энергии восходят к первым исследованиям лорда Релея в 1871 г., относящимся к вопросам освещенности и поляризации излучения в дневном небе. Однако основополагающие работы в этой области были выполнены Шустером в 1905 г., который, пытаясь объяснить возникновение линий поглощения и излучения в спектрах звезд, сформулировал задачу переноса лучистой энергии,и Шварцшильдом в 1906 году, который ввел понятие лучистого равновесия в звездных атмосферах /Чандрасекар,1950/. В даль* нейшем, благодаря работам Милна, Эддингтона, Хопфа и других, теория получила бурное развитие и широко применяется до сих пор при исследовании и интерпретации многих астрофизических явлений. Это в равной мере касается как анализа звездных спектров, светового режима планетных атмосфер, так и понимания процессов, происходящих в газовых туманностях, в диффущных газо-пылевых сложных комплексах, оболочках нестационарных звезд, в молекулярных и электронных облаках, в рентгеновских источниках и в космической плазме. Более того, трудно сейчас представить астрофизическое явление, при исследовании которого не встречались бы процессы взаимодействия излучения с веществом или же процессы многократного рассеяния и поглощения. Пионерские приближенные методы впоследствии уступили свое место точным методам и высокоточным приближениям, а упрощенные модели явлений - более реалистическим и сложным / Чандрасекар, 1950; Соболев, 1956, 1972; Иванов, 1969; Михалас, 1978 и т.д. /. После появления быстродействующих ЭВМ методы теории переноса начали успешно развиваться также в численном отношении. Однако, наибольшие успехи бьши достигнуты в методах, искусно совмещающих наилучшие стороны численного и аналитического подходов. По мере накопления астрофизических данных, улучшения качества наблюдений и возможностей астрономической техники, растет потребность рассмотрения все более сложных задач переноса, возникающих при более детальном исследовании явлений, протекающих в астрофизических объектах.

С появлением и развитием ядерной энергетики теория переноса получила существенное развитие также в исследованиях задач диффузии нейтронов /Дэвисон,1958; Белл, Глесстон,1974/. Силами широкого круга математиков и физиков были модифицированы старые и разработаны новые методы /Кейз, Гофман, Плачек,1953; Кейз, Цвайфель, 1967; Марчук,Лебедев,1981; Прайзендорфер,1965, Черчиньяни,1978;

Ершов, Шихов,1977/.

Результаты, полученные в теории переноса излучения и частиц, кроме астрофизики и физики реакторов, широко используются также во многих других областях: геофизика, атмосферная оптика /Марчук, Михайлов и др.,1976; Пшеничный,1982/; физика океана и гидроппти-ка /Монин,1983/; задачи лучистого теплообмена /0цисик,1973/-инже-нерные расчеты в камерах сгорания и электрических дугах,тепловой режим радиоэлектронной аппаратуры и искусственных спутников Земли; защита от ионизирующего излучения /Тусев,Машкович,Суворов, 1980/; явления переноса в растительном покрове /Росс,1975/; физика плазмы /Имщенник,Морозов,1981; Долгинов, Гнедин, Силантьев, 1979/ и задачи термоядерного синтеза; физика волновых процессов /Исимару,1978/ и т.д. Очевидно, что этот далеко неполный список приложений теории переноса излучения и частиц со временем будет расти.

Особое место в современной теории переноса занимают методы, основанные на принципе инвариантности, который впервые был введен в работах В.А.Амбарцумяна /1942,1943аб, 1944аб,1947/. Многие авторы сразу по достоинству оценили значение идей инвариантности и плодотворность методов,разработанных на принципе инвариантности. В работах Чандрасекара, Соболева, в дальнейшем Беллмана, Укнга, Калаба, Уэно, Ван де Хюлста и других этот прин-щп использовался в той или иной трактовке, в каждой задаче проявляя свои возможности по-новому. В итоге был развит новый, нестандартный для того времени, подход к задачам переноса. В развитие идей и разработку методов решения задач переноса, основанных на систематическом применении принципа инвариантности, существенный вклад внесли Ленинградская и Бюраканская школы астрофизиков. Применение принципа инвариантности позволяет не только получить новые результаты, значительно проще выводить старые, но и указывает пути дальнейшего развития теорш и предоставляет возможность заранее оценить степень, до которой можно упростить исследуемую задачу. Подчас приходится удивляться, когда, на первый взгляд, безнадежно сложные задачи удается существенно упростить и продвинуть вперед благодаря использованию простых идей принципа инвариантности.

Этот принцип в настоящее врег/я широко используется также в прикладной физике /Папаз,1974; Мингл, 1973; Шимицу, Аоки, 1972/, прикладной и"чистой"математике /Енгибарян,1972; Касти, Калаба, 1973; Скотт, 1973; Кагивада, 1974; Кагивада, КалабаД974; Енгиба-рян, Арутюнян, 1975; Амбарцумян Р., 1982/, математической физике /Кагивада, Калаба, Уэно, 1975; Прайзендорфер, 1965/ и во многих смежных областях. Из работ, предшествующих принципу инвариантности, можно отметить метод, использованный еще в прошлом веке английским физиком и математиком Стоксом /1862/, при рассмотрении отражения и пропускания света "пачкой" наложенных друг на друга одинаковых пластин. Его в зачаточном состоянии до сих пор можно встретить в теоретической фотометрии /Сапожников, 1967/. Следует также отметить некоторые поздние работы, в которых в том или ином аспекте используются схожие с основными идеями принципа инвариантности соображения, и, по существу, их можно считать разновидностью применения принципа инвариантности, хотя это не всегда указывается и возможны споры. Б первую очередь это относится к известной лемме Плачека Дейз, Гофман, Плачек, 1953/ и разработанный на ее основе методу поверхностных псевдоисточнжов /Лале-тин,1969,1974; Беноист, КаЕеноки,1968; Бивенс, Девойт,1968/, к некоторым "приемам", использованным в работах Толубинского по общей теории диффузионных процессов /Толубинский,1969/, трактовке результатов работы Кейза /1969/.

Несмотря на большой объем и многочисленность работ, выполненных за истекшие сорок лет (со времени появления первых работ), многие аспекты принципа инвариантности рассматривались лишь в последние годы, и можно сказать, что его широкое систематическое применение в различных областях современного знания еще находится в начальной стадии. С развитием теории переноса и усложнением задач сильно возросла потребность поиска и разработки новых, более эффективных методов исследования и упрощения сложных задач. Оказывается, что принвдп инвариантности в этом смысле может дать еще много нового и послужить надежным средством при исследовании задач переноса при самых общих предположениях об элементарнсм акте рассеяния, наличии в средах первичных источников произвольной природы и при переходе к задачам не-гшоских геометрических форм.

Целью представляемой диссертационной работы является исследование некоторых задач переноса, которые встречаются при более детальном исследовании различных астрофизических явлений. Б основном это задачи исследования внутреннего светового режима при наличии в среде внутренних источников с учетом также зависимости элементарного акта рассеяния от частоты. Показано, что применение принципа инвариантности позволяет логически продолжить и распространить на эти сложные задачи те фундаментальные упрощения и результаты, которые были получены при исследовании классических, стандартных задач теории переноса. Предложены универсальные конкретные методы, пригодные для расчета поля излучения в плоском слое при произвольном выборе первичных источников, элементарного акта рассеяния и толщины.

В первой главе исследуются задачи о диффузном отражении от полубесконечной среды, отражения и пропускания излучения от слоя конечной оптической толщины, при произвольном законе перераспределения излучения по частотам. Показывается, что, аналогично монохроматическому рассеянию, в этом случае также можно достичь разделения угловых переменных и решить задачу, не прибегая к определению величин, определяющих характеристики внутреннего поля излучения. Но для достижения цели оказывается необходимым введение понятия вероятности выхода первоначально излученного кванта. Показывается, что в ряде задач, где учитывается некогерентность элементарного акта, целесообразнее воспользоваться именно этой величиной, вместо широко используемого понятия вероятности выхода поглощенного кванта (в случав монохроматического изотропного рассеяния обе величины совпадают с точностью до постоянного множителя). Выводятся также соотношение взаимности для данного случая, некоторые важные соотношения для аналога резольвентной функвди Соболева и нулевых угловых моментов аналогов вспомогательных функций Амбарцумяна.

Во второй главе сначала исследуется задача точного определения функции Грина (ф.г.) полубесконечной среды.Показывается, что в случае изотропного рассеяния можно: а) выразить ф.г. через значение функции источника (ф.и.) без интегрирований по оптической глубине; б) "разделить" угловые переменные. Результат обобщается на случай среды конечной оптической толщины при самых общих предположениях об элементарном акте рассеяния.

Показывается, что в случае изотропного рассеяния, при произвольном законе перераспределения излучения по частотам tC.*'»*) t справедливо как свойство (а), так и (б). Дня случая же анизотропного рассеяния, при общей функции перераспределения по частотам и направлениями ^С*;*.>iD имеет место только свойство (а ) (разумеется, если в характеристиках элементарного акта не использовано разложение•по полиномам Лежандра по параметру cosfi ).

В третьей главе исследуются соотношения инвариантности в общей - "интегральной" форле. Метод сложения слоев Амбарнумяна применен для связывания между собой характеристик поля излучения двух слоев с произвольнши свойствами. На его основе решена "Обобщенная задача Стокса" - построена процедура сложения для расчета поля излучения в слое при произвольном выборе всех его характеристик. Для случая однородного слоя построена процедура удвоения толщин, пригодная для расчета в нем поля излучения при произвольном выборе первичных источников.

Для более частных случаев - тех, для которых справедливо свойство разделения угловых переменных, показана эффективность совместного использования алгебраических выражений (полученных в 1,11 главах) и описанных процедур сложения, основанных на интегральных соотношениях инвариантности. В частности показано, что в методе удвоения слоев можно добиться сильного упрощения -того, чтобы из уравнений находились лишь вспомогательные функции, зависящие от одной угловой переменной.

Все уравнения, употребляемые в этой процедуре, обладают двумя важными достоинствами: они не зависят от выбора первичных источников - "источниковая" независимость, и не зависят также от оптических глубин, на которых определяются искомые характеристики полей излучения, т.е. поскольку с их помощью отыскиваются величины, зависящие лишь от поверхностных точек (сшивающие функции, коэффициент яркости), то уравнения обладают "объемной" независимостью.

Такой универсальности процедур - относительно выбора первичных источников, с одной стороны, и относительно оптической глубины наблюдения-с другой, удалось добиться с помощью введения и использования новой универсальной величины - сшивающей функции (сшивающих коэффициентов яркости), через которую все искомые характеристики поля (в указанных методах) выражаются в явном виде. Следовательно, роль введенных функций при рассмотрении задач внутреннего режима исключительно важна. Другое достоинство описанных в этой главе методов решения задачи плоского слоя заключается в их универсальности относительно свойств элементарного акта рассеяния, что целиком является следствием использования соотношений инвариантности в "интегральной" форме.

В четвертой главе, с помощью использования результатов П и Ш главы, строится асимптотическое приближение для ф.г.слоя конечной оптической толщины: при анизотропном рассеянии, а в изотропном случае - также приближенные выражения более высокой точности - квазиасимптотики. На основе формул ф.г. выводятся простые асимптотические выражения,весьма удобные для практического определения интенсивности внутреннего поля излучения в оптически толстых средах при произвольных первичных источниках энергии.

Б конце главы, для случая монохроматического изотропного рассеяния, приводятся явные выражения основных величин, встречающихся в изложении П и 1У глав, и описывающих поле излучения внутри полубесконечной плоскопараллельной среды.

В приложении, в виде таблиц и графиков, приводятся некоторые результаты численной реализации итерационной части построенной в Ш главе процедуры удвоения. Приведены таблицы вспомогательных функций К. ОП и £>от СП сшивающей функции конечного слоя, а также полярные диаграммы углового распределения интенсивности в серединной'плоскости слоя и его эволюцию в зависимости от оптической толщины слоя при расположении изотропно излучающего плоского источника в середине и на границе слоя соответственно. Дана также физическая интерпретация этих диаграмм.

В заключении перечислены основные результаты диссертационной работы.

В диссертации выносятся на защиту следующие новые результаты.

I. Исследовано влияние некогерентности элементарного акта рассеяния на свойство разделения угловых переменных (свойство (б) ) в задачах диффузного отражения от полупространства и отражения-пропускания слоем без каких-либо упрощающих предположений и специальных представлении функции перераспределения. Показана принципиально важная роль вероятности выхода первоначально именно излученного кванта (вместо поглощенного).

П. Выявлено следующее свойство объемной ф.г. (свойство (а) ): ф.г. для произвольной пары глубин С"1^,"^ ) выражается через значения соответствующей ф.и. заданной лишь на данной (^л,®^ ) и симметричной ей ( /ч ) паре глубин. рассеяния на общие свойства (а) и (б).

Ш. Показана применимость метода сложения слоев к задачам определения объемной ф.г. и внутреннего режима при произвольном выборе свойств элементарного акта рассеяния, толщин слоев и первичных источников. Введена фундаментальная "поверхностная" величина - сшивающая функция и с ее помощью

-решена обобщенная задача Стокса - определение поля излучения по всему слою по известным решениям задач переноса для его произвольно выбранных составляющих слоев;

- в случае однородных сред разработан метод удвоения, отличающийся от известных до сих пор простотой и общностью.

Выявлено, что единственные уравнения, встречающиеся в процессе решения этих задач (уравнения определяют сшивающую функцию) , обладают свойствами "источниковой" и "объемной" независимостей. Показана эффективность совместного использования свойств (а), (б) и форлул сложения.

1У. В задаче монохроматического анизотропного рассеяния в оптически толстом слое найдены асимптотические решения для объемной ф.г. и простые явные выражения для интенсивности внутреннего поля излучения при произвольных источниках энергии. В случае изотропного рассеяния объемная ф.г. найдена также в более высоком - квазиасимптотическом приближении.

В начале каждой главы (при необходимости также в начале параграфа), параллельно постановке исследуемой задачи, дается краткий обзор тех работ, которые конкретно связаны с рассматриваемыми в данной главе (параграфе) задачами.

В конце каждой главы приводится сводка полученных в ней результатов и цитируются те работы автора, которые послужили основой для написания этой главы.

Выводы

Результаты, полученные в четвертой главе, можно резюмировать следующим образом.

С помощью использования некоторых соотношений предыдущих глав исследованы задачи приближенного определения характеристик внутренних полей излучения в оптически толстом плоском слое. Известные "асимптотические" и "квазиасимптотические" решения классических задач определения поля излучения при освещении среды излучения извне, или же определения выходящего из среды излучения при наличии в ней источника (мононаправленного или изотропного) обобщаются на задачи определения внутреннего поля излучения при наличии в среде внутренних первичных источников энергии. При этом:

1. Построены асимптотики ф.г. конечного слоя в общем случае анизотропного рассеяния, когда: а) источник находится на произвольной глубине, а приемник достаточно удален от одной из границ слоя; б) источник достаточно удален от одной из границ слоя, а местонахождение приемника произвольно; в) (общий случай) и приемник, и источник расположены на произвольных глубинах.

2. Получены простые явные аналитические выражения для определения внутреннего поля излучения в анизотропно рассеивающем толстом слое при наличии в ней произвольных первичных источников энергии в случаях: а) когда источники распределены по всему слою, а интенсивность отыскивается на достаточном удалении от одной из границ слоя; б) когда источники заполняют некий пограничный слой, нижняя граница которого находится на достаточном удалении от нижней границы основного слоя, а интенсивность излучения отыскивается на произвольной глубине; в) (общий случай) когда источники могут заполнить весь слой, а интенсивность отыскивается на произвольной глубине.

3. Построено квазиасимптотическое приближение для ф.г. слоя конечной оптической толщины в случае изотропного рассеяния.

При этом рассмотрены случаи, когда: а) источник находится на произвольной гуубине слоя, а приемник достаточно удален от одной из границ; б) источник достаточно удален от одной границы слоя, а приемник расположен на произвольной глубине.

Полученные для оптически толстого олоя приближенные формулы примечательны тем, что в них не требуется решение каких-либо уравнений относительно характеристик конечного слоя. Все ее характеристики в явном виде выражаются через известные характеристики полупространства.

4. Получены явные выражения следующих величин, характеризующих поле излучения в монохроматически и изотропно рассеивающей полубесконечной среде: вспомогательная функция ^(o.-ij^ , интенсивности внутри среды ари наличии изотропно излучающего плоского источника 1 и, в частности, вспошгатель-ная функция сшивавдей функции .

Данная глава написана на основе следующих работ: Даниелян, Пшсичян,1977; Пикичян, 19796, 19806.

- по

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В качестве заключения перечислим основные результаты.

1. Показано, что в задачах некогерентного рассеяния, где учитывается общий закон перераспределения, использование понятия вероятности выхода излученного кванта в ряде случаев является более плодотворным, чем обычно используемое понятие вероятности выхода поглощенного кванта (первоначально введенное при рассмотрении задач монохроматического рассеяния).

2. С помощью использования этого понятия и принципа взаимности показано, что угловые переменные в классических задачах диффузного отражения от полубесконечной среды и отражения - пропускания слоем конечной оптической толщины можно разделить без какого-либо разложения или специального представления функции перераспределения . При этом выражается через вспомогательную функцию » а функции ^ОЧ Го^г/гЗ^ и через ^х^дао) ? Ф С*</2/г-Т0 ) , которые являются непосредственными аналогами вспомогательных функций Амбарцумяна.

3. Для вспомогательных функций получены "некогерентнш" аналоги функциональных уравнений Амбарцумяна, а также сфорглулирована соответствующая задача Коши.

4. Для нулевых моментов по угловой переменной вспомогательных функций I получены симметричные (относительно перемены местами частотных переменных) интегральные соотношения нелинейной структуры, которые непосредственно обобщают известные соотношения монохроматического рассеяния.

5. Дан новый вывод соотношения взаимности для величин $ и Й (с учетом некогерентности элементарного акта рассеяния) на основе введения "оптически обратной" к G0 функции G0 .

6. Показана эффективность применения принципа инвариантности относительно задач внутреннего режима с внутренним первичным источником энергии. Кроме известного уравнения переноса, с помощью принципа инвариантности и соотношения взаимности получены три новых дифференциальных уравнения для ф.г. конечного слоя.

7. Показано (свойство (а) ), что при самых общих предположениях о свойствах элементарного акта рассеяния (некогерентное рассеяние с произвольным законом перераспределения по частотам и направлениям) значение ф.г. конечного слоя£ ^ >X\V lz*2.),2.jViO

CO;t.o) на данной паре оптических глубин выражается через значение соответствующей функции источника в явном

Со/ьо ) виде - без какого-либо интегрирования по оптической г^бине. Иными словами, при определении ф.г. не требуется решение уравнения переноса, а достаточно знание ф.г. лишь на данной паре оптических глубин C^mj^i ) и "симметричной" ей паре - ( "^г, ц ).

8. При переходе к случаю усредненной по направлениям функции перераспределения по частотам, несмотря на некогерентность элементарного акта рассеяния ф.г. приобретает также свойство точного разделения угловых переменных (свойство (б) ), заключающейся в том, что ф.г. зависящей от двух угловых переменных (также двух частот), удается выразить явно, через простую комбинацию функций одной угловой переменной (и двух частот).

9. Для функции источника в этом случае при определенном наборе J\ ) удовлетворяется некоторое соотношение, связывающее ее значение на данной паре оптических глубин ( "Ц^г ), со значением на "симметричной" паре глубин (,rt ). При этом впервые для задач некогерентного рассеяния с общим законом перераспределения по частотам выявлено свойство "смешивания" угловых и частотных переменных.

10. Показано, что в случае монохроматического изотропного рассеяния алгебраическое выражение связывает интенсивность излучения внутри среды при мононаправленном источнике с соответствующей интенсивностью - Сч -^^jJV) изотропс о/ но излучающего источника. Эту связь можно интерпретировать как эквивалентность указанных двух задач.

11. Показано, что в случае монохроматического изотропного рассеяния отпадает необходимость знания функции источника (т.е. интенсивности изотропно излучающего источника Стсо/ц,)^7*2-^"^ ^ на "симметричной" паре оптических глубин ("Ч^ц ), поскольку для всех направлений J^ имеется однозначная овязь между значениями функции источника на "данной" и "симметричной" ей паре оптических глубин.

12. Показана применимость метода сложения слоев Амбарцумяна к задачам ф.г. конечного слоя.

13. Получены интегральные соотношения инвариантности - первого и последнего пересечений, связывающие интенсивности внутренних полей излучения двух слоев с произвольно выбранными (неодинаковыми) характеристиками.

14. На основе интегральных соотношений инвариантности решена обобщенная задача Стокса - нахождение интенсивности на произвольной глубине "пачки", состоящей из "п+т " слоев, имеющих произвольные характеристики (толщину, первичные источники, элементарный акт рассеяния), когда известны свойства составляющих пачек изп.ит слоев. При этом единственная функция, находящаяся путем решения (например, итерационного) уравнений, не зависит ни

- из от выбора первичных источников, ни от параметров точки (объемной), на которой отыскивается интенсивность.

15. На основе этой задачи построен метод для расчета "составного" слоя с произвольным числом "составляющих" слоев.

16. Построена процедура удвоения для расчета поля излучения в однородных слоях конечной толщины, при произвольном распределении первичных источников энергии и свойство элементарного акта рассеяния.

17. При решении перечисленных задач 14,15,16 определяющим является введение новой универсальной величины - сшивающей функции (заданной с помощью четырех сшивающих коэффициентов яркости ), которая определена на поверхности раздела двух суммирующихся слоев - является "поверхностной" характеристикой и не зависит от находящихся внутри этих слоев первичных источников энергии. Все искомые величины выражаются через эту функцию в явном виде. А сама сшивающая функция находится из уравнений, которые, естественно, обладают "источниковой" и "объемной" независимостью, при этом достаточно определить из уравнения лишь одну из четырех сшивающих коэффициентов, а остальные три будут выражаться через эту найденную в явном виде.

18. Показано, что совместное использование алгебраических выражений и интегральных соотношений инвариантности приводит к существенному упрощению процедур сложения слоев. Путем использования свойства точного разделения угловых переменных в случае изотропного рассеяния, показано, что а) в методе удвоения все величины, зависящие от двух угловых переменных (ф.г., п.ф.г., сшивающая функция) вместо интегральных соотношений инвариантности определяются из алгебраического выражения, через соответствующие вспомогательные функции одной угловой переменной, что позволяет б) ограничиваться решением уравнений удвоения лишь для вспомогательных функций и ^2.10 С^П » вместо уравнения для T1To С г,у') •

19. В целях иллюстрации численной реализуемости предложенной в главе Ш итерационной процедуры удвоения вычислены и приведены в виде таблиц и полярных диаграмм вспомогательные функции сшивающей функции конечного слоя £>£гв(Г)> г0 (-f) и угловое распределение интенсивности в серединной плоскости слоя, а также его эволюция в зависимости от толщины слоя при расположении изотропно излучающего плоского источника в середине слоя и на ее границе соответственно.

20. Построены асимптотики ф.г. конечного слоя в общем случае анизотропного рассеяния, когда: а) источник находится на произвольной глубине, а приемник достаточно удален от одной из границ слоя; б) источник достаточно удален от одной из границ слоя, а местонахождение приемника произвольно; в) (общий случай) и источник, и приемник расположены на произвольных глубинах.

21. Получены простые явные выражения для определения внутреннего поля излучения в анизотропно рассеивающем толстом слое при наличии в нем произвольных первичных источников энергии в случаях: а) когда источники распределены по всему слою, а интенсивность отыскивается на достаточном удалении от одной из границ слоя; б) когда источники заполняют некий пограничный слой, нижняя граница которого находится на достаточном удалении от нижней границы основного поля, а интенсивность излучения отыскивается на произвольной глубине; в) (общий случай), когда источники заполняют весь слой, а интенсивность отыскивается на произвольной глубине.

22. Построено квазиасимптотическое приближение для ф.г. слоя конечной оптической толщины в случае изотропного рассеяния. При этом рассмотрены случаи, когда: а) источник находится на произвольной глубине слоя, а приемник достаточно удален от одной из границ; б) источник достаточно удален от одной из границ слоя, а приемник расположен на произвольной глубине.

23. Получены явные выражения следующих величин, характеризующих поле излучения в монохроматически и изотропно рассеивающей полу бесконечной среде: вспомогательная функция

Ю| ъо) интенсивность внутри среды при наличии изотропно излучающего плоского источника ( и, в частности, вспоюгательная функция сшивающей функции SCOiJJ'J") .

Относительно перспектив дальнейших исследований следует перечислить направления, развитие которых весьма важно как с теоретической, так и с практической точек зрения: учет поляризации излучения, а также влияния неоднородности среды на свойства (а) и (б) объемной ф.г.; на основе предложенного в гл.Ш процедуры сложения выполнение обширных численных исследований задач переноса при различных модельных функциях перераспределения; исследование переноса излучения в средах с неплоской геометрией.

Выражаю искреннюю признательность своему учителю и научному руководителю, академику В.А.Амбарцумяну за внимание, доброжелательность и всестороннюю помощь начиная со студенческой скамьи до сего дня.

Автор признателен также сотрудникам обсерватории:

М.А.Мнацаканяну Э.Х.Даниеляну Г.Т.Тер-Казаряну А.Г.Никогосяну

М.О.Закаряну

- за первоначальное ознакомление с теорией и кругом задач переноса.

- за соавторство, а также за консультацию по квазиасимптотикам.

-за стимулирующее обсуждение работ Пикичян, 1978а, 1979а, 1980а.

- за обсуждение результатов и литературную правку при оформлении работ Пикичян,1978а, 1979а, 1980а.

- за совместное выполнение численных расчетов.

1. Амбарцумян В.А. О рассеянии света атмосферами планет. Астрон. ж., 1942а, т.19, №5, с.30-41.

2. Амбарцумян В.А. Новый способ расчета рассеяния света в мутной среде. Изв. АН СССР, сер.геогр. и геофиз.,19426, №3, с.97-103.

3. Амбарцумян В.А. К вопросу о диффузном отражении света мутной средой. ДАН СССР, 1943а, т.38, с.257-261.

4. Амбарцумян В.А. К задаче о диффузном отражении света. ЮТФ, 19436, т.13, с.224-242.

5. Амбарцумян В.А. Диффузия света через рассеивающую среду большой оптической толщины. ДАН СССР, 1944а, т.43, Ж, с.106-110.

6. Амбарцумян В.А. 06 одномерном случае задачи о рассеивающей среде конечной оптической толщины. Изв. АН Арм.ССР, естественные науки, 19446, М-2, с.31-36.

7. Амбарцумян В.А. 0 диффузном отражении и пропускании света анизотропной одномерной рассеивающей средой конечнойоптической толщины. ДАН Арм.ССР, 1947, т.7, с.199--202.

8. АмбарцумяН P. (Ambarzumian R.Y.) (Combinatorical integral geometry. John Willey, 1982.

9. Арутюнян Г.А. Образование спектральных линий в атмосфере с экспоненциальным распределением источников. ДАН Арм. ССР, 1980, т.70, М, с.41-45.

10. Аругюнян Г.А., Никогосян А.Г. Контуры спектральных линий при некогерентном рассеянии. ДАН СССР, 1978, т.242, ЖЕ, с.66-69.

11. Басбрида (Busbridge I.W.) The mathematics of radiative transfer. Cambridge, Camb. Univ. Press, I960, - 143 P*

12. Белл Д., Глесстон С. Теория ядерных реакторов М., Атомиздат, 1974, - 495 с.

13. Беноист, КавеНОКИ (Benoist P., Kavenoky А.) A New Method of approximation of the Boltzmann Equation. Nucl. Sci. and Engin., 1968, v. 32, pp. 225-232.

14. Биберман A.M., Векленко Б.А. Применение теории случайных процессов к явлениям переноса излучения. ЖЭТФ, 1956, т.31, №2, с.341-342.

15. Биберман A.M., Векленко Б.А. Обобщенный принцип взаимности. -ЖЭТ1, I960, т.39, И, с.88-93.

16. БивеНС, Двойт (Beauwens » Devooght J.) The study of one-speed multiregion transport problems in plane geometry by the method of boundary sources. - Nucl.Sci. and En-gin., 1968, v. 32, pp. 249-261.

17. Ван де Хшст (Van de Hulst Н.С.) New look at multiple scattering, Tech. Rept. of Goddard Institute for Space Studies, New-York, MSA, I963. 81 p.

18. Ван де ХюЛСТ (Van de Hulst H.G.) Radiative transfer in thick atmospheres with an arbitrary scattering function. -Bull. Astr. Inst. Netherlands, 1968, v. 20, pp.70-86.

19. Вийк Т. Поле излучения в многослойных изотропно рассеивающих атмосферах. Астрофизика, 1981, т.17, №4, с.735-748.

20. ВиЙК (Viik Т.) A generalized principle of invariance andradiation field in multilayer atmospheres. Astro-phys. and Sp.Sci., v. 86, pp. 169-178.

21. Гермогенова Т.А. О характере решения уравнения переноса для плоского слоя. Журн. Выч.Мат. и Мат. Физ.,1961, т.1, J86, с.1001-1019.

22. Гермогенова Т.А. К решению неоднородного уравнения переноса. -М., Препринт ИПМ АН СССР, МЗЗ, 1974, 24 с.

23. Грант, Хант (Grant I.P., Hunt G.E.) Solution of radiative transfer problems in planetary atmospheres, ICARUS, 1968, v. 9, pp. 526-534.

24. Грант, Хант (Grant I.P.,Hunt G.E.) Discrete space theory of radiative transfer. I Fundamentals. Proc. Roy. Soc. Lond.A., 1969a, v. 313, pp. 183-197.

25. Грант, Хант (Grant I.P., Hunt G.E.) Discrete space theory ofradiative transfer and its application to problems in planetary atmospheres. -J.Atmos.Sci.,1969,v.26,p.96^-972.

26. Гусев Н.Г., Машкович В.П., Суворов А.П. Защита от ионизирующих излучений, том I. Физические основы защиты от излучений. М., Атомиздат,1980, - 464 с.

27. С.Д. Рассеяние света в двуслойной атмосфере. Вестник ЛГУ, 1957, М, с.158-164.

28. Э.Х. Поле излучения в плоском слое, освещенном параллельными лучами. Астрофизика, 1976, т.12, JM, с.579--586.

29. Э.Х., Мнацаканян М.А. К задаче диффузии света в слое конечной оптической толщины. Сообщ. Бюраканской ас-трофиз. обе., 1975, т.46, с.101-114.

30. Э.Х., Пикичян О В. Поле излучения в плоскопараллельной атмосфере, содержащей источники энергии. Астрофизика, 1977, т.13, №2, с.275-286.

31. Длугач Ж.М., Яковицкий З.Г. О поведении азимутальных гармоник интенсивности излучения в глубоких слоях голубеско-нечной среды. Изв. АН СССР, Физика атмосферы и океана, 1977, т.13, F7, с.699-709.

32. Долгинов А.З., Гнедин Ю.И., Силантьев Н.А. Распространение и поляризация излучения в космической среде. М., Наука, 1979, - 424 с.

33. Домке (Бошке Н.) Linear Fredholm integral equations for radiative transfer problems in finite plane parallel media.I. Imbedding in an infinite medium. Astron.DTachr., 1978a, v. 299, N 2, pp. 87-93.1. Гутшабаш1. Даниелян1. Даниелян1. Даниелян

34. Домке (Domke Н.) Linear Fredholm integral equations for radiative transfer pro"blems in finite plane parallel media. II. Imbedding in a semi-infinite medium. -Astron. Nachr., 19781?,v. 299» N 2, pp. 95-102.

35. ДэвйСОН (Davison B.) Neutron transport theory. Oxford: Clarendon Press, 1958.русский перевод:Дэвисон Б. Теория переноса нейтронов. М.: Атомиздат, I960, - 520 е.).

36. Енгибаряя Н.Б. Некогерентное рассеяние. I Изотропное рассеяние. Астрофизика, 1971, т.7, Ж, с.573-586.

37. Енгибарян Н.Б. О факторизации интегральных операторов. ДАН СССР, 1972, т.203, №1, с.19-21.

38. Енгибарян Н.Б., Арутюнян А.А. Интегральные уравнения на полупрямой с разностными ядрами и нелинейные функциональные уравнения. Мат. сборник, 1975, т.97(139), №1(5), с.35-58.

39. Енгибарян Н.Б., Мнацаканян М.А. О линейных задачах переноса. -ДАН СССР, 1974, т.217, №3, с.533-535.

40. Енгибарян Н.Б., Мнацаканян М.А. Об одном интегральном уравнении с разностным ядром. Мат.заметки, 1976, т. 19, $6, с.927-932.

41. Енгибарян Н.Б., Никогосян А.Г. Диффузное отражение резонансного излучения от полубесконечной среды. ДАН Арм.ССР, 1972а, т.54, №2, с.91-94.

42. Енгибарян Н.Б., Никогосян А.Г. Некогерентное рассеяние. Ш. -Астрофизика,19726, т.8, с.213-225.

43. Енгибарян Н.Б., Никогосян А.Г. Некогерентное рассеяние. П. Неизотопное рассеяние. Астрофизика, 1972в, т.8, Н, с.71-90.

44. Ершов Ю.И., Шихов С.Б. Методы решения краевых задач теории переноса. М.:Атомиздат, 1977, - 193 с.

45. Иванов В.В. Диффузия резонансного излучения в атмосферах звезд и туманностях. П. Слой конечной толщины. Астрон. ж., 1963, т.40, с.257-267.

46. Иванов В.В. Перенос излучения и спектры небесных тел. М.:Наука, 1969, - 472 с.

47. Иванов В.В. Асимптотические свойства полей излучения в полубесконечных атмосферах. Астрофизика, 1974, т.10, с.193-204.

48. Иванов В.В. Принципы инвариантности и внутренние поля излучения в полубесконечных атмосферах. Астрон.ж., 1975, т.52, №2, с.217-226.

49. Иванов В.В. Перенос излучения в многослойной оптически толстой атмосфере. I. Ученые записки ЛГУ №385, Серия мат. наук, вып.52, Труды Астрон.обсерв. т.32, 1976а, с.3—23.

50. Иванов В.В. Перенос излучения в бесконечных атмосферах I. -Астрофизика, 19766, т. 12, JB2, с.255-271.

51. КавеНОКИ (Kavenoky А.) The Су method of solving the transportequation: Application to Plane Geometry. Nucl.Sci. and Engin., 1978, v. 65, pp. 209-225.

52. Кагивада (Kagiwada H.H.) System Identification:Methods and applications. Massachusetts: Addison-Wesley Publ. Сотр., 1974.

53. Кагивада, Калаба (Kagiwada H.H., Kalaba R.E.) A new initial-value method for internal intensities in radiative transfer. Ap.J. 1967, v. 147, N 1, pp. 301-309.1. Кагивада,

54. Калаба (Kagiwada H.H., Kalaba R.E.) The equivalence of the isotopic and mondirectional source problems. -JQSRT, 1968, v. 8, pp. 843-846.

55. Кагивада, Калаба (Kagiwada Н.Н., Kalaba R.E.) Integral equations via embedding methods. Massachusetts: Addison -Wesly Publ. Сотр., 1974.

56. Кагивада, Калаба, Уэно (Kagiwada Н.Н., Kalaba Е.Е., Ueno S.) Multiple Scattering Processes: Inverse and direct.

57. Massachusetts: Addison Wesley Publ. Сотр., 1975»-132 p.

58. Кадомцев Б.Б. О функции влияния в теории переноса лучистой энергии. ДАН СССР, 1957, т.113, с.541-543.

59. Карлстед, Малликин (Carlstedt I.L., Mullikin T.W.) Chandrasechars X and Y - functions. - Ap.J., Suppl.Ser., 1966,v. 12, N 113, PP. 449-585.

60. Касти, Калаба (Casti J.,Kalaba R.) Imbedding methods in applied mathematics. Massachusetts: Addison - Wesley Publ. Сотр., 1973 .русский перевод: Касти Дж., Калаба Р. Методы погружения в прикладной математике. М.:Мир, 1976, -224 е.).

61. Кейз (Case К.М.) Transfer problems and the reciprocity Principle. Rew.of Modern Phys., 1957» v. 29, pp.651-663.

62. КеЙЗ (Case K.M.) On the boundary value problems of linear transport theory. SIAAM-AMS proceedings. Transport theory vol. 1, 1969» pp. 17-36.

63. Кейз, Гофман, Плачек (Case K.M., Hoffman F., Placzek G.) Introduction to the theory of neutron diffusion. Washington sUS Government Print.Office, 1953,-174 p.

64. КеЙЗ, Цвайфель (Case К.М., Zweifel P.P.) Linear transport theory. -Massachusetts: Addison-Wesloy Publ. Сотр., 1967 (русский перевод: Кейз К., Цвайфель П. Линейная теория переноса. М.:Мир, 1972, - 384 е.).

65. Коновалов Н.Б. Аисмптотические свойства решения односкоростного уравнения переноса в однородном плоском слое. Задача с азимутальной зависимостью. М.:Препрнт ИПМ АН СССР, J£65, 1974, - 30 с.

66. Кросби, Линзенбардт (Crosbie A.L.,Linsenbardt T.L.) Intensitydictribution an isotropically scattering semi-infinite medium.- AIAA Journal,1977, v.15»N 11,p.1604-11.русский перевод: в журнале Ракетная техника и космонавтика, 1977, с.84-92).

67. Курганов (Kourganoff V.) Basic methods in transfer problems: Radiative equilibrium and noutron diffusion. Oxford, The Clarendon Press, 1952, - 282 p.

68. Лалетин Н.И. Метод поверхностных псевдоисточников для решения уравнения переноса ( g^ приближения), - в кн.: Вычислительные методы в теории переноса. М.:Атом-издат, 1969, с.228-245.

69. Лалетин Н.И. Метод поверхностных псевдоисточников. В кн.: Методы расчета полей тепловых нейтронов в решетках реакторов. - М.:Атомиздат, 1974, с.187-215.

70. Малликин (Mullikin T.W.) Multiple scattering in a homogenous plane-parallel atmosphere. RAND Corporation RM-4846 - PR, 1965a.

71. Малликин (Muliikin T.W.) Multiple scattering in homogenous plane-parallel atmospheres. Proc.Interdisciplinary Conf. on Electromagnetic Scattering. - Univ. of Massachusetts, 1965Ъ , pp. 697-719.

72. Марчук Г.И. Методы расчета ядерных реакторов. М., Госатомиздат, 1961, - 595 с.

73. Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов. М.: Атомиздат, 1981, - 456 с.

74. Марчук Г.И., Михайлов Г.А. и др. Метод Монте-Карло в атмосферной оптике. Новосибирск: Наука, 1976, - 216 с.

75. МиНГЛ (Mingle J.О.) The invariant imbedding theory of nucleartransport. New York: American Elsevier "Publ.Comp., 1973, - 132 p.

76. Минин И.Н. К теории диффузии излучения в полубесконечной среде.-ДАН СССР, 1958, т.120, с.63-65.

77. Минин И.Н. Диффузия излучения в полубесконечной среде при неизотропном рассеянии П. Вестник ЛГУ, 1963, МЗ, серия мат.,мех., астрон., вып.З, с.106-118.

78. Миннаарт (Minnaert М.) The reciprocity principle in lunar photometry. Ap.J., 1941, v. 93, N 3, pp. 403-410.

79. Михалас (Mihalas D.) Stellar atmospheres. San Francisco:Freeman and Co., 1978, - 632 p.русский перевод: Михалас Д. Звездные атмосферы. М.:Мир, 1982, том I. - 352 е., том 2. - 424 е.).

80. Мнацаканян М.А. К решению задачи переноса в одномерной однородной среде. Сообщ.Бюраканской обсерв., 1975а, т.46, с.93-100.

81. Мнацаканян М.А. О сведении задачи переноса в конечном слое к задаче для полупространства. ДАН СССР, 19756, т.225, Г«5, с.1049-1052.

82. Мнацаканян М.А. Квазиасимптотические решения задачи переноса излучения в слое конечной оптической толщины. I. Консервативное рассеяние. Астрофизика, 1975в, т.II, М, с.659-678.

83. Мнацаканян М.А. Квазиасимптотические решения задачи о переносеизлучения в слое конечной толщины. П. Неконсервативное рассеяние. Астрофизика, 1976, т.12, с.451-473.

84. Мнацаканян М.А. Аналитические решения высокой точности задачи о монохроматическом рассеянии света в плоском слое.-Астрофизика, 1980, г.16, №3, с.513-533.

85. МокеЛЬ (Mockel А.) Invariant Imbedding and Polyenergetic Neutron Transport Theory Part 1: Theory. - Nucl.Sci. and Engin., 1967, v. 29, pp. 43-50.

86. Монин (Коллективная монография под ред. Монина А.С.). Оптика океана. М.:Наука, 1983, том 1:Физическая оптика океана. - 372 е., том 2: Прикладная оптика океана.-240 с.

87. Нагирнер Д.И. О решении интегральных уравнений теории рассеяния света. Астрон.ж., 1964а, т.41, JM, с.669-675.

88. Нагирнер Д.И. О многократном рассеянии света в спектральной линии. Вестник ЛГУ, 19646, ЖЕ, с.142-149.

89. Никогосян А.Г., Арутюнян Г.А. Образование спектральных линий при общем законе перераспределения. ДАН СССР, 1976, т.229, с.583-586.

90. Никогосян А.Г., Арутюнян Г.А. После излучения в полубесконечной атмосфере, содержащей источники энергии.

91. ОЦИСИК (Ozisik M.N.) Radiative transfer and interactions with conduction and convection. New York: A Wiley-In-terscience Publ. John Wiley & Sons, 1973русский перевод: Оцисик M.H. Сложный теплообмен.-М.: Мир, 1976, 616 е.).

92. Папаз Ч.Г. Теория распространения электромагнитных волн. Ереван: Изд. АН Арм.ССР, 1974, - 304 с.

93. Пахор (Pahor S.) A new approach to half-space transport problems.

94. Nucl.Sci. and Engin., 1966, v. 26, pp. 192-197.

95. Пахор (Pahor S.) One speed neutron transport in slab geometry. -Nucl.Sci. and Engin., 1967» v. 29, pp. 248-253.

96. Пахор (Pahor S.) Albedo and Miln's problem for Thermal Neutrons. -Nucl.Sci. and Engin., 1968, v. 31» PP* 110-116.

97. Пахор (Pahor S.) Albedo and Miln's problem for Thermal Neutrons II. Nucl. Sci. and Engin., 1972,v.48,pp.420-432.

98. Пиблс, Плессет (Peebels G.H., Plesset M.S.) Transmission of gamma-rays through large thicknesses of heavy materials. Phys. Rev., 1951. v. 81, N 3» PP- 430-439

99. Пикичян O.B. Задача диффузного отражения при произвольном законе перераспределения излучения по частотам. ДАН Арм.ССР, 1978а, т.67, №3, с.151-156.

100. Пикичян О.В. О функции Грина плоского слоя при некогерентном неизотропном рассеянии. Астрофизика, 19786, т.14, Ж, с. 169-190.

101. Пикичян О.В. Задача о диффузном отражении. Всесоюзная конф.молодых астрофизиков, посвященная 70-летию В.А.Амбарцумяна (2-5 окт.1978г., Бюракан), Аннотации докладов, Ереван, 1979а, с.23.

102. Пикичян О.В. Квазиасимптотическое приближение для функции Грина плоского слоя. Тезисы докладов первой конф.молодых ученых НИИ АН Арм.ССР Аштаракского района (Нор-Амберт, 17-20 сент.), Ереван, 19796, с.50-52.

103. Пикичян О.В. Свечение среды, освещенной параллельными лучами,при произвольном законе перераспределения излучения по частотам. Сообщ. Бюраканской астрофиз.обсерв., 1980а, т.52, с.148-160.

104. Пикичян О.В. Функция Грина оптически толстого слоя. Астрофизика, 19806, т.16, №2, с.351-361.

105. Пикичян О.В. Общие соотношения инвариантности для исследованиязадач переноса в средах с геометрическими и физическими характеристиками произвольной сложности. -Ш СССР, 1982а, т.262, М, с.860-863.

106. Пикичян О.В. Определение поля излучения в составной среде поизвестным решениям задач переноса в ее произвольно выбранных макрочастях. ДАН СССР, 19826, т.263, J&3, с.601-606.

107. Пласс, Каттавар, Катиягс (Plass G.N., Kattawar G.W., Catchings F.

108. E.) Matrix operator theory of radiative transfer 1: Rayleigh scattering. Appl. Optics, 1973»v.12, N 2, pp. 31^-329.

109. Прайзендорфер (Preisendorfer R.W.) Radiative transfer on discrete spaces. Oxford: Pergamon Press, 1965» - 464 p.

110. Пфеффер, Шапиро (Pfeiffer W., Shapiro J.L.) Reflection and transmission functions in reactor physics. Nucl.Sci.and Engin., 1969, v. 38, pp. 253-264.

111. Пшеничный Г.А. Взаимодействие излучений с веществом и моделирование задач ядерной геофизики. М.:Энергоиздат, 1982, - 224 с.

112. Редхеффер (Redheffer R.M.) Microwave Antennas and dielectric surfaces. J. Appl. Phys., 1949, v. 20, pp. 397-411.

113. Редхеффер (Redheffer R.M.) On the relation of transmission-linetheory to scattering and transfer. J. of Math, and Phys., 1962, v. 41, N 1, pp. 1-41.

114. Роговцов Н.Н. Восстановление внутреннего распределения поля излучения по его характеристикам на границах рассеивающей среды. Изв.АН СССР, Физика атм. и океана, 1980, т.16, №3, с.244-253.

115. Росс 10.К. Радиационный режим и архитектоника растительного покрова. Ленинград:Гидрометеоиздат, 1975, - 342 с.

116. Сапожников Р.А. Теоретическая фотометрия. Ленинград: Энергия, 1967, - 268 с.

117. Скотт (Scott R.M.) Invariant imbedding and its applications to ordinary differential equations: An introduction. -Massachusetts, Addison-Wesley Publ. Сотр., 1973*

118. Соболев В.В. Некогерентное рассеяние света в звездных атмосферах. Астрон.ж., 1949, т.26, $3, с.129-137.

119. Соболев В.В. Перенос лучистой энергии в атмосферах звезд и планет. -М., Гос.изд. тех.-теор.лит., 1956, 392 с.

120. Соболев В.В. Диффузия излучения в полубесконечной среде. -ДАН СССР, 1957а, т. 116, И, с.45-48.

121. Соболев В.В. Диффузия излучения в среде конечной оптической толщины. Астрон.ж., 19576, т.34, с.336-348.

122. Соболев В.В. Диффузия излучения в плоском слое большой оптической толщины. ДАН СССР, 1964, т.155, №2, с.316-319.

123. Соболев В.В. Рассеяние света в атмосферах планет. М.,Наука, 1972, 335 с.

124. CTOKC (Stokes G.G.) On the intensity of light reflected from or transmitted through a pile of Plates. Proc. Roy. Soc., 1862, v. 11, pp. 54-5-556.

125. Толубинокий E.B. Теория процессов переноса. Киев: Наукова Думка, 1969, - 259 с.

126. Фимат, Калаба (Fymat A.L., Kalaba R.E.) A novel methodology for radiative transfer in a planetary atmosphere. I.The Functions am and bm of anisotropic scattering. -Astrophys. and Sp. Sci., 1977, v. 47, N 1, pp.195216.

127. Хансен (Hansen J.E.) Radiative transfer by doubling very thin layers. Ap.J., 1969,v. 155» pp. 565-573.

128. Хансен, Трейвис (Hansen J.E., Travis L.D.) Light scattering in planetary atmospheres. Space Sci. Rev., 1974-,v.l6, pp. 527-610.

129. Хопф (Hopf E.) Mathematical problems of radiative equilibrium. -London:Cambridge Univ. Press, 1934, 106 p.

130. Чандрасекар (Chandrasekhar S.) Radiative transfer. New York: Oxford Univ. Press, 1950, - 394 p. (русский перевод Чандрасекар С. Перенос лучистой энергии. - М. :Изд.иностр.лит., 1953, - 432 с.

131. ЧерчиНЬЯНН (Cercignani С.) Theory and application of the Boltzmann equation. Edinburgh and London:Scottish Academic Press, 1975русский перевод: Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. М.:Мир, 1978, - 496 е.).

132. Шимицу, Аоки (Shimizu A., Aoki К.) Application of invariant embedding to reactor physics. New York:Academic Press, 1972, - 184 p.

133. Яновицкий Э.Г. Поле излучения в полубесконечной атмосфере при изотропном рассеянии. ДАН СССР, 1976а, т.227,^6, с.1319-1322.

134. Яновицкий Э.Г. Поле излучения в полубесконечной атмосфере при анизотропном рассеянии. Астрон.ж., 19766, т.53, mt с.1063-1074.

135. Яновицкий Э.Г. Принципы инвариантности и интегральные соотношения для полей излучения в плоской атмосфере. -Астрон.ж., 1979, т.56, J&6, с.833-844.

136. Яновицкий Э.Г. Поле излучения в плоской атмосфере при анизотропном рассеянии. Разделение угловых переменных. -Астрофизика, 1980, т.16, №2, с.363-374.

137. Яновицкий Э.Г. Поле излучения в плоской атмосфере при анизотропном рассеянии. Соотношение инвариантности.-Астрофизика, 1981, т.17, М, с.155-165.