О линейных дифференциальных и дискретных играх многих лиц с интегральными ограничениями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

НЕКОТОРЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I

О ЛШИЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ИГРАХ ПРЕСЛЕДОВАНИЯ МНОГИХ ЛИЦ С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ

§ I. Постановка задачи и формулировка ре-. зультатов . .'.

§ 2. Доказательство теоремы о возможности завершения преследования

§ 3, Некоторые обобщения

§4, Примеры.

ГЛАВА П

О ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ИГРАХ УБЕГАНИЯ МНОГИХ ЛИЦ С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ

§ I. Постановка задачи и формулировка результатов.

§ 2. Доказательства теорем.об уклонении от встречи и убегании • . • •

§ 3. О возможности уклонения от встречи для одного класса дифференциальных игр • • •

§4. Примеры.

ГЛАВА Ш

О ЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ ИГРАХ МНОГИХ ЛИЦ С СУММАРНЫМИ (ИНТЕГРАЛЬНЫМИ) ОГРАНИЧЕНИЯМИ

§ I. Линейная дискретная игра преследования многих лиц с суммарными ограничениями

§ 2. Некоторые обобщения

§ 3. Доказательства теорем о возможности завершения преследования

§ 4, Линейная дискретная игра убегания многих лиц с суммарными ограничениями.

§5. Примеры.

I. Бурное развитие науки и техники выдвинуло совершенно новые задачи, решение которых потребовало создания новых направлений, подходов и методов в различных областях математики. К таким направлениям относится и теория управляемых процессов, сформировавшаяся и интенсивно развивающаяся в последние 30-35 лет. К ее несомненным достижениям следует отнести принцип максимума Л.С.Понтрягина [321 » метод динамического программирования Р.Беллмана [б] , принцип экстремального прицеливания Н.Н.Красовского [19г] и другие методы, позволившие глубоко исследовать ряд новых задач, имеющих прикладное значение и не укладывающихся в рамки ранее существовавших теорий.

Важным разделом теории управляемых процессов является теория дифференциальных игр, предметом которой является изучение управления объектами в конфликтных ситуациях, движения которых описываются дифференциальными уравнениями.Вместе с тем, как это следует из самого названия, дифференциальные игры являются ветвью общей теории игр. Это откладывает определенный отпечаток на ее терминологию и проблематику. Многие понятия и постановки задач общей теории игр естественным образом переносятся на дифференциальные игры и оказываются там весьма полезными. Однако в теории дифференциальных игр большое значение имеют свои понятия и проблемы, связанные со спецификой дифференциальных уравнений и особенностями тех конкретных прикладных задач, которые моделируются дифференциальными играми. Основным отличием теории дифференциальных игр является использование аппарата дифференциальных уравнений, что приводит к исследованию вопросов, не свойственных общей теории игр.

Толчком к изучению теории дифференциальных игр послужили реальные задачи, имеющие важное практическое значение в военном деле, технике, экономике и других областях человеческой деятельности. Актуальность этих задач, практическая важность и большой теоретический интерес, который они представляют, стимулировали интенсивное развитие теории дифференциальных игр. Поэтому своим возникновением она обязана, с одной стороны, чисто практическим задачам, с другой стороны, стремлению к теоретическому обобщению и исследованию внутренних задач теории управляемых процессов.

2. Начиная с пятидесятых годов двадцатого столетия дифференциальные игры являются основным предметом исследований многих советских и зарубежных ученых.

За рубежом одним из первых дифференциальные игры исследовал Р.Айзекс Li] , который и ввел термин "дифференциальная игра". В своих исследованиях он использовал аналог метода Гамильтона-Якоби, называемого в случае оптимального управления динамическим программированием. В книге [I] многие утверждения доказаны на эвристическом уровне и на их основе разобран целый ряд примеров, в том числе из военной области. Отметим, что в случае одного игрока различные модификации метода Р.Айзекса приводят к необходимым и достаточным условиям оптимальности 18} . Среди зарубежных исследований следует также отметить ^57; 58; 59 а,б; 60-63; 64а,б! . Обзор зарубежных достижений по дифференциальным играм можно найти в работе Ю.Хо [61] .

Прогресс теории дифференциальных игр связан прежде всего с именами советских ученых: академиков Л.С.Понтрягина и Н.Н. Красовского, членов-корреспондентов АН СССР Е.Ф.Мищенко, Р.Б. Гамкрелидзе и А.Б. Куржанского, П.Б.Гусятникова, М.С.Никольского, Ю.С.Осипова, Л.А.Петросяна, Б.Н.Пшеничного, Н.Сатимо-ва, А.Й.Субботина и многих других.

Фундаментальные результаты в этой области получены Л.С. Понтрягиным [31 а-г; 33; 34] Н.Н.Красовским ^ 19 а-г; 20; 21 ] , их сотрудниками и учениками.

В работах Н.Н.Красовского и его сотрудников (см. монографии [ 19 в, г; 21; 45 ] ) рассматривались позиционные дифференциальные игры. В [21] Н.Н.Красовским была предложена такая математическая формализация понятия дифференциальной игры (в теории дифференциальных игр имеется несколько формализации например, формализации Л.С.Понтрягина, Б.Н.Пшеничного, Р.Айзекса и другие), которая позволила ему и его сотрудникам дать ростановку задач позиционных дифференциальных игр, доказать фундаментальные теоремы об Альтернативе и предложить эффективные методы построения экстремальных стратегий сближения и уклонения на основе принципа экстремального прицеливания. Согласно формализации дифференциальной игры по Н.Н. Красовскому управляющие функции 11 и U зависят лишь от позиции ( ). Отметим, что такие управляющие функции более полно отвечают запросам практики.

3. Перейдем к обзору результатов, полученных Л.С.Понтрягиным, его сотрудниками и учениками.

Пусть движение управляемого вектора И , ? ^ К. , описывается уравнением где U(e Р) и

- управляющие параметры преследователя и убегающего соответственно, P(cR ^ и - непустые множества. Далее, пусть в ^ выделено некоторое множество М I которое называется терминальным множеством. (Мы здесь не будем уточнять предположения на р и множества Р , Q , М )•

Будем говорить, что дифференциальная игра задана, если г> и. заданы ее фазовое пространство Jx , уравнение (0.1), где Р - некоторая нелинейная функция трех переменных и сверх того, в задано некоторое множество М. , на котором игра заканчивается.

Дифференциальная игра называется нелинейной дифференциальной игрой, если уравнение движения нелинейно (см. уравнение (0.1)); в случае, когда в (0.1)Р(ДД1ДГ) = С. где (L - постоянная матрица, дифференциальная игра называется линейной дифференциальной игрой; в случае, когда в (0.1) И^Сд+^и, U") , где -некоторая нелинейная функция двух переменных, дифференциальная игра называется квазилинейной дифференциальной игрой.

В С 31 г] Л.СЛонтрягин предложил принципиально новую формализацию понятия дифференциальной игры, особенностью которой является рассмотрение дифференциальной игры с двух различных точек зрения; с точки зрения преследователя, целью которого является завершение игры, и с точки зрения убегающего, целью которого является предотвращение конца игры. Таким образом, Л.С.Понтрягин связывает с дифференциальной игрой две различные задачи: задачу преследования и задачу убегания, В первом случае задача состоит в отыскании множества начальных состоянии, из которых преследователь может гарантировать сближение с убегающим. Во втором случае задача состоит в описании множества начальных состояний, из которых преследуемый может гарантировать избежание встречи. (Подробные постановки задач преследования и убегания приводятся ниже, см.пункт 5).

Решению задачи преследования посвящены основополагающие работы Л.С.Понтрягина ^31 а, , в которых разработан общий подход к нелинейным дифференциальным играм на основе принципа максимума \32] . Основной результат, заключающийся:

1) в описании множества начальных состояний, из которых гарантируется возможность завершения преследования;

2) в конструкции управления преследователя, реализующего процесс преследования;

3) в эффективном вычислении времени преследования; доказан при выполнении ряда условий.

Упрощению и применению результатов [31 а, б} посвящено много работ; отметим, например, [2 б; 26; 31 г; 33; 40 а,в] • Результат, полученный Л.С.Понтрягиным и Е.Ф«Мищенко в]^2б], привел к созданию Л.С.Понтрягиным в t.31 г]первого и второго прямых методов решения задачи преследования для линейных дифференциальных игр. В работе [40 а} Н.Сатимовым разработан третий (промежуточный) прямой метод для линейных дифференциальных игр преследования. А.Азамов [2 б][ построил принципиально новый пример нелинейной дифференциальной игры преследования на плоскости^ котором выполнены все девять условий теоремы Л.С.Понтрягина [31 а,б] .Отметим,что ранее известные примеры игр, удовлетворяющие всем условиям теоремы Л.С.Понтрягина, были линейными. ЛД.Петросян получил оригинальные результаты 1зо1, рассматривая задачу преследования с точки зрения общей теории антагонистических игр.

Методы Л.С.Понтрягина и Е.Ф.Мищенко получили в дальнейшем глубокое развитие. С соответствующими изменениями эти методы были перенесены на различные классы игр (см., например, [2 в; 3 а; 10 в,г; 16; 23 а,в,г; 28 а-г; 35 а-в; 36; 37; 38 а,б; 40 в; 42; 43 ] ).

Решению задачи убегания для линейных дифференциальных игр посвящены основополагающие работы Л.С.Понтрягина и Е.Ф. Мищенко [31в; 341 , в которых получены простые по форме и эффективно проверяемые достаточные условия для возможности убегания, разработаны методы исследования дифференциальных игр убегания. Все дальнейшие исследования по задаче убегания в той или иной мере связаны с идеями, постановками задач из этих работ.

Обобщению идей Л.С.Понтрягина и Е.Ф.Мищенко и разработке новых методов исследования дифференциальных игр убегания посвящены работы Р.В.Гамкрелидзе и Г .Харатишвили [ 9 ] , П.Б. Гусятникова [II а! , В.Н.Лагунова L221 , Е.Ф.Мищенкр [24а,б], М.С.Никольского [28 д1, Б.Б.Рихсиева 139 а] , Н.Сатимова [40 б,в] и др.

4. До сих пор речь шла о дифференциальных играх двух лиц. Более общим является случай, когда в игре принимают участие несколько преследователей и один убегающий, - дифференциальная игра многих лиц. Такие игры охватывают, например, задачу убегания одного управляемого объекта от группы преследователей, задачу избежания столкновения с несколькими препятствиями и др. Первые работы по этой теории появились в последние 10 - 15 лет.

В дифференциальных играх многих лиц интересные результаты по задаче преследования получены в работах Н.Л.Григо-ренко 1Ю в,г] , Б.Н.Пшеничного 135 в^ , Б.Н.Пшеничного,А.А. Чикрия и И.С.Раппопорта t37l , Н.Сатимова 140 еЗ , Н.Сатимо-ва и А.Азамоваt41 б] , Н.Сатимова, А.Азамова и Б.К.Хайдаро-ва [42} , Н.Сатимова и М.Ш.Маматова [431 и др.

Задаче убегания в дифференциальных играх многих лиц посвящены работы П.Б.Гусятникова [ II в,г] , В.Л.Зака[15] , Е.Ф.Мищенко, М.С.Никольского и Н.Сатимова [ 25 а,б] , Н.Сатимова [40 е^ , Н.Сатимова и А.Азамова [41 б] , Н.Сатимова и М.Ш.Маматова [43] , Н.Сатимова и Б.Б.Рихсиева [44 а] , Ф.Л. Черноусько 1521 , Б. Эшмаматова 155 а,б] и др.

Достигнутые результаты в теории дифференциальных игр многих лиц относятся, в основном, к случаю, когда на управления игроков наложены геометрические ограничения. Большой интерес представляет случай, когда на управления игроков наложены '.разнотипные ограничения. В последние годы стали интенсивно исследоваться дифференциальные игры многих лиц, когда на управления игроков наложены интегральные ограничения -дифференциальные игры многих лиц с интегральными ограничениями. Это объясняется, с одной стороны, малоизученностью этих игр в теоретическом плане, с другой стороны, все чаще обнаруживаются их приложения к различным задачам современного естествознания.

К настоящему времени в этом направлении, когда в игре принимают участие два игрока, достигнуты значительные успехи.

Первые работы принадлежат Н.Н.Красовскому и его ученикам [Д9 а,б; 20} • Дифференциальным играм двух лиц с интегральными и разнотипными ограничениями посвящено много работ (см., например, [ 3 а-в; 4; 10 а,б; II б; 12 а-в; 13; 23 а-г; 28 а-г; 29 а,б; 36; 39 б; 44 б; 4S; 47; 51 а] ).

Однако, отметим, что результаты, полученные в теории дифференциальных игр многих лиц с интегральными ограничениями, пока являются скромными. Дифференциальным играм многих лиц с интегральными и разнотипными ограничениями посвящено сравнительно немного работ. Отметим работы П.Б.Гусятникова и А.В.Мезенцева[12в1 , И.С.Раппопорта [38а,б] , Н.В.Цветко-вой 151 б] , Л.П.Югая[5б] и др.

5. Пусть в К. дифференциальная игра описывается уравнениями LeI* ' (0.2) где % е JT 7 Ц7/1, - постоянная квадратная матрица порядка И. , "Ц. ^ , L £ I ^ - управляющие параметры преследования, LT - управляющий параметр убегания. Параметр UL*l выбирается в виде функции И i из замкнутого шара S радиуса . с центром в нуле пространства b^tO,00^ , параметр U" - в виде функции U"=\JCO из шара SU^cr. U^O,00) ; т.е. управления

И^и.^') и IT -U С*) являются измеримыми функциями и удовлетворяют интегральным ограничениям:

СО СХ5

J0 1 о (0 где , с© ^ О - заданные числа. Игра (0.2) считается завершенной, если — 0 для некоторого т.е. терминальное множество для игры (0.2)

- начало координат пространства .

Этими данными определяется линейная дифференциальная игра многих лиц с интегральными ограничениями на управляющие параметры.

Условия (0.3) с физической точки зрения означают, например, ограничения на запас энергии, если VL'l (или 1Г )

- управляющее воздействие в электромеханических системах, а величины и Сэ представляют собой запас энергии управляющего воздействия t49Ц . Таким образом, условия (0.3) описывают некоторые, часто встречающиеся в реальных ситуациях ограничения, налагаемые на ресурсы органов управления. Управления U.*L и У будем называть допустимыми, если они удовлетворяют ограничениям вида (0.3).

Сформулируем задачу преследования для игры (0.2). Для этого мы отождествляем себя с преследующими, т.е. с игроками, выбирающими параметры tl'L , L С Im . Нашей целью является завершение игры, т.е. приведение фазовой точки на терминальное множество из заданного начального положения.

Определение 0.1. В игре (0.2) из начального положения 2: ^ { ^ i0 , £ го , . . • , З^р^ возможно завершение преследования за время Т ( ) , если по любой функции IT-IH^ , е S ((о) , можно построить функции U^IL.H, U^U^IO, .Ли-^-Н, U-^eScy^ для некоторого значения ^ индекса I Qe X абсолютно непрерывное решение [ 17 J — , 0 - "t <°° , задачи

Коши: попадает в точку 0 (терминальное множество ) за время, не превосходящее числа Т( 2°) , т.е. = 0 для некоторого ♦ При этом для нахождения значении параметров \X'L , l^X^, в каждый момент времени ^ > 0 разрешается использовать значения 52^ (А} » L » Фазовых переменных 1 I ^lyvn » в тот же момент времени "t и функцию U » O^S-t • Число Т называется (гарантированным) временем преследования.

Задача преследования. Найти множество начальных точек, из которых в игре (0.2) возможно завершение преследования в смысле определения 0.1. Сформулируем теперь задачу убегания для игры (0.2). Для этого мы отождествляем себя с убегающим, т.е. с игроком, выбирающим параметр. Ц" • Нашей целью является предотвращение конца игры, т.е. мы препятствуем приведению фазовой точки на терминальное множество.

Определение 0.2. В игре (0.2) из начального положения > > возможно уклонение от встречи с точкой 0 (с терминальным множеством К )t если существует функция U=U4t*U)гчК. такая, что для

- 17 произвольных функций IX "L S(^) , Lel^ '

1) функция U - eS , где каждое значение этой функции LT (Л) ^ U4"t.

2) при любых L ^ J- нг и абсолютно непрерывное решение X *L - it) , , задачи Коши: не попадает в точку для всех L и t

В случае, когда в игре (0.2) можно уклониться от встречи с точкой 0 из произвольного начального положения говорить, что в игре (0.2) возможно убегание.

Задача убегания. Найти условия на игру (0.2), при выполнении которых в игре (0.2) возможно убегание в смысле определения 0.2.

6. В настоящее время параллельно с дифференциальными играми интенсивно развиваются и их дискретные аналоги, так называемые дискретные игры, где непрерывные процессы заменяются последовательностями отдельных шагов. (Следует заметить, что такая замена дает возможность применять современные ЭВМ.)

Таким образом, теория дискретных игр есть математическая теория конфликтных ситуаций, описываемых уравнениями в конечных разностях.

Для выяснения структуры дифференциальных игр удобно предварительно изучить их дискретные аналоги, так как дискретные задачи оказываются более простыми, чем задачи с непрерывным временем» Кроме того, дискретные игры имеют и самостоятельный интерес. Они могут непосредственно служить хорошей моделью многих задач из военного дела, техники, экономики и т.д.

Важные результаты в теории дискретных игр получены Р.Айзексом [i] , А.Блакьером и Г.Лейтманом [ 71 , А.А.Чикри-ем [53а-в] , Н.Сатимовым [40 г,д] , Н.Сатимовым и А.Азамовнм [41 а] , А.Азамовым [2а] и др. Их методы получили в дальнейшем глубокое развитие. С соответствующими изменениями эти методы были перенесены на различные классы дискретных игр (см., например, [ 5а,б; 47; 481 )•

Для приложений весьма важным является рассмотрение дискретных игр, когда в игре принимают участие несколько преследователей и один убегающий - дискретные игры многих лиц. Однако отметим, что теория таких игр разработана весьма слабо. До настоящего времени здесь имеется немного работ (результаты цитированных выше работ получены, когда в игре принимают участие два игрока). Дискретным играм многих лиц посвящены исследования А.А.Чикрия и Г.Ц.Чикрий L54] и Фан Зуй Хая [48, стр. 69-77] . В [54} для исследования линейных дифференциальных игр сближения с участием несколько лиц предложена общая схема, позволяющая получить аналоги прямых методов Л.С.Понтрягина и метода Б.Н.Пшеничного, связанного с временем первого поглощения. В [48, стр. 69-77] рассмотрен дискретный аналог работы L 371 .

Одним из новых направлений теории дискретных игр являются дискретные игры многих лиц, когда на управления игроков наложены суммарные ограничения (дискретный аналог интегральных ограничений) - дискретные игры многих лиц с суммарными ограничениями. Часть нашей работы также посвящена этому направлению.

Пусть в Л дискретная игра описывается уравнениями rv К где 7 VIZ- i 7 i\ - номер шага, fc=0,d,,. ,

- постоянная квадратная матрица порядка VL , U.'L , управляющие параметры преследования, U - управляющий параметр убегания. Параметр Lt^ выбирается в виде последовательности из замкнутого шара радиуса 9* с Центром

С , Л„. вательности из шара С L ^ ; т,е, управления U*L и U удовлетворяют ограничениям: оо р» р оО fc^o >L Is:-о где 0 , ё 0 , p ^ и C^ - некоторые положительные числа.

Игра (0,4) считается завершенной, если

1 • . для некоторого значения ( j, 1. ) пары индексов ( L, к ), т.е. терминальное множество для игры (0,4) - начало координат пространства

R!

VI

Этими данными определяется линейная дискретная игра многих лиц с суммарными ограничениями на управляющие параметры.

Управления II ^ и U будем называть допустимыми, если они удовлетворяют ограничениям вида (0.5).

Сформулируем задачу преследования для игры (0.4). Определение 0.3. В игре (0.4) из начального положения —| , » '* * ' ^ mo 1 возможно завершение преследования за шагов, если по любой последовательности IT , можно построить последовательности IL^eSp ,

Что Для некоторого значения j индекса l^el^ решение ~ ' ,., (К), • • • задачи Коши: удовлетворяет условию: где О )• d . т

При этом для нахождения значений » L ^ у\л , пара

А» метров Ц^ , LE , на ^ -м шаге, fc ^ 0 , разрешается использовать к) , L^^vrt , U40) ,

Задача преследования. Найти множество начальных точек, из которых в игре (0.4) возможно завершение преследования в смысле определения 0.3. Сформулируем теперь задачу убегания для игры (0.4).

Определение 0.4, Б игре (0,4) из начального положения , ^mol ? возможно уклонение от встречи с точкой 0 (с терминальным множеством ), если по произвольным последовательностям можно построить такую последовательность что ддя произвольного I , L ^lyri > решение задачиКоши: ни на каком шаге , не попадает в точку 0 , т.е.

St-^fc^O для всех L^I^ , к = • При этом для нахождения значения 04 М параметра U разрешается использовать LeXy^, , LG-X-y^ .

В случае, когда в игре (0.4) можно уклониться от встречи из произвольного начального положения

2 1 \ +0 , Lel^, то будем 1*10» го''"' )> ™ говорить, что в игре (0.4) возможно убегание.

Задача убегания. Найти условия на игру (0.4), при выполнении которых в игре (0.4) возможно убегание в. смысле определения 0.4.

7. В настоящей диссертации основное внимание уделяется решению задач преследования и убегания для линейных дифференциальных и дискретных игр многих лиц с интегральными ограничениями. Мы придерживаемся формализации дифференциальных игр, предложенной Л.С.Понтрягиным £31г1 .

Диссертация состоит из списка обозначений, введения, трех глав и перечня литературы. Не прибегая к точным формулировкам, изложим краткое содержание глав.

1. Гусятников П.Б., Мезенцев А.В., Д в е тк о в а Н.В. Убегание в дифференциальной игре с интегральными ограничениями и невыпуклыми управляющими множествами. Вестн. МГУ, Вычисл. мат. и киберн., 1979, JS 2, с.38-45.

2. Демидович Б.Н. Лекции по математической теорииустойчивости. -М.: Наука, 1967, 472 с.5. 3 а к В.Л. Об одной задаче уклонения от многих преследователей. ШМ, 1979, т.43, J8 3, с.456-465.

3. И в а н о в Р.П. Простое преследование убегание на компакте.- Докл.АН СССР,1980, т.254, № 6, с.1318-1321.

4. К о д д и н г то н Э.А., Левинсон Н. Теорияобыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ИЛ., 1958, 475 с.

5. К р а с о в с к и й Н.Н., Репин Ю.М., Третьяков В.Е. О некоторых игровых ситуациях в теории управляемых систем, Изв. АН СССР, Техн. киберн.1965, JH 4,с. 3-13.

6. Красовский Н.Н,, Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. -М.: Наука, 1974 , 455 с.

7. M и щ e H к о Е.Ф., Понтрягин Л.С. Линейные дифференциальные игры. Докл. АН СССР, 1967, т.174, Я I, с.27-29.

8. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Г а м-крелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическаятеория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969, 384 с,

9. Понтрягин Л.С., Мищенко А.С. Решение линейной дифференциальной игры преследования без дискриминации убегающего объекта. Докл. АН СССР; 1984, т.277, Ш 5, с.1063-1066.

10. Пшеничный Б.Н., 0 н о п ч у к Ю.Н. Линейные дифференциальные игры с интегральными ограничениями. -Изв. АН СССР, Техн. киберн., 1968, JS I, с.13-22. .

11. Сатимов Н., А з а м о в А.,Хайдаров Б.К.Простое преследование многими объектами одного убегающего объекта. Докл. АН УзССР, 1981, J8 12, с. 3-5.

12. Субботин А.И., Ч ендов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981, 288 с.

13. У х о б о т о в В.И. Об одном классе дифференциальных игрс интегральным: ограничением.; ПММ, 1977, т. 41, JS 5, 0.819 - 824.

14. Ф а з ы л о в А.З. О структуре дискретных и непрерывныхигр. Дис. канд.физ.-мат.наук, Ташкент, 1981, 94 с.

15. Фан 3 у й Хай. Некоторые задачи линейных дифференциальных и дискретных игр. Дис. канд.физ.-мат. наук, Баку, 1981, 145 с.

16. Формальский АЛ. Управляемость и устойчивостьсистем с ограниченными ресурсами. -М.: Наука, 1974, 368 с.

17. Ю г а й Л.П. О задаче уклонения в дифференциальных играх многих лиц. Дис. канд. физ.-мат.наук, Ташкент, 1978, 137 с.

18. Berkovi t z L.D. Necessary conditions for optimalcontrol strategies in a class of differential games and control problems. SIAM J. Control, 1967, v.5, No 1, p.1-24.

19. Friedman A. Differential games. New York,1971,350 p.

20. H о Y.C* Differential games, dynamic optimization andgeneralized control theory. J. Optimiz. Theory and Appl., 1970, v. 6, No 3, p. 179-209.