О локальных изометрических погружениях двумерных римановых многообразий в Е4 с наперед заданным гауссовым кручением тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНЫ

ФИЗИКО-Тф^ИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУР ^ ^ им- Б' И> ВЕРКИНА

На правах рукописи

Кузнецов Олег Владимирович

О локальных изометрических погружениях двумерных римановых многообразий в Е4 с наперед заданным гауссовым кручением

Специальность 01.01.04 геометрия и топология

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

Харьков — 1995.

Диссертация есть рукопись.

Работа выполнена в Харьковском государственном универси тете.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Аминов Ю. А.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Дискант В. И.

кандидат физико-математических наук Масальцев Л. А.

Ведущая организация: Московский государственный университет им. М. А. Ломоносова, г. Москва

Защита состоится «............»........................................................................1995 г

в ........................ часов на заседании специализированного ученого со

вета Д 02.35.01 при Физико-техническом институте низких тем ператур HAH Украина им. Б. И. Веркина по адресу: 310164 г. Харьков, пр. Ленина, 47

С диссертацией можно ознакомиться н библиотеке института.

Автореферат разослан «............»......................................................1995 г.

Ученый секретарь

специализированного ученого совета: доктор физико-математических наук

В. П. КОТЛЯРОВ.

¿Ш'гпуялъжостпъ темы.

Тема работы относится к одному кз.'важнейшие рачзегтав современной дифференциальной геог.т-.'тпии : геометрии яод-'Шогосиразпй евклидова щгастранстза .

Проблема изометрических погруз/тений двумерных поверхностей в езклидовы пространства пгадяется одной из сгарешшга проблей геометрии "в целок однако мят do ее к ней не ослабевает и ао. настоящее гремя. 3 атоат плане хорошо кзпеетщл работы Александрова А.Д., Погорелоаа A.B., 'Ефшаова R.B., • Позаяяа 3.F., Ршзндор-а 3.?., Шстеяка Е.В.. •Сабитова П.Х., Ворисенво A.A.» и агасгсгх других ученых. Особое xaeero- а названной проблеме зааиа&ает вопрос об naasserprraecKEix .погружеешгяж и евклидовы пространства метршс отрпцательпой кривизны . Здесь преаде ассго следует обратить

ОЕНиапиа на работы Ефимова Н.В., з тасткости, 'яа язвестщт»

»

3

теорему Ефипоиг Н.В. о яепогрузсаемости а £ дзушериых метрик отрицательной кршпгзяы отделенной от нуля, а тагаяе на теоремы Пазияка З.Г. о погружениях дкулэрн.ьгс кетрнк отрицательной кризнаны; эти работы играют фундаментальную роль в; теории изометрических погружений.

Шккиккш Е.В., Кайзасозым Ж.Б., Туянцким Д.В. рассмотрены различные типы областей отрпцател ьи с й кривизны i

реализуемых е Е , используя оригинальную методику " сглаясквання ". Розекдорн Э.Р. построил позергсноетк

отрицательной кривизны в £ и замкнутую поверхность

отрицательной кривизны в £ . Им те исследован вошзое о зависимости регулярности поверхности отрицательной кривизны от регулярности гауссовой, кривизны ее внутренней петрккл . Шикин Е.В. разбивает дкумершае метрики ¡та р'чг; непересекающихся класса : гиперболические , которыми u-r называет метрики конформные плоскости Лобачевского , -к параболкческне - конформгпсЕе евклидовой пяоскоста v .:

доказывает , что погружаемые в Е метрики являютс параболическими . Попов А.Г., рассматривая геометрически интерпретации односолитонного решения уравнения " синус

•5

Гордсна подучил уравнения поверхностей в Е ,являющихся погружениями бесконечных полос плоскости Лобачевского ограниченных двумя геодезическими линиями. Названные погружения, как показано, представляют собой винтовьи поверхности.

Как известно, внутренней геометрией поверхносп постоянной отрицательной кривизны является геометрш Лобачевского . Согласно теореме Гильберта плоскост*

Лобачевского Ь невозможно изометрически погрузить I трехмерное евклидово пространство в виде регулярной

2

поверхности классе С . Как показано в работе югославского математика ЕЛагшьа Б. существует изол" трическое погружение

2 6

1 х. Е , Розсндорн Э.Р. доказал существование изометрического

2 5 2

погружения 1 в / . Вопрос об изометрическом погружении Ь

4

г Е по настоящее время остается открытым, и в этом направлении работают многие математики . Так например, Сабитовым И.Х. показано, что плоскость Лобачевского можно

4

изометрически погрузить в Ев виде кусочно аналитической поверхности. Такое погружение найдено в виде обобщенной поверхности вращения. В работах Розендорна З.Р., Кадомцева С.Б., Лумисте К).Г., Амниона 10.А. данная проблема рассматривалась с несколько иной точки зрения, здесь указаны некоторые классы поверхностей отрицательной кривизны

4 ' ' ' • г2

в Е , которые заведомо не могут реализовывать плоскость Ь .

Кадомцев С.Б. указал два таких класса . Первым класс

характеризуется увловием : любое внутреннее вращение вокруг

одной фиксированной точки поверхности индуцировано

пекоторым движением в Е , второй класс - условием , что любое внутреннее смещение вдоль любой геодезической из произвольной ее точки в другую ее точку индуцировано

4

некоторым движением в Е . Аминов IO.-A. доказал, что плоскость

4

Лобачевского невозможно погрузить в £ в виде функционально

4

вырожденной поверхности . Лумнсте Ю.Г. указал в Е еще два класса :

А. Поверхности с £=-1, имеющие правильную вещественную солрязкелпую сеть , у которой направление вектора нормальной кривизны вдоль любой лшшн одного семейства параллельно вдоль этой же лшшн в нормальной связности поверхности. Б. Поверхности с и плоской нормальной связностью, т.е. с

сопряжепной ортогональной сетью, у которой векторы нормальной кривизны лишш одного семейства имеют в точках любой лишш другого семейства одинаковую длину. Розендсрном O.P. доказано , что плоскость Лобачевского нельзя

4

реализовать в классе геликоидальных поверхностен в Е .

В диссертационной работе рассматриваются изометрические погружения поверхностей с заданным гауссовым кручением . Такой выбор темы исследования связан с тем , что гауссово кручение является единственным инвариантом нормальной связности поверхности , аналогичным кривизне касательной связности , т.е. гауссовой кривизне .

Гауссовым кручением X поверхности называется удвоенное произведение полуосей эллипса нормальной кривизны. Его геометрический смысл следующий . Возьмем на поверхности 2 4

F с £ замкнутый контур , который ограничивает одпосвязную область^?. Вдоль указанного контура перенесем параллельно п

нормальной связности единичный нормальный вектор п - Пусть До означает угол между начальным положением вектора п л положением , полученным н результате параллельного переноса Тогда Дф равен интегралу от гауссова кручения по области^

Изучение изометрических погружений двумерных 4

поверхностей в Ее. заданным гауссовым кручением является частью общей проблемы изометрических погружений двумерных поверхностей в евклидовы пространства. Погружения двумерных поверхностей с заданным кручением 1 рассматривались Аминовым Ю.А. и другими .

Аминовым Ю.А.исследован вопрос о реализации

двумерной метрики dS1 = du2 + G(u,o)dv2 в / в виде аналитической поверхности, гауссово кручение которой есть заданная аналитическая функция х(м,о).

Им же рассмотрены изометрические погружения

2 4

пространства Лобачевского L в Е с полями главных направлений , получена система дифференциальных уравнений, которая полностью описывает данные погружения.

Кроме изометрических погружений гиперболической плоскости с заданным гауссовым кручением , интересна также смежная с ней щзоблема погружения обычной евклидовой

2

плоскости L с данным , например, нулевым гауссовым кручением . В этом направлении нужно обратить внимание на работы Амшгова Ю.А., а также бразильских ученых Dajczer М., Tojeiro R.

Целъ работы состоит в

1 .Исследовании локальных изометрических погружений

двумерных метрик dS2 = du2 + G(u,v>)du2 в Е с данным гауссовым кручением в предположении, что функции

В(и,и) и обладают конечным классом регулярности .

2. Рассмотрение изометрических погружений с нолями главных

2

направлений некоторых областей плоскости Лобачеьского L 4

с Е »получаемых с помощью односолитонкого решения

уравнения " синус - Гордона ":<p.„-qb>..(l-a")sin(pcos9, (*). 3. Рассмотрение изометрических погружений гиперболически.!

•2-4

плоскости L в Е с полями главных направлении, которые строятся с помощью произвольного решения уравнения (*) , ïî описание погружаемых при этом областей плоскости Лобачевского.

Научная новизна

Псе результаты являются новыми .

Методы ticcjiedoaojшй : ыгтоды ди 1;феро1гдиальной гес: «.отрнн, высшей алгебры, методы теорил диффсрапцплыгых уравнений в частных производных.

Пра?гп шчгскае и теоретическое

значение .

Работа косит теоретический характер. Ее результаты могут быть т*.лэл»а;>лапы при изучении подмногообразий евклидова пространства. Материалы работы могут быть пол;\пнл для чтения спецкурсов по дифференциальной геометрии и основаниям геометрии .

Апробация работы .

Результаты работы докладывались и обсуждались па семнпаре ХГУ " Геометрия подмногообразий " ( руководитель - проф. Аминов Ю.А.), на семинаре кафедры геометрии ХГУ (руководитель - цроф. Борисеяко Л.А. ) , на " Семинаре по геометрии " в целом " МГУ" ( руководители проф. ТТоиняк -КГ., Сабитов К.Х. , Розендорн Э.Р.) а также на между ¡тарой научной конференции "Лобачевский и современная геометра.«" (г. Кчзань, 1SÔ2 г.).

Публикации.

По теме диссертации опубликована статья в Украинском геометрическом сборнике, один тезис на конференции а также статья в журнале "Математическая физика, анализ, геометрия". (Список прилагается).

Объелг и структура работы .

Работа носит теоретический характер и состоит из введения и трех глав . Объем работы - 66 страниц машинописного текста , список литературы содержит 96 наименований.

Содержание работы и основные результаты-

В первой главе вводятся основные геометрические объекты, изучаемые в работе, даются необходимые сведения из теории дифференциальных уравнений. Вводятся вектор нормальной кривизны, эллипс нормальной кривизны, гауссовао кручение поверхности. Рассматриваются уравнения Гаусса-Кодацци - Риччи, задающие необходимые условия

существования в Е^ двумерной поверхности формулируется теорема Бонне . Далее рассматриваются системы квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка. Даются определения эллиптической и гиперболической систем, приводится формулировка теоремы А.Дуглиеа о существовании решения гиперболической системы квазилинейных уравнений в некоторой области .

Вторая гласа посвящена исследованию вопроса о существовании локального изометрического погружения

двумерной метрики (ы,и)</и в виде поверхности

с Е^ с заданным гауссовым кручением.

Основным результатом второй главы является теорема ПЛ.:

Двумерная метрика класса С^ локально

реализуется в / в виде поверхности F^ класса Сгауссово кручение которой есть заданная функция х(и>и) класса С^-В третьей главе рассматриваются изометрические

погружения областей плоскости Лобачевского ¿ с полям главных направлений. Раннее было показано, что такие погружения описываются системой четырех дифференциальных сравнений первого порядка:

sin» cosca (a sin9+1)

СО я — ф у---

COS0

sin (о costp(g sin9+l). ( Ш.З. ) cos6

9 х =sin ф sin о (sin 9+а ); 9,=cos ф cos ca (sin 0 +а); ^ И1.4.)

также уравнением второго порядка на функцию <p(xjO: 7

«(l-a^sincpcosq». ( 1П.5.) В первом параграфе настоящей главы строятся метрики,

огружаемые в Е^ с полями главных направлений , которые олучаются из (III.3.) - (III.5.) при подстановке в качестве циосолитопного решения уравнения (III.5.), описываются бласти гиперболической плоскости, отвечающие этим огружениям . Доказана теорема III.I.:

[¡ля каждого односолитонного решения 9(*о0 уравнения (III.5.) ожно построить изометрическое погружение областей

О 4

носкости Лобачевского L в Е . При этом погружаются полосы 'раниченные :

а) орициклом и некоторой его эквидистантой, т.е. двумя шциклами, если ¡aj>l;

б) двумя эквидистантами геодезической линии, если 0<|а|<1

. а chk

ирпна указанных полос ограничена снизу числами ,п

a chk-1

1 !, . 2 ,

- -¡In an к

2 I

для случаев а) и б) соответственно. В ходе доказательства теоремы III.I. решение co(x,j) и

0(х,;,)11олучены в явном виде : и (Х,У)=-arctg (cihk shz),

а2-1

ч c}p-kclrz-\ 0(x,j)=arccos ----г--arceos

\a2di2k ch2z-\ \a. ch h ch2z-l

ил:-:, cc.-u 0.ú;t-:l,uoa¿íO}-CHbi дза значения (а (х,у): о <(x,y)~~an-i£(T¿i: skz)+arct¿(shk chz); vj :¡x,y)-—shz)-arcrg{shk diz),

r¿ot..i c«>.>x ис:УСж75уег угол 0 == к -f arceos Vi-a ~ T ■;•> " сбе'чкачолм !:ь!р?.:й51шя :

Z-x\a - ¡cA/; + vVa -1íM'45i, если |a |>1

г.лл >j!k+yfi-a2c;1k+5i> если 0<'r|<l.

o

Г .Tr:\¡;:iipr;ví- .2 слоятся погружения L , соответствую;;;:!?© ni".а \-.\ол1 у ревчелпзо уравнения (III.5.), при этом

с^едую^не теоремы : Т<;ог.ег.«а III.2.1. Для любой функции q>(xj'), у.'к-ялс .*иершо;дей уравнеягёе (111.5.), существует решение г• (ÍILS.) - (III. А.), а значит изометрическое погружение

í;ftKovcp.j'Ii области плоскости Лобачевского плоской

г связностью . При этом:

е:';, .; sinO-t и.-/О, то псгруэджэтся "цркмсуго^гышки" ограниченные

дугами о]>' quinos 0(4,ц)=бi-const к 0(5,ч)=(Ь=с0«у/ длины -JlRsin2e и дугат-jii геодезических , ортогона льных названным орициклам

sin 6 i + a

и имеющих длину равную

sin 9 2 + a

Величина R зависит от начальных условий : <M4»0)=9i(4)» <г\(0/чНъ(т1), 6(0,0)- 90,оз(0,0)-сз0,. а именно:

Л = -е + тт {Л,,С,}, /?, ■ . , C.^min

2(1+|а|)

-— с - ¡9 „ I

со „ -б 2 11

= <а. +

, , I n 1 + кх Г

а 2 - 1 • Л + .

1 1 Sin Е J max ri /рч| I ,\п Р = х + у ^ _ х - у

Я, = .

1 5 +л s А

Теорема III.2.2. Если sin 9 +а = 0 то:

а) функция о (х, у) удовлетворяет уравнению " синус -Гордона": со -со = (a*-i)sinco-cosco. (111.2.11.)

хх УУ '

б) для любой функции со (х, j), являющейся решением уравнения (111.2.11.) в круге р < R - б , существует единственная функция

<р(х, j), удовлетворяющая (111.5.) такая , что будут выполняться (111.3.) - (111.4.).

Радиус зависит от начальных условий:

<0 (4,0) = со (4) , со (0,т)) = со (т|) , tp(0,0) = 0, константы R и I 1 л 2 4

является решением неравенства: 2(1 -а2)р2 + 2я2р +е -<п0 < 0 где а = max ? {¡a i (¡Ol'H 2 (ч)|} ' 0 < 9 " Т

Осиозиые положегшя диссертации опубликованы в работах:

1. Кузнецов О.В. О локальных изометрических погружениях

4

двумерных метрик в. £ с заданным гауссовым кручением // Укр.геом.еб. 1992 . Вып. 35, с. 38 - 46.

2. Кузнецов О.В. Изометрические погружения некоторых

2 4

областей плоскости Лобачевского £ а £ с нулевым гауссовым кручонксы // ЗМс^«д.яаучн.конф. " Лобачозекпй и современная геометрия . ".Казань , 1902, тезисы докл., ч.1, с.47.

3. Кузнецов О.В. Изометрические погружения некоторых

2 4

областей плоскости Лобачевского £ г, Е с нулевым гауссовым кручением //Математическая физика- анализ, геометрия,-3994,-тД, №3/4,. е.462-488.

Кузнецов О.В.

Про локалып ¡зометричш занурення двовим!рних

4

ршанових шшговидш в Е з наперед задании гаусовим скрутом. Рукопис.. Дисертащя на здобуття наукового ступеня кандидата ф1зико-математичних наук за фахом 01.01.04.-reomeTpiH i тополоНя. Харк1вський шститут низьких температур im. B.I.BepKina HAH Украши. XapiciB 1995.

Дисертащя присвячена дослщженню локальних

4

13ометричних занурень двовимтних ританових метрик в £ з наперед заданию гаусовим скрутом, а також доел1дженню деяких 13ометркчних занурень областей площини Лобачевського

2 4

L в Е з нульовнм гаусовим скрутом.

Основш результата дисертацй полягаготь в твердженнях, де внзначаеться гладюсть задания метрик i скруту yju,u) , а також вуд областей площини Лобачевського, як1 зануряються; вказуютьск рстпри цкх областей.

Kuzttetsov О. V.

An local isometric immersions of two dimensional

4

Riemannian manifolds into E , that have specifed Gaussian torsion. Handwriting. This is for Candidate of science degree (Ph.D.) in Phisics and mathematics, speciality 01.01.04 - Geometry and topology. Kharkov. Lenin av. 47. Kharkov 1995.

The dissertation considers local isometric immersions of two

4

dimensional Riemannian manifolds into E , that have specifed Gaussian torsion » concerns the immersions of certain

2 4

domains of Lobaehevsby's plane L into E , which have flat normal connection.

The basic results of this work are contained the regular

class of immersions, the regular class of the torsion x(K>u) , and tapes of the domains, which are immersed.

IOiio4oai слова:

isoMeTpiiHiii занурення, гауссова кривила, гаусовий скрут, ртанопа метрика.