О периодических траекториях динамических систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова Механико-математический факультет

На правах р\ кописи

Поликарпов СерюЛ Хлекссенич

О периодических траекториях динамических систем

Специя и.ноем ь 1)102 01 теорьм ичм каи механика

\В10РКФ1.РЛ1 шесеришин на соискание > чепой с юпонн канлиа1а филико-маюматичеекпх нал к

Москва 2004

Работа выполнена на кафетре joopeiичесьой механики и меха i роники механико-матема i ического факелы eia \11 У им. \1.В. Ломоносова

Научный руководитель: Локтр филико-мак'ма! ических на\к.

академик РАН В.В. Козлов

Официальные оппоненты: Локюр филико магемагических на\к.

профессор А II. Иванов

Кандилаг филико-ма тема гических па\к.

И.С. Мамаев

Ведущая организация:

ВЫЧИСЛИ ЮЛЬНЫЙ IlCHip им. A.A. Лоро 1ницына Российской академии на) i.

Зашша сосюикя 22 октябри 2004 юла н 16.00 часов на оседании специализированно! о совета I 501.001 22 по механике при Московском юс\ даре i венном \ ниворси ir ю им. М.В. Ломоносова по aipec\: 119992. Москна. Ленинские горы. МГУ. механико-маiемаiичсский факчлысч ахдитрин 1G-10.

С (иссертациен можно ознакомиiься в библиотеке механико-математическою фанллыеи* МГУ (1 данное лдание 14 эiа?к)

Авюреферси разослан 21 сен)нбря 2001 юта.

Ученый секретарь

mccepiauHOHHOiо соыма Л 301 001 22 домен I

В.Л. Прошкин

ЯмьгЧ- 216 1190

ТеТЯ/

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Динамические системы обширная область современной математики с сильно развитыми методами исследования и областью приложений. Популярной моделью динамической системы, проявляющей свойства, характерные для мнем их задач, является биллиард - впервые рассмотренная Биркгофом в начале XX в. задача о движении материальной ючкивнутри плоской области с отражением от границы. Естественными обобщениями задачи Биркгофа преде являются динамические биллиарды -активно изучаемый в последние десятиле!ия класс задач о движении материальной точки в силовом поле в случае, когда происходит упругое отражение ючки от поверхнос1И. ограничиваю щей обласчь движения. Поэтому. преде 1авлиются актуальными рассмотренные в данной диссертационной работе задачи о динамических биллиардах в плоском слу час.

Также в последние десятилетия значительное развитие получила теория возмущений гамильтоновых систем. В связи с этим представляет интерес полеченное в диссертации распространение некоторых результатов этой теории на случай негамильтонова возмущения.

Цель работы. Исследовать вопрос о существовании периодических траекторий динамических биллиардов. Получить условия устойчивости некоторых периодических траекторий динамических биллиардов и замкнутых траекторий биллиарда с неупругими отражениями и сравнить их с результатами, справедливыми для биллиарда Бирктофа.

Изучить случай неконсервативного неавтономного возмущения гамильтоновой системы с одной степенью свободы.

Научная новизна. Впервые для доказательства существования периодических траекторий в задачах о биллиарде в однородном поле тяжести и биллиарде в магнитном поле применен метод, основанный на построении отображения исследовании Пуанкаре.

_1_______

РОС. Н • '''ЖАЛЬНАЯ Б" ГРКА < > 1 -!>й}рг

гюбрн

Исследована устойчивость в первом приближении двузвенных траекторий биллиарда в магнитном поле. Для биллиарда с неупругими офажениями доказана неустойчивость замкнутых фаешорий в виде замкнуюй ломаной с досчатчно острыми углами.

Получены условия существования и устойчивости долгоперио-дических траекторий неконсервативно возмущенных гамильтоно-вых сис Iем.

Достоверность результатов. Все результаты диссертации получены с помощью строго обоснованных математических мето-тов. Во всех необходимых случаях заимствования научных результатов приведены соответствующие ссылки.

Используемые методы. Лля задач о биллиардах, исследованных в диссертации, строится отображение последования Пуанкаре. К этому оюбражению применяется геометрическая теорема Нуанкаре-Бирк1 офа и результаты теории устойчивости.

В задаче о негамильтоновом во.шу шении I амильтоновой сисче-мы исиользу ютсл как классический подход Пуанкарс.основанный на применении теоремы о неявной функции, так и современные результаты теории дифференциальных уравнений

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер Полученные в диссертации результаты и разработанные методы даю1 возможность использовать их при исследовании биллиардов в поле итжести и магнитном поле с известной формой граничной кривой, при изучении динамики биллиардов в дру I их силовых полях, а ¡акте при изучении систем с диссипацией энертии.

Полученные результат могут найти применение в исследованиях, проводимых в МГУ им. М.В. Ломоносова ВП им. А.А. Дородницына РАН и других научных центрах математики и механики.

Апробация работы и публикации. Результаты, представленные н диссертации, докладывались автором и обсуждались на

следующих научных семинарах и конференциях:

- семинар кафедры теоретической механики и мехатроники МГУ 'Тамильтоновы системы и статистическая механика" под руководством акад. РАН В.В. Козлова, чл.-корр. РАН Д.В. Трещева, проф. C.B. Болотина. 2000-2003 и.;

- семинар по аналитической механике и усмойчивости движения кафедры теоретической механики и мехатроники МГУ под руководством акад. РАН В.В. Румянцева, чл.-корр. РАН В.В. Белецкого, проф. A.B. Карапетяна, 2004 г.:

- семинар по динамике относительного движения кафедры теоретической механики и мехатроники МГУ под руководством чл.-корр. РАН В.В. Белецкого, проф. Ю.Ф. Голубена. доц. К.Е. Якимовой. 2004 г.:

- семинар отдела механики BL1 РАН под руководством проф. A.B. Карапенжа и д.ф.-м.н. С.Я. Степанова, 2004 i.;

- Четвертый международный симпозиум по классической и небесной механике. Великие Луки, 15-20 августа 2001 i ;

- Международная научная конференция по механике "Чрпьи Поляховские чтения", Санкi-Пе/ербург. 4-6 февраля 2003 г.[3]:

- Научные Ч1ения по авиации, посвященные памяти Н.Е. Жуковского, Москва. 2003 г.;

- Пятый международный симпозиум по классической и небесной механике. Великие Луки, 23-28 aeiycia 2004 i.

Исследования выполнены при финансовой поддер?ккс про-|раммы 'Ч осударсм венная подчержка ведущих научных школ" (НШ-136.2003.1) и Федеральной целевой про: раммы "Интеграция" (Б0053).

Но теме диссертации имеется 4 основных публикации, список которых приведен к конце автореферат.

Структура работы. Диссертационная рабо1а состоит из введения, двух глав и списка литературы из 53 наименований. Работа содержи! 13 рисунков. Общий объем диссертации - 66 страниц

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан обзор работ, относящихся к теме диссертации, и изложены основные результаты диссертации.

В первой главе изучаются свойства периодических траекторий динамических биллиардов.

В napai рафе 1.1 вводится понятие динамического биллиарда как задачи о движении материальной точки единичной массы внутри плоской области под действием консервативного силового поля. Такая постановка приводи i к рассмотрению т амилыоновой системы (Я,о.'). Здесь Я - функция Гамильтона - сумма кинетической энергии точки и потенциальной энергии сил, действующих на нее, ш замкнутая невырожденная 2-форма, содержащая слагаемые, которые отвечают i иросконическим силам. В отсу кчвие i иро-скопических сил форма w имеет вид

dv( A + dvn A í///.

где (£. ц) декартовы координат ы материальной точки, А - символ внешнего умножения; с учетом coi лашения о единичной массе точки компоненты скорости vy будут ее каноническими импульсами.

Предполагается, чю область движения материальной точки ограничена выпуклой кривой L. от которой ючка абсолютно упруго отражается.

Периодическая трастория динамического биллиарда дви?ке-ние. при котором материальная ючка. совершив несколько соударений с границей биллиарда, попадает в свое начальное состояние и Tpaeiíтория, таким образом, замыкается Хтя классификации периодических траекторий вводятся характеристики: п число звеньев и к число обороти. Траектория называется «-звенной, если число уларов материальной точки о границу биллиарда то замыкания траектории равно п. Траектория совершает к оборотов вокруг границы если приращение натурального параметра a morí2ж вдоль кривой L при движении по траектории равно 2пк.

Рассматриваемая система имеет интеграл энергии Я. Зафиксируем энергию Н = Л. При фиксированном значении Л состояния частицы в момен I отражения от Ь образуют кольцо в фазовом пространстве системы. Локальными координатами на нем служат н натуральный параметр вдоль кривой Ь и 7 синус угла сражения.

Движение материальной точки между двумя отражениями от кривой Ь порождает отображение кольца в себя отображение Пуанкаре в силу рассматриваемой системы.

В параграфе 1.2 рассматривается задача о движении материальной точки в биллиарде под действием силы тяжесми - система с гамильтонианом

и стандартной симплектической структурой (гироскопические силы отсутствуют).

Использование геометрической теоремы Пу анкаре-Вирктфа1 позволяет доказав существование бесконечного числа периодических траекторий. Доказана

Теорема. Пусть постоянная энергии h такова, что кривизна кривой L в каждой ее точке больше, чем кривизна траектории движения материальной точки в поле тяжести с энергией h. касающейся L в этой точке. Тогда для к взаимно простого спи к < п/2 существуют по крайней мере две различные п-звенные периодические траектории биллиарда с энергией Л, совершающие к оборотов вокруг границы L.

В napai рафе 1.3 результат предыдущего параграфа иллюстрируется на примере биллиарда с границей в форме окру жности. Для этй задачи В.В. Белецким и соавторами2 было доказано су шествование периодических 2.3.4,5-звенных траскюрий при досгаючно

'БиркшфД Днпамичм кие cm трмы Ижевск Издательский дом УдмурикиП }иив?рси тет", 1999 408 стр

"lïeletsk\ V V haoatkm G V Starostin EL The pendulum as a fl; rianural billiard // Chaos Solitons & Fractals 1996 Vol 7 No 8 1145-1178

больших значениях постоянной энергии. Однако, теорема параграфа 1.2 позволяет доказать существование пар периодических траекторий для любого натурального п > 2.

В пара!рафе 1.4 рассмафиваегся задача о существовании периодических траекторий заряженной частицы в магнитном поле, которая движется внутри замкнутой выпуклой области, упруго шражансь от ее границы1. Здесь

гт _ "I + 1>1 симплек!ичсская струк/ура

еВ

и; = ск\ А + Л (/?/--(0, Л йт].

Предполагается, чю индукция магнитною поля В заранее заданная функция координат частицы (£,>;). с - заряд частицы, г скорость свега. Такая постановка задачи называется односторонним биллиардом.

Рассматривается также случай, когда знак индукции мсняек-я на противоположный мри каждом соударении частицы с границей биллиарта. Такая постановка называется двусторонним биллиардом.

Важная харашерисчика движения радиус Лармора П - величина. вычисляемая по формуле:

где V неличина скоросчи частицы. Если индукция В посюянна (магнитное поле является однородным), то заряженная частица движется по дуге окружности радиуса Я.

В каждой шчке замкнутой области, ограниченной кривой Ь, вычислим радиус Лармора, и пусть Ятт - наименьшее из полученных значений.

'ПоЬшк М Ш^иЫг апс) <Тыо(1г ЫШагН с1)пагшг5 ш МсЬ // Моп1теаг РЬгпопклы

апН СЬаоя ВгЫо! Во^оп Ас]аш Н.^ег 1Ч$Ь Н 303 )ЗД

С помощью геометрической теоремы Пуанкаре-Биркгофа установлено наличие бесконечною числа различных периодических траекторий с фиксированной энергией при относительно небольшой напряженности магнитного поля. Основной результат данного параграфа составляет

Теорема. Пусть радиус кривизны кривой L всюду меньше, чем Rmm. Тогда для любого п > 1 и любого к < п. взаимно простого с п, существуют по крайней мере две различные п-звенные периодические траектории одностороннего биллиарда, совершающие к оборотов вокруг границы L. В случае двустороннего биллиарда утверждение теоремы остается в силе для любого четного п.

В параграфе 1.5 рассмотрены двузвенные (раек тории биллиарда в однородном магнитном поле.

Лвузвенная периодическая траектория односгороннсто биллиарда в однородном магнитном поле состоит из двух дуг, симметрично расположенных относительно стягивающей их хорды. Ясно, что эта хорда должна быть перпендикулярна кривой L в точках пересечения.

В двустороннем биллиарде двузвенная траектория представляет собой дугу окружности радиуса Лармора, которая перпендикулярна кривой L в точках пересечения. Заряженная частица пробегает эту /Туту в обоих направлениях.

Найдены условия устойчивости в линейном приближении дву-звенных трасторий одностороннею и двустороннею биллиардов в однородном мат ни I ном поле

Во второй главе данной диссертационной работы изучаются траектории неконсервативных динамических сис т ем Применение меюдов Пуанкаре и В.В. Козлова' позволяет распространить результат работы2 о рождении периодических траекторий консерва-

' Козлов В II Симметрии, топшки пя и резопэнсы н гамильтонопой механике Ижевск Mjj-вп Улмуртсього университета, 199!) 432 стр

-Kojiion 11 II Расщешенир сепаратрис и рождение изолированных периодических решений в гачпльтоновых системах с iiojijтора степенями свободы // УМН 1980 Т 41 Пип 5(251) С 177 178

тивных систем для этого нового класса возмущений. В мара!рафе 2.1 рассматривается система уравнений:

/ - eg{I,<p.t.s). <р = и)(/) + ,-/(/, f.t,с).

Здесь I € S С К1. S отрезок прямой. ^ mod 2л угловая переменная. Функции о.', /, у считаются бесконечно дифференцируемыми. Функции fug 27г-периодически зависят от времени t, f - малый параметр.

Предположим, что при = 0 и I = /ц = const невозмущенная система имеет периодические решения / = /0, <р = aj(I0)t + i) с периодом Т = 27гп. Справедлива

Теорема. Пусть ф О, а функция

имеет простой нуль при д = !?()• Тогда при малых с существует Т-периодическое решение системы (1) Оно гладко (аналитически при аналитических зависит от ? и при - = 0 совпадает с

невозмущенным решением I = /о, <р = и;(/о)£ +

В параграфе 2.2 исследованы свойства устойчивости решений, найденных в параграфе 2.1.

Периодическое решение, найденное в теореме из пара! рафа 2.1. невырождено при г ^ 0. Оно можег иметь гиперболический тии. и. следовательно, бы п. неустойчивым. В случае, когда мультипликаторы не лежат на действи 1ельной оси и комплексно сопряжены, периодическое решение названо слабо эллин I ическим.

Получено достаточное условие асимптотической усюйчивосчи и неустойчивости слабо эллиптического решения. В параграфе 2.3 рассматривается система

х = Hy(r.,;)+£f(x,!j,t. -). у = —Н,(х.у) + сд(х. у. t, :). (2)

Здесь Н. /, у - функции, гладкие по (х,у) в области D С М2, 27г-периодические по t. Если £ = 0, система (2) является гамильто-

т

о

и

новой с одной степенью свободы и, следовательно, вполне интегрируема. Обозначим с = (х, у). Преднола! ае1ся. чю область £) содержит гомоклиническую траекторию гиперболического положения равновесия О невозмущенной системы. Интеграл Пуанкаре-Мельникова1 для системы (2) имев! вид

+оо

(Н,

1де ¿(/+ А) - невозмущенные решения, двонкоасимптотические к О, А - параметр вдоль I омоклиничсской траектории.

Теорема. Пусть М(А0) — О, <1М[с1\{Ао) ф 0. Тогда при достаточно малых г существует невырожденное периодическое решение системы (2). Число таких решений неограниченно возрастает при г -+0.

В параграфе 2.4 в качестве примера, иллюстрирующего резуль-|аты параграфов 2.1-2.3 данной главы, рассмофена задача о существовании долгопсриодических решений для математическою маятника с трением и периодическим внешним возмущением.

В параграфе 2.5 изучены некоторые свойства замкнутых траекторий биллиарда с неупру гими отражениями '(искре I ной нскон-сервативной сис!емы.

Рассматривается движение материальной точки М по инерции в плоской области, ограниченной выпуклой кривой Ь. Предположим, что тчка отражается от кривой неунруто, то есть при ударе сохраняется только компонент скорости. каса:ельная к границе, а нормальная компонента меняет знак и умсньшаек'л в 1/е раз, где 0 < с < 1 - коэффициент восстановления.

Предположим, что сущесчвует выпуклый «-угольник, вписанный в кривую Ь. являющийся замкнутой Iраеьторией задачи (то есть, если запус1игь материальную ючку М вдоль стороны многоугольника. она всегда буде[ оставаться на ею периметре).

1 Мельником В К Об ускн'мпвостп центра мри периодических мо времени позмущенинх // Грудм Московскою Математического обшеони 19(33 Т 12 С 3-52

Как и н первой главе, поло?кение точки М на кривой I охарактеризуем двумя неличинами: ■> натуральным параме1ром вдоль кривой Ь и 7 - синусом ума мсгкду вну1ренней нормалью к Ь и вектором скорости материальной точки сразу после отражения -угла отражения.

Движению материальной точки между двумя отражениями от границы сопоставим отображение Т : (,*„,-,„) —(.<?(,, 74), где индекс о соответствует начальному положению точки М на кривой Ь, индекс Ь - конечному.

Заме тим. что н рассма I риваемой задаче Т = К о Е. где Е отображение, сохраняющее площадь, ко трое соогвек'твует случаю упру! 01 о офажения, а К отображение, действующее следу ющим образом:

Для рассма 1риваемого случая нсупругого отражения оюбраже-ние Е от вечает за перемещение матриальной точки из одного положения на кривой L в другое. Отображение К увеличивает угол отражения в соо!ветствии с гипотезой неупру 101 о отражения.

Изучение орбшальной устойчивости замкну тй |раекюрии в форме viHoi оу гольника своди ich к исследованию устойчивости неподвижной точки отображения Т" л-кра гно примсненно! о отображения Т.

Пусть

где последовательность точек

(в<ь7о)- («1-71) = Т{з• ,(^п-7п) = Т(л„_1.7„_1) = («*0,">о)

описывает состояния отражения точки М от границы Ь. соответствующие замкну!ой траекюрии.

1.3

Теорема. Пусть

е*

(р2 + (1 - е2)-)!2)3/2 >

при г = 1.....и. Тогда неподвижная точка (?о-"/и) отображения Т"

неустойчива.

Требуемое в условии теоремы свойство периодической траектории заведомо выполняется для любой двузвенной траектории биллиарда и траектории в форме треугольника, с углами меньше а1с^2<Д

Представляется, что результаты данного параграфа справедливы и для некоторых траекторий с самопересечениями - остроконечных звезд. Однако вопрос существования таких траекторий и их классификация являются отдельной нетривиальной задачей.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Поликарпов СЛ. Расщепление сепаратрис и рождение невырожденных долгопериодических решений в случае неконсер-ваIинного возмущения тамильтоновых систем // Рсплярная и хаотическая динамика. 2001. '1. 6. Л»1. С. 47-32.

2. Поликарпов С Л О периодических I раекюриях биллиарда в однородном поле иы.есми // Вестн. Моск. Ун-1а. Сер. 1. Ма-1С\Ш1ИК8. Механика. 2002 ЛоЗ. С. 12-13

3. Поликарпов С.А О неусюйчивосчи траекторий биллиарда при неу пру I ом отражении от границы // Трепли Поляховские чтения: Избранные тру ты международной научной конференции по механике. Саны-Г1рт ерб\ рг. 4-0 фенраля. 2003 I. СПб.: Изд-во НИ ИХ СПбГУ. 2003. С. 83-85.

1 Козлов ВВ.. Поликарпов СЛ. О иериотичсских Iраеыорипх биллиар 1а в ма1ншмпм иоле // ПММ (принято к публикации в 20011.).

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж 100 экз. Заказ № 56

РНБ Русский фонд

2006-4 10134

Введение.

Глава I. Динамические биллиарды.

§1. Динамический биллиард, отображение последования.

§2. Биллиард в поле тяжести.

§3. Круговой биллиард.

§4. Биллиард в магнитном поле.

§5. Условия устойчивости двузвенных траекторий биллиарда в однородном магнитном поле.

Глава II. Неконсервативные динамические системы.

§1. Рождение изолированных периодических решений.

§2. Устойчивость периодических решений.

§3. Расщепление сепаратрис и долгопериодические решения.

§4. Математический маятник с трением и периодическим возмущением.

§5. Замкнутые траектории биллиарда с неупругими отражениями.

Динамические системы - обширная область современной математики с сильно развитыми методами исследования и областью приложений. Большое количество работ по качественной теории посвящено обсуждению различных режимов движения, свойственных динамическим системам, и, в частности, их периодическим траекториям - часто встречающимся в задачах видом движения, периодического во времени [3, 24].

Популярной моделью динамической системы, проявляющей свойства, характерные для многих задач, является биллиард - задача о движении материальной точки внутри плоской области с отражением от границы. Впервые она обсуждалась в работах Биркго-фа (см., например, [11]). При этом область движения точки предполагается выпуклой, движение между соударениями с границей происходит по инерции, а отражение точки от кривой считается абсолютно упругим.

Биркгоф сформулировал два основных подхода к задаче о нахождении периодических траекторий биллиарда (см. [11], Гл. б, §5-9). Вначале существование некоторых траекторий было установлено им при помощи наглядных геометрических рассуждений об экстремальности периметра многоугольников, соответствующих периодическим траекториям, вписанных в граничную кривую биллиарда.

Это - вариационные методы, которые широко применяются для доказательства существования периодических траекторий уравнений динамики. Если речь идет о консервативных системах, то фиксируют значение полной энергии и рассматривают функционал действие (по Мопертюи-Якоби) на пространстве замкнутых кривых. При определенных условиях точки экстремума этого функционала отвечают периодическим траекториям с заданным выше значением полной энергии. Особенно просто существование таких траекторий доказывается в случае, когда конфигурационное пространство неодносвязно (имеются нестягиваемые в точку замкнутые кривые). Этот случай рассмотрен в классических работах Адамара, Уиттекера и др. авторов (см. [11, 43], а также [3,14, 17]). В работах В.В. Козлова и С.В. Болотина [6, 8, 18] эти методы распространены на случай, когда область возможности движения имеет непустую границу.

Односвязный случай - более сложный. Впервые он рассматривался Пуанкаре [39] в задаче о наличии замкнутых геодезических на выпуклой поверхности рода нуль.

В случае сильно сплющенной поверхности задача о существовании замкнутых геодезических эквивалентна задаче о существовании периодических траекторий биллиарда с выпуклой границей. Биркгофом [11] было дано строгое доказательство существования бесконечного количества пар периодических траекторий биллиарда. Доказательство было основано на построении отображения в себя двумерной поверхности, соответствующей положению материальной точки на границе биллиарда, и использовании геометрической теоремы Пуанкаре-Биркгофа. Периодическим траекториям биллиарда соответствовали неподвижные точки этого отображения. Эта идея содержится уже в классической работе Пуанкаре [38]. Полное вариационное доказательство теоремы Биркгофа о существовании пар периодических траекторий биллиарда дается в работе Д.В. Трещева [41].

Свойства орбитальной устойчивости периодических траекторий биллиарда Биркгофа изучались многими авторами при помощи подхода, связанного с построением отображения последования (или, как его часто называют, отображения Пуанкаре). Условия устойчивости двузвенной траектории в линейном приближении имеются, например, в [22]. Они получены В.М. Бабичем и B.C. Бул-дыревым в связи с задачей о распространении волн в лучевом приближении [4]. При помощи техники, развитой в [28], в работе А.А. Маркеева [48] проводится анализ нелинейных резонансных эффектов в задаче об устойчивости двузвенной траектории.

В работе [20] поиск двузвенных траекторий выпуклого биллиарда и анализ их устойчивости проводится на основании исследования длины хорды, соединяющей точки граничной кривой и перпендикулярной кривой в одном из концов. Оказывается, что если каустика границы биллиарда целиком лежит внутри биллиарда, и все стационарные точки функции длины невырождены (и тогда каждая из них соответствует периодической траектории биллиарда), то имеется четное число двузвенных траекторий, причем половина из них имеет гиперболический тип и, следовательно, неустойчивы, а другая половина имеет эллиптический тип.

Естественными обобщениями задачи, рассмотренной Биркго-фом, представляются так называемые динамические биллиарды. Как утверждается в [10], этот термин впервые появляется в работах В.В. Белецкого и других авторов [9, 45] и применяется для обозначения класса задач о движении материальной точки в силовом поле, причем происходит упругое отражение точки от поверхности, ограничивающей область движения.

Следует также признать, что в работе В.В. Белецкого и других авторов [10] сформулированы результаты, несколько расширяющие и обобщающие результаты, полученные в главе I данной диссертационной работы. Впрочем, [10] не содержит исчерпывающих доказательств сформулированных там общих результатов, а рассмотренные в главе I примеры касаются и систем более общего класса, чем в [10].

В данной диссертационной работе рассматриваются динамические биллиарды только в плоском случае.

В [45], при помощи подхода, связанного с построением отображения, рассмотрена задача о существовании и устойчивости периодических траекторий биллиарда в однородном поле тяжести в случае, когда область движения материальной точки является кругом. Эта задача эквивалентна задаче о периодических траекториях математического маятника, если допустить возможность ослабления натяжения нити. Она также рассмотрена в работе В.Ф. Журавлева [13], посвященной построению уравнений типа Рауса для механических динамических систем с односторонними связями. Отметим, что некоторые из найденных в [45] периодических траекторий математического маятника с односторонней связью были ранее описаны геометрами (см., например, [5], гл. 17).

В работе А.П. Маркеева [29] изучена орбитальная устойчивость подскоков материальной точки в однородном поле тяжести. Для исследования этой задачи в [29] строится соответствующее отображение (для исследования той же задачи в [16] применяется иной метод - строятся канонические уравнения для систем с идеальными односторонними связями).

Вариационный подход применяется в работах М. Робника и М.В. Берри [50, 51] для поиска периодических траекторий биллиарда, помещенного в однородное магнитное поле. Если предположить, что рассматриваемая материальная точка несет электрический заряд, то между соударениями с границей точка будет двигаться по дуге окружности радиуса Лармора. Геометрический смысл функционала действие в этом случае - сумма произведения радиуса Лармора на длину замкнутой кривой и площади области, заключенной внутри кривой. Анализ существования и устойчивости двузвенных траекторий проводится на основании исследования длины хорды, соединяющей точки границы биллиарда. При помощи рассуждений топологического характера в [51] показано существование пары двузвенных траекторий биллиарда с выпуклой границей в достаточно слабом однородном магнитном поле. Там же имеются построенные численно фазовые портреты биллиарда в однородном магнитном поле с эллиптической границей.

Биллиард в однородном магнитном поле с границей в форме окружности - вполне интегрируемая система (кроме интеграла энергии имеется интеграл, линейный по скоростям). Однако, если в качестве границы взять эллипс с неравными полуосями, то соответствующая система уже не будет допускать дополнительного аналитического первого интеграла [26]. В фазовом пространстве появляются зоны со стохастическим (квазислучайным) поведением фазовых траекторий. Собственно, даже без магнитного поля такие зоны обнаружены в случаях, когда граница отличается от эллипса [46, 47, 52]. Результаты С.В. Болотина [7] приводят к естественному предположению о том, что интегрируемым биллиардом с регулярной границей может быть только эллиптический биллиард Биркгофа.

Доказательство неинтегрируемости биллиарда в однородном магнитном поле, данное в [26], использует явление расщепления сепаратрис. Впервые оно было обнаружено Пуанкаре [37] в гамиль-тоновых системах. Он же указал на связь этого явления с отсутствием дополнительного аналитического интеграла гамильтоновой системы. В дальнейшем расщепление сепаратрис стало одним из основных инструментов при доказательстве неинтегрируемости (подробный исторический комментарий и библиография имеются в работе С.Л. Зиглина [15] и книге В.В. Козлова [24]).

Еще один способ доказательства неинтегрируемости основан на явлении рождения изолированных периодических решений [23, 37]. В [19] была установлена связь между явлением расщепления сепаратрис и рождением периодических решений в гамильтоновых системах с полутора степенями свободы. Случай консервативного возмущения многомерной гамильтоновой системы рассмотрен в [53].

В общем случае, когда магнитное поле неоднородное, можно применить вариационную теорию С.П. Новикова. В рамках этой теории понятие о функционале действие и его экстремалях распространяется на случай неоднозначных функционалов, возникающих при рассмотрении движения частицы в магнитном поле. "Включение" магнитного поля выражается во введении в функционал действие дополнительного слагаемого - вектор-потенциала, отвечающего замкнутой 2-форме магнитного поля.

Для исследуемой нами задачи важны результаты теории С.П. Новикова, касающиеся существования замкнутых траекторий необратимых систем с компактным двумерным конфигурационным многообразием (в нашем случае это многообразие гомео-морфно двумерной сфере).

В работах С.П. Новикова и И.А. Тайманова [31, 32, 40] доказана следующая теорема: для существования замкнутой гладкой не-самопересекающейся кривой - минимума функционала действия на некотором компактном двумерном многообразии, вложенном в конфигурационное пространство, достаточно, чтобы длина границы этого многообразия, вычисленная в метрике, согласованной с кинетической энергией, была бы меньше, чем интеграл по этому многообразию от 2-формы магнитного поля.

Если магнитное поле однородно, а границей биллиарда является окружность радиуса г, условие существования хотя бы одной периодической траектории, которое дает теория С.П. Новикова имеет вид г > 2R, где R - радиус Лармора. При этих же предположениях в главе I данной диссертационной работы получено условие существования периодических траекторий в виде г < R.

Другая возможность обобщения задачи о биллиарде Биркгофа заключается в отказе от закона абсолютно упругого отражения от границы. К сожалению, рассеяние энергии не позволяет непосредственно применить в такой постановке метод отображений, предложенный Биркгофом. Дело в том, что в этом случае отображение Пуанкаре не допускает инвариантной меры и поэтому условия классической геометрической теоремы Пуанкаре-Биркгофа не выполнены. Кроме того, в этом случае положение материальной точки на граничной кривой динамического биллиарда не определяется только двумя параметрами.

Однако, если движение материальной точки между отражениями происходит по инерции (то есть форма отрезка траектории между соударениями не зависит от начальных данных), то при выполнении специальных гипотез о законе отражения двузвенные замкнутые траектории биллиарда наследуются из случая абсолютно упругого отражения (см., например, работу И.И. Чигура [44]). Построение соответствующего двумерного отображения позволяет исследовать устойчивость периодических траекторий и в этом случае.

В диссертации рассмотрен круг вопросов, часто встречающихся в задачах теоретической механики применительно к биллиардам. Доказано существование и исследованы свойства устойчивости периодических траекторий для некоторых задач - как уже обсуждавшихся ранее другими авторами, так и новых, ранее не изучавшихся.

Данная диссертационная работа состоит из введения, двух глав и списка литературы.

1. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: УРСС, 2000. 408 стр.

2. Арнольд В.И., Авец А. Эргодические проблемы классической механики. Ижевск: Ижевская республиканская типография, 1999. 284 стр.

3. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики М.: Эдиториал УРСС, 2002. 416 стр.

4. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука, 1972. 456 стр.

5. Берже М. Геометрия. Т. II. М.: Мир, 1984. 366 стр.

6. Болотин С.В. Либрационные движения натуральных динамических систем // Вестн. Моск. Ун-та. Сер.1, Математика. Механика. 1978. №6. С. 72-77.

7. Болотин С.В. Интегрируемые бильярды Биркгофа // Вестн. Моск. Ун-та. Сер.1, Математика. Механйка. 1990. №2. С. 3336.

8. Болотин С.В. Козлов В.В. Либрация в системах со многими степенями свободы // ПММ. 1978. Т. 42. Вып. 2. С. 245-250.

9. Белецкий В.В., Панкова Д.В. Связка двух тел на орбите как динамический биллиард // Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. 1995. №7. 32 стр.

10. Белецкий В.В., Березинская С.Н., Кугушев Е.И., Сорокина О.В. О периодических движениях динамических биллиардов // Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. 2003. № 14. 28 стр.

11. Биркгоф Д. Динамические системы. Ижевск: Издательский дом "Удмуртский университет", 1999. 408 стр.

12. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: методы и приложения. Т.1. М.:Эдиториал УРСС, 1998. 336 стр.

13. Журавлев В.Ф. Уравнения движения механических систем с идеальными односторонними связями // ПММ. 1978. Т. 42. Вып. 5. С. 781-788.

14. Зейферт Г., Трельфалль В. Топология. М.-Л.: Гостехиздат, 1938. 400 стр.

15. Зиглин С.Л. Расщепление сепаратрис и несуществование первых интегралов в системах дифференциальных уравнений типа гамильтоновых с двумя степенями свободы // Известия АН СССР. Серия математическая, 1987. Т. 51. №5. С. 1088-1103.

16. Иванов А.П., Маркеев А.П. О динамике систем с односторонними связями // ПММ. 1984. Т. 48. Вып. 4. С. 632-636.

17. Клингенберг В. Лекции о замкнутых геодезических. М.: Мир, 1982. 416 стр.

18. Козлов В.В. Принцип наименьшего действия и периодические решения в задачах классической механики // ПММ. 1976. Т. 40. Вып. 3. С. 399-407.

19. Козлов В.В. Расщепление сепаратрис и рождение изолированных периодических решений в гамильтоновых системах с полутора степенями свободы // УМН. 1986. Т. 41. Вып.5(251). С. 177-178.

20. Козлов В.В. Двузвенные биллиардные траектории: экстремальные свойства и устойчивость // ПММ. 2000. Т. 64. Вып. 6. С. 942-946.

21. Козлов В.В. О периодических решениях уравнения Дуффин-га // Труды научного семинара под руководством академика К.В. Фролова. М., 1998. С. 75-88.

22. Козлов В.В., Трещев Д.В. Биллиарды. Генетическое введение в динамику систем с ударами. М.: Изд-во МГУ, 1991. 168 стр.

23. Козлов В.В. Методы качественного анализа в динамике твердого тела. М.: Изд-во МГУ, 1980. 232 стр.

24. Козлов В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. Ижевск: Изд-во Удмуртского университета, 1995. 432 стр.

25. Козлов В.В., Поликарпов С.А. О периодических траекториях биллиарда в магнитном поле // ПММ (принято к публикации в 2004г.).

26. Козлова Т.В. Неинтегрируемость вращающегося эллиптического биллиарда // ПММ. 1998. Т. 62. Вып. 1. С. 87-91.

27. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Краткий курс теоретической физики. Механика. Электродинамика. М.:На'ука, 1969. 272 стр.

28. Маркеев А.П. Точки либрации в небесной механике и космо-динамике. М.:Наука, 1978. 312 стр.

29. Маркеев А.П. О сохраняющих площадь отображениях и их применении в динамике систем с соударениями // Известия РАН. Механика твердого тела. 1996. №2. С. 37-54.

30. Мельников В.К. Об устойчивости центра при периодических по времени возмущениях // Труды Московского Математического общества. 1963. Т.12. С. 3-52.

31. Новиков С.П. Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории Морса // УМН. 1982. Т.37. Вып.5(227). С. 3-49.

32. Новиков С.П., Тайманов И.А. Периодические экстремали многозначных или не всюду положительных функционалов // ДАН СССР. 1984. Т. 274. №1. С. 26-28.

33. Поликарпов С.А. Расщепление сепаратрис и рождение невырожденных долгопериодических решений в случае неконсервативного возмущения гамильтоновых систем // Регулярная и хаотическая динамика. 2001. Т. 6. №1. С. 47-52.

34. Поликарпов С.А. О периодических траекториях биллиарда в однородном поле тяжести // Вестн. Моск. Ун-та. Сер.1, Математика. Механика. 2002. №5. С. 42-45.

35. Понтрягин JI.C. О динамических системах, близких к гамиль-тоновым // Журнал экспериментальной и теоретической физики, 1934. Т.4. №9. С. 883-885.

36. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики // В кн. Избр. труды. Т. I-II. М.: Наука, 1971. 771 стр. 1972. С. 7-356.

37. Пуанкаре А. Об одной геометрической теореме //В кн. Избр. труды. Т. II. М.: Наука, 1972. С. 775-807.

38. Пуанкаре А. О геодезических линиях на выпуклых поверхностях // В кн. Избр. труды. Т. II. М.: Наука, 1972. С. 733-774.

39. ТаймановИ.А. Несамопересекающиеся замкнутые экстремали многозначных или не всюду положительных функционалов // Изв. АН СССР. Сер. Математическая. 1991. Т.55. №2. С. 367383.

40. Трещев Д.В. К вопросу о существовании периодических траекторий бильярда Биркгофа // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 1987. №5. С. 72-75.

41. Трещев Д.В. Введение в теорию возмущений гамильтоновых систем. М.: ФАЗИС, 1998. 184 стр.

42. Уиттекер Э. Аналитическая динамика. Ижевск: Издательский дом "Удмуртский университет", 1999. 588 стр.

43. Чигур И.И. О ветвящихся биллиардах // Вести. Моск. Ун-та. Сер.1, Математика. Механика. 1991. №1. С. 68-72.

44. Beletsky V.V., Kasatkin G.V., Starostin E.L. The pendulum as a dynamical billiard // Chaos, Solitons & Fractals. 1996. Vol 7. No. 8. 1145-1178.

45. Delshams A., Ramirez-Ros R. Poincare-Melnikov-Arnold method for analytic planar maps // Nonlinearity. 1996. V. 9. No. 1. P. 1-26.

46. Levallois P., Tabanov M.V. Separation des separatrices du billiard elliptique pour une perturbation dinamique et symetrique d'ellipse // C.r. Acad. Sci. Paris. 1993. V. 316. No. 6. P. 589-592.

47. Markeev A.A. The method of pointwise mappings in the stability problem of two-segment trajectories of the Birkhoff billiards // Amer. Math. Soc. Transl. 1995. Vol. 168. (2). P. 211-226.

48. Morozov A.D. Quasi-conservative systems: cycles, resonances and chaos. World Scientific Publishing Co. 1998. 326 p.

49. Robnik M. Regular and chaotic billiard dynamics in magnetic fields // Nonlinear Phenomena and Chaos. Bristol; Boston: Adam Hilger. 1986. P. 303-330.

50. Robnik M. Berry M.V. Classical billiards in magnetic fields //J. Phys. A: Math. Gen. 1985. 18. N. 9. 1361-78.

51. Tabanov M.V. Separatrices splitting for Birkhoff's billiard in symmetric convex domain, closed to an ellipse // Chaos. 1994. P. 595-606.

52. Treshev D.V. Hyperbolic tori and asymptotic surfaces in Hamiltonian systems // Russian Journal of Mathematical Physics 1991. Vol.2. No. 1. P. 93-110.