О применении интегрального метода Фурье к исследованию турбулентной тепло-солевой конвекции со сплошным пространственным спектром тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ^ имени М.В .ЛОМОНОСОВА

*** . V

£ . . ^

На правах рукописи

Попов Владимир Николаевич

О применении интегрального метода Фурье к исследованию турбулентной тепло-солевой конвекция со сплошным пространственным спектром

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

Москва-1999

Работа выполнена б Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор С. Я. Гсрценштейн

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Полежаев В.И. кандидат физико-математических наук, доцент Колесов В.В.

Ведущая организация: Институт механики сплошных сред (г. Пермь)

Защита состоится " " 1)$) I_ в1Нр часов

на заседании Диссертационного совета Д053.05.02 при МГУ им. М.В. Ломоносова, в ауд.

Адрес: 119899, Москва, Воробьевы горы, Главное здание МГУ

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ

Автореферат разослан _.

Ученый секретарь диссертационного совета профессор

В.П. Карликов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задача анализа турбулентных течений - одна из фундаментальных проблем механики. Понимание законов турбулентного движения, равно как и постижение механизмов перехода из ламинарных режимов в турбулентные, позволит не только расширить наши представления о природе вещей, но и кардинально увеличить возможности науки в решении большого ряда прикладных проблем (сопротивление среды движущимся телам, расчет климата и т.д.). Поэтому любые методы и подходы, позволяющие продвинуться в направлении решения этой проблемы, являются актуальными и вызывают значительный интерес.

Впервые на проблему существования турбулентных течений обратили внимание еще в прошлом веке, в этой связи достаточно упомянуть классические опыты Рсйнольдса. Затем стали развиваться аналитические и апалитихо-числешше методы, начиная с работ Орра и Зоммерфельда по выводу уравнения устойчивости тсчепия до "странных аттракторов" Лоренца и других исследований свойств различных стохастических систем. В настоящее время в связи с произошедшим в последние десятилетия экспоненциальным ростом мощности ЭВМ все большее внимание уделяется развитию численных и численно-аналитических методов расчета переходных и турбулептных течений.

Однако (и на это указывается в ряде обзоров, в частности, Мо-нина A.C., Рабиновича М.И.) в отличие от временных параметров рассчитываемых турбулентных течений, стохастический характер изменения которых установлен в значительном количестве работ, пространственные параметры решений выглядят на удивление просто. Часто они состоят всего из нескольких гармоник, что существенно расходится с обычными представлениями о турбулентном течении.

Данная работа посвящена решению этой проблемы: исследованию пространственных характеристик тепло-солевой конвекции в режиме, стохастический характер которого во временной области подтвержден различными методами и различными авторами.

Цель работы. Целью работы является анализ двумерной тепло-солевой конвекции в турбулентных режимах1, исследование пространственной структуры течения и изменения параметров течения при увеличении его надкритичности.

Научная новизна.

• Установлено, что рассмотренное турбулентное течение не только имеет сплошной временной спектр (что было известно и ранее), но и его пространственная спектральная плотность обладает сплошной структурой, в частности, в ней отсутствует базовая частота (и, соответственно, выделенный масштаб), и сама эта структура значительно меняется во времени.

• Впервые интегральный метод Фурье применен для исследования турбулентной тепло-солевой конвекции в горизонтальном слое

----------растворагПоказана эффективность этого метода для расчетов различных стохастических режимов тепло-солевой конвекции.

• Исследовано влияние длины канала на пространственную структуру и иные характеристики рассмотренного течения. В частности, зафиксировано два последовательных изменения типа течения (с турбулентного на стационарный и снова турбулентный) и вызванное этим изменение в два раза средних потоков тепла и соли через

1 здесь и далее под турбулентными режимами конвективных течений понимаются непериодические нерегулярные (стохастические) течения, для которых имеет место локальная расходимость траекторий

границы канала Также установлено, что при увеличении надкри-тичности течения все большую роль играет взаимодействие между конвективными ячейками. Из-за этого при проведении расчетов течения в бесконечном канале необходимо рассматривать все большие расчетные области.

• Создан эффективный комплекс программ, позволяющий исследовать с помощью интегрального метода Фурье турбулентные конвективные течения в широкой области параметров, проводить визуализацию таких течений, анализировать пространственные и временные характеристики (в том числе и спектральные плотности) и др.

Научная и практическая значимость работы имеет три основных компонента:

• Проводимые исследования находятся в общем русле работ, посвященных нелинейным задачам и турбулентным течениям.

в Разработана эффективная методика интегрального расчета турбулентных конвективных течений и анализа их пространственных и временных характеристик. Эта методика может быть использована при решении ряда других нелинейных задач гидро- и аэродинамики, особенно для пространственных турбулентных течений.

• Наличие сплошного пространственного спектра у рассмотренного турбулентного течения имеет фундаментальное значение и дает основание для анализа ряда аналогичных турбулентных течений с этих же позиций.

Достоверность. Достоверность полученных результатов подтверждается результатами тестирования численной процедуры на известных точных решениях, сравнением с результатами, полученными другими

численными методами, сравнением с известными результатами других авторов.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и получили положительную оценку

- на семинаре по газовой динамике в Институте механики МГУ (рук. акад. РАН Г.Г. Черный), 1997г.

- на семинаре по методам гидромеханики в Институте механики МГУ (рук. проф. A.A. Бармин и чл.-корр. РАН А.Г. Куликовский), 1999г.

на семинаре "Гидродинамическая устойчивость и турбулентность" в Институте механики МГУ (рук. проф. С.Я. Герценштейн), 1997, 1998, 1999 г. г.

- на семинаре в Институте проблем механики РАН (рук. проф. В.И. Полежаев), 1999г.

- на международных конференциях "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости" - ХП и XIII (Москва, 1996, 1998г.г.)

- на Всероссийской конференции "Современные методы и достижения в механике сплошных сред" (Москва, 1997г.).

- на X Юбилейной Международной Конференции по Вычислительной Механике и Современным Прикладным Программным Системам (ВМС11ПС'99) (Переславль-Залесский, 1999г.)

- на международной конференции "Потоки и структуры в жидкости" (С. Петербург, 1999г.)

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации - 80 страниц, включая 34 рисунка и список литературы из 68 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит краткое изложение истории вопроса, известные результаты и обзор литературы, обоснование актуальности темы диссертации, ее краткое содержание.

Первая глава посвящена аналитическому исследованию исходных уравнений задачи и методу ее решения. Формально, рассматривается двумерная тепло-солевая конвекция в классическом приближении Буссинеска уравнений Навье - Стокса. Горизонтальные границы z — const конвективной области (канала, см. рис. 1) жесткие и гладкие, на них поддерживается постоянная (и различная на разных границах) температура и соленость; по оси х рассматривались два типа граничных условий:

бесконечный канал, в этом случае рассматривалась задача «расползания» начального локализованного возмущения;

канал заданной длины (различной в различных расчетах) с условием периодичности на границах.

Показано, что в безразмерных переменных течение описывается системой уравнений: l/PrJ(Ay) = Л2 у/- RtTx+Rs Sx J(I) = AT-yrx (1) —

J(S) GA4- yrx

r д 8 д . д2 б2

J-—l-i/--wx— A = —=- + —r

dt dx Yxdz' dx2 dz1 —

T s

Ao >°0

4>X= = T=s = 0 npnz = 0, I (2),

T0+T ,s„+s

Рис. 1

содержащей четыре безразмерных числа: тепловой и солевой Рэлей Ш - gafd3/(vkr),

число Прандтля Рг = у/кг и

б = к8/кт, где

g - ускорение свободного падения; й - ширина канала;

V- коэффициент кинематической вязкости; кг - коэффициент температуропроводности; к$ - коэффициент солевой диффузии; Т - перепад температуры между стенками канала; § - перепад солености между стенками капала;

а и Д - коэффициенты теплового и солевого расширения среды, соответственно;

у/- безразмерная функция тока; Т- безразмерная температура; 5 - безразмерная соленость.

Во втором параграфе главы рассмотрена задача устойчивости тривиального решения относительно малых колебаний. Обнаружено два типа линейной неустойчивости («конвективная» и «колебательная», отсутствующая в тепловой конвекции), найдена серия точных решений нелинейной системы (1), хотя и не удовлетворяющая граничным условиям (2).

В последнем параграфе главы рассматривается процедура интегрального преобразования

+аз «о

о

T(x,z,t)=Yj JTkn(t}expi(kx + nm)dk (3)

n- 00 _o0 +<0 +"0

n^—CQ-ao

переводящая систему уравнений в частных производных (1) в систему интегро - дифференциальных уравнений (не приведена в автореферате в силу своей громоздкости).

Данная система интегрировалась численно методом Рунге-Кутга пятого порядка с переменным шагом интегрирования по времени, обеспечивающим автоматический контроль точности вычислений. Интегралы по х вычислялись как по формулам первого порядка точности (формула прямоугольников), что сводило реализацию метода к реализации известного разложения в ряд Фурье по х , так и по формулам более высокого порядка (формула Симпсона). При этом значение шага равномерной сетки по х (и, следовательно, минимального волнового числа Ц соответствовало длине расчетной области D : kmi„ = 2ж /D. Для обеспечения возможности проводить расчеты на персональном компьютере за разумное время, все критические по времени участки программы были написаны на ассемблере и оптимизированы под х87 математический сопроцессор. Это привело к практически предельной производительности вычислений и к пятнадцатикратному увеличению скорости расчетов по сравнению с версией, разработанной для оптимизирующего компилятора С (MS С 6.0), который генерировал код, работающий в среднем в три раза быстрее широко распространенного оптимизирующего компилятора языка FORTRAN.

Вторая глава посвящена исследованию свойств течения при различных его параметрах, не требующих статистического анализа (его применению посвящена третья глава).

Сначала рассматривается задача распространения начального локализованного возмущения в бесконечном канале. Существующая реализация интегрального метода не позволяет рассчитывать течения в неограниченной области, хотя сам интегральный метод такого ограничения не содержит (в отличие от метода разложения в ряды Фурье), поэтому расчеты проводились в областях конечной длины на протяжении ограниченного времени, меньшего, чем время распространения начального возмущения до границы расчетной области. Для расчета в последующие моменты времени приходилось проводить расчет для большей длины расчетной области. Этот процесс проиллюстрирован па рис. 2 следующим образом: в каждом столбце приведено распределение функции Т(х,г■) в плоскости Ох? в определенный момент времени 1 , причем различные значения Т(х,г) представлены интенсивностью серого цвета Распределения приведены только на половине длины расчетной области, т.к. распределения функций Т(х,г) и Б(х,г) симметричны по х, а распределения функции цг (х,г) - антисимметричны. В первом столбце приведено начальное возмущение Т(х,г):

(на функции у/ (х,г) и 8(х,г) возмущение не накладывалось: у/(х,г,0)=0, Б(х,г,0)=0).

Во втором и третьем столбцах приведено распределение Т(х,г) в момент, когда возмущение практически достигло границы начального канала (во втором столбце распределение приведено для расчета с длиной канала Б=18, в третьей - й=3б).

1Ш

и

и

•А *5

(=0.0

мз!

1=0.680

(=0.680

(=0.876

0.5 »

Рис. 3. Зависимость Ыф) и N.$(0

Рис. 4. Процесс выделения базовой

частоты в ламинарном режиме Рг=1,С=10'!/2,Шг=2000,1^=0,0=32

Рис. 2. Т(х,г) в различные моменты времени /

Рис.5.Отсутствие базовой гармоники в турбулентном режиме Рг=1, 0=Ю-"2Д1=11000,1^=10000,0=32

В четвертом столбце показано распределение Т(х,г) в последующий момент времени, при дальнейшем распространении возмущения. Все приведенные распределения относятся к расчету турбулентного режима {Рг=1, С=10"ш,Ш=11000,118=10000}.

Кроме того, существуют известные параметры (безразмерные числа Нуссельта по теплу и по соли), описывающие суммарные пото-

границу г = 0.

Графики их зависимости от времени в указанном выше режиме при параметрах расчетной области О =18 и X» =36 приведены на рис. 3.

Расчеты по аналогичной методике ранее проводились Гетлин-гом А.В., но с иной целью: определить какой именно пространственный масштаб (пространственная частота) конвекции выделяется в том или ином ламинарном режиме из начального возмущения, лишенного характерного масштаба или имеющего несколько выделенных частот. На рис. 4 приведена иллюстрация этого процесса в ламинарном режиме. Обращает на себя внимание четность выделенной базовой гармошки, из-за нелинейности исходных уравнений выделяются кратные, в то время как вклад промежуточных частот стремится к нулю. Тем самым дальнейший (после определения базовой гармоники) расчет интегральным методом становится бессмысленным и даже неэффективным из-за трудности аппроксимаций ¿^образных функций, и наиболее эффективный метод расчета установившихся ламинарных течений -разложение в ряд Фурье с найденной базовой частотой.

В турбулентных режимах наблюдается иная ситуация (рис. 5): на протяжении сколь угодно большого времени расчета (в постановке задачи с периодическими условиями по х) не выделяется никакой ос-

новной пространственной гармоники, а присутствует широкий спектр частот (этот вопрос подробно исследован в третьей главе диссертации). Причем в различные моменты времени доминируют различные пространственные частоты и выделить наиболее значимые можно лишь статистическими методами. Косвенным свидетельством указанной природы течения может служить динамика безразмерных чисел Нуссельта по теплу и соли, определяемых в периодической постановке как

^у п J йт ' и л J Яг

О { дг

Ох (4)

о

&

(единица появляется из-за наличия равновесного течения). Эта зависимость приведена для переходного и турбулентного режимов на рис. 6 и 7. В этой ситуации интегральные методы оказываются предпочтительными (в частности, в турбулентном режиме {Рг=1, (5=10*1/2, Ш=110(Ш, КзНЮООО, Г>=18} при одинаковой точности разбиения и аппроксимации время расчетов сократилось на 10% и есть основания считать, что выигрыш увеличится при увеличении надкритичности течения).

1 1111 '^ 1 1

■ •

Рис. 6. Зависимость N¡(1) и АЭД в переходном режиме Рг=1,С=10'1/2, 1^=9600, Из=10000, Б=18 Рис. 7. Зависимость N((1) и в турбулентном режиме Рг=1, 0=10"1'2, 14=11000, {^=10000,1>=18

В этой же главе исследована зависимость структуры и численных параметров течения от длины конвективной ячейки и параметров течения. Huppert Н.Е. и Moor D.R. подробно исследовали процесс изменения структуры течения для ячейки размером {Pr=l, G=10"1/2, Rs=10000, D=2V2} в зависимости от значений Rt. Повторенные и дополненные расчетами при больших значениях D результаты приведены на рис. 8, причем • обозначены стационарные режимы течения, О - турбулентные и □ - ламинарные и переходные.

i 1 Rt,*10' • о Nu4 • -Ns O-Nt • • •

11 0000 ООО О

10 О О о □ О □ 1. О о О : : : :

40 D 40 D

Рис. 8. Зависимость типа течения Рис. 9. Зависимость Nt и Ns от D

Du Rt в режимах Рг=1, G=10"1/2, в режиме Pr=l, G=10""2,

Rs=10000 Rt=l 1000, Rs=l0000

Обращает на себя внимание тот факт, что при К£=11000 при увеличении длины ячейки й с ~ 3 до ~ 6, происходит переход от турбулентного до ламинарного режима течения, а при последующем росте й до ~ 18 - обратный переход к турбулентному режиму. Это тем более интересно, что тепло- и соле- перенос (М и № соответственно) в стационарных режимах приблизительно в два раза больше, чем в турбулентных, т.е. в расчетной области параметров разбиение ячейки длиной 24 на две по 12 привело бы к значительному увеличению переноса. На

рис. 9 приведен иллюстрирующий это явление график зависимости осредненных по времени М (О) и ЛЬ (•) от длины ячейки /).

Кроме того, на рис. 10 приведены распределения (по половине ячейки) Т(х,:), реализующиеся в обнаруженных стационарных режимах. Интересно, что показанные структуры (с образованием и распадом которых, по всей видимости, связано существование указанных стационарных режимов) имеют несоизмеримые масштабы, кратные у!2 : ж : 1). Для сравнения на этом же рисунке приведено несколько различных распределений Т(х,г) в турбулентном режиме при £> = 18.

Т(Х,2) о

4^2

11 шйт У

В=\2

(ННйНЁМЙВНЯН!

18

иДУ ¡Дгг ЦЁ 18

18

# в А ...... 18

Рис. 10. Примеры стационарных и турбулентных течений в каналах различной ширины на примере функции Т(х,г).

Статистическому исследованию этого и других турбулентных режимов посвящена третья глава.

Формально, в каждый фиксированный момент времени t значения функций y/(x,z) , T(x,z) и Six,2) рассматриваются как случайные реализации относительно двумерной координаты (х, z).

Для любого случайного процесса f(х ^корреляционная функция Rf(u) и спектральная плотность gf (а) определяются следующим образом:

Rj(u) = ~lf(x)f(x + u)dx

gf(v) = —~ir Й/(й)ехр(-;'г7 • ю)сШ ?

где

N - размерность переменной х ; М с Э1Л' - область значений х ; • - операция скалярного произведения в 9i;v. и, кроме того, верно и обратное преобразование

Rf (и) = ехр(ш »a))du

В случае функций yr, Т и S рассматриваемая методика дает следующие результаты:

gt/k.rn) = —у1„ - мгновенная спектральная плотность по про стран ст-16

ву функции тока, где щп определено в (3);

%т(к, таг) = — Г/„ - то же для температуры; 16

gs(k, таг) = ~ - то же для солености.

Затем полученные мгновенные значения осреднялись по времени стандартным способом:

/о+Д'

&1

/ = Т7 где / - , и & , а ¿4/ - интервал осреднения.

На рис. 11 приведен осредненный при М ~ 5 спектр функции тока в режиме (Рг=1, (МО11, т=11000, Пв^ЮООО, »=18}. Результаты осреднения при различных значениях /о помечены знаками о, что позволяет оценить характерный диапазон изменения ^. Существующий разброс значений связан со значительными флуктуациями течения, а не с малостью числа точек осреднения (их на каждое значение приходится около 2000).

о

На рис. 12 приведен результат осреднения при значительно большем = 100, и дополнительно приведен график (к, л), осред-ненный по всему времени расчета данного варианта Л/ = 300. Осреднение Л1 = 100 обеспечивает точность результатов в пределах 5%, что признано достаточным для данной работы. Причина этого решения в том, что обнаруженные в работе эффекты значительно превышают указанную величину, а существенное увеличение длительности расчетов не возможно на имеющемся оборудовании (объем данных одного расчета канала О =18 и длительностью Л/ = 300 превышает 400 МЬ).

В результате проведенных расчетов были получены мгновенные и осредненные пространственные спектраль- с=40/ ные плотности ^^птт), gт(k,nк) и %5(к,пк) для ряда турбулентных режимов. На рис. 13 в качестве примера Рис. 13. Зависимость

приведен сводный график при различных длинах канала й пространственного спектра

функции тока тс) для режимов {Рг=1, ою"2, т=пооо, 1*5=10000}, 0=18,30 и 40 (технические характеристики расчетов приведены в табл. 1). Из рис. 13 следует, что помимо естественного расхождения результатов в длинноволновой (короткочастотной) области, при увеличении О наблюдается некоторый рост в наиболее «энергонесущей» средневолновой области, который можно заметить и по зависимости Л7/Ц) , Мь-(О) (рис. 9). Вместе с тем (что естественно),

спектр в коротковолновой области практически пе меняется с ростом О, его аппроксимация приблизительно ¿>(*0~ к'3,5. Однако, эта аппроксимация получена при к~5+10кср , и без дополнительного исследования невозможно сделать вывод об асимптотике при к/кср-ию (здесь кср • частота «средних» воли). Кроме того, известно, что спектр двумерной турбулентности спадает круче трехмерной.

Таблица 1. Параметры некоторых расчетов в режимах Рг=1,0=Ю"1/2,

1^11000,118=10000.

[Длина канала й 18 30 40

¡Число точек разбиения Ь 24 36 40

[Максимальная пространст- 8я/3 12п/5 2л

венная частота ктах

¡Время расчетов 300 120 125

(Средний Ш 1.62 1.75 1.86

¡Средний № 2.22 2.43 2.58

Основным результатом следует считать отсутствие в рассматриваемых турбулентных режимах (в отличие от ламинарных) выделенного пространственного масштаба и наличие вместо него широкого диапазона частот, амплитуды которых, значительно меняются по времени. Установить между ними количественные соотношения можно лишь статистическими методами, что подтверждает качественные результаты, полученные во второй главе.

Затем в третьей главе было проведено исследование зависимости статистических характеристик течения от его надкритичности. Для этого были проведены дополнительные расчеты в следующих режимах: {Рг=1, С=10"1/2, Ш=11250,148=10000, 3>=18} и {Рг=1, С=10 1*1=11500, 1*8=10000, ГН18}. Такое сравнительное небольшое увеличение параметра Е( было связано с тем, что в этой области параметров происходит значительное изменение структуры течения и увеличение его интенсивности, и турбулентность течения значительно возрастает

при таком изменении параметров. Для иллюстрации этого факта в табл. 2 приведены средние значения теплового (№) и солевого (ЛЬ) чисел Нуссельта (4) при различных значениях Ш.

При рассмотрении изменения пространственной структуры течения обращает на себя внимание тот факт, что при увеличении над-критичности течения быстрее всего растет (к, л) , (к, 2 л) и "йв (к,2я). Причем, если основной рост (к, л) происходит в диапазоне наиболее энергетически значимых средних волн, то пространственные спектральные плотности §г и растут в основном в низкочастотном (длинноволновом) диапазоне, «отвечающем» за межьяче-ечное взаимодействие.

В качестве примера на рис. 14 и 15 приведены графики функций 3¥(к,л) и §т (к, 2 л) при различных значениях Ш.

Таблица 2.

№ кривой на рисунках 15,16 • т 'т Лу

1 11000 1.62 2.22

2 11250 1.78 2.51

3 11500 1.91 2.73

И, наконец, в режиме {Рг=1, <5=10"ю, 111=11000, Ш=10000, 0=18} были исследованы временные статистические характеристики рассматриваемого течения на основе зависимостей ЛСД и N.4(1). В качестве примера па рис. 16 и 17 показаны графики функций/¿>;ф и/ , демонстрирующих вклад колебаний с временной частотой / в энергетический спектр N((1) и N$(0, соответственно. Для сглаживания временных спектров использовалось спектральное окно Котельнико-ва:

[О, |/|>Л/2

где А - ширина окна.

001 А-1 *ЧГ\ 1 0.01 Л М /и/ 1 Ч/ч

1 ' 1 «•

Рис. 16. Временные автоспектры Рис. 17. Временные автоспектры

N¡(1) и Ыв^у, спектральное окно N1(0 и N$(0; спектральное окно

А=20 А=100

Видно, что во временном спектре помимо длинноволновой составляющей заметную роль играют колебания на частотах 3 ~ 5 , что видимо, соответствует «времени жизни» конвективных ячеек в рассматриваемом турбулентном режиме.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Данная диссертация посвящена исследованию пространственной структуры двумерной тепло-солевой конвекции при различных степенях надкритичности с использованием интегральных методов. Получены следующие результаты:

1. Впервые проведено систематическое исследование пространственной структуры стохастических течений. И показано, что в этих режимах (в отличие от ламинарных) отсутствует выделенный масштаб по пространственным переменным, пространственная структура течения значительно меняется по времени.

2. Установлено большое влияние длины конвективной области на тип и численные характеристики течения. В частности, обнаружена такая область параметров течения, в которой при увеличении длины ячейки происходит сначала переход от турбулентного режима конвекции к стационарному, сопровождающийся двукратным ростом тепло- и солепередачи через конвективную область, а при дальнейшем увеличении длины канала - обратный переход к турбулентному режиму, с соответствующим понижением тепло- и солепередачи.

3. Исследовала эффективность применения интегрального метода к расчету тепло-солевой конвекции в различных режимах. Показано, что для расчета установившихся ламинарных режимов его использование менее эффективно, чем использование метода, основатпю-

го на разложении искомых величин в рады Фурье. При расчете турбулентных конвективных течений, наоборот, более эффективным оказывается применение интегрального представления, что, по-видимому, связано с физической и математической природой течения.

4. Впервые исследовано изменение пространственной структуры и пространственного спектра турбулентной конвекции при увеличении надкритичности течения, в частности, показано возрастание при этом роли длинноволновых движений. Исследованы временные характеристики течения, получены данные о потоках тепла и соли через границы, их временные спектры и ковариации, в частности, найдены характерные временные частоты течения (3-5 в безразмерных переменных).

5. Создан эффективный комплекс программ, позволяющий исследовать с помощью интегрального метода Фурье турбулентные конвективные течения в широкой области параметров, проводить визуализацию таких течений, анализировать пространственные и временные характеристики (в том числе и спектральные плотности) и др.

ПУБЛИКАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ

По теме диссертации опубликовано 7 работ.

1. Герценштейн С.Я., Попов В.Н. Об интегральном методе расчета турбулентных течений. Материалы XII Международной школы-семинара "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости", Москва, 1996 г., с. 33.

2. Попов В.Н. О точных решениях в задаче с двойной диффузией. Материалы ХП Международной школы-семинара "Нелинейные

задачи теории гидродинамической устойчивости", Москва, 1996г., с.60-62.

3. Герценштейн С.Я., Попов В.Н. Интегральный метод расчета турбулентных режимов в слое раствора. Материалы Всероссийской конференции «Современные методы и достижения в механике сплошных сред», Москва 1997 г., с. 22-23.

4. Герценштейн СЛ., Попов В.Н.. Интегральный метод расчета турбулентной конвекции в горизонтальном слое раствора. Доклады Академии Наук, 1998, том 363, № 6, стр. 769-771.

5. Герценштейн С~Я., Попов В.Н. Расчет турбулентной конвекции со сплошным пространственным спектром в горизонтальном слое раствора. Труды Математического института им. В.А. Стеклова, 1998, том 223, с.166-170.

6. Герценштейн С.Я., Попов В.Н.. Особенности турбулентного спектра в случае тепло - солевой конвекции. Материалы XIII Международной школы-семинара "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность ", Москва, 1998, с. 58-61.

7. Попов В.Н. Расчет турбулентной конвекции интегральным мето----------дом. Препринт Института Механики МГУ, № 50 - 99,1999, с. 60.

Введение

1. Постановка задачи и аналитические исследования.

§ 1. Постановка задачи

§2. Аналитическое исследование системы

§3. Интегральное преобразование уравнений тепло-солевой конвекции

2. Исследование свойств рассчитываемых течений.

§4. Распространение локального возмущения

§5. Качественное исследование различных режимов течения в ограниченном канале

§6.3ависимость характеристик течения от длины канала

3. Пространственный и временной спектральный анализ решения.

§7. Методика проведения статистического анализа по пространственным переменным

§8. Изменение параметров течения при увеличении надкритично-сти

§9. Методика временного спектрального анализа

Задача анализа турбулентных течений - одна из фундаментальных проблем механики [20, 33, 37, 39, 51, 55, 57, 61]. Понимание законов турбулентного движения, равно как и постижение механизмов перехода из ламинарных режимов в турбулентные, позволит не только расширить наши представления о природе вещей, но и кардинально увеличить возможности науки в решении большого ряда прикладных проблем (сопротивление среды движущимся неподвижным телам, расчет климата, и т.д.). Поэтому исследованиями в этой области занимались и занимаются многие известные механики, физики и математики, для решения задач строятся аэродинамические трубы и суперкомпьютеры, выпускаются тысячи статей и монографий. На данный момент можно считать общепризнанным, что значительную (и наиболее интересную) часть проблем, связанных с турбулентными движениями, невозможно решить на базе линейной теории устойчивости [1, 2, 21, 39, 58], и приходится рассматривать нелинейную теорию на базе полных уравнений Навье-Стокса [46]. В связи с этим, необходимо отметить значительное число подходов, начиная с классического подхода Ландау [33], основанного на малости амплитуды волнового возмущения, и последующего разложения в ряд по этой амплитуде, а также другие направления нелинейной теории, основные из которых приведены в работах [3, 22, 25, 40, 44, 48, 56, 59].

Если выделить из общего списка задач задачу конвективной неустойчивости [16, 20, 36], то нельзя обойти вниманием теоретические исследования, посвященные стохастическому характеру течения [10, 20, 23, 63, 64], численное моделирование [8, 16, 17, 27] и экспериментальные данные [49, 65] на эту тему, что представляет значительный вклад в общий вопрос о природе турбулентности [12-15, 18, 33, 35, 36,

38, 42, 46, 57, 60]. Новые взгляды на процессы возникновения стохас-тичности имеют фундаментальное значение и затрагивают практически все области естествознания; в знаменитой планетарной модели атома, которая была рассмотрена в классической постановке, были обнаружены стохастические движения и сплошной пространственный спектр [19]; обнаружены стохастические явления в химии и биологии.

В отличие от классической задачи тепловой конвекции, рассмотренная в работе задача тепло-солевой конвекции оказалась более удобной для численного расчета, т.к. наличие дополнительного параметра (соли) обеспечило с одной стороны большее разнообразие и сложность возникающих структур, а с другой обеспечило возникновение развитых турбулентных режимов при сравнительно небольших значениях безразмерных числах Рэлея. Это значительно упростило проведение расчетов и последующий анализ результатов.

Явления, вызванные такого рода конвективными процессами, наблюдаются в различных растворах, океане, атмосфере, при образовании кристаллов [7, 20, 49] и часто сопровождаются так называемыми ступенчатыми ("слоистыми") распределениями температуры, плотности, концентрации. Хорошо исследованы линейные механизмы неустойчивости, созданы полуэмпирические подходы и даны качественные объяснения ряду фактов, но вместе с тем, количественная теория, описывающая подобные явления, на данный момент не развита [7, 20,41,49].

Использованное в работе приближение Буссинеска было подробно исследовано, в частности в [16, 17, 36], в том числе дополнительно анализировались примененные в работе граничные условия. В работе [62] рассматривалась зависимость характеристик тепло-солевой конвекции от параметров течения, но задача рассматривалась в ограниченной области, из-за чего оказалось неучтенным взаимодействие между конвективными ячейками. Однако, как показано в главе 3, количественные значения искомых характеристик для этой задачи значительно отличаются от конвекции в бесконечном канале.

В работе [24] было выполнено примененное в диссертации интегральное представление искомых функций и исследован вопрос "выживания" разночастотных пространственных возмущений, однако при численной реализации интегральное представление было изменено на известное разложение в ряды Фурье, а вопрос о полном пространственном спектре конвективного течения изначально не входил в проблематику этих работ.

В 80-х годах развитие вычислительной техники позволило провести исследования временных спектров течения для рассматриваемого класса задач, см., например, работы [13, 14]; была доказана непрерывность временного спектра турбулентных течений. Тем не менее, применительно к пространственным координатам этот вопрос почти не рассматривался. Данная работа посвящена рассмотрению задачи тепло-солевой конвекции в турбулентном режиме. Для решения этой задачи разработан численный метод, основанный на представлении искомых функций в виде интеграла Фурье, в отличие от распространенного разложения в ряды. Показано, что применение интеграла Фурье оправдано (т.е. дает эффект больший, чем потери, вызванные усложнением его реализации) лишь для течений в турбулентных режимах, а для ламинарных течений естественным служит представление в виде рядов Фурье, что, по всей видимости, связано с физической природой процесса.

На основании проведенных расчетов были получены пространственные характеристики течения, в том числе его пространственная спектральная плотность, что позволило сделать выводы о характерном размере конвективных ячеек, их взаимном влиянии друг на друга и взаимодействии разномасштабных пространственных структур. Кроме того, были исследованы временные характеристики течения, получены характерные времена жизни конвективных структур и ряд других параметров.

Отдельно изучены изменения параметров течения при увеличении его турбулентности. Выявлено, в частности, как именно меняется при этом пространственная структура конвекции.

Диссертация состоит из 3 глав (9 параграфов).

В §1 рассматривается полная система уравнений двумерной тепло-солевой конвекции в приближении Буссинеска, выписываются граничные условия, и проводится обезразмеривание уравнений.

В §2 рассматривается задача устойчивости течения в линейном приближении, рассматриваются два различных типа конвективной неустойчивости, в том числе один, существующий только в тепло-солевой конвекции, также получено точное решение рассматриваемых нелинейных уравнений, к сожалению, не удовлетворяющему заданным граничным условиям.

§3 посвящен описанию метода интегрального преобразования Фурье и иным аспектам численного расчета системы уравнений задачи.

В §4 рассматривается задача распространения начального локального возмущения в бесконечном канале.

§5 содержит качественный анализ конвекции в ламинарных и стохастических режимах, рассматривается вопрос применимости предложенного метода к расчету тепло-солевой конвекции в этих режимах.

В §6 исследуется зависимость типа и статистических характеристик течения от длины канала, приводятся примеры рассчитываемых течений.

В §7 изложены формальное определение и формулы вычисления мгновенной пространственной спектральной плотности течения, а также алгоритм осреднения этих данных по времени. Результаты использования этой методики содержатся в §8.

В §8 изучена зависимость пространственных и временных параметров течения от его надкритичности, в частности, получены сведения об изменении пространственной структуры конвекции, изучена зависимость пространственных и временных параметров течения от его турбулентности, в частности, получены сведения об изменении пространственной структуры конвекции.

§9 посвящен исследованию временных параметров течения, проведено сопоставление с качественными оценками §5.

Заключение содержит выводы о результатах, полученных в работе.

Постановка задачи и аналитические исследования

§1. Постановка задачи

Рассматривается в приближении Буссинеска [20] задача тепло-солевой конвекции в горизонтальном слое с заданным на границе перепадом температуры и солености. При этом предполагается (см. также [62]), что соленость имеет малую концентрацию и ее пространственно-временные характеристики описываются диффузионными соотношениями, а не полной системой уравнений для двухфазной смеси.

Некоторые оценки, связанные с использованием приближения Буссинеска при решении близких проблем и, в частности, анализ некоторых получаемых при этом решений, содержатся, например, в работах [16, 20].

Рассматриваемая задача решается в декартовой системе координат Охг , ось г которой направлена вертикально вверх. Исходная система уравнений включает в себя: а. уравнение неразрывности: ди дм?

--ь— = 0 дх дг

1.1.а)

Ъ. двумерное уравнение Навъе-Стокса в приближении Буссинеска:

Ди) =

J{w) =

1 дР

Ро дх дР

Ро дх

- у А и g{JЗS-aT) + v^w

1.1 -Ъ)

1.1.С) с. уравнение теплопроводности:

3(Т) =ктЛТ с1. уравнение диффузии соли: е. уравнение состояния: р (Р, ТЯ)=ро [ 1 - а(Т- То) о) ] В этих соотношениях д д д = — + и--\-м>—

7/ дх дг л з2 а2 А = —г+ ■ ох дг2 '

Тп .Б

О >^0 т0+т рис.1.1 и им' - горизонтальные и вертикальные компоненты скорости течения; Р - давление; Т - температура;

- соленость; g - ускорение свободного падения; V- коэффициент кинематической вязкости; кг - коэффициент температуропроводности; к$ - коэффициент солевой диффузии; ро - плотность среды при температуре То и солености Бо; а и ¡3 - коэффициенты уравнения состояния.

Граничные условия по вертикальной координате г соответствуют жестким свободным от касательных напряжений границам, на которых поддерживается постоянная температура и соленость (см. рис 1.1), т.е. принимается, что:

Выбор граничных условий по г основывался на следующих соображениях:

1. Граничные условия такого типа позволяли производить расчеты течения при значительно меньшем использовании ресурсов ЭВМ. Поэтому их достаточно часто применяли в аналогичных задачах, в частности [10,11,24].

2. Конкретный вид граничных условий оказывает влияние лишь на слой жидкости вблизи самих границ, в то время как основное течение жидкости определяется действующими объемными процессами: изменение плотности элементарных объемов жидкости вследствие тепло - и солеобмена и, как следствие, их всплытие/погружение под действием силы тяжести. В частности, в работе [11] было показано, что условие твердых границ (и=м=0 при г=0, сГ) оказывает лишь незначительное стабилизирующее влияние на течение, несколько увеличивая критические числа Ш, Яб.

По горизонтальной координате х рассматривались два типа граничных условий: бесконечный канал, в этом случае рассматривалась задача «расползания» начального локализованного возмущения; при г = Т=То, 5=8о, ди/дх = 0, м? = 0 при г = 0: Т=Т0+ Т, 5 , ди/дх = 0, м> = 0

1.2.а) (1.2.Ь) канал заданной длины (различной в различных расчетах) с условием периодичности на границах.

Исходная задача (1.1) решается в безразмерных переменных х', г', Г, 5", и', ж', Р', ? , которые вводятся при помощи следующих соотношений [46,47]: х ос/(И^ г'= 2/с1,

Т' = (Т-Т0 - Т (1-~/с1)) / Т , 5" = (Б^о - 5 (1-гМ)) /8 , и' = ис!/кт, м/ = с1/кт, tkт/d2,

Р' = Р ¿/(ро укт).

1.3)

В дальнейшем штрихи в обозначениях этих безразмерных переменных опускаются, а дифференцирование, где это возможно, обозначается нижним индексом (например, ди/дх =их).

Тогда в новых переменных (1.3) система (1.1) записывается в виде (где штрихи в обозначениях (1.3) опущены): их + = О 1

Рг 1

Рг

3(Т) = ЛТ+ ы Ш) = САБ + м>

Л^и) = -Рх + Аи

J{w) = -Рг + Д/ • Г - Л* • 5 + Аи;

1.4.а) (1.4.Ь)

1.4.с)

1.4.с1) (1.4.е) т д д д

7 ---1-и--1- м>—

Ы дх дг д д2 д2

Из этих соотношений видно, что решение рассматриваемой задачи и характер течения зависят от четырех безразмерных параметров (чисел) системы {Рг, С, Ш, Кя}, которые определяются следующим образом:

Рг = у/ кт - число Прандтля; Ш = gaf с?/(укт) - тепловое число Рэлея; Яя = gjЗS (£/(укт) - солевое число Рэлея;

7 = к$/кт, а также (в случае ограниченного канала) геометрического параметра /) - отношения длины канала к его ширине.

Уравнение (1.4.а ) позволяет обычным образом ввести функцию тока у/, связанную следующими соотношениями с компонентами скорости: и = у/- , м? = - у/х

Применяя далее к уравнениям (1.4.Ь) , (1.4.с) операцию взятия ротора можно исключить из них переменную Р . В результате получим:

1/Рг 3(Л у/) = А2 у/ - Ш Тх + Ду

1.5.а)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Данная диссертация посвящена исследованию пространственной структуры двумерной тепло-солевой конвекции при различных степенях надкритичности с использованием интегральных методов. Получены следующие результаты:

1. Впервые проведено систематическое исследование пространственной структуры стохастических течений. И показано, что в этих режимах (в отличие от ламинарных) отсутствует выделенный масштаб по пространственным переменным, пространственная структура течения значительно меняется по времени.

2. Установлено большое влияние длины конвективной области на тип и численные характеристики течения. В частности, обнаружена такая область параметров течения, в которой при увеличении длины ячейки происходит сначала переход от турбулентного режима конвекции к стационарному, сопровождающийся двукратным ростом тепло- и солепередачи через конвективную область, а при дальнейшем увеличении длины канала - обратный переход к турбулентному режиму, с соответствующим понижением тепло- и солепередачи.

3. Исследована эффективность применения интегрального метода к расчету тепло-солевой конвекции в различных режимах. Показано, что для расчета установившихся ламинарных режимов его использование менее эффективно, чем использование метода, основанного на разложении искомых величин в ряды Фурье. При расчете турбулентных конвективных течений, наоборот, более эффективным оказывается применение интегрального представления, что, по-видимому, связано с физической и математической природой течения.

4. Впервые исследовано изменение пространственной структуры и пространственного спектра турбулентной конвекции при увеличении надкритичности течения, в частности, показано возрастание при этом роли длинноволновых движений. Исследованы временные характеристики течения, получены данные о потоках тепла и соли через границы, их временные спектры и ковариации, в частности, найдены характерные временные частоты течения (3-5 в безразмерных переменных).

5. Создан эффективный комплекс программ, позволяющий исследовать с помощью интегрального метода Фурье турбулентные конвективные течения в широкой области параметров, проводить визуализацию таких течений, анализировать пространственные и временные характеристики (в том числе и спектральные плотности) и др.

1. Арнольд В.И. Об условиях нелинейной устойчивости плоских стационарных криволинейных течений идеальной жидкости. Докл. АН СССР, 1965, т. 162, № 5, 975-978.

2. Баранов В.Б., Гидроаэромеханика и газовая динамика. Издательство МГУ, 1987.

3. Белоцерковский С.М., Ништ М.И. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью. М., "Наука", 1978, 351с.

4. Бочков С.О., Субботин Д.М. Язык программирования СИ для персонального компьютера. М., "Радио и связь", 1990., 384с.

5. Борн Гюнтер. Форматы данных. К, BHV, 1995, 472с.

6. Браун Р., Кайл Дж. Справочник по прерываниям для IBM PC, т. 1, М., "Мир", 1994, 558с.

7. II Всесоюзный семинар по гидромеханике и тепломассообмену в невесомости. Тезисы докладов. Пермь, 1981.

8. Власюк М.И., Полежаев В.И. О ячейковой конвекции в бесконечном длинном горизонтальном слое газа подогреваемом снизу., Докл. АН СССР, 1970, т. 195, № 5.

9. Герценштейн С.Я., Шмидт В.М. О нелинейном развитии и взаимодействии конвективных волн в горизонтальном слое. Докл. АН СССР, 1975, т. 225, № 1.

10. Герценштейн С.Я., Родичев Е.Б., Шмидт В.М. Конечноамплитуд-ные конвективные движения в слое раствора с твердыми границами. Докл. АН СССР, 1982, т. 266, № 6.

11. Герценштейн С.Я., Сухоруков А.Н. О трехмерной неустойчивости в невязких течениях. ДАН, 1994, т. 338, № 1, с. 46-48.

12. Герценштейн С.Я., Сухоруков А.Н. О нелинейной эволюции двумерных и трехмерных волн в слоях смешения. Изв. АН СССР, МЖГ, 1985, № 1.

13. Герценштейн С.Я., Рудницкий А.Я., Сухоруков А.Н., Олару М.И. О развитии конечно-амплитудных двумерных и трехмерных возмущений в струйных течениях. Изв. АН СССР, МЖГ, 1985, № 5.

14. Герценштейн С.Я., Рудницкий А.Я., Сухоруков А.Н. Устойчивость неплоскопараллельных пространственных струйных течений. Изв. АН СССР, МЖГ, 1987, № 3.

15. Герценштейн С.Я., Родичев Е.Б., Семин В.Н., Шмидт В.М. О нелинейных конвективных движениях в средах с "двойной диффузией". Докл. АН СССР, 1981, т. 267, № 3.

16. Герценштейн С.Я., Родичев Е.Б., Шмидт В.М. Конечноамплитуд-ные конвективные движения в слое раствора с твердыми границами. Докл. АН СССР, 1982, т. 266, № 6.

17. Герценштейн С.Я. О сценариях перехода к турбулентности. Сб. Ин-та механики МГУ посвященный 90 Л.И. Седова., 1999.

18. Герценштейн С.Я., Попов В.Н. Механика трех разнозаряженных тел. Доклады Академии Наук, 1997, том 353, № 2, с. 190-192.

19. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М., "Наука", 1972.

20. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. О параметрическом возбуждении конвективной неустойчивости. ПММ, 1963, т. 27, вып. 5, 779.

21. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Тарунин E.JI. Численное исследование конвекции жидкости, подогреваемой снизу. Изв. АН СССР, Механика жидкости и газа, 1966, № 6, 93.

22. Гетлинг A.B. Структуры тепловой конвекции. УФН, 1991, т. 161, №9.

23. Гетлинг А.В.Нелинейная эволюция непрерывного спектра двумерных возмущений в задаче Бенера-Рэлея. Докл. АН СССР, 1977, т. 233, №2, стр.308-311.

24. Гольдштик М.А., Штерн В.Н. Определение закона турбулентного трения в ядре потока на основе принципа максимальной устойчивости. Докл. АН СССР, 1969, т. 188, № 4, 772-775.

25. Григорьев B.JL Микропроцессор i 486. Архитектура и программирование. т.1, М., "Гранал", 1993, 346с.

26. Грязнов B.JL, Полежаев В.И. Численное решение нестационарных уравнений Навье-Стокса для турбулентного режима естественной конвекции. Препринт № 81. Ин-т Прикладной механики АН СССР, 1977.

27. Гук М. Аппаратные средства IBM PC. СПб., "Питер", 1996, 224с.

28. Дженкинс Г., Ватте Д., Спектральный анализ и его приложения. Вып. 1,2, "Мир", 1971.

29. Колмогоров А.Н., Фомин C.B., Элементы теории функций и функционального анализа. "Наука", 1968.

30. Климов A.C. Форматы графических файлов. К., "НИПФ ДиаСофт Лтд", 1995, 480с.

31. Куликовский А.Г. Об устойчивости однородных состояний. ПММ, 1966, т. 30, вып. 1 ,с. 148-153.

32. Ландау Л., Лифшиц Е. Механика сплошных сред., ОГИЗ, Гостех-издат, 1944.

33. Монин A.C. О природе турбулентности. УФН, 125, № 1, 1978, с. 97-122.

34. Монин A.C., Яглом A.M. Статистическая гидродинамика, т. 1-2, М., "Наука", 1967.

35. Никитин Н.В. Стохастические характеристики пристенной турбулентности. МЖГ, № 3, 1996, с. 32-43.

36. Петров Г.И. Применение метода Галеркина к задачам устойчивости в вязкой жидкости. ПММ, 1940, т. 4, вып. 3.

37. Полежаев В.И. Численное решение системы двумерных нестационарных уравнений Навье-Стокса для сжимаемого газа в замкнутой области. Изв. АН СССР, Механика жидкости и газа, 1967, № 2.

38. Плавление, кристаллизация и фазообразование в невесомости. Под ред. Рыкалина H.H. М., "Наука", 1979.

39. Рабинович М.И., Фабрикант А.Л., Цифринг Л.Ш. Конечномерный пространственный беспорядок. УФН, 1992, т. 162, № 8,с. 1.

40. Сван Т., Форматы файлов Windous. М., "Бином", 1994,288с.

41. Седов А.Н. Механика сплошной среды, т. 1,2, изд. 5, М. "Наука", 1995.

42. Седов А.Н. Методы подобия и размерности в механике. М., "Наука", 1987.

43. Струминский В.В. К нелинейной теории развития аэродинамических возмущений. Докл. АН СССР, 1963, т. 153, № 3.

44. Тернер Дж. Эффекты плавучести. М., "Мир", 1976.

45. Тондл А., Нелинейные колебания механических систем. "Мир", 1973.

46. Турбулентность. Принципы и применения. Под ред. У. Фроста, Т. Моудена. Изд. "Мир", 1980.

47. Фролов A.B., Фролов Г.В. Аппаратное обеспечение персонального компьютера. М., "Диалог-МИФИ", 1997, 304с.

48. Фролов A.B., Фролов Г.В. Программирование для WINDOWS NT. М., "Диалог-МИФИ", 1996, 272с.

49. Фролов A.B., Фролов Г.В. Программирование видеоадаптеров. М., "Диалог-МИФИ", 1995,272с.

50. Шкадов В .Я. Некоторые методы и задачи теории гидродинамической устойчивости. Научн. тр. Института механики МГУ, № 25, изд. Моск. Унив., 1973.

51. Шкадов В.Я. О нелинейном развитии возмущений в плоскопараллельном течении Пуазейля. МЖГ, 1973, № 2.

52. Шлихтинг Г. Возникновение турбулентности. М., ИЛ, 1962.

53. Юдович В.И. Об устойчивости стационарных течений вязкой несжимаемой жидкости. Докл. АН СССР, 1965, т.161, № 5, 10371040.

54. Юдович В.И. О возникновении конвекции. ПММ, 1966,т. 30, № 6, 1000.

55. Юдович В.И. Модели слабой турбулентности в гидродинамике. V Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике. Алма-Ата, "Наука", 1981.

56. Cyandrasekhar A. Hydrodynamic and hydromagnetic stability. London and New York, Oxford Univ. Press, 1961.

57. Huppert H.E., Moor D.R., J. Fluid Mech, v.78, h.4, pp. 821-854, (1976).

58. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow. J. Atmosph. Sei., 1963, v. 20, № 2.

59. McLaughlin J.B., Martin P.C. Transition turbulence of a statically stressed fluid. Phys. Rev. A, 1975, v. 12,№ 1.

60. Microsoft Quick Assembler/ Programmer's guide. Microsoft Corporation., 1989, 422p.

61. Programmer's Guide to Microsoft Windows 95. Microsoft Press. 1995.

62. Rossby H.T. A study of Benard convection with and without rotation. J. Fluid mech., 1969, v. 36, № 2.

63. R. Wilton. Video systems. Microsoft Press. 1992.