О сходимости обучающего алгоритма для эволюционной игры тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Введение.

Глава 1 Исследование сходимости ММ- и ММ-обучающих алгоритмов для симметричных биматричных игр размерности 2x2.

§1.1 Общая постановка задачи для ММ-обучающего алгоритма.

§1.2 Доказательство сходимости ММ-обучающего алгоритма для симметричных биматричных игр размерности 2x2.

§1.3 Классификация стационарных состояний для ММ-обучающего алгоритма.

§1.4 Общая постановка задачи для ММ-обучающего алгоритма.

§1.5 Сходимость М1Ч-обучающего алгоритма для симметричных биматричных игр размерности 2x2.

§1.6 Классификация стационарных состояний для ММ-обучающего алгоритма.

Глава 2 Исследование сходимости Р-обучающего алгоритма для симметричных биматричных игр размерности 2x2.

§2.1 Общая постановка задачи для Р-обучающего алгоритма.

§2.2 Исследование сходимости Р-обучающего алгоритма для симметричных биматричных игр размерности 2x2.

Глава 3 Сходимость ММ-обучающего алгоритма для симметричных биматричных игр размерности 3x3.

§3.1 Теорема о сходимости ММ-обучающего алгоритма для симметричных биматричных игр размерности 3x3.

§3.2 Конкретные примеры игр для ММ-обучающего алгоритма.

В диссертационной работе исследуется сходимость обучающих алгоритмов для эволюционной игры. Основные положения диссертации, выносимые на защиту, состоят в следующем: a) Построены три различных обучающих алгоритма (ММ, МЫ и Р-алгоритмы) эволюционной игры на графе, определяющем взаимоотношения игроков между собой. b) Доказана сходимость ММ и МЫ-обучающих алгоритмов для симметричных биматричных игр с матрицей выигрышей размерности 2x2. Для Р-обучающего алгоритма найдены условия, при которых данный алгоритм сходится. c) Дается классификация получаемых в результате сходимости обучающих алгоритмов стационарных состояний.

1) Найдены условия сходимости ММ-обучающего алгоритма для симметричных биматричных игр с матрицей выигрышей размерности 3x3.

Прежде, чем перейти к более подробному содержанию диссертационной работы коротко остановимся на истории вопроса.

Когда в 1944 году появилась работа фон Неймана и Моргенштейна «Теория игр и экономическое поведение» [9], она была встречена с большим энтузиазмом. Казалось, что это была совершенная теория стратегического поведения. Но, уже довольно скоро выяснилось, что это не совсем так. На долгий период теория некооперативных игр остановилась в развитии. Все усилия были направлены на изучение антагонистических игр 2-х лиц, а также на теорию кооперативных игр.

Появившиеся в начале 50-х годов работы Нэша [11,39,40,41], где вводилось понятие равновесия по Нэшу - которое и по сей день является основным принципом оптимальности в некооперативных неантагонистических играх (по циклу работ, связанных с ним, в 1994 г. группе ученых: Дж. Нэшу, Дж. Харсани и Р. Зельтену была присуждена Нобелевская премия), тоже мало что изменили. Причина была в следующем - игры, как правило, имеют не одно равновесие по Нэшу. В антагонистических играх 2-х лиц все равновесия равнозначны и взаимозаменяемы, поэтому задачи выбора равновесия не возникало. К сожалению, для более общих игр подобная задача была совсем не легкой.

В конце 70-х годов появилось огромное количество работ, посвященных усовершенствованию концепции равновесия по Нэшу, например, работы Ван Дамма [63], Зельтена [51], Мейерсона [38], Окады [42], Ву и Джайна [66], Колберга и Мертенса [34] и многих других ученых.

В то время предположение Нэша о возможной эволюционной интерпретации идеи равновесия по Нэшу, встречающееся в его неопубликованных тезисах [32,65] упускалось из виду.

В конце концов, количество различных усовершенствований концепции равновесия по Нэшу оказалось так велико, что к 80-м годам теория игр зашла в тупик.

И, в 80-е годы, развитие теории игр пошло по другому направлению. Необходимость в динамическом подходе к теории игр чувствовалась уже и у Джона фон Неймана и Оскара Моргенштерна [9]. Каждая форма реального жизненного поведения достигается методом проб и ошибок, что никак не учитывалось в классической теории. Такой пошаговый способ адаптации (метод проб и ошибок) может встречаться как в процессе индивидуального обучения, так и естественного отбора - основы эволюции. Со времени работ М. Смита [54] такие процессы стало возможным моделировать с помощью теории игр, что открыло огромную область приложений к социальным наукам, от этики до экономики, от политических баталий до поведения животных. Описание динамических исходов моделей игр, определяемых стратегиями, выигрышами и механизмом адаптации, стало одной из главных задач теории игр.

Определение эволюционных игр впервые было сформулировано М. Смитом и Г.Р. Прайсом [54]. Начиная с их работ, в 90-х годах, специалисты по теории игр перестали моделировать людей, как гипотетических игроков. Стали учитываться исторические и общественные факторы при создании теоретико-игровых моделей.

С этого момента теория эволюционных игр начала усиленно развиваться. Экологическими задачами занимались Фридман [33], Халлам и Левин [26], Петросян и Захаров [14]. Приложениями теории эволюционных игр к экономике занимались Хирш [30,31], Смейл [50] и Смит [57]. Биологическими приложениями занимались Ричерт и Хаммерштейн [45], Петросян [43], а различными приложениями к социальным наукам, например, Зугден [61].

Ключевая концепция в теории эволюционных игр - это понятие эволюционно-устойчивой стратегии (ESS).

Она была впервые введена М. Смитом и Г.Р. Прайсом [54,55]. Похожее понятие «не колеблющейся» (unbeatable) стратегии было использовано Гамильтоном [27]. Пионерская работа М. Смита [56] была посвящена биологическим аспектам критерия эволюционной устойчивости. Приложения критерия эволюционной устойчивости к различным формам игр развивал Зельтен [53] и Ван Дамм [64]. Последний, в частности, предложил определение эволюционно устойчивой стратегии для симметричных биматричных игр. Он же [63], как и Бомзе [21], занимался связью между понятиями равновесия по Нэшу и эволюционно устойчивой стратегии. А Зельтен [52] проделал более общую работу, касающуюся эволюционно устойчивых стратегий для асимметричных игр. Также различные модификации понятия эволюционно устойчивой стратегии можно найти у Бинмора и Самуелсона [20].

Эволюционный процесс комбинируется из двух основных элементов -механизма мутации и механизма селекции. Тогда как критерий эволюционной устойчивости освещает роль мутации, «повторяющаяся динамика» (replicator dynamics) освещает роль селекции. Она впервые появилась в работах Тейлора и Джонкера [62]. А сам термин был введен Шустером и Зигмундом [49].

Позже возникло много других динамических подходов. Динамика подражания изучалась Хелбигом [29], Вейбуллом [65] и Шлагом [48]. Понятие фиктивных игр представлено у Брауна [22] и Робинсона [46]. Динамика наилучшего ответа появилась впервые у Матсуи [36]. Динамикой адаптации (adaptive dynamics) занимались Христенсен [24], Браун и Винсент [23], Мец [37] и многие другие ученые.

Крессман [25] изучал различные динамические подходы для биматричных игр. Но, до настоящего времени, динамические модели (обучающие алгоритмы), подобные методу фиктивных разыгрываний Брауна-Робинсона [15] или «повторяющейся динамики», представленной Тейлором и Джонкером [62] использовались исключительно как вспомогательные инструменты для изучения равновесия. Но, в течение последних нескольких лет, стало неопровержимо ясно, что только анализа равновесия явно недостаточно. И в диссертационной работе сделан шаг в сторону от такого подхода.

Пока нет ни одной опубликованной работы, в которой рассматривались бы хоть отдаленно похожие задачи. Однако это не единственная попытка исследовать математическую модель поведения в обществе, в основу которой положена эволюционная игра.

В 1996 году Ф. Удвадия из университета Южной Калифорнии (США) обсуждал с JI.A. Петросяном одну работу из области социальной динамики, которой он в то время занимался.

Ф. Удвадия рассматривал обучающий алгоритм эволюционной игры и предпринимал попытку доказать сходимость этого алгоритма.

Но, так как эта его работа до сих пор не опубликована, нам не известно, получил ли он какие-либо результаты, а также каково направление его дальнейших исследований.

Больше в литературе похожих задач не встречается.

В диссертационной работе так же, как и у профессора Ф. Удвадия, исследуются обучающие алгоритмы эволюционной игры, но существует ряд существенных отличий от его постановки.

В связи с тем, что сходимость алгоритма Ф. Удвадия во всех случаях доказать не удалось, Л.А. Петросян подал идею трех иных обучающих алгоритмов (ММ- , МЫ- и Р-обучающие алгоритмы), которые и рассмотрены в диссертации.

Помимо этого существует еще несколько существенных отличий от работы Ф. Удвадия.

Во-первых, мы отказались от прямоугольной сети, накинутой на тор, а рассматривали игры с любыми связными графами, содержащими конечное число вершин. Поскольку графы рассматривались любые, то и количество соседей у каждого игрока было произвольным.

Во-вторых, рассматривались произвольные симметричные матрицы выигрышей (сначала размерности 2x2, а потом и 3x3), в отличие от работы Ф. Удвадия, который исследовал только определенный вид матрицы выигрышей размерности 2x2.

Перейдем к изложению содержания диссертационной работы, состоящей из настоящего введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложений.

Первая глава состоит из шести параграфов. Она посвящена исследованию сходимости ММ- и МИ-обучающих алгоритмов для симметричных биматричных игр с матрицей выигрышей размерности 2x2.

В первых трех параграфах рассматривается сходимость ММ-обучающего алгоритма для игр с матрицей выигрышей размерности 2x2.

Первый параграф посвящен построению ММ-обучающего алгоритма. Также здесь вводятся некоторые обозначения и понятия, которые будут использованы на протяжении всей диссертационной работы.

Второй параграф посвящен собственно сходимости алгоритма. Сформулирована и доказана теорема о сходимости ММ-обучающего алгоритма для любого конечного графа и любой симметричной биматричной игры с матрицей выигрышей размерности 2x2.

В третьем параграфе приводится классификация получаемых в результате сходимости алгоритма стационарных состояний в зависимости от графа, матрицы выигрышей и стратегий игроков на первом шаге игры.

Оставшиеся три параграфа первой главы посвящены МЫ-обучающему алгоритму для игр с матрицей выигрышей размерности 2x2.

Четвертый параграф посвящен построению М1Ч-обучающего алгоритма.

В пятом параграфе аналогично второму параграфу доказывается сходимость МЫ-обучающего алгоритма для любого конечного графа и любой матрицы выигрышей размерности 2x2.

А в шестом параграфе также дается классификация стационарных состояний.

Вторая глава посвящена Р-обучающему алгоритму для симметричных биматричных игр с матрицей выигрышей размерности2х2. Она состоит из двух параграфов.

Первый параграф посвящен построению Р-обучающего алгоритма.

Во втором параграфе исследуется сходимость Р-обучающего алгоритма. Найдены условия, налагаемые на матрицу выигрышей, для того, чтобы Р-обучающий алгоритм сходился. Сформулированы и доказаны теоремы о сходимости Р-обучающего алгоритма для этих условий. На примерах показана расходимость Р-алгоритма при невыполнении этих условий. Дана классификация получаемых стационарных состояний.

Третья глава данной диссертационной работы посвящена сходимости ММ-обучающего алгоритма для симметричных биматричных игр с матрицей выигрышей размерности 3x3. Она состоит из двух параграфов.

В первом параграфе исследуется сходимость ММ-обучающего алгоритма для симметричных биматричных игр с матрицей выигрышей размерности 3x3. Найдены условия, налагаемые на матрицу выигрышей, для того, чтобы этот алгоритм сходился. Сформулированы и доказаны теоремы о сходимости ММ-обучающего алгоритма для этих условий.

Во втором параграфе приводятся примеры конкретных игр. Приведен пример сходящейся игры. На примерах показана расходимость ММ-обучающего алгоритма при невыполнении условий, наложенных на матрицу выигрышей.

В заключении обобщены основные результаты диссертационной работы.

В приложении А приведен исходный текст программы, позволяющей получить экспериментальные данные для вычисления стационарных стратегий (если сходимость имеет место) для ММ-обучающего алгоритма и для произвольных конечных графов и симметричных биматричных игр с матрицей выигрышей размерности тхт. Если же ММ-обучающий алгоритм расходится, программа выдает стратегии игроков на сотом шаге игры вместе с сообщением о том, что стационарное состояние не достигнуто.

Программа написана на языке программирования Паскаль. В приложениях В-Р приводятся необходимые для работы программы текстовые файлы.

В диссертации использована двойная нумерация теорем, лемм, утверждений, определений, примеров, рисунков и таблиц. Первая цифра означает номер главы, вторая - номер в главе. Для формул используется сквозная для всей работы нумерация.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [16-19,59,60].

Заключение.

В настоящей работе мы рассмотрели три различных обучающих алгоритма. Для игр с матрицей выигрышей размерности 2x2 были получены условия сходимости этих алгоритмов, дана классификация возможных стационарных состояний. Для ММ- обучающего алгоритма и игры с матрицей выигрышей размерности 3x3. И также были получены условия его сходимости. А для игр с матрицей выигрышей размерности тхт разработана программа (Приложение А), позволяющая вычислять стационарные стратегии, если сходимость имеет место.

Программа написана на языке Паскаль. Она позволяет для любого графа и любой матрицы выигрышей размерности тхт определить стационарное состояние (если оно существует) и число шагов, за которое игра достигает стационарного состояния. Если стационарное состояние не достигается, программа выдает стратегии игроков на 100-м шаге игры вместе с сообщением, что стационарное состояние не достигнуто.

Для работы программы необходимо задать следующие параметры: п - количество игроков; т - количество стратегий. Связи между игроками, начальное состояние сети и матрица выигрышей задаются текстовыми файлами (Приложения В-Г).

Изменяя эти начальные данные можно вычислять стационарные состояния для любой матрицы выигрышей и любого графа.

Можно показать работу программы на следующем примере. Задан граф:

Йачальное состояние сети задает файл strl.dat (Приложение С). Сам граф задает файл svl.dat (Приложение В).

Матрицу А = [аи} (матрицу выигрышей первого игрока) задает файл vigll.dat (Приложение П).

Матрицу В = {/?.} (матрицу выигрышей второго игрока) задает файл vig21.dat (Приложение Е).

Полученный в результате работы программы результат - Приложение Р. $А-,В-,1>1-,Е+,Р-,а+,И-,Ь+,Н-,О-9Р+,0+Д+,8+,Т-,У+,Х+} {$М32768,0,655360} ргс^гат сНб; шее Сг1;

1аЬе1 М1,М2,МЗ,М4; сош1 п=15; т=10; уаг

Ь,с:аггау[1.п] т!е§ег; а:аггау[1.п,1.п] ofinteger; ё^:аггау[1.т,1.т] of integer; з:аггау[1.2,1.п] оПп^ег; begin С1г8сг; assign(v,'vigl l.dat'); геБе^у); г к=1 1о т do ог 3 :=1 Ю т ёо геа<1(у,(![У]); assign(w,,svl .ёа1'); reset(w);

Й>г к=1 и> п (1о йэг ]::=11о п ёо read(w,a[i,j]); а881§п(Ь,'vig21.dat'); r:=s[lj]; h:=s[2,l]; t:=b[l]; for j :=2 to n do begin if h<s[2,j] then begin h:=s[2j]; t:=b[j]; end; end; if r<h then c[i]:=t else c[i]:=b[i]; end; k:=k+l; for i:=l to n do begin if c[i]ob[i] then begin for i:=T to n do b[i]:=c[i]; goto M4; end; end; if b[i]=c[i] then goto Ml;

М4: if к-100 then goto M2; end;

Ml: for i:=l ton do begin writeln('B стационарном состоянии стратегия игрока №',i,'-',b[i]); end; гке1п('Количество шагов -',k); goto МЗ;

M2: for i:=l to n do begin writeln('Ha 100-м шаге стратегия игрока №','i,'-\b[i]); end; writeln('Стационарное состояние не достигается');

МЗ: readln; readln

Файл svl.dat.

Задает связи между игроками}

0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0

1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1

1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0

0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0

1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0

0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

1. Берж, К. Общая теория игр нескольких лиц. М.:Физматгиз, 1961, 126 с.

2. Берж, К. Теория графов и ее применения. М.: 1962, 319 с.

3. Воробьев H.H. Теория игр для экономистов-кибернетиков. М.: Наука, 1985.

4. Евстигнеев В.А., Касьянов В.Н. Толковый словарь по теории графов. Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 1995.

5. Зыков A.A. Основы теории графов. -М.: 1987, 381 с.

6. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. М: Мир, 1964, 838 с.

7. Моделирование конфликтных ситуаций в социально-экономических системах. Под ред. Малафеева O.A., Муравьева А.И. СПб: изд. СПбГУЭФ, 1998.

8. Мулен Э. Теория игр с примерами из математической экономики. М.: Мир, 1985, 200 с.

9. Нейман Дж. фон, Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. -М.: Наука, 1970.

10. Ю.Нечепуренко М.П., Попков В.К., Майнагашев С.М. и др. Алгоритмы и программы решения задач на графах и сетях. Новосибирск: Наука, 1990, 513 с.

11. П.Нэш Дж. Бескоалиционные игры//Матричные игры. Сборник научных трудов. -М.: Физматгиз, 1961.

12. Оуэн Г. Теория игр. -М.: Мир, 1971.

13. Петросян J1.A. Определение эволюционно устойчивых стратегий в динамических играх. Вестник СПбГУ, 1996, № 1, СПб: изд-во СПбГУ.

14. М.Петросян JI.A., Захаров В.В. Математические модели в экологии. СПб: Изд-во С-Петербург. ун-та, 1996, 256 с.

15. Петросян JT.A., Зенкевич Н.А., Семина Е.А. Теория игр: Учеб. пособие для ун-тов. М.: Высш. Шк., 1998, 304 с.

16. Сухотина М.А. Об одном обучающем алгоритме эволюционной игры / / Процессы управления и устойчивость: Труды XXIX научной конференции. -СПб: НИИ Химии СПбГУ, 1998. с. 391-400.

17. Сухотина М.А. Об сходимости обучающего алгоритма для эволюционной игры / / Процессы управления и устойчивость: Труды XXX научной конференции. СПб: НИИ Химии СПбГУ, 1999. - с. 506-515.

18. Binmore, К., and L. Samuelson. Evolutionary stability in repeated games played by finite automata. J. Economic Theory 57, 1992, 278-305.

19. Bomze, I. Non-cooperative two-person games in biology: a classification. Int. J. Game Theory 15, 1986,31-57.

20. Brown, G. W. Iterative solution of games by fictitious play. In: Т. C. Koopmans (ed), Activity analysis of production and allocation. 1951, pp. 374-376. New York, Wiley.

21. Brown, J. S., and T. L. Vincent. A theory for the evolutionary game. Theor. Pop. Biol. 31, 1987, 140-166.

22. Chfistiansen, F. B. On conditions for evolutionary stability for a continuously varying character. Am. Nat. 138, 1991, 37-50.

23. Cressman, R., Dash, A. T., and Akin. E. Evolutionary games and two species population dynamics. J. Math. Biol. 23, 1986, 221-230.

24. Hallam, T. G., and S. A. Levin. Mathematical ecology: An introduction. Biomathematics 17. Berlin: Springer, 1986.

25. Hamilton, W. D. Extraordinary sex ratios. Science 156, 1967, 477-88.

26. Harsanyi J.C. Rational Behavior and Bargaining Equilibrium in Games and Social Situations. Cambridge, 1977.

27. Hirsch, M.W. Systems of differential equations, which are competitive or cooperative: I. Limit sets. SIAM J. Math. Anal. 13, 1982, 167-179.

28. Hirsch, M.W. Systems of differential equations, which are competitive or cooperative: III. Competing species. Non-linearity 1, 1988, 51-71.

29. Hofbauer, J., and K. Sigmund. Evolutionary games and population dynamics. Cambridge University Press, 1998, p. 323.

30. Freedman, H. Deterministic mathematical models in population ecology. Edmonton: HIFRCo, 1980.

31. Kohlberg, E., and J.-F. Mertens. On the strategic stability of equilibria. Econometrica 54: 1003-37, 1986.

32. Kuhn H.W. Extensive games and the problem of information. Annuals of Math. Studies, 1953, Vol. 28.

33. Matsui, A. Best response dynamics and socially stable strategies. J. Economics Theory 57, 1992, 343-362.

34. Myerson, R. B. Refinements of the Nash equilibrium concept. International Journal of Game Theory 7: 73-80, 1978.

35. Nash, J. Non-cooperative games. Ph.D. dissertation. Princeton University, 1950.

36. Nash, J. Equilibrium points in «-person games. Proceedings of the National Academy of Sciences (USA) 36: 48-49, 1950.

37. Nash, J. Non-cooperative games. Annals of Mathematics 54: 286-95, 1951.42.0kada, A. On stability of perfect equilibrium points. International Journal of

38. Game Theory 10: 67-73, 1981.

39. Petrosjan L.A. Large Differential Evolutionary Games. Dynamic Evolutionary Game Theory in Biology and Economics. Conf. Report, Guelph, 1995.

40. Raiffa H. And Schlaifer R. Applied Statistical Decision Theory, MIT Press, Cambridge Mass., 1961.

41. Riechert, S., and Hammerstein, P. Game theory in the ecological context. Ann. Rev. Ecol. Syst. 14, 1983, 377-409.

42. Robinson, I. An iterative method of solving a game. Ann. Math. 54, 1951, 296301.

43. Rosenzweig M.L., MacArtur R.H. Grafical representation and stability conditions of predetory, prey interactions. Amer. Natur. 1963, Vol 97, № 893, p. 209-223.

44. Schlag, K. Why imitate, and if so, how? Preprint, Bonn, 1994.

45. Schuster, P. K., and K. Sigmund. Replicator Dynamics. J. Theor. Biol. 100, 1983, 533-538.

46. Smale, S. On the differential equations of species in competition. J. Math. Biol. 3, 1976, 5-7.

47. Selten, R. Re-examination of the perfectness concept for equilibrium points in extensive games. International Journal of Game Theory 4: 25-55, 1975.

48. Selten, R. A note on evolutionarily stable strategies in asymmetrical animal conflicts. J. Theor. Biol. 84, 1980, 93-101.

49. Selten, R. Evolutionary stability in extensive two-person games. Math. Social Sciences, 1983, 269-363.

50. Smith M., Price G.R. The logic of animal conflict London: Nature, 1973, Vol. 246.

51. Smith M. The theory of games and the evolution of animal conflicts. Journal of Theoretical Biology 47: 209-21, 1974.

52. Smith M. Evolution and The Theory of Games. Cambridge Univ. Press, 1982, 356 p.

53. Smith, H.L. Monotone dynamical systems: An introduction to the theory of competitive and cooperative systems. Amer. Math. Soc. Math. Surveys and Monographs, 1995, Vol. 41.

54. Straffm P.D. Game theory and strategy. The Mathematical Association of America, 1993.

55. Maria A. Sukhotina, Leon A. Petrosjan. Experiments on Symmetric Two Person Games Played by Players Connected in Network / / Препринты 11-го международного семинара IF АС «Оптимизация в задачах управления», Санкт-Петербург, 2000 г, том 2, с. 200-205.

56. Sugden, R. The economics of rights, co-operation, and welfare. Oxford: Blackwell, 1986.

57. Taylor P.P., Jonker L.B. Evolutionary stable strategies and game dynamics. Mathematical Biosciences. 1978, Vol 40, p. 145-156.63.van Damme, E. Stability and Perfection of Nash Equilibria. Berlin: Springer Verlag, 1987.

58. Van Damme E.E.C. Stability and perfection of Nash Equilibria. New York, 1991.

59. Weibull J.W. Evolutionary Game Theory. MIT Press, Cambridge, Massachusetts, London, England, 1995.

60. Wu, W., and J. Jian. Essential equilibrium points of «-person non-cooperative games. Sei. Sinica 11: 1307-22, 1962.