Об арифметических свойствах конечных групп и их представлении тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

На правах рукописи

СТРУШОВ Сергей Петрович

ОБ АРИФМЕТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ КОНЕЧНЫХ ГРУШ И ИХ ПРЕДСТАВЛЕНИИ

01.01.06 - алгебра, математическая логика и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени • доктора физико-матёматических наук

Москва - 1992

Работа выполнена па кафедре высшей математики Московского "инженерно-физического института.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Ведущая организация: • Санкт-Петербургский государственный

университет.

в 16 часов 05 минут на заседании специализированного совета Д.053.05.05 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119899 Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд. 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. A.M. Горького МГУ (механико-математический факультет, 14 этаж).

Автореферат разослан " 10 " A f 1992 'года.

профессор

Казавшх Лев Сергеевич,

доктор физшео математических наук, профессор

Романовскй Александр Васильевич,

доктор физико математических наук, профессор

Т А П Г -ЧГ\ ТГ ТТг ЛАГ1ГЧ

Защита состоится

года

Ученый секретарь специализированного совета Д.053.05.05 при МГУ доктор физико-математических наук

/В.Н. Чубариков/

• ■ : ■ (

1 _ т _

-

^Л I

иги^ ОСНОВНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория представлений конечных групп уже более ста лет является источником новых идей, методов и результатов не только в алгебре, теории чисел и анализе, но и физике. По этой причине исследования и прогресс в этой области, решения осноешх ее проблем всегда находятся в центре внимания. Основной темой диссертации является изучение арифметических свойств уравнений, связанных с конечной группой и ее представлениями. О перспективности этого направления свидетельствует тот факт, что созданные в процессе такого исследования метода позволили получить ответы на некоторые старые актуальные вопросы теории представлений конечных груш, найти ряд арифметических соотношений глобального характера для инвариантов подгрупп группы в ее заданном представлении, охватывающих и обобщающих некоторые классические результаты, поставить на единую основу и решить некоторые естественные задачи бернсайдовского типа для конечных групп; Особенностью работы является почти полное отсутствие структурных ограничений на рассматриваемые группы. Как правило, полученные результаты применимы ко всем конечным группам.

Целью работы является выявление завимостей между структурами свойствами данной конечной группы и свойствами ее представлений. Основными объектами рассмотрения в диссертации являются функции, характеризующие решения различных уравнений, связанных с группой и ее представлениями, в том числе и такие классические объекты, как инварианты подгрупп

- . -

группы в некотором ее представлении. Найденные закономерности использованы для решения конкретных актуальных задач.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Основными являются следующие результаты:

1. Решение старых проблем Р.Брауэра о необходимых и достаточных условиях существования р-блоков дефекта О и числе таких блоков, а также аналогичных вопросов для вещественных характеров р-дефекта О.

2. Арифметические соотношения для инвариантов подгрупп группы в заданном представлении, обобщения на все конечные группы и их представления теоремы делимости Эйлера, соотношения для инвариантов образующих группы.

3. Решение ряда задач бернсайдовского типа, т.е. задач о возможности восстановить группу по некоторой системе параметров группы или ее представлений.

«

Практическая и теоретическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы при исследовании конечных линейных групп, групп Ше-валле, их представлений - обыкновенных и модулярных. Для' специалистов по теории чисел представляет интерес теоретико-групповая интерпретация некоторых арифметических фактов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались автором на научных семинарах кафедр алгебры МГУ и МГПИ,-математических институтов Белорусского, Ленинградского, Сибирского и Уральского отделений Института математики АН СССР, всесоюзном симпозиуме по теории групп (Кунгурка,

1989 г., - пленарный доклад), мевдународных алгебраических конференциях (Новосибирск, 1989 г., Барнаул, 1991 г., - секционный доклад)..

Публикации. Основные результаты автора по теме диссертации опубликованы в 22 работах автора Ш-С22].

Структура и объем работы. Диссертащи содержит введение, четыре главы и список литературы' (90 наименований) и занимает 164 страницы машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Пусть б - конечная груша, р - простое число, делящее ее порядок \в\ , % - характер некоторого обыкновенного абсолютно неприводимого представления группы С. Если 161 =рет, х(и=р°<7 (т и q взаимно просты с р), то неотрицательное число е-с называется р-дефектол характера Х- В теории представлений конечных груш важными являются следующие две проблемы Р.Брауэра: о необходимых и достаточных условиях существования в конечной груше характеров" р-дефекта 0 и о числе таких характеров (см. [Вг1],. [Фе]). Характеры р-дефекта О играют особую роль в теории представлений конечных груш, так как идеалы, в которых они реализуются, соответствуют р-блокам групповой алгебры, т.е. двусторонним идеалам модулярной групповой алгебры. Кроме того, более общие аналогичные вопросы о существовании в конечной груше О р-блоков с заданной дефектной группой и о числе таких блоков в силу теоремы соответствия Р.Брауэра [Вг2] сводятся к сформулированным

вше проблемам Р.Брауэра для меньшей группы (сечения группы G), поэтому они в некотором смысле проще, чем для характеров р-дефекта 0. Есть и другие причины, по которой характеры р-дефекта 0 играют -вакную роль в теории представлений конечных групп.

Вышеуказанные вопросы были поставлены давно, еще на раннем этапе развития теории модулярных представлений конечных групп, но только в самое последнее время вокруг них начали проводиться .активные исследования. Так в [Ron, [Ro2] (см. также fKul) число р-блоков с заданной дефектной группой было выражено через ранг произведения двух матриц, элементами которых являются порядки некоторых подмножеств' группы G, основной результат [Tsl] оказалось легко переформулировать в один такой критерий (см. [КаЗ), Чанг Дхипингом получен критерий существования в конечной группе с циклической силовской р-подгруппой характеров р-дефекта О lZ,h]. A.A. Бовди получены интересные и важные связи р-Олоков дефекта 0 со свойствами модулярных групповых алгебр £Бо1].

В первой главе диссертации исследуются связи широкого класса уравнений на груше со сформулированными выше проблемами Р. Брауэра. Следующая теорема позволяет получить бесконечно много критериев существования абсолютно неприводимых обыкновенных характеров р-дефекта 0.

ТЕОРЕМА 1.1. Пусть f(x1,...,x]l,u1,...,ul) - функция,

принилащзя значения 6 конечной группе G (x^J, UjeG^, Gp

- сииовская р-подгрупшг группы G), явлзюшряся произведе-

xs

тюл элементарных функций вида [xi,xi1l и Uj в произ-

волънол порядке, причел аргумент, входящие в различные элементарные лноттели функции /, различны и к>2. Тогда группа в илеет комплексный неприводилый характер р-дефек-та 0 в тол и только пол случае, если для некоторого ё^О число решений уравнения = £ не

делится на р|Ср|1.

Приведем некоторые конкретные примеры, использования этой теоремы для построения критериев существования р-блоков дефекта О в конечных группах.

СЛЕДСТВИЕ 1. Следующие условия эквиваленты:

1) конечная группа О илеет абсолютно неприводилый характер р-дефекта 0;

2) д.(Я некоторого ¿«б число решений уравнения [х,у]=ё (х,у^О) не делится на р;

3) для некоторого geG число решений уравнения

р

(и,тОр, х,у^0) не делится на р1<?р1 . 4; для некоторого g•=G число решений уравнения их[у,г]=$

(х,у,ге0, не делится на р| ;

5)' пусть п - заданное натуральное число, тогда в б найдется такой элелент ё, что число решений уравнения ••-^х2п-1'х2п^ = 2 не Ое/ш.ся

на р.

• Если груша С имеет характер р-дефекта 0; то некоторые две ее силовские р-подгруппы пересекаются по единице. Этот факт, являющийся следствием более общей теоремы Грина Кг] , оыл хорош известен Р.Брауэру я, видимо, ста л источником его проблем. С этой позиции желательно, чтобы крите-

рш учитывали этот факт и имели структурную форму. Условие 3) предыдущего утверждения позволяет .удовлетворить этим требованиям.

Определение, £-в екторол (е^О назовем упорядоченную пару таких силовских "р-подгрупп А, В группы в, что ЛпВИ ,

СЛЕДСТВИЕ 2. Группа в млеет р-Олок дефекта 0 тогда и только тогда, когда для некоторого число ^-векторов

не делится га р.

Справедлив следующий аналог теоремы 1.1, дающий критерии существования в конечной группе вещественных абсолютно неприводимых характеров р-дефекта 0.

ТЕОРЕМА 1.2. Пусть ?(х1,.. ,... .и-^) - функция'

на конечной группе в такая хе, как 6 теореле 1, но в число ее элелетаркых хнохтелей хотя бы один раз входит функция вида Тогда группа в имеет вещественный абсолютно неприводшсый характер р-дефекта 0 в тол и только тол случае, если для некоторого число решений уравнения

/(х1.....х^,и1,... .и^ I = g не делится на р|Ср|1.

СЛЕДСТВИЕ. Следующие- условия эквивалентны: \) конечная группа в ихеет бешешбенкий абсолютно

неприводимый характер р-дефекта 0; 2; для некоторого . число решений уравнения

(х.у^О не делится на р; 3) для некоторого && число решений уравнения ьссу2=Б (шОр, х,у<гО не делится на р|Ср|.

Заметим, что значение имеет не только ответ на вопрос

Р. Брауора в теоретике групповых терминах, но сама связь уравнений на груше с теорией представлений и наличие нескольких таких критериев, так как сопоставление их между собой позволяет выявить связи в самой группе. При этом характеры р-дефекта 0 играют роль резидентного моста, поскольку доказательства эквивалентности свойств различных уравнений бег хсиольгованкя их связи с характерами р-дефекта 0 не известны.

Будем называть р-дефетол группы G минимальное значение р-дефектов всех ее обыкновенных абсолютно неприводимых характеров, а вещественных р-дефеюпол -минимум р-дефектов всех, ее вещественных абсолютно неприводимых характеров. Значения р-дефекта и вещественного р-дефекта конечной группы' G будем обозначать через dp(G) и cLp(G) соответственно. В терминах уравнений на группе в диссертации получены оценки для чисел dp(G): и 3p(G).

ТЕОРЕМА 1.3. Пусть - функция

на конечной группе G, удовлетворяющая условиях теорежы 1.1, Ug) - число решений уравнения = g.

Тогда

1

d (G) <--(min voa(R)) - lvD(\C\)).

v k-1 g.-G P P

Если в состав элементарных множителей функции f(x1,...,x£,uj,...,u-i) хотя бы один раз входит функция вида

а (о <--тп улив)) - 1-1>_псш.

Р к-1 8*0 Р. Р .

Обозначим через к^ число всех обыкновенных абсолютно неприводимых характеров группы б, р-дефект которых равен йр(в), а через - число ее вещественных абсолютно

неприводимых характеров р-дефекта • Пусть - число

решений уравнения [х^,х2Пх^х^].. в

группе С. Рассмотрим конечную последовательность чисел и1,и2,...,иг (г - число классов сопряженных элементов группы О, в которой

С-и г < г о, с г а„

и„=Е-т—Т-?-1—1 I— I -..I— I

(суммирование в правой части производится по всем наборам натуральных чисел 1^,12,...,1п таким, для которых

ТЕОРЕМА 1-4. Справедливы, следующие утверждения: 19 бее числа ип ¿п=1,2,...- целые;

2пап(о

2,- каждое число ип делился на р г • 3? число иь не делится на р н ;

ка -

2Шп(С)+1

А? для всех числа делятся на р И

СЛЕДСТВИЕ.

1) Число &0 _ характеров р-дефекта 0 группы С равно

таколу тиЗолъхлэлу номеру - а, <3.иг которого число чп

не делится на р.

2^ Группа С не илеет характеров р-дефекта 0 тогда и

только тогда, когда все числа (п=1,2,...,г)

белятся на р.

Утверждение следствия только что доказанной теоремы

дает ответ на вопрос Р. Брауэра о характеризации числа

абсолютно неприводимых характеров конечной группа р-дефекта

0 в терминах числа решений уравнений на группе. Отметим, что

при <1р(С)>0 последовательность ...,уг позволяет

отследить отсутствие характеров, р-дефект которых меньше

и найти число характеров р-дефекта й^Св). Именно,

число Р.^ характеров минимального р-дефекта равно

наибольшему номеру п такому, для которого натуральное 2тШп(0) •

число Х)г/Р И не делится на р. Аналогичная теорема верна и для числа вещественных характеров дефекта 3^(0-В последнем параграфе первой главы исследуются связи с р-блоками дефекта 0 (а следовательно, и с уравнениями, рассмотренным! в первых двух параграфах) уравнений на. группе более общего вида, содержащие, .в частности, в качестве элементарных множителей степени аргументов и высшие коммутаторы.- Все результаты первой главы получены благодаря применению развитых в диссертации общих методов исследования функций, характеризующих решения уравнений на группе, к р-блокам.

Главным объектом исследования во второй главе являются числа являющиеся размерностями пространств линейных

инвариантов различных, подгрупп Н в комплексном представлении Я произвольной конечной группы в. С точки зрения уравнений число с (Н) равно размернсти пространства реше-

Л

ний системы уравнений И (х)=х'(в^Н). В частности, для Н=<в>

о

эта система состоит из одного уравнения, т.е. в этом случае число Су(<в>) имеет ту хе природу (в дуальной ситуации), что и число решений уравнения f(x1,...,xn)=g,

рассматриваемого в первой главе.

Основным стимулом рассмотрения чисел • су(И) является

Л 4

то обстоятельство, что в терминах этих чисел получается следующее обобщение теоремы делимости Эйлера.

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть С - конечная группа, Н - ее подгруппа, х ~ характер некоторого комплексного представления грутты С, М(х) - мультипликативная оболочка порядков конечных полей, к которых редуцируется ¿¡по представление. Тогда для любого сшМ(х), взаимно простого с |С|

£^1<Н,Т)а * н О(той Н)/Н\)

■{[1(Н,Т) - функция Мебиуса частично упорядоченного по включению множества подгрупп группы в).

Если б = гт - циклическая груша, Н = 1, % -характер прямой суммы всех неэквивалентных неприводимых комплексных точных представлений группы б, то последнее соотношение превращается в теорему Эйлера а4^т* = 1(той т). Предыдущая теорема может быть сформулирована в другой.

мультипликативной форме.

ТЕОРЕМА 2.2. Пусть с?.....сд - все такие попарно

различные представители чисел с (.Г), для которых Т^Н и

Л

числа К,= е \i{H,Tl отличны от нуля. Тогда для любых

Je(1,.. .,ni и а-гМ[)§, справедливо соотношение

п с, с,

К, п (ас - a J) = О (mod \llr(H)/H{).

J 1=1 " (l"J)

Для" рассмотренного выше примера G=zm соотношения предыдущих двух теорем совпадают. Заметим также здесь, что если % - характер представления группы G перестановками, то эти соотношения выполняются для любого целого рационального числа а.

Ориведенные выше арифметические соотношения доказаны в первом параграфе второй главы. Б последнем параграфе этой главы найдены арифметические соотношения • для чисел с%(<а1>), cx(<at,au1>) t= 1,2,...,п, в которых aj.a^,...,ап- образующие второго порядка группы G. Приведем соответствующее утверждение.

СЛЕДСТВИЕ ТЕОРЕМЫ 2.7. Пусть G - конечная

группа, порожденная ' инволхцияли a.....nz2, %

- характер некоторого обыкновенного представления группы G, не содержащего единичных кохпонент. Тогда

' i1^x«at'ail1>) * ~ J 1°%l<al>)

. и 4 Л . ' , , .

- _______I «т . '■ ' . -

считается равны* О содержательности этого неравенства свидетельствует то обстоятельство, что, как показано в последних параграфах этой главы, оно является родственным (но не эквивалентным) неравенству

п *

Е и(х,) £ и(в) + и(й*) ■

1=1

•

для коразмерностей подпространств фиксированных точек в неприводимом комплексном представлении конечной группы б, полученному Л. Скоттом [БсЗ. Сейчас оно играет ключевую роль в исследовании систем образующих простых конечных групп (см. ССТО]). Это направление в теории конечных групп в настоящее время развивается интенсивно у нас и за рубежом силами ряда Еедуших специалистов. Эти неравенства связаны также с классической задачей изучения спектров элементов линейных груш (см. [За1], Г3а2]), так как су(<£>) равно кратности единичного собственного значения элемента g.

Арифметические соотношения последних . двух параграфов получены методами комбинаторной топологии, благодаря вычислениям представлений груш на грушах гомологий специально сконстррхрованных в диссертации для этой цели многообразий. Помимо арифметических соотношений для .чисел с^СЮ такой подход позволяет получить геометрическую интерпретацию некоторых характеров группы, непосредственно построить представления по -этим характерам.' На оптимальность полученных арифметических соотношений указывает тот факт, что их частное применение к конечным грушам Кокстера с

тремя образующими дает точные значения порядков этих груш.

Остальная часть диссертации содержит приложение методов и результатов предыдущих глав к конкретным задачам теории конечных груш и приложениям теории груш к другим разделам математики и физики. При этом в третьей главе содержатся результаты, объединенные общей темой: в какой степени можно восстановить конечную группу по .заданной системе числовых параметров. Эта тема является классической в теории конечных груш. Больная часть исследований в теории конечных груш так или иначе связана с этим вопросом. Одним из наиболее трудных и важных вопросов этой тематики является ослабленная проблема Бернсайда (ОПБ) о возможности почти восстановить конечную грушу по числу образующих и показателю. В последнее время благодаря работам А.И.Кострикина [Kol], tKo21 и E.W. Зелшанова С Sei в этой проблеме достигнута большие успехи, но окончательный ответ зависит от классификации конечных простых груш, которой пока нет, поэтому и сейчас не исключены другие подходы. Полученные в предыдущей главе арифметические соотношения для чисел в которых a?,...,art - образующие группы, делают рассмотрение проблем бернсайдовского типа естественным с помощью построенных методов. В первом параграфе доказан один вариант ОПБ с- дополнительными ограничениями на числа су (<а>) для некоторых элементов а, но зато без'каких-либо

ограничений на показатель группы. Кроме того там же

установлен следующий аддитивный аналог ОПБ

ТЕОРЕМА 3.1. Пусть К - произвольное поле , конечное

над полел рациональных чисел, - заданные

натуральные числа, Б - некоторое множество неизолорфных конечных групп в которол каждая группа.

порождена п образующими. а^,... Если спектр

длелента £ алгебра С<?£ принадлежит полю К

для каждой группы то множество Б конечно.

Заметим, что здесь дополнительное условие накладывается на спектр только одного элемента групповой алгебры, в то время как в ОПБ спектр каждого элемента группы б должен принадлежать заданному полю, т.е. в- нашем случае число ограничений меньше, чем в ОПБ. Тем не менее положительное решение рассматриваемого аналога ОПБ получается в классе сразу всех конечных групп.

В рамках наших рассмотрений оказался также естественный и важный вопрос бернсайдовского типа о том, в какой мере можно' восстановить конечную грушу по некоторым заданным параметрам- ее характеров - обыкновенных или модулярных, соответствующих представлениям или обобщенным. Эти вопросы решаются во втором параграфе этой главы. Основой решения • этих вопросов послужили рассуждения, уже примененные выше при установлении обобщения теоремы делимости Эйлера в мультипликативной форме. В теореме 3.3 доказывается, что конечная груша рочти определяется множеством всех.попарно различных значений любого точного .обыкновенного обобщенного характера на примарных элементах, а в теореме 3.4- - что конечная груша с заданной силовской р-подгруппой почти '

определяется множеством попарно различных значений точного обобщенного характера Брауэра на примарных р-регулярных элементах. Решается также двойственная задача о возможности восстановить группу по множеству попарно различных значений . обобщенного класса на неприводимых характерах группы. Основной результат последнего параграфа третьей главы также относится к теме этой главы. В этом параграфе доказывается, в частности, что конечная простая группа почти определяется числами инволюций в " централизаторах каких-нибудь двух

о

несопряженных инволюций. Заметим, что в теории конечных груш огромную роль сыграла теорема Брауэра-Фаулера о том, что конечная простая груша почти определяется централизатором . какой-нибудь инволюции СБр], СВР]. Результаты последнего параграфа третьей главы указывают на то, что часто на строение группы оказывают влияние не сами централизаторы инволюций, а только инволюции, содержащиеся в них, даже только их количества.

Последняя, четвертая глава представляет собой приложение теории конечных груш и их представлений на основе техники предыдущих глав к другим разделам математики и физики. В приложениях часто возникают группы, некоторые представления которых не имеют кратных компонент. Так известным физиком-теоретиком, .основоположником применения теории груш в квантовой механике, лауреатом Нобелевской премии Е. Вигнером были впервые рассмотрены так называемые просто приводиме группы, т.е. вещественные группы, у которых тензорные произведения неприводимх представлений не имеют

кратных компонент. К таким группам приводят задачи на собственные ' функции для уравнения Шредингера квантовой механики. Сам Вигнер охарактеризовал конечные просто приводимые группы в терминах уравнений на группе. Им доказано, что конечная группа просто приводима тогда и только тогда, когда

ЕпШ)3 = Ъ\С0Ш\2,

где С (ё) - число решений уравнения з? - в СИП. Большую роль в работе Вигнера играет анализ характеров симплектичес-кого типа, т.е. вещественных характеров, соответствующие представления которых не реализуются в поле вещественных чисел. В первом параграфе четвертой главы настоящей диссертации описано расположение в конечной просто приводимой группе всех характеров, симплектического типа. Доказывается, что они все являются компонентами характера, индуцированного неединичным неприводимым ' характером центральной подгруппы порядка два.

Пр'А игуч&нни стационарных в широком смясле процессов на конечном множестве Т, т.е. процессов, стационарных относительно некоторой транзитивной на Т группы д, вопрос о существовании спектрального разложения функции процесса хЦ) и тем самым о возможности полного дисперсионного анализа рассматриваемого процесса .связан с отсутствием кратных неприводимых компонент у представления группы <3 на множестве Т, рассматриваемого. как линейное представление ьад. полем комплексных чисел СХе1. В работе Шс11,

посвященной изучению инвариантных стохастических процессов, найдено одно достаточное' условие простой приводимости представления конечной группы б на множестве Т. Во втором параграфе последней главы диссертации содержится необходимое и достаточное условие простой приводимости представления произвольной конечной группы С на множестве Т в терминах действия элементов группы С на орбиты стабилизатора' одной точки множества Г.

В последнем параграфе неоднократно применявшийся в диссертации метод (например, в теоремах 2.2, 3.1, 3.4) использован для доказательства того, что неориентированный связный граф почти определяется максимумом валентностей своих вершин и полем спектра своей матрицы смежности. Этот результат был известен ранее только для регулярных графов и притом только для случая поля рациональных чисел [ЦДЬ Ют].

Автор пользуется случаем выразить здесь искреннюю благодарность чл.-корр. РАН А.И. Кострикину за постоянные обсувдения результатов и внимание к. работе на протяжении многих лет.

ЛИТЕРАТУРА

[Бо1] Бовди A.A. Число блоков характеров конечной группы данного дефекта//Укр. матем. ж., 13, J6 2 (1961), С. 136-141 СБр] Брауэр Р. О строении груш конечного порядка.

Междунар. матем. кЪнгр. в Амстердаме (обз.доклада). М.: Гос. изд. физ.-мат. лит.. 1961, С. 23-35

[За1] Залесский А.Е. Собственные значения матриц конечных линейных груш и ' теория представлений //"Вопросы алгебры", 1989, в.4, С. 22-36

[За2] Залесский А.Е. Спектры р-элементов в представлениях группы SL^fp®; //Успехи матем. наук, т. 45, в. 4 (1990), С. 155-156 СЗе] Зельманов Е.И. Решение ослабленной проблемы Бернсайда для груш нечетного показателя //Изв. АН СССР, сер. матем., т. 54, J6 1 (1990), С. 42-59 [Ко1] Кострикин А.И. О проблеме Бернсайда //Изв. АН

СССР, сер. матем., 23, № 11 (1959), с. 3-34 [Ко2]> Кострикин А.И. Вокруг Бернсайда. М: "Наука", 1988 СФе] Фейт У. Теория представлений конечных груш. М: "Наука", 1991

[Хе] Хеннан Э. Представления груш и прикладная теория

вероятностей. М: "Мир", 1972 ■ СЦЦ] Цветкович Д., Дуб М., Захс X. Спектры графов.

Киев: "Наукова думка", 1984 [Вг1] Brauer R. Representations of finite groups, Lect.

In Math., v. 1, Willey, New York, 1963, p. 133-175

[Br2] Brauer„R. Zur Darstellungstheorie der Gruppen .

endlicher Ordnung, I//Math. Z., 63 (1956), p. 406-444

СBF] Brauer R., Fouwler K.A. On groups of even order //Ann. Math., 1955, v. 62, p. 565-583

tCv) Сvetкоvie D.M. Cubic Intgral graphs //Univ.

Beograd Publ. Electrotechn. Fak., Ser. Mat. Fiz., 1975, N 498-451, p. 37-41 [СТО] Conder M.D.E., Wilson R.A., Woldar A.J. The symmetric genus of sporadic groups //Меадунар. конф. по.алгебре (Барнаул, 1991), Новосибирск 1991, С. 141 [GrJ Green J.A. Some remarks on defect groups //Math.

I., 107, 2 (1968), P. 133-150 [Ka] Karpilovskl G. Structure of blocks of group

algebras. Longman. Essex. 1987 [Kul Kulshammer B. Berrerkungen uber die Gruppenalgebra als symmetrlsche Algebra, IV //J. Algebra, 93 (1985), p. 310-323 [McL] Maclaren A.D. On group representations and invariant stochastic processes.-In. //Proc. Camp, Phil. Soc. , 1963, v. 59, p. 431-450 [Rol] Robinson G.R. The number of blocks with a given defect group //J. Algebra, 84 (1983), p. 493-502

[Ro2] Robinson G.R. Double cosets and modular representation theory, Proc. of Symp. in Pure Math., v. 47 (1987), p.-249-258 " ■ ' [Sc] Scott L. Matrices and cohomology //Ann. of Math.,

105 (1977), P. 473-492 [Tsl] Tsushima Y. On p blocks of dcfcct zero //Nagoya

Math. J., 44 (1971), p. 57-59 [Wi] WIgner E.P. On representations of finite groups

//Amer. J. Math.. 63 (1941), 57-63 [Zhl Zhang Ji-Ping. A condition for the existence of p-blocks of dcfcct 0 //Proc. Sympos. Pure

Math., 47 (1987)

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1 ] Струнков С.П. О характерах одного класса групп, связанных с уравнением Шредингера квантовой механики //в сб. "Вопросы теории функций в задачах математической физики", изд. МИФИ. М., 1980, С. 85-88 С2] Струнков С.П. О расположении характеров просто приводимых групп //Матсматичссккс заметки, т. 31, I 3 (1983), С. 357-362

[3] Струнков С.П. • 0 кратностях неприводимых компонент

представлений конечных групп подстановками //Успехи матем. наук, т.-40, J6 1 (1985), С. 177-178

[4] ' Струнков С.П. Об одном аналоге теоремы'Брауэра-Фауле-

ра //Успехи матем. наук, т.40, № 6(1985), С.155-156

[5] Струнков С.П. О блоках дефекта 0 в конечных группах

' //Изв. АН СССР, сер. матем., т. 53, J& 3 (1989), С. 657-665

[61 Струнков С.П. О точных обобщенных характерах и обобщенных классах конечной группы //Матем. заметки, 47, й 2 (1990), С.102-107 [7] Струнков С.П. Об одной проблеме Р. Брауэра //Докл.

АН СССР, 310, № I (1990), С. 35-36 [8J , Струнков С.П. О некоторых .■ условиях существования р-блоков дефёкта 0 в конечных грушах //Матем. сб., 181, JS 8 (1990), С. II44-II49

[9] Струнков С.П. О разложении регулярного представления

конечной группы с двумя образующими //Матем. заметки, 48, JS 3 (1990), С. Г49-151

[10] Струнков С.П. Об одной теореме Д. Цветковича в теории

графов //Успехи матем. наук, т. 45, J6 6 (1990), С. 145-146 ' '

[11] Струнков С.П. О характерах минимального р-дефекта в

конечных группах //Докл. АН СССР, т. 314, J6 6 (1990), С. 1349-1352 .

[12] Струнков С.П. О спектре сумм образующих конечной

группы //Известия АН СССР, сер. матем., т. 54, ü 5 (1990), С. 1108-1111

[13] Струнков С.П. Об одном критерии существования спект-

рального • разложения функции стационарного процесса //в сб."Теорет.-функц. методы в задачах матем. физики", Энергоатомиздат, М; 1986, С. 82-85

[14] Струнков С.П. Обобщения теоремы Эйлера и другие ариф-

метические свойства предствавлений конечных групп перестановками //Докл. АН СССР, т. 316, 1Ь 6 (1991), С. 1323-1326

[15] Струнков С.П. . О некоторых арифметических соотноше-

ниях для обобщенных характеров конечных групп //Тез. докл. 10 Всесоюзн. колл. по теории групп. Гомель, 1936. С. 218

[16] Струнков С.П. О существовании и числе р-блоков де-

фекта О в конечных грушах //Алгебра и логика, 30, £3 0991), С. 655-668

[17] Струнков С.П. Об одном обобщении теоремы делимости

Ферма //Известия АН СССР, сер. матем., т. 55, № 1 (1991 ), С.-218-220 [13] Струнков С.П. О единичных компонентах ограничений представления конечной группы //Алгебра и'анализ,• т. 3, в. 3 (1991), С. 135-155

[19] Струнков С.П. Об одном представлении конечных групп,

порожденных инволюциями //Укр. матем. к.,т. 43, .й 7-8 (1991), С. 1013-1017

[20] Струнков С.П. О некоторых арифметических свойствах

характеров конечных групп //11 Всес. симп. по теории групп (Кунгурка 1939), тез. сообщ., Свердловск, 1989, С. 109-110

[21] Струнков С.П. О некоторых арифметических свойствах

конечных групп //Международная конференция по алгебре (Новосбирск 1989),- тез. докл., т. 1, С. 114 С221 Струнков С.П. Арифметические и комбинаторные свойства конечных груш и их представлений //Меадиар. конф. по алгебре (Барнаул, 1991), Новосибирск 1991,.С.101