Об операторах Шредингера с суммой локального и точечного потенциалов с наложением особенностей тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Санкт-Петербургский Государственный Университет

Об операторах Шредингера с суммой локального и точечного потенциалов с наложением особенностей

01.04.02 - Теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

Градусов Виталий Александрович

18 НАР 2015

Санкт-Петербург - 2014

005560507

005560507

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете.

Научный руководитель:

д.ф.-м.н., профессор,

Яковлев Сергей Леонидович

Блохинцев Леонид Дмитриевич, д.ф.-м.н.,

профессор, НИИЯФ им. Д. В. Скобельцына

МГУ им. М. В. Ломоносова,

главн. науч. сотр.

Ефимов Александр Дмитриевич,

к.ф.-м.н., ФТИ им. А. Ф. Иоффе РАН,

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

старш. науч. сотр.

Объединенный институт ядерных исследований

Защита состоится «23» апреля 2015 г. в 15:00 на заседании диссертационного совета Д 212.232.24 при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: Санкт-Петербург, Средний пр., д. 41/43, ауд. 304

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького

СПбГУ и на сайте

http://spbu.ru/science/disser/

Автореферат разослан «2» марта 2015 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

д.ф.-м.н.

Аксенова Елена Валентиновна

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Модель точечного нзаимодейстния, в физической литературе обычно называемого потенциалом нулевого радиуса, широко применяется в современных исследованиях. В основном точечные потенциалы используются для построения моделей межчастичных взаимодействий в квантовой механике [1]. Среди недавних примеров использования в физике отмстим применение к задаче рассеяния позитрона на атоме водорода, где для описания взаимодействия между позитроном и электроном использовался модельный гамильтониан с суммой кулоповского потенциала и одноцептрового точечного потенциала с мнимой константой связи. Последнее необходимо для описания процесса аннигиляции позитрона и электрона в рамках нерелятивистской квантовой механики |2|. В работе |2| и нескольких последующих этот потенциал был определен в виде трехмерной ¿-функции, которая добавляется как слагаемое в гамильтониан системы. Введенный таким образом потенциал нельзя использовать как обычный потенциал в уравнении Шредингера |3|. Единственным способом его учета к рамках стандартных методов квантоной механики оказывается подстановка ¿-функции в формулы кваитовомехапической теории возмущений, что формально оправдывается малостью получаемых поправок.

Однако существуют методы, позволяющие определить точечный потенциал более корректным образом и не прибегать к теории возмущений. Еще в ранних работах [3. 4] были предложены два подхода к определению одноцентро-ных точечных потенциалов в уравнении Шредингера. Первый из них состоит в том, что уравнение дополняется сингулярным граничным условием в точке сосредоточения точечного взаимодействия. Второй подход состоит в том, что точечное взаимодействие добавляется в уравнение Шредингера в виде некоторого дополнительного потенциала — так называемого псевдопотенциала, который определяется с помощью функционала, действующего на волновую функцию. Строгое математическое определение оператора Шредингера с точечным взаи-

модойетвием впервые было дано в работе Бородина и Фаддеева |5|. Мотод этой рабоч'ы основан на теории самосопряженных расширений симметричных операторов. Дальнейшее развитие метода связано в основном с работами авторов монографии [0].

Большой интерес для приложений представляет ситуация, в которой од-поцеитровый точечный потенциал добавляется в оператор Шредингера в М3 с локальным потенциалом V. Последний может иметь сингулярность в точке сосредоточения точечного потенциала. Речь идет об операторе Шредингера формального вида —Д + V +"\5", где слагаемое "А<5" символически обозначает точечный потенциал с параметром Л, который играет роль константы связи точечного потенциала. Этот оператор может быть определен методом самосопряженных расширений |6, 7|. В этом случае оператор вводится с помощью координатной асимптотики функции Грина оператора Шредингера с потенциалом V. Эта асимптотика в общем случае локального потенциала V из достаточно широкого класса остается неисследованной. Кроме того, метод самосопряженных расширений приводит лишь к таким операторам Шредингера, у которых константа связи Л является вещественной. Приведенный выше пример использования точечного потенциала с мнимой константой связи для описания взаимодействия в системе электрон-позитрон показывает необходимость разработки метода корректного определения оператора Шредингера — Д + V +"Л<5" с комплексной константой связи Л.

Цели и задачи диссертационной работы: Целями данной диссертационной работы являлись разработка методов корректного определения оператора Шредингера с суммой локального потенциала и точечного потенциала с комплексной константой связи с особенностями в одной и той же точке; разработка формализма для нахождения наблюдаемых системы двух квантовых частиц в физической модели, которая описывается с помощью гамильтониана, состоящего из потенциала с особенностью и точечного потенциала, на примере системы электрон-позитрон.

Для достижения поставленных целой были решены следующие задачи:

• Исследована координатная асимптотика в начале координат диагональной части функции Грина оператора Шредингера с потенциалом, имеющим степенную особенность.

• Дано обобщенно метода определения точечного взаимодействия с помощью исендопотенциала на случай уравнения Шредингера с локальным короткодействующим и кулоновским потенциалами.

• Исследована функция Грина оператора Шредингера с обрезанным кулоновским потенциалом.

• Разработан формализм для определения спектра позитрония и наблюдаемых задачи рассеяния. Получено выражение для сечения аннигиляции в системе электрон-позитрон.

Научная новизна. В данной работе впервые были в явном виде получены сингулярные члены координатной асимптотики в начале координат диагональной части функции Грина оператора Шредингера с локальным потенциалом из достаточно широкого класса короткодействующих потенциалов со степенной особенностью, что позволило обобщить определение операторов Шредингера с суммой локального и точечного потенциалов на случай потенциалов из этого класса. Найдены удобные представления и предельные соотношения для функции Грина оператора Шредингера с обрезанным кулоновским потенциалом. Разработан формализм для определения наблюдаемых квантовой системы двух частиц, которая описывается гамильтонианом с суммой локального и точечного потенциалов. В том числе, с помощью обобщения оптической теоремы для гамильтонианов с кулоновскими потенциалами определено сечение аннигиляции в системе электрон-позитрон.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты, изложенные в диссертации, могут быть использованы для построения моделей в задачах

квантовой физики, в которых взаимодействие между частицами описывается суммой локального и точечного потенциалов. Функция Грина оператора Шре-дингера с обрезанным кулоновским потенциалом может использоваться при построении методов решения задачи рассеяния в системах заряженных частиц.

Методология и методы исследования. В основном в диссертации используется метод интегральных уравнений. Положения, выносимые на защиту:

1. Методы определения операторов Шредингера с суммой локального и точечного потенциалов обобщены па случай класса короткодействующих локальных потенциалов со степенной особенностью в начале координат и случай комплексной константы связи точечного потенциала.

2. Функция Грина оператора Шредингера с обрезанным кулоновским потенциалом в некоторых областях конфигурационного пространства выражена через кулоиовскую функцию Грина с точностью до действия оператором, зависящим от угловых переменных. В пределе радиуса обрезания потенциала, стремящегося к бесконечности, эти функции совпадают.

3. Найдено уравнение для определения спектра, а также получены явные выражения для наблюдаемых задачи рассеяния в квантовой системе двух частиц, которая описывается гамильтонианом с суммой локального и точечного потенциалов. С помощью обобщения оптической теоремы на гамильтонианы с кулоновским потенциалом получено выражение для сечения аннигиляции в системе электрон-позитрон в модели точечного потенциала аннигиляции.

Апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались па семинарах кафедры Вычислительной физики СПбГУ и сектора "Квантовые системы нескольких частиц" ЛТФ ОИЯИ, а также на следующих конференциях:

• Russian-Ukrainian Seminar on Few-Body Problems with Strong and Coulomb Interactions, Kiev, Ukraine, 2012

• 43rd Annual Meeting of the APS Division of Atomic, Molecular and Optical Physics, Orange County, California, 2012

• International Workshop on Few-Body Systems (FBS2012), Dubna, Russia, 2012

• The 22nd European Conference on Few-Body Problems in Physics, Krakow, Poland, 2013

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 4 печатных работах в рецензируемых журналах [Al, А2, A3, А4], 3 из которых опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК для опубликования результатов кандидатских и докторских диссертаций.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации 94 страницы, из них 88 страниц текста. Библиография включает 56 наименований на 5 страницах.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументпровапа научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

В первой главе рассматривается задача определения оператора Шредин-гера Я формального вида Л + иХ6". Здесь трехмерный оператор Шредингера Л = — Дг + V(r) с локальным потенциалом V, а :'XS" символически обозначает точечный потенциал с носителем в точке г = |г| = 0. Рассматривается класс Ю{р,6) с р < Я/2 и ё > ) короткодействующих потенциалов V с особенностью в нуле таких, что

где константа М > 0, а функция С}{г) непрерывна вместе со своими производными до второго порядка, причем 1ш,-»о Я{т) = Уо-

В работе; |7| оператор Шредингера Л в пространстве квадратично интегрируемых функций был определен как самосопряженное расширение оператора Я, суженного на множество функций исчезающих в окрестности нуля. Оператор Л в работе: |7| вводится неявно с помощью асимптотики при г —)• 0 функции Грина С(г, 0,г) оператора Шредингера Я, определяемой как ядро оператора С?(г) = (Я — г)-1. В настоящей главе эта асимптотика исследована в случае потенциалов V 6 Ю(р,б).

Основным средством исследования является ин тегральное уравнение Лип-пмаппа-Швингера

где обозначено д{г,г) = С(г,0,г) и V € %3(р,6). Здесь С?о функция Грина оператора —Дг свободного движения и координатном представлении. Показано, что интегральный оператор с ядром £?о(г, д, г)У(д) является компактным при ^Шу/г > 0 в банаховом пространстве: (£(/5) с 0 < /3 < 1 непрерывных функций с нормой вир (1 + г)й|/(г)| = Ц/Ц/з- Рассмотрим вместо решения д(г,г) функцию 7(г, г), которая получается вычитанием из д свободного члена и первой

|V(r)| < M{l+r)-l~ö при г > 0, V(r) = r~pQ(r) при г -> 0.

(1)

g(r, z) = G0(r, 0, z) - dq G0{r, q, z)V(q)g(q, z),

(2)

итерации уравнения (2). Для нее справедливо уравнение

7(г, г) = д{2\г, г) - АдСа(г, д, г)У{д)7(9, г).

принадлежит классу £(/?). Поэтому решение уравнения (3) существует и единственно при всех г, кроме значений принадлежащих дискретному спектру а^Н) оператора Шредингера II. и является функцией класса £(/3). Отсюда следует, что сингулярные члены асимп тотики при г —> О функции С?(г, 0, г) определяются свободным членом уравнения (2) и первой итерацией этого уравнения. Окончательно, поведение функции С(г, 0, г) при г 0 определяется асимпто-

Здесь константа Ао выражается через параметры потенциала формулой

и нее конечные вклады обозначены В] — 1,2,3. Формула (5) дополняет определение оператора Шредингера Н, полученное в рамках метода самосопряженных расширений в работе [7].

В альтернативном методу самосопряженных расширений подходе с псев-допотепциалом в уравнение Шредингера с потенциалом V добавляется член с псевдопотенциалом

где константа связи Л может быть и комплексной. Псевдопотенциал определяется равенством

тикой:

(2-р)(1-р)

[-ДР + У(г) - к2] ф(г, к) + Ш{гЩг, к) = О,

(6)

И г{г)ф(г,к) = 5{г)р.

(7)

где константа /3 является значенном некоторого линейного функционала от решения ф. Переход к интегральному уравнению Липпманна-Швингера приводит к представлению

ф(г,к)=ф0(г,к)-\0(г,0,к2+Ю)/3. (8)

Здесь фа — волновая функция рассеяния на потенциале V. Представление (8) позволяет выразить асимптотику при г —> 0 функции ф через константу /3. В соответствии с формулой (о), в зависимости от значения параметра потенциала р эта асимптотика имеет' вид

' fL [1/г + Ao/r^1] + А + о(1) при 1 < р < 3/2, Ф(г,к)= § [i/r + V&In(r)]+ft + о(1) при /)= 1, (9)

^ + А + при р < 1.

Присутствующие здесь константы определяются формулами atj = —AJ3j и /3,- = фо(0, к) — \Bj/3j при j = 1,2,3. Из этих асимптотических выражений вычисляется вид псевдопотенциала (7). Для всех трех случаев псевдопотенциал может быть записан в виде

XWj{r) = Щг)^-^, (10)

где переменные ujj определены формулами

1/Wl = г-1 + Л0г-"+1, 1/и2 = r"1 + Vbln(r), I/W3 = г-1. (11)

Результаты первой главы опубликованы в работах [А1, А2]. Во второй главе точечное взаимодействие добавляется в уравнение Шре-дингера с кулоновским потенциалом Ve(r) = nr_1 в виде пеевдопотенциала, который определяется равенством

Шс{г)ф{г,к) = 5{г)Рс. (12)

с константой Переход к интегральному уравнению Липпмаииа-Швипгера дает представление решения уравнения Шрсдингсра

ф(г, к) = Фс(г, к) - AGc(r, 0, к2 + iO)рс. (13)

и

Здесь Ос (г, г', г) функция Грина оператора Шредингера с кулоновским потенциалом и Фс(т,к) кулоновская волновая функция рассеяния известны в явном виде. Для функции Се получается асимптотическое выражение при г —»■ О

Сс(г, 0, к2 + Ю) = [1 /г + п 1п г] + С (к) + 0(г\пг), (14)

47Г

где С (к) = Ц + ^ [1п(—21/с) + ^ (1 + и/) + 270 - 1], 70 постоянная Эйлера-Маскерони, ф(г) — дигамма функция и г/ = п/(2к) — параметр Зоммерфельда. Это позволяет получить асимптотику решения ф при г —> О

ф(г, = [1/г + п1пг] + рс + О (г 1пг). (15)

47Г

Здесь константы определяются выражениями ас = —и

Г(1 + 1Г])е~^12 1 + А С(к) '

Псевдопотенциал 1УС выражается формулами (10)—(11) с3 = 2 и Ко = п. Функция Грипа оператора Шредингера с суммой кулоповского и точечного потенциалов также находится с помощью метода псевдопотенциала. Она имеет вид

Ос(г, г', г) = Сс(г,г',г)

-\Сс(г,0,г)1 + ХсШСс(0,г',г). (10)

Для исследования оператора Шредингера с суммой кулононского и точечного потенциалов имеет значение функция Грипа Сд оператора Шредингера с обрезанным кулоновским потенциалом, который определяется формулой

Уц(г) ={ ~ (17)

[о, г > Я.

Здесь II > 0 — радиус обрезания. Функция Грина (?д может быть построена суммированием парциального ряда. Парциальная компонента функции Грина выражается через решение радиального уравнения Шредингера. Явный вид

функции Грина зависит от того, какую область конфигурационного пространства мы рассматриваем. В частности, при г < В., г' < Н получается

ск(г, г', к2 + Ю) = Сс(г, г', /с2 + Ю) + дд(г, г', /с2). (18)

Для второго слагаемого получено представление 1

(1С С)[Ос(г, Г', с, л2 + ¡0) - Сс(г, г', С, fc2 - Ю)],

qR(r,r',k2) = i -1

í=0

где XRt(k) = -^'WR(h+,uÍ)/WR(h+,Ft). (19)

где £ = г • г', Wji — вронскиан вычисленный в точке г = R, P¿ — полином Лежандра, h^ — функция Риккати-Ханкеля, F¡ и — кулоновские регулярная функция и расходящаяся волна, — кулоновский фазовый сдвиг. Показано, что в продело R —оо Li(—1,1) норма ядра \\zr\\l2 = 0(R~1). откуда следует, ч то в области г < R, г' < R выполняется равенство

GR{r, г', к2 + Ю) = Gc(r, г', к2 + Ю) + OÍR-1). (20)

Аналогичные выражения получаются для функции Грина

GR оператора Шредингера с хвостом кулоновского потенциала VR = Vе — VR. При г < R, г' < R имеет место представление

GR(r, г', к2 + i0) = G0(r, г', к2 + Ю) + g«(r, г', fc2),

2i

-i

dCZr(£, C)[Go(r, r', C, fc2 + i0) - G0(r, г', С, к2 - i0)],

Z*(Í,C) = ¿(¿+l/2)x?(fc)Pí№(C), rAeXf(fc) = -И0г«,Л+)/И0г(и+^).

г=о

(21)

Здесь — функция Риккати-Бесселя. При Л —> оо в области г < R, г' < R выполняется = С (i?-1).

Результаты второй главы опубликованы в работах |АЗ, А4|. В третьей главе описывается физическая система электрон-позитрон в рамках перелятпвистского модельного гамильтониана, который в системе атомных единиц имеет вид

Не+е~ = —Дг — ^ + \gWcir). (22)

г

Здесь точечный потенциал \g\Vc с чисто мнимой константой связи описывает аннигиляцию электрон-позитронной пары. Псевдопотенциал Итс имеет вид

(1 т

\Ус{г) = 6(г)-—, где Ыс = г——;—, (23)

аи>с 1+г1пг

константа связи д = —27га3 [2, 8].

Спектр позитрония, который в рамках используемой модели совпадает с дискретным спектром гамильтониана 11е+е-, определяется нулями знаменателя в (16) при А = гд. Уравнение для нахождения спектра

С(у/1) = 1д~1. (24)

В силу малости константы связи д яа Ю-5 эВ, уравнение (24) можно решать асимптотически при д —»■ 0. С точностью до бесконечно малых второго порядка по константе связи д уровни энергии позитрония имеют вид

-т+'*шг> " = 1>2>- (25)

Волновая функция рассеяния в системе электрон-позитрон выражается формулой (13) с А = \д. Переход к пределу г -> оо в этой формуле позволяет получить в явном виде амплитуду рассеяния /(в) = /е(#) + Здесь /с —

кулоновская амплитуда рассеяния. Добавочное слагаемое имеет вид

1[> 4тг 1 + 1дС(к) К '

Для вычисления сечения аннигиляции электроп-познтропной пары необходимо модифицировать вид оптической теоремы. В зависимости от наличия в

гамильтониане системы чисто мнимого локального или точечного потенциалов, кулоновското потенциала или их комбинации получаются различные обобщения оптической теоремы. В случае уравнения Шредингера с гамильтонианом вида — Аг + Ух(г) где V-! и У2 локальные короткодействующие по-

тенциалы, которые убывают при г —оо быстрее кулоновского потенциала, оптическая теорема выражается формулой

¿гУ2(г)|^(г)|2. (27)

Здесь гр волновая функция рассеяния, а полное сечение рассеяния, / амплитуда рассеяния. В случае гамильтониана вида—Дг + 1/Г1{г)+\д\¥2{г)1 где теперь 1У2 — псевдопотенциал, обобщение оптической теоремы имеет вид

2

у9т/(0) - а =

с!г\¥2(г)ф(г, к)

(28)

В случае гамильтонианов, содержащих кулоновский потенциал, оптической теоремой служит предельное соотношение для частичных сумм парциальных рядов амплитуды рассеяния и полного сечения рассеяния

N

Ыо) = ^(2г+1)/гРг(соз0),

1=о

N

ам = ]Г4тг(2г + 1)|Л|2. (29)

е=о

При любом конечном неотрицательном целом N выполняется соотношение

^тМ0)-ам = 1^(2^ + 1) (1 - |5,|2) . (30)

£=■0

Здесь парциальные компоненты 5-матрицы. Когда гамильтониан имеет вид —Дг + Ус (г) + У>(г), ¿"-матрица унитарна, правая часть равенства (30) равна нулю и в пределе N—>00 получается обобщение оптической теоремы

№&(т*тМ0)-<Т1,)=0- (31)

В случае же гамильтониана (22) в правой части (30) отлично от нуля только

первое слагаемое. Оптическая теорема преобразуется к виду

2 = /У2. (32)

Величина в правой части последнего равенства и является сечением аннигиляции электрон-позитронной пары.

Результаты третьей главы опубликованы в работе [A3]. В Заключении перечислены основные результаты диссертации и выводы

из них.

Список публикаций

А1. Яковлев С. JL, Градусов В. А. Об особенности функции Грина оператора. Шредингера с потенциалами, сингулярными в начале координат // Вестник Российского университета Дружбы Народов. Серия: математика, информатика, физика. 2014. № 1. С. 153-157.

А2. Yakovlev S. L., Gradusov V. A. Extension of the zero-range potential model onto the Hamiltonians with a singularity at the origin // Mathematical Modelling and Geometry. 2013. Vol. 1, no. 3. Pp. 1-12.

A3. Yakovlev S. L., Gradusov V. A. Zero-range potential for particles interacting via Coulomb potential // J. Phys. A: Math. Theor. 2013. Vol. 46. P. 035307.

A4. Yakovlev S. L., Gradusov V. A., Volkov M. V. On Recent Analytical Results for Solution of the Scattering Problem for the Sharply Screened Coulomb Potential // Few-Body Systems. 2014. Vol. 55. Pp. 805-808.

Цитированная литература

1. Демков Ю. Н., Островский В. Н. Метод потенциалов нулевого радиуса в атомной физике. Ленинград: Изд-во ЛГУ, 1975.

lim ( ^9т/ту(0) - aN ) = -у-

N—>oc \ к J К

dr Wc(r)ip(r, к)

i6 \v

2. Ivanov I. A., Mitroy J. Optical model theory for positron annihilation during scattering //J. Phys. B. 2000. Vol. 33. Pp. L831-L837.

3. Breit G. The Scattering of Slow Neutrons by Bound Protons I. Methods of calculation // Phys. Rev. 1947. Vol. 71, no. 4. Pp. 215-231.

4. Fermi E. Sul moto dei neutroni nelle sostanze idrogenate // Ricerca Seientifica. 1936. Vol. 7. Pp. 13-52.

5. Березин Ф. А., Фаддеев Л. Д. Замечание об уравнении Шредингера с сингулярным потенциалом // ДАН СССР. 1961. Т. 137, № 5. С. 1011-1014.

С. Альбеверио С., Гестези Ф., Хёэг-Крон Р., Хольден X. Решаемые модели в квантовой механике. Москва: Мир, 1991.

7. Zorbas J. Perturbation of self-adjoint operators by Dirac distributions // J. Math. Phys. 1980. Vol. 21, no. 4. Pp. 840-847.

8. Yakovlev S. L., Hu C.-Y., Caballero D. Multichannel formalism for positron-hydrogen scattering and annihilation //J. Phys. B. 2007. Vol. 40. Pp. 1675-1693.

Отпечатано копировально-множительным участком отдела обслуживания учебного процесса физического факультета СПбГУ. Приказ № 571/1 от 14.05.03. Подписано в печать 25.02.15 с оригинал-макета заказчика. Ф-т 30x42/4, Усл. печ. л. 1 Тираж 100 экз., Заказ № 1795. 198504, СПб, Ст. Петергоф, ул. Ульяновская, д. 3, тел. 929-43-00.