Обобщенный метод Фурье в пространственных задачах теории упругости для канонических многосвязных тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ
|
Николаев, Алексей Георгиевич
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Днепропетровск
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
1997
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.02.04
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
М1ШСТЕРСТВО ОСВ1ТИ ЖГЛИII!
ДШПРОПЕТРОВСЬКШ! ДЕРЖАВШИ! УШВЕРСИТЕТ
На правах рукопису
И1К0ЛЛСВ ОлексШ Георгшовнч
УЗАГАЛЬНЕНИЙ МЕТОД ФУР'6 В ПРОСТОРОНПХ ЗАДАЧАХ ТЕОРП ПРУЖНОСТ1 ДЛЯ КАНОН 14НИХ МНОГОЗВ'ЯЗНИХ Т1Л
01.02.04 - Мехатка деформ1ВНого твердого п'ла
АВТОРЕФЕРАТ
дисертацп на здобутгя паукового ступеня доктора фЬико-математичних наук
Дшпропетрозськ 1997
Дисерташя е рукопис
Робота виконана в Хармвському ав^ацШному incTirryTi Науковий консультант доктор фшжо-мат:матичиих наук,
професор Проценко B.C.
Офщййи опонентн
Провщна оргашзащя
академк HAH УкраГни, доктор ф!зико-математичних наук, професор Рвачов В. J1.
доктор фЬнко-математичних наук, професор Маргииенко М.А.
доктор ф1зико-математичних наук професор Смирнов С.О.
Донецькнй державний университет
Захист вщбудеться " 12 " ЦИр-ЬнЛ._ 1997 р. о 40
годин! на заодаиш спешал1зовано1 вчсноГ ради Д 03.01.14 по захисту днсерташй нл здобутгя паукового ступеня доктора ф1зико-математичннх наук у Дшпропетровскому цсржавному университет! за адресою:
320625, м. Дшпропетровськ-10, пров. Науковий, 13, корп.З, эуд.57.
3 дисерташсю мозсна ознайомитися в библютещ Днепропетровского державного ушверситету. л
Автореферат роз1слано " 3 " ы/г-<£<жс% 1997 р.
Вчений сёкретар спешал130ван01 вчено! ради доцент
£>GJ
о
• В.В. Косгирко
ЗЛГЛЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Об'сктом досшджень дано! дисертаци е основн! та мшаш просторов! задач! теори пружчост! для ¡зотропних та трангверсально ¡зотро'пних кзношчних многозв'язых ттл. Шд канснгтннм миогозв'язш1м тшом в дисертаци розумкться однор' ж пружне середовные, що запопнюс просторову область, межа яко\' складасться з не мсншс двох координцтннх поверхонь, що не перстинаготьс 1, декартово», щииндрично!, сфернчно!, читягнуто! та стиснуто! сферо'шальних, парабол!чноТ систем координат. В г,;ате.магичн.й постанови! задач!, що розглядлються, зводяться до розг'язання крайових задач для р^вняння Ламе або системи р1внянь ршнопаги в перемшсннях трансверсально ¿зотропних ти з межовгми умопачн одного з трьох титв: в перемЫеннях (перша кранова задача), в напруженнях (друга крайова задача) або м!шаного типу. Для доалджепня задач вказаного класу в дисерташ! розвннуто узагальнений метод Фур'е (УМФ). Вш заснований на' теоремах додавання базисних розв'язмв вщпошдних р1внянь теори нружносп для пгпростору, цнлшдра, кул!, витягНу.ого та стиснутого сферо'1д!в, однополого та двополого пперболойнв параболоща та конуса. Метод дозволяе будувати загальш розв'язки крайо^чх задач вказаних тиглв у многозв'язних каношчинх областях у випадках, коли криволшшш системи координат, ям зв'язаж з межовимн посерхнямн, ствиапряшет та мають сгалышй початок, довшьно зсунут» або повернут» вщносно одна одно?.
Актухпьшсть теми. Просторов! задач! теори пружносп для многозв'язних пл вшносяться до одного з найбшьше складних та мало внвченнх клаав задач мехамки деформшного твердого Т1ла. Це, наприклгд, р!зноматтш задач! концентрацн напружень коло порожшш, включень. жорстких ядер у многозв'язних тшах, задач! внзначенння деформацШ тсчкостшних многозв'язних елемештв, волям контакт! задач! та ш.
Питания достижения аих задач набувакпь особливу важлнгисч ^ за ¿епер!шнього часу. Це за'язане, в пери'у чергу, з тими новими птюблемами, яга висувас перед механ!кою деформ'вного твердо: > т1ла сучасна техшка. Таю п галуз1 як ракетобудування, л!такобудування, ядерна енергетака, будавниитво та машннобудування поспйно погребують утворення новлх високостШких конструкщй та матер!ал!в, що витримува" шуть бшьш штенсивш режими експлуатацн. 3 другого боку, проекгування гадземних споруд разного признсчення: шахт, лриичих виробок, природш1х газо- та нафтосховиш, тунел!в вимагае максимального урахування вплиау вах факторов на' мшшсть пошбних споруджень. Л к показали дослшження, при оцшгаванш мшносл першорядне значения мае виявдення дефектно! структури матёр!алу, яка складасться з мжроскотчних та макроскотчннх тршин, ' порожнин, включень, жорстких ядер та т.п. Воно включае внзначення типу
лефектш, )х взаимного розташування, урахування геометрп тша, а також близкой! дефёкп'в до його мела При цьому зауважимо, що вс! вщом1 сьогодш критерп руйнування засноваш на розрахунку НДС в окол] дефект;». Все вищезазначене накладае пщвищет вимоги до точносп та шрогщцосп розв'язмв крайових задач теори пружност» в многозв'язних т1 л ах. Тут наибольший штерес викликають задача, що пов'язаш з вияаленням особливостей взаемного впливу шлькох концентраторов напруг. Зазначимо, що та ж сама проблематика виникае при побудов1 всшяких. моделей пруишого середовища, особливо в мехашщ композитных матер1ал1в, яка сьогодш швидко розвиваеться.
Для вих вишезгаданих проблем характерною с складна геометр!я областей, в яких розв'язуються крайов! задач!. Для таких областей . вщсутш метода, яю були би близькими по загальиосп' та ефективност! до метод1в розв'язаиня плоских задач. Вщом! ж методи тут не завжди забезпечують отримания точних та надшних результате, як! б дозволили зробкти правильш якюш висновки щодо сутносп проблем« , вивчення. Це стимулюе розвиток вщомих та створення нових методов досшджекь, як! задовольняють зазначеним вимогам. Важливо вщзначити, що ш методи носять ушверсальиий характер, !, отже, можуть використовуватися в шших областях математичноГ фЬики.
Мс-га робогч. Розвиток узагальненого методу Фур'е розв'язаиня основных. та мшаних просторових задач теорн пружност! для ¡зотрошшх та трансверсально ¡зотропних тш, межа яких складаеться з кшькох координатных поверхонь, що не перетинаються, декартово/, цмшдричноУ. сферично), витягнуто! та стиснутоТ сферощальних, парабол1чио! систем координат. Викорнстання УМФ до розв'язаиня конкретних задач теори пружност та термопружносп в каношчиих многозв'язних тшах. Дослщження границь ефективно? аналпично'1 та чисельно"! реал^зацп запропонованого методу 1а його сумюноеп з шшими методами. •
Наукова новизна. В дисертацп побудовано математнчний апарат узагальненого методу Фур'е. На сснош вщомих точних розв'язгав Ю.М. Под1льчука та А.Ф. Улшса, але в ¡ншш едишй форм} запроваджено точш роза'язки р^вняняя Ламе для швпростору, шииндра, кул>, аитягнутого та стиснутого сферо!Д1В, однополого та двополого гшерболоццв, параболоида та конуса у випшда базисних векторних фуикщй, кожна з яких е результатом застосування векторних диференщальних операшй до спещалъно пшбраних комбшацгй гармошчних функкцш. Для однополого та двополого пперболо\дав I параболоТда знайдено нов1 розв'язки р!вняння Ламе шляхом шшого впбору дспомгжиих гармошчиих функшй.у зооражешп ГТапковича-Нсйоера. Вперше подано обгрунтування звичного методу Фур'е в ряд1 капошчних- однозв'язиих областей. Для цього запроваджено поняття базисно! снстеми розв'язкш р1вняння Ламе в каношчнш обласл та доведено базисшсть запроваджених розв'язмв (крш зовшшшх розв'язив
для однополого пперболо'/да). Бперше одержано р1вном1рт ошнки зннзу модулш внзначнша'п гозч'язнпх систем лершо, та друго! кранов»* задач теорн пружносп для гтл'итра, нптягнутого та стиснутого сферо'шв, параболоща, перш о! крппово'1 зада'п для однополого {внутршшя задача) та диогтолого плерболоУдш та конуса. Одержано класи розв'язнссп них задач методом Фур'с. Отримаг.о новин клас штегралыт:-.'зображень базкслнх гармошчнпх фупкшй в перел1ченпх рашше системах координату вигляд! штеграл^в по дшсшй оа з ядрами, шо залежать в;д спец/ального аргументу. На основ! цнх "ображень запропоновано ионий метод одержання теорем додавання гармош'чпих функшн в ргших коиволчпнних системах координат, якнн дозволив отрнмати ряд нових теорем додавання. Отримано тсореми додавання розв'язпв р1вняння Ламе в перинченг.; системах координат у пипадках, коли систем» спшнапрямлеш та мають стлыши початок, довольно зсунуп або повернул одна вшносно одной Одержано теорем» додавання лере.\«щень трапсперсалько ¡зотропннх каиотчних гт. Узагальненим методом Фур'с рози'язано нов] основш та м¡шаш задач) теорн пружносп та термопружносп для дсяких ¡зотрошшх 1 трансвсрсально ¡зотропннх мпогоза'язннхтш.
Обгруптовшистьт» |11погЬи1СТ1. пенопннх нпукгчт.у результат.
Сбгрунтовашсть та тропдшегь наукоенх результат днсергзип зчбезпечусться точш'спо постановок розглялутих ^адач, обгруитуванням методу Фур'с та узагалькеного методу Фур'с, стропстю математичшгх викладок та доведень, поршштшм отрлмагих результапн при розв'язуг.аиш конкретних задач з глдомнмн в гранячиих внпадках.
Практична цйнисп. роботи полягзе п тому. що узагальненнн метод Фур'с дозволяс одержуватп ефектншп чнеелып аоо нэблнжеш аналггнчм розв'язкп осиошшх ! м|шаинх задач теорн пружносп для многозв'язиих ты, обмокснах юлькома каношчннми коердпнатними п^верхнями.
Огримащ розз'язки мол-уть викорнстовуватнсь як модельш при розв'язаиш велико! кшысосп практично г.ажлпвих задач проектування елеменпв, вузтв та агрегат в ракегобулувант, лггакобудувашп, машинобуд!шшцтш та ш.
В теори руйнування, механищ хомпознтннх матер1'ал1з, при створенш нових моделей деформпшнх середовищ можуть бути впу -рисговаш отрнмаш за допомогою УМФ асимптотнчж формул» длЛ ряду механшшх характеристик,' ям виявляють ссоблнвосп НДС у многозв'язних -плах.
Практи'шу цшшеть мають також розроблеш в.дисертацп чнеельш алгоритм» на^осков! УМФ та програмие забезпечецня, що ¡'х реалпус.
Результате днсертацшно1 роботи, зокрема, були виксрнстозаш ХаркГвським наукозо-технолопчним комплексом при ошшоваш--мншостп детален при штампопц).
-ь-
На за*нет пннесено:
1. Розвиток у ки^льненого методу Фур'с розв'язання основних та мшаиих просторов!(х задач теорИ пру;хносл для ¡зотрошшх га трансверсально ijotponnux т!л, межа siytx складаеться з млькох координатних иоверхонь, шо не перетинаються, декартово!, цилшдрично!, сфери'шо!, внтягнуто« та стиснуто! сфероиалышх, napaOojiiwiioï систем координат.
2. Створення ново!' едино!" форми розв'язкш ршняния Ламе для каножчних однолвязних пл у Biirnaai базисная нскторних фуккшй.
3. Обгрунтування звичного методу Фуре в однозв'язних каношчних областях:
-запроваджсння поняття базисно! система розв'язмв р1вняння Ламе в канотчнш однози'язт'й обласп;
- доведения базисносп bcîx побудованих розв'язк1в(кр1м зовтшшх розв'языв для однополого ппсрболо1да);
- одержан' ч ртномфни.ч ошнок знизу модул^в визначникш розв'язннх систем першо! та друго! кранових задач для р1вняния Ламе у 30BHiuui0CTi та внутрнино-п цилшдра.витягнутого та стиснутого сфероГ.и'п. параболоида, першо! крайово! задач! для внутр1ыиосг1 однополого ппсрболош, зовшшлосл га внутршлюст) двополого пперболо!да та конуса;
- установления класш розь язносп методом Фур'с основних крайовлх задач для ршнянн я Ламе в однозв'язних киношниц к областях;
4.''Отрнмання нового класу ¡нтегралытх зображень регулярпих i.a HecKin emiocri башсних прмошчннх функши в основних каношчиих областях у вигляд1 imcrpanie по дшснш oci з ядрами, hkî залежать в ¡я спсша.чьного аргументу.
5.Створення нового методу одержання теорем додавання гармошчннх функшй в каношчних областях на ochobî !х ¡нтегральннх зображень.
б.Одержання новнх терем додавання базисних гармомчнмх функши для ряду каношчних областей.
7. Створення загального методу одержання теорем додавання базисных розв'язюв р!йняиня Ламе та picwib ршноваги трансверсально Ьотропних тш.
Р Одержання велико! кмькосп -теорем додавання розв'язмв ртняння Ламе та перемшень трансверсально ¡зотропиих каношчних тш у випалках сшшапрямлених систем : оордш/ат h сшлышм початком, а також довшьно зсунутпх та повернутих одна вщносно одно/ систем координат.
9. Наближсш ан.шгичш та чиселып' рочвязги УМФ ряду основних га«. мннаиих просторових кранових задач reopiï нружноел га тСр.мопружносм для деяких ¡зогропних га .рансверсалыю ¡зотрошшх каношчних MHOi очв'ялшх пл.
Ш.Чиселыши та ямснин aiiani3 НДС подлизу валяких koHiieiiTpiiTopiß иапружень з рчявленням ix взасмного впливу один на одного в залежносп с ¡Л геометр» ооласп, пружннх властивоетей Материалу та типу прикладеного лавантаження.
II. Инзначення грашшь сфсктивно! чиселыкм реалпацн УМФ при ззасмно.му наилнженш поверхоньу многозв'язному Tini.
AnpoôiiniH роооти. О к рем i результату що мнггяться d днсергани, обгопорювались на ; II Всесоюзшй конферении "Miuiani зада1« мехашки Дсфор\мшюго тьпа" (Дшпропстровськ. 1981 p.*. I та II Всесоюзных цоиференшях "Мехашка иеоднорииих структур" ( JlbnÎB, 1983 р.. 1987 p.), II Всесоюзчш конферении по Teopiï пружт „-ri (Tf)i;iici,I984 p.), ccMüiiapi шддьзу реологн Ыстнтуту мехашки АН УРСР. керСвиик Професор Ю.М. ПодЬьчук (Кш'в, 1984 p.), ceMiiiapi Тндро-в'язкопружшсть" 1нстнтуту проблем мехатки Ali СРСР, кер1виики: професор В.М. Александров та академ1к АН Арм. PCP Н.Х. Арутюнян (Москва, 1984 р.), Республшанському ceMiiiapi "Прикладш методы м-иематики та юбернетики", кершни. академк АН УПСР В.Л. Рвачо^, (XapKÎB, 1984 р.), об'сднаному ceMiiiapi кафедр прикладно! Teopiï йружнпсп та теоретично! мехашки Дншропетровського. аержушверснтету, кершшк академш АН УPCi' B.I. Моссаковськнй (Дшпропетровськ, ¡985 р.), Шостоиу Всесоюзному l'ïj.ii по Теоретпчм1н та nf 1клалнш механ' ii (Ташкент,'986 р.), 6 конферении молодих вчених 1нституту мехашки АН Арм. PCP (Арзакаи, 1987р.), Bnnnii"t ceciï Мпкшдомчо! едуково! ради з грибологи при АН СРСР, ДКНТ СРСР та Спи к» НДо' СРСР (Ростов-на-Дону, 1990 р.), «нському ce.Minapi при Кшвському дсржушверснтст! "Сучасш проблеми мсхаш-kn",K':piB)iHK член-кореспондгнт АН Украпш А.Ф. УлЬко (KniB, 1993 р.),
В повному обсяз1 дисертацшна робота обговорювалась на: ceMiiiapi водилу 1нстнтуту проблем машинобудшання HAH Украши, кертник ака;гсм!к HAH Украпш В.Л. Рвачов (Харив, 1995 р.), ceMiiiapi кафедри теоретично"! мехашки Дншропетровського деркушверситету , кер1вники: Професор M.IO. Швайко та професор В.В. Лобода (Дш'пропетровСы;, 1995 р.), респуб-пканському ceMiiiapi ' Математичш проблеми мехатки", icepiBHHK акаде-MiK HAH Украши B.l. Моссакопськнй (Дшпропетровськ, 19')6 p.), ceMinapi кафедри Teopiï пружносп та обччс ювально\' матема', жи Д нецького держушверздтету, KepißiuiK академк; HAH Украши О.С. Космодам!анський (Доцецьк, 1996 p.j, ce.viinapi вцвдлу 1нституту мехашки HAH Украши, кер1вник професор Ю.М. Подшьчук (Кшв, 1996 p.), MicbKOMy ceMÎHapi при Кшвсьюму держушверентет! "Сучасш проблеми мехашки", кершник член-кореспонлент HAH Украши А.Ф. У;итко (Ки!в, 1996 р.), об'сднаному ce.MiHapi Харювськоги aniarniHioro жститугу "Методи математнчно! газики", KcpinnuK професор B.C. Проиенко (XapKÎB, 1996 р.).
Пуйткац». За темою дисертацн автором опублжопано 33 наукових робота.
Структура та обсяг днсертани. Дисертащя складасгься з вступу, восьми глав, висновмв, додатив i списку л1тератури. Загшшшй обсяг роботи станооить 388 сторшок машинописного тексту (основний лист -331, додатки - 49) та вкчючае 72 ¡люстрацй i 35 таблиць. Б15л10граф1я днсертацп листать 307 наГшенувань.
ОСЬОВННЙ 3MICT РОБОТИ
У пступ» дано загапыгу характеристику роботи та обгрунтовано актуальы п. обраноК тематики. Наведено загальний огляд досл'!Дженъ б'1ТЧ(пкяних та заруб:жних вчених, ям присвячеш розвитку метод'ш розв'язання крайовнх зЭдач reopii' пружносп, заснованлх на теори функцш комплексно!' зм'шно!, узагальненич аиал)тичних функшях, теори потенциалу, асимптотичних методах, ларних та сннгуляриих ¡нтегрзльних р^вияниях, штегр^льних перетвореннях, Р функшях та in. Вшзначено основоположник * вклад, який внесли в ui дошдження Б.Л. Абрамя.., АЛ. Александров, В.М. Александров, A.G. Андр!йкш, Н.Х. прутюнлн, В.А. Бабешко, А.А. Баблоян, М.М. Бородачоя. LI. Ворович, Л.О. Гал'ш, В.Т. Головчан, Д.В. Грнлщький, В.Т. ГрЫченко, B.C. Губенко, О.М. Гузь, О.О. Капшивий, Г.С. Ют, О.С. Космодам'шнськнй, В.Д. Кубенко, В.Д. Купрадзе, 0.1. Лур'е, М.А. Мартненко, М.Д. Мартинснхо, В.1. Моссаковсышй, МЛ. МусхелинвЫ, С.О. Назаров, Ю.М. Нсмш, В.В. Панасюк, В.З. Парто», ПЛ. Перлш, Ю.М. Подшьчук, Г.Н. Положий, Г.Л. Попов, А.К. Приварников, B.C. Проценко, В.Л. Рвачов, Г.М. Сав'ш, МЛ. Саврук, С.О. Смирнов, ЮЛ. Солочйов, А.Ф. Vjiixxo, Я.С. Уфлянд, М.В. Хай, Д.1. Шерман, N.S. Cook, F. Erctogan, R.A. Eubanks, G.D. Gupta, M.K. Kassir, R.D. Mindlin, M.A. Sadowsky, G.C. Sih, 1. Sneddon, R. Strivastav, E. Sternberg, С J. Tranter та in.
Приведено бшьш детапьний аналЬ poGiT, в яких використовуеться метод Фур1 е. Зокрема, вдапчено фундаментальш досл'щження Ю.М. Подшьчука, А.Ф. Улпка, яю прлсвяче!и побудов! точних розв'язкш основних крайовкх задач теори пружност! в каношчиих просторових однозв'язних областях.
.Дано огляд розв'язаних задач та методш Тх розв'язуваиня для многозв'язних -пл. В1дзначено дослшжеаня В.Т. Головчана, О.В. Головченка, О.О. Капшивого, П.Т. Кощавця, Л.Н. Ломоноса, B.C. Проценка, O.i. Соловйова, A. Atsumi, S. Iton, T.Fujita, М. Kodama, I. Nakahara, E. Tsuchida та ¡н.
Розглянуто роботи В.Т. Головчана, В.Т. Срофеенка, В.Д. Кубенка, B.I. Куща, B.C. Проценка, 0.1. Соловйова г? пЛиих авторш по теоремам д, давания для дсяких р1внянь матемагичноГфЬнкн. Даггься загальний аналЬ вищезазиачеиих pooiT, на основ"! якого -визначено мету та задач! днсерташйно! роботи. Коротко викладено змют дисертацн по главах та сформульовано основт результата, що виносчтьея на захист.
ITcpiiui глава присвячела noJyaooi то 'них розв'язшп nepuioi та друго'1 крайовнх задач для р'шаяшч Ламе в niBnpocTopi ( декартов! та цилшдричш), uitniiwpi, кул1, витягнутому та стиснутому сфероидах, однополому та двополому ппербол-Лдах обертання, napaScTomi обертанчя, коловому Kottyci та обгрунтуванггга методу Ф. р'с для цнх задач. 3 ьякористанням ¡лей IO.M. Подшьчука, А.Ф. Ултса розв'язки побудоваш в дниш форми у вигляд1 базиснпх пекторннх функшн, кожга з яких уявляс собою результат злстосусания вскторних диференцшннх операцш до спешально пцйбраних комбитшй гармошчних функшй. При побудов! розв'язш для K-yni та сферошв внкористсчано результата Ю.М. Подшьчука. Для однополого та дпополого пперболо'пнв i параболоща побудовано hobî розв'язки шляхом шшого вибору допокпжних функшн в зображенш Папкоянча-Ьейбера. Це дозволило забезпечити едану форму Ecix запроваджених розв'язив в р1зннх крцволпшшпх системах координат, шо, в остаточному шдсумку, привело до напбшьш простого та природного шляху рсалЬацн узагальненого методу Фур'е. Наведемо, напрнклад, розв'язки для дпополого пперболода = {(Ç,rç,<p) :т]%'П(?}
—» t (3 ) i(8) t(8)
(2ш+1)Р5[иг_1Г[1(4,П>ф)"'ил»х.в (Ç.1!/ф)1' 3=1,3;
-4(8) -> i (9)
t (В) ±(8)
V [ ( ге+1 ) ua. i ,т (Ç, п,(?)„ j (Ç ti ,q>) ]
i( S) -m m
Тут ия,п^,,Г1,ф)=Р®(сНуРа; ( ï COST) ) e ; £--1 '2+iî; TSR;mez —♦ —* -f —♦
D,=V=eic/ôx+e),ê/9y+ezS/52; D:=[zV - -¿e,]; D3=i[VxeJ; x~3-4a;
(Е,1у;>)-внтягнута сфероидальна система коордииат, (у.) -функшя Лежаидра першого роду,
{ех ,еу ,ez}- декартовнй базкс, о - коефшент Пуасона; с- параметр сферошалыю'1 систем» координат.
За виключенням деяких частковнх або Tpiraianbmix пнпадкт п лператур! практично slscyrifi робот, шо поа'яззт з обгрунтуванням метиду Фур'е в кранопих задачах Teopiï пружносп. Осноонш! jMicr першоУ глави присвячено саме щи проблем!, яка дослщжугться в р!зних напрямках. Запроваджуеться поняття базисно! снстеми розв'язк1а рьняння Ламе в каношчшй просторов«! область
Нехай(q.wq12(q53)- криволшшна система координат,' шо пов'язана . з одшею з перел1чених ипие каномчиих областей Q)t={(q3l,q;ij.q33):qii Будемо вважати, шо- значениям
параметра ] = 1, 2,... 9, 0 вщповщають перел^чет вище каношчш обласл в зазначеному' порядку.
-* ±ш '
Системи вектор-функцш { иг^^ьч^^Ы}1^!, названо базисними системами розв'язюв р1'вняння Ламе в областях коли:
- -»*ш V.
1) вектор-функцГ! { и^ц (qji.qj2.q33)} при будь-яких г=1,2,3; \eL-p цеМ; е регулярними лхш'йно незалежними розв'язками р1внянь Ламе в областях х;
2) кожна вектор-функщя f(qj2.<Эjз). якадопускае розкладання по власних векторних функщях зкд, шо пов'язаш з межовою
поверхнею {(qjI, qj2,qjз): Чл^о }
3 (1) -мл
£(ч3г.чр)=Е I I £, ^з)
к=1 ХеЦ
повинна единим способом зображуватися у зигляда -» ■ з ±{г) ->±0) -.
г=1 ХбХ/ цец ■-'■
(якшо спектральний параметр приймае неперервш значения, тод1-вадповщну внузршню суму слщ замшити ¡нтегралом).
В першш. глав1 доведено базисшсть вйх запроваджених систем розв'язюв (хр1М зовншшх розв'язюв для однополого пперболоУда).
Проблема базисное™ щтьно зв'язана з доапдженням визначникш розв'язних систем першо! крайово! задач! в зазначених областях. Для вах перел1чених задач доведено, що щ визначники вщр1зняються вщ нуля. 3 другого боку, для. обгрунтування звичного та узагальненого метод1в Фур'е в олнозв'язних та многозв'язних областях .необхщно мати оцшки знизу модул1в визначшшв розв'язних систем першо! та друго'! крайових задач в областях
Складшсть отримання таких ошнок обумовлена тим, що компонентами визначшшв третього порядку с спешальш функцп ( кр1м твпростору та кул1, де ця проблема е грив1альною).
, • Позначимо при к-1,2 через Да.ц'ОДо) визначники розв'язних систем псршо! та друга! крайових задйч для ртпянт Ламе в областях В першш глав1 одержано р1аном1рш ошнки знизу модутав
-li-
to) к
пизначшшв Д\ц(о,а0) для наступних крайових задач: перша та друга задач; для зовшшноеп та внутршносп шглшдра,-перша та друга задач1 для зовнншюсп та внутршност! витягнутого та стиснутого сферошт, перша та друга задач! для зовшшноеп та внутршкост! параболоТда, перша задача для внутрдоноеп однополого гшерболо'ща, перша крайоиа задача для зовшшноеп та внутршносгп двополого пперболош та конуса. Наведемо деяи з доведеннх теорем.
Теорема 1.3.1. При (Т= (~1;1/2) ^.р^О^-теХтя зовшшност! та
внутршшосп цшиндра р>< ро справедлив! оценки ±(3)1 . 1 ±(3)
,т(ст>Ро) С П иго+к (Хро) , к—1
±(3)
де Се (0;6) - деяка константа, яка залежить тшьки вщ с,ит {q) =
¿тИ)
1т {<?) - модифшована функшя Веселя
першого роду, Кт (q) -функщя
Макдональда.
Теорема 1.3.3. Приа= (-1; 1/2) ;Х,ра>0;те2, |т| >2 справедлив! ошнки
±(3)2 » 1(3)"
I > С* [Шг + (Хро) * ] П ' ит+1с (Я.р„) , к=-1 '
де С* >0- деяк1 сгал1, яш залежать тшьки вщ с, а, р3 (в- модуль зеуву).
Теорема 1.5.4. При £^0. СТб(-1.1/2), пеЖ+: те2: 2 [, . I т Ы п-1 справедлив1 оцшки * /
. ±(5)2 + 1 ±(5)
1 "п.т
&>.а) | > С* Йо,сг)п П |
ип, т+к (чо) I, де С* > 0 та н» залежить вщ п та к, к=-1 • ■
±(s) un, m^o) =
оХчо))
-m -m
-m í . Яо = ch^o, P„(qo) . Оп(Чо)"Функцн Лежандра iPn(qo)), • ; . .
першого та другого роду. .
Теорема 1.8.1. При ае(-1; 1/2) ; Т1ое(0;т:) ; msZ; ее.=-1/2+ íxj для зовшшноеп та внутршносп гшерболоща ц>< т|0 справедлив! оцшки
±(8)1 1 m+k
|да т(а, г)0) ¡ S С П (Тр0),де С - додатня константа , яка
залелнть тшьки вЫ а,ро- ссвц 0
Отрнмаш ошнки дозволили vcтaнonuти ьласи розв'язносл методом Фур'е першоК та другоК крайових задач для р!внянчя Ламе для вах пе'^ичених канотчких областей (кр1м пперболошв та конуса). Навсдемо деям з отриманих результат.
Теорема 1.3.2. Нехай на поверхш шшвдра оГ2з={р=р0} е заданог
вектор-функшя Г, яка допускас зображення
Ы = X е*к I е'(га+к)ф Пкт -»• -» -» -* -♦-♦-»
(е^! = 1/2(е,± 1еу), е0 = е?., {е,, еу, ег }-декар зинбазис).
«О 00
Якщо! 1ккт(Х) I ('\| + |т|+1)М<
то в областях ¡снують едиш розв'язкм р1вняння Ламе вигляду
-> То.«« ±(3)
и*(р, г, ф) = I I / а%га (X.) ёХ, що
задовольняють умовам: a)U±eC 2 (Q^rtCiiV); б) U'(po< z, <p)=f(z,fp).
Теорема 1.5.5, Нехай F(ri,q>) - вектор зовшшшх зусшть, який
прикладеио до межово'1 поверхн1вШ5, а для вектор-функш! —* ■
Дп.ф) = h"1 F(r],<p) (h = (qaJ- COSHo2) 4)
1 n ±(k) m .
J±rf(r),(,") = S ek J+rf:(п,ф) = Z ek S 2 fmm Sn(n,<p), k=-l k=-l n=0 m=-n
де J+= ±eil(p[5/ôti±ictçii З/Эф], Snro(ri,(p)=PIl,n(cosr\)elm9 . Якщо при k= \C,1 ; r = 0,1,2 piBHOMÎpiio зб1гасться ряд
n ±(k)
2n5 S |frnm | lsmJ<ro, (i)
П=0 П!= -П
то в облает! Q-ricnyc единнй розв'язок ршняння Ламе вигляду
I Z n, "*w5> ич^.п.ф) = X I £ anm Us г п,(5.п,<р},
'3 = 1 П—0 и---11
_.__ . —
мкий задонолькяс умовам: a)U'eC г (fi,') nC'(ÎV); б) FU'(ï.u, n» <р) =
F(n.<i>) (через FU позиачено пектор зусиль на вшповинш межови!
noBepxni, mo вшпов1яас перемшсиню U).
Якшо кр!м (!) BiKOnaHi умови статики 2к п 2п к -»
i i СЩ.<Р> sinndr\d9 = 0; \ i [r x f(-yt>)]sinri dr( dq> = 0,
0 0 oo -
то в областз Slf ¡снуе розв'язок р1вияння Ламе вигляду и"(4.П<Ф)=
3 - П -.(5,
J X I anm и5 П т(£,г1,ф) ,якиГ| задоволы.яс умовам: 3-1 п«0 m»-n
a)U'eC г (П-5) nC'(iV5); б) FlJ-($a, П, Ч>)'-= F(n,4>).
П лругЫ глап! днсертаии отрнмаго тсореми додавгчня гармотчни.. функшй у запроваждених системах координат, на ochobI котрих в подальшому выводиться геореми додавання перемнцень ¡зотропних та трансперсально ¡зотропннх каношчннх тип.
ГПд теоремами додавання розу\нються липнш стввиношення, як! зв'язуюгь базисн! рлзв'язкн деякого р'тйяиня мзтематнчноУ ф1знкн в piiHux криполшшшх системах координат. Bnepuie Ginbuiicn. з наведеннх в днсертани теорем додавання розв'язмв ртняння Лапласа було одержано автором методом B.C. Проценка. В роботт розвинуто новин метод, я) tft дозволив проспше довести вже в ¡дом. формули та отримати новии ряд теорем додавання, ям не вдавалося одержати за допомогою ¡нших тдходп. Цей метод засновано на одному виомому клаа ¡нтегральннх зображень базиенлх розв'язмв р!вняння Лапласа в деяких канонпних облает.ix у вигляд! 27t
U^(27t)"1 / f (z+ixcos<p+iysih<p) е1т<?скр, (2)
о
де (x, y, z) -декартов! координата точки R3, а ядра f (t) втзк.лчагаться вибором кри эл»ийно"| сиаеми координат Подбш формули дозволяють, якщо зв'язати ьпж соСзю ядра зображень, одержати сшав1ДИОшення М1Ж гармотчними функшями в pismix криволтшних системах координат. Однак, як показали досшдж ння, зображень типу (2) недостатньо , шоб отримати повний набор теорем додааан1:я, який е иеобхщним для реалпацн узагальненого методу Фур'е. Тому в § 2.. отримано новий клас ¡нтегральннх зображень регулярних на HecKiH4eHHocri базисних розв'язмв рш:шщя Лапласа для цилшдра. кут, витягнутого та стиснутого сферо'щш, однополого пперболоша обертання та параболоша обертаиня у вигляд! ¡нтеграла по дйганй oci
u= Jtcif (z+ixcht + ysht) +caf(-z+ixcht+ysht) ]em'dt, (3)
а також ряд новнх зображень типу (2). Наведемо леям з отриманнх результат!в цього параграфа.
Теорема 2.1.1 При §>0, rje(0, л), <ре(-л/2, л/2), ni im| ,m6Z справедливим с зображення ювшшнього розе'язку р1вгтння Лапласа для витягиутого сфероша у вигля/д
♦(5) ш+1 м тс п»т
u„,«(tl.4>)= ' /(2s)Je (Qni (z+ipch(c-itj?)) /с] + (-1)'
Qn ( (-z+ipch (t-itp)) tc ] }dt,
■Mil -m m Imv
де ur„ra(^n.<pj=Qn(ch^)Pn (cosil) e
Теорема 2.1.6. ПриЯ>0, a>0,p>0, (pe (-it/2, it/2), mez справедливим с зображення зовшшшх розв'язмв ртняння Лаатаса для параболоща у нигляд!
♦(9) ' ,
и*.Л*Р.<Р)=1/41е!г>С{е"1п*':! Но' [Х(2 (z+ipch(t-i<p)) /а),/3] t
- to
е1'"лНо<г'{М2 (г-ipch(с-1ф)) /а)"2] }dt, ■ де гт,
(a,t3,ip)=KI1!(XP)Jni(Xa)e1!Гф , J,„(x) - функшя Бесе л я першого роду, Но"' (х), Н0* '(*) • фупкцп Ханкеля першого та другого роду.
В peujii параграф1в друго! главн опнсаннм вищс методом ¡нтегральнмх зображень доводяться теореми додавання базисных гармошчних функшй в пере.пчених рашше канонлчних областях. Наведемо леям з отри, lamtx теорем.
>-с
Теорема 2.3,1. При z < с f «=-* '2+iT , тек. справедливим е зображення розв'язюв р1вняння Лапласа для двополого гшерболоша через розв'язки для швлростору
tie-! о» (82)>. t (2)
>'t,m К.П.ф)** ¡Яге.т uA,m (Р.7-.Ф)) '
+ 12) . (82)Я
де ux,m(p,2,<|>)=e ^т(^Р) ;д3,ш=-2сл "sannae кж (\с) ;
ke(x)=t7t/(2xJJ1/2Ka+1/2(x).
Теорема 2.10.1. При Це [0 ;n/2),Rev>-H2 справедливым с зображення розв'язюв piniwiuw Лапласа для конуса через рози'язки для однополого гшерболоща
±(0) 2 [0i-j)/21 (01)3,k 4(7)j
u-v-i,m (г,0,ф)=»S { X gv,n Uu-2k-j,m(Ç.4,4>)-j »1 k-0
-l/2+i» -{07)j,œ + (7)j — tïO)
f 9v,m . uS/TO K,r,,<p)da} |mi,fleuVim (гДф)= -1/2-i»
Г(—v-m) rVPvm(+cos0) eira(<1;
u®,rakn^)=r()i-as)r(n+s+l)(-i)3-V2 [ (+i) M P^isliç)-
(-1) i P,-" (-ish^)] [P^ (cosii)-(-l)j • P^ (-cosn)]eirn'p;
(07}j,k
Çv,n~ = (il) (2/с) V+ sin [л/2 (Vt|x+j ) ] •
(H~j-2kU/2) r[(v-n+j+2k) /2]r[(v+n-j- 2k+l) /2];'
9v,nr+ (±1) î/8it~ (2/c) sin [л/2 (v+M+j ) ] («+l/2)tg(* • (аэ+1/2) ] Г[ ( v-s) /2]Г[(у+ее + 1) /2],
В трея'», чегвсртШ та п'ятш главах днсерташ!' розвцнуто апарат теорем додавання базисних розв'язюв р1вняння Ламе для пере.пчених више каношчних областей. До початку 80-х роив теорем» додавання розв'язю'в pi¡ваяния Ламе були В1ДО.\и лише в зсунутих сферичних координатах ( В.Т. Головчан, Р.Н. Кауфман ). В робот1 автора [8] Сув запропонований загальннй метод одержання подибннх формул у рпних криволшшних системах координат, котрии в поттьшому був реалповаинй у ряд1 poCir для ecix перел!чених областей.
В трспй глав! криволшшш систем» координат рважаються сшвнапрямленими та мають сишьннй почагок. В четверти! - однаково напрямлеш систем« координат мають початки в точках 0( та О;, яьч довшьно зсунут! одна вщносно одной Наршт, в п'ятШ глав! системи
коирдннат мають спшышй початок та поиернуп одна вшносно одни. Розглядуються два класи (¡ндекси 2 та 3 ) повернули вшносно початковнх индекс I) систем координат, декартов» орти яких зв'язаж
аиввцшошеннями
—• ' «ф
е*зве*1'^з®3* ■ez3,:e*x '
Зауважимо, то sei результата переноситься на вкладок довшьно повернут их систем. Наведемо декшька формул з велико! кмькосл отриманнх в инх главах.
Теорема 3.14.1. Справедливым е зображення зовжишх розв'язюв р1вняния Ламе для кул! через зовшшш (внутршим; розв'язкн для двополого пперболоша у сшвнапрямленах сумшених системах координат при п е(я/2,тс](п е f0,я/2)) (s «1,2,3)
-. + (4) 3 -l/2+.i" s 2 2
Usnm^I J j <T1) 6sti6s2Öu [ (n+Dpo-Uo/c)
1 ± (48)c ± (8) (2n+3J) }gn,m Uc>avtldae,
t(40)a -4 rr. n+m n+l
де gn>m =i/8W (x+l/2) tg(n(de+l/2) ] (2/c) •
Г( (n+ae+l)/2 )П (n-as) /2], po-cosiio. öst - символ Кпонекера, r»to та т)»т1С - р10няш1я поверхонь кул| та пперболоша, с- параметр витягнуго! сферо1далыю1 система координат.
Теорема 4.20.1. Справедливим с розкладання внутршшх витягиутих сферощальннх розв'язмв р1вняння Ламе по внутр1шшх витягнутнх сферощальннх у сшвнапрямлених зеунутих системах координат (s =1,2,3)
(5) з » - --Ii)
^.п.щ^ьПьФО^^ 2 I Ut,k,l(^2.42.4>2) (5,t-öc:6s2 [qSoic, • t-lk-0 1 — (55) k.l
ё/дс>+п) +q2iü (c2 d/öc2-k) +Zi2S'dZn] }fn,m>
-(551W 1/2
flefnm - n' £ £рЛ(к-М/2) (сг/2)р/{ГГ(р-к) /2 + 1] • , p-0 , -(Я
Г [ ( p+k) /2 + 3/2] }df>/0zpi2 tUn,ai-l(Si2,Tli?.,<Piz)l .
£рк°и+("^"^/З'Чр^сЫ^о;^"^р.вняння пове/хонь сфероТдт
у системах координат, то пов'язаш'з Ух центрами, 12>Фи) - п
координата початку другоТ системи вшюсно першо", ип>т-1-внутршш 5азисш гармон1Ч1п функцП для вктягнутого сферо'ша.
Теорема 5.1.1. Справедливнм «• розкладання декартових розв'язкш рав-няння Ламе для твпростору по внугршшх роэв'язках для цглждра в п ;-вернутих системах координат ¡з спшьним початком при X2 -ц2*0 (э-1,2,3)
из.ц.х(хЗ'Уз.21) = £ 2Н3,мд и^х^рьгиф!)',
С = 1 т--">
«илс^а »плел ниш »тш * < и > с^п
, . ,,,2 2,-1/2 х г , , -1 ,,2 2,1/2
+Ц ) +632[-5(.1тцХ. ±5г.2>. (X +Ц ) - .
В щосп'й глав1 уводяться пере'ишення трансверсально 13отропних однозв'язних каношчних Т1'л у вигляд! базисннх векторних функшй. Пехай О-.' - одна з описаних ран'ше до.ошчних областей (крм параболоТда та конуса). Суьпстимо з нею три однотипш' системи координат
15) (3) (Э)
(q3i.qj2.q33) (3 = I, 2, 3). В залежносп ви геометрн обласп використовуються декартов! (х,у,23), ЦШПНДрНЧШ (г>,23,(р), сферИЧШ
(г„03,ч>), витягнуп (^з,л3.Ч>) та стиснутз ($3,п3,<р) сферо'ыа^ьш координати, котр! зв'язаш М!Ж собою та з початковимн декартовнмн координатами ствв!дношеннями
х ■ р соз<р р «• Гь^хпв^-СазИ^з^т!,« с,сЫ;,зз.т1,.
V » р 31П(|)
г - у4гя ;.3 • г,соз95_" с5сь^созп9 » с3аь^5созть
В цкх формулах тш у,г(з=1, 2) маються на увазГ дшсш корн! ршняння
с„с„У!- {съзсп-2сиси~с2и) у+с33с14=0 , ' (4) а у32=2с„/(Сц-си) (<=1з - пружш сташ).
При Ух * У2 в якосп базнсних в областч О-)" вибираються наступи! розв'язки система ршнянь р!вноваги трансверсально ¡зотропного т1па (з = 1,2, 3)
-±( :) (з) (Э) -» ±!э) (8) (5) <Э)
^;г,а,р(Чз1,дз2,дзз) (дji.q32.qjj)
де -» ->-*-♦
У3=ехб/Эх ^д/дг^,(в = 1,2); У3=ЦУ3хе2];
(СпУ,-С44)/(С13+С44);
(8) (с) (3) '
иа,р ^1,Ч}2^}з)~базисшгармотчшфункцивС^ або 1хкомбшацн. у випадку VI = У2 перил два набори е питию залежними I замкггь
-±«1)1
другого будуеться лпш'шо незалежшш з першим розв'язокУо, а, (5■
Дал! за допомогого гадходу, який описано в трели глав), отримано теореми додавання запроваджених базнсних перемшень. Наведемо один з результата те! глави.
Теорема 6.6.1. Справедливом е розкладання внутр1шш'х цнлшдричннх розв'язив по внутршппх сфернчних (з = I, 2,3)
--[3) ю (34)п -»-(4)
У3Д,т(р>г5,ф) = д\,т ^3;П,т(г5,93,<р) ; п=0
->-(3)1 СО (34) п -1 ->-(4) 1
Д,т(р»г2>ф) = 2 ЯКп т(г2>б2>4>) ~ [п-со+
п=0
—•— (4 )
г22(А2(2П+3) Л ]V2,n,n(r2,e2>ф)}; С 3 4 ) п г.+ш п
1 * I <В= (си+3с44) /(С13+С44). В сьом1й та восьмш главах дисертацн узагальненим методом Фур'е розв'язуеться ряд основних та мнианих задач теорн пружносгп та термопружносп для ¡зогрогших 1 трансверсально ¡зогропних многозв'язних каношчних тш. Сутшсть цього методу полягае в наступному. 3 кожною межовою поверхиею многозв'язного каношчного пли, для якого розв'язуеться крайова задача, зе'язусгься система базнсних розв'язюв р1вняння р1вноваги в систем! координат, що
сумщена з ц!ею поверхиею. Загалышн розв'язок краиовоУ задач! будуеться у пигляд1 суперпозищУ запроваджених базксних розв'язмв з довьтышми коефвдентами або нпльностямк. Перетворення загального розв'язку до системи координат, яка поп'лзана з конкретною межовою поверхиею, в!дбуваеться за допомогою теорем додаваиня базиеннх розв'язив у вщповщних системах координат. ГПсля цього межов! умови зодоволь-няються з використанням вщо.мих властивостей узагалънгиих ряд ¡в Фур'с по повних ортонормованих системах функщй або формул обернення штегральних перетворень. В результат! крайова задача зводиться до нескшченоУ системи лйшших алгебраУчних р1внянь (НСЛАР) або до шгегро-алгебраУчноУ системи (1АС). При неперетит межових поверхонь вдасться показати, що оператори розв'язяих систем е фредгольмовими у випов!дних функшональних просторах. Характерною особливостю узагальненого методу Фур'е е те, що матричт коефМелти лескшчених систем експоненщйно спадають. Це дозволяе одержувати для них ефективш чисельш або наближеш аналггичш розв'язки.
В § 7.1 досл!Джусться друга крайова задача тсорн пружносп для простору з1 сферичною та витягнутою сфероУдхчьною порожшшами у випадку, коли до порожнин прикладего довшьпе осьосиметричне навантаження. Розв'язок задач! шукаемо у внгляд!
2 -*,М) "' + (5)
и= I 2 [апзи5,п,о(гДф)+Ьпз и5л0Й1>1ьФ)],
5=1 П=0
-»•■(4] ->М5)
де и5;По, и5п>о (3=1,2) осьоснметричш набори зовшшшх базиеннх розв'язшв р!вняння Ламе для кул! та витягнутого сфероУда; як! запроваджет у глав! I, апз ,ЬПЗ - нев!дом! коефщ!енти, що визначаються з крайових умов.
Описаним вище шдходом задачу зведено до НСЛАР. При умов! неперетину межових поверхонь доведено фредгольмовють оператора системи в простор! 12.
НСЛАР розв'язувалась чисельно методом редукцГУ (максимальний розм!р системи" п=20), для наступних тип!в зовшшшх навантажень: двовхний та однов!сннй розтяги, як! прикладеш на неск!нченност!; г!дростатячний тиск, що д1е на сферичну порожнину. На рисунках 1,2 наведено гр?ф!ки напружень ап/Т таа9/Т на поверхнях сфероУдальноУ та сферично'У порожнин в. задач! про двовюний розтяг простору сталим зусиллям О р =Т. Сер1ям 1-6 в!дпов!дають иаступш значения геометричних параметр!в (д0 = 1.2 для вс'!х сер!й):
1-с11/а=0.1,г0/а=0.2; 2 - с11/а=0 . 3, г0/а=0 . 2; 3-с11/а=0.5,г0/а=0.2; 4 - с^/а^ . 1, г0/а=0 . 4 ;
5-с11/а= 0.3, гР/а=0.4; 6 - с^/а-О.1, го/а=0.6.
• Т;т - велика шввюь сфероща, а- вшетаиь м)ж центрами порожним, г0 - раяус сферично! порожнини, ч0=сЬ5д, р1вняння задас поверхню сферо'шально'1 порожнини. У випадку достатньо вилаленнх одна иш одно! поверхонь сфсрн та сфсроша (с^/а-0.1;го/а=0.2). коли можна знехтувати Тх взаемним впливом, отр"маш значения напружень
- Ср/Т^ч =2.368; Ов/Т|0=тс=2.08б;
узгоджуються з вшомими значениями напружень при роглЫ простору з» сфероидальною порожниною та простору з» сферичною
pue. 1 pue. I
ач/Тнн>=2.358 ; Ое/Т|еел=2,087. Акали одержаннх напружень
дозволив зробити гисновок про те, iuo наибшьша !х кони нтращя на поверхга сферощалыю\ порожнини поблнзу сферичное при наближенн! межовчх поверхонь одна до oahoï виникас при малнх вшносних po3mipax neptuoï з них (di/a= 0.1) те. великих розшрах другог (г0/а=0. б). Навпаки, найбшьше розвангаження сферично» порожнини лобяизу сфероидально! мае мюце при dj/a= 0.5, Го/а=0.2.
В таблиц» 10 дисертацй' показано швшшеть збЬкност1 »тоду редукци. Виявилось, що у випадку ri1/a= 0.5, rc/a=0.2 вже при вщноспа похибка обчислення напружень в найбшын важливнх точках мгжових поверхонь с шлком задовшьною i складае 10-15%.
У задач» про однов1Сний розгяг простору зусиллям а*\=Т одержано ii ж особливост) в розподшетп напружень, що й при
двов1сному розтяз1, з тою лише pi3Hiiueio, шо напруження о,, та с0 в
цьому внпадку змшнли знаки. Цкаво а!дм!тнти, що при зс.льшенш q0 та великих вшносних розм!рах сфероУдалЙюУ порожнннн напружеши на nooepxiii сферн поблнзу сфороУдально'У порожнини стають ¡з стискуючнх ротгягуючими.
Наведено анаш розподЬення напружень на норожнннах в задач! про
пяростатичний тиск аг = -Т, який прнкладено до сфери«ноУ меж!.
В § 7.2 досл!джс1го осьоспметричш першу та яругу крайов! задач)' для кул! ¡з витягнутою сфероУдалыюю та сфероУда ¡з сфернчною порожнинами. Припускасться, що eicb сфер м'да проходить через центр кул' та що центри межових поверхонь зеунут! один вшмосно одного. Загальний розв'язок yeix зад^ч> будусться у вигляд!
-♦+2 ^ * 1 -* г (5)
U=s z [апз Us;n,o(r,e.4>) +bns Us,n,oUi.li.4>) ], 3-1 n-U
причому верхшй знак виповиае nepiuifi з перел!чених областей, а нижнш -друпй. Ус« задач! зведено до НСЛАР .
Як застосуванн* розглянуто задачу про зовшшшй гиростатичний тиск р, який Д1С на кулю з! центрально розташоианою вшьного вщ зуенль сфероГдалыюю порожннною. Одержано наблюдений аналтшний розв'язок системн у вигляд! ряд1в по малому параметру E«=d/ r,(d велика nmeicb сфероУда, Га - pajiyc кул!). За допомогою иього розг'чзку знайдек*» формулн для напружень на поверхш кул| при 6 = 0
'be«a,—p{i+eV[qj'A2Oi<qo) 2\ [ (3/2q0' + i/3<;) дг(1) (qo) + + З40 Чс Qi (Яо) 1 } +0 (Е"). Де Для crircnöcTi Л? ~ визначник розв'язноУ системн другоУ зоишшньоУ крайоьоУ задач! для витягнутого сфероУда при п=1. Чо= eh^, 4о параметр, який задае еферо'Удальну
поверхню. Перший додаток вшовшае вппадку однорйно'У ку-ni i зб1гапься i sLaoMHMH значениями Oq, rt? в задачi Ламе. Перша поправка до ньрго мае третш порядок мализни ¡, як може бути показано при о< I/ 2 , е вьт'емною. Таким чином, наявшеть сферсУдалыюУ -порожнини викликае зб!льшення стискуючнх напружень ои, о^ на поверх«! Ky.ii при 0=0. J граничгзму випадку с,. -» ~ при с- Т\ /qo сфер/Удальна порожнина переходить и • сферичну, а напруження дор!виюють
Сд^а^-р {l + 3/2^3J +0 /гj, vlö з&петься з двома першими
членами розвинення 0|)«Оф, в ря^и по степенях ц в ?алач! Ламе про визначення иапруженого стану 11010У сферн, яка за тле ршномфжно iOBiiitiiHboio гиску.
-22В § 7.3 дослщжено напружено-деформований стан в однополому пперболоил з центрально розташованою круговою тр1щнною, до яко! прнкладено стале нормальне навантаження Oq. Поверхня гшерболоща вважасться нерухомою.
Внасшдок OCLOBOI симетрн та симетрп вщносно площини z=0, загальний розв'язок будуеться у вигляд1
2 °° -> »<61 ' ~ - 00 -* - (711 —
U=Z {2ansUSi2n+i,o ($iJU,9 )+JTth(rtT)Cs(T)Us,a,o (4л.Ч>)^ +
s—1 п=0 . О
(7)1
+bs Us<0,о (4.л.<р) К
-++(6) ¡7)1
де a=-l/2 + iT, вектор-функцп Us,nfo / о-°сьосиме'гР11ЧН'
Bapiaimi розв'язгав ршняння Ламе для стиснутого сферо'ща та однополого плерболо'аа, ям введен! в першш глав1 днсерташ, anS/ bS/ Cs (т) - нсв1дом! KOcfjiiuicitTn та щЬгьност!.
Узагальненим методом Фур'е задачу зведеко до НСЛАР вщносно коефвдснта ап2. Доведено фредгольмов!сть оператора систем» в ripocTopi i2 при Heneperani межових поверхонь.
В окремому випадку г\й=г./2 (кругова тршдана з зовншппм нескшченим круговим защемлениям) систему розв'язано методом малого параметру
(e=ci/c,ci,c- рад!уси трнцини та защемления). В результат!
к=2а0(ci/л)4{1-1б/ (9л2 ) (1-2а) 2/(3-4о) [е3+1б/25е5-16/ (9тг2 ) (1-2 О) 2 / (3-4о) £5] }+0 (е7). . '
Головний член асимптотики зб1гаеться з К1Н кругово'Г тршшш в пружньому npoeropi. Перша поправка до нього мае трети! порядок мализни та е вщ'емною, таким чином, зовншне защемления зменшуе значения К1Н.
У загальному випадку НСЛАР розз'язувалась чисельно методом редукци при максимальному po3Mipi зр1заноТ системи п=15. Значения ЮН зведено в таблицю, в якш параметр Т) о задас поверхню ■
пперболо'ша, "sf=ci / (esinrio). При' достатньому пщдаленш меж! тршшш В1Л ловерхш гшерболоща (з f- 0.1) значения ЮН, шо дор1шпое 0,637, добре узгоджусться з вщомим значениям 0,6366 цього коефщкнту для кругов о! TpiiHiiHii у пружньому простор!.
По 0,1 0,3 05 0,7 . 0,9 0,95
я/12 0,637 0,634 0.623 0,598 0,556 0.534
л/6 0,637 0.635 0,629 0,611 0.572 0,548
л/3 0,637 Г-0.636 0,634 0,629 0,608 0,588
112 0,6? 7 0,636 0,635 0,631 0,618 0,609
Нарнс. 3.4 (по=л/12, приведено графши напружень ог (х, 0) /. 0 в
залежногп вш х= (р-с],) / (с5тт)0-с1). Сер1ям 1-6 вшповшають зна.екня параметра = 0,1; 0,3; 0,5; 0,7; 0.9; 0,95. Графш/ свшчать, шо при фжсованому б £ 13 збшьшенням к>та Г|0 збшьшуються '.< та о-поблизу зовжшньоУ та вкутршньси меж. При фжсованому г]й '-1 збшьшенням б£ зменшусться к, а напруження ог зростгс по аосолютнп.
величиш. Характерннм с те, шо при г}0чп/12, л/6 в скол1 зо1 шшньо) меж)' с область стнскуючнх напружень, розм1р яко! зменшусться н
рис. 3 Рис- 4*
Г § 7.4 розглянуто де?к1 задач1 про д1ю гладких штамшв ла пружннй гнвпроспр . Як основну розв'язано задачу про утнскування двох кругов их штамшв у пружннй П1впроспр П* = {{ (х,у,г' 2>0). Вважасмо , що проекцп штамшв на межу швпростор/ Г зб1гаються з кругами ОзН 'х,у,г) :2=0Лх-<-1>~Ь]] (3=1,2).
Напружсно-дгформованнй стан гивпростору визначаеться внаелшку розв'язання наступно! задач1 тсорп потеншалу
Ди)=0, (х.у.г) «П*"; (0=^(х.у), {х.у.г) ейн; д^18г~0, (х.у.г) еГ\ ,
де задасться осадкою та формою поверхж ]-го штампу.
Уведено фуииино м . яка зображус собою продовжеиня у весь . лростф гармошчно! функип м . парне шодо зммшо'| г. Тод| (О с розв'язком задач) спряжения
Ао))=0, (х.у :) еОДЭ,; ; (х.у;, (х,у,г) еп';; <й,(0,у,г)»
и):(0,у,г); сЦ/сЬс (О.у.г) = Зса^х (0,у;г),
.. ло,. (х,у,г) ер|
де ш =1 ; (х.у.г) : '-1)'х > 0}
1о)2, (х.у.г) бП2 Уведено дв1 стиснув сфероиалын систем» координат {^¡.ПцФз)
(3=1,2)-, фокальш кругиякнх зб!гцються 3 Оу
Розв'я:гк задач1 в областях П. щукагться у внгзяд1 суг:рпозици базнсних гармошчннх функшЛ в зекартов!й та стпснутнх сфсроиолыжх систе- ах координат. При задоьольняшп межових умов викорнстано теореми додавання гармошчннх функшй в повернутих одна виносно одно! декартових та стиснутнх сфероиальних координатах. Задачу зведечо до НСЛАР, для яко! показано фредгольмоветь оператора снстеми в простор! 1, при умов1 е=(с.+с2)/Ь <1 (cj - радиус ]-го штамп.., Ь-вшстань М1.К IX центрами).
Нескжченна система рогв'язувалась чисельно методом редукии , Для простотп основи штамшв приймалнея плоскими, а вертикалы«
осадки штамшв 6} пщ .шею сил Р-)-стал ими. Максимальш значения параме.р!в к">9,ш»3. В однш з таблииь подано збажшеть метода редукцн.
_ ■ . (31 ,
Про характер розподму нормальннх иапруженьо-с^! / Р пщ им штампом можнр гадати по '¿х графюах, яю наведено на рис. 5,6 (л!вий рис. - праьий рис. - з=2, 52/6^1; сг/с^о.5; сер1ям 1-4 вшповшакль '..яачення с/11=0.1, 0.5,0.7,0.9).В таблицах зображено значения напружень I коеф'шкнпв К3^Р5/ (2Сс35<.) (1,2), 1^281/(Рг52).
3 графпав видно, то на кра> меншого штампу поблизу бшьшого, до якого прлкладено 1 бьтьше кавантаження, спостер1Расться область розвантаження напружень, а на проп'лежному кра? навантаження збшьшуеться. Зазначнмо, що д"я близько розташованих штампт
(с/Ь>0.7)при деяких значениях параметров 62/5( та с2/с| пщ основою меншого 31 штамшв спостергасться область розтягуючих
напружень. Характерким для поведшки коефщентт с спаданн'я та зростання ?2 I йз п зростанням Ьр/й) абос1/с2.
р^е. 5 Р"с- 6
В пункт! 2 цього параграфу розглянуто задачу про утискування гладкого кругового штампу за плоскою основою у пружний пшг роспр. П.ряд з ним до швпростору лрчкладено гладкий швнескшчений штамп з1 плоскою основою 02={ (х,у,г) :2=0,х^Ь2), «кий утримуеться в фксовакому г ложенш таким чином, що 82=0. Перетворенням Кельвша цю задачу зведено до задач!, розглянутоГ в пункп 1.
В восьмШ глаг узагальненим методом Фур'е ро.'ч'язано ряд мшаних задач теорн пружнссп та тер- юпружносп для деяких ¡зотропних та тран зерсально ¡зотропних мнэгозв'язних каношчннх Т1Л.
В § 8.1 дослшжуються осьосиыетричш контгктн] задач) про' утискування кругового тцтамту з1 плоскою основою силою Р пружний швпроспр з порожкиною у иигдяд! витягнутого або сти-нутого сфероща або КУЛ' при рЬних умовах контакту штампу з швпросгором. Розглядуються внпадки часткового зчеп^ення, повного зчеплен! : та гладкого контакту.
У ВС1Х вкпацках загальний розв'язок будуеться у лнгляд; '
.-* 2 ю -»-(2) «, ~»+ (5)■
с п=о
-+-(2) -+(5)
де и3д,о . и3/п, 0 ■ осьосиметричш розв'язки р1вняння Ламе для твпростору та, чи то сферо'Сщв, чи то куль
При задовольнянш умов на меда швпростору отримано систему сингулярных р1внянь ^=0; 1)
а1-3 .
Ч>3 (С) - (-1)3 о /я (и) / (и-*:)^««-!) ^ (и+5}0д,
■ -а!-} ,. t6(-aj,aji
де f j (t) - деяю функци, яю виражеш через невшом1 коефМенти апз, ■ д=5/[я(сг-1) ], ю= (1-2ст) / (2-2а), 5- вертикальна осадка штампу, при з=1,2 а-р рад1уси штампу та зони контакту.
У випадку часткового зчеплення, коли а|<а0, система зводиться до ¡нтегрального р1вняння Фредгольма з гладким ядром. При повному зчепленш система мае точний розв'язок. В результат! початков! задач1 зведело вадповдено до 1АС та НСЛАР, для яких доведено фредгодьмов1сть оператор1в в деяких функшоналышх просторах. Одержано наближеш розв'язки систем у виглядi ряд1в по малих параметрах (в першому випадку ц=а,/а0, у другому - е=с1/Ь).
Ту г с! - твв!сь сфероУда, найближча до меж1 швпростору, або рад1ус кул1, Ь- вщстань вщ центру порожнини до плоско! межк Як остаточш наслщки отримано наступш наближеш формули : зв'язок прикладено! до штампу осьово1 сили Р з вертикальною осадкою штампу 8 (часткове зчеплення)
Р/ (2й)=25а/(1-о) {1+у1(|13+415/5) -у1Т1ь3}+0(ц6+е3ц3+е5) ' (повне зчеплення)
Р/ {2С)=2а6/ (1-2сг) 1пх[1-^(С1-е2а£;2е}е3]+0(е3) . напруження с2 пщ основою штампа на його ой (часткове зчеплення) -
стг/ (2й) =-6/ (аге(1-о) ] {1-1/3VI (ц3+14/25ц5) -а"1у1Тге31 +
+0 (цб+е3(д3+е5) (повне зчеплення)
аг/ (2в) =-8/ (па) х"1/2й)-11пх (1-^е3)+0(е5) асимптотика напружень поблизу меж1 штампу (повне зчеплення)
<тг(р,0)
(2С)*"
11рг (Р.0)
~5[2/(лах(а-р) )
кг
и0(р)+ 1Мр1]р-»а
•
]е3+0(£5 )
де ае=1/(2я) lnx; х=3-4о; Ж1+1ае2=Г (1+iae)/Г(1/2+iae) ; eos (аг ln[ (a-t)/(a+t) ] ) , j=0
Uj(t,= [sin (a ln [ (a-t) /(a+t)]),j=l.
При |i=0 часткове зчеплення переходить в гладкий контакт. Наведено пор1вняння коефшенлв в отриманих формулах у випадках гладкого контакту та зчеплення . В обох випадках наявш'сть порожнини розвантажуе зону контакту, однак ефект порожннни iiomítho вищий для гладкого штампу.
В § 8.2 розглядаються tí ж задачу шо й в § 8.1, але для трансверсального изотропного простору з порожншюю. Характерною особливостю для них, на вщмшу вщ ¡зотропного випадку, е залежшсть форми розв'язку не тшьки вщ геометрн тша, але и вщ його пружннх сгалих. Так, загальний розв'язок bcíx задач будуеться у виглял1 -+ 2 <х> ~М2) от "»+(5) (1) (1)
и=£ [ í As Ц) Vs д, о (р,23,ф) dX + X ansv3/n, о (^.Чз.ф) ], о п=1
~*±{2) ~*± (5)
Де V3,x,o » Vs,n,o -запроваджеш в 6 глав! осьосиметричт набори перемшень трансвсрсально ¡зотропних твпростору та, в залежносп вщ того, di бшьше, менше або доршнюе vsd2, витягнутого, стиснутого
сферо'щв або кул1. Тут v,2 2 - дшст Kopui ртняння (4)
При задовольнянш межових умов використано теореми додавання, ям отримаш в 6 главг, Як остаточний наслщок знайдено наближеш формули, аиалопчш наведеним в § 8.1 для ¡зотропного випадку. Наведено чисельш значення коефщента в цих формулах (матер1алом твпростору е nicKOBiiK, вщношення твосей порожнин di/d2=2 та a0/h=l)
(частковезчеплення)
Р/а0б=7.511+0.017 (м3+2ц5/5)-0.077г3]1010 H/Mj
a0az (0,0) /5=-0.96[1-0.006(Ц3+14ц5/25) -0.86S3] 1010 н/м2
(повне зчеплення)
Р/а5 =7.83(1-0.06е3] 1010Н/м2
3 10
асг2 (0, 0) /8=-1.32 [1-0.846 ] 10 н/м:
Розрахунки показали, то наявшсть порожнинй розвантажуе зону контакту, i ефект часткового зчеплення с íctotihim, коли p;t;tiyc зоии зчеплення близький до рашусу штампу. Отримаш результат добре узгоджуються з ¡зотропним випадком та випадком трансверсального
гпвпростору без порожнини. Обговорюеться форма загального розв'язку постав.: leHiix задач у випадкул/^Уз-
■ В §8.3 дослщжено задачу про розтяг кусково однородного простору з порожшшою га сгйив1снсю круговою щшиною, розташованою [на меж! рсзподшу нсоднорщностей, сталим нормалььим 5усиллям р, приклтдсгшм до Щ1ЛИНИ. Припускасться, шо npOCTÏp складаеться з двох зчеплених однорщнкх nißnpocTopiB з пружними сталими Ok/G^ (к= 1,2). Межа розподшу míctutl кругову грпшшу pmiyca а , а один з niBripocTopiB - порожшну в форм! витягнутого або стиснутого сфероша ( у граничному випадку - кул!). ?адача узагальшое в ¡дому проблему Моссаковського-Рибки для кусково одноршного про.тору та поставлена як задача спряжения для р1вняння Ламе на меж! розпод!лу неодиорщностей.
Задачу зведено до розв'язно'! системи, яка розв'язувалась наближено мегодом малого параметру. Внаслщок отримано формула для коефшентш штенсивносгп иапружень на краю трщини (ст2(р,0)\ jkxj ~ í-k2l ~ .
I V~l2jt(p-a)] * [ Шо(р) +1 J Uj (р)| р-»а+0
tTpz(n,0)j \ к?\ Ikil
km=œmu+ (x+i)G2e3/[3(©-i)52QA(Uß2)2l [gXffiml+ (-l)rag2 '
®3-m,il +-0(e5) ;aeig+'i«23=2pa4 r(2-s+iae) /T(l/2+iœ) (s-o,i> (costa In ( (t-a) /(t+a) ]), j =0
. sin (œln[ U-a) / (t+a)'] ), j=l a={2n)"1ln(8'2/6i) ; ôk=G3-k+X3-kGk;Xk=3-4ak;
Головш члени розкладань збтаються з вшомимк значениями коефвденпв ¡нтенсивности для кусково одноршного простору без иорожм. :и (М.К. Kassir, A.M. Bregman).
В § 8.4 розглянуто задачу про ллоску кшьиеву rpimmiy, центрально розташовану у пружшй кул! рад!уса R.-До тЫшини прнкладено стале нормальне навантаження р. 3 тршиною зв'язана стиснута сфероидальна система координат, фокальной диск я ко! сумшеннй Í3 зовшшшм paaiycoM Tpirumr.
Симетр!я задач! в!дносно плошини' тршшни дозволяе шукати Ti ро?в'язок у внгляд!
и= I 2[allsÚ3,2n+i,o(r.e,<p)+bnsUs,2n+l,o(4.^)]
s=>lti'0
осьосиметрнчн! набори розв'язюв р!вняння
Ламе для кул1 та стисиутого сфероТда, що наведен! в §§ 1.4, 1.6 ans, bns -iiculnoMi коефвдснтн. Задовольняння умов в площшм трщини приводить до париих суматориих р|'внянь, як! методом Mîhkobb Заедено до штеграпьного р1вня)шя Фредгольма. ГПсля задовольняння умов на поверхнгкул! отримано р^зв'язну IAC.
Для напружень в площнш тр!шшш i коефвдатв штенсииюст! на ïï меж! знайдено вираз через розиязки IAC.
Система розв'язувалась чисельного замшою штегралш к-вадратурнимн формулами Фшона (к1льк1сть узл!в - 11) та зрпанням алгебраТчиоТ частинч (макснмальне значения п= 5).
Про характер розподшу напружень всереднш га поза тр1шиною можна гадати по графжах, ЯК1 приведен! на рисунках 7, 8(правий рисунок - az при р<а, .Л1ВнйСТ2 " ПРИ Ре (c,R) ; а/с=0.5; сергям 1-5вщпоииають значения c/R= 0.1, 0.? 0.5, 0.7, 0.9). Значения KIH к! та к-> на внутршшй та зоншшжй межах трвдинн зведеш в таблицю, де надано також обчисленого незалежно коеф1адснта ¡нтенснвносп для кругово\" тр'шииш. П..зелено пор!вняння отриманих результат з вщомими для круговоТ га кЫьцево-! •rpiimm. у пружномз npocTopi. Розрахункн показали, iiu> напруження а, зростають 3i збшьшенням c/R та спадають 3i зб!льшенням а/с. Та к а ж 3aKoiioMipnicTb ¡сиуе для змшюваиня ki та fo-
Б § 8.5 розглядаються сташонари! термопружн! задач! для nisnpocTopy з Кульовою неоднор!дн!стю. В першому пункт! дослужено задачу про несиметричне утискування без тергя. кругового в план!
• -*• » -О- • -*- 1
pue. 7
рис. 8
штампу рад1уса а у пружний швпросттр з нагртгм абсолютно жорсткнм нерухомим кул!.овим включениям. иентр якого зб1гасться з вксю штампу та знахолиться на вше чп Ь в1а меха швпростору. Темпера турне поле в швпросгор1 вважасться сташонарннм 1 визначасться внаслиок розв'язку крайово! задач! дли р1вняння Ламе з однородною умовою на плоскш межч та сталою температурою Т=т0 на поверхш включения. Термопружш иерем!шсння задовольняготь умовам 2 -» V (--2о)~'1У(?и) = (2+-2о) /#-2о)атУТ;
Тр7. (р.О.ф) = тф2 (р,0,<р) =0;
V^ (р»0,(р) =6+урсо5ф# р<а; с-1 (р.О.Ф) =0, р>а; и (Я.виЧ») -О Я- рад1ус включения, б, у - вертикальна осадка та ку г повороту штампу. ат -косф!шснт лшшного розшпрення.
Розо'язкн крайових задач шукаються у внгляд! * -(2) <•" +! 4)
Т - 1в (X) их., О (р.г.ф) +1 ьпип,о (Г1,в,..ч» ; о г.-О
и=и0+и1; их=^ф; Дф=2аа7, де <Та= (1+а) ат/ (2 (1-е)), и0-загальннй розв'язок однориного р1вняння Ламе в твпоостор! з
включениям, и/., с, о - базиш гармошчш функцп для швпростору
1 куль Отрнм.по формули, то виражають Цт, у сферичних та цилшдричних координатах, зв'язаннх ¡з виповиннми межовимн
поверхнями. Цо будуеться за допомогою базисних розв'язюв р1вняння Ламе, 1'аведених в першш главь Внаслщок задовольняння межових умов задачу зведено до НСЛАР з фредгольмовим оператором в простор! 1 2 при умов1 Я/Ь< 1.
Система розв'йзувалась чнссльно методом редукин при максимальному п=20. Отримаш розв'язкн викорнстовувались для обчислення деяких термопружних характеристик задачь Значения коефф!шснт!р в формулах, що зв'язують перемодення 5 з силою Р, а також кут повороту штампу у з прикладеним „о штампу сломентом Р/ (20 =5аК.+атТа2Н2; Рр0/(2с;-уа3Е3
зведеш в таблиц!. Напруження пщ иимом та на ядр! зображен! у вигля.п
2 0 12т
аа7 (р,<р) /Р=ог+созфро/асг+2£е атТаг/'Р;
о 1-2 т
аНегг (0;,ч>) /Р=ог+со2(р ро/аог-нгСаатТСг/Р;
Графши напружень та таблиш, ям мктять результат знал. |у з61жност1 методу редукцн, наведено в додатках.
Незалежно одержано наближеного розв'зку сисями у вигляд1 рядш по малому параметру Е=К/Ь. Наведемо деякз результата^ ц=а/Ь )
Я1 = 2/(1-ст) (1 + 12С (10-12ст) "V1! (2-2ст)агседц+цЛ;+ц2) ] 2 ) - -
+0(е2 ) ;К2=4 (1+о) (1 -а) ЛЦ~гЕ агссдц+0(е2 ) ; =4/[3(1-а)] ■ (1+18ец (10~12о) Ля"* ( (2-2с) (ц-агсг^р)р' 2 -ц/(!+ц2 ) ] 2 } + О{сг);о20 (0) =- (гг (1-ст) ](1 + 12е (10-12ст) V [мД1+ц 2) + (2-2ст) • агссдц] [ (2-2о) (цагсгдц-И) +2рагссдр • р 2 /(1+ц 2 ) +1 ] } +0 (е 2 ); СТт2(0)=-2л"1 (1+о) ; 1-о) Лц"гЕ( (Ц2-1) аг«дц+ц] +0 (с2 )
У другому пункт! розв'язано задачу (6) у внпадку гладкого контакту ■ меж-! твпростору з нескшченним нерухомим плоским штампом. Методом малого параметру для неУ отримано наступного результату ( Е=к/Ь >
(0,0)/ ;23) =-(1+о) (1-ст)ЛатТ(е-гЕ2 /2 + 9е3/4) -0(е4)
В лощткмх мютяться таблиш напружень коефннотв ¡нтенсивност! напружень, граф1кн напружень для певннх ро.в'язаннх в дисертаиышй робот! задач.
ОСНОВШ РЕЗУЛЬТАТ» ТА ВИСИОВКИ
Пере.п'чнмо оснппт результат» лисергашйноУ роботн:
1. Розпннуто узагальнсний метод Фур'с (УМФ) р гт'язувэння осн<"ших 1а мшаннх пр.>сторових крановпх задач теорн пружноеп для ¡зотропних та трансверсально ¡зотропних тп, межа яких складасться з декьчькох координатних поперхонь, що не перетинаготься, декартовой цнлшдричноУ, сферичь Д читягнутоУ та стиснуто! сфероУдяльних. парабол1чно1 систем координат.
2. В единШ форм1 у Ш!гляд1 базнсннх векторннх функшй поб^дован точш розв'язки ршияния Ламе та системи ршнянь ртноваги трансьсрсально Ьотрогшх Т1л для швиростору. иилшдра, кул1, витягнутого та стисиуто1-» сфероУд1в, однополого та двополого пперболо'шв. параболоУдз та конуса, шо забезпечило найбшьш простнй та ефективний шлях реалпашТ > МФ.
3. Вперше надаио обгрунтування звнчного методу Фур е в ря,й каиошчних однозв'язних областей. Дчя пього уведено поняття базиснсТ системи розв'язкт в канон'чшй однозв'язнш обласп та доведено баз1!сшст1> вс|'х побудованих розв'язкш (кр!м зовжшшх ролз'язкг для однополого гшербодоУда); вперше одержано ртномфш шинки знизу модул ¡п визначникчв розв'язннх систем першо'У та другоУ крайовнх задач для р1цпяиня Ламе у 10пншиюст1 та ннутр1Шност1 шшмдра, нитчгнутвго та
стиснутого сфероЩв, параболоТда, першоТ крайовоТ задач! для внутршност! однополого пперболоТда, зовшшносп та внутринност! двополого пперболоТда 1 кочуса; на основ! отриманнх оц'шок установлено клаен розв'язност1 основних крайових задач в однозв'язних каношчних областях методом Фур'е, атакож надано обгрунтування УМФ.
4. Отримано иовнй клас штегралышх зсбражень регулярних- на нескшченост1 базисних гармошчинх функшй в основних каношчних областях у внглад штеграла по дшсшй ос) з ■ ядрами, залежними вщ спешального аргументу. На його основ-! запропоновано вопий метод одер ання теорем додавшим базисних гармо1ичннх функшй, за допомогою якого знайдено ряд иозих теорем додавання, котр! не вдавалося отримати ¡ншнми тдходамн.
5. Запропоновано метод отримання теорем додавання базисних розв'язив р!вняння Ламе та ртнянь ршноваги трансверсально ¡зотропннх тш. На Гюго -основ! знайдено велик.,' кшьмсть формул у випадках ешвнапрямлених ¡з стлыиш початком, довшыго зсунутнх та повернутих одна ш'дносно одноТ систем координат.
6. УМФ знайдено наближс'и ашинтичш та чиселын розв'язки ряду основних та М1шаних просторових крайових задач теор!1 пружнс т1 . та термопружносп для деяких ¡зотропннх I трансверсально ¡зотропннх ¿аношчних многозв'язних тш. Дано аналп напружего-деформованого стану поблизу рЬномаштннх концентратор!в напружень з виявленням Тх взаемного ьшшву один на одного в залежност1 шд геометрп облает!, пружних пдастивостей матер]алу та прнкладеного навалтаження.
7. Досл)Джено границ! сфективно! чиселыюТ реалЬаци УМФ при взаемному наблпженш меж у миогозв'язному т1ли
На основ! всього комплексу дослщжень, проведених в дисертаци, можна зробити наступи! писновк» :
1. УМФ, який е природним узагальненням методу Фур'е, являе собою ефективний зас1б розв'язания вс!х клаглв просторових крайових задач для каношчних многозв'язних тм при довшыюму розташуванш координатних поверхонь, що не перетинаклься, '
2. Характерною особливостю реатпзаш'Г методу е експоненшальне спадания матричних коефндеипв розв'язних систем. Це дозволяе отримуватн зручш наблнжеш аналгшчт розв'язки методом малого параметру вах задач зазкачсного класу, а також Тх чиселып розв'язки методом редукии при вшносно невеликих розм1рах зрпаних систем.
3. Розрахунки виявили достатню точшсть ргзультатт нав'ггь у, випадках велЬми блмзького взаемного розташування межових поверхонь многозв'язних областей.
4. Метод мае -хорошу сум|стсть з ¡ншимн вщомими методами розв'язания крайових задач теорп пружност!. 3 другого боку, вш с
ушверсалышм i може застосовуватися в шших областях математично!
фпики.
Результат» диссрташшгоТ роботн вЬоопажсяо п таких иуолпсацшх:
1. Николаев А.Г. Круговой штамп на трансверсально изотропном полупространстве со сфероидальной полостью при наличии сцепления // Прикладная механика - 1994.- Т. 30, № 8,- С. 48-53.
2. Николаев О.Г. Осесиметрична контактна задача про кругопий штамп, зчепленин з шопростором, маючим порожнину // Допои. АИ УкраТни. Матем., природозн., техн. науки,-1993,- № 9,- С. 70-74.
3. Николаев А.Г. Кусочно-однородное пространство со сфероидальной полостью и соосной круговой щелью, расположенной на границе раздела неоднородностен // Докл. АН Украины. Матем., естеством., техн. науки.-2993.->7,-С. 56-60.
4. Николаев А.Г. О точных решениях уравнения Ламе для однополостного и двуполостного гиперболоидов и параболоида вращения И Докл. АН УССР. Сер. А.'- 1992.- № 7,- С. 58-61.
5. Николаев А.Г. Осесимметрнчиая контактам задача о круговом штампе, "частично сцепленном с полупространством, ослабленном полостью // Докл. АН УССР. Сер. А.- ¡992.- № 6,- С. 50-56.
6. Николаев А.Г. Построение точных базисных решений уравнения Ламе для . двуполостного и однополостного гиперболоидов вращения // Методы математической физики в краевых задачах.Сб. научн. тр.- ХА11, Харьков,-1991.-С. 47-50. ^ ч
7. Николасп А.Г. Формулы, сбывающие гармонические функции для однополостного гиперболоида вращения, цилиндра, сферы, вытянутого и сжатого сфероидов // Методы математической физики и их приложения. Сб. научн. тр.- ХАИ, Харьков,- 1988,- С. 9-13.
8. Николаев А.Г. Формулы переразложеиия секторных решений уравнения Ламе в сферической и сфероидальной системах координат //Математические методы анализа динамических систем. Сб. научн. тр,-ХАИ, Харьков,- 1984,-Вып. 8.-С. 100-104.
9. Николаев А.Г. Первая основная осесимметрнчиая задача теории упругости для пространства со сферической. и сфероидальной полостями //Математические методы анализа динамических систем. Сб. научи, тр.-ХАИ, Харьков.- 1983,- Вып. 7.- С. 77-86.
Ю.Николаев А.Г., Проценко B.C. Плоская кольецзая трешнна я упругом шаре //Смешанные задачи механики деформируемых сред- Со. научн. трудов Днепропетровского госунияерситета,- Изд. ДГУ, 1995.-С. 124-129.
11. Николаев -А.Г., Проценко B.C. Первая и вторая основные осесимметричные задачи теории упругости для дзуспязных областей, ограниченных поверхностями сферы и сфероида 1J Прикладная математика и механика.- 1990.-Т. 54, вып. 1.- С. 65-74.
12.Проценко B.C., Николаев Л.Г. Решение пространственных задач теории упру ^сти с помощью формул перера-тожения II Прикладная мсханика,-1986.-Т.22,Х°7.-С. 83-89.
И.Проценко B.C., Николаев А.Г. О редукции одной смгшгнной задачи теории потенциала //Дифференциальные уравнения.- 1984,-Т. 20, №6.-С. 1Э41-1049.
И.Проценко B.C., Николаев А.Г. Формулы переразложения для решений уравнения Лапласа в сферических и вытягутых сфероидальных координатах // Докл. АН УССР. Сер. А.- 1983,- № 12- С. 10-13.
15. Проценко B.C.,. Николаев А.Г. Формулы переразложения для решений уравнения Лапласу в цилиндрических и вытянутых сфероидальных координатах // Докл> АН УССР. Сер. А.- 1983.- № 7.- С. 19-21.
16.Проценко В-.С., Николаев А.Г. Электростатическое поле незамкнутой сферической оболочки, расположенной между двумя параллельными проводящими плоскостями //Журнал технической физикч.- 1983.-Т.53, № 3.- С. 423-427.
17. Проценко B.C., Николаев А.Г. Кручение упругого слоя со сферической полостью или включением II Коаевые задачи и автоматизация их решений. Сб. научн. тр.- ХАИ, Харьков,- 1985,- С. 138-143.
1J. Проченко B.C., Николаев А.Г. Формулы переразложения, связывающие основные решения уравнения Лапласа для двуполостного гиперболоида , полупространства и сферы // Вычислительная математика и кибернетика. Сб. гаучн. тр.- ХАИ, Харьков,- 1984.- Вып. 1.-С. 72-77.
19. Проценко B.C., Николаев А.Г. Первая основная осесимметричная задача теорич упругости для опоя со сфероидальной полостью //Математические методы анализа динамических систем. Сб. научн. тр.- ХАИ, Харьков,-1983.-Вып. 7,- С. 67-76..
20.Проценко B.C., Николаев А.Г. Пространственная задача Кирша //Математические,методы анализа динамических систем. Сб. научн. тр.-ХАИ, Харьков.- 1932.- Вып. 6.- С. 3-10.
21.Никол зев А.Г. Теоремы сложения решений уравнения Ламе / Харьков, авиац.ин-т,- Харьков, 199?.- 109 е.- Деп. ь ГНТБ Украины 21.06.93, № 117Ь-Ук93.
22.Николаев А.Г. Интегр.льные .федставления гармонических функций и их применение к теоремам сложения / Харьков, авиац.ин-т,- Харьков, 1996,11 е.- Деп. в ГНТБ Украины 10.07.96, № 1569-Ук96.
23.Николаев А Г. Теоремы сложения перемещений трансверсально изотропных канонических тел / Харьков, авиац.ин-т.- Харьков, 1996.- 52 е.- Дгл. в ГНТБ Украины 10.07.96, № 1568-Ук96. р
24.1 ¡нкодасв А.Г. Теоремы сложения решений уравнения Ламе в криволинейных системах координат, повернутых друг относительно
друга / Харьков, авиац.ин-т.- Харьков, 1996,- 37 е.- Дегг. в ГНТБ Украины 10.07.96, V» 1570-Ук96.
25. Николаев А.Г. О -метод оценки определителей разрешающих систем основных краевых задач теории упругости для некоторых канонических областей / Харьков, авиац.ин-т.- Харьков, 1996 - If е.- Деп. в ГНТБ Украины2j.\0.96, № 1976-Ук96.
26. Николаев А.Г. Классы разрешимости методом Фурье основных краевь.л задач теории упругости для некоторых пространственных канонических областей / Харьков, авиац.ин-т.- Харьков, 1996.- 16 е.- Деп. в ГНТБ Украины 23.10.96, № 1977-Ук96.*
27. Николаев А.Г. Трансверсально изотропное полупространство с полостью под действием частично сцепленного штампа / Харьков, авиац.ич-т.-Харьков, 1993.- 17с.-Деп.вГНТБУкраины21.06.93,№ 1177-Ук93.
28. Николаев А.Г., Томилова Е.П. Некоторые стационарные осесимметричиые задачи термоупругости для полупространства со сферическом полостью /Харьков, авиац.ин-т.- Харьков 1988.- 17 с.-
Деп. d ВИНИТИ 21.09.88, №7062-088.
29. Головченко А.В.. Кощавец П.Т., Николаег А.Г., Процейко B.C. Некоторые пространственные основные, смешанные и собственно смешанные задачи теории упругости для многосвязг ix тел / Hit той Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике,- Ташкент, 1986.-С.203.
30 Проценко B.C., Николаев А.Г., Томилова Е.П. Некоторые основные и . смешанные пространственные задачи теории упругости и термоупругости для кусочно-однородных тел h Механика неоднородных структур. Тезисы докладов 2 Геесоюзьой конференции.- Львов. T. 2.-1987.-С.239.
31. Проценко B.C., Николаев А.Г., Томилова Е.П. О некоторых новь- : результатах в теории гармонических функций и их приложения к задачам механики неоднородных сред И Механика неоднородные структур. Те исы докладов.- Киев: На"к.думка, 1983.- С.186.-
32. Соловьев А.И. , Николаев А.Г. Современное состояние и перспективы развития метода Фурье решения краевых задач теории упругости // 2 Всесоюзная конференция по теории упругости. Тезисы докладов.-Тбилиси, 1984,-С. 261-262.
33. Проценко B.C., Николаев А.Г. Осесимметричиые задачи о действии кольцевого штампа на упругий слой со сфероидально1" полостью h Проблемы кок зктного взаимодействия, трения и ir.noca: Тезнсы-докладов выездной сессии Межведомственного научного совета по триб.олоГИн при АН СССР, ГКНТ СССР и Союзе НИО СССР,- Ростов-на-Дону, 19У0.-С. 10!.
Ыикояаев Алексей Георгиевич. Обобщенный метод Фурье в пространственных задачах теории упругости для канонических многосвяэныхтел.
Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.02.04 - Механика деформированного твердого гела.
Днепропетровский государственный университет. Украина, Днепропетровск,
. 1997.
Защищаются 33 научные работы, я которых развит математический аппарат обобщенного метопа Фурье, осонованный на теоремах -сложения базисных решений уравнений Ламе и уравнений равновесия трансверсально изотропных тел для полупространства, цилиндра, вытянутого и сжатого сфероидов, однополостного и двуполостного гиперболоидов, параболоида и конуса.
Проведено всестороннее обоснование метода Фурье для канонических односиязных и многосвязных областей. Дано приложение развитого метода к решению ряда основных и смешанных задач теории упругости и термоупругости для изотропных и трансверсалшо изотропных канонических многосвязных тел.
Ключевые слова: обобщенный метод Фурье, теоремы сложения, базисные векторные функции, интегральные представления, классы разрешимости, многосвязное каноническое тело, краевые задачи теории упругости, иапряженно-деформированкое состояние.
Nikolacv Alexei Cieorgiyevich. The generalized Furier method in space problems of the elasticity theory- for canonical multiply connected bodies.
Dissertation for a learned Degree of the Doctor of Physical and Mathematical Sciences for speciality 01.02.04 - Mechanics ofdefonned solid body.
Dnepropetrovsk State University. Ukraine. Dnepropetrovsk, ¡997.
33 scientific papers arc being defended, which papers present the mathematics for the generalized Furier method based on the addition theorems of basic solutions for the Lame's equation and equilibrium equations for transversal isotropic bodies for half-space, cylinder, ball, prolate and oblate spheroids, one- and two sheet hyperboloids, paraboloid and cone.
A comprehensive proof.has been given for the i urier method for canonical single and multiply connected bodies. An application has been supplied for the developed methods to be used to solve a number of basic and mixed boundary problems, of the elasticity theoiy and thermal elasticity for isotropic and transversally isotropic canonical multiply connected bodies.
Key words: generalized Furier method, addition theorems, basic vector functions, integral representations, solution classes, multiply connected canonical body, boundary problems of elasticity theory, strained deformation state.
'Гип ХАИ Закаa 16 тир ICO
