Обращение Мебиуса и перечислительные задачи теории конечных p-групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. Вспомогательные результаты.

§ 1. Гауссовы коэффициенты.

§ 2. Сведения из теории групп.

§ 3. Частично упорядоченные множества и их функции Мебиуса.

ГЛАВА П.Обращение Мебиуса на группах.

§ 1. Вычисление функции Мебиуса на нильпотентных группах.

§ 2. О функции Мебиуса решетки подгрупп конечной группы.

ГЛАВА Ш.Перечислптельные задачи теории групп.

§ 1. Перечисление изоордных подгрупп.

§ 2. Обобщение принципа перечисления Холла.

§3.06 одном соотношении между числами изоордных элементарных абелевых подгрупп /^-группы.

§ 4. Перечисление систем образующих.

§5.0 последовательностях образующих конечной /^-группы.

§ 6. Обобщение понятия экспоненты и соотношения между числами циклических подгрупп.

§ 7. Перечисление решений уравнений хр =1.

§ 8. Фундаментальные перечислительные теоремы и их аналоги.

§ 9. Еще одно обобщение принципа перечисления Холла и его применения.

§ 10. Соотношения между параметрами Холла.

Метод включения - исключения [40] и классическое обращение Мебиуса [13] лежат в основе теоретико-групповых исследований Ф. Холла [82] и Вайснера [102], получивших обращение Мебиуса на частично упорядоченных множествах. Общая теория функций Мебиуса и обращения Мебиуса была развита Рота; статья [94] положила начало серии работ под названием "Об основах комбинаторной теории". Основная идея этих работ состоит в том, что обращение Мебиуса для частично упорядоченных множеств представляет полезное средство перечисления объектов, так или иначе связанных с этими множествами.

Цель настоящей работы - претворить эту идею применительно к конечным р группам, а в некоторых случаях - и к нильпотентным группам.

Теорема Силова о р-подгруппах конечной группы является наиболее важной среди теорем, выводящих структурные свойства групп из арифметических свойств их порядков. Различным обобщениям и усилениям теоремы Силова много работ посвятили Фробениус, Миллер, Шмидт, Кулаков, Ф.Холл, Дюбюк, Беркович, Тазава, Хупперт, Уолл и др. К настоящему времени накопился ряд перечислительных задач теории групп, но отсутствует систематическая техника, пригодная для их решения.

В общем случае любой конечной /^-группы решетка подгрупп имеет весьма сложное строение, не поддающееся точному описанию. С этим фактом связаны трудности, возникающие при решении перечислительных задач теории групп вообще.

В данной работе применяется новый способ перечисления подгрупп и некоторых других объектов в конечных нильпотентных группах, основанный на том, что удается вычислить значение функции Мебиуса на каждом интервале решетки подгрупп конечных р-групп.

Па защиту выносятся следующие основные результаты, полученные в диссертации:

1. Решение проблемы обращения Мебиуса на решетке подгрупп конечной нильпотентной группы [68 - 70, 73 - 76].

2. Решение проблемы перечисления изоордных подгрупп в конечной р-группе [54, 76].

3. Обобщения принципа перечисления Холла [53, 59, 76].

4. Обобщение понятия экспоненты и соотношения между числами циклических подгрупп конечной /? группы [69, 76].

5. Перечисление «-систем образующих, «-последовательностей обрапп зующих, корней уравнений х' - 1 в конечной /?-группе [60, 69, 76].

6. Доказательство аналогов классических перечислительных теорем теории конечныхр-групп [56, 58, 69].

7. Свойства параметров Холла перечислимых множеств в конечной р-группе [52, 59, 63, 69].

Перейдем теперь к более детальному изложению содержания диссертации, состоящей из трех взаимосвязанных глав.

Первая глава носит вспомогательный характер и содержит минимальный материал, на который опирается дальнейшее изложение. Многочлены Гаусса (т,п)х и гауссовы коэффициенты (т,п)р, являющиеся их значениями при х=р, где р простое число, определяются в §1 (см. [15]) и пронизывают работу в целом. Благодаря соотношению (1.1.3), которым связаны гауссовы коэффициенты [81], устанавливается явный вид функции Мебиуса [69]. Более общее соотношение (1.1.6), [53, 68] также находит ряд применений, в том числе и теоретико-числовых [74]. Часто используются и теоремы 1.2.1, 1.2.2: теоретикогрупповой смысл гауссовых коэффициентов, понятия базиса и ранга, рассматриваемые в них, находят применения при перечислении подгрупп нильпотент

§2), "превраных групп ( §1, гл. III). "Предельный переход" Ит(т,п) 1 щающий п подпространства векторного /^-пространства над простым полем 2р в и подмножества ти-множества [14], является полезным подспорьем, помогающим предсказывать новые применения гауссовых коэффициентов, сходные с известными применениями биномиальных коэффициентов. Благодаря ему становится естественным рассматривать обращение Мебиуса на подмножествах конечных множеств как частный случай обращения Мебиуса на решетках подгрупп конечных р групп [73]. Роль подгруппы Фраттини определяется тем, что явное значение функции Мебиуса представляется в терминах майорантных подгрупп, т.е. подгрупп, содержащих подгруппу Фраттини, и в силу этого она в той или иной форме присутствует во всех основных формулах перечисления.

Замечание. Многочлены Гаусса введены Гауссом в работе [17]. Разнообразные применения гауссовых коэффициентов изложены в [54-60, 62-74, 81, 101].Тождество (1.1.6) имеется в работе Ф. Холла [81] в несколько иной форме; оно является частным случаем более общего соотношения из работы автора [57], полученного другим путем.

Во второй главе нами получено обращение Мебиуса на решетке подгрупп конечной нильпотентной группы, содержащее, как частные случаи, классическое обращение Мебиуса на отрезке [1 ,л] натурального ряда, упорядоченном отношением делимости, и обращение Мебиуса на решетке подмножеств конечного множества. Кроме того, доказываем несколько свойств функции Мебиуса решетки подгрупп произвольной конечной группы; эти результаты опубликованы в работах автора [68 , 69 , 72-74].

Перейдем к краткому обзору основных результатов второй главы.

§ 1. Пусть Я - поле вещественных чисел (или любое поле характеристики нуль), Ь=Ь(С) - решетка подгрупп фиксированной конечной группы С и А{Ь) - алгебра инцидентности решетки Ь над полем Л. Согласно одному из определений функции Мебиуса алгебры А(Ь), для любых подгрупп X и У группы О имеют место соотношения [1,40,45]: м(*,у)=

0 при Х£У

1 при X — У (1)

2 £>(2,7) при Х<У

Х<2<У Х<Ъ<Г

Исчисление инверсий на решетке Ь группы С возникает благодаря следующему результату, применяемому к решению некоторых перечислительных задач: если задана функция / Ь ->Я и £ является суммирующей функцией для /I то

7) УХеЬ<=>/(х) = VXeL. (2)

7<Х г<х

Обращение Мебиуса работает лишь в том случае, когда значения ¡и (УуХ) являются известными элементами поля Я. Для вычисления функции Мебиуса мы имеем следующий важный результат:

Теорема 2.1.1. Функция Мебиуса решетки подгрупп любой конечной р-группы G вычисляется следующим образом: для всякой пары подгрупп X, У группы G п\

Дат,у)= 1 1) Р > если Xесть майорантная подгруппа индексар" в У, (3) 0 в противном случае.

Пусть С - конечная р группа. Пусть Х<(] и порядок факторгруппы X 1Ф{Х) /^-группы X по ее подгруппе Фраттини Ф(Х) равен рс,(Х\ так что с1(Х) есть ранг X согласно теореме Бернсайда о базисе. Пусть Мп пробегает множество Жп(Х) всех майорантных подгрупп индекса рп в X. Тогда имеем формулы обращения, которые находят применение к решению ряда перечислительных задач: £(*)= ЕЖ) УХ <в <*/(х)=%{-ПрМ Е^Ш (4) п=0

Существуют перечислительные задачи, для которых суммирующая функция 5" постоянна на множестве Ж„(Х) при каждом фиксированном п: 8{Мп)=сп, /7=0,., ¿/(Х).При решении таких задач обращение Мебиуса применяем в форме хЬ ч М

VX<G. (5)

Г<Х и=О

Далее теорему 2.1.1 мы переносим на конечные нильпотентные группы, в результате чего получаем способ решения перечислительных задач для таких групп [73]:

Пусть С - конечная нильпотентная группа порядка р^1 .рф], .,

Рк различные простые числа) и £ - суммирующая функция для функции Ь^Я на решетке подгрупп Ь группы С со значениями в поле Я. Тогда

ЗД=ЕДГ) = (6)

Г<Х У<Х где функция Мебиуса решетки Ь вычисляется следующим образом: к

1)"1р\ 2 ', если У - майорантная подгруппа индекса р"1 . ■ • р\к в X, 0 в остальных случаях.

7)

§ 2. Проблема вычисления функции Мебиуса на решетке подгрупп любой конечной группы пока остается нерешенной, и те общие свойства р., которые рассматриваются в §2, представляют определенную информацию о природе функции р.

Пусть (/-конечная группа, X <У < (}, {М1,.,М(}~ множество максимальных подгрупп группы У и ах - множество индексов тех из них, которые содержат X: ах = \к\х<Мк<^\ . Если ¡3 с ах и (3 = \кх,.,къ\ , то пусть

Мр = Мк, , а при = 0 пусть Мф = У. Тогда имеем следующее определек,е/3 ние функции Мебиуса: для любых подгрупп X., 7 конечной группы С

Р&ах,Мр-X

О, если X </У.

Теорема 2.2.1. Пусть С - конечная нильпотентная группа и Н - ее майорантная подгруппа индекса р\х,. р"к. Тогда

ЕН/;=П(-1 Тр) сая ,Мр=Н ;=1

В частности, Н является пересечением некоторых максимальных подгрупп группы С.

Теорема 2.2.2. Пусть С - конечная группа и Н - любая подгруппа С. Тогда имеет место равенство н<х<а с- [}м н<м<-в

8) где М <-Х означает, что М является максимальной подгруппой в С. Если О нециклическая и Н<Ф(С), то ^ /и{Х,0)Х\ = 0. н<х<с

Пусть в (8) Н есть единичная подгруппа Е. Тогда с- {}м м<-а ]Г ¿и(Х,С)ХI. При помощи обращения Мебиуса из этого соотношения пох<в лучается следующее обобщение формулы Гаусса О = ^(р{с1) из теории чисел: с1 О

И=1 х<а х- и м<-х\

Заметим, что когда Н пробегает подгруппы группы С, (8) представляет систему уравнений относительно неизвестных значений функции //, дополнительную к системе уравнений (1), посредством которой определяется сама функция Мебиуса как элемент алгебры инцидентности, обратный к ее дзета-функции.

Среди числовых функций в теории чисел часто встречается классическая функция Мебиуса, определяемая следующим образом : 1, если п = 1, л{п)

-1)^, если п есть произведение к различных простых чисел, (9)

О, если п делится на квадрат простого числа.

Систематическое изучение этой функции и связанного с нею классического обращения Мебиуса

S{n)=Yf{d) VneN о /(«)= 1>(и/й0/(й0 е N (10) din din началось с работы А. Мебиуса [93].

Для любого натурального числа п мы определяем отрезок [1 ,т], m-m(rí), натурального ряда и конечную группу G-G(m), такие, что решетка подгрупп группы G изоморфна отрезку [1 ,т], упорядоченному отношением делимости. Соответствующий изоморфизм позволяет установить, что классическое обращение Мебиуса в известном смысле содержится в обращении Мебиуса на решетке подгрупп конечной нильпотентной группы [73].

Аналогичный результат показывает [73], что обращение Мебиуса на решетке подмножеств конечного множества включается в обращение Мебиуса на подгруппах конечных /» групп. Здесь играет роль упомянутый выше "предельный переход" и подсказанная им аналогия между соотношениями т т—п т~"рУ 2 \т,т-п) = О п= О и т

ХН) п=0 т-п

Г т ^

О.

Конец второй главы посвящен принципу включения-исключения и его теоретико-групповым применениям [51].

Теорема 2.2.3. Пусть А - конечное множество и Аь 1=1, .,/?- система его непустых подмножеств; пусть щ - число элементов из А, не входящих ни в одно А;, и (О] - число тех элементов из А, каждый из которых содержится точно в у подмножествах А„ ] Е1 I, .,77/. Тогда на Я выполняется тождество п

X X ЛЛ-ПЛ„ т=О 1<11<.<1т<п п-т г\ V\т V х Ц--*.) - 2^С0]Х

7=0

П) где первое слагаемое левой части (соответствующее т=0) принято равным

А\/.

Введем обозначения:

Ос

А\, о

X ЛЛ-П.Ь т л-ц

Щ<.<1т<п т =

Покрытием множества А называется (см., например, [33]) всякое семейство его собственных подмножеств, теоретико-множественное объединение которых совпадает с А. Если любые V элементов покрытия содержатся в объединении остальных элементов, то покрытие мы называем у-приводимым. Из тождества (11) выводим следующие предложения [27]:

Теорема 2.2.4. Пусть С - конечная нециклическая группа и М\, .,Мп - все ее максимальные подгруппы. Если порядок пересечения любых п-1 среди этих подгрупп делится на натуральное число с, то на с делится и \Ф(0)\.

Теорема 2.2.5. Пусть Р=<1л1,.,Ап[- есть у-приеодимое покрытие множества А. Тогда выполняются равенства: п к=1 к=О v 17

Теорема 2.2.6. Пусть у-приводимое покрытие Р конечной группы С, состоящее из п собственных подгрупп, содержит полный класс сопряженных подгрупп в О. Тогда С обладает инвариантной подгруппой порядка, кратного числу п-у-1 {1)П-у-1 £ (-1) к=О П к-\Л

V 17 у

Если, кроме того, порядок пересечения любых п - у - 1 подгрупп из покрытия Р делится на фиксированное натуральное число г, то г делит порядок стп пересечения всех подгрупп, составляющих покрытие Р, и в С существует инвариантная подгруппа порядка, делящегося на г ; если при этом у+1 =р - простое число, такое, что 2р > п+1, и р делит сгпр, то С обладает инвариантной подгруппой порядка, кратного р.

Замечание. Содержание второй главы изложено в работах автора [27, 68, 69, 71-74] и в тезисах докладов Международной конференции по алгебре [73].

Перейдем к третьей главе, посвященной перечислительным задачам, отбор которых определяется степенью важности решения самих задач для теории групп и прикладными теоретико-групповыми аспектами обращения Мебиуса.

Здесь исследование ведется "вокруг" классических теорем Силова (1872 г.) и Кулакова (1933 г.).

§1. Основной результат главы представляет [54]

Теорема 3.1.1. В р группе О порядка рт число ап подгрупп порядка рт~п (п = 1 ,.,т) определяется по формуле И

1 (¡„-к где суммирование ведется по рангам всех подгрупп индекса рп'к в в.

Если С - нильпотентная группа порядка р'"[. р™к , то формула для числа подгрупп порядка р™1 П{ ■■■Р™к "к 1=1,к) группы О теперь непосредственно вытекает из (12): это число равно & х.„х(7 , где каждый

71 /7/; сомножитель вычисляется согласно (12) в соответствующей силовской р1--подгруппе.

§2. В дальнейшем (за некоторыми исключениями, понятными из контекста) буква С будет обозначать конечную /?-группу порядка рт, ранга с1=(1о=с1(0) и экспоненты //=expG.

Пусть Т - некоторое множество подмножеств группы С. Для Х<(; пусть Б{Х) есть число содержащихся в подгруппе X элементов из Т, и ДX) -число элементов из Г, порождающих X. Тогда получаем формулу для определения

АО): сI I п= О Мп^Жп

ЯО)= 1НУУ2; Е5(мл), (13) где }¥п - множество майорантных подгрупп Мп индекса р" в О. Если ни один из элементов множества Т не является системой образующих группы С, то из (13) получается принцип перечисления Холла [81 ], И

-1 )"р<2> 15(МИ) = 0, (14) п= О М„<3¥„ с использованием которого доказано много перечислительных теорем, как старых, так и новых.

§3. Из формулы (12) следует соотношение М

-1)>1Ч(С) = о (15) л=0 между числами еп {О) элементарных абелевых подгрупп порядка рп /»-группы С.

Используя (15), доказываем следующее предложение:

Теорема 3.3.2. Пусть Ап - любое непустое множество подгрупп порядка р" р группы О порядка рт (1 <п <т-1), [П/,-1 - число принадлежащих множеству Ап майорантных подгрупп фиксированной подгруппы Н^ порядка рк в (}. Тогда

1 нп+, где суммирование проводится по всем подгруппам Н/7+/ порядка р"+! группы С.

§4. Любое подмножество мощности п группы С , порождающее С, называем п - системой образующих С.

Теорема 3.4.1. Число /„(О) п-систем образующих р группы в порядка рт и ранга (Л (1 <п < рт) определяется формулой к с1 v П у

При п=ё отсюда получается известная формула Ф. Холла для числа базисов [81].

Теорема 3.4.2. Число всех систем образующих р группы в порядка рт и ранга с1 равно

§5. п-последователъностъю образующих О мы называем любую упорядоченную систему не обязательно различных элементов а\, . ап группы С, порождающих (в совокупности) группу в [69].

Теорема 3.5.1. Пусть пеЫ и яп{С)- число п-последовательностей образующих р группы О порядка рт и ранга Тогда к=О

Отсюда следует своеобразное "предельное" представление порядка группы С [67], показывает, что вероятность оп(С) того, что случайно выбранная п -последовательность элементов группы С окажется п-последователъностъю образующих С, не зависит от порядка С и является функцией на множестве классов конечных р-групп одинаковых рангов при каждом фиксированном п, причем Нт ип (С) = 1.

17)

Другое следствие из (17), ип (С) = (1 — рк п), к= О

Теорема 3.5.4. Пусть п > d. Тогда либо существует система различных представителей п-последователъностей образующих конечной р- группы G ранга d и выполняется неравенство

G\<un(G)(l~n)~ ,где оп определено выше, либо имеется к п-последователъностей образующих G, таких, что в совокупности всех элементов указанных п-последователъностей число различных элементов меньше к.

§6. Обобщим понятие экспоненты -группы. Назовем п - й жспонентой

Г ~ еп п группы G максимальный порядок р в системе порядков подгрупп G, имеющих ранг п ([<п <log |G|); при этом рв{ = ре есть обычная экспонента группы G.

Пусть <Ту - число подгрупп порядка р и ранга j р- группы G. Известно и нередко используется равенство

И = е±<р(рк)? Ar 1» где <Р~ функция Эйлера. к=0

Естественное обобщение этой формулы представляет

Теорема 3.6.1. Пусть п - любое натуральное число и G - р-группа (порядка рт ). Тогда выполняется тождество (18)

Ы у=0 0 )

Применение тождества

П [х-р)= i(-iiUJ)p Л v2y j-t XJ й1!

0 1=0 к этому соотношению приводит, в свою очередь, к следующей системе соотношений между числами <Ту [64]:

У т+р-у

I I (-l)V2WKl+/7-r,в=0, у -\,.,т,

3=0 а=р а также к алгебраическому тождеству на Я относительно у, г т . к-1 / \ хт-ут=1:МгУ (19) к=1 /=0

Тождество (19) находит применения в теории чисел [74]. Так, например, замечаем, что гауссовы коэффициенты (,т, к) 2 делятся на простые числа Мерсенна 2т-\ при к=\,.,т-\ и это дает возможность доказать новые свойства чисел Мерсенна и другие теоретико-числовые результаты, среди которых обобщение теоремы Ферма, согласно которой при простом р каждый отличный от 3 простой делитель числа 2р-\ имеет форму 2рк+\.

Далее рассматриваем верхние границы для | С I и чисел а1} [52].

Теорема 3.6.7. Если конечная р -группа О не содержит подгрупп ранга г, то выполняется неравенство г 1 к-т вь - к +1 Л

I +

II ^ г-к р-1 к=1 рг-* где р&к есть к-я экспонента О.

Теорема 3.6.8. Для числа акг подгрупп порядка р'~ и ранга г р группы С порядка р"' (1 < г < к < т) выполняется неравенство акг<рг(т+г-к)-Т\{рГ-ркТ1к= О

Теорема 3.6.9. Пусть <т{г) - число неединичных подгрупп конечной р группы С, которые могут порождаться не более чем г элементами. Тогда сг(г) < -—-, 1<г< И.

4 у Г 1 11 р -1

§7. Основные результаты параграфа суть следующие [60]. п

Теорема 3.7.1. Число кп решений уравнения хр =1 (1 < п < е) в ¿»-группе G порядка рт и экспоненты ре определяется формулой п т—п+А , ~

К=рпЪ I (-1 yv2j lGW-яД (20)

2=0 t=l+Л dn+t-л где суммирование проводится по рангам da всех подгрупп порядка ра группы G.

Формула (20) представляет усиление для р группы G теоремы Фробе-ниуса [44, с. 157].

Следствие 3.7.2. Пусть G - р- группа порядка рт и экспоненты ре. Тогда е т-е+А м = £ (-1у р{ ) к^-я.о,

Л=0 t=Ä+1 de+tx где суммирование проводится по рангам подгрупп порядка р группы С.

Следствие 3.7.3. Число вп элементов порядка рп р- группы С порядка рт и экспоненты ре определяется формулой tii-Ъ) п+ где йа пробегает ранги подгрупп порядка ра группы Ст.

Следствие 3.7.4. Число сп циклических подгрупп порядка р" р группы

С порядка рт и экспоненты ре (п <е) определяется по формуле

Гт-п Г I п К'-У) сп =Р(р-1)~ у ( = 1 tf„+, / = 1 где da пробегает ранги подгрупп порядка р группы G.

Следствие 3.7.6. Пусть с1* - наибольший в системе рангов подгрупп порядков рк , к=е+1, .,т, группы С и а - наибольший среди чисел этих подгрупп. Тогда существует натуральное число С = С(е,аД*) ( определяемое инвариантами е , а, с1* группы С), такое, что Отсюда следует существование такой константы С*=С*( е,<т,с1*), что число неизоморфных конечных р-групп с заданными инвариантами е, а, с1* ограничено числом С*

§8. Этот параграф посвящен применению теоремы 3.1.4. к доказательству ряда новых результатов, обобщающих или усиливающих фундаментальные теоремы Силова - Фробениуса, Миллера и Кулакова (последние также передоказываем с помощью обращения Мебиуса). Излагаемые здесь результаты [58, 66, 74], как правило, устанавливают не абсолютное число подгрупп того или иного порядка, а вычет этого числа по модулю какой - либо степени простого числа р ( в теореме Кулакова этот модуль равен р ). Приведем несколько характерных результатов.

Теоремы 3.8.6, 3.8.7.

Если в р-группе С порядка рт и ранга <3 ранги с1п подгрупп индекса рп равны 2 при \<п<г-\, 2<г<т,то тг = (-1ГУм3>/2(''-2,г) + (г + 1Д), а если эти ранги равны 3, то к=1

Теорема 3.8.8. Пусть секционный ранг конечной р-группы С равен г, а и ¡3 - такие целые числа, что при а<к< р ранги подгрупп индекса рк в С равны к+1 I 2 г. Если /3>а+г, то последовательность <уа, ., <7р удовлетворяет рекуррентному соотношению п

Ъ = Х(- I)"'/' ('-,, а + г<к<р,

1=1 и представление о^ через начальные значения сга,.,<га+г1 задается формулой ак=±рЬ- П (р'-'-я')"1' (2!)

1=1 у=0 0</<г—1, 7 где Ту (¡^1) - элементарный симметрический многочлен степени у от р°,

1 /-2 / /+1 Г-1 !

Пусть ми = ахипх +.+ акипк, п>к, ак ф 0,- (22) линейное рекуррентное однородное уравнение порядка к с коэффициентами а, из любого поля характеристики нуль, (например, из К) корни характеристического полинома которого являются простыми. Доказательство формулы (21) тесно связано с предложенным нами способом представления общего решения уравнения (22) в терминах начальных значений ид, и/,., ик / и корней а1,.,ап в виде кр п ик-1 ~ 5пик-2 + ~ ■ /у о \ " £ аГ-ТзпаГ+ ' ( ; где - элементарный симметрический многочлен степени ] от а\+1,.,аъ. Попутно доказываем, что дискриминант Д любого многочлена g(x)=aoXk+.степени к (над произвольным полем Р) задается формулой Д = а2(Мд2(аь Где аь.,ак- корни полинома %(х) и

1 s12 .

1 ^21 S22 ■ ■ ■ S2,k-1

1 Skl sk2 ■ ■ ■ sk.k~ 1 в частности, этот определитель равен определителю Вандермонда и вычисляется тем же способом, что и последний.

Здесь обсуждается применение формулы (23) и теоремы 3.4.1 к разностным кодам над полем Галуа.

Из остальных результатов §8 отметим следующие.

Теорема 3.8.11. Если группа G порядка ртявляется абелевой, но не элементарной, то среди ее максимальных подгрупп имеется такая, ранг которой не меньше ранга самой G.

Следствие 3.8.12. Ранг конечной абелевой р-группы G равен рангу ее цоколя Ремака.

Теорема 3.8.14. Если G - абелева р -группа порядка рт и ранга d и т>Ъ, d>2, то число максимальных в G подгрупп ранга 2 делится на р.

Теорема 3.8.15. В конечной неметациклической р группе G при р>Ъ

2 2 число элементарных абелевых подгрупп порядка р сравнимо с \ +р (modр ).

Теорема 3.8.18. Если |G| = рт,т>2, expG=p и G не содержит элементарных абелевых подгрупп порядка р3,то стт./( = 1+ р +. + рт'к, к = 1,2.

Дальнейший материал §8 посвящен более подробному рассмотрению групп малых порядков [62].

§9. Здесь мы имеем еще одно обобщение принципа перечисления Холла [59]. Пусть Q - множество, элементами которого являются некоторые подмножества группы G, каждое из которых порождает собственную подгруппу группы G. Любое такое множество Q называем перечислимым множеством. На

А к(аи.,ак) = множестве С1 определяем отношение эквивалентности р следующим образом: для элементов А1 и А2 множества полагаем, что

Ы(ф,4)[ = !(ф,Л2)| , где Ф = Ф(С) .

Отношение р определяет разбиение С2, для классов ¡С>а (а=1,.,<^) которого имеем АеОа <=> (Ф,А) = рт~а ; множества Оа называем классами майорантности перечислимого множества П.

Теорема 3.9.1. Для любого перечислимого множества О конечной р группы С и произвольных чисел (или элементов любого поля) ап имеет место соотношение п= 0 М„£\¥п «=1 /?=0

24) где Мп{0) - число элементов множества £2, содержащихся в майорантной подгруппе Мп индекса рп в С, IVп - множество майорантных подгрупп индекса рп в С.

При ап = ' = р{мп,С) отсюда получается формула перечисления Холла.

Параметрами Холла называем числа и соа, определяемые равенствами

5И= п = соа=ра\, а = 1,. .,£/;

Мп^п числа 8п называем также суммами Холла. Эти параметры связаны тождеством

Н-1 Ур п=О

ТР а=1 а+1-1 к=\ где / - любое натуральное число, и одни из них выражаются через другие посредством соотношений

0 = С0\ + (Ог + . + соа ,

5] = (1,1)<У1 + (2Д)<У2 + ■•• + (<ЗЛ)а>с1, = (2,2)а% + . + (</,2)е*, (26) й = (с14)ом ;

-и п ^ л4]

Х(-1) />Ы(а +л,а = 1,(27) с! и=0 л 2 У

СУ2 + .+

V У

На соотношениях (24) - (27) основывается содержание §§9,10. Теорема 3.9.2. Пусть р-группа С порядка рт и ранга (1 нециклическая и уа - число тех ее подгрупп индекса // (1 < г <т), каждая из которых имеет пересечение фиксированного порядка рт+а~г-(1 (\<а<с!) с подгруппой Фраттини Ф(С). Пусть О. - перечислимое множество группы С, элементы которого суть подгруппы в С индекса рг и П.а - классы майорантности О. Тогда уа = |£2а= 0(то<1 р), где 1<а<2-], причем Я = г при г <с! и Я = <3 при г> с1. Если, {кроме того) Ф(в) нециклическая и р>2, то уа = 0(тос1 р2).

§10. Теорема 3.10.7. Число г-подмножеств группы О, каждое из которых вместе с подгруппой Фраттини ф(с) порождает майорантную подгруппу индекса ра в О, задается формулой й-а

Р' а= Е (~1Ур ){р + а,п%(1,п + а)

7=0 I Г а = 1,с1.

Теорема 3.10.8. Пусть О - мноэюество подмножеств р-группы (} порядка рт и ранга й, порождающих собственные подгруппы в С. Тогда

-!)" 2т~п~ар{2^а + п,п)(с1,а + п), а = \, — ,с1. п=0

Теорема 3.10.9. Если О. - множество г-последователъностей элементов р-группы С ранга (1 и порядка рт, порождающих собственные подгруппы в (}, то

-а I " \+(т-п-а)г в = 1Н Ур{2 п=о а + п,п)(а1,а + п).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [53, 54, 56, 58-60, 63,67-71,73-76].

1. Айгнер М. Комбинаторная теория. -М., Мир, 1982. 560 с.

2. Белоногов В.А., Фомин А.Н. Матричные представления в теории конечных групп. -М., Наука, 1976, 127 с.

3. Беркович Я.Г. О р-группах конечного порядка. Сибирск.матем. ж-л., 1968, т.9, №6, с. 1284-1306.

4. Беркович Я.Г. Обобщение теоремы Ф. Холла и Н. Блэкберна и их применение к нерегулярным /^-группам. -Изв. АН СССР, сер. матем., 1971, т. 35, № 4, с.800-830.

5. Беркович Я.Г. Об одной нерегулярной />нгруппе. Сибриск.матем.ж., 1971, т. 12, № 4, с. 907-911.

6. Беркович Я.Г. Подгрупповое и нормальное строение конечной /?-группы. -Докл. АН СССР, 1971, т. 196, № 2, с. 255-258.

7. Беркович Я.Г. О подгруппах конечной р-группы. Изв. высш. учеб. заведений, Математика, 1973, №9, с.9-17.

8. Биргкоф Г. Теория решеток. М., наука, 1984, 564 с.

9. Виленкин Н.Я. Комбинаторика. М., Наука, 1969, 328 с.В.Виноградов И.М. Основы теории чисел. М., Наука, 1965, 172 с.

10. Перечислительные задачи комбинаторного анализа. Сб. переводов под ред. Гаврилова Г.П. М., Мир, 1979, 362 с.

11. Гаусс К-Ф. Труды по теории чисел. М., изд. АН СССР, 1959, 978 с.

12. Гаусс К-Ф. Арифметические исследования. В кн. 15.

13. Гаусс К-Ф. Суммирование некоторых рядов особого вида. В кн. 15.

14. Дюбюк П.Е. Об автоморфизмахр-групп. Матем. сб., н.с. 1946, т. 18, в. 2.

15. Дюбюк П.Е. О числе подгрупп конечной абелевой группы. Успехи матем. наук, 1948, т. 3, вып. 3(25), с. 161-162.

16. Дюбюк П.Е. О числе подгрупп абелевой р-группы. Изв. АН СССР, Сер. матем., 1948, т. 12, с. 351-378.

17. Дюбюк П.Е. О числе подгрупп данного индекса конечной р-группы. -Матем. сб., н.с., 1950, т. 27(69), № 1, с. 129-138.

18. Дюбюк П.Е. О числе подгрупп некоторых категорий конечных р-групп. -Матем. сб., 1952, т. 30(72), № 3, с. 575-579.

19. Дюбюк П.Е. О принципе перечисления Холла. Тр. Всес. заочн. энерг. инта., 1957, вып. 11.

20. Дюбюк П.Е. О числе подгрупп конечной абелевой группы. Докл. АН СССР, 1961, т. 137, с. 129-138.

21. Дюбюк П.Е. О числе подгрупп конечной абелевой группы. Тр. Всес. заочн. энерг. ин-та., 1963, вып. 24. С.4-24.

22. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп М., Наука, 1982, 288с.

23. Кемхадзе Ш.С. О регулярности р-групп при р=2. Сообщ. АН Груз. ССР, 1950, № 11, с. 607-611.

24. Кузюрин H.H. О минимальных покрытиях и максимальных упаковках (к 1) подмножеств ^-подмножествами. Матем. зам., 1977, т. 21, № 4, с. 565-571.

25. Курош А.Г. Теория групп, 3-изд. М., Наука, 1967, 648 с.

26. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. М., Мир, 1988, 818 с.

27. Лисковец В.А. К перечислению подгрупп свободной группы. Докл. АН БССР, 1971, т. 15, №1, с. 6-9.

28. Магнус В., Каррас А., Солитэр Д. Комбинаторная теория групп. М., Наука, 1974, 455 с.

29. Мазуров В.Д. Конечные группы. В кн.: Алгебра. Топология. Геометрия. (Итоги науки и техники, ВИНИТИ АН СССР). - 1976, с. 5-56.

30. Макдональд И. Симметрические функции и многочлены Холла. М., Мир, 1984, 224 с.

31. Рыбников К.А. Введение в комбинаторный анализ. М., 1957, 315 с.

32. Садовский JI.E. Структура подгрупп нильпотентной группы без кручения. -Успехи матем. наук, 1957, т. 12, № 3, с. 201-204.

33. Сачков В.Н. Комбинаторные методы дискретной математики. М., Наука, 1977, 320 с.

34. Стелецкий И.В. Нильпотентные структуры. Докл. АН СССР, 1959, т. 128, №4, с.680-683.

35. Устюжанинов А.Д. Конечные 2-группы с тремя инволюциями. Сибриск. матем. ж., 1972, т. 13, № 1, с. 182-197.

36. Фробениус Г. Теория характеров и представлений групп. Харьков, ОНТИ, 1937,216 с.

37. Холл М. Теория групп. М., Мир, 1962, 468 с.

38. Холл М. Комбинаторика. М. Мир, 1970, 424 с.

39. Чебышев П.Л. Полное собрание сочинений, т. 1.-М.-Л., Изд. АН СССР, 1944, с.229-236.

40. Шмидт О.Ю. Новое доказательство теоремы Кулакова в теории групп. -Матем. сб., 1932, т. 39, с. 66-71.

41. Шмидт О.Ю. Абстрактная теория групп. М.-Л., ГТ-ТИ, 1933, 174 с.

42. Шмидт О.Ю. Избранные труды. Математика. М., Изд. АН СССР, 1959, 315 с.

43. Шокуев В.Н. О простых делителях числа (ар +bp)(a + b)~l. Кольца и линейные группы (Сб. научн. тр.), Краснодар, 1988, с. 42-43.

44. Шокуев В.Н. О покрытиях конечных множеств. Алгебра и теория чисел (темат. межв. сб.), Нальчик, 1977, вып. 2, с. 78-81.

45. Шокуев В.Н. О некоторых соотношениях между теоретико-групповыми инвариантами конечных /-групп, II. Алгебра и теория чисел, (темат. межв. сб.), Нальчик, 1977, вып. 2, с. 139-146.

46. Шокуев В.Н. Обобщения принципа перечисления Холла. Матем. записки, 1967, т. 6,тетр. 1,с. 124-143.

47. Шокуев В.Н. Формула для числа подгрупп данного порядка конечной /группы. Матем. зам., 1972, т. 12, № 5, с. 561-568.

48. Шокуев В.Н. К вопросу о числе подгрупп в конечной /-группе. Сб. научн. работ по избр.воп.матем. и механ., вып. 36, Нальчик, 1972, с. 180.

49. Шокуев В.Н. О числе подгрупп конечной /-группы. -Матем.зап. УрГУ, 1972, т. 8, тетр.З, с. 133-138.

50. Шокуев В.Н. О мощности одного класса /-групп. Тезисы докл. межв. научн. конф. по физике межфаз. явл. и избр. вопр. матем., 1972, с. 147.

51. Шокуев В.Н. О конечных /-группах. Алгебра и теория чисел (Тем.сб.), вып.1, Нальчик, 1973, с. 42-66.

52. Шокуев В.Н. О перечислении подгрупп в конечных /^-группах. Матем.зам., 1973, т. 13, № 1, с. 107-112.

53. Шокуев В.Н. О некоторых соотношениях между теоретико-групповыми инвариантами конечных/?-групп. Матем.зам., 1975, т. 17, № 4, с. 571-578.

54. Шокуев В.Н. О методе включения и исключения. Алгебра и теория чисел (Тем. межв. сб.), Орджоникидзе, 1978, с. 70-71.

55. Шокуев В.Н. О числе подгрупп заданного порядка в /7-группе р4(р> 2). -Алгебра и теория чисел вып. 2, Нальчик, 1977, с. 164-168.

56. Шокуев В.Н. О некоторых соотношениях между теоретико-групповыми инвариантами конечных р групп, III. Алгебра и теория чисел вып.4, Нальчик, 1979, с. 99-102.

57. Шоку ев В.Н. Об одном тождестве в теории /ь-групп. Структурные свойства алгебраических систем. (Тем. межв. сб.), Нальчик, 1981, с. 31-34.

58. Шокуев В.Н. О числе подгрупп конечной /^-группы. Тезисы сообщ. XVII Всес.алг.конф., ч. 2, Минск, 1983, с. 276.

59. Шокуев В.Н. Об одном рекуррентном соотношении в теории конечных р-групп. Тезисы докл. IX Всес. симп. по теории групп. - М., 1984, с. 135.

60. Шокуев В.Н. О последовательностях образующих конечной /?-группы. -Тезисы докл. X Всес. симп. по теории групп. Минск., 1986, с. 266.

61. Шокуев В.Н. Обращение Мебиуса и перечислительные задачи теории конечных/?-групп. Тез.сообщ. XIX Всес.алг.конф., Львов, 1987, с. 317.

62. Шокуев В.Н. Гауссовы коэффициенты. Нальчик, 1988, 98 с.

63. Шокуев В.Н. Исчисление инверсий на решетке подгрупп конечной р-группы. Кольца и модули. Предельные теоремы теории вероятностей. - Л., 1988, вып.2, с.92-97.

64. Шокуев В.Н. О Гауссовых коэффициентах. Тезисы докл. XI Всес. симп. по теории групп. -Свердловск., 1989, с. 135.

65. Шокуев В.Н. О соотношении между первыми п простыми числами. Тезисы докл. Всес. школы. "Конструктивные методы и алгоритмы теории чисел". -Минск., 1989, с. 135.

66. Шокуев В.Н. Теория перечисления для конечных нильпотентных групп. -Тезисы докл. Межд. конф. по алгебре (Барнаул), Новосибирск., 1991, с. 129.

67. Шокуев В.Н. Основы теории перечисления для конечных нильпотентных групп. Вопросы теории представлений алгебр и групп, 3, С.-П., Наука, 1994, с.174-183.

68. Frobenius G. Uber die kongruenz nach einem ais zwei andlichen Gruppen gebildeten Poppelmodul. J. Reine angew. Math., 1887, № 101, s. 273-299.

69. Gaschutz W. Die Eulersche Funktion endlicher autoflosbarer Gruppen. Illiois J. Math., 1959, № 3, p. 469-476.

70. Gillam J.D. A note on finite Metabelian/ь-groups. Proc. Amer. Math Soc., 1970, v.25, № l,p. 189-190.

71. Hall P. A contribution to the theory of groups of prime-power order. Proc. London Math. Soc., 1933, v. 36, p. 29-95.

72. Hall P. The Eulerian functions of a group Quapt. J. Maths (Oxford Series), 1936, №7, p. 134-151.

73. Hall P. On a theorem of Frobenius. Proc. London Math. Soc., 1936, v. 40, p. 468501.

74. Hall P. The classification of prime-power groups. J. Reine angew. Math., 1940, v. 182, p.130-141.

75. Hobby Ch. The Frattini subgroups of a p-group, Pacific. J. Math., 1960, v. 10, №1 p. 209-212.

76. Hupert B. Endliche Gruppen I. Berlin, 1967, 796 p.

77. Konvisser M.W. Metabelian p -groups which contain a self-centralising element. III. J. Math., 1970, v. 14, № 4, p. 650-657.

78. Kulakoff A. Über die Anzahl der eigentlichen Untergruppen und der Elemente von gegebener Ordnung inp- Croupen, Math. Ann., 1931, v. 104, p. 777-793.

79. Laffey Thomas J. The number of solutions of 1 in a finite group. Math. Proc. Cambridge Phil. Soc., 1976, v. 80, № 2, p. 229-231.

80. Miller G. A. An extension of Sylow's theorem. Proc. London Math. Soc., 1904, v.2, № 2.

81. Miller G. A. Form of the number of subgroups of prime-power groups. Bulletin of the Amer. Math. Soc., 1919, № 26, p. 66-72.

82. Miller G. A. Number of subgroups of any given Abelian groups. Proc. Nat. Ac. Sei. USA., 1939, № 25, p. 258-262.

83. Möbius A. F. Gessamelte Werke. Bd. 4, s. 589-612.

84. Rota G.-C. On the foundations of combinatorial theory. I. Theory of Möbius functions. Z. Wahzscheinlichkeitstheorie un Verw, Gebiete, 1964, №2, p. 340368.

85. Shapper E. Counting /»-subgroups. Proc. Amer. Math Soc., 1973, v. 39, № 1, p.81-82.

86. Suzuki M. Structure of a group and the structure of its lattuce of Subgroups. -Springer, 1956.

87. Sylow L. Theoremes sur les groupes de substitutions. Math Ann., 1872, Bd. 5, s.584-594.

88. Tazawa M. Remarks of Frobenius and Kulakoffs Theorems on /^-groups, I. The scince Remarks of the Tohoku imperial University, 1935, v. 24, p. 161-163.

89. Taza\va M. Remarks of Frobenius and Kulakoffs Theorems on /^-groups, I. The scince Remarks of the Tohoku imperial University, 1934, v. 23,1 4, p. 449-476.

90. Zassenhaus H. The theory of groups. Chelsea, 1949.

91. Wall G. E. Some applications of the Eulerian functions of a finite groups. The J. Of the Austral. Math. Soc., 1961, v. 2, № 1, p. 35-59.

92. Weisner L. Abstract theory of inversion of finite series. Trans. Amer. Math. Soc., 1935, v. 38, p. 474-484.

93. Weisner L. Some properties of prime-power groups. Trans. Amer. Math. Soc., 1935, v. 38, p. 485-492.