Одномерное решето с весами и его приложение к некоторым теоретико-числовым задачам тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

московская ордена ленппа

II ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В. II. ЛЕНИНА

Специализированный Совет К 053.01.02

На правах рукописи

ВАХИТОВА Екатерина Васильевна

ОДНОМЕРНОЕ РЕШЕТО С ВЕСАМИ II ЕГО ПРИЛОЖЕНИЕ К НЕКОТОРЫМ ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫМ ЗАДАЧАМ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1992

..л

Работа выполнена на кафедре теории чисел МПГУ им. В. И. Ленина.

II а у ч н ы ii р уководител ъ: доктор физико-математических паук.

профессор}А. А. ЕУХШТАБ,

доктор физико-математических паук, профессор II. М. ТИМОФЕЕВ

О фи ци а яыше он иоиенты:

доктор фпзико-матсматпчсских паук, п[)офессо|) В. П. ЧУБАРИКОВ,

кандидат физико-математических наук, доцент Л. Л. ЧЕК1Ш

Ведущая организация — Владимирский государственный педагогический институт им. I I. И. Лебедева-Полянского.

Защита состоится «....-$..........1993 года в .11.7.... час.

на заседании Специализированного Сонета К 053.01.02 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Московском ордена Ленина п ордена Трудового Красного Знамени педагогическом государственном университете имени В. И. Ленина.

(107140, Москва, Краснопрудная, 14, МПГУ им. 13. И. Ленина, аудитория 301).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МПГУ iim. 13. И. Ленина (119435, Москва, М. Пироговская, 1, МИГУ им. В. И. Ленина).

Автореферат разослан 19дЛ

г.

Ученый сек/е?^щ1>(л^1^1й^пзпрованного Совета

Г. А. КАРАСЕВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. В 1958 году А.Шшшолс-м 1 била сформулирована гипотеза, вклочащая в себя целый ряд проблем теории чисел, в том числе я проблему простых близнецов. Приведем формулировку этой гипотезы.

Пусть Jjfx), Jjfr), , (X) - различные неприводимые полиномы с целыми коэффициентами, старший коэффициент каждого из полиномов является положительным числом, теiV,/»'?/. Рассмотрю/ полином J('X) вида

ТСг) Г, (X) ЯМ-- 7», f?)

Предположил, что полином J(l) не имеет фиксированных простых делителей. Тогда гипотеза Q формулируется следующим образом:

Существует бесконечно много целых h , таких, что каждое Ji(fi)} i ...jW . является простым числом.

При hi - 1! Tf(») -< 0с , f гипотеза ф

обращается в теорему Дирихле о бесконечности множества простых чисел б арифметической прогрессии. Это - единственный случай гипотезы ^ , который является доказанным.

Обозначим через г-почти простое число, то есть целое число, в разложение которого входит самое большее Г простых множителей с учетом их кратности (гсЛг,

Если в гипотезе требование "быть простым числом" заменить на требование "быть почти простым числом", то в этом случае возникающие задачи успешно решаются методом решета. Исследованию таких задач были посвящены работы В.Бруна, Х.Ра-демахерз, А.А.Бухштаба, П.Куна, А.Сельберга, А.Реньи, Б.В,Левша, Х.-Э.Рихерта и других авторов. Два случая гипотезы Q

2 ..•';..''.• (м = /у 2) включает в себя наиболее штересные классические проблемы теории чисел. Применение метода решета к задачам такого

типа приводит к рассмотрению одномерного /линейного/ (т = а двумерного (/и = .2) случаев. Особый прогресс был достигнут во

одномерному решету* при этом наиболее сильные результата были

получены при использовании решета с весами.

Проблема исследования одномерного решета с весами и его применение к решению теоретако-числоЕЬос задач представляет значительный интерес, так как непосредственно связана с рядом классических задач теории чисел. Этими соображениям» а определяется актуальность выбора теми настоящего исследования,

ЦЕЛЬ РАБОТУ. Настоящая диссертация посвящена разработке некоторого усовершенствования метода решета Сельберга с ве- 1 . ' сами Бухштаба в непрерывной $.орме в применении нового иод- • хода в выборе параметров одномерного решета с весами. Это позволяет получить более сальные результаты при реаенви

ряда теоретико-числовых задач. : / , V ;" ^ ; • : }

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ. Работа носиттесретический характер. Предложенная методика Аи* мснена к решению широкого класса задач. В частности ^ востро- : енная в работе весовая кшс^з^им/испсхпьзованг в задачах до неприводимых полиномов.

АПРОБАЦИЯ "РАБОТЫ. Результаты, сформулированные в две-сертацвл, получены непосресТвенно автором. Они докладывались ь обсуждались; на научно-теоретическом семинаре кафедры тео- 1 рви чисел МПГУ им. Ё.Й.Ленина ДЭ31-92 г .г./;

ПУБЛИКАЦИЙ. Основные результата диссертация опубликованы в работах список которых приложен в конце авторефе-

рата. ' -

. з'

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Диссертация изложена на 132 страницах машинописного текста в включает введение, дав главы, список литературы - 33 источника.

Первая глава состоит из шести параграфов и в ней дается изложение Метода исследования. По параграфам материал распределяется следующим образом.

§1 носит вводный характер. В нем определяются основные по-вдтия, с йоторош в дальне1ше« предстоит работать, а именно: с^ - конечная последовательность Целых чисел,

число элементов в последовательности а? , которые делятся ;нй свободное от квадратов натуральное число </■ , в частности, | = - число элементов последовательности <Л , X '- некоторое приближение к числу Ы1. ■ ' ^«¿у- культиглисатшшал Зункгая, которая определяется условиями: &(/]= 1 ¡мМ)-^ £'(/>) для ум , где для

каждого простого числа р значение а'(р) выбирьется так, что приЗлимёт;

£>(,{ ) - 4унквня, обозначая число элементов последовательности : . которые делятся На свободное от квадратов натуральноё число Л и нё: йИеют простых делителей, мьнь-

У?.е-А V '■'■»■«сййвл; 0

§2 посвящен доказательству ксМЗинаторноЛ леиаы /лемма А/. Опредвлны весог.уо коиструхцшо которая воз-

нюсла? в ;^гл*^;''!»««**®^** аекотораго оба^еиш иио-да решета Сельбзрга с гвсашБухитйба з аепрарьшиой форме,

г

где А; Г - натуральные числа, 1~>2, ¿^-{, - действительные числа, не зависание ог X . причем,

/</4с<а. г'с - £ё-Сг-Ч)>0,-

< «у* ■

- Сс-ЮИ я(И

'Сформулируем комбинаторную лемму. .

Леими л. Пусть р - наименьший простой делитель числа ' п

С1,и \\'(р) определено равенством:

\е-а - X¿¿рл*р<Х' У

Тогда .....-.•

X. Х' Д >// р<Х$

Таким образом , комбинаторная лемма дает представление о том, какой вес приписывается каждому элементу кэ , не имеющему малых простых делителей.

§3 поерлщеи доказательству основной теоремы /теоремы А/.

Введем условие.

Существует некоторая постоянная /1 , такая, что для всех 0„ последовательности

Xм ("->

Теорема А. Пусть последовательность <Л удовлетворяет условию (£/,,), Тогда при /-/ - /

2Г / > Тг'(еГ; о,ё,с,0 -Я, Ь-сА

где /Ч - число элементов из с! , которые делятся на квадрат простого числа из интервала X 2 р< X*

Таким образом, основная теорема дает опенку снизу числа членов последовательности Л' , являющихся л-почти простыми числами.'В теореме эта опенка дается чег.ез весовую конструкцию , {), которая при /--/ обращается в сумму с логарифмическими весами Рихерта, а при - в сумму с весами Еухитаба я непрерывной форме.

§4 содержат результаты, позволяющие привести основную теорему к виду, удобному для приложении. С этои целый в начале иараграфа вводится несколько естестьенннх условий, которым должны удовлетвооять величины, непосредственно связанные с последовательностью $ /следуя работе Х.Хальбер-стама в Х.-Э.Рихерта"/. Перечислил эти условия. 1/. Существует постоянная /}, такая, что

К (/- &([>)/р У< ^ А, (И<)

для любого простого числа р.

2/. Существует постоянная /4}и параметр [_ » такие, что

* г ^ е«р ~ ¿п £ с Ал, т

где ¿>/ и не зависит от Г и иу ■ч^)-

3/. Существуют постоянные <1 ( О < ¿¿,1), >/, Дг>/, такие, что

X 3 М им < А, , ^

где Л число различных простых делителей

числа с1.

4/. Существует > •/ , такая, что

им <"»

если Л 4 $ <Х. •

Кроме того, возникает необходимость предположить существование оценочных функций и

т

с. определенными свойствами, где служит для опенки.снизу ^нхщжЛГ//;^»

а - для оценки сверху $ (А^^ я) • Пусть пра некоторой •

постоянной 1) имеем:

где /£&)>С>, функшш II?(2) определяется следущкк образоа: .

Предположим, что для любого действительного числа €, 6>/, удовлетворяящего неравенствам

имеем для всех простых р вз интервала Л^уО^/^опёкку:

+ з^тпр^л, (V

роЬ

где р и для и X} функция Г(и) является неотри-

цательной, убывающей и непрерывной, удовлетворяющей условию

/бдесь и везде далее С- некоторые положительные постоянные/. Введем обозначение;

Ы.а-1 *а у-* , ,

ни*)>1(1 '

Л*

¿а-1 /а-/

¿а-е ■ - ¿ил ,

6*< '

Леммы 1.4.2 а 1.4.3, доказанные в этом параграфе, позволяют доказать теорему 1.4.1 , в котороЯ речь идет опять об оценке, снизу 23'/ но теперь эта оценка дается не через суммы, как в оенбвк'ой теореме, а через соответствующие кнте^рат!.. ., Теорема 1.4 Л. .Пусть выполнены условия (ц»)/ (и,), (и*),(к*),

и пуск (г*Ос-Ма>гс-(г-Ш-{

Тогда имеет место оценкам ,. , „ ,

. , V >■■ / . .. . Ни.л&с) __ ¿V/ » ■ , * " У л

В дгльне{1шем\вместа (Щ) будем использовать другое уело-

которое означает, что £ в /й^ доляяо быть достаточно малым.

Для решения задач необходимо иметь в распоряжении оценочные функций {(■£) и , о которых речь шла выше.

Метод решета Сельйерга /см. теоремы 63/ и 7.4 работы Х.Хальберстама и X.- Э.^ихерта'У позволяет в качестве таких ^ункиий ваять соответственно функции 1~Т(2) и 6~f(%h где соотношения, определяющие функции Т(2) и 6(Z) ,. приведены в этом параграфе. Эти соображения дают возможность из теоремы 1.4.1 получить теорему 1.4.2 , которая является некоторым уточнением с учетом выбора функций и 3~fz) Теотема 1.4.2.Пусть выполнены условия (i/e)) (l/t), ((/]'), Oh) t(u<), ftFfe) - c-'frJ, r'-t'f, К ¿<Cc <oJa , Xa>V, (r*De -fle > t'c-(r-O f-t.

Тогда /J\/j/j , Mik.'M) )

A*«* 2

В работе Х.Хальберстама и X.- Э.Рихерта /георема 9.1/

получена опенка: .

Кроме того, для оценки величины /Г используется лемма 9.1, согласно которой при й V ^ %

Сделаем замену переменных, тогда получим, что РьС^

где для /f получена опенка при . что судественно

ограничивает возможности в выборе параметров ¿? и . С

Таким образом, теорема 1.4.2, в которой.участвует параметр £ и определено равенством /3/, позволяет . получить преимущества в выборе параметров одномерного решета с весами Бухштаба в непрерывной форме. §5 посвящен получению опенки сверху величины

ЗйлАс)

и • где

у i HfcAfaX 'сиг у i Л i A/fc.iJ.rl ñMc) ■ 2)Мс)

а при /=/■. • . ; da-e

¿ce-e

Вообще, удачный выбор.параметров с/, С а получение хороших оценок В(ы,а,£,с) и играют главную роль, но в то же время составляют основную трудность при рассмотрении

конкретных арифметических приложений. Основные результаты ятого параграфа содержатся п теоремах i.3.1 - 1.5.2.

§6 посвящен получению опенки для В зависи-

мости от разности jta - / в теоремах 1.6.1 - 1.6.4 получены оценки для Н я, ¿с) * которые в дальнейшем применяются при минимизации ,

1 Mu.aJ.cl

r'c-tó-V-0

Вторая глава настоядей диссертации состоит из шести пара-. графов н Еосвяцена решению конкретных теоретико-числовых задач, связанных с почти простыми значениями неприводимого полинома п) степени д. с целыми коэффициентами. Решение этих задач проведено по методу, изложенному в первой глешо.

• В §1 рассотрена задача об оценке числа почти простых, значений неприводимого полинома от натурального аргумента. Результаты содержатся в теоремах 2.1.2 и 2.1.2.

Теопема 2.1.2. Пусть 7(») - неприводимой.примитивный со- . лином степени д с целыми коэ^шШенташ.^^/^число решений сравнения t-почти простое

число, г с г >2, X - достаточно большое полонитель-< ноэ число. Тогда имеет место оценка:

■

--7 а / _/ СИ X

И4'£ Р 7 ~ р

для Т> То где У)', - 0,при /«*/,'

К^ при. при ^>.3

В §2 рассмотрена задача об оценке числа почти простых значений, неприводимого полинома от простого аргумента. Ре- , зультатк содержатся в теоремах 2.2.1 а 2.2.2.

Теорема 2.2.2. Пусть ?6>)&±>>)- неприводимый примитивный полином степени.'д с целыми коэйиииентши,'¿Ср)'

число рэшений. сравнения ¿Г(н) а О С1"с</р),^('р)<р-1, если

Р \ 7(0) в р<-$*1 //■ Г-почт» простое число,

- достаточно большое положи«;щьйое число. Тогда имеет -место оценка:

Г / > КгЛ'-ГТ- П--4-

для ¿2*, - А Сгде /0 при / -/,

пга д'З ■,-К1*4,7'7 при / >3. В §3 рассмотрены задачи об опенке числа почти простых значений неприводимого полинома от аргумента /у //!>/-простые, р у / для двух последовательностей: . ' • О) с/? ~ {Жру) I р>]-1улС1*а.р+1,р< .

¿) Л = (/Г/М I р^-укои^у, р^ос}

Результаты.содержатся в теоремах 2.3.1 - 2.3.4.

Теорема 2.3.2. Пусть - неприводимый примитивный по-

леном степени £ с целыми коэ4фшяентамп, число

решений сравнения = 0(ш1р), ^р)<р~/, вели рХТСё), Р&> Р/. л почти простоя число, г еМ.гЪ};*—до-

статочно большое положительное число. Тогда имеет место

оценка:. / ~ £<й ,

__ п Р~1 П Р х'

РРр^-Рцн

для где ?, 33 при

Л3- прй Ку-7'М . при

Теорема 2.3.4. Пусть неприводпмы4 яоляаоы прями-

яшкнй стопснп ^ с цолнмя коз^фзшаеятаи, ^Ср)-

- число рсаеаий сравпеявя

если

р % -Г-аочтя простоа члело, Х-

достаточно йолыиое положительное число. Тогда имеет место, оценка: ■ у

У / > К П /7 —^у- 7Т-

1 Р Г к® 1 Р

для г>.г, Ь*' /,$9 при д

при /(¡гЩ при <¡/>3, Б ?4 расмотрена задача о почти простых значениях неприводимого полинома от натурального аргумента в коротких, интервалам. Доказаны теоремы 2.4.1 и 2.4.2.

Теорема Г.4.2. Пусть У(л)- неприводимый цриштиьнык полином степени у с целыми коэффициентами, почти простое число, Гек!, /" У2 , Г-К - г . X - достаточно большое положительное число. Тогда или X•» '1Г существуют числа р>г такие, что Рг и находится в интервале . (.Т- X /'/г) Л* )1 где Л= С\ г /, ¿>£15. ^ <1125, 4 < 4 « ЛГ М < К), //-><? 4 ¿Г-¿{Л7Г

. В §5 рассмотрена задача о почти простых значениях неприводимого полинома от простого аргумента в коротких интервалах. Доказаны теоремы 2.5.1 и 2.5.2.

Теорема 2.£.2. Пусть 7(и) - неприьодимш; примитишыи полином степени д с целыми коэ^иииентши, И.дсМ, - Г-•почти простое число, 0</!г <г, X-

. достаточно большое положительное число. Тогда при гТг

существуют ^¡Есла /V такие, что и р находится

в интервале X ) где , ЛГI Щ

. ¿г и, Л &>// ^

Р §6 рассмотрена задача о почти пгостых значениях !к>ири-водимого полинома от катарального аргумента из атавистической прогрессии. Результата содержатся в теоремах 2.С.1 и 2.6.2.

Теорема 2.6.2.Пусть Т(п) - неприводимый примитивный полином степени у с целыми коэЭДшлентами, л,¡¡с /V, £-г-почти простое число, ГС- К, г >2, 6<. !г<Г, л = ((та!к), к Щ

X - достаточно большое положительное число. .Тогда при . X > существуют числа Д. ( Р^ ~ Т(п) , г-^д + О:/ /ми , /,

Кроме того, рассмотрена задача о почти простых значениях неприводимого полинома от простого аргумента р из последовательности р -( (. Результаты содержатся в георо-" мах 2.6.3 и 2.6.4.

Теорема 2.6.4. Пусть $~('>) - неприводимый примитивный полином степени д с целыми коэффициентами; цус-А', ,1\~Г~ почти простое число, р = ((п::.'/(), К- [ X*

X -достаточно Полотое положительное число. Тогда, при

^существуют числа /)• , такие, что уп „{,5175? зр [,Ш<Г 7 А

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Предложенное в настоящей работе некоторое усовершенствование в метода решета с весами Бухшта-' ба в непрерывной форме в осуществление нового подхода в выборе параметров одномерного решета с весами позволяют решить задачи главы 2.

Теоремы 2.1.2 и 2.2.2, в которых получены следующие : Л, ' О,М , / ; К, -0,1 \ Н,* ОМ >3

т. 9*1-. '

улучшаот результаты Рихерта ., Теоремы 2.2.2 и 2.3.4 дают опенки для задач, которые ранее не решались. Теоремы 2.4.2, 2.5,2, 2.6.2 и 2.6.4 доит оиеик* для задач, которые для произвольной степени неприводимого полинома ранее не рассматривалась. А при д в/ теоремк 2.4.2 в 2.6.2 улучшают результаты Рихертат.

В заключение, автор тратае* глубокую признательность

профессору . А.А.Рухштабу | к профессору Р. М. Тимофееву, под

руководством которых была выполнена диссёртыля.

Публикация автора по теме диссертации 1. Вахитова Е.Б. Об одномерной решете с Весами. — М., ■ 1991. - 46 с. - Рукопись представлена Сгерлитамахсхим гос. пед. институтом. Деп.в ВИНИТИ 02.10.91, >3852-БЭ1. 2. Вахитова Е.В. 0 почти простых числах иегриводишх полиномов. - М., 1991. - с. - 1^коШ1Сь представлена

Стерлитамахсквм гос. лед.; ннсгитутоы. Деп. в ВИНИТИ ' 27.03.92, А 10о6-В92. ■

3. Вахитова Е.В. О почти просьых числах неприводш&х полиномов в интегралах. - М., 1992. - 34 с. - 'Рукопись представлена Стерлитамахским гос. пед. институтом. Деп. в ВИНИТИ 27.03.92, £ 1056-В92.

4. Еахитова Е.В. Q некоторых приложениях одномерного решёта с весами // Матем, заметки. 1992. - Т.Б1, вып. ■£ .С. 139-141/ . .

. ПРИМЕЧАНИЯ *

1. Scñifíieí A. and S<er/iiftsfy IV Sup сегЫ/гел

hap ciñe ses censernent nem ¿res prmñers /¿do Mtiñ. - fíSS. -yf.-Г HS-OOS

2. Haetersiein И. <r»/ PicSert H.-¿ S/et'e /»etts/s ~ ¿oiicfcrt: Preti, l)?f

3. A'efierf H.-f. 'Sef éerj* »ЩЛ'Л

- /М. - i/ U - A f-SJ