Некоторые вопросы квантовой механики и теории поля над полями Р-адических чисел тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ОРЛЕНА ЛЕНИНА И ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛШЩ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. В.А.СТЕКЛОВА

На правах рукописи УЖ 517.5

ЗЕЛЕНОЕ Евгений Игоревич

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ И ТЕОРИИ ПОЛЯ НАД ПОЛЯМИ ¡Р-АДИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ

ОН.01.03 - математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

. МОСКВА 1992

Раоота выполнена в отделе математической физики Математического института им. В. А. Стеклова РАН.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, академик В.С.Владимиров.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических

наук В.А.Смирнов; доктор физико-математических наук А.В.Хренников.

Ведущая организация - Московский Государственный университет им. М. В. Ломоносова.

Защита состоится 1992 г. в часов

на заседании специализированного совета Д.002.38.01 при Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН (Москва, ул. Вавилова, д. 42).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИРАН.

Автореферат разослан * 15"" секТ&С }эД, 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета, доктор физико-математических наук

А.К.Гукии

i'C-

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Необходимость построения и изучения физических теорий над полем р-адичоских чисел в первую очередь связана о гипотезой о возможной р-адической структура пространства-времени.' Другим существенным аргументом в пользу р-адичоских теорий является возможность Солее глубокого понимания уже имеющихся вещественных теорий, в частности, допускает ли теория (в той или иной форма) замену числового поля.2

Целью работы является изучение различных аспектов квантования конечномерных, и бесконечномерных р-адических систем.

Научная новизна.

1. Для представления коммутационных соотношений в случае р-адической квантовой механики предложено определение вакуумного вектора, доказано его существование для непрерывных представлений.

Z. Доказано, что при естественном для р-адическоЯ квантовой механики определении когеронтные состояния образуют ортонормирований Оазис в пространстве непрерывного неприводимого представления коммутационных соотношений.

3. Для р-адпчэских систем с бесконочным числом степеней свободы доказано, что с*-алгебры Бейля непрерывных представлений коммутационных соотношений »-изоморфны. Установлено взаимно однозначное соответствие между классами эквивалентных циклических представлений коммутационных соотношений и положительными функционалами на фазовом пространстве классической р-адической системы.

4. Для р-адических систем с бесконечным числом степеней

JL.Volovi.ch I.V.: p-bdic strings. Class. Quantum Grav. «, 83-87 (1987)

2. Volovich I.V.s Number theory as ultimate physical theory. Preprint CERH-TI! 4781/87, 1-19 (1987)

свободы построен аналог представления Фока коммутационных соотношений, приведены необходимые и достаточные условия унитарной эквивалентности двух таких: представлений.

5. Построены явные формулы для собственных функций одномерного р-адичоского гармонического осциллятора при

р ■ 3 (mod 4).

6. Построена ограниченная симплектическая группа бесконечномерного векторного пространства над полем р-адических чисел, изучена ае структура.

7. Предложена конструкция интеграла Феллмана по траекториям в р-адичеекой квантовой механике и дано представление ядра оператора эволюции одномерного р-адического гармонического осциллятора в терминах этого интеграла.

Полученные результаты являются новыми.-Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научных семинарах ШРАЛ, МГУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ. Осьен и структура работы. Диссертация состоит из введения и трех глав. Общий объем диссертации - 89 машиьопискых страниц. Список литературы содержит 62 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В случае квантовой механики с комшюкснозначными волновыми функциями естественным и плодотворным методом квантования является представление ВеЛля коммутационных соотношений. ^ Первая глава диссертации посвящена исследованию коммутационных соотношений в форме Вейля для р-адичоских систем с конечным и бесконечным числом степеней свободы. Оказалось, что эти представления тесно связаны с клаосическим объектом теории чисел -

3. Vladirairov V.S., Volovich I.V.: p-Adic quantum mechanics. Comm. Math. Phys. 123, 659-676 (1989)

решеткой.

Определение г. Тежежной б веторюа просжрапсиОе v над 53р называется Z -подмодуль t пространства v, удовлетвортщхй условиям:

(i) х - поглощащее подмножество (то есть VxeV 3seQ*: sxeX), (ii) £ не содерхшх подпространств v отличныг от (О). Пусть г - решетка в симплектическом пространства (V,$), тогда решетка

i* = |*6fS B(*,y>gZp VycJfj

называется двойственной к 't решеткой. Если t = г*, то решетка называется самодвойственной.

Квазихаро}стером свмадвойствеиной решетки t называется функция kxi ¡с —» ¥, удовлетворяющая при всех х.у е z соотношению

к£(х)кг(у) - *p{I/2S(jr,y) )К^(Г+У).

£-квазихарактерол пространства (и,в) называотся отображение Tijjí V —> т. удовлетворяющее при всех z е v и х е 2 условию

Tl£{z+X} - яг (I/2®(Z,*))ná(z) .

Замечание. В случае din v < « определение 1 совпадает со стандартнш определением Zp~peweimu. *

Для краткости под самодвойственной решеткой t в (VСудом понимать пару

Определение 2. Системой Вейля над {V,s> (представлением колиутционнш соотношений) называется пара (н,и), где а -комплексное гилъберяово пространство, * - отображение из v б семейство унитарных операторов на в, удовлетворяющее условию

w{x)w{y) - хр(1/гъ(х,у))ъг[х+у),

где хр - аддитивный, характер поля <0р ранга о.

4. Milnor J., Husemoller D.s Symmetric bilinear forms. Berlin-Heidelberg-New Vork: Sprir.ger-Verlag, 1973

Определение з. Пуоаь (2,к£) - самодвойственная решета в

вакуумным вектором системы Ъейля (н,и) называется бекиор ф£ е н, 1Ф£ЪН - удовлетворяющий при всех х е г условию

Система Вейля {н,ы) над конечномерным пространством (V,®) непрерывна, если отображение и непрерывно в сильной топологии на множества унитарных операторов в н. Одно из основных свойств системы Вейля над конечномерным пространством отражено в следующей теореме.

Теорема х. Мля любой непрерывной системы Вейля (н,и) над нонечномернш пространством (V,з) и любой самодвойственной решоти

существует х~вануумный вектор Фг Предложение 1. Пусть {%. кх) - самодвойственная решета в (V,»), - £-квазилараюлзр и (я, V) - система Вейля о вануужын

ветором Фг Тогда отображение ; V —» п, определяемое формулой

V Э X —> (£{х) - е Я

посшо.тно на кахдом смежном классе 6 у/ж и определяет, отображение у/г —> н.

Определение 4. Системой £-когерентных состояний сискели Всйлл {И.Ы) назовем образ отображения ?г

Теорема 2. Пусть £ - самодвойственная решета в (V, (н,н) -непрерывная система Вейля на а (У, а). Следущие утверждения эквивалентны.

(1) Система Войля (И,иг) неприводила. (Н) Вакуумное подпространство этой системы одномерно. (Ш.) Система когерентных состояний образует ортонорлированный Оазис пространства и.

Пусть теперь tv.fi) - »-мерное сишдектнческое пространство над Юр. Подпространство к с и невырождено, если сужение в на I/ -невырожденная форма на и. Через з обозначим семейство всех конечномерных невырожденных подпространств (V,Е). Сиотема Вэйля {И,и) над (V,») называется непрорывной, если сужение отображения м на любое подпространство не? сильно нерперывно. Через зпи(я, V)

обозначим ?;*-алгеОру. порожденную семейством операторов и(х-), геи}.

Определенна 5. Алгеброй Вейля и(н,ио системы Вейля (н,V) называется с"-алгебра, получаелая замыканием б равнсаерной топологии объединения алгебр по всем и е ?:

Ц(Н.») - и ти(н,№).

и е э

Алгебра И(н1(» > и Н(и ) эквиваленты, если существует «-изоморфизм <р этих алгебр, удовлетворяющий при всех х г V условию

Теорема з. Аля любых двух непрерывных систол Вейля ) и

(яг»"г) над <г,з) алгебры ися^м^) и щнг,« ), эквивалентны. Определение б. Комплекснозначный функционал и на симплетическол пространстве называется полохителънъш. (д >> о) если ц(0) -■> 1

и для лххЗыг конечных подмнохесж в \ .... <г С и х ,... ,х е V

1 П 1 п

выполнено неравенство п

£ А^К^-Г^ГрР/ЗЯ^,*^) 2 О. 1. > 1

Функционал и » о называется непрерывным, если непрерывно сужение и на любое подпространство и € у пространства V. Примеры положительных функционалов дают циклические системы Вейля. • Определение 7. Циклической системой Вейля на (¡\г?) называется тройна {ч.«, т). Бве (н,н) - система Вейля на (V, э). рея, |?>|(| » 1, и замыкание линейной соолочки семейства веторов

совпадает . с п. Две циклические систем Вейля

" (На,ьгг,эквивалентны, эсли существует унияаршй операяор VI нх —* на, убоЗлшборящий условиях - ра и при всех х е V

« » (г).

Если (H.w.ip) - цикличес/вя система Вейля на (V,®), то соотватствующий eft векторный функционал является положительным функционалом на »}. Верно и обратное.

Теорема 4. Для любого положительного функционала и на (V„B) существует циклическая система Вейля (н,ы,<р) токая, что имеет место равенство

Такая система единственна с точностью до эквивалентности. Заметим, что иопрерывныв системы Вейля получаются в результате зтой конструкции, если и - непрорывный положительный функционал. Предложение г. Пусть - самодвойственная решета в h,¿

харашеристческал функция Функционал ц£: v —» С,

Unix) = Kjf(JOf>£(X-)

является непрерывны» положительным, функционалом на (V,S). Определение 8 .Циклическую систему Вейля соответалвуащро функционалу их . назовем t-вакуумной системой _ Вей^, а соответствующее представление коммутационных соотношений е-првдаюйлением.

Теорема s. Пусть (я, у, <р) - г-вакуумная система Вейля для некоторой самодвойственной решети (t.K^) в (v,B). Справедливы следующие утверждения.

(i) При всех х е ¡е справедливо равенство

K£(X)W(X)<j, = ф.

(ii) {н.ы,Ф) неприводила.

(ili) х-когерош'лие состояния образуют орюнорлироваиний оазис пространства а.

^-вакуумные системы Вейля над »-мерным симплектическим пространством устроены также как и непрерывные неприводимые системы Вейля над конечномерным пространством, поэтому дают аналог представления Фока коммутационных соотношений. Возникает естественный вопрос об эквивалентности двух «-представлений' для различных решеток а.

определение 9. Самодвойственные решетки Jfj и б (V,S). совпадают почт всюду (4 а сем существует невырожденное

подпространство и пространства v конечной ¡соразмерности для которого

П « ' П

Георема е. Пусть р * г и г ^ и - самодвойственные решетки в

Сг,s). и jt-представления коммутационные соотношений унитарю

эквивалентны тогда и только тогда, когда зг « / .

1 2

Вторая глава диссертации посвящена изучению метаплектического представления р-адической симллектической группы, которое используется при квантовании динамики некоторых р-адических систем. С системами Вейля в конечномерном случае связано представление сшплектической группы sp(у) пространства (v,B). Пусть (н, t/) - неприводимая непрерывная система Вейля над (f . dim v < со, тогда для g е sp(V) пара (H,wg), где № <*) "Ид*), у е v - также неприводимая непрерывная система Вейля и существует унитарный оператор и(д):н—>н, удовлетворяющий при всех х е v соотношениям

V(g)W(x>17"1 (g) » W(gx).

Оказывается,^ что построенное отображение g —» и (g) определяет проективное представление sp(V) в я, которое продолжается до "настоящего" представления двухкратной накрывающей группы мp(V) (метаплектической группы). Соответствующие представления групп ир(У) и £р(У) также называются метаплектичееккми. Пусть р в 3 (mod 4), i » t/-Ï ê iDpiV^T), v.0p(y=I) и <*.»> -двумерное симшюктическое пространство над О . Через с_) и и обозначим подгруппы в 0*(У^Т ) следующего вида:

5. Woil А.: Sur certains groupes d'operateurs unitares. Acta Math. 1X1, 143-211 (1964)

С t - \z € Q* (-/4) zz « l], £7 «■ |ei£, t e pZpj,

гдб eic - cost + isint. Обозначим чарез с элемент С*(т^Т), удовлетворяющий условию сс--а, а через с - элемент с такой, что смежный класс си е с х/и является образующей группы (c_t/u - циклическая группа порядка р + J). Предложение з. Любой элслет z е O^tV^T) прсОстаЬляепса в виде

z » rcW1,

гЭе

- r(z) e jr е Q*s j^S-j - lj, и - n(z) s |o,jJ. v - i»(z) e e jo,i,... ,pj, x = T(z)epZp. /7pu фиксированных eue функции

n)

r(z), w(z), i'(z), т{2) - однозначные фу)1ни,ии на (¡"(/^I). Пусть а е t)p/Zp, mejo.ij, n е jo.i,,.. ,pj. Через ю(а,я,

обозначим подмножество Q (-/^J) следующего вида:

р

Ю(а,/п,л) «• е О* (✓^Т) s r(z)ea, v(z)»nj, а * 2р,

0(2 ,0,0) -р

через - характеристические функции множеств »(a,m,n).

Пара (v,'s)\ где v » ©^У^Т) - фазовое пространство одномерного р-адического гармонического осциллятора. Классическая динамика описывается группой и. Квантование (по • Вейлю) задается неприводимой системой Вэйля над (v,s). Квантование динамики задается сужением <н,п метаплектического представления группы sp(V) на подгруппу v. Задача отыскания собственных функций осциллятора на атом языке означает разложение указанного представления группы и на неприводимые.

Поскольку хр - характер ранга о, то на Cp/pZp при всех t e-pZp выражение rp(«t), а е Op/pZp корректно определено (на представителях смежного класса а), аналогичным образом

определяются |а|р, и для а е Cp/pZp: |а|р-р2к. к -1,2,...,

(£] - а - УЗ e 0p/Zp. •

I о

Разложение представления (ii,v) группы и на неприводимые описывается следующей теоремой.

Теорема 7. Пусть (и,г} - сужение летплегстического представлении группы sp(V) на и. Тогда

И - в H ,

sel /pZ р р

и сухение указанного представления на на кратно характеру \а. Причем,

при а » pZp dira яа " 1 и ча наштуто на вектор h^ 0 0;

при а е Шр/р2р: |а| « рак. Jt =• 1,2, ... , din/я^ = р + 1 U На натянуто на следущие собственные ветора представления (H, V) :

едв т - + (р2]] ■ а " . п - О.1... . ,р:

при а е 0 /pZpS |в| - p2kt\ к * О.1.2.. , . На - (О). Пусть (у,в) - симплектическое пространство над (0 . В случае die v < » эквивалентность неприводимых систем Вэйля дает возможность построить метаплектическов представление группы sp(V). В случае dita v » » указанная эквивалентность не имеет места. Однако теорема об эквивалентности ^-представлений коммутационных соотношений дает возможность в случае' dim'V - ш построить аналогичное представление для определяемой ниже подгруппы группы Sp(V).

Определенно ю. Пусть г - самодвойственная решета в (f»S). Ограниченной сижиетичесной группой spr9S(v.t) пространства относительно решетки t называется следуюшря подгруппа силплектчвской группы пространства (i', я) t

Spres(y.í) - |g £ Sp(V)i £ « gr*J.

Заметим, что в конечномерном случае ограниченная симплектическая группа совпадает о симплектичвской группой.

Третья глава посвяшена построению Лагранжева формализма р-адическоЯ классической мэханики и интегралов ФеПкмана по

траекториям в р-адической квантовой механике. Пусть г -аналитическая функция в (открыто-замкнутом) круге »(/") с Ш (с центром в нуле). Через (соответственно {') обозначим

первообразную (соответственно производную) функции г. Определение и. Интегралом аналитической в круге V(f) функции е в пределах от а до ь, а,Ьб1{Г("1)) назовем следующее р-адичеснов число:

ь

а

Определение 11 задает ©р-значный функционал на пространстве аналитических функций в круга. Этот функционал 0 -линеен и для него справедлива обычная формула интегрирования по частям. Менее очевидное свойство интеграла отражено в следующей теореме. Теорема в. Пусть г - аналитическая функция в круге х>(П и а^ЕНс^1"1'!, Если для любого полинома ъ, удовлетворяющего условию Ь(а) = Л(Ь) » о справедливо равенство

ь

|г(х)Л(дс>сГх - О, е

то г » о.

Пусть а,ь,с ,о. е Ш , Через 0_.0Ь) обозначим множество

а V р 1 & О

функций (траекторий) <?(<:) аналитичных в некотором' круге »эс'э 1,ь и удовлетворяющих условию я (а) - аа> ,<кг>) - оь. На множества 3(а,ыад,оь) определим функционал г (действие) по формуле

ь ' а

где х. - Лагранжиан - целая аналитическая (Ср-значная) функция переменных д и д\

Определение 12. Пусть с е 4) и ь е у (а,ью,о). Вариационной

производной функционала я на т(а, Ь;0Д,0Ь) в лочке д е У(а,Ь;0а,0ь)

называется следующая величина!

«ЭСЧГ]

г<?

аг® «

[« + ей]

со

если выражение в правой част последней формулы существует для лзобой л е ца,Ь',о,о),

Действие стационары на шраенжории ч е э (а,Ь;аа,оь), если значение вариационной производной на этой яраетории равно о для любой Л е ЭГ(а,Ь;0,0).

Справедлива следующая теорема.

Теорема 9, Если действие я стционарно на траектории ?е?(а,ьюа,оь), ио на зной траектории справедливо уравнение Эйлера-Лаграюса

ег

И

- о.

Интеграл Фейнмана на- множестве траекторий гцо.г-.х.у) построим методом конечнократных аппроксимаций. 3 р-адическом случав любой круг может Сыть покрыт набором кругов меньшего одинакового радиуса без общих точек, такое покрытие назовем каноничеекцим покрытием. Пусть с е х> и круг в имеет радиус р*. Построим каноническое покрытие круга в кругами радиуса рт'п, п * о и пусть ы - число элементов этого покрытия, N - рп. В каждом круге 1- 2,... указанного покрытия выберем по одной точке е с. "О, I, построим набор классических траекторий

чс1 е i - 1.....н-1. О

а,

N

У

и определим на них классические действия ^ /с^.о^,,

„ . ... .. ' 2,...,N-1.

Аппроксимацию порядка (/ интеграла Фойимана определим по формуле

4 "'1 *р I ^Ч-Ч*,'0*'0^'

где о.

о,.

р

У и

1-1

4(2,

.¿о

некоторый нормировочный множите; !.

Если существует предел

«С и,у) - Им Х(г"}{х,у), то он навивается интегралом Фейнмана на множестве траекторий

7 {0,1 IXГ, у).

Применение указанной конструкции интеграла Фейнмана для случая одномерного р-адического гармонического осциллятора дает следующий результат для ядра оператора эволюции, который совпадает с выражением, полученным ранее из других соображений. Предложение 4. Ядро оператора эволюции, однолерюео р-адичесного гарлонического осциллятора дается формулой

М£> р

К (х, у} --—х

t I £ I 1/ 3 Р

I I р

* у2 ху

2tgt sint

По теме диссертации опубликованы следующие работы.

1. Зеленов Е. И. : р-Адкческак квантовая механика для р=а. ТЫФ го, 253-263 (1989)

2. Зеленов Е. И. : р-Адическая квантовая !,5вхакика и когерентный состояния I. Системы Вейля. та ее, 21Q-221 (1991)

3. Зеленов Е. И. : р-Адическая квантовая механика и когерентные состояния ix. Собственные функции осциллятора.. ТЮ ее, 351-361 (1991)

4. Zelenov E.I,! Representations of commutation relations for p-adio systems of infinitely many degrees of freedom. Preprint Steklov Mathematical Institute, Moscow, Priut-91-0327. 1-34 (1991)

5. Zelenov E.I.s p-Atäic Heisenberg group, Haslov inäex and metaplectic representation. Preprint SteJslov Mathaoatical Institute, Moscow, Print-Sl-0439, 1-57 (1991) .

6. Zelenov E.I.s p-Adic path integrale. 3. Math. Phys. 32; 247-251 (1991)