Одношаговые методы численного решения жестких систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ
|
Бобков, Владимир Васильевич
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Минск
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
1995
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.07
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
кб 0й
Ш1СТ1ПУГ МАТЕМАТИКИ АКАДЕМИИ НАУК БЕЛАРУСИ
1 J НОЯ ДО5
УДК 519.62
бобков Владимир Васильевич
одпошаговые методы численного решения жёстких снстш
01.0t.07 — шлчислителшая математика
Авто реферат диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических тук
Минск, 1995
Работа выполнена в Белорусском государственном университете
Официальные оппоненты: доктор физ.-млт. наук профессор Абрашии U.U.,
доктор физико-математических наук Вабищевнч ПЛ., доктор физ.-мат. наук профессор Калинин А.И.
Оппонирующая организация — Московский гос;, чарственный
университет им. M.D. Ломоносова, факультет вычислительной математик» и кибернетики
Защита состоится " / " (jixaSjiA 199S_r. в часов на заседании совета Д 01.02.02 по защите диссертаций на соискание учёной степени доктора физико-математических наук в Институте математики All Беларуси, 220072, Минск, ул. Сурганова, 11
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики АН Беларуси
Автореферат разослан
ÛTzut
Учёный секретарь совета по защите диссертаций
старший научный сотрудник — а.И. Астровский
Общая характеристика работы
При решении задач с начальными условиями для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) обычно приходится прибегать к процедуре дискретизации, когда законы изменения по пргменн искомого решения, задаваемые исходными уравнениями, аппроксимируются на фиксированных отрезках временной переменно!!. Как правило, а качестве приближающей используют разностную задачу. Начиная со времён Эйлера, этот приём широко применяется на практике. Гост быстродействия вычислительной техники скрашивал очевидный недостаток такого подхода: подобное опосредованное приближение решения ориентировано на случаи, когда его составляющие изменяются » одном иремсн-но'м масштабе.
Разномясштабность составляющих решения исходной системы дифференциальных уравнений обычно является проявлением разномасипабности реальных процессов. Такие системы часто возникают при моделировании задач химической и физической кинетики, приписными они стали и теории ядерных реакторов, в теории электрических цепей и устройств электроники, и астрофизике, биологии, медицине, экономике, теории упрапления и в других важних областях человеческой деятельности. Более 40 лет с подобными системами связано название "жесткие". Проблемы разпомзештабноети проявлялись и ранее, скажем, при исследовании еингулярно-возмущёлнш систем с характерным дай них явлением псграислоя, когда за короткое гремя "быстрые" составляющие ¡«тения могут зануляться п предглах точности наблюдения. Жёсткие системы ОДУ часто возникают и на ином пути, например, при дискретизации пространственных переменных о эпалющюшшх задачах ттематнчсскои физики.
Высокий уровень жёсткости обостряет проблему сохранения и дискретном варианте свойства устойчивости точного решения Решать эту проблему за счет малости шап не только не достойно науки, но и практически невозможно, вообще говоря, даже на самых мощных ЭВМ как из-за недопустимо большого времени счёта, так и из-за неизбежного в таких случаях накоплешм, вычислительных ошибок. В настоящий момент наиболее распространённым в подобной ситуации является использование неявных численных методов, точнее, тех из них, которые сохраняют свойство устойчивости при любых шагах временной сетки. Однако наличие среди извест. ^х разностных схем такого рода методов не
сннмает полностью труд! тети, порождаемые явлением разномасштабное™. Остается нерешенной, к примеру, проблема малого шага при анализе процесса в стадии, когда требуется отслеживать и "быстрые" составляющие решения, в частности при расчёте погранелоя или на "разгонных" траекториях. При большой жёсткости очень мелкий шаг сетки, теоретически обеспечивающий требуемый уровень аппроксимации тахт» составляющих, во-первых, может быть, как и
в случае явных методов, причиной роста вычислительных ошибок, обусяовлен-
!
ных реальной ограниченностью разрядной сетки ЭВМ, ¡1 во-Еторых, может привести на практике к плохому приближению ("подписанию") составляющих, отвечающих малым по модулю собственным значениям матрицы Як^би системы. Попытки же пройти такую стадию процесса, ориентируясь на запас устойчивости неявного метода, с большими шагами, не обеспечивающими требуемого урозия аппроксимации "быстрых" составляющих (в надекде сохранить на этой стадии хита би качеспхенко верную картину), означают, го-першх, фактический отказ от решения поставленной задачи, и во-аторих, при наличии, скажем, в данный момент о слсктрс матрицы Якобн и положительных собственных значений это может привести к грубому искажению отвечающих им спектральных составляющих оператора перехода линейного приближений. Помино того, численная реализация неявных разпосшых схсм тфп больших шагах дискретизации . - гложет быть сопряжена с проблемой пддхеи обусловленности! матрицы Якоои. Отметим также, что классические ¿-устойчивые методы, наиболее часто используемые в стандартных программах решения асимптотически устойчивых жёстких систем, не обладают сасвством монотонности по шагу яожшыюй погрешности. Уменьшение шага п этом случае мокет приводить и к увеличению ошибки.
На решение указанных зздач И направлена диссертационная работа. Наиболее важной и особенно трудней из таких проблем $тляется разработка методов • численного решения жёстких систем, позволяющих при реальных для практики шагах дискретизации экономично сести вычисления и случае существенной раз-номасштабности наблюдаемых в пределах требуемой точности составляющих избранной траектории, особенно з случае одновременного наличия "выгорающих" и "разгонных" гармоник матрицы системы линейного приближения.
Актуальность т-мы диссертации. С течением времени в силу развития научно-технического прогресса и естественной при этом потребности более полного математического описания исследуемых процессов проявления
разномасштайноотн, отмеченные пмше, становятся скорее прямилом, чем исключенном. Это нысенгает на иерпын план при построении численных истодов проблему повышения уровня согласованности лслольон и аппроксимирующей задач. Вполне естественно разработку методе» ног,мшенного урони л адекватности начать с одношагояых методой, так как но локальной стартовой информации они хорошо согласованы с постановкой задачи Коти. Ил момент нромдения исследовании й распоряжении вычислителей уже имелся определенный набор численных методов обн;его назначения, орнентнрошиних как па системы неполы'.гап жесткости, так н на случаи построены» заключительной (скажем, после прохождения погпапсяои) фазы решении устойчивой системы с достаточно имсокнм урсинем ра^помасштабпосш состзплжоших. Дополнительные песлсдсчкипш п функциональных рам<а;; 1 .¡кого набора иызпзны исоо\т,д1шоспю расширении круга мгтодоа подобного назначения за счёт шюршмо», сГшадаичннх лучшими характеристиками. Что же каенстеч пачшн.ыиЧ стадии решеним системы большой ;ке'сткоеп< (скажем, фазм нограислоч, кем;;а "оыстрмс" сооашиношнс еще наблюдаемы н пределах заданной точности) или сгадни потнпкипаенкн '•рздшн-пы>." траектории, то здесь обычно Л"оо вграннчниались грубой (лить чес!пенно иернон) ,И1форма;ч1ен, либо приОегалн к мелкому шагу сетки, если, конечно, последнее было допустимо как по затратам машинного иремгпи, так и и» уровню имчнелнтелькых сшибок. Крайне необходимом поэтому ки/шезед разработка таких методой, которые позмзлялн Гид в быстро изменяющейся решения систем высокой ж£стг;осте эффективно »сети ы.мнеяггим ори /юст.цочно осда.-шнх шага* сетки, особенно « случае одновременного наличим быстро занулню-шнхея и быстро растущих составляющих. Построен*!;: подобных мегодоа трсбо-
)'-ХЧО НОВЫХ ПОДХОДОВ К. ПрвблСМС КОНСТрущдаМНИ!» Ш4 |ИСДИ1СЛМ!1.1\ '.«ТОрИГМОП,
Связь работы с к р у и н 11 и п науч и мм к программами, темами. Данные исследомакня ц »«клг.тши годм шкчлншшсь в ряшгзх "Республиканской программы по рзэе;гг!И> м прикладных 1;еследок..)-иий в области математики, широкому п;н(>.1енени1э методсв математического моделирования в отраслях народного ломпстк» респуйшки па период до«2000 г.я, угоерждёниой постановлением Президиума А1> СССР "-Й2 от 2 января 1989г. (раздел I, шифр 1.1.15, темаПостроить и исследовать экономичные м столп численного решении жесткий систем обыкжюашш лпфферпшиальных уравн®-ннй", 1988-2000 г.г., основной испалштяь — Белгссуннвгрснтег, в плане НИР
БГУ на 1991-!995 r.r. помер госрегистрации — 01920001424), н также it рамках темы Министерства образования и науки Республики Беларусь на 1994-1997 г.г. "Разработка адаптивных алгоритмов численного рс.игжш жёстких систем", выполняемой по распоряжению Министерства Ws05-S/17 от 23 январи 1994 г.
Цель и задачи исследования. Основной целью является разработка эффективных методов численного решения задач с начальными условиями для систем ОДУ, характеризующихся существенно;! разномасштабностыо составляющих решении. Для её достижения потребовались введение новых понятий вычислительной математики п разработка новых требований к численным методам. Пришлось таске решать задачи выработки новых подходов •: построению многоэтапных вычислительных алгоритмов адаптивного типа и разработки новых способов конструирования методов как общего назначении, так н узкоспециализированных, в частности явных численны« методов, позволяют!« избирательно регулировать уровень аппроксимации разномасштабных составляющих решения.
Иаучиал новизна полученных результатов. Все основные результаты, приведенные в данной работе, являются новыми. Однако ко уровню научной новизны их можно разбить на несколько групп. Наивысший рейтинг имеют, конечно, результаты, изложенные и главе 5, где, насколько известно автору, впервые построены численные методы с раулнрусмым уровнем нзбира-1СЛЫЮГО приближения разномасштабных составляющих оператора перехода, использование которых да5т иозмо:«:о<;гь и в еяучаз систем высокой жёсткости мсти сгег при естественно больших значешок нтга дискретизации как для "еыготу.аяцих", так и для "разгонит«" спсхгрдоьнш составляющих, при этом и в ситуации ояиовреыгнного их наличия. Результаты этой главы в значительной мере базируются на материале радиола 1.2, где выдвинуты нового типа требовании (локальной взанмосогд&совэшюсти операторов) к конструируемым методам и сонутствуюшпе им новые понятия теории численных методов. Конечно, не только этими требованиями предопределяются подобные характеристики предлагаемых в главе 5 явных численных методов. Очень важными являются здесь, например, также требование спектральной упорядоченности (1.24) и требование сохранения правильного положения равиомсня типа (1.32), ььшвннуше в рада-ле 1.1 в развитие известных pause условии качественной согласованности точного и сеточного решений. D разделе 2.Í спераы: предяохжн уекуршзного типа способ построения послеаогательностн линейных дпфффеилчоодых систем с
МПОГОЧЛСННОЙ неоднородностью ДЛЯ приближения ИСХОДНОЙ CUCïCMbl нелинейных ОДУ, позволяющий конструктивно реализовать проводимую п работе линию на предьзричельную аппроксимацию исходно)! задачи опять же дифференциальной задачей, но более простои и информативной структуры, с последующей разработкой для последней специализированных методов, il- базирующихся, в частности, па идее разложения по малому параметру и обладающих свойством монотонности по шагу локальной ошибки (t.36). Научные результаты, изложенные » главе 4, лредстааляют собой дальнейшее развитие подходов к построению численных методоз, существенно связанных с известной процедурой быстрого умножения для матричной экспоненты. Значительную новизну здесь представляет ацанишшн характер и высокий уровень > i в гверсалы юстн предлагаемых алгоритмов. Существенным развитием известных подходов к построению численных методов общего назначения на основе многочленных аппроксимации являются результаты, изложенные в разделах 2.2 и 2.3. Аналогичным ядляется уровень научной ноьизиы и для материала, предлагаемого в главе 3 и связанного с так называемыми нелинейными численными методами. Здесь следует отмстить конструктивное использование нелинейного Функционала Реле«.
Практическая значимость полученных результатов. Представленная работа имеет преимущественно теоретическую направленность. Однако очевидна и практическая ценность полученных в ней результатов. Предлагаемые здесь методы и подходы к построению вычислительных алгоритм«»» могут быть рекомендованы к использованию при численном модслироланни широкого круга задач, приводящих к системам ОДУ (особенно с высоким уровнем разномасштгбнсстн составляющих). Пятнадцать, из алгоритмов, разработанных па основе обсуждавшихся здесь численных методов, иключены и Республиканский фонд алгоритмов и программ. Очевидно также научное и практическое использование представленных результатов при гострсении вычиедитедьяых алгоритмов для эволюционных задач а. случае джКи'рсшшальньгх уравнений с частными произзоднымн, а также при решении многих других задач, в том числе к широкого круга задач линейной алгебры. Непосредственное применение эти результаты уже находят и будут иметь в учебном процессе при подготовке специалистов высокой квалификации в области прикладной математики.
Экономическая значимость полученных результатов. Дополнительные возможности численного моделирования широкого круга важ-
ных практически;; задач (снизанные как со значительный сокращением вычислительных затрат, так и с расширением области приложений), предоставляемые предлагаемыми численными методами, являются основным источником экономической ¡»'¡ф^ктиниостн результатов диссертационной работы.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту. Токоиыми являются:
— новые требования к методам '¡деленного решения жёстких систем, е частности требования локальной изаимосогласоианностн операторов перехода на чипе сетки, и связанные с ними иоьыс понятия теории численных методов (понятия "локальной прошьодной" приближённого решения и его нешзки на «сходной системе нелинейных: ОДУ), ;> также новме подходы к построению многоэтапных личислитсльных алгоритме!) с адаппшно регулируемым (при заданном uiavc) г.зСнратслишм уровнем аппроксимации рздномаенгг&бммх спектральных состаиляющпх оператора перехода линейною приближения;
— рскурсняный способ построения псспсдозатсльности апирокспмирую-ших для исход^оГ! системы нелинейных ОДУ систем линейных дифференциальных уравнений е многочленной неоднородностью;
— специализированны? яииые методы численного решения систем линейных ОДУ, основанные на монотонных аппроксимациях спектральной функции оператора пср-схода и допускавшие Садя любого фиксированного значения шага) адаптивно избирательнее регулирование уровня приближения разномасштабных составляиших этого оператора, xapjtcrsfHOii особенность» которых (в отличие от классических численных методой) :;елястсл качественно мной тип аппроксимации, не иривязашыК к концепции малости шагг, и сущсстигнное исполгзогсшка законов точного интегрирования, ьздтасснных »< услоянях локальной взаимосогласованности операторов перехода на шаге дискретизации;
— адаптивного типа алгоритмы решения систем ОДУ с постоянными коэффициентами, базирующиеся на процедуре экономичного построения результирующего рсзноспюга оператора дгч пспомогательноИ сетки узлов;
— ноаие многомодульные методы общего назначении (как явние, так и нсяииыс), оекзвзнные на принципа последовательного иошиккиа порядка точности приближений;
— способ построения модульного типа численных методов с расширенной областью устойчивости;
- 7— способы построении численных методов специального назначения, оснонапшк на использовании нелинейного преобразования Эйтксна и принципа мультипликативной корректировки известных разностных схем;
— способ построения методов решенья систем ОДУ, основанный на пошаговом выделении н точном обращении главной снсктралыг 'i член; исходного дифференциального оператора с последующей аппроксимацией остаточного члена.
Личный вклад соискателя, Нключённмг в диссертанта основные научные результаты получены автором лично. Они опубликованы, как правило, без соакгорсп. II?. публикации п соавюрствс обычно делаются лишь ссылки с пелыо указания на имеющиеся обобщения, усовершсиспкмамня или дальнейшее развитие предлагаемых п работе плен и подходов.
Апробация результатов диссертации. Результаты исследований по теме диссертации докладывались на республиканских конференциях математиков Велоруссии (NfiiíicK, !967г., 19?Ir., 1975г.; Гродно, )9Я0г.), ч;> нсссо-юзном ссмии.'чре "Вопросы оптимизации >< организации вычислений" (Киев, ¡976г.), в Ягеллонском университете (Польша, Краков, 1977г.), на мофвенубли-канскнх семинардх '"Численные методы решении и приложения дифференнипль-ных уравнений" (Вильнюс, 197Sr., J9SSr.), нл .iropo.vî рссиубликансквн симпозиуме но дифференциальным и интегральным урлоненням (Одесса, )9?Яг.), в Университете г. Загреб (СФРЮ, 1979г.), и Университете ни. Э.Карделя (СФРЮ, Любляна, 1979г., 19ВДг., 1981г., l9S2r., 1'jS'Jr., 1987г.), на «нестой всесоюзной конференции по тепломассообмену (Минск, ISSOr.), ict похоюлмой школе-семннгрс "Методы малого параметра и их применение" (Минск, 1982г.), на всесоюзных школах-ссмиизрах академика Л.Л.Самзрскою (Казань, 1982г.; Львов, 1983г.; Минск, 1934г.; Рига, 1935г.; Одесса, 19S7r.). п Университете г. Ном.ш Сад (СФРЮ, 1984г.), на межвузовски* школах-семинарах "Теория приближений и задачи вычислительной математики" (Москва, ' "?S6r, ; Ленинград, l9S9r.), на всесоюзных конференциях "Новые подходы к решению дифференциальных уравнений" (Дрогобыч, 1937г., 1989г.), на межреспубликанском семинаре "Методы решения жестких систем н их приложения* (Красноярск, 4988г.), на республиканской конференции "Математическое моделирование элементов и фрагментов БИС (Рига, 1990г.), на международном конгрессе IMACS "Математическое моделирование и приложения штемапкн" (Москва, 1990г.), • на республиканской научной конференции "Математическое моделирование к
вычислительная математика" (Гродно, 1Р90Г.), в Международном математическом центре имени Стефана Банаха (Польша, Варшава, )991г.), на международной математической конференции "Проблемы математики и информатики" (Гомель, 1994г.). В полном объеме диссертация докладывалась и обсуждалась на семинаре Ьелорусского математического общества (Минск, 1995г.)
Опубянкованность результатов. Всего но теме днсссргзшш опубликовано 12-1 работы, в том числе 5 книг (2 учебных пособия с грифами Минвуза СССР или Минвуза БССР и 3 монографии), 49 статей в научи;« журналах (из них 3 — в иностранных), 39 статен а научных сборниках (из них 9 — в иностранных и 15 — в сборниках Республиканского фонда алгоритмов и программ), 3! тезисов докладом (из них 2 — за рубежом).
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из шедепн;!, общей характеристики работы, основной части из 5 глав, выводов, списка использованиях источнике!» и приложении. Полный обьём составляет 237 шшшюьиснь'х страниц, включая список г.снользоилнних источников (203 наименования) и приложение, на которые приходится 4в страниц.
ОСгЮВнее содсрмянно
в гдлрс / "Итшшгиие урееия юдсквятшхтя наемной и йппрэкевмирующей задач" наряду с крэгкпм историческим обзором, обоснованием направленна, методики и путей мсследсзашм, основное стшаииг уделяется формированию требований к численным методам, обеспечение.« которых со многом и предопределяется з<]<; ектнпноеть конструируемых алгоритмов. Первая группа из таких требований преследует цель дальнейшего повышения уровня качественного соответствия законов изменения точного и сеточного решений на всём отрезке наблюдения. Вторая хе группа этих требований направлена на обеспечение локальной (в пределах шага дискретизации) взаимосогласованности операторов, осуществляющих переход но приближённому н точному решениям между уздами дискретизации. При этом я о5ош случаях к постановке дополнительных условий такой адекватности следует подходить очень взвешенно, так как обеспечение завышенных дзя избранной конструкции (даже естественных, на первый взгляд) требований I южс т иметь и серьёзные отрицательные иосяедстрия.
Задача Кошп для системы ОДУ вида
- 9-
и'-/(!,„), 0.1)
где
и=(н„...,ип)т, / - (/,.....Л/, и, Ш 4,(1), /, ш /,(/,,О, / = ¡,2,...,//.
»пишется оснопным обьектом нашего исследования, хотя многое из затронутого здесь имеет, конечно, отношение к к другим дифференциальным задачам, особенно эволюционного чипа. Наряду с (1.1) рассмотрим также систему
и'0)~Аи0)4-а (!.2)
с постоянным)! магрице/1 Л н исстором а . Последняя, с одной стороны, ¡.¡ожег играть роль модельной при разработке методов общего назначения. С другой стороны, особое шншанкс к (1.2) связано н с тем, что системы именно такого пнда возникают п простейшем варианте пошаговой линеаризации (!.!). Актуальность численны, методов, ориентированных пч системы »¡¡(да (1.2), сбуслозли-нзется, кроме того, и прямым кыхолом таких методой через идею установления па оспенные задачи линейной алгебры, имеющие а «.¡числительной практике наиболее широкое распространение. П дальнейшем конструкция кспомогатель-нон систем!.' усложняется.
1! разделе 1.1 "Сатаны,1 требования кочеапзтьм согласованности точного и сеточного решений" иамшя роль огполигся спеет ралы юн концс.чшш, с которой еияэаны наиболее интересные |>езул1.тш1.1.
Предполагая штрину А и (1.2) невы(южде1шон и нсдефсктной, любое решение можно записать и циде
+ Н.З)
где и рассмзтрииаемом г?-мериом векторном пространстчс набор пекторс» есть бмне «3 собспшгиних псеторов м-.прнлч А, огкечакпцнх соог-ветственно собст пенным значенном Х,Д2,...,Х. этой патрицы, а константы с|,с2,...,с„ предопределяются задание).« ш'шших ус.;пп;»/1. Вектор ■у' о вхр(Х,1) п (5.3) при этом часто нашешэт ¿-ой гармоникой сосгаетвую-шеП (1.2) однородно!'! системы. В силу (1.3) при любом х > 0 будем иметь:
а = и(1 + х) = -Л'1 а + ¿сД' гхр(Х,1)ехр(к1л). (1.4)
ы
Нариду с (1.4) процесс перехода в ионий узел сетки молено описать н иначе:
*
и(/ + т,) = схр(Ах) и(!) + \ехр(,1х);1х а , (1.3)
о
Простой анализ рапенстп (1.4) — (1.6) приводит к заключению, что оператор перехода на шаге т вдоль траектории системы (1.2) может характеризоваться существенной разномасштабноетью составляющих. Уроиеиь такой разномасштабное™ эаписит, прежде иссго, от разброса собственных значен!'"! матрицы чем предопределяется, скажем, в aty.se Кс(к1)<0 (¡~1,2,...,и) и уровень различия п скорости* "выгорания" (см. (1.4)) гарк-.оипк исходно« системы. Сопряженные с этим проблемы, очевидно, перекликаются с трудностями, порождаемыми в дифференциальных урагшеннях калан параметром при старшей производной. "Нсявность" подобного пара,метра в пашен случае порождает дополнительные затруднения. В научных публикациях такую (скрытую в спектре матрицы Л) раз-номаситтайность обычно сиязыиашт с понятием "жёсткости".' Одна из возникающих при этом проблем (ее чащи и подчёркивают) заключается в том, что решение, которое предстоит наблюдать численно, моч-.ст уях измениться и медленно (скажем, в стадии регулярного режима процесса), однако при этом имеют место быстрозатухлющ)!!? похмущеиия. Если применяемый метод не способен (при естественных шагах наблюдения) сохранить свойство затухания быстрсш-меняющижея гармоник, то вычислительные трудности, очевидно, неизбежны. Другие (и не менее важные) проблемы, порождаемые пилением жесткости, уже обсуждались в структурной части "Общая характеристика работы" автореферата. Там же отмечались также нерешенные задачи и осиопнне трудности. Эти трудности могут усиливаться к по причине существенной разномасштабности начальных условий решения и положения равновесия системы (1.2). В общем случае системы (1.1) подобная ситуация, вообще говоря, ужесточается. Квалифицированное разрешение подобных проблем можно искать из пути повышения уровня адекватноеги непрерывной и дискретной математических моделей.
Ориентируясь на точное соотношение (1.5), будем сейчас иметь в виду такие методы численного решения задач с начальными условиями для систем вида (1.1), которые применительно к (1.2) могут быть записаны в форме
у~Е(А,х)у + Я'(А,т)а, (1.12)
или
}> = £|Чф + х = >+0(Д1)у + «, (1.12а)
где у « и - и(1), у » к = «(Ч + х), Е(А,х) « е.хр(Ах), 8'(А,х) » $ехр(Ак)с1х,
о
&-&(Л,а,ъ)ч5'(А,1)а, <2(А,х) = Е(А,х) -1, I — единичная матрица. Обратим внимание на то, что при записи оператора Е(А,х) мы не требуем (как хотелось бы, на первый взгляд, для более полной согласованности с его прообразом ехр(Ат) ) вхождения переменных А и т в виде произведения А- , как обычно и бывает в классических разностных методах. Здесь ограничимся по этому поводу лишь замечанием, что сделано это с целыо компенсировать хотя бы частично (за счёт дополнительной свободы в конструкции такого рода) неизбежные потерн при переходе от ехр(Ах) к операторам более простой структуры. Основной эффект от этого продемонстрирован в главе 5.
Дли оператора Е(А,х) нпедём в рассмотрение спектральную функции ЕСк,х), являющуюся приближением к ехр(Хх) и определяемую условиями
Е(А,1) 4' = Е(Х„х) % , /=1,2.....и. (1.13)
Будем иметь п »иду сначала случай однородной системы. В соответствии с (1.3), (1.12), (1.13) мстю записать:
В силу этого с учетом (1.4) вполне естественными являются следующие требования при т -»• оо к спектральной функции Е(К,х): •
Е(Хк,х)-*0 монотонно, если <0, (1.15)
Е(Хк,х}-> О .если Ке(\,.)<0, (1.16)
со монотонно, если >.*>0, . (1.17)
, сели Яг(Хк)>0. (1.18)
Вторая серия требований такого рода может быть связана с величиной ехр(Хкх) при любом фиксированном значении т>0 :
\Е(: = 1 . если Rc('Kk) = 0, (1.19)
Q<E(\k,x)<i .если Л*<0, (1.20)
< 1 , если Re(Xk) < 0. (1.21)
E(Xkrt)> X , если Хк >0, (1.22)
\Е(\к,х% > 1 . если Ке(Хк) > 0. (1.23)
Третьи серия подобных требований отражает счеыцнюе свойство упорядоченности спектральных множителей перехода (см. (1.14) и (1.4) при а=0):
E(\k,t) > E(\j,x) > 0 ,ссли:.4>Лу. (1-24)
В литературе по данной проблеме для предсказания устойчивости численных методе» обычно используют скалярное модельное уравнение
u'(t) <=ku(t), (1.25)
где константа А. может быть ннтсрпрстирояапа как любое собственное значение матрицы Якоби системы (1.1). IIa основе (1.25) была сформулироьапа серия условий устойчивости: Л-устойчииость, /iCtiJ-устоичизость, ¿-устойчивость, жесткая устойчивость и т.д. Классическое понятие /¡-устойчивости может быть, например, идентифицировано с требованием (1.21). Не менее широко известное понятие ¿-устойчивости можно связать с условием (1.16). И хотя не дли ьссх из требований (1.15)-(1.23) сразу же устапаатпгаютсл подобные параллели с широко известными условиями, однако принципиальной новизны и сравнении с требованиями, индуцируемыми поергдетгом (1.25), здесь, конечно, не возникает. Новизна их роли скорее в комплексности подхода (очевидно, например, что ни один из классических методов всем сформулированным выше требованиям о совокупности не удовлетворяет). Что касается нового требования (1.24), то оно имеет принцппиатьную важность, так как обеспечивает соблюдение качественной адекватности структуры точного и приближённого решений и гарантирует правильную сравнительную скорость эанулсшш гармоник в дискретном варианте. В работе показано, например, что выполнение требования (1.24) обеспечивает нелинейному функционалу Релея
\i„(v)~ÍMv)!(v,v) (V ¿ О,) (1.26)
cnoi'icriui монотонного нозрастаншг и пределах спектра симметричной матрицы А лдоль негрипизльноП и отличной ог гармоники траектории однородной системы лила (1.2), численно моделируемой посредством (1.12):
Чо(У)>»о(У) (У у * у', i = !,2,.(1.30)
Услопие пила (1.30) laioce можно трактпнать кпч одно из грсбоп.шии рассматриваемой согласолзнности.
При постановке дополнительных (« рамках первой труппы) треОсшакий согласованности исходной и аппроксимирующей задач обратимей далее к случат неоднородной системы (1.2). Как и пьпае, и силу локального характера построений можно записать:
У - Г.(А, х)у + МЛ. х)Л-ха * У с^1 ayO.,t) Wh ,х>. <<•-")
Добнм.шсь максимального соотнстстан.ч подученного предс.чтления (1.3») дян У с выражением (1.4) для й, потребуем г.ынолнсип» рягеиетт-а
¡1.32)
При естсстьснноп нрелмочоженин о сущссгиопэннн ü''(A,x) оно tipHHHwer пцд
и может быть нстолкомно как требование соиш'Денн.ч стациоиарнитс решении исходной (1.2) и аппроксимирующей (1.12а) спаем. Копструктиинг.л рсалнзэинч требований пида (1.16) и (1.32) гарантируег соотпетстиукиисму методу применительно к (1.2) для случая /!?(>,,) <0, / г= |,2,...,и, пополнение акпклм (ср. (1.4))
у — ......> -Л"'<7. (1.35)
Для методов вида (1.12), (1.12а), не связанных при построении оператора Е(Л,х) с процедурой, шчнслмтсльно зкпиюяешисИ операции оСрзщгшш матрицы А, выполнение (1.35) становится, иообще говоря, нереальным. В силу этого требование (1.16) п случае методов такого рода следует признать запышешшм. II глапе А на базе япных методой вида (1.12а) построен достаточно экономичный вычислительный алгоритм, обладающий стоЙстеом тина (1.35) н обеспечивающий выполнение требования (1.16), однако при этом, конечно, его вычислительные затраты согласованы с реалиями. Для классических же неявных разностных методов свойство (1.16) часто выполняется. Эпш широко пользуются при разго-
нс шага сетки. Правда, общеизвестны трудности практического использования таких методов, а тагасе принципиальные затруднения, сознихающне при появлении у матрицы Якобн системы (1.1) положительных собственных чисел. "Излишняя" устойчивость неявных методов в этом случае может оказаться опаснее нехватки таковой для явных разностных схем. В дополнение к сказанному обратим внимание ещё на одно обстоятельство.
Введём в рассмотрение функцию
с А, х) « exp(Ki) - Е(\, х), (1.36)
поведением которой с изменением шага т в случае конкретной ззд:. .и Коши для системы вида (1.2) полностью предопределяется характер поведения локальной погрешности метода (1.12). Легко видеть, к примеру, «по для неявного метода Эш:гра каждому собстепному значению X, < О (/ = 1,2,,...,л) матрицы А отвечает значение т »-2.5/Х,, при котором функция -а(\,,т) принтшчт максимальное значение (приближённо равное 0.2). Тем самым, принципиально говоря, выбором начальных условий погрешность метода может быть сделана сколь угодно большой. Такал опасность сохраняется, очевидно, и в случае любого L-устойчивого метода. Сказанное не означает, конечно, что ¿-устойчивые методы не должны использоваться п вычислительной практике. Напротив, применение таких численных методов для решения асимптотически устойчивых систем может быть эффективным., когда их достоинства будуг использованы целенапраменно. Разумной, например, представляется оргшшзащк вычислительного процесса, базирующаяся на сернн разноплановых методов, очередность применения кото-, рнх адапшвно привязана к характеристикам наблюдаемой траектории. Методы, обладающие свойство?,! ¿-устойчивости, могут прн этом использоваться в заключительной стадии процесса, когда по существу таяуащт естественен большой шаг наблюдения. В стадии же бурного из тененкя, особенно в сяучае значительной разномасштабное™, разумнее использовать методы, уеяоэня применения которых не связаны столь существенно (как в случае классических разностных схем) с величиной шага дискретизации. В главе S диссертации предложены пригодные для этих целей явные численные методы, удовлетворяющие прн любом фиксированном т>0 требой hijo очередное™ (1.24) и обладающие при этом отсутствующим у £-ycTo;i'íi¡iibix методов свойством монотонности по тагу погрешности (1.36). Прн построения таких методом конструктивно используются упоми-
мявшиеся уже ранее требования второй группы условий согласованности, обсуждающиеся в разделе 1.2 "Условия локапыюit.взаимосогласованности операторов".
Пусть в «-мерном векторном пространстве заданы уравнение вида
Z'(x) = f(x,z(x)) (1.38)
и некоторый метод
и - F(n,T) (1.39)
численною решении задачи Кошп для него, где и « z(x), it я z(x + Т), Т>0. введение п (1.3S), (1.39) новых обозначении, отличных от используемых ранее, вызвано тем, что в дальнейшем в классическую схему аппроксимации дифференциальной задачи разностной предполагается внести изменения, связанные с возможным включением н нес промежуточного этапа приближения исходной задачи последовательностью опять же дифференциальных задач. Необходимость такой многоэтапное!'!! можно аргументировать, скажем, следующим образом.
При построении методов численного решения эволюционных задач в качестве конечною результата должен выступать оператор (или группа операторов) перехода но решению из одного дискретного состояния в другое на временной сетке. В случае классического подхода построение такого оператора есушесга-лпется обычно опосредованно через аппроксимацию временных зависимостей, задаваемых исходными уравнениями. Более приемлемой била бы, наьерное, непосредственна!! аппроксимация подобного многомерного оператора перехода, обеспечииагощая при наперёд заданием шаге требуемый уровень приближения избирательно для каждой из составляющих (или хотя бы для альтернативных .групп таких составляющих). Примерь, реализации такого избирательного подхода к аппроксимации даны в главе 5 днссгртанни. Oil предполасаст, конечно, наличие некоторой информации о структуре привлекаемого оператора. В общем случав системы (I.3S) мы не располагаем удеплстсорптслшьш дня конструирею-ння метода вида (J.3S) уровнем нпфершцнп о соотяететауго.'гем операторе перехода. Поэтому и предполагается на казедоя шгге сеткл предварительная нм-прэксимация негодного уравнения последовзтельнаеПоК» опять же дифференциальных, ¡so линейных по загиснмой переменной уравнений. Это открывает дополнительные возможности конструктивно учесть сбытую разиомясштабносгь составляющих соответствующих операторов. Временные ж® зависимости при этом приближаются уже опосредованно с существенным ссиольэоганпсм законов
' — 16 -
точного интегрировании, которые (в силу одномерности времени) нетрудно учесть п конструктивно реализовать через условия локальной взаимосогласованности рассматриваемых операторов, не привязывая сильно тем самым (о отличие от классической разностной аппроксимации) уровень приближешш к вел!гчнне шага дискретизации.
Рассмотрим на отрезке между двумя соседними узлами дискретизации связанную с сеточным решением (применительно к методу (1.39)) функцию
непрерывного иргумента ¡;е[0,Т], где г(0)-и, \(1)=й. Подобную информацию о локальном (в предел;«, шага) шменешш приближенного решение позволяет дополни н. "локальная производная" (производная на шаге) г'(с,) - ч'(х ■>,■£,) = (,), посредством которой м*. xi¡о записан. невязку
р(х + V = /(х + - (!.'•. 1)
приближённого решения на исходной снстс.че (1.33/. Заметим, что невязка (1.41) может бить непосредственно вычислена дал каждою зпячсшш I, шита дискретизации. Эпш она выгодно отличается ог обычно используемой в теории разностных схем невязки точного решения на приближённой системе (1.39), через которую взюднтся поштис ногргц.ности аппроксимации. Для лохг.;«иой же "огреш-ностп метод;» (1.3у)
+ сГ-Х + V - «С* + V, Ф) = 0,
и этом случае можно записать;
г+% 1*1.
+ ! р{'№'+ \\г0,га))-10,ии»\и. (1.43)
л ж
При малых значенимх ^>0 первое слагаемое в (1.43) может дать хорошее представление о величине локальной ошибки.
Учитывая особую роль матрицы Якоби исходной системы (1.38), связанную с процессом пошаговой линеаризации, запишем (1.38) на шаге Т в виде
С*(г + V = уП(х + Г,) + « + <?Ю, (4.44)
где А = /, (х, z), K-(V - J (х + 4, сЛ* + 4 " ьмоергм
зиаченне векторного параметра л, nanpt tcp, из требования Тогда п ка-
честве ириблнжаюшеп для ис.хп/ию¡i получим систему ОДУ urna (1.2)
h'Cx + V - Au(x + V + a, (1.44а)
где nf.x + » íj), * ç[0,T]. Tai; как на таге т > 0 (х S Т) значения точного решения системы (1.2) (или (1.44а)) связаны равснстром (1.5), то явный метод численного решения (1.2) можно искать, как было уже сказано, в чидс (1.12). Кроме естественных требовании апнрокснмпиип при построении операторов Е(А,х) и S'(A,x), предопределяющих основные характеристики метода вида (1.12), должны приниматься по пннманпе также и сгонства их локальном (и пределах шага дискретизации) взаимосвязи и соотиетстпии с точными операндами (см. (1.5)). Конструктивное обеспечение требований локальной гюпнмосогласо-панносги операторов можно осуществлять с нсподьйованнем функции (1.40), которая а случае метода (1.12) принимает >;ид
y(l + x) = E(A,x)y+S'(A,x)a, 0(1.47)
где y(t)~ у, yft-i-т) = у, F.Í~ !, S'(A,0> = 0, а через О обозначена нулевая матрица. С друтон стороны, поскольку (см. (1.5))
u'(¡ + x)~exp(A<)[An(t)-\-u], Ö ь X ^ т, (1.43)
то впедённую шлне "локальную производную" можно искать » форме
y,0 + x) = E'(A,x)(Ay + a), Е'(А ,0) = !, 0'.тйх, (1.49)
где Е'(А,х), как и Е(А,х) и (1.47), яплнется некоторым приближением к ехр(Ах). Потребовав о соответствии с (1.5), (1.48> совпадения ректоров, задаваемых по правилам (1.47), (1.49), приходим к следующим взаимосвязям и пределах шага сетки между пороздакмцнми конструируемый метод операторами:
« *
E(A,x) = r + S'(A,x)A, S'(A,x) = jE'(A,VJi. (1.50)
»
Очевидно, что кажущееся на первый взгляд естественным формальное требова-
- 18т
ние локальной согласованности (1.12) с (1.5) вида S'(A,i) = ¡E(A,x)dx сов-
о
местимо с (1.50) лишь в идеальном случае Е(А,х) = ехр(Ах), а при другом выборе Е(А,х) приводит к нарушению важного условия (1.32).
При наличии свойства коммутативности ЛЕ'(Л,х) - Е'(А,х)А в дополнение к (1.49) можно записать:
Ay(t + x) + ti= Е( А, х)(Ау + а). (1.51)
Это даёт возможность получить для невязки вида (1.41) следующее выражение:
р<-/ + х) = [Е(Л,х) - Е'(А,х)](Ау + а). (¡.52)
Подчинив иибор операторов, порождающих метод вида (1.12), дополни- ' тельным ограничением (1.50), мы не только получаем возможность иосредспюм равенств (1.49), (1.51), (1.52) составить достаточно полное представление о локальном процессе искажения системы (1.2) с увеличением usara дискретизации, но и конструктивно закладываем с аппроксимирующую систему, как легко видеть, правильной положение равновесии.
Заметим, что согласно условиям (1.50) выбором оператора Е'(А,х) однозначно задаются также S'(A,x)n Е(А,х). Поэтому именно через построение Е'(А,х)и метод вида (1.12) конструктивно могут был, заложены наиболее существенные из требований, скажем, шда (1.15)-(1.24). Некоторые подходы к кон- . струнропанию £'(А,х) рассмотрены в главе 5 диссертации. Требования (1.50) локальной взаимосогласованности операторов ориентированы на системы ОДУ вида (1.2) (см. также (1.44а)) и базируются на точном соотношении (1.5) и связанной с ним конструкции численных методов вида (1.12). В качестве естественного обобщения (l.-fla) можно рассмоц гъ систему
и'(х + у « Аи(х + (0 S ^ 5 Т) (1.53)
с многочленной pJ%) «= неоднородностью. Поскольку соотношенгм типа
Í. 9
(1.5) и согласованные с ичми методы типа (1.12) могут быть выписаны в случае (1.53) не только при «р-0, то аналогично можно сформулировать и обобщающие
(1.50) требования локальной взаимосогласованности операторов применительно х (1.53) для случая любого фиксированного (целого) значения д^О .
Отметим, что наиболее важные положения представленною в этой главе единым блоком материала по проблеме повышения уровня согласованности исходной и аппроксимирующей задач базируются на работах автора [26], [29], (33], 136], [48], [50].
Методы, рассматриваемые во второй главе "Многомодульные методы, основанные на принципе последовательного повышения порядха точности приближений" объединены общей методикой построений и ориентированы на системы ОДУ вида (1.1). В плане реализации выдвинутой в главе 1 стратегии построения вычислительных алгоритмов наибольший интерес здесь представляет предлагаемый в разделе 2.1 "Построение методов высоких порядков точности па основе многоэтапной линеаризации исходной системы обыкновенных диг^реренщшьиых уравнении" способ построении последовательности систем вида (1.53), предназначенных для пошаговой аппроксимации системы ОДУ общего вида (1.38).
13 разшггие сказанного выше (см. рассуждении, связанные с (1.44), (1.44а)) процедуру перехода от 1~1(х) к г(х+7) заменим нахождением поправки
д.^-гСдс + у-г (0<1,&Т), (2.1)
для которой на отрезке 0 £ % £ Т поставим задачу. Кошн
АиО^М^ + аъ-к^а), = 0, (2.3)
где //*+£■ Л = /:(х,г), а постоянный вектор
я0 « /(х,г) выбран на основании требования
<?,<Ч); = 0. (2.4)
В качестве первого приближения к можно взять решение задачи
ВД-А^ + в«. 81(0> = 0. (2.5)
Для приближённого нахождения на отрезке новой поправки
~ - можно использовать задачу Кошн
52{0) я 0, (2.12)
при построении которой постоянный вектор й, = /Х(х,и) выбран mтребования
<1>'2(0/=0. (2.13)
При этом по построению выполняется также и равенство <ti2(0) = 0. Последующие поправки строится подобным же образок». Скажем, для нахождения на от-
4 W ,
резке 0 s \ й Т с локальной ошибкой порядка Т приближения к глав-
ной части очередной поправки ~ можно записать:
И! Н] П! , HI
ца) = льза) + «24г, 5/0; = 0. (2.24)
П)
Указано явное выражение для ог. Аналогичным образом г добпын процесс последовательного уточнения (2.1) может быть продолжен. Условия типа (2.4), (2.13) для нахождении а2, а} и последующих векторных коэффициентов ставятся, конечно, в новых точках отрезка 0¿¡;áT. В общем случае полученное при этом .приближение будет имен, вид
U-HI 1/ч-И
н + V = ,1 + 5,(0+ «;+...+ (V-
К достоинствам предлагаемого способа можно отнести не только рекурсивный характер вычислительного алгоритма, но и предоставляемую им простую возможность практической оценки урошш адекватности решений исходной и. аппроксимирующей систем.
Остальные результаты, представленные в этой главе, направлены на расширение возможностей традиционного подхода к построению численных методов универсального назначении с акцентом на шаг дискретизации как на основной параметр аппроксимации.-Например, в разделе 2.2 " Многомодульные методы, основанные на квадратурных формулах посгедовательно посиышощейся алгебраической степени точности" предлагается способ построения таких методов, базирующийся на рекурсивном использовании хорошо разработанного аппарата квадратурных процедур. Это позволило значительно упростить процесс построения в сравнении со способом Рунге-Кутты как явных, так и неявных одношаго-вых методов, в том числе и типа двусторонних (по этой же методике можно строить также и многошаговые методы). В частности, этим способом легко конструируются методы предсказывающе-исправдяющего характера высокого поряд-
ка точности, входящие в класс так насыпаемых вложенных методом, особенно удобных при практическом решении проблемы выбора шага. Этот же принцип может быть применён при" построении пошагового варианта метода рядом, не связанного с дифференцированием правой части уравнения ¡22, с. 13'.
С разделе 2.3 "Модулыюго типа методы с расширенной оолистыо устойчивости" предлагается подход к построению модулы той структуры численных методе» с расширенной областью согласованности по условию (1.20) пли (1.21). П хоти модульный характер предлагаемых в разделах 2.2, 2.3 методой доставляет им очевидные преимущества, одна ко эти численные методы не избавлены от главных недостатков классических способов численного решения задачи Коти, базирующихся на концепции малости шага. Содержание второй главы основано на работах автора [1], [4], ¡5], ¡61, [13], [22, гл.1], !45].
В третьей главе "Способы построения чиеггшшх методо". сриснтиронаштх на сгучай экспоненциального ноисдепин решении" собрата новые численные методы общего назначения, ориентированные на более узкие классы систем ОДУ вида (1.1). В нервом разделе главы с использованием нелинейного преобразования Эйтксна построены численные методы, эффективность которых существенно связана с условием диагонального преобладания матрицы Якоби исходной системы. В развитие методов с корректором, порождаемым преобразованием Энткена последовательности простых итерации в случае неявного метода Эйлера, а разделе 3.2 предлагается способ мультипликативной корректировки известных численных методов разных порядков точности с целыо делегирования им конкретных из недостающих свойств согласованности исходной дифференциальной и аппроксимирующей разностной задач. В частности, построены численные методы, обллзающне свойством точности на решениях системы вида (1.2), поведение во времени 'которых предопределяется одной гармоникой. Такое качество метода достигается введением в конструкцию корректора функционала Иелея (1.26) или его обобщений. Подобное свойство присуще н многим методам, конструируемым о использованием рассматриваемого в разделе 3.3 способа построенная численных методов, основанного пошаговом выделении и точном обращении гяачяой спектральной чдега исходного дифференциального оператора г, последующей аппроксимацией остаточного «гяяо. Кснструкгиаиое использопа-нт прч этом отношении Редея позволяет ->ффскпш«о оепг.ть зга-дчу мникмчза-
ции главной чисти локальной погрешности метода. Глава основана на работах автора 181,19], [101, [121, Н«!, 1151, [171, (191, 1201, 1211, [231, [24], 126], [29], [32].
Четвертая глаиа "Конструирование адаптивного типа вычислительных алгоритмов на пути экономичного нахождения результирующего разностного оператора для вспомогательной сетки углов" может рассматриваться и качестве первого шага в реализации подхода к построению численных методов, базирующегося на приближённой замене исходной задачи более простой дифференциальной задачей с разработкой специализированных методов численного решения последней. Правда, » этой главе построение указанных методов еще существенно опирается на концепцию малостн шага. В качестве аппроксимирующей для (1.1) здесь выступает система ОДУ вида (1.2), дли численного решения которой на каждом таге дискретизации вычислительные алгоритмы строятся путём экономичного нахождения результирующего разностного оператора для вспомогательной сетки узлов. Как и н случае разделов 3.2, 3.3, через конструктивное использование функционала 1'елси предлагаемые здесь численные методы наделяютя свойством точности па решениях, поведение которых предопределяется одной гармоникой системы, при этом, как и в предыдущей главе, через применение этого нелинейною функционала минимизируется главная часть локальной погрешности метода. С использованием отношения Релея и числового параметра, регулирующего количество уэлоп вспомогательной сетки, строятся вычислительные алгоритмы адаптивного типа, конструкция которых изменяется вдоль численно наблюдаемой траектории системы ис только в соответствии с изменением сё структуры, но и согласованно с изменяющимися в связи с этим у слог,ними её наблюдения в пределах заданной точности. Следует отметить, что именно в этой главе построены примеры алгоритмов, удовлетворяющих в совокупности всем высказанным в разделе 1.1 требованиям согласованности дифференциальной и соответствующей разностной задач, включая (1.35), н обладающих при этом свойством точности на решениях, изменен»« во Бремени которых зависит лишь ог одной гармоники. Содержание главы базируется на работах автора 126), |29], [33], [36), 138].
В главе 5 "Методы чьелекного решения жёстких систаи с регулируемым уровнем тшрвксаягщж резиолгаштибяш соствамищих оператора перехода т-пс&ного приближения" упомянуты)! ранее подход к построению вычислительных алгоритмов с использованием процедуры предварительной аппроксимации исходной задачи опять же дифференциальной задачей (но более простой и инфор-
мативчой структуры) с разработкой для поел едя ей специализированных числен-лих методов, не базирующихся на концепции малого шага, получает, наконец, принципиальное конструктивное обоснование через построение способов численной реализации последнего этапа рассматриваемой цепочки приближений. Предлагаемые здесь явные численные методы при любом фиксированном т > О могут п принципе обеспечить с сохранением' основных требований обсуждавшейся выше согласованности сколь угодно высокий порядок точности приближения. Рассматриваемые в данной главе способы построения численных методов основаны на монотонных аппроксимациях спектральной функции оператора перехода линейного приближения. В отличие от традиционных методов, для которых качество аппроксимации оператора перехода в правой ("мягкой") и левой ("жёсткой") частях спектра матрицы системы вцда (1.2) оказывается (при фиксированном значении шага) принципиально разным по уровню приближения точной н аппроксимирующей спектральных функций, для предлагаемых здесь численных методов такой уровень приближения в альтернативных частях спектра может регулироваться (адаптивно к структурным характеристикам наблюдаемой численно траектории)- Отличительной чертой предлагаемых методов является совпадение в точке = -ц 2 по переменной X спектральной функции Е(Х, х)= Е„+Ы(ь)(л., т,) (см. (5.159), (5.160)) и ехр(Хт) как (обязательно) по
значениям этих функций, так н по значениям п их производных по X, где ц > 0 — один из параметров метода. Аналогичные аппроксимационные характеристики с заменой т на к имеют место и в точке Х~0. Для классических численных методов подобное можно гарантировать только в точке Х,=0. Этим н объясняется более низкий уровень аппроксимации (для таю« методов) многомерного оператора перехода в левой части спектра матрицы А по сравнению со случаем его правой част". Следует отметить также, что если при построении предлагаемых здесь численных методов акцент в такой (избирательного типа) аппроксимации будет сделан на левую часть спектра, а п точке ?.~0 будет обеспечено совпадение только самих функций £Д,г)и ехр(Хх), то мзгболее важные свойства согласованности (при любом х > 0) искодясй и аппроксимирующей задач оказываются выполненными независимо от порядка точности метода. В противнем зее случае подобное имеет место, только начиная с некоторого порядка точности. Получены условия конструктивного регулирогзния таких процессов. Заметим тякже, что в предпк-
гаемом здесь варианте непосредственной (и избирательной по разномасштабным
I
составляющим) аппроксимации операюра перехода пременпые зав, имостн, задаваемые исходными дифференциальными уравнениями, приближаются (в отличие от традиционного разностного подхода) уже опосредованно, однако с существенным использованием законов точного интегрирования, заложенных п условиях (см., напр., (1.50)) локальной взаимосогласованности операторов. Тем самым снижается зависимость точности результата от временного параметра т > О, что краГше важно для систем большой жёсткости, нредыиимющнх особо высокие требования к качеству аппроксимации старших гармоник оператора ехр(Лс). Указанный подход обобщается на случай систем вида (1.53), чго с нсиолыогонп-см предложенного и разделе 2.1 способ.! приближения систем нелинейных ОДУ типа (1.38) системами линейных ОДУ с многочленной неоднородностью даёт возможность организовать- иычислитсльный процесс и общем случае системы (1.1) на более естественной временной сетке. Заметим, что практической реализации идеи избирательно» аппроксимации состшшиошпх онераюрои перехода, осуществлённой о главе 5, способствовало то обстоятельство, что приближение оператора ех/^ат) разыскивалось в пиле £(а,т) с не связанными л произведение переменными л и г. Такое приближение осуществлялось через построение спектральной функции, которая с учетом (1.50) задавалась » виде интерполяционною алгебраического многочлена с кратными узлами по переменной Я, при этом порядок приближении (и случае заданного шага сетки) регулировался степенью этого многочлена,.а выбором узлов интерноднцни и нх кратности обеспечивалась шбирагельность уроыы'аппроксимации составляющих этого оператора. Поэтому основным рабочим параметром для рассматриваемых в э гон главе численных методов (в отличие ог классического подхода) является не шаг сотки, а порядок точности метода. В традиционных методах попышение порядка точности сопряжено с построением новых расчётных формул, сложность которых при этом нарастает. Здесь же повышение на единицу порядка точности метода вида
У = Ен.Ык)(А,т)у + $„.Ык_„(А,г)а = у + 3„^и(к_х)(А,х)(Ау + а) (5.140)
сводится к одному такту рекурсивной процедуры с использованием формул тина
"m,»
или
=+—La + iOfEm^k>a,x)- E^^MI <5.1«»
при указанных в диссертации стартовых значениях итерируемых величин. Аналогичные формулы (см. (1.13), (5.Н0)) имеют место и в случае оператора •Уи+i+fi-i)(Л,\). Для нахождения используемых при этом скалярных коэффици-
ап ат
ентоп ——— или - также построены соответствующие рекуррентные
ат,к ат-1,Ч1
процедуры.
' Предлагаемые явные численные методы, как оказалось, обладают важным свойством монотонности по mai у функции погрешности (1.36). Соответствующие вычислительные алгоритмы носят рекурсивный характер, имеют в качестве наиболее трудоёмкой операцию умножения матрицы на вектор н удобны для распараллеливания.
Отметим, что процесс построения рассматриваемых численных методов может базироваться также п на процедуре выделения н качестве множителя из матричной экспоненты главной скалярной составляющей с многочленной аппроксимацией второго (матричного) множителя Ц29]). Такой вариант конструкции положен в основу работы [47]. D [49] дано обобщение построенных в этой главе специализированных численных методов на случай систем вида (1.53). Основное же содержание главы базируется на работах автора [36], [46], [48], [50].
. Приведённые п приложении к диссертации некоторые из результатов численного тестирования наглядно демонстрируют возможности предлагаемых вычислит гльных методов. Тестирование проводилось как на линейных системах ища (1.2), ток н на системах нелинейных уравнений общего вида (1.1), при этом собственные значения взрнаинонной матрицы были не только вещественным!! (отрицательными и положительными), но и комплексными. В качеств« альтернативных (дли программы New Met) использовались югастим? станаартнма программы DOEAR, ROS4 н SDIRK4, нмеющнг высоки?! рейтинг о fHfpcsoit енчис-литевыгой пртхпив. Устаем здесь, к примеру, лишь m дзл результата тевго -:.;";'î«ï?!5№>wro тестг'ооядк.чя.
Мв«| Ме| + пс34
Ме>» Ме\ + РСЕАП
Нем М<И
I
осеап
П0Б4
801НК4
83
127
517
1890
2593
Н
0 500 1000 1500 2с00 2500 3000 Рис. П.1.9. Время счёта (в сотых долях сек.)
1200 1000 600
600 400
;
—о— коал -—О— Мелг Ме( 1 /
} /
у у А
> и и У г
<-< У и гг
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 Размерность
Рис. П.4.4. Изменение вычислительных затрат с ростом размерности задачи
Первый из них относится к случаю системы 20-ти уравнений вида (1.2) с по-гранслоем, второй — к случаю однотипных систем вида (1.1) разной размерности
с-квадратичной нелинейностью. Ьг.лее летальное описание этих задач и условий эксперимента «ано в приложении к дисссрг.иши.
<?ыпеяы
Подводя итоги теоретическим результатам работы, следует отмени., что главные из них сформулированы выпи в восьми положениях, выносимых lia защиту. Резюмируй результаты численного тестирования, приведённые п диссертации, можно констатировать, что с ростом уровни сложности поставленной задачи (ростом разиомасштабности, повышением размерности, усилением требований к точности и надёжности численного моделирования) возрастает (в сравнении со случаем классических численных методов, основанных па илее разложении по малому параметру) и положительный эффект от применения новых ьычпелптельиых алгоритмов, связанных с процедурой многоэтапной линеаризации по зависимой переменной и базирующиеся на монотонных аппроксимациях спектральной функции оператора перехода линейного приближения с адаптивно избирательным принципом аппроксимации разномасштабных составляющих. Наибольшую эффективность при этом, естественно, проявляют комбинированные алгоритмы, позволяющие адаптивно к характеру численно наблюдаемого решети использовать достоинства как новых методов, так и классических L-устойчивых разностных схем (заметим, что информация об .уровне структурной сложности траектории в каждый момент времени снималась при этом посредством функционала Гелея или его обобщений).
Характеризуя целевую направленность результатов диссертационной работы на решение наиболее трудных для вычислительной практики задач, следует подчеркнуть ориентированность последних из них на проблему погрансло.ч и столь же актуальную проблему переходных процессов с локальной неустойчивостью. В силу особой роли матричной экспоненты в прикладных исследованиях разработанные в диссертации рекурсивные способы ее вычисления могут найти применение также и при решении многих задач, выходящих за рамки её темы.
- 28 -
Список йиубгшкаилниим литером работ по теме цчссертации
Приведём здесь в хронологическом порядке лишь наиболее характерные из
124 публикаций ангора по «еме исследовании.
1. Бобков В.В. Об одном способе построения одношаговых правил приближённого решешш дифференциальных уравнении // Пзн. ЛИ БССР. Сер. физ.-матем. наук. — 1967, № <1. — С. 27-35.
2. Бобков 11.1!., Шкель П.Л. ' Одиошаговые правила приближенного решения задачи Кошн для ураннепия у' = J(x,y) по значениям правой части уравнения и производных от неё// Изв. ЛИ БССР. Сер. физ.-магем. наук. — 1970, № 3. - С. 60-ъ7.
3. Бобков U.U., Дннь Хак Хунг. Об одном методе приближённого решешш задачи ICoimi для ураннепия у" = f(х,у)// Нэп. ЛИ БССР. Сер. фш.-ма-ien. наук. — 1970, № 5. — С. 43-49.
4. Бобков IJ.D. Об одном способе построения правил приближённого решении дифференциальных уравнении // Изв. ЛИ БССР. Сер. физ.-магем. наук. — 1973, №2. -С. 52-58.
5. Бобкои 13.11. Методы зииа двусторонних численного решения дифференциальных уравнений '// Пзн. ЛИ БССР. Сер. фнз.-матем. наук. — 1975, №1.-С. 25-28.
6. Бобков U.U. llofibie одпошагопые правила решения дифференциальных уравнений // Лести. Белсрус. ун-та. Сер. 1, Маг., фнз., мех. — 1977, Kl I. -о С. 9-12.
7. Крылов fi.f I., Бобков 1111., Монастмрнын П.И. Льршслнтедьныг методы, т. 2. - М.: Парса, 1977. — 400 с.
8. Бобков !>.». О некоторых новых методах численного решения дифференциальных уравнений // Нести. Белорус, ун-та. Сср.1, Мат., фнз., мех. — 1977, п2 3. - С. 69-71.
9. Бобков D.D. Явные А-устончивые методы численного интегрирования дифференциальных уравнений // ДАН БССР. — 1977. — Т. 21, № 5. — С. 395-397.
10. >)<>бкок U.U. Об одном семсйстис нелинейных разностных схем // Дифферент уравнения. —1977. — Т. 13, № 11. — С. 2076-2078.
И. Бобков D.H., Мулярчик С.Г. Класс явных численно устойчивых методов анализа переходных процессов и электронных схемах // Сб. Современные методы разработки радиоэлектронной литературы. — М.: Знание, 1977. — С. 30-33.
12. Вобкпв 1S.11. Об одном семействе трёхслойных разностных схем // ДЛИ БССР. — 1973. - 'Г. 22, № 1. — С. 23-24.
13. 1)Сбком D.U. Об одном способе построения одпошагоных методов численного интегрирования дифференциальных ураиненип // Нести. Яелорус. ун-та. Сер. 1, Мат., физ., мех. — 1978, Ni 1. — С. 70-72.
И. Б'обко» Я.В. О некоторых явных устойчивых методах численного интегрирования дифференциальных уравнений // Нести. Келорус. ун-та. Сер.!, Маг., физ., мех. — 1978, Т<2 2. — С. 66-63.
15. Г>обкоп R.R. Новые ягные Л-устоичиаыс методы численного решении дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. —1978. — Т. 14, № 12. - С. 2249-2251.
(б. Побчов U.B., Шалима PJ.I). Нелинейные методы численною решении задачи Кошн для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка // Лести. Йслсрус. ун-та. Сер. 1, Физ, шт., мех. — 1979, JVs 2. — С. 7S-S0.
57. Побков В,В. О некоторых нелинейных разностных методах // ДАН БССР. — . 1979. - Т. 23, Ni 5. - С. 406-408.'
38. Бобкоп П.В., Городецким Л.М.. О кпазпнмотоиовсхнх' методах численного ¡ппегрнровзннн дифференциальных уравнений // ДАН БССР. — 1980. — Т. i-J, JVä 1. — С. 31-14.
19. Бобкяв В.В. О некоторых нелинейных методах численного решения дифференциальных уравнений // Вести. Белорус, ун-та. Сер. 1, Физ, мят., мех. — 1930. 2. - С. 55-56.
20. Робков G.B. Числетшч нгтэды с улучившими сг.ойетммн соглассюн-яссти дифференциально!} и pacuomics» эаюч // ßcciii. Белорус., ун-та. Сер.1, Фчэ, мат., мех. — 1981, № 3. — С. 65-65.
21. Бобков В.В. 05 одном семействе численных методой с улучшенными свойствами устойчивости // Вести. Белорус. ун-та. Сер.1, Физ, мат., мех. — • 1932, № 2. - С. 63-С'5.
22. Крылов В.И., Бобкои В.В., Монастырный П. 11. Начала теории вычислительных методов. Дифференциальные уравнения. — Минск: Наука н технике, 19S2. - 2S6 с.
23. Бобков В.В. Об одном семейство методов численного решении жёстких дифференциальных уравнении // Нести. Белорус, ун-та. Сер.1, Физ, мат., мех. — 19S3, № 2. — С. 67-6S.
24. Бобков В.В. Об одном способе построении методов численного решения дифференциальных уравнений // Дифферепц. уравнения. —1983. — Т. 19, № 7. - С. 1115-1122.
25. Бобков В.В. . Румге-Кутта метод // Математическая энциклопедия, т. -4. — М.: Сосетскзд энциклопедия, 19S3. — С. 1056-1058.
26. Бобков В.». Нелинейные методы численного решении дифференциальных уравнений, основанные на экспоненциальном продолжении решения /7 Décru. Белорус, ун-та. Сер. 1, Физ, маг., мех. — 1984, Кг 2. — С. 63-64.
27. Бобков ВЛ., MaimpiiK П.А., • Рснннков li.ll. О некоторых явных методах численного решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений с экспоненциальным характером тр;>еторнй // Изв. АН t>CC'\ Сер. физ.-мптсм. наук. — 1984,' Хг б. — С. 27-30.
28. Бобкои B.D., Городецкий Л.М. О поиеденпи решений разностных уравнении, полученных-одним численным методом // ДАН БССР. — 1985. — Т. 29, № 4. - С. 306-309. '
29. Бобков D.B. . Численные методы с улучшенными свойствами согласованности разностной и дифференциальной задач // Дифферепц. уравнения. — 1985. - Т. 21, № 7. - С. 1117-1126.
30. Бобков В.В., Мацдрик ПА., 1'етшков В.И. Об одном классе разностных схем для дифференциальных уравнений специального вида // Вести. Белорус. ун-та, Сер.1, Физ, мат., мех. — 1985, Ni 3. — С. 31-34.
31. Бобков В.В., Городецкий Л.М. Избранные численные методы решения на ЭВМ инженерных и научных зздач. — Минск: Ушшерапетское, 1985. — 175 с.
32. Бобков В.В. О некоторых методах численного решения жёстких систем // Вести. Белорус, ун-та. Сер.1, Физ, мат., мех. — 1986, № 2. — С. 66-67.
- 3t -
33. Бобков И.П. Об одном способе численного интегрирования жёстких систем // Нести, Белорус, ун-та. Сер.1, Физ, мат., мех. — 1987, Х-' 2. — С. 72-74.
34. Бобков З.Н., Мандрик U.A., Решшков В.И. Решение системы ОДУ с экспоненциальным характером траекторий неявным нелинейным методом первого порядка точности // Сб. Программное обеспечение ЭОМ: Библиотека прикладных программ БИМ-М, вып. б. — Минск: Нн-тматем. ЛП БССР, 1987. -С. 110-118.
35. Бобков В.11., МандрнК П.Л., Репмикоь В.П. Методы высших порядков точности е улучшенными свойствами согласованности дифференциальной и разностной задач/ Ред. жури. "Изд. вузов. Матемажка". — Казань, 19S7. — ¡9 с. - Деп. п ВИНИТИ 2S.Í0.S7, № 7540.
36. Бобков В.В. Адаптивные методы численного интегрировании дифференциальных уравнений // Сб. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнении, под ред. С.С. Фнлнилоиз. — М.: ИПМ АН СССР, 1938. — С. 96-110.
37. Hobkov V.V., Bolite Z. Adjptlve methods Гог numerical solution of Miff systems of ordinaiy differential equntioji': jf Facta Universiíatis (Nií). Ser. Math., Inform, v. 3. - 1933. - P. S7-95.
ЗЯ. Бобков П.П. Численные методы с улучшенными свойствами согласованности дифференциальной и разностной эздзч // СО. Дифференциальные уравнения и их применение, гыл. 43. — Вилппос: Ин-т матем. и кнберн.
■ ЛИ Лит. ССР, 19S8. - С. 31-37.
39. Бобкоо P>.D., Мйнарик ПЛ. Об одном классе численных методов решения хестеих систем. // Дифферент уравнения. —1939. — Т. 25, № 7. —
С. 1171-1176.
40. БоСлСВ Э.В., Маидрнк П.Л., Репшшш В.15. Разностные схемы высших по-ртдкоз точности для систем обыкновенных дифферпшпальмых уропшний с экспоненциальным ¡».арактесем траекторий // Изо. АН БССР. Сер. фнз,-аитем. иаух. — 1989, № 5. — С. 10-М.
41. Hobkov V.V., Mandril! РЛ, Rcpnifcov V.Í. Adaptive methods for nitnerical solutiou of stiff systems // Mathematics modelling and sppHsJ mathematics, edited by AA. Sam<?rski and MP. Snpagovas. — Amsterdam: Nert't-IleÜam?. — 1992. - P. 43-55.
42. Бобков В.В., Бобкова H.A. К вопросу о построении методов численного решения жестких систем // Вести. Белорус, ун-та. Сер.1, Физ., мат., мех. — 1992, № 3. - С. 60-63.
43. Бобкоа В.В., Мандрик ПЛ., Репников В.И. Адаптивные методы численного решения жёстких систем // Дифференц. уравнения. —19ЭЗ. — Т. 29, Na 4. — С. 689-699.
44. Бобков B.Ü., Сонец Е.Б. Адаптивные методы численного решения жестких систем, основанные на чгбышевском приближении спектральной функции // Веста. Белорус, ун-та. Сер.1, Физ., мат., мех. — 1993, № 3. — С.73-74.
45. Bobkov V.Y.,' Wandrik PA. Adaptive algorithms for numerical solution of stiff' systems // Functiones et approximate, v. 22. — Poznan: UAM, 1994. — P. 47-55. .
46. Бобков B.B. Способы построения методов численного решения жёстких систем, основанные на монотонных аппроксимациях спектральной функции . линейного приближения // Проблемы математики и информатики, часть 2. Тез. докл. конф. — Гомель, 1994. — С.26.
47. Бобков C.B., Бобкова НА. Об одном классе методов численного решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Веси i. Белорус, jaira. Сер.1, Фнз., мат., мех. — 1994, № 2. — С. 47-50.
4S. Бобков D.B. Об одном способе построения методой численного решения жёстких систем// Вести. Белорус, ун-та. Сер.1, Физ., мат., мех. — 1995, N>2. — С. 41-45.
49. Бобков Б.В., Соиец E.G. Методы численного решения линейных жёстких систем с полиномиальной неоднородностью // Сб. Материалы республиканской научио-мегоднческон конференции,' посвящённой 25-летню факультет прикладной математики и информатики, часть 2= — Минек: Белгссу.твгр-ситет, 1995. — С. 5-10.
50. Бобков D.D. О построении методов численного решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. —1995. — Т. 29, №7.- С. IIG2-II67.
- 33 - .
Резюме
FiijSÍKon Владимир Васильевич " Одиошаговие методы чисчешюго решения жёстких систем".
Ключевые слова : адаптивность, взаимосогласованность операторов, жёсткие системы, локальная производная, монотонность, пограислой, разномас-штабность, спектральная функция, устойчивость, функционал Релея.
Основное внимание в диссертации уделяется разработке численных методов для задачи Кошн в случае системы обыкновенных дифференциальных уравнений пер -ого порядка при существенной разномасштабностн составляющих решения. Наиболее трудной из нерешённых здесь проблем является построение вычислительных алгоритмов, ориентированных на использование реальных для практики шагов сетки при наличии наблюдаемых в пределах заданной точности "быстрых" составляющих решения, "выгорающих" нлн "разгонных", особенно в случай одновременного нх присутствия. Предлагается новый подход к конструированию многоэтапных алгоритмов, основанный на предварительной пошаговой лтроксимяцин исходной системы нелинейных уравнений последовательностью линейных дифференциальных систем с многочленной неоднородностью, для численного решения которых строятся специализированные методы, не базирующиеся на идее разложения но малому параметру. Характерной особенностью этого подхода (в отличие от классического) является качественно иной тип аппроксимации н существенное использование законов точного интегрирования, заложенных в условиях локальной взаимосогласованности операторов перехода на ware с moi. Предлагаемые язные методы основаны lia монотонных аппроксимациях спектраямюй функции оператора перехода и допускают (при любом эпачшяп рдагтгавно избирательное регулирование уровня приближения рзз.ютештабнмх сссгашшюццк этого оператора, Вычислительные алгорит-шс;тг ргкурсивпый характер, ¡кот а качестае наиболее трудоёмкой операцию умножения матрицы на ües.Top, менсгсшпт по шагу и удобны для распйрал-лел1кан)-,ч. Хроме того предлагается серки нолш чнскИиых методов кос явных, те«с « i кишите, построениях m cciwce трэднцпоиного паятогл и расширшоиюх cío wwtoyawcm Нош» алгоритмы могуг ймть рекоилкиякигн для использоьч-лия при численном модслирокаши этадкчиютшх apcuçccco, особенно п случае суккствсчнч-! разиодэтештабияеш согсзялялипк.
_ 34 -РрЗЮМЗ
Байки/ Уладтир liacúibcni'i "Аднакрокавыя метадм джавага рашэннн жоре i kíx асгэм".
Ключаьыя слоны : адаптыунасць, узаема)?згодненасць аператарау, жорсткЫ CÍCI3MM. лакальная вытворная, млттоинасць, патранслой, розпа-м.шттабнаснь, спектральная футпецыи, устопл/васць, функцыянал Рэлея.
Асноунаи yuara j"' дысертацьп аддаенца распрацоупы Л1капых мегадау для задачи Кашы >; выпалку с i ста мы звычайных дыфюрэнцыяльных урауненпяу пер-шага парадку при ¡ciomaii рознимаштабнасш складальных рашэпня. Нанбольш ii!tta;.'.ii з нявмрашаных пут праблем з'яУляецда набудова вьинчальных алгарыт-мау, арыентаваных на кмкарысганпе рзальных для практик! кро^ау сет ni при наяунасш наз^аеммх у межах задлдзенай дакладнасш "хутых" складальных рашэння, "вигнрамчых" ni "разгонных", асаблша у выпалку ix адначасован нрысутнаам. Пранапоувасиц.! поим надыход да капструяианця м'кнаэгаппых алгарытмау, muí грунтуеица па тпярэдняп пакрокаван апракымацы; зиходнай cíct3mi.i нелшейних ypayücnwiy -наолядоунасшо лшейных дыферэнцыильнмх cicrsM з мнпгачлепиай неаднароднасцю, для ¿пкаьага рашэшш як!х Оудукыиа спецыял13аианыя метадм. Аноипня не O.-uipyioima на уЫ раскладаннн па малому napuMeipy. Xapatrn>pi;aii acaoitÍMcuto rjrara нэдыходу (у адрознЬнне ад киас«чш-га) з'кулмеина якасна нпии'тып апракомацьй i icroriiaí выкарыстяние закона)* дакладнага нстэфаьання, закладзепых ta умовах лздеальнай узаенаузгоднгнаенг аператарау пераходу На .кроку сетки Прапаноуааемыя nVmm методы грунт ухшиа на манатенных апракамацыях спсктральнан функцьн инератара пераходу i да-пускаюць (пры любых: значэнн! кроку) адапшуна выйральнае рзтуля панна узроу ню нрыблЬсэння розн&шштябнш склалалькых гэгги-а лпдр;пяп.;(. Вмш'чэдь-ныя плгарьпмы посяиь рэкурауны характар, маюць у якасц| нийболыи працаем-кан операцию памнажэння матрицы на нектар, манаюннык па кроку i зручньш для распаралельиання. Акрамя гот ara rtpai iai юуиа гсццл cepui новых лкааых :,¡:-тадау як яуных, так i i тарных, лабудаваних на цепов: традыцыйнага падиходу s пашыраючых иго магчымасц!. Новыя алгоритмы рэкамендуюцца идя выкг-рыстання пры лкавым мадэтраважп эвашоцыйных праиэсау, асаблтва у выпадку icToniart роз)еамаиппбнаой ейлалхчьны;:.
- 33 -Summary
Bobkov Vladiniir Vasilievitch "One-step methods for numerical solution of stiff systems".
Key words : adaptivity, boundary layer, intereonsistency of operators, local derivative, monotonicity, Rayleigh functional, spectral function, stability, stiff systems.
The main subject of the dissertation is the development and the investigation of numerical n.Hhods for solving initial value problem for a system of first order ordinary differential equations in case of essential scale diversity of the components of the solution. One of the most difficult problem not yet solved here is the construction of computing algorithms which hss reasonable (for practise) &tep of integration when observable within ths limits of given accuracy "fast" components of any type (stable and nonstable) are presented in the solution, Л new approach to the construction of multistage algorithms is proposed. It is based on preliminary step-by-step approximation of the original system of nonlinear equations by a sequence of linear differential systems with polynomial nonhomojentity. For numerical solution of linear systems new specialized methods яге proposed which are. not based on the concept of small stepsizc, • The main cluncteristics of this approach (in contrast to classical approach) are a qualitatively different type of approximation and an essential use of exact integration laws generated by conditions of local intereonsistency of transition operators on a step of a grid. New explicit methods are based on monotone approximations of the spectral function of the transition operator and allow adoptive and selective regulation of r.pproximation quality for different spectral components of this operator. Computational a'-orithms are recursive, locally monotonic on step and convenient for parallelization. They uvo the operation of matrix-by-vector multiplication as the rno-t complex computational operation. Moreover series of numerical methods (explicit and implicit) constructed on the base of traditional approach and expanding in some way his solving abilities are proposed. The new algorithms can be applied to the numerical modelling of evolutionary processes, espessially ¡11 case of substantial scale diversity of their components.
