Дробно-рациональные численные методы решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

КИЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ . км. Т. Г. СШВЧЕНКО

На правах рукописи

СЯОНЕВСКИЙ Роман Владимирович

ЯРОБНО-РАШОНАЯЬНЬЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЖЕСТКИХ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Специальность 01.01.07 - вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

КИЕВ 1992

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Львовского политехнического института.

Научный консультант : доктор физико-математических наук,

профессор МАКАРОВ В.Л.

Официальны© оппоненты:член-корреспондент АН Литвы, доктор физико-математических наук, профессор И.П САПАГОВАС,

доктор физико-математических наук, про$-ссор П.И.ГОНАСТЫРНЫЯ,

доктор физико-математических наук, профессор В.К.ЗЩРАКА.

Ведущая организация - Институт математики АН Украини.

Заадта диссертации состоится " 25" И/М>к& ¡992 г. в час. оо мин. в' ауд. 40 на заседании специализированного совета Д 068.18.16 в Киевском государственном университете им. Т. Г. Шевченко по адресу: 252127, Киев-127, проспект академика Глушкова, 5, госуниверситет, факультет кибернетики.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Киевского университета.

Автореферат разослан " Лоал 1992 г.

Ученый секретарь огс-циаллзпрованного совета канд. фнз.-мат. наук, доцент

А.В.Кузьмин

, ! ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

- —' -"ДЙуалькость теми. Математическое моделирование динам-, .о-ских процессов находит применение как при научных исследованиях и проектировании, так и в процессах управления. С разработкой и совершенствованием вьюокопроизводит ьньк ЭВМ, на современном этапе развития науки и ~-уники наблюдается появление новых типов задач и постоянное усложнение их математических моделей. Эти модели описшаотся сложными нелинейными системами обыкновенных дифференциальных уравнений или уравнениями в частных производных.

Многие современные численные методы решения краевых задач, в конечном счете, приводят к необходимости решения последовательности задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Тем самым, а иссле;, .вании стационарных и динамических систем важное место занимают численные методы решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений Возникает вопрос, насколько полно решена проблема численного исследования таких задач?

Еще сравнительно недавно,. несколько десятилетий назад, было принято считать, что, за исключением некоторых второстепенных вопросов, сущэствухжле на то время численные методы обеспечивал! достаточную эффективность реюния задачи Коши для обькновенных дифференциальных уравнений. Однако, уже в работах Кертиса и Гиршфельдера, а затем Дажвиста- было начато обсуждение проблемы жесткости систем дифференциальных уравнений (СДУ), с которой существующие численный методы на моГлн справиться.

. С тех пор, вопросам разработки теории численных методоь, пригодных для решения жестких систем обькновенных дифференциальных уравнений, уделяется усиленное внимание.

Найболее интенсивно, развивались неявные чиоленнь» методы. Были построены и теоретически обоснованы различные типы таких методов как одношаговых, так и многошаговых, например, неярныо методы типа Рунге-Кутты, многошаговые кеп да Гира и Энрай з, -методы типа Розенброка и др, Все зги методы в процессе их реализации при решении нелинейных СДУ требуют многократного решения • систем нелинейных алгебраических уравнений, что является одним ' из основных ограничений применения неявных методов Рунге-Кутты.; При решении системы N дифферени»альных уравнений с использова- • нием Б- этапного метода в сбщем случае необходимо решать нелинейную систему из М-Б алгебраических уравнений .с большим

количеством вычислений правой части СДУ. Хотя теоретически, при определенных условиях, неявные методы Рунге-Кутты обладают свойством нелинейной устойчивости, при их практической реализации это свойство может не сохраняться, что требует соответствующих ограничений на шаг интегрирования в каждом отдельном случае. Ввиду приведенных замечаний, эти методы являются в ряде важных для практики случаев малоэффективными .

Более экономами, с точки .зрения вычислительных затрат, является методы типа Розенброка. К некоторой разновидности таких методов следует отнести и методы Е.Н.Новикова. Все эти методы не являются полностью неявными и на обладает таким же сильным свойством нелинейной устойчивости, как неявные методы. Построены методы только ди четвертого порядка согласованности, ■обладающие свойством А-устойчивости. Вывод формул А- устойчивых методов высоких порядков довольно сложный, а их реализация требует существенного увеличения количества вычислений правой части СДУ. Кроме того, на каждом шаге интегрирования необходимо проводить вычисление матрицы Якоби правой части СДУ. Тем самым, значительные вычислительные затраты и невысокий порядок точности результатов ставит под сомнение целесообразность использования методов типа Розенброка для исследования жестких задач.

Наиболее широкое распространение получили неявные многошаговые методы' Гира. Они .как и другие многошаговые численные методы, наиболее экономны по количеству вычислений правой части системы уравнений. Для них существует довольно простые оценки локальной погрешности. Однако, только методы не выие второго порядка согласованности обладают свойством А-устойчивости. Для методов более высоких порядков введены понятия А(а)- устойчивости , жесткой устойчивости. , Ввиду специфики области устойчивости, многошаговыэ численны» методы вше второго порядка не обепечиваот вычислительной устойчивости для систем с осциллирущими решениями. Кроме того, характеристические уравнения всех известных линейных многошаговых методов имеют, так называемые, "паразитические" корни, которые существенно влияют на область устойчивости и точность приближения решения, а тем самым, на величину шага интегрирования. Совремочнью многошаговые численные методы непосредственно предусматривают численное интегрирование систем с постоянным тагом. Для повывония эффективности, в программном обеспечении катодов предусматривают определенные алгоритмы изменения

шага интегрирования. Эти алгоритмы обеспечивают приближенное определенно ( метод интерполяции . вектор Нордси.ка и др. ) дополь,.тельных значений решения, и его производной. Они требуют увеличения вычислительных затрат, а погрешности их результатов увеличивает погрешность искомого решения. Приведенные вше рассуждения позволяют прийти к выводу, -.го и неявные линейные многошаговые численные методь ,е являются достаточно эффективными.

Как указывалось выше, любые неявные численные методы в процессе реализации требуют регения систем не; нейных алгебраических уравнений, что в свою очередь порождает проблему существования единственности ревения этих систем. Для репения нелинейных алгебраических систем наиболее широко используется итерационна процесс Ньютона. Итерационный процесс, в свою очередь, требует сследованкя сходимости последовательности итераций и выбора начального приближения.

Всо эти замечания дополнительно подт&ерздата, что линейны, неявные численные методы но решают ирс. лемы жесткости дифференциальных уравнений.

Недостаточная эффективность неявных численных методоз привела к поиску новых направлений в построении численных методов решения жестких систем дифференциал :ьк уравнений. С этой цель» в работах Вам5ека, Ламберта, В.В. Бобкова, П.И. Бод-нарчука, Ю.В. Ракитского и др. быт использованы дробно-рациональный преобразования Падэ. для построения, так называемых, дробно-рациональных численных методов. В' этом направлении приводились и исследования автора. Эти методы для скалярного дифференциального уравнения при определенна условиях обладают А- или Ь- устойчивостью. Однако, при непосредственном распространении их на систему уравнений возникали непреодолимые сложности. Эти сложности пытались преодолеть путем раздельной .дискретизации по отдельным компонентам векторного' решения ' системы, т.е. путем, т.н., покомпонентной . реализации. Такой подход был очень привлекательным, ибо методы становились явными и их реализация требовала незначительного количества вычислительных затрат. Но в работах Соттаса было показано, V о 'методы Вамбека при покомпонентной реализации неустойчивы на жестких системах. В дальнейшем оказалось, что при покомпонентной 'реализации и другие дробно-рациональные методы не обладают устойчивость».

Методы Ю.В.Ракитского и В.В.Бобкова предназначены для р&-

шения линейных систем с постоянными коэффициентами. Они базируются на аппроксимации матричной экспоненты многочленами по степеням матрицы системы. Более перспективными и эффективными являются методы В.В.Бобкова, обладаедие свойотвом адаптивности, что дает возможность гибко изменять шаг на различных этапах интегрирования жесткой системы.

Походя из приведенного выше краткого анализа современного состояния теории численных методов решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений, следует, что Еопросы построения и исследования новых более эффективных численных методов являются актуальными.

• Целью диссертационной работы является: создание и развитие основ теории новых видов дробно-рациональных приближений решения жестких систем различных классов обыкновенных дифференциальных- уравнэний, обладающих требуемым типом устойчивости; построение и обоснование одношаговых и многошаговых дробно- рациональных численных методов; реализация разработанных алгоритмов в виде программных модулей; исследование эффективности предлагаемых численных методов.

Методика исследований. Для достижении« цели использовались общая теория алгебраических и дифференциальных уравнений, теория современных численных методов.

Научная новизна.; В процессе исследований разработаны основы общей теории новых эффективных дробно-рациональных безите-рационных численных методов решения задачи Коши для жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений. В частности:

- введена новая структура дробно-рациональных приближений (ДРП) решения задачи Копи для ОДУ в виде усреднения с дробно -рациональными весовыми коэффициентами тейлоровских приближений последовательных порядков точности; исследованы условия обеспечения порядка аппроксимации и устойчивости приближений, показано отсутствие "барьера Далквиста",т.е. возможность построения А-или I-устойчивых ДРП любого конечного порядка согласованности;

- доказано, что аппроксимации Падэ являются частными случаями ДРП показательной функции;

- построены м обоснованы по точности и устойчивости дробно-рациональные численные методы решения линейных систем с постоянными коэффициентами, изучены вопросы их распространения на нелинейные системы с применением процесса кзазилинеаризации,

определены апостериорные оценки точности приближений дробно-рациональными методами линейных систем относительно нелинс .ной системы;

- для жестких СДУ высших порядков впервые предложена методика построения• приближений решений без приведения к системам первого порядка, введе. , понятие и определены необходимые и достаточные .ловия Аи-устойчивости приближений для систем с осциллирующими решениями;

изложены и обоснованы новь« принципы пог-роения приближений режжик неявных систем ОДУ первого порядка на базе их преобразования к явным системам второго порядка, что, в отличие от существующих методов, позволяет избежать необходимости решения систем алгебраических уравнений;

- разработана "-\)рия устойчивых односаговых дробно-рациональных численных методов на базе новой универсальной, обличающейся от общепринятой, методики построения вложенных линейных однопаговых методов произвольного п ядка; с целью уменьшения вычислительных затрат на паг интегрирования рассмотрена структура блочных одношь^овых методов;

7 излагается теория многошаговых дробно-рациональных численных методов с переменны« шагом интегрирова' 'я, характеристические уравнения которых, в отличие от других известных многошаговых методов, не содержат посторонних корней; исследованы вопросы устойчивости и доказано, что на устойчивость не влияет переменный шаг интегрирования и многошаговоеть методов", определены оценки локальных погрешостей методов;

- построены алгоритмы реализации численных методов о выбором оптимального порядка и величины шага интегрирования, разработаны новыз тестовые задачи, на базе которых проведены экспериментальные исследования качественных- и количественных характеристик методов. - .

Практическая, ценность. Полученные результаты могут быть использованы при исследовании реальных динамических процессов, математические модели которых описывается жесткими системами дифференциальных уравнений. Программные модули реализации алгоритмов вклхяенч в библиотеки мате этического. обеспечения ЭВМ. ■ ■ ' • • -

Аппробацня роботы. Результаты работы докладьвались на: ежегодных научно-технических i ,н$еренциях Львовского политехнического института.(1974-1990гг.); Объединенном семинаре по

математик© и ьюханике Западного . научного центра АН УССР (1978- 1990гг.); республиканском научном семинаре "Проблемы вычислительной математики" (г.Львов,1978 - 1990гг.); научных семинарах кафедры вычислительной математики Московского госуниверситета (1985г.),ка$здры численных методов математической физики Киевского госуниверситета (1987,1990гг.); Всесоюзных школах-семинарах академика А.А.Самарского Теоретические и прикладные проблемы•вычислительной математики" (г.Дрогобыч,1980г.; г.Рига,1982г.; г.Львов.1983г; г.Немала, 1985г.; Шусенокое, 1983г.; г.Одесса, 1987г.;г.Светлогорск,1988г.; г.Владивосток, 1989г.); Всесоюзном семинаре "Вопросы оптимизации вычислений" (г. Алушта, 1987г.); Всесоюзных конференциях "Новыэ подходы к ре-иению дифференциальных уравнений" (г.Дрогобыч, 1987, 1991гг.); Всесоюзном семинаре "Численные методы решения жестких систем (г.Красноярск,1988г.); Воесоюзных школах-семинарах "Распарал-леливанйе обработки ин$ормации(г.Львов,1987,1989гг.); Международной конференции "Математическое моделирование и прикладная математика"(г. Москва, 1990г.), Республиканской конференции "Математическое моделирование элементов и фрагментов БИС" (г.Рига, 1990г.) ¡Международной конференции. "Информационные технологии в анализе изображений и распознавании образов"(г.Львов, 1990г.)

Публикации. Го результатам диссертации опубликовано 65 работ, основные из которых вклхнены в список литературы автореферата.

Структура работу.Работа состоит из введения, трех глав.за--клкчдния,списка литературы из 166 наименований и раздела приложений.

СОДЕРЖАНИЕ РДБОта.

Во введении обоснована актуальность избранной темы, сформулированы цели диссертационной работы, описана методика исследований, определена научная новизна результатов, кратко изложены основные результаты работы.

Гд'-.гз 1 "Дробно-рациональные приближения решений систем дифференциальных уравнений" посвяцена теории дробно-рациональных приближений (ДРП) решений различных классов жестких систем дифференциальных уравнений. Главное внимание уделяется изучению свойств ДРП, их устойчивости.

В Si. 1 рассмотрены общие принципы построения ДРП решения задачи Кош для системы уравнений

У=Г(хД). У(х0) = У0, (1)

У Н'\ Г:Н8+1* И3, г «Я,.

в виде ■ Р с

у[р].1=0 3 :

'п+1 р ч

■Е 0Л11 1=0 1

где - приближение решения задачи (1) в сеточном уз.г хп+1 = Тк - - тейлоровское приближение к-го порядка решения в том же узле относительно узла Гд, С.. (1=1 ..р)-. матричные коэффициенты, независимые от К С0=1 - единичная матрица. Под операцией деления в (25 следует понимать умножение обратной матрицы знам»нате-- слева на вектор числителя.

Формула (2) обладает свойством усреднения с дрсбно-рациона-дьнымп весовыми коэффициентами

е-гг*

"з " р Т ' (3 я 0"р-

Е С.П1 1=0 1

последовательности тейлоровских приближений.

Определение 1. Будем говорить, что • приближение вида (2) является согласованна о порядком р, если *У(х)еСр+1[х^.х^) имеет кесто' соотношение

I *р.п- у£и I = 0(ьР+1' ' '

Теорема 1. Пусть С0-1, тогда приближение (2) является согласованным с порядком р независимо от выбора значений коэффицг ентов (^ (1=1..р).

Введено понятие ошибки приближения, возникающей, за счет ограничения порядка согласованности, которая определяется выражением

• • ' > ■ •

. •• тЬ^тт

1=0 1

В §1,2 обуславливается вьбор матричных коэффициентов С., в виде . .

' 01 = (-1 а=0..р). (3)

где «Тп = значение матрицы Якобн правой

части системы (1) в сеточном узле Хд, а^- скалярнье параметры (0^=1) и исследуются вопросы устойчивости ДРП , представленных с учетом (3), соотношением

Г М)^,^ , „

п+1 р ^ . . . '

Е (-1)4 Й

1=0 1 П

на модельной линейной системе

Г + АУ = О. (5)

где А - положительно определенная патрица о постоянными элементами.

С цель» упрощения процесса исследований показана правомочность замены системы (5) схалярнш уравнением

У = - (6)

с комплексными значениями параметра X.

Приближение экспоненциального решения уравнения (6) формулой (4) определяется соотноиенияш

^«У^п-. (7)

Е ЫЙЕ сц)оЗ

3=0 1=0 1;> 1,1 г

о (а) --=- . о - АН. (8)

р р -I

Е о^

Теорема 2. Любой («С.ш> злэкенг таблицы Падэ содержится в 18). Тем самым аппрокциз^ации Падэ является, только частными случаями ДРП (8) для экспоненциальной функции.

Согласно известным определениям, на' устойчивость формулы (4) влияет параметры с^ (3=1..р) в соотношении (8).

Теорема 3. Если в (4) значения параметров определяется соотношением с^И/И. (1=1..р>, то операторная функция (8) обладает свойством Ьр- допустимости.

Этот параграф состоит из трех подпунктов. В 1.2.1 исследуются условия жесткой или А(а) устойчивости ДРП. Определена общая формула таких приближений произ£>ольног? конечного порядка ■ ■'

Лриведены-графики областей уотоЯ-чвостн для р = 1..7, анализ которых показал, мто пр'ближекия первого и второго порядков согласованности являются 1 - устойчивыми, а приближения вьюших порядков обладают А (а).устойчивостью.

В 1.2.2 для обеспечения А- устойчивости ДРП (4) произвольного р-го порядка согласованности определены значения параметров ' "

Приведены примеры А-устойчивьк ДРП. от первого до восьмого порядков. Показана возиокность построения приб." 'тений различных порядков с общей операторной функцией устойчивости.

В 1.2.3 изложена- методика пос.роения 1-устойчивьк ДРП. Определена общая формула для значений параметров

ДРП произвольного р-го порядка согласованности, при которых обеспечивается Ь-усгойчивосгь приближения вида (4), Показано существование Ь-устойчивьк ДРП различных порядков с общей операторной функцией устойчивости. Приведены примеры 6 групп таких приближений от первого до седьмого -порядков согласованности Построены и исследованы графики их областей устойчивости.

В §1 -3 рассмотрены вопросы построения дробно-рациональных численных методов решения линейных систем с постоянны!® коэффициентами и их распространения на нелинейные системы с использованием процесса квазилинеаризации.' Он состоит .из 5. подпунктов.

В 1.3.1 на базе ДРП вида (4) поостроены дробно-рационам-. ные методы (ДРМ) решения задачи Копи для линейных однородных систем (5). Метод произвольного р-го порядка описывается соотношением .

да-'. (1 = 1-р)'

где Ср - число сочетаний из р элементов- по 1.

(1=1..р).

Е-Ф^а,.*)!^

Гт0 ¿=0 1=0 11 * 1

• - —р—11-V . <*>

3=0 3

На оснований общей методики, в качестве примера, определены значения параметров с^ для ызтодов до восьмого порядка, обеспечивающие Х-устойчивость для штодов нечетных порядков и А-устойчивооть для мэтодоч четных порядков.

Рассмотрено сходство ДРн рааекия линейных систем с системными методами Ю. В. Ракит с ко го.

В 1.3.2 определены практические оценки точности ДРй ратания линейных систем .

--. • (10)

Е аЛ13А3

3=0 3

Исходя из значений параметров а^, для катода заданного порядка р формула (10) позволяет оценивать, величину локальной погрешности мэтода. Такие оценки даны для катодов, описанных в предьиуцем подпункте.

В 1.3.3 приведена методика построения численных ДРМ решения задачи Кош для линейных неоднородных систем первого порядка о постоянны«! коэффициентами

У *■ А1 «• В , У(0) » У0. (11)

где А - постоянная положительно определенная матрица размерности вхз, а В - е-мерный постоянна вектор.

Для А(а)-устоЯчизых ДРМ определены связи (.»жду числителем и знаменателем дробно-рационального выражения методов

Р я* к „ '

где Эр * £ А » Е " единичная матрица.

Приведены примеры А- и Ь-устойчивых методов до восьмого порядка.

В 1.3.4 описан процесс преобразования с помощью квазилинеаризации задачи Кош для нелинейкой автономой системы

У* =• ГШ. У(10) = У0 (12)

к итерационной последовательности линейных систем

Ут+1(хп) = т = 0.1,2,... ' (13)

аг (у )

^VI ,ш> - ;■■ Ж 'т • V 'VI> = V .»и ■

Уп+1 а - п-тое приближение решения исходной задачи в сеточном узлв\+1.

В 1.3.5 исследовано влияние неточности решений линейных систем (13) в отдельных итерациях на сходимость итерационного процесса к реиению нелинейной системы, исходя из квадратичной сходимости точных реиений м задачи (13) к решению У*+1 нелинейной задачи (1?' в сеточном узле хп+1, т.е.

1 УП+1,п»1" уа+1,пГ Уп+1 . ■• <И>

где ч « (ОИ) - константа, не зависящая от п.

Пусть Ук+1 _п - приближенное ресоние в узле линейной

задачи (13) на п-том отапе ¡¡тер; "лонного процесса, полученное некоторый ДРМ из семейства, приведенного в предыдущем подпункте. '

Тогда справедливо неравенство

где аэг 5Нр(хп+1 )Ц, р - порядок пригоняемого ДРМ.

Пусть при реализации итерационного процесса, для некоторого пей вотолняется условие

ди = -|?п+1.»*1 -VI.*. !'<'*• '

где 0 - достаточно малое заданное число. процессе

практической реализации последовательных итераций необходимо

согласовать вьбор величин а и. для достижения заданной

точности е приближенного роптания Уд+1 т нелинейной системы, т.е. выполнение неравенства

О»- I VI .и I* Б' И£М (,7)-

Теорема 4. Если для- итерационного процесса квазилинеаризации (13) выполняется условия (14), (15)- и 0 $ а & 1/.^). то для достаточно большого т справедлива оценка приближения решения - ' ;

- | з 2а.

Из теоремы 4 следует, что в процессе квазилинеаризации при выполнении условий теоремы, влияние погрешности приближенных решений линейных систем на окончательный результат при больших т асимптотически не превышает удвоенной погрешности численного метода.

Используя результаты теоремы 4, получим Дщ ^ 4а. Теорема 5. Если выполняется условие а £ 1/(24q), то при больших и для велччины с^ ассимптотически справедливы оценки

2 £ ^ й 2Дт+3а-

Из теоремы 5 и неравенства (16) следует, что неравенство (17) выполняется, если С £(е-За)/2. Тем самым, при использовании ДРМ с точностью а < с/3 итерационный процесс следует продолжать до выполнения неравенства

которое является критерием окончания итерационного процесса.

В §1.4 рассмотрены сложности реализации ДРП решений сильно -жестких систем. Реализация ДРП общей структуры (4-) требует решения системы линейных алгебраических уравнений с матрицей системы в виде полинома от матрицы Якоби правой части системы (1). Кроме значительных вычислительных затрат при возведении матрицы Якоби в степени, соответственно отдельным членам полинома, такая полиномиальная матрица в случае жестких систем становится плохо обусловленной. Для преодоления возникающих' затруднений предложено специальную структуру ДРП в виде

I (-1 ^С^а^Л^Т , •

Ы. л р р п р-5,11

, „ = -----, (18)

(Е - арЫг/

где ар - параметр приближения р-го порядка согласованности. Приближение М8) получаем из (4) при значениях с^ = Срар"

Реализация ДРП (18) требует решения р линейных алгебраических систем с общей матрицей системы С^ = Е - <1П. • Если предварительно провести декомпозицию матрицы Од, то решение указанных р систем требует незначительных дополнительных вычислительных затрат.

Исследованы условия устойчивости ДРП вида (18), располагая, б д.чнном случае, только одним параметром а . Показано, что значения ар для Ь-устойчивых ДРП определяется уравнением

А^^тртттОрЧ-0'

а для -устойчивых р-го порядкаДРП из уравнений:

а) для четного порядка

>'тр=Ьт - :

б) для нечетного поряд, .

Приведены значения параметра ар для Ь- и А-устойчивых ДРП до шестого порядка.

С целью уменьшения . вычислительных . затрат при вычислении числителя соотношения (18), который содержит произведения степеней матрицы Як.он на вектор тейлоровских приближений, проведено разложение дроби (18) на сумму элементарных дробей, т.е.

:у1Р1..у Л (19)

1=1 <Е " р п'

; Рк.п - ТИ.п. - V

Реализации'вычислений формулы (19) для ДРП р-го порядка целесообразно проводить по схеме Горнера, которая представляется рекуррентными соотношениями линейных систем с общей матрицей С^ .

■лв1 = ср~1бри-1 + в1-1- ' '(20>

' . 0О = ^ ЛИ = + Вр ■

Определение правых частей в линейных, системах рекуррентного процесса (20) сводится к операциям умножения векторов на скалярные величины и их суммирования. .

Приведенные преобразования ■ не влияет' на порядок согласованности и устойчивость ДРП.

В §1.5 излагается методика построения на базе формулы О "ДРП решения задачи Кош для жестких систем дифференциальных уравнений вша первого порядка •

У<т) = Г(2,УД'....Д(Ш~1)) . ' • • '• (21)

с начальными условиями

У(х0)=У0, Т-'(х0)«У¿...., У(т"1)(20)=У^т-1), гдеУ^Й3

без преобразования к системам первого порядка.

При преобразовании системы (21) к системе первого порядка и реализации вычислений рекуррентным процессом (20) возникала бы необходимость решения линейных систем размерности в*ш.

Предлагаемые ДРП в процессе их реализации оперируют системами линейных алгебраических уравнений только размерности а, которая совпадает с размерностью исходной систеглы (21) и не зависит от порядка системы.

§1.5 состоит из трех подпунктов.

В 1.5.1 излагаются общи® идеи построения ДРП для системы вида (21) без приведения к системам первого порядка на примере системы второго порядка

У" » Г(У;У), У* <з0)=у0' у * (22)

При построении ДРП использован особьй случай матрицы Якоби расширенной системы первого порядка для системы (22)

ГО Е 1

I Ху ' •

1. . - (23) у ¿у,

где Гу,«=*1(Уп,УД)/лУ\ которая применяется

в процессе реализации рекуррентной процедуры (20) для системы

г т = г

| (24)

I V = ку.г)

с раздельным определением приближений У^' и в се-

точном узле хп+1.

В результате рекуррентньй процесс определения приближений р-го порядка согласованности редания системы (22) описывается соотношениями:

*±-Л ' • В0 - <4 - СР ¿I ^^-К.п

Для реализации процесса необходимо один раз на ваге ин-

тегрнрования провести декомпозиции матрицы С^ размерности з, а затем последовательно проводить р раз рекуррентные вычисление

В ..5.2 исследуется вопросы устойчивости ДРП вида (4) решений систем второго порядка на («дельном уравнении

У" -и2У. ' : (26)

После преобразования уравж 1Я (26) к виду

У = -АУ, А - ( °2 "I ) , (27)

операторная функция перехода (8) решения системы (2Т) принимает вид

Е4- £ р^А3 1 а

п = —-.где ^ = К1)1 Е (-1)^

Е+ Е аЛ3А3

7Т

¿=1

У

Определение 2. Если собственные значения к рицы Ор(1г) при заданном Л лежат на единичной окружности в комплексной плоскости, то ДРП решения называется и. - устойчивы! для указанного значения Л.

Определение 3. Если ДРП является и-устойчи'-ыми при всех зна-■ чениях Ь>0, то такие приближения будем называть Аш-устойчивкми.

Свойство Аы - устойчивости представляв г особый интерес при исследовании осциллирующих задач.

Теорема 6. Для того, чтобы ДРП вида (4) обладали свойством Аи> - устойчивости, необходимо и достаточно, чтобы между коэффициентами операторной функция Вр(Ь) существовала связь

= (-1)Ц, (1 » 1..р).

Из теоремы следует, что А-усгойчивш ДРП р-го торядка является Аы-устойчивыми тогда и только тогда, если их операторная функция 0р№> представила в виде "

(^(-Ь) Р ¿ч,

V10 = ' где °Р(Ь) я Е А •

Среди ДРП вида (25), базирующихся на ДРП (18), только А-уо-тойчивые приближения первого и второго г^рядков согласованности является Аш - устойчивы:«!.' ' ■

' В 1.5.3 методика построения ДРП для систем второго порядка обобщается на системы третьего порядка

У " = Г(У,У ,У"), Г «Л8. (28)

У(Хо> = С,. У(х0) = С2, У"(10) = Су

В результате описан рекуррентный процесс реализации приближений, который требует решения линейных систем алгебраических уравнений размерности а, совпадающей о размерностью исходной системы (28).

Приведенная мэтодика может быть использована для построения ДРП решения ситемы дифференциальных уравнений произвольного т -го- порядка вида (21).

В §1.6 рассмотрены принципы построения ДРП решений отдельного класса неявных систем дифференциальных уравнений первого порядка.

Р(х,У,У)=0, У(х0) - У0, ' (29)

где х « Н, У е В3-, У* * Л®, Р(2,У,У) - непрерывная и дифференцируемая по воем аргументам вещественная е-- мерная вектор-функция и предполагается существование неособенной положительно определенной матрицы T'y,=<^F/'■^Y,, а также ограниченность производной ар/ау.

Пусть, кроме того, известно значение У'(х0) = Ч'0, которое является корнем векторного уравнения ?(х0,У0,У) = 0.

Для построения ДРП система (29) была преобразована к виду.

У" . -Р'1(РуУ + Рх), У(х0)-У0. У (х0)=Уд, (30)

а затем была использована методика построения ДРП решения систем второго порядка раздельно для У^] и У^?^ . описанная в предыдущем параграфе.

В результате построены и обоснованы ДРП первого порядка

= V Ру.+а-М'у * ^+1 " V Уу.+а^'у— ' (31)

II п п п

и второго порядка

(32)

II II п п

относительно решения Уп+1 и У^-и*2*^•

Проведены исследования устойчивости ДРП, в результате

которых показано, что при а.=1 приближения (31) являются Ь -устойчивыми, а при а.,= ^ - является А-устойчивыми.

Доказана

Теорема 7. Если параметр а,= то ДРП (32) обладает А-ус-тойчивостью о общей операторной функцией

Е - Й А В(М) = -.

Е + | А

Ввиду сложности непосредст: иного вычисления производных высших порядков искомого решения У(х), приближения более высоких порядков решения задачи (30) рекомендуется определять многошаговыми методами.

В §1.7 приведены дробно-рациональные численные методы решения линейных систем дифференциальных. уравнений с постоянными коэффициентами первого и произвольного к-го порядков, построенные на базе преобразованных ДРП по методике, описанной в §1.4. Они нэ требуют громоздких операций умножения матрицы на матрицу и матрицы на вектор. Параграф состоит из трех подпунктов.

В 1.7.1 изложен, методика построения методов решения задачи Коси для линейных систем о постоянными коэффициентами

У* = АУ + В, У(20) - У0, УеН11, (33)

В результате построений метод р-го порядка .описывается соотношениями

Определена оценка локальной погрешности метода произвольного р-го порядка точности

« I - Яр - 1■ (з5>

где 'р^) = |Д(-1)3Тр?ЬтТС^

У^.,..,) - точное решение задачи (33) в сеточном узле зп+1, (•| - некоторая норма в Л

Е 1.7.2 построен алгоритм реализации методов из подпункта 1.7.1 с автомагическим изменением порядка метода и шага

«р.»" »v1- (~1 )р+к % • (1ы • *>

интегриро-чния. Для построения алгоритма изменения шага первоначально используется упрощенные оценки погрешностей

\ = V4(ap) J hkAkhY^ Ц . (К=р-1 ,р.р+1) (36)

Если Rp<e, где е - задаваемая максимально допустимая погрешность приближения решек i задачи, то переходят к опредр-~"чк> прогнозируемого последующего шага интегрирования. В противном случае определяются локальныэ погрешности Лр_1, Яр, йр+1 по формулам (35).

При выполнении условия Rp<e, новьй шаг интегрирования определяется соотношениями

»нов - .1 (37)

где Т = raaxitp,, .tp.tp^,), tj, = (e/iy^. (k=p-1.p,p+1).

Порядок, метода на пооледущем шаге интегрирования соответствует порядку, Определяющему максимальное значение коэффициента х.

Для проведения экспериментальных исследований предлагаемых численных методов разработан программный модуль DMIS1 на алгоритмическом языке Бейсик. Эффективность методов проверяется на трех тестовых задачах с наборами различных • вариантов исходных данных , которью в достаточно пол?- '• мере ото бра,хают свойства и характер поведения решений линейных систем с постоянными коэффициентами. Они охватывали варианты устойчивых и неустойчивых ляне,...ых систем, жестких и нежестких систем, характеристические уравнения которых содержат действительны.», комплексные или кратнь» корни.

Результаты исследований сравниваются с результатами, полученными одной : - наиболее распространенных программ STIFF. Проведен анализ результатов, подтверждающий ripe, «уцества ДРМ как в обеспечении требуемой точности, так и времени решения.

Для примера, в таблице 1 приведены сравнительные результаты реаений вариантов теста, заимствованного из. работы Арашунян 0."., Залеткин С.Ф., Захаров А.Ю.. Калиткин H.H. О тестировании программ решения обыкновенных дифференциальных уравнений: Препр./Ин-т прихл. матем. им. Ш.Келдша АН СССР/, 1983.-Р 139. -?0 с. Шесть вариантов теста охватывают различные типы осцил-лирумцих задач: плох' обусловленную, мятную, 5ыстроосциллирую-щую, жесткие и жестко-осциллирующую. . В. таблице приняты с .х>знач<. ния: Е - максимально допустимая погрешность решения; КШ - общое количество тагов. интегрирования; Mil - максимальная

погрешность приближенного решения на интервале интегрирования;

Таблица 1•

программа! DMIS1 STIFF

В Е || 1Е-2 1Е-4 1Е—б 1E-2 1E-4 1E-6

1 ИЗ I 60 86 124 298 592 1278

НП I 8.96Е-4 2.68Е-5 3.84Е-7 1.66 2.72E-2 5.77E-4

Ш j - - - 265 582 1267

Т j 6.92 10.16 14.44 44.32 72.99 ■137.58

2 КШ | т 10 13 27 53 107

МП | 1.63Е-5 2.93Е-7 4.29Е-9 4.99E-2 4.22E-4 1.27E-5

!ШП | - - - 18 ' 29 77

Т 0.82 1.15 1.48 11.04 16.47 22.73

I 3 J ШП j 490 710 1026 1760 3971 8610

!Ш j 4.13Е-3 3.18Е-5 1.282-6 1.66 1.06E-1 2.38E-3

кап - 52 | 1734 3955 8581

Т | 57.89 82.11 118.19 j 209.26 434.84 838.21

4а КШ 29 60 121 j 118 171 298

КП 2.48Е-3 2.40Е-6 2.24Б-8| 6.10S-3 1.46E-4 1.81E-6

кип - - - - 2 5

т 2.14 4.22 8.56 23.39 30.48 44.48

| 4Ь КШ j 29 62 122 S3 167 299

Ш 1.90Е-3 2.46Е-6 3.242-8 3.35E-3 8.25E-5 1.16E-6

КИП ' - - - 1 - ■ - 7 |

Т | 2.14 4.50 7.SO j 20.26 29.82 44.48

I КШ j 99 140 205 j 340 610 1405

5 Ш j 6.10Е-3 3.692-6 2.043-8 j 1.183-1 2.C6E-3 4.903-5

КШП | - - - j 187 396 1109 j

Т j 8.18 14.55 21.86 jj 50.09 78.92 154.72 j

КШП - количество иагов, о погрепноотыо, лревыг-ащей допустимую; Т - время решения варианта задачи в секундах.

В 1 .".3 рассмотрены методы решения линейных систем с постоянными коэффициентами произвольного к -го порядка 1:-1

г(к)

Е Аи + В

1-1 к_1

(38)

о начальными условиями /^(0) = Ур"®*. . (3=0..к-1), где УсТр, коэффициенты А^ - матрицы размерности МхК. Эти методы описываются рекуррентными соотношениями

4Р) - ♦г

(р) 1-1

»(р) гО

О, (1=1..р)

к-1

0р= Е - Е «¿| Сш>1 - а^Б^-ГО^д).

(39) (3=1..к-1)

(т=1. Л-1)

"од

0.

= К +

И+1 п р

где (3=1..р) определяется по формуле из (34),

Гг1.11 'Уп '

?<р> = . С . ♦ • * » 2п = УА . 1

На каждом этапе рекуррентного процесса необходимо решать систему линейных алгебраических уравнений с общей для всего процесса матрицей Ор размерности ЛгЛ.

Разработан алгоритм определения локальной погрешности методов и их. реализации с автоматическим изменением шага интегрирования : порядка метода. Составлен программный модуль 1)М1£К для экспериментальных исследований, проведенных на трех тестовых задачах, построенных автором и охватывающих различные типы поведения решения. Сравнительный анализ результатов исследований подтвердил преимущества ДРМ над другими современными численными методами.

Глава 2 "Одношаговые методы дробно-рационального вида", посвящена методике построения и обоснования дробно-рациональных одношаговых численных методов на базе теории ДРП из первой главы. _

В §2.1 рассмотрены принципы построения дробно-рациональных олпошаговых методов с использованием линейных явных методов Ру-нге-Кутты. Обоснованы сложности построения методов высших

С целью уменьшения вычислительных затрат в §2.2 разработана методика построения линейных шньк одношаговых численных методов решения автономных систем дифференциальных уравнений первого порядка с использованием матрицы Якоби правой части системы. Приведены примеры таких методов до четвертого порядка точности. Построение по данной методике методов более высоких порядков также является сложным и громоздким.

В §2.3 изложены новые общие принципы построения вложенных' явных линейных одношаговых численных методов высоких порядков, которые базируются на следующем утверждении.

Утверждение 1. Если функция 1(к,У) системы (1) непрерывно дифференциируема не менее р+1 раз и УрС^ + ой) -тейлоровское приближение р-го порядка решения системы (1) относительно сеточного узла 2П, то ПХд + ей. Ур(хп + ей)) определяет разложение в ряд Тейлора р-го порядка производной решения относительно узла т.е.

Цх^ ей, Ур(хп+аД)) = Уд + + К 0{йр+1).

Параграф состоит из двух подпунктов.

В 2.3.1 приведена методика построения вышеуказанных методов для неавтономных систем. Построение методов р-го порядка состоит в определении приближений решения в последовательности р+1 произвольных точек + Ор^, (1=1 ,р<-1). В*едя обозначения

у*п +ай> = № > № - тр.п •

эти приближения определяются соотношениями

Формулы (40),(4-1) определяют рекуррентные соотношения с набором свободных параметров <ХрА(р=1.2,... ,1=1, .р+1), «01=0. Для их реализации найдены формулы определения значений . коэффициентов которые зависят от параметров ар1: « Рр^^Ь

Если при ар1=1 ввести обозначение Рр^!' то

соотношение (40) определяет приближение р -го порядка точности в сеточном узле хп+1=гп+Ь,т.е.

Тем самым, соотношения (40-42) описызаюг рекуррентный процесс последовательного построения шогопараметрического семейства методов от перпго до требуемого порядка.

Приведены примеры катодов построении по указанной кет. В 2.3.2 использована методика из предыдущего подпункта для построения последовательности вложеных явных линейных одношаго-вьк методов для автономных систем. Рассмотрены их особенности, когорта позволяют уменьшить общсо количество вычислений правой ччсти системы дифференциальных уравнений.

С целью укеныюкия среднего количества вычислений правой части системы на саг интегрирования, приведенная вше методика применена з §2.4 к построению явных блочных односаговых методо .. При общих количествах вычислений правой частя, предполагаемых. ранее на один шаг интегрирования, методом р-го порядка в блочных методах рекуррентный процессом определяется приблике. :я решения . непосредственно в р сеточных узлах . Последовательные -этапы процесса увеличивают глубину блока сеточных узлов и повызаюг порядок, приближений решений. Однако, в случае сильно жестких систем приближения решения лииейньки блочными методами, за счет их неустойчивости, при расширении глубины блока, могут быть сильно искажены, что понижает" эффективность их дробно-рационального усреднения. Поэтому, блочные методы является наиболее эф^ектианьии при их непосредственном использовании для иселэдования нежестких задач.

В § 2,5 на основе ранее описанной методики исследуются вопросы построения дзухЕ&говых явных числимых методов.

Пусть '/¿°Л'- Тёйл>рсаоксо приблиаения решения р-го порядка в некоторой промежуточной точке Хд+сШ, где -<а<1, относительно сеточного узла гп, а - тейлоровское приближение р-го по-

рядка в этой же точке относительно сеточного узла хп+1. Тогда справедливо следующее

Утверждение 2.Приближение согласуется о приближе-

нием Щ- с точностью 0(Ьр+1), т.е. • = + 0(ЯР+1)-

Указанное утверждение позволяет . при построении линейных ■ чу ленных методов (42) частично использовать коэффициенты К^ найденные ранее в пр.двдущем узле, что существенно сокращает количество вычислений правой части, системы. ., •

Изложена методика построения таких методов произвольного р

-го порядка. Количество вычислений правой части на каждом иаго интегрирования равно порядку метода.

В заклкменни ко второй главе приведен анализ эффективности использования дробно-рациональных одношаговых методов. Значительна вычислительные затраты при реапизациии методов высоких порядков ставит под сомнение целесообразность их применения. Поэтому, их рекомендуется использовать для начального процесса реализации многошаговых катодов.

Глава 3 "Многошаговые котоды др^оно-рационапьного вида" заключает в себе изложение основ теории дробно-раииональных многошаговых числзнкьк методов. Она содержит важные прикладные аспекты теории ДРП.

В §3.1 приведена методика построения линейных гтогопатовых численных кетодов с пере.ченнья сагом интегрирования. Она базируется на принципах построения одношаговых методов, рассмотрены* во второй главе, о пыбором опорными раное определенных сеточных узлов резания. При этом учитьзается порядок найденных ранее приближений ревония в предыдущих узлах шаговой сетки Зд. . Хд.2.....

Используя обозначения

* - ^1+1-V ^ - 31 " йД^' С1-1..Р-1). (43)

линейньй многопаговьй ?.йтод р-го порядка представим в виде

.....VI5' Г!Й11- ^-А^Ъ.

Определены обцие рзоч&тнкэ формулы коэффициентов метода произвольного р-го порядка из оиотеш согласованности кегода

' (М-Р-'). <«)

реиенио которой опиоывготоя в^рагекижи р-1

3Й>Я (-1)р^1 -:-- . (>1..р-<), (46)

(v v

где в^ определяются рвкуррентнши соотношениями

%Н= I к 1 . (47)

I , 3 * к-1

8о1)= '» 1=1-*Р"2- 3=1. -р-1. к=2..р-1.

Приведены примеры таких методов до четвертого п^м^ла. Следует заметить, что, если интегрирование проводить с постоян- ' ным шагом, т.е. 31=1, то метод (4-4) совпадает с методом Адаыса-Башфорта того же порядка.

Указаны подходы к построению на базе методов (44) многоша-. овых дробно-рациональных методов.

В §3.2 излагается методика построения линейных явных многошаговых методов с переменным шагом интегрирования для автоно-• мних "чстем с использованием значений второй производной реше-

г>1 + о>2 = р-2 .. ' • .• (49)

Параграф состоит из трех подпунктов.

В 3.2.1 для выделения из описанного выпе множества многошаговых методов, путем введения дополнительного условия г>1=г<2, приведена ..етодика построения методов четных порядков.

В 3.2.2, при общем условии (49), рассмотрено два варианта дополнительных условий: а) У2 - VI-1 и б) тг= 71+1 при построении методов, нечетных порядков. Приведены расчетныэ формулы ко г оффцциентов ме" ">дов различных порядков.

В 3.2.3 описана методика построения отдельного класса многошаговых методов вида (48), использующих в ранее найденных сеточных узлах только вторую производную решения (VI=0). Получены обцие формулы определения коэффициентов для . методов произвольного порядка.

В § 3.3 определены оценки локальной погрешности линейных многошаговых методов общего вида (48).

Доказана следующая Теорема 8 .Локалып погрешность Ер многошагового метода р-го порядка типа (48) определяется соотношением

V С/Р" . (50) ■

гд-- г^ - Б^Ь < % < Хд + 11 , v =иахСгМ

Р-и1

*р71р( б^)*1)]. (51)

Параграф состоит из двух подпунктов.

В 3.3.1 исследованы оценки локальной погрешности методов вида (44) для неавтономных систем, а в 3.3.2 оценки для методов, используетцих только вторую производную (VI=0).

В 53.4 исследуются вопросы построения многошаговых дробно-рациональных методов (МЦЮ с переменным шагом интегрирования. Он состоит из двух подпунктов.

В 3.4.1 рассмотрены МДМ вида

" - = ^-• (52)

где приближение решения в сеточном узле хл+1 линейным

многошаговым методом к-го порядка, а также их частные случаи на базе структуры (19). Исследуется влияние структуры линейных многошаговых методов на устойчивость ИДМ. Предлагается использовать в МДМ для каждого метода отдельного р-го порядка (р=1,2,...) свою последовательность лилейных многошаговых методов вида

Е (-1

1=0 1 п

^С - \ ♦ д'йчи •

(53)

где а^' (1=1..3) - свободные коэффициенты. .

Хеор^.маО. Если коэффициенты методов (53)

определяется соотношениями

^^ , аОр-к= .

где с^. параметры метода (52), то характеристическое уравнение МДМ порядка Р имеет только один отличньй от нуля корень, т.е. не содержит "паразитических" корней.

Исследованы условия устойчивости .МДМ и доказана

Теог^ма 10. Операторная функция Вр(о) МДМ (52) порядка р при условии (54) не зависит от значений коэффициентов используемых линейных многошаговых методов (53) .

Из теоремы следует, что область устойчивости МДМ совпадает ' с областью устойчтосг базовых ДРП (4).

Установлены общие закономерности определения коэффиц^тов МДМ произвольных порядков.

В 3.4.2 определены оценки локальной погрешности 8

МДМ .

0).=

1 Е (-l^oUrW

2 п - .•

Значения С^^ определяет

Тес зма 1¡.Локальная погрешность линейных многосаговых " м тодов вида (53) определяется соотношениями

p-k "Tp-It-t 1 И [ p-k i=o iP-^ P-^ i

-(p-k.nTp^^S^^-Sj)^], (56)

Лооле преобразований, коэффициенты C^. представимы в виде

(57)

Рассмотрены вопросы практической реализации вьшслений локальной погрешности.

В §3.5 описан алгоритм реализация МДМ соотношениями

№ = + (СрА1 + + - + '

Qp = Е - aphJn , (1=1..р). (58).

;; описи.ш экспериментальные исследования эффективности мето-

дов. Он состоит из трех подпунктов.

В 3.5.1 разработан алгоритм определения коэффициентов ajj^ и в методах (58).

В 3.5.2 построен алгоритм изменения шага интегрирования и порядка метода. При выполнении условия Ftp < вглах, где епа2-максимально допустимая погрешность, прогнозируемая величина последующего шага h определяется по формуле

г >

Чт^ • ...

Алгоритм изменения порядка базируется на определении значения р, при котором локальная погрешность ютникальна.

3 3.5.3 описаны экспериментальный исследования эффективности МДМ. Для этой цели разработан программный модуль ШМ1 и подобрано 25 тестовых задач, которые вклкяает линейные и нелинейные системы ОДУ с различными свойствами: жесткие, нежесткие,устойчивые и неустойчивые. Для исследования качества решений внутри интервала интегрирования построены 4 нелинейные тестовые задачи с известны«! аналитическими точны™ решениями. Приведены результаты экспериментальных исследований с точностям е =10 , 1О"4,10"6. которые систематизированы в отдельных таблицах. Таблицы содержат основные, наиболее ваяние, количественные и качественные характеристики: общее чиоло иагов на интервале интегрирования, количество вычислений правой части системы, количество вычислений матрицы Якоби системы, максимальная глобальная погрешность на интервале интегрирования, количество сагов о погрешностью, превьшающей допустимую, погрешность в конце интервала интегрирования, время реиения варианта задачи в сек. Все показатели в таблицах приведены в сравнении с результатами решений задач известной программой STIFF.

Анализ ■ результатов тестирования показал, что ШМ1 по всем приведенным характеристикам существенно эффективнее программы STIFF. В отличие от программа STIFF, в тестовых задачах , для которых известны точные решения, К£М1 гарантирует на всем интервале интегрирования требуемую точноогь при меньшем количестве шагов, вычислений правой части и матрицы Якоби. Во всех тестовых задачах наблвдается знауительньй выигрыш по времени решения. Для отдельных задач в десятки и сотни раз.

В заключении обобщены основные результаты работы.

В приложении приведены программные модули: построение области устойчивости ДРП (ОСОП), реализации дробно-рациональных

методов гашения линейных систем первого порядка (ЮЬШ51), решения линейных систем к-го порядка (ЗШВК), реализации дробно-рациональных многошаговых методов (ШМ1). Также в приложении описаны тестовые задачи, заимствованные из других работ.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Введен и изучен новый математический аппарат - дробно-рациональные пр 'лижения (ДРП) решения задачи Кошг, для обыкновенных дифференциальных уравнений в виде усреднения с матричными дробно-рациональными весовьощ коэффициента® последователь-■ .сти тейлоровских приближений решения.

2. Доказано отсутствие т.н. "барьера Лальквиста", т.е. существование абсолютно устойчивых приближений произвольного порядка, согласованности. Определены условия обеспечения А- или Ь-устойчивости ДГ.1. Разработана общая методика построения ДРП произвольного порядка согласованности. Описана рекуррентная процедур- реализации вычислений ДРП, ко требуодая трудоемких ■ операций умножения матрицы на матрицу и матрицы на вектор.

3. Построены, обоснованы и реализованы в виде программных модулей дробно-рациональнью методы решения линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Проведены экспериментальные исследования эффек- -тивнооти методов в сравнении с результатами решения набора тестовых задач др; 'ими методами. Исследованы вопросы распространения методов на нелинейные системы ОДУ о помощью процес- • са квазилинеаризации.

4. Для. жестких систем ОДУ визгах порядков разработана методика пост^ения ДРП решений без приведения к системам первого порядка. Введено понятие и определены необходимые и достаточные условия Аы-устойчивости для систем с осциллирущими решениями.

5. Изложены и обоснованы новые принципы построения приближений решений неявных систем ОДУ первого порядка на базе преобразования нежных систем к явным.системам второго порядка. В отличие от существующих методов, предлагаемые ДРП при их реализации не требуют решения систем нелинейных алгебраических уравнений.

6. С помошью аппарата ДРП на базе новой универсальной г-1То.дикя построения вложенных линейных одношаговых методов произвольного порядка, разработана теория устойчивых одношаговых