Оптимальные дисциплины обслуживания последовательно соединенной двухэлементной системы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

р I ъ « I

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В.ЛОМОНОСОВА

Механик-математический факультет

На правах рукописи УДК 519.873

ВЛАСОВ ЕВГЕНИИ СЕМЕНОВИЧ

ОПТИМАЛЬНЫЕ ДИСЦИПЛИНЙ ОБСЛУЖИВАНИЯ . / ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО СОЕДИНЕННОЙ ДВУХЭЛЕМЕНТНОЙ СИСТЕМЫ

.0) .05 - Теории вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидат, физихо-лаяелаяичесхих наук

Москва-1994

У

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор А.Д.Соловьев

Официальные оппонента - доктор физико-математических наук,

профессор А.В.Печинкин

кандидат физико-математических наук, доцент А.В.Павлов

Ведущая организация - Московский институт электроники

и математики

Защита состоится " 1994 г. в 16 час. 05 мин.

на заседании Сшциализироаввэго совета Д.053.05.04 при Московском государственном университете имени М-Б-Ломоносова го адресу: 119899, ГСП, Москва., Денивзкие Горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией мохвэ ознакомиться' в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание г 14-й этак). у., I

Автореферат разослан 1994 г.

Ученей секретарь

Специализированного совета Д.053.05.04 '

цри МГУ,

д.ф.м.н-, профессор Т.О .Лукашенко

ОВВДЯ ЗАРАКТКгаСТЕКА ДИССЕРМЩШ

Актуальность теш. В теории надежности важньки аналитическими задачами, возникающими при коледэзавии систем с восстановлением, являются рпяоиизациокные аоОаРШ. Модели восстанавливаемых систем являются по судаству моделями теории массового обслуживания, в которых роль входящего потока требований играет поток отказов элементов, возникающее в системе, а обслуживание состоит в вссстзшвлэжм этих элементов. Процессы массового обслуживания, возникающие при исследовании восстанавливаемых систем достаточно общего типа, как правило таковы, что входной поток требований (и следовательно, среднее время восстановленная системы) супрственш зависят от'"процесса обслуживания. Возникает задача определения оптимальной дисциплины обслуживания, минимизирующей среднее время восстановления системы.

В-В-Козловш и А.Д.Соловьевш решена - задача

асимптотической оптшшациц /р&цжтвш обслуживания для общей модели резервирования с восстановлением при быгтром решите.

Д.Смитом решгна скачала задала асимптотической, а затем и абсолютной оптимизации ^дисциплины обслуживания последовательно

' Козлов В-В., Соловьев А.Д. Оптимальное обслуживание

восстанавливаемы« систем. 1. Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1S78, ЛЗ.

Козлов В.В., Соловьев А.Д. Оптимальное обслуживание

■ восстанавливаемых систем. 2. Изв. АН СССР, Техническая кибернетика, 1978, М.

3> D.R.Smith. "Optlml repair oí a serles system", Operations Research, 1978, vol.26, M4, p.653-652.

- г -

соединенной двухэлементной системы с различным оксгонендаальнши распределениями наработок др отказа и длительностей восстановления элементов, и одной ремонтной единицей- Показано, что независимо от ингенеивностей ремонта оптимальной дисциплиной обслуживания системы является дисциплина приоритетного ремонта элемента о кгньшей интенсивностью отказов-

М-Категакисом и С.Держаком 4)'5) результат Л.Смита перенесен на последовательно соединенные п-олэненгкьв системы также о различынши екссоненциальнши распределениями наработок до отказа и длительностей, восстановления элементов, и одной ремонтной единицей. Показано, 'что независимо от шггонс:~15зстей ремонта оптимальной дисциплиной обслуживания системы является дисциплина, в кагдый управляющий момент выЗирающая вди далывйюго ремонта элемент р нзяменъшэй интенсивностью отказов сргда неисправных в этот момент элементов-

'В указанных работах -Смета, Катеяакиса я Дермана ю абсолютной оптимизации дизцишмн обслуживания систем используется энстюнеициалноз распределение наработок да отказа и длительностей восстановления элементов. На практике, однако, если распределения наработок до отказа элементов достаточно жрош ашроксшйвдатся оксшненциальнши распределениями, то наработки до полного восстановления элементов, как празклэ, уже существенно

,<) M-KateSateLs, C.Dernan. "Optimal repair allocation In a series system", Katheiaatics of Operations Research, 1S35, vol.S, SA, p.615-623.

5' E.Kateiakis, C.Iensan. "Optimal repair allocation In a series systea expected discounted operation tune criterion". Stochastic Analysis and Applications, 1937, yol.5, #4, p.38T-394.

- э -

не экспоненциальны. Поэтому актуальной задачей оптимизации дисциплин обслуживания восстанавливаемы. сиете* является получение результатов при произвольное рюлргделении длительностей восстановления элементов систем.

Цель работа. Нападение оптимальных дисциплин обслуживания системы, составленной из двух последовательно соединенных элементов при экспоненциальном распределении наработок до отказа и прсиэвохькае распре делгнии времени вооотеюзлэния влгмеютв-

Общвя мэтодика исследования. В диссертации используются общие методы теории процессов восстановления и теории классического оптимального управлэЕИя.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новъми: при произвольных распределениях длительностей восстановления элементов дая последовательно соединенной даугалеиенгной системы о одной ремонтной единицей

1) определена оптимальная дисциплина обслугизаяия системы в классе рандомизированных (в узком смысл?) дагцшнив;

2) определены яеобхэдимыг условия в вкдэ одного интегрального уравнения и системы нескольких интегральных уравнений и неравенств, которш удовлетворяют оптимальные дисциплины обслуживания системы в классе дисциплин, зависящих от тректории процесса обслуживания "в прошлой" (класс

3) определгна система двух нелинейных уразягний, ре ев ник которой являются параметрами оптимальной диоцкпамв» оболуиивзния системы в колосе (Р);

•4) определены конкретны? оптимальные днедкплиэа обслуживания системы (с классе Я,. (С)) в случае, когда распределения длительностей восстановления элементов являются молодеющими класса стареющими класса или принадоелвт кльдсу

"сетчала молэдаощих, а затем стареющих" распределений-

Практическая и теоретичаская цепкость работа. Диссертация носит теоретический характер. & результаты могут найти приыенениз в теории надежности и теории массового ооолуживанля.

Алробецав работы. Осговныг резу.«ьтаты диссертации докладывались автором на семинаре "Верокпжхетше методы в тежике" ка4едрк теории вероятностей МГУ (руководители акад. Б.В-.Гдадевло, псоф- А-Д-Солэвьев, проф. Ю.К.Беляев) и семинаре кафедры математики ИКС И Академии ФСК РФ (руководитель проф. М.М.Глуяэв).

Пу&ткац^я. Оснобнье результаты диссертации опубликована в дзу* работай, указанных в конце автореферата.

Структуре п оСьеи диссертации. Диссертация состоит из введения . двух глав и списка литература, содержащего 11 наименований. Объем диссертации - 143 машкописиьк страниц.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении диссертации дан краткий обзор ксслгдований и результатов, шеющияся в литературе, го теме дассертации. Кроме того, деется постановка задачи, решаемой в дюсертации, и приводятся основные- результата диссертации.

Первая глава диссертации состоит из пяти параграф011 • В этой главе решена задача оптимизации дисцшшпш обслуживания системы уэ двух последовательно соединенны« элементов в классе рандомизированных (в узком смысле) дисциплин Дгаш1, т.е. в классе дисциплин с одним ремонтньн устройством, которые в управляющие моменты вы5ирают для дальнейшего ремонта один из двух отказавших элэменгов с постояшпми (заранее заданным) вероятностями- Эти вероятности зависят только от вдмера текупрго управляющего момента с начала периода занятости системы и от того, с отказа .какого элемента. качался период занятости. Образующиеся две последовательности этим вероятностей определяют" две части ("половинки") (для периода занятости, начинающегося с отказа элемента 1) и (дои шршда занятости, взчмнаюпргося о отказа элемента 2) рандомизированной в узком смысл} дисциплины скДгзпс1. Этот факт записывается так: Управляющими моментами __

являются моменты отказа одного элэмэнта при незавертенном восстановлении другого элемента. Перерывы в ремонте элементов не У' влияют на распределения длигелыюстей их шлшго восстановления -В 51 доказано, что оптимальная рандрмизмировавгая дисциплина является детерминированной

(Лл**). т.е. в управляющие моменты сленентн для дальвейэего ремтета ?5бираютоя о вероятностями О или 1. Детерминированная дисциплина <2 определяется ' дзукя шследовательюстями — (е^ ,£2« - - - и

с^— (С^ ,Й2«___>2 номеров элементов, которые будут безусловно

вьбираться #ве ремонта, в очередаьй управляющие моменты ка любом периоде занятости в случае, когда период занятости начинается с отк1за элемента 1 (последовательность <21) или с отказа элемента 2 (последоватегьязсть с^); ,2|, .Н ,2..... } - номер

текущэго управляющего момента ка периоде занятости. 3 52 найдгна оптимальная детерминированная дисциплина- Доказана следующая

ТЕОРЕМА 1.2. Оптимальной детерминированной дисциплиной является следаошзя периодическая дисциплина

13л=(2.....21...12...21...12^2...),©

£31111 т^ПП

©(1.....12___21 ...12___21___1...)

Ж" -¡р.{п ^Д1 Ж ^Щ1

съ^ — I п» ^ ^^

2

При этом жктяаАоний. (в классах Д1^ и /1е1:£Лгап11) периой занятости составляет:

г ((?йп) --, (1)

где ^^(х^), р2^Т2, а

^^вйп'^шШ^ - решение системы нелинейных уравнений

^ = КтСпа*)

■ "ш1п = фш1п{хт1л]-фушарш-инбиашизры Ь^Чи), Й^и) и жинихизирувирв фунтш и (д) определяются параметрами системы и

классом дисцеыие д

В §3, и §5 определены оптимальные детэрминированпыг дисциплины для, соответственно, экспоненциальных, молодеющих класса Яд х старекщих класса. распределений С1 (г) и С, (г) -

(2) □

Вторая глава диссертации состоит из 17 параграфов (§64-522, нумерация параграфов - сквозная го всей диссертации). 3 ней ре нет задача оптимизации в классе дисциплин т.е. в классе

дисциплин с одни.; ремонтам« устройством, которые при принятии решгния о выборе элемента для дальнейшего ремонта используют информацию о выработанных интервалах обслуживания текущего недообслуэаэнюго элемента на текущем периоде занятости. Управляющэ моменты - те не, что и для класса Дгап!1. Перерывы в ремонте элементов также не влияют на распределения длительностей их полного эоостаяовленкя- Период занятости процесоа оСюлугошания где v(í) - двумерный двоичный вектор состояний системы, £(£■) - юмер ремонтируемого элемента (если система исправна, )=0), состоит из ■чередующимся ^-подпериодав, на которых происходит дообслуживание олеыента 1, прерываемое случайны« числом полных шпрерывных скюлузязашй элемента 2, и В-годпериодов, на которых происходит доообслуживак» элемента 2, прерызаемсе случайны,! числом полных непрерызнда обслуживании элемента 1. Дисциплины класса зависят только от траекторий процесса (т(Т),в({)) на текуцем периоде занятости и определяются услзвньни вероятностями рР*(х1? ...х^) ,.. ,хй)

и 9,(г)(у,.. ----уг>

(!/•),...выбора элементов 1 и 2 для дальнейшего ремонта

в очередной А-й управляющий момент на Л-подпэриоде, й=1,2..... и

очередной 1-й управляющий момент на В-годпериоде . 1=1,2,..., при условии, что в й-й управляющий момент на 4-годпериэде интервалы дообслузмзания недсойслухенного элемента 1 составляют Х|, 32.---.-fe. а в 1-й управляющий момент на 5-годпериэдэ интервалы доодслуживакия недообслугенного элемента 2 составляют , У2.....У1• Зтот факт записывается так: <2^,

•■•)/~(р|1)(х1). р^ц.^). --Од, «

В §6 вычислгн средам период занятости Т (<3)-4К(<1) дет дисциплин <2 класса Л+(С). В §7 задача определения оптимальной дисциплины в классе Д+ (С) сведена к решению системы нелинейных уравнений виде. (2). А именно, доказана

ТЕОРЕМА 2.1. Для оптимальной в классе дисциплины с?1111

мишиальньй средний период занятости системы Т (с?1111) имеет тот же ввд (1), где (а^д.Гддд) - решэние системы нелинейных уравнений того ае вида (2). □

При этом хиюиизируациг функции Ф*1п(и) и Ф*1л(х) определяются параметрами системы и классом дшх^иплин Л+(С).

В §8 изучается свойства минимизирующих функций Ш*1л(и) и ^¿^(х). В силу симметрии, в дальнейшэй части диссертации внимав® сосредоточено на вычислении только одной минимизирующей функции ^ §9 задача определения нинимизирукжрй функции

сведена к огоеделэнию годоласса потенциально спотшиъхых дисциплин ДОЛ+(С)^=Д+СС)^- В 510 определен класс (соответственно, сшхционараа

дисциплин, зависящих только от сулларного выработанного времени обслуживания недообслуженного элемента. Дисциплины класса определяются только двумя функциями (условными вероятностями) р,(х) (или р^х^-р, (г)) и (X) (или д2-д1 (X)):

1} (у,. - • )=Ч1 (г/1+• -+Иг) • Чг ) Щ • - - >Уг >=Рг +- -+г/г) •

т.е. (• )]~{р2(- )]. Доказана

ТЕОРЕМА 2.3. Среди оптимальных в классе Д+(С) дисциплин всегда существует дисциплина клагса Л^ ). о

- s -

Таким образом оптимизация з классе дисциплин Л+(С) сведена к оптимизации в классе дисциплин

В §11 задача определения годаласса потенциально оптимальных дюцишия ЯОД+ (Gj, tCj, представлена как ашссичеслоя задача оптшиьнсго ynpa£s.smsi, в которой роль управления u(t) играет условная вероятность ï>>(t), которой определяется дисциплина класса (Cj-. )д- Эта задача решена с использованием принципа максимума Понтрягина, и получены следующие необнздимьв у&лзвия оптимальности дисциплины ci^—|u(t)|:

ТЕОРЕМ! 2.4. Если S(- ) - кусочно-непрерывное сгекааальное управление, то супкстзуют действительные коэффициенты (мкодители Лагранха) Цд^С, и (ju>, хе ßce рсй?и9 нуле и такие, что

1, если X(t)3Ä(i;S(-)»0, 2(t) = 0, если Ä(i)sK(t;2(-))<0,- ••

«Ч

лобое, если K{t)sK(t;u(- })=Q,

где'ключевая функция Ä(t), i^O, имеет-вид:

\_ л F i - *

JE(t)5K(i;û(-))^iQff1 (t)-tiT1 (Г) X^G, (zXn^ûCzJJffCzJda-^

0 Ä •

с кокэчнш условием K(+oo)=Q? a функция У (t ) имеет вид:

1

ff(i) s ü(t;G(* )) = expH^jo-StsJds), îSO. □

0

A

Для тех îèO, где Ä(t)-0, полагая произвольно û(t)=0 или û(î)-1, полутаем

СЛЕДСТВИЕ 2.1. Ьютаалыюе управление С(- ) является грахичныж, T.e.vt^Q u(t)=Q или û(t)si. а

В 512 показано. что ш существует невыровденных подозрительны« на оптимальность управлений с множителем Латранза

Hq-0, и доказано следующее необходимое условие оптимальности управления с множителем Лаграюа (IqHO ):

ТЕОРИИ. 2.6. Если невыроЕДенгое граничное управление «(•) является опгимальньы с множителем Лагранла (uq=1 ), то

выполняются условие:

о о

t t sup--- Ini--,

i€K+:u(t)=0 _ t6R+:u(t)=1

r _ it>* ;uii/=i г _

j^Q^zJdz Jj^Q^zJds

1 г

где: (I) -

-Ы - 1

интенсивность распределния Я1 (Г )=е ,С1 (1), ^-интенсивность отказов элемента 2, С] (1) - функция распределения времени восстановления элемента 1, С1 (¿>=1-^ (1).' " □

Если обозначить:

то

G(t)=G(t;u(-)) '

J^U)^ (z;u(-))cjz / JjgC^ (r;u(-))dz

<Г

í 1

то из теоремы 2.6 следует

ТЕ0Н5МА 2.7. Если ) являемся вевьрогденнда граничным опгимадьньы управлением, то существует множитель Лагргета такой, что: •

1) {гзю: йи)=о] = •[ггягБС^Ш-))^}.

И, наконец, доказана ТК0Р2Ш. 2.8 о необходимых условиях, ксторьы должны удовлетворять невырогдэнньв гракс-зае управления, чергдзкяциэ спои значения 0 и 1 на конечное числе отрегков (интервалов). Теорема 2.8 показывает, что ключевую роль при

определении подозрительных на оптимальность управлений "(•) играют сопутстАухщиз шгаенсиеиссяя» (1) и ^(П функции Ф^ (I) и (I), (Хг^+оо, свойства которых, в свою очередь,

определяются классами распределений, к которьм принадлежат (Г) и Н1 (Г). В §13 рассмотрены классы млодещих (Мд), сторехщп: (50) ц "снпушп лолодещих, а зашел апхрещих" (йдвод) распределений С.| и) и I] (г), для которых определены свойства сопутсзующих функций ч»^ (О и и).

В 514 определена оптимальные управления для экспоненциальных распределений Показано, что оптимальным явлж/тся довяе

управления (правая функция не зависит от управления при известном интегральном ограничении аеЦа,;^Г-|])- В 515 определены оптимальные управления для молодеющих распределений класса

Показано, -что. оптимальнши являются управления вида

1, оги^ 0. . . .

Iii (t) = '1

В §16 определены оптимальные распределений С] (I) класса являются управления вида

г О,

управления доя стареющих Показано, что оптимальнши

%<*> *

OSt<t

2

1,

t>t2

В §17 определены оптимальные управления для распределений <?1 (i) класса Показано, что годззротельньми ка оютоальность

управлениями являются только управления вида.

а) tu <t) = Ч

б) щ (t) = LZ

ost<t1 t>t.

ast<t2 t>t0

(i^O)

в) и, ♦ (1) = 1 '2

1. »«р^ис*-)

0. 2 1

(для всех управлений значения в точках разрыва и произвольны, а сами параметры 1^50 и ¿^О однозначно определяется величиной интегрального ограничения аер^;^^]). Введены подклассы близких к лолодвщил. (БЩМ^фБд)), близких к сяарегзцил (Бси0®50)) и существенно нелолоаехща: и нваглрехцих ССНМС(Мо®Зд)) распределений С1 (£) и Я^Ю класса для

которых определены оптимальные управлэния-

Б §18, §19, §20 и 521 определены годвлзсс потенциально оптимальных дисциплин ПОД+ ((?£)А и миншизирукхщя функция Ц*1л (и), соответственно, для экспоненциальных, молодеющих класса Иц, стареющих класса и "скачав молодеющих, а затем стареющих" класса И^Бд распределений . . ...

В §22 проведаю сравнэше оптимальных в классах и

Д+(С) дисциплин. Доказано следующее

СЛЕДСТВИЕ 2.13. Оптимальная дисциплина в классе Д+СС) всегда лучше оптимальной рандомизированной (в узком смысле) дисциплины класса ¿гапс1 в том смысле, что первая обеспечивает лвнший средний период занятости системы, чем вторая. о

Автор с удовольствием., пользуется случаем поблзгодаржъ научного руководителя за постановку задачи к постоянное внинаеиг к работе.