Осесимметричные течения плазмы и распределения электрического тока в канале плазменного ускорителя тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

РГ6 (Ы

з л л пг

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

На правах рукописи

ГОРШЕНИН Константин Петрович

ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ПЛАЗМЫ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ТОКА В КАНАЛЕ ПЛАЗМЕННОГО УСКОРИТЕЛЯ

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 1993

Работа выполнена в Институте прикладной математики им. М. В. Келдыша Российской Академии Наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор К. В. Брушлинский Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук В. А, Гасилов,

доктор физико-математических наук Л. С. Соловьев

Ведущая организация: Институт ядерного синтеза Российского

научного центра "Курчатовский институт"

заседании специализированного Совета К003.91.01 при Институте математического моделирования РАН по адресу: Москва, 125047, Миусская пл. , 4.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Института прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН.

Защита состоится

Автореферат разослан

Ученый секретарь специализированного Совета,

к. ф. -н. н.

С. Р. Свирщевский

Общая характеристика работы

Диссертационная работа посвящена стационарным осесимметричным течениям плазмы с собственным магнитным полем в коаксиальных каналах типа сопла. Исследования проведены методами вычислительной и теоретической магнитной газодинамики.

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ определяется тесной связью проведенных исследований с современными экспериментальными разработками квазистационарного сильноточного плазменного ускорителя (КСПУ), основные принципы которого разработаны А. И. Морозовы)! (Морозов А. И. //Физика плазмы. - 1990. - Т. 16, вып. 2. - С. 131-146). КСПУ предназначен для генерации высокоэнергетичных плазменных потоков, что обуславливает разнообразные возможности его применения. Прежде всего речь идет о создании мощных электрореактивных двигателей для аэрокосмических летательных аппаратов. При решении проблемы управляемого термоядерного синтеза КСПУ может быть использован в качестве инжектора плазмы с необходимыми параметрами для токама-ков и плазменных ловушек и т. д. В то же время течение плазмы между электродами является достаточно общим объектом плазмодина-мики, и проявляющиеся в нем закономерности представляют интерес как с прикладной, гак и с теоретической точки зрения.

Современный этап вычислительных работ по проблеме КСПУ охватывает широкий круг вопросов, которые касаются особенностей процессов, происходящих в различных блоках и элементах ускорителя (Брушлинский К. В. и др.//Физика плазмы. - 1990. - Т. 16, вып. 2. -С. 147-157). Однако центральное место в нем занимают исследования течений в профилированных каналах. В настоящее время они представляют интерес в связи с анализом работы основной ступени КСПУ, в частности, распределения электрического тока, которое характе-риризует ускорительные свойства системы.

КСПУ отличается от ускорителей предыдущего поколения, во-первых, двухступенчатым механизмом ускорения; ионизация происходит в серии ускорителей первой ступени. Во-вторых, роль электродов-в канале второй (основной) ступени играют специальные устройства -трансформеры, обеспечивающие перенос тока ионами с целью преодолеть приэлектродные нерегулярности течения. Вследствие этого почти во всем объеме основной ступени течение можно считать ограниченным коаксиальными поверхностями, близкими по форме и распо-

ложению к поверхности электродов-трансформеров. В этом "ядре потока" можно использовать модель непроницаемых электродов, а также пренебречь эффектом Холла и диссипативными процессами, т. к. соответствующие им безразмерные параметры малы. В связи с этим представляет интерес детальное количественное описание в рамках одножидкостной бездиссипативной магнитной газодинамики течений в каналах, форма которых отвечает реальной геометрии существующих установок КСПУ. В данной работе использованы геометрические характеристики ускорителя КСПУ П-50 (Волописо А. Ю. и др.//Физика плазмы. - 1990. - Т. 16, вып. 2. - С. 158-167).

ЦЕЛЬ РАБОТЫ заключается в исследовании количественных закономерностей МГД течений в каналах современных моделей КСПУ, изучении свойств распределений электрического тока и условий образования токовых вихрей в профилированном канале, исследовании свойств аналитических решений стационарных МГД уравнений.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. 1) В серии расчетов двумерных МГД течений исследованы распределения в канале электромагнитного поля и локальных гидродинамических параметров плазменных потоков, а также их интегральные характеристики. Результаты расчетов систематизированы и на их основе получены количественные закономерности в свойствах течения и указаны пути сопоставления их с экспериментальными исследованиями КСПУ.

2) Показано, что распределение электрического тока в канале, ответственное за процесс ускорения плазмы, связано в первую очередь с величиной отношения характерных газового и магнитного давлений на входе в канал и практически не зависит от гидродинамических свойств втекающей плазмы. Проанализированы условия образования токовых вихрей в канале и их влияние на процесс ускорения.

3) В процессе теоретических исследований стационарных МГД течений б приближенных моделях установлен ряд новых закономерностей в поведении параметров течения вдоль траектории, конфигурациях звуковых поверхностей, механизмах вихреобразования.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ. Практическая значимость работы заключается в детальном количественном описании МГД течений в каналах современных вариантов ускорителя КСПУ. На основе рассчитанных интегральных параметров течений указаны пути сопоставления расчетов с экспериментами. Результаты могут быть использованы при разработке и оптимизации следующего поколения

КСПУ.

Теоретическая значимость заключается в раскрытии и анализе общих закономерностей и свойств двумерных стационарных трансзвуковых МГД течений в иагнитоплазменном аналоге сопла Лаваля, в частности, распределения электрического тока в канале с образованием токовых вихрей.

Методическое значение работы состоит в том, что реализация эффективной конечно-разностной методики Дж. Бориса и Д. Бука в задачах трансзвуковой магнитной газодинамики способствует дальнейшему внедрению численного моделирования в разработку современных плазменных установок.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты исследований докладывались на VII Всесоюзной конференции по плазменным ускорителям и ионным инжекторам, обсуждались на научных семинарах в Институте прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН, Институте механики МГУ им. И. В. Ломоносова, межведомственных совещаниях и рабочих семинарах по проблеме КСПУ.

ПУБЛИКАЦИИ. Большая часть результатов, содержащихся в диссертации, отражена в 11 публикациях - статьях, препринтах, материалах Вс.есоюзой конференции.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения, двух глав, объединяющих шесть параграфов, и заключения. Общий объем работы - 162 страницы, из которых 20 занимают иллюстрации. Список литературы содержит 89 наименований.

Краткое содержание диссертации

Во ВВЕДЕНИИ определено место настоящей работы в круге современных исследований по проблеме КСПУ. Коротко излагается содержание диссертации.

ГЛАВА 1, включающая §§1-4, посвящена численному исследованию МГД течений в профилированных каналах.

В §1 содержится постановка задачи об осесимметричном МГД течении в азимутальном собственном магнитном поле в коаксиальном канале типа сопла. Диссипативные эффекты - вязкость, теплопроводность, конечная электропроводность - не учитываются. Обсуждается математическая обоснованность различных вариантов постановки граничных условий на входе в канал. Проводится сопоставление с

традиционными подходами к моделирование течений в газодинамических соплах.

В §2 излагаются результаты расчетов двумерных МГД течений в канале, форма которого определяется геометрическими параметрами усхорителя КСПУ П-50. Исследована зависимость локальных и интегральных характеристик течения, а также коэффициентов усиления динамических величин - коэффициентов ускорения и усиления тяги (потока импульса) и энергетической мощности (потока кинетической энергии), - от характерного входного параметра /30=8пр0/Н^ в широком диапазоне его значений при различных распределениях плотности во входном сечении - однородном, возрастающем и убывающем - и постоянном входном давлении. Указаны некоторые особенности течений с заданным на входе распределением плотности импульса. Результаты представлены в виде сводных таблиц и карт изолиний.

В газодинамических течениях и МГД течениях с большими 80 распределение скорости V на выходе из сопла близко к однородному, а на входе является возрастающим (с ростом г). В присутствии сильного магнитного поля, определяющего характер ускорения потока, распределения скорости во входном и выходном сечениях качественно схожи и убывают с ростом г. Максимальные скорости на выходе из сопла получены при возрастающей входной плотности. Магнитное поле оказывает заметное влияние и на распределение плотности: при малых ¡¡0 независимо от входных распределений радиальные профили плотности в сопле возрастают с ростом г. Напротив, в течениях, близких к газодинамическим, входные профили оказывают определяющее влияние на распределение плотности в сопле. Коэффициенты усиления динамических величин слабо зависят от заданных распределений входных параметров и растут с с уменьшением Э0- Этот эффект обусловлен двумерным характером течения. В частности, при Эо=0.1 коэффициенты усиления тяги и мощности (близкие к предельным) соответственно составляют ~7 и ~50.

Исследована зависимость характеристик течения от формы канала при однородном распределении входных термодинамических параметров и Ро=0.1. Варьировались минимальное сечение сопла и его положение относительно входного и выходного сечений. Максимальная скорость истечения получена в канале с сильной перетяжкой, смещенной в сторону входе!. При уменьшении минимального сечения обнаруживается эффект двумерного характера, заключающийся в увеличении расхода

электрической энергии на единицу массы ускоряемого потока при неизменном разрядном токе. Это приводит к росту таких характеристик течения, как средний удельный импульс и средняя удельная кинетическая энергия.

В каналах с сильной перетяжкой наблюдается формирование циркуляционной зоны. В связи с этим исследован магнитный механизм вихреобразования. Если в уравнении импульсов пренебречь градиентом газокинетического давления или считать движущуюся среду баро-тропной, то можно получить:

йГ/йЬ = - | к<11 , Г = | у<П (1)

I ь

Здесь к=Я/(4тгрг), 1=Нг. Рассмотрим систему коаксиальных трубок, образованных в пространстве пересечением изомагнитных поверхностей к=сопз1 и токовых поверхностей 1=сопб1. Если положительное направление обхода контура, образованного пересечением трубки с меридиональной плоскостью, совпадает с направлением вращения вектора 71 к вектору Чк по кратчайшему пути, то назовем такую трубку положительной, в противном случае — отрицательной. Соотношение (1) можно переписать в виде

йГШ = (N+- ЛМДкД/ ,

где И и - соответственно число положительных и отрицательных трубок, охватываемых контуром I, а Ак и А/ - абсолютные значения перепадов к и I на соседних поверхностях. Таким образом, если среда баротропна или же движение происходит в сильном магнитном поле, то изменение во времени циркуляции скорости по любому замкнутому жидкому контуру определяется разностью числа положительных и отрицательных токово-изомагнитных трубок, охватываемых этим контуром. Сформулированное утверждение устанавливает магнитный механизм вихреобразования, заключающийся в несовпадении токовых и изомагнитных поверхностей, и является МГД аналогом газодинамической теоремы Бьеркнеса.

В §3 изложены некоторые результаты, относящиеся к исследованию распределений электрического тока. Показано, что в канале фиксированной геометрии оно практически не зависит от входных распределений гидродинамических величин, определяясь величиной характерного параметра (?0. Токовых вихри, возникающие с увеличе-

нием 0С в сужающейся части канала и присоединенные к центральному электроду, оказывают незначительное влияние на потек, не нарушающее процесс ускорения в целом. Мощность вихря, определяемая как

Т) = (I - 1п>/1п . ' шах О О

где 1юлх и 10 — максимальное и граничное значения функции 1=Иг в зоне вихря, достаточно слабо меняется с ростом Э0: при Э0=50 получено 17=1.1. Показано, что распределение тока тесно связано с геометрией канала. Е частности, относительная величина токов выноса 6 практически не зависит от входных распределений гидродинамических величин и незначительно меняется с изменением 0О, составляя около 30% при малых 0О и ~35% при Э0»1- Вместе с тем б заметно меняется с изменением конфигурации сопла, обусловленным вариацией величины перетяжки и ее местоположения. Так, 3 уменьшается при уменьшении минимального сечения сопла или увеличении длины его расширяющейся части. Последний эффект имеет двумерный характер. Расчетами установлено, что, независимо от геометрии, за минимальным сечением сопла протекает ~75-80% разрядного тока, включая токи выноса.

Представлен ряд аналитических результатов. Получены достаточные условия отсутствия "свободных" токовых вихрей, которые сводятся к ограничениям на входные распределения МГД величин. Наиболее простое из них имеет вид

а 0 (2)

Здесь к<0)=Я/(рг) - интеграл вмороженности, ф - гидродинамическая функция тока. Рассмотрены локальные условия регулярного протекания тока, при котором отсутствуют как "свободные" вихри, так и присоединенные к электродам. В них участвуют безразмерные локальные параметры - отношения слагаемых интеграла Бернулли - и геометрические характеристики потока. Показана возможность определения характера течения - ускоренного или замедленного (в стационарном режиме) или нестационарного - на основе анализа распределений локальных характеристик электромагнитного поля.

В §4 рассмотрены вопросы применимости квазиодномерной теории к описанию двумерных течений. В квазиодномерном приближении найдена связь интегральных характеристик трансзвукового течения:

a J- b

+ ^ cpT°

= 1 (3)

Здесь m - массовый расход плазмы, V - разность потенциалов между электродами, J - разрядный ток, TQ - входная температура, а и b -безразмерные коэффициенты, определяемые геометрией канала. Найдены зависимости интегральных параметров (в том числе тяги и энергетической мощности) от разрядного тока при условии постоянства входных термодинамических величин. Даны оценки коэффициентам усиления динамических величин.

Показано, что интегральные характеристики двумерных трансзвуковых течений связаны приближенными формулами вида

a*4l + =,

с mV с mV

(параметр /3 определен в точке г входного сечения). Коэффициен-

», * 0 0

ты а и b определяются в результате расчетов и различны для разных входных условий. Сходство соотношений (3) и (4) (в квазиодномерном приближении они совпадают, если положить b =Ьтгу/С эг—1 ) и а*=а и понимать под rQ средний радиус квазиодномерного канала) позволяет ввести понятие эквивалентного квазиодномерного канала, обладающего набором интегральных характеристик двумерного течения. Однако его геометрические параметры, вообще говоря, не только не совпадают с реальными параметрами двумерного канала, но зависят еще и от входных распределений гидродинамических величин в последнем. Получены апггроксимационные формулы квазиодномерного типа для зависимостей интегральных характеристик двумерного течения от разрядного тока.

Рассмотрены некоторые вопросы методического характера, касающиеся анализа экспериментальных данных с учетом результатов численного моделирования. На основе соотношений (3>, (4) получены формулы для выражения характерного параметра (?0 через интегральные характеристики течения. Они позволяют установить соответствие между расчетами и экспериментальными исследованиями, в которых интегральные параметры являются наиболее надежными данными. Анализ результатов двумерных расчетов, в которых распределение электрического тока зависит только от параметра |50, приводит к эмпирическому условию регулярного (квазирадиального) протекания тока:

0.54/а" < J3/lc4inV) < 1/а* ,

согласующемуся с результатами эксперимента (величина а* для рассмотренных течений принимала значения ~0.4+0. 5). Кроме того, указаны пределы применимости упрощенных квазиодномерных оценок расхода по измеренным значениям разрядного тока и скорости истечения.

ГЛАВА 2, включающая §§5,6, посвящена исследованию различных свойств стационарных МГД течений аналитическими методами.

В §5 исследованы некоторые свойства стационарных МГД течений в элементарной гидродинамической трубке тока. Получены параметрические формулы для осесимметричного течения. Они содержат два параметра - число Маха и число Альфвена - и обобщают известные газодинамические параметрические формулы. Исследованы особенности течений в трубке тока, обусловленные ее геометрией. Показано, что положение сечения, в котором возможен переход через местную магнитозвуковую скорость, определяется в общем случае не только геометрией трубки, но и входными параметрами потока. При у=2 трансзвуковой переход происходит в сечении, где

г//(гг + = min

Здесь г - средний радиус трубки, f - ее поперечный размер. Уточнены условия реализации аномальных режимов течения, когда направления изменения плотности и скорости вдоль траектории совпадают. Независимо от характера течения - дозвукового или сверхзвукового — аномальное ускорение возможно только на нисходящих траекториях (dr<0), аномальное торможение - на восходящих (dr>0). Показана возможность аномального поведения чисел Маха, определенных по тепловой скорости звука (М), альфвеновской (Н&) и магнитозвуковой скоростям (fM, когда направления изменения скорости и указанных чисел Маха вдоль траектории не совпадают. При у<2 на восходящих траекториях ускорение однозначно характеризуется ростом параметра W, торможение - уменьшением параметров Нт и Ма. На нисходящих тректориях ускорение однозначно характеризуется ростом Wm и Иа, . торможение - уменьшением. И. Исследованы условия существования стационарного течения в трубке тока заданной (произвольной) формы. Показано, что при заданном входном параметре ßQ невозможны режимы течения, в которых входной параметр N принимает значения из

некоторого открытого интервала, зависящего от Р0 и геометрии трубки.

Получены достаточные условия регулярного протекания электрического тока, т. е. монотонного убывания функции 1=Яг вдоль траектории. Если траектория является восходящей Ыг>0), а охватывающая ее элементарная трубка тока сужается (<15<0), то достаточные локальные условия убывания I выражаются неравенствами:

2 < П2 < 1 + 2/(313) , гЭ < 2 (5)

Если предположить, что геометрия каждой элементарной трубки определяется геометрией канала в целом, то неравенства (5), в которых под Мир понимаются входные распределения этих величин, представляют собой достаточные условия отсутствия токовых вихрей в канале. Задавая входные распределения МГД величин, можно получить ограничения на входное распределение интеграла Бернулли и величины интегральных характеристик течения, сооответствующие "безвихревым" режимам. В частности, при р(г)=р0, Пг)=Г0, Я(г)=27/(сг) находим:

т < 7J/^^r-i)c Г„] , р о

2 /-- 2 (6)

(27/с2)/2<у-1)с г0 1п!г2/г1) < V < Ш/с2)Т ,

Выражение для ¥ достаточно громоздко; в предельных случаях малого и большого разрядного тока оно соответственно имеет вид:

Г = Ау-1>с Го 1п(г2/гг) , F = Лг"1 - г^МЛс/ирд)

Здесь гх и г2 - пределы изменения г во входном сечении. Нарушение этих неравенств и, как следствие, образование токовых вихрей, может происходить как при малых разрядных токах (что подтверждается численными исследованиями течений с большими 0О), так и при больших, когда разрядное напряжение или слишком мало, или чрезмерно велико. Соотношения вида (6) позволяют анализировать эффективность работы ускорителя в терминах интегральных параметров.

В §6 изучаются течения в "плавных" каналах. Найдено расширение класса течений, интегрируемых в аналитической форме: получены формулы для неизоэнтропических течний, обобщающие известные ранее соотношения для изоэнтропического случая. Удается проинтегриро-

вать уравнения "плавного" течения, если выполнено:

к(|£)/к0 з [5(0>/5о]1/у н Я0)

Здесь Б(ф)=р/(^ - энтропийная функция. Соответственно, первый интеграл имеет вид:

ч\/2 = IНф) - ио£(ф)С(г) ,

где Ц(ф) - обобщенный интеграл Еернулли, а безразмерная функция С(г) подлежит определению в прямой задаче теории сопла. В частных случаях получены оценки для коэффициентов усиления динамических величин.

Исследованы свойства распределений электрического тока в "плавных" каналах. Условие отсутствия "свободных" токовых вихрей (2) в этом случае можно обобщить:

(Ик[ф)/5иг1ф)]/<1ф г О

Изучена связь распределений тока с геометрией канала в трансзвуковом режиме. Показано, что перекос линий электрического тока в слабом магнитном поле обусловлен осевой симметрией течения, а возникновение токового вихря связано с величиной минимального сечения: при достаточно слабой перетяжке вихрь не образуется. Показано также, что при входном граничном условии для магнитного поля, обычно используемом в двумерных расчетах (Я~1/г!, в канале возможны только вихри, присоединенные к центральному электроду.

В приближении "плавного" канала исследованы конфигурации критических (звуковых) поверхностей и возможность образования сверхзвуковых включений в дозвуковом потоке. При заданных распределениях интеграла Бернулли, интеграла вмороженности и энтропии величина массового расхода и оказывается ограниченной; трансзвуковой режим возможен лишь при некотором максимальном значении и+. Далее, существует интервал значений расхода: т_< т < т+, - при котором в канале на фоне дозвукового течения образуется сверхзвуковая область, присоединенная к одному из электродов. При т < т_ течение в канале полностью дозвуковое. Рассмотрены некоторые частные случаи, когда конфигурации ЗЕуковых поверхностей описываются аналитическими выражениями. Получены условия нормального ускорения, выражающиеся ограничениями на геометрические характеристики

канала.

В ЗАКЛЮЧЕНИИ сформулирована ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ диссертации:

1. В работе реализована конечно-разностная методика расчета двумерных (осесимметричных) МГД течений в поперечном собственном магнитном поле в областях с криволинейными границами, опирающаяся на метод коррекции потоков Дж.Бориса и Д. Бука. В серии расчетов проведен детальный численный анализ течений плазмы в каналах типа сопла, форма" которых определяется геометрическими параметрами существующих установок КСПУ. Получены распределения электромагнитного поля и локальных гидродинамических характеристик течения, а также его интегральные параметры, в широком диапазоне значений характерного входного параметра /З0=8пр0/Яд при различных условиях на входе. Исследовано влияние геометрии канала на характеристики течения. Данные расчетов систематизированы и на их основе получены количественные закономерности в свойствах течений. Изучены особенности квазиодномерного анализа двумерных МГД течений, на основе которого выработаны критерии сопоставления численных расчетов с данными эксперимента. Результаты представляют интерес при разработке и оптимизации полноблочной модели КСПУ.

2. Исследованы качественные и количественные закономерности распределения электрического тока в канале. Установлено, что оно определяется, главным образом, величиной характерного параметра Р0 и практически не зависит от распределений гидродинамических величин в объеме канала. Показана связь распределения тока с геометрией канала. Найдены аналитические локальные условия отсутствия токовых вихрей в канале и их интегральные следствия, позволяющие анализировать эффективность работы ускорителя в терминах интегральных параметров течения,

3. Проведено теоретическое исследование. некоторых свойств стационарных МГД течений. Обнаружен ряд неизвестных ранее особенностей в поведении параметров осесимметричных течений вдоль траектории и найдены условия их проявления. В приближении "плавного" канала изучены конфигурации критических (звуковых) поверхностей и возможность образования сверхзвуковых включений в дозву-ховом потоке. Показано, что появление последних связано с величиной массового расхода. Выявлен магнитный механизм образования циркуляционных зон в магнитогазодинамическом потоке, доказан МГД аналог теоремы Бьеркнеса.

Публикации автора по теме диссертации:

1. Брушлинский К. В., Горшенин К. П. Расчеты МГД течений в каналах и их соотношение с экспериментальными исследованиями плазменных ускорителей /'/Физика плазмы. - 1993. - Т. 19, вып. 5. -

С. 682-695.

2. Брушлинский К. 3., Горшенин К. П., Сыцько Ю. И. Математические модели стационарных МГД-течений в каналах плазменных ускорителей //Математическое моделирование. - 1991. - Т. 3-, N-10. -

С. 3-19.

3. Горшенин К. П. Аналитические решения уравнений неизоэнтропичес-когс МГД течения в "плавных каналах //Физика плазмы. - 1993. - Т. 19, вып. 6. - С. 803-812.

4. Горшенин К. П. Об особенностях осесимметричных течений плазмы в узкой трубке потока„//Журнал прикладной механики и технической физики. -1991. -№5. - С. 3-10.

5.Горшенин К. П. Об условиях образования токовых вихрей в канале //VII Всесоюзная конференция по плазменным ускорителям и ионным инжекторам. Тезисы докладов. - Харьков, 1989. - С. 19-20.

6. Горшенин К. П. 0 вихрях электрического тока в канале плазменного ускорителя //Физика плазмы. - 1991. — Т. 17, вып. 7. -

С. 804-811.

7. Горшенин К. П. О критических поверхностях и других особенностях "плавных" осесимметричных течений плазмы в каналах //Прикладная

математика и механика. - 1991. - Т. 55, вып. 5. - С. 787-794.

8. Горшенин К. П. Параметрическое решение задачи об одномерном течении бесконечно проводящего газа в поперечном магнитном поле //Известия АН СССР, Механика жидкости и газа. - 1991. -№3. - С. 175-176.

9. Горшенин К. П. Стационарные двумерные течения плазмы с заданным расходом в канале плазменного ускорителя. - М., 1989. -25 с. (Препринт/АН СССР, Ин-т прикл. матем.: №37).

10. Горшенин К. П. Течения идеальной плазмы и распределение электрического тока в соплообразном канале. - М., 1992. - 27 с. (Препринт/РАН, Ин-т прикл. матем.: N-58).

11. Горшенин К. П. Течения плазмы в канале с различными распределениями потока на входе //VII Всесоюзная конференция по плазменным ускорителям и ионным инжекторам. Тезисы докладов. - Харьков, 1989. - С. 17-18.