Эффект Холла в двумерной МГД-модели течений плазмы в канале плазменного ускорителя тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

РГб од

На правах рукописи Ратникова Татьяна Анатольевна

Эффект Холла в двумерной МГД-модели течений плазмы в канале плазменного ускорителя

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 1996 г.

Работа выполнена в Институте прикладной математики им.М.В.Келдыша Российской Академии наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор К.В. Брушлинский Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

JI.C. Соловьев

доктор физико-математических наук A.C. Шведов

Ведущая организация: Институт механики МГУ

им. М.В. Ломоносова

Защита систоится " " 1996 г. в час. мин.

на заседании диссертационного совета К003.91.01 при Институте математического моделирования РАН по адресу: Москва, 125047, Миусская пл.,4а

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Института математического моделирования РАН.

Автореферат разослал ¿«А»^ 1996 г.

Ученый секретарь диссертационного совета к.ф. - м.н.

С.Р. Свирщевский

Диссертация посвящена математическому моделированию двумерных течений плазмы с поперечным магнитным полем в коаксиальных каналах плазменных ускорителей. Модель основала на модифицированных уравнениях МГД с учетом эффекта Холла. Рассмотрены общие вопросы теории уравнений и исследованы особенности течений плазмы в приэлектродных слоях.

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Плазменные ускорители, в основе которых лежит принцип электромагнитного ускорения в каналах типа сопла, интенсивно разрабатываются в течение последних более, чем 30 лет. Они предназначены для генерации высокоэнергетичных плазменных потоков, что обуславливает разнообразные возможности их применения в качестве мощных электрореактивных двигателей для аэрокосмическпх аппаратов, в качестве инжектора плазмы с необходимыми параметрами для токамаков и плазменных ловушек в термоядер-яых исследованиях, а также в качестве средства для антикоррозийной технологической обработки металлических поверхностей. Кроме того, гечения плотной плазмы между электродами представляет интерес в фундаментальных вопросах механики жидкости, газа и плазмы.

Разработка включает в себя теоретические и эксперимен-гальные исследования. Значительную роль в них играют работы по математическому моделированию процессов в каналах плазменных ускорителей. В первую очередь это моделирование течений плотной горя-?ей плазмы в каналах-соплах в приближении магнитной газодинамики, в результате которого исследованы основные свойства двумерных 'осесимметричных) МГД-течений в коаксиальных каналах и их зависимость от параметров течения и геометрии канала. (Брушлинский К.В., Морозов А.И. // Вопросы теории плазмы / Под ред. М.А.Леонтовича, зып.8, М.: Атомиздат, 1974).

Значительное место в исследовании течения плазмы в канатах ускорителей занимает анализ приэлектродных процессов, ибо они, 1 первую очередь, препятствуют желаемому увеличению мощности. 3 приэлектродных слоях экспериментально наблюдаются скольжение гока и скачки потенциала, разрушительно воздействующие на поверх-юсть электродов.

Изучение физических процессов в приэлектродных слоях на эазличных плазменных установках другими авторами выявило общ-юсть эффекта скольжения тока вдоль металлических электродов. 06-юр опубликованных по этому вопросу исследований позволяет сделать

вывод, что дальнейшее и наиболее широкое развитие получило направление, в котором для исследования приз лек тродных явлений используется магнитная газодинамика с учетом эффекта Холла.

В расчетах холловских течений в каналах исследована роль граничных условий на электродах в формировании свойств течений, которые моделируют протекание плазмы сквозь электроды ( Брушлин-ский К.В., Морозов А.И., Савельев В.В. // Двумерные численные модели плазмы / Под ред. К.В.Брушлинского, М.: ИПМ им.М.В.Келдыша АН СССР, 1979). Управляя этим процессом, можно влиять на направление электрического тока в канале. Дополнительное втекание плазмы через анод и вытекание через катод оказывают действие, противоположное эффекту Холла, и потому, в некоторых пределах могут поддерживать радиальное направление тока в холловских течениях.

Результатом перечисленных исследований стало создание современной модификации ускорителей - квазистационарного сильноточного плазменного ускорителя (КСПУ), разработка которого интенсивно велась в 80-е годы. Одна из особенностей КСПУ - нетрадиционная конструкция электродов. Последние представляют собой сложные устройства - трансформеры, обеспечивающие перенос электрического тока в основном ионами и минимизирующие негативные приэлек-тродные явления. Несколько экземпляров КСПУ создано на стендах в Москве и Подмосковье, Харькове и Минске. Они продемонстрировали правильность заложенных принципов и рекордные параметры плазменного потока

ьта1 й 4 * 107ст/с; 3 = 700Ы; V = 15кУ.

В серии расчетов МГД-течений в каналах реальной геометрии КСПУ исследованы различные особенности ускорения, поставлены и обсуждены вопросы соотношения расчетов с экспериментами, обращено внимание на роль эффекта Холла.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ - продолжить исследование течений плазмы и распределения электрического тока в канале КСПУ, включал процессы взаимодействия плазменных потоков с электродами, а также ответить на вопросы о природе приэлектродных неустойчивостей и условиях, как их возникновения, так и преодоления.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА.

1) Найдены условие эволюционности и характеристические скорости двумерной системы уравнений МГД с учетом эффекта Холла в поперечном магнитном поле.

2) Показано, что причина приэлектродных нерегулярно-стей, возникающих в экспериментальных и численных исследованиях, - холловские пограничные слои, и получены границы области параметров, допускающих установление стационарных течений в режимах ионного и электронного токопереноса при обеих полярностях электродов.

3) Получен стационарный режим МГД-течения плазмы в канале с учетом эффекта Холла при бесконечной проводимости с ква-впраднальным распределением тока и неэквипотенциальными границами.

4) В приближении медленно изменяющегося канала члслен-ао рассчитаны газодинамика и распределение электрического тока в приэлектродных слоях, а также локализованы границы приэлектрод-аых зон.

5) Разработана квазимонотонная схема второго порядка аппроксимации по времени и пространству. Для расчета двумерных течений плазмы в каналах КСПУ дано решение задачи о распаде поез-зольного разрыва в МГД с поперечным магнитным полем

РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ "НА ЗАЩИТУ.

1) Исследованы общие вопросы теории модифицированных VIГД уравнений с эффектом Холла в классе двумерных течений по-терек магнитного поля. Получены условия эволюционности системы сравнений. При малых значениях параметра обмена установлено, что система эволюционна, найдены характеристические скорости соответ-:твуклцей линейной гиперболической системы и с их помощью уточнена граничные условия на границе плазма - электрод.

2) Численно исследованы приэлсктродные неустойчивости в >ежимах переноса тока в канале электронами и ионами. Показано, что ^устойчивости типа взрыва связаны с граничными условиями на элек-гроде и развиваются в тонких холловскпх пограничных слоях. Найдены -раницы области параметров, допускающих установление стационар-гых течений.

3) В расчетах получен стационарный режим течения плазмы в канале с квазирадиальным распределением тока и неэквипотенциальными границами. Результат отнесен к ядру потока и дополнен моделированием приэлектродных зон в приближении плавного канала. Рассчитан режим протекания плазмы через поверхности электродов, обеспечивающий данное распределение тока.

4) Разработан и реализован в расчетах численный метод решения МГД-уравнений в двумерных задачах с поперечным магнитным полем, основанный на разностной схеме С.К.Годунова и принципах минимальной производной В.П.Колгана. В связи с этим решена задача с распаде произвольного разрыва в указанном классе уравнений.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ.

Рассмотрены общие вопросы теории уравнений и получень результаты, раскрывающие особенности течений в слоях, примыкаю щих к электродам плазменных ускорителей.

Проведенные исследования дают возможность сформулиро вать обоснованную модель течений, успешно реализованных экспери ментально на современных установках КСПУ, с целью активного уча стия в проектировании ускорителей будущего.

Методическая ценность работы состоит в разработке раз ностной схемы, позволяющей проводить расчеты как на гладких участ ках канала ускорителя, так и в областях, где решения 'могут терпет; разрывы.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты исследований доло жены на 2-ой Германо-Российской конференции по ЭРД (Москва, июл 1993), 24-ой Международной конференции по ЭРД (1ЕРС-95, Москва сентябрь 1995), 13-ой Международной школе по моделированию в ме ханике сплошной среды (МСШСОМ-13, С.-Петербург, июнь 1995) и н Всероссийской школе-семинаре им.К.И.Бабенко (Красновидово, 1994] Они обсуждались на семинарах А.Г.Куликовского в Институте меха ники МГУ, В.С.Имшенника в ИТЭФе, К.В.Брушлинского в ИПМ га М.В.Келдыша РАН, Е.И.Лсванова в ИММ РАН.

ПУБЛИКАЦИИ. Результаты работы опубликованы в тре статьях [1,2,3] и двух сборниках тезисов докладов [4,5].

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация остоит из введения и четырех глав, каждая из которых включает в ебя несколько разделов. Общий объем работы - 104 страницы вместе иллюстрациями. Список литературы содержит 82 наименования.

Краткое содержанке диссертации.

Глава I, состоящая из трех разделов, посвящена общей по-тановке задачи и описанию модели.

В разделе 1.1 излагается физическая постановка задачи и [риводится схема плазменного ускорителя.

В разделе 1.2 выписаны основные уравнения рассматриваема модели - МГД с учетом эффекта Холла.

В разделе 1.3 приведена постановка задачи о расчете, 1ключающая в себя выбор единиц измерения в системе уравнений из .2, описание основных безразмерных параметров и, наконец, краткую [остановку граничных и начальных условий.

Глава II посвящена обсуждению математических вопросов ЛГД с эффектом Холла в поперечном магнитном поле в отсутствии [ииссипации.

В разделе 2.1 выписана полная система уравнений двумер-юй МГД с вырожденным эффектом Холла в плоской геометрии.

Уравнения МГД с учетом эффекта Холла образуют квази-шнейную параболически вырожденную систему второго порядка да-ке при бесконечной проводимости плазмы, так как холловские члены одержат производные второго порядка от магнитного поля. Но для [вумерных течений в поперечном магнитном поле ситуация меняет-я. Холловские члены вырождаются и преобразуются в нелинейные :омбинации первых производных, которые в бездиссипативнрм случае тановятся старшими членами уравнений и превращают их в нелиней-[ую систему 1-го порядка. Так возникает вопрос об эволюционности.

В разделе 2.2 проведен анализ эволюционности нелинейной истемы уравнений из 2.1, а именно, гиперболичности и системы харак-■еристик ее линейного аналога с целью уточнения постановок задач, вставленные вопросы решаются в терминах мелкомасштабных воз-гущений, коэффициенты уравнений, в том числе и производные невоз-[ущенного решения, считаются "замороженными". Система линейных равнений

— + А — + В — = 0 ¿Н дх ду

Гиперболична, если уравнение

\\1 ~(цА + иВ)\=0

при любых вещественных ц и V имеет вещественные корни А. При этом же условии она эволюционна, т.е. задача Коши с ней корректно поставлена. Выписано характеристическое уравнение и из него выведено условие эволюционности в виде сложных алгебраических неравенств. В практически интересном случае £2 <С 1 -эти неравенства сводятся к одному нетривиальному условию:

(С11к + Нр^_рс2т

индекс "г" означает дифференцирование по произвольному направлению т. Указанное условие заведомо выполнено в сильноточных режимах, когда р ~ ^ < 1, и второе слагаемое несущественно.

Найдены корни однородного характеристического уравнения. При нормировке (I2 + иг = 1 они определяют систему характеристик в произвольном направлении I ± т. Получена их асимптотикг при £2<1.

А1,2 = у1±Ст + 61,2 ; А3,4 = VI + 63,4 ; 6к = О(0 ,

причем

¿3,4 = \f4-icfa) + 0(е).

Наконец, пятый корень уравнения очевиден : А5 = г/.

В разделе 2.3 аналогичный анализ проведен для двумерно! осесимметричной МГД с эффектом Холла в координатах г, г в связг с приложением к каналу.

Раздел 2.4 посвящен применению, полученных результат« к уточнению постановок задач о расчете течений плазмы в канал аз плазменных ускорителей. Граничные условия согласованы с числи.

"входящих" в расчетную область характеристик. Для определения последнего анализируются знаки характеристических скоростей В различных режимах токопереноса - электронном (ЭТП) и ионном (ИТП) и смешанном при различной полярности электродов. Приведена схема "втеканпя" информации в расчетную,облать канала.

В разделе 2.5 анализируется переход от МГД-модели с эффектом Холла в условиях конечной проводимости к ее бездиссипатив-ному аналогу, подробно рассмотренному выше. Выяснено, что число необходимых граничных условий в этих моделях различно. В предельном переходе, когда проводимость стремится к бесконечности, первая не превращается непрерывным образом во вторую, и возникают противоречия между граничными условиями диссипативной модели п свойствами "почти гиперболических" уравнений внутри расчетной области. Это противоречие приводит к образованию холловских пограничных слоев вблизи электродов в горячей плазме ускорителей. В заключении раздела приведена таблица1, систематизирующая постановку граничных условий на электродах КСПУ.

Проводимость v = 0

Токоперенос ЭТП ' ИТП ЭТП ИТП

число вх. хар-к 1 3 1 3

анод v„=0 vn=JU . S(z) vn~0 E,= 0 v»= Er=0 др/дп - 0 др/дп = 0

число вх. хар-к 3 1 1 1

катод v„=0 S(z) pry ' v„ = 0 ET=0 v« = Er=0

Таблица 1.

Обсуждению результатов численного моделирования посвящена Глава III.

Раздел 3.1 содержит конкретные постановки граничных условий в рассмотренных задачах для ЭТП и ИТП.

В разделе 3.2 кратко упоминаются использованные методы

расчета.

В разделе 3.3 приведены результаты расчетов границы области параметров, допускающих установление стационарного течения. Результаты получены для различных полярностей электродов, в режимах ионного и электронного токопереносов в современной геометрии КСПУ. За пределами указанных границ расчет течения не устанавливается, и решение имеет характер взрыва вблизи электрода. Выяснено, что область допустимых значений параметра обмена, характеризующего степень влияния эффекта Холла, в случае ионного токопереноса значительно шире, чем ее аналог для ЭТП, что количественно обосновывает преимущество ИТП, лежащее в основе современной концепции применения стержневых электродов и трансформеров в конструкции плазменных ускорителей и магнитоплазменных компрессоров. Кроме того отрицательная полярность центрального электрода (катода) оказалась предпочтительнее противоположной. И это также находит свое отражение в современной конструкции КСПУ.

Численные результаты раздела 3.4 демонстрируют существование магнитных пограничных слоев в течениях, где влияние эффекта Холла преобладает над диссипативным эффектом конечной проводимости, а также дают картину образования приэлектродных взрывов. При электронном токопереносе в основном взрывы происходят на аноде, а при ионном - на катоде, что отражает как формальную избыточность здесь условия эквипотенциальности Ет — 0 , так и несовместимость этого условия с естественным режимом протекания тока по существу. Здесь наглядно показано, что пограничный слой исчезает, если заменить граничное условие эквипотенциальности условием ортогональности тока электроду jт = 0 .

При больших значениях параметра обмена £ ~ 1 расчет течения не выходит на стационарный режим, что, по-видимому, есть следствие проявления неэволюционности системы МГД с эффектом Холла.

В разделе 3.5 обсуждается численный эксперимент, в котором удалось получить установившийся регулярный режим МГД-течения с эффектом Холла и бесконечной проводимостью, отказавшись от граничного условия эквипотенциальности и заменив его условием ортогональности тока электроду. Результат оказался справедлив при любой полярности электродов и не обнаружил никаких следов пограничного слоя. Он интерпретирован, как течение в ядре потока с неэквипотенциальными границами, расположенными на месте прежних

электродов и являющимися ионными траекториями. Реальные электроды совпадают с эквипотешшалями, и их новое положение определено с помощью поправок, обязанных учету эффекта Холла. В этом же приближении получен ряд других поправок.

Раздел 3.6 представляет собой уточняющую итерацию по отношению к поправкам, полученным в 3.5. В приэлектродных зонах, граничные условия для которых подсказаны результатом расчета предыдущего раздела, поставлена и численно решена задача об определении положения эквипотенциальных электродов. Результат получен в приближении медленно изменяющегося канала (МИК-приближение), представляющего собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений, полученную из уравнений двухжидкостной МГД в предположении медленного изменения всех функций вдоль оси 2 (Морозов А.И., Соловьев Л.С. // Вопросы теории плазмы / Под ред. М.А.Леонтовича, вып.8, М.: Атомиздат, 1974). Поправка, определяющая взаимное расположение ядра потока и эквипотенциальных электродов внесена в реальную геометрию канала КСПУ и- в новых границах решена задача о регулярном течении плазмы в канале. Результаты этого расчета опять использованы как граничные условия для задачи восстановления положения реальных элехтродов канала в МИК-приближении. Положение электродов восстановлено на этой итерации достаточно точно, получено распределение тока в приэлектродных слоях, которые теперь удалось более точно локализовать, и наконец, удалось рассчитать режим подачи и отсоса вещества в электродных трансформерах, обеспечивающий квазирадиальное распределение электрического тока в канале, которое необходимо для оптимального режима работы плазменных ускорителей и МПК.

Последняя глава диссертации носит методический характер. В ней описана разностная схема, разработанная с целью усовершенствования расчетного аппарата. Последнее необходимо как с точки зрения дополнительного контроля над численными результатами, так и для проведения надежных расчетов по текатике плазменных ускорителей и магнитоплазменных компрессоров в будущем. Схема сочетает в себе метод С.К.Годунова (Годунов С.К. // Матем. сборник, Новая серия, т.47, вып.З, М: Изд-во АН СССР, 1959) и принцип минимальной производной В.П.Колгана (Колган В.П. // Ученые записки, 1976, т.З, N б, с.68-78) в применении к системе двумерных осесимметричных МГД-уравнений с поперечным магнитным полем.

Раздел 4.1 содержит сведения общего порядка о системе характеристик и условиях на разрывах для МГД.

В разделе 4.2 изложено решение задачи Римана о распаде произвольного разрыва в МГД с поперечным магнитным полем.

В разделе 4.3 описана квазимонотонная схема второго порядка аппроксимации для решения описанного класса уравнений.

В разделе 4.4 демонстрируются тестовые расчеты и результаты применения изложенной методики к численным исследованиям МГД-течения в канале КСПУ и их сравнения с расчетами, ыполнен-ными по другим методикам.

В заключение автор выражает глубокую и искреннюю признательность своему научному руководителю К.В.Брушлинскому, под чутким и неустанным руководством которого работа была выполнена и приобрела законченный вид; А.И.Морозову за неоднократные полезные обсуждения физических аспектов диссертации; В.В.Савельеву, подавшему ряд плодотворных идей, как содержательного, так и методического характера; Р.П.Федоренко за ценные методические рекомендации; а также В.И.Похилко и М.В.Якобовскому, без технической поддержки которых оформление работы вызвало бы значительные затруднения.

Публикации автора по теме диссертации.

1. Брушлинский К.В., Ратникова Т.А. Численная модель приэлектродной неустойчивости в каналах плазменных ускорителей //Физ. плазмы. 1995. Т.21, N 9, с.784-790.

2. Брушлинский К.В., Ратникова Т.А. Эффект Холла в МГД-модели течения плазмы в каналах //Изв. РАН, сер. МЖГ, 1995,

N 5, с.56-65.

3. Брушлинский К.В., Ратникова Т.А. Некоторые вопросы двухжидкостной МГД с поперечным магнитным полем //Матем. моделирование. 1996. Т.8, N 2, с. IS-90

4. Brushlinsky K.V., Gorshenin К.P., Kozlov A.N., Ratnikova Т.A., Savelyev V.V. Numerical analysis of MHD flows in a plasma accelerator channel // Second German-Russian Conf. of electric propulsion engines and their technical applications, Moscow 1993, p.14

5. Bruslilinsky K.V., Gorshenin K.P., RatnikovaT.A. Numerical simulation of MHD flows with the Hall effect in the high current quasi-steady-state plasma accelerator (QSPA) // 24-th Int. Electric Propulsion Conf., Abstracts, Moscow, 1995, pp.237-238

i