Оценки для энтропии и геометрия периодических метрик тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи БУРА ГО Дмитрий Юрьевич

УДК 513

ОЦЕНКИ ДЛЯ ЭНТРОПИИ И ГЕОМЕТРИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ МЕТРИК

01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ -1991

Работа выполнена в лаборатории теории 'сложности алгоритмов Санкт-Петербургского (Ленинградского) "института информатики Академии наук СССР: '

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ —доктор физико-математических наук, профессор ВЕРШИК, Анатолий Моисеевич.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ —доктор физико-математических наук, профессор ЛАЗУТКИН ВддмоикЬ Федорович, доктор физико-математических наук БУЯДО Сергей Владимирович.

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ —Санкт-Петербургское (Ленинградское) отделение Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР.

Защита состоится « » убг&^рЪ 1991 г. в /ь час на заседании специализированного совета К063.57.45 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете. Адрес совета: 198904, С.-Петербург, Ст. Петергоф, Библиотечная пл., д. 2, математико-механический факультет СП ГУ. Защита будет проходить по адресу: 191011, Санкт-Петербург, наб. реки Фонтанки, 27, 3-й этаж, зал 311 (помещение ЛОМИ).

С диссертацией можно ознакомиться '"в библиотеке им. А. М. Горького СП ГУ — Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан „ ^ " х^я^З 1991 г.

Ученый секретарь ' ' '

специализированного совета, кандидат физико-математических наук, доцент . : • .

Р. А. ШМИДТ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. В диссертации исследуется поведение геодезических на ринановых многообразиях за большие промезут-ки времени. Результаты диссертации лежат на границе двух бурно развивавшихся в последнее время областей математики - ри-мановой геометрии и теории динамических систем. Часть результатов носит более геометрический характер, например, теорема об ограниченном отличии периодической метрики от некоторой нормы или об аппроксимации финслеровой метрики римановыми, другие трудно отнести к одной из этих областей - скажем, оценка среднего значения полей Якоби в теореме 3.1, третьи ближе к теории динамических систем - например, конструкции потоков на сфере с положительной энтропией. Кроме того, в диссертации поставлен ряд вопросов, намечающих новое направление исследований - изучение глобальной геометрии периодически-возмущенной метрики.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ заключается в исследовании поведения геодезических на риыановнх многообразиях за большие промежутки времени.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. В диссертации сочетаются геометрический и динамический подходы. Доказательства опираются на элементарную риманову геометрию и основные факты эргодической теории. В этом смысле работа сравнительно замкнута, В главе I используется нетрадиционный подход к гиперболическим системам с использованием неинвариантных разбиений} доказательство теоремы I главы 3 является некоторым развитием этого подхода.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Л работе проведено исследование геометрии периодически-возмущенного евклидова пространства и пространства Лобачевского, показано, что в евклидовом случае периодическая метрика равномерно аппроксимируется некоторой нормой и доказано, что аналогичный результат неверен в гиперболическом случае. Получены результаты о поведении геодезических, выявляющие существенные различия между размерностями 2 и 3. С помощьо развитой техники получен ряд чисто геометрических результатов, таких как аппроксимации финслеровых метрик римано-

- ч -

выпи. Кроне того, получены новые примеры геодезических потоков и формулы для метрической энтропии, а также неравенство для среднего значения полей ЯкоСи, имеющее характер оценки для топологической энтропии.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа имеет теоретический характер, ее результаты могут найти применение при дальнейшем исследовании геометрии геодезических, в численных экспериментах для динамических систем и других смежных областей.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались на семинаре в Москве (руководитель проф.Я.Г.Синай), на геометрическом семинаре в Ленинграде (руководитель проф.Ю.Д.Бураго), на ленинградском семинаре по теории представлений (руководитель проф.А.М.Вершик) и на конференции" с /Ье^.'ви'г, са С в Париже в феврале-марте 1990г.

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приведен в конце автореферата.

С /

ОБШ! И СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация изложена на страницах и состоит из введения, трех глав и списка лите-

ратуры. Библиография содержит /ь названий работ.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан краткий обзор результатов, полученных диссертантом. Основные результаты диссертации содержатся в теоремах 1.1, 2.1-2.10, 3.1, 3.2.

В диссертации исследуются наиболее геометрические аспекты теории динамических систем. Основным объектом исследования является геодезический поток в касательном пучке риманова многообразия и связанные с ним объекты. Результаты содержат оценки энтропии геодезического потока и качественные описания по-недения геодезических периодических метрик. Доказательств сравнительно элементарны и используют лишь ришшову геометрии и основные факты энтропийной теории.

Опишем кратко содержание работы и основные результаты.

Хотя больиинство результатов диссертации содержатся в главах 2 и 3, а глава I носит подготовительный характер, однако именно ге содержание обусловило для автора и постановки других вопросов и подходы к их решению. Исследования главк I были инспирированы поставленным А.М.Вершикоы вопросом о связи метрической энтропии и энтропии диффузии на накрывающей компактного многообразия неположительной кривизны. Формализа-цияни интуитивного представления об энтропии как о степени экспоненциальной неустойчивости гиперболической системы являются известные формулы для энтропии Синая и Песина (см.»например, [6J ). В I главе доказывается еще одна формула для энтропии геодезического потока и близких динамических систем. Пусть Т - геодезический поток за время ~t- на касательном пучке компактного многообразия неположительной кривизны Н, —■ *

~Г _ -^соответствующий поток для универсального накрывающего М ь Тл - соответствующий фактор-полиморфизм, отвечающий канонической проекции зг. U7 И -» И ^ Пусть ра - мера на М с плотностью п> , где МСМ - некоторая компактная фундаментальная область, pf - плотность мерк Pt -- T'Z/'J.

ТЕОРЕМА I.I. Для метрической энтропии геодезического потока Тг имеет место формула

L-- М I Чл Ъ

Заметим, что семейство преобразований мер

7* не образует группу и диффузия за время^ í может Сыть определена предельным переходом ( J f при атом, получим энтропию диффузии, заменив fe теореме р^ но. .

Отметим, что тогда как стандартной техникой исследования гиперболических систем является построение инвариантных устойчивых и неустойчивых слоений, предлагаемый подход основан на изучении поведения заведомо неинваркаптного слоения Я <5,

Оказывается (теоремы 1.2 и 1.3), что аналогичным теореме 1.1 способом может быть вычислена энтропия биллиарда и алгебраического автоморфизма гора, надо только подходящим образом определить накрывающее пространство.

Можно заметить, что доказательства теорем 1.1-1.3 состоят в установлении обращения для подходящих разбиений геометрической природы неравенства в равенство в следующей несложной ЛЕММЕ 0 ВЕРХНЕЙ ОЦЕНКЕ. Пусть Т - автоморфизм

Следующая теорема приводит некоторый пример заведомо негиперболической ситуации, на который переносится описанный выше подход, а именно, для двумерных многообразий, удовлетворяющих условию (*), которое в краткой формулировке означает, что длина волнового фронта, оставшегося все Еремя в узкой полосе, возрастает субэкспоненциально.

ТЕОЕЕМ 1.4. В лемме о верхней оценке неравенство обращается в равенство для геодезического потока на двумерных многообразиях, удовлетворяющих условию (к), с ограниченными отношениями кубов диаметров к объемам атомов ^ >

Отмечу, что автору не известно ни одного примера многообразия, для которого условие (*) не выполняется.

Глаза 2 посвящена исследованию глобальной структуры геометрии периодических метрик. Уке рассуждения главы I показывают, что "распутывание" геодезического потока переходом к универсальному накрывающему упрощает установление связей геометрических и динамических характеристик. Однако исходной точкой для исследования главы 2 послужило следующее утверждение, носящее характер следствия теоремы 1.].

ТЕОРКМА 2.10 (2). На универсальном накрывающем компактного многообразия неположительной кривизны в ситуации общего положения на псякол сфере может быть выбрано множество, видимое из центра под (телесным) углом ^ 4-, но составляющее экспоненциально (¡¡о [¡аднуV/ сф'.ри) малую часть плоцпди сферы.

и послед

Это утверждение показывает, что геометрия гиперболического пространства с даже "слабо периодически-возмущенной" метрикой существенно отличается от исходной.

Мы будем называть периодической риманову метрику р на полком многообразии М . имеющую группу изо-метрий Р с компактным фактором М/Г, параметр ^ - Млт ¡^/п мы Суден считать "малым", и изучать все геометрические объекты на М с точностью до сопъЬ- & . Далее М полагаем томе оморфным К , а метрику ^ будем рассматривать как (не обязательно малое) периодическое возмущение некоторой метрики ,Ро постоянной кривизны с той же группой изоыегрий Г7.

Пусть 13 - ] с М - точка абсолюта, представленная геодезической ^ . Определим функцию подобия к , ¿¿т, •£. ' если предел существует.

ТЕОРЕМА 2.1. Если - плоская метрика, при точности измерений длины а К- для достаточно больших (X метрика не отличима от метрики банахова пространства, а именно

1. Функция М") определена для всех ^ -

2. Выражение IIXI/ = 1/1- к. С д^) 1х/|х/ 3 определяет норму.

3. 1РСх^) где X -отношение максимума и минимума собственных значений метрического элемента , а константа С зависит только от размерности.

Оказывается, в гиперболическом случае ситуация существенно иная, а именно

ТЕОРЕМА 2.2. Пусть р0 - метрика постоянней отрицательной кривизны. Тогда

1. К'ЭД определена для почти всех \1 6 \ М

2. Б ситуации общего положения нет оценки

Можно показать, что ^г! и п определении не

равны ни О ни со для неех , однако не ясно,

существует ли К(1Г) для нсех г/".

Нериемся к случаю плоской метрики ■ возникает естественный вопрос: какие нормы могут бить получены из периодических метрик но формуле теоремы 1 ? Несложно сконструировать таким

образом негладкие нормы. По-видимому, существует связь между возможностью появления кегладкости определенной степени в данном направлении и скоростью рациональных аппроксимаций коэффициентов этого направления; однако некоторые точные результаты получены Ф.А.Назаровым только для размерности 2.

Однако любая норма монет быть приближена периодической метрикой с произвольной точностью, а именно

ТЕОРЕМА 2.3» Для любой нормы в существует последо-

вательность периодических метрик с равномерно ограниченными коэффициентами растяжения, такая, что построенные по ним нормы сходятся к данной.

ТЕОРЕМА 2.4. Любая финслерова метрика ,/> на компактном многообразии является равномерным пределом (как функция расстояния) последовательности римановых метрик с равномерно ограниченными коэффициентами растяжения.

Кривизны метрик в теореме 2.1 разумеется не допускают равномерной верхней оценки.

Последовательность метрик в доказательстве теоремы 2.4 обладает дополнительным свойством, которое можно назвать равномерной квазиперкодичностью. Это свойство, грубо говоря, формализует представление о метрике "с маленьким квазипериодом", сильно меняющейся внутри одного "кзазипериода", но с мало отличающимися соседними "квазйпериодами".

•ТЕОРЕМА 2.5. Пределами равномерно квазипериодических последовательностей рцманоьых метрик являются все фикслеровы метрики и только они.

Вернемся к ситуации теоремы 2.1. Хорошо известно, что близость метрик ни в каком смысле не гарантирует близости кратчайших, ни тем более геодезических. Однако в размерности 2 оказывается (Хедлунд, ]), что кратчайшая "2 -периодической метрики всегда лежит в евклидовой полосе ширит,I скажем 10. Однако начиная с размерности 3 ситуация существенно иная: ^

Щ0Ш1А 2.6. Существует периодическая метрика па А? } для которой приведенная выше теорема Хедлунда не выполняется. Более того, для некоторой константы С >0 в атой метрике имеются ■кратчайшие произвольно большой длины и, удаляющиеся более чем на с от отрезка, соединяющего ее концы. Шар в норме, отьсчашск стой метрике, не является строго выпуклым.

Теорема 2.6 позволяет рассчитывать, что сужение периодических метрик (на подпространства, кли, что более естественно, ка их сА/ -окрестности) могут привести к новый классам метрик.

ТЕСЕЕЫА 2.7. Если периодическая метрика J> на достаточно близка к плоской вместе с несколькими производными (как тензорная функция), то J> не содержит самопересекающихся геодезических.

Эта теорема является несложным следствием КАМ-теории,и необходимое число производных определяется возможностью ее применения.

ТЕОРЕМА 2.8. Существуют периодические метрики на R , произвольно близкие в норме С к плоской и содержащие периодические геодезические.

При достаточно больших размерностях мы в теореме 2.8 оказываемся в области применимости КАЙ-теории, поэтому имеется явная связь результата теоремы 2.8 с диффузией Арнольда.

Следующая теорема имеет дело с метриками, в некотором смысле наиболее удаленными от плоской.

ТЕОРЕМА 2.9. Пусть периодическая метрика р такова, что геодезический поток на (^Тм/г Я/г ) эргодичен. Тсгде для почти всех геодезических в J> расстояние &(цк>), растет медленнее чем линейно. В частности, мера геодезических лучей равна нулю.

Автором приведен пример размерности 2, удовлетворяющий услозиям теоремы 2.9. Для него можно усилить утверждение теоремы, а именно, меры, индуцированные отображениями ~Т~хвМ М 4/71 &хряд-ЬУ , сходятся к диффузионной мере.

Перейдем к содержании главы 3. По мнению автора, наиболее интригующим в геометрической теории энтропии остается вопрос о существовании многообразия положительной кривизны с положительной метрической энтропией геодезического потока (для топологической энтропии такие примеры хорошо изноет ни и, по-видимому, являются ситуацией общего положения). Исследования этой главы инспирированы данной темой.

Пусть — к- -мерное риманозо многообразие, -\Ге ОТхМ.

-О(х^) ~ | %(tv> exp (w> | > где

Тем самым - максимальный модуль

решения у. уравнения Якоби вдоль геодезической zxp^tv в момент ■*> при условии У$>)г'+ - i ■

ТЕОРЕМА 3.1. Пусть топологическая энтропия геодезического потока положительна. Тогда

f'&sS >0

VTH

Отмстим, что для многообразия неположительной кривизны эта оценка является простым следствием известной формулы Мэннин-га. Кроме того, если бы в оценке теоремы возможно было переставить to $ и J , то мы немедленно получили бы положительность метрической энтропии.

ТЕОРЕМА 3.2. Существуит двумерные С -гладкие римансвы многообразия Mi и 14г.гомеоморфные сфере, что геодезический поток на УТМ, эргодичен и имеет положительнув метрическую энтропии, а поток на UTM^ неэргодичен и имеет как компоненту с положительной энтропией, так и компоненту с нулевой.

Независимо и по-видимому одновременно первый пример из теоремы 3.2 появился у нескольких авторов, включая пример с аналитической (!) метрикой. Недавно автор познакомился с двумя подобными публикациями С 0> L'Sl.

Второй пример представляется особенно интересным для численного эксперимента, поскольку позволяет исследовать поведение траекторий на границе стохастичности, которое естественно ожидать весьма экзотическим.

Литература

I. K.Burns lerber, Kau Ann it 10 Bernoulli geodesic flows on

S2, Ersod.Th.?* Djnam.Sjs,1989,9, 27-45. 2.. А.Л.Вериик, Зап.научн.сем.ЛОМИ, 1977,т.72,с.26-61.

3. V.J.Donnay, Geodesic flow on tvfo-sphere, Forschungsinstitut . für IJatheaatik ETH Zürich, 1937.

4. lie'ltuaJ C-., A'iniifi of Ma

5. Henning A.K.,ttore topological entropy of geodesic flow, Äect.Ä>tea in lUath., 1981, v.098, p.243-249.