Метрические пространства без сопряженных точек тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ЛЕБЕДЕВА Нина Дмитриевна

МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА БЕЗ СОПРЯЖЁННЫХ ТОЧЕК

/специальность 01.01.04 - геометрия и топология/

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург - 2003

Рябо Iл выполнена в лаборатории геомсфии и чоиологии С'аикч-Пе|срб\ ¡некого

отделения Маюмш ического инсгигуча имени В.А.Сюклова РАН.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

кандидат фи шко-маюма! нчогких наук ИВАНОВ Сергей Владимирович

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

докчор фи шко-мачема|ических паук, профессор г

БЕРЕСТОВСКИЙ Валерий Николаевич кандидат фимко-магема! ических наук, доцеш КОБЕЛЬСКИЙ Виктор Леонидович 1

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ:

Инечичуг магемачики имени С.Л.Соболева СО РАН

Защша диссерищим сосюигся *И* 2003г. к - час ов на

»кч'данин ди<сер'| ационного соне га Д 212.2-32.29 но кицн |е дисссрикнй па соискание ученой степени док юра наук при С.-Петербурге ком государственном уииверси 1еге (адрес совеча: 198504, С.-Шчербург. С г. Пе-черюф. Универси чеккий нр..д.28, мачомашко-мсхапичес кий факулыеч С'.-Печ ербургс кого I осударсч непиого универси тега.)

Защита будет проводиться в С'анК1-Петербургском (лде.чении Маю-мач ического инеч и гута имени В.А.Сюклова РАН но адресу: 191011. Сан к I-Печербург, наб. р. Фошанки. 27, к.311.

С диссер1ацией можно о шакомитьея в Научной библиотеке им. М.Горького С'.-Пеюрбурк кого государственного университет, расположенной по адресу: С.-Пеюрбург. Университетская набережная, д. 7 9.

Авюрефера! раКМЛЛИ «__»__2003 г.

Ученый секретарь диссертационно! о совета

Нежинский В.М.

Д

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Свойство отсутствия сопряжённых точек возникло в римановой геометрии, в работах [7], [9], [15], |13| исследовались рима-новы многообразия без сопряжённых точек. Из теоремы Адамара ([10]) следует, что свойство отсутствия сопряжённых точек для полного рима-нова многообразия эквивалентно тому, что любые две точки в его универсальном накрывающем пространстве соединимы единственной геодезической. Это условие естественно принять за определение отсутствия сопряжённых точек для произвольного пространства с внутренней метрикой. С. Александер и Р. Бишон ввели понятие сопряжённых точек ([1]) для случая пространств ограниченной сверху кривизны по Александрову и доказали теорему Картана- Адамара для случая неположительной кривизны. Важным примером пространств без сопряжённых точек являются пространства неположительной кривизны но Александрову, в частности римановы многообразия неположительной секционной кривизны. В отличие от неположительности кривизны отсутствие сопряжёныых точек является динамическим свойством, так показано ([8]), что если два многообразия имеют сопряжённые геодезические потоки, то отсутствие сопряжённых точек на одном из них равносильно отсутствию сопряжённых точек на другом.

Известной задачей, послужившей развитию области была гипотеза Хонфа: всякая риманова метрика без сопряжённых точек на п-мерном торс является плоской. Гипотеза для случая п — 2 впервые была сформулирована в [14] и спустя 6 лет была доказана Э. Хопфом. В старших размерностях утверждение было доказано при различных дополнительных предположениях относительно метрики. Полностью гииотеза Хопфа была доказана Д. Бураго и С. Ивановым ([5]). Известно ([6]), что гииотеза Хонфа неверна для финслеровых метрик.

При исследовании некоторых свойств компактных многообразий оказалось ([2], |3], [18]), что асимптотические свойства метрики их универсальных накрывающих пространств свя метрией

самих компактных пространств, поведением геодезических в этих пространствах. На универсальном накрывающем пространстве М компактного пространства М действует изометриями фундаментальная группа 7Г1(М); впервые была оформлена Громовым хорошо известная в настоящее время идея приближения метрики на М метрикой на решётке в этом пространстве орбите действия группы ^(М), т.е. рассматривать метрики на фундаментальной группе. В связи с этим возникают различные вопросы о свойствах фундаментальных групп компактных пространств.

Интересные результаты получаются при сравнении асимптотических свойств метрики универсального накрывающего и какого-либо модельного пространства, например евклидова. Так показано, что рост средних объёмов метрических шаров в универсальном накрывающем пространства без сопряжённых точек не меньше чем в евклидовом, причём равенство достигается только когда метрика плоская (С. Сгоке [7]).

Среди вопросов о топологии пространств без сопряжённых точек остаётся открытым естественный вопрос о возможности задания па произвольном пространстве без сопряжённых точек метрики неположительной кривизны. Несмотря на то, что построено множество примеров пространств без сопряжённых точек ([13]), не являющихся пространствами неположительной кривизны, неизвестно ни одного пространства без сопряжённых точек, не допускающего метрики неположительной кривизны. Ввиду этого интерес вызывает изучение свойств фундаментальной группы пространств без сопряжённых точек и их сравнение со свойствами фундаментальной группы пространств неположительной кривизны. Отметим результат Кроука и Шрёдера ([9]) о строении фундаментальной группы многообразия с римановой метрикой без сопряжённых точек, являющийся асимптотическим аналогом известного свойства пространств неположительной кривизны.

Цель работы. Целью работы является:

Обобщение некоторых результатов, иолученнных для римановых многообразий без сопряжённых точек на полиэдральные пространства, в

частности, обобщение гипотезы Хопфа на такие пространства. Развитие техники работы с полиэдральными пространствами.

Изучение зависимости асимптотических свойств фундаментальной группы полиэдрального пространства без сопряжённых точек от локального строения самого пространства. Изучение асимптотических свойств общих компактных пространств без сопряжённых точек.

Методы исследования. В доказательствах используются методы метрической геометрии, метод приближения метрики пространства метрикой на решетке, эргодическая теория, геометрическая теория меры. Применяются некоторые теоремы алгебраической топологии.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1) Получено обобщение гипотезы Хопфа на случай полиэдральных пространств с нильпотентной фундаментальной группой. А именно: доказано что п-мерное полиэдральное пространство без края и без сопряжённых точек с нильпотентной фундаментальной группой плоский тор.

2) Доказано, что для полиэдрального пространства без края и без сопряжённых точек с фундаментальной группой полиномиального роста существует конечнолистное накрытие такого пространства плоским тором.

3) Доказано, что фундаментальная группа полиэдрального пространства, не являющегося псевдомногообразием, имеет экспоненциальный рост.

4) Обобщён результат, полученный К. Кроуком и В. Шрёдером ([9]) для аналитического случая на общий случай компактных локально од-носвязных пространств без сопряжённых точек.

5) Построен широкий класс мер на пространстве геодезических полиэдрального пространства, инвариантных относительно преобразования геодезического потока.

6) Получено обобщение теоремы о возвращении на случай полиэдральных пространств.

Научная и практическая ценность работы. Работа имеет теоретический характер. Результаты могут быть использованы для дальнейшего исследования пространств без сопряжённых точек.

Разработанная в диссертации техника работы с полиэдральными пространствами (независимо от сопряжённых точек) может быть полезна и в других вопросах.

Апробация работы. Результаты, вошедшие в диссертацию докладывались на международной российско-германской геометрической конференции носвящённой 90-летию А.Д. Александрова (С.-Петербург, 2002), на Санкт-Петербургском городском геометрическом семинаре (руководитель проф. Ю.Д. Бураго).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в четырёх печатных работах, список которых приведён в конце автореферата. *

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, девяти параграфов и списка использованной литературы. Объём диссертации 74 страницы, библиография включает 35 наименований.

ОБЩЕЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении конкретизируется круг проблем, решаемых в диссертации, кратко излагается история вопроса и обсуждаются наиболее важные работы и достигнутые результаты. Дается описание основных результат тов диссертации, а также кратко изложена структура работы.

Некоторые результаты диссертации получены для самых общих пространств без сопряжённых точек, а некоторые для специального случая полиэдральных пространств. Такие пространства часто рассматривались как пример пространств неположительной кривизны, не являющихся многообразиями ([4]).

Первый параграф содержит основные определения, свойства и технические результаты для общих компактных пространств без сопряжён-

ных точек. Результат второго параграфа доказан для таких пространств. Параграфы 3 — 6 посвящены основным определениям и технике работы с полиэдральными пространствами независимо от свойства отсутствия сопряжённых точек. Результаты параграфов 7 8 доказаны для полиэдральных пространств.

§1 Компактные пространства без сопряжённых точек. Первый параграф носит вводный характер, в нём определяются основные понятия и даются общие сведения о пространствах без сопряжённых точек.

1.1 Внутренние метрики. Метрика называется внутренней, если расстояние между любыми двумя точками равно инфимуму длин путей, соединяющих эти точки. Геодезической в пространстве с внутренней метрикой называется кривая, являющаяся локально кратчайшей.

1.2 Пространства без сопряжённых точек. Определение. Полное локально компактное локально односвязное пространство с внутренней метрикой называется пространством без сопряжённых точек ссли любые две точки в его универсальном накрывающем пространстве соединимы единственной геодезической.

В разделах 1.1 и 1.2 даются простейшие свойства представителей гомотопических классов петель в пространствах с внутренней метрикой и пространствах без сопряжённых точек.

1.3 Общие свойства действия фундаментальной группы, на универсальном накрывающем компактного пространства без сопряжённых точек. Приводятся простейшие свойства действия фундаментальной группы на универсальных накрывающих компактных пространств без сопряжённых точек, рассматриваются асимптотические свойства метрики, связанные с действием группы.

1.4 Метрики на группе и метрики слов. Определяются понятие метрики на произвольной группе и метрики слов па группе с выбранной системой образующих, вводится метрика на фундаментальной группе, связанная с метрикой пространства.

1.5 Объёмная энтропия и метрика слов па фундаментальной груп-

пе. В разделе определяются понятия, связанные с ростом группы. Будем говорить, что функция f(t) имеет экпоненциальный рост, если существуют положительные константы А, В,Т, такие что f(t) > А • В1, при t >Т. Будем говорить, что функция f(t) имеет полиномиальный рост, если найдётся полином P{t) и положительная константа Т, такие что f(t) < P(t)> при t>T. Говорят, что конечнопорождённая группа умеет полиномиальный (экспоненциальный) рост, если число слов, имеющих в метрике слов длину, меньшую N имеет полиномиальный (экспоненциальный) рост, как функция от N.

Определение. Пусть X компактное локально односвязное пространство, X его универсальное накрывающее и, пусть х € X — произвольная отмеченная точка. Объёмной энтропией пространства называется предел Ишп-юоln{Vol^R(x^, где VoI(Br(x)) объём шара в Л" с центром в точке х и радиуса R.

Из определения следует, что объемная энтропия компактного пространства X положительна, если объем метрических шаров в X имеет не менее чем экспоненциальный рост. Следующее утверждение связывает понятие объёмной энтропии с ростом фундаментальной группы.

Утверждение. Пусть X — компактное локально односвязное пространство, а X его универсальное накрывающее. Тогда положительность объёмной энтропии пространства X эквивалентна тому, что фундаментальная группа 7rj(X) имеет экспоненциал,ьный рост.

1.6 Норма на абелевой подгруппе фундаментальной группы и её продолжение на R". В разделе доказываются основной технический результат, необходимый для доказательства теоремы 1 параграфа 2. Для доказательства теоремы вводится норма на группе, связанная с метрикой пространства, и сравнивается с метрикой слов на этой группе.

§2 Теорема об абелевой подгруппе фундаментальной группы. Определение. Конечнопорождённая подгруппа Го С Г называется прямой в Г, если метрики слов | |г0 и | |г эквивалентны на Го-Во втором параграфе доказана следующая теорема: Теорема 1. Пусть X - компактное локально односвязное про-

странство с внутренней метрикой без сопряженных точек. Тогда любая копечнопорождёниая абслева подгруппа фундаментальной группы тг\ (X) прямая.

Эта теорема является асимптотическим аналогом известной теоремы для пространств неположительной кривизны: любой абелевой подгруппе фундаментальной группы такого пространства соответствует вложенный в это пространство плоский тор, той же размерности, что и группа.

Результат аналогичный теореме 1 был доказан Кроуком и Шредером ([9|) для случая, когда X — компактное многообразие с аналитической метрикой без сопряжённых точек.

Из теоремы 1 чисто алгебраическим путём получаются два следствия, доказательство вывода которых из аналогичной теоремы имеется в [9]. На первое из этих следствий опирается в дальнейшем доказательство теоремы 5.

Следствие 1 Пусть X — компактное локально односвязное. пространство с внутренней метрикой без сопряженных точек. Тогда любая нильпотентная подгруппа фундаментальной группы ^(Х) абеле-ва.

Следствие 2 Пусть X компактное локально односвязное пространство с внутренней метрикой без сопряженных точек. Тогда любая разрешимая подгруппа Г фундаментальной группы — группа Бибер-баха. В частности Г содержит абелеву подгруппу конечного индекса.

§3 Полиэдральные пространства. В третьем параграфе даётся определение гладкой римановой структуры на симплексе, определение триангуляции пространства римановыми симплексами. Полиэдральное: пространство определяется как пространство, наделённое триангуляцией римановыми симплексами, с внутренней метрикой, соответствующей этой триангуляции. Топологические структуры, индуцируемые на полиэдральном пространстве метрикой и клеточной структурой совпадают. Полиэдральное пространство имеет размерность п, если п-мерные симплексы его триангуляции покрывают всё пространство.

§4 Касательное пространство и геодезические.

В параграфе определяется касательное пространство полиэдрального пространства для всех точек полиэдрального пространства, кроме принадлежащих (п — 2)-мерному остову. Внутри п-мерных симплексов касательно«; пространство определяется как для риманова многообразия, для точки (тг — 1)-мерной грани оно представляет собой результат склейки "

евклидовых полупространств по общей границе.

В параграфе обсуждается соответствие между дифференциальным и /.

метрическим ощ>едалениями геодезической. Отличие от риманова случая состоит в отсутствии гладкости на границах п-мерных симлексов, а также в неоднозначности продолжимости геодезических при переходе через (п — 1)-мерные грани. Известно, что для кривых, лежащих внутри симлексов размерности п, данное выше метрическое определение геодезической совпадает с римановым определением. В параграфе рассматривается вопрос о поведении геодезической при переходе через грань. Доказано утверждение о том, что кривая, полученная "склейванием"двух геодезических отрезков с общим концом, принадлежащим (п — 1)-мерной грани, будет являться геодезической тогда и только тогда, когда односторонние вектора скорости в точке склейки противоположны, т.е. являются противоположными в соответствующей евклидовой структуре. Из этого, в частности, следует, что если конец геодезической принадлежит (п— 1)-мерному симплексу, к которому примыкают т симлексов размерности п, то ее можно продолжить т — 1 различными способами (однозначно в каждый из оставшихся симплексов по правилу "угол падения равен углу отражения").

Удобно и в дальнейшем мы будем рассматривать только геодезические, не пересекающие (п — 2)-мерный остов и пересекающие (п — 1)- . мерные грани трансверсально; такие геодезические мы называем геодезическими общего положения.

§5 Мера Лиувилля.

В пятом параграфе вводится мера Лиувилля на единичном касательном расслоении, как произведение мер объёма на пространстве и стан-

и

дартной меры на единичной сфере.

5.1 Формула для вычисления меры Лиувилля. Выводится формула для её вычисления в локальных координатах (единичный касательный вектор к (п — 1)-мерной грани, параметр вдоль потока).

5.2 Инвариантность относительно геодезического потока. Доказывается инвариантность меры Лиувилля под действием "локального преобразования геодезического потока"вблизи двух п-мериых симплексов с общей (п — 1)-мерной границей.

5.3 Мера множества с кратностью и её инвариантность Вводится понятие меры Лиувилля скоростей в данной точке по параметру множества геодезических с учётом кратности (т.е. если одному вектору соответствуют различные геодезические, этот вектор учитывается столько раз, сколько таких геодезических) и доказывается её независимость от параметра.

5.4 Геодезические общего положения. Доказывается, что если на (п — 1)-мерных гранях выбраны однозначные правила перехода для геодезических "почти касательных к этим граням"(т.е. имеющих с гранями малый угол), то для почти любого по мере Лиувилля единичного вектора, любая геодезическая с таким начальным вектором скорости является геодезической общего положения. Этим фактом обусловлено название — геодезические общего положения.

§6 Геодезический поток. Класс мер, инвариантных относительно геодезического потока. В отличие от параграфа 5, где рассматривалось локальное преобразование геодезического потока на пространстве единичных векторов, в дальнейшем нам будет удобно рассматривать преобразование геодезического потока, действующее на пространстве полных геодезических полиэдрального пространства в (с компактно открытой топологией) по правилу: <^(7)(5) = + В шестом параграфе построен широкий класс мер, инвариантных относительно этого преобразования. Обозначим через П(М) — множество пар единичных противоположных векторов, касательных в точках (п — 1)-мерного остова. Пусть на множестве П(М) задана функция вероятностей перехода

р : П(М) -> [0,1], на которую наложены некоторые технические ограни- i

чения.

Тогда на пространстве G существует мера Юр такая, что

1. Мора Шр инвариантна относительно геодезического потока.

2. Для произвольного измеримого подмножества V единичного касательного расслоения выполняется равенство: mp(G(V}) = [1l{V), где " G(V) обозначает множество всех полных геодезических общего положения с начальными векторами в множестве V.

3. Пусть Ф - некоторое измеримое множество односторонних геодезических {7|(-oo,i,)}i ни одна из которых не является продолжением другой, где точка -у(х7) принадлежит (п — 1)-мерному остову, и пусть задана измеримая функция, которая вектору У_(х7), (где 7-(я:7) левосторонний вектор скорости) ставит в соответствие один противоположный вектор v(y), при этом для некоторых чисел p\,pi для всех 7 € Ф выполняется неравенство pi < р(< Тогда р\Цр№') < РР(Ф+) < Р2/хр(Ф'), где Ф+ - множество всевозможных продолжений геодезических 7 € Ф до полных геодезических общего положения, имеющих в точках ху выбранные правосторонние векторы скорости «(7), а Ф' - множество всевозможных продолжений геодезических множества Ф до полных геодезических общего положения.

Эти меры позволяют выделять в пространстве геодезических подмножества с определёнными свойствами, а также применять к этому пространству эргодическую теорию. Построенный класс мер обобщает ' конструкцию используемую в [4] при исследовании полиэдров неположительной кривизны.

§7 Обобщение теоремы о возвращении. В седьмом параграфе доказано обобщение римановой теоремы о возвращении на случай полиэдральных пространств. По заданному геодезическому отрезку строится геодезическая с близким к данному начальным отрезком и почти возвращающаяся через некоторое время вместе с вектором скорости к своему начальному положению. Для получения хорошей оценки на время возвращения но заданной геодезической строится инвариантная мера на

пространстве геодезических.

Теорема 3. Пусть М - компактное полиэдральное пространство без края. У любой геодезической 7 : [О, Т] —> М общего положения, не имеющей точек самопересечения в (п— 1)-мерных гранях, найдётся такое число ео > 0, что для любого е < £о существуют ta > £ и полная геодезическая общего положения 71, имеющая на интервале 7i|[o,t] тот же комбинаторный тип, что и 7, такая что 7Í(ío) лежит в E-окрестности U£ начального вектора скорости геодезической 7|[о,г]-

При этом время возвращения t(¡ < £(М)/е2п ~2, где константа £ зависит только от объёма и размерности пространства М.

Эта теорема была доказана в (1) другим способом, доказательство, приведённое в диссертации, с использованием инвариантной меры, построенной в параграфе 6, значительно короче.

§8 Теорема про тройные склейки и объёмную энтропию. В восьмом параграфе доказывается

Теорема 4. Пусть М - компактное полиэдральное пространство без края и без сопряженных точек. Если имеется более, чем два п-мерных симплекса триангуляции, имеющих общую (п-1)-мерную грань, то объемная энтропия пространства М положительна.

Следствие 3. В условиях теоремы 4 фундаментальная группа п\(М) пространства М имеет экспоненциальный рост.

При доказательстве этой теоремы на пространстве геодезических вводится инвариантная относительно геодезического потока мера (одна из класса мер, построенных в главе 4) и к полученному пространству с мерой применяется эргодическая теория.

Интересен вопрос: будет ли положительной объёмная энтропия пространства без сопряжённых точек, полученного отождествлением в псевдомногообразии изометричных граней размерности меньшей (п — 1).

§9 Теорема о полиномиальном росте. Теорема о полиэдральных пространствах с нильпотентной группой. В девятом параграфе доказывается

Теорема 5. Пусть (М, р) - n-мерное полиэдральное пространство

без края и без сопряжённых точек с нильпотенгпной фундаментальной группой. Тогда М — плоский тор.

При доказательстве этой теоремы используется следствие 1 теоремы 1 и результат теоремы 4. Один из этапов доказательства теоремы аналогичен содержащемуся в [17] варианту доказательства гипотезы Хопфа, полученного в [5]. Как следствие из неё и теоремы Громова о том, что любая группа полиномиального роста содержит нильиотентную подгруппу конечного индекса получается

Теорема 6. Пусть (М,р) - компактное полиэдральное npocmjmi-ство без края и без сопряженных точек■ Если его фундаментальная группа щ (М) имеет полиномиальный рост, то существует конечно-листнос накрытие пространства М плоским тором.

Остаётся неизвестным, верно ли, что метрика плоская, если рост группы субэкспоненциальный.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1| S. Alexander, R. Bishop. The Hadamar-Cartan theorem in locally convex metric space,s.Ensein. Math. (2) 36(1990),no. 3-4, 306-320.

[2j V. Bangert. Minimal geodesies. Ergod. Th. and Dynam. Sys., vol 10, 1989, 263 286.

|3] V. Bangert. Geodesic rays, Busemann functions and monotone twist maps, r Calc. Var. 2, 1994, 49 63.

[4] W. Ballmann and M. Brin. Orbihedra of nonpositive curvature. Publ. Math. IHES 82(1995), 169-209.

|5| D. Burago, S. Ivanov.Riemannian tori without conjugate points are flat. Geom. Func. Anal.4 (1994), 259-269.

[6] H. Busemann. Geometry of geodesies. Acad. Press, New York, 1955.

[7] C. Crokc. Volume of balls in manifolds without conjugate points. International J. Math. 3(1992), 455-467.

[8] C. Crokc, B. Kleiner. Conjugacy and Rigidity for Manifolds with a Parallel Vector Field. J. Diff. Geom., 39 (1994), 659-680.

[9] С. Croke, V.Schroeder. The fundamental group of compact manifolds without conjugate points. Comment. Math. Helvetici, 61(1986), 161-175.

[10] M. do Carmo. Riemannian geometry. Birkhauser Boston, Inc., 1992.

[11] Gromov Mikhael. Groups of polinomial growth and expanding maps. Inst. Hautes Studes Sci.Publ.Math. 53 (1981),53-73.

[12] M. Gromov. Asymptotic invariants of infinite groups. Geometric group theory. Vol.2 (Sussex,1991), 1 295, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 182, Cambridge, 1993.

[13] R. Gulliver. On the variety of manifolds without conjugate points. Trans. Amer. Math. Soc. 210 (1975), 185-201.

[14] G. Hcdlund, M. Marston. Manifolds without conjugate points. Trans. Amer. Math. Soc. 51 (1942), 362 386.

[15] Jens Heber. On the gedesic flow of tori without conjugate points. Mathematische Zeitschrift, 216 ,209-216(1994)

[16] E. Hopf. Closed surfaces without conjugate, points. Proc. Nat. Acad. Sci, 34(1948), 47 51.

{17] C.B. Иванов. Геометрия периодических метрик и объёмы предельных финслеровых многообразий, Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук. Санкт-Петербург 1995г.

[18] J. Mather. Variational construction of connecting orbits. Ann. Inst. Fourier, 43, 1993, 1349-1386.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Н.Д.Лебедева. Теорема о возвращении в системах с ветвящимися геодезическими. Алгебра и анализ, том 14(2002), вып. 5, 87-96.

2. Н.Д.Лебедева, Об экспоненциальном рост.е полиэдральных пространств без сопряжённых точек. Алгебра и анализ,том 15(2003), вып.1, 184-200.

3. N.Lebedeva. On fundamental group of space without conjugate points. Preprints PDMI,5/2002.

4. N.Lebedeva. On homotopy properties of spaces without conjugate points. Abstracts of Second Russian-Germany Geometry Meeting dedicated to 90-anniversary of A.D. Alexandrov, St.Petersburg, Russia(2002),38-39.

1 18

Отпечатано копировально-множительным участком отдела обслуживания учебного процесса физического факультета СПбГУ. Приказ № 571/1 от 14.05.03. Подписано в печать 17.10ДЭ с оригинал-макета заказчика. Ф-т 30x42/4, Усл. печ. л. 1,25, Уч^изд. л. 1,0. Тираж ВО экзч Заказ № 041/с 190504, СПб, Ст. Петергоф, ул. Ульяновская, д. % тел. 428-43-00.

Введение

1 Компактные пространства без сопряжённых точек.

1.1 Внутренние метрики.

1.2 Пространства без сопряжённых точек.

1.3 Общие свойства действия фундаментальной группы на универсальном накрывающем компактного пространства без сопряжённых точек.

1.4 Метрики на группе и метрики слов.

1.5 Объёмная энтропия и метрика слов на фундаментальной группе.

1.6 Норма на абелевой подгруппе фундаментальной группы и её продолжение на Еп.

2 Теорема об абелевой подгруппе фундаментальной группы.

3 Полиэдральные пространства.

4 Касательное пространство и геодезические.

4.1 Геодезические.

• 4.2 Касательное пространство.

4.3 Продолжимость геодезических.

5 Мера Лиувилля.

5.1 Формула для вычисления меры Лиувилля.

5.2 Инвариантность относительно геодезического потока.

5.3 Мера множества с кратностью и её инвариантность.

5.4 Геодезические общего положения.

6 Геодезический поток. Класс мер, инвариантных относительно геодезического потока.

7 Обобщение теоремы о возвращении.

8 Теорема про тройные склейки и объёмную энтропию.

8.1 Обозначения.

8.2 Специальное множество.

8.3 Специальная мера.

8.4 Оценка меры множества геодезических.

8.5 Множество часто ветвящихся геодезических.

8.6 Окончание доказательства теоремы 4.

9 Теорема о полиномиальном росте. Теорема о полиэдральных пространствах с нильпотентной фундаментальной группой.

9.1 Гомотопический тип М.

9.2 Построение локальной изометрии.

9.3 Доказательство изометричности.

Настоящая диссертация посвящена исследованию компактных пространств без сопряжённых точек. Риманово многообразие не имеет сопряжённых точек, если ненулевое поле Якоби вдоль любой геодезической обращается в нуль не более одного раза. Для полного многообразия это условие эквивалентно тому, что экспоненциальное отображение невырождено в любой точке. Из теоремы Адамара ([16]) следует, что полное риманово многообразие не имеет сопряжённых точек тогда и только тогда, ф когда любые две точки в его универсальном накрывающем пространстве соединимы единственной геодезической. Это условие естественно принять за определение отсутствия сопряжённых точек для произвольного пространства с внутренней метрикой. С. Александер и Р. Бишоп ввели понятие сопряжённых точек ([1]) для случая пространств ограниченной сверху кривизны по Александрову и доказали теорему Картана-Адамара для случая неположительной кривизны. В работах [12], [15], [24], [21] исследовались римановы многообразия без сопряжённых точек.

Важным примером пространств без сопряжённых точек являются пространства неположительной кривизны по Александрову, в частности римановы многообразия неположительной секционной кривизны. В отличие от неположительности кривизны отсутствие сопряжёныых точек является динамическим свойством, так показано ([13]), что если два мно

• гообразия имеют сопряжённые геодезические потоки, то отсутствие сопряжённых точек на одном из них равносильно отсутствию сопряжённых точек на другом.

Как примеры пространств неположительной кривизны, не являющихся многообразиями, часто рассматриваются полиэдральные пространства ([6]). Под полиэдральным пространством мы будем иметь ввиду пространство с внутренней метрикой, которое можно получить склейкой симплексов с римановыми метриками по изометриям между их граничными симплексами. Некоторые результаты данной работы получены для самых общих пространств без сопряжённых точек, а некоторые для случая полиэдральных пространств.

Известной задачей, послужившей развитию области, была гипотеза

Хопфа: всякая риманова метрика без сопряжённых точек на п-мерном торе является плоской. Гипотеза для случая п = 2 впервые была сформулирована в [23] и спустя б лет была доказана Э. Хопфом. В старших размерностях для пространств неположительной кривизны утверждение легко следует из известной теоремы о существовании вложенного плоского тора, соответствующего любой абелевой подгруппе фундаментальной группы ([7]). Гипотеза была доказана при условии положительности интегральной скалярной кривизны (L. Green, [17]), в предположении отсутствия фокальных точек (A. Avez, [3]), а также при различных других дополнительных предположениях относительно метрики. Полностью гипотеза Хопфа была доказана Д. Бураго и С. Ивановым ([9]). Известно ([11]), ф что гипотеза Хопфа неверна для финслеровых метрик. В данной работе получено обобщение гипотезы Хопфа на полиэдральные пространства с нильпотентной фундаментальной группой. Из этого результата и теоремы Громова о группах полиномиального роста, как следствие, получена теорема о том, что любое полиэдральное пространство без сопряжённых точек с фундаментальной группой полиномиального роста накрывается плоским тором.

При исследовании некоторых свойств компактных многообразий оказалось ([4], [5], [27]), что асимптотические свойства метрики их универсальных накрывающих пространств связаны с локальной геометрией самих компактных пространств, поведением геодезических в этих пространствах. На универсальном накрывающем пространстве М компактного пространства М действует изометриями фундаментальная группа ® 7Ti(M); впервые была оформлена Громовым хорошо известная в настоящее время идея приближения метрики на М метрикой на решётке в этом пространстве — орбите действия группы tti(M), т.е. рассматривать метрики на фундаментальной группе. В связи с этим возникают различные вопросы о свойствах фундаментальных групп компактных пространств.

Интересные результаты получаются при сравнении асимптотических свойств метрики универсального накрывающего и какого-либо модельного пространства, например евклидова. Так показано, что рост средних объёмов метрических шаров в универсальном накрывающем пространства без сопряжённых точек не меньше чем в евклидовом, причём равенство достигается только когда метрика плоская (С. Croke, [12]).

Среди вопросов о топологии пространств без сопряжённых точек • остаётся открытым естественный вопрос о возможности задания на произвольном пространстве без сопряжённых точек метрики неположительной кривизны. Несмотря на то, что построено множество примеров пространств без сопряжённых точек ([21]), не являющихся пространствами неположительной кривизны, неизвестно ни одного пространства без сопряжённых точек, не допускающего метрики неположительной кривизны. Ввиду этого интерес вызывает изучение свойств фундаментальной группы пространств без сопряжённых точек и их сравнение со свойствами фундаментальной группы пространств неположительной кривизны. В диссертации, в частности, обобщён результат Кроука и Шрёдера ([15]) о строении фундаментальной группы многообразия с римановой метрикой без сопряжённых точек на случай произвольного локально односвязного пространства без сопряжённых точек. В работе также доказано, что если полиэдральное пространство без сопряжённых точек не является пседом-ногообразием, то его фундаментальная группа имеет экспоненциальный рост. С использованием этих двух результатов было доказано обобщение гипотезы Хопфа.

Кроме того, в диссертации развивается техника работы с полиэдральными пространствами (независимо от отсутствия сопряжённых точек), которая может быть полезна и в других вопросах. Рассматривается вопрос о продолжимости геодезических в полиэдральных пространствах, а также доказывается сохранение меры Лиувилля при переходе через грань. Построен широкий класс ивариантных мер на пространстве полных геодезических с отмеченной точкой, что позволяет применять к это® му пространству эргодическую теорию; построенный класс мер обобщает конструкцию используемую в [6] при исследовании полиэдров неположительной кривизны.

Далее описывается структура диссертации и приводятся формулировки результатов.

Работа состоит из 9 параграфов.

Первый параграф носит вводный характер и содержит основные определения, свойства и технические результаты для общих компактных пространств без сопряжённых точек. Результат второго параграфа доказан для таких пространств.

Параграфы 3-6 посвящены основным определениям и технике работы с полиэдральными пространствами независимо от свойства отсут

• ствия сопряжённых точек.

Результаты параграфов 7-9 доказаны для полиэдральных пространств.

Результат параграфа 9 существенным образом опирается на результаты параграфов 2 и 8. В параграфах 7 и 8 используются меры, построенные в параграфе 6.

В параграфе 1 даются определения пространств с внутренней метрикой и пространств без сопряжённых точек, а также простейшие свойства представителей гомотопических классов петель в таких пространствах. Далее приводятся простейшие свойства действия фундаментальной группы на универсальных накрывающих компактных пространств ф без сопряжённых точек, рассматриваются асимптотические свойства метрики, связанные с действием группы.

Определяются понятие метрики на произвольной группе и метрики слов на группе с выбранной системой образующих, рассматривается связь метрики слов на фундаментальной группе с ростом объёма универсального накрывающего пространства.

В этом же параграфе доказывается основной технический результат, необходимый для доказательства теоремы 1 параграфа 2. Для доказательства теоремы вводится норма на группе, связанная с метрикой пространства, и сравнивается с метрикой слов на этой группе.

Для формулировки дальнейших результатов дадим определение прямой подгруппы:

Конечнопорождённая подгруппа Го Э Г называется прямой в Г, ® если метрики слов | |г0 и j |г эквивалентны на Го

В параграфе 2 доказана следующая теорема:

Теорема 1. Пусть X — компактное локально односвязное пространство с внутренней метрикой без сопряженных точек. Тогда любая конечнопорождённая абелева подгруппа фундаментальной группы 7i"i(X) — прямая.

Эта теорема является асимптотическим аналогом известной теоремы для пространств неположительной кривизны: любой абелевой подгруппе фундаментальной группы такого пространства соответствует вложенный в это пространство плоский тор, той же размерности, что и группа.

Результат аналогичный теореме 1 был доказан Кроуком и Шрёде-• ром ([15]) для случая, когда X — компактное многообразие с аналитической метрикой без сопряжённых точек.

Из теоремы 1 чисто алгебраическим путём получаются два следствия, доказательство вывода которых из аналогичной теоремы имеется в [15]. На первое из этих следствий опирается в дальнейшем доказательство теоремы 5.

Следствие 1 Пусть X — компактное локально односвязное пространство с внутренней метрикой без сопряженных точек. Тогда любая нилъпотентная подгруппа фундаментальной группы тг\(Х) абеле-ва.

Следствие 2 Пусть X компактное локально односвязное проф странство с внутренней метрикой без сопряженных точек. Тогда любая разрешимая подгруппа Г фундаментальной группы щ(Х) — группа Бибербаха. В частности Г содержит абелеву подгруппу конечного индекса.

В параграфе 3 приводится полное определение полиэдрального пространства, определение триангуляции, гладкой структуры на симплексах, внутренней метрики на полиэдральном пространстве.

В параграфе 4 определяется касательное пространство полиэдрального пространства (определено только в точках, лежащих внутри симплексов коразмерности меньшей двух). В этом же параграфе даются общие сведения о поведении геодезических в полиэдральном пространстве. Для доказательств удобно рассматривать только геодезические не пересекающие (п — 2)-мерный остов и пересекающие (п — 1)-мерные грани

• трансверсально, такие геодезические названы геодезическими общего положения. Доказано, что геодезические переходят через (п — 1)-мерные грани по правилу "угол падения равен углу отражения".

В параграфе 5 вводится мера Лиувилля на единичном касательном расслоении, доказывается её инвариантность под действием преобразования геодезического потока вблизи двух n-мерных симплексов с общей (п — 1)-мерной границей.

Вводится понятие меры Лиувилля скоростей множества геодезических с учётом кратности (т.е. если одному вектору соответствуют различные геодезические, этот вектор учитывается столько раз, сколько таких геодезических) и доказывается её инвариантность.

Доказывается, что если на (п — 1)-мерных гранях выбраны однозначные правила перехода для геодезических "почти касательных к этим граням", то для почти любого по мере Лиувилля единичного вектора, любая геодезическая с таким начальным вектором скорости является геодезической общего положения. Этим фактом обусловлено название — геодезические общего положения.

В параграфе 6 построен широкий класс инвариантных относительно геодезического потока мер на пространстве геодезических. Эти меры позволяют выделять в пространстве геодезических подмножества с определёнными свойствами, а также применять к этому пространству эргодическую теорию.

В параграфе 7 доказано обобщение теоремы Пуанкаре о возвраще

Ф нии на случай полиэдральных пространств. По заданному геодезическому отрезку строится геодезическая с близким к данному начальным отрезком и почти возвращающаяся через некоторое время вместе с вектором скорости к своему начальному положению. Эта теорема была доказана в ([33]) другим способом, доказательство, приведённое в диссертации, с использованием инвариантной меры, построенной в параграфе б, значительно короче.

В параграфе 8 доказывается

Теорема 4 Пусть М - компактное полиэдральное пространство без края и без сопряженных точек. Если имеется более, чем два п-мерных симплекса триангуляции, имеющих общую (п—1)-мерную грань, то объемная энтропия пространства М положительна.

Положительность объемной энтропии пространства М означает, что

• объем метрических шаров в М имеет не менее чем экспоненциальный рост.

При доказательстве этой теоремы на пространстве геодезических вводится инвариантная относительно геодезического потока мера (одна из класса мер, построенных в параграфе 6) и к полученному пространству с мерой применяется эргодическая теория.

Интересен вопрос: будет ли положительной объёмная энтропия пространства без сопряжённых точек, полученного отождествлением в псевдомногообразии изометричных граней размерности меньшей (п — 1).

В параграфе 9 доказывается

Теорема 5 Пусть (М, р) — n-мерное полиэдральное пространство без края и без сопряжённых точек с нильпотентной фундаментальной

• группой. Тогда М — плоский тор.

При доказательстве этой теоремы используется следствие 1 теоремы 1 и результат теоремы 4. Один из этапов доказательства теоремы аналогичен содержащемуся в [26] варианту доказательства гипотезы Хопфа, полученного в [9].

Как следствие из неё и теоремы Громова о том, что любая группа полиномиального роста содержит нильпотентную подгруппу конечного индекса получается

Теорема 6 Пусть (М, р) — компактное полиэдральное пространство без края и без сопряженных точек. Если его фундаментальная группа 7Ti (М) имеет полиномиальный рост, то существует конечнолистное накрытие пространства М плоским тором.

Остаётся неизвестным, верно ли, что метрика плоская, если рост группы субэкспоненциальный.

1. S. Alexander, R. Bishop. The Hadamar-Cartan theorem in locally convex metric spaces. Ensein. Math. (2) 36(1990),no. 3-4, 306-320.

2. В. И. Арнольд. Математические методы классической механики М.: Наука, 1989.

3. A. Avez. Varietes riemanniennes sans points focaux. C. R. Acad. Sci. Paris, 270(1970), 188-191.• 4. V. Bangert. Minimal geodesies. Ergod. Th. and Dynam. Sys., vol 10, 1989, 263-286.

4. V. Bangert. Geodesic rays, Busemann functions and monotone twist maps, r Calc. Var. vol 2, 1994, 49-63.

5. W. Ballmann and M. Brin. Orbihedra of nonpositive curvature. Publ. Math. IHES 82(1995), 169-209.

6. M.R. Bridston and A. Haffliger. Metric spaces of non-positive curvature, in ser.A Series of Comprehensive Stadies in Mathematics, vol. 319, Springer-Verlag, Berlin, 1999.

7. D. Burago. Periodic metrics. Advances in Soviet Math., vol 9, 1992, 205-206.

8. D. Burago, S. Ivanov. Riemannian tori without conjugate points are flat. Geom. Func. Anal. 4 (1994), no. 5, 800-808.

9. D. Burago, Yu. Burago, S. Ivanov. A Cours in Metric Geometry. Graduate studies in mathematics; v.33.

10. H. Busemann. Geometry of geodesies. Acad. Press, New York, 1955.

11. C. Croke. Volume of balls in manifolds without conjugate points. International J. Math. 3(1992), 455-467.

12. C. Croke, B. Kleiner. Conjugacy and Rigidity for Manifolds with a Parallel Vector Field. J. Diff. Geom., 39 (1994), 659-680.

13. C. Croke, B. Kleiner. On Tori Without Conjugate Points. Invent. Math., 120 (1995), 241-257.

14. С. Croke, V.Schroeder. The fundamental group of compact manifolds without conjugate points. Comment. Math. Helvetici, 61(1986), 161-175.

15. M. do Carmo. Riemannian geometry. Birkhauser Boston, Inc., 1992.

16. L. Green. A theorem of E. Hopf. Mich. Math. J., 5 (1958), 31-34.

17. Gromov Mikhael. Groups of polinomial growth and expanding maps. Inst. Hautes Studes Sci.Publ.Math. No.53(1981), 53-73.

18. M. Gromov. Asymptotic invariants of infinite groups. Geometric group theory. Vol.2 (Sussex,1991), 1-295, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 182, Cambridge, 1993.

19. M. Gromov. Hyperbolic manifolds, groups and actions. In: Riemann surfaces and related topics, Stony Brook Conference 1978, Annals of math. Studies, 97, 183-213, Princeton University Press, 1981.

20. R. Gulliver. On the variety of manifolds without conjugate points. Trans. Amer. Math. Soc. 210 (1975), 185-201.

21. D. Gromoll, J. Wolf. Some relations between the metric structure and the algebraic structure of the fundamental group in manifolds of nonpositive curvature. Bull. Amer. Math. Soc. 77 (1971), 545-552.

22. G. Hedlund, M. Marston. Manifolds without conjugate points. Trans. Amer. Math. Soc. 51 (1942), 362-386.

23. Jens Heber. On the gedesic flow of tori without conjugate points. Mathematische Zeitschrift, 216, 209-216(1994)

24. E. Hopf. Closed surfaces without conjugate points. Proc. Nat. Acad. Sci, 34(1948), 47-51.

25. C.B. Иванов. Геометрия периодических метрик и объёмы предельных финслеровых многообразий, Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук. Санкт-Петербург — 1995г.

26. J. Mather. Variational construction of connecting orbits. Ann. Inst. Fourier, vol 43, 1993, 1349-1386.

27. Tits,Jacques. Appendix to: Groups of polinomial growth and expanding maps. Inst. Hautes Studes Sci.Publ.Math. No.53(1981), 53-73,by M. Gromov,74-78.

28. Г.Федерер. Геометрическая теория меры.М.: Наука, 1987

29. П.Р.Халмош. Лекции по эргодической теории.Издательство иностранной литературы, Москва, 1959.

30. Н.Д.Лебедева. Об экспоненциальном росте полиэдральных пространств без сопряжённых точек. Алгебра и анализ, том15(2003), вып.1, 184-200.

31. N.Lebedeva. On fundamental group of space without conjugate points. Preprints PDMI, 5/2002.

32. Н.Д.Лебедева. Теорема о возвращении в системах с ветвящимися геодезическими. Алгебра и анализ, том 14(2002), вып. 5, 87-96.

33. Н.Д.Лебедева. Пространства без сопряоюенных точек с фундаментальной группой полиномиального роста. Принято к печати в журнал Алгебра и анализ.

34. Н.Д.Лебедева. On homotopy properties of spaces without conjugate points. Abstracts of Second Russian-Germany Geometry Meetingф dedicated to 90-anniversary of A.D. Alexandrov, St.Petersburg, Russia,2002, 38-39.t