Оценки множеств достижимости управляемых распределенных систем и их приложения к моделированию водных экосистем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

РГВ од

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ,'ВЫСШЕЮ ШКОЛЫ / 3 МАЛ 1393м ТЕХНИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ -

РОССИИ

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЕ УНИВЕРСИТЕТ

На правая рукописи

РОЗЕНРЛУХ Дмитрия Матвеевич

ОЦЕНКИ МНОЖЕСТВ ДОСТИЖИМОСТИ УПРАВЛЯЕМЫХ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К МОДЕЛИРОВАНИЮ ВОДНЫХ ЭКОСИСТЕМ

oi.oi.os3 - математическая кибернетика

Автореферат диссертации на соискание ученой стегюни кандидата физико-математических нау!с

Иркутск - тп

Раоота выполнена в Иркутском В1 "числительном центра СО РАН

Научные руководители: доктор технических наук, профессор В.И.Гурман» доктор физико-математических наук, 'доцент В.А.Дьита

Официальные оппонента: доктор физике -матоматича с ких наук,

профессор А.А.Толстоногое',, кандидат Физико-математических наук, доцент Г.В.Сидоренко

Ведущая организация: Институт проблем управления РАН, Москва

Защита состоится 1983Г. В Ж** часов

на заседании специализированного совета к оез.зг.об по грисужденим ученой стешни кандидата физико-математических наук в Иркутском государственном университете по адресу: 664003, Иркутск, бул. Гагарина, го, 1-й корпус ИГУ

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке

Иркутского государственного университета (бул. Гагарина, 24). • *

Автореферат разослан

1903Г.

Ученый секретарь специализированного совета,

к.ф.-м.н., доцент • — Н.Б.Бельтюков

- з •

Общая хярзггсристкгз работы. Актуальдссть,,темы, Б сг-зрвмонноп теории урравлонич наряду с туч^ниви стдэльнык траектория динамичоскт систем стала Популярным исслядсвэть повг<дэниз цэлых сомойстй (эисамблоя) траектория. Одним га »ютодоб исследования в этом направлении лг плотен тученио множеств досттвдости (МД) и их динамики. Исслпдованим спопстп МЛ. способам га постройния и пргспнониза пасплшил довольно обширная лтгозтурэ. 0пг.1сатио, оценкам и изучонмэ свойств МД и пучков <днсзи(1л«>п) траектория управляем!'-/. сосредоточенный систом посвяп^пм работа А.В.Лотопз, Р.Вииторэ, С.ЛоПэсевичп, Ф.Л.Чернпусько, Р.И.Гурмана, Овсянникова Д.Д., М.М.Хрусталова, Г.Н.Константинова, А.М.Овсеевича и др. В работа« А,Г.Бутовского, И.Л.Комарова, Л.И.Пзнасгскз, А. В .Плотникова, А.А.Толстоногопа и л|э. предлагается описание и аппроксимация МД, изучаются свопства МД дикорекниальнш включении п конечномерном и банаховом пространствах. Эта результаты нашли приггононга в рошнии ктшролат задач оптимального управления, оценивания и нормирования воздействия на технические и зколого-зкономичвекда системы.

Значительно kohi.ii» внимания удалено исследованиям МД управляемых распределенных систем. Здесь можно о-птотить работп А .А .Лйвзковп, А .В.Постникова, С.Н.СаМборского, А.Оап.эрмурэдовэ.'

Это, а также необходимость применения оценок МД'для изучении свойств ряда реальны* зколого-зкопомичоскил систом, опререлгат актуальность данной темы.

[¡рль . Диссертация посвящена оценкам и аппроксимации мноюста

достижимости управляема систем в банаховом пространстве и их приложению к математическому иодолированич аитроггагонуых возмущений

окосистеш водоема на примере озера Байь-гл.

Метода, применяемые в работе, базируются на использовании принципа расширения и аппарата ¡эволюционных уравнений в банаховом пространства.

Научная новизна. Новши результатами являются:

- теоремы об оценках и точном описании множества достижимости управляемых распределенных систем, описываемых уравнениями с неограниченны оператором в банаховом пространстве-,

- теорема о непрерывной зависимости решит! класса' ■ задач от оператор-функции и основанные на ной утверждения об аппроксимации множества достижимости клзсса управляемых систем р банаховом пространства; .

~ ыэтопика исследования динамики ¡экосистемы водоема в условиях антропогенной нагрузки, основанная на совмещении методов математического моделирования и методов построения искусственных биоценозов;

- постановка и рзшенда задачи идентификации (определения неизвестных козффиционтов) математической модели экосистемы водоема по серии ¡жеп&римэшгов.

Практическая ценность. Результата диссертационной работы наши

применение при математическом моделировании экосистемы озерэ Байкал. ■ $

Разработанная методика исследования динамики экосистемы озера Байкал в условиях антропегегшй нагрузки и результаты расчетов на математической модели позволили Солгав полно, чек на других моделях, описать взаимодействие бно'ш с загрязнителями» определить закономерности реагирования байкальского планктона на" антропогенные воздействия. Использованная технология работы с моделью ушит быть

притнена при исследовании других водоемов. Прикладная часть данной работы представляется как замьпсашиузэ чвени в систено .чгсолого -экономических расчэтов (Программа "Регион"), развиоавмпк в Иркутской научном центра.

Полученные п диссертации результаты Могут бЬПЬ ИСПОЛЬЗРВЗНЫ При исследовании динакичоских свойств управляемых распродапэнныч систем, догтускагацга сведение ic уравненугм в банаховом пространстве.

Диссертация выполнена в соответствии с планом НИР, проподдага в Иркутском вычислительном центре СО РАН, по томе 1 '2.:.3 "Раивитаз методов решения нелинейных задач оптимального управления системами с распределенными и сосредоточенньзли параметрами, их приложения и программная реализация на ПЭВМ" (номер гос. регистрации oí. я. к; oí о] зч) и по теме 1.13.2.4 "Системные исследования, технология математического моделирования и управления динамикой экологических и зколого-экономических систем" (номер гос. рогисграции oi.n. io онпз-}). МШбЗййВ-РЗбЭШл. По тока диссертации, опубликовано я рзгют. По материалам диссертации были сделаны доклады на Мо;!;душрэдной иколе-семинаре "Методы оптимизации и их прилотпн ' (Иркутск, '¡ивп), на Конференции молодых ученых и специалистов Институт? проблей управлония (Москва, РаубИЧИ, 1990), нэ V Всесоюзной школа молодых ученых и специалистов "Проблэмы управлении - oj" (Алушта, ingi }, на Межвузовской научно-практической конференции (подсекции бысшп математики) (Иркутск, шоз), на Всесоюзной конференции "Экологические проблема Прибайкалья" (Иркутск,. 1 ппя), на Всесоюзной конференции "Методы математического моделировании в задачах охрани пр;!родной среды и .экологии" (Новосибирск, 1091), на Бессоюзной шеоле-сомкнаро "Анализ и моделирование аколого-окономичеешх систем" (Иркутск. югн), на 1 n-n

и m-ft Всесоюзны* школах-семинарах "Ма^шатичосков мода-шровзнке в проблемах рационального природопользования" (Ростов из Дону, 1091,100:2), на VI Международном Симпозиума "Computer Science in Environmental Protection" (Мюнхен, Германий, IfiQl), ИЗ 1-Й Всесийирской конференции по математическим проблемам экологии (Новосибирск, 1S92), на ц Осеннем семинара то математической экологии (ЮТ, Триест, Италия, jaaa), на семинарах Института программные систем РАН, Иркутского ВЦ, кафедры теории систем Иркутского госуииварсшита, кафедры высшей математики Иркутского, института народного хозяйства.

Структура работы■ Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы из ив наименований. Работа изложена на Ю4 страницах машинописного текста.

Основное содержание работа Во вво. гении обосновывается актуальность темы и дается краткое изложение содержания диссертации. Приводится обзор некоторых близких по тематике работ.

Парная глава содержит постановку задачи описания и оценки множества достижимости управляемой системы в банаховом пространстве и основные результаты, связанные с ней.

Рассматривается®11 управляемая система в вещественном банаховом пространстве ь:х

.ч ~ FCt.K.u) (1 )

с начальным условием

х(0) ь к е X , " (2)

о о *

Teio.tj (tk<+a>), хо - некоторое множество из Ек, отображение

Г((..к.и) опредэлпно /п прямом произведении ТхЕ^е^ ¡1 прилагает значения в . Задана ига?» многозначно« отобрягаии*» нг - „ > ■ т-Е -.г: , и ограничение на управление общего вида

ч пс (.. х) ( 3)

Далоо вводятся определения 'допускгого процесса управляемого системы, пшетства допустимых процессов Пг, мнотастпа достижимости Р(Хо.и /ум системы (1) в момент г и множа с тв 13. (и, Г? <и: Р1 |.)сК(хо,1). хо, , назнвагсдаясл соответственно внутренней

и внешней оценками множества достижимости.

Второп параграф посвящен расыирянига систем-! ограничений < I) -(:з). Расширение производится посредством сомепстпа Ф непрершнья

ОТОбр.Ч№НИЙ ('Р (■,■): ТХЕ ( » Е , №-тД> {ГДО Л - МЮЖОСТГЗП "ИНДЕКСОВ",

- вотрствонноо банахово пространство), удовлотворяюмизг равенству г

-Г"

.] " а ' О

для любой абсолютна непрерывная функции :;П. 1 (ядэсь итггогрзл понимается в смысла Бохнора).

Рассмотривается семейство систем

V - ф,((..м) ф ( I., I, н, м> , V ( 0)-ф' (0,ч )

п 1<х(, 'ах а 'а. п

1Гл)

1! .Г Ш >...ч) , Н « ОМ,, у ф I 1.,7.) V , « « Л

а 'а а '

называемых производными. Здесь под . и 'р понимаются сильные частные производные отображения ф с 1..> по аргументам 1 И х соответственно. В получонмой системе состояниями являются переменные « , л роль упрзчлрни.«. наряду с ч вылоЯ1 тот у <.и ».,у,> • Лвз слодук»®« утворадения очевидным образом вытекают из принципа раскпрония:

Утпсржгнлэ 1. Пусть .г- - многостаэ трпок (\го. у<и. ш и >г1.

связанных условиями (В), а р^ - множество пар (x(t),u(t)> таких, что тройка cx(t),<f<t,x(t>),u(t>:> е Тогда дяя любого аеЛ выполняется

«V - "а-

Утверждение г. Пусть Ra( Уиа.'С) - множества достижимости системы

ttii, порожденное начальным множеством Уаа = фаю,хо) , а е Л , ■уйгда R(X с п { к, <рисс,х) е Ratvoa,t> >.

I и^А

Аналогичные улверздония для конечномерных систем приводятся в работе1. Они вскрывают связь шжду внешними оценками множеств достижимости производной и исходной систем. Отмэтим, что если образ отображения <р принадлежит абстрактному пространству е va Л, то непосредственный гераход к формулировке утверждений об оценках невозможен. В слэдующзм параграфе, посещенном тэорамам об оценкам мноааостаа достекимаста, Ездастваннью банановы пространства е заменяются числовой прямой, т.е. в качестве отображение <ра используются функционалы. Рассматриваются вспомогательные системы по отношению к с ь)

z (t) = g (t,z ), „

а ьи а.

g^t.zj fa sup | Ct.x) + «fa[(t,K);F (t,x,u»j

ueü(t.X) (6)

xt<_)( i., z ) 4 a

Qit,z ) С у: ф lt,y)=z >, -Z tO)— suu 'D (0,X ), a e tl , a. ' va. ' а a 'au'

которые назьшакггся оценочными. Здесь через <<}<L.x),y> обозначен

а

JГурман В.И. Построение оцоьок множества достижимости на основа принципа расширения // Методы решения задач теории управления на осн' "и принципа расширения • Новосибирск: Наука. Сиб.отд-ние, гэа'о. -1 90 с.

результат действия линейного функционала ф(t., х) на алемонт у.

В случае, когда :абор индексов' Л,, конечен, оценочная систем,! усиливается в том смысла, что операция supromum выполняется по бо.гоо узкому множеству qt t,,<z >) -<v ф u...y> -- . ф it,. v> iт. . 7 s . л-.-са

ct cx ct y

здесь <z >«(za, v а <= Л». [Тряпью части ка: дого из уравнений систем« (6) зависят от всего набора . Справедлива теорема.

Теорема 1. Пусть функции г i t,, < > в система t В) непрерывны по совокупности переменных <z > и измеримы по t.. Всякое сокопстпо отображения {ф > <= Ф задает пнешкяо оценку мноирстпа достижимости R(Xo.t) СИСТ9КЫ (1) вида R^Ct.) - ft lx: <(> (t,?:) £ 7. ( t.)> р M(f.), ГДЭ

а'---Л

M(t> - априорная оценка множества досттимоста исяодпоп систомм, а z^ct.) - верхнее реыониэ задачи со), ,

Для формулирования утверждения о точном описании толста достижимости R(Xo,t.) требуется, чтобы отобраганиз ф с Ф крога равенства <<1> удовлетворяло условиям

sup ^f)(t,x),F(t,,x.u)> + ф,И.р:<1 = 1\И,,фСС,х>>, <~)

ueUCt.x)

<(<ХО) ,Ч>=сС fx ч, Хо)) , (Я)

р(х.Хо)- i nf ||x-z I, zeX

П

где lit I,, у) - непрерывная, а с(рс„-, хоп - непрерывная, положительно определенная функции (с(0)=0). Тогда оценочная задала птоот вид V -li(l-.y), v( О) ~о. ' (Я)

Теорема 2. Пусть ф е Ф удовлехворпет задаче (7)-(В), yet.) верхнее решение задгчи >, причем задача cm удовлетворяет условию одшетаоншети для .тобьк начальных условий (t.vrtii за исклкмениом быть мо:тт точки (0,0). Пусть существует решение «г i> задачи

и отображение г-ч ■, ■, ■) таково, что решение уравнения ци), порождаемое точкой ( г,;.('и), VI <£ ю/Г1, существует и продолжила влево до 1.=о.

Тогда К1Хо,П с р с 1.1 = Сх: фи,,х) < уи.)> с К1Хо,и.

Пр1Шодятся примеры, 1шлостриру1щи9 доказанные теоремы,

В четвертом параграфе рассматривается нелинейная управляемая система с неограниченным линейным оператором. На основе теоремы г дается подход к проблеме приближенного описания множества достижимости системы с неограниченным оператором. Исходная система аппроксимируется набором систем с огратгчзнныни операторами и показывается сходимость рэшния о тик систем к реданию исходной системы. Основными результатами параграфа являются теоремы о непрерывной зависимости рэыения системы от оператор-функции и об аппроксимации множества достижимости системы с неограниченным оператором последовательностью множеств достижимости аппроксимирующие систем.

Предполагается, что множество ни. ,х>, Фигурирующее в §1, зависит только от параметра ^т, т.е. № г.,х)=ш( (.)сЕи. Рассматривается управляемая система

A(L>: Е( Ех - линейный замкнутый переменный оператор с всвду плотной в не зависящей от t областью определения .»(Attn = ша) => хо. Через ие обознача' тся совокупность линейных замкнутых переменных с

xU.)4- A(t.)x(t.) = E!M.,xCL),a(t3)

III)

х(0) = х е DC А)

С

u( U е U(t)

С13)

- i 1 -

венду плотной областью определения операторов а< t. >, порождала рзвног-эрно корректную задачу" и обладающих свойствами:

1) Alt) СИЛЬНО НапрврЫВеН ПО t, Т.О. ФУНКЦИЯ t- -* A<t,)x непрерывна для любого • x^ix а ).

2) Aid имеет ограниченный0 обратный оператор л 'it), УДОВЛЭТВОрЯМЩИЙ условию

¡jа(о)а 1 (s)¡j а р iо — s - t.t.)» г - константа. е.х еи —» - такое отображение, что для любой измеримой

функции u(t) е uct) отображение ь -> 1« t,, •, uc t.)) измеримо по t iipn

»

любом м e ei( и обладает свойствами,-

1) существует интегрируемая Функция мНь

j [if I,, N, 11) || < Mtt), V(t.,::,u) « T X (14)

2) существует интегрируемая неотрицательная функция кчи.

||Bf t, х, u)-Dl t. у, u) J ± K<U||x-y||, vt, T, VK,y e Ex, e (¡H)

• Предполагается, что сдествуют сильно непрерывные ограниченные операторы ап( t, i на ее а ):

1) arift> сильно и равномерно по t. = г сходятся к оператору a(d в том СКИСЛО, что V.4 р(А) VE ; О Зпц: Vn > U(j ||А( tlx-A I L)x|| < E Vt, «s T;

г) порозденнна ими полугруппы Srtt,,x) равномерно ограничен!!

¡¡^(t-.-oll ™ R.'

В работе "' изучается среди прочих вопросов свойство непрерывной

iKpemi и.Г. .'шойшо дифференциальные .уравнения в банахов, л пространство.- М: Наука. - тег. - -letc.

"Толстоног"в л,А. О решениях ¡зет.теи(ионных включений Г // Сиб.мат. журнал, 19У2. 3 .-ff*4 . . 1П1-17-1 .

зависимости решения уравнения мt> = ля(к пи от интегрируемой по Бокнзру функ1ЦФ1 rt t). В данном параграфе приводится утверждение о непрерывной зависимости решения от огюратор-функции. Вводится последовательность следующий задач

* Antt)3=n = Mt.¿n,u) (.10)

^n<0) = Ко t LH A), u e UCt.) CÍ7)

Справедливы следующие утверждения. ®

,i Теорема т. Пусть jr*(t)j = xct) - совокупность траекторий

систем cíe) прм фиксированном управлении utt) <= tut) с начальным условием (17). Пусть итображение нп,,-.): х еч -> Ех, находящееся в правой части уравнений (in и (16) удовлетворяет условиям (14) и П5), Образ B(t,X(t),ll(t>> ДЛЯ ЛЮбОГО L е Т При фиксированном u(t) е HCL) содержится в общем компакте, . оператор м u е ис устойчиво агпроксииируэтся операторами An(t.) <d(A) = 1клг)).

Пусть ж и, *•.( и - решения соответственно задач (ii)-(i í) и (iß)-( 17) при фиксированных управлении u(t..> - нем и нача.яьном СОСТОЯНИИ На G D( Л) . ТОГДа При BCgX t е Т х( П При и а>.

Следствие. Пусть К(Хо,т), Rr<Xu,а> - множества достижимости в момент времени а систем (11)-(13) и (16)-и7) соответственно. Тогда последовательность множеств jßr( хо, t) j, ..... аппроксимирует

MHOXSCTBÖ R(X ,а> в том смысле, что для любой точки к S их ,1)

о г о -

ve > О Эп : Vn > п Зк <= R (X , Т.) : ь -х ¡I i С.

О О г» х О 11 г> х X

Утверждение :г. Пусть выполнены условия теоремы з и существует последовательность отображения nru.,-.->: п^ х ií , обладающих

теми т свойствами, что и отображение нм.,ч,п), и таких, что н < t. i¡> - ши,к,и> при'п ~ ® равномерно по t. и л при фиксированном u ^ tut)..

Тогда рзюоние *rit) задачи

X + Д - и lt,x ,ц)

Г. Г. Г< Г, ri

;с ( О) = к s D( А ). и u [JtO

п . О

сходится к решению t) исходной задачи (U)-(13).

о

Пусть найдено непрерывное * отобрахзштэ ф^ класса Ф, удовлетворяющее условиям

sup {^'фп;<< t,K),(-:UUX'B( t.,X,U))>j + (pm(t,XJ = hni t^pn(L,x)) YielKt,)

p(.4,Xu) - inr ||x-xj| 1 û

Определяемое теоремой г мнпиястви r"< i.) = jx: Фп<».,«> ^ yr < t. > j, дает

точное описание мнокэспза досгакшости системы пв), с i г j . Здесь уп<

- верхнее рекенга задачи уь = int.y,,^ у,(О) = о.

_ Таким образом справедлива следующая Теорома 4. Пусть rcx^d - множество достижимости системы (11)4 13), aR*(i)=|s: (pn('t,s) муг(п|. Тогда п.в. на т множество

и аппроксимирует множество достижимости исходаой системы r(Xo,t) в том смысле, что для любой точки и * ftc X v е > о Пп : v а > п

ч о ' о о

3 .г* s RVU: H** - х || £ е.

г, х n - r.'l I 11

В двух следующих параграфах рассматривается линейная управляемая система с постоянным замкнутый всюду плотным ошратором а ■. Ея - Еи. В этом случае указывается каждый элемент семейства Ф как линей'-ыа нел^ерывнш Функционал ф , удовлетворяющий спектральной задаче с л* -

- Ал кр - о. Рассматриваются случаи дейс • витального и комплексного решений спектральной задачи. В частности* в случае действительного ранения каждый линейный функционал из семейства ор > определяет в

момент времени ь гиперплоскость 1-а=<к: цу ь >> в пространстве

Ех, где и- верхнее решение соответствую^й оценочной задачи. В случае, когда кнохоство достижимости - вьгпуклое тело, гиперплоскость I, является опорной к множеству достижимости ки, и исходной системы, поскольку операция зиргетчт выполняется только пп управлениям иг 110.1. Рассматриваются иллюстративные Гайдары.

Ва_г*торой главе излагается методика математического моделирования шгосистек»! волоема (на примере оз. Байкал) при антропогенной нагрузке, основанная на соединении математических методов и методов построения модельных окосистем.

При моделировании гидробиоценоза были решены следующие задачи: 1. выбор математического описания процессов: г. выбор уровня агрегирования, куда были вклинены такие подзадачи как определение «'"темы показателей, районирование и др.. :з. идентификация параметров модели-. 4. связь между блоками моделей.

Во Втором параграфе приведены уравнения типа турбулентной диффузии, включающие слагаемые, которые характеризуют взаимодействия в

л

биоценозе, И внесшие воздействия. На основе утверждений, доказанных в главе 1, исход: шя система заманена приближенной, дискре'пшй по пространству системой. Получонная система дифференциальных уравнений описывает динамику агрегатов, представляющих интегральные характеристики состояния исходной системы. Показана сходимость решения Приближенной системы к реданию исход юй. Дальней,моё исследовало ПроВедейо с использованием приближенной системы. Обсуздзны вопросы выбора систем).! Показателей. Такими показателями выбршы фито~, зоо,-И бак^орйЬНланКтоЦ, биогенные элементы «соли азота и фосфора), фенодыШе соединения, иеф/гапродукты (на примере дштопллш», металлы

(на примера кадшя), минералы«.» сода и органические вацветаа. . Зтдал компонентами описывается ншм уровень трофимоскои цепи. Они достаточно представительны, т.к. составляют до йо% по биомассе и до 09-'. по продуктивности.

г>

Параметры, ¿ходящие и приближенную систему и характеризующие процессы водообмена, были определены с использованием численной модели

д

Цветовой E.À. и способ их учета описан в третьем параграфа.

Четвертый параграф посвяывн описанию методики обработки экспериментальных данных, постановке задачи и выводу алгоритма идентификации математической модели по серии экспериментов. Для информационного обеспечения модели возмущений экосистемы озера Байкал коллективом сотрудников НИИ биологии при Иркутском госуниверситатэ под руководством д.б.н., проф. Д.И.Стона и к.б.н Е.А.Зилова были поставлены специализированные эксперименты с физическими моделями с модельными экосистемами». На основе данных этих экспериментов были определены параметры модели, отвечающие за процессы взаимодействия з биоценозе для различных времен года.

В " питон параграфе ошсзн прогнозный сценарий, позволят .я подтвердить ряд закономерностей и особенностей поведения экосистемы оз Байкал в условиях антропогенной нагрузки.

Таким образом, в, диссертационной работе

1 . построена и программно реализована математическая модель, описываюцач отклик экосистемы на антропогенные воздействия;

2. проведана идентификация математической модели, описывающей

4ЦдетоБа Е.л. Математическое моделирована циркуляции под озера / В кн. Течения в вчйкчл©.- НОПОСИЙИрСК: Наукл", 1977. - с. 63-81 .

нижний уровень трофической цепи экосистемы оз. Байкал;

3. проведаны прогнозные расчеты и другие машинные эксперименты с моделью экосистемы, пощверждающиэ рад эмпирически определенных закономерностей реагирования байкальского планктона на антропогенные воздействия.

Результаты работы по математическому моделированию отклика акосистегм озера Байкал на антропогенные возмущения "были использованы в,, Научно-исследовательском институте биологии при Иркутском государственном университете в рамках НИР "Оцпнить взаимодействие основных загрязнотелой и важнейших биотических и абиотических компонентов экосистемы озера Байкал и обеспечить построение математической модеда антропогенной динамики озера" (Постановление ГКПГ при Совете Министров СССР ff2B4 от 4 июля 1н87г.)

Нз защиту выносятся следующую розультэты;

1. теоремы о внешней оценке и точном описании ч мноюстаа

досттшшости управляемы* распределенных систем, описываемых системами

»

даМвренциальных уравнений с неограниченным оператором в банаховом прострак;тве (теореш 1 и ?.)-,

z. теоремы о непрерывной зависимости решений класса не.линейных задач с переменным линейным неограниченным оператором от оператор-функции (теорема з) и об аппроксимации множества достижимости управляемой системы последовательностью множеств " достижимости прибл-икенных систем (теорема л),

'3. обоснование пибира приближенной , системы для описания процессов, происходящих в биоценоза водоема;

4. методика математического моделирования отклика экосистемы оз.

Байкал на ашрогюганнш воздействия, основанная на соединении математических методов и методов построения модельных экосистем и включающая разработанные и программно роализованда алгоритмц идентификации объекта-по серии испытаний (зкспэринангов), а также

о

программно реалклованный комплекс моделей. 1'

Основные результаты опубликованы в следующих работах

г. Букреев В.З., Гурман р.И., Иванова Л.П., Шльнии В.В., Розонраух Д.Н. Прийт-конньй синтез оптимального управления и оценка областей достижимости управляемые систем на основе численных аппроксимаций функции Кротова-■ „¿елямана. - Иркутск: Иркутский ВЫЧИСЛИТЭЛЬНЫЙ Центр СО АН СССР.-25С .-ДаП.Н ВИНИТИ 28.07.88.11б10!5-Е8В.

2. Гурман В.И.» Розанраух Д.И. Исследование методом кратных максимумов дискретных аналогов распреде-гатага зздач оптимального управления //Методы улучшения в Енчислтвлшом зкспэрикзнта. -Новосибирск,- Наука, 1988. - С.12Й-133.

3.„Гурман В.И., Батурин В.А., Розанраух Д.М. Задача идентификации управляемого объекта по серии испытаний--'--' Методы оггпзмзацки и их приложения. Тезисы докладов Международной школы-семинара. - Иркутск,

СЭИ, 1989. - 0.72.

4. Гурман В.И., Розенраух Д.Н. Оценки и точное писание множества достижимости управляемой системы в банаховом пространстве. - Иркутск: Иркут. ВЬН. центр СО РАН, 1092.-24 С.- Деп.в ВИНИТИ 12.02.Й2. 1Г-171-В92

5. Гурман В.И., Буфал И.В.» Иванова Л.И., За.ш<инд И.Я., Кашина Н.Ф., Кулагин А 'Ч, Розе'нраух Д.Н. Методика организации экспериментов с элементами экосистемы озера Байкал на основе математической моде,ли

антропогенных возмущений //Приложение математических моделей к анализу околого-экономических систем.- - Новосибирск: Наука, 1вяа. - С.тт-эз.

е. [-'урман В.И. , Ивзноп! Л.И., Буфал И.В.« Розенраух Д.Н. Модель возмущений экосистемы оз.Кзйкал-. программная реализация и проблзмм информации // Проблемы экологии Прибайкалья. Тезисы докладов. Иркутск, Изд-во Иркут.уи~та, нэпа. - Сие.

г. F-елоэерцева Н.В., Розенра.ух Д.М. Технология моделирования и информационно^ обеспечение модели возмущений экосистемы озера Байкал-'/ Анализ и моделирование эколого-экономическия систем. Тезисы докладов Всесоюзной шсолы-семячэра.- Иркутск, ИрВЦ СО АН СССР, 1991.- С.гг.

В. Gufttlah V.l., Ruseiiraukh Ь.М. , Siluw Г,. Л. , St.om D.I. Mathematical Modelling Ы Perturbation nl the Lake? Baikal Econyst.em arid Identification of tli° f!od"l on t.ho Oa5;in ol

EKperlmonts/.' Pt-oceedings of О. Symposium "Computer Sciwicp In Environmental Protection", Munich. - Springer-Verlag. 1941 -P. 4rj|-4HQ

Подписано в Печать от.гм.'П Формат оохао 1/1 к. Уч.-Изд.л. 1,0. Тираж ТОО экз. Заказ If ТО

Редакционно-издатольскип отдел Иркутского государственного университета 664003, Иркутск, бул. Гагарина, 36