Полугруппы и почтикольца преобразований тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Київський Університет імені Тараса Шевченка

РГЗ од

2 1 фЕВ 2000

Усенко Віталій Михайлович

УДК 512.534+512.558

НАПІВГРУПИ ТА МАЙЖЕКІЛЬЦЯ ПЕРЕТВОРЕНЬ

01.01.06. Алгебра та теорія чисел

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук

Київ-1999

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Київському Університеті імені Тараса Шевченка та Слов'янському державному педагогічному інституті Міністерства освіти України. •

Науковий консультант доктор фізико-математичних наук,

професор Кириченко Володимир Васильович, Київський Університет імені Т.Шевченка, завідувач кафедрою геометрії.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук,

професор Григорчук Ростислав Іванович, провідний науковий співробітник Математичного інституту ім. В.А.Стєклова Російської Академії Наук;

доктор фізико-математичних наук, професор Понізовський Іосиф Соломонович, Російський державний гідрометерологічний університет, м. Санкт-Петербург.

доктор фізико-математичних наук, професор Протасов Ігор Володимирович, професор кафедри дослідження операцій, Київський Університет імені Т.Шевченка,

Провідна установа Львівський державний Університет

ім. Івана Франка, м.Львів.

Захист відбудеться ” ^ ” Фютсхьо сіро» р. о (4- годині

. . ... .. -тг •• і; • •

на засіданні спеціалізованої вченоі'ради!—^ Київському Університеті імені-Тараса Шевченка за адресою: 252127 Київ-127, проспект академіка Глушко в а 6, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці університету (вул. Володимирська 62)

Автореферат розісланий 1399 року.

Вчений секретар

спеціалізованої ради Петравчук А.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Однією з характерних ознак сучасного етапу розвитку алгебри є підвищення активності досліджень в областях, проміжних від теорій класичних алгебраїчних систем (груп, кілець та модулів, асоціативних алгебр тощо) з одного боку до загальної теорії універсальних алгебр - з іншого. Це явище прогнозувалось О.Г.Курошем як таке, що відповідає основним тенденціям розвитку сучасної загальної алгебри (див., наприклад, вступ до монографії ’’Курош А.Г. Общая алгебра (лещии 1969-1970 уч.г.) // М.: Наука,- 1974.- 160с.).

До таких проміжних областей належить і теорія майжекілець, що своїми витоками сягає робіт Діксона 1905р. (Dickson L. Definitions of group and a field by independent postulates j j Trans. Amer. Math. Soc- 6.-p.198-204; Dickson L. On finite algebras // Nachr. Acad. Wiss. Gottingen.-1905,- p.358-393).

Розвиток теорії майжекілець поділяється на три основних етапи. Перший етап (до початку 40-х pp.) - дослідження основних загальних властивостей майжекілець, описання деяких класів скінченних майжекілець, застосування в теорії груп підстановок (Цассенхауз, Оре, Таусська, Фіт-тінг, Веблен, Веддербарн).

На другому етапі свого розвитку (початок 40-х рр - кінець 70-х pp.) теорія майжекілець застосовується в задачах класифікації нелінійних математичних структур (Menger К. Algebra of analysis // Notre Dame Math. Lect- 1944.- N3; Menger K. Tri-operational algebra // Report of a Math. Colloq. Second Series, Issue 5-6, Notre Dame.- 1944,- p.3-10; Jordan P. Uber polynomiale Fastringe // Acad. Wiss. Mainz. Math.- Nat. Kl.- 1951.- p.337-340). Закладено основи структурної теорії майжекілець (Blackett D.W. Simple and semisimple near-rings j j Proc. Amer. Math. Soc.- 1953.- 4-p.772-785). Виявлено зв‘язки з теорією групових многовидів (Neumann

Н. On varieties of groups and their associated near-rings // Math. Z.- 1956.65,- pp.36-69). В термінах теорії майжекілець покладено початок некому-тативноїгомологічної алгебри (Фрьоліх, серія робіт 1959-1962 рр). В цей період виявлено простоту майжекілець деяких класів і, зокрема, повних майжекілець перетворень груп (^симетричних майжекілець на групах) та поліноміальних майжекілець над полями нульової характеристики. Отримано аналоги теорем Джекобсона, Веддербарна-Артіна, деяких інших теорем структурної теорії кілець (Berman, Silverman, Betsch, Mlitz, Scott та ін.). Покладено початок теорії радикалів майжекілець (Betsch, Meldrum, Holcombe, Pilz, Oswald, Angerer, К.Каарлі та ін.). З'явились огляди та підсумкові монографії з теорії майжекілець (Pilz G. Near-rings

// North-Holland American Elsevier, Amsterdam.- 1977.- 464p.).

Третій етап розвитку теорії майжекілець - сучасний. Поглиблюється класифікація майжекілець, численнішими стають майжекільцеві конструкції, поширюються застосування. Активно розвивається теорія радикалів. Почалося вивчення матричних, групових та напівгрупових майжекілець (Mason, Ligh, Meldrum та ін.), інших алгебраїчних систем, пов'язаних з майжекільцями, з'явились деякі узагальнення (Andre, Bachman, Williams, Ferrero, Cotti, Veldsman, Stefanescu, Velasco та ін.). Методи теорії майжекілець почали відігравати суттєву роль в класифікації кратнотранзитивних груп підстановок (Kerby, Karzel, Wefelscheid, Hille, Bohm, Bohnenstengel та ін.).

До проблематики теорії майжекілець звертались О.Г.Курош, Б.І.Плоткін та їх учні. Деякими питаннями теорії майжекілець та її зв'язкам з теорією мультиоператорних груп тощо присвячено роботи

С.В.Поліна, Ю.В.Кузьміна, В.Г.Марина, К.Каарлі.

В Україні однією з перших робіт, в яких розглядаються майжекільця, є робота ’’Калужнин Л.А., Сущанский В.И. Вербальные функции на группах // Теор. и прикл. вопр. диф. ур. и алгебры. К.: Нукова думка.-1977.- с.105-110”. Пізніше з'явилися роботи, пов'язані з вивченням групових відображень та майжекілець перетворень (Кириченко В.В., Усенко В.М., Кіртадзе Л.В., Міхайлова І.О., Рябухо О.М.).

Констатуючи високий рівень розвитку досліджень з теорії май-жекілець спід зазначити, що однією з центральних проблем цієї теорії залишається проблема класифікації майжекілець перетворень груп.

Частину труднощів в цій області з одного боку зумовлено обмеженістю класичних факторизаційних методів, та відсутністю адекватних май-жекільцевих конструкцій - з іншого. Недосить уваги приділялося використанню мультиплікативних властивостей майжекілець перетворень. Довгий час лишався невикористаним потенціал деяких концепцій, що виникли в теорії груп та в теорії напівгруп, можливості яких виходили далеко за межі цих теорій. Це стосується перш за все концепції, що полягала в реалізації відношень між алгебраїчними системами у вигляді категорій пар таких систем. З початку 60-х років цю концепцію було втілено Б.І.Плоткіним та його школою в теорії групових пар з широко розгалуженими подальшими застосуваннями в теорії зображень груп групами автоморфізмів алгебраїчних систем. В теорії напівгруп в той же період концепцію спарювання (спряження) алгебраїчних систем було реалізовано теорєю напівгруп ендоморфізмів математичних структур (в розумінні Бурбакі), початок якої було покладено Л.М.Глускіним серією

з

робіт про визначуваність деяких класів математичних структур своїми напівтрупами ендоморфізмів. При цьому групами автоморфізмів такі структури як правило не визначалися.. В основі методів теорії напівгруп ендоморфізмів було покладено метод щільних розширень (Л.М.Глускін, Б.М.Шайн, Л.Н.Шеврін, М.Петріч).

Актуальність теми цієї дисертаційної роботи визначено її метою: розповсюдження концепції спряження алгебраїчних систем на теорію майжекілець і застосування її до проблеми класифікації майжекілець перетворень. Основними задачами при цьому є .

• описання структурних властивостей майжекілець перетворень та їх мультшшікативних напівгруп, якими вони визначаються з точністю до ізоморфізму (проблема абстрактної характеризації);

• описання факторизаційних властивостей майжекілець перетворень груп, мультиплікативних напівгруп таких майжекілець, що визначаються факторизаційними властивостями відповідних груп.

Робота виконується за тематикою наукових досліджень кафедри алгебри та математичної логіки Київського університету імені Тараса Шевченка та кафедри алгебри Слов'янського державного педагогічного інституту і, зокрема, у відповідності з програмами

• НДР ’’Теорія алгебраїчних систем та їх зображень і її застосування” (держ. реєстр. N 0197Ш03160) за комплексною науковою програмою Київського Університету імені Тараса Шевченка ’’Побудова та

' застосування математичних методів дослідження детермінованих та стохастичних еволюційних систем” (наказ N 25 від 20.01.97).

• НДР ’’Класифікаційні методи алгебри, аналізу та геометрії” (держ. реєстр. N 019711019321), виконуваної за координаційною програмою Міністерства освіти України ’’Геометричні та аналітичні методи в математиці та її застосуваннях” (рішення науково-експертної ради Міністерства освіти від 27.12.96, протокол N 1).

Основні методи дослідження - загальноалгебраїчні з використанням методів теорії напівгруп та теорії майжекілець.

Автором запропоновано також нові методи вивчення структурних властивостей напівгруп ендоморфізмів та майжекілець перетворень. Основою цих методів є визначене автором напівгрупове узагальнення поняття групової пари та введене в роботі поняття напівретракції (лівої,

правої, симетричної) моноїду. За допомогою цих понять в роботі побудовано напівгрупові та майжекільцеві конструкції, в термінах яких і сформульовано основні результати.

Основними результатами роботи є твердження теоретичного змісту, який і визначає наукову новизну роботи.

Основними результатами роботи є:

1. побудовано категорію напівгрупових пар та категорію згорток напівгрупової пари, описано вільні та універсальні об'єкти цих категорій;

категорія напівгрупових пар є узагальненням категорії групових пар Б.І.Плоткіна; описання вільних об'єктів цієї категорії є узагальнюючою відповіддю на питання О.Г.Куроша (” Теория групп. М.: Наука.- 1967”, стор.525) щодо будови вільних об'єктів категорії групових пар; узагальнюються також теорія загальних добутків Поппа та результати Редеї і Кона про будову загального добутку двох циклічних груп;

2. описано структурні властивості напівгрупи ендоморфізмів вільної групи, що визначають її з точністю до ізоморфізму, .

це описання отримано в термінах теорії щільних ідеальних розширень і є узагальненням на некомутативний випадок результатів Л.М.Глускіна про напівгрупи ендоморфізмів лінійних просторів та модулів;

3. побудовано нові напівгрупові конструкції (вінцевого голоморфу, біголоморфу), в термінах яких описано адитивну (матричну) декомпо-зицію напівгрупи ендоморфізмів вільної групщ

конструкція вінцевого голоморфу узагальнює конструкцію вінцевого добутку напівгруп;

4. побудовано категорію N%-спряжень групи та майжекільця, описано універсальні об'єкти цієї категорії; в термінах відповідної конструкції ЛПі-добутку групи та майжекільця описано будову симетричного майжекільця на вільній групі;

цим описанням доповнюються та посилюються відомі результати про будову симетричних маижекілець, отримані в роботах Бермана та Сіль-вермана, Мельдрума та ін., результати Цімера про майжекільця перетворень вільних груп;

5. за допомогою вінцевих голоморфів описано будову напівгруп ендоморфізмів цілком 0-простих напівгруп;

цим результатом доповнюються результати Л.М.Глускіна, Престона, Манна, Тамури про гомоморфізми та конгруенції цілком 0-простих напівгруп, узагальнюється теорема Pica (Rees D. On semi-groups // Proc. Cambridge Phil. Soc.- 1940.- 36 - p.387-400) про групу автоморфізмів ціл-

ком 0-простої напівгрупи.

Теоретичне значення результатів роботи визначається внеском в розв'язання проблеми класифікації майжекіледь перетворень, розширенням меж застосування метода щільних розширень, поширенням на теорію налівгруп та теорію майжекілець концепції спряження алгебраїчних систем, закладеної- теорією Б.І.Плоткіна групових пар, а також тим, що в роботі отримано розв'язок відомих задач про будову деяких напівгру-пових та групових конструкцій, розвинено та узагальнено результати Pica, Л.М.Глускіна, Редеї, Леві та інших відомих спеціалістів.

Результати роботи знайдуть застосування в дослідженнях що здійснюються науковими колективами Київського, Львівського, Харківського, Донецького університетів, в інших освітніх та наукових закладах.

Апробацію основних результатів роботи здійснено шляхом їх обговорення на

• IX Всесоюзному симпозіумі з теорії груп (Москва, вересень 1984),

• XIX Всесоюзній алгебраїчній конференції (Львів, вересень 1987),

• Сибірській школі з многовидів алгебраїчних систем (Барнаул, липень 1988),

• УІІконференції’’Algebra in logika” (СФРЮ, Марібор, червень 1989),

• Міжнародній алгебраїчній конференції, присвяченій пам'яті акад. A.I.Мальцева (Новосибірськ, серпень 1989),

• VI Симпозіумі з теорії кілець, алгебр та модулів (Львів, вересень 1990),

• Міжнародній алгебраїчній конференції, присвяченій пам'яті проф. А.І.Ширшова (Барнаул, серпень 1991),

• Міжнародній конференції, присвяченій пам'яті акад. М.Ф.Кравчука (Київ - Луцьк, вересень 1992),

• IX Міжнародній конференції з топології та її застосувань (Київ, жовтень 1992),

• III Міжнародній алгебраїчній конференції, присвяченій пам'яті

М.І.Каргаполова (Красноярськ, серпень 1993), .

• Міжнародній конференції, присвяченій пам'яті М.Г.Чеботарьова (Казань, червень 1994),

• IV конференції ’’Groups and group rings” (Львів, вересень 1996),

• Міжнародній алгебраїчній конференції, присвяченій пам'яті проф. Л.М.Глускіна (Слов'янськ, серпень 1997),

• Міжнародній алгебраїчній конференції, присвяченій пам'яті проф. Л.А.Калужніна (Київ - Вінниця, травень 1999),

• II Міжнародній конференції з теорії напівгруп (С.-Петербург, липень 1999),

• алгебраїчних семінарах Київського, Львівського, Харківського, Гомельского університетів 1985-1999 pp.

Публікацію основних результатів дисертації здійснено в роботах автора [1-22], з яких 7 у співавторстві.

Результати співавторів в дисертації не використовуються.

Обсяг і структура роботи. Зміст дисертаційної роботи викладено на 291 сторінці машинопису п'ятьма розділами, що загалом містять 23 параграфи. У вступі обгрунтовано актуальність теми дисертації, наведено стислий виклад основних результатів. .

Перелік літератури містить 175 найменувань.

ЗМІСТ РОБОТИ.

В першому розділі роботи разом з основними поняттями теорії напівтруп та майжекілець наводяться результати автора про загальні властивості напівгруп перетворень, напівгруп ендоморфізмів вільних груп, дистрибутивних майжекілець та деяких їх узагальнень. Основними результатами розділу є абстрактна характеристика напівтрупи ендоморфізмів вільної групи зліченного рангу та описання дистрибутивних ніль-потентних майжекілець з метабельовою адитивною групою.

Абстрактну характеристику налівгрупи Ф(Х),= End-FpsT) ендоморфізмів вільної групи F(X) в зліченному алфавіті X отримано методом Л.М.Глускіна ідеальних щільних розширень напівгруп. Для цього використано множину ФорГ) усіх таких сг Є Ф(Х), образи яких є циклічними підгрупами групи F(X). Елементи множини ФоРО названо в роботі ав-тоіндексуваннями групи F(X). Доведено, що Ф0(Х) - щільний ідеал в ФрО, а Ф(Х) - єдине (з точністю до ізоморфізму) максимальне щільне розширення ідеалу Фо(^). Звідси випливає (теорема п.3.7, розд. І):

Напівгрупа S тоді й лише тоді є ізоморфною напівгрупі ендоморфіз-мів деякої вільної групи F(X), коли S є максимальним щільним розширенням деякого свого ідеалу, ізоморфного напівгрупі Фо(Х) автоіндек-сувапь групи F{X).

■ Отримано, крім того, описання однієї з факторнапівгруп напівгрупи Фо(Х) в термінах налівгруп Pica матричного типу.

Майжекільце N з метабельовою адитивною групою назвемо май-жекіпьцем Леві, якщо воно є дистрибутивним, добуток ху будь-яких його елементів х, у Є N належить центру адитивної групи і xyz = 0 для всіх x,y,z Є j\f (нільпотентність степеня 3). Добре відомо, що майжекільця Леві виникають кожного разу, коли на довільній метабе-льовій групі (G, *) визначити мультипліхативну операцію 5а правилом ху = [г; у] — х * у * х * у. В довільному випадку для описання майжекілець Леві в роботі визначається поняття L-пари метабельової групи. L-пара (Ф, ір) метабельової групи G складається з абельової групи Ф ^ Aut G та гомоморфізму ip : G -ь Ф : х t-> <рх, що задовольняють деяким умовам, близьким до Ф-центральності в розумінні Л.А.Калужніна (Kaloujnine L. Uber gewisse Beziehungen zmischen еіпет Gruppen und ihren Automorphis-men // Ber.Math.- Tagung Berlin.- 1953.-164-172). Має місце твердження (лема п.4.13, теорема п.4.14): ■

майжекільце Н з метабельовою адитивною групою G тоді й лише тоді є майжекгльцем Леві, коли існує така L-napa (Ф,</>) групи G, що

ху = у<рх*у .

для всіх х,у Є N.

Серед інших результатів першого розділу відзначимо описання напівтрупи ультраендоморфізмів довільної групи.

Перетворення <р групи G назвемо [/„-ендоморфізмом (п > 2), якщо

І9і- ■■■■ 9п)<Р = 9iV ■ • • - • 9п<Р

для всіх gi,...,gn Є G. Доведено, що множина U£(G) усіх U„-ендоморфізмів (для всіх п Є N, п > 2) групи G є напівгрупою відносно операції композиції. Елементи напівгрупи U£(G) названо в роботі уль-траендоморфізмами групи G. Коли група G не містить елементів скінченного порядку маємо U£(G) = End G. В загальному ж випадку для описання будови напівгруп ендоморфізмів визначено поняття афінного полігону, яке виявилося корисним і для описання підмоноїдів напівпря-мого добутку моноїдів.

В §4 першого розділу окрім майжекілець Леві розглядаються деякі загальні властивості майжекілець. Основним при цьому виступає поняття

редукованого гомоморфізму груп.

Нехай (Є, *), (Я, *) - довільні групи, <3 - підгрупа групи Я, для яких визначено відображення

ст і С7 —"7~(Я) ; ї ^ сг^,

д:СхСчС:(і;у)^(і; у)д.

Відображення / : (? -ч- Я : д і-> <?/ назвемо редукованим гомоморфізмом із системою редукції (сг; д) (коротше іїд-гомоморфізмом), якщо

(х * У)/ = г/ * у/<тх * (аг; 2/)з-

У разі, коли Іт а — ісІН, говоритимемо про іїд-гомоморфіом. За певних умов і2^-гомоморфізми можуть бути охарактеризованими за допомогою адитивної декомпозиції (теорема п.4.6, розд. І):

Нехай и,Н - групи, £? - підгрупа групи £7, а : Я -> Аиї V - антиго-моморфізм. Еквівалентними є твердження:

1. відображення / : Я -»• II є Щ-гомоморфізмом;

2. існують група Г, мономорфізм : II —> Г, К^^-гомоморфізм, 7г : Я —> Г та антигомоморфізм ір : Н —>■ Г такі, що

/ = (тг *<р)іг\

(Т}і —

при будь-якому її Є Н.

Через ми позначаємо внутрішній автоморфізм групи, який визначається її елементом д.

В другому розділі роботи побудовано напівгрупове узагальнення категорії групових пар Б.І.Плоткіна. Поняття групової пари визначено Б.І.Плоткіним як формалізація тих чи інших відношень, що виникають в класі об'єктів категорії груп. Розвиток цієї ідеї природньо вести в двох напрямках - побудова загальної теорії пар алгебраїчних систем та спеціальної теорії таких пар.

Предметом загальної теорії пар є категорія, об'єктами якої є пари (21,95), а морфізмами об'єкта (2Сі; 25і) в об'єкт (21г; ®г) _ гомоморфізми / : 21і —> 2І2, р : ©і -> 5$2, що задовольняють тим чи іншим обмеженням, які визначаються зв'язками між компонентами відповідних пар. Теорії індивідуальних алгебраїчних систем при цьому стають частиною загальної теорії відповідних спряжень, коли одну з компонент пари вважати тривіальною.

До предметної області спеціальної теорії бінарних спряжень алгебраїчних систем слід віднести пари (21; 25) разом з деякими морфізмами їх компонент в інші алгебраїчні системи. Найпростішими об'єктами спеціальних теорій є згортки пар алгебраїчних систем - діаграми вигляду

21 05

\ /

Ы

з різними способами визначення їх морфізмів. Частиною спеціальної теорії є локальна теорія пари (21; СВ), де 21, 58 - довільні (але фіксовані) алгебраїчні системи. Морфізмом вшценаведеної діаграми в діаграму

21 05

\ / и!

при цьому виступає гомоморфізм Я —>■ 11', що задовольняє природнім вимогам щодо комутативності квадрату, який при цьому виникає. .

Окрему предметну область (сказати б, область конструктивної теорії пар алгебраїчних систем) утворюють універсальні об'єкти спеціальних категорій та коуніверсальні об'єкти загальних категорій пар з огляду на їх можливі застосування у відповідних структурних теоріях.

Зміст багатьох відомих на цей час результатів дозволяє говорити про ту чи іншу форму реалізації потенціалу загальної та спеціальної теорій пар алгебраїчних систем, хоча формування відповідних напрямків в явному вигляді ще далеко від завершення.

Найбільш завершеного вигляду набула лише загальна теорія групових пар, початок якої було покладено роботами Б.І.Плоткіна (Плот-кин Б.И. Радикалы в групповых парах // ДАН СССР.-1961.- 140.-c.1019-1022.) та Л.А.Калужніна (Каїоіупіпе Ь. Яиг quelqu.es ргорпёМв <1е$ дгоирез <і’аиіотогрМзтев <і’ип дгоире аЬstra.it // С. II. Ратів.-1950.-230.-2067-2069.). Підсумок певного етапу розвитку теорії групових пар було підведено монографією Б.І.Плоткіна (Плоткин Б.И. Группы автоморфизмов алгебраических систем // М.:”Наука”.-1966.-604с.), в якій основну увагу приділено прикладному аспекту теорії групових пар як засобу вивчення зображень груп групами автоморфізмів алгебраїчних систем. Разом з тим в цій монографії викладено усі необхідні елементи загальної теорії групових пар аж до теорії радикалів в групових парах та відповідностей Галуа. Подальший розвиток теорії групових пар пов'язаний перш за все з роботами Б.І.Плоткіна (Плоткин Б.И. Групповые многообразия и многообразия пар, связанных с представлениями групп // Сибирский матем.журн.- 1972.-Т.ХІІІ, N 5.-С.1030-1053.), Б.І.Плоткіна та

А.С.Грінберга (Плоткин Б.И., Гринберг А.С. О полугруппах многообразий, связанных с представлениями групп // Сибирский матем.журн.-1972.-т.XIII, N 4.-С.841-858.), в яких групові пари вивчаються на рівні їх многовидів. Б.І.Плоткіним, зокрема, узагальнено теорему Нейманів-Щмелькіна про напівтрупу многовидів груп. Черговий етап розвитку теорії групових пар було завершено монографією Б.І.Плоткіна та С.М.Вовсі (Плоткин Б.И., Вовси С.М. Многообразия представлений групп. Общая теория, связи и приложения // Рига:3инатне.-1983.).

Спеціальні теорії пар алгебраїчних систем поки що не утворюють самостійного напрямку, хоча феноменологічно такі теорії вже склалися в межах гомологічної алгебри, теорії зображень тощо. Досить зазначити, що, наприклад, шрейерова теорія групових розширень може бути викладеною мовою відповідної теорії шрейєрових пар, які на відміну від групових пар, що відповідають зображенням, визначаються параметри-зованими відображеннями однієї компоненти в групу автоморфізмів другої.

Категорії модулів над різними класами кілець містять в собі надзвичайно широкий спектр спеціальних категорій пар.

Найтиповішим феноменом спеціальних категорій є техніка універсальних та неуніверсальних квадратів, застосування якої неодноразово демонструвало її плідність (див., наприклад, Генералов А.И. Относительная гомологическая алгебра и относительные группы Гротендика колец // Дисс. ... доктора физ-мат наук. Санкт-Петербург.-1991.-с.242.).

Зрозуміло, однак, що самостійний розвиток спеціальних теорій пар алгебраїчних систем ще чекає необхідних стимулів з боку теорій індивідуальних алгебраїчних систем, що не піддаються вивченню методами комутативної гомологічної алгебри, та потребує змістовної феноменології спряжень алгебраїчних систем різних класів. Потенціальна наявність останньої обгрунтовується, зокрема, теоремою Біркгофа про реалізацію груп групами автоморфізмів універсальних алгебр, а також теоремою Еренфойхта-Мостовського про реалізацію груп підгрупами груп автоморфізмів моделей.

Відповідні стимули зароджувались, зокрема, в теорії напівтруп та в теорії майжекілець.

Деякі нові аспекти спеціальної теорії пар виникають в зв'язку з поняттям гомоморфізмів зплетення (Григорчук Р.И., Курчанов П.Ф. Некоторые вопросы теории групп, связанные с геометрией // Итоги науки и теш. Соврем.пробп.матем. Фундам.направления.-1990.- 58.- с.191-256.).

На реалізацію потенціалу, що створився в теорії напівтруп та в теорії

майжекілець, в другому розділі роботи визначено поняття напівгрупо-вої пари та спеціальної категорії згорток напівгрупової пари. Описано універсальний об'єкт цієї категорії. Визначено та охарактеризовано поняття Л/’К-спряження групи та майжекільця.

В основі методів, що застосовуються, лежить поняття налівретракції мопоїдів, введене та детально вивчене в першому параграфі розділу.

Перетворення т моноїду (М, *) назвемо лівою напівретракцією цього моноїду, якщо {х * у)т = (хт * у)т при будь-яких х,у Є М. В двоїстий спосіб визначаються праві налівретракції. Якщо перетворення т одночасно є лівою та правою напівретракцією, то говоритимемо про (симетричну) напівретракцію.

Якщо тг - симетрична налівретракція моноїду (М, *), то її образ є моноїдом відносно операції а*кЬ = (а*Ь)п. Цей моноїд позначається через .М7Г і називається 7Г-мутацією моноїду М. Ліва (права) напівретракція моноїду М називається регулярною, якщо її образ є підмоноїдом в М. Отримано критерії регулярності однобічних напівретракцій.

В §2 другого розділу визначаються та вивчаються напівгрупові пари

■ Б.Неймана - об'єкти загальної категорії напівгрупових пар.

Спряженням Б.Неймана моноїдів (Мі,*), (М2,*) назвемо пару відображень

р : Мі —> Т(Мг) : і Рг,

А : Мі —> Т{Мі) : і ь-> А(,

перше з яких є гомоморфізмом, друге - антигомоморфізмом (Т(Х) -симетрична напівгрупа на множині X), для яких виконуються умови

(и * у)рх — ирх\х * урх, х Є Мі, и,у € Мг,

(х * у)А„ = хХи * рХирх, х,уєМииЄ М2.

Сукупність (р : Мі; М2 : А) називатимемо в цьому випадку напівгру-повою парою Б.Неймана. Згорткою пари Б.Неймана (р : Му, М2 ■ А) називається моноїдна діаграма

. м2 •

4. г

Мі -А Т

що задовольняє умовам

уг*хІ = хХуІ * урхг, х Є М\,у Є М2.

Природньо при цьому виникає категорія згорток пари Б.Неймана (р : Мі;М2:А). .

Будемо говорити, що права напівретракція т} та ліва напівретракція т2 моноїду (М, *) утворюють базис Б.Неймана [гі;г2]м цього моноїду, якщо

П * т2 = ІМ, ПТ2 = пп — $м,

де їм - тотожне, а і?м - нульове перетворення. Якщо [гі; г2]м _ базис Б.Неймана моноїду М, то напівретрахції ті, т2 є регулярними.

Моно'ід (М, *) назвемо (Мі; М2)-факторизовним за Б.Нейманом, якщо Мі, М2- підмоноїди моноїду М такі, що М\ П М2 = {0} і будь-який елемент х є М однозначно записується у вигляді х — Х\ * х%, хі Є Мі, Х2 Є М2.

Центральним результатом спеціальної теорії напівгрупових пар Б.Неймана є твердження (теореми ші.2.7, 2.8):

для моногдгв М, М\, М2 та гомоморфізмів ці: Мі -> М, /і2 : М2 -> М еквівалентними є твердження:

1. визначеною є напівгрупова пара Б.Неймана (р : Му, М2 : А), для якої ці, ці є універсальним об'єктом її категорії згорток;

2. існує базис Б.Неймана [т*; т2]д/ моноїду М, для якого Ітті = Іт (і\,

Ітг2 = Іт^2; ,

3. моноїд М е (М\Ці\ Мч^-факторизовним за Б.Нейманом. Універсальний об'єкт категорії згорток напівгрупової пари Б.Неймана

(р : Мі] М2: А) визначається моноїдом М — (р : Мі х М%: А), що виникає на множині Мі х М2, якщо покласти

(і; и) * (V; ги) = (< * иАи; ир„ * ги), і, V € Мі, и, ги Є М2.

Морфізми відповідної діаграми визначаються відображеннями

/іі : Мі —^ М : і і-> ірі = (і; $),

/і2 : М2 —ьМ'Л)~¥ і(м2 — (0;і).

Моноїд М = (р : Міх М2 : X) називається (р; А)-добутком Б.Нейманамо-ноїдів Мі та М2. Коли Мі, М2 - групи, отримуємо зовнішню конструкцію загального добутку цих груп. Спеціальна теорія напівгрунових пар Б.Неймана узагальнює результати Б.Неймана, Цаппа, Сепа про будову загальних добутків груп.

В §3 побудовано спеціальну теорію визначених тут шрейєрових напів-групових пар. Разом з поняттям шрейєрової напівгрупової пари виникає конструкція шрейерового добутку (Мі; М2)5^,г моноїдів Мі, М2, де а, т, д

- система відображень, що узагальнює поняття системи факторів шрейєрової теорії групових розширень. ’

Напівретракцією тг моноїду (М, •, е) назвемо шрейеровою, якщо М =

Є7Г-1 • МіГ.

Має місце теорема (п.3.11):

для мопоі'дів М, Мі, М2 еквівалентними є твердження:

1. існує шрейєрове спряження [Мі] М2]д,т таке, що М = (Мі; М%)3°'г;

2. існує шрейерова напівретракція тг моноїду М така, що Мі = Є7г-1, М2 й М*.

(Нагадаємо, що М* - тг-мутапія моноїду М - див. вище).

Будь-яка напівретракція групи є шрейеровою. Застосування напі-вретракцій дозволяє довести, що будь-який ендоморфізм мутації вільної групи будь-якого групового многовиду індукується ендоморфізмом цієї групи.

В §4 за допомогою напівретракцій техніку матричної декомпозипії Пірса розповсюджено на напівгрупи ендоморфізмів добутків Б.Неймана. Отримано напівгруповий аналог теореми про полярний розклад (теорема п.4.14, розд. І) ■

В §5 другого розділу побудовано спеціальну теорію Л/К-спряжень групи і майжекільця.

Нехай Я - майжекільце, Я - група \Я*\Н]° - шрейєрове спряження груп (Я* - адитивна група майжекільця Я). Відзначимо, що шрейєрові спряження груп визначаються шрейєровими системами факторів - частинним випадком загального поняття шрейерового спряження моноїдів. Відображення

/Ц : Я х Я Мар (Я х Я] Я) : (х; у)*-* Ц*,

Т]: Я -> Мар (Я X Я; Я) : Мг|і назвемо Л^7^-спряжениям групи Я та майжекільця Я, якщо

((хі;2/і)м^;іі)^2:У2)7г<1 =

{{хї,Уі)щх]Ц)тік =

Ы,У1-Х-Н(Уу2*{у2]Ь)ц)^ц~

(®і; Уї)^1 * (агі; ь* ((*2І У2)%; (ЯГ2Ї '(*2;й = {хі;У2)Луі * (*Г,Ь)Пь,

при будь-яких Хі,У\,І\ є Я, Х2,У2,І2 Є Я. Якщо (ц]Г]) - деяке ЯТІ-спряження групи Я та майжекільця Я, то група (Я*] Я)©^ перетво-рюеться на майжекільце, якщо покласти

(іСі; 2Г2)(Уі; 2/2) = {(хґ,Уі)^](Х2]У2)Щг)-

Майжекільце, яке визначається на (А/-*; Я)©£ останньою рівністю назвемо Я%-добутком групи Я та майжекільця Я, що визначається А/’Т^-спряженням (/і; г}) шрейерової пари [Я*\Н]° (або, коротше, Я'Я?^-добутком групи Я та майжекільця АГ). ЯК^-ррбутох групи Я та майжекільця N позначатимемо через (Я; Н)ЯІІ^.

Перетворення 7г майжекільця Я назвемо нормальною напівретрак-цією цього майжекільця, якщо тс є напівретракцією адитивної групи майжекільця Я і лівою напівретракцією його мультиплікативної напівгрупи.

.АГТІ-добутки груп та майжекілець характеризуються твердженням (п.5.7):

для майжекілець Я,Яі та групи Я еквівалентними є твердження:

1. існують шрейерове спряження [Я^; Я]£ та ЯТІ-спряження (/х; т]),

для яких Я = (М; Н)ЯИ^; '

2. існує нормальна напівретракція тг майжекільця Я, для якої Яі — Кегтг, Я З (Я*)п.

В третьому розділі спеціальна теорія напівгрупових пар Б.Неймана доповнюється основними результатами загальної теорії і застосовується до побудови нових напівгрупових конструкцій, які в подальшому використовуються для описання будови деяких напівгруп ендоморфізмів. Для групових пар введено поняття відповідності в груповій парі, за допомогою якого вдається описувати підгрупи напівпрямих та прямих добутків груп.

Загальну теорію напівгрупових пар Б.Неймана викладено в першому параграфі розділу. Об‘єктами відповідної загальної категорії є напівтрупові пари Б.Неймана. Морфізми об'єкта (р : Мі, М2 : А) в об'єкт (р : М{,М'2: А) визначається гомоморфізмами

/і : Мі ->■ М[ : х х/і,

/2: Мі М'2 : х н» ж/2, що задовольняють умовам

(£А„)/і = (і/і)К/3, і Є М\,ь € М2,

{т)Ь = (и/г)Йд, і € Мі,V Є М2.

Основним результатом є описання вільних об'єктів цієї категорії.

Вільний моноїд в алфавіті А позначатимемо через Е[А]. Через 1(и>) позначатимемо довжину елемента ги, а через - елемент, що в запису елемента и> через твірні з А стоїть на к-иу місці («/*) = 1, якщо к > 1(ю)).

Для всіх і Є № визначимо перетворення з,-, /,- моноїду £[Л] за правилами

( Є ,г = 0,

5і(гу) = < * ... * ги^ , 1 < г < і(ш),

ш ,і> /(ш),

(в ,і- 0,

(ш)/і = < гіА‘-,+1) * ... * гу^ , 1 < і < І = ?(гу),

(ги , і > / = і(ш),

Нехай, далі, Е = Е[Х; У] - вільний моноїд в алфавіті X і) У (ХГ)У = 0), Ех ~ правий ідеал елементів ги Є Е, що починаються з елементів алфавіту X, Еу ~ правий ідеал елементів ш Є Е, що починаються з елементів алфавіту У. Через Е^ (Е^) позначимо вільний моноїд в алфавіті Х{У) = {ху\х Є X, ь є Еу} {У{Х) = {ш\ у Є У,і Є Ех}). Для всіх Є Х{¥), Уі Є У(Х) покладемо

— Ху.у.(. УіРху — Упхт-

Якщо ги Є Еу, и Є Е^, то, за визначенням

р« = р“(іУ'2’ .. 1 =

Аи = Аи(*)Ли(і-і). ..Аиа), к = 1{и)

піра = Зь_і(и)раА<‘(1;) * «^ра, а € -Х(У),

гцАь = го(1)А|, * (ш)Ь Є У(Х)

Виникає при цьому напівгрупова пара Б.Неймана (р : Е^, Е^ : А), яку ми називатимемо вільною напівгруповою парою Б.Неймана. Саме такими парами вичерпується вільні об'єкти категорії напівгрупових пар • Б.Неймана (теорема п.1.10, розд. III):

вільні напівгрупові пари і лише вони є вільними об'єктами категорії напівгрупових пар Б.Неймана. .

Кострухція вільного об'єкту категорії напівгрупових пар є більш загальною ніж ті, які застосовано Редеї та Коном для побудови загального . добутку двох циклічних груп.

В другому параграфі розділу будуються конструкції матричного сполучення і подвійного матричного сполучення напівгрупових пар. Для цього використовуються напівтрупові пари (р : Мі, Мі : А) в кожному о частинних випадків, коли одне з відображень р, А є нульовим. Перший тип пар - {М\, Мі : (р) (пасивні зліва), другий - {ф : Мі,Мг) (пасивні справа).

Пари (ір : Ті, Я), (5,Т2 : ф), де (5,*), (Ть •), (Т2, •) - моноїди, назвемо парами із спільним операндом 5, якщо

<РіФи ~ Фифи і Є. Ти и Є Т2.

За цієї умови множина

Ті

5;Т2

Л4 =

ІЄГь5€5,иЄТ2

де $ - зовнішній нульовий елемент, є моноїдом відносно звичайної операції матричного добутку, якщо покласти

-ий = в Є 5, і б її, и Є Т2.

Моноїд тИ називається матричним сполученням напівгрупових пар із спільним операндом. Отримано універсальну та внутрішню характеристики матричних сполучень пар із спільним операндом. Отримано також характеристику в термінах визначених в цьому параграфі центральних базисів Пірса.

Пари (<р\ : Т, 5і), {ср2 : Т, 52) (5і, 52 - *-адитивні, Т - мультиплікатив-ний моноїди) назвемо парами із спільним операторним моноїдом. Для кожної такої двійки пар коректно визначеним є матричний моноїд з елементами ■ .

1 X д\

і * , X є 5і, і Є Т, у Є 52

0 У 1/

та із звичайною операцією матричного добутку. Цей моноїд назвемо матричним сполученням пар із спільним операторним моноїдом. Для таких матричних сполучень також отримано універсальні та внутрішні характеристики, а також характеристика в термінах коцентральних базисів Пірса - поняття, двоїстого до поняття центрального базису.

Наведені конструкції матричних сполучень поєднуються в конструкції подвійного матричного сполучення напівгрупових пар. Ця конструкція виникає, якщо задано пари (ір : Т, ^і), (5і,Ті: ф) із спільним операндом 5і і пари (сг : Т, 52), (52, Т2 : г/) із спільним операндом 52. Подвійне матричне сполучення - матричний моноїд, елементами якого є матриці

Отримано універсальну, внутрішню характеристики наведених конструкцій та характеристику в термінах, так званих базисів Пірса, визначених в роботі за допомогою систем напівретракцій, з певними додатковими властивостями. .

В третьому параграфі розділу описано підмоноїди та конгруенції конструкцій матричного сполучення, які названо афінними підмоноїдами та афінними конгруенціями. .

В §4 побудовано локальну теорію групової пари, виходячи з поняття відповідності на такій парі та згортки відповідності.

Нехай (#і, Ні: <р) - деяка групова пара, для компонент якої визначено мономорфізми

Мі : Ні : х и- х{іі,

№ '■ -> Н2 : х и- хц2

і відображення

/ : Щ -»■ Ні: х и- я/,

яке задовольняє умовам

{х * у)/ = (х; у)д *х/* (у/)<рх, х, у Є ІІ2,

ищіщ Є Vці і, и Є иик Є Я2,

де (х; у)д Є ІІіЦі (за термінологією §4 розд. І відображення / є редукованим гомоморфізмом груп). В цьому випадку говоритимемо, що задано відповідність [ІІі, Щ : /] в груповій парі (Ні; Ні: <р). Множину

Ні и2 = {{и * і/; і)|« Є иь і Є £/2}

назвемо згорткою відповідності [І7і, Щ : /]. Основною лемою локальної теорії є (леми пп. 4.1, 4.2, розд. III):

Згортка будь-якої відповідності [і/і, Пі : /] в будь-якій груповій парі {Ні, Щ : ір) є підгрупою напгвпрямого добутку Ні Н2 = {Ні х Н2 : <р). Для будь-якої підгрупи 17 групи С = Ні х^ Н2 існує відповідність [£7і, и2: /] в груповій парі (Ні, Н2 : <р) така, що

и = иі^и2.

^ [р

Підпари групових пар є частинним випадком відповідностей в групових парах. Разом з кожною відповідністю [І7і, Щ : /] в груповій парі (Ні, Н2: ір) виникає підпара (Ні, ІІ2 ■ у), причому [{7і, ЇІ2 : /] залишається відповідністю в цій останній груповій парі. Відповідність [ЇІі,и2 : /] в

груповій парі {Ні, Ні : <р) назвемо головною, якщо Е/г — і^2• Надалі усі відповідності вважатимуться головними.

Підгрупу І/ напівпрямого добутку Є = Ні х^ Яг назвемо цілком регулярною, якщо V є підналівпрямим добутком (в природньому розумінні) і V П Ні - нормальна підгрупа групи Н\. Для цілком регулярних підгруп напівпрямих добутків має місце узагальнення теореми Фукса про підпрямі добутки двох груп (теорема п.4.5, розд. III):

Нехай Є = Ні Ху Я2. Для піднапівпрямого добутку Я < (? груп Ні та Н% твердження 1., 2., що наводяться нижче, є еквівалентними:

1. II є цілком регулярною підгрупою;

2. Існують група Г, антпигомоморфізм

ф : Яг -> Аігі Р : х і-> фХ)

епіморфізм

а : Ні -* і*1 : х і-> ха та сюрьективний схрещений гомоморфізм

Т]: Яг F : и щ,

такі, що ц>ха = сгфх для всіх х Є Яг г

и = {(х; у) Є Є І г<т = 3/77}.

Застосування відповідностей в групових парах дозволяє отримати описання підгруп прямого добутку будь-якого скінченного числа груп.

Нехай С, Г - групи, Д ^ Г. і?д-гомоморфізм (редукований Д-гомоморфізм) / : С? -+ Г назвемо квазісюрьєктивним, якщо

Г = {х * д/1 х € Д, д Є О}.

Нехай п > 2 - натуральне число, Іп = {1,2,... ,п}, (5 = {(Зі | і Є /„} - сімейство груп, 7У(©) = {Д,- < | г Є Іп-і\- За наявністю

квазісюрьєктивних Яд^гомоморфізмів

<?і: Єп ~¥ Єп-і, Оі : (Зп-і+1 Хд'*і -4- 0„_і, 1 < г ^ п — 1

Де _ _ _

бо = <3П) 6і+і = <3„_і 0 < і < п - 2,

будемо говорити, що £(©) = {<Гі І і Є /п-і} є Лг(®)-відповідністю на <5. Множину іУ(0) називатимемо базою редукції цієї відповідності.

. 19

Для підгрупи Я прямого добутку [/і х ... х ІІп через Н[ позначимо канонічну проекцію Я на С/,-, а через Я,- - перетин Я П ип-и * Є /п-ь

Для підгруп прямого добутку скінченної множини груп має місце (теорема п.4.6.4, розд. III):

Якщо £(©) = {<?% І і Є /п-і} - N((5)-відповгдність на сімействі груп <3 = {Сі І і Є Іп} з базою редукції N(<3) = {Дг- | і є Лг-і}, то група

є підпрямим добутком груп Єї,..., (•?„.

Навпаки, якщо Н - підгрупа групи Є — IIі х ... х ІІп, то існує N(0)-відповідність 2(0) = {ті | і Є /п-і} па сімействі 2Я = {Я- | г Є /п-1} з базою редукції И(Ш) = {Я,- | і Є Іп-і} така, що

' С -

Я = ЯІ ХяГ’2 (■ • • *3, ІК-х *2, К) •••))•

Техніка відповідностей в групових парах дозволяє вивчати і нормальну будову напівпрямих добутків.

Напівпрямий добуток Є = Ні х9 Яг назвемо примітивним, якщо будь-яка його нормальна підгрупа або містить Яі, або міститься в нейтралізаторі групи Ні. Достатні умови примітивності напівпрямого добутку дає (теорема іі.4.13, розд. III):

Якщо [Яі] = Ні і Ні^{Ні) - проста група, то для будь-якого ан-тигомоморфізму (р : Но -> АиЬНі напівпрямий добуток Н\ х,Р Яг є примітивним.

Наслідками цієї теореми є основна теорема про нормальну будову повної лінійної групи, а також теорема про нормальну будову групи коліне-ацій [10].

Конструкції матричних сполучень використовуються в §5 для побудови узагальнення вінцевого добутку - конструкцій вінцевого голоморфу та вінцевого біголоморфу. .

Якщо (5, *) - моноїд, X - множина., М*(5) = Мар (X; 5) - моноїд усіх відображень множини X в моноїд 5, то умовами

ї(№) = (їт)/,*Є^тЄГ(4/єВД,

х(/аг3) = (®/)<т, х Є Х,а Є Епсі5,/ Є Мх(5), коректно визначаються компоненти матричного сполучення ' ■, - - -■

НУ/гхБ =

Епсі 5

Мх(5) ; Т(Х)

яке називається вінцевим голоморфом моноїду 5. Аналогічно будується подвійне матричне сполучення .

ах

HWrX-S =

as

ГРО; MX(S)

End S MY{S) T(Y) J

ay

яке називається вінцевим біголоморфом моноїду 5. Спеціалізація описань афінних підмоноїдів та афінних конгруенцій матричних сполучень з §3 дає можливість виділити так звані Р-афінні підмоноїди та головні конгруенції вінцевих біголоморфів.

Для групових застосувань в §5 будується конструкція біголоморфу груп: канонічний підмоноїд •

ГСпЛ П. аНі

Ф = ВН¥/гНіН2 =

End Я!

МНі(Нл) ; End Яг

вінцевого голоморфу ЯИ^гя,Я2; де Яі, Я2 - групи. Елемент

, _ ( ^

<Р2\ ; <^22

назвемо квазіафінним, якщо при будь-яких h, hi, /і2 Є Я2 виконуються умови

ahipn =

(hi * h2)tfi2i = (Лі; h2)q<pn*

*hnp2l * h2ip210hm* * (h\(p22', h.2<P2i)q

ТУт q, a - шрейєрові фактори деякого розширення Ні за допомогою Яг-Множина Ф£ усіх квазіафіннгіх елементів моноі'ду Ф є підмоногдом в Ф (квазіафінний підмоноїд ВЯ"(Яі; Я2) біголоморфу груп Н\, Ні).

Четвертий розділ роботи містить результати про будову напівгруп ендоморфізмів вільних груп та вільних добутків. Основну роль при цьому відіграють вінцеві голоморфи та їх квазіафінні підмоноїди. Отримано повне описання автоівдексатора вільної групи (нахгівгрупи ендоморфізмів на циклічні підгрупи). Описано також будову напівгрупи ендоморфізмів цілком 0-простої напівгрупи. Цим самим узагальнено теорему Pica (Rees

D. On semi-groups // Proc. Cambridge Phil. Soc.-1940.-36.-pp.387-400) про будову груш автоморфізмів цілком 0-простої групи. Виявилося, що напівгрупи ендоморфізмів цілком 0-простих напівгруп, як і напівгрупи ендоморфізмів вільних груп, описуються за допомогою матричних сполучень напівгрупових пар. '

В описанні будови напівгруп ендоморфізмів вільних добутків важливу роль відіграє той факт, що вільні добутки володіють так званими декар-товими напівретр акціями. Напівретракдію 7Г групи С? навиваємо декартовою, якщо вона є сумою попарно ортогональних ретракцій. Групу С називаємо напіврозщеплюваною, якщо вона володіє декартовою напівре-тракцією.

В першому параграфі четвертого розділу описано загальні властивості напіврозщеплюваних груп. Напіврозщеплювані групи описуються в термінах матричних сполучень групових пар з редукцією спільного операнда та в термінах базису шрейерового розщепленім: якщо 7Гі, 7Гг — ортогональні ретракції, то [тгі; яТ* і ж тгд; 7Гг] - базис шрейерового розщеплення відповідної групи. За допомогою базисів шрейерового розщеплення техніка матричної декомпозиції розповсюджується на напіврозщеплю-вані групи, а з ними і на вільні добутки груп, оскільки останні володіють ортогональними ретракціями.

В другому параграфі розглянуто ендоморфізми Менгера вільного добутку Є[х} довільної групи Є та нескінченної циклічної <х>. Ендоморфізми Менгера групи С?[гс] визначаються суперпозицією слів відповідного вільного добутку. ,

Ендоморфізм <р вільного добутку двох груп назвемо напівпроектором, якщо 7г— 7Гі, тто'-рїїз — її, де [тгх; ТГ2; 7Гз] - відповідний базис шрейерового розщеплення. Множина усіх напівпроекторів є піднапівгрупою напівтрупи ендоморфізмів. Доведено, що матрична декомпозиція напівтрупи напівпроекторів є нижньотрикутною. Група С[ж] володіє деяким канонічним базисом шрейерового розщеплення. Виявляється, що (теорема п.2.5, розд. IV):

напгвгрупа ендоморфізмів Менгера групи С?[г] співпадає з напівгру-паю напівпроекторів в канонічному базисі шрейерового розщеплення.

Застосування техніки вінцевих біголоморфів дозволяє отримати ще одне описання напівтрупи ендоморфізмів Менгера групи С?[:г].

Нехай 7гг - ідемпотеятний ендоморфізм групи С[г] на < х >, її — Кег7ггі а - антигомоморфізм, що супроводжує відповідний напівпря-мий розклад, ВЧа{1и,< х >) - квазіафінний підмоноїд біголоморфу ВНУ/гц < х >. Через Мд(Є[х\) позначимо напівтрупу ендоморфізмів Менгера групи (?[г]. Кваоіафінний підмоноїд В'На(и, < х >) визначає матричну декомпозицію моноїду Мд(С[х\) (теорема п.2.б, розд. IV): існує мономорфізм

Мд(С[х])-*ВН*(и,<х>).

В третьому параграфі четвертого розділу описано будову напівтрупи ендоморфізмів вільної груші скінченого рангу.

Нехай (q, а) - шрейєрова система факторів, що визначає вільну групу Fn рангу п як розширення вільної групи F = [F„] ([F„] - комутант групи Fn) за допомогою вільної абельової групи Zn рангу п. Напівтрупа End F„ отримує описання в термінах квазіафінного підмоноїду біголо-морфу ВНШгр(Хп) (теорема п.3.5, розд. IV):

має місце ізоморфізм End Fn = В'Щ(F, Z")

В четвертому параграфі розділу наведено повне описання автоіндек-сатора вільної групи зліченного рангу.

Позначимо через М множину усіх N х N-матриць (j, = {iMj), i,j Є N, що задовольняють умовам:

1) Lhj € {—1; 0; 1}, i,j Є N;

2) для кожної матриці н € М існує LM Є N таке, що лише перших рядків матриці у. є ненульовими;

3) в кожному рядку будь-якої матриці іл Є М не більше одного нену-льовото елементу;

4) якщо /х = (ді;- Є М, то fiijtH+ij Ф -1 при будь-яких і, j Є N.

Матриці, що належать множині М називатимемо .М-матрицями. Число Lfj, з умови 2) називатимемо висотою М-матриці /л Є М.

Для кожного натурального п через Е* позначимо N х N-матрицю (dy) таку, що dij = — 1 при i+j = п і dij = 0 при i+j ф п. Якщо v Є М, Ьц = 1, то покладемо н* = Еіц.

И^-матрицю ц — (nij) висотою І = Ьм називатимемо періодичною з параметром періодичності Р^ = (p;g;r), p,q,r Є N, г > 2, якщо І — 2(р - 1) + qr і виконуються умови:

5) fMj = k=p + sq + i-l, 1 < s < r - 1 при p < і < p+ q~ 1,

j Є N; ■

6) якщо p > 1, to fMj = ~Hkj, k=p + qr — i + 1 при 1 < і < p — 1.

Через W° позначимо множину усіх неперіодичних W-матриць.

Нехай, далі, V - множина усіх ненульових цілочисельних послідовностей Z — Ziigs, що містять принаймні одну скінченну послідовність чисел Z»D • ■ •) Чі (к Є N), які є взаємнопростими. Якщо z Є V, fj,— (/і*;) € УЦ), то через < n\z > позначимо абсолютну величину числа s = Р-ч)2и

поклавпш

' , < ( 1, якщо s < 0,

2)17 ”\-1, якщо»>о!

Множина ЯЯ = {(z; d) ji) j z Є V, d Є №, /х € W0} є налівгрупою відносно

Wj{G) = HWrfi =

операції

(2(1);d1;/x(1))(z(2);d2;M(2)) = (z(1);di < M(I);z(2) > <f2; №*)еМ<2>), (4-2)

де I = Lm(2), ^ = 5(1 + z(2))<j). Тут через E*n — (є,7) позначено таку

N х N-матрицю, що є,-у = — 1, коли і + j — п і = 0 в протилежному випадку. ...

Множина

m) = {(z-,o]ii)\2ev,new0}

є ідеалом напівтрупи 2Я. Через 9H°(Z;№; W°) позначимо факторнапів-групу Pica напівтрупи 271 відносно ідеалу Шіо- Для автоіндексатора Фо(Х) групи F(X) отримуємо таке описання (теорема п.4.4, розд. IV): напівгрупи Фо(Х) та ЗЯ°(Й;№; W0) є ізоморфними.

В §5 четвертого розділу описано будову напівтрупи ендоморфізмів довільної цілком 0-простої напівтрупи. Тут виявлено універсальність методу матричної декомпозиції із застосуванням вінцевих голоморфів.

З кожною регулярною напівгрупою Pica S = М°(І, G,J;P) природньо асоціюється подвійний вінцевий голоморф

ту, mj(g)

End S

Mj(S) T(J)

в якому сендвіч матриця Р визначає афінний підмоноїд £Mf(S). Нехай, . далі, ICj(S) - головна конгруенція моноїду Wj(G)

Будова напівтрупи ендоморфізмів End S — End М°(І, G, J : Р) визначається ізоморфізмом (теорема п.5.15):

End S £ (S)/A#(S).

В п ‘ятому розділі роботи вивчаються майжекільця перетворень груп та деякі майжекільцеві конструкції. При цьому отримано якісно нове узагальнення дистрибутивних майжекільець, узагальнення конструкції прямої суми майжекілець, доведено теорему двоїстості для майжекілець Х.Нейман ендоморфізмів вільних груп та теорему декомпозиції симетричних майжекілець на вільних групах.

В §1 п'ятого розділу визначається та вивчається поняття функціоналу на групі. .

Нехай Gx = Map (G; X) - група усіх відображень множини X в групу G. Х-функціоналом на групі G (або G^-функціоналом) називатимемо відображення

/ : Gx -+ <? : (7 af.

Через (X; О)^ позначимо групу усіх (^-функціоналів. Якщо / Є (X; (?)то його адитивним дефектом назвемо відображення

А/ : (х^ х —>• (З : (сті; ст2) ^

Де . __ ____

(сгі;<Г2)Л/ = (сгг * £г2)/ * сг2/ * <ті/.

На групах Єх і (X; (3)^ в природній спосіб визначається структура НТІ-груп над симетричним майжекільцем МТІО) (маижекільце перетворень групи (?). С^-функціонал / назвемо ^-однорідним, якщо /<р = <р/ для всіх <р € ЕпсІ(3. Множина (Х;С)^о усіх Е-однорідних (Зх-функціоналів є підгрупою в (X; О)?.

Якщо / Є (X; С)Яі, то підгрупа С/((3) групи <3, що породжується множиною Іт Л/ є нормальною в б. Підгрупу (7/(6?) назвемо дефектною підгрупою функціоналу / (або /-дефектною підгрупою), а підгрупу (О)/ що породжується множиною Іт і*1 - /-підгрупою групи Є. Якщо покласти

(-№/) = {(и]<т) \ и Є С/((3),сг Є Єх} ,

4Х:/) = {(и;^)єС№Л|й = а/}, то відносно операції

(«і; ^0 * («2! ог) = .(«і * и2і* (сгі; сг2)Л/; <ті * о-2)

множина <?(хїЛ є групою з нормальною підгрупою які задоволь-

няють твердженню (п.1.5, розд. V):

' (<?)/£ С<*!/72^:Л.

Нехай і*1 = І^Х) - вільна група в алфавіті X, го = (ц,... , Е„)ги Є і*1. Вербальним ш-функціоналом (або ^-функціоналом) групи (З назвемо (З^-функціонал ілш, що визначається умовою

а/Хщ = (агіої,.. •, хпсг)ш, <т Є (3х.

Через (X; <3)У позначимо множину усіх Кгфункціоналів, IV Є і*1. (X; <3)У - підгрупа групи (X; (З),^. Адитивний дефект Кгфункціоналу назвемо вербальним ш-комутатором (або ^-комутатором) елементів сті, оі Є Єх і позначимо через [<гї,<Т2]ш- Дефектну підгрупу Ут-функціоналу Є (Х;<3)К назвемо вербальним іи-комутантом (або 14,-комутантом) і позначимо через [<3]№. К,-комутант групи завжди міститься в її комутанті. Групу С назвемо Уш-абельовою, якщо

[£?]ш = {0}. Отримуємо узагальнення поняття п-абельових груп (Бер, Л.А.Калужнін).

Групу <3 назвемо ^-прямим добутком своїх нормальних підгруп С/і,..., ї/т, якщо <3 = С/і * ... * ит, підгрупи ии. --,ит є попарно по-елементно переставними і при будь-якому 1 < і < т перетин

і/і П (ІІі * ... * ііі-і * І7і+1 * ... * ит)

міститься в центрі групи <3.

Нехай (3 - Кгабельова група, _ вільні твірні, що входять

до запису елемента ш Є Р з ненульовими сумами показників. Через 7гі позначимо ідемпотентні ендоморфізми групи Р а Ітщ =< Х{ >. Підгрупи Іт/л№7Гі , 1 < і < к назвемо головними ги-компонентами групи (3. Посиленням теореми про розташування вербальної підгрупи, що породжується одним словом (Грюк), та доповненням до теореми Л.А.Калужніна про будову п-абельових груп є твердження (п.1.11, розд.

У): ..

вербальна иі-підгрупа будь-якої Уш-абельової групи є И-прямим добутком її головних іи-компонент.

В §2 розділу вивчаються майжекільця, що виникають разом з поняттям вербального ендоморфізму. '

Перетворення т є ЯТ{С) назвемо вербальним іи-ендоморфізмом (або Уш-ендоморфізмом) групи <3, якщо

Множину усіх Уш-ендоморфізмів групи (3 позначимо через £ш(<3). У випадку, коли й є ги-абельовою множина £ш(<3) є підмайжехільцем симетричного майжекільця ЯТ(С) - симетричним майжекільцем Я Ет(С) К,-ендоморфізмів ад-абельової групи (3. Описано зв'язки, які існують між іу-дистрибутивними майжекільця ми та майжекільцями Я£Ь](0).

В §3 п'ятого розділу описано конструкцію визначеної тут напівдис-трибутивної суми майжекілець.

Нехай Я\, Яг - майжекільця з одиницями е\ і, відповідно, е^. Якщо визначено антигомоморфізм

а : М[Яі] —>• БпсіЛі :(^стг

мультиплікативної напівгрупи М(Я\) майжекільця Яг, то операції («і;«і) * (і2\и) = «2), Мг иищ^Ягу

(*і; “2) = (*і • і2<гии, щщ), Ь, Ь є Яі, щ, щ є Я%

перетворюють множину N\ х N2 на майжекільце, що назване в роботі напівдистрибутивною сумою майжекілець М\ та N2 і позначено через

Ретрактором майжекільця Лґ з одиницею е назвемо пару ортогональних ідемпотентів є', є Є Л1", що задовольняють умовам

є' * є = є * є' = е, х — (хе1 * є)(г' * хє), х Є Af, . .

е - дистрибутивний. Напівдистрибутивні суми знаходять свою характе-ризацію в термінах ретракторів (теорема п.3.8, розд. V):

для майжекілець Af,Afi,А/% еквівалентними є твердження:

2. існує ретрактор майжекільця Af, ядерне майжекільце якого є, ізоморфним майжекільцю Af\, а активний образ - майжекільцю N2■ Ядерним майжекільцем ретрактора (є'; є) при цьому називаємо майжекільце, що визначається на А/У мультиплікативною операцією хе' о хе’ = (хє’ * є)х2£і, хі, Х2 6 Af, а активним образом - майжекільце N є.

Напівдистрибутивні суми описуються також в термінах симетричних майжекілець на прямих добутках груп.

В §4 п'ятого розділу вивчаються так звані майжекільця Х.Нейман -майжекільця, що визначаються на множині усіх ендоморфізмів вільної групи.

Нехай £ = EndF(X) - напівтрупа ендоморфізмів вільної групи F — F(X) в не більш ніж зліченному алфавіті X. Якщо для (рі, щ^£ через tpi * позначити ендоморфізм <р такий, ЩО хір = Xtpi * Xlfi2 для всіх х € X, то напівгрупа £ перетворюється на майжекільце Af£(F), яке ми називаємо майжекільцем Х.Нейман вільної групи F(X).

Нехай Fx - група усіх відображень множини X в групу F — F(X). Визначивши взаємно обернені бієкції

d : End F -*• Fx : ip m- dv = <p\x,

E : Fx -^End-P : a H- E„

отримуємо можливість перетворити групу Fx на майжекільце, поклавши <т\ог = dEnEC2, <7і,<72 ^ Fx. Назвемо це майжекільце майжекільцем X-послідовностей групи F і позначимо через AfS(X; F). Має місце теорема двоїстості (п.4.7, розд. V):

майжекільце Х.Нейман є ізоморфним майжекільцю X-послідовностей на групі F: .

Af£(F(X))^AfS(X-,F).

Якщо для всіх г Є NT(F) через г> позначити ендоморфізм групи F такий, що хт = хт1, і Є І, то перетворення і/ : т м- vT — т' виявляється нормальною напівретракцією симетричного майжекільця ArT(F). Це дозволяє отримати теорему декомпозиції симетричного майжекільця//"Д-Р) (п.4.2, розд. V): ’

симетричне майжекільце J\fT(F) на вільній групі F є МlZ-добутком майжекільця X.Нейман N£(F) та групи Х-ануляторів

U(X) = {TGNT(G)\xT = e,xeX}.

Конструкція Л/"71-добутку, таким чином, дозволяє подолати труднощі, зумовлені простотою симетричних майжекілець та обмеженістю в зв'язку з цим загальноалгебраїчних факторизаційних методів.

Висновки. Основні результати роботи стосуються проблеми класифікації майжекілець перетворень за властивостями їх мультиплікатив-них напівгруп. В роботі розвинуто нові методи, що узагальнюють відомі методи теорії напівгруп ендоморфізмів математичних структур (в розумінні Бурбакі) та теорії групових пар, побудовано нові алгебраїчні конструкції. Запропоновані методи та конструкції застосовано до описання структурних властивостей майжекілець перетворень та їх муль-типлікативних напівгруп.

В цілому роботою визначено новий напрямок - мультиплікативна теорія майжекілець перетворень. Її результати є внеском в розв'язання актуальної проблеми структурної класифікації майжекілець перетворень та їх мультиплікатившіх напівгруп. .

Роботи автора оа темою дисертації.

Статті.

[1] Усенко В.М. Про напівпрямі добутки груп //Вісник Київ. Ун-ту. Матем. і мех.- 1985.- 27.- с.87-90.

[2] Усенко В.М. Подгруппы полупрямых произведений групп //Укр. матем. журн.-1991.- т.43, NN7,8.- с.1048-1055.

[3] Усенко В .М. Редуковані гомоморфізми та підгрупи прямих добутків //Доп. АН України. Сер. А.- 1992,- N10.- с.3-5.

[4] Кириченко В.В., Усенко В.М. До загальної теорії адитивних функцій на групах //Доп. АН України. Сер. А.- 1992,- N11.- с.3-5.

[5] Усенко В.М. Скісні гомоморфізму, та загальні добутки груп //Доп. АН України. Сер. А.- 1992 - N12,- с.3-5.

[6] Усенко В.М.Епіфгльтри та однобічні ідеали напівгруп перетворень //Вісник Київ. Ун-ту. Сер. фіз-мат.н.- 1993.- вип.1.- с.60-64.

[7] Усенко В.М. Б-гомоморфізми та загальні добутки груп // Вісник Київ. Ун-ту. Сер. фіз-мат.н.- 1993.- вип.З.- с.81-87.

[8] Усенко В.М., Киртадзе Л.В. О почттольцах с ортодоксальными идемпотентами //Докл. АН Украины. Сер. А.- 1993.- N5.- с.5-8.

[9] Усенко В.М., Киртадзе Л.В. Об одной матричной конструкции в теории почтиколец //Доки. АН. Украины. Сер. А.- 1993.- N7.- с.5-8.

[10] Усенко В.М. Полупрямые произведения и нормальное строение группы коллинеаций //Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры. Киев:Ин-т матем. АН Украины.- 1993.- с.326-344.

[11] Усенко В.М. Почтикольца вербальных эндоморфизмов //Докл. АН Украины. Сер. А.- 1994.- N2.- с.7-9.

[12] Кириченко В.В., Усенко В.М. О почтиколъцах с некоторыми условиями типа дистрибутивности //Докл. АН Украины. Сер. А.- 1994.-N3.- с.7-9.

[13] Усенко В.М. О дистрибутивных почттольцах //Докл. АН Украины. Сер. матем.- 1994.- N7,- с.7-10.

[14] Усенко В.М., Рябухо Е.Н. £>„-аффинные почтикольца //Доп. НАН України. Сер. матем.- 1995.- N1,- с.10-11.

[15] Усенко В.М. Мультиплікативні редукції майжекілець //Доп. НАН України. Сер. матем.- 1995.- N2.- с.10-11.

[16] Усенко В.М., Михайлова І.О. Псевдотрансляціїта адитивна факто-ризацгя майжекілець //Доп. НАН України. Сер. матем.- 1995.- N3.-с.5-6.

[17] Усенко В,М. О некоторых локальных и структурных свойствах почтиколец //Алгебраические исследования. Киев: Ин-т математики. НАН Украины.- 1995.- с. 132-157.

[18] Усенко В.М. Аффинные параметризации полугрупп и полугруппы

ультраэндоморфизмов //Вопросы алгебры. Вып. 10. Гомель: Изд-во Гомельского Ун-та.- 1996.- с. 170-176. .

[19] Усенко В.М. О полуретракциях групп //Вопросы алгебры. Вып.11,-Гомель: Изд-во Гомельского Ун-та.- 1997.- с.141-157.

[20] Усенко В.М., Закусило А.И. Треугольные произведения моноидов //Вопросы алгебры. Вып.12.- Гомель: Изд-во Гомельского Ун-та,-

1998.- с. 13-21.

[21] Усенко В.М. Эндоморфизмы вполне 0-простых полугрупп //Вопросы алгебры. Вып.13 - Гомель: Изд-во Гомельского Ун-та.- 1998.- с.93-120.

[22] Усенко В.М. Эндоморфизмы свободных групп //Вопросы алгебры. Вып.14,- Гомель: Иод-во Гомельского Ун-та.- 1999.- с. 166-172.

Тези доповідей.

[23] Усенко В.М. О группе коллинеаций //IX Всесоюзн. симп. по теории групп (Москва, сентябрь 1984). Тез.докл.- М.: Мат.ин-т АН СССР.-1984,- с.246.

[24] Усенко В.М. Эндоморфизмы вполне О^простых полугрупп //Всесоюзн. алгебр, конф. (Львов, сентябрь 1987). Тез. сообщ., ч.2.- Львов: Ин-т прикл. пробл. мех. и матем. АН УССР.- 1987.- с.289.

[25] Кириченко В.В., Усенко В.М. Об одном представлении почтико-лец //Сиб.школа по многообр. алгебр, систем (Барнаул/май 1988). Тез.сообщ.- Барнаул: Ин-т матем. СО АН СССР.- 1988.- с.ЗЗ.

[26] Usenko VM.Semidirect products and monoids of semilinear transformations //7 konferenca Algebra in logika (Maribor, junij 1989).- Maribor.-1989.- p.31-33.

[27] Усенко В.М. Скрещенные гомоморфизмы и полупрямые произведения //Международн. конф. по алгебре (Новосибирск, август 1989). Тез.докл.- Новосибирск: Ин-т матем. СО АН СССР.- 1989.- с.126.

[28] Кириченко В.В., Усенко В.М. О полупрямых произведениях почтико-лец //VI симп. по теории колец, алгебр и модулей (Львов, сентябрь 1990). Тез.сообщ.- Львов: Львов.гос.ун-т.- 1990.- с.67.

[29] Кириченко В.В., Усенко В.М. Субаддитивные категории и почти-кольца //Международн. конф. по алгебре (Барнаул, август 1991).

зо

Тез. докл. по теории колец, алгебр и модулей.- Новосибирск: Ин-т матем. СО АН СССР.- 1991.- с.121.

[30] Усенко В.М. Об абелевых почтпиколъцах //Тези міжнародн. конф., присвяченої пам'яті акад. М.П.Кравчука (Київ-Луцьк, вересень 1992).- Київ:Ін-т матем. АН України.- 1992.- с.221.

[31] Усенко В.М. Инвариантные сети в диофантовой геометрии и по-чтифилътры // Теоисы IX международн. конф. по топологии и ее приложениям (Киев, сентябрь 1992).- Киев: Ин-т матем. АН Украины.- 1992.- с.44.

[32] Усенко В.М. Почттолъца вербальных эндоморфизмов // III международн. конф. по алгебре памяти М.И.Каргаполова. (Красноярск, август 1993). Тез.докл.- Красноярск: СО РОАН.- 1993.- с.341.

[33] Усенко В.М. Т-коммутанты групп и дистрибутивные почттолъца // Алгебра и анализ. Тез. докл. международн. научной конф., посвященной 100-яетию со пня рожд. Н.Г.Чеботарева (Казань, июнь 1994). Ч.1.- Казань: Каз.Ун-т,- 1994,- с.95.

[34] Усенко В.М. Эндоморфизмы свободных групп // Міжнародна алгебр. конф. присвяч. пам'яті проф. Л.М.Глускіна. (Слов'янськ, серпень 1997).- Київ: Ін-т матем. НАН України.- 1997.- с.22.

[35] Усенко В.М. О категории полугрупповых пар Б.Неймана f/ Друга міжнародна алгебр, конф. в Україні, присвячена пам'яті проф. Л.А.Калужніна. (Київ-Вінниця, травень 1999).- Вінниця:ВДПУ.-

1999.- с. 118-120.

[36] Усенко В.М. Полуретракции моноидов //Ibid.- с.120-121.

[37] Usenko V.M. On endomorphisms of free groups // II Международн. конф. по теории полугрупп (С.-Петербург, июль 1999).- С.Петербург: ’’Северный очаг”.- 1999.- с.81.

Усенко В.М. Напівтрупи та майжекільця перетворень.- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06. - алгебра та теорія

чисел.- Київський Університет імені Тараса Шевченка, Київ.

Захищається 22 наукових роботи, що містять результати з теорії напівтруп та майжекілець перетворень.

В роботі вирішуються питання класифікації майжекілець перетворень за властивостями їх мульйиплікативних напівтруп.

Визначено напівтрупові та майжекільцеві конструкції, в термінах яких описано структурні властивості деяких класів напівтруп ендоморфізмів та майжекілець перетворень.

Ключові слова: напівтрупа, майжекільце, напівтрупа ендоморфізмів, майжекільце перетворень, напівгрупова пара, напівгрупова конструкція, структурні властивості напівтруп та майжекілець перетворень.

Усепко В.М. Полугруппы и почтикольца преобразований.- Рукопись.-

Диссертация на соискание ученой степени доктора физикоматематических наук по специальности 01.01.06. - алгебра и теория чисел,- Киевский Университет имени Тараса Шевченко, Киев.

Защищается 22 научные работы, содержащие резльтаты по теории полугрупп и почтиколец преобразований.

В работе решаются задачи классификации почтиколец преобразований с помощью свойств их мультипликативных полугрупп. '

Определены полугрупповые и почтикольцевые конструкции, в терминах которых описаны структурные свойства некоторых классов полугрупп эндоморфизмов и почтиколец преобразований.

Ключевые слова: полугруппы, почтикольца, полугруппы эндоморфизмов, почтикольца преобразований, полугрупповые пары, полугрупповые конструкции, структурные свойства полугрупп и почтиколец преобразований.

Usenko V.М. Semigroups and near-rings of transformations.- Manuscript.

Thesis for a.doctor's degree by speciality 01.01.06. - Algebra and theory of numbers.- Kyiv Taras Shevchenko University, Kyiv.

22 scientific papers, that contained the results in the theory of transformation semigroups and in the theory of near-rings of transformations are defended.

The classification problems of near-rings of transformations by the properties of its multiplicative semigroups are solved.

The semigroups and the near-ring constructions are defined and used for describing of structure properties of some classes endomorphisms semigroups and transformations near-rings.

Key words: semigroups, near-ring, endomorphisms semigroups, transformations near-rings, semigroups pair, semigroups construction, structures properties of semigroups and near-rings of transformations.