Поляризационные и мезоскопические эффекты при распространении электромагнитных волн в многослойных структурах

Игнатов, Антон Игоревич

Автореферат диссертации на тему "Поляризационные и мезоскопические эффекты при распространении электромагнитных волн в многослойных структурах"

На правах рукописи

ИГНАТОВ Антон Игоревич

ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЕ И МЕЗОСКОПИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ ПРИ РАСПРОСТРАНЕНИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В МНОГОСЛОЙНЫХ СТРУКТУРАХ

01.04.13 - электрофизика, электрофизические установки

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических Наук

2 9 СЕН 2011

Москва-2011

4854746

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте теоретической и прикладной электродинамики РАН.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Мерзликин Александр Михайлович

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Мурзина Татьяна Владимировна

кандидат физико-математических наук, научный сотрудник Рыбин Михаил Валерьевич

Учреждение Российской академии наук Институт спектроскопии РАН.

00

Защита состоится "19" октября 2011 г. в М ч. мин. на

заседании Диссертационного совета ДМ 002.262.01 при Учреждении Российской академии наук Институте теоретической и прикладной электродинамики РАН при участии Учреждения Российской академии наук Объединенного института высоких температур РАН по адресу: г. Москва, ул. Ижорская, 13, экспозал ОИВТ РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Объединенного института высоких температур РАН.

Автореферат разослан "_!£_" 03 2011 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета кандидат физико-математических наук

А.Т. Кунавин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

В настоящее время для создания элементной базы электроники и оптоэлектроники возникла необходимость в новых искусственных структурах и материалах. Все возрастающие требования к миниатюризации и быстродействию устройств делают чрезвычайно актуальными исследования метаматериалов и фотонных кристаллов. Среди возможных применений таких систем - создание элементной базы фотоники - оптических волноводов, суперпризм, идеальных линз, импедансных поверхностей и т.д.

При этом наиболее привлекательными оказываются одномерные многослойные системы, что связано как с более простой технологией их изготовления, так и с тем, что многие интересующие устройства (супер и гиперлинзы, концентраторы энергии, диэлектрические зеркала) работают более эффективно будучи созданными на основе слоистых систем, т.к. влияние диссипации не так велико, как в двумерных и трехмерных структурах.

Значительная часть результатов по распространению электромагнитных (ЭМ) волн в периодических многослойных структурах (фотонных кристаллах) и неупорядоченных структурах получена на основании аналогии между уравнениями Максвелла и уравнением Шредингера. Благодаря этой аналогии появились теории фотонных кристаллов, диффузии света, слабой и андерсоновской локализации света. Однако такая аналогия неполна, в частности, в связи с векторной природой ЭМ волн. Наиболее ярко эта природа проявляется при применении анизотропных или гиротропных материалов. Интерес к системам на основе таких материалов обусловлен возможностью управления свойствами анизотропных и гиротропных материалов при помощи внешних электрических и магнитных полей. Эта возможность, в свою очередь, позволяет создавать управляемые устройства, включая устройства с управляемым переходом в режим, в котором проявляются эффекты невзаимности распространения волн.

Настоящая работа посвящена исследованию фундаментальных явлений, происходящих в многослойных диэлектрических структурах при распространении по ним ЭМ волн. Основное внимание уделяется эффектам, обусловленным векторной природой ЭМ волн, возникающим в особенности в структурах на основе анизотропных или гиротропных материалов.

Цели работы

1. Исследовать зонную структуру одномерного фотонного кристалла (ФК) из гиротропных и/или анизотропных материалов. В частности определить условия, при которых в спектре одномерного ФК формируется замороженная мода, т.е. мода, для которой групповая скорость и ее дисперсия обращаются в нуль.

2. Изучить свойства вырожденных запрещенных зон в одномерных фотонных кристаллах, материал слоев которых обладают одновременно анизотропией (одноосные кристаллы) и наведенной внешним магнитным полем гиротропией. Вырожденные запрещенные зоны образуются благодаря брэгговскому отражению с участием одновременно обыкновенных и необыкновенных гармоник в анизотропных слоях [1,2]. Эти гармоники не являются независимыми из-за разных ориентаций оптических осей соседних слоев либо из-за гиротропии слоев. Вырожденные зоны -проявление векторного характера электромагнитных волн - не возникают в ФК из изотропных материалов, а также для скалярных волн. Изучить возможность управления вырожденными запрещенными зонами с помощью магнитного поля.

3. Исследовать вырожденные запрещенные зоны периодических волноводов из анизотропных материалов (с периодически меняющейся геометрией сечения либо периодически меняющимися параметрами материала волновода). Изучить возможность применения таких волноводов в качестве фильтров (аналогичных фильтрам Шольца), управляемых внешними полями.

4. Исследовать мезоскопические эффекты в анизотропных и гиротропных средах, в частности, исследовать андерсоновскую локализацию света и воздействие случайных возмущений параметров ФК из анизотропных и гиротропных материалов на их зонную структуру.

5. Разработать описание одномерных гетерогенных сред, позволяющее придать физический смысл эффективным материальным параметрам, извлекаемым из измерений 5-матрицы в дальних полях.

Научная новизна

1. Найден физический механизм формирования замороженной моды к4 в одномерном ФК, т.е. моды, для которой групповая скорость и ее дисперсия обращаются в нуль и которая реализуется на частоте стационарной точки со-а>' (к-к')* дисперсионной зависимости.

2. Для случая ФК с периодом из двух анизотропных одноосных слоев, обладающих также и гиротропией, получено аналитическое выражение для ширин вырожденных запрещенных зон [2] (т.е. запрещенных зон, формирующихся в результате брэгговского отражения, связанного с гибридизацией обыкновенных и необыкновенных гармоник в анизотропных слоях.)

3. Впервые рассмотрена андерсоновская локализация света в случайных системах из анизотропных материалов. Показано, что локализация в периодической в среднем системе (т.е. в ФК, в параметры которого внесены малые случайные возмущения) из анизотропных одноосных слоев качественно отличается от локализации в периодических в среднем системах из изотропных материалов.

4. Показана стохастизация поляризации волн по мере их распространения по случайной системе анизотропных слоев с беспорядком в ориентациях осей анизотропии. Показано, что существование характерного масштаба, на котором происходит стохастизации поляризации. Данный масштаб является не зависимой от длины локализации характеристикой случайной системы.

5. Предложен новый управляемый внешним электрическим полем оптический фильтр, представляющий собой диэлектрический планарный гофрированный волновод из электрооптического материала, и рассчитана зонная структура данного волновода. По принципу работы предложенный фильтр является фильтром Шольца, однако волноводная конфигурация фильтра значительно более проста в изготовлении по сравнению с многослойными фильтрами Шольца из электрооптического материала.

6. Рассмотрена возможность учета структуры ближних полей вблизи поверхности образца одномерного ФК из диэлектрических материалов в длинноволновом пределе с помощью модификации граничных условий для усредненных полей. Показано, что модификация граничных условий с помощью введения эффективных поверхностных электрических и магнитных токов позволяет устранить зависимость эффективных показателя преломления и импеданса от размера системы. Однако мезоскопичность эффективных параметров не удается полностью устранить, т.к. эффективные поверхностные проводимости оказываются зависящими от свойств материала слоев на границе ФК. Подобрать не проявляющие мезоскопического поведения эффективные параметры можно лишь приближенно. При этом значение эффективного импеданса совпадает со статическим, эффективного коэффициента преломления - с рытовским, эффективные поверхностные проводимости равны нулю. Различие между коэффициентами прохождения и отражения для однородного и исходного

неоднородного образцов пропорционально оптической толщине периода ФК.

Достоверность результатов

Достоверность результатов подтверждается сравнением аналитических выводов с результатами численных расчетов, правильность которых, в свою очередь, подтверждается сравнением с известными аналитическими решениями в простых случаях.

Научная и практическая ценность

Исследование физических механизмов формирования замороженной моды к* может быть полезно ввиду практических возможностей ее применения в нелинейно-оптических приложениях [3,4] и линиях задержки.

Исследование андерсоновской локализации ЭМ волн в многослойных структурах из анизотропных материалов имеет фундаментальное значение. Однако оно помогает понять, как влияют малые случайные отклонения параметров реальных систем из анизотропных материалов на их спектральные характеристики. Актуальность данного исследования определяется трудностью контроля ориентаций оптических осей слоев при изготовлении систем из анизотропных материалов.

Рассмотренный в диссертации гофрированный планарный волновод из электрооптического материала может иметь практическое применение в качестве управляемого затвора, интегрируемого в оптический волновод. Данный затвор значительно более прост в изготовлении, чем аналогичные по принципу действия многослойные фильтры Шольца из электрооптических материалов, при возможности столь же эффективного переключения между режимами прозрачности и непрозрачности.

Исследование возможности введения модифицированных граничных условий для усредненных полей для гомогенизации многослойных диэлектрических структур имеет фундаментальное значение. С появлением возможности создания искусственных композитных материалов, обладающих подчас свойствами, которые не проявляет ни одна из компонент композита, встает вопрос о возможности введения для таких материалов электродинамических характеристик, используемых для однородных материалов, таких как диэлектрическая и магнитная проницаемости. В диссертации исследуется вопрос об эффективных параметрах для одномерных диэлектрических ФК.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Замороженная мода к4 в одномерном ФК (мода, для которой групповая скорость и ее дисперсия равны нулю) формируется на частоте касания границ бриллюэновской запрещенной зоны и вырожденной запрещенной зоны [2] (т.е. запрещенной зоны, образующейся благодаря брэгговскому отражению, связанному с гибридизацией обыкновенных и необыкновенных гармоник в анизотропных слоях).

2. В случае ФК с периодом из двух анизотропных одноосных слоев, обладающих также и гиротропией, вырожденная запрещенная зона, сформированная при наличии отклонения оптических осей слоев (приводящего к связи обыкновенных и необыкновенных гармоник в разных слоях ФК), уширяется при включении внешнего магнитного поля, наводящего гиротропию в слоях. Чем больше ширина вырожденной 33 в отсутствие магнитного поля, тем она менее чувствительна к управлению магнитным полем.

3. При распространении ЭМ волн в случайной системе магнитодиэлектрических слоев с одинаковым характеристическим импедансом под углом к слоям длина локализации не зависит от поляризации волн (е- или р-) для любого угла падения, несмотря на различные для разных поляризаций входные импедансы слоев при наклонном падении.

4. Влияние малых возмущений параметров ФК из анизотропных материалов на их зонную структуру качественно иное, чем в случае ФК из изотропных материалов: на частотах, принадлежавших разрешенным зонам до внесения малых возмущений, возможно появление локальных максимумов в зависимости индекса Ляпунова от частоты, растущих при увеличении беспорядка в ориентациях осей анизотропии слоев.

5. Поляризация волны, распространяющейся в системе одноосных слоев со случайно меняющимися ориентациями оптических осей, стохастизуется, так что статистически поляризация волны, прошедшей через достаточно толстую случайную анизотропную систему, оказывается не зависящей от поляризации падающей на систему волны. Наряду с длиной андерсоновской локализации существует другой независимый масштаб, характеризующий одномерную случайную систему анизотропных слоев, - длина, на которой стохастизуется поляризация распространяющейся в случайной системе волны.

6. Гофрированный планарный волновод из электрооптического материала можно использовать в качестве управляемого внешним электрическим

полем . оптического фильтра, аналогичного по принципу действия многослойному фильтру Шольца. Фильтр в волноводной конфигурации значительно более прост в изготовлении по сравнению с многослойными фильтрами Шольца из электрооптического материала, а также обладает более компактными поперечными размерами (порядка длины волны), чем многослойные фильтры Шольца и фильтры Фабри-Перо, и может быть легко интегрирован в оптический волновод.

7. Модификация граничных условий для усредненных полей с помощью введения эффективных поверхностных электрических и магнитных токов с целью учесть скачок усредненных полей на границе образца одномерного ФК не позволяет полностью устранить мезоскопическое поведение [5] эффективных параметров, т.к. эффективные поверхностные проводимости оказываются зависящими от свойств материала слоев на границе ФК. Подобрать не проявляющие мезоскопического поведения эффективные параметры можно лишь приближенно. При этом значение эффективного импеданса совпадает со статическим, эффективного коэффициента преломления - с рытовским, эффективные поверхностные проводимости равны нулю. Различие между коэффициентами прохождения и отражения для однородного и исходного неоднородного образцов пропорционально оптической толщине периода ФК.

Апробация результатов

Результаты докладывались на следующих международных и российских

конференциях:

1. Международная конференция «0птика-2009», 19-23 октября 2009 г., Санкт-Петербург.

2. 52-я научная конференция МФТИ, 27-30 ноября 2009 г., Москва.

3. Одиннадцатая ежегодная научная конференция ИТПЭ РАН, 29 марта -1 апреля 2010 г., Москва.

4. Школа-семинар «Волны-2010», 24-29 мая 2010 г., Звенигород.

5. Международная конференция «Фундаментальные проблемы оптики - 2010», 18-22 октября 2010 г., Санкт-Петербург.

6. 53-я научная конференция МФТИ, 24-29 ноября 2010 г., Москва.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 14 работ, в том числе 6 статей в

рецензируемых научных журналах и изданиях, определенных ВАК.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 117 наименований. Общий объем 127 страниц, в том числе 35 рисунков и 1 таблица.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждается актуальность темы работы, научная новизна, указаны цели, а также положения, выносимые на защиту.

В первой главе исследованы некоторые свойства запрещенных зон в одномерных ФК из анизотропных и/или гиротропных материалов.

Свойства вырожденных 33 в ФК из материалов, обладающих анизотропией и гиротропией

Для возникновения вырожденной 33 в ФК необходимо, во-первых, чтобы некоторые из его слоев были изготовлены из анизотропного материала (в диссертации рассматривается случай одноосных материалов с оптичёскими осями, лежащими в плоскости слоев), во-вторых, чтобы волны различных (обыкновенной и необыкновенной) поляризаций в анизотропных слоях ФК были гибридизованы (т.е. каждая блоховская волна имела обыкновенные и необыкновенные компоненты поляризации в анизотропных слоях)[1,2]. Это возможно, по крайней мере, в двух случаях при падении волны по нормали к слоям: при различных ориентациях оптических осей соседних слоев [1] или при наличии гиротропных слоев [2] (в этом случае гибридизация возможна и при одинаковых ориентациях оптических осей всех слоев и происходит благодаря вращению плоскости поляризации в гиротропных слоях). Эти два механизма гибридизации обыкновенной и необыкновенной компонент в слоях ФК приводят к формированию вырожденной 33 в окрестности одной и той же частоты. Поэтому возникает вопрос о том, какими будут свойства вырожденной 33 при наличии обоих механизмов гибридизации, в частности, какой будет ширина вырожденной 33, может ли один механизм гибридизации компенсировать другой, так чтобы в итоге вырожденная 33 закрылась.

В диссертации рассмотрены свойства вырожденной 33 при наличии двух механизмов гибридизации обыкновенной и необыкновенной компонент в анизотропных слоях: связанного с отклонением оптических осей соседних слоев и связанного с гиротропией слоев. В случае ФК малого контраста (малое отклонение параметров ФК от их средних значений) с периодом из двух слоев

аналитически (с помощью теории возмущений) показано, что вырожденная запрещенная зона, порожденная одним механизмом гибридизации, уширяется при включении также и второго механизма (например, при включении внешнего магнитного поля). Причем ее ширина однозначно определяется только ширинами вырожденных 33 при наличии каждого из механизмов гибридизации в отдельности и не зависит явно от остальных параметров ФК.

Формирование замороженной моды к4 в одномерном ФК

Впервые возможность существования т.н. замороженной моды в спектре ФК была показана Витебским и Фиготиным [3,4] в рамках численного эксперимента. Замороженной модой они назвали моду с нулевыми групповой скоростью и ее дисперсией. Таким образом, волновой пакет на частотах вблизи частоты замороженной моды не распространяется в ФК и не теряет своей формы. В частности, в [4] были подобраны такие параметры ФК, что на границе запрещенной зоны дисперсионная зависимость описывается параболой 4-й степени а)-со'<*к4 на границе зоны Бриллюэна. Вблизи частоты со' групповая скорость волн, а также вторая производная частоты по волновому числу близки к нулю.

В диссертации рассмотрены физические условия, при которых дисперсионные зависимости ФК имеют точку, вблизи которой со-со' (к-к')4 и, следовательно, формируется замороженная мода (будем называть такую замороженную моду замороженной модой к4). Показано, что замороженная мода к4 формируется на частоте касания границ вырожденной и бриллюэновской (реализующейся на границе зоны Бриллюэна) запрещенных зон.

Вторая глава посвящена исследованию поляризационных эффектов при андерсоновской локализации ЭМ волн в одномерных системах. В одномерных системах локализация ЭМ волн может зависеть от поляризации, например, в случае падения под углом на случайную систему слоев из изотропных материалов либо в случае системы из анизотропных и гиротропных материалов.

Отметим, что исследование андерсоновской локализации в системах из анизотропных материалов было проведено впервые. В начале главы дан обзор литературы по андерсоновской локализации ЭМ волн. После следует изложение результатов собственных исследований.

Поляризационные эффекты при локализации ЭМ волн в случайной системе магнитодиэлектрических слоев

Поляризационным эффектам при андерсоновской локализации ЭМ волн в одномерных случайных системах слоев (при наклонном падении волн) посвящены, например, работы [6-8]. В [6] показано, что длина локализации в системе диэлектрических немагнитных слоев зависит от поляризации волны. Для в-поляризованной волны длина локализации уменьшается с ростом угла падения, а р-поляризованная волна может даже делокализоваться, например, в случае системы со слоями из двух различных материалов при падении волны под углом, соответствующим углу Брюстера для этой пары материалов.

В диссертации рассмотрена задача локализации ЭМ волн при падении под углом на случайную систему слоев магнитодиэлектриков. В этом случае угол Брюстера может существовать для р-поляризации, для я-поляризации или не существовать ни для одной поляризации. В частности, был рассмотрен случай случайной системы, все слои которой имеют одинаковый характеристический импеданс. При этом толщины и коэффициенты преломления случайно меняются от слоя к слою. Равенство характеристических импедансов слоев - единственно возможная ситуация, когда эффект Брюстера реализуется для всех поляризаций, причем угол Брюстера для всех поляризаций равен нулю. Поэтому нормально падающая волна делокализована в рассмотренной в диссертации системе, независимо от поляризации падающей волны. При увеличении угла падения длина локализации уменьшается (см. рис. 1, на котором изображена зависимость индекса Ляпунова - величины, обратной длине локализации, - от угла падения). Обнаружено, что, несмотря на различие входных импедансов слоев для р- и в-поляризованных волн при наклонном падении, длина локализации от поляризации не зависит.

Стохастизация поляризации волн при их распространении в системе слоев из одноосных материалов со случайно ориентированными оптическими осями

Рассмотрено распространение волны по системе одинаковых одноосных слоев со случайной ориентацией оптических осей, разбросанных в плоскости слоев. Была проанализирована поляризация прошедшей через такую систему волны при различных линейных поляризациях падающей волны в зависимости от толщины системы.

Показано, что в случае системы с малым количеством слоев поляризация прошедшей волны слабо отличается от поляризации падающей волны (рис. 2). Соответственно, поляризация прошедшей волны сильно отличается для разных (взаимно перпендикулярных) поляризаций падающей волны.

У

0,008

0,006

0,004 -

0,002

0,000

0,0

0.5

1,0

1,5

а, пи)

Рис. 1. Зависимости индекса Ляпунова (нормированного на среднюю толщину слоев) для е- и р-поляризованных падающих волн (соответственно, сплошная и точечная кривые) от угла падения а (по отношению к нормали к слоям) волны из вакуума на систему слоев с одинаковым характеристическим адмитансом, но случайными толщинами и коэффициентами преломления

Рис. 2. Функции распределения угла поворота эллипса поляризации прошедших волн. Угол 0=0 соответствует г-поляризации волн, # = ±я/2 - у-поляризации волн (нормаль к слоям соответствует оси х). Черные и серые кривые отвечают разным поляризациям (соответственно, у и 2) падающей волны. Точечные кривые - для систем с малым количеством слоев, сплошные - для систем с большим количеством слоев. Видно, что для тонких систем черная и серая кривые сильно отличаются, их максимумы находятся на углах поляризации соответствующих падающих волн. Сплошные кривые почти совпадают, т.е. распределение поляризации прошедшей через толстую систему волны не зависит от поляризации падающей волны

При увеличении толщины системы функции распределения угла поворота эллипса поляризации прошедшей волны почти не зависят от поляризации

№

1,5--

1,0--

-1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 в, гаё

падающей волны. Т.о. поляризация волны стохастизуется по мере ее распространения по случайной системе анизотропных слоев.

Оказалось, что эффект стохастизации поляризации волны имеет характерный масштаб, то есть расстояние (например, по метрике ¿2) между функциями распределения, характеризующими поляризацию прошедшей волны, экспоненциально стремится к нулю при увеличении толщины системы. «Длина стохастизации поляризации» является не зависящим от длины локализации масштабом, характеризующим случайную систему. Это подтверждается различными частотными зависимостями этих длин (рис. 3).

Рис. 3. Зависимости индекса Ляпунова (серая кривая, левая шкапа) и обратной длины стохастизации поляризации (черная кривая, правая шкала) от частоты

Андерсоновская локализация в одномерных периодических в среднем системах со слоями из анизотропных материалов

В диссертации рассмотрена локализация в случайных системах, представляющих собой ФК со слоями из одноосных материалов, в ориентации оптических осей которых внесены малые случайные отклонения. Влияние малых возмущений, вносимых в ориентации изначально параллельных оптических осей, качественно отличается от влияния возмущений материальных параметров и толщин слоев, которое было рассмотрено в классической работе [9] в случае ФК из изотропных материалов. В [9] было показано, что малое случайное возмущение параметров ФК из изотропных материалов приводит тому, что зависимость индекса Ляпунова от частоты представляет собой слабо размытую зависимость мнимой части блоховских волновых чисел от частоты. Именно, во всей области разрешенных зон строго периодической системы появляется ненулевой индекс Ляпунова (аналогом его

в случае периодической системы является мнимая часть блоховского волнового числа, также характеризующая глубину проникновения волны в слоистую структуру), но он сравнительно мал. На частотах же запрещенных зон невозмущенного ФК при внесении малых возмущений индекс Ляпунова остается относительно большим и именно на этих частотах достигает максимума.

В диссертации показано, что в случае системы с анизотропными компонентами зависимость индекса Ляпунова может иметь локальные максимумы на частоте вдали от запрещенных зон строго периодической системы (рис. 4).

Объяснить возникновение данных максимумов можно, пользуясь представлениями, что причиной андерсоновской локализации является наличие среди участков (несколько идущих подряд слоев) случайной системы брэгговских отражателей [10], т.е. таких участков, которые, взятые в качестве периода, образуют новый ФК, имеющий запрещенную зону на рассматриваемой частоте. В системе без специально заданных корреляций между параметрами слоев наличие брэгговских отражателей среди участков системы является также и достаточным условием андерсоновской локализации. Причиной возникновения рассматриваемого пика (см. рис. 4) является наличие в системе брэгговских отражателей, связанных не с бриллюэновской, а с вырожденной запрещенной зоной. Для формирования данной 33 необходима меняющаяся от слоя к слою ориентация оптических осей (если нет гиротропии).

Как видно из рис. 4, длины локализации совпадают для разных (взаимно перпендикулярных) поляризаций падающей волны. Это объясняется вышеописанным эффектом «забывания» (стохастизации) волной своей исходной поляризации.

Если в невозмущенном ФК уже было отклонение оптических осей соседних слоев и существовали вырожденные 33, то при внесении малого беспорядка в ориентации оптических осей вырожденная 33 оказывается устойчивой, т.е. индекс Ляпунова на частотах вырожденной 33 мало отличается от его аналога для регулярной системы - мнимой части блоховского волнового числа.

Рис. 4. Зависимости индекса Ляпунова при двух взаимно перпендикулярно поляризованных падающих волнах (сплошная и точечная кривые) от частоты к0<1. Данный диапазон частот лежит в разрешенной зоне соответствующей строго периодической системы (без разброса ориентации оптических осей слоев): правый край ближайшей слева бриллюэновской 33 - на частоте к0с! =0,695, левый край ближайшей справа бриллюэновской 33 - на частоте кас1 ~ 1,137

В третьей главе исследуется зонная структура планарного гофрированного волновода из электрооптического материала и возможность применения такого волновода в качестве управляемого оптического затвора.

Ранее уже предлагались фильтры для ЭМ волн, принцип действия которых основан на непропускании волн на частотах вырожденных 33. Еще в 1954 г. Шольцем был предложен фильтр, представляющий собой периодическую систему слоев из одноосных материалов [11]. В такой системе различия в ориентациях оптических осей слоев приводит к формированию вырожденной 33 (рис. 5). В 2002-м г. в теоретической работе [12] было предложено использовать схему Шольца для создания управляемого внешним электрическим полем оптического фильтра из электрооптических материалов.

Однако недостаток многослойной конструкции управляемого оптического фильтра связан со сложностью ее изготовления. Создание слоистой системы из электрооптических или магнитооптических материалов требует отжига каждого нового нанесенного слоя. Это ведет к искажению формы слоев и к практической невозможности создания систем с несколькими десятками и более слоев.

В качестве альтернативы в диссертации предложено использовать волноводную конфигурацию фильтра. Многослойная система заменяется гофрированным планарным волноводом. Изготовление такой структуры

требует напыления только одного слоя материала и нанесения гофра на одну из его сторон. Это может быть легко сделано с помощью фокусированного ионного пучка. При этом удается достичь очень хорошего качества структуры.

Рис. 5. Схема фильтра Шольца. Данный фильтр представляет собой систему слоев из анизотропных одноосных материалов с периодически меняющимися ориентациями оптических осей в плоскости слоев. Ориентации оптических осей показаны векторами е

В диссертации рассмотрен планарный гофрированный диэлектрический волновод (рис. 6). При включенном внешнем электрическом поле одна из главных осей тензора ё направлена вдоль оси Ох, две другие отклонены на некоторый угол от осей Оу и Ог. В отсутствие поля материал волновода изотропен.

Рис. 6. Схема рассматриваемого планарного гофрированного волновода из анизотропного материала. Одна из главных осей тензора е направлена вдоль оси Ох, две другие отклонены на некоторый угол от осей Оу и Ог. Волна в волноводе распространяется вдоль оси Ох

С помощью метода поперечных сечений [13] (по сути - метод связанных мод) в приближении слабой анизотропии и малой по сравнению с толщиной волновода амплитуды гофра на одной из поверхностей волновода рассчитаны параметры вырожденной 33. Связь ТЕ и ТМ мод, необходимая для

возникновения вырожденной 33, осуществляется благодаря наведенной внешним электрическим полем анизотропии материала волновода. Таким образом, с помощью внешнего электрического поля можно открывать и закрывать вырожденную 33 и тем самым управлять пропускающей способностью волновода на частотах вырожденной 33.

Расчеты показали, что для реальных параметров материалов и величин электрооптического эффекта порядка 5% можно достичь затухания волны в е раз на масштабе порядка 80 периодов волновода (или 70 длин волн). Время переключения между режимами прозрачности и непрозрачности соответствует времени электрооптического отклика параметров материала, т.е. порядка 10"® с.

Итак, предложена принципиальная схема оптического затвора, управляемого внешним электрическим полем на основе гофрированного планарного волновода из электрооптического материала. Волноводная конфигурация фильтра значительно более проста в изготовлении по сравнению с многослойными фильтрами Шольца из электрооптического материала, а также обладает более компактными поперечными размерами (порядка длины волны), чем многослойные фильтры Шольца и фильтры Фабри-Перо, и может быть легко интегрирована в оптический волновод.

В четвертой главе исследуется возможность гомогенизации одномерных ФК из изотропных диэлектрических материалов с помощью модификации граничных условий для усредненных полей, учитывающей эффективные поверхностные электрические и магнитные токи. Попытка обойтись только двумя эффективными параметрами - коэффициентом преломления и импедансом - и обычными максвелловскими граничными условиями приводит к тому, что эффективные параметры зависят от толщины образца [5], импеданс не стремится к некоторому значению при росте толщины образца. Причем в некоторых случаях он может обладать мнимой частью.

Ясно, что усредненные поля в гомогенизированном образце не отражают микрораспределений полей в реальном образце вблизи его границ. Это приводит к тому, что поля падающей извне, отраженной от образца и прошедшей волн (по амплитудам и фазам которых делается вывод об эффективных параметрах образца), в общем случае не должны удовлетворять максвелловским граничным условиям непрерывности с усредненными внутри образца полями. Вместо этого усредненные поля испытывают скачок на границе образца. Одна из возможностей учесть данный скачок - модификация условий на границах гомогенизированного образца и введение дополнительных эффективных параметров - электрической и магнитной поверхностных

проводимостей. Это позволяет устранить зависимость эффективных параметров от толщины системы и ненулевую мнимую часть эффективного импеданса. Однако поверхностные проводимости оказываются зависящими от материалов слоев ФК, лежащих на границах образца. Найти эффективные параметры, не проявляющие мезоскопического поведения можно лишь приближенно (рассматривался лишь вышеописанный набор эффективных параметров - импеданс, коэффициент преломления, электрические и магнитные поверхностные проводимости). Это приводит к рытовскому значению коэффициента преломления, статическому значению импеданса и нулевым поверхностным токам. При этом точность совпадения коэффициентов отражения и преломления в случае образца ФК и гомогенизированного образца - порядка оптической толщины периода ФК.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Изучен физический механизм формирования замороженной моды к4 в одномерном ФК, т.е. моды с нулевой групповыми скоростью и ее дисперсией, существующей на частоте, вблизи которой дисперсионная зависимость аппроксимируется параболой 4-й степени а>-т «(к-к')4. Показано, что частота со* формирования замороженной моды к* соответствует частоте касания границ бриллюэновской запрещенной зоны и вырожденной запрещенной зоны [2], т.е. запрещенной зоны, образующейся в результате брэгговского отражения, связанного с гибридизацией обыкновенных и необыкновенных гармоник в анизотропных слоях.

2. Аналитически изучено влияние внешнего магнитного поля на ширину вырожденной 33 в одномерных ФК, слои которых обладают одновременно анизотропией' (образованы из одноосных кристаллов) и наведенной внешним магнитным полем гиротропией. В случае ФК с периодом из двух слоев вырожденная 33, сформированная в связи с различием ориентации оптических осей слоев периода, уширяется при включении внешнего магнитного поля, наводящего гиротропию в слоях. Чем больше отклонение оптических осей слоев периода друг от друга, тем менее чувствительна вырожденная 33 к управлению магнитным полем.

3. Изучена андерсеновская локализация ЭМ волн в случайной одномерной системе магнитодиэлектрических слоев с одинаковым характеристическим импедансом, но случайными коэффициентами преломления и толщинами слоев, при наклонном падении волн. Показано, что длина локализации монотонно уменьшается при росте угла падения волны и не зависит от

поляризации волны (б- или р-), несмотря на различия входных импедансов слоев для разных поляризаций при наклонном падении.

4. Изучена андерсоновская локализация в периодической в среднем системе анизотропных одноосных слоев. Показано ее качественное отличие от локализации в периодических в среднем системах из изотропных материалов: в системе анизотропных слоев на частотах разрешенных зон соответствующей строго периодической системы возможно появление локальных максимумов в зависимости индекса Ляпунова от частоты. Данные максимумы растут при увеличении беспорядка в ориентациях оптических осей слоев и не зависят от поляризации падающей на систему волны.

5. Показано, что поляризация волны, распространяющейся по системе одноосных слоев со случайно меняющимися ориентациями оптических осей, стохастизуется по мере проникновения волны вглубь системы. Показано существование характерного масштаба - длины, на которой стохастизуется поляризация волны. Данный масштаб является не зависимой от длины локализации величиной. Стохастизация поляризации волны объясняет, в частности, независимость длины локализации от поляризации падающей на систему волны, упомянутую в предыдущем пункте.

6. Показана возможность управления открыванием и закрыванием вырожденных 33 в гофрированном планарном волноводе из электрооптического материала с помощью постоянного внешнего электрического поля. Это может быть использовано для создания оптического затвора, управляемого внешним электрическим полем. Волноводная конфигурация затвора значительно более проста в изготовлении по сравнению с многослойными фильтрами Шольца из электрооптического материала, аналогичными по физическому принципу действия.

7. Рассмотрена возможность учета структуры ближних полей вблизи поверхности образца одномерного ФК из диэлектрических материалов с помощью модификации граничных условий для усредненных полей. Показано, что модификация граничных условий с помощью введения эффективных поверхностных электрических и магнитных токов позволяет устранить зависимость [5] эффективных показателя преломления и импеданса от размера системы, а также ненулевую мнимую часть эффективного импеданса. Однако мезоскопичность эффективных параметров не удается полностью устранить, т.к. эффективные поверхностные проводимости оказываются зависящими от свойств материала слоев на границе ФК. Подобрать не проявляющие

мезоскопического поведения эффективные параметры можно лишь приближенно. При этом значение эффективного импеданса совпадает со статическим, эффективного коэффициента преломления - с рытовским, эффективные поверхностные проводимости равны нулю. Различие между коэффициентами прохождения и отражения для однородного и исходного неоднородного образцов пропорционально оптической толщине периода ФК.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ

1. Vinogradov А.P., IgnatovA.I., Merzlikin A.M., Tretyakov S.A., Simovski C.R. Additional effective medium parameters for composite materials (excess surface currents) // Optics Express. 2011. V. 19. №7. P. 6699-6704.

2. Игнатов A.M., Мерзликин A.M., Виноградов А.П. Формирование замороженной моды k* /I Журнал радиоэлектроники (электронный журнал). 2011. №1. http://jre.cplire.ru/jre/janl l/2/text.pdf

3. Игнатов А.И., Мерзликин A.M., Виноградов А.П. Локализация света при падении под углом на случайную слоистую систему магнитодиэлектриков // Наносистемы: физика, химия, математика. 2011. V. 2. №1. Р. 40-46.

4. IgnatovA.I., Merzlikin A.M. Features of the Anderson Light Localization in Periodic-on-Average Systems Based on Anisotropic Components // Journal of Communications Technology and Electronics. 2011. V. 56. №7. P. 870-873. (Вариант на русском языке: Игнатов А.И., Мерзликин A.M. Особенности андерсоновской локализации света в периодических в среднем системах на основе анизотропных компонент II Радиотехника и электроника. 2011. V. 56. №7. Р. 856-859.)

5. Ignatov A.I., Merzlikin A.M., Vinogradov А.P., Lisyansky A.A Effect of polarization upon light localization in random layered magnetodielectric media // Phys. Rev. B. 2011. V. 83. 224205.

6. Ignatov A.I., Merzlikin A.M., and Levy M. Linkage between anisotropic and gyrotropic degenerate bandgaps // J. Opt. Soc. Am. B. 2011. V. 28. №8. P. 19111915.

7. Игнатов А.И., Мерзликин A.M. Об андерсоновской локализации в одномерных периодических в среднем анизотропных оптических системах // Труды международной конференции «0птика-2009», Санкт-Петербург 2009, С. 154-157.

8. Игнатов А.И., Мерзликин A.M., Виноградов А.П. Локализация света в слоях с одинаковым характеристическим адмитансом // Труды международной

конференции «Фундаментальные проблемы оптики - 2010», Санкт-Петербург 2010, С. 429.

СПИСОК ЦИТИРУЕМЫХ РАБОТ

1. Yeh P. Electromagnetic propagation in birefringent layered media // J. Opt. Soc. Am. 1979. V. 69. P. 742-756.

2. Merzlikin A.M., Levy M., Jalali A.A. and Vinogradov A.P. Polarization degeneracy at Bragg reflectance in magnetized photonic crystals // Phys. Rev. B. 2009. V. 79. 195103.

3. Figotin A. and Vitebskiy I. Electromagnetic unidirectionality in magnetic photonic crystals //Phys. Rev. B. 2003. V. 67. 165210.

4. Figotin A., Vitebskiy I. Frozen light in photonic crystals with degenerate band edge // Phys. Rev. E. 2006. V. 74. 066613.

5. Виноградов А.П., Мерзликин A.M. К вопросу с гомогенизации одномерных систем//ЖЭТФ. 2002. Т. 121. С. 565-572.

6. Sipe J.E., Sheng P., White B.S. and Cohen M.H. Brewster Anomalies: A Polarization-Induced Derealization Effect // Phys. Rev. Lett. 1988. V. 60. P. 108111.

7. Xu Du, Dongxiang Zhang, Xiulan Zhang, Baohua Feng, and Daozhong Zhang Localization and derealization of light under oblique incidence // Phys. Rev. B. 1997. V. 56. P. 28-31.

8. Deng W., Zhang Z.-Q. Amplification and localization behaviors of obliquely incident light in randomly layered media // Phys. Rev. B. 1997. V. 55. P. 1423014235.

9. McGurn A.R., Christensen K.T., Mueller F.M., Maradudin A.A. Anderson localization in one-dimensional randomly disordered optical systems that are periodic on average //Phys.'Rev. B. 1993. V. 47. P. 13120-13125.

10.Vinogradov A.P., Merzlikin A.M. Band theory of light localization in one-dimensional disordered systems // Phys. Rev. E. 2004. V. 70. 026610.

11 .Sole I. A new kind of double refracting filter II Czech. J. Phys., Sect. A. 1954. V. 4. P. 65-66.

\2.Shabtay G., Eidinger E., Zalevsky Z., Mendlovic D., Marom E. Tunable birefringent filters - optimal iterative design // Optics Express. 2002. V. 10. P. 1534-1541.

ХЪ.Каценеленбаум Б.З. Теория нерегулярных волноводов с медленно меняющимися параметрами. - М.: Изд. Академии наук СССР, 1961.

ИГНАТОВ Антон Игоревич

ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЕ И МЕЗОСКОПИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ ПРИ РАСПРОСТРАНЕНИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В МНОГОСЛОЙНЫХ СТРУКТУРАХ

Автореферат

Подписано в печать 13.09.2011 Формат 60x84/16

Печать офсетная Уч.-изд.л. 1,4 Усл.-печ.л. 1,32

Тираж 100 экз._ Заказ № 192_Бесплатно

ОИВТ РАН. 125412, Москва, Ижорская ул., 13, стр. 2

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Игнатов, Антон Игоревич

Введение

Актуальность темы 4 Цели работы 5 Научная новизна 6 Достоверность результатов 8 Научная и практическая ценность 8 Основные положения, выносимые на защиту

Апробация результатов

Публикации

Краткое содержание работы

Основные результаты работы

Список публикаций

Глава 1. Зонная структура одномерных фотонных кристаллов, содержащих слои из анизотропных и/или гиротропных материалов. 28 Вырожденные запрещенные зоны в анизотропных магнитофотонных кристаллах.

Механизм формирования замороженной моды к4.

Глава 2. Поляризационные эффекты при андерсоновской локализации электромагнитных волн в одномерных системах.

Обзор литературы по андерсоновской локализации. 50 Андерсоновская локализация электромагнитных волн при падении под углом на случайную систему магнитодиэлектрических слоев. 68 Андерсоновская локализация электромагнитных волн в периодических в среднем системах на основе анизотропных компонент. 72 Стохастизация поляризации электромагнитных волн в случайной системе на основе анизотропных компонент.

Глава 3. Управляемый электрическим полем волноводный фильтр Шольца.

Глава 4. Проблема граничных условий для эффективных полей при гомогенизации одномерных метаматериалов.

Введение диссертация по физике, на тему "Поляризационные и мезоскопические эффекты при распространении электромагнитных волн в многослойных структурах"

Актуальность темы

В настоящее время для создания элементной базы электроники и оптоэлектроники возникла необходимость в новых искусственных структурах и материалах. Все возрастающие требования к миниатюризации и быстродействию устройств делают чрезвычайно актуальными исследования метаматериалов и фотонных кристаллов. Среди возможных применений таких систем — создание элементной базы фотоники — оптических волноводов, суперпризм, идеальных линз, импедансных поверхностей и т.д.

При этом наиболее привлекательными оказываются одномерные многослойные системы, что связано как с более простой технологией их изготовления, так и с тем, что многие интересующие устройства (супер и гиперлинзы, концентраторы энергии, диэлектрические зеркала) работают более эффективно будучи созданными на основе слоистых систем, т.к. влияние диссипации не так велико, как в двумерных и трехмерных структурах.

Значительная часть результатов по распространению электромагнитных (ЭМ) волн в периодических многослойных структурах (фотонных кристаллах) и неупорядоченных структурах получена на основании аналогии между уравнениями Максвелла и уравнением Шредингера. Благодаря этой аналогии появились теории фотонных кристаллов, диффузии света, слабой и андерсоновской локализации света. Однако такая аналогия неполна, в частности, в связи с векторной природой ЭМ волн. Наиболее ярко эта природа проявляется при применении анизотропных или гиротропных материалов. Интерес к системам на основе таких материалов обусловлен возможностью управления свойствами анизотропных и гиротропных материалов при помощи внешних электрических и магнитных полей. Эта возможность, в свою очередь, позволяет создавать управляемые устройства, включая устройства с управляемым переходом в режим, в котором проявляются эффекты невзаимности распространения волн.

Настоящая работа посвящена исследованию фундаментальных явлений, происходящих в многослойных диэлектрических структурах при распространении по ним ЭМ волн. Основное внимание уделяется эффектам, обусловленным векторной природой ЭМ волн, возникающим в особенности в структурах на основе анизотропных или гиротропных материалов.

Цели работы

1. Исследовать зонную структуру одномерного фотонного кристалла (ФК) из гиротропных и/или анизотропных материалов. В частности определить условия, при которых в спектре одномерного ФК формируется замороженная мода, т.е. мода, для которой групповая скорость и ее дисперсия обращаются в нуль.

2. Изучить свойства вырожденных запрещенных зон в одномерных фотонных кристаллах, материал слоев которых обладают одновременно анизотропией (одноосные кристаллы) и наведенной внешним магнитным полем гиротропией. Вырожденные запрещенные зоны образуются благодаря брэгговскому отражению с участием одновременно обыкновенных и необыкновенных гармоник в анизотропных слоях [1,2]. Эти гармоники не являются независимыми из-за разных ориентаций оптических осей соседних слоев либо из-за гиротропии слоев. Вырожденные зоны - проявление векторного характера электромагнитных волн — не возникают в ФК из изотропных материалов, а также для скалярных волн. Изучить возможность управления вырожденными запрещенными зонами с помощью магнитного поля.

3. Исследовать вырожденные запрещенные зоны периодических волноводов из анизотропных материалов (с периодически меняющейся геометрией сечения либо периодически меняющимися параметрами материала 5 волновода). Изучить возможность применения таких волноводов в качестве фильтров (аналогичных фильтрам Шольца), управляемых внешними полями.

4. Исследовать мезоскопические эффекты в анизотропных и гиротропных средах, в частности, исследовать андерсоновскую локализацию света и воздействие случайных возмущений параметров ФК из анизотропных и гиротропных материалов на их зонную структуру.

5. Разработать описание одномерных гетерогенных сред, позволяющее придать физический смысл эффективным материальным параметрам, извлекаемым из измерений Б-матрицы в дальних полях.

Научная новизна

1. Найден физический механизм формирования замороженной моды кл в одномерном ФК, т.е. моды, для которой групповая скорость и ее дисперсия обращаются в нуль и которая реализуется на частоте стационарной точки к0-к^ <х (кВ1 — к*В1)А дисперсионной зависимости.

2. Для случая ФК с периодом из двух анизотропных одноосных слоев, обладающих также и гиротропией, получено аналитическое выражение для ширин вырожденных запрещенных зон [2] (т.е. запрещенных зон, формирующихся в результате брэгговского отражения, связанного с гибридизацией обыкновенных и необыкновенных гармоник в анизотропных слоях.)

3. Впервые рассмотрена андерсоновская локализация света в случайных системах из анизотропных материалов. Показано, что локализация в периодической в среднем системе (т.е. в ФК, в параметры которого внесены малые случайные возмущения) из анизотропных одноосных слоев качественно отличается от локализации в периодических в среднем системах из изотропных материалов.

4. Показана стохастизация поляризации волн по мере их распространения по случайной системе анизотропных слоев с беспорядком в ориентациях осей анизотропии. Показано, что существование характерного масштаба, на котором происходит стохастизации поляризации. Данный масштаб является не зависимой от длины локализации характеристикой случайной системы.

5. Предложен новый управляемый внешним электрическим полем оптический фильтр, представляющий собой диэлектрический планарный гофрированный волновод из электрооптического материала, и рассчитана зонная структура данного волновода. По принципу работы предложенный фильтр является фильтром Шольца, однако волноводная конфигурация фильтра значительно более проста в изготовлении по сравнению с многослойными фильтрами Шольца из электрооптического материала.

6. Рассмотрена возможность учета структуры ближних полей вблизи поверхности образца одномерного ФК из диэлектрических материалов в длинноволновом пределе с помощью модификации граничных условий для усредненных полей. Показано, что модификация граничных условий с помощью введения эффективных поверхностных электрических и магнитных токов позволяет устранить зависимость эффективных показателя преломления и импеданса от размера системы. Однако мезоскопичность эффективных параметров не удается полностью устранить, т.к. эффективные поверхностные проводимости оказываются зависящими от свойств материала слоев на границе ФК. Подобрать не проявляющие мезоскопического поведения эффективные параметры можно лишь приближенно. При этом значение эффективного импеданса совпадает со статическим, эффективного коэффициента преломления - с рытовским, эффективные поверхностные проводимости равны нулю. Различие между коэффициентами прохождения и отражения для однородного и исходного неоднородного образцов пропорционально оптической толщине периода ФК.

Достоверность результатов

Достоверность результатов подтверждается сравнением аналитических выводов с результатами численных расчетов, правильность которых, в свою очередь, подтверждается сравнением с известными аналитическими решениями в простых случаях.

Научная и практическая ценность

Исследование физических механизмов формирования замороженной моды к4 может быть полезно ввиду практических возможностей ее применения в нелинейно-оптических приложениях [3,4] и линиях задержки.

Исследование андерсоновской локализации ЭМ волн в многослойных структурах из анизотропных материалов имеет фундаментальное значение. Однако оно помогает понять, как влияют малые случайные отклонения параметров реальных систем из анизотропных материалов на их спектральные характеристики. Актуальность данного исследования определяется трудностью контроля ориентации оптических осей слоев при изготовлении систем из анизотропных материалов.

Рассмотренный в диссертации гофрированный планарный волновод из электрооптического материала может иметь практическое примеиение в качестве управляемого затвора, интегрируемого в оптический волновод. Данный затвор значительно более прост в изготовлении, чем аналогичные по принципу действия многослойные фильтры Шольца из электрооптических материалов, при возможности столь же эффективного переключения между режимами прозрачности и непрозрачности.

Исследование возможности введения модифицированных граничных условий для усредненных полей для гомогенизации многослойных диэлектрических структур имеет фундаментальное значение! С появлением возможности создания искусственных композитных материалов, обладающих подчас свойствами, которые не проявляет ни одна из компонент композита, встает вопрос о возможности введения для таких материалов электродинамических характеристик, используемых для однородных материалов, таких как диэлектрическая и магнитная проницаемости. В диссертации исследуется вопрос об эффективных параметрах для одномерных диэлектрических ФК.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Замороженная мода к4 в одномерном ФК (мода, для которой групповая скорость и ее дисперсия равны нулю) формируется на частоте касания границ бриллюэновской запрещенной зоны и вырожденной запрещенной зоны [2] (т.е. запрещенной зоны, образующейся благодаря брэгговскому отражению, связанному с гибридизацией обыкновенных и необыкновенных гармоник в анизотропных слоях).

2. В случае ФК с периодом из двух анизотропных одноосных слоев, обладающих также и гиротропией, вырожденная запрещенная зона, сформированная при наличии отклонения оптических осей слоев (приводящего к связи обыкновенных и необыкновенных гармоник в разных слоях ФК), уширяется при включении внешнего магнитного поля, наводящего гиротропию в слоях. Чем больше ширина вырожденной 33 в отсутствие магнитного поля, тем она менее чувствительна к управлению магнитным полем.

3. При распространении ЭМ волн в случайной системе магнитодиэлектрических слоев с одинаковым характеристическим импедансом под углом к слоям длина локализации не зависит от поляризации волн (б- или р-) для любого угла падения, несмотря на различные для разных поляризаций входные импедансы слоев при наклонном падении.

Влияние малых возмущений параметров ФК из анизотропных материалов на их зонную структуру качественно иное, чем в случае ФК из изотропных материалов: на частотах, принадлежавших разрешенным зонам до внесения малых возмущений, возможно появление локальных максимумов в зависимости индекса Ляпунова от частоты, растущих при увеличении беспорядка в ориентациях осей анизотропии слоев. Поляризация волны, распространяющейся в системе одноосных слоев со случайно меняющимися ориентациями оптических осей, стохастизуется, так что статистически поляризация волны, прошедшей через достаточно толстую случайную анизотропную систему, оказывается не зависящей от поляризации падающей на систему волны. Наряду с длиной андерсоновской локализации существует другой независимый масштаб, характеризующий одномерную случайную систему анизотропных слоев, - длина, на которой стохастизуется поляризация распространяющейся в случайной системе волны.

Гофрированный планарный волновод из электрооптического материала можно использовать в качестве управляемого внешним электрическим полем оптического фильтра, аналогичного по принципу действия многослойному фильтру Шольца. Фильтр в волноводной конфигурации значительно более прост в изготовлении по сравнению с многослойными фильтрами Шольца из электрооптического материала, а также обладает более компактными поперечными размерами (порядка длины волны), чем многослойные фильтры Шольца и фильтры Фабри-Перо, и может быть легко интегрирован в оптический волновод.

Модификация граничных условий для усредненных полей с помощью введения эффективных поверхностных электрических и магнитных ГОКОВ

10 с целью учесть скачок усредненных полей на границе образца одномерного ФК не позволяет полностью устранить мезоскопическое поведение [5] эффективных параметров, т.к. эффективные поверхностные проводимости оказываются зависящими от свойств материала слоев на границе ФК. Подобрать не проявляющие мезоскопического поведения эффективные параметры можно лишь приближенно. При этом значение эффективного импеданса совпадает со статическим, эффективного коэффициента преломления — с рытовским, эффективные поверхностные проводимости равны нулю. Различие между коэффициентами прохождения и отражения для однородного и исходного неоднородного образцов пропорционально оптической толщине периода ФК.

Апробация результатов

Результаты докладывались на следующих международных и российских конференциях:

1. Международная конференция «0птика-2009», 19-23 октября 2009 г., Санкт-Петербург.

2. 52-я научная конференция МФТИ, 27-30 ноября 2009 г., Москва.

3. Одиннадцатая ежегодная научная конференция ИТПЭ РАН, 29 марта -1 апреля 2010 г., Москва.

4. Школа-семинар «Волны-2010», 24-29 мая 2010 г., Звенигород.

5. Международная конференция «Фундаментальные проблемы оптики -2010», 18-22 октября 2010 г., Санкт-Петербург.

6. 53-я научная конференция МФТИ, 24-29 ноября 2010 г., Москва.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 14 работ, в том числе 6 статей в рецензируемых научных журналах и изданиях, определенных ВАК.

Краткое содержание работы

Во введении обсуждается актуальность темы работы, научная новизна, указаны цели, а также положения, выносимые на защиту.

В первой главе исследованы некоторые свойства запрещенных зон в одномерных ФК из анизотропных и/или гиротропных материалов.

Формирование замороженной моды к4 в одномерном ФК.

Впервые возможность существования т.н. замороженной моды в спектре ФК была показана Витебским и Фиготиным [3,4] в рамках численного эксперимента. Замороженной модой они назвали моду с нулевыми групповой скоростью и ее дисперсией. Таким образом, волновой пакет на частотах вблизи частоты замороженной моды не распространяется в ФК и не теряет своей формы. В частности, в [4] были подобраны такие параметры ФК, что на границе запрещенной зоны дисперсионная зависимость описывается параболой 4-й степени к0 - к* ос к4н1 на границе зоны Бриллюэна. Вблизи частоты к*0 групповая скорость волн, а также вторая производная частоты по волновому числу близки к нулю.

В диссертации рассмотрены физические условия, при которых дисперсионные зависимости ФК имеют точку, вблизи которой к0- к^ сс (кш - к*в1)А и, следовательно, формируется замороженная мода (будем называть такую замороженную моду замороженной модой к л).

12

Показано, что замороженная мода к4 формируется на частоте касания границ вырожденной и бриллюэновской (реализующейся на границе зоны Бриллюэна) запрещенных зон.

Свойства вырожденных запрещенных зон в ФК из материалов, обладающих анизотропией и гиротропией.

Для возникновения вырожденной 33 в ФК необходимо, во-первых, чтобы некоторые из его слоев были изготовлены из анизотропного материала (в диссертации рассматривается случай одноосных материалов с оптическими осями, лежащими в плоскости слоев), во-вторых, чтобы волны различных (обыкновенной и необыкновенной) поляризаций в анизотропных слоях ФК были гибридизованы (т.е. каждая блоховская волна имела обыкновенные и необыкновенные компоненты поляризации в анизотропных слоях) [1,2]. Это возможно, по крайней мере, в двух случаях при падении волны по нормали к слоям: при различных ориентациях оптических осей соседних слоев [1] или при наличии гиротропных слоев [2] (в этом случае гибридизация возможна и при одинаковых ориентациях оптических осей всех слоев и происходит благодаря вращению плоскости поляризации в гиротропных слоях). Эти два механизма гибридизации обыкновенной и необыкновенной компонент в слоях ФК приводят к формированию вырожденной 33 в окрестности одной и той же частоты. Поэтому возникает вопрос о том, какими будут свойства вырожденной 33 при наличии обоих механизмов гибридизации, в частности, какой будет ширина вырожденной 33, может ли один механизм гибридизации компенсировать другой, так чтобы в итоге вырожденная 33 закрылась.

В диссертации рассмотрены свойства вырожденной 33 при наличии двух механизмов гибридизации обыкновенной и необыкновенной компонент в анизотропных слоях: связанного с отклонением оптических осей соседних слоев и связанного с гиротропией слоев. В случае ФК малого контраста (малое отклонение параметров ФК от их средних значений) с периодом из двух слоев

13 аналитически (с помощью теории возмущений) показано, что вырожденная запрещенная зона, порожденная одним механизмом гибридизации, уширяется при включении также и второго механизма (например, при включении внешнего магнитного поля). Причем ее ширина однозначно определяется только ширинами вырожденных 33 при наличии каждого из механизмов гибридизации в отдельности и не зависит явно от остальных параметров ФК.

Вторая глава посвящена исследованию поляризационных эффектов при андерсоновской локализации ЭМ волн в одномерных системах. В одномерных системах локализация ЭМ волн может зависеть от поляризации, например, в случае падения под углом на случайную систему слоев из изотропных материалов либо в случае системы из анизотропных и гиротропных материалов.

Отметим, что исследование андерсоновской локализации в системах из анизотропных материалов было проведено впервые. В начале главы дан обзор литературы по андерсоновской локализации ЭМ волн. После следует изложение результатов собственных исследований.

Поляризационные эффекты при локализации ЭМ волн в случайной системе магнитодиэлектрических слоев.

Поляризационным эффектам при андерсоновской локализации ЭМ волн в одномерных случайных системах слоев (при наклонном падении волн) посвящены, например, работы [6-8]. В [6] показано, что длина локализации в системе диэлектрических немагнитных слоев зависит от поляризации волны. Для Б-поляризованной волны длина локализации уменьшается с ростом угла падения, а р-поляризованная волна может даже делокализоваться, например, в случае системы со слоями из двух различных материалов при падении волны под углом, соответствующим углу Брюстера для этой пары материалов.

В диссертации рассмотрена задача локализации ЭМ волн при падении под углом на случайную систему слоев магнитодиэлектриков. В этом случае

14 угол Брюстера может существовать для р-поляризации, для э-поляризации или не существовать ни для одной поляризации. В частности, был рассмотрен случай случайной системы, все слои которой имеют одинаковый характеристический импеданс. При этом толщины и коэффициенты преломления случайно меняются от слоя к слою. Равенство характеристических импедансов слоев - единственно возможная ситуация, когда эффект Брюстера реализуется для всех поляризаций, причем угол Брюстера для всех поляризаций равен нулю. Поэтому нормально падающая волна делокализована в рассмотренной в диссертации системе, независимо от поляризации падающей волны. При увеличении угла падения длина локализации уменьшается (см. рис. 1, на котором изображена зависимость индекса Ляпунова - величины, обратной длине локализации, — от угла падения). Обнаружено, что, несмотря на различие входных импедансов слоев для р- и Б-поляризованных волн при наклонном падении, длина локализации от поляризации не зависит.

Рис. 1. Зависимости индекса Ляпунова (нормированного на среднюю толщину слоев) для б- и р-поляризованных падающих волн (соответственно, сплошная и точечная кривые) от угла падения а (по отношению к нормали к слоям) волны из вакуума на систему слоев с одинаковым характеристическим адмитансом, но случайными толщинами и коэффициентами преломления.

Стохастизация поляризации волн при их распространении в системе слоев из одноосных материалов со случайно ориентированными оптическими осями.

Рассмотрено распространение волны по системе одинаковых одноосных слоев со случайной ориентацией оптических осей, разбросанных в плоскости слоев. Была проанализирована поляризация прошедшей через такую систему волны при различных линейных поляризациях падающей волны в зависимости от толщины системы.

Показано, что в случае системы с малым количеством слоев поляризация прошедшей волны слабо отличается от поляризации падающей волны (рис. 2). Соответственно, поляризация прошедшей волны сильно отличается для разных (взаимно перпендикулярных) поляризаций падающей волны. При увеличении толщины системы функции распределения угла поворота эллипса поляризации прошедшей волны почти не зависят от поляризации падающей волны. Т.о. поляризация волны стохастизуется по мере ее распространения по случайной системе анизотропных слоев.

Оказалось, что эффект стохастизации поляризации волны имеет характерный масштаб, то есть расстояние (например, по метрике Ь2) между функциями распределения, характеризующими поляризацию прошедшей волны, экспоненциально стремится к нулю при увеличении толщины системы. «Длина стохастизации поляризации» является не зависящим от длины локализации масштабом, характеризующим случайную систему. Это подтверждается различными частотными зависимостями этих длин (рис. 3). в, гас!

Рис. 2. Функции распределения угла поворота эллипса поляризации прошедших волн. Угол в~ О соответствует г-поляризации волн, 6? = ±л/2 - у-поляризации волн нормаль к слоям соответствует оси х). Черные и серые кривые отвечают разным поляризациям (соответственно, у и г) падающей волны. Точечные кривые - для систем с малым количеством слоев, сплошные - для систем с большим количеством слоев. Видно, что для тонких систем черная и серая кривые сильно отличаются, их максимумы находятся на углах поляризации соответствующих падающих волн. Сплошные кривые почти совпадают, т.е. распределение поляризации прошедшей через толстую систему волны не зависит от поляризации падающей волны.

Андерсеновская локализация в одномерных периодических в среднем системах со слоями из анизотропных материалов.

В диссертации рассмотрена локализация в случайных системах, представляющих собой ФК со слоями из одноосных материалов, в ориентации оптических осей которых внесены малые случайные отклонения. Влияние малых возмущений, вносимых в ориентации изначально параллельных оптических осей, качественно отличается от влияния возмущений материальных параметров и толщин слоев, которое было рассмотрено в классической работе [9] в случае ФК из изотропных материалов. У

0.008

0,006

0,004

0,002

0,00

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 М

Рис. 3. Зависимости индекса Ляпунова (серая кривая, левая шкала) и обратной длины стохастизации поляризации (черная кривая, правая шкала) от частоты.

0,25 0,20 0,15 0,10 0,05

В [9] было показано, что малое случайное возмущение параметров ФК из изотропных материалов приводит тому, что зависимость индекса Ляпунова от частоты представляет собой слабо размытую зависимость мнимой части блоховских волновых чисел от частоты. Именно, во всей области разрешенных зон строго периодической системы появляется ненулевой индекс Ляпунова (аналогом его в случае периодической системы является мнимая часть блоховского волнового числа, также характеризующая глубину проникновения волны в слоистую структуру), но он сравнительно мал. На частотах же запрещенных зон невозмущенного ФК при внесении малых возмущений индекс Ляпунова остается относительно большим и именно на этих частотах достигает максимума.

В диссертации показано, что в случае системы с анизотропными компонентами зависимость индекса Ляпунова может иметь локальные максимумы на частоте вдали от запрещенных зон строго периодической системы (рис. 4).

0,006 а

0,005

0,004

0,003

0,828 0,832 0,836 0,840 0,844 М

Рис. 4. Зависимости индекса Ляпунова при двух взаимно перпендикулярно поляризованных падающих волнах (сплошная и точечная кривые) от частоты к0с1. Данный диапазон частот лежит в разрешенной зоне соответствующей строго периодической системы (без разброса ориентаций оптических осей слоев): правый край ближайшей слева бриллюэновской 33 - на частоте к0с1 «0,695, левый край ближайшей справа бриллюэновской 33 - на частоте к()с! « 1,137.

Объяснить возникновение данных максимумов можно, пользуясь представлениями, что причиной андерсоновской локализации является наличие среди участков (несколько идущих подряд слоев) случайной системы брэгговских отражателей [10], т.е. таких участков, которые, взятые в качестве периода, образуют новый ФК, имеющий запрещенную зону на рассматриваемой частоте. В системе без специально заданных корреляций между параметрами слоев наличие брэгговских отражателей среди участков системы является также и достаточным условием андерсоновской локализации. Причиной возникновения рассматриваемого пика (см. рис. 4) является наличие в системе брэгговских отражателей, связанных не с бриллюэновской, а с вырожденной запрещенной зоной. Для формирования данной 33 необходима меняющаяся от слоя к слою ориентация оптических осей (если нет гиротропии).

Как видно из рис. 4, длины локализации совпадают для разных (взаимно перпендикулярных) поляризаций падающей волны. Это объясняется вышеописанным эффектом «забывания» (стохастизации) волной своей исходной поляризации.

Если в невозмущенном ФК уже было отклонение оптических осей соседних слоев и существовали вырожденные 33, то при внесении малого беспорядка в ориентации оптических осей вырожденная 33 оказывается устойчивой, т.е. индекс Ляпунова на частотах вырожденной 33 мало отличается от его аналога для регулярной системы — мнимой части блоховского волнового числа.

В третьей главе исследуется зонная структура планарного гофрированного волновода из электрооптического материала и возможность применения такого волновода в качестве управляемого оптического затвора.

Ранее уже предлагались фильтры для ЭМ волн, принцип действия которых основан на непропускании волн на частотах вырожденных 33. Еще в 1954 г. Шольцем был предложен фильтр, представляющий собой периодическую систему слоев из одноосных материалов [29] (рис. 5). В такой системе различия в ориентациях оптических осей слоев приводит к формированию вырожденной 33. В 2002-м г. в теоретической работе [28] было предложено использовать схему Шольца для создания управляемого внешним электрическим полем оптического фильтра из электрооптических материалов.

Однако недостаток многослойной конструкции управляемого оптического фильтра связан со сложностью ее изготовления. Создание слоистой системы из электрооптических или магнитооптических материалов требует отжига каждого нового нанесенного слоя. Это ведет к искажению формы слоев и к практической невозможности создания систем с несколькими десятками и более слоев.

В качестве альтернативы в диссертации предложено использовать волноводную конфигурацию фильтра. Многослойная система заменяется гофрированным планарным волноводом. Изготовление такой структуры

20 требует напыления только одного слоя материала и нанесения гофра на одну из его сторон. Это может быть легко сделано с помощью фокусированного ионного пучка. При этом удается достичь очень хорошего качества структуры.

Рис. 5. Схема фильтра Шольца. Данный фильтр представляет собой систему слоев из анизотропных одноосных материалов с периодически меняющимися ориентациями оптических осей в плоскости слоев. Ориентации оптических осей показаны векторами е.

В диссертации рассмотрен планарный гофрированный диэлектрический волновод (рис. 6). При включенном внешнем электрическом поле одна из главных осей тензора ё направлена вдоль оси Ох, две другие отклонены на некоторый угол от осей Оу и Ог. В отсутствие поля материал волновода изотропен.

С помощью метода поперечных сечений [81] (по сути - метод связанных мод) в приближении слабой анизотропии и малой по сравнению с толщиной волновода амплитуды гофра на одной из поверхностей волновода рассчитаны параметры вырожденной 33. Связь ТЕ и ТМ мод, необходимая для возникновения вырожденной 33, осуществляется благодаря наведенной внешним электрическим полем анизотропии материала волновода. Таким образом, с помощью внешнего электрического поля можно открывать и закрывать вырожденную 33 и тем самым управлять пропускающей способностью волновода на частотах вырожденной 33. анизотропного материала. Одна из главных осей тензора ё направлена вдоль оси Ох, две другие отклонены на некоторый угол от осей Оу и Ог. Волна в волноводе распространяется вдоль оси Ох .

Расчеты показали, что для реальных параметров материалов и величин электрооптического эффекта порядка 5% можно достичь затухания волны в е раз на масштабе порядка 80 периодов волновода волн (или 70 длин волн). Время переключения между режимами прозрачности и непрозрачности соответствует времени электрооптического отклика параметров материала, т.е. порядка 10 9 с.

Итак, предложена принципиальная схема оптического затвора, управляемого внешним электрическим полем на основе гофрированного планарного волновода из электрооптического материала. Волноводная конфигурация фильтра значительно более проста в изготовлении по сравнению с многослойными фильтрами Шольца из электрооптического материала, а также обладает более компактными поперечными размерами (порядка длины волны), чем многослойные фильтры Шольца и фильтры Фабри-Перо, и может быть легко интегрирована в оптический волновод.

В четвертой главе исследуется возможность гомогенизации одномерных ФК из изотропных диэлектрических материалов с помощью модификации граничных условий для усредненных полей, учитывающей эффективные поверхностные электрические и магнитные токи. Попытка обойтись только двумя эффективными параметрами — коэффициентом преломления и импедансом — и обычными максвелловскими граничными условиями приводит к тому, что эффективные параметры зависят от толщины образца [5], импеданс не стремится к некоторому значению при росте толщины образца. Причем в некоторых случаях он может обладать мнимой частью.

Ясно, что усредненные поля в гомогенизированном образце не отражают микрораспределений полей в реальном образце вблизи его границ. Это приводит к тому, что поля падающей извне, отраженной от образца и прошедшей волн (по амплитудам и фазам которых делается вывод об эффективных параметрах образца), в общем случае не должны удовлетворять максвелловским граничным условиям непрерывности с усредненными внутри образца полями. Вместо этого усредненные поля испытывают скачок на границе образца. Одна из возможностей учесть, данный скачок - модификация условий на границах гомогенизированного образца и введение дополнительных эффективных параметров - электрической и магнитной поверхностных проводимостей. Это позволяет устранить зависимость эффективных параметров от толщины системы и ненулевую мнимую часть эффективного импеданса. Однако поверхностные проводимости оказываются зависящими от материалов слоев ФК, лежащих на границах образца: Найти эффективные параметры, не проявляющие мезоскопического поведения можно лишь приближенно (рассматривался лишь вышеописанный набор эффективных параметров - импеданс, коэффициент преломления, электрические и магнитные поверхностные проводимости). Это приводит к рытовскому значению коэффициента преломления, статическому значению импеданса и нулевым поверхностным токам. При этом, точность совпадения коэффициентов отражения и преломления в случае образца ФК и гомогенизированного образца - порядка оптической толщины периода ФК.

Основные результаты работы

1. Изучен физический механизм формирования замороженной моды к4 в одномерном ФК, т.е. моды с нулевой групповыми скоростью и ее дисперсией, существующей на частоте, вблизи которой дисперсионная зависимость аппроксимируется параболой 4-й степени кц-к^ сс (кт - к*ы )4. Показано, что частота к* формирования замороженной моды к4 соответствует частоте касания границ бриллюэновской запрещенной зоны и вырожденной запрещенной зоны [2], т.е. запрещенной зоны, образующейся в результате брэгговского отражения, связанного с гибридизацией обыкновенных и необыкновенных гармоник в анизотропных слоях.

2. Аналитически изучено влияние внешнего магнитного поля на ширину вырожденной 33 в одномерных ФК, слои которых обладают одновременно анизотропией (образованы из одноосных кристаллов) и наведенной внешним магнитным полем гиротропией. В случае ФК с периодом из двух слоев вырожденная 33, сформированная в связи с различием ориентаций оптических осей слоев периода, уширяется при включении внешнего магнитного поля, наводящего гиротропию в слоях. Чем больше отклонение оптических осей слоев периода друг от друга, тем менее чувствительна вырожденная 33 к управлению магнитным полем.

3. Изучена андерсоновская локализация ЭМ волн в случайной одномерной системе магнитодиэлектрических слоев с одинаковым характеристическим импедансом, но случайными коэффициентами преломления и толщинами слоев, при наклонном падении волн. Показано, что длина локализации монотонно уменьшается при росте угла падения волны и не зависит от поляризации волны (б- или р-), несмотря на различия входных импедансов слоев для разных поляризаций при наклонном падении.

4. Изучена андерсоновская локализация в периодической в среднем системе анизотропных одноосных слоев. Показано ее качественное отличие от локализации в периодических в среднем системах из изотропных материалов: в системе анизотропных слоев на частотах разрешенных зон соответствующей строго периодической системы возможно появление локальных максимумов в зависимости индекса Ляпунова от частоты. Данные максимумы растут при увеличении беспорядка в ориентациях оптических осей слоев и не зависят от поляризации падающей на систему волны.

5. Показано, что поляризация волны, распространяющейся по системе одноосных слоев со случайно меняющимися ориентациями оптических осей, стохастизуется по мере проникновения волны вглубь системы. Показано существование характерного масштаба - длины, на которой стохастизуется поляризация волны. Данный масштаб является не зависимой от длины локализации величиной. Стохастизация поляризации волны объясняет, в частности, независимость длины локализации от поляризации падающей на систему волны, упомянутую в предыдущем пункте.

6. Показана возможность управления открыванием и закрыванием вырожденных 33 в гофрированном планарном волноводе из электрооптического материала с помощью постоянного внешнего электрического поля. Это может быть использовано для создания оптического затвора, управляемого внешним электрическим полем. Волноводная конфигурация затвора значительно более проста в изготовлении по сравнению с многослойными фильтрами Шольца из электрооптического материала, аналогичными по физическому принципу действия.

7. Рассмотрена возможность учета структуры ближних полей вблизи поверхности образца одномерного ФК из диэлектрических материалов с помощью модификации граничных условий для усредненных полей. Показано, что модификация граничных условий с помощью введения эффективных поверхностных электрических и магнитных токов позволяет устранить зависимость [5] эффективных показателя преломления и импеданса от размера системы, а также ненулевую мнимую часть эффективного импеданса. Однако мезоскопичность эффективных параметров не удается полностью устранить, т.к. эффективные поверхностные проводимости оказываются зависящими от свойств материала слоев на границе ФК. Подобрать не проявляющие мезоскопического поведения эффективные параметры можно лишь приближенно. При этом значение эффективного импеданса совпадает со статическим, эффективного коэффициента преломления - с рытовским, эффективные поверхностные проводимости равны нулю. Различие между коэффициентами прохождения и отражения для однородного и исходного неоднородного образцов пропорционально оптической толщине периода ФК.

Список публикаций

1. Vinogradov А.P., Ignatov A.I., Merzlikin A.M., Tretyakov S.A., Simovski C.R. Additional effective medium parameters for composite materials (excess surface currents) // Optics Express. 2011. V. 19. №7. P. 6699-6704.

2. Игнатов А.И., Мерзликин A.M., Виноградов А.П. Формирование замороженной моды к4 // Журнал радиоэлектроники (электронный журнал). 2011. №1. http://jre.cplire.ni/jre/janll/2/text.pdf

3. Игнатов А.И., Мерзликин A.M., Виноградов А.П. Локализация света при падении под углом на случайную слоистую систему магнитодиэлектриков // Наносистемы: физика, химия, математика. 2011. V. 2. №1. Р. 40-46.

4. Ignatov A.I., Merzlikin A.M. Features of the Anderson Light Localization in Periodic-on-Average Systems Based on Anisotropic Components // Journal of Communications Technology and Electronics. 2011. V. 56. №7. P. 870-873. (Вариант на русском языке: Игнатов А.И., Мерзликин A.M. Особенности андерсоновской локализации света в периодических в среднем системах на основе анизотропных компонент // Радиотехника и электроника. 2011. V. 56. №7. Р. 856-859.)

5. Ignatov A.I., Merzlikin A.M., Vinogradov A.P., Lisyansky A,A Effect of polarization upon light localization in random layered magnetodielectric media // Phys. Rev. B. 2011. V. 83. 224205.

6. Ignatov A.I., Merzlikin A.M., and Levy M. Linkage between anisotropic and gyrotropic degenerate bandgaps // J. Opt. Soc. Am. B. 2011. V. 28. №8. P. 1911-1915.

7. Игнатов А.И., Мерзликин A.M. Об андерсоновской локализации в одномерных периодических в среднем анизотропных оптических системах // Труды международной конференции «0птика-2009», Санкт-Петербург 2009, С. 154-157.

8. Игнатов А.И., Мерзликин A.M., Виноградов А.П. Локализация света в слоях с одинаковым характеристическим адмитансом // Труды международной конференции «Фундаментальные проблемы оптики — 2010», Санкт-Петербург 2010, С. 429.

Заключение диссертации по теме "Электрофизика, электрофизические установки"

Заключение.

В диссертации изучается влияние векторной природы электромагнитных волн на их распространение и локализацию в одномерных фотонных кристаллах и неупорядоченных слоистых структурах. Наиболее ярко эта природа проявляется в структурах из материалов, обладающих анизотропией и/или гиротропией. В этом случае уравнения Максвелла не могут быть разделены так, чтобы задача свелась к двум независимым задачам о распространении скалярных волн, как это возможно в случае слоистях структур из изотропных материалов, даже при наклонном к слоям падении волн.

Важной особенностью ФК из анизотропных материалов (если говорить только об одномерных ФК) является возможность формирования вырожденных запрещенных зон в- их спектре. Можно выделить различные механизмы гибридизации обыкновенных и необыкновенных компонент волны в анизотропных слоях ФК. В диссертации рассмотрены два: первый механизм связан с отклонением в ориентациях оптических осей разных слоев ФК, второй связан с вращением плоскости поляризации волны благодаря гиротропным слоям в ФК (этот механизм работает даже если оптические оси всех слоев ФК сонаправлены).

Разные механизмы гибридизации обыкновенных и необыкновенных компонент в слоях ФК приводят к формированию вырожденных 33 вокруг одних и тех же частот, поэтому возникает вопрос о взаимовлиянии различных механизмов гибридизации, какими будут характеристики вырожденных 33 при наличии обоих механизмов гибридизации. В диссертации этот вопрос исследован аналитически. Было показано, что в случае ФК из двух слоев в периоде вырожденная 33, сформированная одним механизмом гибридизации, уширяется при включении второго механизма, один механизм не может быть скомпенсирован другим. Было получено соотношение, связывающее ширину вырожденной 33 при наличии обоих механизмов гибридизации с ширинами вырожденных 33 при наличии каждого из механизмов гибридизации в отдельности.

Еще одной особенностью ФК из анизотропных и/или гиротропных материалов является возможность формирования в их спектре замороженной моды, т.е. моды, групповая, скорость которой и ее дисперсия равны нулю. В диссертации было показано, что возможность формирования замороженной моды связана с расположением вырожденных 33. Именно, стационарная точка спектра 0) -а>* к (к-к*)4 ФК, на которой формируется замороженная мода, есть частота касания границ бриллюэновской; запрещенной зоны и вырожденной запрещенной-зоны.

В неупорядоченных слоистых структурах из анизотропных материалов андерсоновская локализация также имеет особенности, в основе которых -стохастизация поляризации; волньк по мере ее распространения по неупорядоченной структуре: и существование среди фрагментов системы брэгговских отражателей; (т.е. таких фрагментов системы, которые, взятые в качестве периода, образуют ФК, имеющий запрещенную зону на данной частоте), связанных с вырожденными 33. Как показано в [10] для случая локализации скалярных волн в одномерных структурах, причиной локализации является наличие среди фрагментов случайной системы брэгговских отражателей (БО). В анизотропной случайной системе, помимо БО, связанных с бриллюэновскими 33, есть и БО, связанные с вырожденными 33. В диссертации была рассмотрена локализация в периодической в среднем системе слоев из одноосных материалов со случайно меняющимися от слоя к слою ориентациями оптических осей. Показана возможность относительного усиления локализации на частотах вдали от запрещенных зон соответствующей строго периодической системы, что объясняется появлением в системе БО, связанных с вырожденными 33, при внесении беспорядка в ориентации оптических осей. Такие особенности не наблюдаются в структурах из изотропных компонент. Показана также независимость длины локализации от поляризации падающей волны в системе анизотропных слоев со случайно ориентированными оптическими осями. Это связано с тем, что поляризация волны стохастизуется по мере прохождения волны вглубь случайной системы, так что волна постепенно «забывает» о своей изначальной поляризации. Существует характерный масштаб, не зависящий от длины локализации, описывающий степень стохастизации поляризации по мере прохождения волны вглубь системы.

В третьей главе предложен управляемый внешним постоянным электрическим полем оптический фильтр на основе гофрированного планарного волновода из электрооптического материала. Принцип действия данного фильтра аналогичен принципу действия фильтра Шольца [29]: непропускание волн на частотах вырожденной 33. Преимуществом предложенной конструкции фильтра является простота изготовления в сравнении с многослойными фильтрами Шольца.

В четвертой главе рассмотрена роль граничных условий для усредненных полей при решении задачи гомогенизации гетерогенных сред. На примере гомогенизации фрагмента одномерного ФК показана возможность учета скачков усредненных полей на границе образца с помощью введения дополнительных поверхностных электрических и магнитных токов, что позволяет устранить мезоскопическое поведение эффективных коэффициента преломления и импеданса, а также ненулевую мнимую часть эффективного импеданса.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Игнатов, Антон Игоревич, Москва

1. Yeh. P. Electromagnetic propagation in birefringent layered media. // J. Opt. Soc. Am. 1979. V. 69. P. 742-756.

2. Merzlikin A.M., Levy M., Jalali A.A. and Vinogradov A.P. Polarization degeneracy at Bragg reflectance in magnetized photonic crystals // Phys. Rev. B. 2009. V. 79. N. 195103.

3. Figotin A. and Vitebskiy I. Electromagnetic unidirectionality in magnetic photonic crystals // Phys. Rev. B. 2003. V. 67. N. 165210.

4. Figotin A. and Vitebskiy I. Frozen light in photonic crystals with degenerate band edge // Phys. Rev. E. 2006. V. 74. N. 066613.

5. Виноградов А.П., Мерзликин A.M. К вопросу о гомогенизации одномерных систем. // ЖЭТФ. 2002. Т. 121. С. 565-572.

6. Sipe J.E., Sheng P., White B.S., and Cohen M.H. Brewster anomalies: a polarization-induced derealization effect // Phys. Rev. Lett. 1988. V. 60, P. 108-111.

7. Xu Du, Dongxiang Zhang, Xiulan Zhang, Baohua Feng, and Daozhong Zhang. Localization and derealization of light under oblique incidence // Phys. Rev. B. 1997. V. 56. P. 28-31.

8. Deng W., Zhang Z.-Q., Amplification and localization behaviors of obliquely incident light in randomly layered media // Phys. Rev. B. 1997. V. 55. N. 14230.

9. McGurn A.R., Christensen K.T., Mueller F.M., Maradudin A.A. Anderson localization in oneOdimensional randomly disordered optical systems that are periodic on average // Phys. Rev. B. 1993. V. 47. N. 13120.

10. Vinogradov A.P. and Merzlikin A.M. Band theory of light localization in one-dimensional disordered systems. // Phys. Rev. E. 2004. V. 70. N. 026610.

11. Jianhong Shi, Xianfeng Chen, Yuxing Xia, Yingli Chen // Materials and Devices for Optical and Wireless Communications, Proceedings of SPIE. 2002. V. 4905.

12. Yablonovitch E. Inhibited Spontaneous Emission in Solid-State Physics and Electronics // Phys. Rev. Lett. 1987. V. 58. P. 2059-2062.

13. Johnson S.G., Joannopoulos J.D. Photonic crystals: the road from theory to practice. Kluwer Academic Publisher, London, 2002.

14. Inoue M. and Fujii T. A theoretical analysis of magneto-optical Faraday effect of YIG films with random multilayer structures // J. Appl. Phys. 1997. V. 81. P. 5659-5661.

15. Fan S., Villeneuve P.R., Joannopoulos J.D., Haus H.A. Channel drop tunneling through localized states // Phys. Rev. Lett. 1998. V. 80. P. 960-963.

16. Steel M.J., Levy M., and Osgood R.M. Jr. Photonic bandgaps with defects and the enhancement of Faraday rotation // J. Lightwave Technol. 2000. V. 18. P. 1297-1309.

17. Fan S. Sharp asymmetric line shapes in side-coupled waveguide-cavity systems // Appl. Phys. Lett. 2002. V. 80, P. 908-910.

18. Figotin A. and Vitebskiy I. Gigantic transmission band-edge resonance in periodic stacks of anisotropic layers // Phys. Rev. E. 2005. V. 72. N. 036619.

19. Ballato J., Ballato A., Figotin A. and Vitebskiy I. Frozen light in periodic stacks of anisotropic layers // Phys. Rev. E. 2005. V. 71. N. 036612.

20. Figotin A. and Vitebskiy I. Nonreciprocal magnetic photonic crystals // Phys. Rev. E. 2001. V. 63. N. 066609.

21. Levy M. Normal modes and birefringent magnetophotonic crystals // J. Appl. Phys. 2006. V. 99. N. 073104.

22. Merzlikin A.M., Vinogradov A.P., Inoue M., and Granovsky A.B. Giant photonic Hall effect in magnetophotonic crystals // Phys. Rev. E. 2005. V. 72. N. 046603.

23. Yu Z., Veronis G., Wang Z., and Fan S. One-way electromagnetic waveguide formed at the interface between a plasmonic metal under a static magnetic field and a photonic crystal // Phys. Rev. Lett. 2008. V. 100. N. 023902.

24. Wang F. and Lakhtakia A. Intra-Brillouin-zone bandgaps due to periodic misalignment in one-dimensional magnetophotonic crystals // Appl. Phys. Lett.2008. V. 92. N. 011115.

25. Lyubchanskii I.L., Dadoenkova N.N., Lyubchanskii M.I., Shapovalov E.A., Lakhtakia A., and Rasing Th. One-dimensional bigyrotropic magnetic photonic crystals //Appl. Phys. Lett. 2004. V. 85. P. 5932-5934.

26. Wang F. and Lakhtakia A. Magnetically controllable intra-Brillouin-zone band gaps in one-dimensional helicoidal magnetophotonic crystals // Phys. Rev. B.2009. V. 79. N. 193102.

27. Inoue M., Fujikawa R., Baryshev A., Khanikaev A., Lim P.B., Uchida H., Aktsipetrov O., Fedyanin A., Murzina T., and Granovsky A. Magnetophotonic crystals // J. Phys. D. 2006. V. 39. R151.

28. Shabtay G., Eidinger E., Zalevsky Z., Mendlovic D., and Marom E. Tunable birefringent filters optimal iterative design // Opt. Express. 2002. V. 10. P. 1534-1541.

29. Sole I. A new kind of double refracting filter // Czech. J. Phys., Sect. A. 1954. V. 4. P. 65-66.

30. Zengerle R. Light propagation in singly and doubly periodic planar waveguides//J. Mod. Opt. 1987. V. 34. P. 1589-1617.

31. Cojocaru E. Forbidden Gaps in Periodic Anisotropic Layered Media // Appl. Opt. 2000. V. 39. P. 4641-4648.

32. Merzlikin A.M., Vinogradov A.P., Inoue M., Khanikaev A.B., and Granovsky A.B. The Faraday effect in two-dimensional magneto-photonic crystals // J. Magn. Magn. Mater. 2006. V. 300. P. 108-111.

33. Merzlikin A.M., Vinogradov A.P., Dorofeenko A.V., Inoue M., Levy M., and

34. Granovsky A.B. Controllable Tamm states in magnetophotonic crystal //

35. Physica B. 2007. V. 394. P. 277-280.120

36. Levy M. and Jalali A.A. Band structure and Bloch states in birefringent one-dimensional magnetophotonic crystals: an analytical approach // J. Opt. Soc. Am. B. 2007. V. 24. P. 1603-1609.

37. Jalali A.A. and Levy M. Local normal-mode coupling and energy band splitting in elliptically birefringent one-dimensional\ magnetophotonic crystals // J. Opt. Soc. Am. B. 2008. V. 25. P. 119-125.

38. Борн M., Вольф Э. Основы оптики. M.: Наука, 1973;

39. Ярив А., Юх П. Оптические волны в кристаллах. М.: Мир, 1987.

40. Yeh P., Yariv A., and Hong C.-S. Electromagnetic propagation in periodic stratified media. I. General theory // J. Opt. Soc. Am. 1977. V. 67. P. 423-438.

41. Lyubchanskii I.L., Dadoenkova N.N.,' Lyubchanskii M.I. et al. Magnetic photonic crystals // Journal of Physics D: Applied Physics. 2003. V. 36. P. R277.

42. Goto Т., Dorofeenko A.V., Merzlikin A.M., Baryshev A.V., Vinogradov A.P., Inoue M., Lisyansky A.A., and Granovsky A.B. Optical Tamm states in one-dimensional magnetophotonic structures // Phys. Rev. Lett. 2008. V. 101. N. 113902.

43. Anderson P.W. Absence of Diffusion in Certain Random Lattices // Phys. Rev. 1958. V. 109; P. 1492-1505.

44. Гантмахер В.Ф. Электроны в неупорядоченных средах. М.: Физматлит. 2-е изд. 2005. 232 С.

45. John S., Sompolinsky Н., Stephen M.J. Localization in a disordered elastic medium near two dimensions // Phys. Rev. В. 1983. V. 27. P. 5592.

46. Mott N.F. Conduction in non-crystalline materials. III. Localized states in a pseudogap and near extremities of conduction and valence bands // Philos. Mag. 1969. V. 19. P. 835-852.

47. Condat C.A., Kirkpatrick T.R. Observability of acoustical and optical localization // Phys. Rev. Lett. 1987. V. 58. P. 226-229.

48. Stephen M.J. Rayleigh scattering and weak localization // Phys. Rev. Lett. 1986. V. 56. P. 1809.

49. John S. Strong localization of photons in certain disordered dielectric superlattices // Phys. Rev. Lett. 1987. V. 58. P. 2486-2489.

50. Sheng P. Introduction to Wave Scattering, Localization and Mesoscopic Phenomena. 2nd ed. Springer, Berlin. 2006.

51. Mott N.F. Electrons in disordered structures // Adv. Phys. 1967. V. 16. P. 49144.

52. Mott N.F. Electrons in disordered structures // Adv. Phys. 2001. V. 50. P. 865945.

53. H. Furstenberg. Noncommuting random products // Trans. Am. Math. Soc. 1963. V. 108. P. 377-428.

54. Ishii K. Localization of Eigenstates and Transport Phenomena in the One-Dimensional Disordered System // Progr. Theor. Phys. Suppl. 1973. V. 53. P. 77-138.

55. Кляцкин В.И. Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах. М.: Наука ГРФМЛ. 1980.

56. Кляцкин В.И. Метод погружения в теории распространения волн. М.: Наука. 1986.

57. Мотт Н.Ф., Туз У. Теория проводимости по примесям // УФН. 1963. Т. 79, С. 691-740.

58. Borland R.E. Existence of energy gaps in one-dimensional liquids // Proc. Phys. Soc. 1961. V. 78. P. 926-932.

59. Borland R.E. The Nature of the Electronic States in Disordered One-Dimensional Systems // Proc. Roy. Soc. A. 1963. V. 274. P. 529-545.

60. B.I. Halperin Adv. Chem. Phys. XII, 123 (1963).

61. Hori J. Phase Theory of Disordered Systems // Progr. Theor. Phys. Suppl. 1967. V. 36. P. 3-54.

62. Lambert C.J., Thorpe M.F. Random T-matrix approach to one-dimensional localization// Phys. Rev. B. 1983. V. 27. P. 715-726.

63. Thorp О., Ruzzene M., and Baz A. Attenuation and localization of a wave propagation in rods with periodic shunted piezoelectric patches // Smart Mater. Struct. 2001. V. 10. P. 979-990.

64. Yang Y., Photiadis D.M. A stochastic model for wave localization in one-dimensional disordered structures //J. Acoust. Soc. Am. 1998. V. 103. P. 751759.

65. Bulgakov A., Nieto-Vesperinas M. Frequency properties of random photonic lattices // Waves in Random Media. 1997. V. 7. P. 183-192.

66. Bliokh K.Yu., Freilikher V.D. Localization of transverse waves in randomly layered media at oblique incidence // Phys. Rev B. 2004. V. 70. 245121.

67. Бреховских JI.M. Волны в слоистых средах. 2-е изд. М.: Наука. 1973.

68. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. Курс теоретической физики в 10 томах. Том. 8. 4-е изд. М.: Физматлит. 2003.

69. Izrailev F.M., Makarov N.M. Localization in correlated bilayer structures: from photonic crystals to metamaterials and semiconductor superlattices // Phys. Rev. Lett. 2009. V. 102. N. 203901.

70. Han P., Zheng C. Effects of structural periodicity on localization length in one-dimensional periodic-on-average disordered systems // Phys. Rev. E. 2008. V. 77. N. 041111.

71. Kaliteevski M.A., Beggs D.M., Brand S. et al. Stability of the photonic band gap in the presence of disorder // Phys. Rev. B. 2006. V. 73. N. 033106.

72. Ignatchenko V.A., Mankov Yu.I., Maradudin A.A. Spectrum of waves in randomly modulated multilayers // Phys. Rev. B. 1999. V. 59. P. 42-45.

73. Ignatchenko V.A., Mankov Yu.I., Maradudin A.A. Effects of one- and three-dimensional inhomogeneities on the wave spectrum of multilayers with finite interface thicknesses // Phys. Rev. B. 2001. V. 65. N. 024207.

74. Ignatchenko V.A., Mankov Yu.I., Maradudin A.A. Effects of the dimensionality of inhomogeneities on the wave spectrum of superlattices // Phys. Rev. B. 2003. V. 68. N. 024209.

75. Bayindir M., Cubukcu E., Bulu I. et al. Photonic band gaps, defect characteristics, and waveguiding in two-dimensional disordered dielectric and metallic photonic crystals // Phys. Rev. B. 2001. V. 64. N. 195113.

76. You-Yu Chen, Zhen Ye Acoustic Attenuation by Two-Dimensional Arrays of Rigid Cylinders // Phys. Rev. Lett. 2001. V. 87. N. 184301.

77. Vlasov Yu.A., Kaliteevski M.A., Nikolaev V.V. Different regimes of light localization in a disordered photonic crystal // Phys. Rev. B. 1999. V. 60. P. 1555-1562.

78. Deych L.I., Zaslavsky D., Lisyansky A.A. Statistics of the Lyapunov Exponent in ID Random Periodic-on-Average Systems // Phys. Rev. Lett. 1998. V. 81. P. 5390-5393.

79. Sigalas M.M., Soukoulis C.M., Chan C.-T., Turner D. Localization of electromagnetic waves in two-dimensional disordered systems // Phys. Rev. B. 1996. V. 53. P. 8340-8348.

80. Deych L.I., Lisyansky A.A., Altshuler B.L. Single parameter scaling in one-dimensional localization revisited // Phys. Rev. Lett. 2000. V. 84. P. 26782681.

81. Каценеленбаум Б.З. Теория нерегулярных волноводов с медленно меняющимися параметрами. М.: Изд. академии наук СССР. 1961.

82. Milton G.W. The Theory of Composites. Cambridge University Press. 2002.

83. Cai W., Shalaev V. Optical Metamaterials. Springer, New York-Dordrecht-Heidelberg-London. 2010.

84. Caloz С., Itoh Т. Electromagnetic metamaterials: transmission line theory and microwave applications. John Wiley & Sons Inc., Hoboken, New Jersey. 2007.

85. Vinogradov A.P. and Merzlikin A.M. Electrodynamic properties of a finely layered medium // Doklady Physics. 2001. V. 46. P. 832-834.

86. Рытов C.M. Электромагнитные свойства слоистых сред // ЖЭТФ. 1955. V. 29. Р. 605-616.

87. O'Brien S., Pendry J.B. Photonic band-gap effects and magnetic activity in dielectric composites // J. Phys.: Condens. Matter. 2002. V. 14. P. 4035-4044.

88. Smith D.R., Schultz S., Markos P., Soukoulis C.M. Determination of effective permittivity and permeability of metamaterials from reflection and transmission coefficients // Phys. Rev. B. 2002. V. 65. N. 195104.

89. Zhou J., Koschny Т., Kafesaki M., Soukoulis C.M. Size dependence and convergence of the retrieval parameters of metamaterials // Photon. Nanostruct. 2008. V. 6. P. 96-101.

90. Ludwig A., Webb K.J. Accuracy of effective medium parameter extraction procedures for optical metamaterials // Phys. Rev. B. 2010. V. 81. N. 113103.

91. Sarychev A.K., Bergman D.J., and Yagil Y. Theory of the optical and microwave properties of metal-dielectric films // Phys. Rev. B. 1995. V. 51. P. 5366-5385.

92. Fietz C., Shvets G. Current-driven metamaterial homogenization // Physica B. 2010. V. 405. P. 2930-2934.

93. Smith D.R. and Pendry J.B. Homogenization of metamaterials by field averaging // J. Opt. Soc. Am. B. 2006. V. 23. P. 391-403.

94. Acher O., Lerat J. and Mallejac N. Evaluation and illustration of the properties of metamaterials using field summation // Optics express. 2007. V. 15. P. 1096-1106.

95. Datta S., Chan C.T., Но K.M., and Soukoulis C.M. Effective dielectric constant of periodic composite structures // Phys. Rev. B. 1993. V. 48. P. 14936-14943.

96. Vinogradov A.P., Aivazyan A.V. Scaling theory for homogenization of the Maxwell equations // Phys. Rev. E. 1999. V. 60. P. 987-993.

97. Whites K.W. Full-wave computation of constitutive parameters for lossless composite chiral materials. // IEEE Trans. Antennas Propagat. 1995. V. 43. P. 376-384.

98. Franceschetti G. A complete analysis of the reflection and transmission methods for measuring the complex permeability and permittivity of materials at microwave frequencies. 1967. V. 36, P. 757-764.

99. Xudong Chen, Tomasz M. Grzegorczyk, Bae-Ian Wu, Joe Pacheco Jr., and Kong J.A. Robust method to retrieve the constitutive effective parameters of metamaterials // Phys. Rev. E. 2004. V. 70, N. 016608.

100. Nicolson A.M. and Ross G.F. Measurement of the intrinsic properties of materials by time domain techniques // IEEE Trans. Instrum. Meas. 1968. V. 17. P. 395-402.

101. Weir W.B. Automatic measurement of complex dielectric constant and permeability at microwave frequencies // Proc. IEEE. 1974. V. 62. P. 33-36.

102. Вайнштейн JI.А. Теория дифракции. Электроника СВЧ. M.: Радио и связь. 1995. С. 179.

103. Smigaj W., Gralak В. Validity of the effective-medium approximation of photonic crystals // Phys. Rev. B. 2008. V. 77. P. 235445.

104. Enkin N.A., Merzlikin A.M., Vinogradov A.P. The difference of the refraction laws in composite materials from the Fresnel laws // Journal of Communications Technology and Electronics. 2010. V. 55. P. 565—571.

105. Born M. Optics. Springer, Berlin. 1933.

106. Vinogradov A.P. and Skidanov I.I. Generalization of Drude's formulas for the transition layer to chiral media // Journal of Communication Technology and Electronics. 2002. V. 47. P. 517-520.

107. Simovski C.R. Material parameters of metamaterials // Optics and Spectroscopy. 2009. V. 107, P. 726-753.

108. Vinogradov A.P., Rosanov K.N., Makhnovsky D.P. Effective boundary layer in composite material // Journal of Communication Technology and Electronics. 1999. V. 44. P. 317-322.

109. Simovski C.R., Sauviac B. On the bulk averaging approach for obtaining the effective parameters of thin magnetic granular films // European Physical Journal: Applied Physics. 2002. V. 17. P. 11-20.

110. Simovski C.R. Application of the Fresnel formulas for reflection and transmission of electromagnetic waves beyond the quasi-static approximation // Journal of Communications Technology and Electronics. 2007. V. 52. P. 953-971.

111. Simovski C.R., Tretyakov S.A. Local constitutive parameters of metamaterials from an effective-medium perspective // Phys. Rev. B. 2007. V. 75. N. 195111.

112. Simovski C.R. Bloch material parameters of magneto-dielectric metamaterials and the concept of Bloch lattices // Metamaterials. 2007. V. 1. P. 62-80.

113. Агранович B.M., Гинзбург В.Л. Кристаллооптика с учетом пространственной дисперсии и теория экситонов. М.: Наука. 1965.

114. Виноградов А.П. К вопросу о форме материальных уравнений в электродинамике // УФН. 2002. V. 172. Р. 363-370.

115. Senior Т.В.А. and Volakis J.L. Approximate boundary conditions in electrodynamics. The Institute of Electrical Engineers, London. 1995.

116. Bedeaux D., Vlieger J. Optical properties of surfaces. 2-ed, Imperial College Press. 2004.

117. Kim K. Reflection coefficient and localization length of waves in one-dimensional random media // Phys. Rev. B. 1998. V. 58. P. 6153.